close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
86
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
Кузьменко А.Г.,*
Криворотько В.М.**
*Хмельницкий национальный университет,
г. Хмельницкий, Украина
**Национальный авиационный университет,
г. Киев, Украина
КОНТАКТНАЯ МЕХАНИКА ПЛОСКОЙ
КОМБИНИРОВАННОЙ ОПОРЫ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ КАЧЕНИИ ШАРИКОВ
И СКОЛЬЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Содержание
Введение
1. Контактное взаимодействие элементов опоры, случай, когда шарики равны толщине пластины
1.1. Принцип работы опоры
2. Контактное взаимодействие в опоре случае ( d = h )
2.1. Вывод основных соотношений
2.2. Анализ состояния опоры, проверочный расчет
2.2.1. Порядок расчета
2.2.2. Пример 1 расчета опоры
2.3. Оптимизация параметров опоры, проверочный расчет
2.3.1. Определяющие соотношения
2.3.2. Пример расчета
2.3.3. Задача I - определение одного параметра конструкции
3. Контактное взаимодействие элементов опоры при d ≠ h
3.1. Шарики больше толщины пластины d > h
3.2. Шарики меньше толщины пластины d < h
4. Износ пластины
4.1. Вывод уравнения задачи
Выводы
Литература
Введение
В опорах скольжения при вращении вала происходит скольжение вала по подшипнику. В гидродинамическом подшипнике их поверхности разделены слоем смазки.
В опорах качения при вращении вала происходит перекатывание тел качения с пренебрежимо
малым путем скольжения.
В литературе известен [1] термин комбинированные опоры, под которым понимают соединение
в один узел опор, поверхность, которых работает при трении скольжении, а часть при трении качения.
Детально работа таких опор исследована при гидродинамическом режиме смазки опор скольжения [1].
В данной работе изучаются комбинированные в основном возвратно-качающиеся подшипники
скольжения, работающие при граничном режиме смазки или совсем без смазки.
При этом учитывается контактная податливость опор и условия их совместных деформаций.
1. Принцип работы опоры
Плоская комбинированная опора (рис. 1) состоит из верхней плиты 1, нижней плиты 4 и средней
пластины 2, в которой со значительным зазором расположены шарики 3. Работа комбинированной опоры
имеет следующие особенности: 1) Средняя пластина неподвижно скреплена с нижней (или с верхней)
плитой; 2) В средней пластине выполнены круговые (или другой формы) отверстия радиуса d > h , в ко-
торые вставлены шарики радиуса R1 с зазором ∆ = R1 − R ; 3) В зазор между шариками и круговыми
отверстиями вводятся коксистениная смазка; 4) Между толщиной средней пластины с одной стороны и
диаметром шариков с другой стороны устанавливается определенное соотношение, так что бы передача
вертикальной нагрузки осуществлялась одновременно через шарики и через среднею пластину; 5) При
действии на верхнюю плиту сдвигающей нагрузки происходит: а) скольжение поверхности верхней плиты по поверхности средней плиты; в) качение шариков по поверхностям верхней и нижней плиты в случае, если шарик не контактирует с поверхностью кругового отверстия в средней плите; с) скольжение
шарика по поверхности кругового отверстия в средней плите, если шарик контактирует с этой поверхноПроблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
87
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
стью; д) скольжения шарика по верхней и нижней плите и неподвижный контакт по поверхности неподвижный контакт по поверхности кругового отверстия в средней плите.
Рис. 1 – Схема плоской комбинированной опоры с шариками (КОКОС - ШП)
1 – верхняя плита; 2 – средняя пластина;
3 – шарики; 4 – нижняя плита
Во всех случаях вследствие выдавливания смазки из зазора и контактирования смазочного шарика с поверхностью верхней плиты, происходит смазывание контактирующих поверхностей верхней плиты и средней пластины.
Таким образом, конструкция комбинированной опоры обладает несколькими положительными
свойствами: 1) из-за работы (качения) шариков снижается коэффициент трения в опорах; 2) при качении
шариков смазывается рабочие поверхности скольжения верхней плиты и средней пластины; 3) при одновременном контактировании шариков и средней плиты происходит благоприятная разгрузка как шариков, тик и поверхностей средней плиты; 4) по мере износа точек поверхности средней плиты растет нагрузка на шарики; по мере роста нагрузки на шарики уменьшается нагрузка на точки поверхности средней плиты, это приводит к уменьшению износа средней плиты; 5) в случае, если платина не скреплена с
нижней плитой при движении верхней плиты возможно смещение пластины.
Таким образом, комбинирования опора обладает свойствами саморегулирования нагрузки и
износа между телами качения и скольжения.
Далее задача состоит в описании контактной механики взаимодействия элементов комбинированной опоры и разработки методики расчета комбинированных опор на прочность и износ.
2. Контактное взаимодействие в опоре случае d = h
2.1. Вывод основных соотношений
Постановка контактной задачи включает: условие сплошности, условие равновесия и жесткостные характеристики элементов.
10. Условие сплошности или непрерывности в контакте имеет вид:
u h = u R = u0 ,
(2.1.1)
u h − контактное перемещение по нормали точек пластины;
u R − максимальные перемещения контактных точек поверхности шариков;
u 0 − перемещения контактных точек верхней плиты.
где
20. Условие равновесия верхней плиты на пластине и на шариках:
Q=
где
∑
∑
∑
Qh +
∑
QR ,
Q − общая нагрузка;
Qh − нагрузка, приходящаяся на все участки пластины;
QR − нагрузка, приходящаяся на все шарики.
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
(2.1.2)
88
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
Для удобства дальнейших рассуждений будем полагать, что n шариков распределены по пластине равномерно.
Разобьем всю поверхность пластины на n участков с размерами l1 и l 2 и обозначим площадь
участка через:
F12 = l1l 2 ,
(2.1.3)
тогда рабочая часть поверхности одного участка пластины:
Fh = l1l2 − π R12 .
Общая рабочая часть пластины будет:
(2.1.4)
F = nFh .
(2.1.5)
С учетом введенных соотношений условие равновесия (2.1.2) может быть записано в виде:
Q
= Qh + QR ,
n
(2.1.6)
,
(2.1.7)
или
Q1 = Qh + QR
где
Q1 =
Q
.
n
30. Податливость пластины для определенности и прочности примем в форме линейной винклеровской модели:
u h = k hσ
h
kh =
,
h
Eh
,
(2.1.8)
k h − коэффициент податливости;
σ h − среднее давление на пластину;
h − толщина пластины;
E h − модуль упругости материала пластины.
где
Податливость шарика определяется герцевским соотношением [2]:
2
u R = k R QR3
,
(2.1.9)
где
1
 1  1− µ 2 1− µ 2  2 3
1
2
  ,
k R = 1,651 
+
R
E
E
 
1
2
 
(2.1.10)
R − радиус шарика;
E1 , E2 , µ 1 , µ 2 − модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов плиты (индекс 1) и
где
шариков (индекс 2). Заметим, что коэффициентом 1,651 учитывается наличие двух плит и двух точек
контакта.
40. Вывод разрешающего уравнения. Подставляя соотношения податливости (2.1.8) и (2.1.9) в
условие сплошности (2.1.1), получаем:
2
3
R
k RQ = khσ h .
(2.1.11)
Учитывая, что:
Qh
,
Fh
(2.1.12)
kh
Qh .
Fh
(2.1.13)
σh=
далее имеем:
2
3
R
k RQ =
Определяя отсюда величину
Qh :
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
89
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
2
k F
Qh = R h QR3 ,
kh
(2.1.14)
и подставляя в условие равновесия (2.1.8) имеем:
2
k R Fh 3 Q
QR =
kh
n
QR +
,
(2.1.15)
или
2
QR + ξ QR3 = Q1
,
(2.1.16)
k R Fh
.
kh
ξ =
Это и есть основное разрешающие уравнение задачи, связывающие нагрузку на шарик с геометрическими и силовыми параметрами в контакте для случая, когда начальный зазор между шариком и
верхней плитой равен нулю.
Уравнение (1.3.15) сводится к кубическому уравнению и может быть решено по формуле Кардано или численно итерационным методом по процедуре:
( QR ) k + 1 =
Q1 − ξ ( Q
2
3
R n
)
,
(2.1.17)
где
ξ =
k R Fh
.
kh
(2.1.18)
50. Контактные давления при одинаковых материалах на шарике определяются по зависимости
σ
R
1
3
 E 
= 0,388 Q 2  ,
 R 
2
(2.1.19)
среднее давление на платине определяется по (1.3.11).
2.2. Анализ состояния опоры, проверочный расчет
2.2.1. Порядок расчета
10. Исходные данные
1) размеры опоры и шариков по рис. 1:
L1 ; L2 ; l1 ; l2 ; R; d ; R1 ; h ;
2) параметры упругости материалов пластины и шариков: Ε R ; µ R ; Εh ; µ h ;
3) число шариков:
4) общая нагрузка на опору Q:
5) допускаемые давления на пластину
σ *h и на шарик σ *R .
20. Искомые величины
1) нагрузка QR и Qh − действующие на один шарик и на один участок пластины;
2) давления σ R и σ h − максимальные давления, действующие на шарик и давления на рабочую
поверхность пластины; сравнить действующие давления с допускаемыми;
3) величина осадки верхней плиты u R = u h .
30. Порядок расчета
1. Вспомогательные расчеты площадей:
1) общая площадь F0 пластины по (2.1.3);
F1 одного участка пластины с одним шариком по (2.1.3а);
3) площадь Fh − рабочей части одного участка пластины по (2.1.4).
2) площадь
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
90
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
2. Расчеты коэффициентов податливости:
1) k h − коэффициент податливости пластины по (2.1.7);
k R − коэффициент податливости шарика по (1.2.9); или по (2.1.9а).
3. Определение величины безразмерного комплекса ξ по (2.1.17).
4. Решение разрешающего уравнения (2.1.15), определение нагрузки QR на один шарик; предварительное определение нагрузки Q1 на один участок опоры по (2.1.6).
2)
Решение уравнения проще всего выполнить методом перебора.
5. Определение силы Qh , действующей на участок пластины по (2.1.6).
6. Определение контактных давлений, действующих на шарик σ R по (2.1.18) и на участок пластины по (2.1.19).
Сравнить полученные давления с допускаемыми u R0 .
7. Определение осадки плиты для контактных точек шарика по (2.1.8), для точек пластины по
(2.1.7).
40. Анализ результатов расчета
1. Сравнение полученных величин давлений с допускаемыми для шарика и для пластины.
2. Сравнение осадки плиты с допусками на разброс толщины плиты и шарика.
2.2.2. Пример 1 расчета опоры
10. Задача. Выполнить проверочный расчет плоской комбинированной опоры с шариками типа
COM.F/ SP при данных, приведенных в табл. 2.1.
Таблица 2.1
№
1
Исходные данные и результаты расчетов в примере 1
Наименование величины. Исходные данные
Обозначение Размерность
L1 × L2
мм
Общие размеры пластины L
2
Размеры участка пластины
3
4
Размеры шарика радиус
Размеры шарика диаметр
5
Радиус отверстия под шарик
6
7
8
Толщина пластины
Число шариков
Модуль упругости материала шарика и плит
9
Коэффициент Пуассона материала шарика
10
Модуль упругости материала пластины
11
Общая нагрузка на опору
12
l1 × l 2
R
d
R1
h
n
ΕR
µ
Εh
Величина
40×40
мм
20×20
мм
мм
5
10
мм
8
мм
кг/мм2
5
4
2,1⋅104
-
0,3
2
кг/мм
3⋅102
Qn
кг
40
Нагрузка на один участок
Q1
кг
13
Допустимое давление на материал шарика
σ
14
Допустимое давление на материал пластины
σ
*
R
*
h
10
2
кг/мм
5,0
кг/мм2
0,5
кг
0,75
кг
9,25
R
кг/мм2
328
σh
кг/мм2
0,047
uR
мм
0,15⋅10-2
Результаты расчетов
1
Нагрузка на один шарик
2
Нагрузка на один рабочий участок пластины
3
Максимальное давление на шарик
Среднее давление на рабочий участок пластины
Осадка верхней плиты
4
5
QR
Qn
σ
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
91
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
6
Коэффициент податливости пластины
7 Коэффициент податливости шарика
20. Расчеты
1. Вспомогательные расчеты площадей:
1) общая площадь пластины:
kn
мм3/кг
3,33⋅10-2
kR
мм/кг
0,189⋅10-2
Fобщ = L1 × L2 = 40 × 40 = 1600 мм2;
2) площадь одного участка пластины:
F1 =
Fобщ 1600
=
= 400 мм2;
n
4
3) площадь рабочей части одного участка пластины:
Fh = F1 − π R12 = 400 − π ⋅ 82 = 198 мм2.
2. Определение коэффициентов податливости:
1) коэффициент податливости пластины:
h
10
=
= 3,33 ⋅ 10 − 2 мм3/кг;
2
Ε h 3 ⋅ 10
kh =
2) коэффициент податливости шарика:
kR =
2,4612
1
3
R Ε
2
3
R
2,4612
=
1
3
(
5 2,1 ⋅ 10
)
2
4 3
= 0,189 ⋅ 10 − 2 мм3/кг.
3. Определение величины безразмерного коэффициента
ξ =
ξ в уравнении задачи:
−2
kR
0,189 ⋅ 10
Fh =
198 = 11,24.
kh
3,33 ⋅ 10 − 2
4. Решение нелинейного уравнения задачи:
2
QR + 11,24QR3 − 10 = 0
выполним методом перебора, определяя точки функции невязки:
2
ε = ( QR ) i + 11,24)( QR ) i3 − 10 .
Перебор значений
( QR ) i
( QR ) i выполняется в диапазоне:
QR = ( 0...10 ) кг .
0
1,0
ε
- 10
+ 2,24
В результате имеем для силы на шарик:
0,8
0,7
0,75
0,68
- 0,43
0,028
QR = 0,75 кг.
5. Сила, действующая на рабочий участок пластины:
Qh = Q1 − QR = 10 − 0,75 = 9,25 кг.
6. Контактные давления:
1) Максимальное контактное давление на шарик:
1
(


Ε R2  3
2,1 ⋅ 10 4

σ R = 1,388 QR 2  = 1,388 0 ,75

R 
52


σ R = 328 кг/мм2;
)
2) среднее давление на рабочей части пластины:
σh=
Qh 9,25
=
= 0,047 кг/мм2.
Fn 198
7. Осадка плиты:
1) контактные перемещения плиты:
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
2

;


92
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
uh = kh
Qh
0,75
= 3,33 ⋅ 10− 2
= 0,154 ⋅ 10− 2 мм;
Fh
198
2) контактные перемещения шарика:
2
2
u R = k R QR3 = 0,189 ⋅ 10 − 2 ⋅ 0,75 3 = 0,156 ⋅ 10 − 2 мм.
2.3. Оптимизация параметров опоры, проверочный расчет
2.3.1. Определяющие соотношения
10. Сводка соотношений, запишем основное уравнение (1.2.14) контактной механики плоской
комбинированной опоры с шариками, равными толщине пластины в развернутом виде с учетом (1.2.7),
(1.2.8), (1.3.11):
2
QR +
Q1 =
Q
,
h
u R = k RQ
2
3
R
k R Fh 3
QR = Q1 ,
kh
h
,
Eh
(2.3.2)
c R = 2,4612 ,
(2.3.3)
kh =
u h = k hQh ,
cR
kR =
,
1
,
2
(2.3.1)
R 3 E R3
Fh = l1l2 − π R1 .
(2.3.4)
Подставляя (3.1.2) и (3.1.3) в (3.1.1), имеем основное разрешающее уравнение в развернутом
виде:
QR +
cR Fh Eh
2
3
R
Q = Q1 .
(2.3.5)
Средние контактные давления на рабочей части пластины,
σ h и максимальные давления на ша-
1
3
2
3
R
R E h
рике
σ
R
определяются по зависимостям:
Q
σh= h ,
Fh
σ
R
2
1
3
R
 E 3
= cσ Q  R  ,
 R 
cσ = 0,388.
(2.3.6)
Общее условие равновесия:
Q1 = QR + Qh .
ны
Qh
(2.3.7)
20. Преобразование соотношений к задаче оптимизации. Определяя из выражений (3.1.6) величии QR и подставляя в уравнения (3.1.5) и (3.1.10) имеем систему двух уравнений:
2
3
R
2
3
u R = k R Q = 0,189 ⋅ 10 ⋅ 0,75 = 0,156 ⋅ 10 − 2 мм.
−2
30. Анализ расчетов
1. Максимальные контактные давления на шарике:

σ

R
= 328
кг   *
кг 
>  σ R = 50

2 
мм  
мм 2 
превышающие допустимые контактные давления.
2. Контактные давления на пластине:
кг   *
кг 

<  σ h = 0,5
 σ h = 0,047

2 
мм  
мм 2 

меньше допустимых.
3. Опускание плиты или контактные перемещения шарика (или плиты):
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
93
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
u R = 1,5 мкм
находятся в пределах допуска микронеровностей.
2
 3 2
3
2 3
 σ R R + C R Fh E h  σ R R  = Q ;
2
2
 c E2 
 cσ3 E R2
n
 R R
3
3
R
E
h

R

σ 3 R2
 σ h Fh + 3R 2 = Q .

cR ER n
(3.1.8), (3.1.9)
Эти уравнения содержат восемь основных параметров:
σ R , σ h , Q, n, E h , E R , Fh , ( l1 , l2 , R1 ) , R1 .
При проектировании и создании конструкции часть параметров может быть задана из конструктивных соображений и других требований, остальные параметры могут определяться из уравнений. Покажем этот процесс на двух задачах.
Пусть величина радиуса R1 определена или задана из условия величины возвратно-поступательного движения, а размеры
l1 = l2 = l одинаковы, тогда из (3.1.11) имеем формулу для определения ве-
личины l .
(
)
1
l = Fh + π R12 2 .
(3.1.12)
Общие квадратные размеры определяются по количеству шариков:
L = L1 = L2 = nl .
(3.1.13)
2.3.2. Пример расчета
Исходные данные примем из примера п. 2.2.1:
кг
мм 2
h = 10 мм
R1 = 8 мм
кг
∗
σ h = 0,5
R = 5 мм
n = 4 мм
мм 2
кг
4
c R = 2,4612
Q = 40кг Е R = 2,1 ⋅ 10
мм 2
σ ∗R = 50
2.3.3. Задача I − определение одного параметра конструкции
10. Задача I формулируется следующим образом: спроектировать опору при следующих заданных величинах:
Q, σ ∗ , σ ∗ , h, R, E , E , R , n .
R
Определить величину площади
h
h
R
1
Fh − рабочей части поверхности пластины.
20. Решение задачи. При заданных величинах площадь контакта с пластиной
определена из уравнения (3.1.9):
Fh может быть
( )
 Q σ ∗R 3 R 2 
 −
.
3 2
 n

c
E
R R


Размеры конструкции связаны с площадью Fh соотношением типа (1.2.4):
1
Fh = ∗
σh
Fh = l1l2 − π R12 .
(3.1.11)
1. Площадь одного рабочего участка поверхности пластины определяем по (3.1.10):
Fh =
1 
503 ⋅ 52
10 −
0,5 
2,46123 ⋅ 2,1 ⋅ 10 4
(
(3.1.10)
)
2

 = 20 мм2.


Отсюда по (3.1.12) находим:
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
94
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
(
l = Fh + π R12
)
1
2
(
= 20 + π ⋅ 8 2
)
1
2
= 14,87 мм.
Отсюда следует, что квадратная область пластины вокруг пластины быть на может. Находим
размер кольцевой области:
(
)
Fh = π R22 − R12 ,
1
 Fh + π R12  2 .

R2 = 
π


Подставляя исходные данные имеем:
 20 + π ⋅ 8
R2 = 
π

2
1
2

 = 8,388 мм.

То есть ширина кольцевой области должна быть всего 0,3 мм.
3. Контактное взаимодействие элементов опоры при
d= h
3.1. Шарики больше толщины пластины d > h
10. Постановка задачи. Диаметр шара d и толщины пластины h в начальный момент процесса
нагружения могут не совпадать. Это несовпадение может быть как случайным или технологическим, так
и специально сформированным.
В случае, если диаметр шариков больше толщины пластины в начальный момент нагрузка передается только через шарики. При этом если вся нагрузка Q распределяется равномерно, то имеем:
QR =
Q
.
n
(3.1.1)
Далее, как только максимальные контактные перемещение шариков
сти размеров шара и толщины пластинки:
u R0 = d − h > 0 ,
вступает в работу плоская поверхность пластины. При этом сила
будет:
u R0 станут равными разно(3.1.2)
0
R
Q на каждом шарике с учетом (1.2.9)
3
 u0  2
Q =  R  .
 kR 
(3.1.3)
0
R
После включения в работу поверхности пластины условие равновесия будет для участка пластины иметь вид:
Q1 = Qh + QR0 + ∆ QR ,
(3.1.4)
(3.1.5)
QR = Q + ∆ QR .
Условие сплошности в контакте после вступления в работу поверхности пластины имеем вид:
0
R
или
u h + u R0 = u R ,
(3.1.6)
uh = uR − u = ∆ uR .
(3.1.7)
0
R
Задача состоит в определении нагрузки, действующей на участок пластины Qh и шарик
любой момент процесса нагружения при условии, что в соответствии с (1.2.9) и (1.2.8):
uh = kh σ h ;
kh =
h
,
Eh
2
3
R
uR = k RQ ,
где для одинаковых материалов шариков и плит:
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
QR в
(3.1.8)
(3.1.9)
95
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
1
при
 4  1− µ 2  2 3
  ,
k R = 651 
 R  E  


µ = 0,3 :
(3.1.10)
2,4612
kR =
1
.
2
(3.1.11)
R3E 3
20. Вывод разрешающего уравнения запишем условие сплошности (3.1.7) с учетом (3.1.9) и
(3.1.10):
(
)
2
Qh
+ u R0 = k R QR0 + ∆ QR 3 .
(3.1.12)
Fh
Неизвестные величины ∆ QR и Qh определяются из системы нелинейных уравнений (3.1.12) и
(1.3.4). Выражая из (1.3.4) величину Qh :
kh
Qh = Q1 − QR0 − ∆ QR ,
(3.1.13)
и подставляя в (1.3.12) имеем одно нелинейное уравнение относительно величине
(
)
(
)
2
3
kh
Q1 − QR0 − ∆ QR + u R0 = k R QR0 + ∆ QR ,
Fh
∆ QR :
(3.1.14)
или
(
kh
∆ QR − QR0 + ∆ QR
k R Fh
)
2
3
+
k h (Q1 − QR0 )
+ QR0 = 0
k R Fh
(3.1.15)
)
(3.1.16)
или
(
c1∆ QR + QR0 + ∆ QR
c1 =
kh
;
k R Fh
2
3
− c2 = 0
,
c2 = c1 (Q1 − QR0 ) + QR0 .
(3.1.17)
u R0 , QR0 = 0, ∆ QR = QR уравнения (1.3.16) приводится к уравнению (1.2.16), полученному для случая d = h .
При
Нелинейная алгебраическое уравнение (1.3.16) можно решать: 1) численно итерационным по
процедуре:
(
)
2
c2
− QR0 + ∆ QR( k ) 3 ;
(3.1.18)
c1
2) прямым перебором искомой величины ∆ QR в диапазоне от нуля до Q1 ; 3) графически по-
∆ QR( k + 1) =
строением невязки функции (1.3.16) до пересечения с нулем.
3.2. Шарики меньше толщины пластины d < h
10. Постановка задачи. Рассматривается контактное взаимодействие шариков, пластины и плит в
плоской комбинированной опоре для случая, когда диаметр шариков меньше толщины пластины:
(3.2.1)
u R0 = h − d > o .
В начале нагружения в контакт вступают рабочие участки пластины контактные перемещения
при этом до вступления в работу шариков определяются соотношением типа (1.2.8):
Qh0
u = khσ = kh
,
Fh
0
h
0
h
при этом нагрузка в момент подключения шариков определяется соотношение:
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
(3.2.2)
96
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
Qh0 =
где
∑
∑
Qh
n
,
(3.2.3)
Qh − суммарная рабочая площадь контакта рабочей поверхности пластины;
n − число рабочих участков.
После включения в работу шариков условие равновесия для одного участка будет иметь вид:
Qh0 + ∆ Qh + QR = Q1 ,
(3.2.4)
Qh = Q + ∆ Qh .
(3.2.5)
0
h
Условие сплошности в контакте после вступления в контакт шариков имеет вид:
u R + u h0 = u h ,
(3.2.6)
u R = u h − u h0 .
или
Задача состоит в определении полных нагрузки на пластину
(3.2.7)
Qh = Q + ∆ Qh и на шарик нагрузки QR ,
0
h
с учетом соотношений типа (1.3.8) – (1.3.11).
20. Вывод разрешающего уравнения задачи. Запишем условие сплошности задачи (1.4.6) с учетом
(1.3.9) и (1.3.8):
2
k h Qh0 k h Qh
=
.
Fh
Fh
k R QR3 +
Записывая (1.4.4) в виде:
(3.2.8)
QR = Q1 − Qh ,
(3.2.9)
и подставляя в (1.4.8), получаем:
2
k R ( Q1 − Qh ) 3 +
kh 0 kh
Qh =
Qh ,
Fh
Fh
(3.2.10)
.
(3.2.11)
или
2
(Q1 − Qh ) 3
− c1Qh + c1Qh0 = 0
Это разрешающее нелинейное алгебраическое уравнение задачи относительно искомой величины + как и в предыдущем случае целесообразно решать численно.
4. Износ пластины
4.1. Вывод уравнения задачи
10. Рассматривается плоская комбинированная опора при наличии установившегося износа пластины по модели:
при начальном условии
du w
= k wσ m ,
ds
d = h.
Заметим в уравнении (1.2.15)
(4.1.1)
QR на Qh по (1.2.13):
3

k 2
QR =  Qh n  ,
k R Fh 

тогда
3

k 2 k F
k
 Qh n  + R h Qh n = Q1 ,
k R Fh 
kh
k R Fh

или
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
(4.1.2)
97
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
3
3
 1 2
Qh +   Qh2 = Q1 .
ξ
(4.1.3)
uh
.
kh
(4.1.4)
Из (1.2.7) и (1.2.1) следует:
Qh = Fh σ h = Fn
Подставляя (1.5.4) в (1.5.3), получаем:
3
3
2
u  1  u  2
Fh h +    Fh h  = Q1 .
kh  ξ   kh 
При наличии износа контактное перемещение uh складывается из двух составляющих:
1) начального значения uh 0 ;
2) текущего значения перемещений u w (s ) , зависящего от износа:
u h ( s ) = uh 0 + u w ( s ) .
(4.1.5)
(4.1.6)
Величину износа получим, интегрируя (1.5.1):
u w ( s ) = k w ∫ σ h ( s) m ds ,
(4.1.7)
u w ( s) = u h 0 + k w ∫ σ h ( s ) m ds .
(4.1.8)
тогда
Подставляя (1.5.8) в (1.5.5) получаем нелинейное интегральное уравнение задачи относительно
давлений, как функции от пути трения:
3
s
s



2
ξ 1  u h 0 + k w ∫ σ h ( s ) m ds  + ξ 2  u h 0 + k w ∫ σ h ( s) m ds  = Q1 ,
0
0




(4.1.9)
где
3
2
ξ 
ξ 2 =  1  .
 ξ 
(4.1.10)
Возможно, снова вернуться к силам как неизвестным величинам:
uh 0 =
q
kh
Qh 0 ; σ 0 = h .
Fn
FH
(4.1.11)
и привести интегральное уравнение (1.5.9) к другому виду:
3
2
k

k

Q 
Q 
ξ 1  h Qh 0 + k w ∫  n  ds  + ξ 2  h Qh 0 + k w ∫  n  ds  = Q1 .
Fn 
Fn 
 Fn

 Fn

0
0
s
m
s
m
(4.1.12)
Здесь Qh 0 − определяется из уравнения (1.4.3).
Интегральное уравнение (1.4.12) можно решать только численно.
Это нестандартное нелинейное интегральное уравнение с неизвестной функцией Qh (s ) только
под интегралом. Такая структура характеризует интегральные уравнения первого рода, обладающие
свойством неустойчивости при решении.
Выводы
1. Предположена принципиально новая конструкция плоской комбинированной опоры для
возвратно поступательного движения, в котором нагрузка одновременно воспринимается телами качения
(шариками) и плоскими поверхностями с трением скольжения по сравнению с известными опорами
новая опора обладает двумя главными преимуществами:
- меньшим сопротивлением трению по сравнению с опорами скольжения;
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
98
Контактная механика плоской комбинированной опоры при одновременном качении шариков и скольжение плоскости
- улучшением условий смазки плоской части опор при скольжении, за счет подачи смазки шариками из пространства между шариками и пластиной.
2. Разработана контактная механика взаимодействия элементов качения и скольжения в опоре.
3. Показаны процедуры и примеры проверочного и проектировочных расчетов опоры.
Литература
1. Ханович М.Г. Опоры жидкостного трения и комбинирование. – М.: Машгиз, 1960. – 270 с.
2. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К.:
Наукова думка, 1988. – 736 с.
Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2010, № 1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа