close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
6.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Очень часто экономические модели описываются не одним уравнением, а системами эконометрических уравнений.
В связи с тем, что в описываемых системах несколько уравнений, в
данной главе система индексации переменных несколько отлична от примененной ранее:
- переменные Y и их оценки y пишутся с индексами, соответствующими номеру уравнения с этой переменной в левой части (например, y 1 переменная, стоящая в левой части 1-го уравнения);
- факторы X j и их наблюдаемые значения x j нумеруются аналогично
ранее используемой системы;
- коэффициенты в правых частях системы обозначаются по системе
нумерации используемой в обычных СЛАУ;
- индексы, соответствующие номеру наблюдения, как правило, не записываются (тем более в рамках материала главы это и не требуется);
- при рассмотрении одного конкретного уравнения системы можно
использовать описанную ранее систему обозначений.
6.1.1. Переменные систем эконометрических уравнений
Переменные, входящие в системы эконометрических уравнений, подразделяют на эндогенные и экзогенные.
Эндогенные переменные - взаимосвязанные переменные, определяемые внутри модели (системы уравнений).
Экзогенные переменные - независимые переменные, определяемые
вне модели (системы уравнений).
В качестве экзогенных переменных могут выступать эндогенные переменных в предшествовавшие моменты времени - лаговые переменные.
Значения экзогенных и лаговых переменных к расчетному моменту
времени известны. Поэтому их ещё называют предопределёнными переменными.
Кроме регрессионных уравнений модель может также содержать
тождества, представляющие алгебраические соотношения между эндогенными переменными.
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
6.1.2. Формы моделей, описываемых системами
эконометрических уравнений
Системы эконометрических уравнений по своей структуре могут быть
различными. Они могут содержать в правых частях как эндогенные ( y i ), так
и экзогенные ( x j ) переменные. Такая форма модели называется структурной формой. Будем условно обозначать коэффициенты перед ними соответственно bij и a ij , которые называют структурными коэффициентами.
а) Системы независимых уравнений, в которых каждая объясняемая
переменная y i ( i = 1 ,2 ,..., n ) зависит от одного и того же набора объясняющих факторов x 1 , x 2 ,..., x p , выглядят
 y1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 p x p

 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 p x p

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 y = a x + a x + ... + a x
n1 1
n2 2
np p
 n
+ ε1 ,
+ ε2 ,
... ...
(6.1)
+ εn .
Такие системы решаются обычным МНК. Так как уравнения независимые, то каждое из них получается по отдельности.
б) Системы рекурсивных уравнений, среди которых есть объясняемые переменные, которые одновременно являются объясняющими факторами в других уравнениях, выглядят
 y1 = a11 x1 + a12 x2 + ...+ a1 p x p + ε 1 ,

 y2 = a21 x1 + a 22 x2 + ... + a2 p x p + b21 y1 + ε 2 ,

 y3 = a31 x1 + a32 x2 + ... + a3 p x p + b31 y1 + b32 y 2 + ε 3 ,
(6.2)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 y = a x + a x + ... + a x + b y + b y + ...+ b y
n1 1
n2 2
np p
n1 1
n2 2
nn−1 n−1 + ε n .
 n
Такие системы также решаются обычным МНК после предварительных преобразований – последовательных подставлений левых частей в правые и сведения к одному регрессионному уравнению.
в) Системы взаимосвязанных (совместных) уравнений, в которых
одни и те же переменные в различных уравнениях выступают то в роли
объясняемых, то в роли объясняющих, выглядят
131
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
 y1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 p x p

 y2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 p x p

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 y = a x + a x + ... + a x
n1 1
n2 2
np p
 n
+ b12 y2 + b13 y3 + ... + b1n yn + ε 1 ,
+ b21 y1 + b23 y3 + ... + b2 n yn + ε 2 ,
... ...
(6.3)
+ bn1 y1 + bn 2 y2 + ... + bnn−1 yn−1 + ε n .
Замечания.
В записанных выше уравнениях для упрощения записи в качестве переменных использованы их отклонения от средних значений, т.е. как x обозначено отклонение x − x , а как y - отклонение y − y . Поэтому в уравнениях отсутствуют
свободные члены.
!
Получаемые обычным МНК оценки структурных коэффициентов модели в случае взаимосвязанных (совместных) уравнений могут быть смещенными и несостоятельными [13].
Структурная модель путём преобразований может быть сведена к
приведенной форме, в которой эндогенные переменные выражены только
через экзогенные. Получается модель, по общему виду схожая с системой
независимых уравнений:
 y1 = δ 11 x 1 + δ 12 x 2 + ... + δ 1 p x p + ν 1 ,

 y 2 = δ 21 x 1 + δ 22 x 2 + ... + δ 2 p x p + ν 2 ,

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 y = δ x + δ x + ... + δ x + ν .
n1 1
n2 2
np p
n
 n
Её коэффициенты δ можно получить обычным МНК.
(6.4)
6.1.3. Проблема идентификации модели
При преобразовании системы к приведенной форме существует
проблема идентификации модели, т.е. единственности соответствия
между приведенной и структурной формами. С этой точки зрения модели
бывают:
а) идентифицируемые;
б) неидентифицируемые;
в) сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все её структурные коэффициенты
однозначно определимы, т.е. количество коэффициентов в структурной и в
приведенной моделях одинаково.
Модель неидентифицируема, если количество приведенных коэф132
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
фициентов меньше количества структурных коэффициентов.
Модель сверхидентифицируема, если количество приведенных коэффициентов больше количества структурных коэффициентов.
Для установления идентифицируемости модели в целом необходимо
проверять на идентифицируемость каждое из уравнений системы:
• модель идентифицируема, если идентифицируемо каждое уравнение системы;
• модель неидентифицируема, если неидентифицируемо хотя бы одно их уравнений системы;
• модель сверхидентифицируема, если сверхидентифицируема хотя
бы одно их уравнений системы.
!
Теорема (необходимое условие идентифицируемости уравнения си-
!
Теорема (достаточное условие идентифицируемости уравнения си-
стемы).
Пусть в произвольном уравнении структурной формы модели содержится H эндогенных переменных и D экзогенных переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение. Тогда если:
D + 1 = H , то данное уравнение идентифицируемо;
D + 1 < H , то данное уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > H , то данное уравнение сверхидентифицируемо.
стемы).
Определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в данном уравнении, не равен нулю, и ранг этой
матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
В зависимости от идентифицируемости системы в целом используются различные методы для расчета структурных коэффициентов системы.
6.1.4. Косвенный МНК
Идентифицируемая система решается косвенным методом
наименьших квадратов (КМНК).
Алгоритм метода:
• модель из структурной преобразуется в приведенную форму;
• определяются приведенные коэффициенты ( δ ij ) обычным МНК;
• зная приведенные коэффициенты, алгебраическими преобразованиями осуществляется переход обратно к структурной форме, получая
оценки структурных коэффициентов.
133
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Оценки точности и значимости модели осуществляются коэффициентами R 2 и F для каждого уравнения в отдельности.
Можно попробовать применить к каждому уравнению системы в
структурной форме обычный МНК. Но между структурными коэффициентами (КМНК) и коэффициентами регрессии (ОМНК) может наблюдаться
очень сильное отличие как в абсолютных величинах, так и в знаках. Это
связано с тем, что коэффициенты регрессии получаются в предпосылке взаимной независимости факторов, а в системах одновременных уравнений
наблюдается сильная зависимость. Поэтому применение обычного МНК к
системам одновременных уравнений даёт несостоятельные оценки
структурных коэффициентов (хотя не исключены случаи близких результатов). Оценки, полученные обычным МНК могут даже стать экономически
бессмысленными, особенно в системах с большим числом эндогенных переменных.
6.1.5. Двухшаговый МНК
Сверхидентифицируемая система решается двухшаговым методом
наименьших квадратов (ДМНК), т.к. косвенный МНК не даёт однозначных оценок параметров структурной модели.
Алгоритм метода:
• модель из структурной преобразуется в приведенную форму;
• определяются приведенные коэффициенты ( δ ij ) обычным МНК;
• для этих оценок приведенных коэффициентов получаются теоретические значения эндогенных переменных приведенной системы;
• подставляются эти оценки вместо фактических значений этой переменной в структурное сверхидентифицируемое уравнение;
• к полученному уравнению применяется обычный МНК.
Двухшаговый МНК наиболее общий и распространённый метод решения систем одновременных эконометрических уравнений. Дальнейшим
его развитием стал трёхшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)
[1, 3].
6.1.6. Примеры систем эконометрических уравнений,
часто используемых в практике
1) Модель Кейнса формирования доходов (одна из версий)
где
C t = α + β Y t + ε t ,

Y t = C t + I t ,
Yt - совокупный выпуск;
134
(6.5)
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
C t - объём потребления;
I t - инвестиции.
Описывает закрытую экономику без государственного вмешательства.
Подставив C t во 2-е уравнение, выразим Yt . Имеем уравнение в приведенной форме, которое можно решить обычным МНК:
α
1
ε
.
Y=
+
I+
1−β 1−β
1− β
2) Модель денежного и товарного рынков
( функция денежного рынка );
Rt = a1 + b12Yt + b14 Mt + ε 1

Yt = a2 + b21Rt + b23 I t + b25Gt + ε 2 ( функция товарного рынка );
I = a + b R + ε
( функция инвестиций ),
 t
3
31 t
3
где
(6.6)
R -процентные ставки;
Y - реальный ВВП;
M - денежная масса;
I - внутренние инвестиции;
G - реальные государственные расходы.
3) Модель спроса и предложения кейнсианского типа (версия)
где
Q ts = a 1 + b11 Pt + b12 Pt − 1 + ε 1
 d
Q t = a 2 + b21 Pt + b 22Yt + ε 2
 s
d
Q t = Q t
( предложени е );
( спрос );
( тождество ),
(6.7)
Qtd - спрос на товар в момент времени t ;
Qts - предложение на товар в момент времени t ;
Pt - цена товара в момент времени t ;
Yt - доход в момент времени t ;
Pt − 1 - цена товара в предыдущий момент t .
4) Макроэкономическая модель экономики США
( функция потреблени я );
С t = a1 + b11Yt + b12С t −1 + ε 1t

( функция инвестиций );
 I t = a 2 + b21Yt + b23 rt + ε 2 t

rt = a 3 + b31Yt + b34 M t + b35 rt −1 + ε 3t ( функция денежного рынка );
Yt = С t + I t + Gt
( тождество дохода )
135
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
где
(6.8)
С - потребление;
Y - ВВП;
I - инвестиции;
M - денежная масса;
G - государственные расходы;
r - процентная ставка;
t - текущий период;
t − 1 - предыдущий период.
5) Модель мултипликатора-акселератора
С t = a1 + b11 Rt + b12 С t −1 + ε 1

I t = a 2 + b21 ( Rt − Rt −1 ) + ε 2 t
R = С + I
t
t
 t
где
(6.9)
С - расходы на потребление;
R - доход;
I - инвестиции;
t - текущий период;
t − 1 - предыдущий период.
6) Конъюнктурная модель
С t = a 1 + b11Yt + b12 С t −1 + ε 1
I = a + b r + b I + ε
 t
2
21 t
22 t −1
2

rt = a 3 + b31Yt + b32 M t + ε 3

Yt = С t + I t + Gt
где
С - расходы на потребление;
Y - ВВП;
I - инвестиции;
r - процентная ставка;
M - денежная масса;
G - государственные расходы;
t и t − 1 - текущий и предыдущий периоды.
136
(6.10)
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
6.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Задача 6.1
Эконометрическая модель задана в виде системы одновременных
уравнений в структурной форме:
 y 1 = b12 y 2 + a 11 x 1 + ε 1 ,
(6.11)

y
b
y
a
x
ε
.
=
+
+
 2
21 1
22 2
2
1) Определить идентифицируемость системы и метод её решения.
2) Реализовать этот метод решения в теоретическом виде:
а) получить модель в приведенной форме;
б) выразить структурные коэффициенты данной модели через приведенные коэффициенты.
Решение.
1) Рассмотрим каждое уравнение системы (6.11) отдельно.
1-е уравнение.
В нем H = 2 эндогенных переменных ( y1 и y 2 ) и D = 1 экзогенных
переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в данном уравнении (т.е. x 2 ). Так как D + 1 = H , то необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверим достаточное условие. Отсутствующих переменных только
одна - x 2 . Надо составить для отсутствующих переменных матрицу из их
коэффициентов в других уравнениях системы. В данном случае эта матрица
состоит только из одного элемента: (a 22 ) . Её определитель a 22 ≠ 0 . Ранг
равен 1, т.е. ранг не менее числа эндогенных переменных системы без 1:
rang (a 22 ) = 1 ≥ H − 1 = 1 . Достаточное условие выполнено.
Т.е. 1-е уравнение системы точно идентифицировано.
2-е уравнение.
В нем аналогично H = 2 эндогенных переменных ( y 1 и y 2 ) и D = 1
экзогенных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в
данном уравнении (т.е. x 1 ). Так как D + 1 = H , то необходимое условие
идентифицируемости выполнено.
Во 2-м уравнении отсутствует переменная x 1 . Анализируемая матрица (1x1) выглядит (a 11 ) . Т.к. a 11 ≠ 0 и rang (a 11 ) = 1 ≥ H − 1 = 1 , то достаточное условие выполнено. Т.е. 2-е уравнение системы тоже точно идентифицировано.
Таким образом, система в целом точно идентифицируема. К ней может быть применен косвенный МНК.
137
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
2) Реализуем косвенный МНК в теоретическом виде. Перейдем к
оценкам СВ, т.е. к уравнениям без случайных компонент.
а) В 1-ом уравнении системы (6.11) выразим оценку переменной ˆy 2 :
yˆ − aˆ 11 x 1
ˆy 2 = 1
.
bˆ
12
Тогда правые части преобразованного 1-го и 2-го уравнений можно
приравнять и преобразовать:
ˆy 1 − aˆ 11 x 1 ˆ
= b 21 yˆ 1 + aˆ 22 x 2 ,
bˆ
12
ˆy 1 − aˆ 11 x 1 = bˆ12 bˆ21 ˆy 1 + bˆ12 aˆ 22 x 2 ,
ˆy 1 − bˆ12 bˆ21 ˆy 1 = aˆ11 x 1 + bˆ12 aˆ 22 x 2 ,
ˆy 1 ( 1 − bˆ12 bˆ21 ) = aˆ 11 x 1 + bˆ12 aˆ 22 x 2 ,
aˆ x + bˆ12 aˆ 22 x 2
ˆy 1 = 11 1
,
1 − bˆ12 bˆ21
aˆ 11
aˆ 22 bˆ12
ˆy 1 =
x1 +
x2 .
1 − bˆ12 bˆ 21
1 − bˆ12 bˆ 21
Обозначив δˆ11 =
aˆ11
aˆ bˆ
δˆ12 = 22 12 , имеем 1-е приведенное
и
1 − bˆ12bˆ21
1 − bˆ12bˆ21
ˆy 1 = δˆ 11 x 1 + δˆ 12 x 2 .
уравнение
Аналогично поступим для нахождения 2-го приведенного уравнения.
Из 2-го структурного уравнения (6.11) выразим переменную y 1 :
ˆy − aˆ 22 x 2
ˆy 1 = 2
.
bˆ
21
Отсюда
ˆy 2 − aˆ 22 x 2 ˆ
= b12 yˆ 2 + aˆ 11 x 1 ,
bˆ
21
ˆy 2 ˆ
aˆ x
− b12 ˆy 2 = 22 2 + aˆ 11 x 1 ,
bˆ21
bˆ21
 1

ˆ  = aˆ x + aˆ 22 x ,
ˆy 2 
−
b
12 
11 1
2
 bˆ
bˆ21
 21

 1 − bˆ12 bˆ21 
aˆ
 = aˆ 11 x 1 + 22 x 2 ,
ˆy 2 
 bˆ

bˆ21


21
aˆ 11 bˆ 21
aˆ 22
ˆy 2 =
x1 +
x2 .
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1−b b
1−b b
12
21
12
138
21
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Обозначим δˆ 21 =
aˆ 11 bˆ21
1 − bˆ bˆ
12
ное уравнение
и δˆ 22 =
aˆ 22
, получим 2-е приведен1 − bˆ bˆ
12
21
21
ˆy 2 = δˆ 21 x 1 + δˆ 22 x 2 .
Итак, получена система уравнений в приведенной форме
где
δˆ11 =
δˆ 21 =
aˆ11
,
1 − bˆ12bˆ21
aˆ bˆ
11
21
1 − bˆ12 bˆ 21
,

 ˆy 1 = δˆ 11 x 1 + δˆ 12 x 2 ,

 y 2 = δˆ 21 x 1 + δˆ 22 x 2 ,
(6.12)
aˆ22bˆ12
ˆ
δ12 =
,
1 − bˆ12bˆ21
(6.13)
δˆ 22 =
aˆ 22
.
1 − bˆ bˆ
12
(6.14)
21
Обратите внимание, что в уравнениях системы (6.12) отсутствуют
свободные члены. В ней под переменными надо понимать их отклонение от
своего среднего значения:
ˆy 2 = ˆy 2 − y 2 ,
ˆy 1 = ˆy 1 − y 1 ,
x1 = x1 − x 1 ,
x2 = x2 − x2 .
Приведенные коэффициенты системы (6.12) можно получать обычным МНК.
б) Структурные коэффициенты выразим через приведенные коэффициенты аналогичными математическими преобразованиями.
Из 2-го уравнения в приведенной форме (6.12) выразим x 2 :
yˆ − δˆ 21 x1
.
x2 = 2
δˆ 22
Подставим в 1-е уравнение:
 ˆy − δˆ 21 x 1 
;
ˆy 1 = δˆ 11 x 1 + δˆ 12  2


ˆ
δ 22


 δˆ 
 δˆ δˆ 
ˆy 1 = δˆ 11 x 1 +  12  ˆy 2 −  12 21  x 1 ;
 δˆ 
 δˆ

 22 
 22 
 δˆ 

δˆ δˆ 
ˆy 1 =  12  yˆ 2 +  δˆ 11 − 12 21  x 1 .
 δˆ 

δˆ 22 
 22 

Получены коэффициенты 1-го структурного уравнения (6.11):
139
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
δˆ
δˆ δˆ
(6.15)
bˆ12 = 12 ,
aˆ 11 = δˆ 11 − 12 21 .
ˆ
ˆ
δ 22
δ 22
Аналогично из 1-го уравнения приведенной формы (6.12) выразим x 1 :
ˆy − δˆ 12 x 2
x1 = 1
.
δˆ 11
Подставим во 2-е:
 ˆy − δˆ 12 x 2 
 + δˆ 22 x 2 ;
ˆy 2 = δˆ 21  1


ˆ
δ 11


 δˆ 
 δˆ δˆ 
ˆy 2 =  21  yˆ 1 −  12 21  x 2 + δˆ 22 x 2 ;
 δˆ 
 δˆ

 11 
 11 
 δˆ 

δˆ δˆ 
ˆy 2 =  21  ˆy 1 +  δˆ 22 − 12 21  x 2 .
 δˆ 

δˆ 11 
 11 

Получены коэффициенты 2-го структурного уравнения (6.11):
ˆ
δˆ 12 δˆ 21
ˆb = δ 21 ,
ˆ
.
aˆ 22 = δ 22 −
21
δˆ
δˆ
11
(6.16)
11
Итак, модель в структурной форме может быть выражена через приведенные коэффициенты:

 δˆ 12 

δˆ 12 δˆ 21 
ˆ



 x1 ,
ˆ
ˆ
y 2 +  δ 11 −
 y1 = 

ˆ
ˆ
δ 22 

 δ 22 


ˆ ˆ 
 δˆ 21 


ˆ − δ 12 δ 21  x .



ˆ
ˆ
y
=
y
+
δ
2
 2  ˆ  1  22
δˆ 11 
 δ 11 


(6.17)
Модель записана для отклонений переменных от своих средних значений, т.е. под x и y понимаются соответственно x − x и y − y . Поэтому в
них отсутствуют свободные члены. Можно перейти к более привычным
уравнениям со свободными членами A01 и A02 относительно переменных x
и y:
ˆ + bˆ ˆy + aˆ x ,

 ˆy 1 = A
01
12 2
11 1
(6.18)

ˆ + bˆ ˆy + aˆ x .
 ˆy 2 = A
02
21 1
22 2
ˆ = y − bˆ y − aˆ x ;
где
A
(6.19)
01
1
12
2
11
1
ˆ = y − bˆ y − aˆ x .
A
02
2
21 1
22 2
(6.20)
140
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Задача 6.2
Выполнить задание, аналогичное задаче 6.1, для следующей структурной формы модели:

 ˆy 1 = bˆ12 ⋅ ( ˆy 2 + x 1 ),

 ˆy 2 = bˆ21 ˆy 1 + a 22 x 2 .
Решение.
(6.21)
1) Рассмотрим каждое уравнение системы отдельно.
1-е уравнение.
В 1-м уравнении H = 1 эндогенных переменных ( ˆy 1 ) и D = 1 экзогенных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в данном уравнении ( x 2 ). Так как D + 1 > H , то не выполнено необходимое
условие идентифицируемости, т.е. 1-е уравнение сверхидентифицируемо.
2-е уравнение.
Оно точно идентифицировано (см. задачу 6.1).
Значит и вся система сверхидентифицируема. К нему может быть
применен двухшаговый МНК.
2) Аналогично задаче 6.1 получим систему в приведенной форме:

 ˆy 1 = δˆ 11 x 1 + δˆ 12 x 2 ,
(6.22)

 ˆy 2 = δˆ 21 x 1 + δˆ 22 x 2 ,
aˆ 22
bˆ12
aˆ 22 bˆ12
bˆ12 bˆ 21
ˆ
ˆ
ˆ
где δ 11 =
, δ 12 =
, δ 21 =
, δˆ 22 =
.
1 − bˆ bˆ
1 − bˆ bˆ
1 − bˆ bˆ
1 − bˆ bˆ
12 21
12 21
12
21
12
21
На основе 2-го уравнения системы (6.22) в приведенной форме
найдем для всех наблюдений эндогенную переменную ˆy 2 , подставляя в него значения x 1 и x 2 (напомним, что это отклонения от средних значений).
Подставляя вместо теоретических значений ˆy 2 их оценки ˆy 2 , найдем
значения новой переменной zˆ = ˆy 2 + x 1 для 1-го уравнения системы (6.22).
Таким образом, с новой переменной система (6.22) станет выглядеть

 ˆy 1 = bˆ12 ⋅ ˆz ,
(6.23)

 ˆy 2 = bˆ21 ˆy 1 + aˆ 22 x 2 .
К 1-му уравнению системы (6.23) можно применить обычный МНК и
получим оценку bˆ12 . Оценки bˆ21 и aˆ 22 находятся аналогично косвенному
методу из системы приведенных уравнений.
141
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Задача 6.3
Изучается модель функционирования торгового предприятия:
Y = b12 C + a 11 S + ε 1 ,

C = b 21Y + a 22T + ε 2 ,
(6.24)
где Y - среднемесячные расходы
предприятия (млн. руб.);
C - среднемесячные доходы
предприятия (млн. руб.);
S - торговые площади (кв. м);
T - торговое оборудование предприятия (млн. руб.).
Собраны статистические данные о
12 предприятиях города (рис.6.1).
Определить тип используемых
переменных и идентифицируемость
модели. Определить метод её решения.
Рис. 6.1
1) Реализовать косвенный МНК
практически.
2) Получить оценки коэффициентов модели обычным МНК. Сравнить КМНК-оценки и ОМНК-оценки.
3) Оценить точность моделей.
Решение.
1) В исследуемой системе уравнений переменные S и T задаются
извне как исходные внешние данные и не определяются в самой системе.
Они экзогенные. Это логично: торговые площади предприятия и его оснащённость торговым оборудованием - это относительно постоянные (в стабильный период) для каждого предприятия факторы, определяющие его
расходы и доходы. А переменные Y и C вычисляются внутри системы при
внешних исходных данных. Они эндогенные.
ˆy 1 = Y ,
Обозначим переменные в виде, аналогичном задаче 6.1:
ˆy 2 = C , x 1 = S , x 2 = T . Тогда исходная система будет записана в более
привычном виде, аналогичном (6.11):

 ˆy 1 = bˆ12 ˆy 2 + aˆ 11 x 1 ,
(6.25)

 ˆy 2 = bˆ21 ˆy 1 + aˆ 22 x 2 .
Как показано в задаче 6.1, в ней оба уравнения (и сама система)
точно идентифицированы. Метод её решения - косвенный МНК, алго142
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
ритм которого описан выше. Решим систему (6.25) в приведенной
форме (6.12).
2) Уравнения системы (6.12) записаны для отклонений переменных от
своих средних значений. Поэтому сначала получим в 16-й строке средние
значения каждой переменной с помощью функции СРЗНАЧ (рис.6.5):
y 1 = 10 ,48 , y 2 = 7 ,65 , x 1 = 64 ,98 , x 2 = 7 ,30 .
Отклонения от средних вычислим в дополнительных столбцах
F,G,H,I, условно обозначив их в ячейках F1, G1, H1, I1 как «dy1», «dy2»,
«dx1» и «dx2». Для получения отклонений переменной ˆy 1 введем в ячейке
F4 формулу «=B4-$B$16» и протянем её по диапазону ячеек F4:F15. Аналогично поступим с остальными столбцами.
Получим коэффициенты приведенной системы. Это можно сделать
разными способами, описанными ранее в главе 1. Целесообразно воспользоваться возможностями функции ЛИНЕЙН, которая позволяет не только
вычислять коэффициенты, но и автоматически пересчитывать их при изменении исходных данных.
Получим коэффициенты 1-го уравнения системы (6.12).
Подписав в ячейках B20 и C20 поясняющие надписи «d12» и «d11»,
выделим для вывода коэффициентов δˆ 12 и δˆ 11 ячейки B21:C21. Вызовем
функцию ЛИНЕЙН и введём данные в предложенную форму (рис.6.2). Обратите внимание, что исходные данные должны браться из ячеек F4:F15 и
H4:I15 с отклонениями от средних значений. Кроме того, в графе «Константа» надо указать значение «ложь» (т.к. в уравнениях отсутствуют свободные члены), а в графе «Стат» - значение «истина» (т.к. необходим расчет двух коэффициентов сразу). Напомним, что итоговое нажатие "OK"
должно быть при нажатых кнопках Ctrl+Shift.
Рис.6.2
ˆ
ˆ
Итак, имеем δ 12 = 0 ,311 , δ 11 = 0 ,067 (рис.6.5)..
Аналогично в ячейках B23:C23 получим коэффициенты 2-го уравнения приведенной системы δˆ 22 = 0 ,433 , δˆ 21 = 0 ,052 .
143
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Воспользуемся полученными в задаче 6.1 пересчетными формулами
(6.15), (6.16), (6.19), (6.20) для коэффициентов и свободных членов структурной системы уравнений. Вычислим их в ячейках G21:I21 и G23:I23.
Например, коэффициент bˆ12 получим по расчетной формуле (6.15), введя в
ячейку G21 формулу «=B21/B23». Остальные структурные коэффициенты и
свободные члены получаются аналогично (рис.6.5):
ˆ = 3 ,052 ,
bˆ12 = 0 ,717 , aˆ 11 = 0 ,030 , A
(6.26)
01
ˆ = - 1,865 .
bˆ = 0 ,774 , aˆ = 0 ,193 , A
(6.27)
21
22
02
Таким образом, по имеющимся исходным данным для торгового
предприятия получена следующая эконометрическая модель (система уравнений в структурной форме):
 ˆy 1 = 3 ,052 + 0 ,717 ˆy 2 + 0 ,030 x 1 ,
(6.28)

 ˆy 2 = -1 ,865 + 0 ,774 ˆy 1 + 0 ,193 x 2 .
3) Попробуем для сравнения получить коэффициенты уравнений этой
системы с помощью обычного МНК (без предварительных преобразований
в приведенную форму).
Например, рассмотрим 1-е уравнение изучаемой системы (6.24). Объясняющими переменными в нём являются ˆy 2 и x 1 , объясняемой - ˆy 1 . Коэффициенты множественной регрессии могут быть найдены различными
способами (см. раздел 3). Например, воспользуемся функцией ЛИНЕЙН.
Напомним, что её особенностью является то, что массивы (столбцы) объясняющих переменных должны быть соседними и входной массив вводится
целиком, а не отдельно по столбцам для каждой переменной. В частности, в
таблице столбцы переменных ˆy 2 и x 1 (C и D) уже расположены рядом. Поэтому можно сразу приступать к расчетам.
Подпишем в ячейках L20:N20 комментарии, выделим место для вывода результатов (диапазон ячеек L21:N21) и вызовем функцию ЛИНЕЙН.
Выходной интервал ("Изв_знач_y")- B4:B15, входной интервал
("Изв_знач_x")- С4:D15. Т.к. в модели предполагается наличие свободного
члена, то в графе «Константа» можно ничего не указывать (что равнозначно значению "истина"), а в графе «Стат» - значение «истина» (т.е. необходим расчет не только одного коэффициента). В результате
ˆ = 3 ,218 .
bˆ12 = 0 ,043 , aˆ 11 = 0 ,587 , A
(6.29)
01
Аналогичные расчеты произведём для 2-го уравнения. Объясняющими переменными в нём являются ˆy 1 и x 2 , объясняемой - y 2 . Столбцы объясняющих переменных для расчетов функцией ЛИНЕЙН должны быть соседствующими. Поэтому с помощью ссылок перенесем данные из исходных
столбцов B и E в правую часть расчетной таблицы во вспомогательные соседствующие столбцы J и K. Выходной интервал ("Изв_знач_y")- C4:C15,
входной интервал ("Изв_знач_x")- J4:K15. Расчеты дают значения
144
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
ˆ = −1 ,423 .
bˆ21 = 0 ,307 , aˆ 22 = 0 ,652 , A
(6.30)
02
Как видно, значения (6.26), (6.27) коэффициентов и свободных членов
уравнений, полученные косвенным МНК, существенно отличаются от полученных обычным МНК (6.29), (6.30).
Это объясняется тем, что при использовании обычного МНК для рассматриваемой системы эконометрических уравнений нарушается предпосылка множественного МНК о независимости факторов друг от друга. Это
приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов при использовании обычного МНК. Во многих случаях могут получиться даже
экономически бессмысленные коэффициенты.
4) Для визуальной оценки точности полученных моделей (КМНК и
ОМНК) получим в дополнительных колонках расчетной таблицы для каждой из них оценочные значения переменных y 1 и y 2 (рис.6.5). Видно, что
оценочные значения КМНК близки к наблюдаемым. Это можно визуализировать на графике (рис.6.3, 6.4).
Рис. 6.3_
Рис. 6.4
По графику видно, что результаты, полученные КМНК, существенно
точнее полученных ОМНК.
Для численной проверки точности полученных моделей вычислим
средние относительные ошибки объясняемых переменных y 1 .
Введем столбцы P, Q, R, S, соответствующим образом их озаглавив
(рис.6.5). В ячейке P4 введем формулу вычисления относительной ошибки
"=abs((B4-L4)/B4)" и протянем её по ячейкам P4:P15. В ячейке P16 с помощью СРЗНАЧ получим среднюю относительную ошибку
1 n
1 n e1 i
∑
∑
A1КМНК
=
A
=
• 100% = 2 ,12% .
ср .
n i =1 1 i n i =1 y 1 i
145
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Как видно, она находится в допустимых пределах ≤ 8...10% , что говорит об удовлетворительном качестве модели применительно к переменной y 1 .
Аналогично в столбце P получим оценку средней относительной
ошибки для переменной y 2 . Она тоже в допустимых пределах
A2КМНК
= 3 ,19% .
ср .
Аналогичные расчеты для ОМНК подтверждают визуальную картинку (рис.6.3, 6.4):
A1ОМНК
= 269 ,82% , A2ОМНК
= 20 ,18% .
ср .
ср .
Т.о. качество полученной КМНК-модели удовлетворительное. А
ОМНК-модель практически непригодна для использования.
Оценим качество КМНК-модели ещё и коэффициентами детерминации для каждого уравнения в отдельности. Можно воспользоваться инструментом "Регрессия" встроенного пакета анализа (см. раздел 1). Для 1-го
уравнения системы (6.28) входной интервал Y надо задавать B4:B15 ( y 1 ),
входной интервал X – C4:D15 ( y 2 и x 1 ).Для 2-го уравнения соответственно
C4:C15 ( y 2 ) и J4:K15 ( y 1 и x 2 ).Как показывают расчеты, качество каждого
уравнения (а значит и всей КМНК-модели в целом) очень высокое:
R12 = 0 ,995 , R 22 = 0 ,994 .
Оба уравнения (а значит и модель в целом) значимы:
F1 = 809 ,12 , F 2 = 715 ,98 .
Значимость каждого коэффициента обоих уравнений регрессии определим с помощью их t-статистик, которые также возьмем из результатов инструмента "Регрессия".
Коэффициент bˆ12 значим на уровне γ = 0 ,95 :
t 12 = 2 ,41 > t 0 ,95 ;12 − 2 = 2 ,23 .
Коэффициент aˆ 11 незначим, но близок к порогу значимости:
t 11 = 1 ,78 < t 0 ,95 ;12 − 2 = 2 ,23 .
Коэффициент bˆ значим на уровне γ = 0 ,95 :
21
t 21 = 2 ,67 > t 0 ,95 ;12 − 2 = 2 ,23 .
Коэффициент aˆ 22 незначим на уровне γ = 0 ,95 :
t 22 = 1 ,33 < t 0 ,95 ;12 − 2 = 2 ,23 .
Низкая значимость коэффициентов aˆ 11 и aˆ 22 , вероятно, объясняется
небольшим объемом выборки ( n = 12 ). Напомним, что во множественной
регрессии на каждый оцениваемый фактор необходимы >5…8 наблюдений.
146
Полянский Ю.Н.
Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
Рис. 6.5
147
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа