close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
§4. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности и их свойства.
Определение 4.1. Сходящаяся последовательность { xn } называется
бесконечно малой, если lim xn  0.
n 
Например, последовательность q n , где |q| <1, – бесконечно малая (cм.
пример 2.1).
Замечание 4.1. Последовательности { xn } и {| xn |} являются бесконечно
малыми одновременно.
Теорема 4.1 (необходимое и достаточное условие сходимости числовой
последовательности). Для того чтобы число а было пределом
последовательности { xn } при n   , необходимо и достаточно, чтобы для
общего члена этой последовательности xn выполнялось равенство:
xn  a  α n , где α n  0 при n   .
►Необходимость. Пусть  lim xn  а и αn  xn  a . Так как xn  a при
n
n   , то по теореме 3.5 αn  0 при n   .
Достаточность. Предположим теперь, что выполняется равенство
xn  a  αn , где αn  0 при n   . Тогда в силу теоремы 3.5  lim xn  а. ◄
n 
2  6n
 3n
 2 при n   , поскольку xn можно представить в
6n
виде: хn  2  3n 6n  2  (1 2) n , где (1 2) n  0 при n   (пример 2.1).
Арифметические операции
над бесконечно малыми последовательностями
Теорема 4.2. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Данная теорема является следствием из теоремы 3.5.
Теорема 4.3. Произведение бесконечно малой и ограниченной
последовательностей – бесконечно малая последовательность.
►Пусть xn – бесконечно малая последовательность, а yn – ограниченная
последовательность. Для второй из них можно найти положительное число M
такое, что неравенство | yn |  M будет справедливо для  n N (определение
1.3). Возьмѐм произвольное положительное число ε. Поскольку lim xn  0, то
Так, xn 
n 
существует
натуральное
число
N(ε)
такое,
что
неравенство
 | xn  0 | | xn |  ε
выполняется
для
n  N(ε).
Тогда
M
| xn yn  0 |  | xn |  | yn |  ε  М  ε , а это, в силу определения предела
M
числовой последовательности (определение 2.1), и означает, что
lim xn yn  0 .◄
n 
Пример 4.1. Найти lim (sin n 2 ) 2 n .
n
n
2 ) sin n 2
 (1
 (1 2) n sin n 2  0 при n   в силу теоремы
4.3, ибо (1 2) n  0 при n   (см. пример 2.1), а последовательность
{ sinn 2 } ограничена, поскольку | sin n 2 | ≤1 при  n N.◄
► (sin n 2 )
2n
Определение 4.2. Числовая последовательность { xn } называется
бесконечно большой, если для любого M  0 можно найти номер N (M )
такой, что при n > N (M ) выполняется неравенство | xn | M .
Обозначение: lim xn   или xn   при n   .
n 
Замечание 4.2. Бесконечно большая последовательность является
расходящейся, ибо она не имеет конечного предела в смысле определения
2.1.
В символической форме определение 4.2 можно записать следующим
образом: lim xn    M  0 N ( M ) N : n  N (M )  | xn | M .
n
Замечание 4.3. Для бесконечно больших последовательностей
рассматриваются два частных случая: lim xn   и lim xn   .
n 
n 
Соответствующие им определения в символической форме имеют вид:
lim xn    M  0 N (M ) N : n  N (M )  xn  M ,
n
lim x
n n
   M  0 N (M ) N : n  N (M )  xn  M .
Пример 4.2. Показать, что lim n p    при p  0 .
n 
►Зададим M  0 . Найдѐм номер N (M ) такой, что при n > N (M )
выполняется неравенство n p  M . Разрешая это неравенство относительно
n, имеем n  M 1 p , откуда N (M ) =[ M 1 p ] – целая часть числа M 1 p .◄
Теорема 4.4 (о связи бесконечно малых и бесконечно больших
последовательностей). Пусть дана последовательность { xn }, причѐм xn ≠ 0
при  n N. Тогда: 1) если xn  0 при n   , то 1 xn   при n   ;
2) если xn   при n   , то 1 xn  0 при n   .
►1) Пусть xn  0 при n   . Возьмѐм произвольное положительное
число M и рассмотрим число ε = 1 / M . Из определения предела числовой
последовательности (определение 2.1) следует, что для данного ε можно
найти натуральное число N(ε) = N(1 M )  N1(M ) такое, что для n  N(ε) будет
выполняться неравенство: | xn |  ε  1 M , но тогда для значений
n  N1 ( M )  N(ε) будет выполняется неравенство 1 xn  1/ ε  M , а это
означает согласно определению бесконечно большой последовательности
(определение 4.2), что 1 xn   при n   .
2) Пусть xn   при n   . Возьмѐм произвольное положительное
число ε и рассмотрим число M  1/ ε . Для выбранного числа М в силу
определения бесконечно большой последовательности (определение 4.2)
можно найти число N(M )  N(1/ ε)  N1(ε) такое, что для n  N(M) будет
выполняться неравенство: | xn |  M  1/ ε , тогда для значений n  N1 (ε) =N(M)
будет выполняется неравенство 1 xn  1 / M  ε , а это, в соответствии с
определением предела числовой последовательности (определение 2.1), и
означает, что 1 xn  0 при n   .◄
Пример 4.3. Показать, что lim 1 n p  0 для p  0 .
n 
► lim n    при p  0 (пример 4.2), поэтому в силу теоремы 4.4
p
n 
lim 1 n p  0 для p  0 .◄
n 
Замечание 4.4. Примеры 4.2, 4.3 приводят к следующему обобщению:
 , p  0,
p
lim n   1, p  0,
n
 0, p  0.
Арифметические операции
над бесконечно большими последовательностями
Теорема 4.5. Если xn    , а yn    при n   , либо
последовательность { yn } ограничена, то и xn  yn    при n   (везде
берѐтся либо знак «+», либо знак «–»).
Теорема 4.6. Если xn  , а yn   или yn  a ≠ 0 при n  , то и
xn yn   при n  .
►Докажем теорему 4.5 для случая xn    и yn    . Выберем
произвольное число M > 0. Из замечания 4.2 следует, что существуют числа
N1(M) и N2(M) такие, что для n  N1(M) верно неравенство хn  M / 2, а для
n  N2(M) – неравенство yn  M / 2. Пусть N(M) = max{N1(M), N2(M)}. Тогда
для n  N(M) имеем: хn  уn  M , а это и означает, что xn  yn    при
n    . Доказательство теоремы 4.6 приведено, например, в [1].◄
Пример 4.4. Найти lim (n 2  n ).
n 
► lim n 2 = lim
n 
n 
n =   (пример 4.2), lim (n 2  n ) =   (теорема 4.5).◄
n 
Замечание 4.4. Арифметические действия с бесконечно малыми и
бесконечно большими последовательностями могут привести к случаям,
когда неприменимы теоремы 3.5, 4.5 и 4.6. Так, при вычислении lim ( xn  yn )
n
неприменима теорема 4.5, если xn , yn   ,   . В этом случае говорят, что
выражение xn  yn приводит к неопределённости вида    , а отыскание
x
его предела называют раскрытием неопределённости. Частное n приводит
yn
к неопределѐнности 0 , если xn  0, yn  0 и неопределѐнности  , если
0

xn  , yn   при n   . В главе 3 будут рассмотрены другие типы
неопределѐнностей.
В случае неопределѐнности одно знание пределов последовательностей
при n   не позволяет судить о поведении выражения, составленного из
общих членов этих последовательностей, необходимо исследовать само это
x
выражение при n   . Например, xn  n  , yn  n 2   , n  1  0
yn n
x
при n   , а в случае, если xn  n 2  , yn  n   , n  n   при
yn
n  .
n
Пример 4.5. Найти lim 4 n  3 .
n  2  1
►Выражение под знаком предела при n   – неопределѐнность  .

n
Оба члена дроби под знаком предела поделим на 2 , получим:
n
4 n  3  2 n  3 2 n  (2 n  3(1 2) n )
1
. Так как lim (2 n  3(1 2 ))  
n
n
n
n
2 1 11 2
1  (1 2)
4 n  3   (теорема
1
(теорема 4.5), а lim
(теорема
3.5),
то
lim

1
n  2n  1
n   1  (1 2) n
4.6).◄
Пример 4.6. Найти lim (n 2  n ).
n
►Выражение под знаком предела при n   – неопределѐнность    .
Имеем: n 2  n = n 2 (1  n 3 2 ) . Так как lim n 2   , lim (1  n 3 2 )  1
n 
(пример 4.2, пример 4.3 и теорема 3.5), то
lim (n 2
n
n
 n )   (теорема 4.6). ◄
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа