close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

*§8. Сравнение бесконечно больших функций. )( xg =о( )( axa

код для вставкиСкачать
*§8. Сравнение бесконечно больших функций.
Для бесконечно больших функций можно ввести классификацию,
подобную той, которая описана в определениях 6.1– 6.4.
Пусть f (x) и g (x) – бесконечно большие функции при х  а, где а может
быть не только числом, но и одним из символов ∞, + ∞, – ∞.
f ( x)
Определение 8.1. Если  lim
конечный и не равный нулю, то
xa g ( x )
функции f (x) и g (x) называются бесконечно большими одного порядка при
х  а. Если этот предел равен нулю, то функция f (x) называется бесконечно
большой более низкого порядка роста по сравнению с функцией g (x) при
х  а, в этом случае принято обозначение f (x) =о( g (x) ). Если данный предел
бесконечен, то функция f (x) называется бесконечно большой более
высокого порядка роста по сравнению с функцией g (x) при х  а, при этом
f ( x)
, то функции f (x) и g (x) называются
g (x) =о( f (x) ). Если  lim
xa g ( x )
несравнимыми при х  а.
Рассмотрим два многочлена: Pk ( x)  a0 x k  a1 x k 1  ...  ak 1 x  ak ,
Qn ( x)  b0 x n  b1 x n1  ...  bn1 x  bn , при этом a0  0, b0  0 . В п.1 §5
рассмотрен предел отношения этих многочленов при x   (см. (5.1)). В
силу равенства (5.1) и определения 8.1, заключаем:
а) если k = n, то Pk (x) и Qn (x) – бесконечно большие одного порядка при
x  ;
б) если k < n, то Pk (x) имеет более низкий порядок роста при x   , чем
Qn (x) , или Pk (x)  o(Qn ( x)) при x   ;
в) если k  n , то Pk (x) имеет более высокий порядок роста при x   ,
чем Qn (x) .
Пример 8.1. Показать, что функция f ( x)  x 2 (3  sin x) – бесконечно
большая и несравнима с функцией g ( x)  x 2 при x   .
►Неравенство 2 x 2  f ( x)  4 x 2 верно для x R. Так как 2 x 2  ,
4x 2   при x   , то функция f (x)   при x   по теореме о
сжатой функции (теорема 2.3), которая справедлива и для бесконечно
f ( x)
 lim (3  sin x) (ибо
больших функций. Поскольку не существует lim
x g ( x)
x
не существует lim sin x , пример 1.3, замена x  1 u ), то функции f (x) и
x  
g (x) несравнимы при x   (определение 8.1).◄
Определение 8.2. Бесконечно большая функция f (x) называется
бесконечно большой k-го порядка роста по отношению к бесконечно
f ( x)
 C  0,  .
x a g k ( x )
3
Пример 8.2. Определить порядок роста функции f ( x)  2 x  5 x
7x  3
относительно функции g ( x)  x при х   .
3
f ( x)
x 3 (2  5 x 2 ) 2
► lim k
 lim 2k x  5 x  lim k 1
  0,  при k = 2,
x g ( x)
x x (7 x  3)
x x
(7  3x 1 ) 7
порядок роста функции f (x) относительно g (x) при х   равен 2.◄
f ( x)
Определение 8.3. Если существует lim
=1 то функции f (x) и g (x)
xa g ( x)
называются эквивалентными бесконечно большими при х  а.
Обозначение: f (x) ~ g (x) при х  а.
Многочлен Pn (x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an эквивалентен его первому
члену
при
х→  ,
так
как
a0 x n
P ( x)
a
a
a
lim n n  lim (1  1 x 1  ...  n1 x1n  n x n ) =1.
x
x a x
a0
a0
a0
0
Замечание 8.1. Эквивалентные бесконечно большие функции – частный
случай бесконечно больших одного порядка. Их свойства аналогичны
свойствам эквивалентных бесконечно малых функций.
Пример 8.3. Показать, что функции f (x) = сtgπx и g1 ( x)  1 (π( x  1)) ,
f (x) и g 2 ( x)  1 (2( x  1)) эквивалентны при x  1 .
f ( x)
πy cos πy
x  1  y,
►
,
 π( x  1)ctg πx 
 πyctg π ( y  1)  πyctg πy 
x  y 1
g1 ( x)
sinπy
πy cos πy
πy cos πy
f ( x)
=1, поэтому функции f (x) и g1 ( x)
lim
 lim
 lim
x 1 g ( x )
y  0 sinπy
πy
y 0
1
x 1
эквивалентны
при
по
определению
8.3.
Поскольку
f ( x)
2π( x  1)ctg πx
f ( x)
f ( x)
 2π( x  1)ctg πx 
 2 
 1 и,
, то lim
x 1 g ( x )
g 2 ( x)
x 1
x  1 g1 ( x)
2
следовательно, функции f (x) и g 2 ( x) также эквивалентны при x  1 .◄
Определение 8.4. Пусть даны функции f (x) и g (x) , являющиеся
бесконечно большими при х  а. Функция g (x) называется главной частью
функции f (x) при х  а, если f (x) при х  а можно представить в виде:
f ( x)  g ( x)  o( g ( x)) ,
(8.1)
где o( g ( x)) имеет смысл, описанный в определении 8.1.
Из (8.1) следует утверждение: “функция g (x) есть главная часть
бесконечно большой функции f (x) при х  а в том и только том случае,
если эти функции эквивалентны при х  а”. Поэтому функция f (x) может
иметь несколько главных частей при х  а. Так, функции 1 (π( x  1)) ,
1 (2π( x  1)) – главные части сtgπx при х  1, ибо обе они эквивалентны
большой функции g (x) при х  а, если существует lim
сtgπx при х  1 (пример 8.3).
Обычно главную часть функции, бесконечно большой при х  а, находят
в наиболее простом виде, например, в виде степенной функции C ( x  a)  k
при a R или Cx k при а=  ( k  0 ). Найти для функции f (x) такую
главную часть – значит определить константу С и порядок k этой функции
относительно дроби 1 ( x  a) или относительно х. Для сtgπx при х  1
главной частью указанного вида является функция 1 (π( x  1)) , при этом
C  1 π , k  1, а для многочлена Pn (x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an при
х   – его первый член a0 x n .
Пример 8.4. Выделить главную часть вида Cx k из бесконечно большой
3
функции f ( x)  2 x  5 x при х   .
7x  3
f ( x)
2 и k = 2 (пример 8.2), поэтому 2 x 2 – главная
► lim
при

1
C

7
7
x   Cx k
часть функции f (x) при х   .◄
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа