close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Лабораторная работа №8

код для вставкиСкачать
Лабораторная работа №8
Задание 8.1. Случайная величина X имеет математическое ожидание М[X] = 1 и
дисперсию, равную D[X] = 0,04. С помощью неравенства Чебышева оцените
Н + 15
Н + 10
.
< x<
100
10
вероятность выполнения неравенства
Задание 8.2. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте
является случайной величиной с математическим ожиданием 2000 кВт/ч и
дисперсией D[X] = 10000N. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в населенном пункте
составит величину от 1500 до 2500 кВт/ч
Задание 8.3. Вероятность некоторого события А в каждом из n независимых
испытаний равна р =
1
. Используя неравенство Чебышева, оцените вероят3
ность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине менее чем на 0,01, если будет произведено: а) n = 1000N
испытаний; б) n = 10000N испытаний. Сравните полученные оценки с результатами применения интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
Задание 8.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
⎧1 − ( N + 1)− x − ( N + 1)− y + ( N + 1)− x − y ,
F ( x, y ) = ⎨
x < 0, y < 0.
⎩ 0,
x ≥ 0;
y ≥ 0;
Найдите: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки ( x, y ) в прямоугольник x = −1; x = 1; y = N ; y = N + 1 .
Задание 8.5. Система случайных величин подчинена закону распределения с
плотностью
⎧ N 2 xye − ( x
f ( x, y ) = ⎨
⎩ 0,
2
+ y2 )
,
x ≥ 0; y ≥ 0 ;
x < 0, y < 0.
Найдите математические ожидания и дисперсии составляющих.
Задание 8.6. Изготавливаемые в цехе втулки сортируются по отклонению их
88
внутреннего диаметра от номинального размера (X) и по отклонению внешнего
диаметра (Y). Совместное распределение отклонений (X, Y) задано таблицей.
Y, мм
X, мм
Н +1
100
Н+2
100
Н +3
100
Н+4
100
Н+2
1000
Н+4
1000
Н+6
1000
Н +8
1000
0,01
0,03
0,04
0,02
0,02
0,24
0,10
0,04
0,04
0,15
0,08
0,03
0,04
0,06
0,08
0,02
Найдите: а) законы распределения случайных величин X и Y в отдельности; б)
закон распределения Y при условии, что x =
при условии, что y =
Н +3
; в) закон распределения X
100
Н+2
; г) математические ожидания, средние квадратиче1000
ские отклонения и коэффициент корреляции.
Задание 8.7. Заданы плотности распределения независимых составляющих
непрерывной случайной величины ( X , Y ) :
⎧ Ne − N x , x > 0;
f (x ) = ⎨
x ≤ 0.
⎩ 0,
⎧2 N e −2 N y , y > 0;
f (y) = ⎨
y ≤ 0.
⎩ 0,
Найдите: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.
Задание 8.8. Система непрерывных случайных величин ( X , Y ) распределена
непрерывно внутри квадрата со стороной N, диагонали которого совпадают с
осями координат. Найдите: а) двумерную плотность совместного распределения системы; б) плотности и условные плотности составляющих.
Задание 8.9. Из коробки, в которой четыре красных, два синих и (3 + N) зеле-
ных карандаша, наудачу извлекли три карандаша. Пусть X – число красных, а Y
89
– число синих карандашей среди извлеченных. 1) Найдите: а) закон распределения системы (х, у); б) законы распределения X и Y в отдельности; в) закон
распределения X при условии, что у = 1; г) вероятность события ( х < 3, y = 10).
2) Определите являются ли X и Y зависимыми?
Задание 8.10. Случайная величина X подчинена нормальному закону распреде-
ления с плотностью вероятности
−
1
f (x ) =
e
10 2π
( x − 30 ) 2
200
.
Требуется: а) с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность
P(30 − N < x < 30 + N ) ;
б)
найти
точное
значение
вероятности
P(30 − N < x < 30 + N ) ; сравнить результаты, полученные в п. а) и б).
Вопросы для самоконтроля
Сформулируйте правило «трех сигм»; теорему Бернулли; центральную
предельную теорему; теорему Чебышева. Запишите неравенство Чебышева.
Сформулируйте определение функции распределения двумерной случайной
величины и перечислите ее свойства. Сформулируйте определение плотности
совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной
величины.
Что такое ковариация и коэффициент корреляции? Какое свойство
случайных величин они характеризуют?
90
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа