close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Учебное пособие
Ставропольский государственный аграрный университет
Т.А.Гулай А.Ф. Долгополова
Д.Б. Литвин
С.В. Мелешко
Теория вероятностей и математическая статистика
Учебное пособие
Издание второе дополненное
Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства
образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для
студентов вузов, обучающихся по направлению 080100 «Экономика»
(квалификация-«бакалавр»)
г. Ставрополь
2013
УДК 519.2
ББК 22.171
Г 94
Гулай Т.А.
Г94 Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие,
издание второе дополненное / Т.А. Гулай , А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин, С.В.
Мелешко. – Ставрополь : АГРУС, 2013.- 260 с.
Настоящее учебное пособие (издание второе дополненное) разработано в
соответствии с учебной программой дисциплины « Теория вероятностей и
математическая статистика» для студентов высшего профиля обучения
экономических факультетов ВУЗов с учетом федеральных государственных
образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС
ВПО) по направлению 080100 Экономика (квалификация - «бакалавр»).
Учитывая прикладной характер многих приведенных в пособии задач, оно
может быть также использовано при изучении аналогичных дисциплин в
экономических и технических ВУЗах. Пособие может быть использовано как
для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного
изучения дисциплины.
УДК 519.2
ББК 22.171
Г 94
Содержание
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................ 7
1.1 Опыт и события теории вероятностей. Пространство исходов опыта ........ 7
1.2 Операции над событиями ................................................................................. 9
1.3 Частота и вероятность..................................................................................... 16
1.4 Вероятностные пространства .......................................................................18
1.4.1 Дискретные вероятностные пространства
1.5 Методы вычисления вероятностей ............................................................... 20
1.5.1 Классическое определение вероятности................................................ 20
1.5.2 Статистическое определение вероятности ............................................ 23
1.5.3 Геометрическая вероятность................................................................... 25
1.6 Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей
событий................................................................................................................... 27
ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................................................................................... 33
2.1 Аксиомы теории вероятностей ...................................................................... 33
2.2 Основные теоремы теории вероятностей ..................................................... 34
2.3 Формула полной вероятности ....................................................................... 39
2.4 Формула Байеса .............................................................................................. 40
2.5 Последовательность независимых испытаний............................................ 43
Самостоятельная работа к главам 1, 2 ................................................................ 48
ГЛАВА3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ВЕКТОРЫ ........................................... 63
3.1 Случайные величины и векторы.................................................................... 63
3.1.1 Понятие случайной величины и случайного вектора .......................... 63
3.1.2 Закон распределения случайной величины и случайного вектора ..... 64
3.1.3 Ряд распределения, многоугольник распределения ............................. 64
3.2 Формы закона распределения ........................................................................ 66
3.2.1 Функция распределения и её свойства ................................................. 66
3.2.2 Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и её
свойства .............................................................................................................. 68
3.2.3 Условные законы распределения, зависимые и независимые
случайные величины ......................................................................................... 70
3.3 Числовые характеристики .............................................................................. 71
3.3.1 Математическое ожидание случайной величины и случайного
вектора ................................................................................................................ 71
3.3.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной
величины и случайного вектора ...................................................................... 72
3.3.3 Начальные и центральные моменты ...................................................... 74
3.3.4 Корреляционный момент, коэффициент корреляции .......................... 75
Самостоятельная работа к главе 3 ....................................................................... 86
3
ГЛАВА 4 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И
ВЕКТОРОВ. ............................................................................................................. 116
4.1 Биномиальное, полиномиальное распределения........................................ 116
4.2 Распределение Пуассона............................................................................... 118
4.3 Равномерное распределение......................................................................... 120
4.4 Показательное распределение...................................................................... 124
4.5 Нормальный закон распределения .............................................................. 132
4.6 Распределение Релея ..................................................................................... 139
ГЛАВА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ................ 147
ГЛАВА 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ (ФСА).......................... 155
Самостоятельная работа к главе 6 ..................................................................... 162
ГЛАВА 7 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ............................................ 177
7.1 Понятие случайного процесса...................................................................... 177
7.2 Стационарные процессы ............................................................................... 182
ГЛАВА 8 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ............................ 189
8.1 Генеральная совокупность, выборка, выборочный метод ........................ 189
8.2 Представление статистических данных и оценивание закона
распределения генеральной совокупности ....................................................... 193
8.3 Эмпирическая функция распределения ...................................................... 198
8.4 Свойства оценок параметров распределения ............................................. 200
8.5 Точечные и интервальные оценки параметров распределения ................ 203
8.6 Метод моментов ............................................................................................ 206
8.7 Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия .......... 209
8.8 Понятие статистической проверки гипотез ............................................. 213
8.9 Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.............. 214
8.10 Сравнение двух дисперсий ......................................................................... 218
8.11 Сравнение двух математических ожиданий ............................................. 221
8.12 Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона ...................... 225
ОТВЕТЫ ................................................................................................................... 232
am a
e .................................... 242
Приложение 1. Значения функции P   m  
m!
1  x2 2
Приложение 2. Значения функции   x  
.................................... 244
e
2
2
Приложение 3. Значения функции Лапласа x  
2
x
e

t2
2
dt ..................... 245
0
Приложение 4. Значения приведённой функции Лапласа


ˆ  x    2x 

2

x

e
2 2
t
dt ........................................................................ 247
0
4
Приложение 5. Значения чисел q в зависимости от объема выборки п и
надежности γ для определения доверительного интервала среднего
квадратичного отклонения σх ............................................................................. 251
Приложение 6. Критические точки распределения  2 .................................... 252
Приложение 7. Критические точки распределения Фишера — Снедекора.. 253
Приложение 8. t-распределение (значение fkp, соответствующее
Р(Т > fkp) =α) ....................................................................................................... 256
Литература ........................................................................................................... 257
5
Предисловие
Учебное пособие охватывает традиционный курс основ теории
вероятностей и математической статистики, а также содержит достаточно
большое количество задач прикладного характера.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовой дисциплиной математического цикла федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального
образования.
Книга включает восемь глав и список литературы. Каждая глава
пособия начинается с необходимого теоретического минимума, включающего
основные определения, теоремы и формулы. Далее приводится блок типовых
задач по данной теме с полным анализом хода решения, а затем предлагается
блок аналогичных задач для самостоятельного решения.
Для обеспечения практической направленности изучения основ
теории вероятностей и математической статистики и успешного изучения в
дальнейшем специальных дисциплин в пособии рассмотрены задачи,
закладывающие фундамент для понимания экономической статистики и
являющиеся базовым теоретическим и практическим основанием для всех
последующих математических и финансово-экономических дисциплин
подготовки бакалавра экономики, использующих теоретико-вероятностные и
статистические методы анализа. Условия этих задач сформулированы таким
образом, что для их решения не требуются знания специальных терминов,
понятий и математического аппарата этих дисциплин, достаточно лишь знаний
основ теории вероятностей и математической статистики. Решение некоторых
задач повышенной сложности требует комплексного подхода, то есть
применения математического аппарата различных разделов и тем дисциплины.
Числовые значения тех или иных параметров в условиях задач подобраны из
условия получения в ходе их решения вероятностных характеристик, близких к
существующим.
Такая практическая направленность данного учебного пособия
должна способствовать осознанию студентами взаимосвязи изучаемых в ВУЗе
дисциплин и, в частности, важности изучения основ теории вероятностей и
математической статистики для дальнейшего обучения.
Учебное пособие с полностью подготовлено к изданию на кафедре
«Математика» Ставропольского государственного аграрного университета.
6
Глава 1 Основные понятия теории вероятностей
1.1 Опыт и события теории вероятностей. Пространство исходов опыта
При изучении и описании окружающего мира часто приходится
встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными.
По сравнению с другими, для них характерна большая степень
неопределённости, непредсказуемости.
Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном
воспроизведении одного и того же опыта (испытания) протекает каждый раз
несколько по-иному.
Теорией вероятностей называется математическая наука,
изучающая закономерности в массовых случайных явлениях. Её предметом
являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.
Одними из основных понятий теории вероятностей являются опыт и
событие.
Под опытом (экспериментом, испытанием) будем понимать
некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то
или другое явление, фиксируется тот или другой результат.
Если результат опыта изменяется при его повторении, то говорят об
опыте со случайным исходом (элементарным исходом).
Случайным событием (просто событием) называется всякий факт,
который в результате опыта может произойти или не произойти.
На множестве всех элементарных исходов можно выделить
подмножество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое
событие. Например, на множестве элементарных исходов при бросании
игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые
соответствуют четному числу очков.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его
появление влечет за собой наступление такого события. В частности,
появлению четного числа очков при бросании игральной кости соответствуют
элементарные исходы с цифрами 2,4,6.
Количественной мерой возможности появления некоторого
случайного события служит вероятность.
Пусть имеется некоторое испытание. Свяжем с ним определённую
совокупность исходов, причём так, чтобы в результате испытания
осуществлялся один и только один из этих исходов. Такое множество
называется пространством элементарных событий, связанных с
рассматриваемым испытанием, а входящие в множество исходы (результаты
7
испытания) – точками пространства или элементарными событиями.
Пространство элементарных событий будем обозначать  , а его точки –  .
Замечания
1. Для одного и того же испытания пространство элементарных
событий можно вводить, вообще говоря, различными способами.
2. Пространство  может содержать конечное или бесконечное
множество элементарных событий.
3. Если пространство состоит из конечного или счётного множества
точек, то его называют дискретным.
Рассмотрим некоторое пространство элементарных событий  . Из
точек его можно сформировать различные множества.
Множество, состоящее из каких-то элементарных событий
пространства  , называют случайным событием. Если элементарное событие
 принадлежит событию А, то пишут  А , если не принадлежит, то  А .
Под достоверным событием понимают событие, составленное из всех
точек данного пространства  . Другими словами достоверное событие это
событие, которое происходит при каждом испытании.
Достоверное событие будем обозначать  .
Под невозможным событием понимается событие, не содержащее ни
одного элементарного события из данного пространства  . Другими словами,
невозможное событие – событие, которое не может произойти ни при каком
исходе испытания. Невозможное событие будем обозначать Ø.
Два случайных события А и В, составленные из одних и тех же
элементарных событий, называют равными и пишут А=В, или два равных
события при одном и том же опыте либо оба проявляются, либо оба не
проявляются. Используется так же термин «равновозможные» события.
Допустим, что все элементарные события, принадлежащие событию А,
принадлежат также и событию В. В этом случае говорят, что событие А влечёт
за собой событие В, или что событие В есть следствие события А, пишут
А  В .Это означает, что, когда в результате опыта происходит событие А,
происходит и событие В (обратное, вообще говоря, неверно).
Замечания
1. Пусть А  В и В  А , тогда А и В состоят из одних и тех же
элементарных событий, следовательно А=В.
2. Если А  В и В  С , то А  С .
3. Каким бы ни было случайное событие А, состоящее из точек
данного пространства элементарных событий  , всегда имеет место
соотношение А   . С другой стороны принято считать, что невозможное
8
событие влечёт за собой любое случайное событие А, т.е.   А . Поэтому
  А  .
Два события, не содержащие общих элементарных событий, называют
несовместными. Другими словами, события называются несовместными,
если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном
случае события называются совместными.
События А1 , А2 , , Ап  п  2  называются попарно несовместными,
если любые два из них несовместны.
1.2 Операции над событиями
1. Противоположное событие
Событие, состоящее в непоявлении некоторого события А, называют
противоположным по отношению к событию А и обозначают А .
Геометрически
Пусть А – попадание брошенного точечного тела в
А
область А. Тогда противоположное событие А попадание в дополнительную часть А в области

А
.
Замечания
1. Событие противоположное достоверному событию является
невозможным.
2. Сумма событий
Суммой нескольких событий
А1 , А2 ,
, Ап
называется событие,
появление которого состоит в появлении хотя бы одного из событий
n
А1 , А2 ,
, Ап . Обозначается А1 , А2 ,
, Ап   Аi .
i 1
Если А и В - совместные события, то их сумма А+В обозначает
наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А
и В - несовместные события, то их сумма А+В обозначает наступление или
события А, или события В.
Геометрически: Суммой нескольких событий А1 , А2 , , Ап называется
объединение множеств А1  А2   Ап .
9
А1
Пусть Ai (i  1, 2) попадание в область Ai .
В таком случае сумма А1  А2 - попадание в
А2
область, составленную из всех тех точек,
которые принадлежат хотя бы одной из
областей Ai (область заштрихована).

А1  А 2
1. Для любого случайного события А
А А  А и А А  .
2. Если А  В , то А  В  В . В частности,
Замечания
А1

А2
А   
А1  А 2
3. Произведение событий
Произведением нескольких событий А1 , А2 , , Ап называется событие,
появление которого состоит в появлении всех событий А1 , А2 , , Ап .
n
Обозначается А1 А2
Ап   Аi .
i 1
Если А,В,С – совместные события, то их произведение АВС означает
наступление и события А, и события В, и события С.
Геометрически: Произведением нескольких событий А1 , А2 , , Ап
называется пересечение множеств А1  А2 

Аi
n
 Ап   Аi .
i 1
Пусть Ai (i  1, 2) попадание в область Ai . Тогда
А1 А2 попадание в область, составленную из точек
А2
принадлежащих как области А1 , так и области А2
(область заштрихована).
А1 А 2
Замечания
1. Произведение
двух
несовместных
событий А1 и А2 есть событие невозможное, т.к.

А1
А2
не имеет общих элементарных событий, т.е.
А1 А2 =  .
2. Для любого случайного события А
А  А  А и АА   .
3. Если А  B , то АВ  А . В частности
10
А  А .
4. Разность событий
Разностью двух событий А1 и А2 называется событие, которое состоит в том,
что событие А1 , состоящее из элементарных событий, которые входят в А1 , но
не входят в А2 . Обозначается А1  А2 или А1 \ А2 .
Геометрически
Событие
А1
А2
А1  А2
состоит
из
элементарных событий, принадлежащих только
событию А1 (область заштрихована).
5. Полная группа (полная система) событий
Говорят, что события А1 , А2 , , Ап образуют полную группу (полную
систему), если при любом исходе опыта происходит одно и только одно из этих
событий.
Замечания
1. Из определения следует, что А1 , А2 ,
, Ап   , Аi Аj    i  j 
2. События А и А образуют полную систему событий.
Решение типовых примеров
1.1 Пусть А, В, С - произвольные события.
Что означает следующие события:
а) АВС ;
б) АВС ;
в) А  В  С ;
г) АВС  АВС  АВС .
Решение
11
а) По определению АВС - произведение трех событий А, В , С , которые
происходят одновременно, причем B – событие противоположное событию B,
т.е. АВС означает, что событие B не произошло, а события A и С произошли.
б) Тогда АВС - произошло только событие В.
в) А  В  С - Произошло либо событие А, либо B, либо С, т.е. хотя бы одно из
событий произошло.
г) АВС  АВС  АВС - произошло ровно два из трех событий
1.2 Опыт состоит в бросании игральной кости.
События
Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков;
А – выпадение четного числа очков;
В – выпадение нечетного числа очков;
С – выпадение числа очков, кратного трем;
D – выпадение числа очков, большего трех;
Выразите события А, В, С и D через Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Решение
Событие А – выпадение четного числа очков наступает тогда и только
тогда, когда выпадает 2, 4 или 6 очков, т.е. когда наступает А2, или А4, или А6.
Это означает, что А = А2 + А4 + А6.
Рассуждая аналогично, имеем:
В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и D = А4 + А5 + А6.
12
1.3 Электрическая цепь составлена по
схеме, приведенной на рисунке.
А1
В1
События
А2
В2
Ak (k = 1,2) – выход из строя элемента Ak,
Bi (i = 1,2) – выход из строя элемента Bi.
С – разрыв цепи.
Выразить событие С через события Ak и Bi.
Рисунок 1.1
Решение
C  A1  A2  B1  B2
Для того чтобы не было разрыва цепи, необходима исправная работа
хотя бы одного элемента Аk и хотя бы одного элемента Bi, то есть
C  ( A1  A2 )  ( B1  B2 )
1.4 Пусть А, В и С – события,
означающие попадание точки соответственно в
области А, В и С (рисунок 1.2).
A
B
C
Что означает событие АВ + С?
Рисунок 1.2
Решение
События АВ + С означает попадание точки в
область ( А  В )  С, которая на рисунке 1.3
заштрихована.
A
B
C
Рисунок 1.3
Задачи для самостоятельного решения
1.5 Пусть А,В,С - произвольные события.
13
Что означает следующие события:
а) АВС ;
б) АВС ;
в) А  В  С ;
г) АВС  АВС  АВС ;
д) АВС  АВС  АВС  АВС .
1.6 Стрелок производит 3 выстрела по мишени.
Событие:
А1 - «попадание в мишень при первом выстреле»;
А2 - «попадание в мишень при втором выстреле»;
А3 - «попадание в мишень при третьем выстреле».
Выразить через А1 , А2 , А3 следующие события:
A – «хотя бы одно попадание»;
В – «три попадания»;
С – «три промаха»;
Д – «хотя бы один промах»;
Е – «не менее двух попаданий»;
F – «не более одного попадания»;
G – «попадание после первого выстрела».
1.7 Два стрелка выполняют по одному выстрелу по одной и той же
мишени.
События: А – «попадание первым стрелком»;
В – «попадание вторым стрелком».
Выразить через А и В следующие события:
14
С - «хотя бы один из стрелков попадет в цель»;
D – «оба стрелка попадут в цель»;
E – «только один стрелок попадет в цель»;
F – «либо второй стрелок попадет в цель, либо ни один из стрелков не попадет
в цель».
1.8 Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты
занумерованы и события Г1, Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно
на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие
события:
А – выпадение одного герба и двух цифр,
В – выпадение не более одного герба,
С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,
D – выпадение хотя бы двух гербов,
Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,
F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал
герб.
1.9 Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех
однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть
обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:
А – обнаружен ровно один из 4 объектов;
В – обнаружен хотя бы один из объектов;
С – обнаружено не менее 2 объектов;
D – обнаружено ровно 2 объекта;
Е – обнаружено ровно 3 объекта;
F – обнаружены все 4 объекта.
Укажите, в чем состоят события:
а) А + В; б) АВ; в) В + С; г) ВС; д) EF
15
1.10 Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие
Ak (k = 1,2) – исправен k-й блок I типа; Bi (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа.
Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков
II типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через Ak и Bi.
1.11 Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины.
Событие А означает исправность рулевого устройства, Вk (k = 1, 2, 3, 4) –
исправность k-го котла и Сi (i = 1,2) – исправность i-й турбины;
событие D – «судно управляемое», что будет, когда исправны рулевое
устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразите D через А,
Вk и Сi.
1.12 Электрическая цепь составлена по схеме (рисунок 1.4)
Событие Ак – «элемент с
номером к вышел из строя»,
к = 1,2,3,4.
Событие В – «разрыв цепи».
Выразить В через Ак .
Рисунок 1.4
1.13 Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В
и С означают соответственно попадание точки в области А, В и С (рисунок 1.5).
Что означают следующие события:
а) А + В + С;
г) А + В + С;
е) АВ + С ;
б) АВС;
в) А + В + С ;
д) А + В + С ;
A
B
ж) АВ С ; з) А В + С?
(Требуется в каждом случае воспроизвести
рисунок 1.5 и заштриховать
соответствующую область).
C
Рисунок 1.5
1.3 Частота и вероятность
Рассмотрим какое-нибудь испытание, в результате которого может
осуществиться некоторое случайное событие А .
16
Произведена серия из п испытаний, и пусть событие А появилось в т
из них.
Частотой появления события А в данной серии опытов называют
отношение числа т его появлений к числу п испытаний. Обозначается
m
р *  А  .
n
Рассмотрим некоторые свойства частоты.
Свойство 1. Каким бы ни было событие А , его частота
неотрицательна, т.е. р *  А  0 .
Свойство 2. Частота достоверного события равна единице р *  А  1.
Свойство 3. Если А и В несовместные события, то
р *  А  В   р *  А  р *  В  .
Свойство 3 обобщается на случай какого угодно числа попарно
 п  п
несовместных событий р *   Ai    р *  Аi   Ai Aj   при i  j  .
 i 1  i 1
При переходе от одной серии испытаний к другой, частота случайного
события изменяется, она зависит от случайного стечения обстоятельств,
связанных с данной серией испытаний.
Следовательно, частота не может служить объективной
характеристикой случайного события.
При небольшом числе испытаний частота может заметно отличаться
от одной серии опытов к другой. Однако, при увеличении числа опытов частота
события всё более теряет свой случайный характер и проявляет тенденцию
стабилизироваться, приближаясь к некоторой постоянной величине. Как
говорят, частота обладает свойством устойчивости.
Так, если много раз бросать монету, то частота появления герба
1
колеблется около .
2
Та постоянная величина, которой приближается устойчивая частота
случайного события при всё возрастающем числе испытаний, и представляет
собою вероятность этого события.
Так как при большом числе бросаний монеты частота появления
1
герба колеблется около числа , то вероятность появления герба следует
2
1
считать равной числу .
2
Следует различать понятие частоты и вероятности.
17
Вероятность – объективная числовая характеристика случайного
события; она не зависит от проводимых испытаний, от рассматриваемой
конкретной серии испытаний.
Частота – объективной характеристикой не является, т.к. при
переходе от одной серии испытаний к другой частота изменяет, вообще говоря,
своё значение.
Однако в том случае, когда число испытаний очень велико,
вероятность и частота одного и того же случайного события оказывается, как
правило, приблизительно равными.
Вероятность случайного события А обозначается р  А  . Итак,
р  А  р *  А
при
п  1.
(1.1)
В случае, когда находить вероятности событий теоретическим путём
не удаётся, обращаются к экспериментальному. В основе так называемого
статистического (экспериментального) способа нахождения вероятности лежит
приближенное равенство (1.1), выражающее связь между вероятностью и
частотой одного и того же события, найденной в длинной серии испытаний.
1.4 Вероятностное пространство
Вероятностное пространство — это математическая модель
случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова.
Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах
случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа
средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается
в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного
изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не
полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам
наблюдений, относятся к области математической статистики.
Вероятностное пространство — это тройка (Ω,F,P)где:
Ω — это множество объектов ω  Ω , называемых элементарными
исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких
условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании
вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество Ω
необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта
происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход
содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного
опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный
18
опыт» означает в точности указать один элементарный исход ω, который
произошел в данной реализации опыта.
F — это некоторая зафиксированная система подмножеств B  Ω,
которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный
исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в
событие B, то говорят, что в данной реализации событие B произошло, иначе
говорят, что событие не произошло. Совокупность событий F должна быть
сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
 Пустое множество
должно быть событием, то есть
принадлежать F. Это событие, которое существует в любом вероятностном
пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не
происходит.
 Все множество Ω также должно быть событием: Ω F . Это
событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации
случайного опыта.
 Совокупность событий F должна образовывать алгебру, то есть
быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций,
выполняемых над конечным числом событий. Если A F и B F, тогда должно
быть A  B F, A  B F, A F,. Операции над событиями имеют очевидный
содержательный смысл.
 В дополнение к указанным свойствам, система F должна быть
замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном
числе (свойство сигма-алгебры). Если Bi i 1  F , тогда должно быть


и

Bi  F
i 1
Bi  F .
i 1
P — это числовая функция, которая определена на F и ставит в
соответствие каждому событию B F число P(B), которое называется
вероятностью события B. Эта функция должна быть конечной сигмааддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать
свойствами:

0  P( B)  1 для любого B F

P()  0 , P()  1

Если A F и B F, — события, причем A  B=  , тогда
P( A  B)  P( A)  P( B) (свойство аддитивности).
19

Если Bi i 1  F , причем если Bi  B j   для любых i  j ,


тогда должно быть P(
i 1
Bi ) 

 P( B ) (свойство сигма-аддитивности).
i
i 1
1.4.1 Дискретные вероятностные пространства
Если множество элементарных исходов Ω конечно или счетно:
Ω= 1 , 2 ,...,
то
соответствующее
вероятностное
пространство
называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств
событиями обычно считают все возможные подмножества Ω. В этом случае для
задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому
элементарному исходу i число pi  0 так, чтобы p1  p2  ...  pi  1. Тогда
вероятность любого события B задается следующим образом:
P( B ) 
p.
iB
i
Важным частным случаем такого пространства является
классический способ задания вероятностей, когда количество элементарных
исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность
любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества
элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему
числу элементарных исходов:
P( B ) 
B
.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять
данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы
действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как
исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся
начальных условий.
1.5 Методы вычисления вероятностей
1.5.1 Классическое определение вероятности
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по
степени важности их наступления. Очевидно, события: «выпадение дождя» и
20
«выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по
одному билету» и «выигрыш по каждому из п приобретенных билетов»
денежно-вещевой лотереи – обладают разной степенью возможности их
наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.
Численная мера степени объективной возможности наступления
события называется вероятностью события.
Это определение, качественно отражающее понятие вероятности
события, не является математическим. Чтобы оно таким стало, необходимо
определить его количественно.
Теорема (классическая схема теории урн)
Пусть пространство элементарных событий состоит из конечного
числа исходов   1 , 2 , , п  ; все эти элементарные события будем
предполагать одинаково вероятными: P  1   P  2  
 P  п  .
Пусть некоторому случайному событию А благоприятствуют т элементарных
событий, например, А  1 , 2 , , т .
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле
m
(1.2)
P  А  .
n
Теорема утверждает, что вероятность случайного события равна
отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу
исходов.
Решение типовых примеров
1.14 В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова
вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?
Решение
Пусть событие А – извлеченный шар оказывается белым. Данное
испытание имеет 10 равновероятных исходов (n=10), из которых для события А
3
благоприятны три (m = 3). Следовательно, по формуле (1.1) P (А) = .
10
1.15 Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых
карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из
урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на
взятой карточке окажется а) кратным 5; б) кратным 3;
Решение
а) Пусть событие А – число на взятой карточке окажется кратным 5;
Данное событие имеет 20 равновероятностных исходов (n = 20). Среди
21
натуральных чисел от 1 до 20 кратны пяти: 5, 10, 15, 20, следовательно, имеем 4
исхода благоприятствующих событию А (m = 4). Вероятность события А:
m 4 1
P  А  
  0, 2 .
n 20 5
б) Пусть событие B – число на взятой карточке окажется кратным 3.
Среди натуральных чисел от 1 до 20 кратны трем: 3, 6, 9, 12, 15, 18,
следовательно, имеем 6 исходов благоприятствующих событию B (m=6).
Вероятность события B:
m 6
3
P  А  

 0,3 .
n 20 10
Задачи для самостоятельного решения
1.16 В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных.
Наудачу из ящика вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что
извлеченная деталь окажется окрашенной.
1.17 Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от
1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного
жетона не содержит цифры 5.
1.18 В урне 10 одинаковых по размеру шаров, из них 5 белых, 3
зеленых и 2 красных. Наугад из урны вынимается один шар. Определить
вероятность того, что извлеченный шар будет: а) белый, б) зеленый, в) красный,
г) цветной.
1.19 Игральную кость бросают один раз. Какова вероятность, что
выпадет число очков: а) равное пяти; б) кратное трем; в) которое будет четным.
1.20 Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что
общее число очков на обеих костях будет: а) равняться 5; б) равняться 10; в) не
более 4; г) больше 11; д) кратным 6.
1.21 Монета бросается три раза. При этом герб может выпасть три
раза, два раза, один раз и ни разу. Найти вероятности этих событий.
1.22 В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что
наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?
22
1.23 Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном
числе цифры одинаковы?
1.24 Наугад выбирают по одной букве из слов «дама» и «мама».
Какова вероятность того, что эти буквы: а) одинаковы; б) различны?
1.25 Игральная кость бросается трижды. Пусть х – сумма очков,
полученных при всех бросаниях. Что более вероятно: х = 7 или х = 8?
1.5.2 Статистическое определение вероятности
При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно
найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых
испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик.
Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется
отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к
общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии
испытаний частость события А устанавливается около определенного значения,
которое принимается за вероятность события А. Устойчивость значения
частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические
закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных
игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются
равновозможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к
численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии
эксперимента.
Статистической вероятностью события А называется относительная
частота (частость) появления этого события в произведённых испытаниях, т.е.
m
P*  А  W  A  , (1.3)
n
*
где P  А - статистическая вероятность события А;
W  A  - относительная частота (частость) события А;
т – число испытаний, в которых появилось событие А;
п – общее число испытаний.
В отличие от вероятности P  А , рассматриваемой в классическом
определении, статистическая вероятность P*  А является характеристикой
опытной,
экспериментальной.
Если
P  А
есть
доля
случаев,
благоприятствующих событию А, которая определяется непосредственно, без
23
каких-либо испытаний, то P*  А есть доля тех фактически произведённых
испытаний, в которых событие А появилось.
Решение типовых примеров
1.26 Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000
новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчиков?
Решение
Пусть событие А – «рождение мальчика». Общее число испытаний в
данной задаче n=1000, число m появлений события А равно 515. Частота
m 515
появления события А: P*  А  
 0,515
n 1000
1.27 Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету
24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Какова частота появления герба в
данной серии испытаний?
Решение
Пусть событие А – «выпадение герба», по условию n=24000, m=12012
тогда частота появления герба будет равна:
m 12012
P*  А  
 0,5005.
n 24000
Задачи для самостоятельного решения
1.28 Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий
в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
1.29 Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в
лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите
частоту нормального всхода семян.
1.30 Найдите частоту появления шестерки при 60 бросаниях игральной
кости.
1.31 Найдите частоту шестибуквенных слов в любом газетном тексте.
1.32 Двое по очереди бросают монету, причем выигрывает тот, у кого
раньше появится герб. Воспроизведите эту игру 20 раз и найдите частоту
выигрыша для начинающего игру.
24
1.33 По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано
19 попаданий. Какова частота поражения цели?
1.5.3 Геометрическая вероятность
Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание
точки наудачу в некоторую геометрическую область D (на прямой, плоскости
или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки D, любое
событие – это подмножество этой области, пространства элементарных
исходов D. Можно считать, что все точки D «равноправны» и тогда
вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его
мере (длине (а), площади (б), объему (в), рисунок 1.6) и не зависит от его
расположения и формы.
d
D
V
а) P  А 
l1
l
d
D
Рисунок 1.6
б) P  А 
в) P  А 
V1
V
Геометрической вероятностью события А называется отношение
меры области (длины, площади, объёма) благоприятствующей появлению
события А, к мере всей области, т.е.
P  А 
mes d
,
mes D
(1.4)
где mes - мера (длина, площадь, объём).
Решение типовых примеров
1.34 На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите
вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет
заключена между 36 см2 и 81 см2.
25
Решение
Пусть событие А – площадь квадрата, построенного на отрезке АМ,
заключена между 36 см2 и 81 см2.
Рассматриваемая область – отрезок АВ, его длина (мера) по условию
равна 12 см.
Событие А осуществится в том случае, если сторона квадрата будет
равна от 6см до 9см . Длина области, благоприятствующей появлению события
А равна 3см. Вероятность наступления события А:
mes d
3 1
P  А 
   0.25
mes D 12 4
1.35 В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность
того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного
треугольника (рисунок 1.7).
Решение
Искомая вероятность равна отношению
площади треугольника к площади круга:
3 3R 2 3 3
p

 0,4135 .
4R 2
4
Рисунок 1.7
Задачи для самостоятельного решения
1.36 Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти
вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.
Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна
площади квадрата и не зависит от его расположения.
1.37 На плоскости начерчены две концентрические окружности,
радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка,
брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное
построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания
точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит
от ее расположения относительно большого круга.
1.38 На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена
точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОB и ВА имеет
длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на
26
отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на
числовой оси.
1.39 В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу
брошена точка (х, у). Найдите вероятность того, что координаты этой точки
удовлетворяют неравенству y < 2x.
1.40 Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0),
(1,0), (1,1), (0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х2 +сх + q = 0
окажутся действительными.
1.41 Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел
из отрезка [-1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
1.42 Из отрезка [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Найдите
вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х2  4у  4х.
1.43 (Задача о встрече). Два лица договорились встретиться в
определенном месте между 12 и 13 ч, причем каждый пришедший на свидание
ждет другого в течение 20 мин, после чего уходит. Найдите вероятность
встречи этих лиц, если каждый из них приходит на свидание в случайный
момент времени, не согласованный с моментом прихода другого.
1.6 Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей
событий
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично
какой природы, заданного конечного множества.
Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении
комбинаторных задач.
Правило суммы. Пусть Ai (i=1,2,…,n) – элементы конечного
множества. Если элемент А1 может быть выбран п1 способами, элемент А2 –
другими п2 способами, А3 – отличными от первых двух п3 способами и так
далее, Ак – пк способами, отличными от первых (к-1), то выбор одного из
элементов: или А1, или А2,..., или Ак может быть осуществлен п1+ п2+...+ пк
способами.
Правило произведения. Пусть Ai (i=1,2,…,n) – элементы конечного
множества. Если элемент А1 может быть выбран п1 способами, после каждого
27
такого выбора элемент А2 может быть выбран п2 способами и так далее, после
каждого (к-1) выбора элемент Ак может быть выбран пк способами, то выбор
всех элементов А1, А2,..., Ак в указанном порядке может быть осуществлен п1
п2... пк способами.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют
формулы комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех
же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок
(1.5)
Pn  n! .
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,
либо их порядком. Число всех возможных размещений
n!
.
(1.6)
Anm 
 n  m !
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
Cnm 
n!
.
m! n  m !
(1.7)
Размещением данного состава (k1, k2,…, km) из элементов m-членного
множества Х = {x1, x2 ,…, xm} называется всякая строка длинной
k1 + k2 + … + km = n,
составленная из элементов множества Х, так, что элемент х1 повторяется k1 раз,
элемент x2 – k2 раз и т.д., элемент xm – km раз.
Например, если Х= {x1, x2 ,x3}, то (x1, x2 , x2, х1, х1) есть размещение состава
(3,2,0).
Количество различных размещений заданного состава (k1, k2,…, km)
обозначается А(k1, k2,…, km) и равно:
(k  k  ...  km )!
.
(1.8)
A(k1 , k2 ,..., km )  1 2
k1 !k2 !..., km !
Решение типовых примеров
28
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение
Полученные числа будут являться комбинациями из цифр 1, 2, 3 и
будут отличаться только порядком их следования. Применяя формулу числа
возможных перестановок, получим:
P3  3!  1  2  3  6.
Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета,
взятых по 2?
Решение
В данной задаче необходимо найти число комбинаций из 6 элементов
(флажков) по 2. Так как флажки неодинаковы по цвету, то есть состав
элементов различен, и важен порядок их следования, то необходимо
воспользоваться формулой нахождения числа всех возможных размещений
A62 
6!
6! 720
 
 30.
(6  2)! 4! 24
1.46 Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика,
содержащего 10 деталей?
Решение
Из постановки задачи ясно, что последовательность извлечения
деталей из ящика не имеет значения. Поэтому необходимо найти число
сочетаний из 10 элементов (деталей) по 2. Воспользуемся формулой:
C102 
10!
10! 9  10


 45.
2!(10  2)! 2! 8!
2
1.47 Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все
числа которого различны?
Решение
29
Первую цифру числа можно выбрать 9 способами (это может быть
любая цифра от 1до 9), следовательно, n1 = 9;
Вторую цифру можно также выбрать 9 способами (это может быть
любая цифра, включая 0, кроме первой цифры числа) - n2 = 9;
Третью цифру числа можно выбрать 8 способами n3 = 8;
Четвертую цифру числа можно выбрать 7 способами n3 = 7;
Тогда
общее
число
способов
равно
N  n1  n1  ...  nk  9  9  8  7  4536 (по правилу произведения).
Задачи для самостоятельного решения
1.48 Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные
должности из десяти кандидатов.
1.49 Сколькими различными способами могут разместиться на
скамейке 5 человек?
1.50 Сколькими способами можно выбрать три лица на три
одинаковые должности из 10 кандидатов?
1.51 Из цифр 1,2,3 составить все возможные трехзначные числа с
неповторяющимися цифрами.
1.52 Из цифр 1,2,3,4 составить все возможные двузначные числа с
неповторяющимися цифрами.
1.53 В группе 25 человек нужно выделить четырех для дежурства.
Сколькими способами можно это сделать?
1.54 10 спортсменов разыгрывают одну золотую, серебряную и
бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть
распределены между спортсменами?
1.55 Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой
стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для
посылки письма?
30
1.56 На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами
турист может подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с
дополнительным условием: подъем и спуск должны происходить по разным
тропинкам.
1.57 Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в
первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12.
Сколькими способами это можно сделать?
1.58 Восемь человек должны сесть в два автомобиля, причем в
каждом должно быть, по крайней мере, три человека. Сколькими способами
они могут это сделать?
1.59 Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в
десятичной записи которого нет нуля.
1.60 В партии из 50 деталей имеется 10 бракованных. Какова
вероятность того, что среди наудачу отобранных 20 деталей окажется 3
бракованных?
Решение
Событие А – среди отобранных 20 деталей окажется 3 бракованных
Количество всех элементарных исходов равно
С5020 . Для подсчета
числа благоприятных случаев рассуждаем так: из 10 бракованных можно
3
выбрать 3 деталей С10 способами, а из 50  10
не бракованных можно
20 3
выбрать 20 – 3 не бракованных деталей С5010 способами; по правилу
3
20 3
произведения число благоприятных случаев равно С10  С5010 . Искомая
вероятность равна:
P( A) 
203
5010
20
50
C C
C
3
10

C C
20
C50
3
10
17
40
10!
40!

 3!7! 17!23!  0, 226.
50!
20!30!
1.61 В коробке содержится 6 одинаковых, занумерованных кубиков.
Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера
извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
31
1.62 В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады
разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди
обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
1.63 В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных, 5 синих.
Извлечены 3 шара. Найти вероятность, что они разного цвета.
1.64 В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли
5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
1.65 Владелец лотереи «6 из 49» зачеркивает 6 номеров. Найти
вероятность, что он угадает все 6 номеров.
1.66 В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных.
Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные
детали окажутся окрашенными.
1.67 В свадебном картеже движутся 8 автомобилей, среди которых 3 с
друзьями жениха. Места их в кортеже неизвестны. Фотограф в кадр
захватывает 6 автомобилей. Определить вероятность того, что в кадр попадут
все три авто с друзьями жениха.
1.68 В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников.
1.69 Среди 25 сотрудников фирмы, в которой 10 девушек,
разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей
билетов окажутся 2 девушки.
32
Глава 2 Основные теоремы и формулы теории вероятностей
2.1 Аксиомы теории вероятностей
Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого испытания
(опыта, эксперимента). Каждый элемент ω множества Ω, т.е. ω  Ω, называют
элементарным событием или элементарным исходом, а само множество Ω –
пространством элементарных событий. Любое событие А рассматривается
как некоторое подмножество (часть) множества Ω, то есть А  Ω .
Само пространство элементарных событий Ω представляет собой
событие, происходящее всегда (при любом элементарном исходе ω), и
называется достоверным событием. Таким образом, Ω выступает в двух
качествах: множества всех элементарных исходов и достоверного события.
Ко всему пространству Ω элементарных событий добавляется ещё
пустое множество Ø, рассматриваемое как событие и называемое
невозможным событием.
Под операциями над событиями понимаются операции над
соответствующими множествами.
В начале 30-х годов XX века академик А.Н.Колмогоров разработал
подход, связывающий теорию вероятностей с современной метрической
теорией функций и теорией множеств, который в настоящее время является
общепринятым.
Сформулируем аксиомы теории вероятностей. Каждому событию А
поставим в соответствие некоторое число, называемое вероятностью
события А, то есть Р(А). Так как любое событие есть множество, то
вероятность события есть функция множества.
Вероятность события должна удовлетворять следующим аксиомам:
Аксиома 1 (свойство позитивности). Вероятность произвольного
события – неотрицательная величина P     0 .
Аксиома 2 (условие нормировки). Вероятность достоверного события
равна единице P     1 .
Аксиома 3 (правило сложения вероятностей). Если случайные события
А1 , А2 , , Аn - попарно несовместные, то вероятность суммы этих событий
равна сумме их вероятностей
 n
 n
P   Ak    P  Ak 
 k 1  k 1
33
Ai A j   при i  j.
2.2 Основные теоремы теории вероятностей
Теорема сложения вероятностей двух событий
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления:
(2.1)
Р( А  В )  Р( А )  Р( В )  Р( АВ ) .
Если события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и тогда формула (2.1)
примет вид
(2.2)
Р( А  В )  Р( А )  Р( В ) .
Вероятность суммы n
несовместных событий А1 , А2 , , Аn равна
сумме вероятностей этих событий
P A1  A2    An   P A1   P A2     P An  .
Сумма вероятностей событий
группу, равна единице:
(2.3)
А1 , А2 , , Аn , образующих полную
P A1   P A2     P An   1 .
Р  А  Р  А   1
(2.4)
Тогда вероятность противоположного события равна:
Р  А   1  Р  А .
(2.5)
Если обозначить Р А  р и Р  А   q , то q  1  p .
Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей
Пусть производится опыт со случайным исходом, в результате которого
могут произойти (или не произойти) какие то события А и В.
Условной вероятностью события В при наличии А (обозначается
РВ / А или Р А В  ) называется величина
P  B A 
P  AB 
,
P  A
(при этом предполагается, что P  A  0 ).
Условную вероятность P  B A можно трактовать, как вероятность
события В, вычисленную при условии (в предположении), что событие А
произошло.
34
На практике формулу условной вероятности обычно читают «в
обратном порядке», для чего её записывают в виде
(2.6)
Р  АВ   Р  В   Р  А / В  ;
Р  А  В   Р  А  Р  В / А .
То есть вероятность произведения (пересечения) двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при
условии, что первое событие произошло.
Сформулированное правило называется правилом умножения
вероятностей.
Очевидно, что если событие А достоверно (А=Ω), то Ω∙В=В и
Р(Ω∙В)=Р(В).
Если А и В независимые события, то
(2.7)
Р( А  В )  Р( А)  Р( В ) .
Следствие: Вероятность произведения n событий равна произведению
одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в
предположении, что все предыдущие наступили
P  A1  A2  A3   An   P  A1   P  A2 / A1   P  A3 / A1 A2    P  An / A1 A2 An 1  . (2.8)
Если A1, A2 , A3 , , An независимые, то
Р  A1  A2 
 An   Р  А1   Р  А2  
 Р  Аn  .
(2.9)
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению
вероятности произведения противоположных событий
(2.10)
Р  A1  A2   An   1  Р  A1  A2   An  .
Если А1 , А2 , , Аn - независимы, то
Р  A1  A2 
 An   1  Р  A1   Р  A2  
 Р  An 
(2.11)
или
Р  A1  A2 
 An   1  q1  q2 
 qn .
(2.12)
Если независимые события А1 , А2 , , Аn имеют одинаковую вероятность,
равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
выражается формулой
P  A  1  q n ,
где A  A1  A2 
(2.13)
 An .
Решение типовых примеров
2.1 Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.
Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова
вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор.
35
Решение.
Событие А – «попадание в первый сектор»
В – «попадание во второй сектор»
А и В – несовместимые, поэтому применима теорема сложения
вероятностей несовместимых событий. Тогда
Р А  В   Р А  РВ   0 ,4  0 ,3  0 ,7 .
2.2 Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями,
если вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым – 0,7,
если известно, что орудия стреляют независимо друг от друга.
Решение
Пусть событие А – поражение цели двумя орудиями.
В – поражение цели первым орудием;
С - поражение цели вторым орудием.
По условию задачи требуется определить вероятность совместного поражения
цели. Следовательно, A  B  C . А так как события В и С независимые, тогда
Р  А  Р( В  С )  Р( В)  Р(С ) , где Р( В )  0,8 , Р(C )  0,7 .
Значит, Р  А  0,8  0,7  0,56 .
2.3 В урне 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без
возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность, что все 3 шара голубые.
Решение
Событие А – все 3 извлеченные шара голубые.
А1 – первый шар голубой;
А2 – второй шар голубой;
А3 – третий шар голубой.
Извлеченные 3 шара должны быть одновременно голубые. Следовательно,
A  A1  A2  A3 . События А1 , А2 и А3 зависимые, тогда
Р  А  Р  А1  А2  А3   Р  А1   Р  А2 / А1   Р  А3 / А1 А2  ,
где
6 3
5
4 1
 , Р  А2 / А1   , Р  А3 / А1 А2    .
14 7
13
12 3
3 5 1 5
Р  А      0,055.
7 13 3 91
Р  А1  
Значит,
36
2.4 Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления
хотя бы одной шестерки?
Решение
Событие А – это появление хотя бы одной шестерки.
В – появление шестерки на первой кости,
С - появление шестерки на второй кости.
Тогда A  B  C , т.к. В и С совместные события (т.е. одновременно шестерки
могут выпасть на обеих костях). Значит
Р А  Р( В  С )  Р( В )  Р( С )  РВ  С  ,
где
1
1
1 1 1 1 11
Р  В   ; Р  С   ; Р  А      .
6
6
6 6 6 6 36
Иначе можно было решить эту задачу, используя формулу (11), где
1 5
1 5
Р  В   1  Р  В   1   ; Р  С   1  Р  С   1   , т.е.
6 6
6 6
5 5
25 11
.
Р  А  1  Р  В   Р  С   1    1 

6 6
36 36
Задачи для самостоятельного решения
2.5 В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова
вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?
2.6 Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.
Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова
вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор.
2.7 Найти вероятность
подбрасывании двух монет.
совместного
появления
цифр
при
2.8 В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга.
Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания
мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8. Найти
вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует
внимания мастера.
2.9 На одинаковых жетонах написаны 30 чисел от 1 до 30. Жетоны
помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон
с номером, кратным 2 или 3?
37
2.10 Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а
для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному
выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один
спортсмен.
2.11 В урне 6 зеленых и 4 красных шара. Из нее извлекают подряд два
шара. Какова вероятность того, что оба шара зеленые?
2.12 Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность
того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
2.13 Петя ищет работу. Он побывал на собеседованиях в банке и
страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0.4 , а в
страховой компании – в 0.7. Найти вероятность того, что Петя получит хотя бы
одно предложение работы.
2.14 Батарея из трех орудий ведет огонь по объекту, вероятность
попадания в который при одном выстреле из первого орудия 0,6, из второго 0,7,
из третьего 0,8. Зная, что каждое орудие стреляет один раз, найти вероятность
того, что объект будет поражен, если для этого достаточно двух попаданий.
2.15 Исследователь разыскивает нужную ему формулу в трех
справочниках. Вероятность того, что формула окажется в первом справочнике,
равна 0.8, во втором – 0.7, в третьем – 0.6. Какова вероятность того, что
формула окажется:
в) во всех трех справочниках;
а) только в одном справочнике;
б) только в двух справочниках;
з) только во втором справочнике;
2.16 Клиент пришел в банк за 15 минут до закрытия, чтобы оплатить
кредит через кассу. Причем ему необходимо, чтобы платеж прошел именно
сегодняшним числом. Перед ним ждут своей очереди еще несколько человек.
Вероятность того, что клиент успеет произвести оплату - равна 0,7, а
вероятность того, что операция не пройдет в этот же день - равна 0,08. Найти
вероятность своевременной оплаты платежа.
38
2.17 Какова вероятность того, что при десятикратном бросании
монеты герб выпадет 10 раз ?
2.18 Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два
шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?
2.19 Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг
от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания
рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7.
Найти: 1) вероятность того, что в течение часа ни один из трех станков не
потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа, по
крайней мере, один из станков не потребует внимания рабочего.
2.3 Формула полной вероятности
События образуют полную группу, если они в совокупности
описывают все возможные несовместные друг с другом исходы некоторого
испытания; сумма вероятностей событий полной группы равна 1. Например,
испытание - бросание игральной кости. Всего исходов испытания - шесть
(число выпавших очков от 1 до 6), каждый может произойти с вероятностью
1/6, сумма вероятностей всех исходов равна 1.
Теорема Пусть событие А может произойти только совместно с
одним из событий Н 1 , Н 2 , , Н n , образующих полную группу несовместных
событий. Тогда вероятность события А равна
Р А   PH i   P A / H i 
n
(2.14)
i 1
Эта
формула
Н 1 , Н 2 , , Н n
носит название формулы полной вероятности, где
- обычно называют гипотезами; они исчерпывают все
возможные предположения относительно исходов как бы первого этапа опыта,
событие А – один из возможных исходов второго этапа.
Решение типового примера
2.20 (О восстановлении сигнала). По каналу связи передается один из
двух возможных сигналов х1 и х2 , причем первый из них в два раза чаще
второго. Из-за наличия помех возможны искажения: вместо сигнала х1 на
приемном конце может быть принят х2 , и наоборот. Свойства канала связи
39
таковы, что сигнал х1 подвергается искажениям в 10%случаев, а сигнал х2 - в
40% случаев. Определить вероятность правильного приема сигнала.
Решение
Прием сигнала можно разбить на два этапа. Первый – выбор сигнала.
Имеется две гипотезы:
Н1 – передан сигнал х1;
Н2 – передан сигнал х2.
Второй этап – правильный прием сигнала.
Пусть А – событие, состоящее в правильном приеме сигнала.
События Н1 и Н2 образует полную группу, тогда
2
1
РН 1   ; РН 2   .
3
3
Найдем условные вероятности события А при реализации каждой
гипотезы Р А / Н 1   0,9; Р А / Н 2   0,6 .
Тогда по формуле (14) находим
2
Р  А   P  H i   P  A / H i  
i 1
2
1
1
1
 0,9   0,6  1,8  0,6    2, 4  0,8 .
3
3
3
3
2.4 Формула Байеса
Следствием формулы (14) является формула Байеса. Она позволяет
переоценить вероятности гипотез Нi , принятых до опыта и называемых
априорными («a priori», до опытные, лат.) по результатам уже проведенного
опыта, т.е. найти условные вероятности PH i / A , которые называют
апостериорными («a posteriori», после опытные).
Теорема: Пусть Н 1 , Н 2 , , Н n - система гипотез (образующих
полную группу событий) безусловные вероятности Р  Н1  , Р  Н 2  ,
, Р  Нn 
которых предполагаются известными.
Тогда условная вероятность события H i i  1,2 , , n  при условии, что
событие А произошло, задается формулой
P  Hi   P  A / Hi 
P  H i / A  n
.
 P  Hi   P  A / Hi 
i 1
40
(2.15)
Решение типовых примеров
2.21 По каналу связи передается один из двух возможных сигналов х1
и х2 , причем первый из них в два раза чаще второго. Из-за наличия помех
возможны искажения: вместо сигнала х1 на приемном конце может быть принят
х2, и наоборот. Свойства канала связи таковы, что сигнал х1 подвергается
искажениям в 10%случаев, а сигнал х2 - в 40% случаев. Если принят сигнал х1 ,
то какова вероятность, что этот же сигнал был передан?
Решение
Пусть А – событие, состоящее в приеме сигнала х1. Это событие может
произойти лишь вместе с одной из гипотез:
Н1 – передан сигнал х1;
Н2 – передан сигнал х2;
2
1
РН 1   ; РН 2   .
3
3
Найдем условные вероятности
Р А / Н 1   0 ,9; Р А / Н 2   0 ,4 .
Тогда по формуле (15)
2
 0,9
P  H1   P  A / H1 
3
P  H1 / В  

 0,82 .
Р  Н1  Р  А / Н1   Р  Н 2  Р  А / Н 2  2  0,9  1  0,4
3
3
Задачи для самостоятельного решения
2.22 В магазин поступили электрические лампочки одного типа,
изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го —
525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка
прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го
— 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были
перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более
1500 часов?
2.23 Имеются три одинаковые урны. В первой урне 2 белых и 1
черный шара, во второй – 3 белых и 1 черный шара, в третьей – 2 белых и 2
черных шара. Выбирается наугад урна и вынимается из нее шар. Найти
вероятность, что этот шар белый.
41
2.24 В группе 30 студентов, из них 5 отличников, 10 хорошистов, 3
двоечника, остальные учатся удовлетворительно. Вероятность сдачи экзамена
отличником - 0,95; хорошистом – 0,8; двоечником – 0,2; троечником – 0,6.
Какова вероятность того, что произвольно вызванный студент сдаст экзамен.
2.25 В доме 60 квартир, из них 16 трехкомнатных и 20 двухкомнатных,
остальные однокомнатные. 6 трехкомнатных и 10 двухкомнатных квартир
расположены на солнечной стороне. Какова вероятность получить двух и
трехкомнатную квартиру на солнечной стороне?
2.26 Среди 350 механизмов 160 – первого сорта, 110 – второго,
остальные третьего сорта. Вероятности брака среди механизмов первого,
второго и третьего сорта равны соответственно 0.01, 0.02, 0.04. Берется один
механизм. Определить вероятность того, что он исправен.
2.27 Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в
АУ, ОЗУ и остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность
обнаружить сбой в АУ, ОЗУ, остальных устройствах соответственно равна 0.8,
0.9, 0.9. Какова вероятность того, что возникший сбой в ЭВМ будет
обнаружен?
2.28 На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены
на 1-м заводе, 460—на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник
окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го
— 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова
вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?
2.29 На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах.
Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем
продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе р1 = 0,05, на
втором р2 = 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова
вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?
2.30 Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя
в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что
из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя
первая микросхема.
42
2.31 С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго –
30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей,
выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и
четвертым – 0,2%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь
не бракованная с 3-его станка.
2.32 Четыре стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания для
данных стрелков равны: 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы обнаружены 3
пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.
2.33 На конвейер сбрасываются одинаковые детали, произведенные
двумя автоматами. Производительность первого автомата вдвое больше
производительности второго автомата. Первый автомат производит 60%
деталей отличного качества, второй – 84%. Какова вероятность того, что взятая
наудачу отличная деталь произведена первым автоматом.
2.5 Последовательность независимых испытаний.
Теорема Если производится n независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его не
появления равна q  1  p , то вероятность того, что событие А произойдет m раз
определяется формулой Бернулли
Pn  m   Cnm  p m  q n  m ,
m  0,1, 2,
, n, где
Cnm 
(2.16)
n!
.
m! n - m !
Формулу (16) называют также биномиальной, т.к. ее правая часть представляет
собой (m + 1) член формулы бинома Ньютона
1   p  q   Cn0q n  Cn1 p1q n1 
n
 Cnm p mq n m 
 Cnn p n .
В прикладных задачах вероятность события А часто бывает не постоянна, а
меняется от испытания к испытанию. В этих случаях рассматривают
обобщенную схему Бернулли или (обобщенную полиномиальную
мультиномиальную схему).
Вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях появится ровно
m раз, равна коэффициенту при zm в выражении производящей функции
n  z    q1  zp1  q2  zp2  
43
n
  qn  zpn    qi  pi z  ,
i 1
(2.17)
где pi - вероятность появления события А в i -м опыте, qi  1  pi .
Опыт, состоящий в п - кратном повторении одинаковых независимых
испытаний, в каждом из которых может произойти одно и только одно из т
несовместных событий A1 ,..., Am , с соответствующими вероятностями
p1, p2 ,
, pm .
Теорема Вероятность P  n1, , nm  того, что в п испытаниях событие
произойдет ровно n1 раз,..., событие
 n1  ...  nm  n  , определяется выражением
A1
P  n1,
, nm  
An
n!
p1n1
n1! nm !
произойдет ровно nm
nm
.
pm
Вероятность P  n1, , nm  можно получить как коэффициент при x1n1 ,

разложении полинома p1 x1 
 pm xm
раз
(2.18)
, xmnm в
 по степеням.
n
Число k0 , которому при заданном n соответствует максимальная вероятность
Pn k 0  , называется наивероятнейшим числом появления события А. При
заданных n и p это число определяется неравенствами
пp  q  k0  пр  р .
(2.19)
Решение типовых примеров
2.34 Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятность
попадания при одном выстреле равно 0,7. Найти вероятность того, что при 3
выстрелах произойдет:
1) ровно 2 попадания;
2) не менее 2-х попаданий;
3) хотя бы одно попадание;
4) найти вероятность двух попаданий в случае, если вероятности
попадания при разных выстрелах различны: р1 = 0,7; р2 = 0,8; р3 = 0,9.
Решение
1) Так как р1 = 0,7, то q  1  p  1  0,7  0,3 . По условию n = 3, m = 2,
тогда по формуле (16)
P3  2   C32  0,7 2  0,331 
3!
0,7 2  0,3  3  0,49  0,3  0,441 .
2!1!
2) p  0,7, q  0,3, n  3, m  2 , значит
44
P3  m  2   P3  2   P3  3  C32  0,7 2  0,3  C33  0,73  0,30 
 0,441  0,73  0,441  0,343  0,784
3) p  0,7, q  0,3, n  3, m  1, значит
Pm1,3  P3 1  P3  2   P3  3 или P3  m  1  1  P3  0 
Pm 1,3  1  q3  1  0,027  0,973 .
4) Вероятности при разных выстрелах различна, то по формуле (2.17)
производящая функция имеет вид
3  Z    0,3  0,7 z  0, 2  0,8 z  0,1  0,9 z   0,504 z 3  0,398 z 2  0,092 z  0,06 .
Откуда находим вероятности двух попаданий
P3 2  0,398.
2.35 В группе студентов 55% отличников, 25% хорошистов, 15%
троечников и 5% двоечников. Какова вероятность того, что среди 9 наудачу
отобранных студентов этой группы окажутся 4 отличника, 3 хорошиста, 2
троечника и 1 двоечник.
Решение
В данном случае рассматривается полиноминальная формула (2.18) в
которой
n  9, n1  4,
р1  0,55,
n 2  3,
р 2  0,25,
n3  2,
n 4  1, m  4
р 3  0,15,
р 4  0,05
Тогда
Р  4,3,2,1 
9!
 0,554  0,253  0,152  0,051  0,002 .
4!3!2!1!
2.36 Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет
30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно
отобранной партии из 75 изделий.
Решение
По условию n  75, p  0,3, q  1  0,3  0,7, составляем двойное неравенство
(19)
45
75  0,3  0,7  k0  75  0,3  0,3
21,8  k0  22,8
Значит, k0 = 22.
Задачи для самостоятельного решения
2.37 . Вероятность выиграть в книжной лотерее по одному билету 0.6.
Какова вероятность того, что из четырех купленных билетов: а) один с
выигрышем; б) три с выигрышем; в) хотя бы один с выигрышем.
2.38 Среди 12 проверяемых ревизором договоров 7 оформлены
неправильно. Найти вероятность того, что среди 5 отобранных произвольным
образом для проверки договоров оказались неправильно оформленными: а)
ровно три; б) не менее трех договоров.
2.39 Производится три выстрела с самолета по самолету. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,4. Для поражения самолета достаточно
двух попаданий; при одном попадании самолет поражается с вероятностью 0,6.
Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
2.40 Четыре стрелка независимо друг от друга производят по одному
выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6 и для четвертого – 0,5.
Найти вероятность того, что в мишени будет равно 2 пробоины, 4 пробоины, не
менее 2-х пробоин.
2.41 Банк рассылает последовательно 4 SMS - сообщения своим
клиентам, живущим в районах с плохо доступной сетью. Вероятность
получения каждого из них не зависит от того, получены ли остальные SMS-ки,
и соответственно равна 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность приема трех
SMS-сообщений.
2.42 Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном
выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка
– 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2.
Стрелок производит 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что при
46
этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую зону и 1
попадание в третью зону.
2.43 При игре в снежки на детской площадке четыре мальчика
бросают по одному снежку по мишени в виде снеговика. Причем каждый
ребенок находится в одинаково неудобной позиции для попадания в цель
(мешают качели, лестницы, другие играющие дети). Вероятность, что снежок
встретит помеху и не долетит до цели равна 0,2, вероятность попадания снежка
в цель (если он не встретил на пути помеху ) равна 0,7. Определить вероятность
того, что в цель попадут 3 снежка.
2.44 Вероятность выигрыша на бирже равна 1/4. Определить
вероятность того, что из пяти дней игры на бирже хотя бы один будет
выигрышным.
2.45 Вероятность выигрыша по облигациям равна 2/3. Куплено 3
облигации. Найти вероятность проигрыша.
2.46 В мастерской работают 3 мотора. Для каждого мотора
вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,6. Найти вероятность
того, что к обеденному перерыву перегреются: а) не менее 2-х моторов; б) хотя
бы один мотор.
47
Самостоятельная работа к главам 1, 2
Вариант № 1
1. Какова вероятность, что при двукратном бросании игральной кости,
шестерка выпадет хотя бы раз.
2. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо.
Вероятности безотказной работы первого, второго и третьего элементов
соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно
будут работать только два элемента.
3. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет
первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором
станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены 2 детали, на
втором 3. Найти вероятность того, что она будет изготовлена на первом
станке.
4. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее:
выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничья во
внимание не принимается).
Вариант № 2
1. Из урны, содержащей 3 белых, 2 чёрных и 5 красных шаров вынули сразу
3 шара. Какова вероятность того, что они все разных цветов.
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность
того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
3. В магазин поступили часы, 60% которых поставил первый завод, 25% второй и 15% - третий. Какова вероятность того, что купленные наудачу
часы изготовлены на первом или втором заводе.
4. Монету бросили 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет менее
2-х раз.
48
Вариант № 3
1. Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирают трех делегатов. Считая, что
каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть
выбран, найти вероятность того, что выберут двух женщин и одного
мужчину.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает,
равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти
вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
3. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с
заболеванием К, 30%- с заболеванием L, 20%-с заболеванием М.
Вероятность полного излечения болезни К равно 0,7; для болезней L и
М эти
вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной,
поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность
того, что этот больной страдал заболеванием К.
4. Найти вероятность того, что событие А появляется не менее трех раз в
четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события
А в одном испытании равна 0,7.
Вариант № 4
1. Из урны, содержащей 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимается 5 шаров.
Какова вероятность, что среди них будет 2 чёрных и 3 белых шара.
2. В электрическую цепь последовательно включены три элемента,
работающие независимо один от другого. Вероятность отказов первого,
второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти
вероятность того, что тока в цепи нет.
3. В ящике содержится 15 деталей завода №1; 17 деталей – завода №2; 22
детали – завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного
качества равна 0,7; для деталей завода №2 и №3 – 0,9. Найти вероятность
того, что:
а) наудачу извлеченная деталь не имеет отличного качества;
б) деталь отличного качества с завода №3.
4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более 2х мальчиков. Вероятность рождения мальчика принята равной 0,51.
49
Вариант № 5
1. В первом ящике находятся шары с номерами 1,2,3,4,5. Во втором ящике –
шары с номерами 6,7,8,9,10. Из каждого ящика вынули по одному шару.
Какова вероятность того, что сумма номеров не больше 11?
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом,
втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8;
0,9.Найти вероятность того, что деталь содержится не менее чем в двух
ящиках.
3. В команде 50% стрелков попадают в мишень с вероятностью 0,5; 30% - с
вероятностью 0,7; 20% - с вероятностью 0,6. Определить вероятность
того, что попавший в мишень стрелок принадлежит ко второй группе.
4. Вероятность того изготовления на автоматическом станке стандартной
детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых
деталей не менее 4-х окажутся стандартными.
Вариант № 6
1. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из
конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что
среди них окажется нужная.
2. Рабочий обслуживает три станка, работающие независимо друг от друга.
Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует
внимания рабочего, равна 0,95, для второго – 0,9, для третьего – 0,8.
Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок
потребует внимания рабочего.
3. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом.
Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки
с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического
прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки.
Найти вероятность того, что винтовка была с оптическим прицелом.
4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что
событие А появится хотя бы 2 раза.
50
Вариант № 7
1. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу
отобраны 9 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников.
2. В куче картофеля 20% клубней, пораженных болезнью. Какова
вероятность того, что среди трех наудачу взятых клубней хотя бы один
пораженный.
3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому
же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,1; а легковая - 0,2. К бензоколонке подъехала для
заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
4. По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания
в цель при одном выстреле равна 0,4. Для получения зачета по стрельбе
требуется не менее 3 – х попаданий. Найти вероятность получения зачета.
Вариант № 8
1. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При
включении устройства включается случайным образом 2 элемента. Найти
вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
2. Клиенту банка необходимо в первом окне получить консультацию по
кредитной карте, во втором - оплатить квитанцию и в третьем - получить
консультацию по кредиту. Вероятность того, что его успеют обслужить
до закрытия банка в первом окне, равна 0,8, во втором - 0,7, в третьем 0,9. Найти вероятность того, что клиента обслужат в двух окнах.
3. Известно, что 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту.
Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную
продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную - с вероятностью 0,06.
Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный
контроль, удовлетворяет стандарту.
4. По цели производится независимый пуск 6 снарядов. Вероятность
попадания в цель для каждого снаряда равна 0,4. Найти вероятность того,
что в цель попадет не менее 2 – х снарядов.
51
Вариант № 9
1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того,
что среди взятых наудачу 5 билетов, хотя бы один выигрышный.
2. Налоговая служба проверяет три торговые точки. Вероятность того, что
за неуплату налогов будет оштрафована первая точка, равна 0,4, вторая –
0,7, третья – 0,5. Найти вероятность того, что будет оштрафована одна
торговая точка.
3. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 – на
заводе №2 и 18 – деталей №3. Вероятность того, что деталь,
изготовленная на заводах №1,2,3 отличного качества соответственно
равна 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь
окажется отличного качества, изготовлена на втором заводе.
4. Вероятность
получения
удачного
результата
при
проведении
2
химического опыта равна . Найти вероятность того, что из 4 опытов
3
удачными будут не менее двух.
Вариант № 10
1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик
наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные
детали окажутся окрашенными.
2. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что
студент ответит на первый и второй вопрос – 0.9, на третий вопрос – 0.8.
Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого
необходимо ответить на все вопросы.
3. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4
полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого
расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата – 0,8.
Курсант производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти
вероятность того, что до окончания расчета автомат не выйдет из строя.
4. В городе 5 коммерческих банков. У каждого банка вероятность
обанкротиться в течение года составляет 1/3. Чему равна вероятность того,
что в течение года обанкротятся не менее трех банков.
52
Вариант № 11
1. Среди изготовленных 15 деталей имеется 5 нестандартных. Определить
вероятность того, что взятые наугад 3 окажутся стандартными.
2. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака
на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02.
Найдите вероятность получения детали без брака после 3-х операций,
предполагая, что получение брака на отдельных операциях является
независимым событием.
3. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во
второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется
стандартной, для первой бригады равна 0,7, для второй – 0,8. Определить
вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет
стандартной.
4. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев.
Какова вероятность того, что из 5 больных поправится не менее 4?
Вариант № 12
1. В партии готовой продукции из 10 изделий имеется 7 изделий
повышенного качества. Наудачу отбираются шесть изделий. Какова
вероятность того, что 4 из них повышенного качества?
2. В телестудии три телевизионных камеры. Вероятности того, что в данный
момент камера включена, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти
вероятность того, что в данный момент включены не более одной камеры.
3. Двигатель может работать в нормальном и форсированном режимах. За
время работы двигателя нормальный режим наблюдается в 80% , а
форсированный – в 20%. Вероятность выхода из строя при нормальном
режиме равно 0,01, а при форсированном – 0,03. Найти вероятность
выхода двигателя из строя за время работы в форсированном режиме.
4. Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две
стандартные, если вероятность детали быть стандартной, равна 0,9.
53
Вариант № 13
1. Из группы выпускников экономического факультета, 12 занимаются
научной работой. Какова вероятность того, что из 10 случайно
отобранных выпускников 6 занимаются научной работой?
2. Вероятности попадания в цель первым стрелком, равна 0,7, вторым – 0,5,
третьим – 0,4. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы один
стрелок.
3. Магазин получает товар от трех поставщиков: 55% товара поступает от
первого, 20% - от второго, 25% - от третьего. Продукция, поступающая от
первого поставщика, содержит 5% брака, от второго – 6%, от третьего 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о
низком качестве приобретенного товара. Найти вероятность того, что
товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго
поставщика.
4. Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41
размера, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести покупателей,
по крайней мере, двум необходима обувь 41 размера.
Вариант № 14
1. Устройство состоит из пяти элементов, из которых 2 изношены. При
включении устройства включаются случайным образом 2 элемента.
Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные
элементы.
2. . Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного
продукта по телевизору, равна 0,46, на рекламном стенде - 0,6. Чему
равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу.
3. Вероятность того, что недельный оборот продавца мороженым превысит
2000 рублей, при солнечной погоде равна 80%, при переменной
облачности – 50%, при дождливой погоде – 10%. Найти вероятность того,
что на следующей неделе оборот превысит 2000 руб., если вероятность
солнечной погоды в данное время года 20%, вероятность переменной
облачности и дождливой погоды – 40%.
4. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев.
Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся 4?
54
Вариант № 15
1 Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников были
выбраны 3 студента на конференцию. Какова вероятность того, что среди
выбранных – суденты разных курсов?
2 В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во
второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется
стандартной, для первой бригады равна 0,7, для второй – 0,8. Взятая
наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность
того, что она изготовлена второй бригадой.
3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные
органы, 20% - другие банки, остальные – физические лица. Вероятности
того, что взятый кредит не будет возвращен, составляет 0,01; 0,05; 0,2
соответственно.
Определить
вероятность
невозврата
кредита
физическими лицами.
4. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равно 0,1.
Найти вероятность того, что сообщение из 9 знаков содержит не более
двух искажений.
Вариант № 16
1. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Наудачу отбираются 5 шаров.
Определить вероятность того, что среди выбранных 3 шара будут
черными.
2. В блок входят три радиолампы. Вероятность выхода из строя в течение
гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова
вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя хотя
бы одна радиолампа.
3. Партия электрических лампочек на 25% изготовлена первым заводом, на
35% - вторым, на 40% - третьим. Вероятность выпуска бракованных
лампочек соответственно равны: 3%, 2%, и 1%. Какова вероятность того,
что бракованная лампочка окажется изготовлена третьим заводом?
4. В мастерской работают 8 моторов. Для каждого мотора вероятность
перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что
к обеденному перерыву перегреются 4 мотора.
55
Вариант № 17
1. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают
3 карандаша. Какова вероятность, что все они разных цветов.
2. Вычислительная машина состоит из 4-х блоков. Вероятность безотказной
работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5,
третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение
времени Т проработают не менее трех блоков.
3. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил
35% всех деталей, второй – 40%, третий – всю остальную продукцию.
Брак в их продукции составляет: у первого – 2%, у второго – 3%, у
третьего – 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась
бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим
рабочим.
4. При проведении зачета студенту предлагается 5 вопросов. Вероятность,
что студент правильно ответит на один вопрос, равна 0,6. Для получения
зачета необходимо правильно ответить не менее чем на 3 вопроса. Найти
вероятность получения зачета.
Вариант № 18
1. Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность
того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки?
2. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник,
собранный первым рабочим, - высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8,
третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных
каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут:
а) все подшипники; б) два подшипника.
3. В первой урне 10 деталей, из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из
которых 5 стандартных. Найти вероятность, что извлеченная стандартная
деталь будет из второй урны.
4. Вероятность выигрыша по облигациям равна 0,25. Какова вероятность
человеку, купившему 6 облигаций, выиграть не более чем по трем из
них?
56
Вариант № 19
1. Устройство состоит из 7 элементов, из которых 3 изношены. При
включении устройства включаются случайным образом 4 элемента.
Какова вероятность, что 2 из них изношены?
2. В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них
вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно
равны: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены: а) два
электродвигателя; б) три электродвигателя.
3. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в
течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,1. Известно,
что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что
вышла из строя первая микросхема?
4. Производится 5 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания
в цель при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность хотя бы одного
попадания.
Вариант № 20
1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того,
что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный.
2. На участке кросса для мотоциклиста - гонщика имеется три препятствия.
Вероятность успешного прохождения первого препятствия равно 0,4;
второго – 0,5; третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления
не менее двух препятствий.
3. На конвейер сбрасываются одинаковые детали, произведенные двумя
автоматами. Производительность первого автомата вдвое больше
производительности второго автомата. Первый автомат производит 60%
деталей отличного качества, второй 84%. Какова вероятность того, что
взятая наудачу отличная деталь произведена первым автоматом?
4. Вероятность брака изделия на некотором производстве – 0,3. Найти
вероятность того, что среди 4 отобранных для проверки будет не более 2
бракованных.
57
Вариант № 21
1. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады
разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди
обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
2. Вероятность того, что выпускник вуза пройдет успешно собеседование в
первую фирму, равна 0,9, во вторую – 0,7,третью – 0,6. Вычислить
вероятность того, что кандидатура выпускника подойдет не менее чем в
две фирмы.
3. В группе 30 студентов, из них 5 отличников, 10 хорошистов, 3 двоечника,
остальные учатся удовлетворительно. Вероятность сдачи экзамена
отличником 0,95; хорошистом 0,8; двоечником 0,2; троечником 0,6.
Какова вероятность того, что троечник сдаст экзамен?
4. Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 3% бракованных.
Найти вероятность того, что среди взятых наугад из шести деталей не
более 2-х бракованных.
Вариант № 22
1. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Наудачу отбираются 5 шаров.
Определить вероятность того, что среди отобранных 3 белых и 2 черных.
2. В трех коробках одинаковые по виду карандаши. В первой 5 синих и 7
красных. Во второй 4 синих и 6 красных. В третьей 7 синих 5 красных.
Достали 3 карандаша. Какова вероятность того, что не менее двух из них
синие?
3. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием,
отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции
признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и
нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что
изделие, прошедшее контроль качества отвечает стандарту.
4. Вероятность выполнить все задания в конкурсе для каждого из 14
участников 0,4. найти вероятность того, что не менее 3-х участников
выполнят все задания.
58
Вариант № 23
1. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают
3 карандаша. Какова вероятность того, что среди них 2 синих и 1 зеленый
карандаш.
2. Налоговая служба проверяет три торговые точки. Вероятность того, что
за неуплату налогов будет оштрафована первая точка, равна 0,7, вторая –
0,8, третья – 0,6. Найти вероятность того, что будет оштрафовано не
более одной торговой точки.
3. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30
деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6
стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из
второго ящика стандартная?
4. Вероятность попадания в цель равно 0,5. Сбрасывают по одной 5 бомб.
Определить вероятность того, что будет не менее одного попадания.
Вариант № 24
1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50.
Найти вероятность того, что среди 3-х наугад выбранных вопросов
студент знает 2 вопроса.
2. Вероятность того, что при проверке службой санэпидемнадзора трех
магазинов будет закрыт первый, равна 0,7; второй - 0,8; третий - 0,9.
Найти вероятность того, что закроют не менее, чем два магазина.
3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника –
0,9; для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того,
что наудачу выбранный лыжник выполнит норму?
4. Завод выпускает 75% продукции первого сорта. Найти вероятность того,
что среди 6 отобранных не менее 4 изделий – первого сорта.
59
Вариант № 25
1. Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 6 карт. Какова вероятность
того, что будут вытащены 4 дамы и 2 туза?
2. Стрелок произвел 4 выстрела по удаляющейся от него цели, причем
вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после
каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что
цель будет поражена не менее трех раз.
3. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные
детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,01, для второго –
0,02, для третьего – 0,03. Обработанные детали складываются в один
ящик. Производительность первого станка в 2 раза больше, чем второго, а
третьего в 3 раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что
взятая наугад деталь будет бракованной?
4. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна
1
. Найти
7
вероятность того, что имея 5 лотерейных билетов, можно выиграть хотя
бы по одному билету.
Вариант № 26
1. Из 6 первокурсников, 5 второкурсников и 8 третьекурсников были
выбраны 3 студента на конференцию. Какова вероятность того, что среди
выбранных студентов все с разных курсов?
2. При некоторых определенных условиях вероятность устроиться на работу
выпускнику вуза в банк равна 0,4;в престижную фирму - 0,5; на
предприятие – 0,6. Сделано по одной попытке. Найти вероятность, что
выпускник устроится на работу.
3. Запасная деталь может находиться в одной из трех партий с вероятностями
0,2; 0,5 и 0,3 соответственно. Вероятности того, что деталь проработает
положенное время без ремонта, равна соответственно 0,9; 0,8 и 0,7.
Определить вероятность того, что деталь проработавшая положенное
время, взята из второй партии.
4. В магазин вошло 7 покупателей, вероятность того, что покупатель
совершит покупку 0,4. Найти вероятность того, что не менее трех
покупателей сделают покупки.
60
Вариант № 27
1. В группе 12 студентов. Известно, что 7 из них сдали экзамен по теории
вероятностей на хорошо и отлично. Наудачу отбираются 5 студентов.
Какова вероятность того, что среди них 3 сдали экзамен на хорошо и
отлично.
2. В коробках находятся детали: в первой – 20, из них 13 стандартных; во
второй – 30, из них 26 стандартных; в третьей – 20, из них 15
стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти
вероятность того, что не более 2-х деталей окажутся нестандартными.
3. Двигатель может работать в нормальном и форсированном режимах. За
время работы двигателя нормальный режим наблюдается в 80% , а
форсированный – в 20%. Вероятность выхода из строя при нормальном
режиме равно 0,01, а при форсированном – 0,03. Найти вероятность
выхода двигателя из строя за время работы в форсированном режиме.
4. Вероятность того, что наугад взятый рабочий бригады выполнит норму
выработки, равна 0,9. Найти вероятность того, что, по крайней мере, двое
из пяти рабочих, входящих в бригаду, выполнят норму выработки.
Вариант № 28
1. Из партии, состоящей из 20 телевизоров, из которых 5 неисправных,
случайным образом для проверки отбираются 3 телевизора. Какова
вероятность того, что среди отобранных 2 неисправных.
2. Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками.
Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом,
втором, третьем справочниках равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти
вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся хотя
бы в одном справочнике.
3. Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и две трети –
деталь В. При обработке детали А он простаивает 10% времени, а детали
В – 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим при
обработке детали А?
4. Вероятность изготовления первосортной детали на некотором станке
равно 0,75. Какова вероятность того, что из 5 изготовленных деталей не
менее 4 деталей первосортных.
61
Вариант № 29
1. Из 100 билетов выигрышными являются 30. Определить вероятность
того, что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный.
2. Для одобрения кредита необходимо обязательное выполнение трех
пунктов. Вероятность того, что будет нарушен первый пункт, равна 0,5;
второй - 0,6; третий - 0,8. Определить вероятность, что кредит не одобрят.
3. В трех коробках одинаковые по виду карандаши. В первой 5 синих и 7
красных. Во второй 4 синих и 6 красных. В третьей 7 синих 5 красных.
Достали два синих карандаша. Какова вероятность того, что карандаши
были из первой и второй коробки.
4. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 5 выстрелов хотя бы один поразит мишень.
Вариант № 30
1. Устройство состоит из пяти элементов, из которых 2 изношены. При
включении устройства включаются случайным образом 2 элемента.
Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные
элементы.
2. В телестудии три телевизионных камеры. Вероятности того, что в данный
момент камера включена, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти
вероятность того, что в данный момент включены не более одной камеры.
3. Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС равны
соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Вероятность соединения абонентов в случае
подключения для первой АТС – 0,25, для второй – 0,4, для третьей – 0,35.
Соединение произошло. Найти вероятность того, что подключилась
третья АТС.
4. Вероятность ежедневного нормального расходования воды в городе
принимается равной 0,8. Найти вероятность того, что 2 дня в неделю
расход воды будет нормальным.
62
Глава3 Случайные величины и векторы
3.1 Случайные величины и векторы
3.1.1 Понятие случайной величины и случайного вектора
Случайной величиной называют числовую величину, значение
которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в
результате опыта со случайным исходом. Множество всех значений, которые
случайная величина может принимать, называют множеством значений этой
случайной величины.
Или, под случайной величиной понимается величина, которая в
результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение (но
только одно) причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.
Случайную величину будем обозначать X , Y , Z ,..., а их возможные
значения x1 , x2 ,...; y1 , y2 ,... .
Совокупность
случайных
величин
X1,
X 2,
, Xn
называют
многомерной (п-мерной) случайной величиной, или п - мерным случайным
вектором. При этом сами случайные величины X 1 , X 2 , , X n называют
координатами случайного вектора. В частности, при п = 1 говорят об
одномерной, при п = 2 - двумерной случайной величине (или двумерном
случайном векторе). Обозначается
X  ( X1,
, X n ), X  ( X1, X 2 );
( X ,Y );
( X ,Y , Z ).
Случайную
величину X называют дискретной (ДСВ), если
множество её возможных значений конечно или счётно, т.е. все возможные
значения ДСВ можно перенумеровать.
Существуют и так называемые недискретные случайные величины
которые могут принимать любые значения из некоторого конечного или
бесконечного промежутка ( в дальнейшем мы рассмотрим такие случайные
величины, называемые непрерывными случайными величинами (НСВ)).
Кроме дискретных и непрерывных случайных величин встречаются
также и такие, которые наряду с непрерывным заполнением некоторого
промежутка могут принимать и отдельные дискретные значения. Такие
величины называются случайными величинами смешанного типа.
Системой случайных величин (случайным вектором) называется
множество двух или более случайных величин, рассматриваемых как единое
целое при исследовании того или иного явления.
63
Система может быть образована из дискретных или непрерывных или
дискретных и непрерывных (так называемые смешанные системы) случайных
величин.
3.1.2 Закон распределения случайной величины и случайного вектора
Законом распределения случайной величины называется всякое
соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон можно
задать аналитически, таблично, графически.
Законом распределения системы случайных величин называется
соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений
системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих
областях.
Так же как и для одной случайной величины, закон распределения
системы случайных величин может быть задан в различных формах.
3.1.3 Ряд распределения, многоугольник распределения
Простейшей формой задания закона распределения ДСВ X является
ряд распределения.
Рядом распределения вероятностей ДСВ X называют таблицу в
которой перечислены все возможные значения случайной величины и
соответствующие им вероятности pi  P  X  xi  того, что случайная величина
примет эти значения.
xi
x1
x2
pn
pi
p1  P  X  x1 
p2  P  X  x2 
pn  P  X  xn 
Так как события X=x1, X=x2,…, X=xn ,состоящие в том, что в
результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения
х1, х2,...,хп, являются несовместными и единственно возможными (т.к. в таблице
перечислены все возможные значения случайной величины), образуют полную
группу событий, то сумма их вероятностей равна 1.
n
n
 P( X  x )   p
i 1
i
i 1
i
 1.
Для наглядности ряд распределения представляют графически. Для
этого все возможные значения случайной величины откладывают по оси 0х, а
64
по оси 0у - соответствующие вероятности. Вершины полученных ординат
обычно соединяют отрезками прямых.
Соединение вершин ординат делается только в целях наглядности, т.к. в
промежутках между x1 и x2 , x2 и x3 и т.д. случайная величина X значений
принять не может, поэтому вероятности ее появления в этих
промежутках равны нулю.
pi
x1 x2
0
xn xi
Такая фигура называется многоугольником распределения.
Многоугольник распределения, также как и ряд распределения
является одной из форм задания закона распределения ДСВ Х.
Закон распределения случайного вектора может быть задан в
различных формах. Одной из форм задания двумерной дискретной случайной
величины (X,Y) является таблица распределения.
xi
x1
x2
y1
p11
p21
pn1
y2
p12
p22
pn 2
ym
p1m
p2m
pnm
yi
xn
Такая таблица называется таблицей (матрицей) распределения
системы дискретных случайных величин с конечным числом возможных
значений.
Все
возможные
события
X  x ,
i
Y  y j  , i  1, n;
составляют полную группу несовместных событий, поэтому
65
__
__
j  1, m
 p  P  X  x ,
ij
i, j
i
Y  y j   1.
i, j
Итоговые столбец или строка таблицы распределения представляют
соответственно распределение одномерных составляющих  xi , pi  или  y j , p j  .
Чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что
одномерная СВ приняла определенное значение, надо просуммировать
вероятности pij из соответствующей этому значению строки (столбца)
данной таблицы.
Если зафиксировать значение одного аргумента, например, положить
Y  yi , то полученное распределение СВ Х называется условным
распределением X при условии Y  y j .
Вероятности
P  xi / y j 
этого
распределения
будут
условными
вероятностями события X  xi , найденными при условии, что событие Y  y j
произошло.
Из определения условной вероятности
p  xi / y j  
p  X  xi ;Y  y j 
p Y  y j 

pij
pj
.
(3.1)
Аналогично условное распределение СВ У при условии X  xi равно
P  y j / xi  
P  X  xi ;Y  y j 
P  X  xi 

pij
pi
.
(3.2)
3.2 Формы закона распределения
3.2.1 Функция распределения и её свойства
Функцией распределения СВ X называется функция F(х)
выражающая для каждого х вероятность того, что СВ X примет значение
меньше х:
F(х)=Р(X<х).
(3.3)
Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией
распределения или интегральным законом распределения.
Для ДСВ X, которая может принимать значения x1 , x2 , , xn , функция
распределения будет иметь вид
F  x    P  X  xi  ,
xi  x
66
(3.4)
где символ
под знаком суммы обозначает, что суммирование
xi  x
распространяется на все те возможные значения СВ, которые по своей
величине меньше аргумента х.
Основные свойства функции распределения
Свойство 1. 0  F  x   1.
Свойство 2. Если    , то F     F   .
Свойство 3. p   x     F     F   .
Свойство 4. F     lim F  x   0;
x 
F     P  X     0;
(3.5)
F    lim F  x   1;
x 
F     P  X     1.
Функцией распределения случайного вектора называется функция
двух аргументов F(х, у), равная вероятности совместного выполнения двух
неравенств X < х и Y < у, т.е.
F(х, у)= Р ( X < х; Y < у ).
(3.6)
Свойства функции распределения случайного вектора
1. 0  F  x, y   1.
2. При x2 > x1, F( x2, у)  F( x1, у), при y2> y1 , F(x,у2)  F(x,у2).
3. lim F  x, у   F1  х  ;
lim F  x, у   F2  х  .
x
4. lim F  x, y   1.
x
x 
y 
5. F  ,  F x,  F  ,  0.
6. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный
прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям,
вычисляется по формуле.
у
у 2  х1; у2 
у1
0
 х2; у2 
 х1; у1 
 х2; у1 
x1
x2
67
x
P  x1  X  x2 , y1  Y  y2   F ( x2 , y2 )  F  x1 , y2   F  x2 , y1   F  x1 , y1  .
(3.7)
3.2.2 Непрерывная случайная величина.
Плотность вероятности и её свойства
Случайная величина X называется непрерывной(НСВ), если ее
функция распределения не только непрерывна в любой точке, но и
дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек, где она теряет
излом.
Вероятность любого отдельного значения НСВ равна нулю:
Р{X=α}=0, для любого α.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для
непрерывных СВ, введем понятие плотности распределения или плотности
вероятности.
Предел отношения вероятности попадания СВ X на интервал,
содержащий точку х, к длине этого интервала, когда ∆х→0, называется
плотностью распределения вероятности СВ в точке х и обозначается f(x).
f  x   F  x  .
(3.8)
Вероятность попадания СB X на (  ,  )равна интегралу

P    X      f  x  dx .
(3.9)

Функция распределения
распределения f(x), имеет вид
F(х),
выраженная
F  x   P  X  x   P    X  x  
через
плотность
x
 f  x  dx.
(3.10)

1.
Основные свойства плотности вероятности
f  x  0 .

2.
 f  x  dx  1.
(3.11)

Если
интервал возможных значений СВ имеет конечные пределы
(а, в), то f  x   0 вне интервала
в
 f  x  dx  1.
(3.12)
а
68
Плотностью вероятности двумерной СВ называется предел
отношения вероятности попадания случайной точки (Х,У) в элементарный
прямоугольник к площади прямоугольника, когда прямоугольник стягивается в
точку , т.е.
P  x  X  x  x; y  Y  y  y 
.
f  x, y   lim
x 0

x

y
y 0
и представляет собой вторую смешанную частную производную
функции F(х,у), т.е.
 2 F  x, y 
.
f  x, y  
xy
(3.13)
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область Д
плоскости ХОУ
P   X , Y   Д    f  x, y  dxdy .
(3.14)
Д
В частности, если область Д - прямоугольник, определяемый
неравенствами а  Х  b, c  Y  d , то
b
d
P( а  Х  b, c  Y  d )   dx  f  x, y  dy .
a
(3.15)
c
С помощью формулы (3.15) можно найти связь между функцией
распределения F(х, у) и плотностью вероятности f (х, у) случайного
вектора (X, У)
y
x
F ( x, y ) 
 dx  f  x, y  dy .

(3.16)

Основные свойства плотности вероятности случайного вектора
1. f  x, y   0 .

2.

 dx  f x, y dy  1.

(3.17)

3.2.3 Условные законы распределения, зависимые и независимые
случайные величины
69
Условным законом распределения одной из одномерных
составляющих двумерной случайной величины (Х, Y) называется её закон
распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла
определенное значение (или попала в какой-то интервал).
Так как F  x,   F1  x ; F ; y   F2  y  , то
x


 F1  x    dx  f  x, y dy;




y


 F2  y    dx  f  x, y dx.



(3.18)




f
x

 1
 f x, y dy;




 f  y   f  x, y dx.

 2


(3.19)
Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон
распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла
другая.
Если СВ X и Y независимы, то
(3.20)
pij  pi p j ; F  x, y   F1  x  F2  y  ; f  x, y   f1  x  f 2  y .
Если условие (3.20) не выполняется то СВ называются зависимыми.
Если случайные величины, образующие систему зависимы, то для
нахождения закона распределения системы, требуется ещё знать так
называемый условный закон распределения одной из них.
Условным законом распределения одной из величин (Х, Y), входящих
в систему, называется её закон распределения, вычисленный при условии, что
другая СВ приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал ).
Условный закон распределения можно задавать как функцией
распределения так и плотностью вероятностей.
Условную плотность распределения случайной величины Х при
условии, что случайная величина Y приняла определенное значение у, будем
обозначать f(х/у).
 y   ff x,yy ;
 x   f f x,xy  .
f y
f x
2
1
или
70
(3.21)
 y 
f x
f  x, y 

 f  x, y  dx
;
 x
f  x, y 
f y


 f  x, y  dy
.
(3.22)

3.3 Числовые характеристики
3.3.1 Математическое ожидание случайной величины и случайного
вектора
Математическим ожиданием ДСB X называется сумма парных
произведений возможных значений СВ на вероятности этих значений:
n
M  X    xi pi .
(3.23)
i 1
Для HСB
M X 

 x f  x  dx,
(3.24)

где f(x)- плотность вероятности.
Простейшие свойства математического ожидания
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной:
М(С)=С.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания
М(СX)=СМ(X).
3)Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа
независимых случайных величин равно такой же сумме их
математических ожиданий, то есть
М(Х1+ Х2+…+Хп) = М(Х1) + М(Х2) +…+ М(Хп)
4) Математическое ожидание произведения конечного числа
независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий, то есть
М(Х1Х2…Хп) = М(Х1) М(Х2) …М(Хп)
5) Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на
постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится
(уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
М(X С)=М(X) С.
71
6) Математическое ожидание отклонения случайной величины от её
математического ожидания равно нулю:
М[X- М(X)]=0
Для двумерной СВ:
 M  X    xi pij

i
j

 M Y    yi pij
i
j

для СДСВ
(3.25)
 

 M  X     x f  x, y  dxdy

 
(3.26)
для СНСВ

 
 M Y  
  y f  x, y  dxdy


 
Эти математические ожидания определяют координаты точки,
называемой центром рассеивания системы на плоскости.
3.3.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной
величины и случайного вектора
Характеристики, показывающие, насколько тесно сгруппированы
возможные значения случайной величины около центра рассеивания
(математического ожидания), называются характеристиками рассеивания.
Такими характеристиками являются дисперсия и среднее
квадратическое отклонение.
Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата ее
отклонения, обозначается
D(Х)=М(Х - а)2, где а=М(Х).
Из определения следует, что дисперсия СВ X вычисляется по формуле
 n
2
для ДСВ
  ( xi  a ) pi ,
 i 1
(3.27)
D  X    
 ( x  a ) 2 f  x  dx, для НСВ
 i

 
Дисперсия СВ обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
72
D(С) = 0;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
возведя его при этом в квадрат
D(СX) = С 2D(X).
3. Дисперсия случайной величины равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины и
квадратом её математического ожидания:
D(Х)=М(Х2) - (М(Х))2 .
(3.28)
Тогда формула (3.27) примет вид
n 2
2
для ДСВ
  xi pi  a ,
 i 1
(3.29)
D  X    
2
2
 x f  x  dx  a , для НСВ

 
4) Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(Х1 Х2 … Хп) = D (Х1) + D(Х2) +…+ D (Хп)
Дисперсия СВ является удобной характеристикой рассеивания
возможных значений СВ, однако лишена наглядности, т.к. имеет paзмерность
квадрата СВ.
Поэтому для характеристики отклонений СВ X, имеющей
размерность, одинаковую с размерностью СВ, вводится понятие стандарта.
Средним квадратическим отклонением (СКО) (стандартом) СВ X
называется арифметический корень из дисперсии, обозначается
(3.30)
Для случайного вектора D(X) и D(У) характеризуют рассеивание
случайной точки в направлении осей ОХ и ОУ.
  xi  a x 2 pij ,
для CДСВ

 i j
(3.39)
D  X     
2

 x  a x  f  x, y  dxdy, для CНСВ



  
2

yi  a y  pij ,
для СВСВ


 i j

D Y     
2

y  a y  f  x, y  dxdy, для СНСВ



  
73
(3.40)
3.3.3 Начальные и центральные моменты
Обобщением основных числовых характеристик СВ, описывающих
центр рассеивания (М(X)) и рассеивание (D(Х),), является понятие моментов
СВ.
Начальным моментом к - го порядка СВ X называется МОЖ
(математическое ожидание) к - й степени этой случайной величины, т.е.
 
 кs  М  Х кY s 
к  М Х к .
Для случайного вектора
порядка
Х ки Ys.
к + s
т.е. начальным моментом
случайного вектора (X,Y) называется МОЖ произведения
Используя определение, получим.
n к
для ДСВ
  xi pi ,
i

1

 к  X    
 x к f x dx,
для НСВ
 

 
(3.41)
 xiк y sj pij ,
для CДСВ
 i j

(3.42)
 кs  X , Y     
к
s

x y f  x, y  dxdy,
для CНСВ
 
  
Центральным моментом порядка К СВ X называется МОЖ к - й
степени отклонения Х - М(X), т.е. M к  X  M  X   .
к
Для случайного вектора (X, У) центральным моментом порядка к  s ,
называется МОЖ произведения
 X  M  X   и Y  M Y   , т.е.
к
s
кs  M   X  M  X   Y  M Y    .
к
s
Согласно определению получим следующие формулы для вычисления
центральных моментов
74
n
к
   xi  a  pi ,
 i 1
к  X    
 ( x  a ) к f x dx,
 

 
для
ДСВ
(3.43)
для НСВ
n n
s
к
для CДСВ
   xi  a x  y j  a y pij ,
 i 1 i 1
(3.44)
кs    
s
к

для CНСВ
    xi  a x  y j  a y f  x, y  dxdy ,
  
На практике обычно применяются только моменты первого и второго
порядка.
Так
,
2  X   D  X  ,
 01  M Y  ,
10  M  X  ,




20  D  X  , а 02  D Y  .
3.3.4 Корреляционный момент, коэффициент корреляции
Особую роль при исследовании случайного вектора играет второй
смешанный центральный момент.
Корреляционным моментом (моментом связи, ковариацией) СB X и
У, входящих в случайный вектор (X, У), называют МОЖ произведений
отклонений этих величин, т.е.
K xy  M
 X  M  X  Y  M Y   M  XY   M  X  M Y  .
(3.46)
Это определение имеет смысл, если X и У имеют конечные дисперсии.
  xi  a x   y j  a y  pij  xi y j pij  a x a y
для СДСВ
 i j
i
j
(3.47)
K xy    
 
    x  a x   y  a y  f  x, y  dxdy    x y f  x, y  dxdy  a x a y для СНСВ
  
 
Ковариация двух СВ характеризует как степень зависимости СВ, так
и их рассеяние вокруг точки (ах, ау). Об этом говорят свойства ковариации СВ.
1. Ковариация двух независимых СВ равна нулю, т.е. K xy  0 .
2. K xy   x y .
75
Коэффициентом корреляции rxy СВ X и У, входящих в случайный
вектор (X, У), называют отношение корреляционного момента к произведению
средних квадратических отклонений этих величин, т.е.
K
(3.48)
rxy  xy .
 x y
Случайные величины для которых корреляционный момент K xy (а
значит
и
коэффициент
корреляции)
равен
нулю,
называются
некоррелированными.
Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной
зависимости между X и У двумерного случайного вектора (X, У). Если СВ X и
У связаны точной линейной зависимостью Y  aX  b ,то rxy  1 , причем знак
«+», если а>0, «-», если а<0. В общем случае 1  rxy  1 .
Свойства коэффициента корреляции
1. Коэффициент корреляции не зависит от выбора единиц измерения
СВ, т.е. является безразмерной величиной.
2. rxy  1 .
3. Если rxy  1 , то между составляющими X и У случайного вектора
(X, У) существует линейная функциональная зависимость
Y  aX  b .
4. Если rxy  0 , то СВ X и У случайного вектора
(X, У)
некоррелированы
5. Если rxy  0 , то составляющие X и У случайного вектора (Х, У)
зависимы.
6. Корреляционный момент СB самой с собой есть её дисперсия, а
коэффициент корреляции равен единице, т.е.
K xy  M   X  a x  X  a x    M
rxy 
Dх
 х у
 X  a    D
2
x
х
 1.
7. От прибавления к СВ постоянных величин корреляционный момент
и коэффициент корреляции не меняется, т.к.
K  X  a;Y  b   K  X ,Y   K xy ,
r  X  a;Y  b   rxy .
8. K  aX ; bY   abK  X ,Y   abK xy .
76
Решение типовых примеров
3.1 Ряд распределения СВ X – «Числа попаданий» имеет вид
xi
0
1
2
3
pi
0,24
0,46
0,26
0,04
Найти функцию распределения.
Решение
При
1. x  0 F  x   P  X  0   0 .
2. 0  x  1 F  x   P  X  1  P  X  0   0,24 .
3. 1  x  2 F  x   P  X  2   P  X  0   P  X  1  0, 24  0, 46  0,7 .
4. 2  x  3 F  x   P  X  3  P  X  2   P  X  2   0,7  0, 26  0,96 .
5. x  3 F  x   P  X  3  P  X  3  0,96  0,04  1 .
x  0;
0,
0,24,

F  x   0,7,
0,96,

1,
0  x  1;
1  x  2;
2  x  3;
x  3.
F x 
1
0,96
0,7
0,04
0,26
0,46
0,24
0
0,24
1
2
3
x
3.2 Функция распределения непрерывной случайной величины задана
выражением
при х  1
0,

2
F  x   а  х  1 , при 1  х  3
1,
при х  3.

77
Найти:
1. коэффициент а;
2. P 1  X  2  ;
3. построить график функции F(х).
Решение
1) Так как функция распределения непрерывной СВ X непрерывна, то
при х = 3 имеем
1
а(3  1)2  1; а  ;
4
1
1
1
2
2
2) P 1  X  2   F  2   F 1   2  1  1  1  ;
4
4
4
3)
F x 
1
0
2
1
3
x
3.3 Обстреливается 5 целей. Вероятность поражения одной цели
равна 0,6. Найти математическое ожидание числа пораженных целей и
дисперсию.
Решение
Пусть СВ X - число пораженных целей. Её возможные значения 0,1, 2,
3, 4, 5. Вычисляя вероятности возможных значений СВ по формуле Бернулли
при п = 5, р = 0,6, q = 0,4 получим следующий ряд распределения.
xi
pi
0
0,01024
1
0,0768
2
0,2304
3
0,3456
n
По формуле M  X    xi pi
находим
i 1
78
4
0,2592
5
0,07776
M  X   0  0,01024  1 0,0768  2  0,2304  3  0,3456  4  0,2592  5  0,07776  3.
Для нахождения D(Х) составим ряд
xi 2
pi
0
1
0,01024
4
0,0768
9
0,2304
16
0,3456
0,2592
25
0,07776
6
D( Х )   xi2 pi  m 2  0  0,01024  1  0,0768  4  0,2304 
i 0
9  0,3459  16  0, 2592  25  0,07776  32  1, 2027.
.
3.4 Непрерывная СВ задана плотностью вероятности
3 2
 x , при 0  x  2
f ( x)   8

0 , при x  0 и x  2.
Найти M  X  и D(Х).
Решение
M X 

 xf  x  dx
D X  
и
 x f  x  dx  M  X 
2
2


2

2
3
3
3 x4
M  Х    х  x 2 dx   х 3dx  
8
80
8 4
0
2
2

0
3
;
2
2
2
9 3 4
9 3 x5
9 12 9 3
2 3 2
D  Х    х  x dx    х dx   
    ;
8
4 80
4 8 5 0 4 5 4 20
0
 X 
3
 0,387.
20
Задачи для самостоятельного решения
3.5 Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения
хi
pi
-2
1
2
0,08 0,4 0,32
Найти:
79
3
0,2
а) функцию распределения F  x  ;
б) вероятность событий A  x  2, B  1  x  3, C  1  x  3.
в) построить график функции F  x  .
3.6 Автобаза обслуживает 3 предприятия. От каждого из них заявка на
машину может поступить с вероятностью 0.4. Для случайного поступления
заявок от предприятий построить:
а) ряд распределения
б) многоугольник распределения
в) функцию распределения.
3.7 Корабль, по которому ведется стрельба, состоит из двух различных
по уязвимости частей. Для его поражения достаточно одного попадания в
первую часть и двух во вторую часть или трех попаданий во вторую.
Вероятность попадания в первую часть при условии, что снаряд попал в
корабль равна 0,3, а во вторую – 0,7. Стрельба ведется до поражения корабля.
Составить ряд распределения случайной величины Х - числа попаданий,
необходимых для поражения корабля, многоугольник распределения и
функцию распределения.
3.8 В урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из неё последоватеьно вынимают
шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник
рапределения дискретной случайной величины Х – числа извлечённых шаров.
3.9 Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух
одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе
равна 0,7.
3.10 . Вероятность выигрыша по облигации 0.8. Определить ряд
распределения выигрыша трех приобретенных облигаций.
3.11 Два игрока поочерёдно бросают снежки в цель до первого
попадания. Вероятность попадания в цель первым игроком равна 0,7, а вторым
– 0,8. Первым бросает снежки первый игрок. Составить первые 4 члена закона
распределения случайной величины Х – числа брошенных снежков обоими
игроками.
3.12 Студенты одной из групп экономического факультета сдают все
экзамены только на хорошо и отлично. Вероятность получения отличной
80
оценки равна 0,6, а хорошей – 0,4. В течение экзаменационной сессии студенту
этой группы предстоит сдать 4 экзамена. Найти закон распределения случайной
величины Х - числа полученных им баллов.
3.13 Интегральная функция распределения непрерывной случайной
величины Х задана выражением:
если x  0
0,
 2
F  x   ax , если 0  x  1
1,
если x  1

Найти: а) коэффициент а;
б) дифференциальную функцию распределения f  x  ;
в) вероятность попадания величины Х на участок от 0,25 до 0,5.
3.14 Зная, что дифференциальная функция распределения
f  x
случайной величины Х определяется равенством
A
f  x 
1  x2
(закон Коши). Найти коэффициент А и интегральную функцию распределения.
Найти вероятность неравенства x  1 .
3.15 Дана дифференциальная функция распределения непрерывной
случайной величины
если x  1
0,

1
f  x    x  , если 1  x  2
2

если x  2.
0,
Найти интегральную функцию распределения F  x  .
3.16 Кривая распределения случайной величины X изображена на
чертеже (закон Симпсона)
f  x
1
1
1
X
Составить дифференциальную и интегральную функции распределения
случайной величины.
81
3.17 Двумерная случайная величина задана законом распределения
xi
2
yj
3
4
5
2
0,3
0,15
0,05
0,05
3
0,15
0,10
0,05
0
4
0,05
0,05
0
0
Найти законы распределения составляющих X и Y .
3.18 Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
задан таблицей
xi
0
yj
1
2
1
0,04
0,15
2
0,08
0,20
3
0,06
0,12
4
0,02
0,03
Найти условный закон распределения
Являются ли независимыми случайные величины X
3.19
Двумерная
случайная
величина
0,01
0,22
0,2
0,05
величины Y
и Y?
 X ,Y 
при
задана
X  1.
законом
распределения
xi
0
yj
1
2
3
0,02
0,03
0,05
4
0,12
0,18
0,30
5
0,06
0,09
0,15
Найдите законы распределения составляющих X
условный закон распределения величины Y при X  0 .
и Y . Найдите
3.20 Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
задан таблицей
xi
yj
1
82
2
-1
0,15
0,05
0
0,3
0,05
1
0,35
0,1
Найдите законы распределения составляющих X и Y . Вычислите
вероятности P  X  2, Y  0  . Установите, зависимы или нет составляющие X и
Y.
 X ,Y 
3.21 Задана функция распределения двумерной случайной величины


F ( x, y )  1  e  x 1  e  y

x  0
y  0 .
Найдите вероятность того, что в результате испытания, составляющие
X и Y , примут значения соответственно X  1, Y  3 .
3.22
Двумерная
случайная
 X ,Y  имеет плотность
величина
распределения вероятностей
f  x, y  
c

 16  x
2
2
 25  y 
2
.
Требуется: 1) определить величину с;
2) найти функцию распределения F ( x, y ) ;
3) вычислить вероятность того, что X и Y примут
соответственно значения: X  4, Y  5 .
3.23 Число очков, выбиваемое при одном выстреле данным стрелком,
является случайной величиной. Пусть для первого стрелка закон распределения
этой случайной величины даётся таблицей
xi
0
1
2
3
4
5
pi
0,10
0,03
0,02
0,05
0,30
0,50
для второго стрелка
yi
0
1
2
3
4
5
pi
0,020
0,03
0,05
0,05
0,45
0,40
Какой стрелок стреляет более лучше, а какой более «кучно»?
3.24 Вечером Пете понадобилось обменять валюту. Он знает, что из
трех пунктов обмена валюты, расположенных поблизости и работающих
независимо друг от друга, работает один, но не знает какой именно. Составить
83
ряд распределения числа Х обменных пунктов, которые придется посетить
Пете, если считать, что каждый из пунктов может работать с вероятностью 0,8.
Найти параметры распределения случайной величины X .
3.25 По двум баскетбольным кольцам независимо друг от друга
совершают броски по одному баскетболисту. Вероятность попадания для
первого баскетболиста 0,6, а для второго 0,7. Найти параметры распределения
числа заброшенных мячей.
3.26 Двадцать игроков в пейнтбол имеют задачу уничтожить двадцать
противников. Каждый игрок действует самостоятельно и независимо и
уничтожает свою цель с вероятностью 0,7. Оценить ожидаемые результаты.
3.27 При каждом вылете звена истребителей можно ожидать в среднем
отказ одной радиолокационной станции. Три подразделения зенитных ракет
обстреливают три цели, вероятность поражения цели для каждого одна и та же
и равна 0,6. Найти параметры распределения случайной величины X - числа
уничтоженных целей.
3.28 Планируется перехват бомбардировщика истребителем.
Вероятность сбития бомбардировщика равна 0,7. Определить математическое
ожидание числа сбитых бомбардировщиков.
3.29 В воздушном бою против бомбардировщиков участвует 40
истребителей, причём вероятность сбития в одной атаке для каждого
истребителя p1  0,6 и двадцать зенитных управляемых ракет с вероятностью
сбития в одном пуске p2  0,8 . Истребители и ракеты произвели по одной атаке
по разным бомбардировщикам. Определить математическое ожидание числа
сбитых бомбардировщиков.
3.30 Дана интегральная функция распределения
случайной величины
npu x  1;
0,

1
F  x    x 2  x, npu 1  x  2;
2
npu x  2.

1,
Найти её среднее квадратическое отклонение.
84
непрерывной
3.31 Непрерывная случайная величина задана плотностью
распределения
npu x  0, x  ;
0,

f  x  1
sin x, npu 0  x  .

2
Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.32 Условие задачи 3.18.
Найти M  X  , M Y  , D  X  , D Y  , K xy , rxy .
3.33 Непрерывный случайный вектор задан плотностью распределения



4cos
x
cos
y
,
npu
0

x

,
0

y

;


3
6
f  x, y   
0, npu x  0, x   , y  0, y   .

3
6

Найти M  X  , M Y  .
85
Самостоятельная работа к главе 3
Вариант № 1
1.
хi
pi
42
0,2
45
0,4
48
0,3
52
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
 х
F  x  
, при 0  x  10;
100


1, при х  10.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  6  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,125
0,06
0
0,11
0,2
0,03
0,05
0,125
0,02
0,03
0,25
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



2cos x cos y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
4
4

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
86
Вариант № 2
1.
хi
pi
17
0,2
21
0,5
23
0,2
25
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  9;
 81

1, при х  9.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  5  X  7  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0
0,097
0,13
0,139
0,05
0,164
2
3
0,103
0
0,061 0,136
0
0,12
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


1
 sin  x  y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y    2
2
2

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
87
Вариант № 3
1.
хi
pi
56
0,2
60
0,3
63
0,4
65
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  8;
 64

1, при х  8.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  5  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,05
0,078
0
0,16
0,1
0,108
2
3
0,122
0
0,08 0,092
0,05 0,16
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 6
e3 х  2 у , 0  x  , 0  y  ;
2

3
2
f  x, y     e  1
0, вне прямоугольника.

Найти: М(X), М(Y).
88
Вариант № 4
1.
хi
pi
53
0,2
54
0,3
56
0,4
58
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  7;
 49

1, при х  7.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,13
0
0,117
0,1
0,083
0,104
2
3
0,096 0,04
0,13
0
0,141 0,059
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


1
 cos  x  y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y    2
2
2
0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
89
Вариант № 5
1.
хi
pi
28
0,2
32
0,5
36
0,2
42
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  6;
 36

1, при х  6.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  5 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,11
0,1
0,08
0,15
0,09
0
0,11
0
0,15
0
0,11
0,1
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 6
e 2 х 3 у , 0  x  , 0  y  ;
2

2
3
f  x, y     e  1
0, вне прямоугольника.

Найти: М(X), М(Y).
90
Вариант № 6
1.
хi
pi
63
0,2
65
0,4
68
0,3
70
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  5;
 25

1, при х  5.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,16
0,07
0,092
0,05
0
0,08
0
0,16
0,1
0,108
0,13
0,05
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
1
sin x sin y, 0  x   , 0  y   ;
4. f  x, y    4

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
91
Вариант № 7
1.
хi
pi
45
0,2
47
0,4
50
0,3
52
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  4;
 16

1, при х  4.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  3 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,125
0
0,06
0,132
0,053
0,155
2
3
0,068 0,055
0,075
0
0,14 0,137
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 10
e 2 х 5 у , 0  x  , 0  y  ;
2

2
5
f  x, y     e  1
0, вне прямоугольника.

Найти: М(X), М(Y).
92
Вариант № 8
1.
хi
pi
60
0,1
64
0,3
67
0,4
70
0,2
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  3;
9

1, при х  3.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  3 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,1
0,095
0
0,102
0,05
0,113
2
3
0,05 0,106
0,087 0,106
0,098 0,093
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9sin 3x cos 3 y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6
0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
93
Вариант № 9
1.
хi
pi
21
0,1
25
0,4
28
0,2
31
0,3
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;

F  x    х 2 , при 0  x  1;
1, при х  1.

Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0,5  X  0,8 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0
0,16
0,1
0,08
0,1
0,05
0,2
0,16
0
0,05
0,1
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 8e
e 4 х 2 у , 0  x  , 0  y  ;
2

4
2
f  x, y     e  1
0, вне квадрата.

Найти: М(X), М(Y).
94
Вариант № 10
1.
хi
pi
12
0,1
14
0,2
16
0,5
20
0,2
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  2;
4

1, при х  2.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0,6  X  1, 4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,16
0,13
0
0,05
0,108
0,1
0,07
0
0,16
0,08
0,092
0,05
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


 4
 cos x cos y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y    3
3
6

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
95
Вариант № 11
1.
хi
pi
30
0,1
32
0,5
35
0,2
40
0,2
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  50 ;
 50

1, при х  50.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  6  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,109
0
0,086
0,1
0,115
0,13
2
3
0,114 0,13
0
0,091
0,085 0,04
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9 cos 3x cos 3 y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
96
Вариант № 12
1.
хi
pi
25
0,2
27
0,4
30
0,3
32
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.

0, при х  0;
 2
9 2
 2х
F  x  
, при 0  x 
;
2
 81

9 2
.
1, при х 

2
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P 1  X  3 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,125
0,1
0,136
0,064
0
0,075
2
3
0
0,097
0,156
0
0,103 0,144
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



2sin  2 x  2 y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
4
4

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
97
Вариант № 13
1.
хi
pi
12
0,1
16
0,5
19
0,3
21
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  4 2 ;
 32

1, при х  4 2.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P 1  X  3 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,07
0,1
0,12
0,1
0,06
0,12
0,13
0,1
0
0,07
0
0,13
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 30
e5 х  6 у , 0  x  , 0  y  ;
2

5
6
f  x, y     e  1
0, вне прямоугольника.

Найти: М(X), М(Y).
98
Вариант № 14
1.
хi
pi
24
0,2
26
0,2
28
0,5
30
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.

0, при х  0;
 2
7 2
 2х
F  x  
, при 0  x 
;
2
 49

7 2
.
1, при х 

2
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  6  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,087
0,112
0
0
0,058
0,21
2
3
0,088 0,142
0,113 0,09
0,1
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


 1
cos  2 x  2 y  , 0  x  , 0  y  ;

4. f  x, y    2  1
8
4

0, вне прямоугольника.
Найти: М(X), М(Y).
99
Вариант № 15
1.
хi
pi
17
0,2
21
0,4
25
0,3
27
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  3 2 ;
 18

1, при х  3 2.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P 1  X  4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,132
0
0,125
0,06
0,137
0,055
2
3
0,145 0,068
0,075 0,14
0,063
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 12
e 4 х 3 у , 0  x  , 0  y  ;
2

4
3
f  x, y     e  1
0, вне прямоугольника.

Найти: М(X), М(Y).
100
Вариант № 16
1.
хi
pi
23
0,3
25
0,2
28
0,4
29
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.

0, при х  0;
 2
5 2
 2х
F  x  
, при 0  x 
;
2
 25

5 2
.
1, при х 

2
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P 1  X  2  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,106
0,095
0
0,05
0,113
0,102
2
3
0,1 0,105
0,094 0,05
0,087 0,098
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9sin 6 x sin 6 y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6

0, вне прямоугольника.
Найти: М(X), М(Y).
101
Вариант № 17
1.
хi
pi
73
0,3
75
0,4
76
0,2
79
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  2 2 ;
8

1, при х  2 2.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0  X  2  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,13
0,04
0,1
0,1
0,12
0
0
0,25
0
0,16
0
0,1
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9sin  3x  3 y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6

0, вне прямоугольника.
Найти: М(X), М(Y).
102
Вариант № 18
1.
хi
pi
27
0,2
30
0,5
33
0,2
40
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.

0, при х  0;
 2
3 2
 2х
F  x  
, при 0  x 
;
2
 9

3 2
.
1, при х 

2
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0  X  2  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,088
0,15
0
0,1
0
0,21
0,08
0,112
0
0,09
0,05
0,12
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


 3
  cos  3x  3 y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y    2
3
3

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
103
Вариант № 19
1.
хi
pi
38
0,1
40
0,4
44
0,3
45
0,2
Найти: М(X); D(X); σ.
2.

0, при х  0;

1

F  x   2 х 2 , при 0  x 
;
2


1
.
1, при х 
2

Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0, 2  X  0, 4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,13
0,097
0
0,14
0
0,164
2
3
0,103
0
0,05 0,136
0,06 0,12
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 12e 3 х 4 у
e
, 0 x , 0 y ;
2

3
4
f  x, y     e  1
0, вне квадрата.

Найти: М(X), М(Y).
104
Вариант № 20
1.
хi
pi
21
0,1
24
0,4
26
0,2
27
0,3
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  2;
2

1, при х  2.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  0,5  X  1 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,07
0
0,108
0,1
0,16
0,05
0,08
0,13
0
0,092
0,05
0,16
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .


 4
 cos x cos y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y    3
6
3

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
105
Вариант № 21
1.
хi
pi
46
0,2
49
0,3
51
0,1
55
0,4
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;

х
F  x    , при 0  x  16;
16

1, при х  16.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  7  X  9  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,125
0,06
0
0,11
0,2
0,03
0,05
0,125
0,02
0,03
0,25
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9sin 3x cos 3 y, 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6
0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
106
Вариант № 22
1.
хi
pi
37
0,2
41
0,1
43
0,5
45
0,2
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;

х
F  x    , при 0  x  25;
 25

1, при х  25.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P 10  X  14  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0
0,097
0,13
0,139
0,05
0,164
2
3
0,103
0
0,061 0,136
0
0,12
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



 4cos  4 x  4 y  , 0  x  , 0  x  ;
4. f  x, y   
4
4

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
107
Вариант № 23
1.
хi
pi
78
0,2
80
0,3
84
0,1
85
0,4
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 х,
F  x  
при 0  x  49;
 49
1, при х  49.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  20  X  40  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,13
0
0,117
0,1
0,33
0,104
2
3
0,96 0,04
0,13
0
0,141 0,059
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 14
e 2 х 7 у , 0  x  , 0  x  ;
2

2
7
f  x, y     e  1
0, вне квадрата.

Найти: М(X), М(Y).
108
Вариант № 24
1.
хi
pi
31
0,3
34
0,5
37
0,1
40
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;

 х
F  x  
, при 0  x  100;
100

1, при х  100.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  35  X  50  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,05
0,078
0
0,16
0,1
0,108
0,122
0,08
0,05
0
0,92
0,16
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 15e 3 x 5 y
e
, 0 x , 0 x
2

3
5;
f  x, y     e  1
0, вне квадрата.

Найти: М(X), М(Y).
109
Вариант № 25
1.
хi
pi
28
0,1
32
0,2
34
0,2
36
0,5
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 х
F  x    , при 0  x  64;
 64
1, при х  64.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  25  X  40  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,11
0,1
0,08
0,15
0,09
0
0,11
0
0,15
0
0,11
0,1
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
 9
3 x  y , 0  x  1, 0  x  1;
4. f  x, y    4 ln 2 3

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
110
Вариант № 26
1.
хi
pi
42
0,2
45
0,4
48
0,3
52
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
 х
F  x  
, при 0  x  10;
100

1, при х  10.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  6  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,16
0,07
0,092
0,05
0
0,08
0
0,16
0,1
0,108
0,13
0,05
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
 4  x y
2
, 0  x  1, 0  y  1;
4. f  x, y    ln 2 2

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
111
Вариант № 27
1.
хi
pi
56
0,2
60
0,3
63
0,4
65
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  8;
 64

1, при х  8.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  5  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,125
0
0,06
0,132
0,053
0,155
2
3
0,068 0,055
0,075
0
0,11 0,137
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
 25
5 х  у , 0  x  1, 0  y  1;

2
4. f  x, y   16ln 5
0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
112
Вариант № 28
1.
хi
pi
53
0,2
54
0,3
56
0,4
58
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  7;
 49

1, при х  7.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
0,1
0,095
0
0,102
0,05
0,113
2
3
0,05 0,106
0,087 0,106
0,098 0,093
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .
4.
1
1
 8e
e 4 х 2 у , 0  x  , 0  y  ;
2

4
2
f  x, y     e  1
0, вне квадрата.

Найти: М(X), М(Y).
113
Вариант № 29
1.
хi
pi
28
0,2
32
0,5
36
0,2
42
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  6;
 36

1, при х  6.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  3  X  5 .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0
0,16
0,1
0,08
0,1
0,05
0,2
0,16
0
0,05
0,1
0
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



2sin  2 x  2 y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
4
4

0, вне квадрата.
Найти: М(X), М(Y).
114
Вариант № 30
1.
хi
pi
63
0,2
65
0,4
68
0,3
70
0,1
Найти: М(X); D(X); σ.
2.
0, при х  0;
 2
х
F  x    , при 0  x  5;
 25

1, при х  5.
Требуется: а) составить f(x).
б) найти: М(X); D(X); σ ; P  2  X  4  .
3.
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,16
0,13
0
0,05
0,108
0,1
0,07
0
0,16
0,08
0,092
0,05
Найти: М(X); М(Y); D(X); D(Y); K xy ; rxy .



9sin  3x  3 y  , 0  x  , 0  y  ;
4. f  x, y   
6
6

0, вне прямоугольника.
Найти: М(X), М(Y).
115
Глава 4 Законы распределения случайных величин и векторов.
4.1 Биномиальное, полиномиальное распределения
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон
распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, т,…, п с вероятностями
(4.1)
p( X  m)  Cnm p mq nm ,
где 0  p  1; q  1  p; m  0, n.
Вероятность Р(X=т) находится по формуле Бернулли, следовательно,
биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения
числа X = т наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из
которых оно может произойти с одной и той же вероятностью.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид
xi
0
1
…
pi P( X  0)  q n P( X  1)  Cn1 p1q n1 …
т
…
P( X  m)  Cnm p mq nm …
п
P ( X  n)  p n
Для случайной величины X распределенной по биномиальному
закону, числовые характеристики находятся по формулам
M ( X )  np; D( X )  npq;  ( X )  npq .
(4.2)
Биномиальный закон распределения используется в теории стрельбы,
при описании функционирования систем массового обслуживания в теории
стрельбы и так далее.
Решение типовых примеров
4.1 Проверкой качества установлено, что из каждых 100 деталей не
имеют дефектов 75 штук в среднем. Составить биномиальное распределение
вероятностей числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей.
Решение
Из условия задачи следует, что p  0,75, q  0,25, n  6 .
По формуле 4.1 находим
P6  0   1   0,25  0,0002 ;
6
116
P6 1  6   0,75   0,25  0,004 ;
5
P6  2   15   0,75   0,25  0,033 ;
2
4
P6  3  20   0,75   0,25  0,132 ;
3
3
P6  4   15   0,75   0,25  0,297 ;
4
2
P6  5  6   0,75   0,25  0,356 ;
5
P6  6   1   0,75  0,178 .
6
Закон распределения случайной величины X - «числа стандартных
деталей из 6 взятых наудачу» можно задать следующей таблицей:
xi
0
1
2
3
4
5
6
pi
0,000
0,004
0,033
0,132
0,297
0,356
0,178
Убедимся в том, что сумма всех вероятностей равна единице:
0,004  0,033  0,132  0,297  0,356  0,178  1.
Графическое представление этого биномиального распределения дано
на рисунке 4.1
P
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
X
Рисунок 4.1
4.2 По цели производится 10 независимых выстрелов. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
числа попаданий, если вероятность попадания в цель при одном выстреле
равна 0,6.
117
Решение
Из условия задачи следует, что случайная величина X , выражающая
число попаданий в цель при 10 выстрелах, имеет биномиальное распределение.
Поэтому по формуле 4.2 находим:
m  np  10  0,6  6 (попаданий)
D  X   npq  10  0,6  0,4  2,4;
  X   2,4  1,55 .
4.2 Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона,
если она принимает значение 0, 1, 2, …, т, ... (бесконечное, но счетное
множество значений) с вероятностями
a me a
.
(4.3)
P  X  m 
m!
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид
xi
0
1
…
…
m
pi
P  X  0   e a P  X  1 
ae a
1!
P  X  m 
a me a
m!
…
Закон Пуассона зависит от одного параметра а, который является
одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины,
т.е. М(X)=а; D(X)=а.
При достаточно больших п (при п→∞) и малых значениях р (р→0)
при условии, что произведение пр – постоянная величина (пр→λ=сопst), закон
распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального
закона, так как в этом случае функция вероятностей Пуассона (4.3) хорошо
аппроксимирует функцию вероятностей (4.1), определяемую по формуле
Бернулли. Иначе, при р→0, п→∞, пр→λ=сопst закон распределения Пуассона
является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом
вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения
Пуассона называют часто законом редких явлений.
Решение типовых примеров
4.3 Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий.
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0001. Найти
вероятность того, что на базу прибудут 5 негодных изделий.
118
Решение
По условию задачи п=5000, р=0,0001, т=5. Так как число n велико, а
вероятность p мала, то случайная величина Х - число негодных изделий распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой 4.3. Найдём a :
а=пр=5000∙0,0001=0,5.
Тогда искомая вероятность равна
.
4.4 Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность
того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят: а) ровно три
абонента, б) менее трёх абонентов, в) более трёх абонентов, г) хотя бы один
абонент.
Решение
По условию n  100, p  0,01 . Поскольку число n велико, а
вероятность
p
мала,
рассматриваемые
события
(звонки
абонентов)
независимы, применима формула Пуассона,
a me  a
Pn  m  
.
m!
а) Найдём a :
a  np  100  0,01  1 .
Найдём вероятность того, что позвонят ровно 3 ( m  3 ) абонента:
e1 0,36788
P100  3 

 0,0613 .
3!
6
б) Найдём вероятность того, что позвонят менее трёх абонентов:
e1
P100  0   P100 1  P100  2   e  e 

2
5
5
 e1  0,36788  0,9197.
2
2
в) Найдём вероятность того, что позвонят более трёх абонентов
(обозначим вероятность этого события через Pк 3,100 ). События – «позвонят
1
1
более трёх абонентов» и «позвонят не более трёх абонентов» противоположны,
поэтому
Pк3,100  1  Pк3,100 .
Отсюда
119
Pк 3,100  1   P0, 100  P1,100  P2,100  P3,100  .
Пользуясь результатами, полученными выше, будем иметь
P  1  0,9197  0,0613  0,019 .
г) Найдём вероятность того, что позвонит хотя бы один абонент
(обозначим вероятность этого события через Pк 1,100 ). События – «позвонит
хотя бы один абонент» и «ни один из абонентов не позвонит» противоположны,
поэтому
Pк 1,100  1  P0,100 .
Отсюда искомая вероятность того, что позвонит хотя бы один
абонент, равна
Pк 1,100  1  P0,100  1  e1  1  0,36788  0,632.
4.5 Найти среднее число  бракованных изделий в партии изделий,
если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное
изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в
рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.
Решение
Обозначим вероятность того, что в партии есть хотя бы одно
бракованное изделие через Pк 1, n . События – «в партии содержится хотя бы
одно бракованное изделие» и «не содержится ни одного бракованного изделия»
противоположны, поэтому
Pк 1, n  1  P0, n .
Отсюда
P0, n 
 0e 
0!
 e ,
Pк 1, n  1  e    0,95
e    1  0,95  0,05
По таблице функции e найдём, что   3 .
Итак, в партии должно быть 3 бракованных изделия.
4.3 Равномерное распределение
120
Непрерывная
случайная
величина
X
имеет
равномерное
распределение на [а,b], если на этом отрезке плотность вероятности случайной
величины постоянна, а вне его равна нулю, то есть, если
0, при х  a,

f  x   C , при a  х  b,
0, при х  b.

f ( x)
C
1
ba
0
a
b
x
Тогда плотность вероятности f(x) имеет вид:
 1
,
x   a, b 

f  x  b  a
0,
x   a, b 

Функция распределения для равномерного распределения
x  a,
0,
x  a

F ( x)  
, a  x  b,
b

a

x  b.
1,
121
(4.4)
(4.5)
F ( x)
1
0
a
b
x
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X ,
имеющей равномерное распределение
ba

M
(
X
)

,

2

2
b  a


(4.6)
,
 D( X ) 
12

ba

  X   D( X )  2 3 .

Одним из наиболее простых распределений системы непрерывных
случайных величин является равномерное распределение.
Система двух непрерывных случайных величин (X, У) имеет
равномерное распределение в области  плоскости ХОУ, если плотность
вероятности в точках области постоянна и равна нулю в остальных точках
плоскости ХОУ:
1
внутри D,
 ,
f  x, y    S D
0,
вне D,

где S D - площадь области D .
Решение типовых примеров
4.6 Случайная величина X равномерно распределена на отрезке  2,7  .
Записать плотность распределения f  x  , функцию распределения F  x  этой
случайной величины. Найти её математическое ожидание и дисперсию.
Решение
122
Плотность распределения f  x  случайной величины X , равномерно
распределённой на отрезке  a, b , определяется формулой 4.4. В данном случае
a  2, b  7, b  a  5 ; следовательно,
1
npu 2  x  7,

f  x  5

0 npu x  2 или x  7.
Функция распределения F  x  определяется формулой (4.5)
0
 x  2
F  x  
 5
1
npu
x  2,
npu 2  x  7,
npu
x  7.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X
равномерно распределенной на отрезке  2,7  , вычисляется по формуле 4.6
M X 
D X 
27
 4,5 ,
2
2
7  2

25


 2,08 .
12
12
4.7 Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 ампера. Показания
амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того,
что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 ампера.
Решение
Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную
величину X , которая распределена равномерно в интервале между двумя
соседними целыми делениями. Дифференциальная функция равномерного
1
распределения равна f  x  
, где b  a - длина интервала, в котором
ba
заключены возможные значения X вне этого интервала f  x   0 .
В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные
значения X , равна 0,1, поэтому
1
f  x 
 10 .
0,1
Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена
в интервале  0,02;0,08 . Пользуясь формулой
b
P  a  X  b    f  x  dx ,
a
123
получим
P  0,02  X  0,08  
0,08
 10dx  0,6 .
0,02
4.4 Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное
(экспоненциальное) распределение, если её плотность вероятности имеет вид
 е   х ,
при x  0,
(4.7)
f  x  
0,
при
x

0.

Положительная величина  , называется параметром распределения.
f (x)
F(x)

0
x
0
x
Функция распределения непрерывной случайной величины
имеющей показательное распределение, имеет вид
x0
0,
F ( x)  
 x
1  e , x  0
Числовые характеристики показательного распределения:
1
M (X )  


1 
D( Х )  2 
 
1 
 X   
 
Х,
(4.8)
(4.9)
Показательное распределение широко применяется в теории
надежности, как закон распределения времени наработки на отказ (безотказной
работы) сложных технических систем, их подсистем, агрегатов и элементов.
124
Согласно определению вероятность безотказной работы
некоторого технического устройства до первого отказа выражается функцией
надежности
p(t )  P(T  t ) ,
где Т – случайная величина - время наработки на отказ.
Выражая её через противоположное событие и предполагая Т –
случайная величина распределенная по показательному закону, получим
p(t )  1  P(T  t )  1  F  t   et
Вероятность отказа за время t равна
q(t )  1  p(t )  1  et  F  t  ,
а плотность вероятности случайной величины Т связана с вероятностью отказа
соотношением
f (t )  F (t )  q(t )
Среднее время наработки на отказ (или математическое ожидание
этого времени) в соответствии с (4.9) равно
1
mt 

Параметр распределения  играет роль интенсивности отказов.
Решение типовых примеров
4.8 Случайная величина X подчинена показательному закону
распределения с параметром  : f  x   e  x , где х ˃0.
1) Построить кривую распределения;
2) найти функцию распределения F  x  и построить её график;
3) найти вероятность того, что случайная величина X примет
значение меньшее, чем её математическое ожидание.
Решение
1)
125
f ( x)

x
0
2) F  x  
x
 f  x  dx
F  x  0
x0

x0
0
x

0
F  x 
 0dx   e
 x
x
1
dx   
e  xd    x  

 0
x
 e   x  e   x  1  1  e   x ,
0
тогда

0,
F  x  
 x

1  e ,
npu
x  0,
npu
x  0.
F ( x)
1
x
0

1
1
; P  X    F    1  e1  0,632.




4.9 Случайная величина Т - время работы радиолампы – имеет
показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы
радиолампы будет не менее 1000 часов, если среднее время работы радиолампы
800 часов.
Решение
По условию задачи математическое ожидание случайной величины Т
1
равно 800 часов. Следовательно,  
. Искомая вероятность
800
3) mx 
1
P(T  1000)  1  P(T  1000)  1  F (1000)  1  (1  e
126

1
1000
800
)  e 1,25  0,286.
Задачи для самостоятельного решения
4.10 С самолета по цели выпущено 3 ракеты. Вероятность попадания в
цель при одном пуске ракеты – 0,6. Построить ряд распределения случайной
величины Х – числа ракет, попавших в цель. Найти: М(Х) и σ(Х).
4.11 Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон
распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Найти М(Х) и σ(Х) – числа отказавших элементов.
4.12 Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для
данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Произведено пять
выстрелов. Построить ряд распределения числа попаданий в мишень. Найти
М(Х) и σ(Х) – числа попаданий в мишень.
4.13 В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4
детали. Написать биномиальный закон распределения ДСВ Х – числа
нестандартных деталей среди четырех отобранных.
4.14 Абитуриент при поступлении в институт сдает четыре экзамена,
вероятность успешно сдать каждый экзамен равна 0,8. Случайная величина Х
описывает число сданных абитуриентом экзаменов (в предположении, что
различные экзамены представляют собой независимые испытания). Составить
ряд распределения случайной величины Х. Определить каким будет ряд
распределения, если место абитуриента займет студент, сдающий четыре
семестровых экзамена.
4.15 В группе из 16 человек 12 поддерживают некую
правительственную программу. Из этой группы наудачу отбирают троих
человек. Составить ряд распределения числа людей в выборке,
поддерживающих программу, найти среднее число таких людей и дисперсию
числа таких людей.
4.16 Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с
математическим ожиданием a  3 . Построить многоугольник распределения и
функцию распределения случайной величины Х. Найти:
а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее,
чем её математическое ожидание:
127
б) вероятность того, что величина Х примет положительное значение.
4.17 Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность
отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит
от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов?
Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?
4.18 Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час
300 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту она получает точно
2 вызова? Не менее 4-х вызовов.
4.19 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди
200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
4.20 Завод отправил в магазин 400 ящиков лимонада. Вероятность
того, что ящик будет разбит при транспортировке в данных условиях, равна
0,005. По приезде в магазин экспедитор, перевозивший груз, заявил, что семь
ящиков с лимонадом были разбиты при транспортировке. Размышляя, можно
ли доверять экспедитору, директор магазина хочет найти вероятность разбить
семь ящиков, вероятность разбить не менее семи ящиков, математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества
ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь,
заявленных экспедитором. Найти указанные величины.
4.21 Случайная величина Т – время работы радиолампы – имеет
показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы
лампы будет не меньше 1000 часов, если среднее время работы радиоволн 600
часов.
4.22 На телефонной станции неправильное соединение происходит с
1
вероятностью
. Найти вероятность того, что среди 200 соединений
200
произойдёт:
а) точно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
128
4.23
Радиостанция
передаёт
информацию
в
течение
времени
t  10мкс (10мкс  105 с) . Работа её происходит при наличии хаотической
импульсивной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду
составляет 104 . Для срыва передачи достаточно попадания одного импульса
помехи в период работы станции. Найти вероятность срыва передачи
информации.
4.24 На радиомаяк-ответчик в среднем поступает 15 запросов за час.
Считая число запросов случайной величиной, распределённой по закону
Пуассона, определить вероятность того, что за 4 минуты:
а) поступит ровно 3 запроса;
б) поступит хотя бы один запрос.
4.25 На предприятии насчитывается 500 работников. Какова
вероятность того, что 1 января является днем рождения одновременно для к –
работников данного предприятия. Вычислить эту вероятность для значений к =
0,1,2,3. Найти М(Х) и D(Х).
4.26 При работе ЭВМ время от времени возникают неисправности
(сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки
равно 1,5. Найти вероятность следующих событий:
А – «за двое суток не будет ни одного сбоя»;
В – «в течение суток произойдёт хотя бы один сбой»;
С – «за неделю работы машины произойдёт не менее трёх сбоев».
4.27 При заданном положении точки разрыва снаряда цель
оказывается накрыта однородным пуассоновским полем осколков с
интенсивностью   2,5 оск/м2 . Площадь проекции цели на плоскость, на
которой наблюдается осколочное поле, равна S  0,8 м2 . Каждый осколок,
попавший в цель, поражает её с полной достоверностью. Найти вероятность
того, что цель будет поражена.
4.28 В условиях задачи 4.27 считать, что каждый осколок, попавший в
цель, поражает её не с полной достоверностью, а с вероятностью 0,6.
4.29 Устройство состоит из большого числа независимо работающих
элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента
129
за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если
вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.
4.30 Случайная величина Т – время безотказной работы некоторых
элементов радиоаппаратуры самолета – подчинена показательному
распределению
t0
 Ae 0 ,1t ,

f t   
A  const  0
 0,
t0

Найти: а) постоянную А;
б) F t  ;
в) вероятность безотказной работы (надежность) элементов
аппаратуры в течение заданного времени Т
г) М(Т) и D(Т).
радио-
4.31 Длительность времени безотказной работы элемента имеет
показательное распределение F t   1  e 0 ,03t . Найти вероятность того, что за
время длительностью t = 100 ч.:
а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
4.32 Случайная величина Т – время работы радиолампы – имеет
показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы
радиолампы будет не менее 1000 часов, если среднее время работы радиолампы
800 часов.
4.33 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение
показательного
распределения,
заданного
интегральной
функцией
F  x   1  e0,4 x
 x  0 .
4.34 Непрерывная величина Х распределена по показательному закону:
npu x  0,

0,
f  x    2 x

2e , npu x  0.
Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал  0,1; 0,7  .
4.35 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х, плотность распределения которой задана функцией
f  x   5e5 x
 x  0 .
130
4.36 Математическое ожидание показательно распределённой
случайной величины Х равно M  X   5 . Найти вероятность p  P  X  5 .
4.37 Вероятность безотказной работы элемента распределена по
показательному закону f  x   0,02e0,02t
t  0 . Найти вероятность того, что
элемент проработает безотказно в течение 50 часов.
4.38 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию.
Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший
к остановке, будет ждать очередной автобус менее 3 мин.
4.39 Найти дифференциальную, интегральную функции распределения
случайной величины Х, распределенной равномерно на интервале (2;8) и найти
М(Х) и σ(Х).
4.40 При определении скорости самолета с помощью индикатора РЛС
она округляется до 10 м/с в ближайшую сторону. Показатель индикатора
располагается между 450 и 500 м/с. Определить вероятность того, что при
определении скорости будет допущена ошибка от – 5 до 2 м/с. Найти числовые
характеристики.
4.41 Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в
конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы
покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 сек.
4.42 На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1
минуту горит зелёный свет и 0,5 минуты – красный, затем опять 1 минуту горит
зелёный свет и 0,5 минуты – красный и так далее. Некто подъезжает к
перекрёстку на машине в случайный момент, не связанный с работой
светофора. Найти вероятность того, что он проедет перекрёсток, не
останавливаясь.
4.43 Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом
5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент
времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту
после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода
следующего поезда?
131
4.5 Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному
закону с параметрами т и  , если её плотность вероятности имеет вид
 x  m 2

1
2
f ( x) 
e 2 .
(4.10)
 2
Нормальный закон называют ещё законом Гаусса (1777-1855гг,
немецкий математик), получившего впервые этот закон распределения как
закон распределения ошибок при астрономических (точных) наблюдениях.
f ( x)
1
 2
0
x
m
Кривую распределения называют ещё кривой Гаусса, она зависит от
1
параметров т и  . Максимальная ордината кривой, равная f max ( x ) 
 2
достигается при x  m
При изменении параметра m кривая смещается вдоль числовой оси,
не изменяя формы.
0, 5
f ( x)
f ( x)

2
m1
m2
m3
x
0
m
x
При изменении параметра  кривая распределения изменяет свою
форму: при уменьшений  (рассеивание случайной величины X уменьшается)
кривая вытягивается вверх, а при увеличении  (рассеивание случайной
величины X увеличивается) она сплющивается и прижимается к оси Ох.
Нормальное распределение случайного вектора имеет ряд
преимуществ перед другими, т.к. задание числовых характеристик системы
равносильно заданию закона распределения системы.
132
Говорят, что непрерывная система случайных величин (случайный
вектор) (X, Y) распределена по нормальному закону, если ее совместная
плотность имеет вид
  x  m  2 2 r  x  m  y  m   y  m  2
xy
x
y
y
x




2
2
2 




2 1 rxy
x
x y
y

e
1
f ( x, y ) 
1
2
2 x y 1  rxy



.
(4.11)
Распределение
(4.11)
называется
двумерным
нормальным
распределением или нормальным законом на плоскости и определяется пятью
параметрами mx , my ,  x ,  y , rxy .
Числовые характеристики нормального распределения
M ( X )  m.
Величина т – математическое ожидание нормально распределенной
случайной величины X , называется её «центром рассеивания».
D(X) =σ2.
То есть дисперсия случайной величины X распределенной по нормальному
закону есть не что иное как среднее квадратическое отклонение случайной
величины X
 ( X )  D( Х )   .
Сложность непосредственного нахождения функции распределения
случайной величины, распределенной по нормальному закону, по формуле
(3.10) и вероятности её попадания на некоторый промежуток по формуле (3.9)
связана с тем, что интеграл от функции (4.10) является «неберущимся» в
элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию которая
называется функцией Лапласа, или нормальным интегралом вероятности и
имеет вид
2
Ф( х ) 
2
х
e

t2
2
dt.
(4.12)
0
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1. Ф(0) = 0. Следует из того, что при х = 0, пределы интегрирования
совпадают.
2. Ф(∞) = 1.
3. Ф(-х) = - Ф(х) есть функция нечётная.
4. Функция Лапласа является монотонно возрастающей функцией.
133
Ф ( x)
1
0
x
1
При х >5, значение функции Лапласа практически равно 1.
Теорема. Функция распределения случайной величины Х,
распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа
Ф(х) по формуле
1
 x  m 
F ( x)  1  Ф 
(4.13)

2
  
Для характеристики ширины нормальной кривой вместо среднего
квадратического отклонения в теории стрельбы используют вероятное
отклонение Е.
Вероятным отклонением называется половина длины участка,
симметричного относительно математического ожидания, вероятность
попадания в который равна 0,5, то есть P( X  m  E )  0,5
Геометрически вероятное отклонение Е есть половина длины участка
оси Ох, симметричного относительно математического ожидания, на который
опирается половина площади, ограниченной кривой распределения.
f (x)
0
mE
m mE
x
Полагая в выражении нормального закона  
E
 2
,
где   0,477 , получим ещё одну форму нормального закона
f ( x) 


 2  xm 
2
2
.
E 
В теории стрельбы используют так называемую приведенную
функцию Лапласа
134
e
E
(4.14)
2    2t 2
Фˆ ( x ) 
 e dt ,
x
(4.15)
 0
свойства которой аналогичны свойствам функции Лапласа Ф(х),
т.к. Ф(х) = Фˆ (  x ) .
M ( X )  mx , M (Y )  my , D( X )   x2 , D(Y )   y2 , rxy 
k xy
 x y
.
Если случайная величина X задана плотностью вероятности f (х), то
вероятность попадания случайной величины X на отрезок  ,   определяется
по формуле
1   m
   m 
P   X      Ф 
(4.16)
 Ф
 .
2   
  
Рассмотрим важный частный случай формулы (4.17), когда  ,  
симметричен относительно математического ожидания
1  e 
 e 
e
P  X  m  e  P m  e  X  m  e  Ф    Ф     Ф  .
2  
  
 
Итак,
e
P  X  m  e  Ф  .
 
(4.17)
Используя формулу (4.17), найти P  X  m  3   Ф  3  0,9972.
Таким образом, для нормально распределенной случайной величины
X с параметрами т и σ выполнение неравенства X  m  30 практически
достоверно, В этом заключается так называемое правило трёх сигм.
В теории стрельбы
1     m  ˆ    m 
P   X      Фˆ 
 Ф
 .
2  E 
 E 
Для симметричного интервала
e
P  X  m  e   Фˆ   .
E
При e  4E имеем
P  X  m  4 E   Фˆ  4   0,993, а это значит, что для нормально распределенной
случайной величины X с параметрами
X  m  4E | практически достоверно.
135
т и
Е выполнение неравенства
y
d
Д
c
a
0
b
x
Вероятность попадания случайной точки (случайного вектора) (X, Y) в
прямоугольник Д со сторонами, параллельными осям координат, определяются
по формуле
 c  my  
 a  mx     d  m y 
1   b  mx 
P   X ,Y   Д    Ф 

Ф
Ф

Ф


  . (4.18)


   
4   x 



x
y
y

 



В частном случае, когда прямоугольник имеет размеры 2lx , 2l y центр
его совпадает с началом координат (mx  my  0) , а стороны параллельны
координатным осям, то
l  l
P   X ,Y   Д   Ф  x  Ф  y

x  y

 .

(4.19)
y
ly
Д
l x
lx x
l y
Если стороны прямоугольника Д равны (lx  l y  l ) и рассеивание по
осям 0х, 0у одинаково ( x   y  ) , то вероятность попадания в квадрат К
2
  l 
(4.20)
P   X ,Y   K    Ф    .
   
В теории стрельбы формулы (4.18), (4.19), (4.20) для системы двух
независимых случайных величин (X, Y),будут иметь вид:
136
1   b  mx  ˆ  a  mx    ˆ  d  m y  ˆ  c  m y  
P   X , Y   Д    Фˆ 
  Ф 
 
 Ф
   Ф 
4   Ex 
E
E
E
x
y
y

 



l
P   X , Y   Д   Фˆ  x
 Ex
 ˆ  ly
 Ф 
  Ey



2
  l 
P   X , Y   K    Фˆ    ,
  E 
где Фˆ  x  - приведённая функция Лапласа.
Решение типовых примеров
4.44 Производится бомбометание по мосту длиной 200м и шириной
40м. Бомбардировщик заходит поперек моста, прицеливание производится по
его передней кромке. Ошибка в направлении захода на цель – случайная
величина X, распределенная по нормальному закону с параметрами т = 10м,
σ = 20м. Определить вероятность попадания в мост одной бомбы.
Решение
x

0
Центр рассеивания
40 м
10
 0 Точка прицеливания
Вероятность попадания в длинные и узкие цели (мосты, шоссе, ВПП
аэродрома, плотина ГЭС и т.д.) при бомбометании и стрельбе вычисляется как
вероятность попадания на отрезок, так как при заходе поперек цели
существенна лишь по дальности, а по направлению (боковая ошибка),
попадание обеспечено (длина превышает максимальную ошибку в этом
направлении). Поместим начало координат в точку прицеливания, за
положительное направление примем направление захода.
137
Тогда   0;   40 м; m  10 м;   20 м . По формуле (4.16) и
таблицам функции Лапласа найдем вероятность попадания в мост
1   40  10 
 0  10   1
P  0  X  40    Ф 

Ф


   Ф 1,5  Ф  0,5 
2   20 
 20   2

1
1,2493
 0,62465.
 0,8664  0,3829  
2
2
4.45 Результат измерения высоты полета самолета есть нормально
распределенная случайной величины. Каким должно быть среднее
квадратическое отклонение этой величины, чтобы с вероятностью 0,86
абсолютная погрешность результата измерения не превосходила 120м?
Предполагается, что систематическая ошибка измерения отсутствует, т.е. т = 0.
Решение
Пусть СВ X - отклонение результата измерения высоты полета
самолета от истинной высоты. Тогда P  X  m  120   0,86, так как т = 0.
Применяя формулу (4.17), получим
 120 
P  X  m  120   Ф 
  0,86.
  
 120 
Неизвестное значение СКО находим из уравнения Ф 
  0,86.
  
По таблицам находим, что Ф  х   0,86 при Х = 1,47.
Следовательно,
120

 1,47 ; откуда  
120
 82 м.
1,47
4.46 Производится стрельба с самолета по цели, имеющей вид
прямоугольника с размерами (60 × 40)м2. Прицеливание производится по
центру цели. Заход на цель вдоль оси Ох. Характеристики рассеивания средств
поражения: mx  20 м, my  10 м,  x  20 м,  y  15 м.
Какова вероятность
попадания средств поражения в цель.
138
y
20
Т .п.
30
20
30
0 Т .пр.
x
20
Решение
Обозначим событие А - попадание средств поражения в цель. По
формуле (4.18) будем иметь
1   30  20 
 30  20    20  10 
 20  10  
P   X ,Y   Д    Ф 
 Ф
  Ф 
 Ф
 
4   20 
 20    15 
 15  
1
Ф  2,5  Ф  0,5  Ф  0,67   Ф  2  
4
1
1
 0,9876  0,3829    0,4971  0,9545  1,3705 1,4516  0,497.
4
4
4.6 Распределение Релея

Рассмотрим случайную точку (X, Y), рассеивающуюся вокруг начала
координат 0 по круговому нормальному закону
mx  my  0;  x   y   .
Если две переменные X и Y являются независимыми друг от друга и
нормально распределены с одинаковой дисперсией, то переменная
R  X 2  Y 2 будет иметь распределение Релея. Функция распределения
R : F r  p  R  r 
случайной величины
определяется по формуле
F (r )  1  e

r2
(2 2 )
, r  0.
139
y
2
y
2
R
x
y
x
0
r
x
Плотность распределения случайной величины R будет равна
r2
r  2
f (r )  F (r )  2 e (2 ) , r  0 .

Закон распределения случайной величины R , зависящий от одного
параметра σ, называется законом Релея.
Числовые характеристики случайной величины R , распределенной по
закону Релея равны:
M ( R)  1,25; D( R)  0,42952 2 ; ( R)  0,655.
Графики функций f (r ) и F (r )
f (r )
0
F (r )
 M (r )
r
0
r
Решение типовых примеров
4.47 Производится пуск с истребителя управляемой ракеты «воздух воздух» по воздушной цели. Рассеивание ракет круговое с σ = 10м, mx  my  0 .
Радиус срабатывания взрывателя ракеты r =20 м. При подрыве БЧ ракеты цель
поражается с вероятностью р = 0,8. Какова вероятность поражения воздушной
цели одной ракетой?
140
Решение
Обозначим А - поражение цели, В - попадание ракеты в круг радиуса r, C
- поражение воздушной цели при подрыве БЧ ракеты. Очевидно
Р(А) = Р(В) = Р(С/В) = Р(R < r) р
Вероятность попадания в круг радиуса r равна
P R  r  1 e

r2
2 2
1 e

202
2102
 1  e2  0,865 .
Тогда Р(А) = 0,865×0,8 = 0, 692.
Задачи для самостоятельного решения
4.48 По цели имеющей вид полосы (автострады), ширина которой
равна 20 метрам, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном
автостраде. Прицеливание производится по средней линии автострады, среднее
квадратическое отклонение в направлении стрельбы 8 м. Имеется
систематическая ошибка в направлении стрельбы – недолет на 3 м. Найти
вероятность попадания в автостраду.
4.49 Производится стрельба тремя независимыми выстрелами по цели,
имеющей вид полосы (мост, автострада, взлетно-посадочная полоса). Ширина
полосы 20 м., прицеливание производится по средней линии полосы,
систематическая ошибка отсутствует, среднее квадратическое отклонение
точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, 16 м. Найти
вероятность попадания в полосу при одном выстреле, а также вероятность
следующих событий при трех выстрелах:
А – хотя бы одно попадание в полосу;
В – не менее двух попаданий в полосу.
4.50 Текущая цена акции может быть приближена нормальным
распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним
квадратичным отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена
акции окажется: а) не ниже 15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.
4.51 Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону.
Систематической ошибки радиодальномер не дает. Каково должно быть
вероятное отклонение, чтобы с вероятностью не меньше 0,95 можно было
ожидать, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного
не более, чем на 20 м.
141
4.52 Цена некоторой акции распределена нормально. В течение
последнего года в 20% рабочих дней цена была меньше 20 рублей, а в 75%
рабочих дней она была больше 25 рублей. Найти математическое ожидание и
среднее квадратичное отклонение цены этой акции.
4.53 С помощью сетки рассеивания найти вероятность попадания в
цель, изображенную на рисунке
4.54 Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально
распределённую случайную величину X со средним 100 условных единиц и
дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в
пределах от 91 до 109 условных единиц.
4.55 Случайная величина X распределена нормально со средним
M  X   10 , а вероятность её попадания в интервал  5;15 равна 0,8. Найти
вероятность попадания X в интервал  9;10  .
4.56 Значения веса пойманной рыбы подчиняются нормальному
распределению с параметрами a  373 г,   25 г. Найти вероятность того, что
вес одной рыбы будет а) от 300 до 425г; б) больше 300г.
4.57 Определить закон распределения случайной величины X , если её
плотность распределения вероятностей задана функцией:

 x 12

 x  2 2
1
1
e 50 ;
e
б) f  x  
5 2
18
Найти математическое ожидание, дисперсию и
распределения случайной величины X .
а) f  x  
142
18
.
функцию
4.58 Записать плотность распределения нормальной случайной
величины X , если M  X   3, D  X   4 .
4.59 Среднее квадратическое отклонение случайной величины,
распределённой по нормальному закону, равно 2см, а математическое
ожидание равно 16см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует
ожидать значение случайной величины.
4.60 При расследовании причин аварии было установлено, что она
могла произойти из-за установки на автомобиль детали, размеры которой
выходят за пределы допустимого интервала (15мм; 25мм). Известно, что размер
деталей, поступающих на конвейер автозавода, представляет собой случайную
величину, распределенную по нормальному закону с математическим
ожиданием, равным 20мм и средним квадратичным отклонением, равным 5мм.
Оценить вероятность того, что причиной аварии послужила установка на
автомобиль детали нестандартного размера.
4.61 Результат измерения высоты полёта стаи птиц, есть нормально
распределённая случайная величина. Каким должно быть среднее
квадратическое отклонение этой величины, чтобы с вероятностью 0,86
абсолютная погрешность результата измерения не превосходила 120м.
Предполагается, что систематическая ошибка измерения отсутствует.
4.62 Ошибки распределения воздушной скорости подчинены
нормальному закону распределения. Математическое ожидание ошибки
 V  0 , вероятностное отклонение EV  10 км/ч. Определить вероятность
того, что ошибка измерения воздушной скорости по абсолютной величине не
будет превышать 25 км/ч.
4.63 Ошибка измерения подчинена нормальному закону.
Математическое ожидание этой ошибки равно 5м, а   10 м. Найти
вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от
истинного не более, чем на 15м.
4.64 Ошибка измерения дальности радиолокатором подчинена
нормальному закону. Систематической ошибки радиолокатор не даёт. Сколько
необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка хотя бы
одного из них не превосходила по абсолютной величине 5м, при условии, что
радиолокатор имеет E  25 м.
143
4.65 Текущая цена акции может быть приближена нормальным
распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним
квадратичным отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена
акции окажется: а) между 15,10 и 15,40 руб.; б) между 15,05 и 15,10 руб.
4.66 Рассеивание бомб подчинено нормальному распределению,
Ex  80 м, E y  50 м. Центр рассеивания совпадает с точкой прицеливания и
центром прямоугольника размерами 150м  50м. При каком заходе на
бомбометание вероятность попадания в прямоугольник больше?
4.67 Рассеивание бомб подчинено нормальному распределению,
Ex  60 м, E y  40 м. Точка прицеливания, совпадающая с центром рассеивания,
находится в центре прямоугольника размерами 60м  90м. При каком заходе на
бомбометание вероятность попадания в прямоугольник больше?
4.68 Цель представляет собой прямоугольник 100м  200м. Заход на
бомбометание
осуществляется
перпендикулярно
длинной
стороне,
прицеливание по центру цели. Центр рассевания совпадает с точкой
прицеливания. Ex  80 м, E y  120 м. По цели в одинаковых условиях одиночно
сбрасываются 4 бомбы. При попадании одной бомбы цель поражается с
вероятностью 0,3, при попадании двух бомб – с вероятностью 0,7, при
попадании трёх бомб и более цель поражается наверняка. Определить
вероятность поражения цели.
4.69 Определить вероятность попадания в цель, изображённую на
рисунке, если рассеивание бомб подчинено нормальному закону. Ex  40 м,
E y  30 м, mx  50 м, my  20 м. Направление захода на бомбометание, точка
прицеливания показаны на рисунке.
X
150м
110м
150м
Y
60м
144
4.70 По цели производится сбрасывание одиночно трёх бомб при
одинаковых условиях. Размеры цели и направление захода на бомбометание
указаны на рисунке. Ex  40 м, E y  30 м, mx  50 м, my  20 м. Для поражения
цели достаточно одного попадания. Определить вероятность поражения цели.
X
40м
200м
Y
150м
0
60м
4.71 Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стенфорда-Бине
распределены приблизительно по нормальному закону с математическим
ожиданием a  100 и средним квадратичным отклонением   16 . Записать
выражения для функции распределения коэффициента интеллекта и плотности
его распределения. Построить графики этих функций.
Решение
2
x   z 100 
1
1
 x  100 
F  x 
e 512 dz    0 
,

2
16 2 
 16 
2
x 100 


1
1
 x  100 
e 512    
,
16
16 2
 16 
Графики этих функций представлены на рисунке 4.2
f  x 
f  x
F  x
0,03
1,00
0,02
0,50
0,01
0,00
50
x
70
90
110
130
150
0,00
50
x
70
110
90
130
150
б)
а)
Рисунок 4.2 График функции распределения (а) и кривая распределения (б)
145
4.72 В условиях задачи 4.71 найти долю людей, у которых
коэффициент интеллекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95;
г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120.
4.73 В условиях задачи 4.71 найти долю людей, у которых
коэффициент интеллекта отклонится от 100 менее, чем на 48.
4.74 В условиях задачи 4.71 найти вероятность того, что из шести
отобранных человек у двоих коэффициент интеллекта будет выше 92.
4.75 Из данных, полученных от руководства цеха при его проверке,
следует, что брак составляет 5% всей выпускаемой продукции. По данным,
полученным из технической документации, установлено, что размер продукции
представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному
закону с математическим ожиданием, равным 10мм, и средним квадратическим
отклонением, равным 0,2мм. Величина максимально допустимого отклонения
размера детали от номинального, при котором деталь ещё считается годной,
составляет 0,3мм. Оценить с помощью вероятности достоверность
информации, полученной от руководства цеха о качестве выпускаемой
продукции.
4.76 При расследовании причин аварии было установлено, что она
могла произойти из-за установки на автомобиль детали, размеры которой
выходят за пределы допустимого интервала (15мм; 25мм). Известно, что размер
деталей, поступающих на конвейер автозавода, представляет собой случайную
величину, распределённую по нормальному закону с математическим
ожиданием, равным 20мм и средним квадратическим отклонением, равным
5мм. Оценить вероятность того, что причиной аварии послужила установка на
автомобиль детали нестандартного размера.
146
Глава 5 Предельные теоремы теории вероятностей
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий
принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных
факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд
математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий
устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа
опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам.
Неравенство Чебышева:
Для любой с.в. X , имеющей математическое ожидание M ( X ) и
дисперсию D( X ) справедливо неравенство
D X 
.
2
Неравенство Чебышева можно заменить равносильным
D X 
P X  M  X    1
.
2
Неравенство Чебышева справедливо и для дискретных, и для
непрерывных случайных величин.
Если случайная величина X имеет биномиальное распределение с
математическим ожиданием M ( X )  a  np и дисперсией D( X )  npq , то
неравенство Чебышева имеет вид
npq
P  X  np     1  2

Одной из важнейших форм закона больших чисел является теорема
Чебышева.
Теорема Чебышева Если случайные величины X 1 , X 2 , …, X n , …
P  X  M ( X )   


независимы и существует такое число c  0 , что D( X i )  c (i  1,2,3,...), то для
любого   0 выполняется неравенство
1 n

1 n
c
P  Xi  M (Xi )    1 2 .
n i 1
n
 n i 1

Из последнего неравенства следует предельное равенство
1 n

1 n
lim P   X i   M ( X i )     1.
n
n i 1
 n i 1

147
Теорема Чебышева показывает, что среднее арифметическое
большого числа случайных величин как угодно мало отличается от среднего
арифметического их математических ожиданий.
Теорема Бернулли. Если в условиях схемы Бернулли вероятность
наступления события в одном опыте равна р, число наступлений этого события
при n независимых испытаниях равна m, то для любого   0
pq
m

m

m
 pq
lim P   p     1, или P   p     1  2 , P   p     2 .
n
n
 n

 n

 n
 n
Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
X1, X 2 , X 3 ,... X n ,... независимые случайные величины,
Если
математическое ожидание
центральные
моменты
i2
ai , дисперсию
третьего
порядка,
имеющие
и конечные абсолютные
удовлетворяющие
условиям
n

lim
n
i 1
3 i
 n 2
  i 
 i 1 
3
2
 0 , то при неограниченном увеличении n закон распределения
n
нормированной суммы Z n 
n
 Xi   M  Xi 
i 1
сходится к нормальному закону
i 1
n
 D X 
i
i 1
2
с плотностью вероятностей
a  0,
1  z2
 z  
e ,    z   , для которого
2
  1.
Частными случаями центральной предельной теоремы для
дискретных случайных величин являются теоремы Муавра – Лапласа.
Нормированная сумма Z n будет иметь вид
Zn 
m  np
.
npq
Теорема Муавра - Лапласа (локальная) Если
равномерно для всех m , удовлетворяющих неравенствам a 
0  p  1,
m  np
 b,
npq
где a и b - любые заданные постоянные числа имеет место равенство
148
то
 mnp 



1
2
npq
lim 
e
 pm,n   0 .
n 

2npq


На практике локальная теорема используется при больших значениях
n для вычисления вероятности того, что некоторое событие А наступает m раз
в n испытаниях. Эту вероятность находят по приближенной формуле
2
Pn  m  
1
z ,
npq
2
где
1  z2
m  np
e .
;  z  
z
2
npq
Функция   z  - четная, т.е.    z     z  и для неё составлены
таблицы (Приложение 2).
Теорема Муавра - Лапласа (интегральная) Если производится n
независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с
вероятностью р, то для любого интервала ( m1 , m2 ) справедливо соотношение

 1   m  np 
 m1  np  
X  np
P  m1  n
 m2    Ф  2

Ф

  ,

 2   npq 
npq
npq





 
Хп – число появлений события А в п опытах; q  1  p , Ф (х) - функция Лапласа
(Приложение 3).
Решение типовых примеров
5.1 Среднее значение длины деталей, изготовленной цехом, равно 50
см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь
окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5.
Решение
Т.к. М(Х) = 50, то условие 49,5  x  50,5 в котором СВ Х обозначает
возможную длину детали, можно заменить на условие Х - М  X   0,5 .
Используем неравенство Чебышева:   0,5 и D( X )  0,1.
0,1
0,1
Р  Х  50  0,5  1 
 1
 0,6 .
2
0,25
 0,5
1
.
2
Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что число X
5.2 Вероятность появления события А в каждом испытании равна
149
появлений события А будет заключено в пределах от 40 до 60, если будет
произведено 100 независимых испытаний.
Решение
Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной
величины X — числа появлений события А в 100 независимых испытаниях:
1
M ( X )  np  100   50;
2
1 1
D( X )  npq  100    25.
2 2
Найдем максимальную разность между назначенным числом
появлений события и математическим ожиданием
М(Х)=50:   60  50  10.
Воспользуемся неравенством Чебышева в форме
D X 
P X  M  X    1
.
2
Подставив M  X   50 , D  X   25 ,   10 , получим


P  X  50  10   1 
25
 0,75.
102
5.3 При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения
m
 p  0,2 превысит 0,96, если вероятность появления события
неравенства
n
в отдельном испытании р = 0,7 ?
Решение
p  0,7  q  0,3,   0, 2. Требуется определить n с помощью
неравенства Чебышева
D X 
P X  M  X    1
.
2
Условие Р > 0,96 равносильно неравенству
pq
pq
 0, 04,
n
; n  0,7  0,3  0,21  131,25 .
2
2
n
0, 04
0,2  0,04 0,0016


Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе
независимых испытаний, начиная со 132.
150
5.4 Вероятность получения положительного результата в каждом
отдельном эксперименте будет равна 0,75. Вычислить вероятность того, что в
48 экспериментах - положительный результат будет получен 30 раз.
Решение
Используем локальную теорему Муавра – Лапласа, в которой принять
п=48; т=30; р=0,75. Сначала находим q  1  p  1  0,75  0,25.
m  np
30  48  0,75

 2.
Затем находим значение z 
npq
48  0,75  0,25
По таблице (Приложение 2) находим соответствующее значение
функции   z  :
(2)  0540.
Тогда по формуле Муавра-Лапласа получаем:
0,0540
P48 (30) 
 0,018.
48  0,75  0,25
5.5 На некотором производстве вероятность того, что изделие
окажется нестандартным, равна 0,01. Найти вероятность того, что в партии из
1000 изделий окажется не более 12 нестандартных.
Решение
Имеем m1  0, m2  12, n  1000, p  0,01, q  0,99.
Используем интегральную теорему Лапласа:
m  np
0  1000  0, 01
10
10
x1  1



 3, 2;
3,1
npq
1000  0, 01 0,99
9,9
x2 
m2  np
12  1000  0, 01
2
2



 0, 64.
npq
1000  0, 01 0,99
9,9 3,1
По таблице (Приложение 3) находим, что
Ф(0,64)  0,4778, Ф(3,2)  0,9986.
Вероятность того, что в партии из 1000 изделий окажется не более 12
нестандартных, равна
1
1
1
p  Ф  x2   Ф  x1    Ф  0,64   Ф  3,2     0,4778  0,9986   0,7382.
2
2
2
Задачи для самостоятельного решения
151
5.6 Дано: Р X  m     0,9 и D  x   0, 009. Используя неравенство
Чебышева, найти ε.
5.7 Вероятность наступления события А в каждом из 1500 испытаний
равна 0,2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
отклонение числа наступлений события А от математического ожидания будет
более 40.
5.8 В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75%
изделий входят в допуск ± 5% . С помощью неравенства Чебышева оценить
вероятность того, что среди 2000 изделий к допуску ± 5% будут принадлежать
от 1450 до 1550 изделий.
5.9 Устройство состоит 10 независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Пользуясь
неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина
разности между числом отказавших элементов и средним числом
(математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух, б)
не меньше двух.
5.10 В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп.
Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь
неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина
разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим
ожиданием) включенных ламп окажется: а) меньше трех, б) не меньше трех.
5.11 Число дождливых дней в году для данной местности является
случайной величиной Х с М(Х)=100. Оценить вероятность того, что в
следующем году в данной местности будет меньше 140 дождливых дней.
5.12 Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения
частоты появления герба от вероятности его появления менее чем на 0,1.
5.13 Оценить вероятность того, что при 15 000 подбрасываний
монеты относительная частота появления герба отклоняется от вероятности
появления герба при одном подбрасывании по модулю меньше, чем на 0,01.
152
5.14 При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%.
Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится
отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.
5.15 Найти вероятность того, что стрелок из 100 выстрелов попадет в
цель 80 раз, если вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,85.
5.16 Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в
243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом
испытании равна 0,25.
5.17 Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6.
Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.
5.18 Вероятность появления события в каждом из 100 независимых
испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие
появится 90 раз.
5.19 Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найдите вероятность
того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
5.20 Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из
взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?
5.21 Вероятность получения по лотерее выигрышного билета равна
0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее
40 и не более 50 выигрышных?
5.22 Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых
испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появиться не менее
1470 раз и не более 1500 раз.
5.23 Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых
испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие
появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более
74 раз.
153
5.24 Начиная с какова числа n независимых испытаний выполняется
m

неравенство Р  p  0,1  0,97 , если в отдельном испытании р = 0,8?
 n

5.25 Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке
равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей
окажется 75 деталей первого сорта.
5.26 Вероятность появления события в каждом из 100 независимых
испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие
появится не менее 70 и не более 85 раз.
5.27 В урне 80 белых и 20 черных шаров. Сколько шаров (с
возвращением) нужно взять из урны, чтобы с вероятностью 0,95 можно было
ожидать, что частота появления белого шара будет отклоняться от вероятности
меньше чем на 0,1.
5.28 В каждом из 600 независимых испытаниях событие А происходит
с постоянной вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что относительная
частота этого события отличается от вероятности по абсолютной величине не
более чем на 0,0055.
154
Глава 6 Функции случайных аргументов (ФСА)
Если каждому возможному значению случайной величины X
соответствует одно возможное значение случайной величины Y , то Y
называют функцией случайного аргумента X и записывают Y    X  .
Пусть дискретная случайная величина X задана рядом распределения
xi
x1
x2
xn
pi
p1
p2
pn
n
 pi  1,
, где
i 1
pi  P  X  xi .
При X  xi Y    xi  , вероятность этого события равна pi . Тогда
  xi 
  x1 
  x2 
  xn 
pi
p1
p2
pn
Данная таблица не будет рядом распределения случайной величины
Y , так как значения верхней строки должны идти в возрастающем порядке.
Кроме того, некоторые из   xi  могут совпадать, и при построении ряда
распределения случайной величины Y соответствующие вероятности должны
складываться. Но для того, чтобы найти числовые характеристики случайной
величины Y , такого упорядочения не нужно, достаточно распределения
случайной величины Y в виде приведённой выше таблицы.
Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y
определяются равенствами
n
M Y   M    X       xi  pi ,
i 1
n

D Y   D    X       xi   m y
i 1

2
pi
Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения
f  х  , то
M Y   M    X   

   х   f  x  dx

155
D Y   D    X   

   x   my 
2
 f  x  dx .

Функция нескольких случайных аргументов
Если СВ Y (выход преобразователя  ) есть функция не одного
аргумента, а нескольких: Y    X1, , X n  , и известна совместная плотность
f  x1,
, xn 
системы аргументов, то числовые характеристики СВ Y
определяются по формулам:
m y  M Y  
  n  
   x1,


D y  D Y  

, xn  dx1
dxn ,

  n  

, xn  f  x1,
    x1,
, xn   m y


2
f  x1,
, xn  dx1
dxn ,
 y  D Y  .
Теоремы о числовых характеристиках
Во многих задачах инженерной практики числовые характеристики СВ
Y    X1, , X n  могут быть определены как некоторые функции числовых
характеристик системы СВ  X1, , X n  . В этом случае не требуется знать закон
распределения системы аргументов f  x1, , xn  , а достаточно знать лишь
числовые характеристики этой системы. Рассмотрим некоторые теоремы:
1. МОЖ неслучайной величины С равно С, т.е. М(С) = С .
2. Дисперсия неслучайной величины С равна нулю, т.е. D (C) = 0 .
3. М(СХ) = СМ(Х).
4. D(CX) = C2D(X).
5. Теорема сложения МОЖ:
МОЖ суммы двух СВ равна сумме их МОЖ:
M  X1  X 2   M  X1   M  X 2  .
Эта теорема справедлива для любого числа любых случайных величин
зависимых и независимых, коррелированных и некоррелированных, то есть:
 n
 n
M   Xi   M  Xi 
 i 1  i 1
156
6. МОЖ линейной функции CB
X1,..., X n равно той же линейной
функции от МОЖ этих СВ:
n
n


M  a0   ai X i   a0   ai M  X i  ,
i 1
i 1


где ai - неслучайные величины.
Эта теорема справедлива для любых СВ - как зависимых так и
независимых.
7. Дисперсия суммы СВ равна сумме всех элементов ковариационной
матрицы этих СВ
 n
 n n
D   X i    Kij .
 i 1  i 1 j 1
Если CB X1,..., X n некоррелированы, то справедлива теорема
сложения дисперсии
 n
 n
D   X i    D( X i ) .
 i 1  i 1
8. Дисперсия линейной функции СВ определяется по формуле
n
n

 n 2
D  a0   ai X i    ai D( X i )  2 ai a j Kij ,
i 1
i j

 i 1
где ai - неслучайные величины.
Если
CB
X1,..., X n
некоррелированы
K
ij
 0 при i  j  ,
то
произведению
их
дисперсия их линейной функции вычисляется по формуле
n

 n 2
D  a0   X i    ai D( X i ) .
i 1

 i 1
9. МОЖ произведения двух СВ равно
математических ожиданий плюс их ковариация
M ( X 1 X 2 )  M ( X 1 ) M ( X 2 )  K X1 X 2
Если CB
X1,..., X n некоррелированы, то
M ( X1 X 2 )  M ( X1 ) M ( X 2 ) .
Теорема умножения МОЖ обобщается и на произвольное число
сомножителей независимых СВ:
 n
 n
M  Xi   M  Xi  .
 i 1  i 1
10.
Дисперсия
произведения
независимых
CB X1,..., X n
выражается формулой:
157
n
 n
 n
2
D   X i     Di  mi    mi2 ,
i 1
 i 1  i 1
где Di  D( X i ), mi  M ( X i ).
Решение типовых заданий
6.1 Дискретная
распределения
-2
xi
pi
случайная
0,35
величина
Х
задана
своим
-1
0
1
2
0,10
0,15
0,25
0,15
рядом
Y  3 X 2  1
Найти M Y  , D Y  ,  Y .
Решение
Случайная величина Y принимает следующие значения:
у1  3  2   1  11,
2
у3  1,
у2  3  1  1  2
2
у4  3  12  1  2,
у5  3  22  1  11
Вероятности этих значений такие же, как и у случайной величины Х,
то есть р1  0,35, р2  0,10, р3  0,15, р4  0,25, р5  0,15.
Закон распределения СВ Y можно записать в виде
уi
-11
-2
1
-2
-11
pi
0,35
0,10
0,15
0,25
0,15
или учитывая, что Р Y  11  p1  p5  0,35  0,15  0,5;
PY  2  p2  p4  0,10  0,25  0,35), закон распределения СВ Y:
уi
-11
-2
1
pi
0,5
0,35
0,15
M Y   11  0,5   2   0,35  1  0,15  5,5  0,7  0,15  5,05
 
D Y   M Y 2   M Y     11  0,5   2   0,35  12  0,15 
2
2
2
  5,05   60,5  1,4  0,15  25,5025  36,5475
2
 Y   D Y   36,5475.
158
6.2 Плотность распределения СВ Х имеет вид

 
cos x, x   0, 2 



f  x  
Y  X2
 
0,
x   0, 

 2
Найти числовые характеристики M Y  , D Y  ,  Y .
Решение

M Y   M    x   
/2
   x   f  x  dx  

0
/2
u  x2
du  2 xdx
2

 x  sin x

0
dv  cos xdx v  sin x
2


   sin  0  2 
2
2
/2

0
x 2 cos xdx 
/2

sin x  2 xdx 
0
ux
du  dx
2
x sin xdx 
 2

dv  sin xdx v   cos x
4

 2
/2 /2
/2
2

 2    cos x  x
  cos xdx  
 2  sin x


 4
0
0
4
0



2
2
2  8
 
 
 2   sin  sin 0  
2
4
2
4

 4
D Y   D    x   

/ 2
    x   m y  f  x  dx  
2

/ 2


0
 4
x 



2 x 2  2  8
4
0

2  8
16

2
2
 2 2  8 
 x 
  cos xdx 
4




2
 cos xdx  20  2


 Y   D Y   20  22
6.3 Совместное распределение дискретных случайных величин Х и Y
задано таблицей
yi
0
4
9
xi
1
4
0,20
0,30
0,15
0,20
0,10
0,05
Случайная величина Z связана с Х и Y зависимостью Z  X  Y .
Найти M Z , DZ ,  Z .
159
Решение
Запишем законы распределения составляющих Х и Y:
хi
1
4
yi
0
4
9
рi
0,45
0,55
рi
0,50
0,35
0,15
Закон распределения СВ
yi
рi
Y имеет вид
0
2
3
0,50
0,35
0,15
Случайная величина Z  X  Y примет значения
z1  1  0  1, z2  1  2  1, z3  1  3  2,
z4  4  0  4, z5  4  2  2, z6  4  3  1
Вероятности этих значений таковы:


P Z  1  P Z  z1  P Z  z6 )  P X  1, Y  0 

 P X  4,
Y  3)  P  X  1, Y  0  P  X  4, Y  9 
 0,20  0,05  0,25;

P Z  -1  P X  1,

Y  2  P  X  1, Y  4  0,15;
P Z  -2  P  X  1, Y  9  0,10;
P Z  -2  P  X  1, Y  9  0,10;
P Z  4  P  X  4, Y  0  0,30;
P Z  2  P  X  4, Y  4  0,20.
Таким образом, закон распределения СВ Z  X  Y имеет вид
zi
-2
-1
1
2
4
pi
0,10
0,15
0,25
0,20
0,30
160
5
M  Z    zi pi  2  0,10   1  0,15  1  0,25  2  0,20  4  0,30 
i 1
 0,20  0,15  0,25  0,40  1,2  0,35  1,85  1,5
 
D  Z   M Z 2   M  Z     2   0,10   1  0,15  12  0,25 
2
2
2
22  0,20  42  0,30  1,5   4  0,10  0,15  0,25  4  0,20 
2
16  0,30  2,25  0,4  0,4  0,80  4,8  2,25  4,15
  Z   D  Z   4,15.
161
Самостоятельная работа к главе 6
Вариант 1
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
1
2
3
4
xi
pi 0,15 0,26 0,45 0,14
, если Y=4X - 1
2e2 x , x   0, )
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ. f ( x)  
, Y=3X+1
0, x   0, )
3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,07
0,12
0,1
0,1
0,06
0
2
3
0,13 0,13 , если Z=5X+Y.
0,07 0,12
0,1
0
Вариант 2
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
4
5
6
xi 3
pi 0,20 0,55 0,15 0,1
, если Y=3X
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
8
  
 2 x, x  0, 2 
f ( x)  
, если Y=sin2X
0, x  0,  
2


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,086
0
0,13 0,091 , если Z=3X+4Y.
0,13 0,115 0,114 0,1
0,109
0
0,04 0,085
162
Вариант 3
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
4
6
xi 0
, если Y=5X-8.
pi 0,15 0,14 0,35 0,36
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
cos x, x  0,  
2


f ( x)  
, Y  3 X  1.
0
, x  0,  
2


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0
0,08
0,05
0,12
0,1
0,05
2
3
0,08 0,05 , если Z=X-3Y.
0,1 0,25
0,04 0,08
Вариант 4
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi




6
3
4
2 , если Y=sinX .
0,1 0,24 0,35 0,16 0,15
0
pi
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
7
 sin 7 x, x   0, 
f ( x)   2
, Y  7 X  3.
0, x   0, 

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
, если Z=3X-2Y.
0,075 0,103 0,064 0
0,136 0
0,1
0,097
0
0,156 0,125 0,144
163
Вариант 5
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi
-2
0,1
-1
0,4
0
0,3
1
2
, если Y= X 2 .
0,15 0,05
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 24
  
 2 x, x   6 , 3 
f ( x)  
, Y  cos 2 X




0, x 
 6, 3 

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
0,11
0
0,1
1
2
3
0,1 0,14
0 ,если Z=6X-Y.
0,25
0 0,16
0,04 0,1
0
Вариант 6
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
3
xi 2
pi 0,17 0,2
4
5
6
, если Y=5X+3.
0,15 0,23 0,25
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
3e3 x , x  0,  
f ( x)  
,Y  X  7
0,
x

0,





3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,15 0,09 0,13 0,096 , если Z=3X+8Y.
0,13 0
0,1 0
0,11 0,104 0,05 0,04
164
Вариант 7
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
-1
0
1
xi -3
pi 0,05 0,35 0,25 0,2
3
, если Y= 3X 2 .
0,15
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
1
  3x  5  , x  0,4
f ( x)   4
, Y  e X
0, x  0,4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
, если Z=5X+6Y.
0,044 0,06 0,075 0,1
0,125 0
0
0,167
0,1
0,156 0,033 0,14
0
1
2
Вариант 8
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
3
6
9
xi 0
, если Y=7Х-5.
pi 0,25 0,17 0,35 0,23
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
2cos 2 x, x  0,  
4


f ( x)  
,Y  5 X  2


0
, x  0, 
4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
, если Z=5X+8Y.
0,075 0,103 0,064 0
0,136 0,1
0,125 0,144
0
0,156 0
0,097
165
Вариант 9
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
3
4
5
xi 1
pi 0,05 0,32 0,28 0,15 0,2
, если Y=5X-8.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
3sin 3x, x  0,  / 6
f  x  
,Y  2 X  1
0
,
x

0,

/
6



3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
0,125 0,137 0,068 0,14 , если Z=5X+7Y.
0
0,145 0,075 0,063
0,132 0,06 0
0,055
0
1
2
Вариант 10
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi


3 
4
2
4
0,26 0,33 0,17 0,14 0,1
0
, если
Y=cosX.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 1
2
105  3x  4  , x   2,5
f  x  
,Y  3 X  8
0
, x   2,5

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,104 0,059 0,13 0,117 , если Z=2X+3Y.
0,13 0
0,083 0
0,1
0,141 0,096 0,04
166
Вариант 11
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
0
4
6
xi -4
, если Y  X 2  1.
pi 0,10 0,40 0,30 0,20
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
1
  
,
x

 ;


 2 2 
, Y=6X+3
f ( x)  


0, x    ; 
 2 2 

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,03 0,12
0,17 0,08
0,1 0,1
2
3
0,02 0,06 , если Z=X+Y.
0,05 0,15
0,03 0,09
Вариант 12
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
0
1
2
xi -1
, если Y  3X2  1.
pi 0,25 0,25 0,20 0,30
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
x 2
, x   2,4

f ( x)   2
, если Y  cos X .
0, x   2,4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,15
0,20
0,05
0,07
0,03
0,1
2
3
0,10 0,01 , если Z=5X-2Y.
0,05 0,09
0,05 0,1
167
Вариант 13
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
-1
0
1
-2
xi -2
, если
pi 0,15 0,14 0,35 0,36 0,15
Y=X+2.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 1  8x
 e , x   0, )
f ( x)   8
,Y  X  1
0
, x   0, )

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,02
0,05
0,03
0,16
0,15
0,09
2
3
0,24 0,03 ,если Z=-5X+3Y .
0,10 0,06
0,06 0,01
Вариант 14
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi



6
3 , если Y  4sin 2 X.
4
0,3 0,25 0,40 0,05
0
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 1
, x  1,9

f ( x)   4 x
,Y  2 X .
0, x  1,9

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,02 0,16
0,05 0,15
0,03 0,09
2
3
0,24 0,03 ,если Z  X  Y .
0,10 0,06
0,06 0,01
168
Вариант 15
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
0
1
2
3
xi
, если Y  7X  5 .
pi 0,22 0,18 0,45 0,15
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 2
  x  5 , x   0,5
f ( x)   25
,Y  e X
0,
x   0,5

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
0,13 0,102 0,07 0,08 , если Z=3X-2Y.
0,13 0,04 0,13 0,10
0,07 0,06 0,05 0,038
0
1
2
Вариант 16
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
-1
0
1
xi -2
, если Y  X2  1.
pi 0,15 0,28 0,33 0,24
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
7e7 x , x  0,  
f ( x)  
,Y  3 X  1
0, x  0,  
3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,103 0,05
0,07 0,15
0,15 0,01
2
3
0,03 0,16 ,если Z=X+7Y .
0,07 0,01
0,10 0,097
169
Вариант 17
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
3
4
xi 1
, если Y=4X-1.
pi 0,15 0,26 0,45 0,14
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
8
  
 2 x, x  0, 2 
, если Y=sin2X.
f ( x)  
0, x  0,  
2


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0
0,08
0,05
0,12
0,1
0,05
2
3
0,08 0,05 ,если Z=X-3Y.
0,1 0,25
0,04 0,08
Вариант 18
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
4
6
xi 0
, если Y=5Х-8.
pi 0,15 0,14 0,35 0,36
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
7
 sin 7 x, x   0, 
f ( x)   2
, Y  7 X  3.
0, x   0, 

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
0,11
0
0,1
1
2
3
0,1 0,14
0 , если Z=6X-Y.
0,25
0 0,16
0,04 0,1
0
170
Вариант 19
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
3
4
xi 1
, если
pi 0,17 0,20 0,15 0,23
Y=5X+3.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
1
  3x  5  , x  0,4
f ( x)   4
, Y  e X
0, x  0,4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
, если
0,075 0,103 0,064 0
0,136 0,1
0,125 0,144
0
0,156 0
0,097
0
1
2
Z=5X+8Y.
Вариант 20
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
3
4
5
xi 0
, если
pi 0,05 0,32 0,28 0,15 0,20
Y=5X-8.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 1
2
105  3x  4  , x   2,5
f  x  
,Y  3 X  8
0
, x   2,5

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,03 0,12
0,17 0,08
0,1 0,1
2
3
0,02 0,06 , если
0,05 0,15
0,03 0,09
171
Z=X+Y.
Вариант 21
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
4
5
6
xi 3
pi 0,20 0,55 0,15 0,1
, если
Y=3X.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
3e3 x , x  0,  
f ( x)  
,Y  X  7
0,
x

0,





3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
, если
0,075 0,103 0,064 0
0,136 0
0,1
0,097
0
0,156 0,125 0,144
0
1
2
Z=3X-2Y.
Вариант 22
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
3
6
9
xi 0
, если Y=7X-5.
pi 0,25 0,17 0,35 0,23
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
2e2 x , x   0, )
f ( x)  
, если Y=3X+1.
0,
x

0,

)


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,104 0,059 0,13 0,117 , если Z=2X+3Y.
0,13 0
0,083 0
0,1
0,141 0,096 0,04
172
Вариант 23
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ




6
3
4
2 , если Y=sinX.
0,1 0,24 0,35 0,16 0,15
0
xi
pi
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
cos x, x  0,  
2


f ( x)  
, Y  3 X  1.
0
, x  0,  
2


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
3
, если Z=5X+6Y.
0,044 0,06 0,075 0,1
0,125 0
0
0,167
0,1
0,156 0,033 0,14
0
1
2
Вариант 24
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi
-2
0,1
-1
0,4
0
0,3
1
2
, если Z=5X+6Y.
0,15 0,05
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
2cos 2 x, x  0,  
4


f ( x)  
,Y  5 X  2 .



0
, x  0,
4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,125 0,137 0,068 0,14 , если Z=5X+7Y.
0
0,145 0,075 0,063
0,132 0,06 0
0,055
173
Вариант 25
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
-1
0
1
xi -3
pi 0,05 0,35 0,25 0,2
3
, если Y= 3X 2 .
0,15
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
3sin 3x, x  0,  
6


f ( x)  
, Y  2 X  1. .
0, x  0,  
6


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,07 0,1
0,12 0,06
0,1 0
2
3
0,13 0,13 , если Z=5X+Y .
0,07 0,12
0,1 0
Вариант 26
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi

4
0,26 0,2
0


3
, если Y=cosX.
2
4
0,17 0,14 0,10
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
x 2
, x   2,4

f ( x)   2
, Y=cosX .
0, x   2,4


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,086
0
0,13 0,091
0,13 0,115 0,114 0,1
0,109
0
0,04 0,085
, если Z=3X+4Y.
174
Вариант 27
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
2
4
6
xi 0
pi 0,17 0,25 0,38 0,2
, если Y= 2 X  1.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
5e5 X , x  0,  
f ( x)  
, Y  X  3.
0,
x

0,




3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,09 0,15
0,11 0,18
0,109 0,17
2
3
, если Z=X+5Y.
0,005 0,03
0,02 0,04
0,01 0,041
Вариант 28
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
3
5
7
xi 1
, если
pi 0,15 0,20 0,55 0,10
Y=3Х-2.
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
9cos9 x, x  0,  
2


f ( x)  
, Y  2 X  1.



0
, x  0,
2


3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,15 0,108 0,03 0,01
0,18 0,11 0,01 0,02
0,06 0,25 0,05 0,022
, если Z=5X-Y.
175
Вариант 29
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
xi
pi



, если Y=cos2X.
6
3
4
0,25 0,15 0,25 0,35
0
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ
 32
 
 32 x, x   4 , 2 



f ( x)  
, Y  cos X .




0
,x , 

4 2

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
2
3
0,18 0,102 0,11 0,01
0,02 0,028 0,09 0,015
0,25 0,17 0,005 0,02
, если Z=2X-3Y.
Вариант 30
1) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - ДСВ
-2
-1
0
1
xi
, если Y  2X 2 .
pi 0,15 0,35 0,20 0,30
2) Найти М(Y), D(Y), (Y ) - НСВ

 
3sin 3 X , x   6 , 3 



f  x  
, Y  X  5.




0
,x , 

6 3

3) Найти M (Z ), D(Z ), (Z )
xi
yj
0
1
2
0
1
0,17 0,12
0,03 0,15
0,1 0,05
2
3
0,103 0,04
0,017 0,05
0,12 0,05
, если Z=2X+Y.
176
Глава 7 Модели случайных процессов
7.1 Понятие случайного процесса
Определение Случайным процессом Х(t) называется процесс,
значение которого при любом значении аргумента t является случайной
величиной.
Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию,
которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид,
неизвестно заранее – какой именно. Случайный процесс – это функция,
которая каждому исходу опыта
 k ставит в соответствие некоторую числовую
функцию, то есть отображение пространства Ω в некоторое множество функций
(рисунок 7.1).
Случайный процесс можно записать в виде функции двух переменных
Х(t,ω), где ω є Ω, t є T, Х(t,ω) є Ξ и ω- элементарное событие, Ω - пространство
элементарных событий, T – множество значений аргумента t, Ξ – множество
возможных значений случайного процесса Х(t,ω).
Конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате опыта,
называется реализацией случайного процесса.
x3 ( t )
3
2
x2 ( t )
 1
x1 ( t )
Рисунок 7.1
Фиксируя одно значение t1 аргумента t, рассмотрим X1=X(t1).
X1=X(t1)представляет собой обычную случайную величину, то есть сечение
случайного процесса в момент t1 . Для этой случайной величины можно
определить обычным путём закон распределения, например, функцию
распределения F1(x1, t1), плотность вероятности f1(x1,t1). Эти законы называются
одномерными законами распределения случайной функции X(t).
Особенностью их является то, что они зависят не только от возможного
значения x1 случайной функции X(t) при t = t1, но и от того, как выбрано
значение t1 аргумента t, то есть законы распределения случайной величины
X1=X(t1) зависят от аргумента t1 как от параметра.
177
Определение Функция F1(x1, t1) = Р(X(t1)<x1) называется одномерной
функцией распределения вероятностей случайной функции, или
F1(x, t) = Р(X(t)<x).
Определение Если функция распределения F1(x1, t1) = Р(X(t1)<x1)
F1 ( x1 ,t 1 )
дифференцируема по x1
 f 1 ( x1 ,t 1 ) то эта производная называется
x1
одномерной плотностью распределения вероятности (рисунок 7.2), или
F1 ( x , t )
 f 1 ( x ,t ) .
x
Одномерная плотность распределения случайной функции обладает теми
же свойствами, что и плотность распределения случайной величины. В
частности: 1) f1(x, t)  0;

2)
f
1
( x , t ) dx  1 - условие нормировки.

X (t )
f1 ( x1 ; t 1 )
x1 ( t )
x2 ( t )
0
t
t1
t2
f1 ( x2 ; t 2 )
Рисунок 7.2
Определение Двумерной плотностью распределения случайной
функции X(t) называется совместная плотность распределения её значений X(t1)
и X(t2) при двух произвольно взятых значениях t1 и t2 аргумента t.
f2(x1, x2, t1, t2 )=
 2 F ( x1 ,x2 ,t1 ,t2 )
x1x2
F ( x1 , x2 ,t1 ,t2 )  P( X ( t1 )  x1 ,X ( t2 )  x2 ) .
По известной двумерной плотности распределения можно найти
одномерную плотность распределения вероятности
f1( x1 ,t1 ) 

 f ( x , x ,t ,t
2
1
2
1
2
)dx2 .

Условие нормировки для двумерной плотности распределения имеет вид
178
 
  f ( x ,x
2
1
2
,t1 ,t2 )dx1dx2 1 .
 
Определение Математическим ожиданием случайной функции X(t)
называется неслучайная функция m x (t ) , которая при каждом значении
аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения
случайной функции.
По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая
средняя функция, около которой различным образом группируются и
относительно которой колеблются все возможные реализации рассматриваемой
случайной функции (рисунок 7.3)
mx(t )
X( t )
0
t
Рисунок 7.3
Для вычисления математического ожидания случайной функции
достаточно знать её одномерную плотность распределения

m x (t ) =  xf 1 ( x ,t )dx .

Математическое ожидание называют также неслучайной составляющей
случайной функции X(t), в то время как разность
0
X ( t )  X ( t )  mx ( t )
называют флюктуационной частью случайной функции или центрированной
случайной функцией.
Определение
Дисперсией случайной функции X(t) называется
неслучайная функция D x (t ) , значение которой для каждого t равно дисперсии
соответствующего сечения случайной функции.
Из определения следует, что
0
D x (t ) = D( X (t ))  M (( X (t ) mx (t ))2 ) M (( X (t ))2 ) .
Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс
возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными
словами, «степень случайности» случайной функции (рисунок 7.4).
179
X(t )
mx(t )
0
t
Рисунок 7.4
Дисперсия случайной функции может быть определена через её
одномерную плотность распределения

Dx ( t )  x  mx t  f1 x ,t dx ,
2

или

Dx ( t )  x 2 f1 x , t dx ( mx t  )2 .

Очевидно, D x t  есть неотрицательная функция. По аналогии со
случайными величинами для случайной функции вводится понятие среднего
квадратического отклонения
 x t  Dx t 
,
которое является неслучайной функцией.
Решение типовых примеров
7.1 Двумерная плотность вероятности случайной функции X(t) имеет
x  x 

1
f 2  x1 ,x 2 ,t 1 ,t 2 
e 2 .
2
2
1
вид
2
2
2
Найти m x (t ) , D x t  ,  x t  .
2
Решение
1. По формуле f1( x1 ,t1 ) 

 f ( x , x ,t ,t
2
1
2
1
2
)dx2 найдем f1( x1 ,t1 ) :

f 1  x1 ,t1 
1
2

2
2
   x1  x 2
2
2
2
e


dx 2 
2
   x1
2 2
1
2
2
e

e

180

x 22
2
2
x12
e 2
dx 2 
2 2
2
2
   x2
2 2
e

dx 2 
x2

z
x 2  z
=
 
x2

z

=
e
x12

2 2

 2
, так как
e
z2
2



2
x12

e 2
e 2
2
e

dz
=
=
2
2 2 
dx 2  dz

x12
2
z
2

e


x12
e 2
dz =
2
2
z
2

2
2 =
dz  2 - интеграл Пуассона.


2. По формуле m x (t ) =  x1 f 1 ( x1 , t1 )dx1 найдём m x (t ) :

x1

1
m x (t ) =
 2

x12
2 2
1
z
x1  z
dx1 =
 
x1

z

=
dx1  dz


1
 2
  ze

z2
2
 dz =


z2
2
 
e
=
2
x e

= 0.


3. По формуле D x (t )  x1 2 f 1 x1 , t1 dx (m x t ) 2 найдём D x t  :

x1
D x t  =
1
 2

x e

1

x12
2 2

z
x1     =
z  
dx1 0 2 = x   z
1
dx1  dz
=

1
 2
2 2
 z e

z2
2

2
 dz =
2
2
=  udv  uv   vdu =
2


z 2e

z2
2
uz
dz =


z2


2
  ze

dv  ze




e


z2
2
du  dz

z2
2
v  e

z2
2
=

2
 
dz 
2  2 ,
 2

так как
lim ze
z 
2
z
2
z
 lim
z 
e
z
1
 lim
2
2
z 

ze
z2
0 , а
e

z2
2
dz  2 - интеграл Пуассона.

2
4. По формуле  x t  Dx t  найдём  x t  :  x t  =
181
 2  .
7.2 Стационарные процессы
Определение Корреляционной функцией случайной функции X(t)
называется неслучайная функция двух аргументов Kx (t1, t2), равная
корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:
0
0
K x t 1 ,t 2 M  X t 1  X t 2 M  X t 1 m x t 1  X t 2 m x t 2  .


Зная двумерный закон распределения случайной функции X(t), можно
определить её корреляционную функцию.
 
K x t1 , t 2  
 x m t x
1
x
1
2
m x t 2  f 2 x1 , x 2 , t1 , t 2 dx1 dx 2 .
  
Если аргументы корреляционной функции равны между собой, то есть
t1 = t2 = t, то
2
 0
 

K x t , t   M  X t 
 D x t  .


 

Таким образом, необходимость в дисперсии как в отдельной
характеристике случайной функции отпадает. Поэтому в качестве основных
характеристик
случайной
функции
достаточно
рассматривать
её
математическое ожидание и корреляционную функцию.
Иногда вместо корреляционной функции для характеристики связи
между значениями случайной функции используют нормированную
корреляционную функцию.
Определение Нормированной корреляционной функцией называется
такая неслучайная функция, которая при каждой паре фиксированного
значения аргумента t1 и t2 равна коэффициенту корреляции соответствующих
сечений X t1  и X t 2  случайной функции X t , то есть
R x t1 , t 2 
K x t1 , t 2 
.
 x t1  x t 2 
Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична
коэффициенту корреляции для случайных величин, но не является постоянной
величиной, а зависит от двух аргументов t1 и t2. Как и коэффициент корреляции,
она изменяется от -1 до 1. Если t1 = t2 = t, то
Rx(t, t) = 1. Действительно,
Rx t , t 
K x t , t 
Dx t 

1 .
 x t  x t   x t 2
Итак, корреляционная функция позволяет судить о зависимости
значений одной и той же случайной функции при двух различных значениях
аргументов.
182
Свойства корреляционной функции
1. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, то
есть
Kx (t1 , t2)= Kx (t2 , t1).
Это свойство следует из определения корреляционной функции, так как
Kx(t1,,t2)=M((X(t1)– mx(t1))(X(t2)–mx(t2)))=M((X(t2) – mx(t2))(X(t1) – mx(t1)))=Kx(t2 ,t1).
2. Модуль корреляционной функции не превышает произведения средних
квадратических отклонений случайной функции, взятых в точках,
соответствующих аргументам корреляционной функции, то есть
K x t1 ,t 2    x t1  x t 2  .
3. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию  t  , то её
корреляционная функция не изменится, то есть если
Y(t)= X(t)+  t  , то Ky (t1 , t2)= Kx (t1 , t2).
4. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию  t  , то
её корреляционная функция умножится на  t1   t 2  , то есть если Y(t)=  t  X(t),
то
Ky (t1 , t2)=  t1   t 2  Kx (t1 , t2).
Случайная функция (процесс) называется стационарным, если п –
мерная плотность вероятности не меняется при любом сдвиге всей группы
точек t1, t2, … , tn вдоль оси времени, то есть при любом натуральном п и сдвиге
во времени τ:
f (x1, x2, … , xn , t1, t2, … , tn)= f (x1, x2, … , xn , t1+τ, t2+τ, … , tn+τ).
Вероятностный режим таких случайных функций не изменяется при
любом сдвиге всей группы точек t1, t2, … , tn вдоль оси времени.
Поэтому вероятностные характеристики случайной функции X(t) при
любом τ совпадают с соответствующими характеристиками случайной функции
X(t+τ). Такие случайные функции (процессы) называются стационарными в
узком (строгом) смысле.
Определение Случайная функция (процесс) X t  называется
стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание постоянно,
а корреляционная функция зависит только от разности аргументов   t 2  t1 , то
есть, если
m x t   const ,
K x t1 , t 2   k x   ,   t 2  t1 .
Функции, стационарные в широком смысле, называются просто
стационарными, а стационарные в узком смысле – стационарными строго.
183
Стационарность в широком смысле не тождественна стационарности в
узком смысле. Случайные процессы, стационарные строго, всегда стационарны
в широком смысле.
Обратное утверждение неверно.
Свойства стационарной случайной функции
1. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна, так как дисперсия
любой случайной функции равна значению её корреляционной
функции при одинаковых значениях аргументов t1=t2=t, следовательно,
Dx ( t )  K x ( t , t )  k x ( t  t )  k x ( 0 )  const .
2. Корреляционная функция действительной стационарной случайной функции
является чётной функцией, то есть
k x     k x   .
3. Корреляционная функция стационарной случайной функции по модулю
меньше или равна её значению в начале координат то есть корреляционная
функция стационарной случайной функции достигает наибольшего значения в
начале координат:
k x    k x 0  D x t  .
Перечисленные свойства позволяют определить общий характер
корреляционной функции действительной стационарной случайной функции.
Кривая, изображающая корреляционную функцию, симметрична относительно
оси ординат и не выходит из пределов полосы, ограниченной линиями y   D x
(рисунок 7.5)
k x ()
Dx

 Dx
Рисунок 7.5
4. Если случайная функция является стационарной, то её линейное
преобразование Y t   aX t   b тоже будет стационарной случайной функцией.
На практике вместо корреляционной функции k x   часто используют
нормированную корреляционную функцию
rx   
k x   k x  
.

k x 0  D x t 
184
Функция rx   есть коэффициент корреляции между значениями
случайной функции, разделёнными по времени интервалом длиной  .
Очевидно, что rx 0  1 , а rx    1 .
Решение типовых примеров
7.2 Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную
функцию случайной гармоники X (t )  u sin(t  ) , у которой частота  и
амплитуда u фиксированы (неслучайны), а начальная фаза  - случайная
величина, равномерно распределенная на промежутке 0, 2  .
Решение
Запишем случайную функцию X t  в виде
X t  = u sin t cos  u cost sin  .
Используя свойства математического ожидания M ÑX   ÑM  X  и
M  X 1  X 2  M  X 1  M  X 2  будем иметь m x t   u sin tM cos   u cos tM sin   .
По условию случайная величина  распределена равномерно на
0, 2  , поэтому её плотность вероятности будет равна
 1
, 0 2 ;

f    2
 0 ,  0; 2 .

1
Тогда M cos    cos  f  d 
2


1
M sin     sin   f  d 
2

2

0
2

0
2
1
cosd 
sin   0.
2
0
2
1
sin d 
cos  0.
2
0
Следовательно, m x t  0 .
Найдём корреляционную функцию Kx (t1 , t2).
Так как m x t  0 , то
 X t1   m x t1  X t 2   m x t 2   X t1 X t 2   u sin t1     u sin t 2    

u2
cos t 2  t1   cos t 2  t1   2  
2
u2
cos t 2  t1   cos t 2  t1  cos 2  sin  t 2  t1  sin 2  .

2
Используя формулу (1.4.1) и учитывая, что
M  X 1  X 2   M  X 1   M  X 2  получим
185
M C   C ,
а
u2
u2
K x t1 , t 2   X t1 X t 2  
cos  t 2  t1  
cos  t 2  t1 M cos 2  
2
2
u2

sin  t 2  t1 M sin 2  .
2
Как было показано ранее M cos 2  = M sin 2  = 0, то
u2
cos t 2  t1  .
2
Дисперсия случайной функции X t  , будет
u2




Dx t  K x t ,t  .
2
Если у случайной гармоники амплитуда тоже является случайной
величиной, независимой от  , то аналогично предыдущему получим
1
Kx (t1 , t2)= M u 2 cos  t 2  t1  ;
2
1
Dx t   M u 2 .
2
Kx (t1 , t2)=
 
7.3 Характеристики случайной функции X t  заданы выражениями:
m x t   t  3t; K x t1 , t 2   e
2


1 2 2
t1  t2
4

.
Найти характеристики случайной функции
Y t  
5
X t   7.
t2
Решение
Найдём математическое ожидание
m y t   M( 52 X t   7 ) = 52 M  X t   7  52 t 2  3t   7  5  15  7  15  2.
t
t
t
t
t
Используя формулу (1.5.4), найдём корреляционную функцию
1
1
5 5  4 t  t  25  4 t  t 
K y t1 , t 2   2  2 e
 2 2e
.
2
1
2
2
t1 t 2
2
2
t1 t 2
Если в полученном результате положить
D y t   K y t , t  
2
1
t1  t 2  t ,
то найдём дисперсию
1
25  2 t 2
.
e
t4
7.4 Определить, обладает ли свойством эргодичности гармонические
колебания X (t )  u sin(t  ) .
186
Решение
Ранее было показано, что m x t  =0, k x ()   x cos  .
Найдём эти же характеристики как среднее по аргументу для
некоторой реализации, то есть для некоторых фиксированных значений
U  u1 ,   1 . Тогда X (t )  u1 sin(t  1 ) .
2
T
 1

  cos(t  1 )  
 
 T
 cos(T  1 )  cos(T  1 ) u1
 2 sin 1 sin T
u1 sin 1
sin T
 u1 lim

lim


lim
0
T 
2T
2 T 
T
2 T  T
1
m x (t )  lim
T 
2T
1
k x (t )  lim
T   2T
u12
 lim
T   2T
T
1
T u1 sin(t  1 )dt  u1 lim
T 
2T
T
 u1 sin( t  1 )  u1 sin( (t   )  1 )dt 
T
cos  cos(  2 t  21 )
dt 
2
T
T

T
u12
1 
1


lim
sin   2 t  21 

 t cos 
2 T  2T 
2
 T

u12
1 
1
sin   2T  21   sin   2T  21  
lim
 T  T  cos 
2 T  2T 
2


u12
2 cos   21 sin 2T  u12

lim  cos  
cos  .

2 T  
2T  2
2

Сравнивая полученные результаты видим, что mx t   mx t ; k x    k x   .
Следовательно, рассматриваемые гармонические колебания по отношению к
математическому ожиданию обладают свойством эргодичности, но по
отношению
к
корреляционной
функции
этим
свойством
не
u2

u12

cos  
cos   , так как u1 является некоторым значением
обладают
 2

2


случайной величины U.
Задачи для самостоятельного решения
7.5 Найти mx  t  , Dx  t  , K x  t1 , t2  случайной гармоники,
X t   U сoswt    в которой
w – частота
U – амплитуда, (w, U - неслучайные, т.е. фиксированные)
187
Φ – начальная фаза, равномерно распределенная случайная величина на
[0;
2π ].
7.6 Случайная функция задана одномерной плотностью вероятности

1
f1  x, t  
е
4 2
 x  t 2
32
. Найти : mx  t  , Dx  t  .
Задана двумерная плотность
СФ Х(t)
в виде
1
1  2  x sin t   y sin t  
. Найти основные характеристики: mx(t), Dx(t),
f 2  x, y, t1 , t2  
e
7.7
2
2
1
2
2
Kx(t1 ,t2) .
7.8. Является ли стационарной случайная функция Х(t) = t 3U, где U
- cслучайная величина, причем а) mU ≠ 0 ; б) mU = 0 .
7.9 Задана случайная функция X  t   t  U sin t  V cos t , где U и V –
случайные величины, причем
M(U) = M(V) = 0 , D(U) = D(V)= 5, M(UV) = 5. Доказать, что а) Х(t) – не
стационарная
функция;
0
X t 
б)
-
стационарная
функция.
0

X
t

X


 t   mx  t   .



7.10 Известна kx    3e2 стационарной случайной функции X(t).
2
Найти корреляционную функцию случайной функции У(t)=5X(t) .
7.11 Задана корреляционная функция kx    2e2 , где X(t) –
2
cтационарная функция. Найти нормированную корреляционную функцию.
7.12
Определить,
обладают
ли
гармонические колебания X t   U сoswt    .
188
свойством
эргодичности
Глава 8 Основы Математической статистики
8.1 Генеральная совокупность, выборка, выборочный метод
Математической статистикой называется наука, занимающаяся
разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с
целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.
В практике статистических исследований различают два вида
наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты (элементы, единицы)
совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов.
Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений)
называется генеральной совокупностью. Число членов (число N), образующих
генеральную совокупность, называется объемом генеральной совокупности.
Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называется
совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Число членов (число n ), образующих выборку является её объемом. (Причем,
n  N ).
Расположение выборочных наблюденных значений случайной величины в порядке неубывания называется ранжированием.
Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе
сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а
изменение этого значения - варьированием.
Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых
данных называется частотой или весом варианты. Если i - индекс варианты,
то mi - число измеренных значений i-й варианты.
Отношение хi к общей сумме частот всех вариант
называется
относительной частотой варианты и обозначается
.
Дискретным вариационным рядом распределения (распределением
частот)
называется
ранжированная
совокупность
вариант
хi
с
соответствующими им частотами или относительными частотами.
Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная
величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения
вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом
случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число
частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины
в каждый частичный интервал.
Интервальным вариационным рядом (интервальным распределением частот) называется упорядоченная последовательность интервалов
189
варьирования случайной величины с соответствующими частотами или
относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной
величины.
Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой
части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о её
свойствах в целом.
Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о.
генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно.
Используют два способа образования выборки:
1. повторный отбор, когда каждый элемент, случайно отобранный и
обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно
отобран (по схеме возвращенного шара),
2. бесповторный отбор, когда отобранный элемент не возвращается
в общую совокупность.
Важнейшей задачей выборочного метода является оценка
параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.
Решение типовых примеров
8.1 В супермаркете проводились наблюдения над числом X
покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30
часов (15 дней в период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали следующие
результаты: 70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75,
60,100,100,120,70,75,70,120,65,70,75,70,100,100.
Число X является дискретной случайной величиной, а полученные
данные представляют собой выборку из п = 30 наблюдений. Требуется
составить ряд распределения частот (вариационный ряд).
Решение
Вначале составим ранжированный ряд:
60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100,
100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.
Получено шесть групп, т.е. шесть различных значений случайной
величины (шесть вариант). Для каждой группы подсчитаем частоту значений
варианты и соответствующую относительную частоту. Все результаты укажем
в таблице, которая и будет представлять вариационный ряд.
190
Номер группы
Число
обращений
покупателей
в кассу
Частота
Относительная
частота
i
1
2
3
4
5
6
хi
60
65
70
75
100
120
mi
рi
3
3/30
3
3/30
7
7/30
5
5/30
8
8/30
4
4/30
8.2 В таблице приведена выборка результатов измерении роста 105
студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см.
155 170
185
180
188
152
173
178
178
168
185
173 170
183
175
173
170
183
175
180
175
193
178 183
180
197
178
181
187
168
174
179
184
183 178
180
178
163
166
178
175
182
190
167
170 178
183
170
178
181
173
168
185
175
170
155 169
186
179
189
155
174
179
179
169
186
174 171
184
175
193
178
184
180
196
175
181
188 168
179
178
183
184
178
181
177
163
166
178 175
183
190
167
170
178
183
170
178
182
173 168
186
176
171
188
Требуется составить интервальный вариационный ряд.
Решение.
Очевидно, что рост юношей есть случайная непрерывная величина.
Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины:
xmin= 152 см, хmах= 196 см.Тогда интервал варьирования R («размах») будет
равен R = xmax - xmin = 44 см.
На практике обычно считают, что правильно составленный ряд
распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов, однако
фактическое число частичных интервалов и, соответственно, размер интервала
определяются условиями конкретной задачи.
В нашем случае удобно выбрать длину частичного интервала равной 5
см, тогда число частичных интервалов, начиная со 150 см и кончая 200 см,
будет равно 10. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведен
в таблице.
191
Индекс интервала i Рост студентов
(интервалы)
х i <Х≤х i+1
1
150-155
2
155-160
3
160-165
4
165-170
5
170-175
6
175-180
7
180-185
8
185-190
9
190-195
10
195-200
Частота хi
Относительная
частота
4
2
19
19
26
21
10
2
2
0,0381
0,0190
0,1810
0,1810
0,2476
0,2000
0,0953
0,0190
0,0190
Задачи для самостоятельного решения
8.3
В ходе проведения эксперимента получен следующий набор
данных: 32, 26, 16, 44, 28, 40, 30, 31, 17, 30, 37, 32, 42, 31, 36, 49, 35, 21, 25, 40,
27, 25, 33, 34, 27, 43, 19, 23, 36, 48, 31, 35, 43, 32, 26, 35, 33, 45, 19, 22, 28, 49, 23,
32, 33, 27, 43, 35, 23, 44.
Составить интервальный вариационный ряд, выбрав число частичных
интервалов, равное 7.
8.4
Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В
результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):
0, 1, 0, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 5,
10, 0, 1, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0.
Составить вариационный ряд случайной величины X - выигрыша в мгновенной
лотерее.
8.5 В городе А для определения сроков гарантийного обслуживания
проведено исследование величины среднего пробега автомобилей,
находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи
автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км): 3,0; 25,0; 18,6;
12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5; 26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1;
16,8; 11,2; 9,9; 25,3; 4,2; 29,6.
Составить интервальный вариационный ряд.
192
8.2 Представление статистических данных и оценивание закона
распределения генеральной совокупности
Одним из способов обработки статистического материала является
построение статистического распределения СВ X.
Статистическим рядом распределения СВ называется таблица, в
первой строке которой указываются полученные в результате наблюдения
значения СВ X, а во второй - соответствующие им частоты
xi
mi
(частоты)
xi
x1
…
xk
m1
…
mk
x1
…
xk
 k * k mi

mi
pi    1
(8.1)
p 
m1
mk


*
*
p1 
pk 
…
n
i 1 n
 i 1

n
n
(относит.част.)
Статистический ряд распределения можно построить как ДСВ, так и
для НСВ. При большом числе опытов над НСВ X (или ДСВ, которая имеет
счетное множество возможных значений производят подсчет результатов
наблюдений, попадающих в определенные группы (интервалы), и составляют
таблицу, в которой указываются концы интервалов (группы) и частота
получения результатов наблюдения в каждом интервале.
интерв.
(ak 1; ak )
(a0 ; a1 )
(a0 ; a1 )
…
(группы)
k
pi*  1
(8.2)
частоты

m1
m2
mk
*
*
*
i 1
p1 
p2 
pk 
m
…
pi*  i
n
n
n
n
Такое распределение называют статистической совокупностью.
Если при группировке наблюдаемых значений имеем значение,
которое в точности лежит на границе двух групп, то необходимо прибавить к
числам mi одного и другого интервала по 1/2. Число групп выбирают порядка
*
i
10 -20. Длины интервалов могут быть как одинаковыми, так и разными. Однако
при оформлении данных о СВ распределение крайне неравномерно, иногда
бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения
интервалы узкие, чем в области малой плотности.
В целях наглядности статистические распределения представляют
графиками. Наиболее распространенными являются полигон и гистограмма.
193
Полигоном частот (относительных частот) называется графическое
изображение статистического ряда распределения.
Полигон относительных частот строится следующим образом:
на оси абсцисс откладываются наблюдаемые значения X i , а на оси
ординат соответствующие относительные частоты pi* (частоты mi ). Точки
( X i , pi* ) соединяют отрезками прямых и получают полигон.
pi*
x1
x2
x4
x3
x5
x6
xi
Рисунок 8.1
Гистограммой называется графическое изображение статистической
совокупности.
Гистограмма строится следующим образом: на оси абсцисс
откладываются интервалы и на каждом из них, как на основании, строится
прямоугольник, площадь которого равна частоте (относительной частоте) mi
( pi* ) данного интервала. Из способа построения следует, что её полная площадь
равна единице.
Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала,
то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку
плотности вероятности:
p
f  ( xi )  i .
h
hi
ax
a1
a2
a3
194
a4
a5
xi
Рисунок 8.2
Если точки гистограммы (например, середины верхних оснований
прямоугольников) соединить плавной линией, то она в первом приближении
будет представлять график плотности вероятности СВ X, т.е, гистограмма
является оценкой неизвестной вероятностной функции - плотности
вероятности.
Кумулятивная кривая (кривая накопленных частот или накопленных
относительных частот (частостей)) строится следующим образом. В системе
координат строят точки ( X i , p*нак
) или ( X i , mxнак ), где X i - наблюдаемые
x
значения,
- соответствующие накопленные относительные частоты
p*нак
x
(частоты). Полученные точки соединяют отрезками.
pi*нак
1
p 1*  p 2*  p 3*
p1*  p 2*
p 1*
x1
x2
x3
x4
x
Рисунок 8.3
Решение типовых примеров
8.6 При изучении некоторой дискретной случайной величины в
результате 40 независимых наблюдений получена выборка:
10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9;
8, 9 ,11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;
10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10;
14, 13, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12.
Требуется: а) составить статистический ряд распределения;
б) построить полигон частот.
Решение
Составим таблицу частот следующим образом: в первой строке
расположим наблюдаемые значения Xi выборки в возрастающем порядке, а во
второй – соответствующие им кратности (число появлений в выборке)
Таблица частот:
195
xi
6
7
8
9
10
11
12
13
14
mi
1
3
6
8
6
6
5
3
2
Составим статистический ряд распределения. Так как объем выборки n=40,
m m
то относительные частоты найдем по формуле pi*  i  i .
n 40
xi
6
7
8
9
10
11
12
13
14
m
pi*  i
1
3
6
8
6
6
5
3
2
n
(относит. 40 40
40
40
40
40
40
40
40
част.)
б) Для построения полигона частот на оси абсцисс отложим
наблюдаемые значения X i : 6, 7, 8…14, а на оси ординат соответствующие
1 3
2
, ,... . Точки ( X i , pi* ) соединим
40 40 40
отрезками прямых и получают полигон.
относительные частоты
pi* :
pi* :
p*
8/ 40
7 / 40
6 / 40
5/ 40
4 / 40
3/ 40
2 / 40
1/ 40
0
6
7
8
9
10
11
12
13
14 X
8.7 Для изучения распределения веса новорожденных были собраны
данные для 100 детей и составлена интервальная таблица частот. Для удобства
таблица составлена в столбик. Построить гистограмму данной статистической
совокупности.
Решение
Интервалы
веса (кг)
Частота
m
pi*  i
n
1,0 - 1,5
0,01
1,5 - 2,0 2,0 - 2,5
0,02
0,05
2,5 - 3,0
0,15
196
3,0- 3,5 3,5 - 4,0 4,0 - 4,5 4,5 - 5,0
0,35
0,28
0,12
0,02
Построим таблицу плотностей частоты f i * , деля каждую частоту pi* на длину
соответствующего интервала xi-xi-1= h. h=1,5-1=0,5.
Интервалы
веса (кг)
Плотность
частоты
fi*
1,0 - 1,5
1,5 - 2,0 2,0 - 2,5
0,02
0,04
0,1
2,5 - 3,0
3,0- 3,5 3,5 - 4,0 4,0 - 4,5 4,5 - 5,0
0,3
0,7
0,56
0,24
0,04
Для построения гистограммы на оси абсцисс отложим интервалы и на
каждом из них, как на основании, построим прямоугольник с высотой f i * .
Середины верхних оснований соединим плавной линией. Эта линия в первом
приближении будет представлять график плотности вероятности СВ X.
fi*
1,0
0,8
0,6
0,4
0,
20
X
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Задачи для самостоятельного решения
8.8 Заданы выборки из генеральной совокупности значений
дискретной случайной величины X. Требуется а) составить статистический ряд
распределения; б) построить полигон частот.
1) 2, 1, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3;
2) 3, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1;
8.9 Пятьюдесятью абитуриентами на вступительных экзаменах
получены следующие количества баллов:
197
12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12,
20, 17, 15, 13, 17, 16, 20, 14, 14, 13,
17, 16, 15, 19, 16, 15, 18, 17, 15, 14,
16, 15, 15, 18, 15, 15, 19, 14, 16, 18,
18, 15, 15, 17, 15, 16, 16, 14, 14, 17.
Составить статистический ряд распределения, построить полигон
частот.
8.10 Построить полигон частот статистического ряда распределения
ошибок 20 измерений до цели с помощью дальномера.
-15
-10
-5
5
10
15
xi
0,05
0,2
0,25
0,3
0,15
0,05
pi*
8.11 Задана интервальная таблица частот некоторой величины.
Требуется построить гистограмму:
1)
10-15
0,1
15-20
0,2
20-25
0,4
25-30
0,2
2)
2-5
0,24
5-8
0,40
8-11
0,20
11-14
0,16
30-35
0,1
8.12 Построить гистограмму статистической совокупности ошибок 20
измерений дальности до цели с помощью радиодальномера, представленных
следующей таблицей
группы
(-15;-10)
(-10; -5)
(-5; 5)
(5; 10)
(10; 15)
0,15
0,2
0,30
0,25
0,10
частота pi*
8.3 Эмпирическая функция распределения
Эмпирический функцией распределения СВ X называют функцию
F(х), определяющую для каждого значения аргумента х частоту события Х < х
F *  x  P *  X  x
(8.3)
Чтобы найти значение эмпирической функции распределения при
данном х, надо подсчитать число опытов, в которых СВ X приняла значения,
меньшее, чем х и разделить его на общее число произведенных опытов.
Эмпирическая функция распределения любой СВ (ДСВ или НСВ)
имеет вид
198
F *  x 
 P * X  x ,
Xi x
где символ
Xi  x
(8.4)
i
под знаком суммы обозначает, что суммирование
распространяется на все те наблюдаемые в результате опытов значения СВ X,
которые по своей величине меньше аргумента х.
Для нахождения значений эмпирической функции удобно F*(х)
записать в виде
n
F * x  x ,
n
где п – объем выборки, пх – число наблюдений, меньших х (хєR).
Согласно выражению (8.3.2) F *  x  , любой СВ всегда разрывна и
возрастает скачками при переходе через точки, которые соответствуют
наблюдаемым значениям СВ, причем величина скачка равна частоте
соответствующего значения.
Основное значение эмпирической функции распределения F*(х)
состоит в том, что она является оценкой вероятности события (Х<х),то есть
оценкой теоретической функции распределения F(х) случайной величины Х.
Имеет место
Теорема. Пусть F(х) - теоретическая функция распределения
случайной величины Х, а F*(х) – эмпирическая. Тогда для любого ε ˃ 0
Из определения эмпирической функции распределения следует, что:
1. 0  F *  x   1.
2. Эмпирическая функция распределения есть неубывающая функция,
т.е. при x2  x1 F *  x2   F *  x1  .
Решение типовых примеров
8.13 Построить эмпирическую функцию распределения по данному
статистическому ряду распределения:
xi
2
6
10
pi*
0,2
0,3
0,5
Решение
199
Наименьшее значение СВ X равно 2, следовательно, F *  x   0 при
x  2 . Относительная частота появления значения СВ X  6 равна 0,2,
следовательно, F *  x   p *(2)  0,2 при 2  x  6 .
Относительная частота появления СВ X < 10 равна:
p *(2)  p *(6)  0,2  0,3  0,5 , следовательно F *  x   0,5 при 6  x  10 .
Так как x = 10 – наибольшее значение СВ X, то F *  x   1 при x >10.
Искомая эмпирическая функция:
при x  2
0,
0, 2 при 2  x  6

F * x  
0,5 при 6  x  10
1,
при x  10.
FX 
*
1
0,5
0,2
0
1
3
2
4
5
6
7
8
9
X
10
Задачи для самостоятельного решения
8.14 Построить эмпирическую функцию распределения ошибок 20
измерения дальности до цели с помощью дальномера, если результаты
измерения представлены статистическим рядом распределения:
xi
-15
-10
-5
5
10
15
pi*
0,05
0,2
0,25
0,3
0,15
0,05
8.15 Построить эмпирическую функцию распределения по данному
статистическому ряду распределения
xi
5
7
10
15
pi*
0,1
0,15
0,4
0,35
8.16 Построить эмпирическую функцию распределения по данному
статистическому ряду распределения
200
xi
1
2
3
4
pi*
0,4
0,2
0,3
0,1
8.4 Свойства оценок параметров распределения
Пусть x1 , x2 , , xn независимая выборка, извлеченная из генеральной
совокупности значений случайной величины X с неизвестной функцией
распределения F(х). Рассмотрим некоторый параметр функции распределения

F(х), например, математическое ожидание
a
 xdF ( x) .

Этот параметр зависит от вида функции распределения.
Статистической оценкой параметра а x1 , x2 , , xn
функция выборочных значений
a    x1 ,
, xn  , которая при
называется
n 
в
вероятностном смысле сходится к а, если выборка извлечена из генеральной
совокупности СВ X.
Другими словами, приближенное значение параметра а будем
называть его оценкой.
Функция   x1 , , xn  называется так же его статистикой.
Статистика a как функция случайной величины является так же
случайной величиной и для неё существует функция распределения и
соответствующие числовые характеристики.
Например, естественной оценкой для математического ожидания
случайной величины Х является среднее арифметическое её полученных
значений, то есть:
1 n
*
a x  a   xi
(8.5)
n i 1
При выборе той или иной статистики необходимо исходить из
наличия у неё определённых свойств. Такими свойствами являются
несмещённость, состоятельность и эффективность.
Оценка a называется несмещенной, если её МОЖ равно
оцениваемому параметру, т.е.
M (a)  a .
В противном случае оценка называется смещенной.
Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических
ошибок при оценивании.
201
Оценка a параметра а называется состоятельной, если она сходится
по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.
lim p  a  a     1.
p
a 
 a , или
n
x
Несмещенная и состоятельная оценка называется эффективной, если
она имеет минимальную дисперсию при данном объеме выборки, т.е.
Д (a)  min .
В качестве статистических оценок математического ожидания и
дисперсии можно рассматривать:
- для оценки математического ожидания – среднее статистическое
1 n
*
a x  a   xi .
n i 1
n
- для оценки дисперсии
Д * , где Д * - выборочная дисперсия, т.е.
n 1
n
1 n
 n
Д  Д*
   xi2  а 2 
,
n  1  n i 1
n

1

или
1 n
Д
xi  а 2  .


n  1 i 1
При больших значениях п поправочный множитель
(8.6)
n
становится
n 1
близким к единице, и его применение теряет смысл.
n
- для оценки ковариации К ху 
К ху* .
n 1
1 n
 n
К ху    xi y j  a x a y 
 n i 1
 n 1
(8.7)
Оценку коэффициента корреляции СВ X и Y находят по формуле
rху 
К ху
Dx D y
(8.8)
Можно доказать, что все оценки обладают свойствами
несмещенности, состоятельности и эффективности.
В качестве статистических оценок параметров генеральной
совокупности
желательно
использовать
оценки,
удовлетворяющие
одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.
Однако достичь этого удается не всегда. Иногда для простоты расчетов
202
целесообразно использовать незначительно смещенные оценки или оценки,
обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками, и
т.д.
8.5 Точечные и интервальные оценки параметров распределения
Оценка, которая определяется одним числом, называется точечной.
В случае равноточных независимых испытаний оценки числовых
характеристик, обладающих свойствами несмещенности, состоятельности и
эффективности находят по формулам (8.5) - (8.8).
В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее
числовое значение, но и оценить точность и надёжность.
Такого рода задачи важны при малом числе наблюдений, т.к. точечная
оценка a в значительной мере является случайной и приближенная замена а на
a может привести к серьёзным ошибкам.
Для определения точности оценки a в математической статистике
пользуются доверительными интервалами, а для определения надежности –
доверительными вероятностями.
Пусть для параметра а получено из опыта несмещённая оценка a .
Задана вероятность α, близкая к единице (доверительная вероятность).
  0 , чтобы интервал
Требуется найти такое значение
 a  , a    длины 2ε накрыл искомое значение параметра а с вероятностью
(надежностью) α, иначе говоря, выполнялось равенство
P  a  a    
или
P  a    a  a     .
(8.9)
(8.10)
Равенство (8.10) означает, что неизвестное значение параметра а с
вероятностью  попадает в интервал
l   a  ; a   
(8.11)
Неизвестное значение параметра а является неслучайной величиной, а
интервал l - СВ, т.к. положение интервала на оси зависит от СВ a (центр
интервала), длина интервала 2 тоже в общем случае является СВ. Поэтому
вероятность  надо рассматривать, как вероятность того, что случайный
интервал l накроет точку а.
203
l
0
a 
a
a
Интервал l называется доверительным интервалом, а вероятность
 - доверительной вероятностью или надежностью  соответствующей
данному доверительному интервалу l , называется вероятность того, что
истинное значение параметра лежит в этом интервале.
Так доверительный интервал для МОЖ приблизительно равен

Д
Д
l   m  t
; m  t
,


n
n


  
где t находим из уравнения Ф    
 а 
t 

; а 
а
Д
.
n
Доверительный интервал для дисперсии
 Д  n  1 Д  n  1 
l  
;
,
2
2


1
2


2
где случайная величина имеет  распределение с  n  1 степенями свободы,
т.е.
k
2   X 2 ,
i 1
где X1, , X k - независимые величины СВ, имеющие нормальное
распределение с m  0;   1.
Интервальная оценка для корреляционного момента определяется из
неравенства


n  1 
n  1 


p К ху  К ху 
Ф
.
2
2 2 
2
2 2 


К



К



ху
x y 
ху
x y 


Безусловно, чем меньше длина интервала, тем точнее оценка
искомого параметра а. Заметим следующее: выбор доверительной вероятности
(надежности) не является математической задачей, а определяется в
зависимости от конкретной задачи.
204
Решение типовых примеров
8.17 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с
известным средним квадратическим отклонением σ = 2. Построить
доверительный интервал для неизвестного математического ожидания
соответствующий доверительной вероятности α = 0,97, если объем выборки
n =36.
Решение
Искомый доверительный интервал
   а  ; а    ,

t - точность оценки, a – неизвестное математическое ожидание, a n
оценка для математического ожидания,  - доверительная вероятность
(надежность).

Зная, что: P  а  а     Ф  t   , найдем t по таблице значений
2
0.97
 0.485  t  2.18
функции Лапласа: Ф  t  
2

2
Определим точность оценки  
t
 2.18  0.727
n
36
Следовательно, доверительный интервал будет
 а  0,727; а  0,727 
где  
Полученный результат говорит о том, что доверительный интервал
 а  0,727; а  0,727  покрывает неизвестное математическое ожидание с
вероятностью 0,97.
Задачи для самостоятельного решения
8.18 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с
известным средним квадратическим отклонением σ = 2. Построить
доверительный интервал для неизвестного математического ожидания
соответствующий доверительной вероятности α = 0,95, если объем выборки
n = 25.
8.19 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с
известным средним квадратическим отклонением σ = 3. Построить
доверительный интервал для неизвестного математического ожидания
205
a
соответствующий доверительной вероятности α = 0,95, если объем выборки
n = 36.
8.20 Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99
неизвестного математического ожидания α нормально распределенного
признака Х интегральной совокупности, если даны интегральное среднее
квадратическое отклонение   4 , выборочная средняя a =10,2, и объем
выборки n = 16.
8.21 Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n = 100
вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с
надежностью 0,95 точность  , с которой выборочная средняя оценивает
математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее
квадратическое отклонение  = 2 мм.
8.6 Метод моментов
При заданном виде закона распределения случайной величины X неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как
функцию вариант выборки, на основе метода моментов.
Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие
теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся
оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распределении
для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два
параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять
соответственно два теоретических и эмпирических момента и так далее.
Согласно этому методу в качестве оценок для неизвестных
параметров используются выборочные моменты, как наиболее простые
статистики:
1 n
1 n k
1  x   xi ; k   xi ;
n i 1
n i 1
1 n
1 n
2
k
M 2  S    xi  x  ; M k    xi  x  ,
n i 1
n i 1
которые являются состоятельными, а х и  k - несмещенными оценками.
Для вероятности события точечной оценкой является её частота
m
p*  A  , которая является несмещенной, состоятельной и эффективной.
n
2
206
Недостатком метода моментов является то, что оценки S 2 , M k при
k  2 являются смещенными, поэтому в качестве оценки дисперсии лучше
использовать статистику
1 n
2
2
S 
 xi  x  ni ,

n  1 i 1
которая является уже несмещенной оценкой  2 .
Выборочные оценки так же не всегда являются эффективными.
Решение типовых примеров
8.22 На предприятии изготавливается определенный вид продукции.
Ежемесячный объем выпуска этой продукции является случайной величиной,
для характеристики которой принят показательный закон распределения
(x≥0)
В течение шести месяцев проводился замер объемов выпуска продукции,
получены следующие данные:
Месяц
Объем
выпуска
Найти оценку параметра λ.
1
20
2
24
3
25
4
28
5
27
6
32
Решение
. Так как закон распределения содержит лишь один параметр λ, то для его
оценки требуется составить одно уравнение. Находим выборочную среднюю:
= (20 + 24 + 25 + 28 + 27 + 32)/6 = 26.
Определяем математическое ожидание:
Интегрируя по частям, получаем
откуда
Данное равенство является приближенным, так как правая часть его
является случайной величиной. Таким образом, получается не точное значение
λ, а его оценка λ*:
207
Итак, , откуда λ* =
Задачи для самостоятельного решения
8.23
величины X
При условии показательного распределения случайной
произведена выборка
xi
4
3
10 12 15
ni
3
3
6
4
4
Найти оценку параметра λ.
8.24 Случайная величина X задана функцией распределения
F ( x ) = 1 – е-λx ( х ≥0 ) . Произведена выборка
xi 3 5 6 8 10
ni 2 3 5 10 10
Найти оценку параметра λ.
8.25 При условии равномерного распределения случайной
величины X
произведена выборка
4 5 6
5 12 8
xi 2 3
ni 4 6
Найти оценку параметров а и b.
8.26 При условии равномерного распределения случайной величины X
произведена выборка
xi 3 5
7 9 11 13 15 17 19 21
ni 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров а и b.
8.27
распределения
Известно, что σ =
Случайная
величина
подчиняется
, а = Мх. Произведена выборка
208
нормальному
закону
xi
3
5
7
9
11 13 15
ni
6
9
16 25 20 16 8
Найти оценку параметра а и несмещенную оценку параметра σ.
8.7 Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия
Основным методом получения оценок параметров генеральной
совокупности по данным выборки является метод максимального
правдоподобия, предложенный Р. Фишером (1890 - 1962 г.) в 1912 г.
Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая
плотность вероятности совместного появления результатов выборки x1 , x2 , , xn .
Для дискретной случайной величины функция
принимает вид
L  p  x1 ,  p  x2 ,  p  xn ,  ,
правдоподобия
(8.12)
где x1 , x2 , , xn -варианты выборки;
 - параметр, для которого находится оценка;
p  xi ,  - вероятность события X  xi , зависящая от параметра  .
Для непрерывных случайных величин функция правдоподобия
выбирается в виде
L  f  x1 ,  f  x2 ,  f  xn , 
(8.13)
где f  xi ,  — заданная функция плотности вероятности в точках xi.
Сущность метода заключается в том, что в качестве оценки
параметра  принимается значение аргумента, которое обращает функцию L в
максимум. Это значение является функцией от x1 , x2 , , xn и называется
оценкой наибольшего правдоподобия.
Для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо
решить уравнение
L
0

(8.14)
и отобрать то решение  , которое обращает функцию L в максимум.
Обычно с целью упрощения функцию правдоподобия заменяют её
логарифмом и решают вместо (8.14) уравнение
209
 ln L 1 L

 0.
1
L 
(8.15)
В случае двух параметров 1 и 2 оценки их определяются из двух
совместно решаемых уравнений
 ln L
 ln L
0 и
 0.
1
2
Чаще всего метод наибольшего правдоподобия используется при биномиальном, пуассоновском и показательном распределениях случайной
величины.
В случае биномиального распределения
Pr (m)  Crm p m (1  p)rm ,
где Pr (m) — вероятность появления ровно т раз события А
(случайной величины) в r испытаниях;
р — вероятность появления события А в одном испытании.
Величина р может рассматриваться как параметр.
Если проводится п опытов по r испытаний в каждом и фиксируется
число появлений события (величины) в каждом испытании xi , то при
подстановке этого значения в формулу биномиального распределения получаем
Pr ( xi , p)  Crxi p xi (1  p)r xi .
Тогда функция правдоподобия примет вид
L  pr  x1 , p  pr  x2 , p  pr  xn , p 
После логарифмирования и приравнивания к нулю производной от ln
L получаем выражение для оценки
n
p   xi /(nr ).

i 1
Если значения xi, встречаются ni раз, то оценка параметра р принимает
вид
k
p   xi ni /(nr ),

i 1
где п = пх + п2 + ... + nk — число опытов по r испытаний в каждом.
В случае пуассоновского распределения
 m 
Pr (m) 
e
m!
и подстановки вариант выборки получаем
 xi 
Pr ( xi , ) 
e .
xi !
210
Составив функцию правдоподобия L, дифференцируя ln L и приравнивая его производную к нулю, находим оценку параметра λ в виде
n
   xi / n  x B

i 1
или
n
   ni xi / n  x B

i 1
В случае показательного распределения
f ( x )  ex
( x  0)
функция правдоподобия для выборочных значений x1 , x2 ,
, xn примет
вид

n
 xi
L  ex1 ex2 ...exn   n e i 1 .
После преобразований получаем выражение для оценки параметра λ:
n
1
  n /  xi 
xB
i 1
Метод
максимального
правдоподобия
обладает
важным
достоинством: он всегда приводит к состоятельным, хотя иногда и смещенным,
оценкам, имеющим наименьшую дисперсию по сравнению с другими и
наилучшим образом использующим всю информацию о неизвестном
параметре, содержащуюся в выборке. Однако на практике часто приводит к
необходимости решать весьма сложные системы уравнений.
Решение типовых примеров
8.28 Случайная величина Х распределена по показательному закону с
плотностью вероятности f  xn ,   ex .
Требуется по результатам полученных значений x1 , x2 , , xn этой случайной
величины оценить параметр  .
Решение. Согласно (8.13) запишем функцию правдоподобия
L  ex1 ex1 ...exn  n e
Логарифмируя имеем
 x1   xn 
 n e
n
ln L  n ln    xi .
i 1
 ln L n n
   xi  0 .
Тогда

 i 1
211

n
 xi
i 1
.
Откуда  
n
n
x
i 1

1
.
mx
i
Задачи для самостоятельного решения
8.29 Случайная величина X распределена по биномиальному закону.
Статистическое распределение выборки представлено в таблице:
xi 0
1 2 3 4 5 6 7
ni 2
3 10 22 26 20 12 5
Найти точечную оценку параметра р указанного закона распределения
случайной величины (r = 10).
8.30 Случайная величина X распределена по закону Пуассона с
неизвестным параметром λ. Статистическое распределение выборки
представлено в таблице:
xi 0 1 2 3 4
ni 199 169 87 31 9
Найти точечную оценку параметра λ.
5
3
6
1
7
1
8.31 Случайная величина X распределена по показательному закону.
Статистическое распределение выборки представлено в таблице:
xi 5 15 25 35 45 55 65
ni 365 245 150 100 70 45 25
Найти точечную оценку параметра λ.
8.32 Стеклянные однородные изделия отправлены для реализации из
Москвы в Новосибирск в 1000 контейнерах. После поступления товара было
выявлено количество разбитых изделий в каждом контейнере. Результаты
представлены в таблице:
xi 0 1 2 3 4
ni 785 163 32 16 4
Считая, что число разбитых изделий описывается законом Пуассона,
найти точечную оценку параметра λ.
212
8.8 Понятие статистической проверки гипотез
Если принятое решение о законе распределения генеральной
совокупности или о числовых значениях его параметров проверяется по
выборочным данным, то говорят о проверке статистических гипотез. Проверке
подвергается гипотеза об отсутствии разности между принятым и найденным
по выборке значениями исследуемого параметра. Такую гипотезу называют
нулевой ( H 0 ). Противоположную ей гипотезу называют альтернативной ( H1 ).
Схема проверки нулевой гипотезы в общем случае:
По выборочным данным x1 , x2 ,
, xn учитывая конкретные условия
задачи, принимают H 0 - нулевую гипотезу и H1 - альтернативную гипотезу,
конкурирующую с H 0 .
При этом могут возникать ошибки двух родов:
- гипотеза H 0 отвергается, а на самом деле она верна – это ошибка
первого рода. Вероятность ошибки равна уровню значимости   PH0  H1  .
- гипотеза H 0 принимается, а на самом деле она неверна – это ошибка
второго рода. Вероятность такой ошибки равна   PH1  H 0  .
Соответственно вероятность принять верную
PH0  H 0   1   , а вероятность отвергнуть неверную
гипотезу
гипотезу
равна
равна
PH1  H1   1   .
Используя выборочные данные вводят статистический критерий –
некоторую функцию К, зависящую от условий решаемой статистической
задачи. Эти функции, являясь случайными величинами, подчинены некоторому
закону распределения ( t - распределение,  - распределению или нормальное
распределение).
В зависимости от принятого уровня значимости  из области допустимых значений функции критерия К выделяют критическую область  .
Далее используется правило – если вычисленное по выборке значение К
попадает в критическую область, то H 0 отвергается и принимается гипотеза
2
H1 . При этом возможна ошибка первого рода с вероятностью   P  K  .
Возможны три варианта расположения критической области:
213
f K
- правосторонняя критическая область,
состоящая из интервала  kкрп ,   , где k крп
K
п
кр
K
определяется из условия P  K  kкрп   .
f K
- левосторонняя критическая область,
состоящая из интервала  , kкрл  , где k крл
K крл
K
определяется из условия P  K  kкрл   .
f K
- двусторонняя критическая область,
состоящая из интервалов  , kкрл  и  kкрп ,   ,
K
л
кр
K
п
кр
K
где точки k крл и k крп определяются из условий
P  K  kкрл  


, P  K  kкрп   .
2
2
5. По выборочным данным находят числовое значение критерия  kr  .
Если k r попадает в критическую область  , то гипотеза H 0 отвергается и
принимается альтернативная гипотеза H1 . Если k r не попадает в критическую
область, то гипотеза H 0 принимается.
8.9 Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
На практике часто требуется оценить, соответствуют ли действительности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом случае
возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым значением
этого параметра.
214
Решение типовых примеров
8.33 Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний
срок безотказной работы предлагаемого изделия — 2900 ч. Для выборки из 50
изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при
выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5% -м уровне
значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.
Решение
Предположим, что случайная величина срока безотказной работы
подчинена нормальному закону распределения. Требуется проверить гипотезу о
числовом значении математического ожидания нормально распределенной
величины (генеральной средней) при неизвестной генеральной дисперсии. В
этом случае в качестве критерия выбирают функцию
X  a0
T
S
n 1
где X - выборочная средняя, а0 - математическое ожидание, S выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет t распределение с l = n - 1 степенями свободы. В данной задаче речь идет о
сравнении выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим
ожиданием = 2900 ч, при этом выборочное среднее квадратичное отклонении
равно 700 ч.
Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Н 0 :
а0=2900 при альтернативной гипотезе H1: а0 < 2900. Очевидно, что другие
альтернативные гипотезы (а0 > 2900 и а0 ≠2900) нецелесообразны, так как
потребитель обычно обеспокоен лишь тем, что срок службы изделия может
оказаться меньше гарантируемого поставщиком.
Критическая область левосторонняя; находим из условия Р(Т <
)
=α.
При α = 0,05 и l = 50-1 = 49 в таблице t-распределения (см.
Приложение 8) используя линейную интерполяцию, находим = -= -1,677.
Таким образом, критическая область ω=(-∞,-1,677). Рассчитаем tr , полагая
а0= :
Значение -1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая
гипотеза Н0 должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в рекламе
завышает срок безотказной работы изделия.
215
8.34 Составлена случайная выборка из 64 покупателей, которые
интересовались товаром А. Из них товар А купили 16 человек. Поставщик
утверждает, что данный товар должен привлечь треть покупателей, а среднее
квадратичное отклонение σx равно одному человеку. Проверить нулевую
гипотезу при 5%-м уровне значимости.
Решение
Предположим, что число покупателей, приобретающих товар А, есть
случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Гипотетическая генеральная средняя при этом составит 21 человек (64 ∙ 1/3).
Будем считать, что σx = 1. Таким образом, речь идет о проверке гипотезы о
числовом значении математического ожидания нормального распределения при
известной дисперсии, то есть о сравнении гипотетической генеральной средней
21 с выборочной средней 16 при известном среднем квадратичном отклонении
σx.
Нулевая гипотеза в этой задаче имеет вид Н 0 : а 0 = 21, а
альтернативная, например, Н 1 : а0 ≠ 21. Возможны и другие альтернативные
гипотезы, например Н 1 :а 0 < 21 или Н 1 :а 0 > 21. Уровень значимости задан: α
= 0,05.
В качестве критерия в этом случае рассматривается функция
Z
X  a0
.
x / n
Функция Z подчинена нормальному закону распределения N(0, 1).
Критическая область будет двусторонней, ее образуют интервалы (, zкрл ) и
л
п
) = α/2 и P(Z > zкр
) = α/2.
( zкрл , ) , определяемые из условий P(Z < zкр
Если α = 0,05, то α/2 = 0,025. Это вероятность попадания случайной
величины Z в левостороннюю или правостороннюю области. В этом случае
вероятность непопадания случайной величины Z в правостороннюю
критическую область (1 - α/2) можно представить следующим образом:
п
п
Р(-∞ < Z < zкр
) = Р(-∞ < Z < 0) + Р(0 < Z < zкр
) = 1 - α/2.
п
п
Так как Р(-∞ < Z < 0) = 0,5, а Р(0 < Z < zкр
) = Ф( zкр
) — функция
п
п
Лапласа в точке zкр
, то Ф( zкр
) = 1 - α/2 - 0,5 = 0,475. На основании таблицы
п
п
значений функции Лапласа (см. Приложение 3) находим zкр
= 1,96. Точка zкр
расположена симметрично и равна -1,96. Следовательно, критическая область
состоит из интервалов (-∞; -1,96) и (1,96; ∞). Рассчитаем zr :
zr 
16  21
 40.
1/ 64
216
Значение zr попадает в критическую область, поэтому гипотеза Н0:
а0 = 21 отвергается.
Задачи для самостоятельного решения
8.35 Средний диаметр подшипников должен составлять 35мм.
Однако для выборки из 82 подшипников он составил 35,3 мм при выборочном
среднем квадратичном отклонении 0,1 мм. При 5%-м уровне значимости
проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники,
не требует подналадки.
8.36 Поставщик удобрений утверждает, что применение новой партии
удобрений обеспечивает урожайность пшеницы в 60 ц/га. Удобрения внесли на
площади в 37 га и получили урожай 55 ц/га при выборочном среднем
квадратичном отклонении 3 ц/га. При 5%-м уровне значимости оценить
справедливость утверждения поставщика.
8.37 Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного
магазина составляла 6 т при среднем квадратичном отклонении 0,05 т. Сегодня
магазином было продано 7 т хлеба. Можно ли при 5% -м уровне значимости
предполагать, что и завтра будет продано 7 т хлеба?
8.38 Фирма — изготовитель женских украшений, выпустив новый
товар, утверждает, что 40% покупателей купят эти украшения. В ходе 10дневной рекламной распродажи в среднем приобрели украшения 29,5%
покупателей, выборочное среднее квадратичное отклонение составило 16,5%.
При 5% -м уровне значимости оценить утверждение изготовителя товара.
8.39 Поставщик двигателей утверждает, что средний срок их службы
равен 800 ч. Для выборки из 17 двигателей средний срок службы оказался
равным 865 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 120 ч.
Проверить нулевую гипотезу при уровне значимости: а) 5%; б) 1%.
8.40 По результатам 10 замеров установлено, что среднее время
обслуживания мастером клиента
= 15 мин. Предполагая, что время
обслуживания клиента — нормально распределенная случайная величина с
дисперсией
мин2, при уровне значимости α= 0,05 установить, можно ли
принять в качестве норматива (математического ожидания) для обслуживания
одного клиента:
а) 21 мин; б) 16 мин.
8.41 По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход
топлива на 100 км пробега составляет 10 л при среднем квадратичном
отклонении 2 л. В результате совершенствования конструкции ожидается, что
расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно
217
отобранных автомобилей с модернизированным двигателем: средний расход
топлива на 100 км пробега составил 9,2 л. Используя 5%-й уровень значимости,
проверить гипотезу, утверждающую, что | модернизация повлияла на расход
топлива.
8.42 Из большой партии ананасов одного размера случайным образом
отобрано 36 штук. Выборочная средняя масса одной штуки при этом оказалась
равной 930 г. Использую двусторонний критерий при α = 0,05, проверить
гипотезу, что средняя масса одного ананаса (по утверждению поставщика)
составляет 1 кг, если:
а) среднее квадратичное отклонение известно и составляет 200 г
б) среднее квадратичное отклонение неизвестно, а выборочное
составило 250 г.
8.10 Сравнение двух дисперсий
Пусть имеются две случайные величины X = N(ax, σх) и Y = N(ay, σy) с
неизвестными дисперсиями и две независимые выборки x1 , x2 , , xn и
y1 , y2 ,
, yn . Требуется по полученным выборочным оценкам
n
s 
 ( xi  x)2
m
( y
i
 y )2
s 
m 1
и
проверить гипотезу Н0: 2x  2y .
2
x
i 1
n 1
2
y
i 1
xi 
, где
1 n
1 m
x
y

yi
 i i m
n i 1 и
i 1
,
В качестве критерия при проверке гипотезы Н0: 2x  2y используют
функцию F (l1, l2 )  S x2 / S y2 , которая имеет F-распределение (распределение
Фишера — Снедекора) с l 1 = п - 1 и l 2 = т - 1 степенями свободы, если
полученные по выборкам значения sx2  s y2 , и F (l1, l2 )  S y2 / S x2 с l1= т-1, l2= п-1,
если s y2  sx2 .
Если задаться уровнем значимости α, то можно построить
критические области для проверки гипотезы Н0:
2x  2y при двух
альтернативных гипотезах:
1) Н1: 2x  2y , если sx2  s 2y , или Н1: 2x  2y если sx2  s 2y .
В этом случае критическая область правосторонняя , ( f крп , ) , где f крп
определяется из условия P(F(l1 ,12) > f крп ) = α;
2) Н1: 2x  2y , В этом случае критическая область двусторонняя.
Однако можно использовать только правостороннюю область ( f крп , ) , где f крп
218
определяется из условия P(F(l1 = п - 1, l2 = т - 1) > f крп ) = α/2, если sx2  s 2y , и из
условия P(F(l1 = m - 1, l2 = n - 1) > f крп ) = α/2, если sx2  s 2y .
Если fr попадает в критическую область, то принимается
альтернативная гипотеза Н1, в противном случае принимается гипотеза Н0:
2x  2y при этом оценкой генеральной дисперсии служит величина
s 
2
sx2 (n  1)  s 2y (m  1)
nm2
.
Решение типовых примеров
8.43 Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А,
составил:
Срок хранения
xi 5 6 7
Число единиц продукции
ni 2
4
4
а изготовленной по технологии В:
Срок хранения
yi
Число единиц продукции ni
5
1
6
8
7
7
8
1
Предположив, что случайные величины X и Y распределены по
нормальному закону, проверить гипотезу Н0: 2x  2y при уровне значимости
0,1 и альтернативной гипотезе Н1: 2x  2y
Решение
Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии s x2 , s 2y . Для этого
вначале найдем x ,
x
y:
5 2  6  4  7  4
 6,2;
10
y
5 1  6  8  7  7  8 1
 6,5.
17
Тогда
 25  2  36  4  49  4
 10
sx2  
 6,22   0,62;
10

9
 25 1  36  8  49  7  64 1
 17
s 2y  
 6,52   0,11.
17

 16
Учитывая, что sx2  s 2y определим fr:
fr 
0,62
 5,64.
0,11
219
Критическое значение f крп находим из условия
P(F(l1 = 10 - 1, l2 = 17 - 1) > f крп ) = α/2=0,05.
По таблице F-распределения (см. Приложение 7) определяем f крп = 2,54.
Так как число fr = 5,64 попадает в критическую область (2,54;∞), то
гипотезу о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции,
изготовленной по технологиям А и В, отвергаем.
Задачи для самостоятельного решения
8.44 Температура в холодильной камере контролируется по двум
электронным термометрам. Для сравнения точности термометров их показания
фиксируются одновременно. Проведено 10 замеров показаний термометров:
Номер замера 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Термометр 1 -7,11 -8,63 -6,89 -7,23 -7,51 -7,68 -7,91 -6,97 -7,44 -7,64
Термометр 2 -7,13 -8,49 -7,12 -7,19 -7,67 -7,49 -8,03 -7,15 -7,29 -7,89
При уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
8.45
На двух станках производят одну и ту же продукцию,
контролируемую по наружному диаметру изделия. Из продукции станка А
было проверено 16 изделий, а из продукции станка В — 25 изделий.
Выборочные оценки математических ожиданий и дисперсий контролируемых
размеров составили x A = 37,5 мм при s A2 = 1,21мм2 и
xB = 36,8 мм при sB2 = 1,44 мм2. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий,
если α = 0,1.
8.46 Фирма поставляет радары для измерения скорости движения
автомобилей. Для закупки большой партии проведены испытания приборов,
изготовленных на заводе А и на заводе В. Измерения проводили на одной и той
же машине и на одной и той же дороге. Определены величины отклонений
между показаниями спидометра автомобиля и радара:
Отклонение,
км/ч
Число
измерений
xi
ni
0,7
5
Завод А
-0,3
0,5
0,1
4
2
6
Завод В
220
0,8
0,9
1,0
1,2
1,3
3
1
3
1
1
Отклонение,
км/ч
Число
измерений
yi
-0,6
mi
4
-0,1
5
0,4
0,7
1,0
3
2
2
Отклонение,
км/ч
Число
измерений
Полагая показания спидометра автомобиля эталоном, проверить
гипотезу об одинаковой точности измерений, проводимых радарами завода А и
завода Б, при уровне значимости 0,1.
8.11 Сравнение двух математических ожиданий
Пусть имеются две выборки х2, ..., хп и у1, у2, ..., ут, полученные в
результате независимых испытаний. По этим данным рассчитаны оценки x и y ,
а также s x2 и s 2y . В предположении, что случайные величины X и Y распределены
по нормальному закону X = N(ax, σх) и Y = N(ay, σу), требуется проверить на
основании выборочных данных гипотезу Н0: ах = ау при условии, что гипотеза о
равенстве дисперсий не отвергается.
Решение типовых примеров
8.47 Средний ежедневный объем продаж за I квартал текущего года
для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб. при «исправленном»
среднем квадратичном отклонении 2,5 тыс. руб., а для 10 торговцев района В —
13 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс. руб.
Каждую группу можно считать случайной независимой выборкой из большой
совокупности. Существенно ли различие объемов продаж в районах А и В при
5% -м уровне значимости?
Решение
Предположим, что ежедневный объем продаж подчинен нормальному
закону распределения. Математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение законов распределения для районов А и В неизвестны. Предположим, что дисперсии объемов продаж одинаковы. В этих условиях возникает задача оценки статистической гипотезы Н 0 : а х = а у при альтернативной
Н 1 : а х ≠ а у , если принять за а х математическое ожидание объема продаж для
района А, за а у — для района В.
Выборочные средние x и y являются независимыми нормально
распределенными случайными величинами. В этом случае в качестве критерия
используют функцию
221
S x2 (n  1)  S y2 (m  1)
X Y
T
, где S 
.
nm2
1 1
S

n m
Функция Т подчинена t-распределению для l = m + п - 2 степеней
свободы.
По таблице t-распределения (см. Приложение 8) для l = 17+10-2=25 и
5%-го уровня значимости (для двусторонней критической области) находим tкp
= 2,06. Это значит, что критическая область есть интервал (-∞;-2,06) и (2,06; ∞).
Вычислим tr:
15  13
 1,86.
1 1
2,69

17 10
Полученное значение критерия tr не принадлежит критической
области, следовательно, разность несущественна и гипотеза Н 0 : а х = а у
принимается. В качестве общей средней выборочной принимают величину
15 17  13 10
x0 
 14.
27
8.48 В условиях задачи 8.47 выяснить, существенно ли при 5%-м
уровне значимости превышение объема продаж в районе А по сравнению с
объемом в районе В.
Решение
Вопрос в данной задаче отличается от вопроса в задаче 8.47 тем, что
альтернативной к гипотезе Н 0 : а х = а у становится не гипотеза Н 1 : а х ≠а у , а
гипотеза Н 1 : а х > а у . В этом случае критическая область односторонняя (в
частности, правосторонняя), для l = 25 и α = 0,05 имеем критическую область
(1,708; ∞). Так как tr = 1,86 > 1,708, то величина tr входит в критическую область, поэтому превышение объема продаж в районе A по сравнению с объемом
в районе В существенно и гипотеза Н 0 : а х = а у отвергается.
8.49 Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке п
= 16 найдена средняя величина x = 182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом
№ 1. По выборке m = 9 найдена средняя величина y = 185 г дозы, наливаемой в
стакан автоматом № 2. По утверждению изготовителя, случайная величина
наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной
2
2x  2y = 25 г . Можно ли считать отличия выборочных средних случайной
s
6,25 16  9  9
 7,24  2,69,
25
tr 
ошибкой при уровне значимости α = 0,01?
Решение
Пусть а х и а у — математические ожидания доз, наливаемых
автоматом № 1 и автоматом № 2. Нулевая гипотеза в данном случае
222
Н 0 : а х = а у при альтернативных H1 :а х ≠ а у и Н 1 : а х < а у . Дисперсия
известна: σ2 = 25. В качестве критерия справедливости статистической
гипотезы выбирается функция
X Y
Z
,
2
2
x  y

n m
распределенная по нормальному закону с параметрами (0, 1).
1. Рассмотрим вначале гипотезу Н 0 : а х = а у для альтернативной Н 1 :
а х < а у . В этом случае критическая область имеет вид ( , zкрл ) , где zкрл
определяется из условия P(Z < zкрл ) = α.
Так как функция Лапласа — нечетная функция, т.е. Ф(-z) = -Ф(z), а
таблица этой функции содержит только положительные значения, то найдем
п
вначале zкр
.
Для этого вычислим значение функции Лапласа в критической точке
п
п
Ф( zкр
)= 0,5 – α = 0,49. Откуда zкр
= 2,33. Значит, левосторонняя
критическая область будет (-∞; -2,33).
Рассчитаем z r :
182  185 3  12
zr 

 1,44.
25
25 25

16 9
Полученное значение z r = - 1,44 не входит в критическую область (∞; -2,33), поэтому нулевая гипотеза принимается.
2. Рассмотрим гипотезу Н 0 : а х = а у при альтернативной H 1 : а х ≠ а у . В
этом случае критическая область двусторонняя и имеет вид
п
( , zкрл )   zкр
;.
Величины zкрл
и
п
рассчитываются из условий
zкр
P(Z < zкрл ) = α/2
п
и P(Z ˃ zкр
) = α/2.
Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа (см.
Приложение 3), имеем
п
п
Ф( zкр
) = 0,5 - α/2 = 0,495, zкр
= 2,57.
Критическая область имеет вид (-∞; -2,57) (2,57;∞). Значение z r = 1,44 не попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза
принимается.
Задачи для самостоятельного решения
223
8.50 Акционерное общество (АО) выпускает печенье «Русские узоры»
в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для
оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и санктпетербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса
пачек печенья «Русские узоры»):
Московская фабрика
201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195, 196, 198, 199, 194, 203, 195,
202, 197
Санкт-петербургская фабрика
203, 207, 191, 193, 197, 201, 196, 192, 194, 195, 198, 196
Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья
распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и считая
выборки независимыми, определить:
а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные
отклонения массы для каждой фабрики;
б) для α = 0,05 значимо или нет различие между средними
выборочными (если это различие имеется);
в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при
5%-м уровне значимости?
8.51 Расход сырья на единицу продукции составил: по старой
технологии
Расход сырья
xi
305
307
308
Число изделий
ni
1
4
4
по новой технологии
Расход сырья
yi
303
304
305
308
Число изделий
mi
2
6
4
1
Предположив, что соответствующие случайные величины X и Y
имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями а х и а у и
одинаковыми дисперсиями, проверить:
а) при уровне значимости 0,1 гипотезу Н0: = 2x  2y при
альтернативной Н1: 2x  2y ;
б) при уровне значимости 0,05 гипотезу Н0: ах = ау при
альтернативной H1 : ах ≠ ау
8.52 Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг
вещества за час работы):
224
Номер замера
1
2
3
4
5
Агрегат А
14,1
13,1
14,7
13,7
14,0
Агрегат В
14,0
14,5
13,7
12,7
14,1
Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в
предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных
генеральных совокупностей, при уровне значимости α= 0,1?
8.53 В таблице приведены результаты измерения процентного
содержания крахмала в картофеле (исследовали 16 клубней различных сортов
картофеля) двумя различными способами:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
I
11
9
13
8
6
7
6
12
10
11
14
12
7
5
15
11
II
13
9
13
9
8
9
9
9
11
13
11
12
6
6
13
12
При уровне значимости 0,1 можно ли считать, что крахмалистость
картофеля одна и та же для обоих способов?
8.54 Используются два вида удобрений: I и II. Для сравнения их
эффективности были попарно выбраны 20 участков равной площади так, что
пару составили участки, однородные по плодородию. Десять участков были
обработаны удобрением I, а десять, парных им, — удобрением II. На
соответствующих парах участков получили следующий урожай:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I
8,0
8,4
8,0
6,4
8,6
7,7
7,7
5,6
5,6
6,2
II
5,6
7,4
7,3
6,4
7,5
6,1
6,6
6,0
5,5
5,0
При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном влиянии
использования удобрения I или II.
8.12 Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона
Часто возникает необходимость выбора модели закона распределения,
согласующегося с результатами выборочных наблюдений.
225
Пусть x1 , x2 ,
, xn - выборка случайной величины Х с неизвестной
непрерывной функцией распределения F  x  . Проверяется нулевая гипотеза
H 0 : F  x   F0  x  , где F0  x  - предполагаемая функция распределения.
Критерии, с помощью которых проверяется нулевая гипотеза о
неизвестном распределении, называются критериями согласия. Один из них –
критерий Пирсона.
Схема проверки нулевой гипотезы H 0 : F  x   F0  x 
По выборке x1 , x2 , , xn строят вариационный ряд. Он может быть как
дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определённости дискретный
вариационный ряд
x1
x2
xk 1
xk
…
x
i
mi
m1
…
m2
mk 1
mk
2. По предварительным данным (вычисленным значениям a, Dx , виду
гистограммы) делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона
распределения случайной величины Х.
3. По выборочным данным проводят оценку параметров закона
распределения. Предположим, что закон распределения имеет r параметров
(например, биномиальный закон имеет один параметр р; нормальный – два
параметра  a0 ,  x  и так далее).
4. Подставляя выборочные оценки значений
распределения, находят теоретические значения вероятностей
pi  P  X  xi 
i  1,2,..., k.
параметров
5. Рассчитывают теоретические частоты

i
k
где n   mi .

i
m  p n,
i 1
6. Рассчитывают значение критерия согласия Пирсона
k
2r  
i 1
m  m  .
 2
i
i
mi
Эта величина при n   стремится к распределению  с l  k  r  1
степенями свободы. Поэтому для расчетов используют таблицы распределения
2
2 .
226
7. Задаваясь уровнем значимости  , по таблице распределения  2
   ,   .
Значение    определяют из соотношения   P        . Если
численное значение  попадает в интервал     ,   , то гипотеза H :
2 n
кр
находят критическую область, которая всегда односторонняя
2 n
кр
2
2 n
кр
2 n
кр
2
r
0
F  x   F0  x  отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что
выбранная модель закона распределения не подтверждается выборочными
данными. При этом возможна ошибка, вероятность которой равна  .
Решение типовых примеров
8.55 Экзаменационный билет по математике содержит 10 заданий.
Пусть X — случайная величина числа задач, решенных абитуриентами на
вступительном экзамене. Результаты сдачи экзамена по математике для 300
абитуриентов таковы:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mi
13
17
15
35
10
9
40
51
45
33
32
Оценить закон распределения случайной величины X.
Решение
Для составления гипотезы о модели закона распределения случайной
величины X сделаем следующие предположения:
вероятность решения задачи не зависит от исхода решения других
задач;
вероятность решить любую отдельно взятую задачу одна и та же и
равна р, а вероятность не решить задачу равна q = 1 - р.
При этих допущениях можно предположить, что X подчинена
биномиальному закону распределения (нулевая гипотеза), то есть вероятность
того, что абитуриент решит х задач, может быть подсчитана по формуле
Р(Х = х)= C10x p x q10 x
Найдем оценку параметра р, входящего в модель.
227
Здесь р — это вероятность того, что абитуриент решит задачу.
Оценкой вероятности р является относительная частота р*, которая
вычисляется по формуле
11

p 
x m
i 1
11
i
i
v  mi

x
,
v
i 1
11
где x 
x m
i 1
11
i
i
m
i 1
— среднее число задач, решенных одним абитуриентом;
i
v — число задач, решаемое каждым абитуриентом.
Тогда оценку для р получим в виде
11

p 
x m /n
i
i
 (0  0,043  1  0,057  ...  10  0,107) /10  0,6.
v
Подставим значения р* = 0,6 и q* = 1 - 0,6 = 0,4 в формулу и при
разных xi получим теоретические вероятности pi и частоты mi = pi п
Номер группы i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
i 1
pi
0,0001
0,0016
0,0106
0,0425
0,1115
0,2007
0,2508
0,2150
0,1209
0,0403
0,0060
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mi
0,03
0,48
3,18
12,75
33,45
60,21
75,24
64,50
36,27
12,09
1,80
Из таблицы видно, что для групп 1, 2, 3 и 11 теоретическая частота
mi < 5. Такие группы обычно объединяются с соседними. Значения mi для
групп 1, 2 и 3 можно объединить с m4 . Это представляется естественным,
потому что за 0, 1, 2 и 3 решенные задачи на экзамене обычно ставится
228
неудовлетворительная оценка. Объединим также группу 1 1 с группой 10 и
составим таблицу
Номер
группы i
xi
mi
mi
1
2
3
4
5
6
7
0—3
4
5
6
7
8
9—10
80
10
9
40
51
45
65
16
33
60
75
64
36
14
По данным таблицы рассчитываем величину критерия согласия:
 
2
r

80  16 
16
 65  14 
14
2

10  33
2

33
 9  60 
2
60

 40  75
2
75

51  64 
64
2

 45  36 
36
2
 522,4.
Зададимся уровнем значимости α = 0,05, тогда для i = k – r - 1 = 7 - 1 -
 
1 = 5 степеней свободы  2кр
n
=11,1(см. Приложение 6).
Величина  2кр = 522,4 є (11,1;∞), следовательно, нулевая гипотеза
должна быть отвергнута.
8.56 Коммерсант предполагает, что объем продаж нового вида
продукции в каждой из пяти торговых точек, расположенных в различных
районах, будет одинаков. Фактический объем продаж оказался разным:
Район
1
2
3
4
5
xi
Фактический объем
продаж
105
mi
117
84
111
83
Оценить, значимы или нет различия между наблюдаемыми и
ожидаемыми объемами продаж при уровне значимости 0,01 и 0,05.
Решение
Так как в задаче спрашивается о согласовании ожидаемых (одинаковых) и фактических объемов продаж, то теоретический «закон
распределения» определен: во всех районах объем продаж одинаков, т.е.
5

1

2

3

4

5
m m m m m 
229
m
i 1
5
i

500
 100.
100
2

Заметим, что в данном примере нельзя использовать в качестве закона
распределения биномиальный или нормальный закон, так как речь идет об
одновременном сравнении пяти районов. Составим таблицу
Район
i
1
2
3
4
5
Фактический объем
продаж
mi
105
117
84
111
83
Ожидаемый объем
продаж
mi
100
100
100
100
100
5
Тогда 2r  
i 1
m  m 
 2
i
i

i
m

1
(25  289  256  121  289)  9,8.
100
2
Выбирая уровень значимости α = 0,01, по таблице  -распределения
(см. Приложение 6) для числа степеней свободы l = 5 - 1 = 4 находим
   =13,3, а для уровня значимости α= 0,05 при l = 4, соответственно,    =
2 n
кр
2 n
кр
9,5.
Следовательно, для уровня значимости α = 0,01 критическая область
представляет собой интервал (13,3; ∞),  2r =9,8 не попадает в критическую
область, то есть нулевая гипотеза, состоящая в том, что ожидаемые и
фактические объемы продаж согласуются, не отвергается. Для уровня
значимости α = 0,05 критической областью является интервал (9,5;∞) и, так как
 2r =9,8 попадает в критическую область, нулевая гипотеза должна быть
отклонена.
Задачи для самостоятельного решения
8.56 Страховая компания выпустила четыре вида страховых полисов
в предположении, что спрос на них будет одинаков. Фактические объемы
реализации различных видов страховых полисов приведены ниже:
Виды страховых полисов
А
В
С
D
Фактический объем реализации
50
21
23
26
Оценить для уровней значимости α = 0,01 и α = 0,05, согласуется ли
фактический и теоретический спрос на различные виды страховых полисов.
8.57 Результаты исследования числа покупателей в универсаме в
зависимости от времени работы приведены ниже:
230
Часы работы
9—10
10—11
11—12
12—13
Число покупателей
41
82
117
72
Можно ли утверждать при уровне значимости α = 0,05, что случайная
величина X — число покупателей — подчинена нормальному закону?
8.58 Дано следующее распределение успеваемости 125 студентов,
сдавших три экзамена:
Число сданных экзаменов
0
1
2
3
Число студентов
3
5
47
70
Проверить гипотезу о биномиальном распределении числа сданных
экзаменов при α = 0,05.
231
Ответы
к главе 1
1.5 а) событие А не произошло, а события В и С произошли; б) ни одно из
данных событий не произошло; в) хотя бы одно из событий не произошло;
г)произошло ровно одно из трех событий; д) произошло не более одного из
трех событий.
1.6 А = А1 + А2 + А3 ; В = А1 · А2 · А3 ; С = А1 · А2 · А3 ; Д = А1 + А2 + А3 ;
Е = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 ;
F = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 ; G = А1 ( А2 + А3 ).
1.7 С = А + В; Д = А · В; Е = АВ  АВ ; F = АВ  АВ
1.8 A  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3 ; B  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3 ;
C  B  Г1 Г 2 Г 3  Г 1 Г 2 Г 3  Г 1 Г 2 Г 3  Г 1Г 2 Г 3 ;
D  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3  Г1 Г 2 Г 3 ; E  Г 1 Г 2 Г 3 ; F  Г 1 ( Г 2  Г 3 ) .
1.9 а) А  B  B ; б) А  B  A ; в) B  C  B ; г) B  C  C ;
д) невозможное событие
1.10 C  ( A1  A2 )( B1B2 B3  B1B2 B3  B1B2 B3  B1B2 B3 )
4
2
k 1
i 1
1.11 D  A   Bk   Ci 1.12 B  A1  A2 A3  A4
1.13
а)
б)
A B C
A B C
A
B
A
C
в)
B
C
г)
232
A B C
A B C
A
A
B
B
C
C
д)
е)
A B C
A
AB  C
A
B
C
B
C
ж)
з)
A B C
A
A
B
B
C
C
1.16 p( A)  0,1;
1.17 p( A)  0,89 ;
1.18 а) p( A)  0,5 ; б) p( B)  0,3 ; в) p(C )  0,2 ; г) p( D)  0,7 .
1
1
1
1.19 а) P( A)  ; б) P(В)  ; в) P(С )  ;
6
2
3
1
1
1
4 1
1
 ; б) P(C )  ; в) P(В)  ; г) P( D)  ; д) P( Е )  ;
1.20 а) P( A) 
12
36 9
36
6
6
3
3
1
1
a
1
1.21 P( A)  ; P( В )  ; P(С )  ; P( Д )  ; 1.22 P( A) 
; 1.23 P( A)  ;
8
ab
9
8
8
8
3
5
1.24 а) P( A)  ; б) P( B)  ; 1.25 более вероятно x = 7.
8
8
2
1.28 p( A)  0,005. 1.29 0,98; 1.33 19/24; 1.36 p  . 1.37 p  0,75 ;

233
3
1
1
1
7
1.38 p  . 1.39 p  . 1.40 p  . 1.41 p  0,25 . 1.42 p  . 1.43 p 
4
12
3
3
16
2
3
3
1.48 A10  720 . 1.49 P5  120 . 1.50 C10  120 . 1.51 P3  6 . 1.52 A4  12 .
1.53 C254  12650 . 1.54 A103  720 . 1.55 N  20 . 1.56 N1  25; N2  20 .
1
1.57 N  7054320 . 1.58 N  252 . 1.59 N  6561 . 1.61 P( A) 
.
720
1
18
15
1.62 P( A)  . 1.63 P( A)  . 1.64 P( A)  . 1.65 P( A)  0.72 107 .
4
35
63
5
24
14
1.66 P( A)  . 1.67 P( A)  . 1.68 P( A)  . 1.69 P( A)  0,385 .
14
91
55
к главе 2
1
1
1
2
. 2.6 0,7. 2.7 . 2.8 0,68. 2.9 . 2.10 0,97. 2.11 . 2.12 0,49.
2
4
3
3
2.13 0,82. 2.14 0,452. 2.15 a)0,336; б )0,024; в)0,188; г )0,452; д)0,056.
2.5
10
2.16 0,644.
2.17
1
 
2
1
. 2.19 1) 0,504;2)0,994 2.22 0,1725 . 2.23
15
10
343
2.26
. 2.27 0,87 . 2.28
. 2.29 0,952. 2.30
31
350
2.18
0,639. 2.24 0,76. 2.25 0,266.
10
. 2.37 0,1536; 0,3456; 0,9744. 2.38
7
а)0,034; б)0,343. 2.39 0,6112. 2.40 0,32; 0,168; 0,882. 2.41 0,106. 2.42 0,135.
781
1
2.43 0,308. 2.44
. 2.45
. 2.46 0,648; 0,936.
1020
27
0,412.
2.31 0 , 2 . 2.32 0,01. 2.33
к главе 3
3.6
xi
pi
0
0,216
1
0,432
2
0,288
xi
pi
0
0,3
2
0,21
3
0,49
xi
1
4
7
2
2
7
3
4
35
0
1
2
3
0,064
3.7
3.8
pi
4
1
35
3.9
xi
234
pi
3.10
xi
pi
3.11
xi
pi
0,09
0,42
0,49
0
0,008
1
0,096
2
0,384
3
0,512
1
0,7
2
0,24
3
0,042
4
0,0144
3.12
xi
pi
16
17
19
18
20
4  0,43  0,6 6  0,42  0,62 4  0,4  0,63
0,44
0,64
npu x  0;
0,

P  0,25  x  0,5   0,1875.
3.13 a  1; f  x   2 x, npu 0  x  1;
0,
npu x  1.

1
1
1
1
3.14 A 
F  x   arctg x 
P  x  1  .


2
4
x  0;
0,
 1
3.15 F  x     x 2  x  , 1  x  2;
2
x  2.
1,
npu x  1;
0,
 x  1, npu  1  x  0;

3.16 f  x   
 x  1, npu 0  x  1;
0,
npu x  1.
npu x  1;
0,

2
  x  1 , npu  1  x  0;
 2
F  x  
2
 1  x 
1  2 , npu 0  x  1;

npu x  1.
1,
3.17
xi
2
3
4
5
yj
2
3
4
pi
0,5
0,3
0,15
0,05
pj
0,55
0,3
0,15
3.18
yj
1
2
3
4
y

P j

x

1


0,3
0,4
0,24
0,06
3.19
xi
0
1
2
Х и Y зависимые.
3
yj
235
4
5
pi
0,2
0,3
0,1
pj
0,5
yj
3
4
5
y

P j

x

0


0,1
0,6
0,3
0,6
0,3
3.20
xi
1
2
yj
-1
0
1
pi
0,8
0,2
pj
0,2
0,35
0,45

P X 2
p


Y 0
p
2,0
 0,143. Х и Y зависимые.
0
x 1  1
y 1
1
3.21 0,601. 3.22 c  20, F  x, y    arctg   arctg   ,
4 2  
5 2

3.23 Второй лучше и второй кучнее.
3.24 M  X   2,4; D  X   0,48;   X   0,69.
3.25 M  X   1,3; D  X   0,45;   X   0,67.
3.26 M  X   14; D  X   4,2.
3.27 M  X   1,8; D  X   0,72.
3.28 M  X   0,7; D  X   0,21.
3.29 M  X   40.
p
к главе 4
xi
0
1
2
3
pi
0,064
0,288
0,432
0,216
M  X   1,8; D  X   0,72;   X   0,85.
4.11 xi
0
1
2
3
pi
0,729 0,243 0,027 0,001
M  X   0,3; D  X   0,27;   X   0,062.
4.12 xi
0
1
2
3
pi
0,00243 0,02835 0,1323
0,3087
M  X   3,5; D  X   1,05;   X   1,02.
4.10
4.13
xi
pi
4.14
xi
0
pi
0,0016
Таким же.
0
0,6561
1
0,2916
1
0,0256
2
0,0486
2
0,1536
236
3
0,0036
3
0,4096
4
0,36015
4
0,0001
4
0,4096
5
0,16807
9
.
16
4.15
xi
0
1
64
1
2
9
27
pi
64
64
9
9
3
M  X   ; D X   ;   X   .
4
16
4
4.17 P2,1000  0,1831; Pк2,1000  0,2642 .
3
27
64
4.18 P2, 300  0,09; Pк4,300  0,735 . 4.19 0,09 .
4.20 P7, 400  0,004; Pк 7, 400  0,0050; M  X   D  X   2;   X   1,41 .
4.21 0,213 . 4.22 а) 0,3679 ; б) 0,9197 ; в) 0,0803 .
4.23 а) 0,09516 . 4.24 а) 0,0613 ; б) 0,632 .
4.25
xi
0
1
2
pi
0,2541
0,3481
0,2385
M  X   1,36986; D  X   1,36986.
3
0,1089
4.26 P  A  0,05; P  B   0,777; P  C   0,998.
4.27 0,865.
4.28 0,699
Указание: «поле поражающих осколков» с плоскостью
 *  0,65  1,5оск/м2 математическое ожидание числа поражающих осколков,
попавших в цель будет a   *  S  1,2 пор.оск.
p  1  ea .
4.29 4 элемента. Указание: 1  e  0,98 .
t  0,
0,
0,1t
4.30 а) 0,1; б) f  x   
в) e
; г) M  X   10; D  X   100.
0,1t
1

e
,
t

0;

4.31 а) 0,95; б) 0,05. 4.32 0,286. 4.33 D  X   6,25;   X   2,5. 4.34 0,5721.
4.35 D  X   0,04;   X   0,2. 4.36 0,6321.
4.37 0,3679. Указание: использовать функцию надёжности R  t   et .
4.38 0,6.
x  2;
0,
1
 x  2
 , 2  x  8;
F  x  
, 2  x  8;
4.39 f  x    6
6
0, x  2, x  8.

x  8.
1,
M  X   5 ; D  X   3;   X   3.
625
25
4.40 M  X   475 м/с; D  X  
м/с;   X  
м/с; P  5  x  2   0,14.
3
3
1

2
 2
4.41 P  0  x    P   x  1  .
3

3
 3
237
2
. Указание: интервал смены цветов в светофоре 1  0,5  1,5 мин.
3
Случайная величина распределена равномерно в интервале  0;1,5 . Для того,
чтобы машина проехала через перекрёсток, не останавливаясь, достаточно,
чтобы момент проезда перекрестка пришёлся на интервал времени  0;1 .
2
4.43 . 4.48 0,759. 4.49 0,4647; P  A  0,843; P  B   0,43. 4.50 а) 0,03; б) 0,01.
5
4.51 E  6,87 . 4.52 М ( Х )  50,6; (Х)36. 4.53 0,256. 4.54 0,9973. 4.55 0,1018.
4.56 а) 0,9759; б)0,9987.
1
 x 1
4.57 а) M  X   1; D  X   25; F  X     
;
2
 5 
1
 x2
б) M  X   2; D  X   3; F  X     
.
2
 3 
2
x  3


1
1
 x 3
4.58 f  x  
e 8 ; F  X    
 . 4.59 (12,08; 19,92).
2
2 2
 2 
4.60 0,3174 4.61   85 м. 4.62 0,908. 4.63 0,8187. 4.64 n  21.
4.65 а) 0,78; б) 0,04. 4.66 Px  0,125; Py  0,114 (вдоль длинной стороны).
4.42
4.67 Px  0,150; Py  0,146 (вдоль длинной стороны).
4.68 0,19. 4.69 0,309. 4.70 0,208. 4.71 а) 0,0062; б) 0,0594; в) 0,3783;
г) 0,5; д) 0,8944; е) 0,7888. 4.73 0,9973. 4.74 0,326.
4.75 Информация недостоверна, на самом деле брак составляет 13,36% всей
продукции. 4.76 0,3174
к главе 5
5.6 ε=0,3; 5.7 p  0,15; 5.8 p  0,85; 5.9 a) p  0,12; б) p  0,88;
2
m
5.10 a) p  0,36; б) p  0,64; 5.11 p  ; 5.12 0, 4   0, 6; 5.13 p  0,83;
n
7
5.14 p  0,709; 5.15 P80,100  0, 042; 5.16 P70, 243  0, 0231; 5.17 P1400, 2400  0, 004;
5.18 P90,100  0, 0043; 5.19 P50,100  0, 0782; 5.20 P1100 (0;17)  0,965; 5.21 0,07
5.22 p  0, 4236; 5.23 a) P100 (75;90)  0,8882; б) P100 (75;100)  0,8944; в)
P100 (0;74)  0,1056; 5.24 n  534; 5.25 P75,100  0, 04565; 5.26 P100 (70;85)  0,8882;
5.27 n  62; 5.28 p  0, 2961.
к главе 7
7.5 mx t  =0; K x  t   U 2 cos w  t2  t1  ; Dx  t   U 2 .
1
2
1
2
238
7.6 mx  t   t , Dx  t   16,  x  t   Dx t   4.
7.7 mx  t    sin t1 ; Dx  t   1,  x  t   1. , Kx(t1 ,t2) = 0
7.8 а) не является; б) не является.
7.10 K x  t1 , t2   k y ( ). 7.11 rx    e2 .
7.12 Гармонические колебания по отношению к математическому ожиданию
обладают свойством эргодичности, но по отношению к дисперсии и
корреляционной функции этим свойством не обладают, т.к. u1 некоторое
значение U .
2
к главе 8
8.8 1)
xi
pi
8.9
xi
pi
2)
1
3
20
12
2
50
8.14
0
0,05

0,25

F ( x)  0,5
0,8

0,95
1

2
5
20
3
10
20
13
3
50
14
8
50
x  -15
-15<x  -10
-10<x  -5
-5<x  5
5<x  10
10<x  15
x>15
xi
4
2
20
pi
15
12
50
16
8
50
1
5
20
2
5
20
17
7
50
3
5
20
18
5
50
8.15
x 5
0
0,1
5<x  7

F ( x)  0,25 7<x  10
0,65 10<x  15

x>15
1
8.16
239
4
5
20
19
3
50
20
2
50
0
0,4

F ( x)  0,6
0,9

1
x 1
1<x  2
2<x  3
3<x  4
x>4
8.18  а  0,784; а  0,784  ; 8.19  а  0,98; а  0,98 ; 8.20 7,6 < а < 12,8;
8.21   0,392мм ; 8.23 λ*=0,1 ; 8.24 λ*=0,13; 8.25 а*=2,09; в*=6,71;
8.26 а*=2,25; в*=22,37; 8.27 а*=0,48; в*=3,22; 8.29 р*=0,4; 8.30 λ*=1;
8.31 λ*=0,05; 8.32 λ*=0,3; 8.35 Станок требует подналадки. H0:a0=35; H1:a0≠35;
tr =27є(-∞;-1,993)U(1,993;∞);8.36 Утверждение поставщика не согласуется с
опытными данными. H0:a0=60; H1:a0<60; tr =-10є(-∞;-1,689); 8.37 Можно.
H0:a0=6; H1:a0˃6; zr =20є(1,96;∞); 8.39 H0:a0=800; H1:a0˃800;
tr =2,17 а) α=0,05; l=16; tr є(1,746;∞),нулевая гипотеза отвергается;
б) α=0,01; l=16; tr ∉(2,583;∞),нулевая гипотеза не отвергается;
8.40 а) H0:a0=21; H1:a0<21; zr =-6,32є(-∞;-1,645) Время обслуживания клиента,
равное 21 мин. в качестве норматива опытными данными не подтверждается; б)
H0:a0=16; H1:a0<16; zr =-1,054∉(-∞;-1,645).Время обслуживания клиента,
равное 16 мин., в качестве норматива не противоречит опытным данным; 8.41
H0:a0= 10; H1:a0< 10; zr = -2,0 є(-∞; -1,645). Гипотеза а 0 = 10 отвергается.
Опытные данные подтверждают влияние модернизации двигателя на расход
топлива. 8.42 а) H0:a0= 1000; H1:a0≠1000; zr= -2,l є(-∞;-1,96)U(1,96;∞).Гипотеза
H0 отвергается; б) H0:a0= 1000; H1:a0≠1000; t r = -1,656 ∉(-∞; -2,032) U (2,032; ∞).
Гипотеза H0
не отвергается. 8.44 H0: 12   22 не отвергается при H1: 12   22 , f r = 1,19 ∉
(3,18; ∞). 8.45 H0:  A2   B2 не отвергается при H1:  A2   B2 , f r = 1,19 ∉ (2,29;
∞). 8.46 Гипотеза об одинаковой точности измерений, проводимых радарами
заводов А и В, не противоречит выборочным данным. 8.50 а) xM = 198,4;
2
sM = 3,7; sM
= 13,69; nM = 17; xС  П = 196,9; sС  П  5,42 ; sС2  П  29,4 ; nС  П  12 б)
Н0: aм = аС-П при H1: aм ≠ аС-П Гипотеза Н0 не отклоняется. Указание. Вначале
2
  С2  П ; в) Н0: а 0 = 200 H1: а 0 ≠ 200. Гипотеза Н0
проверяется гипотеза H0:  М
отклоняется. 8.51 а) H0:  x2   2y ; H1:  x2   2y , H0 не отвергается,
f r = 1,05 ∉ (3,28; ∞); б) Н0: а х = а у ; Н 1 : а х ≠ а у . Н 0 отвергается,
t r = 3,98 є ω (-∞; -2,086) U (2,086; ∞). 8.52 Первый этап: H0:  A2   B2 ; H1:
12   22 . H0 не отвергается, t r = 1,34 ∉(6,39; ∞) . Второй этап: H0: а А = а В ; H1:
а А ≠ а В ; H0 не отвергается, t r = 0,3 ∉ω = (-∞; -1,86) U (1,86; ∞). 8.53 Можно. 8.54
240
Н0: а 1 = а 1 1 ; Н 1 : а 1 ˃ а 1 1 . Н0 не отвергается. Статистические данные не
подтверждают преимущества какого-либо удобрения. 8.56 Для обоих уровней
значимости теоретический и фактический спрос согласуется. 8.57 Н0: F(x) =
N(a, σ); Н 1 : F(x) ≠N(a, σ). Гипотеза Н0 отвергается. 8.58 Гипотеза Н0: F(x) =
F0(x), где F0(x) — биномиальный закон, согласуется с выборочными данными.
241
Приложение 1
Значения функции P   m  
m
m
a a
e
m!
a
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
0,904837
0,818731
0,740818
0,670320
0,606531
0,548812
1
0,090484
0,163746
0,222245
0,268128
0,303265
0,329287
2
0,004524
0,016375
0,033337
0,053626
0,075816
0,098786
3
0,000151
0,001092
0,003334
0,007150
0,012636
0,019757
4
0,000004
0,000055
0,000250
0,000715
0,001580
0,002964
0,000002
0,000015
0,000057
0,000158
0,000356
0,00001
0,000004
0,000013
0,000036
0,000001
0,000003
5
6
7
m
a
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
0
0,496585
0,449329
0,406570
0,367879
0,135335
0,049787
1
0,347610
0,359463
0,365913
0,367879
0,270671
0,149361
2
0,121613
0,143785
0,164661
0,183940
0,270671
0,224042
3
0,028388
0,038343
0,049398
0,061313
0,180447
0,224042
4
0,004968
0,007669
0,011115
0,015328
0,090224
0,168031
5
0,000081
0,001227
0,002001
0,003066
0,036089
0,100819
6
0,000008
0,000164
0,000300
0,000511
0,012030
0,050409
7
0,000001
0,000013
0,000039
0,000073
0,003437
0,021604
0,000002
0,000004
0,000009
0,000899
0,008102
0,000001
0,000191
0,002701
10
0,000038
0,000810
11
0,000007
0,000221
12
0,000001
0,000055
8
9
13
0,000013
14
0,000003
15
0,000001
242
Окончание приложения 1
m
a
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
0
0,018316
0,006738
0,002479
0,000912
0,000335
0,000123
1
0,073263
0,033690
0,014873
0,006383
0,002684
0,001111
2
0,146525
0,084224
0,044618
0,022341
0,010735
0,004998
3
0,195367
0,140374
0,089235
0,052129
0,028626
0,014994
4
0,195367
0,175467
0,133853
0,091226
0,057252
0,033737
5
0,156293
0,175467
0,160623
0,127717
0,091604
0,060727
6
0,104194
0,146623
0,160623
0,149003
0,122138
0,091090
7
0,059540
0,104445
0,137677
0,149003
0,139587
0,117116
8
0,029770
0,065278
0,103258
0,130377
0,139587
0,131756
9
0,013231
0,036266
0,068838
0,101405
0,124077
0,131756
10
0,005292
0,018133
0,041303
0,070983
0,099262
0,118580
11
0,001925
0,008242
0,022529
0,045171
0,072190
0,097020
12
0,000642
0,003434
0,011262
0,026350
0,048127
0,072765
13
0,000197
0,001321
0,005199
0,014188
0,029616
0,050376
14
0,000056
0,000472
0,002228
0,007094
0,016924
0,032384
15
0,000015
0,000157
0,000891
0,003311
0,009026
0,019431
16
0,000004
0,000049
0,000334
0,001448
0,004513
0,010930
17
0,000001
0,000014
0,000118
0,000596
0,002124
0,005786
18
0,000004
0,000039
0,000232
0,000944
0,002893
19
0,000001
0,000012
0,000085
0,000397
0,001370
20
0,000004
0,000030
0,000159
0,000617
21
0,000001
0,000010
0,000061
0,000264
22
0,000003
0,000022
0,000108
23
0,000001
0,000008
0,000042
24
0,000003
0,000016
25
0,000001
0,000006
26
0,000002
243
Приложение 2
Значения функции   x  
x
1  x2
e
2
2
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
1
3989
3965
3902
3802
3668
2
3989
3961
3894
3790
3653
3
3988
3856
3885
3778
3637
4
3986
3951
3876
3765
3621
5
3984
3945
3867
3752
3605
6
3982
3939
3857
3739
3589
7
3980
3932
3847
3726
3572
8
3977
3925
3836
3712
3555
9
3973
3918
3825
3697
3538
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
3521
3332
3123
2897
2661
3503
3312
3101
2874
2637
3485
3292
3079
2850
2613
3467
3271
3056
2827
2589
3448
3251
3034
2803
2565
3429
3230
3011
2780
2541
3410
3209
2989
2756
2516
3391
3187
2966
2732
2492
3372
3166
2943
2709
2468
3352
3144
2920
2685
2444
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,2420
2179
1942
1714
1497
2396
2155
1919
1691
1476
2371
2131
1895
1669
1456
2347
2107
1872
1647
1435
2323
2083
1849
1626
1415
2299
2059
1826
1604
1394
2275
2036
1804
1582
1374
2251
2021
1781
1561
1354
2227
1989
1758
1539
1334
2203
1965
1736
1518
1315
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
1295
1109
0940
0790
0656
1276
1092
0925
0775
0644
1257
1074
0909
0761
0632
1238
1057
0893
0748
0620
1219
1040
0878
0734
0608
1200
1023
0863
0721
0596
1182
1006
0848
0707
0584
1163
0989
0833
0694
0573
1145
0973
0818
0631
0562
1127
0957
0804
0669
0551
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,0540
0440
0355
0283
0224
0529
0431
0347
0277
0219
0519
0422
0339
0270
0213
0508
0413
0332
0264
0208
0498
0404
0325
0258
0203
0488
0396
0317
0252
0198
0478
0387
0310
0246
0194
0468
0379
0303
0241
0189
0459
0371
0297
0235
0184
0449
0363
0290
0299
0180
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0175
0136
0104
0079
0060
0171
0132
0101
0077
0058
0167
0129
0099
0075
0056
0163
0126
0096
0073
0055
0158
0122
0093
0071
0053
0154
0119
0091
0069
0051
0151
0116
0088
0067
0050
0147
0113
0086
0065
0048
0134
0110
0084
0063
0047
0139
0107
0081
0061
0046
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,0044
0033
0024
0017
0012
0043
0032
0023
0017
0012
0042
0031
0022
0016
0012
0040
0030
0022
0016
0011
0039
0029
0021
0015
0011
0038
0028
0020
0015
0010
0037
0027
0020
0014
0010
0036
0026
0019
0014
0010
0035
0025
0018
0013
0009
0034
0025
0018
0013
0009
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0009
0006
0004
0003
0002
0008
0006
0004
0003
0002
0008
0006
0004
0003
0002
0008
0005
0004
0003
0002
0008
0005
0004
0003
0002
0007
0005
0004
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0002
0007
0005
0003
0002
0001
0006
0004
0003
0002
0001
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
244
Приложение 3
Значения функции Лапласа x  
2
2
x
e
t2

2
dt
0
Целые и
десятичные
доли x
Сотые доли x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0,0080
0,0160
0,0239
0,0319
0,0399
0,0478
0,0558
0,0638
0,0717
0,1
0,0797
0,0876
0,0955
0,1034
0,1113
0,1192
0,1271
0,1350
0,1428
0,1507
0,2
0,1585
0,1663
0,1741
0,1819
0,1897
0,1974
0,2051
0,2128
0,2205
0,2282
0,3
0,2358
0,2434
0,2510
0,2586
0,2661
0,2737
0,2812
0,2886
0,2960
0,3035
0,4
0,3108
0,3182
0,3255
0,3328
0,3401
0,3473
0,3545
0,3616
0,3688
0,3759
0,5
0,3829
0,3899
0,3969
0,4039
0,4108
0,4177
0,4245
0,4313
0,4381
0,4448
0,6
0,4515
0,4581
0,4647
0,4713
0,4778
0,4843
0,4907
0,4971
0,5035
0,5098
0,7
0,5161
0,5223
0,5285
0,5346
0,5407
0,5467
0,5527
0,5587
0,5646
0,5705
0,8
0,5763
0,5821
0,5878
0,5935
0,5991
0,6047
0,6102
0,6157
0,6211
0,6265
0,9
0,6319
0,6372
0,6424
0,6476
0,6528
0,6579
0,6629
0,6679
0,6729
0,6778
1,0
0,6827
0,6875
0,6923
0,6970
0,7017
0,7063
0,7109
0,7154
0,7199
0,7243
1,1
0,7287
0,7330
0,7373
0,7415
0,7457
0,7499
0,7540
0,7580
0,7620
0,7660
1,2
0,7699
0,7737
0,7775
0,7813
0,7850
0,7887
0,7923
0,7959
0,7984
0,8029
1,3
0,8064
0,8098
0,8132
0,8165
0,8198
0,8230
0,8262
0,8293
0,8324
0,8355
1,4
0,8385
0,8415
0,8444
0,8473
0,8501
0,8529
0,8557
0,8584
0,8611
0,8638
1,5
0,8664
0,8690
0,8715
0,8740
0,8764
0,8789
0,8812
0,8836
0,8859
0,8882
1,6
0,8904
0,8926
0,8948
0,8969
0,8990
0,9011
0,9031
0,9051
0,9070
0,9090
1,7
0,9109
0,9127
0,9146
0,9164
0,9181
0,9199
0,9216
0,9233
0,9249
0,9265
1,8
0,9281
0,9297
0,9312
0,9327
0,9342
0,9357
0,9371
0,9385
0,9392
0,9412
1,9
0,9426
0,9439
0,9451
0,9464
0,9476
0,9488
0,9500
0,9512
0,9523
0,9533
2,0
0,9545
0,9556
0,9566
0,9576
0,9586
0,9596
0,9606
0,9616
0,9625
0,9634
2,1
0,9643
0,9651
0,9660
0,9668
0,9676
0,9684
0,9692
0,9700
0,9707
0,9715
2,2
0,9722
0,9729
0,9736
0,9743
0,9749
0,9756
0,9762
0,9768
0,9774
0,9780
2,3
0,9786
0,9791
0,9797
0,9802
0,9807
0,9812
0,9817
0,9822
0,9827
0,9832
245
Окончание приложения 3
Сотые доли x
Целые и
десятичные
доли x
2,4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,9836
0,9841
0,9845
0,9849
0,9853
0,9857
0,9861
0,9865
0,9869
0,9872
2,5
0,9876
0,9879
0,9883
0,9886
0,9889
0,9892
0,9895
0,9898
0,9901
0,9904
2,6
0,9907
0,9910
0,9912
0,9915
0,9917
0,9920
0,9922
0,9924
0,9926
0,9928
2,7
0,9931
0,9933
0,9935
0,9937
0,9939
0,9940
0,9942
0,9944
0,9946
0,9947
2,8
0,9949
0,9951
0,9952
0,9953
0,9955
0,9956
0,9958
0,9959
0,9960
0,9961
2,9
0,9963
0,9964
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
3,0
0,9973
0,9974
0,9975
0,9976
0,9976
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
3,1
0,9981
0,9981
0,9982
0,9983
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
3,2
0,9986
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
3,3
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
3,4
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
0,9995
3,5
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
3,6
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
3,7
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,8
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,9
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
4,0
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
246
Приложение 4
x
2 2
ˆ  x     2 x  2  e  t dt
Значения приведённой функции Лапласа 




x
ˆ  x


x
ˆ  x


x
ˆ  x


0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,0000
0,0054
0,0108
0,0161
0,0215
0,0269
54
54
53
54
54
54
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,1918
0,1971
0,2023
0,2075
0,2127
53
52
52
52
52
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,3680
0,3728
0,3776
0,3823
0,3870
48
48
47
47
48
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,0323
0,0377
0,0430
0,0484
0,0538
54
53
54
54
53
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,2179
0,2230
0,2282
0,2334
0,2385
51
52
52
51
51
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,3918
0,3965
0,4012
0,4059
0,4105
47
47
47
46
47
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,0591
0,0645
0,0699
0,0752
0,0806
54
54
53
54
53
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,2436
0,2488
0,2539
0,2590
0,2641
52
51
51
51
51
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,4152
0,4198
0,4244
0,4290
0,4336
46
46
46
46
45
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,0859
0,0913
0,0966
0,1020
0,1073
54
53
54
53
53
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,2692
0,2742
0,2793
0,2843
0,2893
50
51
50
50
51
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,4381
0,4427
0,4472
0,4517
0,4562
46
45
45
45
44
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,1126
0,1180
0,1233
0,1286
0,1339
54
53
53
53
53
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,2944
0,2994
0,3044
0,3093
0,3143
50
50
49
50
49
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,4606
0,4651
0,4695
0,4739
0,4783
45
44
44
44
44
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,1392
0,1445
0,1498
0,1551
0,1604
53
53
53
53
52
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,3192
0,3242
0,3291
0,3340
0,3389
50
49
49
49
49
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
0,4827
0,4870
0,4914
0,4957
0,5000
43
44
43
43
43
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,1656
0,1709
0,1761
0,1814
0,1866
53
52
53
52
52
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,3438
0,3487
0,3535
0,3584
0,3632
49
48
49
48
48
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
0,5043
0,5085
0,5128
0,5170
0,5212
42
43
42
42
42
247
0
Продолжение приложения 4
x
ˆ  x


x
ˆ  x


x
ˆ  x


1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
0,5254
0,5295
0,5337
0,5378
0,5419
41
42
41
41
41
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
0,6584
0,6618
0,6652
0,6686
0,6719
34
34
34
33
34
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
0,7648
0,7675
0,7701
0,7727
0,7753
27
26
26
26
26
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0,5460
0,5500
0,5540
0,5580
0,5620
40
40
40
40
40
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
0,6753
0,6786
0,6819
0,6851
0,6883
33
33
32
32
32
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
0,7779
0,7804
0,7829
0,7854
0,7879
25
25
25
25
25
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
0,5660
0,5700
0,5739
0,5778
0,5817
40
39
39
39
39
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
0,6915
0,6947
0,6979
0,7011
0,7042
32
32
32
31
31
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
0,7904
0,7928
0,7952
0,7976
0,8000
24
24
24
24
24
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
0,5856
0,5894
0,5932
0,5970
0,6008
38
38
38
38
38
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
0,7073
0,7104
0,7134
0,7165
0,7195
31
30
31
30
30
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
0,8024
0,8047
0,8070
0,8093
0,8116
23
23
23
23
22
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
0,6046
0,6083
0,6120
0,6157
0,6194
37
37
37
37
37
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
0,7225
0,7255
0,7284
0,7313
0,7342
30
29
29
29
29
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
0,8138
0,8161
0,8183
0,8205
0,8227
23
22
22
22
21
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
0,6231
0,6267
0,6303
0,6339
0,6375
36
36
36
36
35
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
0,7371
0,7400
0,7429
0,7457
0,7485
29
29
28
28
27
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
0,8248
0,8269
0,8291
0,8312
0,8332
21
22
21
20
21
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
0,6410
0,6445
0,6480
0,6515
0,6550
35
35
35
35
34
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
0,7512
0,7540
0,7567
0,7594
0,7621
28
27
27
27
27
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
0,8353
0,8373
0,8394
0,8414
0,8434
20
21
20
20
19
248
Продолжение приложения 4
x
ˆ  x


x
ˆ  x


x
ˆ  x


2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
0,8453
0,8473
0,8492
0,8511
0,8530
20
19
19
19
19
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
0,9029
0,9043
0,9056
0,9069
0,9082
14
13
13
13
13
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
0,9419
0,9428
0,9437
0,9446
0,9454
9
9
9
8
9
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
0,8549
0,8567
0,8585
0,8604
0,8622
18
18
19
18
17
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
0,9095
0,9108
0,9121
0,9133
0,9146
13
13
12
13
12
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
0,9463
0,9471
0,9479
0,9487
0,9495
8
8
8
8
8
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
0,8639
0,8657
0,8675
0,8692
0,8709
18
18
17
17
16
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
0,9158
0,9170
0,9182
0,9193
0,9205
12
12
11
12
12
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
0,9503
0,9511
0,9519
0,9526
0,9534
8
8
7
8
7
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
0,8725
0,8742
0,8759
0,8776
0,8792
17
17
17
16
16
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
0,9217
0,9228
0,9239
0,9250
0,9261
11
11
11
11
11
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
0,9541
0,9548
0,9556
0,9563
0,9570
7
8
7
7
7
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
0,8808
0,8824
0,8840
0,8855
0,8871
16
16
15
16
15
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
0,9272
0,9283
0,9293
0,9304
0,9314
11
10
11
10
10
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
0,9577
0,9584
0,9590
0,9597
0,9603
7
6
7
6
7
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
0,8886
0,8901
0,8916
0,8930
0,8945
15
15
14
15
15
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
0,9324
0,9334
0,9344
0,9354
0,9364
10
10
10
10
9
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
0,9610
0,9616
0,9622
0,9629
0,9635
6
6
7
6
6
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
0,8960
0,8974
0,8988
0,9002
0,9016
14
14
14
14
13
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
0,9373
0,9383
0,9392
0,9401
0,9410
10
9
9
9
9
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
0,9641
0,9647
0,9652
0,9658
0,9664
6
5
6
6
5
249
Окончание приложения 4
x
ˆ  x


x
ˆ  x


x
ˆ  x


3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
0,9669
0,9675
0,9680
0,9686
0,9691
6
5
6
5
5
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
0,9744
0,9749
0,9753
0,9757
0,9761
5
4
4
4
5
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
0,9930
0,9943
0,9954
0,9963
0,9970
13
11
9
7
6
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
0,9696
0,9701
0,9706
0,9711
0,9716
5
5
5
5
5
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
0,9766
0,9770
0,9774
0,9778
0,9782
4
4
4
4
36
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
0,9976
0,9981
0,9985
0,9988
0,9991
5
4
3
3
2
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
0,9721
0,9726
0,9731
0,9735
0,9740
5
5
4
5
4
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
0,9818
0,9848
0,9874
0,9896
0,9915
30
26
22
19
15
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
0,9993
0,9994
0,9996
0,9997
0,9997
1
2
1
0
250
Приложение 5
Значения чисел q в зависимости от объема выборки п и надежности γ для
определения доверительного интервала среднего квадратичного
отклонения σх
п
γ
п
0,99
—
9
0,95
—
0,92
—
0,80
—
0,71
10
0,65
—
11
0,59
12
0,55
13
0,52
0,98
—
0,90
—
0,83
14
0,48
0,78
15
0,46
16
0,44
0,73
—
0,70
7
8
0,999
—
—
—
—
—
—
—
γ
0,95
0,99
0,999
25
0,32
0,49
0,73
30
0,28
0,43
0,63
35
0,26
0,38
0,56
40
0,24
0,35
0,50
45
0,22
0,32
0,46
50
0,21
0,30
0,43
60
0,188
0,269
0,38
70
0,174
0,245
0,34
80
0,161
0,226
0,31
90
0,151
0,211
0,29
100
0,143
0,198
0,27
17
0,42
0,66
18
0,40
0,63
0,96
150
0,115
0,160
0,211
19
0,39
0,60
0,92
200
0,099
0,136
0,185
20
0,37
0,58
0,88
250
0,089
0,120
0,162
251
Приложение 6
Критические точки распределения 2
Число
степеней
свободы
0,01
0,05
0,1
0,90
0,95
0,99
1
6,6
3,8
2,71
0,02
0,004
0,0002
2
9,2
6,0
4,61
0,21
0,1
0,02
3
11,3
7,8
6,25
0,58
0,35
0,12
4
13,3
9,5
7,78
1,06
0,71
0,30
5
15,1
11,1
9,24
1,61
1,15
0,55
6
16,8
12,6
10,6
2,20
1,64
0,87
7
18,5
14,1
12,0
2,83
2,17
1,24
8
20,1
15,5
13,4
3,49
2,73
1,65
9
21,7
16,9
14,7
4,17
3,33
2,09
10
23,2
18,3
16,0
4,87
3,94
2,56
11
24,7
19,7
17,3
5,58
4,57
3,05
12
26,2
21,0
18,5
6,30
5,23
3,57
13
27,7
22,4
19,8
7,04
5,89
4,11
14
29,1
23,7
21,1
7,79
6,57
4,66
15
30,6
25,0
22,3
8,55
7,26
5,23
16
32,0
26,3
23,5
9,31
7,96
5,81
17
33,4
27,6
24,8
10,1
8,67
6,41
18
34,8
28,9
26,0
10,9
9,39
7,01
19
36,2
30,1
27,2
11,7
10,1
7,63
20
37,6
31,4
28,4
12,4
10,9
8,26
21
38,9
32,7
29,6
13,2
11,6
8,90
22
40,3
33,9
30,8
14,0
12,3
9,54
23
41,6
35,2
32,0
14,8
13,1
10,2
24
43,0
36,4
33,2
15,7
13,8
10,9
25
44,3
37,7
34,4
16,5
14,6
11,5
26
45,6
38,9
35,6
17,3
15,4
12,2
27
47,0
40,1
36,7
18,1
16,2
12,9
28
48,3
41,3
37,9
18,9
16,9
13,6
29
49,6
42,6
39,1
19,8
17,7
14,3
30
50,9
43,8
40,3
20,6
18,5
15,0
Уровень значимости α
252
Приложение 7
Критические точки распределения Фишера — Снедекора
P=0,9 (α=0,1)
l1\l2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
39,86
8,53
5,54
4,54
4,06
3,78
3,59
3,46
3,36
3,29
3,23
3,18
3,14
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,97
2
3
4
49,50
9,00
5,46
4,32
3,78
3,46
3,26
3,11
3,01
2,92
2,86
2,81
2,76
2,73
2,70
2,67
2,64
2,62
2,61
2,59
53,59
9,16
5,39
4,19
3,62
3,29
3,07
2,92
2,81
2,73
2,66
2,61
2,56
2,52
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,38
55,83
9,24
5,34
4,11
3,52
3,18
2,96
2,81
2,69
2,61
2,54
2,48
2,43
2,39
2,36
2,33
2,31
2,29
2,27
2,25
5
57,24
9,29
5,31
4,05
3,45
3,11
2,88
2,73
2,61
2,52
2,45
2,39
2,35
2,31
2,27
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
6
7
8
9
10
12
58,20
9,33
5,28
4,01
3,40
3,05
2,83
2,67
2,55
2,46
2,39
2,33
2,28
2,24
2,21
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
58,91
9,35
5,27
3,98
3,37
3,01
2,78
2,62
2,51
2,41
2,34
2,28
2,23
2,19
2,16
2,13
2,10
2,08
2,06
2,04
59,44
9,37
5,25
3,95
3,34
2,98
2,75
2,59
2,47
2,38
2,30
2,24
2,20
2,15
2,12
2,09
2,06
2,04
2,02
2,00
59,86
9,38
5,24
3,94
3,32
2,96
2,72
2,56
2,44
2,35
2,27
2,21
2,16
2,12
2,09
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
60,19
9,39
5,23
3,92
3,30
2,94
2,70
2,54
2,42
2,32
2,25
2,19
2,14
2,10
2,06
2,03
2,00
1,98
1,96
1,94
60,71
9,41
5,22
3,90
3,27
2,90
2,67
2,50
2,38
2,28
2,21
2,15
2,10
2,05
2,02
1,99
1,96
1,93
1,91
1,89
253
15
61,22
9,42
5,20
3,87
3,24
2,87
2,63
2,46
2,34
2,24
2,17
2,10
2,05
2,01
1,97
1,94
1,91
1,89
1,86
1,84
20
24
30
40
61,74
9,44
5,18
3,84
3,21
2,84
2,59
2,42
2,30
2,20
2,12
2,06
2,01
1,96
1,92
1,89
1,86
1,84
1,81
1,79
62,00
9,45
5,18
3,83
3,19
2,82
2,58
2,40
2,28
2,18
2,10
2,04
1,98
1,94
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
62,26
9,46
5,17
3,82
3,17
2,80
2,56
2,38
2,25
2,16
2,08
2,01
1,96
1,91
1,87
1,84
1,81
1,78
1,76
1,74
62,53
9,47
5,16
3,80
3,16
2,78
2,54
2,36
2,23
2,13
2,05
1,99
1,93
1,89
1,85
1,81
1,78
1,75
1,73
1,71
60
120
62,79
9,47
5,15
3,79
3,14
2,76
2,51
2,34
2,21
2,11
2,03
1,96
1,90
1,86
1,82
1,78
1,75
1,72
1,70
1,68
63,06
9,48
5,14
3,78
3,12
2,74
2,49
2,32
2,18
2,08
2,00
1,93
1,88
1,83
1,79
1,75
1,72
1,69
1,67
1,64
Продолжение приложения 7
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
2,96
2,95
2,94
2,93
2,92
2,91
2,90
2,89
2,89
2,88
2,84
2,79
2,75
2,71
2,57
2,56
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,50
2,49
2,44
2,39
2,35
2,30
2,36
2,35
2,34
2,33
2,32
2,31
2,30
2,29
2,28
2,28
2,23
2,18
2,13
2,08
2,23
2,22
2,21
2,19
2,18
2,17
2,17
2,16
2,15
2,14
2,09
2,04
1,99
1,94
2,14
2,13
2,11
2,10
2,09
2,08
2,07
2,06
2,06
2,05
2,00
1,95
1,90
1,85
2,08
2,06
2,05
2,04
2,02
2,01
2,00
2,00
1,99
1,98
1,93
1,87
1,82
1,77
2,02
2,01
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,94
1,93
1,93
1,87
1,82
1,77
1,72
1,98
1,95 1,92
1,97
1,93 1,90
1,95
1,92 1,89
1,94
1,91 1,88
1,93
1,89 1,87
1,92
1,88 1,86
1,91
1,87 1,85
1,90
1,87 1,84
1,89
1,86 1,83
1,88
1,85 1,82
1,83
1,79 1,76
1,77
1,74 1,71
1,72
1,68 1,65
1,67
1,63 1,60
Р =0,95(α=0,05)
1,87
1,86
1,84
1,83
1,82
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,71
1,66
1,60
1,55
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,72
1,66
1,60
1,55
1,49
1,78
1,76
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
1,69
1,68
1,67
1,61
1,54
1,48
1,42
1,75
1,73
1,72
1,70
1,69
1,68
1,67
1,66
1,65
1,64
1,57
1,51
1,45
1,38
1,72
1,70
1,69
1,67
1,66
1,65
1,64
1,63
1,62
1,61
1,54
1,48
1,41
1,31
1,69
1,67
1,66
1,64
1,63
1,61
1,60
1,59
1,58
1,57
1,51
1,44
1,37
1,30
1,66
1,64
1,62
1,61
1,59
1,58
1,57
1,56
1,55
1,54
1,47
1,40
1,32
1,24
1,62
1,60
1,59
1,57
1,56
1,54
1,53
1,52
1,51
1,50
1,42
1,35
1,26
1,17
l1\l2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
2
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
5
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
6
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
7
236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
8
238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
12
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
15
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
20
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
24
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
30
250,1
19,46
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
40
251,1
19,47
8,59
5,72
4,46
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
60
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
120
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
9
240,5
19,38
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
254
10
241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
Окончание приложения 7
l1\l2
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
4,08
4,00
3,92
3,84
2
3
4
5
6
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,23
3,15
3,07
3,00
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,84
2,76
2,68
2,60
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,61
2,53
2,45
2,37
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,45
2,37
2,29
2,21
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,34
2,25
2,17
2,10
7
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,25
2,17
2,09
2,01
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,18
2,10
2,02
1,94
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,12
2,04
1,96
1,88
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
1,66
1,57
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
255
Приложение 8
t-распределение (значение fkp, соответствующее Р(Т > fkp) = α)
α
0,025
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,000
1,980
1,960
l
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
0,10
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,296
1,289
1,282
0,05
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,671
1,658
1,645
256
0,01
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,358
2,326
0,005
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,576
2,576
Литература
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов.- М.:ЮНИТИ-ДАНА,2002.-543 с.
2. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Высшая
школа, 2005. – 256с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. «Задачи и упражнения по теории
вероятностей». – М.: Высшая школа, 2000. – 366с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учебное пособие. – 11 изд. перераб. – М.:
Высшее образование. 2008. – 404с.
5. Ермаков В.И., Бобрик Г.И., Гринцевичус Р.К., Матвеев В.И., Рудык Б.М.,
Сагитов Р.В., Смагина О.К., Шершнев В.Г. Сборник задач по высшей
математике для экономистов: учебное пособие.- М.: ИНФРА-М,2008.-374
с.
6. Колодяжная Т.А., Озерецковская М.М. «Статистические методы
обработки результатов испытаний авиационного оборудования».
г.Ставрополь, СВВАИУ(ВИ) им. маршала авиации В.А. Судца. 2006. –
101с.
7. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник
задач по высшей математике. 2 курс/Под ред. С.Н. Федина. – М.: АйрисПресс, 2004. – 592с.
8. Мелешко С.В., Попова С.В., Цыплакова О.Н. Элементы комбинаторики:
Учебно-методическое указание. Ставрополь, 2012.-32с.
9. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Руководство к решению
задач по математическому анализу. Часть 2. Учебное пособие. –
Ставрополь,: Сервисшкола, 2012. – 333с.
257
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа