close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
УДК 625.033.3
Э. И. Даниленко
В. П. Велинец
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
РЕАЛЬНОГО БОКОВОГО МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПУТИ U y(T ) ,
ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ НА РЕЛЬСОВУЮ НИТЬ
ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ И ВЕРТИКАЛЬНЫХ СИЛ
В статье представлены исследования по определению расчетным методом одной из важнейших характеристик пространственной упругости
рельсовых нитей – горизонтального бокового модуля упругости пути в реальных условиях взаимодействия с подвижным составом при одновременном воздействии на рельс внецентренно приложенных вертикальных и горизонтальных сил и с учетом возникающих по подошве рельса сил трения.
У статті описані дослідження по визначенню розрахунковим методом
однієї з найважливіших характеристик просторової пружності рейкових
ниток – горизонтального бокового модуля пружності колії в реальних умовах взаємодії з рухомим складом при спільній дії на рейку позацентрово прикладених вертикальних і горизонтальних сил з урахуванням сил тертя, що
виникають по підошві рейки.
The article presents the definition of the calculation method of one of the most
important characteristics of the spatial elasticity of rails - the horizontal side of the
elastic modulus of the path with respect to the modern designs of the permanent
way, is live interaction with the rolling stock, while the impact on the rail eccentrically applied vertical and horizontal wheel loads and account arising from the rail
base friction forces. Studies were carried out in 2011-2014 in DETUT, the main
results of these studies are presented in this research. Studies carried out in relation
to the contemporary designs of the permanent way.
Ключевые слова: железнодорожный путь, рельс, боковые силы, модуль
упругости пути, трение по подошве рельса, расчет.
Основной целью исследований, представленных в настоящей работе, явилось
определение расчетным методом одной из важнейших характеристик пространственной упругости рельсовых нитей – горизонтального бокового модуля упругости пути применительно к современным конструкциям верхнего строения
пути, в реальных условиях взаимодействия с подвижным составом при одновременном воздействии на рельс внецентренно приложенных вертикальных
© Даниленко Э. И., Велинец В. П., 2014
106
и горизонтальных колесных нагрузок и с учетом возникающих по подошве рельса
сил трения. При этом в качестве исходного расчетного аппарата за основу были
приняты теоретические разработки проф. О.П. Ершкова [3, 4], выполненные им в
развитие теории расчетов проф. С.П. Тимошенко [1, 2]. Дополнительная задача
состояла в том, чтобы на основе критического анализа методики расчетов проф.
О. П. Ершкова, найти возможности их усовершенствования и разработать практические инженерные методы для применения новой методики в инженерных расчетах пути на прочность при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных нагрузок. Исследования были выполнены в 2011 – 2014 гг. в ГЭТУТ,
основные результаты этих исследований излагаются в данной научной работе.
Первый этап решения задачи
Для определения реальных значений горизонтального (бокового) модуля
упругости пути U y(T ) , который должен учитывать изменение характеристик горизонтальной упругости при воздействии на путь вертикальных колесных
нагрузок, рассмотрим уравнение равновесия рельсовой нити в горизонтальной
поперечной плоскости для случая совместного действия на рельс горизонтальной и вертикальной сил и с учетом сил трения, возникающих между подошвой
рельса и основанием при поперечном перемещении рельса. При этом для статической задачи принимается, что силы Р и Н рассматриваются как статические
сосредоточенные силы, которые приложены в одном поперечном сечении, перпендикулярном продольной оси рельса.
Цтг – центр тяжести головки
Цтп – центр тяжести подошвы
Цтр – центр тяжести рельса
Цкр – центр кручения рельса
Рис. 1. Расчетная схема действия сил на элементарный участок
рельсовой нити при горизонтальном изгибе и кручении
Для расчетной схемы на рис. 1, принятой из работы проф. О.П. Ершкова [3],
уравнение равновесия рельсовой нити в горизонтальной поперечной плоскости
имеет вид:
(1)
 q y   Ty  H
В уравнении (1) обозначено:
q y – реактивный боковой отпор подошвы рельса в сечении приложения силы Н;
 q y – суммарный реактивный отпор по всей длине боковой деформации подошвы;
107
T y – реактивная составляющая сил трения по подошве рельса в сечении приложения силы Н;
 Ty – суммарная реакция сил трения по всей длине поперечной (боковой)
деформации подошвы.
Таблица 1. Исходные данные
Тип
рельса
h , мм
Р-43
Р-50
UIC60
Р-65
140
152
172
180
68,37
70,54
80,92
81,35
Р-75
192
88,21
hцтр , мм h1 , мм
h2 , мм
h1' , мм
h " , мм
47,01
40,17
42,87
40,66
79,09
96,43
113,73
123,64
126,10
136,60
156,60
164,30
92,99
111,83
129,13
139,34
146,2
0
45,80
130,6
0
176,4
0
hq , мм hq1 , мм hq 2 , мм
111,37
122,21
138,05
147,72
153,4
0
74,02
92,03
105,79
118,09
119,6
8
37,35
30,18
32,26
29,63
33,72
*) Исходные данные приняты из работы авторов [5] с учетом корректировки некоторых неточностей стандарта на рельсы ДСТУ 4344:2004 [6].
Реакции q y и T y определяются по формулам:
q y  U y  y    h2 
(2)
Ty  U z  z  f
(3)
где U y – модуль упругости подрельсового основания при горизонтальном
поперечном изгибе рельсовой нити от действия только боковой горизонтальной
силы (без учета действия вертикальных сил и сил трения по подошве рельса);
у – горизонтальный прогиб рельса в сечении приложенной силы Н (здесь
принимается перемещение центра вращения рельса);
 – угол закручивания рельса (рад);
U z – модуль упругости подрельсового основания при вертикальном изгибе
рельсовой нити;
z – вертикальный прогиб рельса в сечении приложений силы;
f – коэффициент трения по подошве рельса.
Для обобщения действия всех сил на длине поперечной (боковой) деформации рельса следует переписать уравнение (1) в интегральной форме:
 xy
 xy
xy
xy
 U y  y    h2 dx   U z  z  f  dx  H
(4)
Здесь  x y – пределы интегрирования при горизонтальном изгибе.
Из теории расчета балок на упругом основании (и рис. 2) можно видеть, что
для обеспечения достаточной точности расчетов первый интеграл уравнения (4)
можно брать в пределах от  x y  

до  x y  

.
ky
ky
Второй интеграл уравнения (4) нельзя брать в этих же пределах [3], так как
он существует только при перемещении подошвы рельса по основанию, которое
возможно лишь при условии, что силы трения по подошве рельса меньше упругих сил сопротивления перемещению по подошве, т.е. при наличии неравенства:
108
U y  y    h2   U z  z  f
(5)*
Рис. 2. Схема пространственного изгиба рельса при действии
вертикальной и боковой нагрузок
В условиях устойчивого равновесия рельса, т.е. при равенстве сил упругого
сопротивления основания силам трения по подошве рельса, неравенство (5)*
будет иметь вид уравнения:
U y  y    h2   U z  z  f
(5)
Если же силы трения по подошве рельса будут больше сил упругого сопротивления основания, то перемещений по подошве рельса не будет, и в этом случае неравенство будет иметь вид:
U y  y    h2   U z  z  f
(5)**
Угол поворота  сечения рельса можно определить экспериментальным путем. В данном решении воспользуемся экспериментальными данными о соотношении отжатий головки и подошвы, полученными рядом авторов и приведенные в литературе (при действии чистой горизонтальной силы, при отсутствии
вертикальной) [7, 8]. Можно также воспользоваться характеристиками жесткости рельсовых нитей по головке и подошве, которые находятся в прямой зависимости от значений абсолютных перемещений. По данным [3, 7, 8, 9] установлено, что соотношение между горизонтальными перемещениями головки и подошвы рельса составляет:
– для типовой конструкции пути на деревянных шпалах:
yг
 2,0 ;
уп
– для типовой конструкции пути на железобетонных шпалах (в зависимости
от типа скреплений и эпюры шпал):
yг
 2,2  2,5 .
уп
109
Используя установленное соотношение
yг
у п , из рис. 1 можно записать это
же соотношение в буквенном виде, (приняв на начальном этапе задачи в качестве основного рассматриваемого варианта y г  2,0 у п ):
у    h'1
(6)-1
 y    h2
2
Откуда получим выражение, определяющее зависимость угла поворота 
сечения рельса от его горизонтального перемещения у (на уровне центра вращения):
y
(6)-2 (*)

h'1 2h2
Для нахождения необходимых соотношений между вертикальными и горизонтальными перемещениями рельса (при совместном действии вертикальной и
горизонтальной сил Р и Н) примем в качестве исходного равновесное состояние
относительно горизонтальных перемещений подошвы рельса, т.е. такое когда
имеет место равенство сил упругого сопротивления основания силам трения по
подошве рельса. Для этого рассмотрим уравнение (5).
Подставив теперь выражение для угла поворота  (6)-2 в уравнение (5) и
выполнив необходимые преобразования, получим соотношение между вертикальным и горизонтальным перемещениями рельса (при совместном действии
вертикальной и горизонтальной сил) в следующем виде:
Uy
z h'1  h2


(7)
y h'1 2h2 U z  f
Формула (7) дает соотношение между вертикальным и горизонтальным прогибами рельса z для условий устойчивого равновесия рельса (т.е. при равенстве
у
сил упругого сопротивления основания силам трения по подошве рельса).
Очевидно, что для нахождения соотношения z для условий возможности
y
перемещений рельса по подошве – необходимо в качестве исходного использовать для расчетов неравенство (5)*. В таком случае отношение z будет меньy
ше правой части уравнения (7). Также меньше будет и соотношение сил Р
этом случае уравнение (7) примет вид неравенства (7)*.
Uy
h'  h
z
 1 2 
y h'1 2h2 U z  f
Н.В
(7)*
(*) Здесь и далее в формулах (7), (7)*, (7)**, (9), (10), (24) для расчетов пути на железобетонных шпалах коэффициент «2» при сомножителе h2 следует заменять на другие в зависимости от
типа скреплений и эпюры шпал.
110
Для условий невозможности перемещений рельса по подошве (т.е. когда силы
трения по подошве превышают силы упругого сопротивления основания), необходимо в качестве исходного использовать для расчетов неравенство (5)**.
В таком случае отношение z будет больше правой части уравнения (7), также
y
больше будет и соотношение вертикальной силы к горизонтальной P H . В этом
случае уравнение (7) примет вид неравенства (7)**.
Uy
z h'1  h2


y h'1 2h2 U z  f
(7)**
Во всех трех случаях (7), (7)*, (7)** приведенные математические соотношения полностью соответствуют физической сущности совместности деформаций
в вертикальной и горизонтальной плоскостях при одновременном действии на
рельс вертикальной и горизонтальной сил.
В данном исследовании для дальнейших вычислений будем рассматривать
основной случай, т.е. уравнение (7).
Из теории расчета балок на упругом основании [10, 11, 12] известно, что искомые перемещения определяются по следующим выражениям:
P  kz

 z 
2 U z


H  ky
y
 y 

2 U y

z
(8)
где k z , k y – есть коэффициенты относительной жесткости основания и рельса, характеризующие сопротивляемость рельсовой нити изгибу в вертикальной и
горизонтальной плоскости;
 z ,  y – являются ординатами эпюр упругих прогибов по длине рельса, соответственно в вертикальной и горизонтальной плоскости. Эти ординаты определяются в зависимости от аргумента kx i и показывают картину распределения прогибов (соответственно вертикальных и горизонтальных) по длине рельса для случая
одновременного приложения вертикальных и горизонтальных сил (см. рис. 2).
После подстановки выражений (8) в уравнение (7) и выполнив соответствующие преобразования, получим соотношение между ординатами эпюр вертикальных и горизонтальных прогибов рельсовой нити в виде:
z
h'  h k y H
 1 2 

 y h'1 2h2 k z P  f
(9)
Из выражения (9) можно получить необходимую искомую формулу для определения ординат эпюры горизонтальных поперечных прогибов  y в функции от
ординат вертикальных прогибов  z и также в функции от соотношения действующих сил Р и от коэффициентов относительной жесткости основания
Н
k
и рельса z
:
ky
 h' 2h2   k z  P  f
(10)
y  z 1
h'1 h2   k y  H
111
Формула (10) очень важна, она позволяет определять ординаты эпюры горизонтальных поперечных прогибов  y в любом сечении по длине рельса для случая одновременного приложения вертикальных и горизонтальных сил.
Второй этап решения задачи
Теперь после нахождения соотношения между ординатами эпюр горизонтального и вертикального прогиба рельсовой нити при совместном действии сил
Р и Н, перейдем к решению основной задачи – определения реального бокового
модуля упругости U y(T ) при совместном действии на рельсовую нить горизонтальной и вертикальной сил. Для нахождения горизонтального модуля упругости пути при совместном действии горизонтальной и вертикальной сил поступим следующим образом.
2.1. Из экспериментальных исследований вертикального изгиба рельсовой
нити под воздействием вертикальной сосредоточенной силы Р известно [12], что
вертикальный модуль упругости подрельсового основания можно определять по
формуле:
P
P
(11)
Uz 

 xz

 xz

где  z 
z

kz


z  dx

z  dx – есть площадь эпюры ординат вертикального прогиба рель-
kz
са в пределах интегрирования от  x z  


до  x z   .
kz
kz
Уравнение (11) может быть переписано в другом виде:
(11)*
U z  z  P
Установлено, что для практических целей оказывается достаточным брать
для вычислений длину упругой волны прогибов, включая всю зону положительных прогибов плюс два участка отрицательной зоны прогибов (по обе стороны
от положительной зоны) вплоть до экстремума – абсолютно минимальной ординаты  min  0,0432 . То есть, принимается к расчету длина упругой волны прогибов в пределах от x min  

до x max  

(назовем это расчетным участkz
kz
ком упругой волны прогибов).
2.2. Рассмотрим более подробно уравнение равновесия в горизонтальной
плоскости (4), выраженное в интегральной форме.
Под первым интегралом в уравнении (4) выражение  y    h2  обозначает
поперечные перемещения подошвы рельса, а интеграл без модуля упругости U y
представляет собой площадь эпюры ординат поперечного перемещения подошвы рельса:


kz
(n)
  y    h2   dx   y


kz
(12)
То есть, весь первый интеграл уравнения (4) может быть переписан в виде:
112
 xy
(n)
 U y  y    h2   dx  U y   y
(13)
xy
Теперь подставим выражение (13) в уравнение (4) и перепишем уравнение (4)
относительно горизонтального (поперечного) модуля упругости U y , тогда получим:
 xy
H   U z  z  f  dx
Uy 
xy
(14)
 y(n )
  xy

 xy

Второй интеграл уравнения (4)   U z  z  f  dx  может существовать только в


пределах длины упругой волны горизонтального изгиба рельса, то есть в пределах от  x y   xT ;  x y   xТ , или иначе можно записать, что x y изменяется в
пределах:
 xТ  х у   хТ
(15)
где хТ – есть длина полуволны участка трения по подошве рельса при совместном действии горизонтальной и вертикальной сил. Таким образом, формула
(14) может быть переписана в следующем виде:
 xT
Uy 
H   U z  z  f  dx
(14)*
 xT
 y(n )
При этом величина хТ не может быть больше длины активной (положительной) зоны полуволны горизонтального поперечного изгиба рельса, т.е. х  3 ,
Т
4k y
так как трение по подошве рельса от действия вертикальной силы реализуется
только на активном участке горизонтального изгиба рельса.
2.3. Так как из уравнения (11) следует, что при интегрировании в пределах
полной длины упругой волны вертикальных прогибов (в пределах расчетного
участка) 

kz
 xz  

kz
имеет место равенство:


kz
 U z  z  dx  P


(16)
kz
то для участка  xТ  х у   хТ , на котором реализуется трение по подошве
рельса при совместном действии горизонтальной и вертикальной сил, можно
записать:
 xT
 U z  z  dx  a  P
 xT
Тогда формулу (14)* можно переписать в виде:
H  f aP
Uy 
 y(n )
113
(17)
(18)
где коэффициент «а» обозначает долю участия вертикальной силы в формировании площади эпюры трения, т.е. сопротивляемости поперечным перемещениям по подошве рельса при совместном действии горизонтальной поперечной
силы Н и вертикальной Р.
Коэффициент «а» изменяется от 0 до 1 и не может быть a  1 , так как эпюра
сил трения может существовать только в пределах длины волны горизонтального поперечного изгиба рельса.
Значение коэффициента «а» можно определить из соотношения формул (17)
и (16):

 xT
a   z  dx
 xT

kz
 z  dx

(19)

kz
Проведя интегрирование получим окончательное выражение для вычисления
коэффициента «а» в виде:
a
e  k z  xT  cos k z  xT  1
e   cos  1
(20)
Из формулы (20) можно видеть, что значения коэффициента «а» изменяются
в зависимости от k z – коэффициента относительной жесткости основания и
рельса в вертикальной плоскости, и кроме того, изменяются в зависимости от хТ
– длины упругой полуволны участка трения по подошве рельса при горизонтальном изгибе от совместного действия горизонтальной и вертикальной сил.
Как будет показано выше, длина участка хТ в свою очередь зависит от соотношения вертикальной и горизонтальной сил хТ  f P / H  .
Таким образом, значения коэффициента «а» должны быть различными для
разных типов рельсов и разных конструкций подрельсового основания и рельсовых скреплений, и они должны изменяться при изменении соотношения действующих сил P / H , т.е. a  f k z , P / H , xT  . Данный вывод является принципиальным отличием от расчетных положений, принятых проф. О.П. Ершковым в
работах [3, 4], где принято a  0,9  const , независимо от особенностей конструкции верхнего строения пути, т.е. независимо от k z и k y , и также независимо от соотношения сил P / H .
2.4. Поскольку площадь эпюры ординат поперечного перемещения подошвы
рельса  y(n ) в опытах при совместном действии вертикальной силы Р и горизонтальной Н всегда определяется при наличии сил трения по подошве рельса, то в
H
формуле (18) отношение (n ) по аналогии с формулой (11) следует рассматриy
вать как модуль упругости пути в горизонтальной плоскости с учетом сил трения по подошве рельса (т.е. при наличии действия вертикальной силы), обозначим его U y(T ) :
H

( n)
y
 U y(T )
114
(21)
Тогда, подставляя (21) в формулу (18), и перенеся в левую часть уравнения
получим в результате соотношение между горизонтальными модулями
U y(T ) ,
упругости пути, определенными для случая действия только горизонтальной
силы при отсутствии вертикальной силы – U y (т.е. без учета сил трения) и для
случая действия вертикальной силы совместно с горизонтальной (т.е. с учетом
сил трения по подошве рельса) – U y(T ) :
U y(T )  U y 
f aP
(22)
 y( n )
Теперь, если в формуле (22) площадь эпюры боковых перемещений по по-
дошве рельса  y(n ) выразить через отношение  y( n )  H , которое следует из
(T )
Uy
(21), то сделав соответствующие преобразования получим в окончательном виде
расчетную формулу для определения горизонтального модуля упругости пути с
учетом сил трения по подошве рельса при совместном действии вертикальной
и горизонтальной сил:
U y(T )  U y 
H
H  f aP
(23)
Формула (23) хотя и является в целом аналогичной формуле проф. О.П. Ершкова, полученной им в работе [3], однако существенное отличие состоит в
том, что в формуле (23) коэффициент «а» не есть постоянной величиной
a  const , а в трудах О.П. Ершкова [3, 4] принято постоянное значение этого
коэффициента a  const , а именно а=0,9, независимо от соотношения сил P / H
и также независимо от конструкции пути, типа рельса и эпюры шпал.
Таким образом в результате выполненных исследований нами установлено,
что величина коэффициента «а» изменяется в зависимости от конструкции
подрельсового основания, рельсовых скреплений, соотношения сил P / H и длины участка хТ – длины упругой полуволны трения по подошве рельса при горизонтальном изгибе рельса, т.е.
a  f k z , P / H , xT  .
Третий этап решения задачи
Определение характеристик xT и a , необходимых для расчета горизонтального (бокового) модуля упругости пути U y(T ) (при совместном действии горизонтальной и вертикальной сил).
Как следует из формул (20), (9), (10) для определения характеристики «а»,
которая обозначает долю участия вертикальной силы в формировании площади
эпюры трения – сопротивления поперечным перемещениям по подошве рельса
при совместном действии горизонтальной силы Н и вертикальной силы Р, необходимо знать длину хТ – полуволны участка трения по подошве рельса и харак-
теристики k z и k y , относительной жесткости основания и рельса, характеризу-
ющие конструкцию пути в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Характеристики k z и k y считаются известными по условию задачи.
115
Длину хТ – полуволны участка трения по подошве рельса при совместном
действии сил Н и Р можно определить из совместного рассмотрения эпюр упругих прогибов рельсовой нити в вертикальной и горизонтальной плоскостях ординаты которых определяются из выражений (9) и (10).
Порядок решения данной задачи
3.1 Рассмотрим совместно графики упругой полуволны вертикальных прогибов  z  f k z x  и горизонтальных прогибов  y  f k y x на примере изгиба
 
рельсовой нити Р65 со скреплениями типа КБ на железобетонных шпалах при
эпюре 1840 шт/км (см. рис. 3).
Как уже указано ранее, будем считать достаточным для практических расчетов – рассматривать задачу в пределах длины расчетного участка вертикальных
x min  
kz
x max  
от x min  


до x max  
, что
kz
kz
включает всю зону положительных прогибов плюс два отрицательных участка
зоны прогибов (по обе стороны от положительной зоны) вплоть до экстремума –
абсолютно минимальной ординаты  zmin  0,0432, которая и соответствует
 ,
 .
прогибов, равной длине упругой волны
kz
Рис. 3. Совмещенные эпюры упругих вертикальных прогибов
 z  f k z x  и горизонтальных прогибов  y  f k y x рельсовой нити
 
при одновременном действии единичных сил Р=1 и Н=1
Следующие расчетные характеристики рельса и подрельсового основания
считаются заданными:
EI верт – жесткость рельса при изгибе в вертикальной плоскости;
EI гориз – жесткость рельса при изгибе в горизонтальной плоскости;
U z – модуль упругости подрельсового основания при вертикальном изгибе;
U y – модуль упругости подрельсового основания при изгибе в горизонтальной плоскости при воздействии чистой горизонтальной силы (без вертикальной
нагрузки);
116
kz  4
Uz
4 EI верт
– коэффициент относительной жесткости основания и рельса
при вертикальном изгибе; k z  0,01228033см 1 ;
ky  4
Uy
4 EI гориз
– коэффициент относительной жесткости основания и рельса
при горизонтальном изгибе; k y  0,01634111см 1 . (Расчетные характеристики
взяты из работ автора [12, 13]).
Экстремум ординаты минимального горизонтального прогиба  y  0,0432
от действия чистой горизонтальной силы Н расположен от точки приложения
сил и (от расчетного сечения) на расстоянии x y     192,251cм .
ky
min
Экстремум ординаты минимального вертикального прогиба от действия вертикальной силы Р, равный  z  0,0432 расположен от точки приложения силы
(от расчетного сечения) на расстоянии x zmin  

 255,833 cм .
kz
При совместном действии вертикальной и горизонтальной сил ордината горизонтального прогиба  y в любом сечении рельса (как показано при выводе
формулы (10) в первой части данного исследования) находится в функциональной зависимости от целого ряда параметров, в том числе: от соотношения действующих на рельс сил P / H , от соотношения коэффициентов относительной
жесткости k z / k y и от геометрических характеристик поперечного сечения
рельса.
3.2. Для решения поставленной задачи об определении длины xT будем искать значение ординат горизонтального прогиба  y как функцию от ординат
вертикального прогиба  y  f ( z ) , используя формулу (10) и приняв при этом,
что прочие параметры в формуле (10) остаются постоянными для каждой конкретной конструкции пути. Для упрощения вычислений на 1-м этапе удобно
рассмотреть пример при соотношении сил P / H  1 .
Используя формулу (10) вычислим сначала рабочую ординату горизонтального прогиба  y на конце упругой волны вертикального прогиба при
xmax  

kz
, где имеет место минимальный экстремум вертикального прогиба,
равный  zmin  0,0432 . В результате вычислений получим в этом сечении рабочую ординату горизонтального прогиба равную:
 y   z  0,3450404 0,0149057.
По таблицам   f (kx) из «Правил расчета пути на прочность» [13] (или
[14]) найдем для данного значения  y  0,0149057 величину k y  x y  4,426 ,
что соответствует абсциссе на эпюре чистого горизонтального прогиба
x y  270,851см .
117
То есть, разность абсцисс между расположением экстремумов горизонтального прогиба при чистом горизонтальном изгибе (от действия только силы Н) и
при совместном действии горизонтальной и вертикальной сил Н и Р, составляет
x y  270,851 192,251  78,600 см
Полученный результат является результатом влияния совместного действия
сил на эпюру горизонтальных прогибов. Он показывает, что эпюра горизонтальных прогибов при одновременном воздействии вертикальной силы Р, равной по
величине горизонтальной P  H , уменьшится по интенсивности в
 yH  P  yH 
 0,0149057
 0,3450 раза и при этом длина упругой полуволны гори 0,0432
зонтального прогиба рельса уменьшится на величину x y  78,600 см .
Также, уменьшится и длина активной положительной зоны упругой волны
горизонтального изгиба на величину 2x y  2  78,600  157,200 см . Точно таким
же образом и в том же количественном эквиваленте этот результат передается
на длину упругой волны трения по подошве рельса.
С учетом того, что максимальная длина полуволны участка трения по подош3
ве составляет xT (max) 
 144,188 см , то при воздействии на рельс одновре4k y
менно с горизонтальной и вертикальной силы Р, равной по величине горизонтальной Р=Н P  1,0 , длина полуволны участка трения по подошве рельса
H

уменьшится на x y  78,600 см и будет равна:


xT  144,188  78,600  65,588 см
Таким образом искомая длина полуволны участка трения по подошве рельса
Р65 со скреплениями КБ на железобетонных шпалах, при заданном соотношении сил P  1,0 составила xT  65,588 см .
H
3.3. Очевидно, что минимальная длина участка трения по подошве рельса
2  xT (min)  0 будет иметь место в случае воздействия на рельс минимального


значения вертикальной силы Pmin . Практически это будет при отсутствии вертикальной силы, т.е. при Pmin  0 .
А максимальная длина участка трения, равная двум полуволнам
3
3 
, очевидно будет реализовываться в том случае, когда
2  xT (max)  2 

4k y 2 k y
площадь активной (положительной) зоны эпюры горизонтального прогиба рельса будет равновелика аналогичной площади эпюры вертикального прогиба. А
это возможно только при таком определенном соотношении величин сил P H ,
когда ординаты эпюры горизонтальных и вертикальных прогибов в формуле
(10) будут равны.
Приняв для активной (положительной) зоны прогибов  z   y   max  1,0 из
формулы (10) получим формулу для определения соотношения сил P H , при
котором будет реализовываться максимальная длина участка трения по подошве
118
рельса, равная полной длине волны упругого горизонтального прогиба рельса от
3
3
 x до  x
y
y
2 x y  2 xT (max)  2 
4k y
max P

2k y
h'1 h2   k y
h'1 2h2 k z  f
(24)
H
Для рассматриваемого примера (Р65, КБ, ж/б шпалы, 1840 шт/км) будем
иметь
max Р Н  2,898.
Следует отметить, что вывод обоснования минимума и максимума длины
участка трения по подошве рельса xT (min) и xT (max) , позволяют сформулировать

физически обоснованную картину поперечного изгиба рельса под совместным
воздействием вертикальной и горизонтальной сил при изменении их соотношения P H . А именно: при отсутствии вертикальной силы Рmin  0 и соотношении Р
 0 будет реализовываться наибольший горизонтальный прогиб рельса
Н
ymax , соответствующий текущему значению силы Н, при этом на активную зону
эпюры горизонтальных прогибов не будут влиять силы трения по подошве ввиду их отсутствия. А при достижении соотношения сил max Р от эффекта дейН
ствия вертикальной силы будет реализовываться максимальная длина участка
3
, равновеликая площади активной (потрения по подошве рельса 2 xT (max) 
2k y
ложительной) зоны эпюры горизонтального прогиба рельса. В этом случае подошва рельса практически будет «приклеиваться» к подрельсовому основанию и
не будет иметь места дальнейшее увеличение горизонтального прогиба по подошве при возрастании вертикальной силы Р и увеличении соотношения сил
P H . Любое промежуточное значение соотношения сил 0  P H  (max)P H будет соответствовать графическому изображению на рис. 2, т.е. участок сил трения по подошве рельса будет составлять 2 хТ и площадь эпюры горизонтальных
прогибов рельса будет существенно меньше, чем при Р  0 .
3.4. Для подтверждения правильности решения задачи о нахождении длины
полуволны участка трения по подошве рельса ( xT ) приведем, кроме рассмот-
ренного случая соотношения сил P H =1, два других показательных случая:
определение минимальной длины xT (min) и определение максимальной длины
xT (max) .
Для определения xT (min) принято минимальное практически возможное соотношение сил min Р
ной силы, т.е. Р=0).
Н
 0,01 (что практически близко к отсутствию вертикаль-
119
Для определения xT (max) принято вычисленное выше по формуле (24) максимальное значение
max Р Н  2,898.
соотношения
сил
для
рассматриваемого
примера
Примеры определения в числовом виде длины участка трения по подошве
рельса xT и коэффициента «а» в формуле (23), необходимого для расчета гори-
зонтального модуля упругости пути U y(T ) , приведены ниже для случаев соотношения вертикальной и горизонтальной сил соответственно:
1) P H =1 …… xT (при P H =1); 2) min Р  0,01 ….. xT (min) ;
Н
Р
3) max
 2,898 …. xT (max) .
Н
Расчеты выполнены для конструкции пути с характеристиками: Р65, КБ, ж/б
шпалы, 1840 шп/км. Расчеты выполнены на ПЭВМ по приведенному выше алгоритму решения задачи. Результаты расчетов прилагаются.
Результаты расчетов
Таблица 2. Исходные данные для расчета
Эпюра
h1’, см
h2, см
1840
12,364
4,066 0,01228033 0,01634111 0,35
H
ky  4
y 
ky, см-1
E, кг/см2 Iгориз, см4
Iверт, см4 Uy, кг/см2 Uz, кг/см2 βу, кг/см
2100000
3543,796
567,640
y 
340,000
677,000
41600
 z (h1'  2,26h2 )  k z  P  f
(h1'  h2 )  k y  H
Uz
677,000
4
 0,01228033см 1
4 EI верт
4  2100000 3543,796
Uy
4 EI гориз
4
340,000
 0,01634111см 1
4  2100000 567,640
 z (12,364  2,26  4,066)  0,01228033 1  0,35
(12,364  4,066)  0,01634111
 z  0,0432
k y  x y  4,426
x y  270,851см
e  k z xT cos k z xT  1
e

cos  1
2) P  0,01
H
  z  0,345040375
 y  0,0432 0,345040375 0,014905744
xT  270,851 192,251 78,600см
a
f
ky
z
h '  h2
H
 ' 1


 y h1  2,26h2 k z P  f
1) P  1,0
kz  4
kz, см-1

3
 144,188см
4k y

ky
 192,251см
xT  144,188  78,600  65,588см
e 0,0122803365,588  cos(0,01228033 65,588)  1
 0,661799000
e   cos  1
 y  0,0432 0,345040375 0,01  0,000149057
120
k y  x y  5,475
3
 144,188см
4k y
x y  335,045см
xT  335,045  192,251 142,794см
a
e  k z xT cos k z xT  1
e  cos  1
3)
P
 2,898
H
k y  xy  

xT  144,188  142,794  1,394см
 y  0,0432 0,345040375 2,898  0,04320
x y  192,251см
e  k z xT cos k z xT  1
e  cos  1
 192,251см
e 0,012280331,394  cos(0,01228033 1,394)  1
 0,016408065
e   cos  1
3
 144,188см
4k y
xT  192,251 192,251 0,000см
a

ky


ky
 192,251см
xT  144,188  0,000  144,188см
e 0,01228033144,188  cos(0,01228033 144,188)  1
 0,990973194
e   cos  1
На рис. 4.1 и 4.2 построены графические зависимости искомых величин характеристик xT  f P H ;  y ;  z  ; a  f xT ; P H  ; в функции от исходных параметров: а именно: от соотношения действующих на рельс сил P H (для всего
спектра действующих сил от Р=0 и P H =0 до P H  max ) и от эпюр упругих
прогибов рельсовой нити в вертикальной и поперечной плоскостях  z и  y ,
зависящих в свою очередь от параметров конструкций k z и k y .

a  f xT ; P

xT  f P
H
;
H
; y ; z

Рис. 4.1 График а и хТ
в функции от Р/Н
(тип рельса Р65,
эпюра шпал 1840 шт/км,
тип скрепления – КБ)

a  f xT ; P

xT  f P
H
;
H
; y ; z

Рис. 4.2 График а и хТ
в функции от Р/Н (тип рельса
Р65, эпюра шпал 1840 шт/км, тип
скрепления – ДО)
121
Таблица 3. Результаты расчетов для 2-х существенно различных
вариантов конструкции пути
(на железобетонных и деревянных шпалах с рельсами Р65 и Р50)
Р-65, КБ, Эпюра U , кг/см2
kz, см-1
z
5a-вариант
P/H=1,00,
1680
618
0,01200356
P=7000 кг
Н=7000 кг
1840
677
0,01228033
f=0,35
е=0 см,
2000
736
0,01253956
δ=2,26
Р-50, Д0, Эпюра U , кг/см2
kz, см-1
z
5a-вариант
P/H=1,00,
1680
238
0,01088480
P=7000 кг
Н=7000 кг
1840
261
0,01113875
f=0,15
е=0 см,
2000
284
0,01137642
δ=2,0
Uy, кг/см2
ky, см-1
U y(Т ) ,
кг / см2
см  рад
k y(Т ) , см 1
y0, см
yгол, см
yпод, см
310,435
0,01597367
404,041
0,0170615 0,147796
0,250461
0,114034
340,000
0,01634111
442,535
0,0174542 0,138043
0,235512
0,105990
369,565
0,01668532
481,018
0,0178218 0,129676
0,222581
0,099123
yгол, см
yпод, см
Uy, кг/см2
ky, см-1
U y(Т ) ,
кг / см2
см  рад
k y(Т ) , см 1
y0, см
200,230
0,01587916
211,936
0,0161063 0,265988
0,378449
0,219140
219,300
0,01624445
232,131
0,0164770 0,248436
0,355111
0,203998
238,370
0,01658663
252,320
0,0168241 0,233375
0,335233
0,190944
Подобные расчеты авторами выполнены практически для всех современных
конструкций пути, которые применяются на железных дорогах Украины, в том
числе с рельсами Р65, UІС60, Р50, уложенными на железобетонных и деревянных шпалах. Подробные результаты расчетов будут опубликованы в справочных
инженерных пособиях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П. Метод исследований статистических и динамических напряжений в рельсе./ В
кн. «Статистические и динамические проблемы теории упругости». – К.: «Наукова думка», 1975. –
с. 209 – 220.// Перевод с англ. «Method of analysis of Statical and Dinamical stresses in rail. Proccesings
of the 2nd International congress for applied Mechanics».– Zurich, 1926.
2. Тимошенко С.П. Напряжения в железнодорожном рельсе. /В кн. «Статистические и динамические проблемы теории упругости». – К.: Наукова думка, 1975. – С. 318 – 355. // Перевод с англ.
«Transactions of the American Society of Mechanical Engineers», 1932. – vol. 54. – № 23. – Р. 277 – 302.
3. Ершков О.П. Характеристики пространственной упругости рельсовой нити // Труды
ВНИИЖТ. – Вып. 192. – 1960. – С. 59 – 101.
4. Ершков О.П. Расчет рельса на действие боковых сил в кривых // Труды ВНИИЖТ. – Вып. 192.
– 1960. – С. 5 – 59.
5. Даніленко Е.І., Велінець В.П. Про необхідність внесення змін до діючого державного стандарту
України ДСТУ 4344:2004 на рейки звичайні для залізниць широкої колії // Залізничний транспорт
України. – 2014. – №4. – С. 30 – 37.
6. ДСТУ 4344:2004, ДСТУ 4344:2004 зміна №1 «Рейки звичайні для залізниць широкої колії. Загальні технічні умови». – Україна, 2004; 2007.
7. Бесстыковой путь / Под ред. В.Г. Альбрехта, Е.М. Бромберга. – М.: Транспорт, 1982. – 206 с.
8. Железобетонные шпалы для рельсового пути / Под ред. проф. А.Ф. Золотарского. – М.: Транспорт, 1980. – 270 с.
9. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. – М.: Транспорт, 1986. –
559 с.
10. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1965. – 567 с.
11. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. – М.: Транспорт, 1969. – 536 с.
12. Даніленко Е.І. Залізнична колія / Улаштування, проектування і розрахунки, взаємодія з рухомим складом : Підручник для вищих навч. закладів (у 2-х т). – К.: Інпрес, 2010. – 984 с.
13. Правила розрахунків залізничної колії на міцність і стійкість / Під ред. Е.І. Даніленко – К.:
Транспорт України, 2006. – 168 с.
14. Проектирование железнодорожного пути / Г.М. Шахунянц, Ю.Д. Волошко, М.П. Смирнов,
В.Ф. Яковлев и др.; Под. ред. Г.М. Шахунянца. – М.: Транспорт, 1972. – 320 с.
122
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа