close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Наука ЮУрГУ: материалы 66-й научной конференции
Секции естественных наук
2. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора ШтурмаЛиувилля в дифференциальной и разностной форме / В.А. Ильин,
Е.И. Моисеев // ДАН СССР. –1986. – Т. 291, № 3. – С. 534–539.
3. Коваленко, С.П. Об одном равенстве для определителей / С.П. Коваленко // Математические методы анализа динамических систем. – 1983. –
№ 7. – С. 24–27.
4. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Ф. Хартман. – М.: МИР, 1970. – 727 с.
К содержанию
УДК 517.988.52
ЗАМЕЧАНИЕ К ТЕОРИИ ВОГНУТЫХ
И ПСЕВДОВОГНУТЫХ ОПЕРАТОРОВ
М.Л. Катков
В настоящей работе определяется класс операторов, так называемых k -сжатий. Понятие k -сжатия является естественным
обобщением понятий u0 -вогнутого и u0 -псевдовогнутого операторов, рассмотренных в [1] и [2]. Для операторов из выделенного
класса доказывается сходимость итераций к неподвижной точке.
Монотонность оператора не предполагается.
Ключевые слова: положительный оператор, вогнутый оператор, гетеротонный оператор.
Пусть X – банахово пространство, полуупорядоченное конусом K ,
K  u0  – компонента, порожденная элементом u0  K [1].
Определение метрики, порожденной порядком:


  x; y   min t : et x  y  et x; x; y  K  u0  ; t  0 .
Определение k -сжатия. Положительный оператор T , действующий
в X , будем называть k -сжатием, если выполняются условия:
1) для любого x  K  u0  Tx  K  u0  ;
x, y  K  u0  существует q  q  x; t  такое,
0  q  x; t   1  t   ( x, y)  , при котором выполняется неравенство:
2) для
любых
что
 Tx;Ty   q  x; t    x; y  .
Замечание 1. Монотонный u0 -вогнутый оператор [1] является k -сжатием.
82
Наука ЮУрГУ: материалы 66-й научной конференции
Секции естественных наук
Замечание 2. Гетеротонный u0 -псевдовогнутый оператор является
k -сжатием. Действительно, пусть Tˆ – сопутствующий оператор для гетеротонного оператора T [2], пусть t    x; y  . Тогда имеем очевидные неравенства:


Ty  Tˆ  y; y   Tˆ  e x; e x   e
Tx  Tˆ  x; x   Tˆ et y; et y  eqtTˆ  y; y   eqtTy ,
t
t
Поэтому:
qt
Tˆ  x; y   eqtTx .
 Tx;Ty   q  x; t    x; y  .
Теорема. усть оператор T является k -сжатием и имеет неподвижную точку x  K  u0  . Тогда для любого y0  K  u0  последовательность  yn  , где yn  T  yn 1  , сходится к x по метрике  .
Доказательство. Положим tn    yn , x  . Последовательность
убывает. Предположим, что
t  lim tn  0 .
tn 
n 
Рассмотрим шар с центром в точке x радиуса t . Оператором T этот
шар отображается в шар с центром в этой же точке радиуса q  x , t  t , так
как оператор T есть k -сжатие. Положим  равным t  qt . Возьмем n на
столько большим, чтобы выполнялось неравенство e  e  e 2  1 . Положим z   x   yn , где     1 ,   0 ;   0 . Определим  из равенства
tn

t
et  1
.
et n  1
В этом случае   x; z  оказывается равным t , что очевидным образом
следует из системы неравенств:
   e  x
 tn



 z     etn x ;
etn x  yn  уtn x .
Непосредственной проверкой устанавливается справедливость системы
неравенств:
e


2y
n
Поэтому  Tz,Tyn  

2

 e
 tn




   z   e   yn  e 2 yn .
.
83
tn
Наука ЮУрГУ: материалы 66-й научной конференции
Секции естественных наук
В результате неравенство треугольника приводит к очевидному противоречию:

t    x; yn 1    Tx ,Tz    Tz;Tyn   t  .
2
Теорема доказана.
Библиографический список
1. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа /
М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. – М.: Наука, 1975. – 512 с.
2. Опойцев, В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов / В.И. Опойцев // Труды Московского математического общества. –
1978. – И. 36. – С. 237–380.
3. Катков, М.Л. О существовании неподвижной точки у равномерно
сжимающего монотонного оператора / М.Л. Катков // Вестник ЮУрГУ.
Серия «Математика. Механика. Физика». – 2013. – Т. 5, № 2. – С. 160–161.
4. Катков, М.Л. Замечание к теории вогнутых операторов / М.Л. Катков //
Наука ЮУрГУ: Материалы 65-й научной конференции. Секции естественных наук. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. – С. 35–38.
К содержанию
УДК 519.833.7
О СИЛЬНО ГАРАНТИРОВАННОМ РЕШЕНИИ
ОДНОЙ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ИГРЫ
К.Н. Кудрявцев, И.С. Стабулит, С.А. Шунайлова
Формализуется понятие сильно гарантированного решения
в кооперативной игре двух лиц с побочными платежами и при
неопределенности. В линейно-квадратичном варианте игры найден явный вид такого решения и установлены коэффициентные
условия его существования.
Ключевые слова: кооперативная игра, неопределенность,
риск, гарантированное решение.
Систематическое изучение кооперативных игр при неопределенности
началось с монографии В.И. Жуковского [1]. В ней был заложен один из
подходов к формализации различных понятий оптимальности в игровых
задачах при неопределенности, основанный на построении аналога седловой точки. Однако, этому подходу свойственен ряд негативных свойств.
Наиболее же существенным «минусом» является то, что опирающиеся на
аналог седловой точки принципы оптимальности не устойчивы к отклонению неопределенности. Решения, оптимальность которых сохраняется при
84
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа