close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ_________________________________________
АВГУСТ 1981 г., ТОМ XVII, № 8
УДК 517.926.4
В. М. МИЛЛИОНЩИКОВ
БЭРОВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИИ
И ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА. V
ВВЕДЕНИЕ
1. Статья продолжает цикл, начатый статьями [1—4].
Пусть ( E , p, B) — векторное расслоение со слоем R n и базой B ( B — полное
метрическое пространство, расстояние на котором обозначается через d B ( ×, × ) ). На ( E , p, B)
фиксируем некоторую риманову метрику (см. [5], с. 58—59).
2. Рассмотрим гомоморфизм группы Z (группы R ) в группу изоморфизмов векторного
расслоения ( E , p, B) * . Образ точки t при этом гомоморфизме будем обозначать через
( C t , ct ) ; вместо C t пишем C , вместо (c1 - c ) .
Предположим, что существует функция ** a (×) : B ® R + , удовлетворяющая равенству
a (ct b) = a (b) для всякого b Î B и всякого t Î Z (соответственно t Î R ) и такая, что при
всяком t Î N (соответственно t Î R + ) имеет место неравенство
(
)
max X t [ b ] , X -t [b ] „ exp ( ta (b) )
(1)
(норма линейного отображения слоя на слой определяется стандартным образом через
нормы в слоях, индуцированные фиксированной выше римановой метрикой векторного
расслоения ( E , p, B) ) .
3. Положим при всяком m Î N
( X (m), c (m) ) = ( X m , c m ) .
def
Полученное таким образом семейство морфизмов ( X (m), c (m)) (m Î N ) векторного
расслоения ( E , p, B) удовлетворяет следующему условию, сформулированному во введении
к каждой из статей [1—4]: существует функция a(×) : B ® R + такая, что для всяких b Î B ,
m Î N имеет место неравенство
max( X (m, b) , [ X (m, b)]-1 ) „ exp(ma (b))
*
(1')
Напомним, что это означает следующее: при всяком t Î Z ( t Î R ) даны X - гомеоморфизм Е на Е и c –
t
гомеоморфизм В на В такие, что pX = c p ; при всяком b Î B сужение X
t
t
t
t
[b ]
отображения X
t
на слой
p (b ) есть линейное отображение p (b) ® p ( c b) ; при всяких t, s Î Z (соответственно R) имеют место
-1
-1
-1
t
равенства X = X X , c = c c .
**
Через R+ здесь и в [1-4] обозначается множество всех неотрицательных вещественных чисел.
t+s
t
s
t+s
t
s
(где через X (m, b) обозначено сужение отображения X (m) на слой p -1 (b) ; таким образом,
если X (m) = X m , то X (m, b) = X m [b ] ) . Более того, так определенное семейство морфизмов
( X (m), c (m)) (m Î N ) удовлетворяет условиям а)—в), сформулированным в [4, §3];
напомним здесь содержание этих условий:
а) ( X , c ) = ( X (1), c (1)) - изоморфизм векторного расслоения ( E , p, B) ;
def
б) при всяком m Î N имеют место равенства
X (m) =X m , c (m) =c m ;
в) существует функция a (×) : B ® R + такая, что a( c mb) = a(b) для всяких b Î B , m Î Z
(в [4, § 3] полагалось по определению c 0 = 1B , c -1 = ( c -1 ) при m Î N ; в рассматриваемой
m
сейчас ситуации эти формулы также имеют место), и такая, что при всяком b Î B имеет
место неравенство
max( X [b] , [ X [b]]-1 „ exp(a (b)).
(1")
Проверка всех этих утверждений тривиальна: из (1) при t = m Î N получаем
X (m, b) = X m [b] „ exp(ma (b),
(1'")
X - m [b] „ exp(ma(b));
заменив в последнем неравенстве b на c mb , получаем
[ X (m, b)]-1 = X - m [ c mb] „ exp(ma( c mb)) = exp(ma (b));
из последнего неравенства и неравенства (1"') следует неравенство (1'); положив в (1')
m = 1 , получаем неравенство (1").
4. Напомним определение насыщенного семейства морфизмов, данное в [4, § 3]:
О п р е д е л е н и е 1. Семейство морфизмов ( X (m), c (m) ) : ( E , p, B ) ® ( E , p, B ) (m Î N )
удовлетворяющее условиям а)—в) п. 3 введения, называется насыщенным, если для всякой
точки b Î B такой, что c mb ¹ b при всяком m ¹ 0 , для всякого e > 0 , для всякого базиса
{x1 ,..., xn } векторного пространства p -1 (b) и всяких окрестностей U (xi ) точек xi
(i Î {1,..., n}) (в пространстве Е) найдется d > 0 такое, что для всякого t Î N и всяких
невырожденных* линейных операторов
Ym : p -1 ( c m -1b) ® p -1 ( c mb)
{
}
{
}
(m Î 1,..., t ) **, удовлетворяющих при всяком m Î 1,..., t неравенству
Ym ( X [ c m -1b])-1 - I + X [ c m -1b]Ym-1 - I < d ,
(2)
найдется точка b Î B такая, что
d B (b ', b) < e ,
*
То есть имеющих обратные.
Через {1,..., s} всюду в статье обозначается множество натуральных чисел, не превосходящих числа s Î N
**
(3)
{
}
и для всякого*** m Î 0,..., t найдется изоморфизм слоев (как евклидовых пространств)
y m : p -1 ( c mb ') ® p -1 ( c mb),
причем выполнены следующие требования:
i) y 0-1xi ÎU (xi ) при всяком i Î {1,..., n} ;
{
}
ii) при всяком m Î 0,..., t диаграмма
p -1 ( x m-1b ')
p -1 ( x mb ')
X [ x m -1b ']
y m-1
ym
p -1 ( x m-1b ')
(4)
p -1 ( x mb ')
Ym
коммутативна.
5. З а м е ч а н и е (уточнение определения 1). Это уточнение касается того, как понимать
условие: c mb ¹ b при всяком m ¹ 0 , накладываемое на точку b. Если семейство морфизмов
( X (m), c (m) ) (m Î N ) может быть получено способом, описанным выше в п. 3 введения,
исходя из гомоморфизма группы R в группу изоморфизмов векторного расслоения
( E , p, B) (причем этот гомоморфизм удовлетворяет условию, сформулированному в п. 2
введения (см. текст, содержащий формулу (1)), то будем понимать условие c mb ¹ b при
всяком m ¹ 0 как условие c mb ¹ b при всяком t Î R \ {0} . Теорема, доказанная в [4] (ее
формулировка приведена в начале § 4 цитируемой статьи), полностью сохраняет силу и при
такой трактовке определения насыщенного семейства. Доказательство этой теоремы,
приведенное в статье [4], претерпевает при этом лишь следующее небольшое изменение: в
пункте 2 доказательства под динамической системой c t надо понимать динамическую
систему c t (t Î N ) (если точка b окажется периодической точкой динамической системы
c t (t Î R) , то рассуждения, проводимые обычно при доказательстве теоремы Флоке, надо
применить к семейству линейных отображений X t [ b ] (t Î R ) ).
§ 1. В этом параграфе рассматривается семейство морфизмов, построенное в § 2 [2].
1. Напомним построение этого параграфа. Пусть на полном метрическом пространстве
B задана динамическая система f t (т. е. непрерывное действие группы R ). Фиксируем в
пространстве R n какую-нибудь евклидову структуру. Множество всех непрерывных
отображений A(×) : B ® Hom( R n , R n ) ) (вместо A ( × ) пишем также A ) , удовлетворяющих
условию sup A( x ) < +¥ , наделим структурой метрического пространства, определив
xÎB
расстояние формулой:
d s ( A1 , A2 ) = sup A1 ( x) - A2 ( x ) .
def xÎB
***
Через
{0,..., s} всюду в статье обозначается множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих
числа s (где s + 1Î N ).
Так определенное метрическое пространство обозначим через S . Как известно,
пространство S полно.
Для всяких A Î S , x ÎB рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
&
X
= A( f t x)X (X Î R n ) .
Через X(q ,t ; x, A) обозначим оператор Коши этой системы; напомним, что оператор
Коши X(q ,t ; x, A) по определению сопоставляет значение всякого решения системы
x& = A( f t x ) x в точке t = t со значением того же решения в точке t = q . Как известно,
X(q ,t ; x, A) при всяких q , t Î R непрерывно зависит от ( x, A) Î B ´ S .
Положим
B = S ´ B , E = B ´ R n , p = pr1
(5)
def
def
def
( pr1 — проекция произведения B ´ R
определяется формулой
n
на первый сомножитель). Расстояние в B
d B (( A1 , x1 ),( A2 , x2 )) = d S ( A1 , A2 ) + dB ( x1 , x2 )
def
( 5¢ )
для всяких A1 , A2 Î S , x1 , x2 Î B , где dB (×, ×) - расстояние в метрическом пространстве B .
Хорошо известно (и легко доказывается), что из полноты метрических пространств S и B
следует полнота метрического пространства B . Топологическое пространство E
определяется как произведение топологических пространств B и R n ( E = B ´ R n ). E
метризуемо и его топология индуцируется метрикой, определяемой по формуле
d E ((b1 , X1 ), (b2 , X 2 )) = d B (b1 , b2 ) +
def
X1
- X2
( 5'' )
(при всяких b1 , b2 Î B , X1 , X 2 Î R n ).
Расслоение ( E , p, B) , определенное формулами (5), естественным образом наделяется
структурой (тривиального) векторного расслоения со слоем R n . Подробнее: пусть a , b Î R ,
b Î B , x = (b, x) Î p -1 (b), h = (b, y) Î p -1 (b) ( X, y Î R n ) . Тогда положим по определению
ax + bh = a (b, X) + b (b, y) = (b, a X + b y);
def
(5''')
тем самым при всяком b Î B на слое p -1 (b) возникает структура векторного пространства
(над полем вещественных чисел) (эту же структуру можно определить так: при всяком
b Î B сужение p2 , b на слой p -1 (b) отображения pr 2 ( pr 2 — проекция произведения
B ´ R n на второй сомножитель) есть взаимно-однозначное отображение слоя p -1 (b) на
пространство R n ); зададим на p -1 (b) структуру векторного пространства (над полем
вещественных чисел) так, чтобы p2, b было изоморфизмом векторных пространств); так
определенная структура векторного пространства на всяком слое p -1 (b) и вторая из формул
(5) превращают расслоение ( E , p, B) в (тривиальное) векторное расслоение со слоем R n .
На так определенном векторном расслоении ( E , p, B) зададим риманову метрику,
положив для всякого b Î B и всяких X Î R n , y Î R n по определению
b ((b, X ), (b, y)) = X, y ,
def
(5'''')
где X, y — скалярное произведение векторов X, y Î R (евклидова структура в R n была
зафиксирована в начале п. 1, § 1).
При всяком t Î R определим морфизм ( X t , c t ) построенного векторного расслоения
( E , p, B) формулами:
X t ( A, x, X ) = ( A, f t x, X(t , 0; x, A)X),
(6)
c t ( A, x) = ( A, f t x)
(7)
def
def
(при всяких A Î S , x Î B, X Î R n ).
Так как для всяких t , s Î R имеет место формула
f t+s = f t f s ,
то из (7) непосредственно следует, что для всяких t , s Î R имеет место формула
c t+s = c t c s .
Напомним очевидные тождества:
X(q , 0; f t x, A) = X (q + t ,t ; x, A),
X(q ,s ; x, A)X (s ,t ; x, A) = X(q ,t ; x, A),
) 1Rn ,
X(q , q ; x, A=
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
которым удовлетворяет оператор Коши X(q ,t ; x, A) системы X& = A( f t x)X . Для всяких
t , s Î R , A Î S , x Î B, X Î R n имеют место равенства:
X t X s ( A, x, X) = X t ( A, f s x, X (s, 0; x, A) X) = ( A, f t + s x,
(6),(8)
X(t , 0; f x, A)X( s, 0; x, A)X ) = ( A, f
S
t +s
(10)
x, X(t + s, s; x, A)X( s, 0;
x, A)X) = ( A, f t + s x, X(t + s, 0; x, A)X ) = X t + s ( A, x, X).
(11)
(6)
Таким образом, для всяких t , s Î R справедливо
X t +s = X t X s
При всяком t Î R имеют место формулы:
X t X - t = X 0 = 1E , X - t X t = X 0 = 1E ,
(13)
(6),(12)
(13)
(13)
(6),(12)
c c = c = 1B , c c = c = 1B ,
t
-t
-t
0
(9)
t
(7)
0
(9)
(7)
т.е. ( X , c ) – морфизм векторного расслоения ( E , p, B) , обратный морфизму ( X t , c t ) ;
следовательно, ( X t , c t ) - изоморфизм векторного расслоения ( E , p, B) .
Таким образом, (см.формулы (9), (13)) построен гомоморфизм группы R в группу
изоморфизмов векторного расслоения ( E , p, B) ; образом точки t Î R при этом
гомоморфизме является ( X -t , c t ).
Определим функцию a (×) : B ® R + формулой
-t
-t
a(( A, x )) = sup A( y ) .
(14)
def yÎB
Имеем
a( c t ( A, x )) = a(( A, f t x )) = sup A( y ) = a (( A, x)).
(7)
(14) yÎB
(14)
Справедливость при всяких b Î B , t Î R + неравенства (1) вытекает из формулы (6) в силу
известного неравенства
X(t , 0; x, A) „ exp
t
ò
0
A( f s x) ds „ exp( t a (( A, x ))),
(14)
& = A( f t x)X при всяких A Î S , x ÎB ,
которому удовлетворяет оператор Коши системы X
tÎR.
Итак, построены объекты, о которых говорится в п. 2 введения (причем здесь возник тот
вариант, в котором фигурирует группа R (а не Z )). Положив, как и в п. 3 введения, при
всяком m Î N
( X (m), c (m)) = ( X m c m ),
def
получаем семейство морфизмов
( X (m), c (m)) : ( E , p, B) ® ( E , p, B)
( m Î N ), удовлетворяющее условиям а) – в), сформулированным в п. 3 введения. Это и есть
семейство морфизмов, построенное в § 2 [2].
2. Л е м м а 1 . Пусть в R n фиксирована евклидова структура. Пусть дана линейная
система дифференциальных уравнений
& = A(t ) X ( X Î R n ),
X
(15)
n
n
где A(×) : R ® Hom( R , R ) - непрерывное отображение, причем sup A (t ) < +¥ , и пусть
tÎR
*
X(q ,t ) - оператор Коши системы (15).
Тогда для всякого e > 0 найдется d > 0 такое, что для всякого t Î N
невырожденных линейных операторов
{
и всяких
}
Wm : R n ® R n (m Î 1,..., t ),
{
}
удовлетворяющих при всяком m Î 1,..., t неравенству
Wm [ X(m, m - 1) ] - I + X (m, m - 1)Wm-1 - I < d
-1
(16)
найдется непрерывное отображение
µ (×) : é0, t ù ® Hom( R n , R n )
A
ë û
такое, что:
µ (t ) + A (t ) < e ;
а) sup A
tÎéë 0,t ùû
{
}
µ (m, m - 1) = W при всяком m Î 1,..., t , где X
µ (q , t ) - оператор Коши системы
б) X
m
µ (t )X .
& = A
X
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано e > 0 . Возьмем
d Î (0,1)
такое, что выполнены следующие два неравенства:
d1 = d + (d + 1)d sup A (t ) < 1,
def
(17)
(18)
tÎR
e 2 + (d1 (1 + e1 ) + e1 ) sup A(t ) < e ,
(19)
t ÎR
где
e1 = d1 (1 - d1 )-1 ,
(20)
e 2 = p (1 + e1 )d1
(21)
def
def
(такое d существует, так как при d > 0 левая часть неравенства (19) стремится к нулю).
Пусть дано t Î N и даны невырожденные линейные операторы
Wm : R n ® R n ( m Î {1,..., t}),
{
}
удовлетворяющие неравенству (16) при всяком m Î 1,..., t .
Введем обозначения (вместо 1R n пишем I):
Z0 = I ,
üï
-1 ý
Z m = Wm [ X (m, m - 1)] ï
def
þ
{
(22)
}
(m Î 1,..., t ).
{
}
При всяких m Î 0,..., t - 1 , t Î [0,1] положим
Напомним, что оператор Коши X (q , t ) системы (15) по определению сопоставляет значение всякого
решения системы (15) в точке t = q со значением того же решения в точке t = q .
*
1
Z m,t = [(1 + cos p t ) I + (1 - cos p t ) Z m+1 +
def 2
+t (1 + cos p t )( Z m A( m) Z m-1 - A ( m))].
(23)
Пользуясь обозначениями (22), перепишем неравенство (16) в виде
Z m - I + Z m-1 - I < d .
{
(24)
}
Так как неравенство (16) имеет место при всяком m Î 1,..., t , а
Z 0 + I + Z 0-1 - I = 0,
(22)
{
}
то неравенство (24) имеет место при всяком m Î 0,..., t .
{
}
При всяких m Î 0,..., t - 1 , t Î [0,1] имеем
Z m,t - I =
(23)
1
1
(1 + cos p t ) I + (1 - cos p t ) Z m +1 +
2
2
1
+ t (1 + cos p t )(Z m A(m) Z m-1 - A(m)) - I =
2
1
1
= (1 - cos p t )( Z m +1 - I ) + t (1 + cos p t )( Z m A( m) Z m-1 - A( m)) „
2
2
„ Z m +1 - I + Z m A(m) Z m-1 - A(m) .
{
(25)
}
При всяком m Î 0,..., t - 1 имеем
Z m A (m)Z m-1 - A (m) „ Z m A (m) Z m-1 - Z m A (m) +
+ Z m A(m) - A(m) „ Z m × A (m) × Z m-1 - I + Z m - I × A(m) „
„ ( Z m - I + 1) × A (m) × Z m-1 - I + Z m - I × A (m) „
„ ( Z m - I + 1) A(m) ( Z m - I + Z m-1 - I ) „ (d + 1)d sup A(t ) .
(24)
Из неравенства (25) в силу неравенств (24) и (26) следует неравенство
Z m,t - I < d + (d + 1)d sup A (t ) = d1 < 1
{
(18)
tÎR
}
(26)
tÎR
(18)
(27)
(при всяких m Î 0,..., t - 1 , t Î [0,1] ). Хорошо известно (и легко доказывается), что отсюда
следует, что при всяких m Î{0,..., t - 1} , t Î [0,1] существует Z m-1,t и имеет место формула:
+¥
Z m-1,t = å ( I - Z m ,t ) s .
(28)
s =0
При всяких m Î{0,..., t - 1}, t Î [0,1] имеем
Z m-1,t - I =
(28)
откуда
+¥
+¥
å ( I - Z m ,t ) s „ å I - Z m ,t
s =1
s
s =1
„ d1 (1 - d1 ) -1 = e1 ,
(20)
(27)
Z m-1,t „ I + Z m-1,t - I „ 1 + e1 .
(30)
При всяких m Î{0,..., t - 1}, t Î [0,1] имеем*
Z& m,t Z m-1,t „ Z&m ,t × Z m-1,t „ (1 + e1 ) Z&m ,t =
(30)
(23)
1
(1 + e1 ) p sin p t ( Z m+1 - I ) + (1 + cos p t - p t sin p t )(Z m A (m)Z m-1 (23) 2
=
*
Точкой обозначается дифференцирование по t.
(29)
2+p
p
(1 + e1 ) Z m +1 - I +
(1 + e1 ) Z m A(m)Z m-1 2
2
-A (m) < p (1 + e1 ([d + Z A (m) Z m-1 - A ( m) ] £ p (1 + e1 ) ´
- A(m)) £
(24)
(26)
´ éd + (d + 1)d sup A (t ) ù = p (1 + e1 )d1 = e 2 .
êë
úû (18)
(21)
tÎR
При всяких m Î{0,..., t - 1}, t Î [0,1) , а также при m = t - 1, t = 1 положим
µ (m + t ) = (Z X (m + t , m)) × ( Z X( m + t , m)) -1.
A
def
m ,t
m ,t
(31)
(32)
Эта формула определяет отображение
µ (×) :[0, t ] ® Hom (R n , R n ).
A
При всяких m Î{0,..., t - 1}, t Î [0,1) , а также при m = t - 1, t = 1 имеем
µ (m + t ) = ( Z& X (m + t , m) + Z X& (m + t ), m))(Ј (m + t , m)) -1 Z -1 =
A
m ,t
m ,t
m ,t
1
1
1
& (m + t , m)(X (m + t , m)) Z =
= Z& Z + Z X
m ,t
m ,t
= Z& m,t Z
m ,t
-1
m ,t
m ,t
-1
m ,t
+ Z m ,t A ( m + t ) Z .
(33)
Из формулы (23) следует, что для всяких m Î{0,..., t - 1}, t Î [0,1] Z m ,t непрерывно
дифференцируемо по t и имеет место формула
p
Z& m,t = sin p t ( Z m +1 - I ) +
2
1
+ (1 + cos p t - p t sin p t )( Z m A( m) Z m-1 - A( m)).
(34)
2
Из формул (23) и (34) следует, что при всяком m Î{0,..., t - 1} имеют место равенства
Z m,0 = I , Z m ,1 = Z m +1 ,
Z& = Z A (m)Z -1 - A(m),
(35)
m ,0
Z& m,1 = 0.
При всяком m Î{0,..., t - 1} имеем
µ (t ) = Z&
lim A
t ® m-0
(33)
m
m -1,1
m
Z m-1-1,1 + Z m-1,1A(m)Z m-1-1,1 = Z m A (m) Z m-1 ,
µ (t ) = Z& Z
lim A
m ,0
t ® m-0
(33)
(35)
-1
m ,0
+ Z m,0 A (m) Z m-1,0 =
(35)
-1
m
= Z m A(m) Z - A(m) + A(m) = Z m A(m) Z m-1.
(35)
Таким образом, доказано, что
µ (t ) = lim A
µ (t )
lim A
t ® m-0
t ®m+ 0
при всяком m Î{0,..., t - 1} . Тем самым доказана
µ (×) :[0, t ] ® Hom (R n , R n ) , определенного выше (см. (32)).
A
{
непрерывность
}
При всяких m Î 0,..., t - 1 , t Î [0,1] , а также при m = t - 1, t = 1 имеем
µ (m + t ) - A(m + t ) = Z& Z -1 + Z A (m + t ) Z -1 - A(m + t ) =
A
m ,t m ,t
m ,t
m ,t
= Z& m,t Z
(33)
-1
m ,t
+ Z m,t A(m + t ) Z m-1,t - A(m + t ) Z m-1,t + A (m + t ) Z m-1,t -A (m + t ) = Z& Z -1 + ( Z - I )A (m + t )Z -1 + A(m + t )(Z -1 - I ),
m ,t
поэтому
m ,t
m ,t
m ,t
m ,t
µ
&& (t ) - A
&& (t ) „ sup ( Z& Z -1 + Z - I × A
&& (m + t ) ´
sup A
m ,t m ,t
m ,t
tÎ[0,t ]
mÎ 0,...,t -1
tÎ[0,1]
отображения
(31),(27)
&& (m + t ) × Z -1 - I ) „ e + (d (1 + e ) + e ) ´
´ Z m-1,t + A
m ,t
2
1
1
1
(30),(29)
&& (t ) < e .
´ sup A
µ (q , t ) системы
Оператор Коши X
&
X
(36)
(19)
tÎR
µ
&& (t )X при всяких m Î 0,..., t - 1 , t Î [0,1] , а также
=A
{
}
при m = t - 1, t = 1 удовлетворяет равенству
µ (m + t , m) = Z X (m + t , m),
X
m ,t
так как имеют место равенства
(37)
Z m,0 X(m, m) = X(m, m) = I ,
(35)
µ ( m + t ) Z X( m + t , m).
( Z m,t X(m + t , m)) = A
m ,t
(32)
Равенство (37) при t = 1 превращается в следующее равенство:
µ (m + 1, m) = Z X(m + 1, m) = Z X (m + 1, m) = W
X
m ,1
m +1
m +1
(35)
(22)
( m Î{0,..., t -1}) .
Из
формул
(36),
(38)
следует,
что
построенное
непрерывное
(38)
отображение
µ (×) :[0, t ] ® Hom (R , R ) удовлетворяет требованиям а), б) (см. формулировку леммы 1).
A
Лемма 1 доказана.
3 . Л е м м а 2. Семейство морфизмов
( X (m), c (m)) : ( E , p, B) ® ( E , p, B)
(m Î N ) , построенное в п. 1 § 1, является насыщенным (определение насыщенного
семейства морфизмов (см. п. 4 введения) понимается с тем уточнением, которое изложено
в п. 5 введения).
Д о к а з а т е л ь с т в о . В п. 1 § 1 доказано, что построенное там семейство морфизмов
( X (m), c (m)) : ( E , p, B) ® ( E , p, B)
(m Î N ) удовлетворяет условиям а)—в), сформулированным в п. 3 введения. Пусть дана
n
n
точка b Î B такая, что c t b ¹ b при всяком t Î R \ {0} . В силу первой из формул (5) имеем:
b = ( A, x) , где* A Î S , x ÎB . Так как
c t ( A, x) = ( A, f t x ),
(7)
то из того, что c b ¹ b при всяком t Î R \ {0} , следует, что
t
f t x ¹ x (при всяком t Î R \ {0} ).
(39)
Из формулы (6) при t = 1 имеем (напомним, что X = X )
1
def
X ( A, f
m -1
x, X) = ( A, f x, X (1, 0; f m-1 x, A) X) =
m
(10)
= ( A, f x, X (m, m - 1; x, A)X )
m
(10)
(при всяких m Î N , X Î R n ), откуда следует, что**
( X [ c m -1b]) Rn = X( m, m - 1; x, A)
(40)
*
Подчеркнем, что, начиная с этого места до конца доказательства леммы 2, x обозначает фиксированную
точку пространства B, A – фиксированную точку пространства S ; при этом b = ( A, x ).
**
-1
-1
Если дано отображение Y : p (b1 ) ® p (b2 ) слоя
p -1 (b1 ) тривиального векторного расслоения
B ´ R n ( p = pr1 ) в слой p -1 (b2 ) того же расслоения, то через (Y )R n обозначаем отображение R n ® R n
def
такое, что Y ((b1 , X )) = (b2 , (Y ) R n X ) для всякого X Î R .
n
(соотношение (40) имеет место при всяком m Î R , но в дальнейшем оно будет использовано
при m Î N ).
Пусть дано e > 0, дан базис {x1 ,..., xn } векторного пространства p -1 (b) (в силу
определения, содержащего формулу (5'"),
xi = (b, X i ) (i Î {1,..., n}),
где
некоторый базис пространства R n ) и даны окрестности U (xi ) точек xi
{X1 ,..., X n } —
(i Î {1,..., n}) в
пространстве E = B ´ R n .
(5)
Возьмем e1 Î (0, e ) такое, что при всяком i Î {1,..., n} e1 -окрестность точки xi содержится
в U (xi ) (т. е. для всякого i Î {1,..., n} всякое (b1 , X ) Î E ,
ДЛЯ
которого d E ((bi , X ) , (b, X i )) < e1 ,
принадлежит множеству U (xi )) .
Положим для всякого t Î R
A(t ) = A( f t x).
(41)
def
Формула (41) определяет непрерывное отображение A(×) : R ® Hom (R n , R n ), причем
sup A (t ) = sup A( f t x) „ sup A( x) < +¥.
tÎR
xÎB
tÎR
Рассмотрим систему (15), в которой A(t ) определим формулой (41). Оператор Коши этой
системы в п. 1 § 1 обозначался через X(q ,t ; x, A) . Теперь, учитывая, что х и А
фиксированы, будем обозначать его кратко: X(q ,t ) . С помощью этого сокращенного
обозначения формула (40) записывается так:
(42)
X éë c m-1b ùû n = X(m, m - 1)
(
)
R
(m Î N )
Положим
1
(43)
e1.
def 2n
По системе (15), в которой A(t ) задано формулой (41), и числу e > 0 , определенному
формулой (43), возьмем d > 0 , обладающее свойствами, сформулированными в лемме 1.
Пусть задано t Î N и заданы невырожденные линейные операторы
Ym : p -1 ( c m -1b) ® p -1 ( c mb)
(44)
e=
( m Î{1,..., t}) ,
{
}
удовлетворяющие при всяком m Î 1,..., t неравенству
(
Ym X ëé c m -1b ûù
)
-1
- I + X ëé c m-1b ûù Ym -1 - I < d .
(45)
Неравенство (45) эквивалентно неравенству
(
(Ym ) Rn ( X éë c m-1b ùû ) Rn
)
-1
- I + ( X éë c m-1b ùû ) Rn ( (Ym ) Rn ) - I < d
-1
(см. построение римановой метрики на векторном расслоении ( E , p, B) в п. 1 § 1).
Введем обозначение
Wm = (Ym ) Rn (m Î 1,..., t ) .
{
def
}
(46)
(47)
С помощью формул (42) и (47) неравенство (46) переписывается в виде
Wm ( X (m, m - 1) ) - I + X(m, m - 1)Wm-1 - I < d ,
-1
т. е. совпадает с неравенством (16).
Поскольку d > 0 было выбрано так, что оно обладает свойствами, сформулированными в
лемме 1, то найдется непрерывное отображение
µ (×) : é0, t ù ® Hom(R n , R n )
A
ë û
такое, что
{
µ
&& (t ) - A
&& (t ) < e = 1 e ,
sup A
1
(43) 2 n
tÎéë 0,t ùû
µ (m, m - 1) = W
X
m
}
µ (q , t ) - оператор Коши системы
(при всяком m Î 1,..., t ), где X
X
(48)
(49)
µ (t )X .
=A
Так как f t x ¹ x при всяком t Î R \ {0} (см. выше формулу (39)), то из равенства
f tx = f sx
следует равенство
t=s
(в самом
s -t
-t s
-t t
f x= f f x= f f x= x , откуда s - t = 0 ).
Следовательно, формула
j ( f t x ) = t (t Î R )
def
определяет
(однозначное)
отображение
деле,
если
f tx = f sx ,
то
(50)
j (×) : { f t x}
tÎR
® R,
являющееся
обратным
отображению R ® { f t x} , ставящему в соответствие числу t Î R точку f t x . Так как
tR
последнее отображение непрерывно, а éë 0, t ùû — компакт, то множество
F = { f t x}
def
tÎ[0,t ]
(51)
компактно, следовательно, замкнуто в B , а сужение отображения j на множество F (это
сужение
обозначим
через
непрерывно.
Так
как
отображения
jF )
µ (×) : é0, t ù ® Hom( R n , R n ) и A-1 (×) : F ® Hom(R n , R n ) , определенное формулой
j F : F ® R, A
F
ë û
µ (j ( y )) - A( y )
(52)
A-1 ( y ) = A
F
def
(при всяком y Î F ), непрерывно. В силу (48), (50) — (52), (41) имеет место неравенство
1
sup AF-1 ( y ) < e1
(53)
yÎF
2n
Зафиксируем в R n какой-нибудь ортонормированный базис и поставим в соответствие
каждому элементу L множества Hom( R n , R n ) , т. е. каждому линейному отображению R n
в R n , матрицу {lij }
i , jÎ{1,...,n}
, задающую это отображение в этом базисе. Хорошо известно (и
легко доказывается)), что
max lij „ L „ n max lij .
i , jÎ{1,...,n}
{a
i , jÎ{1,..., n}
(54)
Поставив в соответствие при всяком y Î F линейному отображению AF- ( y ) матрицу
F ,ij
( y )}
i , jÎ{1,...,n}
, задающую это отображение в фиксированном выше базисе, получаем n2
отображений
aF- ,ij (×) : F ® R (i, j Î{1,..., n}) .
При этом из формул (53), (54) следует, что
sup max aF- ,ij ( y ) <
yÎF i , jÎ 1,..., n
1
e1 ,
2n
(55)
т. е. мы имеем отображения:
1 ù
é 1
aF- ,ij (×) : F ® ê - e1 , e1 ú
ë 2n 2n û
(i, j Î{1,..., n}).
Эти отображения непрерывны, так как отображение AF- (×) : F ® Hom(R n , R n )
непрерывно. В силу теоремы Титце о продолжении {см. [6] или, например, [7], с. 90—92,
170) при всяких i, j Î{1,..., n} непрерывное отображение aF-1,ij (×) замкнутого подпространства
1 ù
é 1
F метрического пространства B в отрезок ê - e 1 , e1 ú может быть продолжено до
ë 2n 2n û
непрерывного отображения
1 ù
é 1
(56)
aij- (×) : B ® ê - e1 , e1 ú .
ë 2n 2n û
Обозначив при всяком y ÎB через A- ( y ) линейное отображение R n в R n , задаваемое в
фиксированном
выше
базисе
{a
ij
матрицей
( y )}
i , jÎ{1,...,n}
,
получаем
непрерывное
отображение*
AF- (×) : B ® Hom( R n , R n )
такое, что при всяком t Î [0, t ] справедливо равенство
A- ( f t x ) = AF- ( f t x )
=
(50) - (52)
µ (t ) - A( f t x ) .
A
(57)
Это отображение A- (×) удовлетворяет неравенству
1
sup A- ( y ) £
e1 < e1 .
(56),(54) 2
yÎB
Положив (при всяком y Î b )
A '( y ) = A-1 ( y ) + A( y ) ,
(58)
(59)
def
получаем непрерывное отображение
A¢(×) : B ® Hom(R n , R n )
такое, что при всяком t Î [0, t ] справедливо равенство
µ
&& (t ) .
A '( f t x) = A
(60)
(59),(57)
Имеет место неравенство
sup A '( y ) - A( y )
yÎB
< e1 .
(61)
(59),(58)
Так как A Î S , то sup A( y ) < +¥ , откуда в силу неравенства (61) следует, что
yÎB
sup A '( y ) < +¥ .
Следовательно,
yÎB
непрерывное
отображение
A '(×)
принадлежит
пространству S.
Положим
b=' ( A ', x ) Î B .
(62)
def
Так как b = ( A, x), b ' = ( A ', x) , то
(62)
d B (b ', b) = d S ( A ', A) = sup A '( y) - A( y) < e 1
(51)
{
}
def yÎB
(63)
(61)
При всяком m Î 0,..., t определим отображение
y m : p -1 ( c m b ') ® p -1 ( c mb)
формулой
y m ( c mb ', X ) = ( c mb, X )
(64)
def
(при всяком X Î R n ). Из этого определения в силу формул (5'"), (5"") следует, что при
всяком m Î 0,..., t отображение y m есть изоморфизм слоев как евклидовых пространств.
{
}
Рассмотрим формулу (64) при m = 0 : y 0 (b ', X ) = (b, X ) (при всяком
следует, что при всяком
*
XÎR
XÎR
n
). Отсюда
n
-
Отметим, что, хотя это не отражено в обозначении, отображение A ( y ) зависит, вообще говоря, не только от
А и х, но и от t .
y 0-1 (b, X ) = (b ', X)
(65)
d E (y (b, X ), (b, X )) = d E ((b ', X), (b, X )) = d B (b ', b) < e1
-1
0
Полагая здесь
{
X
(65)
(5'')
(63)
= X i получаем (см. выше определение числа e1 ), что
y 0-1 (xi ) Î U (xi )
}
при всяком i Î 0,..., t , т. е. выполнено требование i) определения 1. При всяком m Î N
имеет место равенство
( X éë c
b 'ùû
m -1
)
Rn
= X(m, m - 1; x, A ')
(66)
(выводящееся из формул (6) и (10) так же, как выше было выведено равенство (40)). Из
того, что при всяком m Î N имеет место равенство (66), вытекает, что при всяком m Î N
коммутативна следующая диаграмма:
p -1 ( c m-1b ')
p -1 ( c mb ')
X éë c m -1b 'ùû
p2, c m-1b '
p2, c mb '
Rn
(67)
Rn
X(m, m - 1; x, A ')
(напомним введенное в п. 1 § 1 обозначение: при всяком b Î B через p2,b обозначается
сужение на слой p -1 (b) отображения pr2 (где pr2 — проекция произведения B ´ R n на
второй сомножитель); из формул (5"') и (б"") следует, что при всяком b Î B отображение
p2,b есть изоморфизм евклидова пространства p -1 (b) на евклидово пространство R n .
Утверждение о том, что из равенства (66) следует коммутативность диаграммы (67),
вытекает непосредственно из определения операции (×) Rn (см. сноску к формуле (40));
содержащееся в этой сноске равенство Y ((b1 , X))=(b 2 (Y ) Rn X )
эквивалентно коммутативности диаграммы
p -1 (b1 )
(для всякого
XÎR
n
)
p -1 (b1 )
Y
p2,b1
p2,b2
Rn
Rn
(Y ) Rn
{
}
По той же причине из того, что при всяком m Î 1,..., t для операторов (44) имеют место
{
}
формулы (47), (49), следует, что при всяком m Î 1,..., t диаграмма
p -1 ( c m-1b)
p -1 ( c mb)
Ym
(68)
p2, c m-1b
p2, c mb
Rn
Rn
µ (m, m - 1)
X
коммутативна. Так как при всяком b Î B отображение p2,b есть биекция p -1 (b) на R n , то из
{
коммутативности при всяком m Î 1,..., t
{
}
}
диаграммы (68) следует, что при всяком
m Î 1,..., t диаграмма
Rn
Rn
µ (m, m - 1)
X
(69)
( p2, c m-1b ) -1
( p2, c mb ) -1
p -1 ( c m-1b)
p -1 ( c mb)
Ym
коммутативна (для доказательства достаточно равенство
µ (m, m - 1) p m-1
p2, c mbYm = X
2, c b
умножить слева на ( p2, c mb ) -1 и справа на ( p2, c m-1b ) -1 . Так как при всяком t Î éë0, t ùû имеет
место формула (60), то при всяких q , t Î éë0,t ùû оператор Коши X(q ,t ; x, A ') системы
X
µ (q , t ) системы
= A '( f t x)X совпадает с оператором Коши X
{
}
X
µ (t )X ; в частности, при
= A
всяком m Î 1,..., t имеет место равенство
µ (m, m - 1) .
X(m, m - 1; x, A ') = X
(70)
{
} коммутативны диаграммы (67) и (69) и имеет место
равенство (70), то при всяком m Î {1,..., t} коммутативна диаграмма
Так как при всяком m Î 1,..., t
p -1 ( c m-1b ')
p -1 ( c mb ')
X [ c m -1b ']
( p2, c m-1b )-1 p2, c m-1b '
p -1 ( c m-1b)
( p2, c mb ) -1 p2, c mb '
p -1 ( c mb)
Ym
Из определения отображений y m (см. выше фразу, содержащую формулу (64)), следует,
{
}
что при всяком s Î 1,..., t имеет место равенство
( p2, c 3b )-1 p2, c 3b ' = y s
{
Полагая в этом равенстве s = m - 1, s = m , получаем, что при всяком m Î 1,..., t
}
диаграмма
(71) совпадает с диаграммой (4). Таким образом, требование ii) определения 1 выполнено.
Лемма 2 доказана.
§ 2. В силу леммы 2 семейство морфизмов, построенное в п. 1 § 1, удовлетворяет
условиям теоремы статьи [4] (с уточнением, изложенным выше в п. 5 введения).
Здесь в заключение приведем формулировку теоремы из [4] применительно к семейству
морфизмов, описанному в п. 1 § 1 настоящей статьи. В этой формулировке совсем не
используется язык теории векторных расслоений; эта формулировка дана так, чтобы ее
можно было понять, не обращаясь к [1—4] и к предшествующему ей тексту настоящей
статьи (это не относится к некоторым сноскам, имеющимся ниже, но эти сноски служат
только обоснованием, а не пояснением формулировки; для понимания формулировки
чтение сносок не требуется).
Пусть на полном метрическом пространстве B задана динамическая система f t (т. е.
непрерывное действие группы R). Фиксируем в пространстве R n какую-нибудь евклидову
структуру.
Рассмотрим
непрерывное
отображение
A(×) : B ® Hom (R n , R n ) ,
удовлетворяющее условию*
sup A( x ) < +¥ .
xÎB
Множество всех таких отображений A(×) (вместо A(×) пишем также А) наделим
структурой метрического пространства, определив расстояние формулой
d ( A1 , A2 ) = sup A1 ( x) - A2 ( x ) .
def xÎB
Так определенное полное метрическое пространство обозначим через S.
Положим B= S ´ B . При всяких
A Î S , x ÎB , рассмотрим линейную систему
дифференциальных уравнений
& = A( f t x )X ( X Î R n ) .
X
(*)
Обозначим через
l1 ( A, x ) … ... … ln ( A, x )
показатели Ляпунова этой системы. Теорема статьи [4] применительно к данной ситуации
состоит в следующем.
В пространстве В найдется всюду плотное множество С типа Gd , обладающее
свойством:
( A, x) Î C, k Î {1,..., n - 1}
имеет
место
альтернатива:
либо
для
всяких
k
) ln -k +1 ( A, x) , либо подпространство L ( A, x) векторного пространства L( A, x)
ln -k ( A, x=
всех решений системы (*), состоящее из решений, показатели Ляпунова которых
„ ln - k +1 ( A, x ), интегрально отделено от всякого своего алгебраического дополнения (в
векторном пространстве L( A, x) ), т. е. для всякого алгебраического дополнения
Ln- k подпространства Lk ( A, x) (в векторном пространстве L( A, x) ) существуют числа
a > 0, b > 0 такие, что для всяких ненулевых решений X (×) Î Ln- k , y(×) Î Lk ( A, x) , для всяких
вещественных** чисел t … s … 0 имеет место неравенство
× X( s) … a exp [ b (t - s)] y(t ) × y( s) .
*
З а м е ч а н и е . Если при некотором ( A, x) Î C имеется m значений к, для которых
ln -k ( A, x ) ¹ ln -k +1 ( A, x ) , то пространство решений системы (*) разлагается в прямую сумму
m + 1 подпространств, интегрально отделенных друг от друга, а именно пусть
l1 ( A, x ) = ... = ln - k1 ( A, x ) > ln - k1 +1 ( A, x ) = ... = ln - k2 ( A, x ) > ...
X (t )
-1
-1
... > ln -km +1 ( A, x ) = ... = ln ( A, x ) ,
тогда
Если B - компакт, то это условие выполняется автоматически.
Из условия, содержащего формулу (1) (для семейства морфизмов, построенного в п. 1 § 1, это условие
выполнено), следует, что утверждение перейдет в эквивалентное, если слово «вещественных» заменить здесь
словом «целых».
*
Аналогичное замечание, очевидно, можно сделать и в той общей ситуации, которая рассмотрена в теореме
[4].
*
**
L( A, x) = Lk m ( A, x) Å ( Lk m -1 ( A, x ) ! Lk m ( A, x)) Å ...
...( L( A, x ) ! Lk1 ( A, x)) ,
где через L ! M обозначено произвольное алгебраическое дополнение подпространства М
в векторном пространстве L.
П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . В сноске на с. 1591 в статье [2] вместо C1 должно
быть C 2 . В [3] многообразие V n всюду должно быть класса C 2 .
Литература
1 . М и л л и о н щ и к о в В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I,—
Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 8, с. 1408—1416.
2 . М и л л и о н щ и к о в В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. II.—
Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 9, с. 1587—1598.
3 . М и л л и о н щ и к о в В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. III—
Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 10, с. 1766—1785.
4. М и л л и о н щ и к о в В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. IV,—
Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 3, с. 431—468.
5 . Х ь ю з м о л л е р Д . Расслоенные пространства.— М.: Мир, 1970.
6. Т i е t z е Н. Uber Funktionen die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind.— J. de
Crelle, 1915, vol. 145, p. 9—14.
7 . Б у р б а к и H. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей
топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов.— М.: Наука, 1975.
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
Поступила в редакцию
31 марта 1980 г
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа