close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
§8. Элементарные функции
Перечисленные ниже функции называют основными элементарными
функциями; они наиболее употребительны в приложениях математики.
1. y=C – const. для x  X , где Х – промежуток числовой прямой, еѐ
график при С  0 представляет собой отрезок прямой, параллельной оси
абсцисс.
2. Показательная функция y  a x , a  1, a  0 . Основные свойства
этой функции известны из школьного курса математики: а) D( y)  R,
E ( y)  (0,) ; б) при a  1 показательная функция возрастает, при 0  a  1
она убывает. На рис. 8.1 изображены графики y  a x при a  1 и 0  a  1.
y
y
у= logax, a>1
y ax, a  1

1
x
y ax, 0  a  1
x
O
1
у= logax, 0<a<1
O
Рис. 8.1. Графики показательной функции
Рис. 8.2. Графики логарифмической
функции
3. Логарифмическая функция y  log a x , a  1, a  0 . Эта функция
является обратной по отношению к показательной функции, поэтому, в силу
теоремы 7.1, основные еѐ свойства следуют из свойств функции y  a x :
а) D( y)  (0,) , E ( y)  R; б) при a  1 логарифмическая функция возрастает,
при 0  a  1 она убывает; в) график функции y  log a x симметричен
графику функции y  a x относительно прямой y  x. На рис. 8.2
изображены графики y  log a x при a  1 и 0  a  1.
4. Степенная функция y  x a , a R, a  0 . При x  0 эту функцию
рассмотрим как суперпозицию показательной и логарифмической функций:
x a  10 a lgx , lg x  log 10 x . Функции 10 x и lg x возрастают на (0,) ; тогда и
y  x a , a  0 , строго монотонна на (0,) , а именно, возрастает при a  0 и
убывает при a  0 . При a  0 эта функция определена в точке 0: y(0)  0 .
При некоторых значениях a (например, при a N) она определена на всей
числовой оси. На рис. 8.3 изображены графики степенной функции при
a  3 , 1/3 и
–1/3.
y
y
y
y = x3
y = x–1/3
y = x1/3
x
x
x
Рис. 8.3. Графики степенной функции при различных значениях a
5. Тригонометрические функции y  sin x, y  cosx, y  tgx, y  ctgx.
Эти функции подробно рассмотрены в школьном курсе математики. Их
графики приведены на рис. 8.4 – 8.5.
y
1
y  cos x
y  sin x
x
2  3
2


2
O

2
3
2

2
1
Рис. 8.4. Графики функций y  sin x и y  cos x
y
y tgx
y ctgx
  
2
2  32
O
x

2

3
2
2
Рис. 8.5. Графики функций y = tgx и y = ctgx
6. Обратные тригонометрические функции: y  arcsinx , y  arccosx ,
y  arctgx , y  arcctgx .
y
1). Функция y  arcsinx . По определению
2
y  arcsinx – это угол (или дуга) из промежутка [–
y  arcsin x
π/2, π/2], синус которого равен х. Таким образом,
x
1
y  arcsinx – функция, обратная функции
O 1
y  sin x , x [–π/2, π/2], поэтому основные ее
 2
Рис. 8.6. График функции
y = arcsinx
свойства можно вывести из свойств функции y  sin x , x [–π/2, π/2], и
теоремы 7.1:
а). D( y)  [1, 1] , E ( y)  x [–π/2, π/2];
б). y  arcsinx возрастает на D( y) от –π/2 до π/2;
в). y  arcsinx – нечѐтная функция:
arcsin(  x)  arcsinx при x  [1, 1] ;
г). график функции y  arcsinx симметричен графику функции y  sin x ,
x [–π/2, π/2], относительно прямой у=х (рис. 8.6);
д). sin(arcsinx)  x при x  [1, 1] , arcsin(sin x)  x при x  [–π/2, π/2].
2). Функция y  arccosx . По определению y  arccosx – это угол (или
дуга) из промежутка [0, π] , косинус которого равен х. Итак, y  arccosx –
функция, обратная функции y  cos x , x [0, π] ,
y
поэтому основные еѐ свойства можно вывести из

свойств функции y  cos x , x [0, π] , и теоремы
7.1:
 2
а). D( y)  [1, 1] , E ( y)  [0, π] ;
y  arccosx
б). y  arccosx убывает на D( y ) от π до 0;
x
в). функция y  arccosx не обладает свойствами
1 O
1
Рис.
8.7.
График
функции
чѐтности или нечѐтности:
y  arccos x
arccos( x)    arccosx ;
г). график функции y  arccosx симметричен графику функции
y  cos x , x [0, π] , относительно прямой у=х (рис. 8.7);
д). cos(arccosx)  x при x  [1, 1] , arccos(cosx)  x при x [0, π] .
3). Функция y  arctgx . По определению y  arctgx – это угол (или дуга)
из промежутка (–π/2, π/2), тангенс которого равен х. Таким образом,
y  arctgx – функция, обратная функции y  tgx , x (–π/2, π/2), поэтому еѐ
основные свойства можно вывести из свойств этой функции и теоремы 7.1:
а). D( y)  R, E ( y)  (–π/2, π/2);
б). функция y  arctgx возрастает на D( y ) ;
в). y  arctgx – нечѐтная функция: arctg( x)  arctgx при x R;
г). график функции y  arctgx симметричен графику функции y  tgx ,
x [–π/2, π/2], относительно прямой у=х (рис. 8.8);
д). tg(arctgx)  x при x R; arctg(tgx)  x при x  ( / 2,  / 2) .
y
y

 2
y  arctg x
x
 2
O
 2
y  arcctgx
x
O
Рис. 8.8. График функции y  arctgx
Рис. 8.9. График функции y  arcctgx
4). Функция y  arcctgx . По определению y  arcctgx – это угол (или
дуга) из промежутка (0, π) , котангенс которого равен х. Таким образом,
y  arcctgx – функция, обратная функции y  ctgx , x  (0, π) , поэтому
основные ее свойства можно вывести из свойств этой функции и теоремы
7.1:
а). D( y)  R, E ( y)  (0, π) ;
б). функция y  arcctgx убывает на D( y ) ;
в). функция y  arcctgx не обладает свойствами чѐтности или
нечѐтности, arcctg( x)    arcctgx ;
г). график функции y  arcctgx симметричен графику функции y  ctgx ,
x  (0, π) , относительно прямой у=х (рис. 8.9);
д). ctg(arcctgx)  x при x R, arcctg(ctgx)  x при x  (0, π) .
Определение 8.1. Функция, которая может быть задана одним
аналитическим выражением с помощью конечного числа суперпозиций и
арифметических операций над основными элементарными функциями,
называется элементарной функцией.
Элементарная функция называется алгебраической, если еѐ можно задать
с помощью конечного числа алгебраических действий (сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем).
Все другие элементарные функции называются трансцентдентными. Так,
3
1 х  2
например,
–
алгебраическая
функция,
а
у
х  5  х2/5
ex 1  ln cos(3x 1)
y=arctg
– элементарная трансцентдентная функция.
sin 1x  ctg3 2x  5
Частным случаем алгебраической функции является так называемая
рациональная функция R(x), представляемая в виде отношения двух
Q ( x) b0 x m  b1 x m1  ... bm1 x  bm
R( x)  m

многочленов:
. Если степень
Pn ( x) a0 x n  a1 x m1  ... an1 x  an
знаменателя n 1 , то рациональную функцию называют рациональной
алгебраической дробью. В противном случае, т.е. при n  0 рациональная
функция представляет собой многочлен (ибо P0 ( x)  p0 , где p0  R).
Пример 8.1. Найти область определения функции y  log 1 2 (4  x 2 ) .
►D(y): log1 2(4  x2)  0 или, в силу свойств логарифмической функции,
D(y): 0  4  x2 1. Последнее неравенство равносильно системе из двух
неравенств: 0  4  x2  4  x 2  1. Для первого из них имеем:
4  x2  0  x2  4  | x | 2 
2
2
 2  x  2.
Решение
второго
0
3
3
выполним
по
аналогии:
Рис. 8.10. К примеру 8.1
2
4  x 2  1  x  3  | x| 3 
 x   3  x  3 . Пересечение найденных решений приводит к равенству:
D( y)  (2, 3] [ 3, 2) (рис. 8.10).◄
Пример 8.2. Является ли функция y  1 (ex  e x) чѐтной? нечѐтной?
2
► D( y)  R, y(x)  1 (e x  e(x))   1 (ex  e x)   y(x) при  x R, поэтому
2
2
данная функция нечѐтная.◄
Пример 8.3. Найти sup f ( x) , inf f ( x) и max f ( x) , min f ( x) , если
xX
xX
xX
xX
f (x) =arctg|x| и Х=R.
►Данная функция является чѐтной, следовательно, ограничимся
рассмотрением только неотрицательных значений х, при этом
0  arctg|x|<  2 . Поэтому inf f ( x) = min f ( x) =0, sup f ( x) =  2 , а max f ( x) не
xX
xX
xX
xX
существует.◄
Пример 8.4. Дана функция у=1  3 | sin 5x | . Найти еѐ период и E(y).
►D(y)=R. Период функции y | sin x | равен π (пример 7.1), поэтому
1––3|sin5x|=1–3|sin(5x+π)| и 1–3|sin5x|=1–3|sin5(x+ π 5 )| для  x R
и период данной функции Т= π 5 . Для отыскания E(y) рассмотрим
неравенство 0 | sin 5x | 1 , вытекающее из свойств функции синус и
справедливое при x R. Умножим все его члены на (–3), при этом знак
неравенства изменится на противоположный: 0  3 | sin 5x | 3 . Прибавив
теперь ко всем членам неравенства по 1, получим: 1≥1–3|sin5x|≥–2. Из
последнего неравенства следует, что E(y)=[–2, 1].◄
y
у х
х 1
1
2
А
O
y
x
1 O
x
1
2
3
1
у1
х
Рис. 8.11. К примеру 8.5.
График функции f ( x)  1 ( x  1)
Рис. 8.12. К примеру 8.6.
График функции y  [x]
Пример 8.5. Построить график функции у  х .
х 1
( х  1)  1
 1  1 , следовательно, у  1  1 . График
►Имеем х 
х 1
х 1
х 1
х 1
данной функции построим путѐм параллельного переноса центра симметрии
О(0, 0) графика функции у  1 в точку А(1,1) . На рисунке 8.11 график
х
1
функции у  изображѐн пунктирной линией.◄
х
Пример 8.6. Построить график функции y=[х], x R – целой части числа
х.
► y  k , x [k, k+1), k  Z, график данной функции является
объединением тех частей прямых y  k , абсциссы точек которых
удовлетворяют неравенству k  x  k  1 (рис. 8.12).◄
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа