close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
му и привлечь национальные и иностранные инвестиции в инновационные проекты.
Литература
1. Дашкевич Т. В. Венчурная индустрия в Республике Беларусь как один из компонентов инновационного развития страны // Вестн. Брест. гос. техн. ун-та. 2010.
№3. С. 58–65.
2. Малашенкова О. Ф. Кто не рискует, тот отстает // Директор. 2009. № 7. С. 56–61.
3. Манцев О. В. Венчурное предпринимательство: мировой опыт и отечественная
практика // Вопросы экономики. 2006. №5. С. 122–131.
4. Нехорошева Л. Н. Организационно-экономический механизм венчурной деятельности: методология формирования и перспективы развития // Белорус. экон.
журн. 2008. №1. С.103–121.
5. Степаненко Д. М. Венчурная индустрия – важный компонент национальной инновационной инфраструктуры // Директор. 2008. № 2. С. 98–101.
6. Степаненко Д. М. Формирование механизма венчурного финансирования в Республике Беларусь // Банковский вестник. 2008. № 13. С. 36–42.
7. Интернет-адрес: http://finance.tut.by/news173335.html.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
В СЛУЧАЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
П. В. Бауэр
Пусть в экономике есть n делимых благ. Каждое благо i  1, n имеет
свою цену pi  0 , n  Z , pi  R. Пусть U ( x 1, x2 ,..., xn ) будет функцией полезности потребительской корзины x  ( x 1, x2 ,..., xn ) . Здесь вектор x –
означает количество товаров. Также, пусть I обозначает доход, который
потребитель может потратить на n благ.
Тогда задача потребителя сводится к максимизации своей функции
полезности:
U ( x1, x2 ,..., xn )  max
p1 x1  p2 x2  ...  pn xn  I
(1)
x1  0,...., xn  0
Допустим, у нас есть два блага. Стоят они p1 и p2 соответственно.
Есть потребитель, его доход I. И он имеет потребность в обоих товарах,
но эта потребность выражается нелинейной функцией полезности:
1
1
U ( x1, x2 )  3 x1  x12  8 x2  x22 ,
2
3
здесь x1 и x2 количество потребляемых товаров 1 и 2.
350
Полезность выражается неким числом U, которое зависит от количества потребляемых товаров. Данное число получается как значение
функции полезности представленное выше. Чем больше число, тем более счастлив потребитель. Например, вид функции, представленный в
примере выше, можно объяснить тем фактом, что потребитель при
употреблении большего количества товара 1 становится счастливее, но
прирост этого числа U, выражающего счастье потребителя, всё меньше и
меньше. В итоге, есть предел, при котором счастье от потребления дополнительной единицы товара будет уже отрицательным.
Научным языком, для данной функция полезности выполняется условие убывающей предельной полезности.
Действительно, предельная полезность товара 1 – это частная произU ( x1, x2 )
водная функции полезности U по x1 –
 3  x1 , а предельная
x1
полезность товара 2 – это частная производная функции полезности U
U ( x1, x2 )
2
по x2 –
 8  x2 . Видно, что эти две последние функции
x2
3
строго убывают по x1 и по x2 соответственно. Это наиболее экономически оправданный тип функции полезности, потому что в экономической
теории считается, что для большинства товаров, у потребителей наблюдается убывающая функция предельной полезности, так как люди любят
разнообразие, а потребление одного и того же товара в сравнительно небольшое время вызывает всё меньше и меньше счастья. Кстати в данном
случае функция полезности статична во времени, т.е. потребитель одновременно выбирает сколько потреблять товара 1 и 2 и сразу же оценивает удовлетворение своей потребности этими товарами.
Заметим, что при данной функции имеет свойство насыщения, что означает, что есть такое количество товаров, при котором потребитель не захочет иметь большее количество товаров. В нашей функции – это точка (3;12)
Далее, есть бюджетное ограничение p 1 x 1  p 2 x 2  I , оно показывает, что количество потребляемых товаров 1 и 2 ограничено помимо убывающей функции предельной полезности ещё и доходом потребителя I.
Теперь решим задачу и получим функцию спроса
Функция спроса зависит от цен товаров и дохода потребителя; в нашем
частном случае от параметров p1 , p2 и I . Сама функция показывает оптимальное значение потребления товаров 1 и 2, для максимизации полезности
при бюджетном ограничении.
Отныне будем считать, что доход I недостаточен для того, чтобы достичь точки насыщения. Тогда, очевидно, выполняется такое условие монотонности как: «для каждого вектора x , являющегося решением задачи
351
U
( x )  0 ». При этом условии бюджетное огxi
раничение при подстановке решения обращается в равенство. Иначе
можно было бы купить ещё какую-то долю товара   0 ,   0 , по коU
торому
( x )  0 , что означает, что итоговая полезность увеличится в
xi
окрестности  , а бюджетное ограничение всё равно будет выполняться.
Математически это означает, что множитель Лагранжа   0 .
U ( x1 , x2 )  max
Найдём решение задачи
, обозначив решения как
p1 x1  p2 x2  I
(1) существует i такое что
x1* , x2*
3  x1*  p1

 2 *
8  x2  p2
 3
 p1x1*  p2 x*2  I

Выразим x1* , x2* из первых двух уравнения подставим в третье, в третьем найдём  ( p, I ) , и затем из первого и второго уравнения найдём маршалловскую функцию спроса D ( p, I )  ( x1* , x2* )
В итоге получим:
3 p  12 p2  I
 ( p, I )  1
3
p12  p22
2
9 2
9
3
p2  12 p1 p2  Ip1
12 p12  p1 p2  Ip2
2
2
x1* ( p, I )  2
, x*2 ( p, I ) 
3
3
p12  p22
p12  p22
2
2
Рассмотрим точку (3; 12).
В этой точке достигается абсолютный максимум.
1
1
U ( p, I )  3 * 3  * 32  8 *12  *12 2  52,5
2
3
Соответственно если I  3 p1  12 p2 , то ограничение выполняется, но
если I  3 p1  12 p2 то x1*  3, x2*  12,
Соответственно все приведённые выше формулы действительны
лишь, при   0 , или, что тоже самое, I  3 p1  12 p2 .
352
Полученное решение x1* ( p, I ) и x2* ( p, I ) удовлетворяет равенству
p1x1*  p2 x2*  I ,
а
также
так
rp1x1*  rp2 x2*  rI ,
как
то
x1* ( rp , rI )  x1* ( p , I ) , x*2 ( rp , rI )  x2* ( p, I ) . Данные тождества означают, что
количественное значение цен не влияет на выбор потребителя, важны
относительные цены. Т.е выполняется неоклассическая предпосылка
нейтральности денег.
2
0
3  x1* 8  x2*
2
3
2
2 *
2
*
* 2 
Так как (1) 3  x1
1
0
 3  x1   8  x2   0 , при
3
3 

2 *
2
8  x2
0

3
3
I  3 p1  12 p2 , то далее можем проделать еще некоторые расчёты.


Если продифференцировать p1x1*  p2 x2*  I относительно x *j , то поn
лучим x*j ( p, I )   pi
i 1
xi*
( p, I )  0 , если же относительно I, то получим
p j
xi*
( p, I )  1 . Это и следующие тождества годны и для общего слу
I
i 1
чая функции полезности с условиями ненасыщаемости, монотонности.
Также, использовав x*2 ( rp , rI )  x2* ( p, I ) , и продифференцировав
n
 pi
rp1x1*
rp2 x2*
n
x*j
( p, I )  0
I
Данные уравнения можно записать в эластичностях. Обозначим:
x* pi pi xi*
 *
  ii ,
эластичность по цене: *i
pi
xi
xi pi

 rI относительно r, получим
i 1
xi*
перекрёстная эластичность по цене: *
xi
xi*
эластичность по доходу: *
xi
 pi p
( p, I )  I
x*j
i
p j xi*
 *
  ij ,
pj
xi p j
p j
I I xi*
 *
 i ,
I
xi I
pi xi*
Тогда если si это доля, которая тратится на товар i ( si 
), то для
I
всех j: s11 j  ...  sn nj   s j , s11  ...  s n n  1 и  j1  ...   jn   j  0 .
353
Литература
1. Carl P. Simon and Lawrence Blume Mathematics for economists // W.W.Norton. New
York, London. С. 544–551.
ТЕОРИЯ АРБИТРАЖНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
В ОЦЕНКЕ РИСКА И ФОРМИРОВАНИИ
ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПОРТФЕЛЕЙ
С. М. Белоусова
В настоящее время рынок ценных бумаг является важнейшей составляющей высокоразвитого национального хозяйства и мировой экономики. По уровню его развития судят об общем состоянии экономики и
культуре предпринимательства.
Большую роль в функционировании рынка ценных бумаг играют арбитражные операции, которые характеризуются получением безрискового дохода. Вмешательство арбитражеров способствует кратковременному выравниванию курсов на различных рынках и сглаживает резкие
конъюнктурные скачки, повышая устойчивость рынка.
Теория арбитражного ценообразования (Arbitrage pricing theory –
APT) была предложена Стивеном Россом в 1976 году. Росс рассматривает инвестора, который владеет некоторым портфелем и анализирует варианты создания различных арбитражных портфелей на его основе. Арбитражный портфель характеризуется тем, что не требует дополнительных ресурсов инвестора (так как покупка одних активов финансируется
за счет средств от продажи других активов в портфеле), не чувствителен
ни к какому фактору риска, а внефакторный риск настолько мал, что им
можно пренебречь.
В условиях равновесия доходность арбитражного портфеля должна
быть равна нулю. Исходя из этого, был определен следующий вид зависимости ожидаемой доходности актива от факторов риска:
E  ri   0  1 i1  2 i 2    k ik ,
(1)
где E(ri) – ожидаемая доходность актива i, 0 – доходность актива без
риска, j – премия за риск для j-го фактора рискa, βij – коэффициент
чувствительности i-го актива к j-му фактору риска.
Данная зависимость является центральным выводом теории арбитражного ценообразования [2].
Проанализируем возможности практического применения модели
APT на реальных рынках. Поскольку белорусский рынок акций в настоящий момент неразвит, то для анализа используем российский рынок.
354
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа