close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

TH -2-2-3+

код для вставкиСкачать
§3. Векторное произведение двух векторов
Определение 3.1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
  
a, b , c , приведѐнных к общему началу, называется правоориентированной


или правой (соответственно левой), если поворот от вектора a к вектору b на

наименьший угол виден из конца вектора c происходящим против (по)
часовой стрелке (рис. 3.1, 3.2).
 
Замечание 3.1. Угол  поворота от a к b в этом определении, очевидно,
 
равен по величине углу между векторами a и b ,   (a, b ) , и поэтому


c
c

a

b

a

b
  
Рис. 3.1. Тройка векторов a, b, c – правая
  
Рис. 3.2. Тройка векторов a, b, c – левая
  
0     . Он не может быть равным 0 или , так как a, b , c –
 

i
некомпланарные векторы и, следовательно, a , b – неколлинеарные векторы.
Замечание 3.2. В соответствии с ориентацией ортов декартовой
прямоугольной системы координат, последняя называется правой или левой.
В дальнейшем, если не оговорено противное, используется правая система
координат.


Определение 3.2. Векторным произведением вектора a на вектор b

называется вектор c , удовлетворяющий следующим трем условиям:
1. | c || a || b | sin(a, b ) ;

 
2. вектор c перпендикулярен векторам a и b ;
  
3. векторы a , b , c образуют правую тройку.


Замечание 3.3. Если векторы a и b коллинеарны или хотя бы один из

c
них
нулевой,
то
их
векторное
произведение
равно

 

a  b  2k
нуль-вектору. В самом деле, в этом случае | c | 0 , так


как либо sin(a, b )  0, либо | a | 0 , либо | b | 0 .



k
Для векторного произведения векторов a и b
 
 

принято обозначение: a  b , иногда [a , b ] .
i
  
a
i  j,
Пример
3.1.
Даны
два
вектора






b
b  i  j , где i , j – орты прямоугольного базиса.

j

a
Используя определение
3.2, найти векторное


Рис. 3.3. К примеру 3.1
произведение a  b и изобразить его на чертеже.
  
 
►Рассмотрим прямоугольный базис (i , j , k ) и построим векторы a и b
1


 
(рис. 3.3). Так как (a, b )  π/2 и | a |  | b |  2 , то | a  b |  | a || b | sin(a, b )  2 .



  
Вектор k перпендикулярен векторам a и b , а тройка a, b , k – правая

 
(рис. 3.3). Поэтому векторы a  b и k
P


коллинеарны
и
сонаправлены,
и
r
F
  



|a b |
a  b   k  2k .◄
O
|k |
Рис.
3.4. К понятию момента
Векторное произведение применяют,

силы
относительно точки О
F
например, в физике
для вычисления

момента M силы F относительно данной точки О, который по определению



равен r  F , где r – радиус-вектор точки P – точки приложения силы F ,
отложенный от точки О (рис.3.4). Таким
  образом,

(3.1)
M rF.
Свойства векторного произведения
1) Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов
равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на
сторонах.
2) Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и
только тогда, когда его сомножители коллинеарны (линейно зависимы).
  

Следствие: a a  0 для любого вектора a .
 
 
3) a  b   b  a (антикоммутативность).
 
 
(

a
)

b


(
a
b ) .
4)


    
a

(
b

c
)  a b  a c (дистрибутивность).
5)
Пример 3.2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

   



a  2 p  q и b  p  3q , если p  2 , q  3 , а ( p, q )   / 6 .
 


 
 
►Искомая площадь S | a  b | (свойство 1), a  b  (2 p  q)  ( p  3q) .
Используя свойство 5, раскроем скобки в правой части последнего равенства:
 
   

 

a  b  (2 p)  p  q  p  (2 p)  (3q )  q  (3q ) . По следствию из свойства 2


 
  
 
имеем (2 p)  p  q  (3q )  0 , а по свойству 4 – (2 p)  (3q )  6( p  q ) . В
результате получаем равенство
 
 
 
a  b  q  p  6( p  q ) .
(3.2)
Поменяем местами сомножители в первом слагаемом в правой части (3.2). В
силу свойства 3 это слагаемое изменяет знак. После приведения подобных
 
 
членов приходим к соотношению a  b  7( p  q ) . Теперь имеем
S  7( p  q )  7 p  q  7 p q sin( p, q )  7  2  3 1/ 2  21 (кв. ед.). ◄
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа