close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ИЖКК
3 семестр
Очная форма обучения. Бакалавры.
I курс, 3 семестр.
Направление ИЖКК
Дисциплина - «Математика-1»
Материалы для подготовки к экзамену
Содержание
Материалы для подготовки к экзамену ...................................................................... 1
Содержание .................................................................................................................... 1
Описание экзаменационного билета ........................................................................... 1
Теоретические вопросы ................................................................................................ 1
Ряды ............................................................................................................................. 1
Теория вероятностей ................................................................................................. 2
Образцы экзаменационных задач ................................................................................ 3
Числовые и степенные ряды ..................................................................................... 3
Теория вероятностей и элементы математической статистики ............................ 5
Описание экзаменационного билета
Экзаменационный билет:
 1 теоретический вопрос.
Числовые и степенные ряды.
 2 теоретический вопрос.
Теория вероятностей и элементы математической статистики.
 1 задача.
Числовые и степенные ряды.
 2 задача.
Теория вероятностей и элементы математической статистики.
Теоретические вопросы
………. Незнание подчеркнутых вопросов прекращает экзамен
* - данные доказательства, задачи на «4» и «5».
На «3» - формулировки теорем, определения, умение применять их к решению задач,
геометрические иллюстрации понятий.
Ряды
1. Числовой ряд, основные определения: частичная сумма, сходимость ряда,
сумма ряда, расходящийся ряд.
2. Основные свойства сходящихся рядов (доказательство одного из свойств).
3. Необходимый признак сходимости (доказательство). Пример ряда,
показывающий, что необходимый признак не является достаточным.
Достаточный признак расходимости.
4. Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное
условие сходимости ряда с положительными членами (доказательство*).
~1~
ИЖКК
3 семестр
5. Первый признак сравнения рядов с положительными членами
(доказательство*).
Второй
(предельный)
признак
сравнения
(формулировка).
6. Признак Даламбера для рядов с положительными членами (формулировка,
доказательство*).
7. Интегральный признак сходимости Коши (формулировка, доказательство*).
Исследовать на сходимость ряд

1
n
n 1
p
с помощью интегрального признака
Коши.
8. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости числовых рядов с
членами любого знака (формулировка, доказательство*).
9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница - достаточный признак
сходимости знакочередующегося ряда (формулировка, доказательство*).
Абсолютная и условная сходимости знакопеременного ряда (определение).
Примеры.
10. Функциональные ряды. Точка сходимости и область сходимости
функционального ряда. Степенные ряды, их вид. Интервал сходимости
степенного ряда. Нахождение интервала сходимости ряда

a
n 0
n
xn
по
признаку Даламбера.
11. Сумма степенного ряда как функция, определенная на интервале
сходимости. Свойства суммы степенного ряда: теоремы о непрерывности
суммы ряда, о почленном дифференцировании и интегрировании степенного
ряда.
12. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд
(доказательство). Ряды Тейлора и Маклорена.
13. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Теорема о
сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (доказательство*).
14. Разложение в ряд Маклорена функций sin x , e x с доказательством*
сходимости ряда к порождающей функции. Разложение в ряд Маклорена
функции cos x почленным дифференцированием ряда Маклорена для sin x
15. Разложения в ряд Маклорена 1  x  , ln 1  x  , arctg x без исследования
остаточного члена.
Теория вероятностей
1. Случайные события. Классификация событий по возможности их появления:
достоверное, невозможное, случайное. Операции над событиями: сумма,
произведение, разность событий, противоположное событие.
2. Классическое определение вероятности, свойства вероятности событий.
Геометрическое определение вероятности.
3. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей для
совместных и несовместных событий с доказательством.
4. Условная вероятность события. Независимые события. Теорема умножения
вероятностей для зависимых и независимых событий (доказательство).
~2~
ИЖКК
3 семестр
5. Полная группа событий. Формула полной вероятности (вывод). Формула
Байеса (вывод*).
6. Испытания Бернулли. Формула Бернулли (вывод*).
7. Случайные величины. Дискретная случайная величина. Закон распределения
дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной
случайной величины: определение, свойства.
8. Непрерывная случайная величина. Функция распределения непрерывной
случайной величины: определение, свойства (доказательство одного из
свойств).
9. Нахождение вероятности попадания непрерывной случайной величины в
данный интервал (вывод*).
10.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
определение, свойства. Вероятность попадания случайной величины в
данный интервал. Нахождение функции распределения по известной
плотности распределения вероятностей (вывод формулы).
11.Вероятностный смысл плотности. Элемент вероятности.
12.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин:
определения. Свойства математического ожидания с доказательством
одного из них. (Понятие независимых случайных величин можно
рассматривать на примере дискретных случайных величин).
13.Дисперсия случайной величины: определение, свойства дисперсии с
доказательством одного из них. Среднее квадратическое отклонение:
определение.
14.Биноминальное распределение, его числовые характеристики.
15.Нормальное распределение: плотность вероятности, еѐ график. Числовые
характеристики нормального распределения. Формулы нахождения
вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в
произвольный интервал и в интервал симметричный относительно
математического ожидания. Правило «3».
Образцы экзаменационных задач
Числовые и степенные ряды
Исследовать ряды с положительными членами

1.

n 1

2.
Ответ: расходится.


1 
.
n
Ответ: расходится.
 1 
.
2
  1
Ответ: расходится.
 ln  2 
n 1

3.
3n 2  5
.
7n 2  3
 cos n
n 1
3
~3~
ИЖКК
3 семестр
sin 2 n
4.  3
.
n1 3n  2


5.
 5n
n1
Ответ: сходится.
4n  1
.
2
 7n  1
Ответ: расходится.

6.
1
1
arctg
.
3
2n
n1
n

2n  3 
7.  

n1  5n  1 

Ответ: сходится.
n2
.
n
 7n 2  1 
8.   2
.
n1  3n  5n 


9.
1
Ответ: расходится.
 n  1ln n  1 .
2
n1

10.
Ответ: сходится.
ne
n2
Ответ: сходится.
Ответ: сходится.
.
n 1
2n  3  3
11. 
n  2!

n
Ответ: сходится.
n 1
e2 n
12. 
n1 5n  1

Ответ: расходится.
Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость
n

n 1
.
3n  2
n

4n  2
.
3n  1
 (1)
n

1
. Ответ: абсолютно сходится.
n  2 ln 3 n  2
n

1
.
n  13 ln( n  1)

1.
 (1)
n 1

2.
 (1)
n 1

3.
n 1

4.
 (1)
n 1

5.

n 1
cos n
.
3n 3  1

6.
 (1)
n 1
n

3n  1
.
5n  4
Ответ: условно сходится.
Ответ: расходится.
Ответ: условно сходится.
Ответ: абсолютно сходится.
Ответ: расходится.
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать
поведение ряда на концах интервала
~4~
ИЖКК
3 семестр
(1) n  x  1
1.  n
.
n 1 2  3n  5

n

Ответ:  3  x  1.
2.
xn
.

n
n 1 3 ( n  1) ln( n  1)
Ответ:  3  x  3 .
3.
( x  2) n  2n  1

( 2n)!
n 1
Ответ:    x   .

x  1n

4.
4
n 1
n
 3n4  5
Ответ:  3  x  5 .
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать
поведение ряда на концах интервала (самостоятельная работа)
1.
2.
3.
(x  1)n
 2
n
n 1 (n  1)  2


(x  2) n
n 1
2n  3 n 2  3

(x  5) n
 n
n 1 4 (n  4)

4.


n 1
 x  3
n 1
3
n
2
n
n
 2
5.
xn
 2
n 1 n  2n  6
6.
 x  3  n  2

 3n  4 


n 1
n
2
Теория вероятностей и элементы математической статистики
1. Группа туристов, состоящая из 15 юношей и 5 девушек, выбирает по жребию
дежурных в количестве 4 человек. Определить вероятность того, что в числе
выбранных окажутся трое юношей и одна девушка.
Ответ: 0,47
2. Две бригады строителей получают 10 инструментов, среди которых 2 отличного качества. Инструменты случайным образом делятся поровну.
Какова вероятность того, что в каждой бригаде будет инструмент отличного
качества.
Ответ: 0,555
3. Определить вероятность прохождения сигнала
по электрической цепи за данный промежуток
времени T. Если вероятность безотказной
работы элементов A1 , A 2 , A 3 соответственно
равны 0,6; 0,7 и 0,8.
Ответ: 0,884
4. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих
датчика. Вероятности того, что при пожаре датчик сработает, для первого и
второго соответственно равны 0,9 и 0,95. Определить вероятность того, что
при пожаре сработает хотя бы один датчик.
~5~
ИЖКК
3 семестр
Ответ: 0,995
5. На конвейер поступают однотипные изделия, изготовленные двумя
рабочими. При этом первый поставляет 60%, а второй – 40% общего числа
изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим,
окажется не стандартным, равна 0,005, вторым – 0,01. Взятое наудачу с
конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того,
что оно изготовлено первым рабочим.
Ответ: 0,4286
6. Вероятность того, что изделие некоторого производства удовлетворяют
стандарту, равна 0,96. Предполагается упрощенная система контроля,
которая пропускает с вероятностью 0,98 изделия, удовлетворяющие
стандарту. И с вероятностью 0,05 изделия, не удовлетворяющие стандарту.
Какова вероятность того, что изделие, прошедшее такой контроль,
удовлетворяет стандарту ?
Ответ: 0,9979
7. В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор работает с
полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что не менее 10
моторов работают с полной нагрузкой.
Ответ: 0,5584
8. Станок автомат производит 70% всех изделий первым сортом, а остальное –
вторым. Требуется установить, что является более вероятным – получить два
первосортных изделия из пяти наудачу отобранных или пять первосортных из
десяти.
Ответ: P5 (2)  0,1323 , P10 (5)  0,1029
9. Стеновая панель подвергается на испытаниях последовательному
воздействию трех нагрузок. Вероятность разрушения панели при этих
нагрузках соответственно равны – 0,1; 0,3 и 0,4. при разрушении деталь
последующей нагрузке не подвергается. Дискретная случайная величина –
число воздействовавших на деталь нагрузок. Найти: закон распределения,
числовые характеристики, функцию распределения F(x ) . Построить график
F(x ) .
X
1
2
3
P
0,1
0,27 0,63
Ответ: M ( X )  2,53 , D( X )  0,46
10. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу
отобрано 2 человека. Дискретная случайная величина – число мужчин среди
отобранных. Найти: закон распределения, числовые характеристики,
функцию распределения F(x ) . Построить график F(x ) .
X
0
1
2
P
0,066 0,467 0,467
Ответ: M ( X )  1,401, D( X )  0,372
~6~
ИЖКК
3 семестр
11. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана
следующим образом:


A
sin
2
x
,
x

[
0
,
];

2
f (x)  
0, x  [0,  ].

2
Определить коэффициент A, функцию распределения, математическое
ожидание и дисперсию, а также вероятность того, случайная величина примет

4
значение в интервале [ , ] . Построить график F(x ) и f(x).
12. Функция распределения
следующим образом:


0, x  0,


1  cos 2x
, 0x ,
Ответ: A  1, F(x)  
2
2



1,
x

.

2

M(X)  ,
4
2
 8
D(X) 
16

P(  X   )  0,5 .
4
непрерывной случайной величины задана
0, x  (, a) ;
 1
F ( x)   ( x  1) , x  [a, b] ;
2
1, x  [b,  ].
Найти параметры a и b. Найти выражение для плотности вероятности,
математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, случайная
величина примет значение в интервале [1, 2] . Построить график F(x ) и f(x).
Ответ: a  1 , b  3
 0, x  1,3
f ( x)  
,


0
,
5
x

1
,
3

M ( X )  2 , D( X )  0,333
P(1  X  2)  0,5.
~7~
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа