close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ТЕМА 5. РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
Новые слова и словосочетания
равнопеременный
равнопеременно
равноускоренный
равноускоренно
равнозамедленный
равнозамедленно
неравномерный
неравномерно
переменный
5.1. Неравномерное движение
Неравномерное (переменное) движение – это такое движение, коr
гда скорость изменяется
≠const (она переменная величина); ускореv
r
ние не равно нулю a ≠ 0 (движение с ускорением).
За равные промежутки времени Δt1 = Δt 2 = Δt3 = K = Δt n тело соr
r
r
r
вершает разные перемещения Δr1 ≠ Δr2 ≠ Δr3 ≠ K ≠ Δrn .
Равнопеременным движением называется движение, при котором
за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на
одинаковую величину. Равнопеременное
r движение – это переменное
движение с постоянным ускорением a = const . Равнопеременное движение – это движение с непостоянной скоростью, но с постоянным ускорением.
Поэтому равнопеременное движение можно характеризовать следующим
образом:
за
равные
промежутки
времени
Δt1 = Δt 2 = Δt3 = K = Δt n скорость изменяется на одинаковую величину
r
r
r
r
r
Δv1 = Δv 2 = Δv 3 = K = Δv n , ускорение – постоянная величина a = const
(движение с постоянным ускорением). Уравнение ускорения
r
r
a (t ) = const = a0 – кинематическое уравнение равнопеременного
движения.
Если тело движется равнопеременно, то за любой промежуток
времени Δt (и за Δt → 0 ) изменение скорости одинаковое (одно и то
же). Значит мгновенное ускорение тела во всех точках траектории в
любой момент времени постоянное и равно среднему ускорению теr r
ла, a = aср = const .
Так как среднее ускорение – это физическая величина, равная отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за кото185
r
r r
Δv
a = aср =
.
Δt
Отсюда
это изменение произошло, то
r r r
r r
r r
r Δv v − v0
r
r
a=
или v − v0 = a ⋅ Δt ; v = v 0 + aΔt
=
Δrt r Δt
r
v = v 0 + aΔt – это уравнение – кинематическое уравнение скорости равнопеременного движения.
рый
Когда скорость изменяется, она может увеличиваться или уменьшаться. Если скорость тела увеличивается, а ускорение – постоянная
величина, такое движение равноускоренное. Если скорость тела
уменьшается, а его ускорение – постоянная величина, то такое движение равнозамедленное.
переменное движение
r
a ≠ const
r
a = const – равнопеременное движение
равнозамедленное движение
равноускоренное движение
Прямолинейное равнопеременное движение
Траектория движения прямая линия.
Рассмотрим прямолинейное равнопеременное движение тела. Траектория движения – прямая линия. Рассмотрим движение тела в одномерной системе координат. Тело может двигаться в положительном и
отрицательном направлении оси OX, равноускоренно или равнозамедленно. При этом ускорение тела остается постоянным в течение всего
времени движения.
r
Пусть в момент времени t0 скорость тела v 0 , тело находится в точке с координатой x0 . В момент времени t тело находится в точке с коr
ординатой x и имеет скорость v . За промежуток времени Δt изменение
r r
r
скорости v − v 0 = Δv . Тело движется с постоянным ускорением
r
a = const .
186
Ускоренное
Замедленное
Ускоренное
Замедленное
движение в подвижение в по- движение в от- движение в отложительном
ложительном
рицательном
рицательном
направлении оси направлении оси направлении оси направлении оси
OX
OX
OX
OX
r
a
0
x0
r
a
r
v0
x
r
v
X
Уравнение движения тела в
векторной форr r
r
ме: v = v 0 + aΔt
r
a
0
r
v0
x0
r
a
r
v
r
v
x
0
X
Уравнение движения тела в
векторной форr r
r
ме: v = v 0 + aΔt
r
a
r r
v0 a
x
r
a
r
v
x0
X
Уравнение движения тела в
векторной форr r
r
ме: v = v 0 + aΔt
0
x
r
v0
r
a
x0 X
Уравнение движения тела в
векторной форr r
r
ме: v = v 0 + aΔt
Запишем урав- Запишем урав- Запишем урав- Запишем уравнение движения нение движения нение движения нение движения
тела в проекции тела в проекции тела в проекции тела в проекции
на ось OX:
на ось OX:
на ось OX:
на ось OX:
v x = v0x + a x Δt v x = v0x + a x Δt
v x = v0x + a x Δt
v x = v0x + a x Δt
v0x = −v0
v0x = v0
v0x = −v0
v0x = v0
a x = −a
a x = −a
ax = a
ax = a
v x = −v0 − a ⋅ Δt v x = −v0 + a ⋅ Δt
v x = v0 − a ⋅ Δt
v x = v0 + a ⋅ Δt
Запишем уравнение движения, общее для всех рассмотренных случаев
движения тел
v x = ±v0 ± aΔt
Таким образом, уравнение проекции скорости на ось OX:
v x = ±v0 ± aΔt .
Если начальный момент времени t0 = 0, то промежуток времени
Δt = t – t0 = t (время движения).
Тогда уравнение проекции скорости можно записать
v x = ±v0 ± at .
Проанализируем это уравнение. Проекция скорости на ось OX зависит от времени линейно. Знак плюс (+) или минус (–) в этом уравнении зависит от направления движения (от знака проекции скорости)
и от того, какое это движение (ускоренное или замедленное).
Построим графики зависимости проекции скорости и ускорения от
времени для тел, изображенных на рисунках.
187
Ускоренное
Замедленное
Ускоренное
Замедленное
движение в подвижение в по- движение в от- движение в отложительном
ложительном
рицательном
рицательном
направлении оси направлении оси направлении оси направлении оси
OX
OX
OX
OX
r
a
r
a
r
v
X
0
r
v
r
v
X
0
r
a
r
a
r
v
X
0
X
0
r
r
r
r
r
r
r
r
a ↑↑ v
a ↑↓ v
a ↑↑ v
a ↑↓ v
Уравнения зависимости проекции скорости от времени:
v x = v0 + a ⋅ t
v x = v0 − a ⋅ t
v x = −v0 − a ⋅ t
v x = −v0 + a ⋅ t
Графики зависимости проекции скорости от времени
vx
vx
vx
vx
v
v0
0
v0
α
t
t
v
0
t
0
–v0
α
t
0
α
t
t
t
v
α
v
t
–v0
α – угол наклона гафика скорости к оси времени, tgα =
v − v0
= ax = ±a .
t
Уравнения зависимости проекции ускорения от времени:
ax = a
a x = −a
a x = −a
ax = a
Графики зависимости проекции ускорения от времени:
ax
ax
ax
ax
t
a
–a
–a
t
a
t
t
Вывод: уравнение равнопеременного
r движения
r
r
r
a = const , v = v 0 + aΔt .
Уравнение проекции скорости и ускорения на ось OX:
v x = v0x + a x ⋅ Δt ; ax = const.
График зависимости проекции скорости от времени – это прямая линия, наклонная к оси времени. Тангенс угла наклона графика равен проекции ускорения на ось OX.
188
График зависимости проекции ускорения от времени – это
прямая линия, параллельная оси времени.
5.2. Уравнение вектора перемещения
Рассмотрим движение тела rв положительном направлении оси
OX с постоянным ускорением a = const . Скорость равнопеременного
r r
r
движения равна: v = v0 + aΔt . Это уравнение скорости в векторной
форме.
Запишем уравнение проекции скорости равнопеременного движения на ось OX.
v x = v0x + a x ⋅ Δt ,
r
где ax – проекция вектора a на ось OX.
r
r
Δr
r r
Так как v ср =
, то вектор перемещения равен Δr = v ср ⋅ Δt .
Δt
Найдем средний вектор скорости (среднюю скорость перемещения) за
интервал времени Δt : средний вектор скорости равен
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
v 0 + v v0 + (v0 + aΔt ) r
v0 + v
aΔt
или v ср =
.
=
= v0 +
v ср =
2
2
2
2
Вектор перемещения равен
r
r
r
aΔt ⎞
aΔt 2
r r
⎛r
Δr = v ср ⋅ Δt = ⎜v0 +
⎟ ⋅ Δt = v0 Δt +
2 ⎠
2
⎝
Таким образом, кинематическое уравнение для вектора перемещения при равнопеременном движении
r
aΔt 2
r r
Δr = v0 Δt +
2
Вектор перемещения зависит от времени движения. Если начальный момент времени t0 = 0, то формулу вектора перемещения можно
записать так:
r
r r
a ⋅t2
Δr = v0 ⋅ t +
2
Вектор перемещения зависит от времени во второй степени или зависит от квадрата времени (t2). Это квадратичная зависимость.
Уравнение проекции вектора перемещения на ось OX:
a ⋅t2
Δrx = v0x ⋅ t + x
r r r
r2
r
Мы знаем, что Δr = r − r0 , где r и r0 – радиус-векторы, определяющие положение тела в моменты времени t и t0 = 0.
189
Уравнение радиус-вектора
r
r
r r r
a ⋅t2
r r r
a ⋅t2
или r = r0 + v0 ⋅ t +
r − r0 = v0 ⋅ t +
2
2
Запишем уравнение проекции радиус-вектора на ось OX:
ax ⋅ t 2
.
rx = r0 x + v0x ⋅ t +
2
5.3. Уравнение координаты
Тело
r движется прямолинейно по оси OX с постоянным ускорением a = const .
r
В момент времени t 0 = 0 скорость тела равна v 0 и тело находится
в точке с координатой x0 , а момент времени t тело находится в точке с
r
координатой x и имеет скорость v . Проекция вектора перемещения на
ось OX равна изменению координаты тела за время движения t :
Δrx = rx – r0x = x – x0. Так как
a ⋅t2
a ⋅t2
Δrx = v0x ⋅ t + x
, то x − x0 = v0x ⋅ t + x
.
2
2
ax ⋅ t 2
– это уравнение координаты.
Тогда x = x0 + v0x ⋅ t +
2
Координата x для равнопеременного движения зависит от квадрата времени. Из математики известно, что график квадратичной зависимости y = ax 2 + bx + c – это парабола. Вид параболы зависит от коэфax ⋅ t 2
– это уравнение пафициентов a,b,c. Уравнение x = x0 + v0x ⋅ t +
2
раболы, и график координаты от времени – кривая линия – парабола.
Рассмотрим возможные случаи равнопеременного движения тела и
построим графики зависимости координаты от времени.
Ускоренное
Замедленное
Ускоренное
Замедленное
движение в подвижение в по- движение в от- движение в отложительном
рицательном
ложительном
рицательном
направлении оси направлении оси направлении оси направлении оси
OX
OX
OX
OX
r
a
0
x0
r
a
r
v
X
0
r
v
r
v
x0
X
0
190
r
a
r
a
r
v
x0
X
0
x0
X
r
r
a ↑↑ v
v 0x = v 0
ax = a
x = x0 + v 0 ⋅ t +
r
r
r
r
r
r
a ↑↓ v
a ↑↑ v
a ↑↓ v
v0x = v0
v0x = −v0
v0x = −v0
a x = −a
a x = −a
ax = a
Уравнение координаты для каждого тела:
a t2
2
x = x0 + v 0 ⋅ t −
a t2
2
x = x0 − v 0 ⋅ t −
a t2
2
x = x0 − v 0 ⋅ t +
a t2
2
График зависимости координаты от времени:
x
x
x
x
x0
x0
x0
t
x0
t
t
tост
tост
t
Запишем уравнение координаты, общее для всех рассмотренных случаев движения тел
a t2
x = x0 ± v 0 ⋅ t ±
2
Знак (±) в формуле зависит от направления движения
5.4. Уравнение и график пути
Найдем уравнение пути и построим график зависимости пути от
времени.
При прямолинейном движении путь равен модулю проекции
вектора перемещения. Проекция вектора перемещения на ось OX равax ⋅ t 2
, поэтому можем записать
на Δrx = v0x ⋅ t +
2
ax ⋅ t 2
ax ⋅ t 2
= ΔS = S или S = x − x0 = v 0x ⋅ t +
| Δrx |= v0x ⋅ t +
2
2
– это уравнение пути для равнопеременного движения. Это квадратичная зависимость. Путь для равнопеременного движения зависит от
квадрата времени. График квадратичной зависимости – парабола. График пути – это парабола, которая всегда начинается в начале координат.
При t0 = 0 путь всегда равен нулю. Путь – это физическая величина,
которая всегда больше нуля.
191
Рассмотрим возможные случаи равнопеременного движения по оси
OX и построим графики пути от времени движения.
Ускоренное
Замедленное
Ускоренное
Замедленное
движение в подвижение в по- движение в от- движение в отрицательном
ложительном
ложительном
рицательном
направлении оси направлении оси направлении оси направлении оси
OX
OX
OX
OX
r
a
0
r
a
r
v
x0
r
r
a ↑↑ v
v0x = v0
ax = a
0
X
= v0 ⋅ t +
r
r
a ↑↓ v
v0x = v0
a x = −a
X
= v0 ⋅ t −
a t2
=
2
at
= v0 t +
2
X
x0
= - v0 ⋅ t −
= v0 t +
r
a
r
v
S = x − x0 =
at 2
= v0 t −
2
2
0
S = x − x0 =
=
2
x0
r
a
r
r
a ↑↑ v
v0x = −v0
a x = −a
Уравнение пути для каждого тела:
S = x − x0 =
a t2
r
v
r
v
a t2
2
at 2
2
0
x0
r
r
a ↑↓ v
v0x = −v0
ax = a
X
S = x − x0 =
=
= - v0 ⋅ t +
= v0 t −
a t2
2
=
at 2
2
График зависимости пути от времени:
S
S
S
S
t
t
t
tост
t
tост
Запишем уравнение пути, общее для всех рассмотренных случаев движения тел
a t2
S = v0 ⋅ t ±
2
Знак (±) в формуле зависит от направления движения тела и от того,
равноускоренно или равнозамедленно оно движется
192
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
r
Если скорость тела v = const , то такое движение равномерное.
r
Если скорость тела непостоянная v ≠ const , но ускорение
r
постоянное a = const , то это движение равнопеременное.
Для равнопеременного движения среднее ускореr
ние = мгновенное ускорение = ускорение a .
Направления векторов ускорения и скорости совпадают
r
v
при равноускоренном движении (a ↑↑ v ) .
Направления векторов ускорения и скорости противопоr
v
ложны при равнозамедленном движении (a ↑↓ v ) .
ЗАПОМНИТЕ!
Векторные кинематические уравнения прямолинейного равнопеременного движения:
r
a = const
– уравнение ускорения
r r
r
– уравнение скорости
v = v 0 + at
r 2
r r
a ⋅t
Δr = v0 ⋅ t +
– уравнение вектора перемещения
2
r
a ⋅t2
r r r
– уравнение радиус-вектора
r = r0 + v0 ⋅ t +
2
Скалярные кинематические уравнения прямолинейного равнопеременного движения:
ax = ± a – уравнение проекции ускорения на ось OX
v x = ±v0 ± at – уравнение проекции скорости на ось OX
ax ⋅ t 2
Δrx = v0x ⋅ t +
– уравнение проекции вектора пере2
мещения на ось OX
a t2
x = x0 ± v 0 ⋅ t ±
– уравнение координаты
2
a t2
S = v0 ⋅ t ±
– уравнение пути.
2
193
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Сделайте надписи к рисункам. Запишите кинематические уравнения движения.
1.
r
v
0
r
a
4.
r
a
r
v
X
0
X
0
3.
2.
r
a
r
v
X
r
a
r
v
0
X
Упражнение 2. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Движение, прямолинейное движение, прямолинейное равномерное
движение, совершать, совершить, отношение, постоянный, переменный,
определять, определить, сравнение, сравнить, выражать, выразить, совпадать, совпасть, единица измерения.
Движение, прямолинейное движение, прямолинейное равномерное
движение, прямолинейное равномерное движение по оси, прямолинейное равномерное движение в положительном направлении оси, прямолинейное равномерное движение в плоскости, прямолинейное равномерное движение в пространстве.
Вектор, вектор скорости, вектор скорости равномерного движения,
вектор скорости равен, вектор скорости равен отношению, вектор скорости равен отношению вектора перемещения ко времени. Вектор скорости изменяется, вектор скорости не изменяется.
Уравнение движения, уравнение движения имеет вид.
Упражнение 3. Решите задачи и ответьте на вопросы.
1. Тело движется равноускоренно с ускорением 2 м/с2 в отрицательном направлении оси OX. Начальная скорость тела равна 5 м/с. Начальная координата тела равна нулю. Напишите уравнения проекции
скорости, проекции ускорения на ось OX. Напишите уравнения коорди194
наты и пути тела от времени движения. Постройте графики этих зависимостей.
2. Тело движется равнозамедленно из начала координат в положительном направлении оси OX. Начальная скорость тела 30 м/с. Ускорение тела 6 м/с2. Напишите уравнения проекции ускорения, проекции
скорости, координаты и пути тела от времени. Постройте графики проекции ускорения, скорости, координаты и пути от времени движения.
3. Тело движется равноускоренно без начальной скорости из точки
с координатой 2 м в положительном направлении оси OX. Ускорение
тела равно 4 м/с2. Напишите уравнения движения для проекций ускорения и скорости, координаты и пути. Постройте графики пути, проекции
скорости и ускорения от времени движения.
4. Тело движется равнозамедленно в отрицательном направлении
оси OX. Начальная координата тела 20 м, начальная скорость тела 50
м/с, ускорение равно 5 м/с2. Через сколько времени тело остановится?
Чему равна координата тела в этот момент времени? Какой путь пройдет тело до остановки? Постройте графики пути, проекции скорости,
ускорения и координаты тела от времени.
5. Два тела движутся навстречу друг другу. Первое тело начинает
двигаться равноускоренно из начала координат без начальной скорости
с ускорением 5 м/с2. Второе тело движется равнозамедленно из точки с
координатой 10 м с начальной скоростью 10 м/с и ускорением 5 м/с2. В
какой момент тела встретятся? Чему равна координата встречи? Чему
равна скорость каждого тела в момент встречи? Какой путь пройдет каждое тело до встречи?
6. Два тела движутся в положительном направлении оси OX. Первое тело начинает двигаться равноускоренно из начала координат со
скоростью 10 м/с и ускорением 2 м/с2 . Второе тело начинает двигаться
из точки с координатой 20 м без начальной скорости с ускорением 2
м/с2. В какой момент времени первое тело догонит второе? Чему равна
координата встречи? Какой путь пройдет каждое тело до встречи? Чему
равна скорость каждого тела в момент встречи?
195
Упражнение 4. Решите задачи, используя графики.
1. Дан график зависимости проекции
скорости тела от времени. Построить графики зависимостей координаты, перемещения и пути от времени, если начальная
координата тела равна нулю.
v x , м\с
20
10
t, c
0
2. Дан график зависимости ускорения
тела от времени движения. Написать
уравнения зависимостей проекции скорости и координаты от времени. Построить
графики зависимости проекции скорости,
координаты и пути от времени движения,
если x0 = 0, v0 = 0 .
3. Дан график зависимости проекции
скорости от времени. Построить графики
зависимостей пути и координаты от времени, если начальная координата x0 = 0.
Определить средние скорости перемещения и пути за 2 с и 6 с.
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
2
4
6
8
ax, м\с 2
2
1
0
2
4
t, c
8
-2
vx , м \ с
3
2
1
0
-1
-2
t,c
1
2
3
4
5
6
Физические термины
Неравномерное (переменное) движение
– это такое движеr
ние, когда скорость изменяется v ≠ rconst (она переменная величина); ускорение не равно нулю a ≠ 0 (движение с ускорением).
Равнопеременным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени скорость тела
изменяется на одинаковую величину.
r
r
Уравнение a (t ) = const = a0 – это уравнение равнопеременного
движения.
196
4.
Если тело движется равнопеременно, то за любой промежуток времени Δt (и за Δt → 0 ) изменение скорости одинаковое
(одно и то же). Значит мгновенное ускорение тела во всех
точках траектории в любой момент времени постоянное и
r r
равно среднему ускорению тела. a = aср = const .
r
5. Уравнение
равнопеременного
движения
a = const ,
r r
r
v = v 0 + aΔt . Уравнение проекции скорости и ускорения на
ось OX: v x = v 0x + a x ⋅ Δt ; ax = const.
6. График зависимости проекции скорости от времени – это прямая линия, наклонная к оси времени. Тангенс угла наклона
графика определяется проекцией ускорения на ось OX.
7. График зависимости проекции ускорения от времени – это
прямая линия, параллельная оси времени.
ax ⋅ t 2
– это уравнение параболы,
8. Уравнение x = x0 + v0x ⋅ t +
2
и график координаты от времени – кривая линия – парабола.
9. Путь для равнопеременного движения зависит от квадрата
времени. График квадратичной зависимости – парабола. График пути – это парабола, которая всегда начинается в начале
координат. При t0 = 0 путь всегда равен нулю. Путь – это физическая величина, которая всегда больше нуля.
10. Векторные кинематические уравнения прямолинейного равнопеременного движения:
r r
r
r
a = const – уравнение ускорения, v = v 0 + at – уравнение скоr
a ⋅t2
r r
– уравнение вектора перемещения,
рости, Δr = v0 ⋅ t +
2
r
a ⋅t2
r r r
– уравнение радиус-вектора
r = r0 + v 0 ⋅ t +
2
11. Скалярные кинематические уравнения прямолинейного равнопеременного движения:
ax = ± a – уравнение проекции ускорения на ось OX,
v x = ±v0 ± at – уравнение проекции скорости на ось OX,
ax ⋅ t 2
– уравнение проекции вектора перемещеΔrx = v0x ⋅ t +
2
a t2
– уравнение координаты,
ния на ось OX, x = x0 ± v 0 ⋅ t ±
2
a t2
– уравнение пути.
S = v0 ⋅ t ±
2
197
ТЕМА 6. СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ. УСКОРЕНИЕ
СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
Новые слова и словосочетания
падать
безвоздушный
падение
время падения
притягивать
притяжение
вакуум
сила
высота
сила тяжести
полет
точка падения
приземляться
точка приземления
обозначать, обозначить
свободный
полюс
экватор
Свободное падение – это движение (падение) тел в вакууме под
действием силы тяжести (под действием притяжения Земли или другой
планеты). Вакуум – это пространство, где нет воздуха (безвоздушное
пространство). Падение – это движение вниз, к Земле.
Свободное падение – это равноускоренное прямолинейное
движение
без начальной скороr
r
g
сти v0 = 0 .
N
r
g
Ускорение этого движения –
ускорение свободного падения
r
g
(обозначают буквой g ).
Вектор ускорения свободного паr
Земля
дения g направлен к центру Земr
ли. Модуль ускорения свободного
g
r
g
падения в различных точках Земли
S
разный. Ускорение свободного падения изменяется от полюса к экr
ватору. На полюсе g = 9,83 м / 2 , на экваторе
с
r
м
g = 9,78 / 2 .
с
r
g
Рассмотрим свободное падение тела без начальной скорости.
Свободное падение тела – это равнопеременное движение. Поэтому для изучения свободного
198
падения можно использовать уравнения равнопеременного движения.
Падение тела вниз, к Земле – это равноускоренное движение
r
r
( g ↑↑ v ), и модуль скорости увеличивается. В момент падения на Землю тело будет иметь скорость, не равную нулю. Эта скорость называетr
r
ся скоростью падения тела v пад . Вектор v пад направлен вниз, к центру Земли.
Время движения от начального момента времени t0 = 0 до момента
падения на Землю называется временем падения тела tпад.
Рассмотрим свободное падение тела в системе отсчета, связанной с
Землей. Тело отсчета – Земля.
Тело в начальный момент времени t0 = 0 находилось
в точке на
r
высоте h от поверхности Земли и имело скорость v0 = 0 .
Сделаем рисунок и свяr
Y
v0 = 0
t0=0
жем с телом отсчета систему
h
координат XOY. Ось OY наr
r
правим вверх, ось OX совg
r0
падает с поверхностью Земли.
h – высота, с которой паt
y
h
дает тело – это начальная коr
r
(
)
g
v t
ордината тела по оси OY.
r
r (t )
Тело движется в отрицательном направлении оси
r
OY с ускорением g .
tпад
Земля
Запишем
уравнения
r
равнопеременного движеr
g
0
X
vпад
ния в векторном виде:
r
g = const
r r
r
v = v 0 + gt
r
g ⋅t2
r r
Δr = v0 ⋅ t +
2
r
g ⋅t2
r r r
r = r0 + v0 ⋅ t +
2
r
r
gt 2
r r
S = r − r0 = v0 t +
2
– уравнение ускорения
– уравнение скорости
– уравнение вектора перемещения
– уравнение радиус-вектора
– уравнение пути.
199
Уравнения движения в проекции на ось OY:
g y = const
v0y = 0 ; g y = g cos 180° = − g ;
r0 y = y0 = h , ry = y .
Тогда
g y = −g
v y = v0y + g y t
ry = r0 y + v0y t +
g yt 2
2
S = ry − r0 y = v 0y t +
g yt 2
vy = −g t
или
2
y=h−
g t2
2
gt 2
S = y−h = −
2
В момент падения на Землю t = tпад проекция скорости v y = v пад , а
2
gt пад
, а путь, пройy = 0 . Тогда можно записать v пад = − gt пад ; 0 = h −
2
2
gt пад
.
денный телом за время падения S = h =
2
Решим систему уравнений и получим формулы для времени tпад
падения и проекции скорости падения v пад :
2h
;
v пад = − 2 gh .
g
Знак минус в формуле показывает, что проекция скорости падения
отрицательна. Скорость падения направлена противоположно оси OY.
Модуль скорости падения равен v пад = 2 gh .
t пад =
Графики проекции уравнений движения на ось OY от времени
Уравнение для проекции
Уравнение для проекции скорости:
v y = − gt
ускорения: g y = − g
gy
vy
tпадение
t
О
О
t
vпад
-g
График проекции скорости
График проекци ускорения
200
Уравнение пути:
gt 2
S = −
2
Уравнение координаты:
gt 2
y =h−
2
S
Y
h
h
t
0
t
0
tпадение
График координаты
О
t 0=0
g
v0 = 0
y
График пути
X
ry
t
tпадение
H
Рассмотрим свободное падение
этого же тела относительно другой
системы отсчета.
Сделаем рисунок и выберем
систему координат XOY . Ось OY
направим вниз, ось OX совпадает с
Y tпад
начальным положением тела. В наЗемля
чальный момент времени тело находилось на высоте H над Землей.
Тело движется в положительном направлении оси OY с ускореr
нием g .
Запишем уравнения равнопеременного движения в векторном
виде:
r
g = const
– уравнение ускорения
r r
r
v = v 0 + gt
– уравнение скорости
r 2
g ⋅t
r r
Δr = v 0 ⋅ t +
– уравнение вектора перемещения
2
r
r r r
g ⋅t2
– уравнение радиус-вектора
r = r0 + v 0 ⋅ t +
2
r
r
gt 2
r r
S = r − r0 = v0 t +
– уравнение пути
2
v
h
201
Уравнения движения в проекции на ось OY:
g y = const
v0y = 0 ;
g y = g cos 0° = g ;
r0 y = y0 = 0 , ry = y .
Тогда
gy = g
v y = v0y + g y t
ry = r0 y + v0y t +
g yt 2
2
S = ry − r0 y = v 0y t +
g yt 2
vy = g t
или
2
y=
g t2
2
gt 2
S=
2
В любой момент времени t проекция скорости v y = gt ; координаgt 2
gt 2
та y =
, высота тела над Землей h = H − y = H −
.
2
2
В момент падения на Землю ( h = 0 ) координата y = H ,
H =
2
gt пад
2
. Время падения тела на Землю t пад =
тогда
2H
. Скорость, с коg
торой тело упадет на Землю v пад = gt пад = 2 gH . Путь, пройденный телом, равен S = H.
Графики проекции уравнений движения на ось OY от времени
Уравнение для проекции
Уравнение для прекции скорости:
v y = gt
ускорения: g y = g
gy
vy
vпад
g
О
t
t
О
tпадение
График проекции скорости
График проекции ускорения
202
Уравнение пути:
gt 2
S=
2
Уравнение для координаты:
gt 2
y=
2
Y
S
H
H
0
t
0
tпадение
График координаты
t
tпадение
График пути
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Тело свободно падает – значит, его начальная скорость
равна нулю.
Если начальная скорость тела не равна нулю – то тело бросили вниз.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Падать, тело падает, тело падает вертикально вниз, падение, свободное падение, вакуум; тело падает в вакууме, высота; падать с высоты, тело свободно падает с высоты, бросать, бросить, тело, брошенное
вниз, время подъёма; время падения, скорость падения, скорость бросания.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Тело свободно падает с высоты 10 м без начальной скорости.
Чему равна скорость падения? Сколько времени тело падало? Найдите
среднюю скорость движения.
2. Тело свободно падало на Землю 30 с. С какой высоты упало тело? С какой скоростью оно упало на Землю?
203
3. Тело свободно падает с высоты без начальной скорости. Последние 98 м оно прошло за 2 с. С какой высоты упало тело? Сколько
времени тело падало? Чему равна скорость падения?
4. Тело свободно падает с высоты 80 м. Какой путь проходит тело
за последнюю секунду падения?
5. Аэростат находится на высоте 320 м. Из аэростата падает тело.
Через сколько времени тело упадет на Землю, если: 1) аэростат находится в состоянии покоя; 2) аэростат движется вниз со скоростью 5 м/с;
3) аэростат движется вверх со скоростью 5 м/с.
6. С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально вниз
тело с высоты 200 м, чтобы оно упало на Землю через 4 с.
7. За какое время тело, которое бросают вертикально вниз со скоростью 20 м/с, проходит путь 160 м? Чему равна скорость тела в этот
момент времени?
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Физические термины
Свободное падение – это движение (падение) тел в вакууме
под действием силы тяжести (под действием притяжения Земли или другой планеты).
Вакуум – это пространство, где нет воздуха (безвоздушное
пространство).
Свободное падение – это равноускоренное прямолинейное
движение вниз к Земле без начальной скорости.
Ускорение этого движения – ускорение свободного падения
(обозначают буквой g ).
В момент падения на Землю тело будет иметь скорость, не
равную нулю. Эта скорость называется скоростью падения
r
тела v пад .
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
204
r
g = const
r r
r
v = v 0 + gt
7.
– уравнение ускорения
– уравнение скорости
r
g ⋅t2
r r
Δr = v 0 ⋅ t +
– уравнение вектора перемещения
2
r
r r r
g ⋅t2
– уравнение радиус-вектора
r = r0 + v 0 ⋅ t +
2
r
r
gt 2
r r
S = r − r0 = v 0 t +
– уравнение пути
2
Кинематические уравнения движения в проекции на ось OY:
g y = const
v y = v0y + g y t
y = y0 + v0y t +
g yt 2
2
S = y − y0 = v0y t +
g yt 2
2
205
ТЕМА 7. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО
ВЕРТИКАЛЬНО ВВЕРХ
Новые слова и словосочетания
бросать, бросить
поднимать
брошенный
подъём
брошенный вверх
высота подъёма
подниматься
точка приземления
высота
свободный полет
приземляться
Бросить тело вверх означает сообщить ему начальную скорость
r
(v 0 ≠ 0 ). Начальная скорость направлена вертикально вверх. Ускореr
ние свободного падения g всегда направлено вниз (к центру Земли).
Поэтому движение тела
r равнопеременное, тело движется с ускорением
свободного падения g .
В начальный момент времени тело находится на поверхности Земли. В момент времени t0 = 0 тело бросили вверх с начальной скоростью
r
v0 .
Запишем уравнения равнопеременного движения в векторном
виде:
r
g = const
– уравнение ускорения
r r
r
v = v 0 + gt
– уравнение скорости
r 2
g ⋅t
r r
Δr = v 0 ⋅ t +
– уравнение вектора перемещения
2
r
r r r
g ⋅t2
– уравнение радиус-вектора
r = r0 + v 0 ⋅ t +
2
r
r
gt 2
r r
S = r − r0 = v0 t +
– уравнение пути.
2
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Движение тела, брошенного вертикально вверх – это равнопеременное движение с ускорением свободного падения
r
g.
206
Движение тела можно разбить на два этапа:
I этап: тело движется вертикально вверх равнозамедленно (подъr
ём) (v < v 0 , g = const ); тело поднимается на максимальную высоту H
r
и останавливается (v = 0 );
II этап: тело свободно падает вниз (падение). Оно движется равноускоренно.
Рассмотрим движение тела в одномерной системе отсчета.
Y
B
g
A
I этап
vB = 0
Y
II этап
B vB = 0
g
v
r
v0
v
h = S1
S2
H
r
h
A
v1
подъём
падение
Запишем уравнения движения.
I этап. Подъём. Движение вертикально вверх с начальной скороr
стью v 0 из точки A в точку B .
Уравнение движения тела в проекции на ось OY:
g y = const
g y = − g ; v0y = v0 ,
тогда r0 y = y0 = 0 , ry = y ,
g y = −g
v y = v0y + g y t
ry = r0 y + v0y t +
g yt 2
2
S = ry − r0 y = v0y t +
g yt 2
или
2
v y = v 0 − gt
gt 2
y = v0 t −
2
gt 2
S = v0 t −
2
Высоту подъёма тела над Землей можно найти по формуле
gt 2
, где h – высота подъёма тела за время движения t от
y = h = v 0t −
2
Земли (над Землей).
207
На максимальной высоте y max = H тело остановится, его скорость
r
равна нулю v В = 0 . Тогда время t1 = tподъема подъёма тела на максимальную высоту можно найти из уравнения скорости 0 = v 0 − gt1 , или
v
t1 = 0 .
g
Максимальная высота подъёма тела (путь, пройденный телом за
gt12 v 02
gt12
время подъёма S = v 0 t1 −
) y max = H = v 0t1 −
=
или время
2
2g
2
2H
.
подъёма t1 =
g
II этап. Свободное падение. Тело свободно падает (начальная
r
скорость тела в точке B равна нулю v B = 0 , в момент времени t0 = 0
положение тела определяется координатой y0 = H относительно тела отсчета – Земли).
Уравнение движения тела в проекции на ось OY:
g y = const
Теперь тело движется против
оси OY, поэтому:
v y = v0y + g y t
g y = − g ; v0y = 0 и v y = − gt ,
2
g yt
r0y = y0 = H
ry = r0 y + v0y t +
(t – время движения от точки В к
2
Земле) Знак (–) показывает, что
g yt 2
проекция скорости движения (паS = ry − r0 y = v0y t +
2
или дения) направлена против оси OY.
g y = −g
vy = −g t
y=H−
g t2
2
gt 2
S = y−H = −
2
Модуль скорости в любой момент времени v = gt , а путь, пройденный телом от точки В равен S 2 = ( gt 2 ) / 2 . Высота тела над Землей
h = y = H − S2 = H −
gt 2
.
2
208
Когда тело упадет на Землю, то в точке A (точке падения) модуль
скорости тела в момент падения v пад = gt пад , где t пад – время падения.
В момент времени t = 0 положение тела определяется координатой
y0 = H .
При t = tпад тело упадет на Землю и координата y = 0, тогда уравне2
gt пад
2H
, то (v пад ) y = − 2 gH , а
ние движения 0 = H −
или t пад =
g
2
модуль скорости падения v пад
v 12
= v1 = 2 gH или S 2 = H =
.
2g
v 02
Максимальная высота подъёма H =
равна пути, который про2g
v12
. Из этих формул видно, что
2g
начальная скорость подъёма тела равна конечной скорости свободного
падения с максимальной высоты. Следовательно, скорость падения равна начальной скорости по модулю и противоположна по направлению
r
r
r
r
v1 = v 0 , v 1 = −v 0 .
ходит тело в свободном падении H =
Время подъёма тела на максимальную высоту t1 =
2H
g
(или
v0
) равно времени падения тела с максимальной высоты
g
v
2H
v
v
(или t падение = 1 ), значит t падение = 1 = 0 . Общее время
t пад =
g
g
g
g
движения тела из точки A в точку B и обратно равно
v
v
2v
tобщее = tподъем + tпадение ,
tобщее = 0 + 0 = 0 .
g
g
g
v
При подъёме (когда t ≤ t подъем = 0 ) уравнения пути, координаты и
g
gt 2
.
При t = tподъем S1 = H .
высоты совпадают y = h = S1 = v 0 t −
2
v
Когда тело начинает падать ( t ≥ t подъем = 0 ), уравнение пути приg
нимает вид S = S1 + S 2 ,
t подъем =
209
2
gt 2
2
v 02
v 02 1 ⎛ v 0 ⎞
gt 2
1 ⎛ v0 ⎞
− v 0t +
.
= H + g ⎜⎜ t − ⎟⎟ =
+ g ⎜ t − ⎟⎟ ; S =
S=H+
2
2 ⎝
g ⎠
2 g 2 ⎜⎝
g⎠
2
g
2
gt пад
. Тогда
Когда тело снова вернулось в точку А, то S 2 = H =
2
время движения равно t = tобщее = t подъем + t падение , а общий путь, пройденный телом за это время S = 2H.
Графики проекции скорости и проекции ускорения на ось OY
от времени. Графики пути и координаты от времени тела,
брошенного вертикально вверх
Чтобы построить графики проекции скорости, ускорения на ось OY
от времени, запишем и проанализируем уравнения движения тела, брошенного вверх.
Подъём
Падение
g y = − g = const
g y = − g = const
v y = v0y + g y t = − gt
v y = v0y + g y t = v0 − gt
y = y0 + v0y t +
g yt 2
2
gt 2
S = v0 t −
2
gt 2
= v0 t −
2
gy
y = y0 + v0y t +
S=
vy
v0
t
О
О
−
gt
2
g yt 2
2
gt 2
=H−
2
2
равнозамедленное
движение tпадение
tподъем
-v0
-g
t
равноускоренное
движение
График скорости
График ускорения
Y
ymax
S
H
tподъем
t
t
tпадение
tподъем
График координаты
tпадение
График пути
В интервале времени [0, tподъем] графики пути и координаты совпадают, а в интервале [tподъем, tпадение] координата тела уменьшается, а путь
продолжает увеличиваться.
210
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Падать, тело падает вниз, падение, время падения, скорость падения, подниматься, подъём, время подъёма, высота подъёма, тело бросили вертикально вверх, тело бросили вертикально вниз, тело брошено
вертикально вверх, движение тела, брошенного вертикально вверх, тело
поднимается вертикально вверх, тело останавливается, тело свободно
падает.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Тело бросили вертикально вверх. Оно упало на Землю через 8 с.
На какую высоту поднялось тело? С какой скоростью его бросили? С
какой скоростью оно упало на землю?
2. Тело бросили вертикально вверх. Оно поднялось на высоту 30 м.
С какой скоростью бросили тело? Сколько времени оно поднималось?
3. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Чему равна скорость тела в момент времени 4 с? На какой высоте будет тело в
этот момент времени? Сколько времени тело поднималось? Чему равна
высота подъёма?
4. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какую
максимальную высоту поднимется тело? Сколько времени тело будет
подниматься? В какой момент времени тело будет находиться на высоте
3 м?
5. Тело находилось на высоте 15 м над Землей. Его бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какую высоту поднимется тело
относительно Земли? Через какое время тело упадет на Землю? Чему
равна скорость падения?
6. С высоты 8 м над поверхностью Земли начинает свободно падать
тело. Одновременно с высоты 5 м бросают вертикально вверх другое
тело с начальной скоростью 3 м/с. Написать уравнения координат тел и
найти место их встречи. Выбрать за начало отсчета поверхность Земли.
211
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Физические термины
Бросить тело вверх означает сообщить ему начальную скоr
рость (v 0 ≠ 0 ). Начальная скорость направлена вертикально
вверх.
Движение тела, брошенного вертикально вверх – это равнопеr
ременное движение с ускорением свободного падения g .
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
r r
r
r
g = const – уравнение ускорения; v = v 0 + gt – уравнение скоr
g ⋅t2
r r
рости; Δr = v0 ⋅ t +
– уравнение вектора перемещения;
2
r
g ⋅t2
r r r
r = r0 + v0 ⋅ t +
– уравнение радиус-вектора;
2
r
r
r r
gt 2
– уравнение пути
S = r − r0 = v 0 t +
2
Движение тела можно разбить на два этапа:
I этап: тело движется вертикально вверх равнозамедленно
r
(подъём) (v < v 0 , g = const ); тело поднимается на максиr
мальную высоту H и останавливается (v = 0 );
II этап: тело свободно падает вниз (падение). Оно движется
равноускоренно.
Максимальная высота подъёма тела – путь, пройденный телом за время подъёма.
Кинематические уравнения движения в проекции на ось
OY:
Подъём
Падение
g y = − g = const
g y = − g = const
v y = v0y + g y t = − gt
v y = v0y + g y t = v0 − gt
y = y0 + v0y t +
S = v0 t −
g yt 2
2
gt 2
= v0 t −
2
2
gt
2
y = y0 + v0y t +
S=
212
−
g yt 2
gt
2
2
2
gt 2
=H−
2
ТЕМА 8. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Новые слова и словосочетания
криволинейное
под углом
горизонт
под углом к горизонту
учитывать, не учитывать
траектория
парабола
совокупность
искусственный
брошенный
дальность
полет
вакуум
принцип
суперпозиция
подчиняться
8.1. Принцип суперпозиции движений
И в природе, и в технике очень часто встречаются движения, траектории которых представляют не прямые, а кривые линии. Такие движения называют криволинейными.
По криволинейным траекториям
v
движутся в космическом пространстве Y
B
C
планеты и искусственные спутники, а y
D
на Земле – всевозможные тела, части
v
v
машин и т.д.
Δr
v
y0
А
При криволинейном движении решать задачи механики труднее потому,
что это движение сложнее прямолиней- О
x
x0
X
ного. Например, при движении тела по
плоскости XOY изменяются одновременно две координаты x и y . Направление движения, т.е. направление вектора скорости также все время
меняется. Изменяться может и направление вектора ускорения. При
этом могут изменяться и модули скорости и ускорения. Таким образом,
криволинейное движение – сложное движение.
При изучении сложного движения можно использовать принцип
(правило) суперпозиции (сложения) движений. Положение точки в
r
любой момент времени t можно определить радиус-вектором r (t ) , скоr
r
рость – вектором скорости v(t) , ускорение – вектором ускорения a (t ) .
Изменение радиус-вектора, вектора скорости и вектора ускорения во
времени – это кинематические уравнения движения тела. Векторный
r
характер закона движения r (t ) позволяет представить его в виде суммы
r
r
двух любых других законов движения r1 (t ) и r2 (t ) , таких, что
r
r
r
r
r (t ) = r1 (t ) + r2 (t ) . В этом случае говорят, что движение r (t ) есть
213
r
r
сумма (или суперпозиция) движений r1 (t ) и r2 (t ) . Принципу суперпозиции подчиняются все векторные величины: вектор перемещения, скорость, ускорение.
r
v
Y
1
r
Δr2
r
r
Δr
r
r
v2
r2
v
r
Δr1
r
r0
r
r
r02
r
r
r1
r
r01
0
X
Движение тела в плоскости XOY можно представить как сумму
(совокупность, суперпозицию) двух движений: движения по оси OX
и движения по оси OY.
Рассмотрим два случая криволинейного движения.
8.2. Движение тела, брошенного
в горизонтальном направлении
Рассмотрим движение
тела в вакууме, брошенного горизонтально с
r
начальной скоростью v 0 на высоте h . Движение тела можно рассматривать как сумму двух движений:
О
v0
x
X
g
y
r
vx = v0
А
vy
Y
H=Sy
v
B
Sx=L
214
1) горизонтального
(равномерного)
со скороr
стью v 0 по оси OX;
2)
вертикального
свободного падения (равноускоренное rдвижение с
ускорением g ) по оси
OY.
Примем за начало
отсчета точку O , из которой брошено
тело со
r
скоростью v 0 , направленной горизонтально.
Ось OX направим горизонтально, а ось OY – вертикально вниз.
Движение тела по оси OX
Движение тела по оси OY
Тело по оси OX движется
равно- Тело по оси OY движется равнопеr
ременноr (равноускоренно) с ускомерно со скоростью v 0 .
рением g .
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
r
r
r
r
g y = g = const
v x = v 0 = const
r r
r
r
r
r
Δrx = v0 t
v y = v0y + gt , так как v0y = 0 , то
r
r r
r
rx = r0 x + v0 t , так как rox = 0 , то vry = grt
r r
r
rx = v0 t
r gt 2
Δry =
2
r
gt 2
r
r r
, так как r0 y = 0 , то
ry = r0 y +
2
r2
r gt
ry =
2
Кинематические уравнения движения в скалярной форме:
в проекции на ось OX:
в проекции на ось OY:
v 0 x = v0 = const – уравнение про- g y = g = const – уравнение проекекции скорости;
ции ускорения;
x = v0 t – уравнение координаты;
v y = gt – уравнение проекции скоΔrx = ( x − x0 ) = v0 t – уравнение рости;
проекции вектора перемещения;
gt 2
Δry = y − y0 =
– уравнение
S x = v0 t – уравнение пути.
2
проекции вектора перемещения;
gt 2
– уравнение координаты;
y=
2
gt 2
– уравнение пути.
Sy =
2
В любой момент времени t проекция скорости v y = gt ; координаgt 2
та y =
, высота тела над Землей
2
215
gt 2
.
h=H−y=H−
2
В момент падения на Землю ( h = 0 ) координата y = H ,
H=
тогда
2
gt пад
2H
. Время падения тела на Землю t пад =
. Скорость, с коg
2
торой тело упадет на Землю v y пад = gt пад = 2 gH . Путь, пройденный
телом за время падения по оси OY, равен Sy = H.
Положение тела в какой-то момент времени t в точке A может
gt 2
.
2
Тогда уравнение траектории тела, брошенного горизонтально,
g
y = 2 x 2 . Это уравнение параболы.
2v0
r
gt 2
r r r r
.
Вектор перемещения r = rx + ry = v 0t +
2
быть определено координатами x и y , где x = v 0 t ,
y=
Скорость тела в точке
по каr Ar (мгновенная
r скорость)
r
r направлена
r
r
сательной к траектории v = v 0 + gt или v = v x + v y , где v x – скорость
r
движения тела по оси OX, v y – скорость движения по оси OY. Модуль
мгновенной скорости v = v 02 + (gt ) 2 .
В момент падения на Землю скорость в точке падения (в точке B)
будет равна v B = v02 + ( gt пад ) 2 = v02 + 2 gH .
Расстояние, которое тело пролетит по горизонтали, пока не упадет
на землю, называется дальность полета L. Время падения тела t пад с
высоты H равно времени движения по оси OX. За это время тело по оси
OX пройдет расстояние Sx = L. Запишем уравнения движения тела по
оси OX и по оси OY до точки B (до точки падения):
S x = L = v 0t пад (по оси OX);
Тогда
2H
.
L =v0
g
2
gt пад
(по оси OY).
Sy = H =
2
дальность полёта тела, брошенного
216
горизонтально
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Криволинейное движение, брошенное горизонтально тело, тело
движется по параболе, дальность полета, сложение движений, принцип
суперпозиции, криволинейное движение – это сложное движение.
Движение тела по кривой линии – это криволинейное движение.
Движение тела, брошенного горизонтально, состоит из двух простых прямолинейных движений.
В горизонтальном направлении тело движется равномерно и прямолинейно.
В вертикальном направлении тело движется равноускоренно. Эти
движения не зависят друг от друга.
Тело, брошенное горизонтально, движется по параболе.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Тело находилось на высоте 25 м над Землей. На этой высоте его
бросили горизонтально со скоростью 20 м/с. Напишите уравнения проекций скорости на оси OX и OY и уравнения координат x(t) и y(t). По
какой траектории будет двигаться тело? Чему равна дальность полета?
Через какое время тело упадет на Землю? Чему равна скорость падения?
2. Тело бросили со стола горизонтально с начальной скоростью
3 м/с. В момент падения на Землю скорость тела равна 5 м/с. Найти высоту стола.
3. Тело бросили горизонтально из окна, которое находится на высоте 25 м над Землей. Начальная скорость тела равна 10 м/с. На каком
расстоянии от основания дома тело упадет на Землю?
4. Тело бросили горизонтально. Начальная скорость тела равна
15 м/с. Через какое время скорость тела будет направлена под углом 45°
к горизонту?
5. Тело бросили горизонтально с высоты 2 м. Тело упало на Землю на расстоянии 7 м от места бросания. Найти модули начальной и конечной скорости тела.
217
6. Из одной точки одновременно бросили два тела: одно вертикально вверх, другое горизонтально. Начальная скорость каждого тела
равна 15м/с. Найти расстояние между телами через 1,5 с.
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Физические термины
Если траектории движения кривая линия, то такое движение
криволинейное.
При изучении сложного движения можно использовать принцип (правило) суперпозиции (сложения) движений.
r
Векторный характер закона движения r (t ) позволяет представить его в виде суммы двух любых других законов движения
r
r
r
r
r
r1 (t ) и r2 (t ) , таких, что r (t ) = r1 (t ) + r2 (t ) . В этом случае говоr
рят, что движение r (t ) есть сумма (или суперпозиция)
r
r
движений r1 (t ) и r2 (t ) . Принципу суперпозиции подчиняются
все векторные величины: вектор перемещения, скорость, ускорение.
Движение тела в плоскости XOY можно представить как сумму (совокупность, суперпозицию) двух движений: движения
по оси OX и движения по оси OY. Движение тела можно рассматривать как сумму двух движений:
r
а) горизонтального (равномерного) со скоростью v 0 по оси
OX;
b) вертикального свободного
падения (равноускоренное двиr
жение с ускорением g ) по оси OY.
Тогда уравнение траектории тела, брошенного горизонтально,
g
y = 2 x 2 . Это уравнение параболы.
2v0
Расстояние, которое тело пролетит по горизонтали, пока не
упадет на землю, называется дальность полета L. Дальность
полета равна S x = L = v 0t пад .
Кинематические уравнения движения тела, брошенного горизонтально:
218
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
r
r
r
r
v x = v 0 = const
g y = g = const
r r
r
r
r
Δrx = v0 t
v y = v0y + gt ,
r
r r
r
r
r
rx = r0 x + v0 t ,
так
как
0
v
=
,
то
v
=
g
t
0y
y
r
r r
r
так как rox = 0 , то rx = v0 t
r gt 2
Δry =
2
r
r r
gt 2
,
ry = r0 y +
2
r
r
r gt 2
так как r0 y = 0 , то ry =
2
8.
9.
Кинематические уравнения движения в скалярной форме:
в проекции на ось OX:
в проекции на ось OY:
v 0 x = v0 = const – уравнение
g y = g = const – уравнение
проекции скорости;
проекции ускорения;
x = v0 t – уравнение координа- v y = gt – уравнение проекции
ты;
скорости;
Δrx = ( x − x0 ) = v0 t – уравнеgt 2
Δ
=
−
=
– уравнеr
y
y
y
0
ние проекции вектора пере2
мещения;
ние проекции вектора переS x = v0 t – уравнение пути.
мещения;
gt 2
– уравнение коордиy=
2
наты;
gt 2
– уравнение пути.
Sy =
2
Время падения тела на Землю t пад = 2 H / g . Скорость, с которой тело упадет на Землю v y пад = gt пад = 2 gH .
Скорость тела в точке A (мгновенная
скорость)
по
r r
r r направлена
r
r
r
касательной к траектории v = v 0 + gt или v = v x + v y , где v x
r
– скорость движения тела по оси OX, v y – скорость движения
по оси OY. Модуль мгновенной скорости v = v 02 + (gt ) 2 .
10. В момент падения на Землю скорость в точке падения (в точке
B) будет равна v B = v02 + ( gt пад ) 2 = v02 + 2 gH .
219
8.3. Движение тела, брошенного под углом
к горизонту
r
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью v 0 в
вакууме. Движение тела, брошенного под углом к горизонту – это криволинейное движение. Траектория движения представляет собой параболу.
Y
vA
vy
B
v0x
А
v0
v0y
α
О
v0x
v0x hmax
g
C
vy
v0x
Sx=L
vC
D vx(D)
β
vy(D)
X
vD
При изучении криволинейного движения можно использовать
принцип (правило) суперпозиции (сложения) движений. Изучаемое
движение складывается из двух движений:
1) равномерного и прямолинейного движения по оси OX;
2) равнопеременного движения тела по оси OY (сначала равнозамедленное движение вверх с ускорением свободного падения до максимальной высоты подъема, а затем свободное падение вниз без
начальной скорости).
Примем заr начало отсчета точку O , из которой брошено тело
со скоростью v 0 под углом α к горизонту. Ось OX направим гориr
зонтально, а ось OY – вертикально вверх. Разложим скорость v 0 на
r
r
составляющие v 0 x и v 0 y . Таким образом, начальная скорость двиr
жения тела по оси OX равна v 0 x , а начальная скорость движения по
r
оси OY равна v 0 y .
Запишем кинематические уравнения движения по оси OX и по оси
OY.
220
Движение тела по оси OX:
Движение тела по оси OY:
Тело по оси OX движется равно- Тело по оси OY движется
r равнопеr
мерно со скоростью v 0 x .
ременно с ускорением g
1.
от точки O до точки B равнозамедленно с начальной скороr
стью v 0 y ;
2.
от точки B до точки D равноускоренно с начальной скоростью
равной нулю.
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
r
r
r
v0x = const
g y = g = const
r r
r
r
r
Δrx = v0x t
v y = v0y + gt ,
r
r r
r
r
rx = r0 x + v0x t , так как rox = 0 , то
gt 2
r r
r r
Δry = v0y t +
rx = v0x t
2
r
r
r r
gt 2
,
так
как
ry = r0 y + v0y t +
2
r
r
gt 2
r r
r0 y = 0 , то ry = v0y t +
2
Кинематические уравнения движения в скалярной форме:
в проекции на ось OX:
в проекции на ось OY:
v 0 x = v0 cosα = const – уравнение
проекции скорости;
x = v0x t – уравнение координаты;
Δrx = ( x − x0 ) = v0x t – уравнение
проекции вектора перемещения;
S x = v0x t – уравнение пути.
g y = − g = const – уравнение проекции ускорения;
v0y = v0 sin α
v y = v oy − gt – уравнение проекции скорости;
gt 2
Δry = ( y − y0 ) = v0y t −
– урав2
нение проекции вектора перемещения;
gt 2
– уравнение коорy = v0y t −
2
динаты;
gt 2
– уравнение пути.
S y = v0y t −
2
221
ЗАПОМНИТЕ!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту – это
r
движение с ускорением свободного падения g .
Кинематические уравнения движения тела, брошенного под углом
к горизонту, имеют вид:
v x (t ) = v0x = v0 cosα = const
g y = − g = const
x(t ) = v0x t = v0 cosα ⋅ t
v y (t ) = v0y − gt = v0 sin α − gt
gt 2
gt 2
y (t ) = v0y t −
= v0 sin α ⋅ t −
2
2
Из кинематических уравнений движения тела, брошенного под
углом к горизонту, можно найти все физические величины, характеризующие сложное криволинейное движение.
Время подъёма тела до точки B – t подъём .
По оси OY от точки O до точки B тело движется равнозамедленно, поэтому в точке B проекция скорости на ось OY равна нулю. Время движения до точки B – время подъёма t подъём . Из уравнения проекции скорости по оси OY: v y ( B) = v0y − gt подъём = v0 sin α − gt подъём = 0 ,
v0 ⋅ sin α
.
g
Максимальная высота подъёма – hmax .
В момент t подъём тело находится на максимальной высоте hmax (координата y в момент t подъём равна hmax ). Из уравнения движения по оси
найдем t подъём =
gt 2
gt 2
, найдем hmax .
= v0 sin α ⋅ t −
2
2
2
gt подъём
(v0 sin α ) 2
hmax = v0 sin α ⋅ t подъём −
.
=
2
2g
Время движения тела t дв (от точки О до точки D).
Точка D – это точка падения тела на Землю. В момент падения на
Землю координата тела y по оси OY равна нулю, поэтому из уравнения движения найдем t дв .
OY y (t ) = v0y t −
2
gt
gt 2
y (t дв ) = v0y t дв − дв = v0 sin α ⋅ t дв − дв = 0
2
2
222
t дв = 2
v0 sin α
.
g
Время падения тела (время движения от точки B до точки D) –
t пад .
Время падения тела (время движения от точки B до точки D)
найдем, если из времени движения вычесть время подъёма:
v sin α v0 sin α v0 sin α
. Время падения тела
t пад = t дв − t подъём = 2 0
−
=
g
g
g
t пад (время движения от точки B до точки D) равно времени подъёма тела t подъём .
ЗАПОМНИТЕ!
Когда тело брошено под углом к горизонту, время подъёма
и время падения равны.
r
Скорость падения на Землю v пад .
Найдем проекции скорости тела в момент падения на Землю.
v x ( D) = v x (t дв ) = v пад x = v0x = v0 cosα = const ;
v y ( D) = v пад y = v0y − gt дв = v0 sin α − gt дв = −v0 sin α .
2
2
Модуль скорости падения v пад = v пад
x + v пад y = v 0 . Модуль ско-
рости падения равен модулю начальной скорости v пад = v0 .
ЗАПОМНИТЕ!
Когда тело брошено под углом к горизонту, модуль начальной скорости и модуль скорости падения на Землю
равны.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
r
r
v y (O) ↑↓ v y ( D) – направление составляющих вектора начальной скорости и скорости падения противоположные;
r
r
v y (O) = v y ( D) – модуль проекции скорости падения на
ось OY равен модулю проекции начальной скорости на эту
же ось.
223
Направление rскорости падения и начальной скорости разное: начальная скорость v 0 направлена вверх под углом α к горизонту, а скоr
рость падения v пад – вниз под углом α к горизонту. Из рисунка вид-
v пад y
− v0 sin α
= tgα или β = α .
v пад x
v0 cosα
Дальность полета S x = L (расстояние, которое пролетело тело
за время полета по оси OX).
Из уравнения пути по оси OX найдем дальность полета:
S x = L = v0x t дв или x(tдв ) = v0x t дв = v0 cosα ⋅ t дв = L ;
но, что tgβ =
=
v0 sin α
, получим
g
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
подставим в уравнение t дв = 2
L=
v02 sin 2α
.
g
Дальность полета будет максимальной, когда sin 2α = 1 ,
следовательно α = 45° . Таким образом, если тело бросить
под углом α = 45° к горизонту, то дальность полета будет
v 02
максимальной S max =
.
g
Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом
к горизонту можно найти, если известны зависимости координат x(t) и
y(t) от времени.
Найдем уравнение траектории
x
и подx(t ) = v0 cosα ⋅ t , из этого уравнения найдем t: t =
v0 cosα
gt 2
ставим в уравнение координаты y(t): y (t ) = v0 sin α ⋅ t −
.
2
После подстановки получим:
2
⎞
x
g ⎛
x
g
x2
⎟⎟ = tgα ⋅ x − ⋅
y ( x) = v0 sin α ⋅
− ⋅ ⎜⎜
.
v0 cosα 2 ⎝ v0 cosα ⎠
2 (v0 cosα )2
Из уравнения видно, что координата y зависит от x2 – это квадратичная зависимость. Значит линия y = f(x)
– парабола. Поэтому траектория тела, брошенного под углом к горизонту – парабола.
224
Мгновенная скорость в любой момент времени. В произвольный
момент времени проекции скорости на оси OX и OY равны:
v x (t ) = v0x = v0 cos α = const и v y (t ) = v0y − gt = v0 sin α − gt ,
тогда мгновенная скорость тела, брошенного под углом к горизонту
в любой момент времени в любой точке траектории направлена по
касательной к траектории и равна
v = v x2 + v y2 =
(v0 cosα )2 + (v0 sin α − gt )2 .
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Касательная; касательная к траектории; касательная к траектории в
точке; мгновенная скорость; тело, брошенное горизонтально; тело,
брошенное под углом к горизонту; парабола; тело движется по параболе; дальность полета; дальность полета тела; горизонтальная дальность
полета тела; максимальная высота подъёма; высота подъёма над Землей.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Тело бросили под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью 60 м/с. С какой скоростью оно упадет на Землю? Сколько времени
тело будет двигаться? Чему равна дальность полета?
2. Тело бросили под углом α = 45° к горизонту. Оно упало на Землю на расстоянии 200 м от точки бросания. Чему равна начальная скорость тела? Сколько времени тело поднималось? На какую высоту поднялось тело? Сколько времени двигалось тело? С какой скоростью тело
упало на Землю?
3. Тело бросили под углом α = 60° к горизонту. Тело поднялось на
высоту 100 м. Чему равна начальная скорость тела? Сколько времени
тело поднималось? Сколько времени тело падало? Чему равно время
движения? Чему равна дальность полета?
4. Тело бросили под углом α = 45° со скоростью 20 м/с. На какую
высоту поднимется тело? Сколько времени тело будет подниматься? В
225
какой момент времени тело будет находиться на высоте 5 м над Землей?
Постройте графики зависимости координат x = f(t) и y = f(t).
5. На высоте 20 м над Землей тело бросили под углом α = 60° к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Напишите кинематические
уравнения движения тела. По какой траектории будет двигаться тело?
Сколько времени тело будет подниматься? На какую высоту над Землей
поднимется тело? Сколько времени тело будет падать? Чему равна
дальность полета? Чему равна скорость падения? Чему равно время движения?
6. Два тела бросили из одной точки под углами α1 и α2 к горизонту. Тела упали на Землю в одном месте. Найти отношение начальных
скоростей тел.
Упражнение 3. Составить и решить задачу по рисунку.
Y
tпод=?
r
v01
tдв=?
H
O
r
v02
hmax=?
α
L=?
X
Упражнение 4. Составить и решить задачу по рисунку.
Y
стенка
r
v0 = ?
H
α=?
O
L
X
226
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
Физические термины
1.
При изучении криволинейного движения можно использовать
принцип (правило) суперпозиции (сложения) движений.
Изучаемое движение складывается из двух движений:
а) равномерного и прямолинейного движения по оси OX;
б) равнопеременного движения тела по оси OY (сначала равнозамедленное движение вверх с ускорением свободного падения до максимальной высоты подъема, а затем свободное
падение вниз без начальной скорости).
2.
Кинематические уравнения движения
Кинематические уравнения движения в векторной форме:
r
r
r
v0x = const
g y = g = const
r r
r
r
r
Δrx = v0x t
v y = v0y + gt ,
r
r
r r
r
rx = r0 x + v0x t , так как rox = 0 ,
r r
gt 2
r r
Δry = v0y t +
то rx = v0x t
2
r
r
gt 2
r r
ry = r0 y + v0y t +
, так как
2
r
r
gt 2
r r
r0 y = 0 , то ry = v0y t +
2
Кинематические уравнения движения тела, брошенного под
углом к горизонту, в скалярной форме имеют вид:
v x (t ) = v0x = v0 cos α = const g y = − g = const
x(t ) = v0x t = v0 cosα ⋅ t
v y (t ) = v0y − gt = v 0 sin α − gt
3.
4.
5.
gt 2
gt 2
y (t ) = v0y t −
= v0 sin α ⋅ t −
2
2
v ⋅ sin α
Время подъёма тела t подъём = 0
.
g
Максимальная высота подъёма
2
gt подъём
(v0 sin α ) 2
=
.
hmax = v0 sin α ⋅ t подъём −
2
2g
227
6.
7.
8.
v 0 sin α
. Когда тело брошено
g
под углом к горизонту, время подъёма и время падения равны.
скорость падения на Землю v пад = v 0 . Когда тело брошено
под углом к горизонту, модуль начальной скорости и модуль
скорости падения на Землю равны.
Дальность полета S x = L (расстояние, которое пролетело
Время движения тела t дв : t дв = 2
v02 sin 2α
тело за время полета по оси OX): L =
. Дальность
g
полета будет максимальной, когда sin 2α = 1 , следовательно
α = 45° . Таким образом, если тело бросить под углом α = 45°
к горизонту, то дальность полета будет максимальной
v 02
.
S max =
g
9. Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом
к горизонту – уравнение параболы. Траектория движения –
парабола.
10. Мгновенная скорость тела, брошенного под углом к горизонту в любой момент времени в любой точке траектории направлена по касательной к траектории и равна
v = v x2 + v y2 =
(v0 cos α )2 + (v0 sin α − gt )2 .
8.4. Равномерное движение материальной точки
по окружности
Новые слова и словосочетания
угловая скорость
угловое перемещение
центральный угол
полный центральный угол
радиус окружности
длина окружности
длина дуги
длина дуги окружности
вращение
частота вращения
угол поворота
период
периодическое движение
оборот
центростремительное
нормальное
Движение по окружности – это криволинейное движение. Траектория движения – окружность.
228
Материальная точка
движется по окружности
Δl
Δl
из точки А в точку В, ее
В
ϕ0 В
r(t0) Δϕ
R Δϕ
положение изменяется
r(t)
ϕ
относительно точки О.
О
О
X
Точка О – центр окружX
ности. В любой момент
времени положение материальной точки однозначно определяется углом φ между осью OX и
r
радиус-вектором r , проведенным из точки О к материальной точке
(угловая координата). При движении точки угол φ изменяется. За время
движения Δt угол изменился на Δφ (или радиус-вектор повернулся на
угол Δφ).
А
А
Для нахождения положения точки в любой момент времени нужно
знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько
изменился угол за время движения Δφ, тогда φ = φ0+Δφ.
Так как точка движется по окружности, то модуль радиус-вектора
r
r в любой момент времени – это постоянная величина и равная R. R –
радиус окружности.
Δφ – центральный угол (угол между двумя радиус-векторами
r
r
r (t 0 ) и r (t ) , определяющими положение точки на окружности в моменты времени t0 и t = t0+Δt).
Единица измерения центрального угла – 1 радиан (1 рад) или 1
градус (1°). В системе СИ угол измеряется в радианах.
( Часть окружности между (точками А и В – это дуга окружности
Δl . Длина дуги окружности Δl это расстояние, которое прошла точка
за время Δt движения по окружности.
Центральный угол равен 1 ра(
диану, если длина дуги Δl равна радиусу окружности R. (Δφ = 1
рад, если Δl = R). Значит, длину дуги Δl можно найти, если умножить центральный угол (в радианах) на радиус окружности R:
Δl = R ⋅ Δϕ .
Если материальная точка сделала полный оборот по окружности
(снова вернулась в точку А), то полный центральный угол равен 2π
радиан (π = 3,1415926535…). Тогда длина всей окружности равна
l = 2πR .
229
Угловые кинематические характеристики
движения материальной точки по окружности
1. Угловое перемещение.
Если точка движется по окружности, то радиус-вектор поворачивается. За время движения Δt = t – t0 радиус-вектор повернулся на угол
Δφ.
r
Δϕ – угловое перемещение точки за время Δt. Угловое перемещение – это вектор, направление которого определяется по правилу
буравчика (правого винта) и связано с наv
правлением движения точки по окружности.
Если буравчик вращать по направлению
Δϕ
R
v
движения точки по окружности, то поступательное движение буравчика совпадает с наr
О Δφ
правлением вектора Δϕ . На рисунке вектор
r
Δϕ направлен «от нас», перпендикулярно рисунку и проходит через точку О. Направление
«от нас» на рисунке изображается маленьким
r
кружочком с крестиком внутри ⊗. (Говорят, что вектор Δϕ направлен
«от нас» по оси вращения. Ось вращения – это прямая, которая проходит через точку О перпендикулярно плоскости вращения точки).
Направление «к нам» на рисунке изображается маленьким кружочком с точкой внутри .
2. Угловая скорость.
Средняя угловая скорость – это физическая величина, которая
определяет быстроту вращения точки по окружности. Средняя угловая скорость равна отношению углового перемещения к промежутку
времени, за который это перемещение произошло:
r
r
Δϕ
ωср =
.
Δt
Средняя угловая скорость – это вектор, коА v
торый направлен также как вектор углового
r
В
перемещения Δϕ (по оси вращения). На рисунке
Δϕ
R
v
точка движется по часовой стрелке, поэтому вектор угловой скорости направлен «от нас» за чертеж
О
ω
перпендикулярно плоскости чертежа по оси вращения, проходящей через точку O . Символически
это на рисунке изображается маленьким кружочком с крестиком внутри ⊗.
230
r
Мгновенная угловая скорость ω – это средняя угловая скорость за очень маленький промежуток времени:
r
r
r
Δϕ dϕ
ω = lim
=
.
Δt → 0 Δt
dt
Вектор мгновенной угловой скорости направлен также как
вектор средней угловой скорости.
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду ( рад/с или с–1 ).
3. Линейная скорость вращения.
Если точка переместилось за время движения из точки А в точку В,
r
r
то вектор перемещения Δr направлен из точки А в точку В. Δr – это
вектор линейного перемещения точки. Средняя линейная скорость двиr
r
Δr
. Вектор средней линейной скорости нажения точки равна v ср =
Δt
r
правлен по направлению вектора линейного перемещения Δr
r
r
(v ср ↑↑ Δr ).
t0
A
t
B
(
Δl
r
v ср
r
Δr
r
v
r
v
O
r
v
r
v
r
Мгновенная линейная скорость v (линейная скорость) – это
средняя линейная скорость за очень маленький промежуток времени.
r
r
r
r
Δr
r
v = lim v ср = lim
. Когда Δt → 0, Δr → 0 и вектор v направлен по каΔt →0
Δt →0 Δt
сательной к траектории (окружности).
Мгновенная линейная скорость в каждой
точке направлена по касательной к траектории движения (окружности).
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
При равномерном движении точки по окружности, скорость не изменяется по модулю, но изменяется по направлению.
231
4. Период и частота вращения.
Время, за которое точка совершает один полный оборот по окружности, называется периодом. Если за время t точка делает N полных оборотов по окружности, то время, за которое точка совершает 1
t
оборот – это период вращения T = .
N
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Время, за которое точка делает один оборот или время одного оборота.
2π
.
ω
Число полных оборотов точки за единицу времени (за 1 секунN
1
или v = .
Тогда
ду) называется частотой вращения
v=
t
T
2π
ω=
= 2πv .
T
Частота вращения – это величина обратная периоду. Частота обозначается буквой v (ню) и измеряется в Герцах. 1 Гц = 1 с –1. Частота
также измеряется в оборотах за единицу времени: об/с, об/мин, об/час.
Если линейная скорость точки, равномерно движущейся по окружности v , то за время равное периоду T, точка проходит по окружности
2πR
путь, равный длине окружности 2πR , тогда v =
= 2πRv = ωR , или
T
v
ω= .
R
За один оборот радиус R поворачивается на угол 2π , тогда T =
5. Нормальное (центростремительное) ускорение.
Если точка движется по окружности, то направление вектора линейной скорости непрерывно изменяется. Значит, равномерное движение по окружности – ускоренное движение (движение с ускорением).
r r
r
r v − v 0 Δv
=
.
Ускорение, как известно, определяется равенством a =
t
Δ
t
Δ
r
Векторr ускорения направлен также как Δv . Из рисунка видно,
r что вектор Δv направлен внутрь окружности. Если Δt → 0 , то Δv будет на232
правлен к центру окружности. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ускорение во всех точках окружности «устремлено» к ее центру. Поэтому это ускорение
v0
Δv
называется центростремительным ускореB
A
v
Δϕ
нием или нормальным ускорением. Норr
r
an
an
мальное (центростремительное) ускорение
v
характеризует изменение линейной скорости
R
Δϕ
по направлению. Вектор нормального ускоr
рения an направлен к центру окружности
О
по радиусу.
Δv
Так как ускорение an =
. При малых углах Δϕ поворота радиуса
Δt
v ⋅ ω ⋅ Δt
Δv = v ⋅ Δϕ , а Δϕ = ω ⋅ Δt . Тогда an =
=v ⋅ω .
Δt
Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения лиv2
v
нейной скорости только по направлению. Так как ω = , то an =
R
R
2
или an = ω R .
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
r
Вектор нормального ускорения an направлен к центру
окружности по радиусу.
Вектор линейной скорости направлен по касательной.
Касательная перпендикулярна радиусу окружности,
поэтому вектор нормального ускорения
r перпендикуляr
рен вектору линейной скорости: an ⊥ v .
6. Кинематические уравнения равномерного движения
материальной точки по окружности
Равномерным движением по окружности называют движение по
окружности с постоянной по величине и переменной по направлению
r
r
скоростью, т.е. v = const , но v ≠ const . В этом случае модули средней
и мгновенной линейных скоростей равны.
r
Если Δt → 0 , то Δr = Δl , тогда
r
Δr
Δl
R ⋅ Δϕ
Δϕ
v = lim v ср = lim
= R lim
= R ⋅ω .
= lim
= lim
Δt →0
Δt →0 Δt
Δt →0 Δt
Δt →0
Δt →0 Δt
Δt
233
r
r
Из уравнения видно, что если v = const , то ω = const . При рав-
номерном движении точки по окружности угловая скорость вращеr
r
ния постоянная ω = ωср = ω0 = const (направление движения не меняется). Говорят, что точка равномерно вращается с угловой скоr
ростью ω0 . Кинематическое уравнение угловой скорости равномерного
r
r
движения материальной точки по окружности: ω = const = ω0 .
r
Δϕ
Так как ωср =
, то угловое перемещение можно найти по форΔt
r r
муле Δϕ = ωср Δt – кинематическое уравнение углового перемещения в
векторной форме.
r
r
Вектор Δϕ и вектор ωср направлены одинаково, поэтому проекr
ция углового перемещения на ось вращения равна Δϕ = ωср Δt = ω0 Δt –
кинематическое уравнение перемещения в скалярной форме.
В любой момент времени положение материальной точки одноr
значно определяется углом φ между осью OX и радиус-вектором r ,
проведенным из точки О к материальной точке (угловой координатой).
Поэтому φ = φ0+Δφ или ϕ = ϕ 0 + ω0 Δt – это кинематическое уравнение угловой координаты материальной точки на окружности.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Кинематические уравнения материальной точки, движущейся
РАВНОМЕРНО
РАВНОМЕРНО И
ПО ОКРУЖНОСТИ:
ПРЯМОЛИНЕЙНО
вдоль оси ОХ:
r
r
r
r
v = const = v0 – уравнение век- ω = const = ω0 – уравнение
тора скорости;
вектора угловой скорости;
r
r r
r r
Δr = v ср Δt = vΔt – уравнение Δϕ = ωср Δt – уравнение вектора углового перемещения;
вектора перемещения;
Δrx = v x Δt – уравнение проек- Δϕ = ωср Δt = ω0 Δt – уравнение
ции вектора перемещения на проекции вектора углового пеось ОХ;
ремещения на ось вращения;
x = x0 + v0 Δt – уравнение ко- ϕ = ϕ 0 + ω0 Δt – уравнение угординаты материальной точки. ловой координаты.
234
ЗАПОМНИТЕ!
Физические величины, характеризующие вращательное
движение точки:
T =t/N
– период вращения;
v = N / t или v = 1 / T – частота вращения;
2π
ω=
= 2πv
– угловая скорость вращения;
T
v
2πR
v=
= 2πRv = ωR , или ω = – связь линейной и углоT
R
вой скорости вращения;
v2
или an = ω 2 R – связь нормального ускорения с
an =
R
линейной и угловой скоростью вращения;
r r
Δϕ = ωср Δt или Δϕ = ωср Δt = ω0 Δt – кинематическое уравнение углового перемещения;
ϕ = ϕ 0 + ω0 Δt – кинематическое уравнение угловой координаты.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте и повторяйте слова и словосочетания.
Угол; угол поворота; радиус-вектор; угол поворота радиусвектора; радиан; угловая скорость; период, оборот; полный оборот;
время одного оборота; число оборотов; правило правого винта; правило
буравчика; направление вектора; направление вектора определяется по
правилу; вращение буравчика; поступательное движение буравчика; если вращать буравчик по направлению движения точки по окружности;
поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора;
центростремительное ускорение; нормальное ускорение; вектор центростремительного ускорения; направление вектора нормального ускорения.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Точка движется по окружности равномерно. За 3 с радиус повернулся на угол 45°. Найдите период вращения и угловую скорость.
235
2. Точка движется по окружности с угловой скоростью 3 рад/с.
Найдите период, частоту вращения. На какой угол повернется радиус за
20 с? Сколько оборотов сделает тело за это время?
3. Точка движется по окружности равномерно с частотой 3 об/с.
Радиус окружности 60 см. Чему равен период вращения, угловая скорость, линейная скорость и нормальное ускорения точки?
4. Точка движется по окружности радиусом 0,5 м равномерно. Оно
делает 60 об/мин. Найдите период, частоту вращения, угловую скорость. Чему равна линейная скорость и нормальное ускорение точки?
5. Точка равномерно движется по окружности радиусом 4 м. Линейная скорость точки равна 20 м/с. Найдите период, частоту, угловую
скорость вращения точки по окружности. Чему равно центростремительное ускорение точки? Сколько оборотов сделает точка за 50 с движения по окружности?
6. Точка движется равномерно по окружности. Точка делает 600
оборотов за 0,5 мин. Радиус окружности 2 м. Определить период, частоту и угловую скорость вращения. Чему равна линейная скорость и
центростремительное ускорение точки?
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
4.
Физические термины
Движение по окружности – это криволинейное движение.
Траектория движения – окружность.
Единица измерения центрального угла – 1 радиан (1 рад) или
1 градус (1°). В системе СИ угол измеряется в радианах.
r
Угловое перемещение Δϕ – это вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (правого винта) и связано с направлением движения точки по окружности.
Правило буравчика (правого винта): если буравчик вращать
по направлению вращения точки по окружности, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектоr
ра Δϕ .
236
Средняя угловая скорость – это физическая величина, которая
определяет быстроту вращения точки по окружности. Средняя угловая скорость – это вектор, который направлен также
r
как вектор углового перемещения Δϕ (по оси вращения).
r
6. Мгновенная угловая скорость ω – это средняя угловая скорость за очень маленький промежуток времени:
r
r
r
Δϕ dϕ
ω = lim
=
.
Δt → 0 Δt
dt
Вектор мгновенной угловой скорости направлен также как
вектор средней угловой скорости.
7. Мгновенная линейная скорость в каждой точке направлена по
касательной к траектории движения (окружности).
8. Время, за которое точка совершает один полный оборот по окружности, называется периодом.
9. Число полных оборотов точки за единицу времени (за 1 секунN
1
ду) называется частотой вращения v =
или v = . Тогда
t
T
2π
ω=
= 2πv .
T
r
10. Вектор нормального ускорения an направлен к центру окружности по радиусу.
11. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения
v
линейной скорости только по направлению. Так как ω = ,
R
2
v
то an =
или an = ω 2 R .
R
12. Кинематические уравнения движения:
Физические величины, характеризующие вращательное движение точки:
t
T=
– период вращения;
N
N
1
v=
или v =
– частота вращения;
t
T
2π
ω=
= 2πv
– угловая скорость вращения;
T
v
2πR
v=
= 2πRv = ωR , или ω =
– связь линейной и угловой
T
R
скорости вращения;
5.
237
v2
или an = ω 2 R – связь нормального ускорения с лиR
нейной и угловой скоростью вращения.
r r
Δϕ = ωср Δt или Δϕ = ωср Δt = ω0 Δt – кинематическое уравнение углового перемещения;
ϕ = ϕ 0 + ω0 Δt – кинематическое уравнение угловой координаты.
an =
8.5. Переменное движение материальной точки
по окружности
Новые слова и словосочетания
тангенциальное
переменное вращение
угловое перемещение
касательная
угловое ускорение
угол поворота
При равномерном движении точки по окружности модуль линейr
ной скорости не изменяется v = v = const , а направление линейной
скорости изменяется, поэтому равномерное движение по окружности –
r
это движение с центростремительным an (нормальным) ускорением.
r
Нормальное ускорение an характеризует быстроту изменения линейной скорости только по направлению. Вектор нормального ускорения
направлен по радиусу окружности к центру.
Переменное вращение – это движение точки по окружности с переменной по модулю линейной скоростью. Так как модуль линейной
скорости изменяется, то угловая скорость вращения также изменяется:
r
r
v = v ≠ const ; ω ≠ const . Физическая величина, характеризующая
быстроту изменения модуля линейной скорости вращения называr
ется тангенциальным ускорением aτ .
Если в момент времени t0 линейная скорость точки v0 , а в момент
времени t линейная скорость точки v , то за промежуток времени
r
Δt = t − t 0 линейная скорость изменилась на Δv = Δv = v - v0 . Модуль
тангенциального ускорения для равнопеременного вращения можно
r
r r
Δv
v − v0
найти по формуле: a τ =
=
.
Δt
Δt
238
Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной
к окружности.
Если тело вращается ускоренно (v >v 0 ), то вектор тангенциальноr
r
го ускорения направлен по вектору скорости ( aτ ↑↑ v ) и v = v0 + aτ ⋅ Δt .
Если тело вращается замедленно (v <v 0 ), то вектор тангенциального
r
r
ускорения направлен
против
вектора скорости ( aτ ↑↓ v ), и
v = v0 − aτ ⋅ Δt . Тангенциальное ускорение – это линейная характеристика движения.
r
r
aτ
aτ
r
r
r
v0
v
v
r
v0
r
aτ
О
r
aτ
О
r
aτ
r
v
r
v
r
aτ
r
r
aτ ↑↓ v
r
r
aτ ↑↑ v
Точка вращается замедленно,
направления тангенциального
ускорения и линейной скорости противоположны
r
r
aτ ↑↓ v
Точка вращается ускоренно,
направления тангенциального
ускорения и линейной скорости совпадают
r
r
aτ ↑↑ v
Полное ускорение
Когда точка движется по окружности переменно, она имеет норr
мальное ускорение an (потому что изменяется направление вектора лиr
r
нейной скорости v ) и тангенциальное ускорение aτ (потому что измеr
r
няется модуль вектора линейной скорости v ). Вектора ускорений an и
r
aτ перпендикулярны друг другу, поэтому полное ускорение точки
равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений
239
r
an
r r
r
a = an + aτ . Полное ускорение имеет две
r
r
составляющие aτ и an , а модуль полно-
r
v
r
aτ
О
r
a
го ускорения равен a = an2 + aτ2 .
Вектор полного ускорения направлен под углом к линейной скорости.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
r
an – это составляющая полного ускорения, направленная
перпендикулярно линейной скорости. Она характеризует
изменение линейной скорости по направлению.
r
aτ – это составляющая полного ускорения, направленная
по касательной к окружности (параллельно скорости). Она
характеризует изменение линейной скорости по модулю.
Угловое ускорение
r
Среднее угловое ускорение ε ср показывает, как изменяется угr r r
r
r
Δω ω − ω 0
ловая скорость за единицу времени: ε ср =
=
, где ω0 – наΔt
Δt
r
чальная угловая скорость в момент времени t0 , ω – угловая скорость в
r
момент времени t, Δω – вектор изменения угловой скорости за промежуток времени Δt = t – t0. Единица измерения углового ускорения – рарад
диан на секунду в квадрате ( 2 = с −2 ).
с
Угловое ускорение – это вектор. Направление вектора углового
r
ускорения ε ср совпадает с направлением вектора изменения углоr
вой скорости Δω .
Мгновенное угловое ускорение – это физическая величина, показывающая изменение угловой скорости за очень маленький промежуток времени ( Δt → 0 ). Мгновенное угловое ускорение равно:
r
r
r
r
Δω dω d 2ϕ
=
= 2 .
ε = lim
Δt →0 Δt
dt
dt
240
Мгновенное ускорение равно первой производной угловой скороr
r
сти ω (t) по времени или второй производной углового Δϕ (t ) перемещения по времени.
Вектор мгновенного ускорения направлен также как вектор измеr
нения угловой скорости Δω .
Единица измерения углового ускорения – радиан в секунду в квадрате (рад/с2).
Изменение угловой скорости вращения связано с изменением линейной скорости движения точки по окружности, а изменение модуля
линейной скорости характеризуется тангенциальным ускорением. Поэтому найдем связь между угловым ускорением и тангенциальным
ускорением:
Δv v − v 0 ( ω − ω 0 ) ⋅ R Δω
aτ =
=
=
=
⋅ R = ε ⋅ R.
t − t0
Δt
Δt
Δt
Кинематические уравнения движения
(уравнения угловых физических величин)
Если точка движется по окружности переменно, угловое ускорение за промежуток времени Δt можно найти по формуле
r r r
r
r
Δω ω − ω0
ε ср =
. Направление вектора углового ускорения ε ср всегда
=
Δt
Δt
r
совпадает с направлением вектора изменения угловой скорости Δω .
r r
r r
r
Поэтому Δω = ε ср ⋅ Δt , а ω = ω0 + ε ср ⋅ Δt – кинематическое уравнение
для вектора угловой скорости при переменном движении точки по
окружности.
r
ω
r
ω0
r
r
ω0
ε
r
Δω
r
ω
r
Δω
r
ε
Точка движется по
окружности ускоренно:
r
r
ε ↑↑ ω
Точка движется по
окружности замедленно:
r
r
ε ↑↓ ω
241
r
ε ср
При ускоренном движении угловая скорость увеличивается и
r
↑↑ ω , тогда уравнение проекции вектора угловой скорости на ось
вращения можно записать ω = ω0 + ε ср ⋅ Δt . При замедленном движеr
r
нии угловая скорость уменьшается и ε ср ↑↓ ω , тогда уравнение проекции вектора угловой скорости на ось вращения можно записать
ω = ω0 − ε ср ⋅ Δt .
Если движение точки по окружности равнопеременное, то
r r
ε ср = ε = ε 0 = const , угловое ускорение – постоянная величина. Векr r
r
тор угловой скорости равен: ω = ω0 + ε 0 ⋅ Δt . Тогда уравнение проекции вектора угловой скорости на ось вращения можно записать с учеr
r
том направления векторов ε 0 и ω : ω = ω0 + ε 0 ⋅ Δt (ускоренное движение) или ω = ω0 − ε 0 ⋅ Δt (замедленное движение) – угловая скорость
такого движения зависит от времени линейно.
Угловое перемещение за время движения Δt можно найти по
аналогии с равнопеременным прямолинейным движением:
r r
r r
r
Δϕ = ωср ⋅ Δt ; ω = ω0 + ε 0 ⋅ Δt ;
r
r r
r
r
r
ω0 + ω ω0 + ω0 + ε 0 ⋅ Δt r ε 0 ⋅ Δt
r
ωср =
=
= ω0 +
2
2
2
r
r
2
ε ⋅ Δt
r
r ε ⋅ Δt
r
тогда Δϕ = (ω0 + 0
– кинематическое урав) ⋅ Δt = ω0 ⋅ Δt + 0
2
2
нение для углового перемещения материальной точки движущейся
по окружности равнопеременно.
Уравнение проекции вектора углового перемещения на ось вращения (угол поворота радиус-вектора за время движения) можно записать
r
r
ε ⋅ Δt 2
с учетом направления векторов ε 0 и ω : то Δϕ = ω0 ⋅ Δt +
при ус2
ε ⋅ Δt 2
коренном движении или Δϕ = ω0 ⋅ Δt −
при замедленном движе2
нии.
Для нахождения положения точки в любой момент времени нужно
знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько
изменился угол за время движения Δφ: φ = φ0+Δφ, поэтому
ε ⋅ Δt 2
– кинематическое уравнение, определяющее
ϕ = ϕ 0 + ω0 ⋅ Δt ±
2
угловую координату материальной точки на окружности в момент
времени t при её равнопеременном движении.
r
242
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Кинематические уравнения равнопеременного движения материальной точки
вдоль оси ОХ:
по окружности:
r
r r
r r
r
a = aср = const = a0 – уравне- ε ср = ε = ε 0 = const – уравнение вектора ускорения;
ние вектора углового ускорения;
r r
r r
r
r
v = v 0 + a0 Δt – уравнение век- ω = ω0 + ε 0 ⋅ Δt – уравнение
тора скорости;
вектора угловой скорости;
r
r 2
r r
ε ⋅ Δt 2
a0 Δt
r r
– уравΔr = v0 Δt +
– уравне- Δϕ = ω0 ⋅ Δt +
2
2
нение вектора углового перение вектора перемещения;
мещения;
Проекции кинематических уравнений материальной
точки, движущейся
равнопеременно ПРЯравнопеременно
ПО
МОЛИНЕЙНО, на ось
ОКРУЖНОСТИ, на ось
ОХ:
вращения:
a x = const – уравнение проек- ε 0 = const – уравнение проекции ускорения на ось ОХ;
ции углового ускорения на ось
вращения;
v x = v0x ± a x ⋅ Δt – уравнение ω = ω0 ± ε 0 ⋅ Δt – уравнение
проекции скорости на ось ОХ; проекции угловой скорости на
ось вращения;
ε ⋅ Δt 2
ax ⋅ t 2
– урав– уравне- Δϕ = ω0 ⋅ Δt ±
Δrx = v0x ⋅ t ±
2
2
ние проекции вектора пере- нение проекции вектора углового перемещения на ось
мещения на ось ОХ;
вращения;
2
ε ⋅ Δt 2
ax ⋅ t
–
ϕ = ϕ 0 + ω0 ⋅ Δt ±
–
x = x0 + v0x ⋅ t ±
2
2
уравнение угловой координауравнение координаты
ты.
Классификация движений
По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное
ускорения, можно классифицировать различные движения точки.
243
r
Если an = 0, то при любых значениях скорости движение точки
происходит по прямой линии. Эту прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса ( R → ∞ ).
r
r
Если aτ = 0 и an = 0, но скорость отлична от нуля, то движение по прямой линии будет равномерным, так как не меняется модуль скорости.
r
В случае an ≠0 движение точки криволинейное, так как меняется
r
r
направление скорости. Когда an ≠0, aτ = 0, то при движении по кривой
линии модуль скорости не меняется – точка движется равномерно.
r
r
Если aτ = 0, an = const, то точка движется равномерно по окружности.
r
r
Если оба ускорения an и aτ отличны от нуля, то точка движется
неравномерно по криволинейной траектории.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте, читайте, повторяйте.
Переменное движение точки по окружности; переменное вращение
точки по окружности; равнопеременное движение по окружности; движение по окружности с переменной линейной скоростью; вращение с
переменной угловой скоростью; равноускоренное вращение; равнозамедленное вращение; нормальное ускорение; тангенциальное ускорение; центростремительное ускорение; касательное ускорение; нормальное ускорение характеризует изменение линейной скорости по направлению; тангенциальное ускорение характеризует изменение линейной
скорости по модулю; вектор нормального ускорения всегда направлен к
центру окружности; вектор тангенциального ускорения направлен по
касательной к окружности; вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору линейной скорости; вектор тангенциального ускорения
направлен по скорости в случае ускоренного движения; вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости в случае замедленного движения.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Точка движется равнозамедленно по окружности радиусом
20 см. За время 3 с
угловая скорость изменилась на величину
Δω = 2 рад/с. Чему равно угловое ускорение точки? Чему равен модуль
244
тангенциального ускорения? Что можно сказать о направлениях тангенциального ускорения и линейной скорости?
2. Точка движется по окружности равноускоренно с угловым ускорением 5 рад/с2 . Радиус окружности 4 м. Начальная линейная скорость
точки 3 м/с. Найдите модуль тангенциального ускорения. Чему равен
модуль нормального ускорения в начальный момент времени? Чему
равно полное ускорение точки в этот момент времени? Сделайте рисунок и покажите векторы нормального, тангенциального и полного ускорений точки в начальный момент времени. Чему равен угол между векторами полного ускорения и линейной скорости?
3. Точка движется равноускоренно по окружности радиусом 0,5 м с
тангенциальным ускорением 2 м/с2 . Начальная угловая скорость точки
8 рад/с. Определите угловое ускорение точки. Чему равна линейная скорость и нормальное ускорение в начальный момент времени?
4. Точка движется равнозамедленно по окружности радиусом 5 м с
тангенциальным ускорением 6 м/с2. Начальная линейная скорость точки
30 м/с. Определите начальную угловую скорость, нормальное ускорение
в начальный момент времени и угловое ускорение точки. Сделайте рисунок и покажите векторы нормального, тангенциального и полного ускорений точки в начальный момент времени. Как направлены векторы
угловой скорости и углового ускорения?
5. Движение точки по окружности радиусом 4 м задано уравнением
ϕ = 1 + 2t + 4t 2 (рад). Определите нормальное ускорение точки через 2 с
от начала движения.
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
Физические термины
Переменное вращение – это движение точки по окружности с
переменной по модулю линейной скоростью.
Физическая величина, характеризующая быстроту изменения
модуля линейной скорости вращения, называется тангенци-
245
3.
4.
5.
6.
7.
8.
r
альным ускорением aτ . Вектор тангенциального ускорения
направлен по касательной к окружности.
Модуль тангенциального ускорения для равнопеременного
r
r r
Δv
v − v0
вращения можно найти по формуле: a τ =
=
.
Δt
Δt
Полное ускорение точки равно векторной сумме нормальноr r
r
го и тангенциального ускорений: a = an + aτ . Полное ускоr
r
рение имеет две составляющие aτ и an , а модуль полного ускорения равен a = an2 + aτ2 .
r
Среднее угловое ускорение ε ср показывает, как изменяется
r r r
r
Δω ω − ω 0
угловая скорость за единицу времени: ε ср =
, где
=
Δt
Δt
r
r
ω0 – начальная угловая скорость в момент времени t0 , ω – угr
ловая скорость в момент времени t, Δω – вектор изменения
угловой скорости за промежуток времени Δt = t – t0. Единица
измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате
рад
( 2 = с −2 ).
с
Мгновенное угловое ускорение – это физическая величина,
показывающая изменение угловой скорости за очень маленький промежуток времени ( Δt → 0 ). Мгновенное угловое ускорение равно:
r
r
r
r
Δω dω d 2ϕ
ε = lim
=
= 2 .
Δt →0 Δt
dt
dt
Мгновенное ускорение равно первой производной угловой
r
скорости ω (t) по времени или второй производной углового
r
Δϕ (t ) перемещения по времени.
Вектор мгновенного ускорения направлен также как вектор
r
изменения угловой скорости Δω .
Связь между угловым ускорением и тангенциальным ускорением:
Δv Δω
aτ =
=
⋅ R = ε ⋅ R.
Δt
Δt
Кинематические уравнения вращательного движения точки:
r r
r
ω = ω0 + ε ср ⋅ Δt – уравнение для угловой скорости в векторном виде;
246
r
r r
ε ⋅ Δt 2
– кинематическое уравнение углового
Δϕ = ω0 ⋅ Δt +
2
перемещения в векторном виде для материальной точки,
движущейся по окружности равнопеременно;
ω = ω0 + ε 0 ⋅ Δt (ускоренное движение) или ω = ω0 − ε 0 ⋅ Δt
(замедленное движение) – уравнения проекции угловой скорости при равнопеременном вращательном движении;
ε ⋅ Δt 2
при ускоренном движении или
Δϕ = ω0 ⋅ Δt +
2
ε ⋅ Δt 2
при замедленном движении – угол повоΔϕ = ω0 ⋅ Δt −
2
рота за время движения по окружности (кинематические
уравнения угла поворота).
247
ТЕМА 9. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Новые слова и словосочетания
твердое тело
система
колесо
ось вращения
совокупность
обод колеса
Любое физическое тело можно представить как (систему) совокупность большого числа материальных точек. Твердое тело – это система
материальных точек, расстояние между которыми при движении
тела не изменяются.
Механическое движение – это изменение положения физического
тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Простейшие виды механического
движения – поступательное и вращательное.
A
Поступательное движение – это
B
движение, при котором отрезок прямой, соединяющий любые две точки
A
тела остается параллельным самому
себе.
B
Самое важное свойство этого
движения – то, что при поступательном движении все точки тела
движутся одинаково. При поступательном движении (прямолинейном
или криволинейном) все точки тела описывают одинаковые траектории, совершают одинаковые перемещения, имеют одинаковые скорости
и ускорения. Поэтому при изучении поступательного движения можно
рассматривать движение одной точки этого тела. Кинематические
уравнения поступательного движения одось вращения
ной материальной точки твердого тела и
всего твердого тела одинаковые.
Вращательное движение – это движение, при котором все точки твердого
тела движутся по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой – оси
вращения.
Разные точки тела движутся по разным
окружностям. Движение каждой точки по
248
A
B
C
окружности повторяется через один поворот тела вокруг оси вращения.
Движение тела повторяется через определенный промежуток
времени – такое движение называется периодическим. Вращательное движение – это периодическое движение.
Рассмотрим вращательное движение
твердого тела относительно оси ОО΄.
При вращении твердого тела точки
А
R1
А, В, С, D движутся по окружностям.
Δϕ
А1
Центры этих окружностей находятся на
одной прямой – оси вращения твердого
В
R2
тела. Ось вращения перпендикулярна к
Δϕ
плоскости вращения каждой точки. За
В1
r
Δϕ
промежуток времени Δt все радиусы окС
R3
ружностей поворачиваются на одинакоΔϕ
вый угол Δφ и имеют одинаковое угловое
С1
r
перемещение Δϕ . Угловое перемещение –
D
R4
Δϕ
это угол, на который поворачивается раD1
диус каждой точки за время движения.
'
Поэтому все точки твердого тела имеют
О
одинаковую
угловую
скорость
r
r
r
r
r
ось вращения
ω A = ω B = ωC = ω D = ω . Значит, угловая
r
скорость ω характеризует вращение
твердого тела и показывает, на какой угол поворачивается твердое
тело в единицу времени.
Линейные параметры разных точек твердого тела (пути, линейные
скорости, тангенциальные и центростремительные ускорения) разные.
Они зависят от радиусов окружностей, по которым движутся точки.
Пример:
v A = ω A ⋅ R1 = ω ⋅ R1
v B = ω B ⋅ R2 = ω ⋅ R2
v C = ωC ⋅ R3 = ω ⋅ R3
v D = ω D ⋅ R4 = ω ⋅ R4 .
Поэтому вращение твердого тела характеризуется только угr
ловыми параметрами: угловым перемещением Δϕ , угловой скороr
r
стью ω и угловым ускорением ε .
О
Угловая скорость – это вектор. Вектор угловой скорости rтвердого тела направлен по оси вращения. Направление вектора ω оп-
249
ределяется по правилу правого винта (правилу
буравчика) или по
r r r
правилу умножения векторов, так как v = ω ⋅ R .
Правило правого винта: вращаем винт так, как вращается твердое тело, поступательное движение винта покажет направление векr
тора угловой скорости ω .
Рассмотрите внимательно рисунки.
[
]
тело
тело
ось
тело
O
r
ω
Рис. 1
O’
O
ось
r
ω
r
ω
O
O’
Рис. 2
тело
ось
ось
Рис. 3
r
O
ω
Рис. 4
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
r
Вектор угловой скорости ω и вектор углового перемещеr
ния Δϕ направлены одинаково – по оси вращения.
r
Направление вектора углового перемещения Δϕ тоже определяется по правилу правого винта.
Также как движение материальной точки по окружности, вращение
твердого тела может быть равномерным и переменным.
Равномерное вращение твердого тела
Равномерное вращение твердого тела – это вращение твердого
r
тела с постоянной угловой скоростью: ω = const . Мгновенная угловая
скорость вращения в этом случае равна средней угловой скорости
r
r r
( ωср = ω = ω0 = const ). Равномерное вращение твердого тела – это периодическое движение. Период вращения твердого тела Т – это время, за которое каждая точка твердого тела делает один полный оборот
по окружности. Частота вращения твердого тела ν – это число оборотов
2π
1
= 2πv .
твердого тела в единицу времени: v = , ω =
T
T
250
r
Угловое перемещение твердого тела Δϕ – это угол, на который
поворачивается твердое тело за время движения Δt = t − t 0 . Если t 0 = 0 ,
то Δt = t .
Кинематические уравнения равномерного вращения твердого
тела такие же, как уравнения равномерного вращения материальной
r
r r
точки по окружности: ωср = ω = ω0 = const ;
r r
Δϕ = ω 0t – уравнение вектора углового перемещения;
Δϕ = ω0t – уравнение проекции вектора углового перемещения на
ось вращения;
ϕ = ϕ 0 + ω0t – уравнение угловой координаты твердого тела.
Переменное вращение твердого тела
Переменное вращение твердого тела – это вращение с переменr
ной угловой скоростью ω ≠ const .
При переменном вращении твердого тела его движение характериr r r
r
Δω ω − ω0
зуется средним угловым ускорением ε ср =
. Модуль сред=
Δt
Δt
Δω ω − ω0
него углового ускорения равен ε ср =
=
.
Δt
Δt
r
r
r
r
Δω dω d 2ϕ
Мгновенное угловое ускорение равно: ε = lim
=
= 2 .
Δt →0 Δt
dt
dt
Мгновенное ускорение равно первой производной угловой скорости
r
r
ω (t) по времени или второй производной углового Δϕ (t ) перемещения
по времени.
Вектор мгновенного ускорения направлен также как вектор измеr
нения угловой скорости Δω .
dω d 2ϕ
Модуль мгновенного углового ускорения равен: ε =
= 2 .
dt
dt
Равнопеременное вращение твердого тела – это вращение с поr
стоянным угловым ускорением: ε = const .
Кинематические уравнения равнопеременного вращения
твердого тела такие же, как уравнения равнопеременного вращения материальной точки по окружности:
в векторной форме
r r
ε = ε 0 = const – уравнение углового ускорения;
r r
r
ω = ω0 + ε 0 ⋅ t – уравнение угловой скорости;
251
r
r
Δϕ = ω0 ⋅ t +
r
ε ⋅t2
– уравнение углового перемещения;
2
в проекции на ось вращения
ε = ε 0 = const – уравнение проекции углового ускорения;
ω = ω0 ± ε 0 ⋅ t – уравнение проекции угловой скорости;
Δϕ = ω0 ⋅ t ±
ε ⋅t2
2
ϕ = ϕ 0 + ω0 ⋅ t ±
тела.
– уравнение проекции углового перемещения;
ε ⋅t2
2
– уравнение угловой координаты твердого
(Знаки « + » или « – » зависят от того, равноускоренно или равнозамедленно вращается твердое тело).
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте, читайте, повторяйте.
Равномерное вращение твердого тела; вращение тела вокруг оси;
ось вращения; поворот; угол поворота; угол поворота радиус-вектора;
угловая скорость; угловое ускорение; полный поворот; время одного
поворота; время одного оборота вокруг оси; частота; число оборотов;
число оборотов в единицу времени; период; угловое перемещение; направление вектора угловой скорости; правило правого винта; правило
буравчика; вращение буравчика совпадает с вращением твердого тела;
поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора
угловой скорости.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Твердое тело вращается равномерно и за время 2 с повернулось
на угол 180°. Определите угловую скорость вращения твердого тела.
2. Твердое тело вращается равнозамедленно с начальной угловой
скоростью 15 с–1. Тело останавливается через 5 с. Определите угловое
ускорение твердого тела. На какой угол повернулось твердое тело и
сколько оборотов оно сделало до остановки?
252
3. Твердое тело начинает вращаться равноускоренно без начальной
угловой скорости. За 10 мин тело сделало 3600 оборотов. Определите
угловое ускорение тела и угловую скорость в момент времени 5 мин.
4. Твердое тело имело начальную угловую скорость 2π с–1. Оно сделало 20 оборотов и остановилось. Определите угловое ускорение, считая движение тела равнопеременным.
5. Диск начинает вращаться равноускоренно без начальной скорости. Угловое ускорение диска 2 с–2, радиус диска 0,5 м. Диск вращается
20 с. Напишите уравнения зависимости угловой скорости и угла поворота от времени. На какой угол повернется диск за это время? Чему
равна угловая скорость диска в этот момент времени? Постройте графики зависимости угловой скорости и угла поворота от времени.
6. Твердое тело вращается равнозамедленно с угловым ускорением
2 с . Начальная угловая скорость равна π с–1. Напишите уравнения зависимости угловой скорости и углового перемещения от времени. На
какой угол повернется тело до остановки. Постройте графики зависимости угловой скорости, углового ускорения и угла поворота от времени.
–2
7. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса
колеса от времени определяется уравнением ϕ = 1 + 2t − 2t 3 (рад). Нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса к концу второй секунды движения, равно 200 м/с2. Определите зависимость от времени
угловой и линейной скоростей, углового и полного линейных ускорений
для точек, лежащих на ободе колеса; радиус колеса.
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
Физические термины
Вращательное движение – это движение, при котором все
точки твердого тела движутся по окружностям с центрами,
лежащими на одной прямой – оси вращения.
Вращение твердого тела характеризуется только угловыми паr
r
раметрами: угловым перемещением Δϕ , угловой скоростью ω
r
и угловым ускорением ε .
253
3.
4.
Кинематические уравнения равномерного вращения твердого тела такие же, как уравнения равномерного вращения
r
r r
материальной точки по окружности: ωср = ω = ω0 = const ;
r r
Δϕ = ω0t – уравнение вектора углового перемещения;
Δϕ = ω0t – уравнение проекции вектора углового перемещения на ось вращения;
ϕ = ϕ 0 + ω0t – уравнение угловой координаты твердого тела.
Кинематические уравнения равнопеременного вращения
твердого тела такие же, как уравнения равнопеременного
вращения материальной точки по окружности:
в векторной форме
r r
ε = ε 0 = const – уравнение углового ускорения;
r r
r
ω = ω0 + ε 0 ⋅ t – уравнение угловой скорости;
r r
1r
Δϕ = ω0 ⋅ t + ε ⋅ t 2 – уравнение углового перемещения;
2
в проекции на ось вращения (знаки « + » или « – » зависят от
того, равноускоренно или равнозамедленно вращается твердое
тело)
ε = ε 0 = const – уравнение проекции углового ускорения;
ω = ω0 ± ε 0 ⋅ t – уравнение проекции угловой скорости;
1
Δϕ = ω0 ⋅ t ± ε ⋅ t 2 – уравнение проекции углового перемеще2
1
ния; ϕ = ϕ 0 + ω0 ⋅ t ± ε ⋅ t 2 – уравнение угловой координаты
2
твердого тела.
254
ТЕМА 10. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Новые слова и словосочетания
период
периодическое движение
цикл
циклическое движение
гармонический
синус
косинус
амплитуда
период
частота
начальная фаза
качели
математический маятник
маятник
Периодическое движение – движение, повторяющееся через равные промежутки времени.
Различают два вида периодических движеА v
ний: вращательное и колебательное.
В
Вращательное движение – движение в одR Δϕ
v ном направлении по плоской (или пространственной) замкнутой траектории. Например, движение
О
ω
материальной точки по окружности, движение
Земли вокруг Солнца и т.д.
Колебательное
движение (колебания) – движение вдоль одного и того же
α
отрезка с изменением направления движения. Например, движения маятника, качели и т.д. Колебания – процесс, при котором значения физических величин (например, смещения, скорости, ускорения) изменяющиеся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени.
Важнейшей характеристикой периодического движения является
период – минимальный промежуток времени, через который движение повторяется.
Гармонические колебания
Простейшим видом колебательного движения являются гармонические колебания – движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Гармоническим колебательным движением (гармоническим
колебанием) называется движение, при котором координата тела
(материальной точки) изменяется по закону: x = A cos(ω0t + ϕ 0 ) или
255
x = A sin(ω 0t + ϕ 0 ) , где A – амплитуда колебаний, ω0 – циклическая
частота, ω0t + ϕ 0 – фаза колебаний, φ0 – начальная фаза.
Так как в выражении x = A cos(ω0t + ϕ 0 ) наибольшее значение косинуса равно единице, то наибольшее по модулю значение координаты
тела равно А. Таким образом, амплитуда – это величина наибольшего
смещения тела от положения равновесия.
Начальная фаза φ0 определяет положение тела в начальный
момент времени: в момент времени t = 0 координата тела равна
x0 = A cos ϕ 0 .
Функция x = A cos(ω0t + ϕ 0 ) является периодической с периодом
2π
; частота колебаний (число колебаний в единицу времеравным T =
ω0
1
.
T
При гармонических колебаниях скорость тела в проекции на ось x
dx
равна: v x =
= − Aω0 sin(ω0t + ϕ 0 ) .
dt
Ускорение тела, совершающего гармонические колебания в проекdv
ции на ось x, равно: a x = x = − Aω02 cos(ω0t + ϕ 0 ) . Ускорение a x может
dt
быть выражено через координату x тела: a x = −ω02 ⋅ x .
Гармоническое колебание
можно наглядно представить,
r
v
Y
рассмотрев периодическое враM
щение материальной точки по
окружности с постоянной скороr
стью.
–A
Пусть материальная точка М
ω0 ϕ
A
равномерно вращается с угловой
О N
X скоростью ω0 по окружности радиуса r с центром в точке О. Ось
x совпадает с одним из диаметров
окружности; x = 0 в точке О. Положение точки М на плоскости в любой момент времени задаётся радиr
ус-вектором r , проведенным к ней из точки О . Точка N – проекция на
ось x точки M – будет совершать гармонические колебания между двумя крайними положениями, координаты которых равны –A и A. Из рисунка видно, что зависимость от времени координаты x точки N опреде-
ни) ν =
256
лятся уравнением x = r cos ϕ = r cos(ω0t + ϕ 0 ) , где ϕ = ω0t + ϕ 0 – угол,
r
который составляет к моменту времени t радиус-вектор r с осью x; при
t = 0 ϕ = ϕ0 .
Таким образом, движение точки N вдоль оси x имеет характер гармонического колебания.
Для описания колебательного движения применяются специальные
термины: координата x , определяющая положение точки N относительно точки О – называется смещением точки N; максимальное смещение материальной точки относительно положения равновесия называетr
r
ся амплитудой колебания xmax = A = r (длина радиус-вектора r ); угловая скорость вращения ω0 называется циклической частотой колеr
баний; а угол ϕ = ω0t + ϕ 0 между радиус-вектором r и осью x в момент
времени t называется фазой колебания. В начальный момент времени
при t = 0 угол φ равен φ0 – начальной фазе. Точка О (точка, в котоr
рой смещение x = 0) – положение равновесия. Так как xmax = A = r , то
x = r cos ϕ = r cos(ω 0t + ϕ 0 ) = A cos (ω0t + ϕ 0 ) – уравнение колебаний.
Для определения скорости колебательного движения по оси x расr
r
v
Y
vy
смотрим произвольное положение
материальной точки на окружности в
r
vx ϕ
M
момент времени t. Скорость материr
альной точки, движущейся по окружr
–A
ω0 ϕ
A
ности, направлена перпендикулярно
r
радиус-вектору
r
и образует с осью y
О
N
X угол φ, равный углу
поворота радиус-вектора в момент времени t. Горизонтальная компонента скорости направлена противоположно оси x. Поэтому проекция скорости на ось x
равна v x = −v sin ϕ = −ω0 r sin ϕ = −ω0 r sin (ω0t + ϕ 0 ) , так как ϕ = ω0t + ϕ 0
r
– угол между радиус-вектором r и осью x в момент времени t; а линейная скорость движения точки по окружности связана с угловой скоростью вращения выражением v = ω0 r .
Так как максимальное смещение материальной точки относительr
но положения равновесия точки О равно амплитуде колебаний A = r
r
(длина радиус-вектора r ), то v x = −ω0 A sin ϕ = −ω0 A sin (ω0t + ϕ 0 ) –
уравнение проекции скорости.
Найдём зависимость проекции ускорения на ось x от времени при
движении материальной точки по окружности с постоянной скоростью.
257
При движении точки по окружности центростремительное ускорение
материальной точки направлено к центру окружности и равно an = ω 2 r .
Горизонтальная компонента центростремительного ускорения направлена противоположно оси x. Поэтому проекция вектора ускорения на
ось x равна a x = − an cos ϕ = −an cos(ω0t + ϕ 0 ) = −ω 02 r cos (ω0t + ϕ 0 ) , так
как ϕ = ω0t + ϕ 0 – угол между раr
диус-вектором r и осью x в моY
мент времени t; а центростремиr
тельное
ускорение
равно
ax
M
r
an = ω02 r .
an
r
a
Так как максимальное сме–A
y
ω0 ϕ
щение материальной точки отноО
N A X сительно положения равновесия
точки О равно амплитуде колеr
(длина радиусбаний A = r
r
вектора r ), то
a x = −an cos(ω0t + ϕ 0 ) = −ω02 A cos (ω0t + ϕ 0 ) – уравнение проекции ускорения.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Смещение x точки относительно положения равновесия, проекция v x скорости на ось x, проекция ax ускорения на ось x в процессе движения материальной
точки по окружности изменяются по гармоническому
закону.
Можно показать, что смещение y точки относительно положения
равновесия, проекция v y скорости на ось y, проекция ay ускорения на
ось y в процессе движения материальной точки по окружности также
изменяются по гармоническому закону.
Кинематические уравнения гармонических
колебаний
Материальная точка совершает гармонические колебания, если её
смещение зависит от времени по гармоническому закону
x = A cos(ω 0t + ϕ 0 ) или x = A sin(ω 0t + ϕ 0 ) , где A – амплитуда колеба258
ний, ω0 – циклическая частота, ω0t + ϕ 0 – фаза колебаний, φ0 – начальная фаза.
Рассмотрим, по какому закону меняется скорость и ускорение материальной
точки,
совершающей
колебания
по
закону
x = A cos(ω0t + ϕ 0 ) .
dx
π
Так как v x =
= − Aω0 sin (ω0t + ϕ 0 ) = Aω0 cos (ω0t + ϕ 0 + ) – скоdt
2
рость изменяется по гармоническому
закону с той же циклической частотой,
x
что и координата. Амплитудное (максиA
мальное) значение скорости равно Aω 0 .
Фаза колебаний скорости отличается от
t
фазы колебаний смещения на
π
. Сле2
-A
довательно, в момент времени, когда
vx
смещение x = 0, скорость принимает
максимальное значение. Когда же смеAω 0
щение достигает максимального отрицательного значения, то скорость
vx = 0 .
t
Ускорение
− Aω 0
dv x
ax =
= − Aω02 cos (ω0 t + ϕ 0 ) =
dt
ax
= Aω02 cos (ω0 t + ϕ 0 + π)
Aω 02
– ускорение изменяется по гармоническому закону с той же циклической частотой, что и координата. Амплитудное
t
(максимальное) значение ускорения
− Aω 02
равно Aω02 . Фаза колебаний ускорения
отличается от фазы колебаний смещения на π. Следовательно, в момент времени, когда смещение x = 0, ускорение принимает максимальное отрицательное значение. Когда же
смещение достигает максимального отрицательного значения, то скорость v x = 0 , а ускорение принимает наибольшее положительное значение.
Можно показать, что a x = −ω02 x .
259
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Решите задачи.
1. Маятник совершает колебания по закону x = 0,1 sin(0,628t ) . Чему
равны амплитуда колебаний, частота и период колебаний? Чему равны
максимальное значение скорости и ускорения?
2π
π
t + ).
4
2
Чему равны амплитуда, период и частота колебаний? Чему равны фаза,
смещение, скорость и ускорение в момент времени t = 4 c?
2. Маятник совершает колебания по закону x = 0,05 sin(
3. Частица совершает гармонические колебания по закону
π
x = 24 cos( t ) см. Как зависят проекции скорости и ускорения частицы
12
на ось x от времени? Определите координату частицы, проекции её скорости и ускорения на ось x в момент времени t = 2 c?
4. Две частицы совершают гармонические колебания вдоль оси x с
одинаковой амплитудой А = 18 см. Их координаты зависят от времени
по закону косинуса. Первая частица совершает колебания с периодом
T1 = 3,6 с, период колебаний второй частицы T2 = 1,8 с. На каком расстоянии друг от друга будут находиться частицы в момент времени
t = 0,9 с? Найдите скорость второй частицы относительно первой частицы в этот момент времени.
5. Амплитуда колебаний 10 см, частота 0,5 Гц. Написать уравнение
колебаний и построить его график. Найти наибольшее значение скорости и ускорения, а также фазу и смещение в момент времени 1,5 с. Построить график скорости и ускорения от времени. Принять начальную
фазу равной нулю.
6. За какую часть периода материальная точка, совершающая колебательное движение, проходит путь от среднего положения до крайнего? первую половину этого пути? вторую его половину?
260
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
2.
3.
4.
Физические термины
Гармоническим колебательным движением (гармоническим колебанием) называется движение, при котором координата тела (материальной точки) изменяется по закону:
x = A cos(ω 0t + ϕ 0 ) или x = A sin(ω0t + ϕ 0 ) , где A – амплитуда
колебаний, ω0 – циклическая частота, ω0t + ϕ 0 – фаза колебаний, φ0 – начальная фаза.
Кинематическое уравнение скорости колеблющейся материdx
альной точки v x =
= − Aω0 sin (ω0t + ϕ 0 ) .
dt
Кинематическое уравнение ускорения материальной точки,
совершающей колебательное движение
dv
a x = x = − Aω02 cos (ω0t + ϕ 0 ) .
dt
Связь ускорения материальной точки, совершающая колебания и её смещения a x = −ω02 x .
261
ТЕМА 11. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Новые слова и словосочетания
относительно
относительный
преобразования
подвижный
абсолютный
переносный
неподвижный
мотоциклист
лифт
чемодан
следствие
циклоида
Движение любого тела можно рассматривать только относительно других тел или систем отсчета.
Система отсчета – это тело отсчета, система координат и часы. Тело отсчета – это тело, относительно которого рассматривается движение
данного тела.
Любое движение относительно. В разных системах отсчета одно
и то же движение может выглядеть по-разному, например:
Пример 1. Пассажиры движущегося поезда неподвижны относительно стен вагона (система отсчета – вагон). И эти же пассажиры движутся в системе отсчета связанной с Землей.
Поднимается лифт. Стоящий на его полу чемодан покоится относительно стен лифта и человека, находящегося в лифте. Но чемодан
движется относительно Земли и дома.
Значит положение тела в различных системах отсчета различно.
Координата, положение тела в пространстве относительны.
Пример 2. Соревнуются мотоциклисты. Они одновременно начали
двигаться относительно Земли. Если они движутся с одинаковыми скоростями, то расстояние между ними не изменяется (они не обгоняют
друг друга). Значит, друг относительно друга мотоциклисты покоятся,
но движутся относительно Земли.
Таким образом, понятие скорости тоже относительно. Скорость
одного и того же тела в разных системах отсчета различна.
Относительна не только скорость, но и форма траектории движения, пройденный телом путь.
Пример 3. Пусть колесо катится по поверхности Земли. Точка A на
ободе колеса относительно системы X 1O1Y1 (центра колеса) движется
по окружности. За один оборот она проходит путь, равный длине окружности. Но относительно системы координат XOY , связанной с Землей, траектория точки A – более сложная кривая A1 A2 A3 , называемая
262
циклоидой. За один оборот точка A проходит путь, равный длине циклоиды.
Y1
Y
X1
O1
A2
O1
O1
O
A
O1
v
X
A1
A3
а
б
Таким образом, все кинематические понятия (траектория, координата, путь, перемещение, скорость, ускорение) имеют определенную
форму и числовые значения в одной выбранной системе отсчета. При
переходе от одной системы отсчета к другой все кинематические характеристики могут изменяться.
Связь между кинематическими величинами, характеризующими механическое движение в двух различных системах отсчета,
движущихся друг относительно друга, называются преобразованиями.
Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Преобразование всех других кинематических величин являются их следствиями.
Преобразование координат
(преобразования Галилея)
Рассмотрим движение материальной точки А относительно системы XYZ (системы К) и системы X1Y1Z1 (системы К1). Система
r К1 движется относительно системы К с постоянной скоростью u , направленной параллельно оси X.
Y
Y1
A
K1
K
r
ut
Z1
r1
r0
O
Z
u
O1
x
x1
263
y = y1
X
z = z1
X1
Найдем связь между координатами точки в системах отсчета K и
K1 в момент времени t . Расположим системы так, что координатные
оси X и X 1 обеих систем совпадают, а оси Y и Y1 , Z и Z1 – параллельны друг другу. В начальный момент времени t 0 = 0 начала координат обеих систем (точки О и О1) совпадали.
Тогда в момент времени t положение точки в системах отсчета K
r
r
v r r
и K1 можно определить радиус-векторами r и r1 . Тогда r = r0 + r1 . За
r r
время t начало координат системы K1 переместилось на r0 = u t , поэтому
r r r
r = r1 + u t .
Запишем это выражение в проекции на ось X :
x = x1 + u x t .
Координаты y , z и y1 , z1 одинаковы в обеих системах отсчета.
Поэтому преобразования координат при переходе от системы отсчета
K1 к системе отсчета K будут иметь вид:
⎧⎪ x = x1 + u x t ;
⎨ y = y1 ;
⎪⎩ z = z1 .
Считается, что время течет одинаково в системах K и K1 , то есть
t = t1 .
Эти преобразования координат называются преобразованиями Галилея. Учитывая, что u x = u , преобразования Галилея запишем так:
r r r
в векторной форме r = r1 + u t ,
в проекциях на оси X, Y, Z
⎧ x = x1 + ut ;
⎧ x1 = x − ut ;
⎪ y = y1 ;
⎪
или ⎨ y1 = y;
⎨z = z ;
z = z;
⎪ t = t 1.
⎪ t1 = t .
⎩
⎩ 1
1
Закон сложения скоростей
r
При движении точки A ее радиус-вектор r в системе
отсчета K за
r
малый промежуток времени Δt изменится на Δr и станет rравным
r
r
r + Δr . За это же время в системе отсчета K1 радиус-вектор r1 измеr
r
r
r
нится на Δr1 и станет равным r1 + Δr1 , а радиус-вектор r0 изменится на
r r
Δr0 = u Δt . Согласно уравнению
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
(r + Δr ) = (r1 + Δr1 ) + (r0 + Δr0 ) = (r1 + Δr1 ) + (ut + uΔt ) ,
264
r r r
и так как r = r1 + u t , то
r
r r
Δr = Δr1 + u Δt .
r
r
Эта формула связывает перемещение Δr (в системе отсчета К) и Δr1 (в
системе отсчета К1) за промежуток времени Δt .
Разделим правую и левую часть уравнения на Δt и будем считать
промежуток Δt сколь угодно малым ( Δt → 0 ).r Тогда
r
Δr r
Δr
lim
= lim 1 + u .
Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt
r
Δr r
Но lim
= v – мгновенная скорость точки в системе K , а
Δt → 0 Δt
r
Δr1 r
lim
= v1 – мгновенная скорость точки в системе K1 .
Δt → 0 Δt
Таким образом, скорость точки в различных системах отсчета,
r
движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью u , связаны соотношением
r r r
v = v1 + u .
Это уравнение называется законом сложения скоростей в классической механике.
Учитывая, что при движении rвдоль совпадающих осей координат
X и X 1 проекции скорости u на оси Y и Z равны нулю
( u y = 0 , u z = 0 ), закон сложения скоростей в проекции на оси координат можно записать так
⎧v = v + u ;
1x
x
⎪ x
=
;
v
v
⎨ y
1y
⎪v = v .
1z
⎩ z
Часто для большей наглядности и удобства используют понятие
абсолютного, относительного и переносного движений.
Для этого одну из систем координат, например XYZ , считают условно неподвижной.
Движение тела относительно неподвижной системы называют абсолютным.
Движение тела относительно подвижной системы координат (относительно X 1Y1Z1 ) называют относительным.
Движение подвижной системы координат относительно неподвижной системы называют переносным.
265
Тогда скорость, ускорение, перемещение, путь, траектория точки в
неподвижной системе координат называется абсолютными, а в подвижной системе координат
r r –rотносительными.
r
r
r
В формуле v = v1 + u : v – абсолютная скорость (v а ); v1 – относиr
r
r
тельная скорость (v отн ) и u – переносная скорость (v пер ).
Тогда закон сложения скоростей
r
r можноr записать так
v а = v отн + v пер .
Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и
переносной скоростей.
Уравнение для перемещений можно записать аналогично
r
r
r
Δrа = Δrотн + Δrпер , или в проекции на ось Х : Δxа = Δхотн + Δхпер .
Относительная скорость движения двух тел
два тела A и B , имеющих
rРассмотрим
r
r в системе отсчета K скорости v A и v B . Найдем скорость движения v BA тела B относительно тела
A (относительную скорость двух тел).
Свяжем систему K1 с телом A . Тогда система К1 движется относительно
системы К со скоростью
r
v A . Относительная скорость Y
Y1
r
v
vA
A
v BA – это скорость тела B относительно системы K1 . Вос- K
vBA
K1
пользуемсяr законом
движения
B
r
r
скоростей v а = v отн + v пер .
Скорость тела B относительно системы Kr – это
r абсолютная скорость v B = v а . Ско-
vB
O
A
X1
X
r
r
рость тела A в системе отсчета K – это переносная скорость v A = v пер .
r
r
r
Скорость v BA – относительная скорость v BA = v отн .
Согласно закону сложения
r
r скоростей
r
r
r
r
v B = v BA + v A или v BA = v B − v A .
Скорость движения тела B относительно тела A равна разности скоростей этих двух тел. Относительную скорость можно найти вычитанием векторов по правилу треугольника.
Относительная скорость не зависит от системы отсчета.
266
Относительная скорость двух тел в системе отсчета К равна разности скоростей этих тел относительно
r
r этойr системы:
r
r
r
так как v A = v1 A + u , v B = v1B + u ,
r
r
r
r
то v B − v A = v1B − v1 A
Тогда относительная скорость тел в системе отсчета К равна
относительной
скорости
этих тел в системе отсчета К1:
r
r
v BA = v1BA .
Пример решения задачи
Задача. Капли дождя падают относительно Земли отвесно (вертикально вниз) со скоростью v1 = 20 м/с. С какой наименьшей скоростью
v 2 относительно Земли должен двигаться автомобиль, чтобы на заднем
смотровом стекле, наклоненном под углом 45° к горизонту, не оставалось следов капель? Чему равна скорость капель относительно автомобиля?
Решение задачи. Капли дождя не будут задевать стекла автомобиля, если вектор скорости капель относительно автомобиля будет направлен параллельно стеклу.
Систему координат XYZ свяжем с Землей и будем считать её неподвижной. Движущуюся систему координат X1Y1Z1 свяжем с автомобилем.
Обозначим скорость капель относительно Земли (абсолютная скоr
r
r
r
r
r
рость) v a = v1 ; v пер = v 2 , тогда v отн = v .
267
r
r
r
Согласно закону сложения скоростей
v а = v отн + v пер или
r r r
v1 = v + v 2 .
r
r
r r r
Отсюда v = v1 − v 2 . Вычитание векторов v1 и v 2 показано на
рисунке. Треугольник АВС – прямоугольный, поэтому ∠ABC = α ,
v
v = 1 и v 2 = v1 ⋅ ctgα . Тогда, подставив значения, получим:
sin α
20 м / с
v=
= 28 м / с ; v 2 = v1 = 20 м / с .
sin 450
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 1. Слушайте, читайте, повторяйте.
Механическое движение; относительное движение; движение тела
относительно другого тела; система отсчета; неподвижная система отсчета; подвижная система отсчета; лабораторная система отсчета; положение тела относительно неподвижной системы отсчета; положение
тела относительно подвижной системы отсчета; скорость тела относительно неподвижной системы отсчета; абсолютная скорость; скорость
тела относительно подвижной системы отсчета; относительная скорость; скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной
системы отсчета; переносная скорость; закон сложения скоростей; преобразования координат; преобразования Галилея.
Упражнение 2. Решите задачи.
1. Два автобуса движутся в одном направлении. Модули их скоростей равны 90 и 60 км/ч. Чему равна скорость первого автобуса относительно второго и второго относительно первого?
2. Два автобуса движутся равномерно навстречу друг другу. Модули их скоростей равны 20 и 30 м/с. Чему равна скорость первого автобуса относительно второго?
3. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг
другу движутся два поезда со скоростями 72 и 108 км/ч. Длина первого
поезда 800 м, а второго 200 м. В течение какого времени один поезд
проходит мимо второго?
268
4. Скорость течения реки 1,5 м/с (относительно берега). Чему равен
модуль скорости лодки относительно воды, если лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью 2 м/с относительно него?
5. Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет 5 сут, а
обратно 7 сут. Сколько времени от Нижнего Новгорода до Астрахани
плывет плот?
6. Два тела начинают падать одновременно без начальной скорости. Первое тело падает вниз с высоты 250 м, а второе тело с высоты
150 м. Определите скорость первого тела относительно второго тела.
Найдите изменение относительной координаты первого тела.
7. Два тела бросают одновременно. Первое тело бросают вертикально вверх с Земли со скоростью 20 м/с. Второе тело бросают вертикально вниз с начальной скоростью 10 м/с с высоты 200 м. С какой скоростью первое тело движется относительно второго тела? Как изменяется относительная координата первого тела?
Упражнение 3. По рисунку составьте и решите задачу.
ЭТО НУЖНО
ЗНАТЬ!
1.
Физические термины
Движение любого тела можно рассматривать только относительно других тел или систем отсчета.
269
2.
3.
4.
5.
6.
Все кинематические понятия (траектория, координата, путь,
перемещение, скорость, ускорение) имеют определенную
форму и числовые значения в одной выбранной системе отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой все
кинематические характеристики могут изменяться.
Связь между кинематическими величинами, характеризующими механическое движение в двух различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, называются преобразованиями .
Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг
относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Учитывая, что u x = u , преобразования Галилея запишем
так:
r r r
в векторной форме r = r1 + u t ,
в проекциях на оси X, Y, Z
⎧ x = x1 + ut ;
⎧ x1 = x − ut ;
⎪ y = y1 ;
⎪
или ⎨ y1 = y;
⎨z = z ;
z = z;
⎪ t = t 1.
⎪ t1 = t .
⎩ 1
1
r
r r ⎩
r
Δr = Δr1 + u Δt – эта формула связывает перемещение Δr (в
r
системе отсчета К) и Δr1 (в системе отсчета К1) за промежуток
Δt .
r времени
r r
v = v1 + u – это уравнение называется законом сложения
r
r
r
скоростей в классической механике или v а = v отн + v пер ,
Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.
270
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа