close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

(группа Сердобольской)

код для вставкиСкачать
Задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов».
Группа М. Л. Сердобольской.
Осень 2014 г.
Задачи по моментным характеристикам случайных процессов,
конечномерным распределениям и т.д.
1. Найти двумерные распределения процесса η(t) = eξt , t > 0, считая, что случайная
величина ξ равномерно распределена на [0, 1].
2. Случайный процесс ξ(t) = A cos(ωt + φ), где ω – неслучайная константа, случайные
величины A и φ независимы, EA = m, DA = σ 2 , φ равномерно распределена на
отрезке [0, 2π]. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную
функцию для ξ(t)
3. Пусть η – случайная величина с равномерным на отрезке [0, 1] распределением. Найти все конечномерные распределения случайного процесса ξ(t), t ∈ [0, 1], который
равен единице, если η > t, и равен нулю при выполнении противоположного неравенства. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию этого процесса.
4. Пусть случайная величина ν имеет нормальное распределение с математическим
ожиданием a и дисперсией σ 2 , действительная величина b постоянна. Найти все конечномерные распределения случайного процесса ξ(t) = ν · t + b, его математическое
ожидание и ковариационную функцию.
5. Пусть случайная величина η имеет заданную функцию распределения F ( · ). Найти
все конечномерные распределения случайного процесса ξ(t) = η + t, его математическое ожидание и ковариационную функцию.
6. Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = αt2 + β, t > 0, где α и β – независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Найти
вероятность того, что ξ(t) > 0 при любом t > 1.
7. Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = α + ct, t > 0, где α – случайная
величина с заданной функцией распределения, а c – фиксированная постоянная.
Найти вероятность того, что ξ(t) = 0 хотя бы при одном t ∈ [0, 1].
8. Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = αt2 + β, t > 0, где α и β – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами
µ = 0 и σ 2 = 1. Найти вероятность того, что траектория этого случайного процесса
монотонно не убывает при любом t > 1.
1
Задачи по процессу Пуассона
1. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке событий с интенсивностью λ к
моменту времени 3t произойдёт не более трёх событий, а к моменту времени t произойдёт более одного события из пуассонова потока.
2. Известно, что в процессе Пуассона с интенсивностью λ к моменту времени 2t случилось ровно 2n событий. При этом условии найти вероятность того, что в промежуток
времени [0, t) произошло не более n событий из пуассонова потока.
3. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке с интенсивностью λ к моменту
времени 3t случилось не более четырёх событий из потока, а к моменту времени t
уже произошло более одного события.
4. Известно, что второе из событий пуассонова потока с интенсивностью λ = 1 случилось ранее чем в момент времени 2t. При этом условии найти вероятность того, что
время наступления первого элементарного события из пуассонова потока оказалось
больше t.
5. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке с интенсивностью λ = 1 первое
событие из потока ещё не случилось к моменту времени t, а второе событие из потока
произошло не позже чем в момент времени 2t.
6. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке с интенсивностью λ = 1 первого
события придётся ждать меньше времени, чем пройдёт между первым и вторым
событием из потока, а время между первым и вторым событием меньше, чем время
между вторым и третьим.
7. Пусть ξ(t), t > 0, – процесс Пуассона с интенсивностью λ > 0, а случайные величины α и β не зависят от него и друг от друга и равномерно распределены на отрезке
[0, 1]. Найти вероятность того, что на интервале (α, β) не окажется точек процесса
ξ(t).
8. По двум каналам связи на телефонную станцию передаётся два независимых пуассоновых потока сообщений, один с интенсивностью три сообщения в минуту, другой –
с интенсивностью два сообщения в минуту. Найти вероятность того, что за минуту
поступит ровно два сообщения
9. Поток клиентов парикмахерской есть процесс Пуассона с интенсивностью 1 клиент
в 10 минут. Время обслуживания клиента есть случайная величина, распределённая
по показательному закону. Среднее время обслуживания клиента 30 минут. В начальный момент времени в парикмахерской нет клиентов. Найти вероятность того,
что второй клиент встретит отказ в связи с тем, что мастер занят с первым клиентом.
10. Телеграфный процесс определяется как случайный процесс ξ(t), t > 0, у которого
каждое сечение имеет распределение P (ξ(t) = 1) = P (ξ(t) = −1) = 1/2, а количество
2
перемен знака на интервале [0, t) есть пуассонов поток событий с интенсивностью λ.
Найти ковариационную функцию телеграфного процесса.
Задачи по цепям Маркова и марковским процессам.
1. Цепь Маркова имеет два состояния. Распределение на первом шаге задается начальными вероятностями
a1 = 1/3, a2 = 2/3. Матрица перехода за один шаг имеет вид
(
)
1/2 1/2
. Найти распределение на третьем шаге.
1/4 3/4
(
)
1/3 2/3
2. Матрица перехода за один шаг в цепи Маркова имеет вид
. Найти фи1/2 1/2
нальные вероятности.
3. В некоторой биологической популяции все особи являются носителями двух признаков A и B. Возможны генотипы A+A, A+B, B +B. Формирование родительских пар
происходит случайным образом независимо от генотипа. Каждый родитель отдаёт
потомству один из двух своих «генов» (A или B), выбранный наугад. В первом поколении доли генотипов A+A, A+B, B +B составляли 60%, 25% и 15% соответственно.
Найти распределение по генотипам во втором поколении. Найти стационарное распределение для данной популяции.
4. В правильной игральной кости сумма очков на противоположных гранях во всех
трёх случаях равна 7. В начальный момент времени игральная кость лежит на грани с «шестёркой». В моменты времени t = 1, 2, . . . кость переворачивают на одну
из четырёх соседних граней. Найти распределение вероятностей положений кости
в результате второго поворачивания. Найти стационарное распределение в такой
модели.
5. Дана матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятности цепи Маркова:


0.2 0.2 0.6
π = 0.3 0.5 0.2 ,
0.4 0.3 0.3
P (ξ1 = 1) = 0.1,
P (ξ1 = 2) = 0.4,
P (ξ1 = 3) = 0.5.
Найти вероятность P (ξ1 = 3, ξ2 = 1, ξ4 = 2).
6. Система может находиться в одном из двух состояний. Вероятность перехода за
малое время ∆t из первого состояния x1 во второе состояние x2 равна a∆t + o(∆t),
вероятность перехода из x2 в x1 равна b∆t + o(∆t). В начальный момент времени
система находилась в первом состоянии (с вероятностью единица). Считая переходы
системы марковским процессом, найти pk (t) = P (ξ(t) = xk ) для любого t > 0 и k =
1, 2 и предел этих вероятностей при t → +∞.
3
7. Матрица Λ в системе уравнений Колмогорова имеет вид


−2
1
1
1 .
Λ =  2 −3
4
0 −2
Найти стационарное (т. е. не меняющееся со временем) распределение такого марковского процесса.
Задачи по случайным блужданиям.
1. Частица совершает случайные скачки единичной длины по целочисленным точкам
действительной прямой, прыгая направо с вероятностью p и налево – с вероятностью q, p + q = 1. В момент времени t = 0 частица находилась в точке x = 0. Найти
вероятность того, что в момент времени t = 8 частица окажется в точке с координатой x = 4, если известно, что за три шага отошла от нуля не больше чем на 1
в любом направлении.
2. Частица совершает случайные скачки единичной длины по целочисленным точкам
действительной прямой, прыгая направо с вероятностью p и налево – с вероятностью q, p + q = 1. В момент времени t = 0 частица находилась в точке x = 0. Найти
вероятность того, что в момент t = 4 частица была на расстоянии, не большем 2, от
нуля, если известно, что в момент времени t = 8 она была в точке x = 4.
3. В первом ящике лежат два шара, во втором – двадцать шаров. В моменты времени
t = 1, 2, . . . выбирают наугад один из ящиков, вынимают один шар и перекладывают
в другой ящик. Если в какой-то момент выбранный ящик оказался пуст, перекладывания прерывают. Найти вероятность того, что пятое перекладывание удастся
совершить.
4. Имеются два ящика, в в каждом из которых лежит по двадцать шаров. В моменты
времени t = 1, 2, . . . выбирают наугад один из ящиков, вынимают один шар и перекладывают в другой ящик. Найти вероятность того, что в результате шести перекладываний шаров в ящиках осталось поровну, а в результате десятого перекладывания
в одном, заранее выбранном и фиксированном, ящике оказалось больше шаров, чем
другом.
5. Бросают правильную монету. Игрок перед бросанием обязан иметь хотя бы 1 руб.,
чтобы участвовать в игре. Если выпадает «орёл», игрок получает 1 руб.; если выпадает «решка», то платит 1 руб. В начале игры у игрока был 1 руб. Найти вероятность
того, что в результате пятого бросания монета у игрока будет более 3 руб. (и он каждый раз имел деньги, чтобы сделать ставку).
6. Бросают правильную монету. Если выпадает «орёл», то игрок A платит 1 руб игроку B; если выпадает «решка», то игрок B платит 1 руб игроку A. В начале игры
4
у A было 10 руб., капитал игрока B неограничен. Найти вероятность того, что за
двадцать бросаний монеты игрок A не разорится (у него останутся деньги), но его
капитал в результате двадцатого бросания будет меньше 5 руб.
7. Для случайного блуждания, которое задано вероятностями скачков вправо (p) и влево (q) и начинается из нуля, доказать, что математическое ожидание координаты
частицы на n-ом шаге равно n(p − q) (указание: использовать математическую индукцию).
8. Для симметричного случайного блуждания, которое начинается из нуля, найти дисперсию координаты частицы на третьем шаге.
Задачи по винеровскому процессу.
1. Пусть ξ(t), t > 0, – винеровский процесс с нулевым средним. Показать, что, если
a = t0 < t2 < · · · < tn = b и maxk (tk − tk−1 ) → 0 при n → ∞, то
n
∑
[
]2
ξ(tk ) − ξ(tk−1 ) → b − a,
n → ∞,
k=1
где предел понимается в среднем квадратичном смысле.
2. Две независимые броуновские частицы совершают блуждание по прямой, описывающееся винеровскими процессами с нулевым средним и дисперсией σ 2 . Для обеих
частиц блуждание начинается из нуля. Найти математическое ожидание (абсолютного) расстояния между частицами.
3. Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатой ноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и дисперсией
σ 2 = 1. Найти вероятность того, что в моменты времени t и 2t она находилась справа
от нуля и в момент времени t она была дальше от нуля, чем в момент времени 2t.
4. Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатой ноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и дисперсией
σ 2 = 1. Известно, что к моменту времени t частица уже хотя бы один раз побывала
с точкой с координатой a > 0. При этом условии найти вероятность того, что максимальная координата частицы при её блуждании за удвоенное время [0, 2t) будет не
меньше 2a.
5. Две независимые броуновские частицы совершают блуждание по прямой, описывающееся винеровскими процессами с нулевыми средними и дисперсиями σ12 = σ 2
для первой частицы и σ22 = 2σ 2 для второй частицы. Для обеих частиц блуждание
начинается из нуля. Найти вероятность того, что первая частица достигнет точки
с координатой a > 0 раньше, чем вторая.
5
6. Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатой ноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и дисперсией
σ 2 = 1. Известно, что в момент времени 2t координата частицы была больше 2a. При
этом условии найти вероятность того, что в момент времени t частица находилась
левее точки с координатой a.
7. Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатой ноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и дисперсией
σ 2 = 1. Найти вероятность того, что к моменту времени t частица ещё не дошла до
точки с координатой a, но при этом за время [0, 2t) её максимальная координата
оказалась больше a.
Задачи по стационарным процессам.
1. Стационарная случайная последовательность {ξn } имеет спектральную плотность
fξ (λ) = (1 + cos λ)/2π, −π 6 λ < π. Найти коэффициенты a0 , a1 , при которых случайная величина ξˆn+1 = a0 ξn + a1 ξn−1 является наилучшим в среднем квадратичном
смысле приближением случайной величины ξn+1 в классе всех приближений такого
вида.
2. Ковариационная функция стационарной случайной последовательности {ξn } задаётся следующим образом: Rξ (n) = 3 при n = 0, Rξ (n) = 1 при |n| = 2, Rξ (n) = 0 при
всех прочих n. Найти спектральную плотность линейного преобразования данной
случайной последовательности, которое имеет вид ηn = 3ξn + 2ξn−1 + ξn−2 .
3. Пусть ξn = θ + nνn , n = 1, 2, . . . , где θ – неслучайный неизвестный параметр,
ν1 , ν2 , . . . – стационарная случайная последовательность, спектральная плотность которой есть fν (λ) = 1/2π + (cos λ)/4π, −π 6 λ < π. Найти такие значения коэффициентов an и bn , что ηn = an ξn + bn ξn−1 является наилучшей в среднем квадратичном
смысле оценкой параметра θ в классе всех оценок такого вида, удовлетворяющих
условию несмещённости: M ηn = θ для любого θ ∈ R.
4. Стационарная случайная последовательность {ξn } имеет спектральную плотность
fξ (λ) = (4 + 2 cos 2λ)/2π, −π 6 λ < π. Найти коэффициенты a0 , a1 , a2 , при которых
случайная величина ξˆn+1 = a0 ξn + a1 ξn−1 + a2 ξn−2 является наилучшим в среднем
квадратичном смысле приближением случайной величины ξn+1 в классе всех приближений такого вида.
5. Ковариационная функция стационарной случайной последовательности {ξn } задаётся следующими равенствами: Rξ (n) = 2 при n = 0, Rξ (n) = ±i при n = ±1
соответственно, Rξ (n) = 0 при всех прочих n. Найти спектральную плотность линейного преобразования данной случайной последовательности, которое имеет вид
ηn = (ξn + ξn−1 )/2.
6
6. Пусть ξn = θ + νn /n, n = 1, 2, . . . , где θ – неслучайный неизвестный параметр,
ν1 , ν2 , . . . – стационарная случайная последовательность, спектральная плотность которой есть fν (λ) = (3 + 2 cos λ)/2π, −π 6 λ < π. Найти такие значения коэффициентов an и bn , что ηn = an ξn + bn ξn−1 является наилучшей в среднем квадратичном
смысле оценкой параметра θ в классе всех оценок такого вида, удовлетворяющих
условию несмещённости: M ηn = θ для любого θ ∈ R.
7. Cлучайный процесс ξ(t), t ∈ R, имеет ковариационную функцию Rξ (t) = e−|t| , t ∈ R.
Линейное преобразование η(t) этого процесса задаётся частотной характеристикой
λ
, λ ∈ R. Найти дисперсию процесса η(t).
Φ(λ) = 1+iλ
8. Случайный процесс задан в виде ξ(t) = αe2it + βe3it , где α и β – независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Найти спектральную функцию процесса ξ(t), t ∈ R.Решить ту же задачу, если
ξ(t) = α cos 2t.
В задачах зачёта возможны незначительные модификации условий.
Список литературы
[1] Б. М. Миллер, А. Р. Панков, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2002
[2] В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том 1), Мир, М.,
1984
[3] А. Н. Ширяев, Вероятность (том 1), МЦНМО, М., 2004
[4] Ю. А. Розанов, Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика, Наука, М., 1985
7
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа