close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

ДОГОВОР ПОСТАВКИ №;doc

код для вставкиСкачать
Зависящая от скорости масса или собственное время?1
Штрнад2
Преподаватели физики и ученые из области физики высоких энергий выражают
различные мнения относительно зависимой от скорости массы. Чтобы лучше понять
эту проблему, представлены в историческом контексте масса, зависимая от скорости, а
также собственное время. Рассматривается роль обоих понятий в обучении физике. С
четырехмерной точки зрения в элементарной специальной теории относительности
введение собственного времени, представляется целесообразным. Обсуждаются
преимущества и недостатки замены координатного времени собственным временем и
постоянной массы зависимой от скорости массой.
1. Введение
Специальная теория относительности преподается на уровне средней школы,
почти везде, как благодатный пример теории, идущей вразрез с повседневным
опытом. В этой статье мы рассматриваем в историческом контексте зависимую от
скорости массу, которая, скажем сразу, является более старым понятием, чем
специальная теория относительности, а также связь массы с энергией и
собственное время. Замена ньютоновой массы на зависимую от скорости массу
рассматривается как педагогический прием. После краткого обзора
четырехмерного подхода - другого педагогического приема – представлена идея
замены абсолютного3 времени собственным временем, и обсуждаются
преимущества и недостатки этого.
2. Обзор
Идея зависимой от скорости массы фактически выпрыгнула из проблемы
несоставных атомных масс (Siege1 1978). Томсон [J J Thomson] изучил движение
заряженной полой сферы и ввел эффективную массу, составленную из голой
1
Velocity-dependent mass or proper time? J Strnad. Eur. J. Phys., 12 (1991) 69-73.
Перевод: Олег Кириллов, [email protected]
Примеч. Перев.: На сайте журнала http://iopscience.iop.org/0143-0807/12/2/004 скорее всего опечатка в названии:
Velocity-dependent mass of proper time? Потому что в текстовом файле статьи (pdf) стоит название именно то,
которое использовано в переводе.
2
Department of Physics and J Stefan Institute, University of Ljubljana, 611 11 Ljubljana, Yugoslavia.
3
Вероятно, автор имеет в виду координатное время, но использует слово “absolute”, хотя далее все же применяет
“coordinate time”. Примеч. Перев.
1
массы и электромагнитной массы (Whittaker 1953, Pais 1982). В этом смысле, он
следовал за Стоксом [G G Stokes], изучавшим гидродинамическую эффективную
[присоединенную] массу сферы, движущейся в идеальной жидкости. Выражение
Томсона для электромагнитной массы было исправлено Хевисайдом [Heaviside] в
1889: (4 / 3) E / c 2 , где E - электростатическая энергия. Абрахам [M Abraham]
осознал, что это было приближением для малых скоростей и получил более общее
выражение. Лоренц [A H Lorentz] (1904), Бухерер [A Bucherer] (1904), Ланжевен
[P Langevin] (1905), Пуанкаре [H Poincaré] (1905) и другие рассмотрели еще более
сложные модели. Лоренц использовал продольную γ3m и поперечную γm массы
электрона, где   1  v 2 / c 2  , полагая, что он испытывает сокращение
Фитцджеральда [FitzCerald] (идея, выдвинутая им уже в 1899). В 1900 Пуанкаре
получил соотношение E/c2 для массы, ассоциированной со свободным
электромагнитным полем с энергией E. Он предположил, что плотность импульса
равна плотности потока энергии, деленной на c2. В 1904 он высказался об
инертности, увеличивающейся со скоростью, и полагал скорость света как
верхний предел.
1 / 2
В 1905 вышла статья Эйнштейна, содержащая все результаты специальной
теории относительности, касающиеся пространства, времени, движения частицы с
продольной и поперечной массой и кинетической энергии (Einstein 1905a).
Интересно отметить, что поперечная масса была дана как γ2m, хотя уравнение для
магнитного отклонения было правильным. Выражение для поперечной массы
было исправлено Планком [M Planck] в 1906, который также исследовал импульс
mγv частицы. Льюис [G N Lewis] в 1908 доказал соотношение массы-энергии,
рассматривая радиационное давление на тело, поглощающее энергию и отличал
полную энергию mc2γ и энергию покоя mc2. В следующем году вместе с Толменом
[R Tolman] он показал, что в упругом соударении двух частиц импульс
сохраняется. Толмен4 в 1912 защищал использование релятивистской массы mγ.
Паули [W Pauli] в 1921 явно отказался от продольной и поперечной масс, но
сохранил релятивистскую массу.
Соотношение массы-энергии было получено в рамках специальной теории
относительности в короткой статье Эйнштейна (Einstein 1905b). Он рассмотрел
тело, испускающее два равных пакета электромагнитной волны в
противоположных направлениях. Сохранение полной энергии применялось в
4
Именно Ричард Толмен ввел понятие «масса движущегося тела» как m  m0 / 1  u 2 / c 2 в своей статье:
Non-Newtonian Mechanics. The Mass of a Moving Body// Philosophical Magazine. - 1912. - Vol. 23. - pp.375-380.
Толмен не называет эту массу «релятивистская масса». Примеч. Перев.
2
системе покоя тела и в движущейся системе отсчета, причем преобразование
энергии пакета электромагнитной волны считалось известным. Вычитая
уравнение для системы покоя из уравнения для движущейся системы и, принимая
во внимание выражение для кинетической энергии тела, получим соотношение
(mi - mf)c2 = 2E1, где энергия волнового пакета в покоящейся системе обозначена
E1. Эйнштейн вывел в своей первой статье все необходимые уравнения, но он
предпочел брать приближение для маленькой относительной скорости обеих
систем так, чтобы можно было использовать ньютонову кинетическую энергию5.
Этот вывод подверг критике Айвс [H Ives] в 1952 и многие другие физики
согласились, например, Джемер [M Jammer] (1961). Только недавно Стэчел
[J Stachel] и Торети [R Torretti] (1982) опровергли эту критику. Согласно Фаднеру
[W L Fadner] (1988), рассмотревшему подробно историческое развитие, их
заключение нормальное, хотя их путь к нему нельзя считать безукоризненным.
Файгенбаум [M J Feigenbaum] и Мермин [N D Mermin] (1988) получили
соотношение для тела массой mi, которое испускает две частицы равной массы m1
и равной скоростью в противоположных направлениях. С уравнением для полной
энергии частицы и ее преобразования, без дальнейших гипотез, получено, что
кинетическая энергия обеих частиц в системе покоя тела равна mic2 - (mf + 2m1)c2.
Рорлих [F Rohrlich] (1990) упростил вывод Эйнштейна так, что понадобилось
только уравнение для линейного эффекта Доплера.
Адлер [C G Adler] (1987) обсудил релятивистскую массу в педагогическом
и историческом контексте и привлек внимание к факту, что разные элементарные
учебники, а также более поздние издания этих учебников, показывают различное
отношение к понятию релятивистской массы. Это может обеспокоить студентов и
даже учителей до заметной степени. Адлер рассмотрел подробно, включая
приближения общей теории относительности, идею, что релятивистская масса
описывает инерцию тела и нашел ее несоответствующей6.
Окунь Л. Б. [L B Okun] (1989a, b) привлек внимание к тому, что в физике
высоких энергий релятивистская масса не используется и высказался против
устаревших понятий в обучении специальной теории относительности. У частицы
есть только одна масса m и нет никакой причины вводить релятивистскую массу
5
В следующем году Эйнштейн исследовал полый цилиндр, который испустил пакет электромагнитной волны от
одного конца и поглотил его в другом. Центр масс замкнутой системы должен оставаться в покое, тогда импульс
пакета, E1/c, равняется массе, соответствующей пакету, умноженной на c. Согласно электродинамике Максвелла
пакет с энергией E1 имеет импульс E1/c.
6
Различие между продольной и поперечной массой делает понятие релятивистской массы как меры инерции
сомнительным. Пропорциональность силы и ускорения может быть выражена тензором масс (Rockower 1987).
3
mr и массу покоя m0, если последовательно использовать терминологию и
символы. Уравнение E0=mc2 хорошо обосновано, тогда как уравнение E=mc2 нет.
Суждение Окуня не было встречено с однозначным одобрением. Риндлер
[W Rindler] (1990), например, защищал использование релятивистской массы.
Понятие собственного времени имеет свои корни в замедлении времени,
которое может быть выведено из преобразования Лоренца. Войт [W Voigt],
получивший преобразование с точностью до общего коэффициента
пропорциональности в 1887, не знал об эффекте, симметричном к сокращению
Фитцджеральда. Поскольку он не понимал, что волновое уравнение инвариантно
при его преобразовании, он не оказался «преждевременным открывателем
преобразования Лоренца» (Kittel 1974, Doyle 1988). Именно Лармор [J Larmor]
получил преобразование Лоренца в его существующей форме не задолго до 1900,
в 1887,- «исторически первое появление замедления времени». Однако он не
заметил, как показывают его более поздние высказывания, в нем выражение
принципа относительности. Также как и Лоренц, независимо получивший
преобразование, сначала до линейных, потом до квадратичных членов v/c и 1904 в
их конечной форме, не схватил полное физическое содержание замедления
времени. Он упорно рассматривал универсальное время, измеренное в эфире как
истинное время и локальное время в движущейся системе как математическое
удобство. Таким образом, Эйнштейн, получив преобразование Лоренца
независимо и отбросив эфир, был первым, кто рассмотрел замедление времени в
современном контексте (Einstein 1905a, Rindler 1970). Собственное время τ было
введено соотношением dτ=dt/γ как инвариант в четырехмерном пространствевремени в 1908 Минковским [H Minkowski] в приложении к его
основополагающей статье (Whittaker 1953).
3. Традиционные элементарные подходы
Есть множество элементарных учебников по специальной теории
относительности, отличающиеся и по строгости и по широте (Dorling 1979). Тем
не менее, зависимая от скорости масса, кажется, занимает центральное место в
динамике в большинстве традиционных элементарных учебников. Часто в начале
или около того, ньютонова масса заменяется релятивистской или динамической
массой
m  mr 
m
 m
2
2
1 v / c
(1)
4
подразумевая, что релятивистский импульс mγv получают, используя (1), из
ньютонова импульса mv. Тогда уравнение движения7
K
dP d (mr v)
d (v)

m
 qE  v  B 
dt
dt
dt
(2a)
получено из закона Ньютона с помощью (l), приравнивая K силе Лоренца. E –
напряженность электрического поля и B – индукция магнитного поля. Для
продольного электрического или поперечного магнитного поля уравнения
движения получаются
 3m
dv
 qE
dt
или
(2b)
m
dv
v2
 m
 qvB
dt
r0
соответственно, где ro = mγv/qB – радиус кривизны траектории.
Совершенная работа, то есть интеграл от силы K, умноженной на
перемещение vdt, с пределами от 0 до v, дает кинетическую энергию тела
T  mc 2  mc 2  mr c 2  mc 2
(3)
как приращение массы, умноженное на c2. Вывод, что полная энергия составлена
из кинетической энергии и энергии покоя, mrc2 = T + mc2, обобщается к другим
формам энергии и используется для изучения реакций и распадов сложных
частиц.
4. Четырехмерный подход
В физике элементарных частиц специальная теория относительности
используется в ее четырехмерной форме. Простая версия, адаптированная для
второкурсников, может быть основана на двух предположениях (см. также Strnad
1984).
7
В оригинале статьи, чтобы не путать обозначение энергии и напряженности электрического поля, последнее
обозначено витиеватой буквой E , которую мне не удалось найти в редакторе формул. Надеюсь, что недоразумения
не возникнут, смысл ясен из контекста. Прим. Перев.
5
(i) Лоренцева ковариантность. Физические параметры идентифицируются
с элементами псевдо-евклидова четырехмерного мира: скаляры (инварианты), 4векторы, тензоры. Законы физики выражаются ковариантными уравнениями,
содержащими такие параметры.
(ii) Соответствие. При скоростях, малых по сравнению со скоростью
света, ковариантные уравнения переходят в классические уравнения.
Время и положение события определены мировым 4-вектором (ct, r), чье
скалярное произведение с самим собой является инвариантом: c2t2-r r = c2τ2.
Таким образом, τ - инвариантное собственное время события относительно
события (0,0,0,0). Из соответствующего уравнения для двух близких событий
получим связь между координатным временным интервалом dt и собственным
временным интервалом dτ = dt/γ.
4-скорость определяется как производная мирового вектора по
собственному времени, а 4-импульс - умножением 4-скорости на массу. Масса
частицы, которая сохраняет свою идентичность (называемую кратко
материальной точкой), инвариантна. Уравнение движения тогда будет таким:
производная 4-импульса по собственному времени равна 4-силе. Для заряженной
частицы в электрическом и магнитном полях 4-сила составлена из заряда q
(скаляр), 4-скорости и косо-симметричного полевого тензора:
d 2 r   dE dP   E  v
 d 2 (ct )

,m 2   
,    q
, q( E  v  B) 
m
2
d
d   cd d  
c


(4)
После изучения движения частицы, переходим к реакциям и распадам
сложных частиц. Система взаимодействующих составных частиц, не
возмущаемая другими частицами, может считаться не зависимой [замкнутой].
Для такой системы, среди других величин, сохраняется 4-импульс. Масса
сложной частицы в основном состоянии определяется энергией покоя в системе
отсчета центра масс, равная минимальной полной энергии всех составляющих
частиц. Масса не сохраняется. Разность масс, т.е. масса энергии связи, может
быть измерена непосредственно, если взаимодействие достаточно сильное.
Энергия покоя составной частицы может рассматриваться как ее энергетическое
хранилище. Однако другие законы сохранения, особенно сохранение числа
лептонов и барионов, ограничивают изменения энергии покоя.
6
5. Собственное время в элементарной специальной теории относительности
С одной стороны, четырехмерная форма специальной теории относительности не
подходит для средней школы, но с другой стороны, нельзя брать за основу
обучения понятия, давно оставленные исследователями. Так как в физике
преподавание формальных утверждений не удовлетворительно, то каждый ищет
замену понятию, что инерция тела увеличивается со скоростью, и замену для (1).
Напрашивается простая возможность: координатное время, измеренное
синхронизированными часами, помещенными в инерциальную систему отсчета в
точках траектории частицы, должно быть заменено собственным временем,
измеренным сопутствующими часами
1
1
1


dt
d
dt
(5)
Связь между собственным и координатным временем может быть получена,
рассматривая световые часы в собственной и в движущейся инерциальных
системах отсчета. В связи с этим, скорость света в вакууме с 1983 неявно дает
определение метра, т.е. соглашение, действительное в любой инерциальной
системе отсчета, взятой в качестве независимой системы отсчета. Измерения
времени распада частиц в полете подтверждают это.
Два предположения раздела 4 оставлены ради (5) и предположения, что
нужно начать с ньютоновой механики. Уравнение (5) может быть интуитивно
легко схвачено: время должно быть измерено часами, перемещающимися с
частицей. До тех пор пока скорость частицы маленькая по сравнению со
скоростью света, не имеет значения, движутся ли часы вместе с наблюдаемой
частицей или нет, но для больших скоростей это становится важным. Таким
образом, четырехмерная форма специальной теории относительности еще не
введена, но почва готовится, чтобы продолжить позже.
Однако, нельзя не упомянуть об одной трудности. В представлении
уравнения движения нужно объяснить отдельно, что в правой стороне уравнения
(4) дополнительный коэффициент γ должен появиться, чтобы эта сторона
преобразовывалась как 4-вектор. Проще всего это показать тем, что поперечные
компоненты qγ(E + vg x B) для v = (v,0,0), не изменяются при переходе в другую
систему отсчета. Это может быть сделано только, если преобразования для поля
7
известны, что в общем, не имеет места. Таким образом, нужно обратиться к
измерениям с заряженными частицами, в поддержку уравнения (2)8.
6. Обсуждение
Как мы видели, специальная теория относительности может быть введена,
заменяя координатное время собственным временем. Таким образом, каждый
параметр имеет точное определение и представлен уникальным символом. Автору
последствие такого подхода не известно, хотя это, можно рассматривать именно в
духе Эйнштейна, который характеризовал сущность специальной теории
относительности, очень кратко, измененным понятием времени.
Зависимая от скорости масса была плодотворным понятием, особенно для
Эйнштейна в развитии общей теории относительности. После того, как он открыл
принцип эквивалентности и после того, как Минковский ввел четырехмерное
пространство-время в 1908, понятие потеряло свое значение. В обучении
специальной теории относительности зависимая от скорости масса может быть
популярной, поскольку она создает впечатление прямого происхождения из
уравнения движения (2). Понятие, что инертность увеличивается со скоростью
(1), кажется, интуитивно легко принять, но вводит в заблуждение.
Особенность движения частицы, в частности, отличие от ньютоновой
механики, может быть выведена из полной энергии E=mc2γ, не упоминая
релятивистскую массу. Приращение релятивистской энергии, будучи
сингулярным при v/c → 1, больше, чем соответствующее ньютоново, следуя из
первого для v/c → 0:
dE  mv1  v 2 / c 2 
3 / 2
dv  mvdv
С другой стороны, приращение релятивистской скорости
соответствующее ньютоново, следуя из первого при E/mc2 → 1:
dv  m2c5 E 2 E 2  m2c 4 
1 / 2
dE  2mE  mc 2 
1 / 2
меньше, чем
dE .
8
Эта трудность не существует в общей теории относительности для радиального движения в геометрии
Шварцшильда, где уравнение движения может быть написано в простой форме md2r/dτ2=-Gmms/r2 с
гравитационной постоянной G и массой ms центрального тела, r это шварцшильдова радиальная координата.
8
Четырехмерное рассмотрение также показывает, что коэффициент γ является
больше кинематического, чем динамического происхождения, и таким образом
(5) с этой точки зрения более приемлемо, чем (1)9.
Важно различать в этом обсуждении точечную частицу и систему частиц.
Такую систему следует изучать после того, как даны уравнения для частицы,
например, в смысле Feigenbaum и Mermin (1988), как пример для изменяющейся
массы и энергии покоя. Выводы Эйнштейна и элементарная модификация
Рорлича уже не подходят, так как они используют пакеты электромагнитных волн
с массой и энергией покоя, равной нулю. Некоторые недоразумения могут
оказаться результатом не четкого понимания - рассматривается ли частица или
система частиц, рассматриваются ли «только кинетическая энергия поступательно
движущегося тела в целом» или кинетическая энергия внутренних элементов
системы частиц, составляющих ее полную энергию и массу. Традиционный
подход затеняет этот момент, используя уравнение (3) непосредственно для
систем частиц.
Указывая преимущества использования собственного времени, мы должны
принять во внимание, что большинство учеников средней школы не физики и
только некоторые из них пойдут в физику. С их точки зрения ситуация может
казаться различной. Согласно опросам среди студентов, которые предназначают
себя физике, идея зависимой от скорости массы казалась им странной в средней
школе, так же как и собственное время. Они слышали неопределенно о времени,
как о «четвертом измерении», но они не смогли, возможно, понять полноценность
и элегантность четырехмерного пространства-времени. Кроме того, множество
традиционных учебников и популярных научных текстов полагаются на
релятивистскую массу и «известное уравнение» E = mc2. Таким образом, нас
ведут к убеждению, что в физике, преподают чрезвычайно не плодотворные
взгляды, изменяющиеся намного медленнее, чем в исследовательской физике.
Учитель может выбрать использование «релятивистской массы» (см., например,
Baird 1980, Tsai 1986), если он или она подчеркивает, что это - дидактическая
причуда с ограниченной областью законности, не связанная напрямую с инерцией
и избегает недоразумений, например, обозначая зависимую от скорости массу mr
или еще лучше mγ (а не m и не вводить массу покоя m0). Хотя этот подход не дает
полноценного понимания, это менее трудоемко и нуждается в меньшем
количестве фона.
9
Часто студентов вводят в заблуждение релятивистской массой, определяя, например, релятивистскую
кинетическую энергию как mv2/2→ mγv2/2.
9
Полезные цитаты
В преподавании физики учитель использует следующий проверенный путь.
Обозначается проблема, представляются за и против и начинается обсуждение.
Цитаты из литературы, особенно противоречивые, приветствуются. Некоторые
используемые цитаты даны ниже.
Нехорошо вводить понятие массы тела M  m
1  v 2 / c 2 , для которого нельзя
дать ясного определения. Лучше не вводить никакой другой массы, кроме «массы
покоя» т. Вместо того, чтобы вводить М, лучше привести выражение для
импульса и энергии движущегося тела.
Из письма Эйнштейна к Барнету [L Barnett],
19 июня 1948 (Okun 1989)
Соотношение E = mc2, в котором m  m0
1  v 2 / c 2 , просто определяет m и не
должно провозглашаться как ровня, действительно важному соотношению
E0=m0c2.
C G Adler (1987)
В отличие от замечательного соотношения, которому... подчиняется коэффициент
кинетической энергии, этого другое использование соотношения E = mc2, хотя это
иногда цитируется с долей пафоса, но очень мало содержательно.
M J Feigenbaum and N D Mermin (1988)
Понятие энергии покоя, E0 = m0c2, было во многих отношениях самым
революционным результатом соотношения массы-энергии.
W L Fadner (1988)
Каждый год миллионам мальчиков и девочек во всем мире преподают
специальную теорию относительности таким образом, что они пропускают
10
сущность предмета. Архаичные и запутывающие понятия вбивают в их головы.
Наша обязанность,- обязанность профессиональных физиков - остановить этот
процесс.
L B Okun (1989a)
Тем не менее, если мне говорят физики из области элементарных частиц, а они
самая
многочисленная
группа
пользователей
специальной
теории
относительности в эти дни, что впредь я должен использовать символ m для
массы покоя и называть это массой, пусть будет так. Но я отказываюсь
прекращать использовать понятие релятивистской массы, которую я тогда
обозначил бы mr.
W Rindler (1990)
Ссылки
Adler C G 1987 Am. J. Phys. 55 739-43
Baird L C 1980 Am. J. Phys. 48 719
Einstein A 1905a Ann. Phys., Lpz.. 17 891-921
-1905b Ann. Phys., Lpz.. 18 639-41
Dorling G 1979 Einstein, A Centenary Volume ed A P French (London: Heinemann)
Doyle W T 1968 Phys. Today 41 8 102-3
Fadner W L 1988 Am. J. Phys. 56 114-22
Feigenbaum M J and Mermin N D 1988 Am. J. Phys. 56 18-21
Kittel C I974 Am. J. Phys. 42 726-9
Jammer M 1961 Concepts of Mass in Classical and Modern Physics (Cambridge, MA:
Harvard University Press)
Okun L B 1989a Phys. Today 42 6 31-36
-1989b Usp. Fiz.. Nauk.. 158 511-30
11
Pais A 1982 ‘Subtle is the Lord …’ The Science and the Life of Albert Einstein (Oxford:
Oxford University Press)
Rindler W 1970 Am. J. Phys. 38 1111-5
-1990 Phys. Today 43 5 13
Rockower E B 1987 Am. J. Phys. 55 70-7
Rohrlich F 1990 Am. J. Phys. 58 348-9
Siegel D M 1978 Hist. Stud. Phys. Sci. 9 323-60
Stachel J and Torretti R 1982 Am. J. Phys. 50 760-3
Strnad J 1984 Eur. J. Phys. 5 59-61
Tsai L 1986 Am. J. Phys. 54 340-2
Whittaker E 1953 A History of the Theories of Aether and Electricity, The Modern
Theories (London: Nelson)
12
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа