close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»
На правах рукописи
Стебулянин Михаил Михайлович
Стабилизация состояний квадратичносвязных интервальных
динамических систем на основе алгебраического метода форм
модульных переменных
05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации
(технические системы)
Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук
Москва - 2014
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………..5
Глава 1. Моделирование квадратичносвязных систем на примерах
объектов мехатроники……………………………………………………..13
1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем………………………..13
1.2 Примеры динамических моделей объектов мехатроники………….…21
1.2.1 Робот-станок……………………………………………………...21
1.2.2 Автономный подводный аппарат……………………………….26
1.2.3 Беспилотный вертолет………………………………………..….29
1.3 Моделирование программного режима движения………………….....35
1.3.1 Метод интегрирующей процедуры…………………………...…35
1.3.2 Метод преследования………………………………………….....37
1.3.3 Настройка коэффициентов обратных связей……………...........39
1.4 Модель возмущенного движения…………………………………….....44
1.5 Задача и концепция стабилизации…………………………………....…48
Выводы из главы 1…………………………………………………………...52
Глава 2. Математические основы метода интервальных форм
модульных переменных……………………………………………………53
2.1 Некоторые преобразования векторов 2-го порядка…………………....54
2.2 Интервальные числа и действия над ними…………………………......60
2.3 Элементы алгебры интервальных матриц…………………………..….65
2.4 Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм
модульных переменных…………………………………………….......75
2.5 Теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы…….............82
Выводы из главы 2…………………………………………………………...93
3
Глава 3. Результаты в области условий устойчивости нелинейных
нестационарных систем……………………………………………….……94
3.1 Лемма о (n)  граннике полинома……………………………………....94
3.2 Условие асимптотической устойчивости нелинейной динамической
системы с переменными параметрами……………………………..…101
3.3 Теорема об устойчивости в малом динамической
комбинированной системы……………………………………….........112
Выводы из главы 3………………………………………………………….127
Глава 4.Построение стабилизатора интервальной квадратичносвязной
системы методом модульных форм…………………………………….128
4.1 Проблемный вопрос метода форм……………………………….…....128
4.2 Метод форм модульных переменных при синтезе неявного
стабилизатора…………………………………………………………...132
4.3 Критический анализ полученных результатов…………………….….139
4.4 Оценка времени переходного процесса в системах
с кубичной стабилизацией……………………………………………..142
4.5 Решение уравнения стабилизатора…………………………………….147
4.5.1 Случай действительных параметров…………………………....147
4.5.2 Случай интервальных параметров……………………………....151
4.6 Комбинаторный метод настройки стабилизаторов систем по
скорости….. ………………………………………………………….…156
Выводы из главы 4………………………………………………………….167
Глава
5.
Построение
стабилизатора
нелинейных
систем
с
полиномиальными ограничениями скорости возмущений…………169
5.1 Матрицы эквивалентных преобразований векторов высокого
4
порядка…………………………………………….……………………170
5.2 Лемма о покрывающей конечной интервальной формы…………….173
5.3 Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной
интервальной формы. ………………………………………………….175
Выводы из главы 5………………………………………………………….179
Глава 6.
Экспериментальное исследование метода модульных
форм…………………………………………………………………………180
6.1 Пример абстрактной системы……………………………………….…180
6.2 Пример моделирования режима висения робота-вертолета………....188
6.3 Пример моделирования позиционного режима движения
трехзвенного манипулятора…………………………………………...202
6.4 Эксперимент на малогабаритном беспилотном вертолете……….….215
Выводы из главы 6 …………………………………………………………229
Заключение…………………………………………………………………230
Список литературы ………………..……………………………………...233
Приложения. Комментарии к разработанным программам ………...….244
А Программа compensator………………………………………………….246
Б Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.2…………...252
В Пакет моделирования режима висения вертолета……….....................268
Г Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.3………….. 278
Д Пакет моделирования позиционного перемещения манипулятора…..286
Е Вертолет на тензостенде………………………………………………..300
Ж Схема бортовой аппаратуры…………………………………………....301
И Электронные устройства системы управления ЛА……………………302
К Поверхности функций моментов крена и тангажа…………………….303
5
Введение
В 1892 г. появилась знаменитая работа замечательного русского математика
Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения»,
положившая начало развитию математической теории устойчивости. Эта работа
намного опередила свое время, и, может быть, вследствие этого при жизни автора
не получила должного признания.
Лишь в 30-х годах после возникновения под руководством Н.Г.Четаева
Казанской школы механиков стал бурно развиваться метод функций Ляпунова.
Будучи выдающимся ученым, Н.Г.Четаев не только организовал исследования и
практическое использование теории устойчивости, но и сам внес весомый вклад в
ее разработку [1,2]. Позже последователями идей А.М.Ляпунова стали такие
известные ученые, как А.И. Лурье, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, Н.П. Еругин,
В.А. Плисс, В.А. Якубович, И.Г. Малкин, Б.С. Разумихин, М.А. Айзерман, В.В.
Румянцев, В.И. Зубов, А.М. Летов и многие другие.
В послевоенные годы теория устойчивости движения получила мировое
признание. Достаточно сослаться на работы Р. Бэсса, Р.Е. Калмана, Дж. Бертрама,
И.П. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Хана, В.-М. Попова, Р. Беллмана, Х.Л. Массеры,
Дж. Сансоне, Т. Йосидзавы, Р. Конти, Н.Ф. Минорского и др.
Появились новые направления: устойчивость неустановившихся движений [3],
устойчивость при постоянно действующих возмущениях [4], устойчивость на
конечном интервале [5], проблема обращения в теории устойчивости [6,7],
устойчивость в критических случаях [8], устойчивость по отношению к части
переменных [9,10], устойчивость алгебро-дифференциальных систем [11].
По
выражению
А.М.Летова
«современная
теория
автоматического
регулирования, в каком бы виде она ни излагалась, опирается на единственный и
6
прочный фундамент – учение А.М.Ляпунова об устойчивости движения».
Появление в последние десятилетия новых сложных технических устройств,
таких, как беспилотные вертолеты, подводные автоматические аппараты, роботыстанки,
интеллектуальные
робототехнические
комплексы,
обоснованно
связывается с успехами в развитии систем стабилизации заданных (программных)
движений по многим координатам с взаимовлиянием.
Объясняется это следующим. Как известно, критериями при синтезе линейных
систем
автоматического
управления
(САУ)
выступают
определенные
предписания параметров переходных процессов (таких, как относительное
перерегулирование, время, установившиеся статические и скоростные ошибки)
при ступенчатых или линейно нарастающих входных воздействиях, а также
динамические ошибки при отработке эквивалентных гармонических сигналов
[21].
Адекватное прогнозирование поведения системы в общей ситуации исходя из
характеристик в частных случаях приводит при синтезе линейных САУ к
допустимости частных критериев качества.
Однако, нельзя утверждать, что нелинейная САУ сохранит качество при
отработке произвольного входного воздействия, если она проанализирована при
частных входных сигналах. Сама формулировка и обоснование частных
критериев синтеза нелинейной многосвязной системы представляет собой
соответствующей сложности задачу.
Поэтому, из-за проблематичности выбора
таких систем
распространен общий
частных критериев, при синтезе
подход, как
комплекс действий по
разработке законов стабилизации заданных (программных) движений, поскольку
понятно, что требование устойчивости программного движения является
первичным.
Методологию построения законов стабилизации дает теория устойчивости.
7
Можно даже сказать, что стабилизация движения принципиально есть, прежде
всего,
следствие решенной
задачи
асимптотической
устойчивости
этого
движения. Справедливо также и то замечание, что, с одной стороны, построение
адекватных законов стабилизации является фактом практического внедрения
результатов теории устойчивости, а с другой стороны, новые задачи в области
стабилизации движения обогащают и развивают саму эту теорию.
В
настоящее
время
уже
существуют
определенные
обобщения
и
рекомендации в области построения функций Ляпунова; достаточно указать,
например, на работы [23-47]. Тем не менее, следует заметить, что успех в этой
области во многом остается зависящим от
индивидуального мастерства
разработчика системы.
Современные системы основаны на взаимопроникающих связях объектов
точной механики , электроники и вычислительной техники, что обусловило
появление нового термина: мехатронные системы.
Терминологическим и методологическим вопросам построения мехатронных
систем посвящены многие работы [12-20]. Однако, полная классификация пока не
дана. Отчасти этому способствует весьма широкое проникновение мехатронных
систем в различные области техники, например, робототехнику, авиационную и
военную
технику,
медицинское
оборудование,
офисную
технику,
автомобилестроение, контрольно-измерительную технику и др.
Значительная
доля
рынка
в
мехатронике
приходится
на
долю
робототехнических систем, причем эта доля возрастает засчет появления их
новых типов, таких, как интеллектуальные роботы-помощники бытового
назначения, роботы-станки, боевые экзоскелетоны, роботы-минеры и др. При
этом одной из важных характеристик современной сложной системы является ее
многосвязность, что выражается в существенном влиянии нескольких или всех
переменных
состояния
системы
друг
на
друга,
особенно
в
случаях
8
перспективного применения безредукторных силовых приводов, практически
исключающих автоколебательные режимы.
Не умаляя важности и сложности различных вопросов при построении
мехатронной системы, следует подчеркнуть, что именно вопросы анализа
многокоординатного механического движения являются одними из самых
сложных в общем комплексе задач при ее проектировании.
Как правило, в уравнениях динамики многосвязных механических объектов
присутствуют произведения обобщенных скоростей, а также
нелинейные
функции координат движения (например, тригонометрические). В силу этого
многосвязная
(Конкретный
мехатронная
пример
-
система
является
различного
типа
существенно
роботы
кинематическими парами и безредукторным приводом.)
с
нелинейной.
вращательными
Кроме того, для нее
характерны неточности определения параметров, которые вызываются как
причинами вычислительного характера, так и нестационарностью. Так, моменты
инерции реального звена промышленного робота могут быть определены только
методом конечных элементов, а значит, лишь с некоторой степенью точности.
Величины присоединенных масс воды подводного аппарата, увлекаемые при его
движении, совокупно зависят от многих факторов и переменны, но ограничены в
определенных пределах. В вертолетных системах действие автоматов перекоса
несущих винтов может привести к взаимовлиянию каналов тангажа и крена
планера в некоторых углах и т.д. Как известно, в подобных случаях системы
рассматриваются, как интервальные по параметрам.
Основным инструментом достижения целевых состояний системы продолжает
оставаться
принцип
обратной
связи
по
переменным
этих
состояний.
Традиционное построение регуляторов технических систем (например, в рамках
принципа подчиненного регулирования контуров [22]) предполагает их синтез в
условиях сепаратных приводов со скалярными выходами. Однако, когда развязка
дифференциальных уравнений модели системы на совокупность скалярных не
9
представляется возможной, принцип главной обратной связи по сепаратному типу
уже «не работает».
Таким образом, в настоящее время в практике проектирования новой техники
расширяется
класс
нелинейных
интервальных
многосвязных
систем
с
необходимостью стабилизаторов на основе векторных обратных связей по
переменным состояний. В этом классе получение аналитических решений либо их
оценка весьма затруднены, что приводит к возрастанию роли математического
моделирования таких систем, а следовательно, общих рекомендаций при
построении их моделей. При этом вполне понятно, что оценка качества новой
системы возможна только при выполнении требования устойчивости ее
состояний, а значит, моделировать имеет смысл только те состояния, которые
являются стабилизируемыми.
При
моделировании
следует
разумно
ограничить
обобщенную
математическую модель системы свойствами рассматриваемого конкретного
класса,
оставляя
главные
системно-функциональные
признаки.
Модели
современных сложных стабилизируемых систем принадлежат в большом числе
случаев к классу многосвязных квадратичных (далее - квадратичносвязных)
интервальных моделей с неустойчивостью собственного движения. Это означает,
что даже в отсутствие внешних возмущений качество системы будет низким.
Общий случай стабилизации системы предполагает наличие двух компонент:
компенсатора внешних постоянно действующих возмущений и стабилизатора
собственного движения, однако, без второй компоненты система не будет
соответствовать предъявленным требованиям даже в самых благоприятных
условиях.
При
этом
построение
программный
стабилизатора
комплекс,
обеспечивающий
собственных
состояний
гарантированное
квадратичносвязной
интервальной системы, требует специального математического обеспечения.
10
Все вышесказанное определяет цель, задачи и практическую значимость
данной диссертации.
Целью диссертационной работы является решение научной проблемы
стабилизации
состояний
квадратичносвязных
динамических
систем
с
интервальной неопределенностью параметров путем создания математических
основ, методов построения и инженерно-ориентированного алгоритмического
обеспечения универсальных стабилизаторов на основе разработанного автором
алгебраического метода форм модульных переменных, что способствует
техническому прогрессу в таких областях, как робототехника, беспилотная
авиация, мобильная техника и станкостроение.
В диссертации решаются следующие научные задачи:
- структурный анализ динамических уравнений квадратичных систем в
современной практической мехатронной технике;
-
формирование
динамических
концепции
интервальных
стабилизации
систем,
в
движений
рамках
квадратичносвязных
которой
обеспечивается
квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект и минимизация
требуемого ресурса управления;
- разработка специального математического обеспечения решений задач
стабилизации
динамических
квадратичных
систем
с
интервальной
неопределенностью параметров;
- математическое обоснование применимости интервальных моделей при анализе
устойчивости
многосвязных
динамических
систем
с
переменными
коэффициентами;
- разработка инженерно-ориентированного метода и алгоритмов построения
универсального стабилизатора для динамических квадратичных интервальных
систем, в том числе заданных в квазикоординатах;
11
- разработка метода настройки регуляторов многосвязной мехатронной системы
в режиме малых движений (динамического позиционирования) при неизвестных
коэффициентах взаимовлияния степеней подвижности;
- создание метода построения стабилизатора нелинейной полнозамкнутой
системы с двусторонним полиномиальным ограничением неизвестных функций
собственного движения в возмущениях;
-
построение
программного
комплекса,
обеспечивающего
моделирование
разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с
визуализацией получаемых результатов.
Практическая значимость работы состоит в том, что аналитические,
алгоритмические и программные решения по построению универсального
стабилизатора сложных интервальных квадратичных систем позволяют снизить
сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая
характеристики их функционирования на математических моделях, а не
средствами макетирования и натурного эксперимента. При этом алгоритмы
стабилизации могут быть использованы в программном обеспечении реальных
робототехнических и мехатронных систем с безредукторными исполнительными
приводами, повышая устойчивость и точность их программных движений, а
следовательно, расширяя область их функциональных возможностей.
Теоретическая
база
исследования
основывается
на
прямом
методе
А.М.Ляпунова в теории устойчивости движения, классической интервальной
арифметике,
теории
обыкновенных
дифференциальных
уравнений,
математическом анализе, линейной алгебре.
Достоверность результатов обеспечивается:
1) математическими доказательствами новых положений на основе указанной
выше теоретической базы работы; 2) подтверждением теоретических результатов
при компьютерном моделировании разработанных алгоритмов; 3) результатами
12
экспериментального исследования автопилота малогабаритного робота-вертолета
в условиях стендовых испытаний.
Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности
05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации
(технические науки) в области «анализа сложных прикладных объектов
исследования»
при
разработке
специального
математического
и
алгоритмического обеспечения систем управления, а также методов и алгоритмов
структурно-параметрического синтеза сложных систем в полном соответствии с
п.п.5,7 области исследования паспорта указанной специальности.
13
Глава 1
Моделирование квадратичносвязных систем на примерах объектов
мехатроники
1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем
Пожалуй, наиболее яркими представителями квадратичносвязных систем в
современной технике являются мехатронные системы, динамические модели
которых отличаются сложной структурой и весьма трудоемки в разработке.
Одним из основных вопросов при построении модели мехатронной системы
является описание механического
движения ее исполнительного устройства.
Задачам математического описания механических
движений
посвящена
обширнейшая литература, начиная с классических трудов Даламбера, Ньютона,
Эйлера, Лагранжа, Аппеля, Гамильтона, Кориолиса, Гюйгенса, Рауса, Бернулли,
лорда Кельвина, Якоби И. и заканчивая современными периодическими изданиями.
Из отечественных авторов следует назвать Чаплыгина С.А., Крылова А.Н., Лурье
А.И., Четаева Н.Г., Румянцева В.В., Сретенского Л.Н. и многих других. (Достаточно
полный именной указатель с краткими характеристиками работ содержится,
например, в двухтомнике знаменитого труда Э.Рауса «Динамика системы твердых
тел» .)
Объектом моделирования в мехатронной системе является прежде всего
исполнительное устройство, совершающее сложное механическое движение,
описываемое
дифференциальными
(динамическими)
уравнениями.
Разные
уравнения динамики, безусловно, в конечном итоге принципиально приводят к
одним и тем же результатам вычислений характеристик движения. Выбор того или
14
иного вида уравнений определяется только удобством его использования в
конкретных условиях либо наиболее компактной формой записи.
Несмотря на достаточно большое разнообразие современных мехатронных
систем, каждая из них
в части исполнительных устройств представляет собой
совокупность твердых тел, взаимодействующих друг с другом, а также с внешними
объектами. Для моделирования таких систем широкое распространение получили
уравнения Лагранжа 2-го рода в явной и неявной формах. Формализм данных
уравнений удобен тем, что для их записи достаточно знать функциональные
зависимости кинетической и потенциальной энергии системы тел от выбранных
обобщенных координат и скоростей. Кроме того, появляется возможность в единой
форме уравнений дать аналитические выражения сил реакций всех действующих в
системе связей.
При интегрировании уравнений динамики весьма важной задачей является
адекватное вычисление в функции обобщенных координат/скоростей либо времени
внешних сил (возмущений), действующих в системе. Модели внешних сил могут
быть известны из разделов других научных дисциплин, например, модели сил
резания [48], необходимые при проектировании мехатронных систем современных
сложных станков, или модели аэродинамических сил, действующих на несущий
винт беспилотного вертолета [49, 50] и т.д.
Для реализации закона изменения
активных обобщенных сил
в модель
мехатронной системы вводятся модели приводов ее звеньев, которые сами по себе
могут быть весьма сложными [51]. При этом под обратной задачей привода
понимают задачу вычисления входного воздействия при заданных величинах
момента/силы двигателя и скорости движения его ротора.
Физической связностью многокоординатного привода называют такое явление,
когда один или несколько сепаратных движителей изменяют не только
«собственные» обобщенные координаты, но и хотя бы одну другую, причем
непосредственно. Примером связного привода может служить система рулевых
15
машинок автоматов перекоса несущего винта вертолета. В реальных условиях
связность привода необходимо корректировать. Это составляет задачу развязки
связного привода, решение которой предшествует решению обратной задачи.
Интегрирование динамических уравнений проводят в рамках прямой задачи
динамики,
когда по известному
(заданному) закону изменения во времени
обобщенных сил системы находят, как следствие, закон изменения ее обобщенных
координат.
Вычисленные обобщенные координаты мехатронной системы определяют ее
физические координаты, т.е. положения
всех ее механических звеньев в
пространстве. Зависимость физических координат движения от обобщенных
выражается при решении прямой задачи кинематики системы. Однако, это не всегда
может выполняться однозначно, как в случае, например, телескопических систем.
Вычисление
обратной
зависимости
составляет
предмет
обратной
задачи
кинематики (ОЗК), которая также может иметь неоднозначное решение, как,
например, для робототехнических систем с так называемой избыточностью
координат.
Современные
мехатронные
системы
должны
иметь
эффективное
информационное обеспечение для своих координат движения вплоть до уровня
второй производной. Это позволяет построить структурные взаимосвязи в
замкнутых моделях систем как на исполнительном, так и на тактическом
иерархическом уровне. При замыкании отображается вектор ошибок управления,
который в конечном итоге определяет закон обобщенных сил системы.
В
замкнутых
использовании
моделях
многокоординатных
исполнительных
обратных
мехатронных
связей
происходит
систем
при
целеуказание
отдельно по каждой обобщенной координате после
решения ОЗК, а затем
формирование
в
соответствующей
обобщенной
силы
функции
величины
сепаратной ошибки и ее производных на основе принципов динамического синтеза
систем регулирования [52].
16
Структурно
исполнительные
ОС
относительно
просты
и
являются
традиционными в условиях, когда взаимовлияние координат движения отсутствует
или мало, например, при наличии редукторов в механических передачах приводов
автоматических систем. Однако, в случае безредукторной кинематики нетрудно
показать неэффективность традиционного построения регуляторов, основанных на
сепаратных обратных связях [53].
В системах с существенным взаимовлиянием неизбежны обратные связи
тактического уровня (тактические ОС), когда каждая обобщенная сила формируется
как функция вектора переменных состояния системы с целью устранения ошибок
движения. При построении таких связей в моделях сложных нелинейных систем
распространены три подхода.
1. Первый подход основан на принципе динамической коррекции, когда в закон
изменения отдельной координаты системы вводят компоненты, равные по величине
и противоположные по знаку всем внешним для данной координаты величинам
[54]. При этом дифференциальное уравнение координаты приводят к линейному
виду с некоторым эталонным характеристическим полиномом [55].
Основной сложностью моделирования при таком подходе является не только
громоздкий аналитический аппарат, но и возможный, а скорее всего неизбежный,
разброс параметров динамической модели и реальной системы. Особенно это
характерно для интервальных систем. Параметрические ошибки могут в таком
случае привести к
потере не только качества характеристик, но и собственно
устойчивости движения.
2. В основе второго подхода лежит известный метод декомпозиции систем,
предложенный Е.С. Пятницким [56]. Метод предлагает проведение «развязки»
системы не с помощью «гашения» внешних для координаты факторов, а с помощью
амплитудно-релейных воздействий.
Однако, это представляется для реальных систем не всегда приемлемым. Вопервых, вследствие инерционности современных движительных устройств, пусть и
17
малой, «прямоугольные» скачки обобщенных сил невозможны. (Например,
изменение
скачком
гидродинамических
тяги
гребного
свойств
жидкости
винта
[57].)
судна
невозможно
Во-вторых,
способ
из-за
является
неустойчивым в малом, а в-третьих, его реализация требует потребления приводом
движения максимальной мощности. Так, в случае использования в системе в
качестве движителей электродвигателей постоянного тока это приведет к разогреву
двигателя максимальным по величине током.
Но есть и еще один весьма существенный недостаток: это возможность
недопустимых структурных изменений объекта, трудноучитываемых при его
моделировании. Например, при стабилизации вертолетов пренебрегают в первом
приближении маховым движением лопастей несущих винтов [58]. Однако, при
амплитудных воздействиях на автоматы перекоса винта маховое движение его
лопастей становится критическим вплоть до необратимой аварии летательного
аппарата. При этом математическая модель объекта резко изменяется, становясь
переменной по структуре и нестационарной по параметрам.
3. И, наконец, третий подход основан на прямом методе А.М.Ляпунова, когда
систему дифференциальных уравнений модели, чье собственное возмущенное
решение является неустойчивым в нуле, приводят с помощью аддитивного
стабилизатора к виду с асимптотически устойчивым тривиальным решением [5961].
Здесь
вследствие
отсутствия
общей
платформы
многое
зависит
от
математической квалификации и искусства разработчика стабилизатора.
В этой связи следует отметить работу [62], где на теоретическом уровне решены
вопросы построения непрерывных стабилизаторов при управлении движением
механических систем, cостояние которых задается обобщенными координатами
1 , 2 , … ,  , а кинетическая энергия кин системы записывается в виде:
1
кин =  (, ) +  (, ) + 0 (, ) ,  = [1 , 2 , … ,  ] ,
2
(1.1.1)
где , , 0 - соответственно матрица, вектор и скаляр. Тогда явная форма
18
уравнения Лагранжа 2 рода
 кин


−
кин

= , где  ∈  – вектор обобщенных сил,
приобретает вид:
=
.
 = (, , , )
(1.1.2)
Пусть  = () - заданное (программное) движение системы, которому
соответствует вектор обобщенных сил  , а () - некоторое другое движение,
отклоненное от заданного, и ему соответствует вектор обобщенных сил:
 =  +  .
Рассмотрим вектор  =  −  , описывающий отклонение движения от
заданного и запишем кинетическую энергию системы в отклоненном движении
[95]:
1

кин
=   ,   +  ,   + кин (, ) ,
2
где  ,  = (,  + ()),  ,  =  ,  +  
+  ,  +   (),
1
кин =    ,  +     +  ,  +     + кин (,  +   ) .
2
Вводя величину кин ,  = кин ,  +  
1
− 0 (,   ) , получим

кин
=   ,   +  ,   + кин (, ) .
2
(1.1.3)
В силу одинаковой структуры выражений (1.1.1) и (1.1.3) явная форма уравнения
Лагранжа 2 рода системы в отклонениях обобщенных координат получает
аналогичный (1.1.2) вид:
=
.
 = (, ,  , )
(1.1.4)
В уравнениях (1.1.4) необходимо вычислить такой вектор  , при котором
тривиальное решение  =  = 
асимптотически устойчиво по Ляпунову.
19
Нетрудно видеть, что эта задача равносильна задаче вычисления в (1.1.2) такого
, чтобы программное движение  = () было бы аналогично устойчиво.
Отсюда в [62] принимается вывод, что всегда, не умаляя общности, можно
полагать, что в (1.1.2) координаты выбраны так, что движение   ≡  является
заданным.
Определяющим
условием
для
этого,
разумеется,
является
аналитически подобный вид уравнений (1.1.2) и уравнений возмущенного
движения (1.1.4). Для такого случая в [62] находятся нелинейные законы
непрерывных стабилизирующих управлений (см., например, теоремы 2.1 и 2.2
данного источника).
Однако, эти результаты не распространяются на случай, когда механическая
система описывается квазикоординатами [63], как это делается в случае описания
движений подводного или летательного аппарата. Здесь явная форма уравнений
динамики может иметь вид:
 = ()
,  ∈ × ,
 = (, , , )
(1.1.5)
и очевидно, что уравнения в координатах и отклонениях уже не будут
аналитически подобными а, следовательно, уже нельзя полагать, что в (1.1.5)
координаты выбраны так, что программное движение имеет вид   ≡ .
Преобразование (1.1.5) к виду (1.1.2) на основе некоторой замены переменных
 = (), где взаимно однозначная векторная функция  имеет невырожденную
якобиеву матрицу и известна обратная функция  = ∗ (), неэффективно. В
самом деле, пусть матрица −1 существует. Записав равенство:
=


   = ,
получим после несложных преобразований:
  

={ +
×
  

−1
=

]−1

−1
+


[, ( )−1 ]


20
при подстановке  = ∗ (), где × есть в данном случае знак сборки блочноматричного произведения, и становится понятно, что с вычислительной точки
зрения данные выражения малоприемлемы.
Поэтому в настоящее время разработки непрерывных или квазинепрерывных
стабилизаторов движения в моделях мехатронных систем, описываемых в
квазикоординатах, представляются актуальными.
Допустимой
альтернативой
непрерывности
законов
стабилизирующих
воздействий является непрерывность в пределе (квазинепрерывность), когда скачки
воздействий модулируются некоторыми непрерывными в области нуля величинами.
Например, в механических системах при наличии вязкого трения к устойчивости
(по крайней мере, в малом) в режиме скольжения относительно «нулевого»
положения приводит закон обобщенных сил со скачками, пропорциональными
отклонениям координат движения.
Примером функции, непрерывной в пределе, является модульная функция.
Пусть (, ) непрерывна по аргументам и подчинена условию Липшица по  с
константой . Определим модульную функцию  (, ) в виде:
 ,  =
 ,  , () = ()
 , − ,   = −()
Тогда:
1)  (, ) непрерывна в точке  =  = 0
2)  (, ) непрерывна везде в области  ≠ 0
3)  (, ) в точках  = 0,  ≠ 0 претерпевает скачок не более 2 
Таким образом, чем меньше отклонение от нуля аргумента , тем меньший
скачок претерпевает функция. Отсюда понятен термин: «непрерывность в
пределе». В данном исследовании ниже будет использована функция модульной
суммы двух векторных аргументов.
21
1.2 Примеры динамических моделей объектов мехатроники
Рассмотрим примеры некоторых многокоординатных объектов мехатроники с
целью получить общий вид уравнений моделей широкого класса квадратичных
систем в современной технике.
3.2.1 Робот-станок
Институт машиноведения им. Благонравова участвовал в разработке и
построении робота нового типа – робота-станка РОСТ-300, предназначенного для
операций шлифования сложных фасонных поверхностей лопаток турбин. Робот
состоит из двух манипуляторов:
манипулятора детали с двумя степенями
подвижности и горизонтальной кинематикой типа SCARA и манипулятора
инструмента, построенного по замкнутой кинематической схеме плоского
движения с избыточностью при наличии пассивного разгружателя. Схема
манипулятора инструмента приведена на рисунке 1.1.
Рис.1.1. Кинематическая схема манипулятора инструмента РОСТ-300.
22
Шарниры с координатами 0 , 4 , а также шарнир разгружателя с угловой
координатой  являются неуправляемыми; движение в них подчиняется связям
механизма. Управляемыми являются шарниры с координатами 1 , 2 , 3 .
Методом исключения множителей связей уравнения Лагранжа динамики
манипулятора инструмента, рассмотренного как стержневая система, можно
получить в следующем виде (сам вывод уравнений, несмотря на определенную
трудоемкость, научного интереса не представляет и здесь опущен):
211 1 + 12 0 + 13 3 + 1 02 cos0 + 2 cos3 + 3 sin 0 + 3 32 +
+4 1 0 cos0 + 5 3 0 sin 0 + 3 =
=
cos2
27 cos 2 + 4 − 1
+ 1+
sin 1 + 0 − 4 − 2
sin 1 + 0 − 4 − 2
+
+с9 sin1 + 1 cos 0 + 1 −  − 2 sin 1 −  − 10 sin 0 + 1 + 3 −
−11 cos 0 + 1 + 1 ,
(1.2.1)
21 2 + 22 4 sin4 + 23 42 cos4 = 24 sin2 − 25 cos 2 + 4 +
+ 1−
28 cos  0 + 1 − 2
sin  1 + 0 − 4 − 2
−
29 cos  4
sin  1 + 0 − 4 − 2
 + 2 ,
26 3 + 23 0 + 13 1 + 17 1 0 sin 0 + 3 = −20 sin 0 + 1 + 3 + 3 ,
где 1 , 2 , 3 – обозначения обобщенных сил в соответствующих шарнирах;
 = 12 1 + 216 0 + 23 3 − 17 1 3 sin 0 + 3 − 18 12 cos0 + 19 32 cos3
− 1 cos 0 + 1 −  + 0 cos 0 + 1 + 20 sin 0 + 1 + 3 ,
 = 6 4 + 7 2 sin4 + c8 cos 2 + 4 ,
11 = 12 + 13 sin0 , 12 = 15 + 14 sin0 , 23 = 2 sin3 ,
13 = 1 sin3 − 17 cos 0 + 3 ,
 = −arctg
1 1 − sin1 + 2 cos 0 + 1
 + 1 cos1 + 2 sin 0 + 1
1 = 2 + 4 sin2 − 1 sin1 , 2 = 4 cos 2 − 1 cos 1 −  ,
23
12 + 22 − 22 − 32
3 =
,
21 3
 1 , 2
2
3 1 − 32
= arctg + arcsin
,
1
12 +  2
2
0 =  − 1 −  1 , 2 =  1 , 2 ,
4 =  1 , 2 − arccos3 = Ϛ 1 , 2 ,
где 0 , 1 , 2 , 1 , 2 ,  – постоянные конструктивные коэффициенты, по крайней
мере для части из которых известны лишь интервалы значений.
Преобразуем данную систему уравнений к стандартному виду в нормальной
форме Коши. Обозначим:
 = [0 1 2 3 4 ]Т ,  = [5 6 7 8 9 ]Т при условии  = 
Введем также в рассмотрение вектор:

2
=
= [52 ; 5 6 ; 5 7 ; 5 8 ; 5 9 ; 62 ; 6 7 ; 6 8 ; 6 9 ; 72 ; 7 8 ; 7 9 ; 82 ; 8 9 ; 92 ] ,
который будем называть вектором 2-го порядка для данного  .
Дважды дифференцируя функцию  1 , 2 по времени, получим уравнение:
5 = 56 62 + 57 72 + 567 6 7 + ƞ56 6 + 57 7 ,
56 =
2
 12
, 57 =
2
 22
, 56 =

 1
, 57 =

 2
, 567 = 2
2
 1  2
.
(1.2.2)
Такие же действия проведя с функцией Ϛ 1 , 2 , получим еще одно
уравнение:
9 = 96 62 + 97 72 + 967 6 7 + 96 6 + 97 7 ,
в
котором
коэффициенты определяются соответствующими частными производными этой
функции аналогично (1.2.2).
Далее введем ряд обозначений, следующих из элементарных преобразований
системы (1.2.1):
 = sin 1 + 0 − 2 − 4 ,  =  + c27 cos 2 + 4 − 1 ,
24
16 = 211 , 18 = 13 , 17 = 7 sin4 cos2 , 19 = 6 cos2 ,
18 = 2 cos3 + 3 sin 3 + 0  , 15 = 12 ; 15 = 1 cos0 ,
16 = 12 , 16 = −18 cos0 , 15 = 222 , 18 = 23 , 156 =
 15
1
4 ,
158 = 5  sin 3 + 0 , 18 = 19 cos3 , 1 = 8 cos 4 + 2 cos2 ,
168 = −17  sin 3 + 0 ,  =  − 28 cos 1 + 0 − 2 ,
cos 1 + 0 −  = ϛ1 , sin 3 + 0 + 1 = ϛ2 , cos 1 + 0 = ϛ3 ,
1 = −1 ϛ1 + ϛ3 + 20 ϛ2 +9 sin1 + 1 ϛ1 − 2 sin 1 −  −10 ϛ2 −11 ϛ3 ,
27 = 21 , 29 = 22 sin4 , 29 = 23 cos4 , 29 = 6 , 27 = 7 sin4 ,
25 = −222 29 cos4 , 26 =
 25 12
2 22
, 28 =
 25 23
222
, 26 = −
 26

12 18
cos 0 ,
∗
∗
30 = −29 19 cos 3 cos4 , 29
= 29 − 29 , 27
= 27 − 27 ,
28 = −
 26
12
19 cos 4 , 268 = −
 26

12 17
2 = − ϛ3 + 20 ϛ2 − 1 ϛ1 29 cos4 ,
sin 3 + 0 , 2 = 8 cos 4 + 2 ,
3 = −20 ϛ2 ,
∗
356 = 17 sin 3 + 0 , 15
= 12  − 216 .
(1.2.3)
С учетом введенных обозначений первое уравнение системы (1.2.1) запишется
в виде:
∗
16 6 + 17 7 + 18 8 = 1 ,  (2) + 1 + 1 + 1 , 18 = 18
,
∗
1 = [− 15 ; −156 ; 0; −158 ; 0; −15
ƞ56 + 19 ƞ96 + 16 ; 19 967 −
∗
∗
−15
567 ; 168 ; 0; 19 97 − 15
57 ; 0; 0; −18 + 18 ; 0; 0],
∗
∗
∗
16 = 16
+ 15
ƞ56 − 19 ƞ96 , 17 = 15
ƞ57 − 19 ƞ97 − 17
(скобками обозначено скалярное произведение векторов 1 и  (2) ).
25
Аналогично запишем второе и третье уравнения системы (1.2.1):
6 6 + 7 7 + 8 8 =  ,  (2) +  +  +  ,  = 2; 3 ,
∗
∗
2 = [0; 0; 0; 0; 0; 25 56 − 29
96 + 26 ; 25 567 − 29
967 ; 268 ; 0;
∗
25 57 − 29
97 ; 0; 0; 30 ; 0; −29 ] ,
∗
26 = 29
ƞ96 − 25 ƞ57 − 26 ,
∗
∗
27 = 27
+ 29
ƞ97 − 25 ƞ57 , 28 = 28 ,
3 = 0; −356 ; 0; 0; 0; −23 56 ; −23 567 ; 0; 0; −23 57 ; 0; 0; 0; 0; 0 ,
36 = 23 ƞ56 + 13 , 37 = 23 ƞ57 , 38 = 26 .
Организуем векторы  =   +  ,  =   ,  = 1; 2; 3 и матрицу
, строками которой являются в порядке следования  ,  = 1; 2; 3.
Вводя матрицу Ϧ=  ,  = 1; 2; 3;  = 6; 7; 8 , обратную ей матрицу
 = Ϧ−1 , а также
векторы 1 = [1; 0; 0] , 2 = [0; 1; 0] , 3 = [0; 0; 1]
обозначая  = ,  = , систему (1.2.1)
и
окончательно представим в
следующем виде:
 =  ,
5 = 56 62 + 57 72 + 567 6 7 + (ƞ56 1 + 57 2 )( (2) +  +  ) ,
6 = 1 ( (2) +  +  ) ,
7 = 2 ( (2) +  +  ) ,
(1.2.4)
8 = 3 ( (2) +  +  ) ,
9 = 96 62 + 97 72 + 967 6 7 + (ƞ96 1 + 97 2 )( (2) +  +  ).
Понятно, что в силу неточностей задания конструктивных коэффициентов, все
или часть коэффициентов системы (1.2.4), определяемых формулами (1.2.3),
являются интервальными величинами, так что данная система уравнений –
26
интервальная по параметрам (в дальнейшем будем уточнение «по параметрам»
опускать).
Приводя однородные члены в уравнениях для 5 и 9 , получаем возвожность
записать (1.2.4) в матричном виде:
 =  ,
(2)
 =    + ( )  + ( )( ) ,
(1.2.5)
где  ∈ 5×15 ,  ∈ 3×3 ,  ∈ 3×1 – в общем случае интервальные величины,
 = [56 57 0; 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 96 97 0] ∈ 5×3 – известная матрица.
1.2.2 Автономный подводный аппарат
Динамическая модель подводного аппарата с учетом гидродинамических и
гидростатических сил, а также присоединенных масс и моментов инерции
жидкости, рассматриваемой как вязкая среда, приведена, например, в [64].
Уравнения записываются в системе координат, связанной с корпусом аппарата, а
затем добавляются кинематические соотношения для перехода в абсолютную
систему координат.
Введем следующие векторы:
 = [     ] - вектор положения и ориентации аппарата в абсолютной
системе координат; , ,  – углы курса,
тангажа и крена соответственно;
 = [      ] - вектор проекций скорости поступательного и
вращательного движения аппарата на оси связанной системы координат. Для
вектора  введем вектор 2-го порядка (2) .
Введем
также
матрицу
преобразования
систем
коэффициентами  , вычисляемыми по зависимостям:
координат
()
с
27
11 = coscos, 21 = sin, 31 = −sincos, 22 = coscos, 23 = −cos ,
12 = sinsin − cossincos, 13 = sincos + cossinsin, 44 = 1,
32 = sinsincos + cossin, 33 = coscos − sinsinsin,
65 = sin, 66 = cos, 45 = −cos, 46 = sin,
55 =
cos 
cos 
, 56 = −
sin 
cos 
(1.2.6)
. (Остальные коэффициенты равны нулю.)
Тогда систему уравнений пространственного движения подводного робота
можно записать в матричном виде:
 = () ,
 + (2) =  − гд − гс ,
(1.2.7)
где  = [дх , ду , д , дх , ду , д ] – вектор упоров и моментов, создаваемых
движительным комплексом по соответствующим степеням свободы,
гд – главный вектор гидродинамических сил и моментов, действующих на
робот,
гс - главный вектор гидростатических сил и моментов,
 - матрица инерции аппарата,
 - матрица взаимовлияния по скоростям движения.
Чтобы выразить коэффициенты матриц ,  введем следующие обозначения:
 - масса аппарата;  ,  ,  ,  ,  ,  – коэффициенты матрицы моментов
инерции аппарата в связанной системе координат;  – коэффициенты матрицы
присоединенных масс и присоединенных моментов инерции жидкости, ,  =
1, … ,6;  – метацентрическая высота.
Ниже согласно [64] приводятся коэффициенты матриц  ∈ 6×6 :
28
11 =  + 11 , 1 = 1 ,  = 2; . . ; 5, 16 = −  + 16 ,
21 = 12 , 22 =  + 22 , 2 = 2 ,  = 3; . . ; 6,
3 = 3 ,  = 1; 2; 5; 6, 33 =  + 33 , 34 =   + 34 = 43 ,
41 = 14 , 42 = 24 , 44 =  + 44 , 45 = − + 45 , 46 = − + 46 ,
5 = 5 ,  = 1; 2; 3, 54 = 45 , 55 =  + 55 , 56 = − + 56 ,
16 = 16 , 6 = 6 ,  = 2; 3, 64 = 46 , 65 = 56 , 66 =  + 66 ,
и строки  ∈ 1×21 матрицы  ∈ 6×21 :
1 = [0; 0; 0; 0; 13 ; −12 ; 0; 0; 0; 23 ; −22 ; 0; 0; 33 ; −23 ; 0; 34 ; −24 ; 35 ;
36 − 25 ; −26 ],
2 = [0; 0; 0; −13 ; 0; 11 ; 0; 0; −23 ; 0; 12 ; 0; −33 ; 0; 13 ; − 34 ; −35 ;
14 − 36 ; 0; 15 ; 16 ],
3 =
0; 0; 0; 12 ; −11 ; 0; 0; 0; 22 ; −11 ; 0; 0; 23 ; −13 ; 0; 24 ; 25 − 14 ; 0; −15 ; 0; 0 ,
4 = [0; 13 ; −12 ; 0; 16 ; −15 ; 23 ; 33 − 22 ; 34 ; 26 + 35 ;
−25 ; −23 ; −24 ; 36 − 25 ; −26 − 35 ; 0; 46 ; − 45 ; 56 ; 66 − 55 ; − 56 ],
5 = [−13 ; −23 ; 11 − 33 ; 34 − 16 ; −35 ; 14 −36 ; 0; 12 ; −26 ; 0;
24 ; 13 ; 14 − 36 ; 15 ; 16 + 34 ; − 46 ; −56 ; 44 − 66 ; 0; 45 ; 46 ],
6 = [12 ; 22 − 11 ; 23 ; 15 + 24 ; 25 − 14 ; 26 ; −12 ; −13 ; 25 − 14 ;
−24 − 15 ; − 16 ; 0; 35 ; − 34 ; 0; 45 ; 55 − 44 ; 56 ; − 45 ; −46 ; 0].
Систему (1.2.7) окончательно запишем в виде:
 = () ,
29
 = (2) + ( − гд − гс );  = −−1 ,  = −1 ,
(1.2.8)
где  =  ∈ 6×21 ,  =  ∈ 6×6 – интервальные величины, что
связано, прежде всего, с неопределенностью коэффициентов  ,
 ∈ 6×6 - переменная известная матрица.
1.2.3 Беспилотный вертолет
Беспилотные вертолеты, способные выполнять в автоматическом режиме
целый
набор
функций
при
достаточно
сложном
целенаправленном
маневрировании по определенным программам, могут с достаточным основанием
быть отнесены к робототехническим системам в воздухе. Разумеется, теория
управления
пилотируемым
вертолетом
остается
основополагающей
при
проектировании таких систем.
В [58] указывается, что «уравнения движения вертолета без учета динамики
несущего винта широко используются в практике расчетов» (цитата, §1.3). Считая
неизменной продольную плоскость симметрии вертолета и не учитывая малые
члены в системе скалярных уравнений динамики (получаемой при проецировании
векторных общих дифференциальных уравнений движения вертолета на оси
связанной системы координат), В.А.Кожевников получает эти уравнения в виде
([58], §1.3, 1.20).
Опустим уравнения турбокомпрессорной части двигателя и упрощенно будем
считать скорости вращения несущего винта постоянными. Применим при этих
допущениях упомянутую систему уравнений для описания стабилизируемого
висения
вертолета
без
буксируемого
груза,
т.е.
при
пренебрежении
аэродинамическими силами планера и внешними возмущающими воздействиями
неаэродинамического происхождения.
30
В этих условиях систему уравнений можно представить в виде [58]:
 =   −   − −   + − − ,
 =   −   − − (2 + 2 ) +− − ,
 =   −   − −    + − − ,
(1.2.9)
 = ( + 2  + 1 2 5  − 1 2  )  4 ,
 = (3  + 1 5  − 1  )  4 +  / 4 ,
 =   ,
где  ,  ,  ,  ,  ,  - проекции векторов линейной и угловой скорости на оси
связанной системы координат (ССК),
− - величина, обратная общей массе вертолета,
 ,  ,  - составляющие вектора тяги несущего винта в ССК,
 ,  ,  – составляющие суммарного момента относительно центра тяжести
вертолета в ССК,
 ,  ,  – моменты инерции вертолета относительно осей ССК,
 - результирующий момент относительно вала несущего винта,
1,…,5 ,  - постоянные в рассматриваемых условиях коэффициенты, зависящие от
конструктивных решений вертолета и системы несущего винта,
,  – углы тангажа и крена планера соответственно.
При постоянной частоте вращения несущего винта в соответствии с
уравнениями (1.18), §1.3 рассматриваемого источника [58] момент  можно
записать в виде:
 = 1  + 2  ,
31
где 1 , 2 - коэффициенты, зависящие от статических моментов и моментов
инерции лопасти винта, числа лопастей, а также коэффициентов первой
гармоники разложения в ряд Фурье угла взмаха лопасти.
Преобразуем последние три уравнения системы (1.2.9) с учетом последнего
выражения. Введем обозначения:
=
1 2
 4
11 =
21 =
1
, =
 4
1
(1+ 1 ) 4
3
 4
−

 4
, =
 1
1+  1

 2


,  = 5 + ( − )
, 12 = 2 11 , 13 = 1 2 5 11 −
, 22 =
1− 2
 4
, 23 =
1 5
 4
,
  2
(1+ 1 )
− , 31 =
1

,
(1.2.10)
.
Тогда указанные уравнения можно представить следующим образом:
 = 11  + 12  + 13  ,
 = 21  + 22  + 23  ,
(1.2.11)
 = 33  .
В соответствии с уравнениями (1.15), (1.17) §1.3 в [58] моменты  ,  , 
получаем по формулам:
 =  + 1  + 2 +  −    −    − (2 + 2 )9 ,
 =  + 5  − 6  + 8   − 7   − ( −  )  ,
(1.2.12)
 =  + 3 − 1  + 4 2 + 10 2 −  2 + ( −  )  ,
где  - смешанный момент инерции планера вертолета.
Коэффициенты 1 , … , 10 получают из формул (1.14), (1.17) рассматриваемого
источника. При постоянной частоте вращения несущего винта и пренебрежении
динамикой махового движения его лопастей из указанных формул следует
32
постоянство этих коэффициентов, при этом «свободные» коэффициенты 2 и 3
пропорциональны квадрату частоты вращения.
Составляющие аэродинамического момента несущего винта  ,  , 
могут вычисляться в соответствии с многочисленными теоретическими и
экспериментальными исследованиями (см., например, [50]).
С учетом (1.2.12) перепишем (1.2.11) в виде:
 = 11  +∝123   −∝113   +∝111 2 +∝133 2 + 1 + ℳ ,
 = 21  + 23  +∝212   −∝213   +∝223   + ℳ ,
(1.2.13)
 = −31  +∝311 2 −∝322 2 +∝333 2 +∝312   + 3 +  ,
где 11 = 11 1 − 6 12 , 1 = 11 2 + 13 3 , ∝123 = 11  −  + 12 8 ,
∝113 = 11  + 12  −  , ∝111 = 13 10 − 11 9 , ∝133 = 13 4 − 11 9 ,
ℳ = 11  + 12  + 13  , ℳ = 21  + 22  + 23  ,
21 = 22 5 − 23 1 , 23 = 21 1 − 22 6 , ∝212 = 23  −  − 27 7 ,
∝213 = 22  −  + 21  , ∝223 = 22 8 + 21  −  , 3 = 31 3 ,
31 = 31 1 , ∝311 = 31 10 , ∝322 = 31  , ∝333 = 31 4 ,
∝312 = 31 ( −  ).
Для последующего сокращения записи формул примем обозначение:
1× ∋ 0 … 0 =  .
Вводя вектор  = [      ] , вектор 2-го порядка (2) , а также
матрицы (ниже в записях матриц знак «;» будет означать перенос строки)  и :
 = [6 ; 6 ; 6 ; 5 11 ; 3 21 0 23 ; 3 − 31 0 0] ∈ 6×6 ,
33
 = [16 − 4 ; 5 − 1 6 1 0 0 − −  4
4 1 3 − 1
16 ∝212 −∝213
− −;
10 − −  0; 15 ∝111 0 −∝113 0
∝123
0;
0 ∝223 0; 15 ∝311 ∝312 0 −∝322 0 ∝333 ] ,
 ∈ 6×21 ,
систему уравнений (1.2.9) запишем в виде:  =  + (2) +  +  ,
где  = [− −  –  1 0 3 ] ,
 = [− − − ℳ ℳ  ] .
Вводя  = [     ] - вектор положения и ориентации вертолета в
абсолютной системе координат и используя матрицу (1.2.6), получаем уравнения
движения вертолета в режиме висения:
 = () ,
 =  + (2) + () +  ,
(1.2.14)
где  =  ∈ 6×6 ,  =  ∈ 6×21 ,  ∈ 6×1 - интервальные величины,
 ∈ 6×6 - переменная известная матрица.
Класс уравнений, объединяющий системы (1.2.5), (1.2.8) и (1.2.14), можно с
достаточным основанием предложить для моделирования квадратичных систем в
практической технике. Этот класс имеет следующее описание:
 = ( ) ,
(2)
 =  +    +   + ( ) ,
где   =     ,   =     ,
 ∈ ×1 ,  ∈ ×1 - векторы состояния,
 ∈ × ,  ∈ × - известные переменные матрицы,  ≤ ,
(1.2.15)
34
 =  ∈ × - интервальная постоянная матрица,
 ∈ ×  +1
 /2
,  ∈  × - интервальные переменные матрицы,
 ∈  ×1 - интервальный переменный вектор,
 ∈  ×1 - вектор входных воздействий.
(Теоретические вопросы динамики и устойчивости неголономных систем
рассматриваются, например, в [65-67].)
Примеры, разобранные выше, позволяют рассматривать все матрицы в (1.2.15)
как ограниченные вместе со своими производными.
Основной вариант класса описывает тригонометрическая матрица:
 = ( ,  ),  = [1 …  ] ,  = [1 …  ] .
Система (1.2.15) является квадратичной по  , существенно нелинейной по 
интервальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Спецификой ее в общем случае является условие  < , выражающее тот
факт, что количество переменных с ассоциированными обобщенными силами
может быть меньше половины общего числа переменных, что характерно для
систем в условиях голономных связей.
Матрица  содержит блок единичной матрицы. Компоненты вектора 
соответствующие строкам этого блока и рассмотренные как набор, обозначим
вектором
 ∈  ×1 и поставим ему в соответствие некоторый набор
компонент вектора  , обозначенный  ∈  ×1 , который назовем вектором
активных координат. Оставшиеся компоненты вектора  и соответствующие им
компоненты вектора  объединим соответственно в векторы  ,  . В случае
голономных связей в мехатронных системах, как правило, их уравнения
разрешимы относительно  =   .
35
1.3 Моделирование программного режима движения
Рассмотрим два возможных варианта формирования вектора входных
воздействий 0 , соответствующих заданному движению системы
Первый
(1.2.15).
можно охарактеризовать, как априорную процедуру интегрирования
уравнений динамики системы, второй – как режим преследования движущейся
цели в реальном режиме времени.
1.3.1 Метод интегрирующей процедуры
Будем считать, что движение формализовано заданием координат эффектора в
неподвижной декартовой системе  в виде дважды дифференцируемой
известной функции времени:
  = [ (),  (),  (),

0
 () ,

0
 () ,

0
 () ] ,
где  – радиус-вектор полюса эффектора,
 - вектор угловой скорости эффектора, как твердого тела,
и при этом получено уравнение скоростей:
 = ( ) .
(1.3.1)
(Например, для манипуляционного робота на неподвижном основании с
разомкнутой кинематической цепью и вектором обобщенных координат  ∈ 
имеем  = (),  =


,  ,  ∈ 3× - якобиевы матрицы перемещения и
ориентации эффектора манипулятора.)
Из (1.3.1) непосредственно получаем равенство:
36
 =    −   ( ,  )   ,
(1.3.2)
где - матрица, псевдообратная к . (При  ,  ∈ 6
имеем  = −1 ).
С учетом равенства  = − уравнение (1.3.2) при заданном законе  
запишется в виде:
 =     +   ,   ().
(1.3.3)
С помощью (1.3.3) и разрешенного уравнения связей  =   можно при
определенном
условии
построить
процедуру
интегрирования
функций
  ,   . Найдем это условие.
Будем без ограничения общности считать, что вектор  образован первыми
 компонентами вектора  , т.е. 1 , … ,  , а вектор  образован оставшимися
компонентами
 +1 , … ,  .
Соответствующим
образом
распределены
компоненты  ,  вектора  .
Дифференцируя уравнения связей, получаем для  =  + 1, … ,  систему
уравнений:
 =

 =1  
=
Учитывая, что
 =

=1
  
 =1 
 
 

 =
  
 =1 

=1  

.
= 0 при  > , получим:
 

 =1   

=

=1
 

 =1    .

Введем функции целого переменного  ,  ,  (, ):
 ,  =
1,  = 
,  ,  +  ,  = 1,
0,  ≠ 
и представим:

 =1  
Отсюда следует:
=

=1

 =1 
,   ,    +   .
(1.3.4)
37
 

 =1 ( 

=1
  =

−  ,   ,   )  .
(1.3.5)
Дифференцируя (1.3.5), в итоге получаем линейную относительно  систему
уравнений,  =  + 1, … , :

 = +1( −∝ )
+

 =1
=

=1
 2 


=1    


Поскольку  =
относительно


=1 
  +


=1 

 =1
 +

 =1  
∝ −   −
()
где 

 =1
=

=1
(1.3.6)
()
,  =
 
=1   

   ,  
 
 
 , ∝ =
  
=1  

.
, достаточным условием интегрируемости
комбинированной
системы
дифференциальных
уравнений, состоящей из (1.3.3) и (1.3.6) при уравнении связей  =   ,
очевидно, становится обратимость матрицы:
Ǭ = ǭ , ,  = 1, … ,  − ,
где ǭ =  +
Для
−∝ +
 +
найденных
 + .
таким
образом
величин
вектор
 (),  ()
0 ,
соответствующий заданному движению   находим в виде:
 0  =   
−1
2
  −    −      −   
где  ∈  × ,  ∈  ×  +1
 /2
- матрицы, образованные
,
(1.3.7)
теми строками
матриц  и , которые соответствуют компонентам вектора  .
1.3.2 Метод преследования
Задачу
движения
по
заданной
траектории
представим,
как
задачу
преследования движущегося тела, положение которого в каждый момент времени
38
формализовано в виде жестко связаного с ним триэдра осей  d  d  d . С эффектором
механической системы свяжем триэдр  r  r  r . Пусть  - составной 6х1 вектор
ошибки
положения/ориентации
 dd d
триэдра
относительно
 r r r .
(Аналогичный вектор для  r  r  r относительно  d  d  d обозначим  = − .)
Пусть также
()
 есть
вектор
активных координат
системы
при ее
конфигурации с триэдром  d  d  d .
Найдем необходимое условие изменения обобщенных ускорений системы 
для
()
случая достаточной малости величины
 −  , что соответствует
удовлетворительному качеству движения.


Продифференцировав равенство:  =   ( −  ) ,


получаем:  =  



 −  + ( ,  )( −  ).
(1.3.8)
(1.3.9)
Далее решим (1.3.9) относительно  :




 =    −     , 


 −  +  .
(1.3.10)
В качестве уравнения желаемого изменения вектора ошибки предложим
уравнение собственного движения устойчивого колебательного звена:
 + 2 + 2  = 0, 0 <  < 1,  > 0 .
Или:
 = −1  − 2  = 1  + 2  , 1 = 2, 2 = 2 .
(1.3.11)
Подставив (1.3.11) в (1.3.10), а также учитывая (1.3.3), получаем закон
изменения в виде (аргументы опустим):

 =  1  + 2  −   −  +  +  .
39
Учитывая (1.3.8) и полагая, что левая и правая псевдообратные матрицы
равны, а также, что качество преследования соответствует требованиям, т.е.
()

можно полагать  ≈  ,  ≈  , приходим к выражению обобщенных
ускорений системы, необходимых для преследования движущегося триэдра
 d  d  d , в виде:
 = ( ) 1  + 2  +  + ( ,  )( −  ) .
(1.3.12)
Для вычисления всего вектора  уравнения (1.3.12) необходимо дополнить
системой (1.3.6).
Заметим, что при  =  =  модель (1.3.12) превращается в (1.3.2), т.е.
(1.3.12) программирует движение с учетом возникающих ошибок. Данная модель
может быть использована:
- в режиме реального времени, если есть способ оперативного формирования
величины   ;
- в режиме возврата на программную траекторию после гашения возмущений по
скорости (задача торможения возмущений); этот режим характерен для
адаптивного программирования целевого движения.
Для вычисления обобщенных сил системы, соответствующих (1.3.12),
используем, как и ранее, зависимость (1.3.7).
1.3.3 Настройка коэффициентов обратных связей
При
компьютерном
основополагающее
моделировании
значение
имеет
системы
на
основе
(1.3.12)
алгоритм
обновления
значений
коэффициентов обратных связей 1 , 2 . При этом неоправданное завышение
величины 1 , как известно, приведет к перегрузке по мощности привода системы.
40
Данный вопрос рассмотрим применительно к вычислению частоты собственных
колебаний  при фиксированном значении показателя колебательности  в
(1.3.11).
Решение
задачи
преследования
движущегося
объекта
предполагает
первоначальную постановку критерия сближения и захвата. Этот критерий очень
важен и определяет весь ход процесса преследования. Вместе с тем,
в силу
сложности аналитической оценки эффективности такого критерия теоретические
предложения должны быть промоделированы в конкретных условиях.
Обновление значений коэффициентов
обратных связей в общем случае
выполняется неравномерно по времени при нарушении определенного условия
(критерия), который предложим в виде:


 
>0,
(1.3.13)
где  - угол между векторами скорости  движения идеального триэдра  d  d  d
и
скорости
неравенства

движения реального триэдра
означало
бы,
что
скорость
 r  r  r . Соблюдение этого
преследующего
становится
сонаправленной и затем совпадающей со скоростью преследуемого. Раскроем
данный критерий относительно вычислений частоты собственных колебаний 
решений


{
( ,
 
выбранного
уравнения
управления.
Поскольку


 
=
}, то дифференцируя данную дробь, приходим к выражению:
  +   +   −  


ln  
> 0.
(1.3.14)
Раскрывая (1.3.14) при использовании (1.3.12) и учитывая  =  −  ,
получаем квадратное неравенство относительно :
2 +  +  > 0,
где  =   ,  = 2  ,
41
 = 20  −   −  


ln  
.
Выбор величины  зависит от комбинации значений коэффициентов , ,  и
может быть описан следующей формулой:
=
max −

, 0 + ;  2 − 4 ≤ 0
2
max  2 ,0 +(−1)max ⁡( 1 ,0)

где  =
2
,
(1.3.15)
−  − 2 ;  − 4 > 0
1,  > 0
;
2,  < 0
1 и 2 - соответственно младший и старший корень уравнения
2 +  +  = 0;
 > 0 - любое положительное число.
Из свойств параболы следует, что, вообще говоря, поставленный критерий
недостижим при условии:  < 0,  2 − 4 < 0. Однако, и в этом случае выбор 
по (1.3.15) приводит к уменьшению скорости возрастания ошибок движения.
Если  = 0, то  определяется решением линейного неравенства  +  > 0.
В совместной работе автора с Синицыным А.Г. [68] было проведено
моделирование движения трехзвенного манипулятора c разомкнутой кинематикой
робота KUKA KR-30-3 [69], управляемого по закону (1.3.12) с критерием захвата
(1.3.13).
В
качестве
желаемой
траектории
движения
была
выбрана
синусоидальная траектория в плоскости, параллельной координатной плоскости
XOY базовой системы координат. Математическая модель, показанная на рисунке
1.2, использовала графическую библиотеку и средства программы Simulink пакета
MATLAB [109]. На рисунке 1.2:
1 – блок расчета желаемых обобщенных ускорений прог на основании (1.3.12);
2 и 3 – блоки расчета якобиана и его первой производной по времени
недифференциальным способом [108];
42
4 – блок решения прямой задачи кинематики;
5 – блок, моделирующий динамику самого медленного звена робота;
6 – блок настройки значений ; 7 – начальные условия для функции  () (были
выбраны так, что начальная величина нормы вектора ошибки 
составляла
величину 0,8 м.)
Рис. 1.2. Модель движения манипулятора в режиме преследования цели.
Задавались ограничения на изменения  в виде:
1
3 ≤  ≤ 21 ,
с
 < 80
1
с2
.
Модель «наихудшего» звена робота описывалась передаточной функцией
колебательного звена:
W ( p) 
1
, T =0,018 с,  =0,55.
T p  2Tp  1
2
2
43
Величина показателя колебательности  в уравнении управления (1.3.11)
составляла 0,8.
Моделирование позволило получить следующие результаты. Алгоритм
преследование цели по закону (1.3.12) является сходящимся, при этом настройка
λ позволяет достичь плавного и монотонного уменьшения нормы вектора ошибки
при сохранении высокого быстродействия. Однако, было выявлено снижение
эффективности воздействий на величину λ в зависимости от динамики системы
приводов.
В качестве примера результатов моделирования процесса преследования при
целенаправленном изменении величины λ здесь приведены рисунки 1.3 а),б).
а)
б)
Рис.1.3. Изменение: а) нормы вектора  (м; сек); б) угла (t ) (рад; сек)
44
3.4 Модель возмущенного движения
Рассмотрим возмущенное движение системы (1.2.15), для чего представим ее в
приращениях
, 
0 , 0 .
относительно переменных соответственно
Обратимся к уравнениям:
0 +  = (0 + )0 + (0 + ) ,
0 +  = 0 +  +  0 +  0 + 
(2)
+  0 +  +  0 0 +
+∆ 0 ,  0 + (0 + )∆ ,
где
0 () = 0 () −  0  0

(1.4.1)
() −  0 ()
- вектор обобщенных
сил, соответствующих невозмущенному (программному) режиму движения.
Далее обозначим:
∆ =  ∈  ×1 ,  0 +  = + =  0 + ∆ 0 ,  ∈ ×
( +1)
2
.
Перепишем второе уравнение (1.4.1) в виде:
 =  + ∆ 0 ,  0
(2)
+ +(2) + + 0  + + ∆ 0 ,  +
+ ∆ 0 ,  0  + (0 + ) .
Для
1

векторов
 =


=1 

(1.4.2)
  ∈ ×1 ,  ∈ ×1
2
∈ × , 
 =
введем
2

, =1  


следующие
∈ ×  +1
 /2
.
функции:
(1.4.3)
(Здесь предполагается, что частные производные функции   существуют и
конечны.)
1,2
Функции 
(1,2)
в конкретной точке  = 0 обозначим 0 .
45
Ограничиваясь вторым порядком малости нормы векторов , , преобразуем
(1.4.1), для чего рассмотрим входящие величины.
∆ 0 ,  0

 0
(2)

=1
=
0
 
2
+0 0
()


=1 
≈

0  0
(2)
(2)
 +
 2 (0 )

, =1  


+
2

, =1  


0   0
1
0   = 0 0
(2)

(2)
=
+
(2) = 1 0 , 0  + 2 0 , 0 (2) ,

1
(1.4.4)
2
∆ 0 ,  ≈   0  +   0 (2) = 1 0  + 2 0 (2) ,
+ 0  + = [′ 0 , 0 ,  + ′′ (0 , 0 , )] = (0 , 0 , ) ,
где:
 = ′ + ′′ , ′ , ′′ ,  ∈ ×
, при этом элементы матриц ′ и ′′
справедливо представить в виде:
′
+ 0
,1
= ,1
,1 ,
′
+ 0
,
= ,1
1 +
′′
,
=
( )
+
=( ) ,
 −1 +
0
=1 , +() ,+1 ,
  =

=1
− ; 2≤ ≤,
0
,()
,   =  − 2−1 −  + 1,   =  − 2 ,
  = ,  =   ,   =   + 1,   <  ≤ (),
(1.4.5)
 – биномиальный коэффициент, если  ≤ ; 0, если  > .
Раскроем формулы (1.4.4).
′
0
0
,1
≈ ,1 0 ,1
+ ,1 0 ,  ,1
,
′
0
0
,
≈ ,1 0 ,1
+ ,1 0 ,  ,1
+
 −1
=1 , + 
 −1
+
 −1
, +
=1
0
0 ,+1
+

0
0
0 ,  ,+1
= ,1 0 ,1
+
, +
=1

0
0 ,+1
+
46
 −1
=1 , + 
0
+  ,1 0 ,1
+
0
0 ,+1
, .
′
′
′
Отсюда: ,
= ,
0 , 0 + (,
0 , 0 , ) .
(1.4.6)
′′
′′
′′
Аналогично: ,
= ,
0 , 0 + (,
0 , 0 , ).
(1.4.7)
Из формул (1.4.6), (1.4.7) следует:
+ 0  + =  0 , 0 ,   +
где  ∗  ∈ 
Блок

 1
2 ×1

 1
0 ⋮ ⋯ ⋮

 
0
∗,
(1.4.8)
- кронекерово произведение векторов ,  ∈ ×1 .

0 ⋮ ⋯ ⋮
 
0
обозначим  (0 , 0 ). Матрицу  0 , 0 ,  в
(1.4.8) обозначим, опуская  в списке аргументов, т.е. в виде (0 , 0 ).
Ограничиваясь вторым порядком малости нормы вектора , получим
аналогично выводу формул (1.4.4), (1.4.8):
1
2


∆ 0 ,  0  ≈ 0 0 +0 0 (2) = 1 0 ,   + 2 0 ,  (2) ,
 0 +   ≈  0  +

 1
0 ⋮ ⋯ ⋮

 
0
∗=
=  0  +  (0 ) ∗  ,
(Блок

 1
0 ⋮ ⋯ ⋮

 
(1.4.9)
0
обозначен  (0 ).)
При условии второго порядка малости термов величин
,  справедливо
представить: +(2) ≈  0 (2) . С учетом данного соотношения и выражений
(1.4.4), (1.4.8), (1.4.9) а также учитывая, что 0 = 0 (), 0 = 0 () - известные
функции времени, уравнение (1.4.2) запишем в виде:
= + 
 +   (2) + 1   + 2  (2) +
+   ∗  +  0  +  (0 ) ∗  ,
(1.4.10)
47
где 1,2  = 1,2 0 (),  + 1,2 0 (), 0 () + 1,2 0 () .
Также преобразуем первое уравнение системы (1.4.1). Представим:
 0 +  =  0 + ∆ 0 ,  ∈ × ,
0 +  = (0 )0 + ∆ 0 ,  0 + (0 + ) .
(1.4.11)
Рассмотрим величину ∆ 0 ,  0 :
∆ 0 ,  0 ≈
=
0
  
=1 



=1 
0  +

0  0 +
 2 (0 )

, =1  


2

, =1  

1

0   0 =
0   = 0 0  +

(1.4.12)
2
+0 0 (2) = 1 0 , 0  + 2 0 , 0 (2) .

Относительно величины (0 + ) в соответствии с выводом (1.4.9) можем
записать:
 0 +   ≈  0  +  (0 ) ∗  .
(1.4.13)
Таким образом, модель возмущенного движения квадратичносвязной системы
(1.2.15) с точностью до третьего порядка малости величин ,  на основании
(1.4.10) – (1.4.13) приобретает вид:
 =    + 1   + 2  (2) +  () ∗ 
 =    +    2 + 1   + 2   2 +
+   ∗  +    +    ∗  ,
где
(1.4.14)
  =  +   .
Обратим внимание на то, что матрицы в первом уравнении (1.4.14) являются
известными точно, в то время как все ограниченные матрицы во втором
уравнении - интервальные. Поэтому, если величину  в заданном состоянии
{, } можно вычислить «в точке», то  вычисляется только с точностью до
диапазона значений.
48
Функцию  = (, , ) в (1.4.14) будем называть стабилизатором системы; он
включен только в части  компонент переменного ,  ≤ . Величину
 =    +  () ∗  назовем неявным стабилизатором.
При условиях:
  = , 1  = , 2  = ,   = ,  =  , т.е. в
частном случае, система (1.4.14) являлась бы полнозамкнутой в контуре скорости.
Для таких систем даже в случае их квадратичности и параметрической
неопределенности известны решения непрерывных стабилизаторов программных
движений [62].
Однако, в общем случае переменная 
вектора
квазискорости,
что
в (1.4.14) является возмущением
существенно
усложняет
решение
задачи
стабилизации при  < , а нормализация таких систем по первому уравнению
путем замены переменных крайне неэффективна с вычислительной точки зрения.
Переменность матричных параметров и «размытость» производной
 при
квадратичной зависимости от квазикоординат усугубляют эту сложность.
Построение стабилизатора для системы (1.4.14) в классе непрерывных или хотя
бы непрерывных в пределе функций в настоящее время представляет известный
научный интерес, а ее решение имело бы научную новизну.
1.5 Задача и концепция стабилизации
Сформулируем
задачу
стабилизации
некоторого
решения
0  = [0  ; 0  ] системы (1.2.15), которое назовем заданным. При этом
используем
терминологию
 −притягивающего
работы
решения
отношению к части переменных.
[9],
системы
где
было
введено
дифференциальных
понятие
уравнений
по
49
Решение в части переменного  = [1 , 2 , … ,  ] =  системы обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
вектором
переменных
 ∈  ,
 < ,
допускающей решение   = , назовем ограниченно  −притягивающим с
областью притяжения :  < , если существует такое постоянное достаточно
малое число
 = , что для любого решения  ;  0 ,  0 ∈  ,
бесконечно продолжаемого вправо, наступает такой момент ∗ , что для любого
 ≥ ∗ выполняется  ;  0
≤ .
Число  назовем диапазоном притяжения. При бесконечно большом ∗ и  = 0
решение становится  −притягивающим.
Задачу стабилизации системы (1.2.15) будем решать в следующей постановке.
Пусть
0 [0  ; 0  ]
-
известный
вектор
входных
воздействий,
соответствующий также известному заданному решению системы (1.2.15).
Обозначим через () = [  ;   ] другое решение системы и введем
соответствующий ему новый вектор воздействий:
  = 0  +    , () ,  ,  =  ,
  =   − 0  ,   =   − 0  ,
где  был ранее назван стабилизатором системы (1.4.14).
Требуется в классе непрерывных или непрерывных в пределе функций
переменных ,  найти стабилизатор , такой, чтобы заданное решение 0 
системы (1.2.15) было ограниченно  −притягивающим с областью притяжения
во всем пространстве переменного  и при этом в случае 1 = , 2 =  решение
0 
было бы
 −устойчивым. (Понятно, что для этого необходимо и
достаточно, чтобы соответственно в (1.4.14) решение   =  было ограниченно
 −притягивающим, а решение   =  в случае 1 = , 2 =  было бы
 −устойчивым.)
50
Сформулированной
задаче
стабилизации
соответствует
структура,
представленная на рисунке 1.4.
Рис.1.4. Структура САУ стабилизированным движением.
Охарактеризуем концепцию управления системой в силу данной структуры.
1.
Управление
стабилизированным
движением
носит
нелинейный
динамический характер и строится с учетом взаимовлияния переменных
состояния объекта, которое в возмущенном относительно опорной траектории
движении включает второй алгебраический порядок, при этом вектор параметров
объекта управления  задан с точностью до интервала значений.
Это принципиально не допускает линеаризацию системы для перехода к
использованию частотных критериев ее устойчивости с применением принципа
«точечного» исследования заданной траектории движения на основе способа
замороженных коэффициентов, что предлагалось ранее в работах таких
известных в области робототехнических систем ученых, как В.С.Медведев,
А.Г.Лесков, А.С.Ющенко, С.Л.Зенкевич и других.
2. Требуется не использовать закон амплитудно-релейных воздействий,
предложенный в свое время в качестве способа декомпозиции систем
Е.С.Пятницким, поскольку на практике это зачастую недопустимо, что уже
объяснялось выше в §1.1. Однако, построение стабилизатора в классе
51
непрерывных в пределе функций имеет свои положительные стороны,
заключающиеся в том, что здесь мы получили бы сочетание мощной динамики
стабилизационных процессов при больших отклонениях движения с «мягкими»
управляющими воздействиями при малых отклонениях.
3. Традиционным требованием является ограничение необходимого ресурса
управления системой. В предлагаемой концепции управления это требование
учитывается следующим образом.
Как известно, метод функций Ляпунова обеспечивает анализ устойчивости
решений
векторной
системы
дифференциальных
уравнений
использования некоторых скалярных соотношений. Пусть
посредством
[  ] ∈  ,
где  ∈  – функция стабилизатора в (1.4.14) при   = , есть сложная
функция переменного  ∈  , относительно которой известно скалярное
уравнение в виде: 1  =  ()
(1.5.1)
где 1  есть некоторая заданная форма  и при этом существует обратная
непрерывная функция   = [()]. Надо найти   из уравнения (1.5.1).
Различаются численное и тождественное решение (1.5.1) относительно ().
При численном решении, основанном на использовании свободных переменных
1 , … , −1 , +1 , … ,  , встает вопрос о выборе их значений и собственно индекса 
зависимой компоненты  . При необоснованном выборе решение:
 =
1  − ≠   

может быть очень велико и привести при соответсвующих
зависимостях () к превышению располагаемых ресурсов компонент  даже
при достаточно малой
 . Поэтому численное решение уравнения (1.5.1)
становится итерационным, сопровождаемым параллельной проверкой ресурса ,
что малодопустимо при решениях в реальном масштабе времени.
Тождественным решением (1.5.1) является такое, которое обращает его в
функциональное тождество. В этом случае () ищут в виде некоторой формы
2 () меньшего порядка, после чего используют функцию   =    .
52
Понятно преимущество такого подхода: в силу непрерывности   и   = 
будем при малых  ,  = 1, …  иметь и малые  ,  = 1, … .
Выводы из главы 1
1
Класс
дифференциальных
уравнений,
который
описывает
динамику
многосвязных систем в современной практической мехатронной технике, имеет
вид (1.2.15).
2 Возмущенное движение систем данного класса описывается динамическими
интервальными квадратичными уравнениями в квазикоординатах (1.4.14) с
переменными матричными параметрами.
3 Найдены условия, при которых эффективен метод априорной интегрирующей
процедуры при формировании программного движения сложной динамической
системы класса (1.2.15). Альтернативный метод в режиме реального времени по
типу преследования движущейся цели дает хорошие результаты при настройке
коэффициентов обратных связей по разработанному и обоснованному критерию
(1.3.13).
4
Предложена
нелинейных
новая
систем
концепция
с
стабилизации
интервальной
движений
неопределенностью
динамических
параметров,
заключающаяся в применении стабилизаторов тактического уровня управления,
осуществляющих
нелинейные
обратные
связи
и
обеспечивающих
квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект при минимизации
требуемого ресурса управления.
53
Глава 2
Математические основы метода интервальных форм модульных
переменных
Математические результаты, которые будут получены в §2.1 - §2.5 , служат
инструментами
метода,
развиваемого
далее
в
данном
исследовании.
Доказательства приводимых утверждений §2.1,3,4,5 были выполнены автором,
что объясняет отсутствие ссылок на первоисточники. В §2.2 описана
интервальная арифметика, используемая в работе.
По мнению В.Н. Шашихина, интервальный анализ и его прикладные аспекты
обязаны своим становлением работе Л.В. Канторовича «О некоторых новых
подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений», вышедшей в
1962г. В настоящее время область научных исследований интервальных систем и
методов их робастной стабилизации успешно развивается. Появились обширные
публикации, как в виде научных статей, так и отдельных монографий [72-97], в
которых в исчерпывающей степени рассмотрены задачи анализа и оценок
линейных интервальных систем, например, внешних интервальных оценок
множества решений интервальных СЛАУ, спектрального анализа и устойчивости
интервальных матриц, решения интервальных матричных уравнений Ляпунова и
Рикатти и др. Основой интервальных вычислений стала алгебраическая система,
получившая название полной
IR-арифметики, или, иначе, интервальной
арифметики Э.Каухера [98].
В значительно меньшей мере исследованы вопросы интервальных систем с
мультипликативными
нелинейностями,
характерными
для
параметрически
неопределенных лагранжевых систем в механике. Зачастую такие системы,
отличают тригонометрические зависимости ограниченных матричных параметров
54
дифференциальных уравнений движения, допускающих разрешение относительно
вторых производных обобщенных координат (явная форма уравнений Лагранжа).
Следует также сказать, что недостаточно проанализированы вопросы
преобразований
переменных,
инструментом
интервальных,
однородных
по
степени,
форм
тем,
бы
служить
универсальным
которые,
между
при
построении
могли
функций
Ляпунова
для
многих
систем
с
мультипликативными нелинейностями.
2.1 Некоторые преобразования векторов 2-го порядка
2.1.1
Пусть
есть
счетное
множество
действительных
чисел
1 , 2 , … ,  , +1 , … ,  , …  .
Для выбранного вектора  =  ; +1 ; … −1 ; 
2-го порядка (2) по формуле:
будем рассматривать вектор
(2) =    ,  = ,  + 1, … , ;  = , … , .
(В частном случае  = 1.) Например, для вектора  = [5 6 7 8 9 ]Т вектор
второго порядка составит:
(2) = [52 ; 5 6 ; 5 7 ; 5 8 ; 5 9 ; 62 ; 6 7 ; 6 8 ; 6 9 ; 72 ; 7 8 ; 7 9 ; 82 ; 8 9 ; 92 ] .
2.1.2 Кронекеровым произведением  ∗  векторов ,  ∈  , как известно,
2
называют вектор  ∈  :
 =  ∗  = 1 1 ; . . ; 1  ; 2 1 ; . . ; 2  ; . . ;  −1 1 ; . . ;  −1  ;  1 ; . . ;   .
2.1.3 Для двух векторов ,  ∈  введем понятие мультипликативного
вектора 2-го порядка [] ∈  +1
по формуле:
/2
, как неполного кронекерова произведения,
55
[] = [1 1 ; … ; 1  ; 2 2 ; … ; 2  ; … ; −1 −1 ; −1  ;   ].
Обозначим:  +  =  + =  + .
(2.1.1)
Заметим выполнение следующих равенств:
(2) =  ; ( + )(2) = (2) + (2) +  + .
2.1.4 Для вектора  ∈   +1
  −1
 − −2 +
 /2
(2.1.2)
занумеруем элементы поправилу:
; 1 ≤  ≤ ,  = 1, … ,  −  + 1,
где  = 1 + 2 + ⋯ +  =
 +1
2
,  ≥ 1,  = 0,  < 1.
2
Обозначим вектор  = () ∈  . Построим его следующим образом:
  −1
  −1
 +1 +
+
=  + −2
= 2  −1
 +
=   −1
 − −2 +1 ,
 − −2 + ,
1 ≤  ≤  − 1,  = 2, … ,  −  + 1,
1 ≤  ≤ ,  = 1.
(2.1.3)
2
Функцию  = () ∈  , построенную по (2.1.3), назовем кронекеровым
расширением  ∈  +1
/2
.
2.1.5 Аналогично построим кронекерово расширение  = () ∈ ×
 ( +1)
2
действительной матрицы  ∈ ×
2
, для чего проведем кронекеровы
расширения каждой из строк .
Нетрудно установить справедливость равенства:
  + =    ∗ , ,  ∈  ,  – скаляр.
(2.1.4)
Для этого достаточно записать выражение  − й компоненты,  = 1, … , 
вектора в левой части (2.1.4), перегруппировав слагаемые, содержащие
сомножители   , в порядке их следования в составе вектора  ∗ , а затем
56
учесть (2.1.3) для коэффициентов  − й строки матрицы   . Как следствие,
получим : 2 2 =   [2] , где [2] =  ∗  - кронекеровский квадрат.
2.1.6 Построим постоянную матрицу  ∈ 
2 × 2
. Обозначив ее столбцы в виде
2
 ∈  ,  =  − 1  + , 1 ≤ ,  ≤ , 1 ≤  ≤ 2 , положим:
 =
1,  =  − 1  + 
.
0, иначе
(2.1.5)
2
Тогда для произвольной матрицы  ∈ × можно записать тождество:
  ∗  =   ∗ , ,  ∈  .
(2.1.6)
Доказательство
Обозначим:  =  и пусть () есть -я компонента вектора . Тогда:
(  ∗ ) =
(  ∗ ) =

,   =

 ,
 ,   =
,  −1
 ,
+   ,
 , −1
Но в силу (2.1.5) выполняентся:  , −1
+   .
 +
= ,  −1
Отсюда: (  ∗ ) = (  ∗ ) для каждого .
2.1.7
Проведем
преобразование
 ∈ 
+ .
■
2 × 2
→ ′ ∈ 
2 × ( +1)/2
по
следующему алгоритму:
- При  ≠  cкладываются столбцы  с номерами  − 1  +  и
 − 1  + .
- Из полученной матрицы вырезаются для  = 1, … ,  столбцы с номерами
 − 1  + ,  = 1, … ,  − 1. В результате получим матрицу ′ . Справедливо
тождество:
  ∗  = ′ (2) = ′ (2) , ′ = ′ .
(2.1.7)
57
Доказательство
(  ∗ ) =
+

,   =
−1
=0 , ++1
2
+1
=
= (′ (2) ) .
−1
=1

 =1
< ≤ (, −1  +
− +1 ,
 ,  −1 − −2 +
=1
+ ,  −1
((2) )  −1
 + )  +
− −2 +
=
■
2.1.8 Установим связь между операторами (∗) и × ′ . Для этого построим
линейный массив  линейных массивов  . Расположение массивов упорядочим в
виде  = 1, … , . Любой массив  состоит из  элементов, каждому из которых
противопоставим два натуральных числа , , называемых маркировкой элемента,
так что элементам массива  соответствуют значения  = ;  = 1,2, … , . Таким
2
образом, в массиве  содержатся коэффициенты вектора-строки  ∈  .
Будем индекс  коэффициента  вектора  с маркировкой ,  вычислять по
формуле:
 = min ,  − 1  − min
, −2
+ max ,  − min ,  + 1 ,
где сумма  была определена в п.1.1.4.
Тогда первый массив 1 будет состоять из элементов 1 , 2 , … ,  . Следующие
за ним элементы массива 2 будут 2 ,  +1 , +2 , … , 2−1 , далее элементы
массива 3 : 3 , +2 , 2 , … , 3 −3 и т.д. так, что в структуре массива  j-й
элемент массива,  = 1, … ,  − 1, будет равен -му элементу массива  , а индексы
элементов с -го по -й массива  будут представлены последовательными
натуральными числами, не превосходящими числа  − 1  − −2 +  −  + 1.
Итак, для каждого из первых  − 1 элементов массива  (назовем их
вторичными) найдется один равный в одном из предыдущих массивов 1 , … , −1 ,
который назовем первичным. При этом нетрудно видеть, что поскольку  < , ни
один из первичных элементов не является вторичным в свою очередь для какоголибо другого элемента . Элементу с номером  в массиве  , 1 не найдется
58
первичного элемента во всем массиве , так что он является первичным для
самого себя. Такие элементы назовем центральными.
2
Вектор-строку  ∈  , соответствующую таким образом организованному
массиву , будем обозначать  .
В  вполне определена следующая операция. Перенесем каждый вторичный
элемент в соответствующий массив к своему первичному элементу и сложим с
ним, исключая центральные элементы, а затем все вторичные элементы
«вырежем» из , образуя новый линейный массив ′ , содержащий вектор-строку
′ ∈ ( +1)/2 .
Если вторичный элемент массива  имеет маркировку , , то маркировка
первичного элемента будет , . А поэтому указанная операция может быть
описана равенством:  ′ = ′ .
Теперь проведем кронекерово расширение вектора-строки ′ , получив из его
коэффициентов линейный массив ′′ , состоящий из  линейных массивов ′′ из 
элементов каждый. Тогда:
1) На позициях каждого элемента массива ′′ с маркировкой  =  =  произойдет
удвоение
коэффициента
′
с
номером
 =  − 1  − −2 + 1,
равного
центральному элементу исходного массива  ∈ , поскольку этот элемент также
имел маркировку  =  = .
2) Элементы массива ′ , образованные сложением первичных элементов массива
 ∈  с соответствующими им вторичными элементами, станут равными
элементам массива ′′ ∈ ′′ с
( + 1)-го по
-й, т.е. равными удвоенным
соответствующим элементам массива  ∈ . С учетом предыдущего пункта это
сразу определяет равенство: 21 = 1′′ . Кроме того, -й элемент,  = 1, … ,  − 1,
массива ′′ ∈ ′′ ,  = 2, … ,  станет равным коэффициенту ′  −1
− −2 +− +1 ,
который равен удвоенному первичному элементу массива  с маркировкой
59
 = ,  = . А тот в свою очередь равен вторичному элементу  с маркировкой
 = ,  = , т.е. -му элементу массива  ∈ . Отсюда ′′ = 2 ,  = 1, … , .
Поэтому ′′ = 2 и, следовательно, справедливо равенство:
1
2
  ′ =  .
Для данного  ∈ ( +1)/2 всегда найдется такой  , что  ′ = . Тогда:
1
2
  =  . В заключение заметим, что множество  векторов  замкнуто
относительно операции сложения.
2
2.1.9 Пусть ,  ∈ ×1 ,  ∈ × ,  ∈ ×  +1
/2
и при этом выполняется
для 1 ≤  ≤ ,  ≤  ≤ :
; −1
 −−2 + −+1
=
;  −1
+  ; −1 + ;  < 
 = 1, … ,  .
; −1 + ;  = 
 +
(2.1.8)
В этом случае обозначим:  = ℒ(). Справедливо тождество:
   ∗  =  ℒ() (2) .
(2.1.9)
Доказательство
Суммарный коэффициент перед слагаемым    в левой части (2.1.9)
обозначим  . Тогда:
   ∗  =
+
+

2
=1 

2
=1 
 ,,    

=1 
 =
1≤< ≤
1≤< ≤
 
 =

=1 

=1 ; −1 +
В то же время:   (2) =
Но по (2.1.8)  = ; −1
=

=1 
 −−2 + −+1 .
 

=1 
 +

=1 ( ;  −1  +
+  ; −1
1≤≤ ≤   
1≤≤ ≤
; −1
 + )
+
.
 −−2 + −+1
  .
Отсюда:    ∗  =  ℒ   2 . ■
60
2.2 Интервальные числа и действия над ними
Множество чисел, взятых в интервале
[, ],  ≤  ∈ , будем обозначать
〈, 〉 и называть интервальным числом, или, для краткости:
И-числом.
Допускается обозначение обычного действительного числа  в виде 〈, 〉.
Любое число из интервала [1 , 2 ] назовем реализацией 〈1 , 2 〉 И-числа
〈1 , 2 〉. Максимальное по модулю значение 〈1 , 2 〉 назовем радиусом И-числа
и обозначим 〈1 , 2 〉. Очевидно: 〈1 , 2 〉 = max 1 , 2 .
Для удобства записи И-число 〈1 , 2 〉 будем обозначать 〈〉.
Границы 1 , 2 будем обозначать: 1 = min 〈〉 , 2 = max 〈〉 .
И-число 〈, 〉 назовем равным 〈, 〉, если  = ,  = . Подчеркнем, что
запись 〈, 〉 = 〈, 〉 не означает равенство реализаций этих И-чисел.
И-число 〈, 〉 назовем покрывающим 〈, 〉, если:  ≥ ,  ≤ . Будем это
записывать в виде: 〈, 〉 <∈ 〈, 〉.
Отношения, сформулированные с помощью знака <∈, между интервальными
числами и/или их выражениями, назовем интервальными.
Определим мультипликативную интервальную функцию (, 〈〉):
 , 〈〉 =
2 ,  < 0
.
1 ,  ≥ 0
(2.2.1)
Тогда произведение интервального 〈〉 и действительного  числа есть Ичисло вида: 〈〉 = 〈〉 = 〈 , 〈〉 , − −, 〈〉 〉.
Для числа 〈〉 = 〈1 , 2 〉 введем число −〈〉. На основании (2.2.1) имеем:
−〈〉 = 〈−2 , −1 〉.
Сумма двух И-чисел 〈, 〉 + 〈, 〉 есть И-число 〈 + ,  + 〉.
61
Разница двух И-чисел 〈, 〉 − 〈, 〉 есть И-число 〈, 〉 + (− 〈, 〉) .
Инверсная сумма двух И-чисел 〈, 〉  〈, 〉 есть И-число 〈 + ,  + 〉 если
 +    + .
Инверсная разница двух И-чисел 〈, 〉 
 〈, 〉 есть И-число 〈 − ,  − 〉,
если  −    − .
Суперпозиция двух И-чисел 〈, 〉 ∪ 〈, 〉 есть И-число вида:
〈min⁡
(, ), max⁡
(, )〉. В частности, 〈, 〉 ∪  = 〈min⁡
(, ), max⁡
(, )〉.
Нетрудно заметить, что инверсные разницы 〈, 〉 ∪ 〈, 〉  〈, 〉 и
〈, 〉 ∪ 〈, 〉  〈, 〉 определены обе.
Введем обозначение 〈〉 ∪ −〈〉 = 〈A〉. И-число 〈A〉 назовем зеркальным
относительно И-числа 〈〉.
Произведение двух И-чисел 〈〉 и 〈〉 определим в виде:
〈〉〈〉 = 〈〉〈〉 = 〈min 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , max 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 〉.
Рассмотрим свойства интервальных чисел, которые используем далее в
диссертационном исследовании.
1)
Пусть 〈〉 ∋> 〈〉, 〈〉 ∋> 〈〉. Тогда: 〈〉 + 〈〉 ∋> 〈〉 + 〈〉. Следует из:
1 + 1 ≤ 1 + 1 , 2 + 2 ≥ 2 + 2 .
2)
Очевидно: 〈〉 ∪ 0 ∋> 〈〉.
3)
〈〉 + 〈〉 ∪ 0 ∋> 〈〉.
Следует из: min⁡
(〈〉 ∪ 0) ≤ 0 , max⁡
(〈〉 ∪ 0) ≥ 0.
4)
〈〉 + 〈〉 ∪ 0 <∈ 〈〉 ∪ 0 + 〈〉 ∪ 0 .
Следует из:
min⁡
(1 + b1 , 0) ≥ min 1 , 0 + min⁡
(b1 , 0) ,
max⁡
(2 + b2 , 0) ≤ max 2 , 0 + max⁡
(b2 , 0) .
62
5)
〈〉 ∪ 0 =  〈〉 ∪ 0 ,  > 0.
Следует из: 〈〉 ∪ 0 = (〈1 , 2 〉) ∪ 0 = 〈min 1 , 0 , max 2 , 0  =
= 〈 min 1 , 0 , max 2 , 0  = 〈min 1 , 0 , max 2 , 0  =  〈〉 ∪ 0
6) 〈〉 ∪ 〈〉 ∪ 0 = 〈〉 ∪ 0 ∪ 〈〉
Очевидно, поскольку в левой и правой части равенства записано одно и то же Ичисло: 〈min⁡
(1 , 1 , 0), max⁡
(2 , 2 , 0)〉.
7) 〈〉 ∪  〈〉 ∪ 0 <∈  〈〉 ∪ 〈〉 ∪ 0 ,  > 1.
При  > 1 имеем:
〈〉 ∪  〈〉 ∪ 0 = 〈〉 ∪ 〈min 1 , 0 , (2 , 0) 〉 =
= 〈〉 ∪ 〈min 1 , 0 , max 2 , 0 〉=
= 〈min⁡
(1 , min 1 , 0 , max⁡
(2 , max 2 , 0 〉 =
= 〈min⁡
(1 , 1 , 0), max⁡
(2 , 2 , 0)〉 <∈ 〈min⁡
(1 , 1 , 0), max⁡
(2 , 2 , 0)〉=
= 〈min⁡
(1 , 1 , 0), max⁡
(2 , 2 , 0)〉 =  〈〉 ∪ 〈〉 ∪ 0 .
Определим интервальную функцию  f (t )  a(t ), b(t ) аргумента
множество значений из интервала с подвижными концами
t , как
[a(t ), b(t )] , где
a(t ), b(t ) - некоторые действительные функции, a (t )  b(t ) . Конкретное значение
из данного интервала назовем реализацией интервальной функции  f (t ) . Если
при этом a(t ), b(t ) - непрерывные функции, то  f (t ) назовем непрерывной.
−
8) Определим функции  , 
двух действительных чисел , :
 =
min  ,  ,  < 0
min  ,  ,  > 0
−
, 
=
.
0,
 ≥ 0
0,
 ≤ 0
Справедливо следующее утверждение:
(a  b)c  a c  b c  mab  c  ,
 c    cmin  cmax , cmax  cmin .
Доказательство
Пусть a  0, b  0 . Тогда:
(a  b) c  (a  b)cmin , (a  b)cmax ,
a c  b c   acmin , acmax   bcmin , bcmax    (a  b)cmin , (a  b)cmax .
Пусть a  0, b  0 . Тогда:
63
(a  b)c  ( a  b ) c  ( a  b )cmax ,  ( a  b )cmin ,
a c  b c   a cmax ,  a cmin    b cmax ,  b cmin  
 ( a  b )cmax ,  ( a  b )cmin .
Поэтому при ab  0 выполняется: (a  b)c  a c  b c  0 c .
Пусть теперь ab  0 . Положим для определенности
b  0, a  0 .
Рассмотрим
случай b  a . Тогда:
(a  b)c  (a  b )cmin , (a  b )cmax ,
ac  bc  ac  b c  acmin  b cmax , acmax  b cmin .
Поскольку:
(a  b )cmin  acmin  b cmax  b (cmax  cmin ),
(a  b )cmax  acmax  b cmin  b (cmin  cmax ).
получим: (a  b)c  ac  bc  b c .
(2.2.2)
Рассмотрим случай b  a . Тогда:
(a  b)c  (a  b )cmax , (a  b )cmin ,
ac  bc  ac  b c  acmin  b cmax , acmax  b cmin .
Поскольку:
(a  b )cmax  acmin  b cmax  a (cmax  cmin ),
(a  b )cmin  acmax  b cmin  a (cmin  cmax ), a = a .
получим: (a  b)c  ac  bc  a c .
(2.2.3)
Объединяя (2.2.2) и (2.2.3), получаем результат при ab  0 :
(a  b)c  ac  bc  min( a , b )c .
■
Последнее равенство определяет дистрибутивный закон для интервальных
чисел с аксиоматикой на основе мультипликативной функции вида (2.2.1).
Как следствие последнего равенства, справедливо:

(a  b) c  a c  b c  mab
 c ,
 c    cmin  cmax , cmax  cmin 
9) На основании предыдущего утверждения докажем также
следующего:
справедливость
64
(a1  b1)[(a  b) c ]  a1a c  a1b c  b1a c  b1b c 
(2.2.4)
 a1 mab  c   b1 mab  c   ma b ( a  2mab  b ) c .
1 1
Доказательство
Рассмотрим случай ab  0 . Пусть для определенности: b  0, a  0.
Имеем:
(a  b) c  a c  b c  mab  c    c1,
(2.2.5)
(a1  b1)c1  a1c1  b1c1  ma b c1.
(2.2.6)
1 1
Найдем a1 c1 при a1  0 :
a1c1  a1acmin  a1 b cmax  a1mab (cmax  cmin ), a1acmax  a1 b cmin  a1mab (cmin  cmax ).
Найдем a1 c1 при a1  0 :
a1c1  a1acmax  a1 b cmin  a1mab (cmin  cmax ), a1acmin  a1 b cmax  a1mab (cmax  cmin ).
Подставив в последнее равенство a1   a1 , убедимся, что при любом a1 получаем
результат:
a1c1  a1ac  a1bc  a1 mab c .
Аналогично: b1c1  b1ac  b1bc  b1 mab c .
(2.2.7)
(2.2.8)
Далее. Из (2.2.5) следует:
c1
max
 c1
min
 a (cmax  cmin )  b (cmax  cmin )  2mab (cmax  cmin ) 
 ( a  2mab  b )(cmax  cmin ) .
Отсюда: c1  ( a  2mab  b )c  . Тогда с учетом (2.2.6) – (2.2.8) делаем вывод
о справедливости рассматриваемого утверждения.
Рассмотрим случай ab  0, a  0. Тогда:
a1 c1  a1a  c  a1b c,
b1 c1  b1a c  b1b c,
c1
max
 c1
min
 ( a  b )(cmax  cmin )   c1   ( a  b ) c.
65
и в результате с учетом того, что в данном случае mab  0 , утверждение также
верно.
Рассмотрим последний случай ab  0, a  0 . Тогда:
a1  0  a1c1  a1acmax  a1 b cmax , a1acmin  a1 b cmin  ,
a1  0  a1c1  a1acmin  a1 b cmin , a1acmax  a1 b cmax  .
Поэтому: a1 c1  a1a  c  a1b c . Аналогично: b1 c1  b1a  c  b1b c .
При этом c1  ( a  b )c , как и в предыдущем случае. Поэтому здесь также
утверждение верно.
■
Как следствие (2.2.4) будут выполняться равенства:
(a1  b1)[(a  b) c ]  a1a c  a1b c  b1a c  b1b c 



 a1 mab
 c   b1 mab
 c   ma b ( a  2mab
 b ) c  ,
(2.2.9)
11
(a1  b1)[(a  b) c ]  a1a c  a1bc  b1a c  b1b c 
 a1 mab  c   b1 mab  c   ma b ( a  2mab  b ) c  ,
(2.2.10)
1 1
(a1  b1)[(a  b) c ]  a1a c  a1b c  b1a c  b1b c 



 a1 mab
 c   b1 mab
 c   ma b ( a  2mab
 b ) c .
(2.2.11)
1 1
10) Следствием свойства 9) будет:
(a  p)( q c )  aq c  pq c  map  c ,

(a  p)( q c )  aq c  pq c  map
 c .
Чтобы в этом убедиться, достаточно положить в (2.2.4), (2.2.8) b  0 .
2.3 Элементы алгебры интервальных матриц
2
2.3.1 Дадим определение. Пусть  = [1 …  …  ] ∈ × - блочная матрица,
 ∈  и при этом  =  . Назовем тогда матрицу  блочносимметричной и
отразим это записью  = [] . Справедливо следующее утверждение:
66
2
Пусть  ∈ × - блочносимметричная матрица. Тогда: ℒ  = ′ .
Доказательство
Если  = [] , то выполняется: ;  −1
 +
= ;  −1
+ ,
1, , .
Отсюда, для каждого 1 имеем по (1.1.8):
; −1
−−2 + −+1
=
;  −1
+ ; −1  + ;  < 
 = 1, … , 
; −1 + ;  = 
 +
Другими словами, для каждого 1 имеем:  =  ′ ;  ,  - -е векторстроки матриц , . Отсюда:  = ℒ  = ′
2.3.2
Построим
матрицу
■
 ∈ ×(+1)/2 ,
такую,
что
 
–
блочносимметричная матрица. В этом случае для элементов  матрицы
  выполняется: ; −1
 +
=  ; −1
+ ,
1, ,  .
Для двух натуральных чисел , , 1,  обозначим:
[min ,  − 1] − min
 , −2
+ max ,  − min ,  + 1 =  , ;  ,
 , ;  = (, ; ) .
Поскольку
 ; −1
+
= ; (,;)
,
; −1
+
= ; (,; ) ,
то
для
коэффициентов матрицы  должно выполняться:
; (,;) = ; (,;) .
(2.3.1)
Покажем, к чему приводит система равенств (2.3.1). Для этого построим два
параметрических блочных массива () и ():
  = ;
1,1;
, … , ;
1,;
; … ; ;
 ,1;
, … , ;
 , ;
,
  = [;
1,1;
, … , ;
1, ;
; … ; ;
 ,1;
, … , ;
 ,;
].
Заметим следующее: в каждом i-м блоке индексы последних  −  + 1
элементов представлены последовательными натуральными числами, при этом
67
индекс последнего элемента в блоке равен  − − . Эти элементы назовем базой
i-го блока или i-ой базой.
Перейдем от массивов   ,   к массивам   ,  (),
оставив в их
составах только базы, т.е. положим:
  = ;
1,1;
, … , ;
1,;
; … ; ;
,1;
, … , ;
, ;
; … ; ;
 , ;
,
  = ;
1,1;
, … , ;
1,;
; … ; ;
,1;
, … , ;
, ;
; … ; ;
 ,;
.
Массивы   ,   являются соответственно -й и -й строками искомой
матрицы  ∈ ×( +1)/2 , так что i-я база массивов   ,   , когда , 
пробегают значения 1,…,n , образует матрицу размерности  × ( −  + 1),
которую назовем i-й базовой матрицей . Часть этой матрицы размерности
( −  + 1) × ( −  + 1), примыкающей к последней -й строке, назовем i-ой
квадратной базой матрицы .
Рассмотрим элемент ;
, ;
,  массива  
и найдем ему в
соответствии с (2.3.1) равный элемент массива   при выбранном . Скажем,
что ;
, ;
отражается в данный элемент, а сами элементы назовем взаимными.
1) Пусть  ≤ . Тогда в соответствии с (1.3.1) ;
массива   вида ;
;
,;
= ;
,;
,;
, ;
отражается в элемент
,  =  . Выполняется:
.
Поскольку  ≤ , то элемент ;
,;
находится в -й базе массива   на
позиции ее ( −  + 1)-го члена, т.е. при данном  =  окажется в -й строке и
( −  + 1)-м столбце -й базовой матрицы . Таким образом, -я строка i-й
базовой матрицы ( ≤ ) отражается в ( −  + 1)-й столбец -й квадратной базы
матрицы  не выше диагонального элемента.
Отсюда следует, что вся 1-я строка матрицы  (поскольку она составлена из
первых строк всех базовых матриц последовательно) отражается в столбцы не
68
выше диагональных элементов 1-й квадратной базы; 2-я строка, начиная с  +
1 -го коэффициента, т.е. исключая ее часть, принадлежащую 1-й квадратной базе,
отражается аналогично в столбцы 2-й квадратной базы; 3-я строка, начиная с 2го коэффициента, т.е. исключая ее непересекающиеся части, принадлежащие 1-й
и 2-й квадратным базам, отражается в столбцы 3-й квадратной базы и т.д.
Последний
 +1 
Осталось
2
-й коэффициент в -й строке отражается сам в себя.
пока
невыясненным,
как
отражаются
наддиагональные
коэффициенты каждой квадратной базы, исключая коэффициенты ее первой
строки. Для выяснения этого рассмотрим второй случай.
2)
Пусть  <  ≤ . Здесь элемент ;
элемент ;
,;
, ;
массива   отражается в
,  =  массива   , т.е. остается в i-ой квадратной базе.
Поскольку выполняется:
 −  =  , ;  −  − 1  + −2 − ( , ;  −  − 1  + −2 ) ,
и при этом ,  – номера строк,
 , ;  −  − 1  + −2 ,  , ;  −  − 1  + −2 - номера столбцов i-ой
квадратной базы, то коэффициенты ;
, ;
и
 ;
,;
расположены
симметрично относительно ее диагонали.
Таким образом, получаем, что ни в один из коэффициентов матрицы не
отражаются 2 или более различных ее коэффициентов при том, что коэффициент
матрицы может иметь не более одного взаимного коэффициента.
Поэтому
условия (2.3.1) непротиворечивы. Одновременно становится ясен способ
построения матрицы
 ∈ × ( +1)/2 , такой, что матрица   ∈ ×
2
блочносимметричная. В этом случае  назовем ступенчатой матрицей.
2.3.3 Интервальной матрицей назовем матрицу, элементами которой являются
И-числа. Нижнюю грань интервальной матрицы 〈〉 обозначим через  , верхнюю
через  , так что по аналогии с записью И-числа введем запись И-матрицы:
69
〈 , 〉 = 〈〉.
Из этой записи следует, что реализация 〈〉 И-матрицы 〈〉
рассматривается, как возможный элемент из множества матриц , заключенных
между нижней и верхней гранями. Это отразим записью 〈〉 ∈ 〈〉. Если
〈〉 <∈ 〈〉 и 〈〉 ∈ 〈〉, то: 〈〉 ∈ 〈〉.
Максимальный модуль граничных значений коэффициентов И-матрицы 〈〉
назовем радиусом 〈〉.
Очевидно, что указанные свойства 1),…,7) параграфа 2.2. справедливы и для
интервальных матриц. (В этом случае свойства справедливы для всех
соответственных
коэффициентов
левой
и
правой
части
интервального
отношения.)
Для любых одинаковой размерности интервальных матриц 〈〉 и 〈〉 очевидны
также отношения:
〈〉 <∈ 〈〉 ∪ 〈〉 <∈ (〈〉 ∪ ) ∪ 〈〉, (〈〉 ∪ ) = 〈〉 ∪ .
2.3.4 Определим произведение интервальной матрицы 〈〉 ∈ × слева на
действительную матрицу  ∈ × , как интервальную матрицу 〈〉 ∈ × ,
нижняя и верхняя грани которой равны соответственно нижней и верхней граням
произведения  при условии  ≤  ≤ ,  = . Если обозначить
коэффициент 〈〉 через:
〈 〉 = 〈〉 = 〈 ,  〉, 1 ≤  ≤ , 1 ≤  ≤  ,
то принимая во внимание определение мультипликативной интервальной
функции, можем записать равенства:
 =

=1 ( , 〈 〉),
 = −

=1 (− , 〈 〉)
2.3.5 Справедливо следующее свойство интервальных матриц. Пусть  ≤ ,
 ≥ ,  - действительная матрица с неотрицательными коэффициентами и
70
произведение
〈〉 ∈  ×
существует.
Тогда
для
любой
∈  ×
〈〉
выполняется: 〈〉 <∈ 〈〉 + 〈〉.
Доказательство
Обозначим: 〈〉 + 〈〉 = 〈〉 и введем интервальные коэффициенты
матриц: 〈 〉 = 〈 ,  〉, 〈 〉 = 〈 ,  〉, 〈 〉 = 〈 ,  〉 .
Тогда:
 =  +
 =  −

=1 ( , 〈 〉)
=  +

=1 (− , 〈 〉)

=1 
=  +
 ≤  ,

=1 
 ≥  .
что следует из неравенств  ≥ 0,  ≥ 0,  ≤ 0.
■
Не требуют доказательства такие утверждения: для любых 〈〉, 〈〉 ∈ 
из условия 〈〉 <∈ 〈〉 следует  〈〉 <∈  〈〉 , а для любых
×
 ( +1)
2
〈〉, 〈〉 ∈
2
× из 〈〉 <∈ 〈〉 следует ℒ(〈〉) <∈ (〈〉).
Пункт 2.3.1 справедлив и для И-матриц, т.е. ℒ 〈〉 = 〈〉′ , если 〈〉 = 〈〉[] ∈
2
× . В самом деле, в силу (2.1.8) выполняется: ℒ  = ℒ(), где  – это уже
конкретная
действительная
блочносимметричная
матрица;
поэтому
в
соответствии с п.2.3.1 справедливо равенство: ℒ() =  ′ . Но вследствие
определения ′ выполняется:  ′ = ′ Следовательно: ℒ  = ′ .
Аналогично показывается равенство верхних граней. Отсюда: ℒ 〈〉 = 〈〉′ .
2.3.6 Основываясь на введенном ранее понятии зеркального (относительно
данного) интервального числа, введем понятие зеркальной И-матрицы. И-матрицу
 = 〈〉 ∪ −〈〉 назовем зеркальной относительно И-матрицы 〈〉 ∈ × .
Для двух зеркальных матриц  и  определим функцию (, ), как
матрицу с элементами:
71
 ,  =
  , если  <∈  
 , если   <∈ 
.
Справедлива следующая лемма 1:
Пусть  ∈ ×
2
- блочносимметричная зеркальная И-матрица. Тогда:
 <∈  ℒ  .
Доказательство
Обратимся к формуле (2.1.3). Компоненты вектора  расположены в порядке
следования компонент вектора , а компоненты () – в порядке следования
компонент вектора  ∗ . Обозначим индекс компоненты  через (), индекс
компоненты  - через (). Например,   = 2 будет указывать на компоненту
2 вектора .
Тогда в (2.1.3) получим:   = ,   =  +  − 1,  =   −   + 1.
С учетом этого перепишем (2.1.3):

 −1  + 
=
 −1  + 
=
 −1  −  −2 +  −  +1
,если
1 ≤   ≤  − 1,   =   + 1, … , ;

 −1  + 
= 2 
 −1  −  −2 +1
, если 1 ≤   ≤ ,   = ().
Вводя новые переменные  =   ,  = (), получим:
 −1
+
=  −1
 −1
 +
= 2 −1
+
=  −1
− −2 +1 ,
 − −2 +−+1 , 1
≤  ≤  − 1,  =  + 1, … , ; ,
1 ≤  ≤ ,  =  .
2
Пусть  - элементы матрицы  = ℒ(),  ∈ × . Тогда в соответствии с
(2.1.8):
72
; −1
=
 − −2 +−+1
; −1
+
+ ; −1 + ; 1 ≤  < ,  =  + 1, . . , 
.
; −1 + ; 1 ≤  ≤ ,  = 
Пусть теперь [] =  = . Тогда для 1 ≤  ≤  получаем:
; −1
= ; −1
 +
 ; −1
 +
+
<∈ ; −1
; −1
 +
= ; −1
; −1
 +
= ; −1
 ; −1
 +
+ ; −1
+
+
+ ; −1
 +
,
 = 1, … ,  ,
+ ; −1
<∈ ; −1
= ; −1
;  = 2, … , ,  = 1, … ,  − 1 ,
+
 + ;
 +
+
 +
= ; −1
 +
+ ; −1
 +
,
;  = 1, … ,  − 1,  =  + 1, … ,  .
Эти зависимости можно представить в виде:
; + <∈ ; + ;  = 0,1, … ,  − 1,  = 1, … , ,  = 1, … ,  .
Отсюда получаем:  <∈  ℒ 
■
Справедлива также лемма 2:
Пусть  ∈ ×
( +1)
2
- зеркальная ступенчатая И-матрица. Тогда:
 <∈    .
Доказательство
Коэффициенты матриц , ℒ  
,   обозначим соответственно
; , ; , ; . Тогда:
; −1
− −2 +−+1
При этом:
=
; −1
 +
+ ; −1
; −1
 +
+
; 1 ≤  <  ≤ ,
; 1≤≤
.
73
;  −1
− −2 +−+1
; −1
=
1
2
Поскольку ; −1
; −1
+
;  < ,
 +
+
= ; −1
; <∈ ; ;  = 1, … , ,  = 1, … ,
2.3.7 Пусть 〈〉 ∈ ×
 ( +1)
2
; =
+
.
, получаем:
 +1 
2
. Отсюда:  <∈   
. ■
– некоторая И-матрица и ; ,  ; – два ее
коэффициента, находящиеся на позициях взаимных коэффициентов некоторой
ступенчатой матрицы равной размерности (см. п.2.3.2).
Определим ступенчатую
матрицу
 〈〉 = ; ,  = 1, … , ;  = 1, … , ( + 1)/2
следующим образом: для каждой пары ее взаимных коэффициентов ; ,  ;
выполняется равенство: ; =  ; = ; ∪  ; . Очевидно отношение:
〈〉 <∈  〈〉 .
Пусть 〈〉 = 〈1 〉 … 〈 〉 … 〈 〉 ∈ ×
2
– некоторая блочная И-матрица и
〈〉 , 1 ≤ ,  ≤  – коэффициенты ее -го блока 〈 〉 ∈ × . Определим
блочносимметричную матрицу
2
 〈〉 = 〈1 〉 … 〈 〉 … 〈 〉 ∈ × ; 〈 〉 = 〈 〉 ∈ × ,  = 1, … , 
следующим образом: для коэффициентов 〈〉 , 1 ≤ ,  ≤  ее каждого -го
блока
выполняется
равенство:
〈〉 = 〈〉 = 〈〉 ∪ 〈〉 .
Очевидно
отношение: 〈〉 <∈  〈〉 .
2
2.3.8 Пусть 〈〉 ∈  . Величину
2
=1 ( 
−   ) назовем интервальной
нормой И-вектора 〈〉. Тогда И-вектор 〈〉 ∈ 
(см. п.2.1.8) с минимальной
интервальной нормой и такой, что 〈〉 <∈ 〈〉 назовем L-приближением 〈〉 и
обозначим 〈 〉. Способ его построения следует из материала п.2.1.8 работы, а
74
именно: все центральные коэффициенты 〈〉 не изменяются, а вместо
коэффициентов 〈〉 −1
 +
их суперпозиция 〈〉 −1
, 〈〉  −1
+
+ ;
∪ 〈〉  −1
1 ≤ ,  ≤  (и того, и другого) ставится
 + .
2
2.3.9 Рассматривая И-матрицу 〈〉 ∈ × , как совокупность интервальных
вектор-строк, введем также ее L-приближение с обозначением 〈 〉. При этом
очевидно отношение: 〈〉 <∈ 〈 〉.
2.3.10 Для единичной матрицы  , 2 рассмотрим множество  ,
элементами которого являются всевозможные различные матрицы, полученные с
помощью перемены знака диагональных коэффициентов . Матрицу  также
включим в  . Тогда: ( ) = 2 . Любую матрицу из  , будем обозначать
 , так что обозначение указывает на принадлежность данной матрицы к
множеству  , но без дополнительных пояснений ее не конкретизирует.
Пусть  = 1 …  ,  ≤  есть некоторая перестановка из номеров столбцов
матрицы 〈〉. Заменим столбцы с данными номерами на противоположные,
получив новую матрицу 〈〉 = 〈〉 , где   – диагональная матрица,
полученная из единичной изменением знака у элементов в строках с номерами
1 , … ,  . Матрицу 〈〉 назовем вертикальной аппликацией 〈〉 по перестановке .
Если аналогичную операцию выполнить в отношении строк матрицы 〈〉, то
скажем о горизонтальной аппликации по данной перестановке, а результат
обозначим 〈〉 =  〈〉.
Заметим очевидное свойство: ни горизонтальная, ни вертикальная аппликация
(по любой перестановке) зеркальной относительно некоторой 〈〉 И-матрицы ее
не изменяет, т.е. 〈〉 = 〈〉 = 〈〉.
2.3.11 Пусть 〈〉 = (, 〈〉) - И-матрица, чьи коэффициенты, являющиеся
функциями времени , зависят от И-вектора параметров 〈〉, и:
〈〉 = (, 〈〉) – ее любая реализация, имеющая производную:
75
(,〈〉)

= (, 〈〉).
〈〉
Тогда примем:

=  , 〈〉 , поскольку в этом случае для любой реализации
 , 〈〉 = (, 〈〉) найдется равная реализация 
〈〉

и наоборот.
2.4 Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм
модульных переменных
Введем матрицу C  , коэффициенты которой Cij  связаны с коэффициентами Cij  матрицы C  зависимостями:
Cij   Cij min  Cij max , Cij max  Cij min  .
Матрицу C  будем называть центральной относительно C  .
На основании свойств 8) и 9) параграфа 2.2 докажем следующее утверждение.
Пусть a,b  Rn , a  [ a1 ,..., an ]T , b  [ b1 ,..., bn ]T , mab  [ma b ,..., ma b ]T и C   Rnn
1 1
n n
- интервальная матрица. Тогда:
T
(a  b)T C (a  b)  aT C a  aT C b + bT C a + bT C b  mab
C ( a - 2mab + b ) 
 a C  mab  b C  mab .
T
T
(2.4.1)
Доказательство
Используя свойства 8) и 9), запишем цепочку равенств:
n
n
i 1
j 1
n
n
n
n
 (ai  bi )  cij (a j  bj )   (ai  bi ) cij (a j  bj )  {ai a j  cij   aib j  cij  
i 1 j 1
i 1 j 1
76
bi a j cij   bib j cij   ai ma b cij   bi ma b cij   ma b ( a j  2ma b  b j )cij } 
j j
j j
i i
j j
n
n
n
n
n
n
n
n
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1
j 1
  ai  a j  cij    ai  b j  cij    bi  a j  cij    bi  b j  cij  
n
n
n
n
n
n
i 1
j 1
i 1
j 1
i 1
j 1
 ai  ma b  cij    bi  ma b  cij    ma b  ( a j  2ma b  b j ) cij  
j j
j j
i i
j j
T
 aT C  a  aT C  b + bT C  a  bT C  b  mab
C  ( a  2mab + b ) 
 a C  mab  b C  mab.
T
T
■
Формула упрощается, если C  - симметричная матрица.
Аналогичным образом доказывается равенство:
T

(a  b)T C (a  b)  aT C a  aT C b  bT C a + bT C b  mab
C ( a  2mab
+ b)


 a C  mab
 b C  mab
.
T
T
(2.4.2)
На основании свойства 10) п.2.2 легко показать:
T
(a  b)T C q = aT C q + bT C q  mab
C q ,
T
(a  b)T C q = aT C q  bT C q  mab
C q , q  Rn .
(2.4.3)
Для векторов a, b R n введем модульную векторную функцию r (a ,b) :
 ,  =
 +  , если   ≥ 0
 −  , если   < 0
и обозначим величину +
− =
 , если   ≥ 0
.
− , если   < 0
Справедливо следующее равенство:
+ 
+ 
+
 ,   ,  =   +   +
− + ( −)  + ( −)  − .
Доказательство
(2.4.4)
77
Пусть ,  ∈ 1,  и  - множество размерности 2 всевозможных пар (, ).
Разобьем  на четыре подмножества 1 , … , 4 . Подмножество 1 составят пары
(, ), для которых   ≥ 0,   ≥ 0. Остальные подмножества аналогично
охарактеризуем формальной записью:
2 , если   ≥ 0,   < 0
(, ) ∈ 3 , если   < 0,   ≥ 0 .
4 , если   < 0,   < 0
Сумму слагаемых из выражения  ,   ,  с индексами , , такими,
что
пара
принадлежит
(, )
 ,   , 
.
 ,   ,  =
 ,  = 1, … ,4
подмножеству
,
обозначим
Тогда с очевидностью выполняется:
,   , 
4

=1 

Рассмотрим каждое слагаемое в соответствии с формулами (2.2.4), (2.2.9),
(2.2.10), (2.2.11).
rT (a, b)C  r(a, b)1 
 (a  b )c (a
i
i , j1
i
ij
j
 bj ) 
 {a a c   a b c  
i
i , j1
j
ij
i
j
ij
bi a j cij   bib j cij   ai ma b cij   bi ma b cij   ma b ( a j  2ma b  b j )cij } 
j j
j j
i i
j j

 aia j cij    aibj cij    bia j cij    bib j cij  .
i , j1
i , j1
i , j1
поскольку в подмножестве 1 имеем ma b
j j
r T (a, b)C  r (a, b)2 
 (a  b )c (a
i , j2
i
i
(2.4.5)
i , j1
ij
j
 bj ) 
 ma b  0 .
i i
 {a a c   a b c  
i , j2
i
j
ij
i j
ij
bi a j cij   bib j cij   ai ma b cij   bi ma b cij   ma b ( a j  2ma b  b j )cij } 
j j
j j
i i
j j

 aia j cij    aib j cij    bia j cij    bib j cij .
i , j2
i , j2
i , j2
i , j2
поскольку в подмножестве 2 имеем ma b  ma b  0 .
j j
i i
(2.4.6)
78
r T (a, b)C  r (a, b)3 
 (a  b )c (a
i , j3
i
i
ij
 bj ) 
j
 {a a c   a b c  
i , j3
i
j
ij
i j
ij
bi a j cij   bib j cij   ai ma b cij   bi ma b cij   ma b ( a j  2ma b  b j )cij } 
j j
j j
i i
j j

 aia j cij    aibj cij    bia j cij    bib j cij .
i , j3
i , j3
i , j3
поскольку в подмножестве 3 имеем ma b  ma
i i
r T (a, b)C  r (a, b)4 
 (a  b )c (a
i , j4
i
i
(2.4.7)
i , j3
ij
j
 bj ) 
b  0.
j j
 {a a c   a b c  
i , j4
i
j
ij
i j
ij
bi a j cij   bib j  cij   ai ma b  cij   bi ma b  cij   ma b ( a j  2ma b  b j ) cij } 
j j
j j
i i
j j

 aia j cij    aibj cij    bia j cij    bib j cij .
i , j4
i , j4
i , j4
(2.4.8)
i , j4
поскольку в подмножестве 4 имеем
i i
получаем доказываемую формулу.
Суммируя (2.4.5) – (2.4.8),
ma b  ma b  0 .
j
j
■
Вычислим выражение  =  ,  (, )(2) .
Полагая (, ) 2 = 
 +1 
2
, c помощью зависимостей (2.4.3) получим:


 =   + ( +
−)   ,
где для компонент вектора  выполняется ( ) =
Отсюда  =  и

 =   + ( +
−) .
    ,   ≥ 0
.
−   ,   < 0
Теперь с помощью (2.1.2)
раскроем :
2
 = (2) + ( +
+ [( +
−)
−)+] .
Покажем, что можно представить  =  (2) , (2) ; ,  . Занумеруем
компоненты  в виде:  − −1 + ; 0 ≤  ≤  − 1, 1 ≤  ≤  − . Тогда
79
выполняется:
 −−1 + = +1 + +
+
−+1
+
−+
+ +1
+
−+
+
+
−+1
+ .
Возможны 4 варианта. Рассмотрим каждый из них.
1) +1 +1 ≥ 0, + + ≥ 0. Тогда:
 −−1 + = +1 + + +1 + + +1 + + +1 + =
= + +1 + +1 + + +1 + +1 =  −−1 + +  −−1 + ,
и при этом:  −−1 +  −−1 +  0.
2) +1 +1 ≥ 0, + + < 0. Тогда:
 −−1 + = +1 + − +1 + − +1 + + +1 + =
= + +1 + +1 − + +1 + +1 =  −−1 + −  −−1 + ,
и при этом:  −−1 +  −−1 + < 0.
3) +1 +1 < 0, + + ≥ 0. Тогда:
 −−1 + = +1 + − +1 + + +1 + − +1 + =
= + +1 − +1 + + +1 − +1 =  −−1 + +  −−1 + ,
и при этом:  −−1 +  −−1 + ≥ 0.
4) +1 +1 < 0, + + < 0. Тогда:
 −−1 + = +1 + + +1 + − +1 + − +1 + =
= + +1 − +1 − + +1 −+1 =  −−1 + −  −−1 + ,
и при этом:  −−1 +  −−1 + < 0.
80
Таким образом, представление  =  (2) , (2) ; ,  верно, и при этом,
как нетрудно заметить, выполняются равенства:
(2) = (2) +
+
−
 =   2 ,  ,
2
(2) = [] + [ +
−) = (  ,  ) .
(2.4.9)
Поскольку для любых величин ,  ,  ,  будет выполняться:

 ,   =   + ( +
−)  ,
для L справедливо равенство:




2
+ (2)
 = (2)   + ( +
  + (2)  ( +
 ( +
−)
−) + ( −)
−) .
(2.4.10)
Подставляя (2.4.9) в (2.4.10), получаем:
 =  (2) +  
+
−

2

+( +
+ (+
−) 
−) 
 +    +  
+
−
+
−
 +

+ 
 + (+
−)   + ( −) 
+
−
 .
(2.4.11)
(Здесь, напомним, квадратные скобки обозначают мультипликативные векторы 2го порядка.)
Преобразуем
(2.4.11). Пусть перестановка
p= 1 2 …  характеризует
элементы вектора , противоположные по знаку соответственным
элементам
вектора . Рассмотрим две перестановки в параметрическом виде   ,   :
  =
 − −1 +  …  − −1 +  ,  = 1 − 1, … ,  =  − 1 ,
  =
 − −1 + 1 −  …  − −1 +  −  ,  = 0, … ,  − 1 ,
 = 1, … , =  −  ,
при этом в  
элемент  − −1 +  − , 1 ≤  ≤ 
присутствует, если
 −  > 0.
Перестановка  характеризует номера компонент векторов  и ( +
−) ,
81
отличающиеся по знаку, а перестановка  дает аналогичную информацию по
векторам  и ( +
−) .
Преобразуем L:
 =  (2) +  
+
−

(2)
 +   ( +
+
−) +  
+  2 +  
+
−

(2)
 +   ( +
.
−) +  
Пусть теперь  =  - зеркальная относительно некоторой И-матрицы .
Тогда для этого случая, учитывая, что знаки соответственных компонент векторов
+
+
(+
= , а также формулу (2.1.1),
−) и ( −) совпадают, т.е.  ( +
−) [( −)]
получим результат:

2
 =   2 +  [ +
+
−) + +  

(2)
+  2 +  [ +
.
−) + +  
Далее запишем на основе формул (2.1.4), (2.1.6), (2.1.9):

2

2
 =   2 +     ∗ ( +
+
−) +   + 

2
+   ( +
=   2 +  ℒ  
−) ∗  +  
+  2 +  2 +  ℒ  
+  2 +  ℒ  
2 +
 2 +   2 =   2 +
+   2 +  [ℒ  
+] 2 .
(2.4.12)
Здесь использовали также то свойство, что горизонтальная и вертикальная
аппликации матрицы   ее не изменяют в силу того, что коэффициенты
матрицы – зеркальные И-числа.
Обозначим последнее выражение через (, , ). Тогда с учетом формулы
(2.2.7), в которой положено  = , получим следствие (2.4.12):
 ,   ,  ∗  ,  = (, , ′ ) ,
(2.4.13)
82
2
где  .
2.5 Теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы
Введем обозначение. Функцию  переменных 1 , … ,  вида:
 ,  =
 1 ,…,  ;
1 … () 1 …  , где 1 … - коэфициенты, назовем формой
n -порядка и обозначим с помощью 4-х символов:  (, ). Особенности
обозначения:
1) Первая буква любой формы всегда  ;
2) Две формы равны тождественно, если соответственно одинаковы все их
символы;
3) Если какой-либо символ одной формы не равен соответственному символу
другой , то даже при равенстве остальных символов коэффициенты этих форм в
общем случае никак не связаны друг с другом.
Здесь для последующего понимания уточним следующее. По отдельности
символ  не выражает вектор коэффициентов формы; он введен только для
дополнительной
«степени
свободы»
в
ее
обозначении.
Так,
векторы
коэффициентов форм  и  при  ≠  могут быть никак не связаны друг
с другом, равно как и коэффициенты форм  и  при  ≠  либо форм 
и  .
При учете нескольких форм с равными порядками и одних и тех же
переменных возможна индексация литеры , т.е. формы для сокращения объема
используемого алфавита возможно записывать в виде   .
Если
все
коэффициенты 1 … формы постоянны во времени, то форму будем называть
постоянной. Если коэффициенты 1 … () – известные функции , то форму
назовем строгой, в противном случае – нестрогой.
83
Пусть для коэффициентов формы  ,  выполнены неравенства:

≤ 1 …  ≤ 
.
1 … 
1 … 
(2.5.0)
Тогда для данного  существует множество Ƒ (  ) значений формы,
элементы
которого
получаются
при
конкретных
значениях
вектора
коэффициентов.
 (, ) при условии (2.5.0)
Интервальной формой, соответствующей
назовем форму вида:


 1 ,…,  ; 〈 1 …  ,  1 …  〉  1
   =
…  .
При этом любой элемент множества Ƒ (  ) будем называть реализацией
   интервальной формы    .
Форму   () назовем покрывающей для формы   (), если выполняется:
Ƒ (  ) ∋ Ƒ (  ) . Введем обозначение:   <∈   .

Сумму   +   + ⋯ +   будем называть смешаной формой и
++⋯+
обозначать условно в виде 
 . Аналогичное определение может также
быть принято и для суммы интервальных форм:

++⋯+
   +    + ⋯ +    =  
 .
Для смешанных форм аналогично вводится отношение покрываемости.
Дадим еще одно определение. Постоянную строгую форму, в общем случае
++⋯+
смешанную, 
++⋯+
  = 
 , такую, что функция:
+ +⋯+
 −  

является положительно определенной по  = [1 2 …  −1  ] при любой
+ +⋯+
реализации интервальной формы  
 , назовем компенсатором этой
84
+ +⋯+
формы и обозначим Ψ  
+ +⋯+
обозначим Ψ  
. Вектор коэффициентов компенсатора
.
Минимальное значение функции  
данном
+ +⋯+
на множестве Ƒ (  
) при
 = 0 назовем локальной на 0 характеристикой компенсатора и
обозначим  ∗ 0 . Глобальной характеристикой компенсатора назовем величину
 **  min
 *( w) .
w
Пусть 
Ψ есть нижняя грань множества евклидовых норм возможных величин
+ +⋯+
при
Ψ  
условии
выполнения
для
любого
 = [1 , … ,  ]
неравенства:
(1 , 0, … ,0) ≤ (1 , 2 , 0, … ,0) ≤ (1 , … ,  −1 , 0) ≤ (1 , … ,  −1 ,  ) (2.5.1)
Тогда, если для произвольного  > 0 алгоритм вычисления компенсатора
+ +⋯+
Ψ  
+ +⋯+
позволяет при данном условии формы  
получить при
+ +⋯+
любом задании ее интервальных коэффициентов такой Ψ  
++⋯+
Ψ 

− Ψ
< ,
то
данный
алгоритм
назовем
, что
оптимальным,
а
построенный по нему компенсатор – оптимальным компенсатором. (Требование
(2.5.1) соответствует условию устойчивости алгоритма по размерности .)
Справедлива следующая теорема о компенсаторе:
Для любой конечной интервальной формы 3-порядка  3 () переменного
 ∈  всегда
можно
построить оптимальный
компенсатор
в виде
биквадратичной формы 2+4  .
Докажем данную теорему, одновременно найдя формулы оптимального
алгоритма. (Далее в приводимом доказательстве для сокращения объема формул
под выражением   () будем понимать любую допустимую реализацию
указанной И-формы.)
85
Доказательство
Без ограничения общности зададим форму  3 в виде:
 3  =
+

 =2 
где  =


, 
=1 〈
 −1


=1 〈 , 
〉 3 +
〉 2 + 

2
 =2 

 =3 
 −1


=1 〈 , 
 −1
=2
〉 +


−1
=1 〈 , 
(2.5.2)
〉  ,
0,  ≤ 2
. Будем при этом полагать 0 =  = , 0 = 0 при
1,  ≥ 3
любом n .
Используем метод математической индукции. При  = 1 утверждение
верно, т.к. для данного 3 можно подобрать такие:
4 , 2 > 0,
32 − 4 2 < 0, что:  ( w  0)  a4 w4  2a3w3  a2 w2  0,  (0)  0 и,
1
3
следовательно: 
= ()2 .
Ψ 
2
Пусть утверждение верно для m 1 , докажем его справедливость для m .
Очевидна формула:
Frnk1  Frnk  wn 1Frnk11 , k  1 .
(2.5.3)
(Аналогичное равенство справедливо и для интервальных форм.)
 3 и преобразуем его по (2.5.3):
Составим сравнение: Frm2  Frm4  Fr
m
~
~
Frm21  wm Frm1  Frm41  wm Frm3  Frm31  wm Ftm2 .
(2.5.4)
2
4
Полагая: Frm21  Fa m2 1  Fs m2 1 , выберем Fam1 , Frm1 по оптимальному
~
алгоритму из условия: Fa m2 1  Frm41  Frm31 ,
(2.5.5)
что по допущению можно сделать положительно определенно в области переменного ∗ = [1 …  −1 ] .
86
3
2
2
1
 2  Ft
 2  w Ft
1 ,
Представляя: Frm  wm Fkm  wm Fpm , Ft
m
m 1
m
m
приходим с учетом (2.5.5) к сравнению:
~
~
Fsm2 1  wm Frm1  wm2 Fk m2  wm3 Fp1m  wm Ftm2 1  wm2 Ftm1 .
(2.5.6)
Выберем форму Fk m2 из условия: Fk m2  Fs m2 1  wm Fp 1m , полагая при
этом Frm1  Fp1m , и перепишем (2.5.6) в виде:
~
~
~
~
( wm2  1) Fsm2 1  (2wm3  wm ) Frm1  wm Ftm2 1  wm2 Ftm1  wm Ftm2 1  wm2 Ftm1 .
(2.5.7)
Обозначим:
1 = 1 −1 +   +  ,  > 1 ,
(2.5.8)
и потребуем выполнения неравенства:


 = max⁡
(2, 
, 
).
(2.5.9)


В интервалах [
, 
] зафиксируем числа  =



+
2
и
представим:
m 1
Frm1 1   mi wi ,
(2.5.10)
i 1

Ft
1
m 1
 Fr
1
m 1

 Fx
1
m 1
.
1
1


где  
=  
−1 + 〈 ,  〉 ,
1
 
−1 =



−
 −1
〈−
=1

,



−

〉 .
2
2
2
Положим далее в (2.5.7): Fs m 1  Fс m 1  Fd m 1 . Форму Fc m2 1 выберем из
условий:
2
 m2 1 ,  Frm1 1  2 ) ,
1) Fc m 1 положительно определена; 2) Fcm2 1  max( Ft


а для формы Fd m2 1 потребуем:
87
 m1 1 
1) Fd m2 1 положительно определена; 2) Fd m2 1   Fx

2
,
при этом неравенства в п.п. 2) также положительно определены по ∗ .
Правило построения Fc m2 1 следует из решения неравенства:
2
2

−1 > ±  −1 ,
2
где  
−1 - некоторая заданная форма.
Выполняется :
2
± 
−1 = ±
±
>
±
>

, 
 〈
〉 2 ±
〈 ,  〉  ≤
2
  
〈 ,  〉  ≤
>
±
>
〈 ,  〉 ∓ 2     ≤ (


∗ 2 ±
〈 ,  〉  = (
  )2 +
>
  )2 ±

 2 + 2 =
2
= 
−1 ,
(2.5.11)
где  ≥ ∗ = max  , 
При этом функция
,  > max

 
∓2    
2
,

 
∓2    
.
2
2
2

−1 ∓   −1 положительно определена по ∗ .
~
2
2
Поскольку под формой ± 
−1 в (2.5.11) надо рассматривать как  Ftm 1 ,
2
так и [ Frm1 1 ]2 , получаем форму Fc m 1 в виде:
2

−1 = (
 −1
=1
′  )2 +


где ′ ≥ max⁡
( 
, 
,
′

> max⁡
(
′

(2 + 2 ) ,

 2
(
+
)

′ ′

∓2 

2
>
4
,
),

′ ′

∓2 

2
(2.5.12)
,
′ ′
∝ ∝ −2 

2
).
В соответствии с (2.5.11) получаем результат для формы Fd m2 1 :
(2.5.12а)
88
2

−1 = (
где ′′ =
 −1
=1

 2
(
−
)
4
′′  )2 +
, ′′ >
1
2
>
′′

(2 + 2 ) ,



− 
(2.5.13)



− 
= 2 ′′ ′′ . (2.5.13а)
При выполнении (2.5.12), (2.5.13), перейдем от (2.5.7) к системе сравнений:
2
1
3
2
2 −  + 1 
−1 + 2 −  +   −1 +

 〉
+2 (2 2 − 〈
, 
 +  ) ∧ 0 ,
(2.5.14)
2
1
2
2
2
2 + 1 
−1 −    −1 +  (2 + 1) ∧ 0 .
(2.5.15)
Оценим (2.5.14). Поскольку:
2
1
2

−1 = [ −1 ] +  ∗ ;  ∗ > 0, ∗ ≠ 0;  0 = 0 ,
(2.5.16)
то, обозначая: Frm1 1  u , перейдем к сравнению:

 〉
2 −  + 1 2 + 22 −  + 1  + 2 (2 2 − 〈
, 
 +  ) ∧ 0 (2.5.17)
Очевидно,
при всех
w
выполняется:
wm2  wm  1  0 .
Запишем
дискриминант:

 〉
2
2
 = −4 2 −  + 1 2 2 2 − 〈
, 
 +  +  2 −  + 1
2
.
При выполнении (2.5.9) и wm  0 будет D  0 . Действительно, учитывая,
что при этом выполняется:

 〉
2
2 2 − 〈
, 
 +  ≥ 2  −   +  ,
проведем сравнение:
( wm2 
wm
 0.5)2  ( wm2  wm  1)(2 wm2 m  m wm  m ) .
2
При t  0,  m  2 справедливо:
(t 2 
t
 0.5)2  m (t 2  t  1)(2t 2  t  1) .
2
89
Покажем это.
Пусть  m  2 . Составив производную функции f (t ) разности неравенства:
d
d
t
1
f (t )  [2(t 2  t  1)(2t 2  t  1)  (t 2   0.5)2 ]  (t  1)(24t 3  18t  9) ,
dt
dt
2
2
убеждаемся, что она отрицательна при t  1 и положительна при t  1 . При этом
f (0)  1.75, f (1)  0 , т.е. на интервале [0, 1] функция уменьшается до нуля, а далее
везде возрастает. Отсюда получаем при t  0,  m  2 :

1
2
2
( 2 + + )2 ≤ 2  2 −  + 1 2 2 −  + 1 <   2 −  + 1 2 2 −  + 1 . (2.5.18)
Отсюда при wm  0 имеем D  0 , что приводит (2.5.14) к знаку >.
При wm  0 будет D  0 , но при этом (2.5.17) вследствие (2.5.16) обращается в равенство только при ∗ = . Нетрудно видеть, что сравнение (2.5.15)
ведет себя аналогично при   1 .
Отсюда следует, что при сделанных по ходу доказательства выборах форм
сравнение (2.5.6) имеет знак > (больше) везде, кроме  = [∗  ] = .
Этому анализу соответствует выбор  в виде равенства (2.5.9), которое


определяет минимально возможное значение  , если 2 ≥ max⁡
( 
, 
),
поскольку при  < 2 получим  1 < 0 и, как следствие,  > 0, что определит
область отрицательных значений левой части сравнения (2.5.17).


Рассмотрим случай 2 < max 
, 
= . В этом случае неравенство
(2.5.18) следует рассматривать в виде:

1

2
2
( )
( 2 + + )2 <
( 2 −  + 1) 2 2 − () + 1 ,   =


> 1.
90
Граничное значение функции   , т.е. такое, когда неравенство обращается в
равенство, обозначим (). Представление о свойствах функции () могут дать
следующие ее значения, вычисленные с точностью до третьего знака:  2 = 1;
 3 = 1.283;  6 = 1.771;  10 = 2.105;  15 = 2.301;  25 = 2.471;
 100 = 2.701;  1000 = 2.802;  104 = 2.821. Отсюда можно сделать
вывод об асимптотическом свойстве   .
Итак, в общем случае граничной оценкой  является:


2; если 2 ≥ max⁡
( 
, 
)
 ,   )
max ⁡
( 



; 2 < max⁡
( 
, 
)
( )
(2.5.19)
Frn2  4  Frn2  Frn4
При введенном ранее обозначении
разность
.
{Frn2  4 }, n  0,1,2,... .
последовательности
рассмотрим первую
Общий
член
 ( Frn2  4 ))
последовательности первой разности, как нетрудно заметить, выражается
формулой, соответствующей разности сравнения (2.5.7). Отсюда на основании
m
24
24
24
равенства Frm  Fr0    ( Frn ) получаем следующую формулу:
n 1

=1[
2 + 4 =
1
где: −1
=
−1
=1   ,
−1
=1
2
−1
=(
=
′

1
2
1 + 22  2 +  −1
+ (1 + 2 )−1
],
≥ max
 > max



+
2
′

 )2 + (
−1
2
=1  


 =
,
+
>>


2
, 

′ ′

∓2 

2
,
−1
=1
,  > max 2,  ,  ,
′′

 )2 +
   +
,
′′

=
>>
>>
,
 2 + 2 =
 2 + 2 ,

 
(
−
)
4

′ ′

∓2 

2
(2.5.20)
,
′ ′
∝ ∝ −2 

2
′′ ′′
+ 2 
 ,
91
′
′′
 = 
+ 
,  = 2
′ ′
′′ ′′

 + 
 .
Анализируя формулу (2.5.20), приходим к следующим выводам.
1. Нетрудно видеть, что при нарушении оценки (2.5.19) и достаточно малой
 ∗ в (2.5.16) (что будет выполнено при определенном задании интервалов
+ +⋯+
коэффициентов кубичной И-формы  
и использовании формул (2.5.12а),
(2.5.13а)) получим некоторую область отрицательных значений левой части
сравнения (2.5.17), что приводит к нарушению требования (2.5.1). Поэтому
формулы (2.5.12а), (2.5.13а) и (2.5.19) являются нижними положительными
оценками указанных в них коэффициентов, что позволяет сделать вывод об
оптимальности алгоритма (2.5.20).
2. Пусть  = [ ] есть вектор коэффициентов компенсатора 2+4 () формы
 3 (), упорядоченных каким-либо образом. Тогда вектор ′ = [ +∝ ], где ∝
– любое положительное число, будет вектором коэффициентов, упорядоченных
2+4
данным же образом, другого компенсатора 
() этой формы. Если записать
компенсатор 2+4 в виде 2+4 (, [ ]), то любая реализация интервальной
2+4
формы  
(, [ , ∞]) также будет компенсатором для  3 (). И-форму
2+4
 
(, [ , ∞]) назовем тогда интервальным компенсатором для  3 () с
2+4
началом в [ ]. Введем при этом обозначение:  
 = Ψ[ 3  , ].

Укажем на очевидное свойство форм. Пусть  
<∈   и:
++⋯+

 = Ψ    . Введем характеристики:
ps...l ( w)  Frn ( w),  ( w)  Fx ps...l ( w)  Fqn ( w)
1(w)  Fxm
m
m
m
2
++⋯+
Тогда: 1) 

 = Ψ  

(свойство замещения форм) ,
2)  **   ** (свойство глобальных характеристик).
2
1
В заключение введем еще два понятия, используемые в дальнейшем.
92
Векторной, в общем случае смешаной, формой 1+2+⋯+  переменного
 ∈ ×1 назовем такой вектор   ∈ ×1 ,  > 1, каждая компонента которого
  есть смешаная форма:  1+2+⋯+  =


=1   () , 1
≤  ≤ . (Здесь  -
число или знак ∞.) Векторную форму назовем -формой.
Вложенной  -формой
векторной формы
1+2+⋯+ 
назовем такой
вектор   ∈ ×1 ,  > 1, каждая компонента которого  
есть форма
  (), 1 ≤  ≤ . Очевидно, вложенная  -форма есть векторная форма   .
Поскольку для системы (1.4.14) производная функции Ляпунова на основе
квадратичных форм (например, сферической или эллиптической функции, либо
их модификаций) выражается некоторой реализацией интервальной кубичной
формы переменных состояния, то формула (2.5.20) может стать инструментом
построения стабилизатора системы (1.4.14). Однако, для этого предварительно
необходимо найти условия, при которых устойчивость динамической системы с
переменными параметрами, в общем случае неизвестными в заданных
интервалах, можно оценивать по устойчивости соответствующей интервальной
модели.
93
Выводы из главы 2
1 Математический аппарат, позволяющий исключать
функцию
векторной
модульной суммы  ,  ; ,  ∈  в выражениях вида  ,  (, )(2) и
2
 ,   ,  ∗  ,  , где  ∈ ×(+1)/2 ,  ∈ × - интервальные
зеркальные матрицы, ∗ − знак кронекерова произведения векторов, (2) ∈
( +1)/2 - вектор 2-го порядка для вектора  ∈  , основан на свойствах
введенных в главе операторов при преобразованиях векторов 2-го порядка и
матриц.
2
Для любой ограниченной интервальной однородной формы 3-го порядка
произвольного конечного числа переменных всегда можно построить по
устойчивому алгоритму превосходящую ее строгую смешанную форму тех же
переменных 2-го и 4-го порядков при найденных формулах гарантированных
нижних оценок величин ее коэффициентов.
94
Глава 3
Результаты в области условий устойчивости нелинейных
нестационарных систем
Материалы данной главы служат для теоретического обоснования и оценки
результатов применения методов интервального анализа при стабилизации
состояний моделей динамических систем с переменными параметрами.
3.1 Лемма о () −граннике полинома
Рассмотрим линейное пространство над телом действительных чисел. Пусть
{a1 ,..., a n } описывает точку Z 
a p
i
i
пространства с выбранным базисом { p i } .
i
Скажем, что над пространством
Z (n ) почти везде поставлена функция
нормализованного полинома:
Pn ( x )  x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an ,
(3.1.1)
если она определена в каждой его точке , где a n  0 .
(n)  гранником с центром в
{a1 ,..., a n } назовем область пространства, под-
чиненную неравенствам: ai  ai  z i  ai  ai , a i  0 , i  1...n . Величину ai
ai .
назовем радиусом коэффициента a i ; радиусом (n)  гранника назовем min
i
Полином (3.1.1) назовем центральным, а любой другой полином в (n)  граннике
( )
назовем отклоненным относительно Pn и обозначим Pn .
95
Справедлива следующая лемма:
Пусть у полинома (3.1.1) в произвольной точке пространства Z
отсутствуют чисто мнимые корни. Тогда в пространстве Z
(n )
(n )
существует (n)  гранник с центром в {a1 ,..., a n } , такой, что в нем
везде знаки вещественных частей соответственных корней каждого
уравнения Pn
( )
= 0 неизменны.
Другими словами, линия каждого корня уравнения Pn ( x)  0 на комплексной
плоскости корней при непрерывном движении точки {a1 ,..., a n } в (n)  граннике
не имеет общих точек с мнимой осью, т.е. остается или слева, или справа от нее.
Доказательство
Доказательство проведем методом математической индукции. Для
утверждение очевидно. Для полинома P2 ( x )  x 2  bx  c при
n 1
c  0 один из
действительных корней всегда положителен, а другой отрицателен. Поэтому
здесь числа 0  c  c , b  0 удовлетворяют лемме. При c  0, b  0 знаки
вещественных частей обоих корней всегда отрицательны, а при b  0 всегда
положительны. (Случай c  0, b  0
корней.)
исключается из-за наличия чисто мнимых
Поэтому для полинома P2 ( x) можно указать следующие радиусы
коэффициентов, удовлетворяющих лемме: 0  c  c , 0  b  b
Допустим, лемма доказана длля полиномов
Pn ( x ), n  2 . Докажем в этом
случае ее для полиномов Pn1 ( x) . Возможны два случая:
2
1) Pn 1 ( x )  ( x  b) Pn ( x ) , 2) Pn 1 ( x )  ( x 2  bx  c ) Pn 1 ( x ) , b  4c  0 .
Проанализируем каждый из них. Случай 1). Здесь:
96
Pn 1 ( x )  ( x  b)( x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an )  x n 1  (b  a1 ) x n 
n 1
(ba1  a2 ) x n 1  ...  (ban 1  an ) x  anb  x n 1   qi x n i 1 .
i 1
Выберем q1  b  a1 при 0  b  b и проведем выбор величины q n 1 .
Рассмотрим выражение: (an   an )(b   b)  anb  b an  an b   an b .
Покажем, что существует число  *  b , такое, что для всех 0  b   * числа:
  n 1  b an  an b   an b и   n 1  b an  an b   an b
имеют разные знаки. Для этого оценим знак их произведения:
  n 1  n 1   an 2 b2  (b an  an b)2 .
Для трех чисел b, a n и
a n  0
найдется такое
a
b
 n  1.
b a n
0  b   n 1 будет справедливо неравенство:
анализа поведения элементарной функции y 
 n1  0 , что при всех

x
  при
Это
следует
из
x  0 . Следовательно,
при 0  b  min( n1 , b )  * имеем   n 1  n 1  0 .
Тогда, обозначая   n 1  un 1 ,   n 1  vn 1 , примем qn1  min( un1 , vn1 ) .
В самом деле, для любого q ' n 1 из диапазона
an b  min(un 1, vn 1 )  q ' n 1  anb  max(un 1, vn 1 )
(3.1.2)
'
'
найдутся такие   ( min(n1, b ), min(n1, b )) , a n  (an   an , an   an ) , что
'
'
'
будет : q n 1  a n (b   ) . Это следует из непрерывности функции:
f ( x, y )  (c1  x )(c2  y ) ,  1  x  1 , 2  y  2 ; 1,2 >0 .
97
Тем более это справедливо для вложенного в (3.1.2) диапазона
anb  min( un1 , vn1 )  q'n1  anb  min( un1 , vn1 ).
(3.1.3)
Выберем теперь величину q n . Рассмотрим выражение:
(b   b)( an 1   an 1 )  an   an .
Поскольку, как показано выше, найдется область 0  b   n , в которой числа
  n  b an 1  an 1 b   an 1 b ,   n  b an 1  an 1 b   an b
имеют разные знаки, то, следовательно, числа:
u n  min(   n ,  n )  an , vn  max(   n ,  n )  an
будут также разного знака. Для любого q ' n из диапазона:
an 1b  an  un  q ' n 1  an 1b  an  vn
'
'
найдутся такие   ( min(n , b ), min(n , b )) , a n  (an   an , an   an ) и
a ' n1  (an1  an1 , an1  an1 ) , что будет выполняться: q ' n  (b   ' )a ' n 1  a ' n
Это следует из непрерывности функции:
f ( x, y, z )  (c1  x )(c2  y )  c3  z ,  1  x  1 ,  2  y  2 , 3  z  3 ; 1,2,3 >0 .
Тем более это будет справедливо для вложенного диапазона:
an1b  an  min( un , vn )  q'n1  an1b  an  min( un , vn ) .
Поэтому выбираем: qn  min( un , vn ) .
Аналогично можно рассмотреть выбор радиуса для любого коэффициента
qk , 2  k  n . Таким образом, окончательно выбираем следующие радиусы
98
коэффициентов qk , 1  k  n  1 :
b  min (min( k , b )) , qk  min( uk , vk ) , k  2,...,n  1 ,
k
 q1   b   a1 .
Данные радиусы удовлетворяют лемме. В самом деле, каждый отклоненный
относительно Pn1 ( x ) полином Pn1
q k  q k  q ' k  q k  q k ,
( )
( x) будет в (n  1)  граннике вида
k  [1, n  1] иметь разложение:
'
n
' n 1
'
'
( )
Pn1 ( x)  ( x  b )( x  a1 x  ...  an 1 x  an ) ,
где b '  (b  b, b  b) , ai  (ai  ai , a  ai ) , i  1,..., n .
'
Следовательно, в силу существования (n)  гранника для полинома
Pn (x )  x  a1 x
n
n 1
 ...  an 1 x  an
с радиусами коэффициентов
ai , знаки
()
вещественных частей соответственных корней каждого уравнения Pn1 ( x)  0
будут неизменны.
Рассмотрим случай 2). Здесь:
Pn 1 ( x )  ( x 2  bx  c)( x n 1  a1 x n 2  ...  an 2 x  an 1 ) 
 x n 1  (b  a1 ) x n  (c  a1b  a2 ) x n 1  (ca1  ba2  a3 ) x n 2  ...
n 1
...  ( can 3  ban 2  an 1 ) x 2  ( can 2  ban 1 ) x  can 1  x n 1   qk x n 1k .
k 1
2
Если b  4c  0, c  0 , то можно выбрать два такие числа b, c :
 b  min( b , 2 c  b) , c  c  (
b  b
2
) 2 , что при любых b ' , c ' , таких, что
b  b '  b , c  c '  c будет выполняться: (b )  4c  0 .
' 2
'
99
Выберем: q1  b  a1 .
Обратимся к выбору величины q 2 . Рассмотрим выражение:
с   с  (a1   a1 )(b   b)  a2   a2 .
Будем далее рассуждать аналогично предыдущему.
Поскольку найдется такое
 2  0 , что при
0  b   2 , числа:
  2  b a1  a1 b   a1 b и   2  b a1  a1 b   a1 b имеют разные знаки, то
разные знаки будут иметь также и числа:
u2  min(  2 ,  2 )   c   a2 ,
v2  max(  2 ,  2 )   c   a2 .
(3.1.4)
Поэтому предложим выбор радиуса q 2 в виде:
 q2  min( u2 , v 2 ) ,
0   d  min(2 , b , 2 c  b ) ,
c  c  (
b d 2
).
2
(3.1.5)
Перейдем к выбору величин  qk , 2  k  n  1 . Рассмотрим выражение:
(с   с)(ak 2   ak 2 )  (b   b)(ak 1   ak 1 )  ak   ak .

Числа:  1k  ak 1 b  b ak 1   b ak 1 ,
 1k   ak 1 b  b ak 1   b ak 1
при 0  b  1k имеют разные знаки. Аналогично, числа:
  2 k  ak 2 с  с ak 2   с ak 2 ,
100
  2 k   ak 2 с  с ak 2   с ak 2
при 0  с   2 k также имеют разные знаки. Следовательно, при:
b b 2
) ,  2k ] ,
2
0   b  min( b , 2 c  b , 1k )   bk
0   c  min[c  (




числа: uk  min( 1k ,  1k )  min( 2 k ,  2 k )   ak ,
vk  max( 1k ,  1k )  max(  2 k ,   2 k )   ak
(3.1.6)
будут разного знака. Выберем:
 qk  min( uk , vk ) .
(3.1.7)
Полагая a n  a n 1  0 , получим аналогичный результат для оценки радиусов
коэффициентов qn  can 2  ban 1 , qn 1  can 1 .
Таким образом, выбираем следующие радиусы коэффициентов b и
c:
0   b  min(min(2 ,  bk )) ,
k
0   c  min(min[ c  (
k
b b 2
) , 2 k ]) .
2
(3.1.8)
При таком выборе получим, что для каждого коэффициента:
'
qk  qk  qk  qk  qk , 2  k  n  1 ,
где q k определяется формулами (3.1.4) – (3.1.7) , отклоненного полинома:
P
()
n 1
x
n 1
n 1
  qk ' x n 1k
(3.1.9)
k 1
'
'
найдутся такие b  b  b  b  b , c  c  c  c  c , что выполняется:
qk '  c 'ak 2'  b' ak 1'  ak ' , 2  k  n  1 ,
где:
'
'
'
ak 2  ak 2  ak 2  ak 2  ak 2 , a0  1 , an  an1  0 .
'
101
Это следует из непрерывности функции:
f ( x1, x2 , x3 , x4 , x5 )  ( c1  x1 )( c2  x2 )  ( c3  x3 )( c4  x4 )  c5  x5 ,
i  xi  i .
Поэтому для каждого отклоненного полинома (3.1.9) справедливо равен()
2
'
'
()
ство: P n 1  ( x  b x  c ) P n 1 , (b )  4c  0 ,
' 2
'
()
где P n1 - отклоненный полином относительно центрального полинома
с коэффициентами a1,....., a n 1 , для которого существует (n  1)  гранник с
центром в
существует
{a1 ,...., a n 1 } . Отсюда следует, что при выполнении (3.1.8) для Pn 1
(n  1)  гранник
с центром в
и радиусами
{q1 ,...., q n 1 }
коэффициентов, определяемых формулами (3.1.4) – (3.1.7). Лемма доказана.
Данная лемма будет использована при доказательстве теоремы § 3.3.
3.2 Условие асимптотической устойчивости нелинейной динамической
системы с переменными параметрами
Рассмотрим следующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в форме Коши:
 = 1 (, , )
,
 = 2 (, , )
(3.2.1)
где , 1 ∈  ; , 2 ∈  ; t – независимая переменная (время).
Каждая из функций f1i , f 2 j , i  [1, n ], j  [1, m ] определена
ограничена и имеет ограниченные производные всех порядков.
при
0t  ,
102
Решением 0 ()
в части переменного  на непрерывном многообразии
y  D*( y,t )  It , I t  {0  t  } системы (3.2.1) назовем решение любой системы
вида:
y  y* (t )  D*( y,t )
 = 2 , , 
x = x0 (t )  y  D*( y,t ) . Многообразие D*( y,t ) может в частном
и обозначим
случае представлять собой единственную кривую D*( y,t )  y*(t ) .
Аналогично определим решение в части переменного y на многообразии
переменного
x  D*( x ,t )  I t и сокращенно обозначим
y0  x  D*( y,t ) Заметим,
что решения в части переменного x, y на каких-то многообразиях переменного
соответственно y, x могут, вообще говоря, не принадлежать решениям (3.2.1) в
традиционном смысле.
Части x и
(3.2.1)
y
совокупного вектора переменных состояния системы
z  colon( x, y) назовем избирательными. (Понятно, что возможны
различные комбинации переменных z i , i [1, n  m] в частях x, y .)
Назовем 0 −частной по y *(t ) системой (3.2.1) следующую систему
уравнений :
 = ∗ 0 = 
 = 2 , ∗ 0 ,  ,
0≤<∞
Аналогично, t0  частной по x* (t ) системой (3.2.1) будем называть
систему вида:
(3.2.2)
103
 = ∗ 0 = 
 = 1 , ∗ 0 ,  ,
0≤<∞
(3.2.3)
Рассмотрим некоторое ограниченное решение
x0 (t )  y  y* (t ) в части
переменного  на кривой y* (t ) .
Пусть для 0 −частной по y *(t ) системы для решения X (t0 , ) с начальным
условием X (t0 ,0)  x0 (t0 ) выполняется «нагрузка в нуле»:
d
x( )  X (t0 , )  0 , {}: 0 
 0 d
x(0)  X (t0 ,0)   ,
lim
(3.2.4)
где * - обозначение евклидовой нормы вектора. Тогда, если это имеет место
для любого момента 0  t 0   ,
скажем,
что для системы
достигнуто C x ( y* (t ))  состояние на решении
x0 ( t ) . Таким образом, решение
x0 ( t ) характеризуется тем, что для любого
0 −частной по
y (t )
*
(3.2.1) в {}
0  t0  
решение
X (t0 , )
системы (3.2.1), проходящее через точку X (t0 ,0)  x0 (t0 ) ,
удовлетворяет (3.2.4).
Если при этом на x0 ( t ) везде выполняется :
f2
x
  0 ,
(3.2.5)
y  y* , x  x0
C x ( y* (t ))  состояние назовем невырожденным.
Справедлива следующая теорема:
Пусть для каждой 0 −частной по y *(t ) системы (3.2.1) решение X (t0 , ) с
начальным условием
X (t0 , 0) x 0 t 0( ограничено
)
и в {} выполнены условия
(3.2.4), (3.2.5). Пусть также y* (t )
-
функция, ограниченная вместе со своими
104
производными всех порядков. Тогда
решение
(3.2.1) вида
x0 (t )  y  y* (t )
асимптотически устойчиво по Ляпунову в области 0  x(t) - x0 (t)   .
Доказательство
Из
условий
теоремы
следует,
что
для
системы
(3.2.1)
достигнуто
невырожденное C x ( y* (t ))  состояние на решении x0 (t ) .
Рассмотрим две точки пространства состояний
1,
x0 (t0 ), y* (t0 ), t0
x, y : x(t0 ), y*(t0 ), t0 - точку
- точку 2. Очевидно, точка 2 принадлежит решению
x0 (t )  y  y* (t ) . Решение x(t )  y  y* (t ) системы (3.2.1) из т.1 обозначим через
xн (2) (t0   ) , решение
t0  частной по y* (t ) системы из этой же точки – через
xн (3) ( ) . Аналогичные
решения из т. 2 обозначим соответственно через
x0(2) (t0   ) , x0(3) ( ) . Выполняется :
x0(2) (t0   ) = x0 (t ) , t  t0   ,
x0(3) ( ) = X (t0 , ) , x0(3) (0)  x0 (t0 ) ,
xн (3) (0) = xн (2) (t0 )  xн  X (t0 ,0) .
Обозначим:


∗ 0 +  =   и рассмотрим   t  t0 . Покажем, что для
некоторого  0  0 выполняется неравенство :
xн(2) (t0   )  x0(2) (t0   )  xн  x0 (t0 ) при всех 0     0 .
(3.2.6)
Для этого рассмотрим функцию  ( )  xн  x0 (t0 )  xн(3) ( )  X (t0 , ) ,  (0)  0.
Вектор
xн (3) ( )  X (t0 , ) не равен нулю , иначе получаем противоречие теореме
Коши о единственности интегральной кривой для системы
Следовательно,  ( ) - везде дифференцируемая функция.
 = 2 , ∗ 0 ,  .
105
Очевидно равенство:
xн(2) (t0   )  x0(2) (t0   ) 
 [ xн(2) (t0   )  xн(3) ( )]  [ xн(3) ( )  X ( t0 ,  )]  [ X ( t0,  )  x0(2) ( t0   )] .
Отсюда на основании свойств нормы имеем:
xн(2) (t )  x0(2) (t )  xн(2) (t )  xн(3) ( )  xн(3) ( )  X (t0 , ) 
(3.2.7)
 X (t0 , )  x0(2) (t )  1 ( )   0 ( )  xн  x0 (t0 )   ( ).
(Обозначено: 1 ( )  xн(2) (t0   )  xн(3) ( ) ,  0 ( )  x0(2) (t0   )  X (t0 , ) ).
Покажем теперь, что при некотором  0
для всех
0  0
функция
xн(2) (t )  x0(2) (t ) убывает.
Поскольку
xн(2) (t0   )  x0(2) (t0   )  xн  x0 (t0 )
при

 0,
то
при
выполнении (3.2.7) для этого достаточно потребовать (теорема Чаплыгина о
дифференциальных неравенствах):
d ds

.
d d
s( )  1 ( )   0 ( )
(3.2.8)
Оценим условия выполнения (3.2.8). Обозначим: A  { xн , y* (t0 ), t0}.
Для достаточно малого  0 справедливы равенства на основе формулы Тэйлора:
(3)
x н( 2) (t0   )  x н ( ) = f2 ( xн(2) , y, t0   )  f2 ( xн(3) , y* (t0 ), t0   )  f2 ( xн , y* (t0 ), t0 ) 
(
f2
f
f
f
) ( xн(2)  xн )  ( 2T ) A g (0)  ( 2 ) A  f2 ( xн , y* ( t0 ), t0 )  ( 2T ) A ( xн(3)  xн ) 
T A
x
y
t
x
(
f
f
f2
(2)
(3)
) A   ( A, ) 2 = ( 2T ) A ( xн  xн )  ( 2T ) A g (0)  o( ) .
x
y
t
Здесь:  ( A, ) - бесконечный по степени вектор-полином от  , при этом
106
выполняется неравенство:
m n
1 n n  2 f 2l
 2 f 2l
l ( A,0)  [ (
) A gk (0) g s (0)   (
) A ( f 2i ) A g k (0) 
2 k 1 s 1 yk ys
i 1 k 1 xi yk
m
  (
k 1 s 1
Поэтому
 2 f 2l
m
xk xs
) A ( f 2 k ) A ( f 2 s ) A ]; l  1,..., m .
в силу ограниченности функций
f 2 k , g s ; 1  k  m, 1  s  n и их
 ( A, ) 2  o( )  0.
производных получаем:  ( A,0)   , откуда
Следовательно, существует интервал (0, 0 ), на котором справедливо:
xн(2) (t0   )  xн(3) ( )  1 xн(2) (t0   )  xн(3) ( )  C1  o( ) ,
 ( ) 
1  (
f 2
)A   ,
x T
C1  (
f2
) A g (0)   .
yT
На основании неравенства Коши – Буняковского [99] модуль производной
нормы вектора не более нормы его производной.
Действительно,
B  [b1 ...bm ]T -дифференцируемый ненулевой вектор и L( B) 
b
2
i
- его норма.
i
Тогда выполняется:
. 2
.
.
L( B) 
 bi bi
i
b
2
i
i
Отсюда следует:

 bi 2  bi
i
i
b
i
2

. 2
пусть
.
 bi  L( B) .
i
i
1 ( )   ( )   xн(2) (t0   )  xн(3) ( )  C1  o( ) .
Итак, на (0, 0 ) получаем неравенство:
1 ( )  1 ( ) , 1 ( )  
1 1 ( )  C1  o( ) , 1 (0)  0 .
Учитывая соотношение X (t0 , )  x0 (3) ( ) , аналогично оценим функцию:
107
 0 ( )  0 ( ) , 0 ( )  00 ( )  С0  o( ) , 0 (0)  0 ,
где
0  (
f2
f
) B   , C0  ( 2T ) B g (0)   , B  { x0 (t0 ), y* (t0 ), t0}
T
x
y
на некотором интервале (0, 1 ).
Таким образом, для выполнения (3.2.8) достаточно потребовать, чтобы при
 *  min ( 0 ,  1 ) для всех 0     * выполнялось неравенство:
d
d
xн(3) ( )  X (t0 , )   s( ) , s(0)  0 ,
(3.2.9)
где s( )   s( )  C  o( ) , 0    1  0 , 0  C  C1  C0 .
Для объяснения этого заметим, что из свойств решения дифференциального
уравнения x  kx  Ct , x(0)  0 следует [75]:
C1 (210  02 )02  C0 (12  210 )12 C10 2  C012

t
(1  0 )2 120 2
(1  0 )10
C  C0 (10 )t C1 1t C0 0t
 1
 2 e  2 e ; r  [0 1 C0 C1 ]T .
2e
(1  0 )
1
0
1  0  s  (t, r ) 
При этом нетрудно увидеть, что (0)  0
и
.
(t )  0, t  0 и, значит,
выполняется (3.2.8).
Покажем, что из (3.2.9) следует существование такого T (t0 )  0 , что при всех
0    T (t0 ) будет выполняться :
d
xн(3) ( )  X (t0 , )   s1 ( ) ,
d
s1 ( )   s1 ( )  C ; s1 (0)  0 .
l ( ) 
(3.2.10)
Докажем это от противного. Пусть утверждение неверно. Тогда существует
некоторая бесконечная последовательность  i  0 , на которой выполняется :
108
 s1( i )  C i  l ( i )   s( i )  C i  o( i ) .
Вместе с тем,
(3.2.11)
s1 (0)  s(0)  0 и в силу этого из (3.2.11) следовало бы
lim l ( )  0 , что противоречит условиям Cx ( y* (t ))  состояния системы (3.2.1).
 0
Поэтому из (3.2.9) следует (3.2.10). Но (3.2.10) является также достаточным
условием (3.2.9).
В самом деле, из (3.2.10) следует, что для любой непрерывной функции
w( )  o( ) найдется такое T1(t0 ) , что при всех   T1 (t0 ) будет выполняться
(3.2.9) с заменой
o( ) на
w( ) , поскольку, если это не так, существует
бесконечная последовательность  j  0 , на которой выполняется :
 s( j )  C j  w( j )  l ( j )   s1( )  C ,
l ( )  0 .
и, следовательно, опять получаем противоречие в виде lim
 0
Таким образом, установлено, что для выполнения (3.2.8) достаточно
потребовать выполнения (3.2.10). Но при Cx ( y* (t0 ))  состоянии системы (3.2.1)
T (t0 ) в (3.2.10) существует для любых конечных  , C  0 .
Докажем это от противного. Пусть при некоторых  , C  0 утверждение
неверно. Тогда при любом , сколь угодно малом , T  0 найдется бесконечная
последовательность чисел
Поскольку
0   i  T , такая , что
l ( ) - непрерывная функция и по условию
l ( i )   s( i )  C i .
l (0)  u  0 , можно
выбрать такое Tx , что при всех   Tx будет l ( )  0 . Полагая T  Tx , будем
иметь:
0  l( i )  s( i )  C i .
Вместе с тем, для любого   0 можно выбрать такое  ( ) , что при всех
109
   ( ) выполняется: s( )   . Это следует из того, что s( )  0 и при
этом lim
0
s( )

s( )  s(0) 
 s(0)   s(0)  C 0  0 .
 0
 0
 lim
Выбирая Tx   ( ),  
1

, получаем бесконечную последовательность
 i  0 , на которой выполняется : l( i )  (  C) i  (1  C) i , откуда
u
l ( i )
1
 lim  0 , что
  i . Переходя к пределам, получаем: (1  C ) lim l ( i ) 
 i 0
1  C  i 0 i
1 C
невозможно.
Введем следующее понятие. Пусть для двух непрерывных функций
f (t ) и
 (t ) на некотором интервале t [t0 , t1 ] выполняется везде f (t )   (t ) . Такое
неравенство назовем сплошным на данном интервале и обозначим
t1
f (t ) t  (t ).
0
Если величина
t1  t0
существует, но наперед неизвестна, данное сплошное
неравенство обозначим в виде :
f (t ) t  (t ). Величины
t0 , t1 логично назвать
0
пределами сплошного неравенства.
Подводя итог, заключаем следующее.
Доказано, что при условиях теоремы для
системы (3.2.1) обеспечивается
выполнение сплошного неравенства (3.2.7) с нижним пределом по
 , равным
нулю, и некоторым верхним пределом T0  T (t0 ) >0. Далее рассматриваем момент
t1  t0  T0 и повторяем рассуждения для точки {x(t1 ), y(t1 ), t1} и т.д. В результате
получаем последовательность интервалов
норма
xн (t )  x0 (t)
убывает, пока
[ti , ti  Ti ] , на каждом из которых
xн (ti )  x0 (ti ) . Это и означает устойчивость
решения x0 ( t ) по Ляпунову. Покажем теперь, что устойчивость решения x0 ( t )
асимптотическая.
110
Пусть это не так. Тогда получаем непрерывно убывающую положительную
функцию
xн (t )  x0 (t) , t 0  t   , которая, следовательно, имеет предел
  0 . В этом случае существует верхняя грань  отрицательно определенной
функции  (t, x)  lim(
 0
x (3) ( )  X (t, ) )    0.
d
d
Поскольку последовательности
ограниченными,
обозначим
0 , 1 , 0 , 1 ,  = 1, 2, … являются
максимумы
в
каждой
соответственно
через
0m , 1m , C0m , C 1m .
Выберем некоторое постоянное число   0 и установим число  , как
решение системы соотношений :
d
d
x (3) ( )  X (t*, )   s ,
0

s  (1m  0m )s  (C1m  C0m   ) ,
t* : lim
 0
d
d
s(0)  0 ,
x (3) ( )  X (t* , )   .
(Вследствие вышесказанного это можно сделать.)
Перейдем к следующей последовательности интервалов [t0  ( j  1)  , t0  j  ] ,
j  1,2,... . На каждом из них выполняется:
d
d
x (3) ( )  X (t*, )   s ,
0

s  (1m  0m ) s  (C1m  C0m   ) ,
При этом получаем :
s(0)  0 .
111
xн(2) (t j )  x0 (t j )  xн(2) (t j 1 )  x0 (t j 1 )  (  , r )  1[e( 

1m  0 m )
  1 (e    1)    const,
1 

 (1m  0 m )   1] 

,
(1m  0 m )2
  1m  0m , r  [0m 1m C0m C1m ]T .
Правая часть
неравенства является
конечным
числом.
Просуммировав
неравенства по j , в пределе получим:

lim ( xн (t j )  x0 (t j )  xн (t0 )  x0 (t0 ) )   1( j )   ,
j 
(2)
(2)
j 1
что, очевидно, невозможно при конечном начальном значении xн (2) (t0 ) .
Отсюда следует:
lim( xн(2) (t j )  x0 (t j ) )    0
t 
(3.2.1) в части переменного
x
вида
и, следовательно,
решение
x0  y  y* (t ) асимптотически устойчиво по
Ляпунову. Теорема доказана.
Cледствие:
Пусть динамическая модель объекта задана уравнением:
 =  ,   ,  +  ,  ,  0 = 0
(3.2.12)
 ∈  − вектор переменных состояния;   ∈  − переменный вектор
параметров;  ,  ∈  − стабилизатор нуля,  ,  =  и при этом функция 
удовлетворяет условиям теоремы, а для функции   , кроме того, определены
пределы изменения, так что можно представить  ≤   ≤  (неравенство
рассматривается покомпонентно).
Рассмотрим систему сравнения:
 =  , ,  +  ,  ,  0 = 0 ,
(3.2.13)
 −интервальный вектор  ,,   ,
пучок Ɯ решений которой составлен решениями множества уравнений вида:
 = 2 , ,  +  ,  ,  ≤  =  ≤  ,  0 = 0 .
112
Известно,
что
при
 = ∗ (, )
везде
в
Ɯ
тривиальное
решение
асимптотически устойчиво по Ляпунову с «нагрузкой в нуле». Тогда тривиальное
решение (3.2.12) при  = ∗ (, ) также асимптотически устойчиво по Ляпунову
для любой ограниченной   , имеющей в указанных пределах изменения
ограниченные производные всех порядков.
Вывод: найдены условия, при которых систему с переменными параметрами,
ограниченными вместе со своими производными, можно в задачах стабилизации
движения рассматривать, как интервальную по этим параметрам. Этот вывод
очень важен для обоснования материала главы 4.
3.3 Теорема об устойчивости в малом динамической
комбинированной системы
Пусть аналогичные (3.2.5) условия выполнены и для
0  t0  
системы (3.2.1), т.е. для каждого
y0 (t )  x  x*(t ) для решения
t0  частной по x* ( t )
и некоторого решения вида:
y( )  Y (t0 , ) системы (3.2.3) при условии
Y (t0 ,0)  y0 (t0 ) выполняется:
lim
 0
d
y( )  Y (t0 , )  0 ,
d
{1}: 0  y(0)  Y (t0,0)  1 .
В этом случае для системы (3.2.1) в {1} достигается также и
состояние на решении y0 (t )  x  x*(t) .
Аналогично определим невырожденное
C y ( x* (t ))  состояние .
C y ( x* (t )) 
113
Если достигается и C x ( y* (t ))  , и C y ( x* (t ))  состояния на решениях
соответственно x0 (t ) , y0 (t ) , скажем, что для (3.2.1) в области { , 1 } достигнуто
Cz ( z* (t ))  состояние на решении z0 (t ) , где z  colon ( x y).
Если и C x ( y* (t ))  , и
C y ( x* (t ))  состояния - невырожденные, то
Cz ( z* (t ))  состояние также назовем невырожденным.
Справедлива следующая теорема:
f1,2 выполнены
Пусть в системе (3.2.1) для функций
условия Липшица
по переменным x, y :
f1 ( x, y1, t )  f1 ( x, y2 , t )  k y y1  y2
f2 ( x1, y, t )  f2 ( x2 , y, t )  k x x1  x2
,
k x , k y  const ,
и достигнуто невырожденное Cz ( z0 (t ))  состояние на ограниченном решении
z0 (t ) . Тогда z0 (t ) является устойчивым по Ляпунову в малом решением (3.2.1).
Доказательство
По условиям теоремы для (3.2.1) достигается Cz ( z* (t ))  состояние
на решении z0 (t )  z* (t ) и при этом, очевидно, z0 (t ) есть решение (3.2.1).
Рассмотрим некоторое решение в части переменного
x
вида:
( x0  xv )  y  y0 (t ). Тогда:
x v  f2 ( x0  xv , y0  0, t )  f2 ( x0 , y0  0, t)  Fx ( 0) ( z0 , xv , t) ,
Fx ( 0) ( z0 ,0, t )  0.
(3.3.1)
114
x0 (t )  y  y0 (t )
Так как решение
асимптотически устойчиво в {} ,
то
по изложенному в §3.2 материалу
тривиальное решение
(3.3.1)
также
асимптотически устойчиво. Следовательно, по теореме Персидского [100]
системы
для
(3.3.1) существует функция Ляпунова 1-го рода V ( xv , z0 (t ), t ) в
соответствии с первой теоремой Ляпунова об устойчивости решения.
Это означает, что
на
любом
многообразии
{ xv  , t  t0  const}
функция V ( xv , z0 (t0 ), t0 )  V0 ( xv ) и ее производная в силу системы (3.3.1):
V ( xv )  grad[V ( xv , z0 (t0 ),t0 )]T Fx (z0 (t0 ), xv ,t0 ))
являются соответственно положительно и отрицательно определенными
функциями переменного xv  R m .
Отсюда следует, что для каждого 0  t0   t0  частная система вида:
x v  Fx ( xv , z0 (t0 ), t0 )  Fx 0 ( xv )
(3.3.2)
имеет в xv   устойчивое тривиальное решение, что означает устойчивость
тривиального решения соответствующей системы первого приближения:
F
x v  ( xT )0 xv  Ax ( z0 (t0 ), t0 ) xv .
xv
(3.3.3)
Вследствие свойств решений линейных систем с постоянной матрицей
тривиальное решение (3.3.3) будет устойчиво асимптотически, что означает
устойчивость характеристического полинома Pm (G0 ) матрицы Ax , где:
G0  G ( z, t ), z  z0 , t  t0 есть вектор коэффициентов.
По условиям теоремы выполняется:
det[
f2
]
x T z=z
0 .
0
115
Поэтому везде на z0 (t ) свободный коэффициент полинома Pm (G0 ) не равен
нулю
и, кроме того, в силу асимптотической устойчивости тривиального
решения системы (3.3.3), отсутствуют чисто мнимые корни данного полинома.
Тогда в соответствии с леммой о  −граннике полинома (см. §3.1) существует
область G ( z, t0 ) с центром в точке G ( z0 , t0 ) , в которой сохраняется асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (3.3.3).
Вследствие условий, наложенных на функции
дифференцируемая
z
по
функция
с
f1,2 системы (3.2.1), G есть
ограниченными
производными.
Следовательно, при данном t0 существует область N y(t )  Rmn с центром в z0 ,
0
в которой сохраняется асимптотическая устойчивость тривиального решения
системы вида:
x v  Ax ( z (t0 ), t0 ) xv ,
z (t0 )  N y( t ) .
(3.3.4)
0
Аналогично рассматривая некоторое решение системы (3.2.1) в части
переменного
y вида
существует область
( y0  yv )  x  x0 (t ) , получим, что для данного
t0
N x ( t )  Rm n с центром в z0 , в которой асимптотически
0
устойчиво тривиальное решение системы:
yv  Ay ( z (t0 ), t0 ) yv ,
(3.3.5)
z (t0 )  N x ( t ) .
0
где Ay  (
Fy
, Fy ( 0) ( z0 , yv , t )  f1( x0  0, y0  yv , t)  f1( x0  0, y0 , t) .
T )0
yv
Рассмотрим область
Nz(t )  N x(t )  N y(t ) с центром в z0 (t0 ) . Заметим, что
0
0
0
данная невырожденная область существует для каждого момента t 0 .
116
Таким образом, установлено, что вокруг решения z0 (t0 ) существует область
N z (t ) , такая, что:
- нигде z0 (t0 ) не выходит на границу области;
- в
N z (t ) достигается асимптотическая устойчивость тривиальных решений
систем (3.3.4) и (3.3.5).
Рассмотрим теперь возмущенное движение исходной системы (3.2.1) в малой
(t )
окрестности решения z0 (t ) , принадлежащей области N z , в части переменного x :
xv  f2 ( x0  xv , y0  yv , t )  f2 ( x0 , y0 , t )  f2 ( x0  xv , y0  yv , t)  f2 ( x0 , y0  yv , t) 
 f2 ( x0 , y0  yv , t )  f2 ( x0 , y0 , t )  F1x ( xv , yv , z0 , t )   x ( yv , z0 , t).
(3.3.6)
При этом по условию теоремы функция  x ( yv , z0 , t ) подчиняется неравенству:
x ( yv , z0 , t)  k yv , k  max(k y , kx ) .
Аналогично рассмотрим возмущенное движение в части переменного y :
yv  f1 ( x0  xv , y0  yv , t )  f1( x0 , y0 , t )  f1( x0  xv , y0  yv , t )  f1 ( x0  xv , y0 , t ) 
 f1 ( x0  xv , y0 , t )  f1 ( x0 , y0 , t )  F1 y ( xv , yv , z0 , t )   y ( xv , z0 , t )
(3.3.7)
при условии:  y ( xv , z0 , t )  k xv .
Обозначим:
zdx  [ x0 , y0  yv ]T , zdy  [ x0  xv , y0 ]T , zv  [ xv , yv ]T
и запишем (3.3.6), (3.3.7) с освобождением линейной части:
x v  Ax ( zdx , t ) xv  ax ( xv , zdx , t )   x ( yv , z0 , t ) ,
yv  Ay (zdy , t ) yv  ay ( yv , zdy , t )   y (xv , z0 ,t ).
(3.3.8)
117
zv достаточно мало, то можно считать справедливыми неравенства:
Если
ax ()  kаx xv , ay ()  kаy yv , kаx , kаy  0 - постоянные.
Покажем это, например, для ax () . Выполняется:
ax () 
 aijsl xvi xvj xvs xvl  
i , j , s ,l
bijslk xvi xvj xvs xvl xvk 
i , j ,s ,l ,k

(...)  ... .
i , j ,s ,l ,k ,r
Каждая из подрадикальных сумм включает слагаемые в виде произведений
соответствующего числа сомножителей x vi , не меньшего четырех. Обозначим:
s 

i ,i ,...,i
1 2
xvi1 xvi2 ... xvis , s  4,5,... ,
s
c42  max ( aijsl ) , c52  max ( bijslk ) , .... .
i , j , s ,l
i , j ,s ,l ,k
Тогда: ax ()  c424  c525  ... .
Поскольку:  s 1   s  xvi , то: lim
x 0
i
v
 s 1
 0 . Поэтому при достаточно малой
s
xv получаем:
величине
m
ax ()  c4 4  o( 4 )   c4  4   c4 (  xvi )4   c4 (  xvi )2 
i
m
i 1
  c4m  xvi  kax xv  kax xv ,   1 .
2
2
i 1
Аналогично показывается и для a y () .
Рассмотрим следующую систему уравнений для любой z(t ) в области N z ( t ) :
zv  A( z, t ) zv  g ( zv , z0 , t ) , z (t )  N z( t ) ,
где
A= diag[ Ax (z(t), t), Ay (z(t), t)]R(mn)(mn) ,
(3.3.9)
118
g ( zv , z0 , t )  colon[ax ( xv , zdx , t )   x ( yv , z0 , t ), a y ( yv , zdy , t )   y ( xv , z0 , t )] .
Выберем k0  max(k , kax , kay ) . Тогда справедливо:
g()  6k0 zv .
(3.3.10)
Действительно, имеем:
ax, y ()  x, y ()  ax, y ()  x, y ()  k0 ( xv  yv ) .
Поскольку g ()  ax ()   x ()  ay ()   y ()
2
2
2
2
, то:
g()  2k02 ( xv  yv )  4k02 xv yv  2k02 zv  4k02[max( xv , yv )]2  6k02 zv .
2
2
2
2
Отсюда следует (3.3.10).
Рассмотрим произвольную непрерывную траекторию z (t )  N z ( t ) и запишем
однородную систему (3.3.9) в виде:
zv  A( z, t ) zv  A1 (t ) zv .
(3.3.11)
В области N z ( t ) любая t 0  частная система:
z1v ( )  A1 (t0 ) z1v ( ), A1 (t0 )  const , z1v (0)  zv (t0 )
имеет
экспоненциально
устойчивое
тривиальное
(3.3.12)
решение,
как
решение
асимптотически устойчивой в силу характеристик систем (3.3.4), (3.3.5) линейной
системы с постоянной матрицей [101].
Если z1v (0)  zv (t0 ) , то в силу (3.3.11), (3.3.12) z1v ( 0)  zv (t0 ) и следовательно,
для любого сколь угодно малого   0 можно указать такое T ( ) , что при всех
t  t0    T ( ) будет выполняться
замечания, получаем:
zv (t )  l (t0 ) zv (t0 ) e (t t0 )   ,
zv (t )  z1v ( )   . Объединяя эти два
119
где l ,   положительные константы, не зависящие от выбора zv (t0 ) .
Для любого zv (t0 ) , пусть сколь угодно малого по норме, и данного   1
можно указать такие достаточно малые  , T* ( ) , что при всех t  t0  T* ( ) будет
справедливо:
 l (t0 ) zv (t0 ) e (t t0 ) > l (t0 ) zv (t0 ) e (tt0 )   .
Это означает, что каково бы ни было zv (t0 ) , для данного   1 существует
такой конечный
интервал
длиной
 (t0 )  min(T ( ), T*( )) , что на нем будет
выполняться неравенство:
zv (t )   l (t0 ) zv (t0 ) e (t t0 ) , t [t0 , t0   (t0 )] .
Зафиксируем некоторое   1 . Тогда получаем, что для любого момента
t0 существует конечный интервал времени [t0 , t0   (t0 )] и независимые от
выбора zv (t0 ) постоянные M (t0 ),  (t0 )  0 , такие , что справедливо неравенство:
zv (t )  M (t0 ) zv (t0 ) e (t0 )(t t0 ) , t [t0 , t0   (t0 )] .
Для каждой 0 -частной системы (3.3.11) M (t0 ),  (t0 ) - конечные числа.
Следовательно, для данного
максимум числа
Тогда,
очевидно,
 1
в области
Nz
(t )
существуют конечные
M (t ) и минимум числа  (t ) . Обозначим их M m ax ,  m in .
для
достаточно
малого
zv (t0 )
,
такого,
что:
z0 (t0 )  M max zv (t0 )  N z ( t ) , будет выполняться при t 0  t   :
0
zv (t)  Mmax zv (t0 ) e
min ( t t0 )
.
Это означает экспоненциальную устойчивость системы (3.3.11).
Поэтому:
120
 [ zv (t )]  0 ,
где
(3.3.13)
 - символ характеристического показателя функции.
Для матрицы Коши K (t, t0 ) системы (3.3.11) в соответствии со свойствами
характеристического показателя выполняется соотношение:
 [ K (t, t0 )]   [U (t )U 1(t0 )]   [U (t )]   [U 1(t0 )]   [U (t )] ,
где U (t ) - нормальная фундаментальная матрица решений.
Но вследствие (3.3.13) имеем:
 [U (t )]  max
(  [Uij (t )])  0 .
i, j
Действительно, общее решение (3.3.11) можно представить в виде:
zv (t )   Ci i (t ) e it ,
(3.3.14)
i
где
Ci
- скалярные постоянные,
 i (t )  Rn m - некоторые векторные функции при условии  [ i (t )]  0 .
Среди чисел  i могут быть одинаковые. Как известно, число повторений
 i (запишем его, как
si )
равно числу повторений частного решения с
характеристическим показателем
решений, которая
 i в нормальной фундаментальной системе
реализует весь спектр линейной системы [102].
Поэтому
(3.3.14) можем записать в виде:

sl
zv (t )   Clk lk e  t ,
k
(3.3.15)
k 1 l 1
где  - число различных точек спектра системы (3.3.11).
[Uij (t )] В этой записи все числа  k различны. Рассмотрим k  max
i, j
0
наибольшее из них. Пусть k  0 . Тогда, поскольку:
0
121
1) каждый характеристический показатель функции
e k t
- строгий,
sl
2)  [ Clk lk (t )]  0 ,
l 1
3) наибольшим характеристическим показателем обладает только одно
из слагаемых в сумме (3.3.15) ,
получим:  [ zv (t )]   k 0  0 , что противоречит (3.3.13). Следовательно:
 [ K (t, t0 )]  0, 0  t0  .
(3.3.15)
Вследствие непрерывности нормы матрицы Коши и (3.3.15) для любого t1
 (t1 ) > 0, G(t1 )  0, T (t1 )  0 , что справедливы
существуют такие конечные
неравенства:
K (t, t1 )  G(t1 )  const, t  t1  T (t1 ),
K (t, t1 )  G(t1 )e
 ( t )( t T ( t ))
1
1
(3.3.16)
, T (t1 )  t  t1.
Функция  (t1 ), t0  t1   ограничена снизу, поэтому она имеет минимум  min .
Функции G (t1 ), T (t1 ) ограничены сверху, поэтому они имеют максимумы Gmax ,
Tmax . Это позволяет переписать (3.3.16) в виде:
K (t, t1 )  Gmax  const, 0  t  t1  Tmax ,
K (t, t1 )  Gmax e

min
( t T
max
)
,
Tmax  t  t1.
Теперь оценим общее решение системы (3.3.9):
t
t
t0
t0
zv (t )  K (t, t0 ) zv (t0 )   K (t, t1 ) g (t1 ) dt1  Gmax zv (t0 )  6k0  K (t, t1 ) zv (t1 ) dt1.
Тогда на основании леммы Гронуолла-Беллмана [103] получаем:
zv (t )  Gmax zv (t0 ) e
t
6k0  K ( t ,t1 ) dt1
t0
.
122
Введем новую переменную   t  t1  0. Тогда:
t

0

K (t, t1 ) dt1 
K ( ) d 
t t0
t0
Tmax
 Gmaxe
 max ( Tmax )
d 
t t0
t
Отсюда: 6k0  K (t, t1 ) dt1  6k0 [
t0
0
 Gmaxd .
Tmax
Gmax
 min
e  min ( t t0 Tmax )  Gmax (
1
 min
 Tmax )].
С учетом (3.3.17) получаем:
zv (t )  Gmax zv (t0 ) e
6k0 [ Gmax e min ( t t0 Tmax ) Gmax ( 1 Tmax )]
 min
 min
 Gmax zv (t0 ) e
6k0GmaxTmax
.
Окончательно:
zv (t )  D(t0 ) zv (t0 ) , D(t0 )  Gmaxe
6k0GmaxTmax
.
Отсюда следует, что для данного сколь угодно малого   0 и момента t 0
можно указать такое
решение
zv ( t )

1
min[ , Rmin ( N z ( t ) )], t0  t   , что при
D(t0 )
бесконечно продолжаемо вправо в области
Nz
zv (t)   . Здесь Rmin ( N z ( t ) ) - минимальный во времени радиус
центром в
(t )
zv (t0 )  
и при этом
n  гранника с
z0 (t ) .
Следовательно, тривиальное решение zv (t )  0 системы (3.3.9), а значит и
решение
z0 (t ) исходной системы (3.2.1), устойчиво по Ляпунову в малом.
Теорема доказана.
В заключение покажем выполнение условий Липшица для квадратичносвязных
систем с управлениями из класса кубичных форм переменных состояния.
Рассмотрим комбинированную управляемую систему вида:
123
2
 = 1 () + 1 () + + ,  +  ()
,
2
 = 2 () + 2 () + + ,  +  ()
(3.3.16)
 = [1 2 … + ] = [ ] ∈ + ,  ∈  ,  ∈  .
Здесь  – вектор переменных состояния, комбинируемый в частях  ∈  ,
 ∈  ; ,  − воздействия, замыкающие систему; все параметры –
ограниченные величины.
Пусть воздействия представляют собой векторные кубичные формы с
постоянными коэффициентами:
3
3
  = +
 ,   = +
() .
Такие воздействия назовем кубичными (напомним, что используемые в данной
работе обозначения форм переменных описаны в §2.5).
Преобразуем выражения воздействий на примере величины   .
Используя последовательно формулу (2.5.3), получим для произвольной
скалярной формы 3 (1 , … ,  ) равенство:
3 1 , … ,  =

2
=1   (1 , … ,  ).
(3.3.17)
На основании (3.3.17) преобразуем   при  = 0 ,  = 0 0 =  :

2
=1   
 , 0 =
=

2
=1   

2
 =1 0  +
1 , … ,  +
1 , … ,  +

2
 =1 0 (
, 01 , … , 0 =
 + 1  + ).
(3.3.18)
Обозначим:
2  =
и

2
 =1 0 
рассмотрим

2
=1   
 , 1  =
некоторую

1
 =1 0 
 −ю
 , 1 =
компоненту
1 , … ,  в области  :  < :

 =1 0
 ,
векторной
формы
124

=1  
()
2 1 , … ,  =  2  = 
1≤≤ ≤
 ∝    .
()
Здесь интервальный коэффициент  ∝  есть И-число вида:
()
 ∝  =  min∈

=


=
  , max∈
()
   ,
()
где  есть коэффициент перед термом   в форме  2 .
Отсюда:

2
=1   
1 , … ,  = 2  .
(3.3.19)
Справедливо при 0 0 =  также равенство:
2
+
, 0 , 0 = 2  + 1  + 2 .
(3.3.20)
Складывая (3.3.18) и (3.3.20) при учете (3.3.19), получим 0 −частную по
0  систему (3.3.16) в области  :
 = 0 0 = 
 = 1  + 2  + 1  + 
,
(3.3.21)
где: 2  = 2  + 2  + 2  ,
1  = 1  + 1  ,
 = 1 + 2 + 1 0 0 .
Представляя:
1  = 2  , 2  =     ,  = 1, … ,  ,
и обозначая 1 (0 ) + 2 = 1 , перепишем (3.3.21) в окончательном виде:
 = 0 0 = 
 = 1  +     + 
.
(3.3.22)
Аналогично выводу (3.3.22), получим 0 −частную по 0  систему (3.3.16) в
области  :  < :
125
 = 0 0 = 
.
 = 1  + [  ] +  ;  = 1, … , 
Обозначив в (3.3.22)
(3.3.23)
1  +     +  = (), составим
разницу:
∆ , ∆ =   + ∆ −   = [ 2  +  , ∆ + ∆  ∆].
(Здесь использовано обозначение скалярного произведения (, ) векторов

, ;  −столбцы матрицы 1
.)
Далее найдем квадрат евклидовой нормы вектора ∆ , ∆ :
∆ , ∆
+
 [2
2
=

2
 [4(∆  )
+  , ∆) + 4 ∆    , ∆ +
∆  ∆ 2  +  , ∆ + (∆  ∆)2 ] .
(3.3.24)
Рассмотрим одно из слагаемых первой суммы в (3.3.24). Нетрудно видеть, что:
4(∆  )2 + ( , ∆) + 4 ∆    , ∆ = ∆  ∆ ,
где   - интервальная матрица, коэффициенты  kj которой представлены
смешаными интервальными формами  1+2 (). Коэффициенты этих форм есть
функции коэффициентов матрицы   и вектора  .
Пусть  есть радиус  . Обозначая через  ∈ × матрицу, все
коэффициенты равны 1, а через ∆ вектор  ∆ ,  = 1, … , , убедимся в
справедливости неравенства:
∆  ∆ ≤  ∆   ∆ =  (

2
=1 ∆ )
≤  ∆
2
(3.3.25)
(вследствие того, что квадрат среднего арифметического  положительных чисел
не превосходит среднего квадратичного этих чисел [99]).
Теперь рассмотрим произвольное слагаемое второй суммы в (3.3.24),
обозначив:
max  ∆  ∆ =  (∆). При достаточно малой величине
∆ выполняются неравенства:
126
2 ∆  ∆ 2  +  , ∆ + (∆  ∆)2 ≤
≤ 2 ∆   + 
≤ 
∆
2
+ ∆
4
∆ + (∆  ∆)2 ≤  ∆ +  ∆
< 2 ∆
2
,
4
≤
(3.3.26)
где  есть радиус И-матрицы  .
На основании (3.3.25) и (3.3.26) получаем:
∆ , ∆
2
< 2 ( + 2 ) ∆
и следовательно:
∆ , ∆
2
<   + 2 ∆ .
Аналогичное неравенство можно получить и для системы (3.3.23).
Таким образом, при малых возмущениях в квадратичносвязной системе с
кубичным стабилизатором выполняются условия Липшица.
Данная теорема используется в параграфе 4.3 гл.4 при выяснении
асимптотической  −устойчивости [9] решения формулируемого далее класса
квадратичносвязных систем.
127
Выводы из главы 3
1 Найдены
условия, при которых систему с неизвестными в заданных
ограниченных пределах параметрами, имеющими конечные производные по
времени всех порядков, можно в задачах асимптотической стабилизации состояний
моделировать, как интервальную по этим параметрам.
2 Оценить устойчивость в малом состояния комбинированной квадратичносвязной
системы с кубичным стабилизатором можно по асимптотической устойчивости
моделей ее 0 −частных подсистем в соответсвии с теоремой § 3.3.
128
Глава 4
Построение стабилизатора интервальной квадратичносвязной
системы методом модульных форм
4.1 Проблемный вопрос метода форм
Методом форм построения стабилизатора (, , )
назовем метод, при
котором обеспечивается производная некоторой функции Ляпунова системы
(1.4.14)
в виде смешаной формы переменных состояния. (При этом для
квадратичных систем стабилизатор сам должен быть выражен смешаной формой.)
Для стабилизации систем, описываемых дифференциальными уравнениями с
участием форм переменных, данный метод эффективен в случаях, когда известен
способ построения компенсатора формы. В случае квадратичных систем такой
способ дает доказанная в главе 2 теорема о компенсаторе. Однако, для систем,
стабилизируемых в части переменных, существует теоретическая проблема.
Поясним ее на примере следующих рассуждений.
Попробуем применить традиционный подход и построить стабилизатор
(, , ) из условия отрицательной определенности производной по времени в
силу (1.4.14) функции Ляпунова вида:
 ,  = 
2
+ 
2
+ (, ),
(4.1.1)
характеризующей меру удаления реального решения () от заданного 0  .
Составим производную  , ,  :
 , ,  =  2 + 1 +  + 21  +  21 + 1  +   + 2  +
+ 22 + 2 (2) +  2 + 22 (2) +  2(2) +  (2) +
129
+ 2 +   ∗  +   + 2  ∗  +  + 2  =
=  , ,  +  + 2 .
(4.1.2)
Здесь обозначено:
   +    ∗  =  .
(4.1.3)
Функцию  будем называть неявным стабилизатором.
Тогда задачу построения стабилизатора модели (3.4.14) можно было бы
сформулировать так:
1) Найти (, , ) из условия отрицательной определенности функции:
ℭ , ,  =  , ,  + ( + 2 )(, , ) .
(4.1.4)
2) Решить относительно (, , ) уравнение:
   , ,  +    ∗  , ,  =  , ,  .
(4.1.5)
Отвлекаясь пока от п.2), которому будет посвящен отдельный материал,
обратимся к п.1) Рассмотрим такой «искусственный» случай, когда функция
 , ,  на гиперплоскости  = −2 знакоотрицательна, т.к. без этого поиск
функции (, , ) по п.1) попросту лишен смысла.
Поскольку матрицы в (4.1.2) ограничены в интервалах, можем в (4.1.4) сделать
замену функции  , 
2+3
на некоторую интервальную форму  2
 ,
=
[ ] . Тогда п.1) сведется к построению ее компенсатора, что можно сделать на
основании теоремы о формах, доказанной в гл.2.
3
В самом деле, компенсатор для формы  2
 строится непосредственно по
2
2
(2.5.20), а для формы  2
 можно построить компенсатор 2
(), основываясь
на выводе (2.5.11).
Итак, допустим, мы нашли компенсатор
2+4
2

2+3
формы  2
 .
Коэффициенты, взвешивающие термы, входящие в состав компенсатора,
130
обозначим через (… ), где в скобках будет записан сам терм. Например,
коэффициент перед термом 2 2 обозначим (2 2 ) и т.д.
Дальнейший шаг заключается в тождественном решении относительно вектора
 скалярного уравнения:
2+4
2
 = ( + 2 )(, ).
(4.1.6)
2+4
Поскольку форма 2
 постоянная, это решение будет носить стационарный
характер.
Однако, (4.1.6) тождественно разрешимо только в частных случаях. Например,
справедлива следующая лемма:
Для тождественного решения (4.1.6) необходимо, чтобы для каждого
1 ≤  ≤  выполнялось равенство:
 4 +  2 2 /4 +  4 /16 =   3 /2 + (3  )/8.
Доказательство
2+4
Представим форму 2
(, ) в виде:
2+4
2
,  ≡

1+3
=1 2  2
,  +

1+3
=1   2
,  ,  = 2.
(4.1.7)
Для тождественного решения (4.1.6) необходимо для каждого 1 ≤  ≤ :
1+3
1+3
 2
,  ≡  2
,  .
2+4
Рассмотрим терм 3  ∈ 2
при конкретном .
(4.1.8)
Он может быть
1+3
1+3
«расположен» лишь в формах 2  2
и   2
. Пусть:
1+3
1+3
3  ∈ 2  2
, 3  ∈   2
,  +  = .
Тогда :
1+3
1+3
2  ∈ 2 2
, 3 ∈  2
.
(4.1.9)
131
2+4
Рассмотрим терм 4 ∈ 2
. Очевидно, он может быть «расположен»
только в форме
1+3
2  2
, а значит
1+3
3 ∈ 2 2
.
Поскольку (4.1.7) есть
тождество, то в соответствии с (4.1.8) получаем  = /2 .
1+3
В силу (4.1.9) получаем: ( − /2)2  ∈ 2 2
.
(4.1.10)
2+4
Выберем терм 2 2 ∈ 2
. Пусть:
1+3
1+3
1+3
с1 2 2 ∈   2
, с2 2 2 ∈ 2  2
, 1 + 2 = . Тогда с1 2  ∈  2
и по
(4.1.10) с1 = /2 − /4, 2 =  + /4 − /2 , а следовательно:
1+3
( + /4 − /2) 2 ∈ 2 2
.
(4.1.11)
2+4
Рассмотрим терм  3 ∈ 2
. Пусть:

1+3
1+3
1  3 ∈   2
⇒ 1  2 ∈  2
и по (4.1.11) 1 = ( + − /2)/2.
4
Тогда:
1+3
1+3
 − 1  3 ∈ 2  2
⇒ ( + /4 − /2 − /8)3 ∈ 2 2
.
(4.1.12)
2+4
Рассмотрим теперь терм 4 ∈ 2
. Очевидно, он может быть «расположен»
1+3
1+3
только в форме   2
. Поэтому 3 ∈  2
и по (4.1.12) получаем  = /2 +
/8 − /4 − /16.
Отсюда:
 4 +  2 2 /4 +  4 /16 =   3 /2 + (3  )/8 .
■
Таким образом, в общем случае тождественного решения (4.1.6) не
существует.
Возникает задача, как «обойти» эту проблемную сторону метода форм.
Решение ее приводится в следующем параграфе.
132
4.2 Метод форм модульных переменных при синтезе
неявного стабилизатора
Рассмотрим тождественное решение относительно   уравнения:
2+4  =    ,  ∈  .
(4.2.1)
Для этого представим смешаную форму в виде:
2+4  =
,
   +
, ,,
    
(4.2.2)
и введем натуральную функцию  1 , 2 , … ,  , равную количеству чисел,
используемых
для
записи
последовательности
1 , 2 , … ,  .
Например,
 1,2,2,3,1 = 3,  1,1,1,1 = 1 и т.д.
Решений тождества (4.2.1) бесконечно много. Предложим, например,
следующее частное решение 1 ≤  ≤  :
  =
 
  (, ) 
 
 ,,  (, ,, )   
+
.
В справедливости (4.2.3) убеждаемся, составив сумму
(4.2.3)

  и получив при
этом (4.2.2). Очевидно, что решению уравнения:
−2+4  =    ,  ∈ 
соответствуют выражения (4.2.3), взятые с противоположными знаками.
Будем основываться на существовании решений тождества (4.2.1) и на
свойстве замещения форм (см. окончание §2.5).
Модифицируем функцию (4.1.1). Положим:
 ,  = 
2
+ 
2
+(  ,  ),
(4.2.4)
где  ,  обозначают векторы, составленные из модулей компонент векторов
, . Производная данной функции составит:
133
 ,  = (2 +  )  + (2 +  )  ,
(4.2.5)
где обозначены векторы:
  = [ 1 1 , … ,   ] ,
  = [ 1 1 , … ,   ] ,
  =
1,  ≥ 0
.
−1,  < 0
Нетрудно заметить, что при этом величины 2 +  , 2 +  
представляют собой модульные векторные функции (2, ), (2, ). (Функция
 определялась ранее формулой (2.4.4).)
Обозначая:  = (2, ),  = − + , где  задается равенством (4.1.3), а −
следует при этом из выражений (1.5.14), перепишем равенство (4.2.5) в виде:
 ,  = (2, )  +  − +  .
(4.2.6)
Поскольку:
 2 ,  = − +  ( +  ),
где  =
1, если   
, то вводя матрицу  = ( ) и принимая
3, если  = 
 −  = 1 , перепишем (4.2.6):
 ,  =  +   +  − +  1 .
(4.2.7)
Здесь формирование  −  = 1 является обоснованным, поскольку производная
 задана без параметрических неопределенностей (первое уравнение (1.4.14) не
содержит в правой части интервальных величин).
Рассмотрим квадратичную форму  ,  . Проведем преобразование
 → 1 , заключающееся в перемене знака некоторых компонент . Тогда
справедливо равенство: 1 1 =    , где  – определенная матрица из
134
n (см. п. 2.3.10). Если  = 1 …  ,  ≤  есть перестановка, характеризующая
номера компонент , меняющих знак, то это же можно записать с помощью
аппликаций : 1 1 =  ().
С учетом последних замечаний с помощью (1.4.14) раскроем (4.2.7). Опуская
промежуточные выкладки, приведем результат:
 ,  =    +    +    +     +
+    +     +     +  1 ,
(4.2.8)
где входящие матрицы определяются выражениями:
 = 1 +  1  ∈ 31 + 21  = +
  ,
(это следует из того, что 1 +  1  <∈ 31 + 21 ; аналогично объясняются
остальные выражения)
 =  + 2  ∈ 3 + 2  = +
  ,
 =  + 1 + 21  +    ∈ 3 + 2  + 31 + 21  = +
  ,
 = 2 +  2  ∈ 32 + 2  = +
  ,
 = 2 ∈ 2 = +
  ,
(4.2.9)
 = ℒ   + 2ℒ   +   ∈
∈ ℒ   + 2ℒ   +  = +
  ,
 = 2 + ℒ  + 22  + ℒ    ∈
∈ 2 + 22  + ℒ  + ℒ   = +
  ; здесь:  =
Соберем отдельно форму:
 +1 
2
.
135
+
2+3

+

+



 2
(, )=  +
+ + +
+
  +    +    +   
 


 +
+  +
.
 
 
(4.2.10)
Рассмотрим форму переменного  вида:
 2+3  =  〈1 〉 +  〈2 〉(2) +  〈3 〉 ∗  .
(4.2.11)
где матрицы 〈 〉,  = 1,2,3 являются зеркальными относительно некоторых, пока
неизвестных, матриц 〈 〉, т.е. выполняется 〈 〉 = 〈 〉.
Покажем, что форма
 2+3 
2+3
будет покрывающей для  2
(, ) при
следующих условиях:
5
1
4
4
〈1 〉 = ( 3 + 2〈 〉, 31 + 2〈1 〉) ,
〈2 〉 = (
1
4
〈〉, 32 + 〈2 〉 ) ,
(4.2.12)
1
〈3 〉 = (3 + 2〈 〉 ).
4
2+3
Для этого раскроем  2

(2, )
в термах переменных , , подставив  =
в (4.2.4), на основе положений §2.4. Приводя однородные члены,
получим:
 2+3  =  〈1 〉 +  〈41 〉 +  〈41 〉 +  〈2 〉 + 〈3 〉′ (2) +
+ (〈82 〉 + 〈83 〉′ )(2) + 〈4〉 2 + 〈2〉(2) ,
где 〈〉 = 〈2 〉 + 〈3 〉′ + ℒ((〈2 〉)) + ℒ((〈3 〉′ )).
(4.2.13)
Составим интервальные отношения однородных слагаемых форм (4.2.10) и
(4.2.13). При этом используем свойства интервальных чисел, изложенные в §2.2.
+
Не требуют доказательства отношения: +
  <∈ 〈1 〉,   <∈ 4〈1 〉 .
Покажем, что +
  <∈ 4〈1 〉 . Пусть:
136

1
4
3 + 2〈 〉〉, 31 + 2〈1 〉 = 31 + 2〈1  .
Тогда: +
  <∈ 5 × 31 + 2〈1  = 4〈1  . Пусть теперь:

1
4
3 + 2〈 〉〉, 31 + 2〈1 〉 =
1
4
3 + 2〈  .
5
+
Тогда: +
  <∈ × 3 + 2〈  = 4〈1  . Отсюда:   <∈ 4〈1 〉.
4
Далее. Поскольку:
32 + 2  <∈ 
1
4
〈〉, 32 + 〈2 〉 <∈ (
′
то имеем: +
  <∈ 〈2 〉 <∈ 〈2 〉 + 〈3 〉 .
1
4
〈〉, 32 + 〈2 〉 ) ,
(см. п.2.3.5)
Из отношения:
2 <∈ 8
1
4
〈〉, 32 + 〈2 〉 <∈ 8 
1
4
〈〉, 32 + 〈2 〉
= 8〈2 〉
′
следует: +
  <∈ 8〈2 〉 + 8〈3 〉 .
Рассмотрим слагаемые  (… )(2) .
1) Поскольку 〈3 〉 - зеркальная блочносимметричная матрица, то по п.2.3.1
имеем: ℒ((〈3 〉′ )) = ℒ((ℒ(〈3 〉))). Но по лемме 1 п.2.3.6:
〈3 〉 <∈ (ℒ(〈3 〉)), если 〈3 〉 = 〈3 〉[] .
Отсюда: 4ℒ(〈3 〉) <∈ 4ℒ((ℒ(〈3 〉))).
2) Поскольку 〈2 〉 - зеркальная ступенчатая матрица, то по лемме 2 п.2.3.6:
4〈2 〉 <∈ 4ℒ((〈2 〉)). Поэтому, учитывая (4.2.13), получаем:
8〈2 〉 + 8〈3 〉′ <∈ 4〈〉. Кроме того, справедливы отношения:
137
  + 2  <∈ (3 + 2〈 〉 ) <∈ 3 + 2〈 〉 <∈
<∈  3 + 2〈 〉 = 4〈3 〉 .
Следовательно:
ℒ   + 2ℒ( ) <∈ 4ℒ(〈3 〉) = 4〈3 〉′ .
Отсюда
с
учетом  <∈ 4〈2 〉 + 4〈3 〉′ получим:
′
+
  = ℒ   + 2ℒ   +  <∈ 8〈2 〉 + 8〈3 〉 <∈ 4〈〉.
Осталось рассмотреть слагаемые  … (2) . Представим:


2
2
2 + 22  = 2 + 2  + 2 + 2  <∈ 2(32 + 〈2 〉) <∈ 4〈2 〉 ,
 +   <∈ 3 + 2〈 〉 <∈  3 + 2〈 〉 = 4〈3 〉 .
Следовательно: ℒ  + 2ℒ( ) <∈ 4ℒ(〈3 〉) = 4〈3 〉′ . Поэтому:
′
2 + 22  + ℒ  + ℒ   = +
  <∈ 4〈2 〉 + 4〈3 〉 <∈ 2〈〉.
Отсюда следует вывод:
2+3
 2
(, ) <∈  2+3 
Следовательно, компенсатор формы  2+3 
при выборе (4.2.12).
в (4.2.11) (обозначим его
2+3
2+4  ) является и компенсатором формы  2
,  в (4.2.10), а значит
функция:
2+3
 ,  =  , ,  − 2+4  = − 2+4  −  2
,  .
(4.2.14)
2+3
будет при любой реализации формы  2
отрицательна в пространстве
переменного  = [ ] , исключая многообразие  , состоящее из точек вида:
σ = [… ,   = 0, … ; … ,  = 0, … ] ,
 ,  ∈ 1,  , 1 ≤  ≤ , 1 ≤  ≤  .
(4.2.15)
Поэтому неявный стабилизатор 1 будем искать, как решение уравнения:
138
−2+4  =  1  ,  = (2, ) ∈  .
(4.2.16)
которое в силу (4.2.3) всегда существует. При этом каждая компонента вектора
1 
будет представлена линейно-кубичной формой, а искомую величину
неявного стабилизатора получаем по формуле:
 ,  = 1  + (, ) ,
(4.2.17)
которая приводит к сумме однородных форм 1, 2 и 3-го порядков, т.е. к
кубичному полиному переменных , .
На этом основании систему (1.4.14) можно назвать системой с кубичной
стабилизацией.
Итак, получен следующий результат:
1,1
1) (, ) ∈ ,
 ,  = ∝+ ×  ,  = [ ] , ∝+ = ∝<  < ∞ ,
где  - открытая область переменного , не пересекающая многообразие  ;
∝ - число или символ -∞ .
2) В любой точке σ многообразия  величина разрыва 1-го рода функции  (, )
любой компоненты вектора  ограничивается некоторым кубичным полиномом с
постоянными коэффициентами σ (  ), σ  = 0.
Другими словами, разрывы функции (, ) допускаются только в точках нуля
переменных , при этом амплитуды скачков тем меньше, чем меньше переменные
, так, что в достаточно малой окрестности заданного движения () = 
стабилизирующие воздействия стремятся к гладким.
В заключение параграфа сделаем замечание, используемое в изложении
материала § 4.5.2. Из формул (4.2.11), (4.2.12) следует, что форма:
 2+3 ()0 =  〈1 〉 +  〈2 〉 2 +  〈3 〉 ∗ ,
в которой:
(4.2.18)
139
5
3
1
4
4
4

〈1 〉 = ( , 31 ) , 〈2 〉 =  32 , 〈3 〉 = ( 3 )
(4.2.19)
 (, ), т.е. найдется
является покрывающей для действительной формы
реализация  2+3 ()0 формы (4.2.18), равная  (, ).
Пусть Ψ[ 2+3 ()] есть компенсатор формы  2+3 (), а Ψ[ 2+3 ()0 ] компенсатор формы  2+3 ()0 . Тогда биквадратичная форма:
2+4 = Ψ  2+3  + Ψ[ 2+3 ()0 ]
(4.2.20)
2+3
2+3
есть компенсатор формы  2
(, )+  (, ), где  2
есть (4.2.10).
4.3 Критический анализ полученных результатов
Однако, необходимо учесть ограничения применимости формул
(4.2.14),
(4.2.16).
В пространстве переменного  = [ ] на многообразии  формула (4.2.5)
не выражает собой производную функции  ,  в формуле (4.2.4), поскольку в
этих точках  ,  не имеет частных производных.
Следовательно, здесь необходимо провести дополнительный анализ. Сделаем
это на «качественном» уровне, поскольку строгий анализ подобной задачи
выходит за рамки научной технической специальности.
Представим  = [ ] = [1 , 2 , … , 2 −1 , 2 ]
область  переменного  вида:
 1 = 2 = ⋯ =  = 0 , 1 ≤  ≤ 2 − 1.
и рассмотрим некоторую
140
В  система уравнений (1.4.14) принимает усеченный вид путем простого
исключения
1 , 2 , … ,  -го
уравнений
(если
уравнения
рассматривать
в
переменных  ), при этом функция (4.2.4), в которой удалены соответствующие
компоненты векторов  и , имеет производную (4.2.5), в которой также удалены
эти компоненты и их производные по времени. В этом случае в формуле (4.2.6)
надо удалить каждую переменную  , в которую входит переменная  = 0, а в
матрице  , если  = 0, -й диагональный элемент следует положить равным 0.
Тогда «трансформированная» форма (4.2.11), в которой удалены эти
модульные переменные  , будет покрывающей для соответствующей формы
(4.2.10).
Перенумеровав оставшиеся переменные в порядке возрастания номера,
начиная с 1, получим форму (4.2.11) от меньшего числа переменных
 2+3 1 , 1 ∈  ,  <  . Поскольку компенсатор Ψ  2+3 
строится по индуктивному принципу, то функция
формы  2+3
Ψ[ 2+3 1 ] будет
компенсатором формы  2+3 1 .
Отсюда следует, что в рассматриваемой области  для усеченной системы
уравнений
(1.4.14)
положительно
определенная
функция
(4.2.4)
имеет
отрицательную производную.
Прямоугольная
проекция
области,
(, , ), описываемой уравнением:
координатную плоскость  0
ограниченной

2
=1(
гиперповерхностью
+   + 2 ) = 2 ,
на каждую
образована пересечением двух эллипсов,
вписанных в центральный квадрат со стороной
4
3
 (соответственные оси
эллипсов направлены по диагоналям квадрата и взаимно перпендикулярны).
Поскольку в  функция (4.2.4) убывает, допуская бесконечно малый высший
предел, то () в  убывает и →∞   = 0, причем это справедливо для
любой
 , для которой в формуле (4.2.15)
 < . (При  =  имеем
вырожденный случай, когда компенсатор не может быть реализован.)
141
Поэтому на всем многообразии
{ ;  < }
для решений (в случае их
существования) системы уравнений (1.4.14) функция () убывает. Поскольку
вне  функция () также убывает, являясь непрерывной во всем пространстве
переменного  , заключаем, что решение системы (1.4.14) с любыми начальными
условиями должно втягиваться в многообразие { ;  = }.
В случае, если в { ;  = } устойчивого в малом решения вида
(; (0) ∈ { ;  = })
не существует, то все пространство  переменного 
можно разделить на два подпространства: подпространство 1 , в котором
функция () убывает и →∞   = 0, и подпространство 2 , в котором (),
возможно, не убывает. При этом 2 является ограниченной  -окрестностью
многообразия { ;  = }. Поэтому тривиальное решение системы
  =
будет ограниченно -притягивающим.
В случае, если устойчивое
в
малом решение системы (1.4.14) на
многообразии { ;  = } существует, то тогда тривиальное решение   = 
будет  −притягивающим, что является частным случаем ограниченного
притяжения. В этом случае при 1 = , 2 =  имеем →∞  =  и
 −устойчивым будет также некоторое решение   = .
Таким образом, при выполнении формул (4.2.14), (4.2.16) тривиальное решение
в
части
переменного

системы
(1.4.14)
будет
всегда
ограниченно
 −притягивающим; в части переменного  решение   =  будет
 −устойчивым только в случае существования устойчивых в малом решений
системы на многообразии { ;  = }.
Отдельный интерес представляет случай, когда при
 −устойчивости
 −решения выполняется →∞  = . В этом случае  −решение становится
 −притягивающим. Необходимым условием для этого является, очевидно,
устойчивость в малом решения   =  системы (1.4.14). Достаточное условие
142
устойчивости в малом тривиального решения (1.4.14) было дано в параграфе 3.3
главы 3.
4.4 Оценка времени переходного процесса в системах
с кубичной стабилизацией
Время переходного процесса в нелинейной многосвязной системе зависит как
от входного воздействия, так и от начальных условий по переменным состояния.
Многомерность и нелинейность задачи существенно затрудняют общую оценку,
особенно в системах с устойчивостью по отношению к части переменных.
Поэтому предварительно уточним условия оценки.
Переходный процесс будем рассматривать в системе с  −притягивающими
решениями   = ,   =  под
действием
внешнего
импульсного
возмущения, при этом под временем процесса будем понимать время перевода
в области  изображающей точки с гиперповерхности (, , ), описываемой
уравнением:

2
=1(
+   + 2 ) = 2 ,
(4.4.1)
устойчиво внутрь гиперповерхности (, , ),  < 1. Коэффициент  задает
относительный радиус допустимой
«трубки»
затухания движения () =
[  ()] с начальными условиями на .
Поскольку при выполнении (4.2.14) функция Ляпунова (4.2.4) убывает,
допуская бесконечно малый высший предел [101], то () есть убывающая
функция и →∞   = 0.
Таким образом, величина знакоотрицательной производной функции (4.2.4) ,
143
равная
2+3
− 2+4  −  2
,  ,
характеризует
темп
«угасания»
импульсного возмущения в системе (1.5.14).
Дадим общую оценку времени переходного процесса при заданном  и
начальной величине  0 .
 23 в (4.2.10),
 n23 в (4.2.13) является покрывающей для формы Fr
Форма Fl
2n
 n23( w)] , то выполняется также:
следовательно, если Fgn24 (w)  [Fl
 23( ,  )]
Fgn24 (w)  [Fr
2n
при условии  2**  1** , где  2**, 1** - глобальные
 23(γ, ε) и Fl
 n23( w)
характеристики компенсатора Fgn24 относительно форм Fr
2n
соответственно, w = r ( 2ε, γ ) . Поэтому величина 1** является верхней гранью
отрицательно
определенной
функции
Ляпунова
 23( ,  )  Fgn24 ( w)
V (γ ,ε ,t )  Fr
2n
Оценим величину  1** . Для этого представим:
 n23( w)  Fl
 n2 ( w)  Fr
 n3( w) .
Fgn24 ( w)  Fen2 ( w)  Frn4 ( w), Fl
(Напомним, что если хотя бы по одному из индексов записи форм различаются, то
коэффициентов этих форм никак не связаны друг с другом, т.е. это различные
формы.)
 n2 ( w)] .
Далее представим: Fen2 (w)  Frn2 (w)  [Fl
 n2 (w)] интервальной квадратичной формы
(Для построения компенсатора [Fl
 n2 (w) достаточно использовать вывод (2.5.11).)
Fl
В таком случае получим:
 n23(w)  Frn2 (w)  Frn4 (w) Fr
 n3(w)  0 ( w) ,
Fgn24 (w) Fl
и, как следствие: ψ1**  ψ0** , причем равенство достигается только при w = 0 .
144
Введем обозначение: Frmk  Frmk 1  Frmk . Тогда выполняется:
n
 n3  Fr 2  Fr 4  Fr 3  
Frn2  Frn4  Fr
(Fri2  Fri4  Fri3 ).
1
1
1
i 2
(4.4.2)
В соответствии с (2.5.4) имеем для данного i:
 3  w Fr1  w Fr3  w Ft
 2.
Fri2  Fri4 Fr
i
i i
i i
i
i
Тогда, следуя построениям параграфа 2.5, приводящим к сравнениям (2.5.14),
(2.5.15), можно сделать следующий вывод:
i
i
Fri2  Fri4  Fri3  ymin
 zmin
,
(4.4.3)
i
i
где ymin
, zmin есть минимальные значение парабол соответственно:
y (u)  ( wi2  wi  1)u 2  (2 wi2  wi  1) wiu  (2 wi2i  i   ai  wi ) wi2 ,
i  max( aimin , aimax , 2); z(u)  ( wi2  1)u 2  wi2u   (2 wi2  1) wi2 ,   1 .
(i ) выполняется:
Для величины ymin
i
ymin
 wi2 (2i wi2  i   ai  wi ) 
wi2 (2wi2  wi  1)2

4( wi2  wi  1)
4i (2wi2   wi  1)( wi2  wi  1)  (2wi2  wi  1)2 2

wi  k (i , wi ) wi2 ; -1< <1
2
4( wi  wi  1)
Очевидно: k (i , wi ) 
4i (2 wi2  wi  1)( wi2  wi  1)  (2 wi2  wi  1)2 
 k (i , wi ) .
4( wi2  wi  1)
Тот факт, что при i  2 функция k (i , wi ) положительна при всех wi , отражает
график вспомогательной функции k(i , wi ) при i  2 , представленный на рисунке
4.1.
145
Рис. 4.1. График вспомогательной функции k(i , wi ) при i  2
Для гарантированно нижней аналитической оценки преобразуем k (i , wi ) :
k (i , wi ) 
2wi2  wi  1
2wi2   wi  1 2
[4

( w  wi  1)  (2wi2  wi  1)] .
i
4( wi2  wi  1)
2wi2  wi  1 i
Экстремумы дроби
2wi2   wi  1
достигаются
2wi2  wi  1
(2wi2  1)(  1)  0 ; поэтому: min
(4
w
i
Дифференцируя дробь
минимальное зачение
в точках корней уравнения
2wi2   wi  1
4 2
)4
 1.9104 .
2
4 2
2wi  wi  1
2 wi2  wi  1
при положительных wi , получим ее
4( wi2  wi  1)
5 2
 0.5653 . Отсюда имеем:
12  4 2
k (i , wi )  0.5653(1.9104i ( wi2  wi  1)  2 wi2  wi  1) 
 0.5653[(1.9104i  2) wi2  1.9104i wi  wi  1.9104i  1) .
Здесь минимум правой части равен: 0.5653  (1.9104i 
(1.9104i  1)2
4(1.9104i  2)
).
(4.4.4)
146
Данную величину и примем за нижнюю оценку функции
k (i , wi ) , обозначив
через k w ( i ) . График функции k w ( i ) показан на рисунке 4.2, из которого видно,
что гарантированная нижняя оценка для k (i , wi ) может быть представлена
линейной функцией k w (i )  0.9973i  0.3397 .
Теперь оценим величину
i
zmin
i
zmin
:
11
4
2l 2  l  1
w
i
4
  wi2 (2 wi2  1) 
 wi2
; l  wi2  0 .
2
l

1
4( wi  1)
Поскольку производная функции: f (l ) 
11
l 1
4
при l  0 положительна,
l 1
2l 2 
то минимум данной функции равен 1. Отсюда:
i
zmin
 wi2
(4.4.5)
Рис.4.2. График нижней оценки k w ( i ) функции k (i , wi )
Объединяя (4.4.3 – 4.4.5) , получаем результат:
 ,  ≤ −
−

=1

=1 (
 + 1)2 = −

=1
  + 1 (42 + 4   + 2 ) ≤
  + 1 (2 +   + 2 ) ≤ − min   + 1  ,  ,
причем равенство возможно только при  =  = .
Отсюда следует оценка времени  перевода изображающей точки с
поверхности (, , ), задаваемой уравнением (4.4.1), внутрь поверхности
147
(, , ):  < −
 
min      +1
,  < 1.
Так, при радиусе допустимой «трубки» в 2.5% и минимальном коэффициенте
 = 3
получаем длительность переходного процесса не хуже 1.01 с, а при
min  = 5 - уже не хуже 0.653 с и т.д.
В реальных условиях выбор коэффициентов 
ограничен ресурсом
управления, поэтому их следует выбирать минимальными из допустимых.
4.5 Решение уравнения стабилизатора
4.5.1 Случай действительных параметров
Введем понятие условного тождества V-форм. Рассмотрим для переменного
 ∈ ×1 две V-формы: 1+2+⋯+  и 1+2+⋯+  . Форму 1+2+⋯+ 
назовем условно тождественной форме 1+2+⋯+  , если: либо выполняется
тождество 1+2+⋯+  ≡ 1+2+⋯+  , либо для каждого , 1 ≤  ≤ 
невязка   −  
для любого  минимальна.
Верхняя оценка длины вектора невязки
составляет,
очевидно,
величину

=1
1+2+⋯+  − 1+2+⋯+ 
  −   .
Поэтому
если
1+2+⋯+  условно тождественна 1+2+⋯+  , то длина вектора невязки
этих V-форм имеет минимальную верхнюю оценку.
Найдем тождественное решение
 ∈ ×
уравнения
стабилизатора
(4.1.5),
где
,  ∈ × ,  ≥ . Это означает построение такой функции
(, ), при которой (4.1.5) является условным тождеством. Цель этого приема –
избежать при решении (4.1.5) операций деления на какие-либо функции
148
переменных , способные обращаться в ноль. Это позволит при «быстрой»
стабилизации системы (1.5.14) избежать превышения ресурса регулятора.
Рассмотрим сначала случай  =  и  - невырожденная матрица.
Для векторов  ∈  ×1 ,  ∈ ×1 и матрицы  ∈  × введем оператор
( ∗) :  ×1 →  ×1 по правилу:
( ∗)  = ( ∗ ( ∗ ( ∗ (…   ∗  … )))), где число кронекеровых
произведений векторов равно . При этом условимся считать: ( ∗)0  = , т.е.
( ∗)0 = , где - единичный оператор.
Пусть  = −+, тогда ( ∗)  = (−1) (+ ∗) .
Рассмотрим в области Ɋ  :  <
(, ) =
∞

=0(−1) (+ 
 −2
−1

функцию вида:
∗) −1 , где + = −1  .
(4.5.1)
В указанной области ряд (4.5.1) сходится. Действительно, каждая компонента
вектора  вида (4.5.1) мажорируется рядом
∞
2+1
=0 
+
который
при
 < −2 +
по
признаку
Даламбера
сходится



−1
−1
 ,
,
а
следовательно, при ограниченных −1 ,  и в области Ɋ  .
Убедимся,
что
(4.5.1)
удовлетворяет
уравнению
(4.1.5)
при
любом
ограниченном :
 +   ∗  =   − (+ ∗)1 + (+ ∗)2 − (+ ∗)3 + ⋯ −1  +
+  ∗  − (+ ∗)1 + (+ ∗)2 − (+ ∗)3 + ⋯ −1  =  +
+
∞
=0[
−1
+1
+ −1  ] ( ∗ (+ ∗) −1 ) = .
Следовательно, (, ) вида (4.5.1) для данного случая есть тождественное
решение (4.1.5).
149
Пусть теперь  > .
Полагая, что  – матрица полного ранга, зададим для
нее псевдообратную матрицу + = ( )−1  ∈  × [105].
3
1
Рассмотрим случай (, ), когда  ,  = 2
,  + 2
,  . При этом
уравнение  ,  +   ∗  ,  = (, ) было бы логично назвать линейнокронекеровым относительно неизвестного (, ) с линейно-кубичным по , 
заданием .
Обозначим по аналогии с (4.5.1): + = + .
Представим решение  ,  в общем виде бесконечного ряда:
 ,  =

∞
=1 2 (, ).
(4.5.2)
Подставив (4.5.2) в (4.1.5), получим:
1 ,  + 2 ,  + 
+  ∗

∞
=2 

∞
=3  (, )
+   ∗ 1 ,  +
,  = 1 ,  + 3 ,  ,  = 2.
(4.5.3)
Далее для сокращения записи опустим аргументы , . Будем использовать
известный в линейной алгебре факт того, что для двух векторов  ∈ ×1 ,
 ∈ ×1 и матрицы  ∈ × вектор невязки
 − 
имеет минимальную
длину, когда  есть псевдорешение уравнения  =  . Такое псевдорешение
выражается в виде  = + , где + - матрица, псевдообратная  [104].
Из (4.5.3) следует, что для тождественного решения  необходимо, чтобы Vформа 1 была псевдорешением уравнения  = 1 ,  ∈ ×1 , т.е. должно
выполняться: 1 = + 1 .
(4.5.4)
Но тогда, поскольку правая часть (4.5.3) не содержит V-формы 2-го порядка,
2 есть псевдорешение уравнения:  = −  ∗ 1 , т.е. выполняется:
2 = −+  ∗ 1 = −+ ∗ +1 .
(4.5.5)
150
Далее представив
3 = 3 + 3 , найдем 3 как решение уравнения
 = 3 , т.е. в виде: 3 = + 3 .
(4.5.6)
При этом V-форма 3 должна будет удовлетворять уравнению
 = −  ∗ 2 . Следовательно, с учетом (4.5.5) справедливо:
3 = −+   ∗ −+ ∗ + 1 = (−1)2 (+ ∗)2 +1 .
(4.5.7)
Тогда получаем: 3 = +3 + (−1)2 (+ ∗)2 +1 .
(4.5.8)
Далее, учитывая тождественность решения (4.5.2), из (4.5.3) получаем при
(+1)
 ≥ 3 последовательность равенств: 
= +1 , где +1 есть псевдорешение
уравнения  = −  ∗  . Очевидно, что здесь на основании предыдущего
псевдорешения строится последующее. Так, полагая  = 3 на основании (4.5.8)
получаем:
4 = −+ ∗ +3 + (−1)3 (+ ∗)3 +1 ,
(4.5.9)
5 = −+ ∗ 4 = (−1)2 (+ ∗)2 +3 + (−1)4 (+ ∗)4 +1 ,
(4.5.10)
6 = (−1)3 (+ ∗)3 +3 + (−1)5 (+ ∗)5 +1 ,
(4.5.11)
……………………………………………………………………………..
 = (−1)−3 (+ ∗)−3 + 3 + (−1)−1 (+ ∗)−1 + 1 ,
(4.5.12)
(+1)
= (−1)−2 (+ ∗)−2 + 3 + (−1) (+ ∗) +1 ,
(4.5.13)
(+2)
= (−1)−1 (+ ∗)−1 + 3 + (−1)+1 (+ ∗)+1 + 1 .
(4.5.14)


Рассмотрим частичную сумму в (4.5.2) вида +2 ,  =
+2

=1 2
,  .
Чтобы получить ее выражение с помощью 1 и 3 , просуммируем равенства
(4.5.4), (4.5.5), (4.5.8), (4.5.9) – (4.5.14). Получим:
+2 =
−1

=0 (−1) (+ 
∗) + + (−1) (+ ∗) +1 +
151
+(−1)+1 (+ ∗)+1 +1 .
(4.5.15)
В пределе при  → ∞ будем иметь:
(, ) =
∞

=0(−1) (+ 
∗) + ,  ,
(4.5.16)
3
1
где  ,  = 2
,  + 2
,  .
Выражение (4.5.16) представляет собой точное тождественное решение
уравнения стабилизатора (4.1.5) при линейно-кубичном задании  ,  . Это
решение не является реализуемым вследствие бесконечности ряда. Реализуемое,
но приближенное, решение вида (4.5.15) можно получить, ограничивая ряд
частичной суммой.
4.5.2 Случай интервальных параметров
Задача усложняется, если матрицы  ∈ × ,  ∈ × ,  ≥  в (4.1.5)
являются интервальными. Прежде всего в этом случае следует корректно
поставить саму задачу.
Пусть 2+4  есть компенсатор вида (4.2.20) И-формы:
2+3
2+3
 2
(, ) =  2
(, )+  (, )
и  = [ ] - вектор коэффициентов формы 2+4 
при некотором
упорядочивании ее слагаемых. Спрашивается: существует ли для данных матриц
,   такой 0 ≥  , что для интервального компенсатора (см. окончание
§ 2.5)
2+3
Ψ[ 2
,  , 0 ]
есть
такая
вполне
определенная
реализация
Ψ[ 2+3 ,  , 0 ], что при любых реализациях ,   неравенство:
 ( +   ∗ ) > Ψ[ 2+3  , 0 ]
имеет одно и то же действительное решение  ? Если да, то каково это решение?
152
В параграфе рассматривается достаточное условие для существования такого
решения.
Обозначим через
, 
нижние грани матриц
,  , так что можно
представить:  =  + ,   =  +   и пусть  - радиус матрицы
.
Таким образом, 0,   - это И-число максимальной длины среди
коэффициентов
данной
матрицы;
величину

обозначим
.
Аналогично определим обозначение  .
Для случая  =  и  – невырожденная матрица рассмотрим решение задачи
в достаточно малой области
величин
, ,
поскольку
 <  с точностью до 4-го порядка малости
максимальная
степень
однородной
формы
биквадратичного компенсатора равна 4. (Общий случай решения поставленной
выше задачи является проблемным.)
Выберем некоторую форму 2+4  > 2+4 
и пусть  есть решение
уравнения 2+4  =  (). Положим:
  = 1  + 3  .
(4.5.17)
Решим с указанной точностью уравнение:  +   ∗  = . Решение в
соответствии с (4.5.1) имеет вид (в дальнейшем для сокращения записи аргументы
будем опускать):
 ,  ≜ −1 1  + −1 3  −  ,  + −1   ∗  ,  ,
(4.5.18)
где  ,  = −1   ∗ (−1 1  )
С учетом (4.5.17), (4.5.18) оценим величину  =  ( +   ∗ ). На
основании формулы (2.4.3) получим:
 =   −1 1 −  +  (−1 3 + −1   ∗ )  +
2+4
+   ∗ −1 1 −    ∗   −
 +  ,
(4.5.19)
153
где обозначено:  = −1 1 ,  =  − ,  = −1 3 + −1   ∗ .
Минимизируем (4.5.19), положив в «наихудшем» случае:
−1 1 = − = −,  =  ,
−1 3 = −1   ∗  = −.
−
Тогда:  = 
= , т.к.  = ,  = −. Обозначая
 = −1 3 , убеждаемся, что также и (−) = . Поэтому, раскрывая с
помощью (2.4.3) выражения:
  −1 1 −  ,   −1 3 + −1   ∗  ,
приводим форму (4.5.19) к виду:  =  −1 1 +  −1 3 +
+  ∗ −1 1 −   ∗  +  1  +  3  ,
где:  = −−1  +  .
(4.5.20)
Обозначим через Č сумму отрицательных элементов i-го столбца матрицы
−1 и пусть при некотором 0 <  < 1 выполняется система неравенств:



=1
Č

=1
Č
 
 (,)
 
 (, ,, )
<
<
 
 (,)
 
, 1≤≤
 (, ,, )
, 1 ≤ , ,  ≤  .
(4.5.21)
1≤≤
(Функция (… ) была определена выше в параграфе 4.2.)
Обозначим решение (4.5.21) относительно  через  .
При  =   и  = 1 −  справедливо неравенство:
 −1 1 +  −1 3 +  1 +  3 > 2+4 .
(4.5.22)
Оценим величину   ∗ −1 1 . Выполняются интервальные отношения:
  ∗ −1 1 <∈   ∗ −1 1 <∈  ∗ −1 1 ,
(4.5.23)
154
где:
2
 = 1 …  ϵ× ,  ϵ× ; ∗ =

=1 
,
т.е.
∗
есть
суперпозиция блоков И-матрицы .
Обозначим: −1  = ;  – матрица из модулей коэффициентов .
Вследствие (4.5.20) имеем:
 =  +   <∈ 〈− ,  〉,  =   +  [] ,
 =  … ϵ 
Отсюда
× 2
1 ⋯ 1
,  = ⋮ ⋱ ⋮ ϵ × .
1 ⋯ 1
получаем:
 <∈  〈  〉 +  〈[]〉.
коэффициентов справедливо: 〈  〉 =〈−  ,  〉,
Здесь
для
〈[]〉 = 〈−1; 1〉.
Следовательно:
∗ <∈ (〈  〉∗ + μ〈〉), μ =
  
 
.
(4.5.24)
С учетом (4.5.23), (4.5.24) получаем:
  ∗ −1 1 <∈  (〈  〉∗ + μ〈〉)−1 1 .
(4.5.25)
Обозначив 〈  〉∗ + μ〈〉 =〈Ω〉, 〈Ω〉=〈〉, по аналогии с 4.5.25 и 4.5.23
получим:
−  ∗  <∈  〈〉 ∗ −1 1 <∈
<∈ 2 2  〈〉∗ −1 1 .
(4.5.26)
Следовательно:   ∗ −1 1 −   ∗  <∈
<∈  〈Ω〉−1 1 + 2 2  〈〉∗ −1 1 .
(4.5.27)
155
Поскольку 1 =  и
 - положительно определена, то дополняя (4.5.27)
соотношением (4.5.22), получаем следующий результат: (4.5.18) будет с принятой
точностью действительным решением для (4.1.5) при интервальных ,  в
области  < , если матрица
〈Ω〉−1 + 2 2 〈〉∗ −1 +

 
 положительно определена при любых
реализациях 〈Ω〉, 〈〉∗ .
Дополнительно ограничим область решения неравенством  <
1

. Здесь
требованию положительной определенности должна удовлетворять матрица
 〈Ω〉 + 〈〉∗ −1 +

 
.
(4.5.28)
Пусть  =   ,  =  −1
. Тогда наиболее «опасным» случаем
реализации И-матрицы в (4.5.28) будет:
 〈Ω〉 + 〈〉∗ −1 = −  + μ ( + ) ,
поскольку минимальной реализацией И-формы   〈Ω〉 + 〈〉∗ −1  в шаре
 ≤  будет величина :
−  + μ  +   = −  + μ  + 1   = −2  2 ,
где  =   + μ  + 1 .
Необходимым условием положительной определенности матрицы –  +

 
 является неравенство:

 
>
(+1)
2
Отсюда получаем окончательное условие решения (4.5.18) для уравнения
(4.1.5)
в
случае
интервальных
 = max[min  ,
 ,
,
в

2−2
 +1   +μ  +1 
].
области
1
 < :

(4.5.29)
156
Двумерная оптимизационная процедура (4.5.29)
при условии (4.5.21)
дополнительных теоретических проблем не выдвигает и может быть проведена
численным методом на плоскости  − .
Обратим внимание, что область возмущений
 <
1

отнюдь не является
«областью в малом» для реальных технических систем, представляющих собой
шестиподвижные объекты. Так, ограничение диапазона возмущений линейных
обобщенных координат здесь составит не менее ±16 сМ, угловых не менее
±9, 50 , что при современных требованиях точности выполнения движений
является «астрономически» большим.
Учитывая
этот
факт,
заключаем,
что
(4.5.29)
является
практически
безусловным требованием по минимальной точности определения матриц ,  в
уравнении (4.1.5), при котором это уравнение имеет действительное решение вида
(4.5.18).
4.6 Комбинаторный
метод настройки стабилизаторов систем по скорости
Рассмотрим систему (1.4.14) в следующем частном случае:
=
.
 =    +    2 + (, )
(Несмотря на сокращения, данная система вполне описывает возмущенное
движение «в малом» некоторых механических систем с голономными связями,
например,
исполнительных
механизмов
роботов
кинематическими цепями при движении в свободной зоне.)
Перепишем второе уравнение в виде:
с
разомкнутыми
157
 =    +   +  ,  ,
(4.6.1)
 =  ∈ × ,  ∈  ,  = 1, … ,  .
Пусть для каждой пары ограниченных параметров  ,  известны только
диагональные элементы матрицы  . Обратимся
торможения» системы (4.6.1)
в этих условиях к «задаче
со следующей математической постановкой.
Заданы начальные условия  0 = ,  0 = 0 , требуется соответствующим
выбором неявного регулятора  обеспечить
тривиальное решение  = 
ограниченно  −притягивающим с заданным диапазоном .
Рассмотрим сферическую функцию Ляпунова   = 
2
, которая является
мерой дальности фазовой траектории от начала координат пространства
скоростей возмущенного движения.
Назовем
 −частной
системой
(4.6.1)
систему,
получающуюся
при
«замораживании» переменной  = 0. Такая система записывается в виде:
 = 
 =  ,  = 1,2, … ,  − 1,  + 1, … ,  ,
()
() 
()
 =     +   + 
(4.6.2)
где  = ( );  ≠ ,
()
=  (, )  =0 =  ,  ,
()
- матрица, получаемая из  вычеркиванием k  столбца и
()
- вектор, получаемый из  вычеркиванием  −го элемента.



k  строки,
Система уравнений (4.6.2) функционально подобна системе (4.6.1). Этот факт
назовем подобием исходной и  −частной системы, которую назовем частной
системой 1-го порядка (по количеству обнуляемых переменных).
Функцию   для системы ( 4.6.2) обозначим  .
158
Сделаем следующее замечание. Пусть две скалярные функции векторного
аргумента 1 () и 2 ()
выражают некоторые характеристики двух разных
динамических процессов  = (, ) и  = (, ). Пусть при этом:
a ()  b(), y1 ( x )  y2 ( x ) .
Тогда y1 (t )  y 2 (t ) . Однако, факт одинаковой функциональной зависимости
y1,2
характеристик
от
переменного
функциональным отношением: 1 

процессов

будем
обозначать
2 ().
Очевидно, что, если y1 (t ) есть знакоопределенная функция в процессе  =
(, ) и
1 

2 (), то
y 2 ( t ) будет знакоопределенной в процессе
 = (, ).
Справедлива следующая теорема о частных системах:
Пусть для каждой  −частной системы (4.6.2),  = 1,  , функция
  =
2
≠ 
2
= 
имеет для всех  ∈ ∗ , ∞ ,  ∈ (∗ , ∞) отрицательно
определенную производную в области   : 
2
<  2 при следующей модели
неявного стабилизатора:
()

=−
≠ ( 
()
+  )2 −   ;  = 1,  ,
(4.6.3)
()
где  - диагональные коэффициенты матрицы  .
Тогда для любого 0 <  <  существуют такие ∗ ≤ 0 < ∞ ,
∗ ≤ 0 < ∞ , что при каждых  > 0 ,  > 0 для решения () системы
(4.6.1 ) с начальным условием
(0) <  справедливо:
1) () никогда не покидает область () <  ,
2) наступит такой момент  , после которого всегда выполняется
() < ,  >  .
159
Доказательство
Форма  характеризует систему (4.6.1), а  − систему (4.6.2). Эти системы
описывают разные динамические процессы, так, что  () не является «частью»
решения

 
(). Однако, при этом справедливо функциональное отношение:
()  =0 .
Очевидно, что функции (),   допускают бесконечно малый высший
предел при


 → . При этом выполняется:

 
 
− 2 ,
(4.6.4)
Запишем выражение полной производной по времени функции  :

≠  

 =
=2
≠  
,
(4.6.5)
где  - производные переменных состояния системы в процессе, описы-ваемом
уравнениями (4.6.2).
Сравнивая (4.6.1) и (4.6.2), заключаем:


 − 2
()
≠
()
()
   −  2 −   − ∆
,
(4.6.6)
где  − k -й коэффициент вектора ,
 − k -й коэффициент вектора  ,
()
∆
()
=  −  .
Подставляя (4.6.6) в (4.6.5), получим:
1
2


≠  
−
− 2
≠ 
где  =  (2
()
∆
≠

≠ 
=
()
≠
≠  

  − 2
−
≠ 
()
≠
  −  
()
( + ∆ ) ,
  +   +  ) =   .
≠ 
−
(4.6.7)
160
1 
Прибавим к левой и правой частям (4.6.7) функцию
1
 +
2
1 
2  



2
−
()
∆
1
( + ∆ ).
(4.6.8)
, учитывая, что по условию теоремы выполняется:

= −  2 −  2 . Тогда:
 
2
k
Тогда:
()
≠ 
Просуммируем (4.6.8) по
 .
2   
 1
2
где Ҩ = 2
( − 1) +
≠
Ҩ ,

∗
≠  
 2 − 

∗

=  −   = 2
≠

  +  .
∗
Поскольку 
от  уже не зависит, минимум по  величины Ҩ составит:
1
Ҩ = − (
4
∗ 2
≠   )
/(
≠
 2 ).
Но вследствие неравенства Коши – Буняковского [99] выполняется:
(
∗ 2
   )
если  >
1
4

∗
 
)2 ≤ (

∗

.
≤(
∗


∗

)(

∗

2 ) < 4
2
   ,
Следовательно, при этом будет Ҩ < 1.
(4.6.9)
Запишем выражение для  при некотором  :
1
2
 =
−
()

≠  (   −
2
≠ ( 
2
≠, 
и проведем сравнение:
1

2 
()
2
≠,   ) +
() 
≠  
 −
+  2 )
˄ Ҩ .
Для этого рассмотрим скалярную функцию   =   −  ∗  
в сплошной области 0  : 0 <  ≤  < , где   - ограниченная,
161
а   − положительно-определенная скалярные функции.
При любом 1 <  < ∞ можно выбрать такое ∗ > 0, что везде в 0  при
 > ∗ будет выполняться:   −   < −. Действительно, для этого
достаточно выбрать:
max 0, max0
 + 

< ∗ () < ∞.
 
При этом получим:
Полагая:   =
 
>  > 1.

≠  (
  =
2
≠ (
1
и выбирая:   > max
()
()
  −
2
≠, 
∗
max 
 2 ) +
() 
 ,
≠  
+ 2 ) ,

4 0 
≠,
∗

,  ∗  , ∗ ,
(4.6.10)
  > max ∗ ,  ∗  ,
получим с учетом (4.6.9):
1
2
 > Ҩ .
Отсюда, поскольку везде в 0  , кроме начала координат,  < 0, Ҩ < 0
получаем функцию
1

2 
− Ҩ отрицательно определенной.
Следовательно, при выборе:  ≥ max   ,  ≥ max  
в силу функционального равенства:
отрицательную
определенность
1

2
функции
 − Ҩ

в

1
2
( − 1)
суперпозиции
определения функций  ,  = 1, … ,  , т.е. везде в области  2 ≤ 
Таким образом, при начальном условии
покидает область () < .
2
получаем
областей
< 2 .
(0) <  решение () никогда не
162
Далее. Из вышеприведенных рассуждений также следует, что существуют
неубывающие, неограниченные, но конечные при любом  > 0

1

, 
1

функции
,  = 1, … , , такие, что при них неравенство:
 ,  < 0,  =  1 , … ,  ,  =  1 , … , 
выполняется также и в области  <  
1

,
1

<  при любом сколь
угодно малом .
Отсюда, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости получим
для данного  > 0: lim→∞  
1

,
1

=0.
Заметим, что, поскольку правые части уравнений (4.6.1) при условии (4.6.3)
непрерывны по ,  , то решение  ,  будет по ним также непрерывно. Отсюда
следует, что для любого наперед назначенного числа
найдутся
0 <  < 
такие конечные   ,   , что наступает такой момент  , когда впервые
выполняется равенство
имеем    ,  
 
= . Поскольку при этом вне области
 ≤
< 0, то это означает выполнение неравенства 2) теоремы.
Теорема доказана.
Сделаем обобщение.
Для
функций
 1 , … , −1 , +1 , … ,  ,  = 1, … , 
функцию
(1 , … , −1 ,  , +1 , … ,  ) назовем охватывающей, если для каждого 
выполняется функциональное отношение:
 1 , … , −1 , +1 , … , 

(1 , … , −1 , 0, +1 , … ,  ) .
Аналогично понятию  −частной системы введем в общем случае понятие
1 , … ,  − частной системы, 1 < ⋯ <  , получающейся «замораживанием»
координат  1 = ⋯ =   = 0 в уравнениях (4.6.1). Ее будем называть частной
h  порядка
системой (4.6.1).
163
В силу подобия  −частной и исходной систем уравнения каждой частной
системы
h  порядка
имеют функционально аналогичный (4.6.1) вид (ниже
обозначена перестановка 1 , … ,  = {}):
 1 = , … ,   = 
 =  ,  ∉ {}
 =
{}
{ }   { }
+
{} 
 { }
+
,
{}

где { } − вектор переменных с номерами, составляющими перестановку
{} = 1,2, … ,  − {},
{}

− матрица, получающаяся из  вычеркиванием строк и столбцов с
номерами 1 , … ,  ,
{}

− вектор, получающийся из  вычеркиванием элементов с номерами
1 , … ,  ,
{}


 (  = ),   − вектор переменных с номерами, составляющими
перестановку {}.
Но тогда, рассматривая для частных систем
h
и
h 1
порядков формы: {} =
   =  , {+1} =    = , +1 = 0
в виде: {+1} =   (+1 = 0) т.е. рассматривая  + 1 −частную систему, как
+1 −частную систему 1-го порядка от  −частной системы (4.6.1), можно
распространить утверждение данной теоремы на случай частных систем  −го и
( + 1) −го порядков.
Допустим теперь, что для частных систем
представляющих собой
всевозможные
вычленить в составе исходной
Ляпунова: 
 −2
(4.6.1) порядка  − 2 ,
двусвязные системы, которые можно
 − связной системы,
2
2
(1 , 2 ) = 1
+ 2
;  = 1, … , 2 .
существуют функции
164
Тогда из доказанной теоремы следует существование охватывающих функций
Ляпунова вида:

 −3
 1 ,  2 ,  3 = 21 + 22 + 23 ,  = 1, … , 3
для каждой тройки номеров
1 , 2 , 3 , которые индексируют всевозможные трехсвязные системы, и т.д. по
индукции. При этом векторные параметры ,  , полученные на предыдущем
уровне связности, играют роль входных параметров ∗ , ∗ для последующего
уровня.
В итоге получим выполнение теоремы для исходной системы (4.6.1).
Таким образом, настройку стабилизатора многосвязной квадратичной модели
можно было бы провести в различных комбинируемых двусвязных моделях,
«вложенных» нее.
Однако, для этого необходимо показать, что неявный стабилизатор (4.6.3) с
«усечением»
до
двух
переменных
позволяет
получить
отрицательную
определенность производной сферической функции Ляпунова для двусвязной
модели.
Покажем справедливость этого для внутренних точек центральной окружности
радиуса R0 на плоскости переменных "i   j" .
Уравнения возмущенного движения двусвязной модели с переменными
состояния i ,  j при неявном стабилизаторе (4.6.3) имеют вид:
i  liii  l ij j  Aiii i2  Aiji i j  Aijj 2j  Yi (i ,  j ) ,
 j  li ji  l jj j  Aiiji2  Aijji j  A jjj  2j  Y j (i ,  j ).
Функции Yi, j при этом в силу (4.6.3) выражаются зависимостями:
Yi ( i ,  j )   pi i 2j  Aijj 2j  qi i ,
(4.6.11)
165
Y j ( i ,  j )   p j j i2  Aiij i2  q j j .
(4.6.12)
Подставляя (4.6.12) в (4.6.11), получим:
i  l ij j  Aiii i2  Aiji i j  pii 2j  qi*i , qi*  qi  lii ,
 j  li ji  A jjj  2j  Aijji j  p ji2 j  q*j j , q*j  q j  l jj .
Тогда производную сферической функции Ляпунова для системы (4.6.11)
можно записать в виде:
V (i ,  j )   Bi i2  l i j  B j 2j ,
где Bi  pi 2j  Aiji  j  Aiii i  qi* ; B j  p ji2  Aijj i  Ajjj  j  q*j ; l  l ij  li j .
По критерию Сильвестра для отрицательной определенности V ( i ,  j )
достаточно выполнения системы неравенств:
Bi  0, B j  0 , Bi B j 
l2
 0.
4
(4.6.13)
В силу ограниченности в (4.6.1) величин Ai , Li существуют
максимальные
значения модулей коэффициентов:
Aiii
max
, Aiji
max
, Aiij
max
, Aijj
max
, l ij
max
, li j
max
, lii
max
, l jj
max
.
Нетрудно видеть, что тогда неравенства (4.6.13) при учете неравенства (4.6.10)
имеют возможные решения:
qi  R0 ( Aiji
qi  R0 ( Aijj
max
max
 Aiii
 Aiij
max
max
)
l max
)
l max
2
2
 lii
 l jj
max
, pi 
max
, pj 
Aiji
2
max ,
4
Aijj
2
max
4
.
166
Отсюда следует, что настройка стабилизатора многосвязной модели может
быть проведена в структурах комбинируемых в ее составе двусвязных моделей, а
сам алгоритм настройки заключается только в независимом увеличении
свободных параметров.
167
Выводы из главы 4
1 Неявный стабилизатор (, ) интервальной квадратичносвязной системы с
входными воздействиями в части  переменного [ ] можно построить на
основе модифицированной эллиптической функции Ляпунова (4.2.4) методом
погружения интервальной формы ее полной производной в
покрывающую
форму  2+3  с зеркальными И-матрицами (4.2.12) модульного переменного
 = (2, ).
2 Пусть 2+4 
есть
стабилизатора имеет вид
компенсатор И-формы
 2+3  . Тогда модель
 ,  = 1  + (, ), где 1 есть решение
уравнения: −2+4  =  1  . Данное решение, получаемое по формуле
(4.2.3) при учете (4.2.2), храктеризуется следующим:
- вне многообразия
 , задаваемого формулой (4.2.15), каждая компонента
вектора   представлена непрерывной линейно-кубичной формой переменных
,  с постоянными параметрами;
- в точках σ многообразия  величина разрыва 1-го рода любой компоненты
вектора  ограничена кубичным полиномом с постоянными коэффициентами
σ (), σ  = 0.
3 Время переходного процесса в асимптотически устойчивой системе с линейнокубичным стабилизатором при относительной трубке точности % имеет оценку
−


100
.9973+.6603
;  > 2.
168
4 Тождественное решение уравнения стабилизатора (4.1.5) при линейно-кубичном
задании  ,  в случае постоянных параметров дает формула бесконечного ряда
(4.5.16); реализуемая конечная модель определяется формулой (4.5.15). В случае
интервальных матричных параметров конечная модель стабилизатора может быть
получена в виде (4.5.18). Однако, для этого необходимо выполнение условия
(4.5.29), представляющего собой оптимизационную численную процедуру на
плоскости  − , где
 определяет формула (4.5.24), а  является входным
параметром системы (4.5.21).
5 Доказано, что возможна стабилизация системы по скорости на основе
информации только о центральных членах ее уравнений
динамики в явной
форме, при этом модель стабилизатора в каждом сепаратном канале является
двухпараметрической. Выбор начальных итераций данных параметров возможен
при настройках комбинируемых
двусвязных систем в составе исходной
многосвязной; при этом последующая коррекция (если необходимо) векторного
стабилизатора
многосвязной
системы
сводится
только
к
независимому
увеличению настроечных параметров (однонаправленная настройка).
169
Глава 5
Построение стабилизатора нелинейных систем с
полиномиальными ограничениями скорости возмущений
Рассмотрим задачу стабилизации нелинейной системы в следующей,
достаточно общей, постановке.
Даны уравнения возмущенного состояния модели системы в виде:
 =  ,  + (),
 ∈  - вектор возмущений переменных состояния;  ∈ 
где
- вектор
параметров;  ∈  - стабилизатор;  ∈  - неопределенная функция скорости
возмущений, но такая, что
значения
каждой
компоненты
 принадлежат
сплошной области ℜ () с граничными полиномами k-го порядка 
1

2
2 ,  , где 1 , 2 - известные векторы коэффициентов, при этом:

1
1 ,  = 
Другими
2
1 ,  и
2 ,  = 0;  = 1,  .
словами,
выберем

в
классе
функций
с
двусторонним
полиномиальным ограничением при условии  ,  = .
Рассмотрим возможный подход к построению в этих условиях стабилизатора
решения  =  (нуль-стабилизатор) следующего вида:
  ∈ 
1
 ,  = ∝+ ×  , 0+ ={0≤t<∞},
где  - открытая область, содержащая точку  = , при условии   = .
Такой стабилизатор назовем гладким.
170
5.1 Матрицы эквивалентных преобразований векторов высокого
порядка
По индукции введем вектор k-го порядка,  > 2:
()

(−1)
=   
()
,  = 1, … , ,  = , … , ; () = 1 ,
 ∈  , () ∈ (; ) ,
где (; ) обозначает ( − 1)-ю сумму натуральной последовательности
1, … ,  .
Рассмотрим произвольную таблицу T с ячейками □ :
□1,1 … □1, … □1, … □1, … □1, … □1,
□2,1 … … … □2,
 =1+−
…………………………………………
□−1,1 … … … □−1,
□,1 … … … □,
(5.1.1)
 =1+−
 =1+−
Расположим в (5.1.1) вектор  ∈ ++⋯++ , заполняя ячейки таблицы
последовательно по строкам слева направо компонентами  в порядке
возрастания индекса. (Например, во второй строке  расположатся компоненты
+1 … … …  + и т.д.) Содержимое произвольной ячейки
□, обозначим
(, ) и назовем значением ячейки.
Таблицу , заполненную таким образом, назовем  − проекцией  и
обозначим (). Обратное действие, т.е. получение вектора  из (), назовем
сборкой таблицы  и обозначим ().
Если какие-то ячейки представлены в виде блока элементарных ячеек, то
таблицу назовем блочной. Опишем следующее действие над таблицей.
171
Произвольно «размножим» некоторые (или даже все) ячейки, после чего
отдельная ячейка □, может оказаться на любых наперед заданных позициях
таблицы. Независимое число повторений ячейки □, обозначим  ,  , а новое
значение этой ячейки на любой ее позиции изменим пропорционально старому,
т.е. получим в виде:

,
(, ). Обозначим через  массив коэффициентов
(, ).
Новую таблицу 1 представим тройкой: 1 = [, Ɣ, ], где Ɣ обозначает закон
изменения таблицы . Если  ,  =  = , то запишем 1 = [, Ɣ, ]. Для
случая  ,  =  −1 (, ) запишем: 1 = [, Ɣ, ].
Действие над , задаваемое тройкой [, Ɣ, ], назовем тиражом таблицы 
парой [Ɣ, ]. Если таблица есть  − проекция некоторого , то получаем тираж
 − проекции  парой Ɣ,  в виде [(), Ɣ, ].
Рассмотрим для вектора () ,  ∈  блочную  − проекцию вида:
(−2)
12 (−2) 1 2 2
(−2)
22 2
… … … … … 1  −1  −1
(−2)
1  
(−2)
2  
… … … … … … 2  −1  −1
(−2)
(−2)
……………………………….
(5.1.2)
(−2)
2


(−2)
Преобразуем (5.1.2), заменив в строках 
,  = 2, … ,  на (−2) . Тогда
сборкой новой блочной таблицы  будет вектор  2 ∗ (−2) . (Если после этого
симметрично отразить  относительно диагонали, то получим квадратную
таблицу, сборкой которой будет вектор [2] ∗ (−2) .)
Поскольку множества различных компонент векторов
 2 ∗ (−2) и
()
совпадает, рассмотрим (  2 ∗ (−2) ) , как тираж (() ) конкретной парой
[Ɣ0 , 1]. Закон Ɣ0 регулярен и задан числами  и .
172
Пусть  ∈ (;) , тогда для скалярных произведений справедливо равенство:
   = (   , Ɣ0 ,  )  2 ∗ (−2) .
(5.1.3)
 ∈ (; ) ,  = 1, … , , через
Обозначим матрицу, состоящую из строк
( ; ). В силу (5.1.3) получим:
  ;    = (   , 0 ,  ; )  2 ∗ (−2) .
(5.1.4)
Равенство (5.1.4) определяет для матрицы  линейного преобразования
  ∈ (; ) матрицу () эквивалентного преобразования
 2 ∗ (−2) ∈
(2; )(−2;) .
Найдем теперь для () матрицу () эквивалентного преобразования
вектора [2] ∗ (−2) ∈ 
2 (−2; )
Пусть
.
 ∈  ,  ∈ ×(2;) .
Рассмотрим
произведение   2 ∗  . Для этого занумеруем столбцы  матрицы  в виде:
 =  + ,  = 1, … , ;  = 0, … ,  2;  − 1
и
«вырежем»
×(2;) , состоящие из столбцов  , + , +2 , … , +(
=

матрицы
2; −1)
 ∈
. (Обозначим:
 ).
Тогда с учетом (2.1.4) получим:
 2 ∗  =

=1 
  2 =
1
2

=1 
   2 =
1
2
N
2
i=1 ( )
Итак, для данной матрицы  справедливо:   =
1
2
N
i=1 
∗ .
(5.1.5)
 .
Объединяя (5.1.4) и (5.1.5), получаем следующий вывод:
  ;    =
1
Матрицу
1
2
2
(−2;)
 ( (
=1
  , 0 ,  ; )) [2] ∗ (−2) .
(−2; )
 ( (
=1
  , 0 , 
обозначим через × ∈ ×
2
−2;
.
для
(5.1.6)
 =   ;  ∈ ×(;)
173
5.2 Лемма о покрывающей конечной интервальной формы
Справедлива следующая лемма:
Для каждой конечной интервальной формы    ,  ∈  и любой наперед
заданной положительно определенной квадратичной формы 2  =  ,
где  ∈ × не имеет нулевых коэффициентов, можно указать
такую
интервальную форму  −2  , что:    <∈ 2 () −2  .
Доказательство
1) Очевидно, что любая форма представима в виде    =  〈〉(−1) . Иматрицу 〈〉 построим, используя технологию таблиц.
Рассмотрим ( () ) в соответствии с (5.1.2). Проведем тираж таблицы  парой
[Ɣ , 1],

где
закон
Ɣ
следующий.


Ячейку
1 1 2 2 …   , 1,2,…, ≥ 1, 1 + 2 + ⋯ +  = 
□,

  −1

значением
размножим по одной в
каждую из строк с номерами 1 , 2 , … ,  (при этом  ,  = )
1 1 … 
со
со значением

…   в строке с номером  ,  = 1, … ,  , где расположим ее в
порядке следования компонент вектора (−1) . Тогда значение каждой строки
новой таблицы составит именно (−1) (т.к. каждая компонента этого вектора
найдется и при этом не будет двух одинаковых).
Пусть 〈〉 есть интервальный вектор козффициентов формы    , так что
   = (〈〉,   ). Тогда:
〈〉 =  〈〉 , Ɣ ,  .
(5.2.1)
2) Пусть  ∈ × - некоторая положительно определенная матрица, не
содержащая нулевых коэффициентов, 〈〉 ∈ ×(−3; ) - интервальная матрица.
Представив:
174
(2)
(−2)

  
()
 = ( )( 〈〉 −3 ,  
 =  〈〉 −1 ,  > 3 ,
выясним условия выполнения интервального отношения:
( )( 〈〉 −3 ) ∋>  〈〉 −1 .
Обозначим:
〈 〉 = [〈 〉]
(5.2.2)
столбцы
-
〈〉,
 = 1, … ,   − 3;  ;  = 1, … , .
Тогда:
( 〈〉) −3 = [(
−3
где 
 −3;
=1

 =1 
−3
〈 〉
) ] = [(  〈〉  ∗  −3 ) ],
- -я компонента вектора  −3 ,  = 1, … ,   − 3;  ;  = 1, … ,  ,
(〈〉) - сборка матрицы 〈〉.
Полагая  = ( ; ), далее получаем:
( 〈〉) −3 = [

 =1 
  〈〉  ∗  −3 ) =
= [ ( ∗  〈〉 ) ∗  ∗  −3 ) =  ∗  〈〉  2 ∗  −3 .
Отсюда, поскольку:  〈〉 −1 =  [〈〉× ] 2 ∗  −3 , условие выполнения
(5.2.2) получаем в виде:  ∗  〈〉 ∋> [〈〉× ] .
Представим
〈〉× =

〈〉×  , где матрица
〈〉×

состоит из столбцов
матрицы 〈〉× с номерами ,  + , … , ( − 1);  = ( − 3; ). Тогда  −й
элемент  (〈〉) сборки матрицы 〈〉, равный коэффициеннту 〈 〉, где числа
,  < ( − 3; )
удовлетворяют
уравнению
 =  − 1   − 3;  + ,
есть
решение интервального отношения:
〈〉 ∋> 〈〉×  .
(5.2.3)
Если  не содержит нулевых коэффициентов, решение отношений (5.2.3)
существует для всех , и следовательно, для любой 〈〉 и наперед выбранной
положительно определенной  без нулевых коэффициентов всегда можно
построить такую 〈〉 = 〈()〉 , что будет выполняться (5.2.2). Лемма доказана.
175
5.3 Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной
интервальной формы
В соответствии с прямым методом Ляпунова стабилизатор  найдем из условия
отрицательной определенности скалярной функции:
() =  ( ,  + ()).
Величину    = () назовем приведенным стабилизатором. Поставим
требование непрерывности функции ().
Пусть
есть
〈 〉,  = 1, … , 
И-вектор
〈 〉 = 〈 1 , 2 ,  1 , 2 〉,  = 1, … , ,
коэффициентов полиномов 
  = 
1,2
〈〉,  =
1,2
где
с
1 , 2
компонентами:
-
векторы
. Введем интервальные полиномы:


=1  
 .
Справедливо интервальное отношение:
  ,  =
()
где  

=1  
 =
,  <∈
()

=1   ()

=1 
  =
()
+1
=2  
 ,
.
Отсюда следует, что отрицательной определенности  
добиваемся на
решении:
  = −Ψ
+1
=2
()
 

=−
()
+1
=2 Ψ[ 
 ].
Для случаев  = 2; 3 формулы построения компенсаторов, как уже было сказано,
приведены в параграфе 2.5.
Пусть  > 3.
Представим:
()
 
 =  〈〉 −1 и
выберем
некоторую
положительно определенную матрицу  вида:
 =    −1 ,  = 1, ; 0 < 1 < ⋯ <  ,  =  ,
(5.3.1)
176
где  ∈ × – невырожденная матрица, так что норма  есть функция .
Основываясь на лемме о покрывающей, запишем систему интервальных
отношений:
 〈 〉 −2−1 <∈ ( )( 〈+1 〉 −2−3
 = 0, … ,  ′ − 1;  ′ =
−1−
2
,
(5.3.2)
,
 = 1, если  − четно;  = 2, если  − нечетно; 〈0 〉 = 〈〉.
Последовательно применяя свойство подстановки покрывающего, получим
результат:
′
 〈〉 −1 ∈ ( ) ( 〈 ′ 〉 
.
(5.3.3)
()
Если  〈〉 −1 обозначает форму  
(+1)
выбранной , обозначим  
 , то форму  〈 ′ 〉  , зависящую от
∣ .
Поскольку  положительно определена, из (5.3.3) следует:
[ 
′

+1
 ] = ( ) [ 
∣ ]
()
Таким образом, компенсатор формы  

(5.3.4)
при
 > 3 можно построить,
используя только формулы для случаев  = 2; 3.
Обратимся к построению приведенного стабилизатора   . Представим:
()
+1
=2  
()
+1
=2  
 =  
 =  
Если k − четно:
2 +(3)
2 +(3)
∣
(2)+(3)
∣ =
где  
4 +(5)
 + ⋯ +  
()
+1
=2  
(2)+(3)
<∈  
 +  
 <∈

=2,4,…, ( )
()+(+1)
 + ⋯ +  
−1 +()

=2,4,…, ( )
−2
2
,
(2)+(3)
=2,4,…,
 
(+1)
 +  
∣ .
−2
2
 ,  − четно ,
 ,  − нечетно.
(2)+(3)
 
 ∣  <∈
177
Если  − нечетно:
+1

=2  
+( )
−1
2
(2)+(3)
 
−2
 <∈

=2,4,…,−1( ) 2
 +1
2

∣ =
2 +3
 ∣  <∈  
(2)+(3)
=2,4,…,−1  
∣ +

=2,4,…,+1( )
∣
∣
 +1
2 +3
+1

=2  
Отсюда следует:
2 +3
 
 <∈ ( ) 
2

−2
2
,
∣ .
∣ ,
где положительно определенная функция  равна:

   =

=2,4,…, ∗ (
)
−2
2
; ∗ - ближайшее четное не меньше .
На основании свойства замещения форм приведенный стабилизатор получаем
в виде:
2 +3
  = −   Ψ  
2
=−   (
4
 ∣  + 
∣ =
∣ )
2
(Постоянные строгие формы 
4
 ∣  и 
(2;3)
материала параграфа 2.5 для формы  
Для функции   
(5.3.5)
 ∣  строятся на основании
∣ )
в (5.3.5) можно получить другую формулу, если
поступить следующим образом. Изменим отношения (5.3.2), записав их так:
 〈 〉 −2−1 <∈ (

+1
)( 〈+1 〉 −2−3 .
(5.3.6)
Это возможно, поскольку в пункте 2) доказательства леммы параграфа 4.2
требование к матрице положительно определенной квадратичной формы (ПКФ)
сводится только к отсутствию в ней нулевых элементов. Следовательно, в
рекуррентных отношениях (5.3.6) матрицы ПКФ могут быть различны.
Тогда вместо (5.3.3) придем к отношению:
178

 〈〉 −1 ∈ (
′ !
′
) ( 〈 ′ 〉  ,
а функция    в результате получит следующую оценку:
   =
∗
 

=0( ! )
< 
 
≤ 
 2
,
(5.3.7)
где 2(∗ + 1) - ближайшее четное не меньше ;  - наибольшее собственное
число матрицы .
Пусть 2 () (2;) , 4 () (4; ) ) есть векторы коэффициентов форм
сответственно
2

4
 ∣  , 
 ∣  в (4.3.4). Рассмотрим две T-проекции
вида (5.1.2): ((2) ), ((4) ) и согласно (5.2.1) определим матрицы:
1 () =  2 , Ɣ2 ,  ∈ × , 3 () = [ 4 , Ɣ4 , ] ∈ ×
3;
.
Тогда гладкий стабилизатор, удовлетворяющий (5.3.5) получим в виде:
  = −   (1 () + 3 () 3 ),
(5.3.8)
а в случае выбора (5.3.7) справедливо:
  = − 
 2
(1 () + 3 () 3 ),
(5.3.9)
при этом для данного  > 0 и невырожденной матрицы  ∈ × матрица 
удовлетворяет уравнению (5.3.1).
Вычисление зависимостей (5.3.8,9) – это вопрос программной процедуры,
которая для своего оформления требует дополнительно к представленному здесь
материалу только математической формализации закона ℙ0 изменения таблицы
(5.1.2). Задача определения ℙ0 относится к классу комбинаторных задач, не являясь
проблеммной.
179
Выводы из главы 5
1 Формула покрывающей специального вида для произвольной конечной (в смысле
порядка и переменных) однородной интервальной формы может быть получена с
помощью
зквивалентных
преобразований
векторов
высокого
порядка
с
использованием аппарата таблиц.
2 Построение нуль-стабилизатора полнозамкнутой неизвестной динамической
системы
общего
вида
производной вектора
при
заданных
конечно-полиномиальных
границах
переменных состояния может быть проведено на основе
данной формулы методом дедуктивного спуска.
180
Глава 6
Экспериментальное исследование метода модульных форм
В главе рассматриваются примеры некоторых задач по теме исследования и их
решения на основе теоретических результатов работы.
эксперименты
по
подтверждению
эффективности
Вычислительные
предлагаемых
решений
проведены в системе MATLAB [110,111] на основе построенного программного
комплекса,
обеспечивающего
моделирование
разработанных
средств
стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией
получаемых результатов.
6.1 Пример абстрактной системы
Сформулируем задачу.
Дан
объект
с
возмущенным
движением,
описываемым
следующей
квадратичной системой дифференциальных уравнений:
m
m
m
w i   ij (t )w j    kj( i ) (t ) wk w j  i ( w, t ) ,
i 1
k 1 j 1
w  R m , i  1,..., m .
(6.1.1)
Здесь:  - возмущенные переменные,
 i () - искомые функции этих пере-
менных, называемые ниже управлениями, t - время.
181
Неизвестные
(в общем
случае
переменные)
значения
коэффициентов
ij (t ) , kj(i ) (t ) ограничены в интервалах:
ijmin  ij (t )  ijmax ,  ikjmin   kj(i ) (t)   ikjmax , 0  t   .
Задачей управления объектом является асимптотическая стабилизация системы
(6.1.1) в нуле.
Назовем стабилизацию системы   жесткой , если выполнено неравенство:
max
i
i
  , 0  t   . Величина 
t
может рассматриваться, как косвенная
 0
характеристика сложности реализации обратных связей системы;
характеризует обратные связи с постоянными коэффициентами. Требуется при
отсутствии ограничений на  i () решить задачу при   0 .
Весь вектор состояния
w доступен измерению.
Будем считать управления  не зависящими от времени и выберем их из
условия
знакоотрицательной
полной
производной
на
решениях
(6.1.1)
m
сферической
функции
V ( w )   wi2 .
Ляпунова
i 1
Это
означает
решение
относительно  ,  = 1, … ,  при всех w следующего неравенства:
m
m
m
i 1
j 1
i 1
m
m
m
 wi  ij (t ) w j   wi   kj(i ) (t )wk w j   wii ( w)  0 ,
k 1 j 1
i 1
причем равенство достигается только при w  0 .
Обозначим:
m
m
 w   (t ) w
s 1
i
i 1
ij
j
~
 Frm2 ( w) ;
m
m
m
 w  
i 1
i
k 1 j 1
(i )
kj
 3 ( w).
wk w j  Fr
m
Представив  i ( w)   i' ( w)   i'' ( w) , выберем  i' ,  i'' из условий соответственно:
(6.1.2)
182
m
 2 ( w) ,
  wii' ( w)  Ftm2 ( w)  Fr
m
(6.1.3)
i 1
m
 3 ( w).
  wii'' ( w)  Flm2 ( w)  Flm4 ( w)  Fr
m
(6.1.4)
i 1
Для решения (6.1.3) представим :
m
 2 ( w)    min ,  max w2    min ,  max w w .
Fr
m
ii
ii
i
ij
ij
i j
i 1
(6.1.5)
i j
Тогда:
Ftm2 ( w)  ( ci wi )2   ij ( wi2  w2j )  ( ci wi )2   ( ij   ji )( wi2  w2j ),
i j
i
ci  max( 
min
ii
,
max
ii
i j
i
ijmin  2 ci c j ijmax  2 ci c j
), ij   ji  max(
,
).
2
2
(6.1.6)
После этого получаем решение (6.1.3) в виде:
i' ( w)  (ci   ( ij   ji ))wi  ci  c j w j , i  1,..., m.
j i
(6.1.7)
j i
Для выполнения (6.1.4) применим теорему о компенсаторе интервальной
формы параграфа 2.5. Записав полученную в результате сумму форм в виде:
Ftm2 ( w)  Ftm4 ( w)   aii wi2  bij wi w j   si wi4   rij w 3i w j   gij wi2w2j   ijk wi2w j wk ,
i j
i
i j
i
i j
i  j k
предложим частное решение неравенства (6.1.4):
k'' ( w)  akk wk2  
j k

k i  j
kij
3
wk wi w j 
bkj
2

j  k i
w j  sk wk3  wk2 
k j
 jki
3
w2j wi 

j i  k
 jik
3
rkj
2
wj  
w2j wi .
k j
rjk
2
w3j wk 
j k
g kj
2
w2j
(6.1.8)
Окончательно получаем  i ( w), i  1,..., m в виде суммы зависимостей (6.1.7) и
(6.1.8).
Рассмотрим пример решения для некоторой системы третьего порядка.
183
Требуется управлениями  i ( x ), i  1,2,3 стабилизировать в нуле следующую
дифференциальную систему переменного x  R3 :
x1  1, 3 x1  2, 4 x2  3, 5 x3  0, 3 x12  1, 1 x22  1, 0 x32 
 1, 2 x1 x2  2, 1 x2 x3  1 ( x ),
x 2  0, 1 x2  5,  2 x3  7, 0 x1 x3  1, 2 x12  2 ( x),
(6.1.9)
x3  2, 5 x1  1, 0 x2  0, 1 x22  2, 2 x1 x2  5,  3 x1 x3  3 ( x).
Систему (6.1.9) полнозамкнутая в смысле управления каждой переменной
состояния, задаваемого нормальной системой дифференциальных уравнений,
своей компонентой стабилизатора  ( x) .
~
~
Составляем формы Fr32 ( x ), Fr33 ( x ) из равенства:
 2 ( x )  Fr
 3 ( x )   x ( x   ( x )) .
Fr
3
3
i
i
i
i
После приведения однородных членов получаем:
 2 ( x)  1, 3 x2  0, 1 x2  2, 4 x x  5, 10 x x  6,  2 x x ,
Fr
3
1
2
1 2
1 3
2 3
(6.1.10)
 3 ( x)  0, 3 x3  1, 1 x x2  2, 4 x2 x  6,  3 x x2  0, 1 x2 x  11, 3 x x x .
Fr
3
1
1 2
1 2
1 3
2 3
1 2 3
Вычислим
~
сначала Ftm2 (w)  Frm2 (w) при
Запишем коэффициенты
~
формы Fr32
m  3,
в
используя зависимости (6.1.6).
(6.1.10) в соответствии с (6.1.5):
11min  1, 11max  3, 22min  0, 22max  1,
12min  2, 12max  4, 13min  5, 13max  10, 23min  6, 23max  2, 33min  33max  0.
Теперь по формулам (6.1.6) находим:
c1  3.1  max(1; 3), c2  1.1  max(1; 0), c3  0  max(0; 0),
12   21  0.9  max(0.5 2  2 3.1  1.1 , 0.5 4  2 3.1  1.1 )  0.8465,
13   31  5.1  max(0.5 5  0 , 0.5 10  0 );  23   32  3.1  max(0.5 6  0 , 0.5 2  0 ).
Следовательно: Ft32 ( x)  ( 3.1x1  1.1x2 )2  0.9( x12  x22 )  5.1( x 21  x32 )  3.1( x22  x32 ).
184
Затем по (6.1.7) определяем части управлений  i( w), i  1,2,3 :
1( x )  [c1  ( 12   21 )  ( 13   31 )] x1  c1 ( c2 x2  c3 x3 )  9.1x1  1.85 x2 ,
2 ( x )  [c2 x2  (  21  12 )  (  23   32 )] x2  c2 ( c1 x1  c3 x3 )  5.1x2  1.85 x1 ,
(6.1.11)
  3 ( x )  [c3  (  31  13 )  (  32   23 )] x3  c3 ( c1 x1  c2 x2 )  8.2 x3.
~
Представив коэффициенты формы Fr33 ( x ) в соответствии с (1.5.2):
a1  0, 3 , a2  a3  0; g 21  1, 1 , g31  6, -3 , g32  0 ,
a21  2, 4 , a31  0, a32  0, 1 ; b321  11, 3 .
вычислим коэффициенты в соответствии с формулой (2.5.20):
1  4.1  max(0,3, 2)  1,  2  3  3.1  max(0,0, 2)  1,
 21  0.5(1  1)  0,  31  0.5( 3  6)  4.5, 32  0,
c21 '  4.1  max(2, 4,0), c21 ''  1.1  0.25(1  1) 2 ,  21  5.2,
c31 '  20.26  max(0,0,4.52 ), c31 ''  2.26  0.25( 3  6) 2 ,  31  22.52 ,
c32 '  1.1  max(0,1,0), c32 ''  0,  32  1.1,

321
 10.3  max(0.5 11  2 20.26  1.1 , 0.5 3  2 20.26  1.1 , 0.5 0  2 20.26  1.1 )  2 2.26  0,
 321  2( 20.26  1.1  2.26  0)  9.44.
Далее вычисляем формы, входящие в (2.5.20):
Fr11   21 x1  0,
Fr21   31 x1   32 x2  4.5 x1 ,
Fs12   21 x12  5.2 x12 ,
Fs22   31 x12   32 x22   321 x1 x2   321 ( x12  x22 )  32.82 x12  9.44 x1 x2  11.4 x22 .
Окончательно получаем выражение:
Fr32 ( x )  Fr34 ( x )  (1  2 x12 )(1 x12  x1Fr01 )  (1  x12 ) Fs02  (1  2 x22 )( 2 x22  x2 Fr11 ) 
 (1  x22 ) Fs12  (1  2 x32 )(3 x32  x3 Fr21 )  (1  x32 ) Fs22  (1  2 x12 )(4.1x12  x1  0)  (1  x12 )  0 
(1  2 x22 )(3.1x22  x2  0)  (1  x22 )  5.2 x12  (1  2 x32 )(3.1x32  x3  ( 4.5 x1 )) 
(1  x32 )(32.82 x12  9.44 x1 x2  11.4 x22 )  (42.12 x12  14.5 x22  3.1x32 )  (9.44 x1 x2  4.5 x1 x3 )  (8.2 x14 
6.2 x24  6.2 x34 )  9 x1 x33  (5.2 x12 x22  32.82 x12 x 23 11.4 x22 x32 )  9.44 x1 x2 x32 .
На основании (6.1.8) вычисляем части управлений  i'' , i  1,2,3 :
1''  42.12 x1  4.72 x2  2.25 x3  8.2 x13  4.5 x33  2.6 x1 x22  16.41x1 x32  3.147 x2 x32 ,
2''  14.5 x2  4.72 x1  6.2 x23  2.6 x2 x12  5.7 x2 x32  3.147 x1 x32 ,
(6.1.12)
185
3''  3.1x3  2.25 x1  6.2 x33  4.5 x32 x1  16.41x12 x3  5.7 x22 x3  3.147 x1 x2 x3.
В результате управления i ( x ), i  1,2,3 с постоянными параметрами получаем в
виде сумм соответственных зависимостей в (6.1.11) и (6.1.12). На рисунке 6.1
показан результат моделирования собственных (  i ( x )  0 ), а на рисунке 6.2 стабилизированных полученными управлениями решений системы (6.1.9) с
некоторыми,
случайным
образом
выбранными
в
обозначенных
интервалах,коэффициентами.
Рис.6.1. Собственное движение системы (6.1.9) при случайном выборе
коэффициентов
Рис.6.2. Стабилизированное движение системы (6.1.9) при тех же
коэффициентах
186
Приведенный результат подтверждает справедливость формул (1.5.20) и
(4.2.3). Достоинством решения является непрерывность функции стабилизатора
по переменным состояния системы и, как следствие, по времени.
Недостаток решения
заключается в непривлекательности вычислительной
процедуры для «ручного» расчета. Однако, этот недостаток полностью
устраняется, если перейти на программный режим вычислений. В этом случае,
как увидим из нижеследующего, трудоемкость «ручного» участия сводится к
минимальной.
Совместно с Макаровой Т.А. была разработана на функциональном языке
пакета MATLAB программа compensator для автоматических вычислений
функции
нуль-стабилизатора
системы,
задаваемой
совокупностью
дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Текст программы
приведен в Приложении А.
Для запуска программы вычислений стабилизатора системы вида (6.1.1)
пользователь помимо порядка системы должен ввести два массива.
Первый массив выражается двумя матрицами: 


11
⋮
=

 1
⋯
⋱
⋯

11
=
⋮

 1

⋯ 1
⋱
⋮

⋯ 
и

1
⋮
, так, что И-матрица  =  ,   составлена из


интервальных коэффициентов линейных слагаемых правых частей уравнений
(6.1.1).
Второй массив состоит из двух вложенных массивов  ,  размерностью
 ×  ×  каждый. Элемент   (, : , : ), 1 ≤  ≤  массива  представлен
правой треугольной матрицей, составленной из нижних граней коэффициентов
квадратичной формы i-го уравнения (6.1.1). Структура матрицы:
первая строка:




11
12
… 1(
−2) 1( −1)

1
187
вторая строка:
0



22
… 2(
−2) 2  −1

2
……………………………………………………………
(m-1)-я строка:
0
0 ……. 0

(
−1)  −1

(
−1)
m-я строка:
0
0 ……. 0
0


Аналогично из верхних граней коэффициентов квадратичной формы i-го
уравнения (6.1.1) образуется элемент  (, : , : ) массива  .
Таким образом, для рассмотренного выше примера достаточно было в
диалоговом режиме пакета MATLAB ввести простейшие команды:
n=3,
lmin=[1 2 3;0 0 -5;2 -1 0],
lmax=[3 4 5;0 1 -2;5 0 0],
smin(1,:,:)=[0 1 0;0 -1 -2;0 0 -1],
smin(2,:,:)=[1 0 -7;0 0 0;0 0 0],
smin(3,:,:)=[0 -2 -5;0 0 0;0 0 0],
smax(1,:,:)=[3 2 0;0 1 1;0 0 0],
smax(2,:,:)=[2 0 0;0 0 0;0 0 0],
smax(3,:,:)=[0 2 -3;0 1 0;0 0 0],
compensator,
после
чего
программа
выводит
стабилизатора системы (6.1.1).
линейную
и
кубичную
составляющие
188
6.2 Пример моделирования режима висения робота-вертолета
Приведем
пример
другой
системы
уравнений,
структурно
подобной
математической модели реального физического объекта.
Рассмотрим задачу
стабилизации горизонтального висения беспилотного
вертолета без буксируемого груза и при условии, что частота вращения несущего
винта строго постоянна. Уравнения динамики возмущенного в малом углового
движения аппарата можно с точностью до термов 2-го порядка записать в
соответствии с (1.2.13) без постоянных составляющих:
 =  −   ,
 =  −   ,
 =   +  ,
(6.2.1)
 = 11  +∝123   −∝113   +∝111 2 +∝133 2 + ℳ ,
 = 21  + 23  +∝212   −∝213   +∝223   + ℳ ,
 = −31  +∝311 2 −∝322 2 +∝333 2 +∝312   +  ,
где , ,  - углы курса, тангажа и крена планера в неподвижной СК,
 ,  ,  - проекции вектора угловой скорости планера на оси связанной СК ,
ℳ = 11  + 12  + 13  , ℳ = 21  + 22  + 23  ,
 ,  ,  - составляющие стабилизирующего момента винта.
Все коэффициенты положительны и вычисляются в соответствии с
пояснением к формуле (1.2.13) с учетом формул (1.2.10). Эти формулы в качестве
189
базовых (независимых) параметров используют: коэффициенты
1 , … , 5 ,
1 , … , 10 , моменты инерции планера  ,  ,  ,  и коэффициенты, зависящие от
характеристик несущего винта 1 , 2 . Обозначим:
 = 1 , … , 5 , 1 , … , 10 ,  ,  ,  ,  , 1 , 2 .
Будем в эксперименте определять коэффициенты по вышеуказанным
формулам с вектором независимых параметров , задаваемым с помощью
генератора случайных чисел с экспоненциальным распределением. При этом
группы 1 , … , 5 ; 1 , … , 10 и  ,  ,  ,  , 1 , 2 имеют различные средние. Это
представляется более обоснованным, чем приводить расчет коэффициентов в
(6.2.1) по модели реального вертолета, поскольку мы хотим показать
универсальность предлагаемого метода стабилизации.
Будем также полагать расчет коэффициентов неточным, а именно, допуск на
каждый расчетный коэффициент примем ±15% от его номинального значения,
т.е. рассмотрим систему (6.2.1) как интервальную.
Поскольку последние три уравнения (6.2.1) не зависят от переменных , ,  ,
целесообразно усложнить данную систему, чтобы попасть в класс уравнений,
рассматриваемых в данной диссертации. Обозначив:
 = 1 ,  = 2 ,  = 3 ,  = 1 ,  = 2 ,  = 3 ,
усложненную систему предложим в виде:
1 = 1 − 2 2 ,
2 = 2 − 3 3 ,
3 = 2 3 + 3 ,
1 = 11 3 +∝123 2 3 −∝113 1 3 +∝111 12 +∝133 32 +
+  − 2, 11 + 1, 32 +  − 2, 43 +  − 4.5, −21 2 + 3, 732 + ℳ ,
2 = 21 1 + 23 3 +∝212 1 2 −∝213 1 3 +∝223 2 3 +
(6.2.2)
190
+ 3, 71 +  − 10, 12 + 1, 23 +  − 14.5, 33 2 +  − 3, −112 +ℳ ,
3 = −31 1 +∝311 12 −∝322 22 +∝333 32 +∝312 1 2 +
+ 3, 41 + 0, 22 + 5, 73 + 1, 51 3 +  .
В
ходе
вычислительных
экспериментов
рабочее
значение
каждого
коэффициента  перед линейно входящими переменными выбиралось по
формуле:  =  +
  − 
3
, а в нелинейных термах значение конкретного
коэффициента  рассчитывалось в виде:  =  +
 − 
1.67
.
(Реальные
значения коэффициентов уравнений динамики для стабилизатора оставались,
вполне понятно, неизвестными.)
В целом программа вычисления коэффициентов уравнений динамики (6.2.2) и
функции ее стабилизатора приведена в Приложении В.
На рисунках 6.3-6.7 показаны результаты вычислительного эксперимента №1.
Рис.6.3. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
191
Рис.6.4. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
Рис.6.5. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
192
Рис.6.6. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−5 )
Рис.6.7. Функция квадрата нормы (сферическая функция) переменного  в
в стабилизированном движении
193
Проиллюстрируем оценку диапазона  – притяжения решения   = . Для
этого в последнем графике проведем увеличение на границе располагаемого
временнОго интервала. Результат приведен на рисунке 6.8.
Рис.6.8. Иллюстрация диапазона  – притяжения решения   = 
Таким образом, имеем малую величину диапазона около 6,33 × 10−7 . При этом
на данную величину не влияет начальное значение нормы вектора . Так, на
рисунке 6.9 показан аналогичный график для случая начальных значений
переменных 1 , 2 , 3 , увеличенных в 10 раз по отношению к случаю,
характеризуемому рисунком 6.8.
Для подтверждения стабильности подобных результатов в Приложении Б
приведены аналогичные рисунки еще по 4 экспериментам № 2 – 5.
Система (6.2.2) соответствует случаю 1 = , 2 =  в (3.5.14).
Проверим, остается ли  – притяжение решений   в ином случае. Для этого
усложним зависимости для производных переменного .
194
Рис.6.9. Иллюстрация независимости диапазона  – притяжения
решений   от увеличения начальных значений переменных
(множитель 10−8 )
Предложим уравнения в части переменного  в следующем виде:
1 = 1 − 2 2 + 101 + 31 2 + 232 ,
2 = 2 − 3 3 + 302 + 83 2 ,
(6.2.3)
3 = 2 3 + 3 + 73 + 512 + 103 2 .
Уравнения в части переменного  оставим прежними.
Результаты математического моделирования представлены на рисунках 6.10-6.13.
195
Рис.6.10. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)\
Рис.6.11. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
196
Рис.6.12. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Рис.6.13. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
(Для подтверждения стабильности полученных результатов в Приложении Б
197
приведены данные еще по 3 экспериментам №7 - 9 при разных коэффициентах
уравнений.) Как видим  – притяжение решения   =  остается в силе. На
рисунках 6.14-6.17 показаны движения в части переменного  
в обоих
вариантах и величина диапазона  – притяжения тривиального решения.
Рис.6.14. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Рис.6.15. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
198
Рис.6.16. Сферическая функция переменного  в стабилизированном дв-ии
Рис.6.17. Иллюстрация диапазона  – притяжения решения   = 
(множитель 10−10 )
199
Однако, уравнения (6.2.3) не отвечают требованиям теоремы об устойчивости
в малом комбинированной динамической системы, изложенной в §3.3, что
отражает рисунок 6.13: система (6.2.2) с новыми уравнениями (6.2.3) неустойчива
в нуле в части переменного  .
Для дальнейшего подтверждения теоретических выводов параграфа 4.3
приведем уравнения
асимптотически
системы (6.2.2) в части переменного  к виду с
 −устойчивым
тривиальным
решением,
если
  = .
Поскольку вид уравнений непринципиален, сделаем это наиболее «простым»
способом. Рассмотрим такую подсистему (уравнения в части переменного 
оставляем прежними):
1 = 1 − 2 2 − 101 ,
2 = 2 − 3 3 − 302 ,
3 = 2 3 + 3 − 73 .
На рисунках 6.18 – 6.21 приведены результаты моделирования решений.
Рис.6.18. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
(6.2.4)
200
Рис.6.19. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
Рис.6.20. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
201
Рис.6.21. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
Как и ожидалось, в последнем случае тривиальные решения как в части
переменного  , так и переменного  являются  −притягивающими.
Полученные результаты в вычислительных экспериментах подтверждают
обоснованность теоретических выводов работы.
В заключение примера отметим следующее. Величины стабилизирующих
моментов винта ∆ , ∆ , ∆ имеют то же самое термальное разложение по
переменным
 ,  ,  ,
что
и
найденные
линейно-кубичные
формы
с
положительными коэффициентами 1 , 2 , 3 функций стабилизатора системы
(6.2.1). Обозначим (при одинаковом упорядочивании слагаемых во всех
указанных формах) векторы коэффициентов
 =  ,  =  ,  =  , 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 3
202
соответственно в формах ∆ , ∆ , ∆ , 1 , 2 , 3 . Тогда, учитывая свойство
интервального компенсатора (см. окончание §2.5), коэффициенты при каждом 
надо искать, как решение интервальных неравенств:
11  + 12  > 1 − 13 3 ,
21  + 22  > 2 − 23 3 , поскольку ∆ = 3 .
Засчет соответствующего увеличения коэффициентов форм 1 и 2 можно
добиться того, что будут выполняться неравенства
1 − 13 3 > ′ > 0 ,
2 − 23 3 > " > 0 .
Достаточным условием решения системы неравенств:
11  + 12  > ′ > 0
21  + 22  > " > 0
является условие
получаем:
1− с2
 4
11 22  ≠ 12 21 , откуда, учитывая формулы (1.3.10),
≠ 2 (
3
 4
−

 4
). Окончательно заключаем, что достаточным
условием вычисления стабилизирующих моментов винта по найденным
функциям стабилизатора системы (6.2.1) является отсутствие общей части
интервальных чисел  4  и с2 с3 .
6.3 Пример моделирования позиционного режима движения
трехзвенного манипулятора
Перспективным направлением развития робототехники является построение
203
исполнительных систем на базе безредукторных приводов. Это повышает
точность
управления,
и,
что
очень
важно,
практически
исключает
автоколебательные режимы. Однако, отсутствие редукторов тут же сказывается
на существенном увеличении взаимовлияния степеней подвижности при
многозвенности
механизма.
Следствием
становится
неэффективность
использования традиционных методик синтеза следящих приводов на основе
сепаратного принципа.
Направлением решения возникающих задач является создание алгоритмов
стабилизации заданных движений, реализуемых на тактическом уровне в модели
системы.
Покажем на примере модели трехзвенного манипулятора, как можно
использовать метод форм при стабилизации позиционного режима движения
многозвенного механизма.
Рис. 6.22. Кинематическая схема манипулятора
204
Плоскоповоротного
типа
кинематическая
схема
трехзвенного
манипулятора приведена на рисунке 6.22, где показаны также введенные
обобщенные координаты. При
построении
модели динамики
механизма
использовались следующие примитивы: для 1-го звена - цилиндр длиной 1 и
радиусом  общей массой 1 с постоянной объемной плотностью; для 2-го и 3-го
звеньев – стержни длинами соответственно 2 , 3 и центральными массами 2 , 3
На конце последнего звена закреплена материальная точка массой 0 .
Введем обозначения:

( 3 + 0 )2
2
 3 + 0
= ∗ ; 3 + 20 = ′ ; 3 + 0 +
2
4
= .
Применяя последовательно формулу кинетической энергии свободного
твердого тела [52], получим матрицу инерции  , ,  = 1,2,3 всего механизма:
11 = 22 2 2 +
 1 2
+∗ 32 2 (2 + 3 ),
2
1
+ ′ 2 3 2 2 3 + 22 3 +
2
12 = 13 = 21 = 31 = 0, 33 = ∗ 32 ,
22 = 3 + 0 22 + ′ 2 3 3 + ∗ 32 +
 2  22
4
,
23 = 32 = (′ 2 3 3 + ∗ 32 )/2 .
Тогда модель динамики манипулятора можно представить в виде системы
уравнений Лагранжа в неявной форме:
11 1 + 1,2; 1 1 2 + 1,3; 1 1 3 = 1
22 2 + 23 3 + 1,1; 2 12 + 2,3; 2 2 3 + 3,3; 2 32 + 2 = 2 .
32 2 + 33 3 + 1,1; 3 12 + 2,2; 3 22 + 3 = 3
Здесь:
[, , ; ] - символы Кристоффеля 1-го рода [63],
(6.3.1)
205
, , ;  = (

 
+

 
−

 
)/2,
2 , 3 - потенциальные силы,
2 , 3 - активные обобщенные силы.
(Выражения указанных величин будут даны ниже.)
Обозначим через 0  ,  = 1,2,3 законы изменения обобщенных координат
манипулятора,
соответствующие
перемещению
его
концевой
точки
из
первоначального положения в другое, заданное. Рассчитанные по (6.3.1) с учетом
всех функциональных зависимостей величины активных обобщенных сил 0 ()
реализуют это движение при отсутствии
возможных параметрических и
сигнальных возмущений. Однако, на практике, когда такие возмущения
возможны, необходимо иметь стабилизатор заданного движения.
Представим:  = 0 +  ;  = 0 +  , где  ,  - возмущения координат
и скоростей движения. После этого необходимо записать уравнения (6.3.1) в
возмущениях; ограничимся при этом вторым порядком малости термов
возмущенного состояния системы. (Коэффициенты в (6.3.1), соответствующие
невозмущенному движению 0  , снабдим верхним или нижним индексом «0».)
С учетом только линейных членов разложения в ряд параметров в (6.3.1)
полагаем справедливыми следующие выражения:
  =   + 20
3
=1  
+ 0 20 ,
[, ; ]  = [, ; ]0 0  0 + [, ; ]0 0  + [, ; ]0  0  + [, ; ]0   +
+
3
=1 (
0  0 +  0  +   0  )  ,
2
, ;  2 = [, ; ]0 0
+ 2[, ; ]0 0  + [, ; ]0 2 +
(6.3.2)
206
+2
2
3
=1( 0
где  =

 
+  0  ) ,
0 ,
 =
 , ;
 
0 , 0 = [10 20 30 ] .
Записывая выражение суммарной потенциальной энергии звеньев и беря
частные производные по обобщенным координатам, посчитаем приращения
получающихся величин потенциальных сил:
∆2 = 9.8[−  +
∆3 = 9.8(3 +
2
4
0
2
Вводя векторы
2 2 20 + 3 +
0
2
3 cos 20 + 30
2 + 3 ],
)3 cos⁡
(20 + 30 )(2 + 3 ).
 = [1 2 3 ] ,  = [1 2 3 ] , (2) и используя (6.3.2)
для каждого уравнения (6.3.1), в итоге получаем систему в возмущениях:
 +  +  + (2) +  ∗  = ∆..
(6.3.3)
где , ,  ∈ 3×3 ,  ∈ 3×6 ,  ∈ 3×9 - действительные переменные матрицы:
11
= 0
0
0
22
32
0
23 ,  =  ,  =  , ,  = 1,2,3 ,
33
0
 = 211
311
112
0
0
113 0
0
0
0 322
0
= 0
311
0
0
321
0 112
0 212
0 312
Матрица
0
223
0
122
0
322
0
233 ,
0
132 113
0 213
0 313
123
223
323
133
233 .
0
 была указана ранее. Запишем выражения коэффициентов
остальных матриц:
11 = 0, 12 = 112 10 + 1212 10 20 + 1312 10 30 ,
207
13 = 113 10 + 1213 10 20 + 1313 10 30 ,
21 = 21 ,
22 = 22 + 9.8[−  +
23 = 23 + 9.8 3 +
2
4
0
2
2 20 + 3 +
0
2
3 cos 20 + 30 ] ,
3 cos 20 + 30 ,
2
2
где 2 = 22 20 + 23 30 + 112 10
+ 332 30
+ 232 20 30 ,  = 1,2,3 ,
′
31 = 31
,
′
3 = 3
+ 9.8 3 +
0
2
3 cos 20 + 30 ,  = 2,3 ,
′
2
2
где 3
= 113 10
+ 223 20
+ 32 20 + 33 30 ,  = 1,2,3 ,
11 = 2([1,2; 1]0 20 + 1,3; 1]0 30 , 12 = 2[1,2; 1]0 10 , 13 = 2[1,3; 1]0 10 ,
23 = 2([3,3; 2]0 30 + 2,3; 2]0 20 , 21 = 2[1,1; 2]0 10 , 22 = 2[2,3; 2]0 30 ,
33 = 0, 31 = 2[1,1; 3]0 10 ,
32 = 2[2,2; 3]0 20 ,
112 = 2[1,2; 1]0 , 113 = 2[1,3; 1]0 , 211 = [1,1; 2]0 , 223 = 2[2,3; 2]0 ,
233 = [3,3; 2]0 , 311 = [1,1; 3]0 , 322 = [2,2; 3]0 ,
112 = 1212 20 + 1312 30 , 113 = 1213 20 + 1313 30 , 122 = 1212 10 ,
123 = 1213 10 , 132 = 1312 10 ,
133 = 1313 10 , 212 = 21122 10 ,
213 = 21123 10 , 223 = 2323 30 , 233 = 23323 30 + 2323 20 ,
311 = 21131 10 , 312 = 21132 10 , 313 = 21133 10 ,
311 = 21131 10 , 312 = 21132 10 , 313 = 21133 10 ,
208
311 = 21131 10 , 312 = 21132 10 , 313 = 21133 10 ,
321 = 22231 20 , 322 = 22232 20 , 323 = 22233 20 .
Далее запишем выражения входящих параметров:
112 = 22 220 + ′ 2 3 sin 220 + 30 + ∗ 32 (220 + 230 ) ,
113 = ′ 2 3 cos 20 + 30  20 + ∗ 32 (220 + 230 ) ,
1212 = 2(22 220 + ′ 2 3 cos 220 + 30 + ∗ 32 (220 + 230 )) ,
1213 = 1312 = ′ 2 3 cos 220 + 30  20 + 2∗ 32 (220 + 230 ) ,
1313 = 2∗ 32  220 + 230 − ′ 2 3 20  20 + 30 ,
221 = 222 = 231 = 232 = 0, 223 = 233 = −′ 2 3 30 ,
1122 = −
323 =
 1212
 223
2
2
, 1123 = −
, 1132 = −
 1213
 1213
2
2
, 23323 = 2323 = 223 ,
, 1133 = −
 1313
2
.
При перемещении многозвенного манипулятора из позиции в позицию с
нулевыми начальными и конечными условиями по производным закон изменения
каждой обобщенной координаты механизма однотипно находят на основе
техники сплайнов, используя полином 5-го порядка [107]. Если задано время
перемещения , то для  − й обобщенной координаты формула изменения во
времени следующая [71]:
  = н + 10 −3  3 − 15 −4  4 + 6 −5  5 к − н , 0 ≤  ≤  ,
 0 = н ,   = к ,  0 =   =  0 =   = 0 .
(6.3.4)
209
Поэтому и в рассматриваемом случае полагаем, что закон заданного движения
0  ,  = 1,2,3 построен по зависимости (6.3.4), которая позволяет легко найти
также законы 0  , 0  ,  = 1,2,3.
Перепишем (6.3.3) в явном виде:
=
 = −−1  − −1  − −1 (2) − −1  ∗  + −1 ∆
.
(6.3.5)
Обращение (6.3.3) обосновано тем, что матрица  является положительно
определенной, как матрица формы кинетической энергии механической системы.
(Здесь не рассматриваются вопросы обусловленности матрицы инерции.)
Очевидно, что в силу тригонометрических зависимостей коэффициентов все
переменные матрицы в (6.3.5) ограничены в интервалах, которые легко
определить на законе движения (6.3.4) численным методом.
Таким
образом,
интервальной
можно
системы,
рассматривать
используя
метод
задачу
форм
стабилизации
модульных
в
нуле
переменных,
основываясь при этом на подходе, изложенном в § 4.2 и формулах (4.2.12).
В рассматриваемом примере в данных формулах следует положить:
  = , 1  = , 2  = ,   =  ,
  = −−1 0   0  , 0  ,   = −−1 0   0 
,
  = −−1 0   0  , 1  = −−1 0   0  , 0  , 0  .
После вычисления на законе (6.3.4) интервалов матриц −1 , , , , 
переходим к интервальной системе:
=
.
 = 1 +  + (2) +   ∗  + ()
(6.3.6)
210
где обозначено   = −1 ∆,  = (, ).
Здесь отличием от моделирования системы (6.2.1) предыдущего параграфа
является то, что там коэффициенты уравнений были некоторыми постоянными
величинами из заданных интервалов, не известными точно. В системе (6.3.5) все
параметры ограничены и известны точно (если конструктивные величины при
этом определены «точно», что, конечно же, является упрощением ситуации), но
переменны во времени. В этом случае можно было бы для задачи стабилизации
применить метод динамической коррекции, но стабилизатор не был бы тогда 0жестким, а это приводит к ужесточению требований к быстродействию и
точности вычислителя системы. К тому же, если конструктивные коэффициенты
определены лишь в интервалах, то параметры в (6.3.5) становятся не просто
переменными известными величинами, а неопределенными величинами в
известных переменных интервалах, и тогда метод динамической коррекции уже
неприемлем. Поэтому используем идею 0-стабилизации системы (6.3.5) с
помощью интервальной системы сравнения (6.3.6), в которой методом форм
модульных переменных вычисляется неявный 0-жесткий стабилизатор 1 ().
После этого находим
∆ = (1  + ).
Данный способ «работает» как при точном, так и при интервальном задании
конструктивных характеристик модели манипулятора.
Программа моделирования движений системы (6.3.6) при вычислении
неявного стабилизатора 1 приведена в Приложении Д.
Приведем примеры моделирования свободного (∆ = ) и стабилизированного
движения системы (6.3.5) из двух не связанных между собой конфигураций
механизма при рассмотрении нескольких различных начальных значений для
каждой. Для первой конфигурации время перемещения полагалось равным
 = 2.5 с, для второй время было уменьшено до  = 2 с; при этом норма
отклонения конфигурации №1 составила 0.8975, а №2 – 0.5499.
Такие
211
значения
вполне
соответствуют
позиционным
режимам
движения
исполнительных устройств современных роботов. Во всех вычислительных
экспериментах собственное возмущенное движение было расходящимся, в то
время
как
стабилизированное
движение
было
 −устойчивым
в
части
переменного  и  −притягивающим в части переменного .
Конструктивные параметры манипулятора были выбраны следующими:
0 = 1.5 кг, 1 = 12 кг, 2 = 8 кг, 3 = 6 кг ,
2 = 0.8 м, 3 = 0.5 м,  = 0.12 м ,
Вар.1: 1 = 0, 2 =
7
4
, 3 =
5
8
, ∆1 =

4
, ∆2 =

3
, ∆3 =
2
3
(рад).
Ниже на рисунках 6.23-6.26 показаны результаты эксперимента №1. В
Приложении 4 показаны аналогичные результаты экспериментов №2,3.
Рис.6.23. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
212
Рис.6.24. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
Рис.6.25. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
213
Рис.6.26. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
Изменим вариант перемещения манипулятора. Результаты моделирования
показаны на рисунках 6.27-6.30.





2
3
4
4
5
Вар.2: 1 = , 2 = , 3 = − , ∆1 = − , ∆2 =
, ∆3 = −

9
(рад).
Рис.6.27. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
214
Рис.6.28. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
Рис.6.29. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
215
Рис.6.30. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
В Приложении Г приведены аналогичные результаты экспериментов №5,6.
Как видим, перемена варианта движения не отразилась на результатах, что
характеризует хорошие робастные свойства алгоритма стабилизатора.
6.4 Эксперимент на малогабаритном беспилотном вертолете
В рамках инициативного проекта по созданию малогабаритного беспилотного
летающего аппарата (ЛА), выполнявшегося на основах самофинансирования ЗАО
«Спецкомплектприбор» (г.Москва), был проведен натурный эксперимент по
стабилизации робота-вертолета с диаметрами: несущего винта 1.72 м, хвостового
винта 0.26 м.
1 Условия эксперимента.
216
Вертолет
располагался
на
тензометрическом
стенде
с
габаритами
1.42×1.42×1.05 м, состоящем из одной статорной и двух роторных рамок
прямоугольной формы, соединяемых между собой специальным образом с
помощью 6-ти однокомпонентных тензометрических модулей фирмы «Тензо-М»
(Моск. обл., пос.Красково) промышленного уровня изготовления. 4 модуля
измеряли изгибающую силу (< 25 Н) и 2 – крутящий момент (< 15 Нм). Два
модуля силы и один модуль момента крепили первую роторную рамку к
статорной, располагаясь на их параллельных ребрах на поперечной оси
симметрии рамок; три других крепили вторую роторную рамку к первой
аналогичным образом, но на продольной оси симметрии.
После процедуры калибровки и развязки измерений, стенд позволял получать
величины моментов тангажа, крена и курса, а также продольной и поперечной
сил, действующих на планер ЛА.
Вертолет располагался на трехосном шарнире типа карданова подвеса с
возможностью телескопического вертикального выдвижения (подъема) на 0.14 м,
вследствие чего обеспечивались 4 степени свободы аппарата на стенде. Центр
давления несущего винта аппарата располагался на высоте ≈ 1.8 м.
Стенд находился в подвальном помещении 3.1× 4.7 ×2.8 м, оборудованном
системой вытяжки отработанных газов и закрываемом дверью из прозрачного
противоударного стекла. В соседней комнате
находился человек-оператор и
электронное оборудование (компьютерная сборка); связь с многокомпонентным
навигационным измерителем координат/скоростей аппарата осуществлялась
шлейфами. Также был предусмотрен радиоканал.
Вертолет на стенде показан в Приложении Е.
Малые габариты рабочего помещения не позволяли обеспечить безвихревую
природу воздушных потоков при работе несущего винта вертолета. Таким
образом,
эксперимент
проводился
в
достаточно
тяжелых
условиях
нестационарных воздушно-вихревых нагрузок ЛА. В таких условиях ставилась
217
задача обеспечить в автоматическом режиме горизонтальное висение вертолета с
ориентацией по курсу при высоте подъема над площадкой закрепления примерно
5-7 см.
2 Структура борта.
Схема бортового оборудования аппарата представлена в Приложении Ж.
Платы используемых электронных устройств промышленного исполнения
показаны в Приложении И.
3 Устройство и математические основы бортового датчика ЛА.
Основу автопилота представлял многокомпонентный бортовой измеритель
углов и скоростей планера ЛА, являвшийся оргинальной разработкой ЗАО
«Спецкомплектприбор» при участии автора данной работы.
Датчик углов/скоростей без внешнего корпуса показан на рисунке 6.31. Он
имеет кубическую форму. На каждой из трех ортогонально примыкающих друг к
другу граней куба расположен акселерометр марки ADXL202 фирмы Analog
Device с измерительной осью, коллинеарной одной из осей декартовой системы
координат, нормально связанной с кубом, и датчик угловой скорости вокруг
нормали к грани серии ENC-03J фирмы Murata. На трех оставшихся гранях куба
расположены чувствительные элементы Hb0103A и схемотехника магнитометра
для измерения угла курса аппарата.
Современные навигационные системы, как правило, представляют собой
интегрированные комплексы, в состав которых входит приемная аппаратура
спутниковых данных, используемых для коррекции интегрирующих процедур в
целях
получения
максимальной
точности
определения
навигационных
параметров.
Однако, в условиях описываемого эксперимента спутниковая информация
была недоступна, поэтому интегрирующая процедура обработки угловых
скоростей неизбежно и за весьма короткий отрезок времени привела бы к
218
существенной накопленной ошибке, порождаемой шумами измерений, особенно в
случае их ненулевого знакопостоянного интервального среднего. Поэтому
возникла
задача
построения
недорогого
датчика
навигационных
углов,
способного длительное время работать в автономном режиме без спутниковой
коррекции.
Распространенным методом фильтрации шумов является метод КалманаБьюси [107], в соответствии с которым полезная информация представляется
векторным процессом, описываемым системой дифференциальных уравнений,
дополняемой
уравнением
измерений,
в
которое
входит
вектор
шума.
Эффективность этого метода прежде всего определяется знанием ковариационной
матрицы шума, которую, к сожалению, можно получить далеко не всегда.
Так, например, сигнал линейного акселерометра  представляется в виде:
219
Рис. 6.31. Измеритель угловых координат и скоростей ЛА.
 = (− + , ), где  - вектор линейного ускорения,
свободного падения,
 - вектор ускорения
 - орт в положительном направлении измерительной оси
акселерометра. При измерениях угла между вертикалью и осью акселерометра
линейное ускорение выступает, как шум с неизвестной ковариационной
матрицей.
Однако, при отсутствии инерционного компонента сигнал акселерометра дает
состоятельную оценку измеряемого угла. Ее можно было бы назвать дискретносостоятельной.
Отсюда,
задачу
построения
алгоритма
автономного
функционирования датчика углов можно свести к задаче комплексирования
интегралов
угловых
скоростей
и
дискретно-состоятельных
сигналов
акселерометра.
Постановка задачи
Пусть искомая переменная () имеет две оценки
() и
(). Оценка
()является везде состоятельной и получается интегрированием наблюдаемой
220
переменной ():
  =


  + (), где () - сигнал шума с нулевым
средним. Оценка () является состоятельной только в дискретные моменты
времени  .
Требуется построить дискретный фильтр, обеспечивающий
коррекцию интеграла () на основе взвешивания двух оценок () и ().
Такой фильтр позволяет реализовать следующий алгоритм измерения (): на
всем
интервале
( , +1 ]
величина
()
получается
интегрированием
наблюдаемой переменной (); в момент +1 выполняется коррекция интеграла,
и последующее интегрирование ведется с новым начальным значением и т.д.
Таким образом, достигается цель исключить накопление ошибки интегрирующей
процедуры получения непрерывно состоятельной оценки.
Решение задачи
Будем преследовать цель минимизировать дисперсию результата измерений
величины (). Введем обозначения:
 = ( ) – функция первой оценки в виде интеграла наблюдаемой с
аддитивным шумом производной оцениваемой величины в момент  ,
 = ( ) - функция второй оценки в момент  ,
 =  −  - рассогласование оценок,
∗ = 1 −   +   - взвешенная оценка в момент  ,
0 <  < 1 - коэффициент взвешивания,
 - истинное значение переменной () в момент времени  ,
∆ =  − ∗ - поправка интеграла,  =  −  - поправка 2-й оценки,
 = ∗ −  - отклонение взвешенной (результирующей) оценки,
 - длительность интервала ( , +1 ],
 -интеграл шума () за время  с нулевым начальным значением.
221
Для +1 при обозначении  =
+1 = ∗ +

0


справедливо:
 +   +  +  +

0
 +  = +1 +  +  .
Вычислим дисперсию взвешенной оценки:
∗
∗
( +1
−  +1
]2 = ( 1 − +1 +1 + +1 +1 − +1 ]2 =
= ( 1 − +1 +1 +  +  + +1 +1 − +1 +1 − +1 ]2 =
= ([ 1 − +1 ( +  ) − +1 +1 ]2 ) ,
где  -символ матожидания.
Обозначим далее:  ,  – дисперсии интеграла шума и поправки второй
оценки соответственно. Вследствие некоррелированности величин  и +1 ;  и
 ;  и +1
получим дисперсию  взвешенной оценки в виде функции
аргумента +1 :
 +1 = (1 − +1 )2  +  2
2
+ +1
 .
Отсюда, исходя из условия минимума данной функции, получаем значение
коэффициента взвешивания в момент времени +1 :
+1 =
 + 2
 + 2 −
.
Учитывая равенство
 =  − ∆ −  и некоррелированность величин
∆, ; , , найдем величину  = (2 ):
 =  2 +  ∆2 +  2 − 2( ∆ ) .
Принимая также во внимание, что ∆ =  
и обозначая  =  2 ,
∆ =  ∆2 , получаем функцию   =  = 1 − 2  + ∆ +  .
Заменяя величины  , ∆ их приближенными реализуемыми значениями  ,
∆ , получаем следующие формулы искомого фильтра:
222
 = (1/)

=− (
−  )2 , ∆ = (1/)

=−
∆2 ,
 = 1 − 2  + ∆ +  ,
+1 =
 +
 + −
,
∗
+1
= 1 − +1 +1 + +1 +1 ,
∗
∆+1 = +1 − +1
,
где  – принятая глубина выборки усреднения.
Таким образом, априорная подготовка фильтра заключается только в
определении дисперсий  ,  .
Главным условием успешного функционирования такого фильтра является
верный выбор тех моментов времени  (моменты коррекции), в которые оценка
 является состоятельной. При обосновании моментов коррекции принималось
во внимание то обстоятельство, что в условиях стендовых испытаний всегда
существовала неподвижная точка, а именно – точка пересечения осей карданова
подвеса ЛА (центр подвеса). Тогда, поскольку для точки центра акселерометра
каждой грани датчика справедливо уравнение:  =  ×  +  × ( × ) , где  –
вектор линейного ускорения точки;  - вектор угловой скорости ЛА;  - радиусвектор точки в системе координат ЛА, параллельно смещенной в центр карданова
подвеса, за момент коррекции в условиях малых угловых скоростей качания ЛА
можно принять условие  = . В этот момент сигнал акселерометра определяет
угол между его измерительной осью и вертикалью.
На практике за момент коррекции выбирался такой момент времени, до
которого в течение назначенного числа  измерений на частоте квантования
бортового вычислителя (1 кГц) постоянно выполнялось
 < , где  –
достаточно малое число. Параметры  и  подбирались экспериментально и в
итоге составили  = 75;  = 0.008 1/с2 .
223
4 Статическая развязка привода несущего винта.
Характерной особенностью работы автоматов перекоса лопастей винта
является их связность. Так, управление рулевой машинкой тангажа ЛА приводит
к появлению не только момента по тангажу планера, но и момента по его крену, и
наоборот, аналогичная картина взаимовлияния возникает и при управлении
креном.
Объясняется это не столько неточностью конструктивного исполнения,
сколько
аэродинамическими
эффектами.
При
этом
относительная
доля
косвенного момента такова, что пренебречь ей нельзя. Так, на рисунке 6.32
показано влияние управления по моменту крена ЛА на момент его тангажа:
вверху без развязки каналов, внизу – с развязкой.
Синим и оранжевым цветами показаны цифровые сигналы управления
рулевыми машинками в масштабе 10:1 по каналам крена и тангажа
соответственно; красным и зеленым – моменты крена и тангажа на несущем винте
вертолета.
Аналогично на рисунке 6.33 представлена информация о влиянии управления
по моменту тангажа ЛА на момент его крена.
Опишем процедуру теоретического решения задачи статической развязки
каналов управления ЛА по тангажу и крену.
Решение задачи развязки
С помощью тензостенда в достаточных диапазонах численных сигналов
управления рулевыми машинками были построены поверхности моментов
тангажа и
крена. Они показаны в Приложении К. (Сигналы управления
машинками даны в цифровых величинах, значения момента даны в Нм.)
Сигналы управления по одной координатной оси обозначим , по другой .
Необходимо для заданных т = 1 = , кр = 2 =  найти пару
224
{ , }, соответствующую им обоим одновременно.
Рис.6.32. Влияние управления по моменту крена ЛА на момент его
тангажа: вверху без развязки каналов, внизу – с развязкой
225
Рис.6.33. Влияние управления по моменту тангажа ЛА на момент по крену:
вверху без развязки каналов, внизу – с развязкой
Обозначим: т ,  =  ,  , кр ,  = (, ). Обратимся сначала к
описанию функции .
В каждой ячейке  , +1 × [ ,  +1 ] прямоугольной
сетки аргументов  ≤  ≤  ,  ≤  ≤  постоянного координатного
шага
(соответственно
, )
со
значениями
функции
в
узлах
, ; , +1 ; +1, ; +1, +1 запишем известное выражение сплайна первой степени
2-х переменных  ,  [108]:
 ,  =
 +1 −  +1 − 
 − 
, +
+1,



+
226
+
 −  +1 − 
 − 
(
, +1 +
+1, +1 )



и далее приведем его к виду:  ,  =  +   +   +   ,
где  =
 =
 =
 =
1

1

1

1

( +1 +1 , −  +1  +1, −  +1 , +1 +   +1, +1 ),
(− +1 , +  +1 +1, +  , +1 −  +1, +1 ),
+1 (, +1 − , +  (+1, − +1, +1 ),
(, − +1, − , +1 + +1, +1 ).
Будем фиксировать  с шагом  ∗ = /, где  −целое (в эксперименте
 = 15) и на каждом  − м шаге для значения  ≤ ( ∗ ) ≤  +1 решать
относительно  для всех  в диапазонах  ≤  ≤ +1 уравнения:
( +  ( ∗ )) = − −  ( ∗ ) + 1 .
Если для данного  в указанном диапазоне решение существует, то оно
запоминается. Таким образом, найдем множество точек пересечения поверхности
 =  ,  плоскостью  = 1 .
Далее проводилась линейная интерполяция данного множества точек; при
этом специфика модели момента тангажа (равно, как и момента крена) была
такова, что получаемая кривая представляла собой график кусочно-линейной
функции, т.е имела однозначный характер по . Обозначим ее   .
Проводя аналогичную работу и с моделью кр ,  = (, ), получим
кривую пересечения поверхности  =  ,  плоскостью  = 2 . Обозначим ее
  .
Далее стандартным образом находим точку(и) пересечения кривых  
  , а именно: пробегая последовательность равноотстоящих точек аргумента
и
227
0 =  , … ,  = 0 + , +1 = 0 +  + 1 , … ,  ,
где  −достаточно малый шаг,
находим такое , что выполняется:   <   ,  +1 >  +1 , после
чего способом медианного деления уточняем точку ∗ , такую, что
 ∗ ≈
 ∗ с точностью /8. (В эксперименте полагали  = 0.002.)
В итоге априорно получаем множества дискретных значений функций
сигналов управления рулевыми машинками канала тангажа   =    ,  и
крена  =   ,  . Данные множества затем линейно интерполировались,
получая непрерывные функции управления.
Вектор независимых массогабаритных параметров
 используемого в
эксперименте вертолета, рассмотренный в §6.2, был получен в результате
скрупулезной расчетно-графической работы, выполненной сотрудниками ЗАО
«Спецкомплектприбор» в режиме консультаций с ведущими специалистами
завода экспериментальных вертолетов «Камов».
Расчетные коэффициенты динамики ЛА, полученные в соответствии с [58]
(см. §1.3.3 данной диссертации), заключались в интервалы ±40%.
Таким образом, была получена интервальная модель динамики ЛА в режиме
висения в описанных выше условиях.
Для вычисления стабилизирующих моментов винта  , 
(и далее
управлений рулевыми машинками   ,  ) использовался программный продукт в
Приложении В аналогично задаче моделирования режима висения беспилотного
вертолета, изложенной в §6.2.
На рисунке 6.34 показаны типовые результата одного из экспериментов по
стабилизации ЛА в режиме горизонтального висения.
228
Рис.6.34. Аппарат в режиме стабилизированного горизонтального висения.
Верхний рисунок. Углы (рад): красный цвет – угол тангажа, зеленый- угол крена, синий – угол курса.
Средний рисунок. Сигналы управления рулевыми машинками (цифр.):
оранжевый цвет – по каналу тангажа,
фиолетовый– по каналу крена, черный – по каналу курса.
Нижний рисунок. Силы (Н): красный цвет – продольная сила,
зеленый – поперечная сила.
229
Выводы из главы 6
1 Программный комплекс стабилизатора по методу интервальных модульных
форм не требует подключения библиотек специальных функций. Он может быть
построен при помощи лингвистических средств любого универсального
функционального языка высокого уровня, что не предъявляет требований к
квалификации пользователя.
2 Моделирование метода интервальных модульных форм на примерах
квадратичносвязных динамических систем показало, что диапазон притяжения
тривиальных решений уравнений возмущенного движения на несколько порядков
меньше начальных значений возмущенных переменных, что характеризует
высокое качество нуль-стабилизатора, имеющего хорошие робастные свойства.
3 Экспериментальная проверка режима стабилизации горизонтального висения
малогабаритного беспилотного вертолета в условиях воздушных вихревых
нагрузок показала эффективность разработанных алгоритмов
постоянно действующих случайных возмущениях.
также и при
230
Заключение
В настоящее время в технике расширяется класс многосвязных динамических
систем. (В качестве примера можно указать на мехатронные и робототехнические
системы.) В этом классе, особенно в случаях перспективного применения
безредукторных силовых приводов, когда взаимовлияние координат системы
велико, необходимы разработки стабилизаторов тактического уровня управления
с высокими робастными свойствами. Объясняется это тем, что указанные системы
отличает неустойчивость собственного движения, а, следовательно, даже в
отсутствие внешних возмущений качество системы будет низким. Задачи
стабилизации при этом усложняются наличием неопределенности в интервалах
параметров объектов управления.
Поэтому в диссертации была решена научная проблема стабилизации
состояний
квадратичносвязных
неопределѐнностью
динамических
параметров
на
основе
систем
с
интервальной
предложенного
автором
алгебраического метода форм модульных переменных. Решение этой проблемы
имеет важное хозяйственное значение и способствует развитию систем
управления движением широкого класса объектов, включающих беспилотные
летательные аппараты, подводные и технологические роботы.
Предложена
новая
концепция
стабилизации
движений
динамических
нелинейных квадратичносвязных систем с интервальной неопределѐнностью
параметров,
заключающаяся
в
применении
стабилизаторов
состояния
тактического уровня, построенных по методу интервальных форм модульных
переменных
и
обеспечивающих
квазинепрерывное
воздействие
на
стабилизируемый объект при минимизации требуемых ресурсов управления.
Для
этого
в
работе
создан
специальный
математический
аппарат
интервального анализа со строгими доказательствами новых утверждений, не ис-
231
следованных в научных публикациях. Математически обоснована применимость
интервальных моделей при решениях задач стабилизации непрерывных систем с
переменными, в общем случае неизвестными в интервалах, параметрами.
Доказана теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы в виде
биквадратичной формы с постоянными коэффициентами и приведен алгоритм их
вычисления с гарантированными нижними оценками. Доказательно обоснованы
формулы интервальной кубичной формы модульных переменных, в которую
можно погрузить полную производную модифицированной эллиптической
функции Ляпунова в силу данной интервальной квадратичносвязной системы в
квазикоординатах, замкнутой в части переменных. Разработан и математически
обоснован
комбинаторный
метод
модульной
настройки
стабилизатора
многосвязной системы, для которой известны лишь центральные коэффициенты
уравнений динамики, при этом в каждом канале управления настройка является
однонаправленной двухпараметрической при независимости каналов друг от
друга, что кардинально облегчает процесс поиска. На основании доказанной
формулы компенсатора покрывающей для произвольной конечной однородной
интервальной
формы
предложены
формулы
построения
стабилизатора
нелинейной динамической системы общего вида, в которой заданы только
двусторонние конечно-полиномиальные ограничения неизвестных функций
скорости возмущений переменных в собственном движении.
С помощью полученных результатов в диссертации было разработано
алгоритмическое
обеспечение
построения
универсального
стабилизатора
широкого класса многосвязных динамических систем, уравнения которых были
формально получены на примерах мехатронных объектов. Дана аналитическая
оценка регулируемого времени переходного процесса стабилизации состояния
системы.
В работе проведено математическое моделирование разработанных средств
стабилизации квадратичносвязных интервальных систем на примерах: а)
абстрактной интервальной квадратичной системы 3-го порядка; б) модели
232
беспилотного вертолета в режиме висения без подвешенного груза; в) модели
трехзвенного манипулятора с плоско-поворотной кинематической схемой в
режиме заданного позиционного перемещения. Для этого был разработан
программный
комплекс,
реализующий
вычисления
всех
компонент
предложенного и обоснованного автором метода на функциональном языке
диалогового пакета MATLAB.
Моделирование показало быструю сходимость разработанных алгоритмов
стабилизации и их сильные робастные свойства, которые были подтверждены
также
в
натурном
эксперименте
по
автоматической
стабилизации
горизонтального висения малогабаритного беспилотного вертолета в условиях
воздушно-вихревых нагрузок.
Разработанные алгоритмы формируют новую технологию стабилизации
сложных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров
на основе специальной модуляции сигналов линейно-кубичных обратных связей
тактического уровня управления, которые могут быть реализованы с помощью
достаточно простых и доступных компонентов (например, контроллеров в
формате
PC/104)
при
помощи
лингвистических
средств
универсальных
функциональных языков программирования высокого уровня.
Предложенные в диссертации аналитические, алгоритмические и программные
решения
позволяют снизить сроки и стоимость проектирования новых
технических устройств, получая характеристики их функционирования на
математических
эксперимента.
моделях,
а
Разработанные
не
средствами
алгоритмы
макетирования
могут
быть
и
натурного
использованы
в
программном обеспечении реальных робототехнических и мехатронных систем с
безредукторными исполнительными приводами, повышая устойчивость и
точность их программных движений, а следовательно, расширяя область их
функциональных возможностей.
233
Список литературы
1. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г.Четаев. - Гостехиздат, 1955. - 176 с.
2. Четаев, Н.Г. Об устойчивости движения / Н.Г.Четаев // Изв. АН СССР: ОТН,
1946. - №6.
3. Четаев, Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости
неустановившихся движений / Н.Г.Четаев // ПММ, 1960. - ХХIV, вып.1. - C. 6 - 18.
4. Летов, А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А.М.Летов. - М.:
Государственное изд-во физико-математической литературы. Издание второе,
исправленное и дополненное, 1962. - 486 с.
5. Каменков, Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале /
Г.В.Каменков // ПММ, 1953. - ХVII, вып. 5. - С. 529-540.
6. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения/
Н.Н.Красовский. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.
7. Зубов, В.И. Методы Ляпунова и их применения / В.И.Зубов. - Л.: ЛГУ, 1957. 245 с.
8. Баутин, Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области
устойчивости / Н.Н.Баутин. - М.: Гостехиздат, 1949. - 164 с.
9. Румянцев, В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части
переменных / В.В.Румянцев, А.С.Озиранер. - М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1987. - 253 c.
10. Воротников, В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части
переменных / В.И.Воротников. - М.: Наука, 1991. - 288 с.
234
11. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем /
В.Ф.Чистяков, А.А.Щеглова. - Новосибирск, Наука, 2003. - 320 c.
12. Исия, Т. Мехатроника / Т.Исия, И.Симояма, Х.Иноуэ. - М.: Мир, 1988. - 318 с.
13. Harashima, F. “What Is It, Why and How ?” / F.Harashima, M.Tomizuka, T.Fukuda
// ASME Transactions on Mechatronics, 1996. - Vol. 1, № 1. - P. 1-4.
14. Heimann, B. Mechatronik / B.Heimann, W.Gerth, K.Popp. -
Leipzig:
Fachbuchverlag, 2003. - 382 p.
15. Kyura, N. Mechatronics / N.Kyura, H.Oho // ASME Transactions on Mechatronics,
1996. - Vol. 1, № 1.
16. Подураев, Ю.В. Анализ и проектирование мехатронных систем на основе
критерия
функционально-структурной
интеграции
/
Ю.В.Подураев
//
Мехатроника. Автоматизация. Управление, 2002. - № 4. - C. 6.
17. Подураев, Ю.В. Принципы построения и современные тенденции развития
мехатронных систем / Ю.В.Подураев, В.С.Кулешов // Мехатроника, 2000. - № 1.
18. Подураев, Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение / Ю.В.Подураев. М.: Машиностроение, 2006. - 256 с.
19.
Илюхин,
Ю.В.
механообрабатывающих
Совершенствование
технологических
роботов
систем
на
основе
управления
концепций
мехатроники / Ю.В.Илюхин // Мехатроника, 2001. - № 2.
20. Казмиренко, В.Ф. Электрогидравлические мехатронные модули движения /
В.Ф.Казмиренко. - М.: Радио и связь, 2001. - 432 с.
21. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования /
В.А.Бесекерский,
Е.П.Попов.
-
М.:
математической литературы, 1975. - 767 с.
Наука,
Главная
редакция
физико-
235
22. Башарин, А.В. Управление электроприводами / А.В.Башарин, В.А.Новиков,
Г.Г.Соколовский. - Л.: Энергоатомиздат, 1982. - 391 с.
23. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е.А.Барбашин. - М.: Наука, 1970. - 240 с.
24. Матросов, В.М. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем /
В.М.Матросов, Р.И.Козлов, Л.Ю.Анапольский. - Новосибирск, Наука, 1983. - 192
с.
25. Кунцевич, В.М. Синтез систем автоматического управления с помощью
функций Ляпунова / В.М.Кунцевич, М.М.Лычак. - М.: Наука, 1977. - 400 с.
26. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж.ЛаСалль, С.Лефшец. - М.: Мир, 1964. - 169 c.
27. Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н.Руш, П.Абетс,
М.Лалуа. - М.: Мир, 1980. - 300 с.
28. Румянцев, В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения /
В.В.Румянцев. - Механика в СССР за 50 лет. - М.: Наука, 1968. - Т. 1. - C. 7 - 66.
29. Якубович, В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости
нелинейных регулируемых систем / В.А.Якубович // Автоматика и телемеханика,
1964. - № 7. - C. 1017 - 1029.
30. Леонов, Г.А. Метод нелокального сведения в теории устойчивости / Г.А.Леонов,
В.Б.Смирнова. - Метод функций Ляпунова и его приложения. - М.: Наука, 1984. - C.
98 - 106.
31. Леонов, Г.А. Об одном способе построения функций Ляпунова / Г.А. Леонов //
Устойчивость движения. - Новосибирск: Наука, 1985. - C. 67 - 71.
32. Молчанов, А.П. Построение функций Ляпунова, определяющих необходимые и
достаточные условия абсолютной устойчивости в классе нестационарных
нелинейностей / А.П.Молчанов, Е.С.Пятницкий // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, 1985. - C. 82 - 88.
236
33.
Молчанов,
А.П.
Функции
Ляпунова,
определяющие
необходимые
и
достаточные условия линейных дифференциальных включений / А.П.Молчанов,
Е.С.Пятницкий. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1987. - C. 52 - 61.
34. Молчанов, А.П. Функции Ляпунова для нелинейных дискретных систем
управления / А.П.Молчанов // Автоматика и телемеханика, 1987. - № 6. C. 26 - 35.
35. Молчанов, А.П. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных
дискретных систем управления с периодической линейной частью / А.П.Молчанов
// Автоматика и телемеханика, 1992. - Т. 53, № 10. - C. 37 - 45.
36. Дьяченко, И.В. Численный метод построения функций Ляпунова и анализ
устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ / И.В.Дьяченко,
А.П.Молчанов, Е.С.Пятницкий // Автоматика и телемеханика, 1994. - Т. 55, № 4. C. 23 - 38.
37. Крутько, П.Д. Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых
систем. Многомерные модели / П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика, 1984. - № 4. - С.168 - 177.
38.
Крутько, П.Д. Синтез дискретных управлений по функциям Ляпунова /
П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. - № 2.
39. Гришин, С.А. Конструирование нелинейных законов управления по функциям
Ляпунова / С.А.Гришин, П.Д.Крутько, Е.П.Попов // Докл. АН СССР, 1984. - Т.
278, № 4.
40. Скворцов, Л.М. К задаче построения управлений по функциям Ляпунова /
Л.М.Скворцов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. - № 4.
41. Крутько, П.Д. Обращение прямого метода Ляпунова в задачах управления
динамическими системами / П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика, 1989. - № 3.
237
42. Lindorff, D.P. Survey of adaptive control using Lyapunov design / D.P.Lindorff,
R.L.Carrol // Int. J. Contr., 1973. - V. 18, № 5. - P. 897 - 914.
43. Parks, P.C.
Lyapunov redesign of model reference adaptive control systems /
P.C.Parks // IEEE Aut. Contr., 1966. - V. AC-11, № 3. - P. 362 - 367.
44. Meyer, K.R. On the existence of Lyapunov functions for the problem of Lur’e /
K.R.Meyer // J. SIAM Control, 1966. - Ser. A, v. 3. - P. 373 - 383.
45. Wonham, W.M. A Lyapunov method for the estimation of statistical averages / W.M.
Wonham // J. Differential Equations, 1966. - V. 2. - P. 365 - 377.
46. Kalman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control/
R.E.Kalman // Proc. of the National of Sciences of the United States of America, 1963. V. 49, № 1. - P. 201 - 205.
47. Grujic, L.T. Lyapunov-like solutions for stability problems of the most general
stationary Lurie – Postnikov systems / L.T.Grujic // Int. J. of Systems Science, 1981. - V.
12, № 7. - P. 813 - 833.
48.
Дружинский, И.А. Методы обработки сложных
поверхностей на
металлорежущих станках / И.А.Дружинский. - М.-Л.: Машгиз, 3-е изд, 1965. - 600
с.
49. Миль, М.Л. Вертолеты. Расчет и проектирование. Кн.1 / М.Л.Миль. - М.:
Машиностроение, 1966. - 455 с.
50. Колесников, Г.А. Аэродинамика летательных аппаратов / Г.А.Колесников,
В.К.Марков. - М.: Машиностроение, 1993. - 543 с.
51. Андреев, А.Г. Метод формирования статорных токов при моделировании
вентильного электропривода в составе технологического робота / А.Г.Андреев,
М.М.Стебулянин // СТИН, 2010. - № 7. - С. 11 - 18.
238
52.
Бесекерский,
В.А.
Динамический
синтез
систем
автоматического
регулирования / В.А.Бесекерский. - М.: Наука, 1970. - 576 с.
53. Макарова, Т.А. Оценка взаимовлияния движения степеней подвижности
трехзвенного
робота
с
безредукторными
приводами
/
Т.А.Макарова,
М.М.Стебулянин // Вестник МГТУ «СТАНКИН». - 2012. - № 3. - С. 145 - 150.
54. Попов, Е.П. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы / Е.П.Попов,
А.Ф.Верещагин, С.Л.Зенкевич. - М.: Наука, 1978. - 398 с.
55. Ким, Д.П. Определение желаемой передаточной функции при синтезе систем
управления алгебраическим методом / Д.П.Ким // Мехатроника, автоматизация,
управление, 2011. - № 5. - С. 15 - 21.
56. Пятницкий, Е.С. Принцип декомпозиции и управления механическими и
электромеханическими системами / Е.С.Пятницкий // Известия АН. Техническая
кибернетика, 1990. - № 6. - С. 4 - 15.
57. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г.Лойцянский. - М.: ДРОФА,
2003. - 840 с.
58. Кожевников, В.А. Автоматическая стабилизация вертолета / В.А.Кожевников.
- М.: Машиностроение, 1977. - 152 с.
59. Матросов, В.М. Метод функций Ляпунова в системах с обратной связью /
В.М.Матросов // Автоматика и телемеханика, 1972. - № 9. - С. 63 - 75.
60. Красовский, Н.Н. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости движения /
Н.Н.Красовский // Тр. Всесоюзного съезда по теории и прикладной механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - С. 36 - 47.
61.
Красовский, Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений /
Н.Н.Красовский. - Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Дополнение 4. М.: Наука, 1966. - С. 475 - 514.
62. Смирнов, Е.Я. Управление движением механических систем / Е.Я.Смирнов,
В.Ю.Павликов, П.П.Щербаков, А.В.Юрков. - Л.: Изд-во Л.ун-та, 1985. - 316 с.
239
63. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А.И.Лурье. - М.: Издательство физико
- математической литературы, 1961. - 824 с.
64. Филаретов, В.Ф. Устройства и системы управления подводных роботов /
В.Ф.Филаретов, А.В.Лебедев, Д.А.Юхимец. - М.: Наука, 2005. - 270 с.
65. Каленова, В.И. Неголономные механические системы и стабилизация
движения / В.И.Каленова, А.В.Карапетян, В.М.Морозов, М.А.Салмина. - М.:
Издательский дом «Открытые системы», Центр новых информационных
технологий МГУ, 2005. - Фундаментальная и прикладная математика. - Т.11, №7.
- С. 117 - 158.
66. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем / Ю.И.Неймарк, Н.А.Фуфаев.
- М.: Наука, 1967. - 520 с.
67.
Николенко,
И.В.
Динамика
управляемых
неголономных
систем
/
И.В.Николенко. - Киев: Выща шк, 1985. - 184 с.
68. Стебулянин, М.М. Контурное управление манипуляционным роботом в
режиме априорной неопределенности закона движения / М.М.Стебулянин,
А.Г.Синицын // Известия ВУЗов. Машиностроение, 2011. - № 8. - С. 44 - 50.
69. KUKA Robotics Project Book. - Kuka Robotics Corporation. - Version 6.5, 2010,
July 01. - 20 p.
70. Дьяконов, В. Simulink 4.Специальный справочник / В.Дьяконов. - СПб.: Питер,
2002. - 518 с.
71. Зенкевич, С.Л. Управление роботами / С. Л.Зенкевич, А.С.Ющенко. - М.:
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 399 с.
72. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления / Г.Алефельд,
Ю.Херцбергер. - М.: Мир, 1987. - 360 с.
73.
Добронец,
Б.С.
Двусторонние
численные
В.В.Шайдуров. – Новосибирск: Наука, 1990. - 208 с.
методы
/
Б.С.Добронец,
240
74. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа / С.А.Калмыков, Ю.И.Шокин,
З.Х.Юлдашев. – Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.
75. Назаренко, Т.И. Введение в интервальные методы вычислительной
математики/
Т.И.Назаренко,
Л.В.Марченко.
-
Иркутск:
Иркутский
государственный университет, 1982. - 108 с.
76. Шарый, С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем
с интервальной неопределенностью / С.П.Шарый // Изв. РАН. Теория и системы
управления, 1997. - № 3. - C. 51 - 61.
77. Шарый, С.П. Внешнее оценивание обобщенных множеств решений
интервальных линейных систем / С.П.Шарый // Вычислительные технологии,
1999. - № 4. - C. 83 - 113.
78. Шарый, С.П. Численное нахождение алгебраического решения интервальных
линейных систем / С.П.Шарый. - Дискретная математика. - Красноярск: КГТУ,
1995. - C. 129 - 145.
79. Shary, S.P. A new approach to the analysis of static systems under interval
uncertainty / S.P.Shary. - Scientific Comput. and Validated Numerics. - Berlin:
Academie Verlag, 1996. - P. 224 - 233.
80. Лакеев, А.В. Существование и единственность алгебраических решений
интервальных линейных систем в полной арифметике Каухера / А.В.Лакеев //
Вычислительные технологии, 1999. - Том 4, № 4. - C. 33 - 44.
81. Лакеев, А.В. О множестве решений линейного уравнения с интервально
заданными оператором и правой частью / А.В.Лакеев, С.И.Носков // Сибирский
математический журнал, 1994. - Т. 35, № 5. - C. 1074 - 1084.
82. Berti, S. The solution of an interval equation / S.Berti // Mathematica, 1969. - 11
(34), № 2. - P. 189 - 194.
241
83. Gay, D.M. Solving interval linear equation / D.M.Gay // SIAM J. on Num. Anal.,
1982. - 19, № 4. - P. 858 - 870.
84. Hansen, E. Bounding the solution of interval linear equation / E.Hansen // SIAM J.
on Num. Anal., 1992. - 29, № 5. - P. 1493 - 1503.
85. Neumaier, A. Interval methods for systems of equations / A.Neumaier. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 255 p.
86. Шашихин, В.Н. Интервальные динамические системы. Модели, анализ, синтез
/ В.Н.Шашихин. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 214 с.
87. Шашихин, В.Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем /
В.Н.Шашихин // Теория и системы управления, 1996. - № 6. - C. 47 - 53.
88.
Шашихин, В.Н. Интервальная стабилизация объектов с параметрической
неопределенностью / В.Н.Шашихин // Вычислительные, измерительные и
управляющие системы. Труды СПбГТУ, 2000. - C. 65 - 69.
89. Шашихин, В.Н. Оптимизация нелинейных систем на основе метода
интервальной линеаризации / В.Н.Шашихин // Известия РАН. Теория и системы
управления, 1999. - № 3. - C. 29 - 37.
90. Petersen, T.R. Riccati Equation Approach to the Stabilization of Uncertain Linear
Systems / T.R.Petersen, C.V.Hollot // Automatica, 1986. - P. 397 - 411.
91. Оморов, Р.О. Робастность интервальных динамических систем. 1. Робастность
непрерывных линейных интервальных динамических систем / Р.О.Оморов //
Известия РАН. Теория и системы управления, 1995. - №1. - С. 22 - 27.
92. Рапопорт, Л.Б. Анализ робастной устойчивости линейных стационарных
систем с помощью квадратичных функций Ляпунова, зависящих от параметра /
Л.Б.Рапопорт // Автоматика и телемеханика, 1998. - № 8. - С. 146 - 156.
242
93.
Щербаков,
П.С.
Достаточное
условие
робастной
устойчивости
неопределенных матриц / П.С.Щербаков // Автоматика и телемеханика, 1998. - №
8. - С. 71 - 79.
94. Бобылев, Н.А. О положительной определенности интервальных семейств
симметричных матриц / Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин // Автоматика
и телемеханика, 2000. - № 8. - С. 5 - 10.
95. Харитонов, В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия
семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В.Л.Харитонов //
Дифференциальные уравнения, 1978. - Т. 14, № 11. - С. 2086 - 2088.
96. Hyland, D.C. A Majorant Lyapunov Equation: a Nonnegative Matrix Equation for
Robust Stability and Perfomance of Large Scale Systems / D.C.Hyland, D.S.Bernstein
// IEEE Trans. on Automatic Control, 1987. - Vol. 32. - P. 1005 - 1013.
97. Шокин, Ю.И. Интервальный анализ / Ю.И.Шокин. - Новосибирск: Наука,
1981. - 112 c.
98. Kaucher, E. Interval analysis in the extended space IR / E.Kaucher // Computing
Supplement, 1980. - V. 2. - P. 33 - 49.
99. Шклярский, Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч.
1. Арифметика и алгебра / Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. - М.:
Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 455 с.
100. Персидский, К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений /
К.П.Персидский. - ИАН Казахской ССР 97, 1950. - Вып.4
101. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости /
Б.П.Демидович.
-
М.:
Наука,
главная
редакция
физико-математической
литературы, 1967. - 472 с.
102. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева,
А.Г.Свешников. - М.: Наука, Физматлит, 1998. - 231 с.
243
103. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений /
Р.Беллман. - М.: ИЛ, 1954. - 216 с.
104. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. - М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 318 с.
105. Дьяконов, В. MATLAB 6: учебный курс С.-Петербург / В.Дьяконов. - СПб.:
Питер, 2000. - 592 с.
106. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MATLAB / А.Гультяев. СПб.: Питер, 2000. - 432 с.
107. Брамер, К. Фильтр Калмана-Бьюси. Детерменированное наблюдение и
стохастическая фильтрация / К.Брамер, Г.Зиффлинг. - М.: Наука, 1982. - 200 с.
108. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б.Стечкин,
Ю.Н.Субботин. - М.: Наука, 1976. - 172 с.
109. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений /
Ю.Н.Бибиков. - СПб.: Лань, 2011. - 304 с.
110. Климентов, С.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма
адаптивной системы
с эталонной моделью прямым методом Ляпунова /
С.И.Климентов, Б.И.Прокопов // Автоматика и телемеханика, 1974. - № 10. - C. 97 104.
111. Кореневский,
Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных
возмущениях параметров. Алгебраические критерии / Д.Г.Кореневский. - Киев:
Наук. думка, 1989. - 208 с.
112.
Шильман,
С.В.
Алгебраический
критерий
абсолютной
устойчивости
нелинейных дискретных систем / С.В.Шильман // Автоматика и телемеханика,
1977. - Т. 38, № 12. - С. 48 - 55.
244
Приложения
Комментарии к разработанным программам
compensator – M-файл вычисления компенсатора интервальной
кубичной формы и формирования стабилизатора квадратичной системы
M-функции:
first(…) – вычисляет зеркальную матрицу 1 
(см. первую формулу в составе (4.2.12));
stair(…) - вычисляет зеркальную матрицу 2 
(см. вторую формулу в составе (4.2.12));
bll(…) - вычисляет зеркальную матрицу 3 
(см. третью формулу в составе (4.2.12));
intmx()
–
приводит
действительную
матрицу
 ∈  ×
к
формату
интервальной матрицы  ∈  ×2 ;
mminus() – находит для интервальной матрицы  матрицу −;
zerc() – вычисляет для данной И-матрицы  зеркальную И-матрицу
 =  ∪ (−) ;
() - для данной зеркальной матрицы  = [ −  ,  ] вычисляет
действительную матрицу  = [  ] из модулей граничных значений
коэффициентов  ;
mmin(a,b), mmax(a,b) – вычисляют соответственно минимум и максимум двух
действительных чисел;
mir(, ) – для двух матриц одинаковой размерности с положительными
коэффициентами находит матрицу с коэффициентами в виде максимальных
значений соответственных коэффициентов исходных матриц;
245
neigh() – для матрицы  ∈ ×
каждой
пары
 +1 
2
коэффициентов,
с положительными коэффициентами для
находящихся
на
позициях
взаимных
коэффициентов ступенчатой матрицы той же
размерности, находит
максимальный и помещает его на позиции этих
взаимных коэффициентов, вычисляя таким образом функцию ();
msum(k,n) – вычисляет сумму последних k чисел последовательности 1,2,..,, n;
2
blok() – для И-матрицы  ∈ × находит функцию
2
  ∈ × в соответствии с п.1.3.7;
stmatrix(, ) – выделяет  −й столбец матрицы ;
2
sigma() – преобразует каждую строку матрицы  ∈  × с положительными коэффициентами в вектор-строку  ∈  (см. п.1.3.8), для чего из
каждой пары коэффициентов  на позициях некоторых первичного и
вторичного элементов  меньший коэффициент заменяется большим;
2 × 2
в соответствии с формулой (1.1.5);
2 × 2
выполняет действия в первой части п.1.1.7;
JJ(n) – строит матрицу  ∈ 
Jadd(n) – для матрицы  ∈ 
jshtr() – для матрицы  ∈ 
частью п.1.1.7;
2 × 2
удаляет столбцы в соответствии со второй
таким образом команда jshtr(Jadd(n)) строит матрицу
′ ,
участвующую в формуле (1.1.7);
dastanFF_F(…) – функция решения системы дифференциальных уравнений с
помощью средств пакета MATLAB
246
Приложение А
Программа compensator
c=[];
for p=1:n
c(p)=1.001*(max(abs(dmin(p,p)),abs(dmax(p,p))));
end
beta=[];
for p=2:n
for q=1:(p-1)
vs1=abs((dmin(p,q)+dmin(q,p)-2*sqrt(c(p)*c(q)))/2);
vs2=abs((dmax(p,q)+dmax(q,p)-2*sqrt(c(p)*c(q)))/2);
beta(p,q)=1.001*max(vs1,vs2);
beta(q,p)=beta(p,q);
end
end
phione=[];
for p=1:n
phione(p,p)=c(p);
for q=1:n
phione(p,p)=phione(p,p)+beta(p,q);
end
end
for p=2:n
for q=1:(p-1)
phione(p,q)=sqrt(c(p)*c(q));
phione(q,p)=phione(p,q);
end
end
disp('first linear part')
disp(phione)
afmin=[];
afmax=[];
u=0;
v=0;
w=0;
p=0;
q=0;
while u~=n
u=u+1;
while v~=n
v=v+1;
while w~=n
247
w=w+1;
afmin(u,v,w)=preobr1(dsqmin,u,v,w);
afmax(u,v,w)=preobr1(dsqmax,u,v,w);
end
p=p+1;
w=p;
end
q=q+1;
p=q;
v=q;
w=q;
end
alfa=[];
for p=1:n
vs6=max(abs(afmax(p,p,p)),abs(afmin(p,p,p)));
alfa(p)=1.001*(max(2,vs6)+1);
end
alfav=[];
cs=[];
css=[];
ksio=[];
for r=2:n
for p=1:(r-1)
alfav(r,p)=(afmin(p,r,r)+afmax(p,r,r))/2;
css(r,p)=0.25025*((afmax(p,r,r)-afmin(p,r,r))^2);
vs7=max(abs(afmin(p,p,r)),abs(afmax(p,p,r)));
cs(r,p)=1.001*(max(vs7,alfav(r,p)));
ksio(r,p)=cs(r,p)+css(r,p);
end
end
betat=[];
ksit=[];
for r=3:n
for p=2:(r-1)
for q=1:(p-1)
vs3=abs(0.5*(afmin(q,p,r)-2*sqrt(cs(r,p)*cs(r,q))));
vs4=abs(0.5*(afmax(q,p,r)-2*sqrt(cs(r,p)*cs(r,q))));
vs5=abs(0.5*(alfav(r,p)*alfav(r,q)-2*sqrt(cs(r,p)*cs(r,q))));
vs8=max(vs3,vs4);
betat(r,p,q)=1.001*(max(vs8,vs5)+2*sqrt(css(r,p)*css(r,q)));
ksit(r,p,q)=2*(sqrt(cs(r,p)*cs(r,q))+sqrt(css(r,p)*css(r,q)));
end
end
end
248
phitwo=[];
for p=1:n
phitwo(p,p)=alfa(p);
for r=(p+1):n
phitwo(p,p)=phitwo(p,p)+ksio(r,p);
end
for r=(p+2):n
for q=(p+1):(r-1)
phitwo(p,p)=phitwo(p,p)+betat(r,q,p);
end
end
if p>1
for r=(p+1):n
for q=1:(p-1)
phitwo(p,p)=phitwo(p,p)+betat(r,p,q);
end
end
end
end
for p=2:n
for q=1:(p-1)
phitwo(p,q)=alfav(p,q);
for r=(p+1):n
phitwo(p,q)=phitwo(p,q)+ksit(r,p,q);
end
phitwo(p,q)=0.5*phitwo(p,q);
phitwo(q,p)=phitwo(p,q);
end
end
disp('second linear part')
disp(phitwo)
g=[];
for p=2:n
for q=1:(p-1)
g(p,q)=ksio(p,q);
if q>1
for r=1:(q-1)
g(p,q)=g(p,q)+betat(p,q,r);
end
end
if (p-q)>1
for r=(q+1):(p-1)
g(p,q)=g(p,q)+betat(p,r,q);
end
249
end
end
end
disp('nonlinear part')
phi=[];
for r=1:n
disp('equation')
disp(r)
ind=100*r+10*r+r;
phi(r,r,r,r)=2*alfa(r);
disp(ind)
disp(phi(r,r,r,r))
for q=1:(r-1)
phi(r,r,r,q)=alfav(r,q);
ind=100*r+10*r+q;
disp(ind)
disp(phi(r,r,r,q))
phi(r,r,q,q)=0.5*g(r,q);
ind=100*r+10*q+q;
disp(ind)
disp(phi(r,r,q,q))
end
for q=(r+1):n
phi(r,q,q,q)=alfav(q,r);
ind=100*q+10*q+q;
disp(ind)
disp(phi(r,q,q,q))
phi(r,q,q,r)=0.5*g(q,r);
ind=100*q+10*q+r;
disp(ind)
disp(phi(r,q,q,r))
end
for p=2:(r-1)
for q=1:(p-1)
phi(r,r,p,q)=ksit(r,p,q)/3;
ind=100*r+10*p+q;
disp(ind)
disp(phi(r,r,p,q))
end
end
for q=(r+2):n
for p=(r+1):(q-1)
phi(r,q,q,p)=ksit(q,p,r)/3;
ind=100*q+10*q+p;
250
disp(ind)
disp(phi(r,q,q,p))
end
end
if r>1
for q=(r+1):n
for p=1:(r-1)
phi(r,q,q,p)=ksit(q,r,p)/3;
ind=100*q+10*q+p;
disp(ind)
disp(phi(r,q,q,p))
end
end
end
end
fr2=[];
disp('forma 2')
for p=1:n
ind=11*p;
fr2(p,p)=phitwo(p,p);
disp(ind)
disp(fr2(p,p))
end
for p=2:n
for q=1:(p-1)
ind=10*p+q;
fr2(p,q)=2*phitwo(p,q);
disp(ind)
disp(fr2(p,q))
end
end
fr4=[];
for r=1:n
fr4(r,r,r,r)=2*alfa(r);
ind=1111*r;
disp(ind)
disp(fr4(r,r,r,r))
end
for p=2:n
for q=1:(p-1)
ind=1110*p+q;
fr4(p,p,p,q)=2*alfav(p,q);
disp(ind)
disp(fr4(p,p,p,q))
251
ind=1100*p+11*q;
fr4(p,p,q,q)=g(p,q);
disp(ind)
disp(fr4(p,p,q,q))
end
end
for p=3:n
for q=2:(p-1)
for r=1:(q-1)
ind=1100*p+10*q+r;
fr4(p,p,q,r)=ksit(p,q,r);
disp(ind)
disp(fr4(p,p,q,r))
end
end
end
function af=preobr1(ds,u,v,w)
if u==v
if u==w
af=ds(u,v,w);
else
af=(ds(u,v,w)+ds(u,w,v)+ds(v,u,w)+ds(v,w,u)+ds(w,u,v)+ds(w,v,u))/2;
end
else
if v==w
af=(ds(u,v,w)+ds(u,w,v)+ds(v,u,w)+ds(v,w,u)+ds(w,u,v)+ds(w,v,u))/2;
else
if u==w
af=(ds(u,v,w)+ds(u,w,v)+ds(v,u,w)+ds(v,w,u)+ds(w,u,v)+ds(w,v,u))/2;
else
af=(ds(u,v,w)+ds(u,w,v)+ds(v,u,w)+ds(v,w,u)+ds(w,u,v)+ds(w,v,u));
end
end
end
252
Приложение Б
Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.2
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
253
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−4 )
254
Эксп.№2. Сферическая функция переменного  в стабилизированном
движении
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
255
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
256
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−4 )
Эксп.№3. Сферическая функция переменного  в стабилизированном
движении
257
Эксп.№4. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№4. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
258
Эксп.№4. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№4. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
259
Эксп.№4. Сферическая функция переменного  в стабилизированном
движении
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
260
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
261
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−5 )
Эксп.№5. Сферическая функция переменного  в стабилизированном дв-ии
262
Эксп.№7. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№7. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
263
Эксп.№7. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№7. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
264
Эксп.№8. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№8. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
265
Эксп.№8. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№8. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
(множитель 10−3 )
266
Эксп.№9. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№9. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
267
Эксп.№9. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№9. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
268
Приложение В
Пакет моделирования режима висения вертолета
%M-file airrobot
clear
c=[];
k=[];
I=[];
px11=[];
alx123=[];
alx113=[];
alx111=[];
alx133=[];
px21=[];
px23=[];
alx212=[];
alx213=[];
alx223=[];
px31=[];
alx311=[];
alx322=[];
alx333=[];
alx312=[];
zzz=[];
for i=1:3
for j=1:3
for k=1:3
for l=1:3
zzz(i,j,k,l)=0;
end
end
end
end
c=random('exp',10,[5,1]);
k=random('exp',20,[10,1]);
I=random('exp',1,[6,1]);
a=c(1)*c(2)/(I(1)*c(4));
b=c(1)/(I(2)*c(4));
g=b*I(5)/(1+a*I(5));
bet=a*c(5)+(b/g-a)*I(6)/I(3);
A11=1/((1+a*I(5))*I(1)*c(4));
A12=c(2)*A11;
A13=c(1)*c(2)*c(5)*A11-a*I(6)/((1+a*I(5)))*I(3);
269
A21=c(3)/(I(2)*c(4));
A22=(1-g*c(2))/(I(1)*c(4));
A23=c(1)*c(5)/(I(2)*c(4))-g*bet;
A31=1/I(3);
p11=A11*k(1)-A12*k(6);
px11(1)=p11-.15*abs(p11);
px11(2)=p11+.15*abs(p11);
G1=A11*k(2)+A13*k(3);
Gx1(1)=G1-.15*abs(G1);
Gx1(2)=G1+.15*abs(G1);
al123=A11*(I(2)-I(3))+A12*k(8);
alx123(1)=al123-.15*abs(al123);
alx123(2)=al123+.15*abs(al123);
al113=-A11*I(4)-A12*(I(1)-I(3));
alx113(1)=al113-.15*abs(al113);
alx113(2)=al113+.15*abs(al113);
al111=A13*k(10)-A11*k(9);
alx111(1)=al111-.15*abs(al111);
alx111(2)=al111+.15*abs(al111);
al133=A13*k(4)-A11*k(9);
alx133(1)=al133-.15*abs(al133);
alx133(2)=al133+.15*abs(al133);
p21=A22*k(5)-A23*k(1);
px21(1)=p21-.15*abs(p21);
px21(2)=p21+.15*abs(p21);
p23=A21*k(1)-A22*k(6);
px23(1)=p23-.15*abs(p23);
px23(2)=p23+.15*abs(p23);
al212=A23*(I(1)-I(2))-A22*k(7);
alx212(1)=al212-.15*abs(al212);
alx212(2)=al212+.15*abs(al212);
al213=-A22*(I(1)-I(3))-A21*I(4);
alx213(1)=al213-.15*abs(al213);
alx213(2)=al213+.15*abs(al213);
al223=A22*k(8)+A21*(I(2)-I(3));
alx223(1)=al223-.15*abs(al223);
alx223(2)=al223+.15*abs(al223);
G3=A31*k(3);
Gx3(1)=G3-.15*abs(G3);
Gx3(2)=G3+.15*abs(G3);
p31=-A31*k(1);
px31(1)=p31-.15*abs(p31);
px31(2)=p31+.15*abs(p31);
al311=A31*k(10);
270
alx311(1)=al311-.15*abs(al311);
alx311(2)=al311+.15*abs(al311);
al322=-A31*I(4);
alx322(1)=al322-.15*abs(al322);
alx322(2)=al322+.15*abs(al322);
al333=A31*k(4);
alx333(1)=al333-.15*abs(al333);
alx333(2)=al333+.15*abs(al333);
al312=A31*(I(1)-I(2));
alx312(1)=al312-.15*abs(al312);
alx312(2)=al312+.15*abs(al312);
%////////////////////////////////////////////////
dmin=[0 0 px11(1) -2 1 -2;px21(1) 0 px23(1) 3 -10 1;px31(1) 0 0 3 0 5];
dmax=[0 0 px11(2) 1 3 4;px21(2) 0 px23(2) 7 1 2;px31(2) 0 0 4 2 7];
dsqmin(1,:,:)=[alx111(1) 0 alx113(1) -4.5 3;0 0 alx123(1) 0 0;0 0 alx133(1) 0 0];
dsqmin(2,:,:)=[0 alx212(1) alx213(1) -3 -14;0 0 alx223(1) 0 0;0 0 0 0 0];
dsqmin(3,:,:)=[alx311(1) alx312(1) 0 1 0;0 alx322(1) 0 0 0;0 0 alx333(1) 0 0];
dsqmax(1,:,:)=[alx111(2) 0 alx113(2) -2 7;0 0 alx123(2) 0 0;0 0 alx133(2) 0 0];
dsqmax(2,:,:)=[0 alx212(2) alx213(2) -1 3;0 0 alx223(2) 0 0;0 0 0 0 0];
dsqmax(3,:,:)=[alx311(2) alx312(2) 0 5 0;0 alx322(2) 0 0 0;0 0 alx333(2) 0 0];
%///////////////////////////////////////////////////
a=dmin+(dmax-dmin)/3;
b=dsqmin+(dsqmax-dsqmin)/1.67;
tk=.03;
e=zzz;
y0=[-5 12.5 -2 0 0 0];
[t,y]=dastan11_1(a,b,e,y0,tk);
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.');
pause
close
plot(t,y(:,4),'-',t,y(:,5),'-.',t,y(:,6),'.');
pause
close
plot(t,y(:,1).^2+y(:,2).^2+y(:,3).^2+y(:,4).^2+y(:,5).^2+y(:,6).^2,'-');
pause
close
%////////////////////////////////////////////////
DMN=dmin;
DMX=dmax;
DSQMN=dsqmin;
DSQMX=dsqmax;
Ii=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
%Gg1=[10 0 0;0 30 0;0 0 7];
271
Gg1=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];
Ff1=[-2 1 1 3 -2 4;3 7 -10 1 1 2;3 4 0 2 5 7];
%Gg2=[0 3 0 0 0 2;0 0 0 0 8 0;5 0 0 0 10 0];
Gg2=[0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];
Ff2=[0 0 -4.5 -2 0 0 0 0 0 0 3 7;-3 -1 0 0 0 0 0 0 -14 3 0 0;0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0];
Db=[0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0];
Db=[Db Db];
Ib=[0 0 0 0 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 -1;0 0 0 0 0 0 0 1 0];
Da=[0 0 0 0 px11(1) px11(2);px21(1) px21(2) 0 0 px23(1) px23(2);px31(1) px31(2)
0 0 0 0];
DD=[alx111(1) alx111(2) 0 0 alx113(1) alx113(2) 0 0 alx123(1) alx123(2) alx133(1)
alx133(2);
0 0 alx212(1) alx212(2) alx213(1) alx213(2) 0 0 alx223(1) alx223(2) 0 0;
alx311(1) alx311(2) alx312(1) alx312(2) 0 0 alx322(1) alx322(2) 0 0 alx333(1)
alx333(2)];
Q1=first(Ii,Da,Gg1,Ff1);
Q2=stair(DD,Gg2,Ff2);
Q3=bll(Ib,Db);
Q23=Q2+Q3*jshtr(Jadd(3));
dmax=Q1;
dmin=-dmax;
dsqmax=[];
dsqmin=[];
dsqmax(1,:,:)=[Q23(1,1) Q23(1,2) Q23(1,3);0 Q23(1,4) Q23(1,5);0 0 Q23(1,6)];
dsqmax(2,:,:)=[Q23(2,1) Q23(2,2) Q23(2,3);0 Q23(2,4) Q23(2,5);0 0 Q23(2,6)];
dsqmax(3,:,:)=[Q23(3,1) Q23(3,2) Q23(3,3);0 Q23(3,4) Q23(3,5);0 0 Q23(3,6)];
dsqmin=-dsqmax;
n=3;
compensator
a=DMN+(DMX-DMN)/3;
b=DSQMN+(DSQMX-DSQMN)/1.67;
aph=-phione-phitwo
tk=.14;
e=-phi;
pause
y0=[-5 12.5 -2 0 0 0];
[t,y]=dastanFF_F(a,b,aph,e,y0,tk);
disp('speed')
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.');
pause
close
disp('koord')
plot(t,y(:,4),'-',t,y(:,5),'-.',t,y(:,6),'.');
pause
272
close
plot(t,y(:,1).^2+y(:,2).^2+y(:,3).^2,'-');
pause
close
function [t,y]=dastanFF_F(a,b,aph,e,y0,tk)
tspan=[0 tk];
options=odeset('AbsTol',1e-5);
[t,y]=ode45(@tamina,tspan,y0,options);
function dydt=tamina(t,y)
u=[y(1);y(2);y(3)];
v=[y(4);y(5);y(6)];
m=modl(u,v);
dydt=[a(1,1)*y(1)+a(1,2)*y(2)+a(1,3)*y(3)+a(1,4)*y(4)+a(1,5)*y(5)+a(1,6)*y(6)+(b(1,
1,4)*y(4)*y(5)+b(1,1,5)*y(6)^2)+aph(1,1)*m(1)+aph(1,2)*m(2)+aph(1,3)*m(3)+b(1,1,
1)*y(1)^2+b(1,2,2)*y(2)^2+b(1,3,3)*y(3)^2+b(1,1,2)*y(1)*y(2)+b(1,1,3)*y(1)*y(3)+b(
1,2,3)*y(2)*y(3)+e(1,1,1,1)*m(1)^3+e(1,2,2,2)*m(2)^3+e(1,3,3,3)*m(3)^3+e(1,2,2,1)*
m(1)*m(2)^2+e(1,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(1,3,3,2)*m(2)*m(3)^2+e(1,2,2,3)*m(3)*m(2)
^2+e(1,1,2,3)*m(1)*m(2)*m(3);
a(2,1)*y(1)+a(2,2)*y(2)+a(2,3)*y(3)+a(2,4)*y(4)+a(2,5)*y(5)+a(2,6)*y(6)+(b(2,1,4)*y(
4)^2+b(2,1,5)*y(5)*y(6))+aph(2,1)*m(1)+aph(2,2)*m(2)+aph(2,3)*m(3)+b(2,1,1)*y(1)
^2+b(2,2,2)*y(2)^2+b(2,3,3)*y(3)^2+b(2,1,2)*y(1)*y(2)+b(2,1,3)*y(1)*y(3)+b(2,2,3)*
y(2)*y(3)+e(2,2,2,2)*m(2)^3+e(2,3,3,3)*m(3)^3+e(2,2,2,1)*m(1)*m(2)^2+e(2,2,1,1)*
m(2)*m(1)^2+e(2,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(2,3,3,2)*m(2)*m(3)^2+e(2,1,1,1)*m(1)^3+e(
2,1,2,3)*m(1)*m(2)*m(3);
a(3,1)*y(1)+a(3,2)*y(2)+a(3,3)*y(3)+a(3,4)*y(4)+a(3,5)*y(5)+a(3,6)*y(6)+b(3,1,4)*y(
4)*y(6)+aph(3,1)*m(1)+aph(3,2)*m(2)+aph(3,3)*m(3)+b(3,1,1)*y(1)^2+b(3,2,2)*y(2)^
2+b(3,3,3)*y(3)^2+b(3,1,2)*y(1)*y(2)+b(3,1,3)*y(1)*y(3)+b(3,2,3)*y(2)*y(3)+e(3,3,3,
3)*m(3)^3+e(3,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(3,3,1,1)*m(3)*m(1)^2+e(3,3,3,2)*m(2)*m(3)^2
+e(3,3,2,2)*m(3)*m(2)^2+e(3,3,2,1)*m(3)*m(2)*m(1)+e(3,1,1,1)*m(1)^3+e(3,2,2,2)*
m(2)^3;
y(1)-y(2)*y(5)-10*y(4);%10*y(4)+3*y(4)*y(5)-2*y(6)^2;
y(2)-y(3)*y(6)-30*y(5);% 30*y(5) +8*y(5)*y(6;
y(3)+y(2)*y(6)-7*y(6)];%7*y(6)+5*y(4)^2+10*y(5)*y(6)];
end
end
function [v]=first(I,D,G,F);
A=intmx(I);
A=3*A+2*zerc(D);
A=retzerc(zerc(A))/4;
B=intmx(G);
B=3*B+2*zerc(F);
273
B=retzerc(zerc(B));
v=5*mir(A,B)/4;
function [v]=stair(D,G,F);
A=zerc(D)/4;
A=retzerc(A);
P=intmx(G);
B=3*P+zerc(F);
B=retzerc(zerc(B));
C=mir(A,B);
v=neigh(C);
function [v]=bll(I,D);
P=intmx(I);
B=3*P+2*zerc(D);
B=retzerc(zerc(B));
v=blok(sigma(B))/4;
function [v]=intmx(a);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a,2)
v(i,2*(j-1)+1)=a(i,j);
v(i,2*(j-1)+2)=a(i,j);
end
end
function [v]=mminus(a);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a,2)/2
v(i,2*(j-1)+1)=-a(i,2*(j-1)+2);
v(i,2*(j-1)+2)=-a(i,2*(j-1)+1);
end
end
function [v]=zerc(a);
b=mminus(a);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a,2)/2
v(i,2*(j-1)+1)=mmin(a(i,2*(j-1)+1),b(i,2*(j-1)+1));
v(i,2*(j-1)+2)=mmax(a(i,2*(j-1)+2),b(i,2*(j-1)+2));
end
end
274
function [v]=retzerc(a);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a,2)/2
v(i,j)=abs(a(i,2*(j-1)+1));
end
end
function [v]=mir(a,b);
if size(a)==size(b)
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a,2)
if a(i,j)>b(i,j)
if b(i,j)>=0
v(i,j)=a(i,j);
else
v(i,j)=-1;
disp('mistake_1')
end
else
if a(i,j)>=0
v(i,j)=b(i,j);
else
v(i,j)=-1;
disp('mistake_2')
end
end
end
end
else
disp('sos')
end
function [v]=jshtr(a);
v=[];
n=sqrt(size(a,2));
for k=1:n
for j=k:n
v=[v,stmatrix(a,(k-1)*n+j)];
end
end
function [v]=neigh(a);
275
n=size(a,1)
for i=1:n
for j=1:(n-i+1)
for l=(j+i-1):n
v(l,msum(i-1,n)+j)=mmax(a(l,msum(i-1,n)+j),a(i,msum(i+j-2,n)+l-j-i+2));
v(l,msum(i-1,n)+j)=mmax(v(l,msum(i-1,n)+j),a(j+i-1,msum(i-1,n)+l-i+1));
v(i,msum(i+j-2,n)+l-j-i+2)=v(l,msum(i-1,n)+j);
v(j+i-1,msum(i-1,n)+l-i+1)=v(l,msum(i-1,n)+j);
end
end
end
function [v]=msum(k,n);
v=0;
if k>0
for i=(n-k+1):n
v=v+i;
end
else
end
function [v]=stmatrix(a,k);
v=[];
if k<size(a,2)+1
for l=1:size(a,1)
v=[v;a(l,k)];
end
else
disp('sos')
end
function [v]=mmin(a,b);
if a<b
v=a;
else
v=b;
end
function [v]=mmax(a,b);
if a>b
v=a;
else
276
v=b;
end
function [v]=JJ(n);
v=[];
for k=1:n
for m=1:n
for l=1:n^2
for i=1:n^2
if l==(k-1)*n+m
if i==(m-1)*n+k
v(i,l)=1;
else
v(i,l)=0;
end
else
end
end
end
end
end
function [v]=sigma(a);
if size(a,2)==(size(a,1))^2
n=size(a,1);
for l=1:n
for j=1:n
for k=1:n
v(l,(j-1)*n+k)=mmax(a(l,(j-1)*n+k),a(l,(k-1)*n+j));
v(l,(k-1)*n+j)=v(l,(j-1)*n+k);
end
end
end
else
end
function [v]=Jadd(n);
v=[];
for k=1:n
for m=1:n
for l=1:n^2
277
for i=1:n^2
if l==(k-1)*n+m
if i==(m-1)*n+k
if k~=m
v(:,l)=stmatrix(JJ(n),l)+stmatrix(JJ(n),i);
else
v(:,l)=stmatrix(JJ(n),l);
end
else
end
else
end
end
end
end
end
function [v]=blok(a);
if size(a,2)==(size(a,1))^2
n=size(a,1);
for j=1:n
for l=1:n
for k=1:n
v(l,(j-1)*n+k)=mmax(a(l,(j-1)*n+k),a(k,(j-1)*n+l));
v(k,(j-1)*n+l)=v(l,(j-1)*n+k);
end
end
end
else
end
278
Приложение Г
Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.3
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
279
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№2. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
280
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
281
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№3. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
282
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
283
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№5. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад -- c)
284
Эксп.№6. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад/c -- c)
Эксп.№6. Переменные 1 , 2 , 3 в собственном движении (рад -- c)
285
Эксп.№6. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад/c -- c)
Эксп.№6. Переменные 1 , 2 , 3 в стабилизированном движении (рад --
286
Приложение Д
Пакет моделирования позиционного перемещения манипулятора
%M-file Robot;
m0=input('m0=');
m1=input('m1=');
m2=input('m2=');
m3=input('m3=');
l2=input('l2=');
l3=input('l3=');
r=input('r=');
T=input('T=');
msm=m3+m0;
mz=(m3/2+m0)^2/msm;
mv=msm+m2/4;
ms=msm+m0;
DEL=[];
g=[];
g0=[];
e=[];
e0=[];
Ee=[];
Ee0=[];
D=[];
D0=[];
aa1=[];
aa2=[];
ag1=[];
ag2=[];
ae1=[];
ae2=[];
aEe1=[];
aEe2=[];
aD1=[];
aD2=[];
uU(1)=0;
uU(2)=pi*7/4;
uU(3)=pi*5/4;
du(1)=pi/4;
du(2)=pi/3;
du(3)=2*pi/13;
q=obkor(uU,du,0,T);
blok_1
287
A0I=inv(A);
g0=-[0 g12 g13;g21 g22 g23;g31 g32 g33];
e0=-[e11 e12 e13;e21 e22 e23;e31 e32 0];
Ee0=-[0 E112 E113 0 0 0;E211 0 0 0 E223 E233;E311 0 0 E322 0 0];
D0=-[0 0 0 D112 D122 D132 D113 D123 D133;0 0 0 D212 0 0 D213 D223
D233;D311 D321 0 D312 D322 0 D313 D323 0];
for i=1:3
for j=1:3
aa1(i,j)=0;
aa2(i,j)=0;
end;
end;
for i=1:3
for j=1:3
ag1(i,j)=0;
ag2(i,j)=0;
end;
end;
for i=1:3
for j=1:3
ae1(i,j)=0;
ae2(i,j)=0;
end;
end;
for i=1:3
for j=1:6
aEe1(i,j)=0;
aEe2(i,j)=0;
end;
end;
for i=1:3
for j=1:9
aD1(i,j)=0;
aD2(i,j)=0;
end;
end;
for t=0:.01:T
s=t/T;
q=obkor(uU,du,s,T);
blok_1
g=-[0 g12 g13;g21 g22 g23;g31 g32 g33];
e=-[e11 e12 e13;e21 e22 e23;e31 e32 0];
Ee=-[0 E112 E113 0 0 0;E211 0 0 0 E223 E233;E311 0 0 E322 0 0];
288
D=-[0 0 0 D112 D122 D132 D113 D123 D133;0 0 0 D212 0 0 D213 D223
D233;D311 D321 0 D312 D322 0 D313 D323 0];
AI=inv(A);
DELA=AI-A0I;
for i=1:3
for j=1:3
if DELA(i,j)>0
if DELA(i,j)>aa1(i,j)
aa1(i,j)=DELA(i,j);
else
end;
else
if DELA(i,j)<aa2(i,j)
aa2(i,j)=DELA(i,j);
else
end;
end;
end;
end;
DELg=g-g0;
for i=1:3
for j=1:3
if DELg(i,j)>0
if DELg(i,j)>ag1(i,j)
ag1(i,j)=DELg(i,j);
else
end;
else
if DELg(i,j)<ag2(i,j)
ag2(i,j)=DELg(i,j);
else
end;
end;
end;
end;
DELe=e-e0;
for i=1:3
for j=1:3
if DELe(i,j)>0
if DELe(i,j)>ae1(i,j)
ae1(i,j)=DELe(i,j);
else
end;
else
289
if DELe(i,j)<ae2(i,j)
ae2(i,j)=DELe(i,j);
else
end;
end;
end;
end;
DELEe=Ee-Ee0;
for i=1:3
for j=1:6
if DELEe(i,j)>0
if DELEe(i,j)>aEe1(i,j)
aEe1(i,j)=DELEe(i,j);
else
end;
else
if DELEe(i,j)<aEe2(i,j)
aEe2(i,j)=DELEe(i,j);
else
end;
end;
end;
end;
DELD=D-D0;
for i=1:3
for j=1:9
if DELD(i,j)>0
if DELD(i,j)>aD1(i,j)
aD1(i,j)=DELD(i,j);
else
end;
else
if DELD(i,j)<aD2(i,j)
aD2(i,j)=DELD(i,j);
else
end;
end;
end;
end;
end;
Al=A0I+aa2;
Ar=A0I+aa1;
gl=g0+ag2; %
gr=g0+ag1;
290
el=e0+ae2;
er=e0+ae1;
Eel=Ee0+aEe2;
Eer=Ee0+aEe1;
Dl=D0+aD2;
Dr=D0+aD1;%
grezl=iprodl(Al,Ar,gl,gr);
grezr=iprodr(Al,Ar,gl,gr);
grez=mazer(grezl,grezr);
erezl=iprodl(Al,Ar,el,er);
erezr=iprodr(Al,Ar,el,er);
erez=mazer(erezl,erezr);
Eerezl=iprodl(Al,Ar,Eel,Eer);
Eerezr=iprodr(Al,Ar,Eel,Eer);
Eerez=mazer(Eerezl,Eerezr);
Drezl=iprodl(Al,Ar,Dl,Dr);
Drezr=iprodr(Al,Ar,Dl,Dr);
Drez=mazer(Drezl,Drezr);
arobS;
%M-file arobS
y0=[-5 3 -2 0 0 0];
tk=.2;
[t,y]=robdast(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,uU,du,y0,tk,T);
disp('speed')
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.');
pause
close
disp('koord')
plot(t,y(:,4),'-',t,y(:,5),'-.',t,y(:,6),'.');
pause
close
%////////////////////////////////////////////////
Ii=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
for i=1:3
for j=1:3
Gg1(i,j)=0;
end;
end;
for i=1:3
for j=1:6
Gg2(i,j)=0;
Ff2(i,j)=0;
end;
291
end;
for i=1:3
for j=1:9
Ib(i,j)=0;
end;
end;
Db=Drez;
Da=erez;
DD=Eerez;
Ff1=grez;
Q1=first(Ii,Da,Gg1,Ff1);
Q2=stair(DD,Gg2,Ff2);
Q3=bll(Ib,Db);
Q23=Q2+Q3*jshtr(Jadd(3));
dmax=Q1;
dmin=-dmax;
dsqmax=[];
dsqmin=[];
dsqmax(1,:,:)=[Q23(1,1) Q23(1,2) Q23(1,3);0 Q23(1,4) Q23(1,5);0 0 Q23(1,6)];
dsqmax(2,:,:)=[Q23(2,1) Q23(2,2) Q23(2,3);0 Q23(2,4) Q23(2,5);0 0 Q23(2,6)];
dsqmax(3,:,:)=[Q23(3,1) Q23(3,2) Q23(3,3);0 Q23(3,4) Q23(3,5);0 0 Q23(3,6)];
dsqmin=-dsqmax;
n=3;
compensator;
aph=-phione-phitwo;
tk=.05;
e=-phi;
pause
[t,y]=robdastS(aph,e,msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,uU,du,y0,tk,T);
disp('speed')
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.');
pause
close
disp('koord')
plot(t,y(:,4),'-',t,y(:,5),'-.',t,y(:,6),'.');
pause
close
function [t,y]=robdast(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,uU,du,y0,tk,T);
tspan=[0 tk];
options=odeset('AbsTol',1e-5);
[t,y]=ode45(@tamina,tspan,y0,options);
function dydt=tamina(t,y)
s=t/T;
q=obkor(uU,du,s,T);
292
a=blok_2(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
b=blok_3(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
dydt=[a(1,1)*y(1)+a(1,2)*y(2)+a(1,3)*y(3)+a(1,4)*y(4)+a(1,5)*y(5)+a(1,6)*y(6)+b(1,2
)*y(1)*y(2)+b(1,3)*y(1)*y(3)+b(1,10)*y(5)*y(1)+b(1,11)*y(5)*y(2)+b(1,12)*y(5)*y(3)
+b(1,13)*y(6)*y(1)+b(1,14)*y(6)*y(2)+b(1,15)*y(6)*y(3);
a(2,1)*y(1)+a(2,2)*y(2)+a(2,3)*y(3)+a(2,4)*y(4)+a(2,5)*y(5)+a(2,6)*y(6)+b(2,1)*y(1)
^2+b(2,5)*y(2)*y(3)+b(2,6)*y(3)^2+b(2,10)*y(5)*y(1)+b(2,13)*y(6)*y(1)+b(2,14)*y(6
)*y(2)+b(2,15)*y(6)*y(3);
a(3,1)*y(1)+a(3,2)*y(2)+a(3,3)*y(3)+a(3,4)*y(4)+a(3,5)*y(5)+a(3,6)*y(6)+b(3,1)*y(1)
^2+b(3,4)*y(2)^2+b(3,7)*y(4)*y(1)+b(3,8)*y(4)*y(2)+b(3,10)*y(5)*y(1)+b(3,11)*y(5)
*y(2)+b(3,13)*y(6)*y(1)+b(3,14)*y(6)*y(2);
y(1);
y(2);
y(3)];
end
end
function [t,y]=robdastS(aph,e,msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,uU,du,y0,tk,T);
tspan=[0 tk];
options=odeset('AbsTol',1e-5);
[t,y]=ode45(@tamina,tspan,y0,options);
function dydt=tamina(t,y)
s=t/T;
q=obkor(uU,du,s,T);
a=blok_2(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
b=blok_3(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
u=[y(1);y(2);y(3)];
v=[y(4);y(5);y(6)];
m=modl(u,v);
aph1=aph(1,1)*m(1)+aph(1,2)*m(2)+aph(1,3)*m(3);
aph2=aph(2,1)*m(1)+aph(2,2)*m(2)+aph(2,3)*m(3);
aph3=aph(3,1)*m(1)+aph(3,2)*m(2)+aph(3,3)*m(3);
e1=e(1,1,1,1)*m(1)^3+e(1,2,2,2)*m(2)^3+e(1,3,3,3)*m(3)^3+e(1,2,2,1)*m(1)*m(2)^2+
e(1,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(1,3,3,2)*m(2)*m(3)^2+e(1,2,2,3)*m(3)*m(2)^2+e(1,1,2,3)*
m(1)*m(2)*m(3);
e2=e(2,2,2,2)*m(2)^3+e(2,3,3,3)*m(3)^3+e(2,2,2,1)*m(1)*m(2)^2+e(2,2,1,1)*m(2)*m(
1)^2+e(2,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(2,3,3,2)*m(2)*m(3)^2+e(2,1,1,1)*m(1)^3+e(2,1,2,3)*
m(1)*m(2)*m(3);
e3=e(3,3,3,3)*m(3)^3+e(3,3,3,1)*m(1)*m(3)^2+e(3,3,1,1)*m(3)*m(1)^2+e(3,3,3,2)*m(
2)*m(3)^2+e(3,3,2,2)*m(3)*m(2)^2+e(3,3,2,1)*m(3)*m(2)*m(1)+e(3,1,1,1)*m(1)^3+e
(3,2,2,2)*m(2)^3;
dydt=[a(1,1)*y(1)+a(1,2)*y(2)+a(1,3)*y(3)+a(1,4)*y(4)+a(1,5)*y(5)+a(1,6)*y(6)+b(1,2
)*y(1)*y(2)+b(1,3)*y(1)*y(3)+b(1,10)*y(5)*y(1)+b(1,11)*y(5)*y(2)+b(1,12)*y(5)*y(3)
+b(1,13)*y(6)*y(1)+b(1,14)*y(6)*y(2)+b(1,15)*y(6)*y(3)+aph1+e1;
293
a(2,1)*y(1)+a(2,2)*y(2)+a(2,3)*y(3)+a(2,4)*y(4)+a(2,5)*y(5)+a(2,6)*y(6)+b(2,1)*y(1)
^2+b(2,5)*y(2)*y(3)+b(2,6)*y(3)^2+b(2,10)*y(5)*y(1)+b(2,13)*y(6)*y(1)+b(2,14)*y(6
)*y(2)+b(2,15)*y(6)*y(3)+aph2+e2;
a(3,1)*y(1)+a(3,2)*y(2)+a(3,3)*y(3)+a(3,4)*y(4)+a(3,5)*y(5)+a(3,6)*y(6)+b(3,1)*y(1)
^2+b(3,4)*y(2)^2+b(3,7)*y(4)*y(1)+b(3,8)*y(4)*y(2)+b(3,10)*y(5)*y(1)+b(3,11)*y(5)
*y(2)+b(3,13)*y(6)*y(1)+b(3,14)*y(6)*y(2)+aph3+e3;
y(1);
y(2);
y(3)];
end
end
%M-file blok_1;
%inertia matrix
A=[];
A(1,1)=mv*l2^2*(sin(q(2)))^2+m1*r^2/2+ms*l2*l3*((sin(q(2)))^2*cos(q(3))+sin(2*q(
2))*sin(q(3))/2)+mz*l3^2*(sin(q(2)+q(3)))^2;
A(1,2)=0;
A(1,3)=0;
A(2,1)=0;
A(2,2)=msm*l2^2+ms*l2*l3*cos(q(3))+mz*l3^2+m2*l2^2/4;
A(3,3)=mz*l3^2;
A(2,3)=(ms*l2*l3*cos(q(3))+A(3,3))/2;
A(3,1)=0;
A(3,2)=A(2,3);
% 111111111111111111111111
a22=[];
a23=[];
a112=mv*l2^2*sin(2*q(2))+ms*l2*l3*sin(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3));
a113=mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3))+ms*l2*l3*sin(q(2))*cos(q(2)+q(3));
d1212=2*(mv*l2^2*cos(2*q(2))+ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*
q(3)));
d1213=ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3));
d1312=d1213;
d1313=2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3))-ms*l2*l3*sin(q(2))*sin(q(2)+q(3));
g11=0;
g12=a112*q(7)+d1212*q(4)*q(5)+d1312*q(4)*q(6);
g13=a113*q(7)+d1213*q(4)*q(5)+d1313*q(4)*q(6);
e11=a112*q(5)+a113*q(6);
e12=a112*q(4);
e13=a113*q(4);
E112=a112;
E113=a113;
D112=d1212*q(5)+d1312*q(6);
294
D113=d1213*q(5)+d1313*q(6);
D122=d1212*q(4);
D123=d1213*q(4);
D132=d1312*q(4);
D133=d1313*q(4);
% 2222222222222222222222
a22(1)=0;
a22(2)=0;
a22(3)=-ms*l2*l3*sin(q(3));
a23=a22;
d1122=-d1212/2;
d1123=-d1213/2;
d2323=a22(3);
d3323=d2323/2;
d1121=0;
d3321=0;
d3322=0;
d3321=0;
d3322=0;
d2321=0;
d2322=0;
g21=a22(1)*q(8)+a23(1)*q(9);
g22=a22(2)*q(8)+a23(2)*q(9)+d1122*(q(4))^2;
g23=a22(3)*q(8)+a23(3)*q(9)+d1123*(q(4))^2+d3323*(q(6))^2+d2323*q(5)*q(6);
g22=g22-9.8*(msm+m2/2)*l2*cos(q(2))+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
g23=g23+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
e21=-a112*q(4);
e22=a22(3)*q(6);
e23=a22(3)*(q(5)+q(6));
E211=-a112/2;
E223=a22(3);
E233=a22(3)/2;
D212=2*d1122*q(4);
D213=2*d1123*q(4);
D223=d2323*q(6);
D233=d2323*(q(5)+q(6));
% 33333333333333333333
a323=a22(3)/2;
d1131=0;
d1132=-d1213/2;
d1133=-d1313/2;
d2231=0;
d2232=0;
295
d2233=ms*l2*l3*cos(q(3))/2;
g31=d1131*(q(4))^2+d2231*(q(5))^2;
g32=d1132*(q(4))^2+d2232*(q(5))^2;
g33=d1133*(q(4))^2+d2233*(q(5))^2+a22(3)*q(8);
g32=g32+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
g33=g33+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
e31=-a113*q(4);
e32=-a22(3)*q(5);
E311=-a113/2;
E322=-a22(3)/2;
D311=2*d1131*q(4);
D312=2*d1132*q(4);
D313=2*d1133*q(4);
D321=2*d2231*q(5);
D322=2*d2232*q(5);
D323=2*d2233*q(5);
function [v]=blok_2(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
m0=1.5;
A(1,1)=mv*l2^2*(sin(q(2)))^2+m1*r^2/2+ms*l2*l3*((sin(q(2)))^2*cos(q(3))+sin(2*q(
2))*sin(q(3))/2)+mz*l3^2*(sin(q(2)+q(3)))^2;
A(1,2)=0;
A(1,3)=0;
A(2,1)=0;
A(2,2)=msm*l2^2+ms*l2*l3*cos(q(3))+mz*l3^2+m2*l2^2/4;
A(3,3)=mz*l3^2;
A(2,3)=(ms*l2*l3*cos(q(3))+A(3,3))/2;
A(3,1)=0;
A(3,2)=A(2,3);
%equation_1
a112=mv*l2^2*sin(2*q(2))+ms*l2*l3*sin(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3));
a113=mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3))+ms*l2*l3*sin(q(2))*cos(q(2)+q(3));
d1212=2*(mv*l2^2*cos(2*q(2))+ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*
q(3)));
d1213=ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3));
d1312=d1213;
d1313=2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3))-ms*l2*l3*sin(q(2))*sin(q(2)+q(3));
g11=0;
g12=a112*q(7)+d1212*q(4)*q(5)+d1312*q(4)*q(6);
g13=a113*q(7)+d1213*q(4)*q(5)+d1313*q(4)*q(6);
e11=a112*q(5)+a113*q(6);
e12=a112*q(4);
e13=a113*q(4);
%equation_2
296
a22(1)=0;
a22(2)=0;
a22(3)=-ms*l2*l3*sin(q(3));
a23=a22;
d1122=-d1212/2;
d1123=-d1213/2;
d2323=a22(3);
d3323=d2323/2;
d1121=0;
d3321=0;
d3322=0;
d3321=0;
d3322=0;
d2321=0;
d2322=0;
g21=a22(1)*q(8)+a23(1)*q(9);
g22=a22(2)*q(8)+a23(2)*q(9)+d1122*(q(4))^2;
g23=a22(3)*q(8)+a23(3)*q(9)+d1123*(q(4))^2+d3323*(q(6))^2+d2323*q(5)*q(6);
g22=g22-9.8*(msm+m2/2)*l2*cos(q(2))+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
g23=g23+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
e21=-a112*q(4);
e22=a22(3)*q(6);
e23=a22(3)*(q(5)+q(6));
%equation_3
a323=a22(3)/2;
d1131=0;
d1132=-d1213/2;
d1133=-d1313/2;
d2231=0;
d2232=0;
d2233=ms*l2*l3*cos(q(3))/2;
g31=d1131*(q(4))^2+d2231*(q(5))^2;
g32=d1132*(q(4))^2+d2232*(q(5))^2;
g33=d1133*(q(4))^2+d2233*(q(5))^2+a22(3)*q(8);
g32=g32+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
g33=g33+9.8*(msm-m0/2)*l3*cos(q(2)+q(3));
e31=-a113*q(4);
e32=-a22(3)*q(5);
%//////////////////////////////////////
g=-[0 g12 g13;g21 g22 g23;g31 g32 g33];
e=-[e11 e12 e13;e21 e22 e23;e31 e32 0];
AI=inv(A);
gI=mulm(AI,g);
eI=mulm(AI,e);
297
v=[eI gI];
end
function [v]=blok_3(msm,mv,ms,mz,m1,m2,l2,l3,r,q);
m0=1.5;
A(1,1)=mv*l2^2*(sin(q(2)))^2+m1*r^2/2+ms*l2*l3*((sin(q(2)))^2*cos(q(3))+sin(2*q(
2))*sin(q(3))/2)+mz*l3^2*(sin(q(2)+q(3)))^2;
A(1,2)=0;
A(1,3)=0;
A(2,1)=0;
A(2,2)=msm*l2^2+ms*l2*l3*cos(q(3))+mz*l3^2+m2*l2^2/4;
A(3,3)=mz*l3^2;
A(2,3)=(ms*l2*l3*cos(q(3))+A(3,3))/2;
A(3,1)=0;
A(3,2)=A(2,3);
%equation_1
a112=mv*l2^2*sin(2*q(2))+ms*l2*l3*sin(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3));
a113=mz*l3^2*sin(2*q(2)+2*q(3))+ms*l2*l3*sin(q(2))*cos(q(2)+q(3));
d1212=2*(mv*l2^2*cos(2*q(2))+ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*
q(3)));
d1213=ms*l2*l3*cos(2*q(2)+q(3))+2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3));
d1312=d1213;
d1313=2*mz*l3^2*cos(2*q(2)+2*q(3))-ms*l2*l3*sin(q(2))*sin(q(2)+q(3));
E112=a112;
E113=a113;
D112=d1212*q(5)+d1312*q(6);
D113=d1213*q(5)+d1313*q(6);
D122=d1212*q(4);
D123=d1213*q(4);
D132=d1312*q(4);
D133=d1313*q(4);
%equation_2
a22(1)=0;
a22(2)=0;
a22(3)=-ms*l2*l3*sin(q(3));
a23=a22;
d1122=-d1212/2;
d1123=-d1213/2;
d2323=a22(3);
d3323=d2323/2;
d1121=0;
d3321=0;
d3322=0;
d3321=0;
298
d3322=0;
d2321=0;
d2322=0;
E211=-a112/2;
E223=a22(3);
E233=a22(3)/2;
D212=2*d1122*q(4);
D213=2*d1123*q(4);
D223=d2323*q(6);
D233=d2323*(q(5)+q(6));
%equation_3
a323=a22(3)/2;
d1131=0;
d1132=-d1213/2;
d1133=-d1313/2;
d2231=0;
d2232=0;
d2233=ms*l2*l3*cos(q(3))/2;
E311=-a113/2;
E322=-a22(3)/2;
D311=2*d1131*q(4);
D312=2*d1132*q(4);
D313=2*d1133*q(4);
D321=2*d2231*q(5);
D322=2*d2232*q(5);
D323=2*d2233*q(5);
%//////////////////////////////////////
Ee=-[0 E112 E113 0 0 0;E211 0 0 0 E223 E233;E311 0 0 E322 0 0];
D=-[0 0 0 D112 D122 D132 D113 D123 D133;0 0 0 D212 0 0 D213 D223 D233;D311
D321 0 D312 D322 0 D313 D323 0];
AI=inv(A);
EeI=mulm(AI,Ee);
DI=mulm(AI,D);
v=[EeI DI];
end
function [v]=obkor(uU,du,s,T);
p=(10*s^3-15*s^4+6*s^5);
w=(30*s^2-60*s^3+30*s^4)/T;
y=(60*s-180*s^2+120*s^3)/T^2;
for i=1:3
v(i)=uU(i)+p*du(i);
v(i+3)=w*du(i);
v(i+6)=y*du(i);
299
end; end
function [v]=mazer(a,b);
if size(a)==size(b)
m=size(a,1);
n=size(a,2);
for i=1:m
for j=1:n
v(i,2*(j-1)+1)=a(i,j);
v(i,2*(j-1)+2)=b(i,j);
end;
end;
else
disp('mistake')
end
function [v]=iprodl(a,b,c,d);
s1=mulm(a,c);
s2=mulm(a,d);
s3=mulm(b,c);
s4=mulm(b,d);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(c,2)
v(i,j)=mmin(mmin(s1(i,j),s2(i,j)),mmin(s3(i,j),s4(i,j)));
end;
end
function [v]=iprodr(a,b,c,d);
s1=mulm(a,c);
s2=mulm(a,d);
s3=mulm(b,c);
s4=mulm(b,d);
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(c,2)
v(i,j)=mmax(mmax(s1(i,j),s2(i,j)),mmax(s3(i,j),s4(i,j)));
end;
end
300
Приложение Е
Вертолет на тензостенде
301
Приложение Ж
Схема бортовой аппаратуры
Плата центрального
процессора
Жесткий
диск
VGA
адаптер
TP6508
Pentium III 700Mhz
256 kB L2
128 Mb
RAM
IDE USB RS232
Model MSMP3SEN/SEN
Radio Ethernet
802.11 Wlan
Model WIB220
1Gb
AT2520i1024
PC104 BUS
Таймер/счетчик 10 каналов 16 bit
Model Quartz - MM
Общий
шаг
Крен
Плата АЦП 16вх/12 bit Model AD1674B
3
акселерометра
3 датчика
угловой
скорости
ADXRS300EB
ADXL202AE
3 магнитометра
HB0103A
Тангаж
DS1013
Хвост
Датчик
числа
оборотов
Контроллер
угла
опережения
зажигания
Becker zA 13V
Газ
-5V +5V +12V -12V
Аккумулятор
3.7Vx4
5000mAh
Блок питания
Model HE104
302
Приложение И
Электронные устройства системы управления ЛА
Платы ЦП, АЦП, таймера, VGA, жесткого диска
Платы блоков питания
303
Приложение К
Поверхности функций моментов крена (вверху) и тангажа (внизу)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа