close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Количество учащихся СШ № 222;doc

код для вставкиСкачать
ОБРАЗЦЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ГЕОМЕТРИЯ»
I СЕМЕСТР
I. Программы письменных теоретических опросов
Первый теоретический опрос.
Знать определения: сонаправленных (противоположно направленных) лучей,
направленного отрезка, нулевого направленного отрезка, длины направленного
отрезка, , сонаправленных и противоположно направленных направленных
отрезков, вектора, длины вектора, сонаправленных и противоположно
направленных векторов, противоположных векторов. Суммы векторов, разности
векторов,
Знать свойства сложения векторов,
Второй теоретический опрос.
Знать определения: произведения вектора на число, линейной комбинации
данных векторов, системы линейно зависимых и системы линейно независимых
векторов.
Знать свойства произведения вектора на число, теорему о коллинеарных
векторах, теорему о компланарных векторах.
Третий теоретический опрос.
Знать определения: подпространства векторного пространства, базиса
векторного пространства, ортонормированного базиса, координат вектора в данном
базисе.
Знать формулировки: свойства систем линейно зависимых и линейно
независимых систем векторов,
Знать формулировки: теорема о координатах вектора, теорема о координатах
коллинеарных векторов в пространстве V3 и подпространстве L2, теорема о
координатах компланарных векторов в пространстве V3.
Четвертый теоретический опрос.
Знать определения: угла между векторами, скалярного произведения векторов.
Знать формулировки: свойства скалярного произведения векторов.
Знать формулы для вычисления: скалярного произведения векторов и длин
векторов по их координатам в ортонормированном базисе в пространстве V3 и
подпространстве L2, угла между ненулевыми векторами по их координатам в
ортонормированном базисе в пространстве V3 и подпространстве L2.
Пятый теоретический опрос.
Знать определения: определителя перехода от одного базиса к другому в
пространстве V3 и подпространстве L2, ориентации векторного подпространства L2
пространства V3. правого и левого базиса, направленного угла между векторами.
Знать формулировки: свойства определителей перехода в пространстве V3 и
подпространстве L2, геометрический смысл координат вектора в
ортонормированном правом базисе в подпространстве L2, формулы для вычисления
синуса и косинуса направленного угла между векторами в подпространстве L2.
Шестой теоретический опрос
Знать определения: векторного произведения двух векторов, смешанного
произведения трех векторов.
Знать формулировки теорем и формулы: теорема о геометрическом смысле
смешанного произведения, свойства смешанного произведения, свойства векторного
произведения, вычисление смешанного произведения в ортонормированном правом
базисе, вычисление координат векторного произведения в ортонормированном
правом базисе.
Седьмой теоретический опрос
Знать определения: системы координат на плоскости и в пространстве ,
прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве,
координат точки в данной системе координат, простого отношения трех точек.
Уметь решать задачи: найти координаты вектора AB , зная координаты точек А
и В, найти длину отрезка АВ, зная координаты точек А и В в прямоугольной
декартовой системе координат, найти координаты точки С, зная координаты точек А
и В и простое отношение (АВ,С)= λ.
Уметь записывать формулы преобразования аффинных координат и
прямоугольных декартовых координат.
Восьмой теоретическоий опрос.
Знать определения: направляющего вектора прямой, углового коэффициента
прямой, нормального вектора прямой.
Уметь записывать уравнения прямой, проходящей:
-через точку М0(х0,у0), с направляющим вектором ð (р1,р2),
- через две точки М1(х1,у1), М2(х2,у2),
- в отрезках.
- параметрические уравнения прямой,
- через точку М0(х0,у0), с угловым коэффициентом k,
- через точку М0(х0,у0), с нормальным вектором
n (α,β).
Знать условие параллельности вектора ð (р1,р2) прямой Ах + Ву + С = 0,
Знать условия того, что две прямые , заданные уравнениями А1х + В1у + С1 = 0 и
А2х + В2у + С2 = 0 совпадают, параллельны, пересекаются,
Знать условия совпадение прямой с осью координат, параллельности прямой и
оси координат.
Девятый теоретический опрос
Знать уравнение плоскости: через точку, параллельно двум неколлинеарным
векторам, через три точки, в отрезках, через точку перпендикулярно вектору,
параметрические уравнения плоскости.
Знать формулировки: теоремы об общем уравнении плоскости, леммы о
параллельности вектора и плоскости.
II. Образцы вариантов контрольных и самостоятельных работ
Образец самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра».
1) А …D1 – параллелепипед. AB  e1 , AC  e2 , AC1  e3 . О – точка пересечения
диагоналей грани А1В1С1D1, М – середина DС. Найти координаты OM в базисе
{ e1 , e2 , e3 }
2) АМ- медиана треугольника АВС AB (2,3, –1), AC (4, –1,3) Найти угол АМС.
(базис ортонормированный).
3) Найти расстояние от точки А(3,4, –1) до прямой (ВС), если В(2,0,3), С(–3,5,4).
(система координат прямоугольная декартова)
4) АВСА1В1С1 - призма, М и Р - середины АА1 и А1С1, Н - точка пересечения
диагоналей грани ВСС1В1. Найти отношение объемов данной призмы и тетраэдра
ВМРН.
Образец контрольной работы по темам «Методу координат. Прямая на
плоскости»
1) В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты вершин
треугольника А(4,5), В(3,1), С(11, –1). Доказать, что треугольник АВС
прямоугольный.
2) Даны точки А(3,4, –6) и В(3,0, –2), найти координаты точки С, если простое
отношение (АС,В)=2.
3) М – точка пересечения диагоналей квадрата АВСД. I = (А, ÀÂ, ÀÑ ), II =
(Д, ÄÀ, ÄÑ ). Составить формулы преобразования координат при переходе от
системы координат I к системе координат II.
4) Зная вершину квадрата (0,-3) и две его стороны 4х – у – 3 = 0 и 4х – у – 5 = 0,
составить уравнения двух других сторон.
5) Луч света направлен по прямой а: х + у – 2 = 0. Дойдя до прямой b: 3х – 4у + 1=
0, он отражается и скользит по прямой р. Найти уравнение прямой р.
6) Найти точку, симметричную точке (3,5) относительно прямой 5х + 4у + 6 = 0.
Образец самостоятельной работы по теме «Прямые и плоскости»..
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х = 1 + 2t, y = -1 +
3t, z = 4t и параллельной оси OZ.
2) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 1, 1) параллельной
плоскости
2x + 3y –5z + 1 = 0 и пересекающей прямую x = 3 + 3t, y = –2 + t, z = 4 – 2t.
3) Выяснить взаимное расположение прямой x = 1 + 2t, y = -5 + 4 t, z = t и
плоскости х + 2у – 10z + 3 = 0.
Образец самостоятельной работы по теме «Эллипс, гипербола, парабола»»..
1) Изобразить кривую
x2 y2

 1.
16 9
2) Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между
фокусами равно 8, а А1А2 + В1В2 = 16
3) Определить вид кривой, имеющий в полярных координатах уравнение
(4 – 5 cos ) = 9.
III. ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1.
Что можно сказать о векторе а, если à ↑↑- à ?
2.
Какому условию удовлетворяют векторы OA, OB, OC , если точки А, В, С лежат
на некоторой окружности?
3.
Что можно сказать о векторах à и b , если: а) | à + b | = | à | + | b |;
б) | à + b | = | à | – | b |; в) | à – b | = | à | + | b | ?
4. Что можно сказать о векторах à и b , если: а) векторы à + b и à – b
коллинеарны;
б) | à + b | = | à – b | ?
5. Какому условию удовлетворяют векторы à и b , если уравнение
à + х b = 0 имеет решение?
6. Приведите пример компланарных векторов à , b , ñ , для которых не существует
чисел α и β , удовлетворяющих равенству ñ = α à + β b ?
7. Дан вектор ð (р1,р2,р3) в базисе { å1 , å2 , å3 }. Найти координаты вектора ð в
базисе:
а) { å3 , å2 , å1 }; б) {- å1 , å2 ,- å3 }; в) { å1 , 2 å2 , 4 å3 }.
8. Для любых ли векторов à , b , ñ , где à и b , коллинеарные векторы, верно
равенство:
( à ñ ) b = à ( ñ b ).
9. Найти скалярное произведение векторов à (а1,а2) и b (b1,b2), заданных в базисе
{ å1 , å2 } , если: а) å1  å2 , | å1 | = | å2 | = q;
б)  ( å1 , å2 ) = α,
| å1 | = | å2 | = 1?
10. Существует ли на прямой М1М2 такая точка Х, что (М1М2, Х) = (М2М1, Х)?
11. Простое отношение точек (АВ, М) = λ. Найти простое отношение точек
(ВА,М).
12. Три точки А(х1,у1), В(х2,у2) С(х,у), заданные своими координатами в аффинной
системе координат, лежат на одной прямой. Найти простое отношение (АВ,С).
13. Даны два базиса { å1 , å2 } и {α å1 , β å2 }. Где α и β – вещественные числа.
Какому условию удовлетворяют чисоа α и β, ели данные базисы принадлежат: а)
одной ориентации; б) разным ориентациям?
14. Что представляет собой множество точек плоскости, координаты которых в
прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению:
а) х2 + у2 + 2х + 2у = 0; б) х2 + у2 + 2х + 2у + 2 = 0; в) х2 + у2 + 2х + 2у + 4 = 0?
15.. Базис { å1 , å2 , å3 } принадлежит правой ориентации векторного пространства.
Какой ориентации принадлежит базис: а) { å2 , å1 , å3 }; б) { å3 , å1 , å2 }; в) { å2 , å3 ,
å1 }?
16. Что можно сказать о знаке определителя перехода от базиса А к базису В, если:
а) базис А – правый, базис В – левый; б) базис А – левый, базис В – правый; в) базис
А – правый, базис В – правый; г) базис А – левый, базис В – левый?
17. Система координат (О, å1 , å2 , å3 ) – левая, что можно сказать о системе
координат:
а) (О, å3 , å2 , å1 ) ; б) (О, å1 , å3 , å2 ) ; в) (О, å2 , å3 , å1 ) ?
18. АВСDА1В1С1D1 – куб. Система координат ( A, AB, AD, AA1 ) – правая. Что можно
сказать о системе координат: а) (C, CB, CD, CC1 ) ; б) ( A1 , A1 A, A1 B1 , A1 D1 ) ;
в) ( D, DB, DC, DD1 ) .
19. В ортонормированном левом базисе даны координаты векторов à (а1,а2,а3),
b (b1,b2,b3), ñ (с1,с2,с3). Найти смешанное произведение векторов à b ñ .
6. Смешанное произведение векторов à b õ = 0, следует ли из этого, что õ = 0 ?
Если нет, то что можно сказать о векторе õ ?
20. Смешанное произведение векторов à b ñ = 5. Чему равно смешанное
произведение векторов (α à ) (β b ) (γ ñ )?
21. Верно ли утверждение, что если à  0 , b  0 , ñ  0 , то смешанное произведение
à b ñ  0?
22. Если [ à õ ] = 0 , то следует ли из этого, что õ = 0 ? Если нет, то что можно
сказать о векторе õ ?
23. Векторное произведение [ à ñ ] = ð , чему равно векторное произведение [(α à )
(β ñ )] ?
24. Верно ли утверждение, что если à  0 , b  0 , то [ à b ]  0 ?
25. Верно ли утверждение, что если [ à õ ] = [ à ó ] , õ = ó ?
II СЕМЕСТР
I. ПРОГРАММЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОПРОСОВ
Первый теоретический опрос
Знать определения: линии второго порядка, прямой асимптотического
направления, прямой неасимптотического направления, вектора асимптотического
направления, вектора неасимптотического направления.
Знать формулировки теорем и формулы: теорема о пересечении линии второго
порядка с прямой, формулы для координат вектора асимптотического направления,
Второй теоретический опрос
Знать определения: линии эллиптического типа, линии гиперболического типа,
линии параболического типа, центра линии второго порядка особой и обыкновенной
точки линии второго порядка, касательной к линии второго порядка,
Знать формулировки теорем и формулы: система для нахождения координат
центра, необходимые и достаточные условия того, что начало координат есть центр,
знать, сколько центров имеют линии эллиптического типа, гиперболического типа,
параболического типа, уравнение касательной в точке М0(х0,у0),.
Знать какие линии второго порядка имею один центр, прямую центров, не имеют
центров.
Третий теоретический опрос
Знать определения: диаметра,
Знать формулировки теорем и формулы: теорема о диаметре, уравнение диаметра
d p , свойства диаметров.
Знать как расположены все диаметры кривых эллиптического, гиперболического,
параболического типа.
Четвертый теоретический опрос
Знать определения: векторов сопряженных направлений, сопряженных диаметров.
вектора главного направления, главного диаметра
Знать формулировки теорем и формулы: свойства сопряженных диаметров
формула для координат вектора главного направления, теорема о количестве
главных направлений линии второго порядка, свойства главных диаметров.
Знать сколько главных направлений и сколько главных диаметров имеют кривые
эллиптического, гиперболического, параболического типа.
Пятый теоретический опрос
Знать канонические уравнения эллипсоида, однополостного и двуполостного
гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов, конуса,
эллиптического, гиперболического, параболического цилиндров.
Знать уравнения двух семейств прямолинейных образующих однополостного
гиперболоида и гиперболического параболоида.
Шестой теоретический опрос
Знать определения инъективного отображения, сюрьективного отображения,
биективного отображения, преобразования плоскости. Композиции преобразований,
обратного отображения, группы преобразований плоскости.
Знать определения движения плоскости, тождественного преобразования,
параллельного переноса на вектор à , поворота плоскости вокруг точки О на угол φ,
осевой симметрии с осью а.
Седьмой теоретический опрос
Знать определения движения первого и второго рода.
Знать формулировки основной теоремы о движениях, свойства движений, теоремы
о двух видах движений плоскость.
Знать примеры движений первого рода и второго рода.
Восьмой теоретический опрос
Знать формулы движения первого рода, движения второго рода, параллельного
переноса на вектор à (а1,а2), поворота плоскости вокруг точки М0(х0,у0) на угол φ,
осевой симметрии с осью ОХ.
Девятый теоретический опрос
Знать определения подобия, гомотетии с центром О и коэффициентом k.
Знать формулировки свойств гомотетии, теоремы о подобии, свойств подобия.
Знать формулы гомотетии с центром М0(х0,у0) и коэффициентом k, подобия.
Десятый теоретический опрос
Знать определения аффинного преобразования плоскости. ПАФ (родства), сдвига,
косого сжатия.
Знать формулировки свойств аффинного преобразования, свойств сдвига, свойств
косого сжатия.
II. Образцы вариантов контрольных и самостоятельных работ
Образец контрольной работы по теме «Общая теория поверхностей 2-ого
порядка»
1) Через точку А(1,2) провести прямые пересекающие только в одной точке
кривую х2 + 7ху + 10у2 + 2х + 10у – 4 = 0
2) Через точку (4,-3) провести касательные к кривой 9х2 – 8у2–72 = 0.
3) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(8, –1) и содержащей
хорду, сопряженную диаметру dр: 4х + 7у + 2 = 0 для кривой х2 + 4у2 + 2х – 6у =0
Или 3) Найти два сопряженных диаметра кривой х2 – 4ху + у2 + 2х – 7у – 8 =0, а)
один из которых параллелен прямой 2х – у + 5 = 0, б) один из которых проходит
через точку О(0,0).
Или 3) Найти уравнение диаметра кривой х2 + 4ху + 6у2 + 2х + 8у – 4 = 0
а) проходящего через точку А(1,1), б) параллельного оси ОХ.
4) Найти уравнения главных диаметров линий второго порядка
2
х – 2ху + у2 + х – 2у + 3 = 0.
5) Определить вид кривой х2 + 4ху + 4у2 – 2х – 6у + 12 =0.
Образец самостоятельной работы по теме «Поверхности 2-ого порядка»
1. Определить вид поверхности х2 + 2х +у + z2 + 4z = 2.
2. Определить вид поверхности и изобразить ее х2 – 2у2– z2 = –1.
3. Дана поверхность х2 – 2у2 + z2 +1 = 0 .Проходят ли через каждую точку этой
поверхности прямолинейные образующие и сколько.
Образец самостоятельной работы по теме «Преобразования плоскости»
1. Определить вид движения и найти элементы его определяющие
х′ =
3
4
4
3
х + у, y′ = х – у
5
5
5
5
2. Даны два равных отрезка АВ и АВ причем прямые АА и ВВ не параллельны.
Построить образ данной прямой а при скользящей симметрии, при которой А А′,
В  В′.
3. Найти прообраз точки О(0,0) при гомотетии с центром Мо(2, –3), при которой
точка (1,1) переходит в точку (4, –11).
4. Дано аффинное преобразование х' = 5х + 5у +1, у' = 4х – 2у +1. Найти
уравнение прямой, проходящей через точку А(2,3), образ которой также проходит
через точку А.
Образец самостоятельной работы по теме «Многомерные пространства»
1. В А4 даны уравнения 2-плоскости П2: х1 = 2t1 + 3t2, x2 = 1 + 4t1 – t2,
x3 = –2t1 + 3t2, х4 = 5 + 2t1. Найти координаты двух точек этой плоскости и трех
векторов из направляющего подпространства и определить принадлежит ли точка
А(0,0,0,0) этой плоскости.
Или
1. В А5 даны уравнения 3-плоскости П3:
х1 + 4х3 – 3х5 =3
х1 + х2 - х3 + 2х4 – х5=0 Найти координаты двух точек этой плоскости и двух
векторов из направляющего подпространства. Выяснить принадлежит ли вектор
(3,2,0,3,1) направляющему подпространству этой плоскости.
2. Составить уравнение П2 в А5, зная две точки А(2,1,0,0,1) и В(0,2,1,2.1) и
вектор (1, –1,3,4,2) из направляющего подпространства.
Или
2. Составить уравнения П2 в А4, зная ее точку (1,4,8,5) и направляющее
подпространство 2р1 +4р2 –8р3 – р4 =0
р1 – 3р2 + 4р3 – 5р4 =0
III. ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. На плоскости даны две окружности. Можно ли построить биективное
отображение одной окружности на другую?.
2. Точки М и Р являются серединами сторон АВ и АС треугольника АВС. Можно
ли построить какое-нибудь биективное отображение отрезка МР а) на отрезок
ВС;
б) на отрезок АМ; в) на отрезок РС?.
3. Даны два равных отрезка АВ и А′В′. Всегда ли существует движение, при
котором точки А и В переходят соответственно в точки А′ и В′. Если да, то
сколько таких движений существует.
4. Пусть R и R′ два ортонормированных репера плоскости. Является ли
отображение f движением, если при этом отображении точка М(х, у)R
переходит: а) в точку
М′ (-х, -у)R’, б) в точку М′ (-х, у)R’, в) в точку М′
(2х, у)R’ ?.
5. Даны две полуплоскости  и  ′ с общей границей а и ненуленой вектор р,
параллельный прямой а. Отображение f переводит точку М в точку М′ так, что
MM  = р, если М принадлежит полуплоскости  или прямой а, и MM  = - р,
если М принадлежит полуплоскости  ′. Является ли отображение f: а)
преобразованием плоскости; б) движением; в)преобразованием, которое
сохраняет ориентацию плоскости,; г)преобразованием, которое меняет
ориентацию плоскости ?
6. Даны два луча h и h′. Существует ли движение, переводящее луч h в луч h′ ?
Если существует, то сколько таких движений ?.
7. Даны две произвольные прямые d и d′. Существует ли движение, переводящее
прямую d в прямую d′ ? Если да, то сколько таких движений существует?
8. Даны две пары прямых АВ, АС и А′В′, А′С′. В каком случае существует
движение, при котором прямые АВ и АС переходят соответственно в прямые
А′В′ и А′С′? Если существует, то сколько таких движений ?
9. Даны две точки А и В. К какому виду относится движение f, при котором точка
А переходит в точку В, а точка В переходит в точку А, если а) f – движение
первого рода, б) f – движение второго рода.
10. Даны два угла АОВ и А′О′В′. Всегда ли существует движение переводящее
первый угол во второй ? Если существует, то сколько таких движений ?
11. Известно, что (АВ,М) = (А′В′,М′). В каком случае существует движение,
которое точки А,В,М переводит соответственно в точки А′, В′, М′ ?
12. Даны две полуплоскости  и  ′. Всегда ли существует движение, при
котором полуплоскость  переходит в полуплоскость  ′? Если существует, то
сколько таких движений ?
13. Может ли движение первого рода иметь: а) только одну инвариантную
точку; б) только одну инвариантную прямую; в) по крайней мере две
пересекающиеся инвариантные прямые ?
14. Может ли движение второго рода иметь: а) только одну инвариантную
точку ; б) только одну инвариантную прямую ; по крайней мере две
пересекающиеся инвариантные прямые ?
15. Может ли движение второго рода иметь две пересекающиеся
неперпендикулярные инвариантные прямые ?
16. Какие движения однозначно задаются парой соответствующих точек?
17. Какие движения однозначно задаются двумя парами соответствующих точек ?
18. Приведите пример подгруппы группы движений полуплоскости, состоящей из
конечного числа элементов.
19. Приведите примеры фигур, группы движений которых состоят из двух
элементов.
20. Перечислите все движения, при которых правильный треугольник переходит в
себя.
21. Приведите примеры ограниченных фигур, группа движений которых состоит
из бесконечного числа элементов.
22. Приведите примеры неограниченных фигур, группа движений которых
состоит из конечного числа элементов.
23. Может ли подобие, отличное от движения иметь: а) более чем одну
инвариантную точку ; б) инвариантную прямую, не содержащую
инвариантную точку ?
24. Как найти коэффициент подобия, зная формулы подобия ?
25. На плоскости даны два отрезка. Существует ли подобие, которое один из этих
отрезков переводит во второй ? Если существует, то сколько таких подобий ?
26. Даны два параллелограмма. В каком случае существует подобие, переводящее
один параллелограмм во второй ?
27. Сколькими парами соответствующих точек задается гомотетия ?
28. На плоскости даны два отрезка АВ и А′В′. При каком условии существует
гомотетия, при которой отрезок АВ переходит в отрезок А′В′? Если
существует, то сколько таких гомотетий ?
29. Приведите примеры фигур, которые при данной гомотетии переходят в себя.
30. Сохраняет ли ориентацию плоскости композиция а) гомотетии и поворота ? б)
гомотетии и скользящей симметрии ?
31. Пусть подобие, отличное от движения, имеет инвариантные прямые.
Выяснить, как могут быть расположены эти прямые ?
III. СЕМЕСТР
I.
Программы теоретических опросов.
Программа первого теоретического опроса.
1. Параллельное проектирование и его свойства.
2. Аффинная эквивалентность плоских фигур, аффинно эквивалентные
треугольники, четырехугольники. Теорема об изображении плоских фигур
3. Изображение треугольника, любого четырехугольника, параллелограмма,
4. Изображение окружности и ее элементов.
Программа второго теоретического опроса.
1. Теорема Польке-Шварца.
2. Изображение многогранников: тетраэдра, четырехугольной пирамиды,
треугольной призмы, параллелепипеда, куба.
3. Изображение цилиндра, конуса, шара.
4. Аксонометрия: изображение точки, прямой, плоскости.
Программа третьего теоретического опроса.
Знать формулировки всех аксиом Гильберта 1 и 2 групп
Знать определения отрезка, луча, полуплоскости, угла, полуплоскости угла,
внутренней области угла, внутреннего луча угла.
Программа четвертого теоретического опроса.
Знать формулировки всех аксиом Гильберта 3 и 4 групп и определения.
Знать определения, конгуэнтных треугольников, смежных и вертикальных углов,
внешнего угла треугольника, середины отрезка, биссектрисы угла.
II. Образцы вариантов контрольных и самостоятельных работ
Образец контрольной работы по теме «Методы изображений».
1. Дана пирамида SABCDE. Построить сечение плоскостью MNP, где М  SА, N
 SD, Р  SВС;
а) с помощью следа, б) с помощью внутреннего проектирования.
2. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Построить сечение плоскостью,
проходящей через СP и параллельной АM. где М  C1C, P A1B1.
Образец самостоятельной работы по теме «Проективные координаты точек»
1. На расширенной прямой дан репер (А1,А2 , Е). Построить точку М(-3,1).
2. На расширенной плоскости дан репер (А1,А2, А3, Е). Построить точку М(-3,1,-3).
3. На Р2 дан репер(А1,А2,А3.Е) М(1,2,3), Р(3,-1,1). Найти координаты точки
пересечения прямых МА1 и РЕ.
Образец самостоятельной работы по теме «Сложное отношение четырех точек.
Полный четырехвершинник»
1. (АВ,СД) = 5. Двумя способами найти (СА,ДВ).
2. На расширенной прямой даны точки А,В,С. С помощью одной линейки
построить точку Д так, чтобы (СА,ВД)= 2.
3. На расширенной плоскости дана трапеция ХУZW. Построить диагонали
четырехвершинника . ХУZW. На стороне ХУ указать гармоническую четверку
точек.
III. ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Перечислите неопределяемые понятия и неопределяемые отношение в :
а)планиметрии; б) стереометрии.
2. Перечислите утверждения, эквивалентные аксиоме параллельных Евклида.
3. Дайте определения луча и полуплоскости.
4. На плоскости даны два дополнительных луча h1 и h2 с началом О и две точки А
и В. Какому условию должны удовлетворять точки А и В, если:
а) А, В  h1; б) А, В  h2; в) А  h1, В h2; г) А h1, А h2, В h1.
5. На плоскости даны две полуплоскости Ω1 и Ω2 с границей а и две точки А и В.
Какому условию должны удовлетворять точки А и В, если:
а) А, В  Ω1; б) А, В  Ω 2; в) А  Ω 1, В Ω 2; г) А, В  Ω 1, А, В  Ω 2.
6. Верно ли утверждение: Если луч h пересекает любой отрезок с концами на
разных сторонах угла, то h − внутренний луч данного угла. Если утверждение не
верно, то привести пример.
7. Сформулировать утверждения, эквивалентные утверждению Дедекинда.
8..Как могут быть расположении любые две плоскости? Ответ обосновать.
9. Сколько плоскостей проходит через три точки? Ответ обосновать
10. Следует ли из аксиом Гильберта І группы, что существует 5 точек общего
положения, т.е. никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости?
11. Что можно сказать о расположение точек А, В, С, D, Е в пространстве, если А
− С − В и D − С − Е? Ответ обосновать.
12. Даны две точки А и В. Существует ли такая точка С, что С − А −В? Ответ
обосновать.
13.Верно ли утверждение: Если прямая а не проходит через вершины
треугольника и пересекает одну из сторон треугольника, то эта прямая пересекает
по крайней мере одну из двух оставшихся сторон треугольника?
Если утверждение не верно, то привести пример.
14. Верно ли утверждение: Если прямая а лежит в плоскости треугольника и
пересекает одну из сторон треугольника, то эта прямая пересекает одну и только
одну из двух оставшихся сторон треугольника? Если утверждение не верно, то
привести пример.
15. Верно ли утверждение: Если сторона и два угла одного треугольника
конгруэнтны стороне и двум углам второго треугольника, то такие треугольника
конгруэнтны? Если утверждение не верно, то привести пример.
16. Доказать, что биссектрисы смежных углов принадлежат перпендикулярным
прямым.
17. Верно ли утверждение: В абсолютной геометрии на плоскости существует
прямая а и точка А не принадлежащая этой прямой, такие, что:
а) через точку А не проходит ни одной прямой, не пересекающей прямую а; б) через
точку А проходит более одной прямой, не пересекающей прямую а?
Ответ обосновать.
18. Перечислить а) аналогичные свойства параллельных прямых на евклидовой
плоскости и на плоскости Лобачевского; б) свойства параллельных прямых, которые
выполняются на евклидовой плоскости, но не выполняются на плоскости
Лобачевского; в) свойства параллельных прямых, которые выполняются на
плоскости Лобачевского, но не выполняются на евклидовой плоскости.
19. Что можно сказать о двух прямых на плоскости Лобачевского, если они: а)
имеют общий перпендикуляр; б) не имеют общего перпендикуляра?
20. Перечислите признаки конгруэнтности треугольников, которые
а) выполняются на плоскости Лобачевского, но не выполняются на евклидовой
плоскости; б) выполняются на евклидовой плоскости, но не выполняются на
плоскости Лобачевского.
21. Если при пересечении двух прямых третий, внутренние накрестлежащие углы
конгруэнтны, то прямые а) параллельны, б) не пересекаются; в) пересекаются. Какое
из утверждений а), б). в) выполняется и не выполняется на евклидовой плоскости и
на плоскости Лобачевского?
22. Если в четырехугольнике АВСD углы А, В, С − прямые, а угол D − острый, то
что можно сказать о взаимном расположении прямых: а) АВ и СD; б) АD и ВС?
23. В плоскости даны прямые АВ и СD. Точка Е принадлежит прямой АВ, точка Н
принадлежит прямой СD Угол ЕНD прямой, угол НЕВ острый. Могут ли прямые
АВ и СD: а) быть параллельными, б) пересекаться, в) быть расходящимися? Ответ
обосновать.
24. Верно ли утверждение: если две прямые на плоскости Лобачевского
параллельны, то при пересечении их третьей прямой внутренние накрестлежащие
углы конгруэнтны?
25. :Если две прямые на плоскости Лобачевского пересечены третьей прямой и
внутренние накрестлежащие углы конгруэнтны, то как расположены эти прямые?
26. АВСD − двупрямоугольник с снованием АВ. Могут ли углы С и D быть: а)
прямыми; б) острыми; в) тупыми; г) один прямой, другой острый, д)один острый,
другой тупой?
27. Существует ли на плоскости Лобачевского двупрямоугольник имеющий: а)
одну ось симметрии; б) две оси симметрии?
28. Приведите примеры двупрямоугольников двух различных видов, имеющих
ось симметрии.
29. Дана эквидистанта. Существуют ли прямые: а) пересекающие эквидистанту в
одной точке; б) пересекающие эквидистанту в двух точках;
в) пересекающие эквидистанту в трех точках; г) не пересекающие эквидистанту?
30. Дан орицикл. Существуют ли прямые: а) пересекающие орицикл в одной
точке; б) пересекающие орицикл в двух точках; в) пересекающие орицикл в трех
точках; г) не пересекающие орицикл?
31. Дан острый угол φ. Всегда ли существует прямоугольный треугольник с
углом φ: а) на евклидовой плоскости; б) на плоскости Лобачевского? Ответ
обосновать.
IV.СЕМЕСТР
I. Образцы контрольных и самостоятельных работ .
1. Самостоятельная работа по проективной геометрии. Типы задач.
1. В проективном отображении прямой а1 на прямую а2 даны три пары
соответствующих точек. Построить образ или прообраз данной точки. (Одна
или две данные точки могут быть бесконечно удаленными точками данных
прямых).
2. В проективном отображении пучка П(О1) на пучок П(О2) даны три пары
соответствующих прямых. Построить образ или прообраз данной прямой.
(Центр одного из пучком может быть бесконечно удаленной точкой).
3. Дано уравнение линии второго порядка, координаты точки М и уравнение
прямой а. Найти уравнение поляры точки М и координаты полюса прямой а.
4. На овальной линии γ даны 5 точек, или 4 точки и касательная в одной из них,
или три точки и касательная в двух из них (сама линия не дана). С помощью
теоремы Штейнера построить еще одну точку γ или касательную в одной из
данных точек γ.
5. В гомологии даны ось s, центр S и пара соответствующих точек. Построить
образ или прообраз данной точки. Построить образ или прообраз данной
прямой. (Точка S может быть бесконечно удаленная, одна из данных точек
может быть бесконечно удаленная, данная прямая может быть параллельна
оси)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2. Самостоятельная работа по дифференциальной геометрии (линии в
пространстве). Типы задач.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). Найти уравнение
а)касательной в точке, б)бинормали в точке, в) главной нормали в точке,
г)соприкасающейся плоскости, спрямляющей плоскости, нормальной
плоскости, д) составить формулы Френе.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). а) Перейти к естественной
параметризации. б) найти длину дуги данной линии.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). Найти кривизну и кручение
линии в точке.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). Доказать, что все
соприкасающиеся плоскости (или спрямляющие, или нормальные плоскости)
проходят через одну точку.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). Доказать, что все касательные
(или бинормали, или главные нормали) параллельны одной плоскости, или
составляют постоянный угол с данным вектором, или пересекают данную
прямую.
Даны уравнения линии х = х(t), у = у(t), z = z(t). Доказать, что эта линия
плоская и найти уравнение плоскости, в которой она лежит.
3. Контрольная работа по дифференциальной геометрии (поверхности в
пространстве). Типы задач.
1. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
уравнение касательной плоскости и нормали в данной точке.
2. Даны уравнения поверхности и уравнения двух линий на поверхности.
Найти угол между этими линиями.
3. Даны уравнения поверхности и уравнение линии на поверхности. Найти
нормальную кривизну этой линии в данной точке.
4. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
уравнения асимптотических линий.
5. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
полную и среднюю кривизну поверхности в данной точке.
6. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
координаты векторов главного направления.
7. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
уравнения линий кривизны.
8. Даны уравнения поверхности x = х(u,v), y = у(u ,v), z = z (u, v). Найти
уравнение индикатрисы Дюпена в данной точке.
II. Задачи для самостоятельного решения на модели Кэли - Клейна
гиперболической плоскости Лобачевского
1. На модели Кэли-Клейна даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой.
Построить гиперболический параллелограмм АВСD.(т.е. четырехугольник, у которого
AB || DC и AD || BC .
2. На модели Кэли-Клейна дана точка А и прямая UV. Построить прямую,
проходящую через точку А и перпендикулярную прямой UV.
3. На модели Кэли-Клейна даны две расходящиеся прямые. Построить их общий
перпендикуляр.
4. На модели Кэли-Клейна дан угол UAV. Построить такой отрезок АВ , что данный
угол является углом параллельности, соответствующий этому отрезку.
5. На модели Кэли –Клейна даны отрезок АВ и луч А1U1. На данном луче построить
точку В1 так, чтобы отрезок А1В1 был равен отрезку АВ.
6. На модели Кэли-Клейна дан отрезок АВ. Построить его середину.
7. На модели Кэли – Клейна да угол UАV и точка В на луче АU. Построить точку С
на луче АV так, чтобы треугольник АВС был равнобедренным с основанием ВС.
8. На модели Кэли-Клейна дан угол UOV и луч O1U1. Построить луч O1V1 так, чтобы
угол UOV был равен углу  U1O1V1
9. На модели Кэли-Клейна дан угол UOV. Построить его биссектрису.
10. На модели Кэли-Клейна дан треугольник АВС. Построить центр окружности,
вписанной в треугольник АВС.
11. На модели Кэли-Клейна дан треугольник АВС. Построить точку пересечения
медиан треугольника АВС.
12. На модели Кэли-Клейна дан треугольник АВС. Построить центр окружности,
вписанной в треугольник АВС.
13. На модели Кэли-Клейна даны расходящиеся прямые UV и U1V1. Построить две
прямые, каждая из которых перпендикулярна прямой U1V1. и параллельна прямой UV.
14. На модели Кэли-Клейна дан острый угол UOV. Построить прямую,
перпендикулярную одной стороне угла и параллельную другой стороне.
15.. На модели Кэли-Клейна дан отрезок АВ. Построить четырехугольник Саккери с
основанием АВ.
16. На модели Кэли-Клейна дан база эквидистанты и одна точка эквидистанты.
Построить еще одну точку эквидистанты.
17. На модели Кэли-Клейна дан центр окружности и одна точка окружности.
Построить еще две точки окружности..
II.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ У КОЛЛОКВИУМУ.
1. На проективной прямой даны такие точки А, В, С, D, что (АВ, СD) = –1.
Перечислить все гармонические четверки, составленные из этих точек.
2. Дан полный четырехвершинник АВСD, указать гармоническую четверку точек
на стороне АС.
3. Дан полный четырехвершинник АВСD с диагональными точками R, N, Р.
Перечислить все гармонические четверки прямых, связанные с этим
четырехвершинником.
4. На расширенной плоскости дана прямая а и точка М, не лежащая на этой
прямой. Можно ли через точку М провести с помощью одной линейки прямую,
параллельную прямой а, если: а) на прямой а дан отрезок АВ; б) на прямой а дан
отрезок АВ и его середина С; в) дана прямая с, параллельная прямой а и не
проходящая через точку М?
5. Сколькими парами соответствующих точек задапется: а) проективное
отображение прямой на прямую; б) пе5рспективное отображение прямой на
прямую?
6. Является ли биективное отображение f прямой а на прямую а′ перспективным,
если f(М) = М, где М точка пересечения прямых а и а′?
7. В перспективном отображении пучка с центром О на пучок с центром О′ даны
две пары соответствующих прямых. Построить: а) образ любой прямой ОХ; б)
прообраз любой прямой О′Y′; в) прообраз прямойО′О.
8. На проективной плоскости даны три различные прямые а, а′ и а′′. Каким
отображением является композиция двух перспективных отображений прямой а на
прямую а′ с центром О и прямой а′ на прямую а′′ с центром О′, если точки О и О′: а)
различны; б) совпадают?
9. Является ли проективное преобразование прямой а инволюцией, если
существует такая точка А, что f(А) = А′ и f(А′) = А?
10. Существует ли инволюция: а) без инвариантных точек; б) с одной
инвариантной точкой; в) с двумя инвариантными точками; г) с тремя
инвариантными точками?
11. Определяется ли гиперболическая инволюция двумя инвариантными
точками? Ответ обосновать.
12. На проективной плоскости дан проективный репер и точка М. Является ли
точка М вещественной или мнимой, если: а) М(2i, –5i, i); б) М(i, 1, 2);
в) М(1 + i, 4 +4i, –1 – i)?
13. Как можно определить нулевую и овальную линии второго порядка, не
используя их каноническое уравнение?
14.Что можно сказать о взаимном расположении произвольной линии второго
порядка и прямой?
15. Дана невырожденная линии второго порядка γ и поляра а некоторой точки А.
.Как могут быть расположены прямая а и линия γ?
16. Дана овальная линии второго порядка γ и прямая m. пересекающая γ в двух
различных вещественных точках А и В. Как для любой точки С прямой m построить
точку пересечения прямой m и поляры точки С, не проводя этой поляры?
17. Дана невырожденная линии второго порядка γ, две точки А и В и их поляры
а и b. Какой прямой является поляры точки пересечения прямых а и b?
18. Какая точка называется внешней и какая внутренней относительно овальной
линии? Сколько касательных к овальной линии γ можно провести через точку А,
если А: а) лежит на γ; б) является внутренней точкой γ; в) является внешней точкой
γ?
19. Дана овальная линия γ. построить трехвершинник, каждая сторона которого
является полярой вершины, не лежащей на этой стороне.
20. На проективной плоскости даны два пучка прямых с разными центрами и
задано перспективное отображение первого пучка на второй. Какую фигуру
образуют точки пересечения соответствующих прямых этих пучков?
21. Дано пять точек овальной линии γ, а сама линия γ не дана. С помощью каких
теорем можно построить: а) еще одну точку γ; б) касательную к γ в одной из данных
точек?
22. Дана проективная плоскость. Что нужно задать, чтобы получить: а) модель
аффинной плоскости; б) модель евклидовой плоскости?
23. Какая подгруппа проективной группы изоморфна группе: а) аффинных
преобразований аффинной плоскости; б) подобий евклидовой плоскости; в)
движений евклидовой плоскости?
24. Как на проективной модели аффинной плоскости изображается: а) эллипс; б)
гипербола; в) парабола; г) линия второго порядка, которая распадается на пару
параллельных прямых; д) линия второго порядка, которая распадается на пару
пересекающихся прямых?
25. На проективной модели Р2 / d аффинной плоскости даны точки А и В. Как на
этой модели построить такую точку С, что: а) С – середина АВ; б) В – середина АС?
26. На проективной модели евклидовой плоскости дана прямая а и точка А, не
лежащая на этой прямой. Укажите способ построения прямой b, проходящей через
точку А и перпендикулярной прямой а.
27. На проективной модели евклидовой плоскости дана окружность единичного
радиуса. Укажите способ построения отрезка длины: а) один;
б) два; в) три.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа