close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1. Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине
1.1. Вид деятельности выпускника
Дисциплина охватывает круг вопросов относящихся к виду деятельности выпускника:
проектно-конструкторская;
научно-исследовательская;
1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника
В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи профессиональной деятельности выпускника:
проектно-конструкторская деятельность:
сбор и анализ исходных данных для расчета и проектирования деталей, узлов и устройств
радиотехнических систем;
расчет и проектирование деталей, узлов и устройств радиотехнических систем в соответствии с техническим заданием с использованием средств автоматизации проектирования;
научно-исследовательская деятельность:
анализ научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по тематике
исследования;
участие в планировании и проведении экспериментов по заданной методике, обработка результатов с применением современных информационных технологий и технических средств;
составление обзоров и отчетов по результатам проводимых исследований;
1.3. Перечень компетенций, установленных ФГОС
Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать у обучающегося следующие компетенции:
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физикоматематический аппарат (ПК-2);
способностью владеть методами решения задач анализа и расчета характеристик электрических цепей (ПК-4);
1.4.
Перечень умений и знаний, установленных ФГОС
После освоения программы настоящей дисциплины студент должен:
знать:
фундаментальные законы природы и основные физические законы в области механики, термодинамики, электричества и магнетизма, оптики и атомной физики;
основные уравнения электромагнитного поля и методы их использования при расчетах простейших структур для излучения электромагнитных волн, условия распространения радиоволн
в различных средах, свойства и методы построения основных типов линий передачи, волноводов и резонаторов;
все основные характеристики гармонических колебаний, физические и технические примеры
реализаций гармонических колебаний;
методы сложения колебаний для линейных колебаний, для которых выполняется принцип
суперпозиции;
физические основы и математическое описание автоколебаний;
характеристики простейших гармонических волн, бегущих в одномерном пространстве;
эффекты прохождения волн через границу раздела сред с различными волновыми сопротивлениями;
физический смысл групповой скорости волн и ее отличие от фазовой скорости волн;
основы распространения электромагнитных волн в вакууме и средах, эффекты прохождения,
преломления и отражения электромагнитных волн через границу двух сред; связь коэффициента преломления и волнового сопротивления среды; основы волноводного распространения
электромагнитных волн по направляющим системам;
основы теории излучения электромагнитных волн: излучение элементарного вибратора, излучение полуволнового вибратора;
2
уметь:
применять математические методы, физические и химические законы для решения практических задач;
применять метод линеаризации для анализа малых колебаний вблизи положения равновесия
различных физических систем;
получать количественные характеристики для вынужденных затухающих колебаний;
получать количественные характеристики для автоколебательных систем;
получать коэффициенты отражения и прохождения волн через границы двух сред с различными волновыми сопротивлениями;
анализировать линии передач: отражение от конца линии передач, согласованная нагрузка,
короткозамкнутая линия передач.
владеть
методами решения дифференциальных и алгебраических уравнений, дифференциального и интегрального исчисления, аналитической геометрии, теории вероятностей и математической статистики, математической логики, функционального анализа;
2. Цели и задачи освоения программы дисциплины
Задача данного курса – познакомить студентов с основами теории колебаний и волн.
Настоящий курс преследует следующие цели: овладение студентами методологией изучения и
исследования колебаний и волн в различных системах с единой физической точки зрения; овладение студентами необходимым математическим аппаратом для анализа различных колебательных и
волновых процессов в технике и физике.
3.
Место дисциплины в структуре ООП
Для изучения дисциплины, необходимо освоения содержания дисциплин:
«Физика»,
«Математика»
Знания и умения, приобретаемые студентами после освоения содержания дисциплины, будут
использоваться в: «Физических основах оптоэлектроники», «Электродинамике и распространении
радиоволн», «Оптических устройствах в радиотехнике».
4.
Основная структура дисциплины
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия, в том числе:
лекции
лабораторные работы
практические/семинарские занятия
Самостоятельная работа (в том числе курсовое
проектирование)
Вид промежуточной аттестации (итогового контроля по дисциплине), в том числе курсовое проектирование
Трудоемкость, часов
Всего
Семестр
№3
72 (2 ЗЕТ)
72(2 ЗЕТ)
51
51
17
17
34
21
34
21
зачет
зачет
5. Содержание дисциплины
5.1. Перечень основных разделов и тем дисциплины
Ведение
1. Колебания
1.1. Гармонические колебания с одной степенью свободы
1.2. Принцип суперпозиции. Энергия гармонических колебаний
1.3. Затухающие колебания
1.4. Вынужденные колебания
1.5. Резонанс при вынужденных колебаниях. Установление вынужденных колебаний
1.6. Параметрические колебания
3
1.7. Автоколебания. Автоколебательные системы осцилляторного и накопительного типа
1.8. Колебания в системе с N степенями свободы.
2. Волны
2.1. Продольные звуковые волны
2.2. Поперечные волны в струне
2.3. Согласование импедансов для поперечных волн в струне. Сложение волн. Волновые пакеты
2.4. Волны в линиях передачи без потерь
2.5. Волны в линиях передачи с потерями
2.6. Электромагнитные волны в непроводящей среде.
2.7. Электромагнитные волны в проводящей среде.
2.8. Распространение электромагнитных волн через границу раздела двух сред
2.9. Основы теории излучения электромагнитных волн.
5.2 Краткое описание содержания теоретической части разделов и тем дисциплины
В лекционном курсе используются слайд-материалы.
Лекция 1
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ С ОДНОЙ СТЕМПНЬЮ СВОБОДЫ
1.1. Понятие о колебательных процессах. Характеристики гармонических колебаний.
Гармонический осциллятор
Колебаниями называются процессы, повторяющиеся во времени. Колебания - широко распространенныq вид движения. В механических колебаниях повторяются положения и скорости
тел, а также другие механические характеристики. В электрических - повторяются значения
напряжения и силы тока, в электромагнитных – изменяются значения напряженности электрического и магнитного полей. Существуют также смешанные колебательные процессы – в устройствах, где есть переходы механической энергии в электрическую, и, наоборот, например, микрофон или громкоговоритель.
В колебаниях различной природы обнаруживаются одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами.
Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется
видом функции, описывающей тот или иной физический процесс. Наиболее важные и вместе с
тем простые колебания – это гармонические, определяемые законом
x (t) = a сos (ωt +υ 0),
x (t) характеризует изменение какой-либо физической величины, например, смещение маятника от
положения равновесия, мгновенное значение заряда на конденсаторе, плотности воздуха в звуковой волне и т.д. Система, закон движения которой имеет описанный вид, называется одномерным классическим гармоническим осциллятором. Его характеризуют следующие величины: a –
размах колебаний или амплитуда, она равна абсолютному значению наибольшего отклонения; (ωt
+υ 0) – фаза колебаний, υ 0 – начальная фаза (при t = 0), фаза определяет величину и знак колеблющейся величины; значения косинуса или синуса полностью повторяются, если ωT = 2π (t = T),
2
t
тогда T 
- период колебаний, ω – циклическая частота. Период определяется как T 

N
N 1
время одного полного колебания. Величина f   - частота колебаний или число колебаний в
t T
единицу времени. Учитывая связь между периодом и циклической частотой, получим   2f циклическая частота определят число колебаний за 2π секунд.
d 2x
 2x  02
dt
дифференциальное уравнение одномерного классического гармонического осциллятора. Уравнение
линейно, т. е. справедлив принцип суперпозиции. Общим для колебаний любой природы является
следующее. Применимость гармонического приближения и принципа суперпозиции к колебаниям
ограничены областью малых колебаний, энергии которых квадратично зависят от отклонений от
4
kx 2
положения равновесия (от x), т.е Wп 
.
2
1.2. Примеры осцилляторов
1. Пружинный маятник.
На шарик действует сила упругости пружины, равная согласно
закону
Рис. 1.1.
кону
Гука F  kx , где k – коэффициент упругости. По второму заПружинный
Ньютона
маятник
ma  kx ,
d 2x
d 2x k
но ускорение a  2 , тогда 2  x  0 ,
m
dt
dt
k
обозначим коэффициент при x:
  2 и, окончательно, придем к дифференциальному уравнению
m
гармонических колебаний
d 2x
 2x  0.
2
dt
Учитывая связь между циклической частотой и периодом, получим период колебаний пружинного
маятника в виде
m
T  2
.
υ
k
l
2. Математический маятник
На маятник действуют сила тяжести и сила натяжения нити, момент
сиT
лы тяжести M  mgl sin  .
Уравнение динамики вращательного движения M  I .
Момент инерции материальной точки I  mr 2 . Угловое ускорение
mg
d 2
 2 .
Рис. 1.2. Матемаdt
тический маятС учетом этого уравнение динамики примет вид
ник
d 2 mgl sin 
,
 2 
dt
ml 2
«-» взят потому, что момент силы тяжести сообщает ускорение, обратное отклонению. Сделав
преобразования (при малых углах sin    ), получим
d 2 g
  0.
l
dt 2
g
  2 . Окончательно, получим
l
d 2
  2  0 .
2
dt
Период колебаний
l
T  2
.
g
3. Колебательный контур
Сопротивление контура бесконечно мало, по второму правилу
q
Кирхгофа U c  Ei . Напряжение на конденсаторе U c  , ЭДС инC
dq
dI
ции E i   L , сила тока I 
. С учетом этого получим уравнеdt
dt
d 2q
1

q0
2
LC
dt
Отношение
5
дукC
L
Рис. 1.3. Колебательный контур
ние
Здесь  2 
1
и
LC
d 2q
 2q  0 dt 2
опять пришли к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, период которых равен
T  2 LC .
1.3.
Энергия гармонических колебаний
Характерной чертой гармонического осциллятора является следующее: средние значения
кинетической и потенциальной энергии равны друг другу и каждое из них составляет половину
полной энергии осциллятора. Докажем это, например, для шарика на пружине. Средние значения
определим как сумму всех мгновенных значений за период, отнесенную к его длительности. Потенциальная энергия
T
T
kx2
1 kx2
1 ka2 cos 2 t  0 
m 2 a 2
Wп 
 
dt  
dt 
.
2
T0 2
T0
2
4
Для определения кинетической энергии необходимо знать скорость:
dx
v
 a sin t  0  и
dt
T
mv2
1 ma2 2 sin 2 t  0 
m 2 a 2
Wк 
 
dt 
.
2
T0
2
4
Полная энергия осциллятора (без учета энергии покоя) равна
mv2 kx2 ma2 2
ka2
m 2 a 2
,
W


sin 2 t  0  
cost  0  
2
2
2
2
2
W m 2 a 2
следовательно, Wп  Wk  
.
2
4
1.4. Сложение гармонических колебаний
Пусть на материальную точку действует несколько различных упругих или квазиупругих
(подобных упругим) сил. Каждая из них заставляет точку совершать гармоническое колебание.
При одновременном воздействии точка будет одновременно участвовать во всех этих движениях,
например, барабанная перепонка принимает участие сразу в нескольких колебаниях, вызываемых
звуковой волной; электромагнитные волны, приходящие одновременно от нескольких станций,
возбуждают в приемном контуре электрические колебания различных частот; синусоидальные переменные токи, подходящие к точке разветвления, возбуждают в ней ток, являющийся итогом
сложении приходящих токов.
1. Рассмотрим колебания одного направления с одинаковыми периодами, но с различными фазами
и амплитудами:
y
x1  a1 cos 1  a1 cost  01 
ω

x2  a2 cos 2  a2 cost  02  .
a

Результирующее колебание
a2
y2
x  x1  x2  a1 cost  01   a2 cost  02 
y1

a1
Поскольку x1 и x2, спустя период возвращаются к начальным
значениям, то и их сумма x представляет собой периодическое
υ2
x2
x1
x
колебательное движение с тем же периодом.
Воспользуемся методом векторных диаграмм. Амплитуды будем изображать в виде векторов, а фазы – как углы, образованυ1
υ
ные этими векторами с осью абсцисс.
При вращении обоих векторов против часовой стрелки с углоРис. 1.4. Сложение гармонивой скоростью ω проекции x1 и x2 этих векторов будут соверческих колебаний
шать колебания. Угол между векторами изменяться не будет
6

   2   2  t   02   t   01    02   01  const Диагональ a вращается с угловой скоростью
ω, а проекция этого вектора
x = x1+x2 совершает колебания по закону
x (t) = a cos (ωt +υ 0).
Амплитуда и начальная фаза этих колебаний определятся согласно векторной диаграмме как
y  y02 a1 sin 01  a2 sin 02
tg0  01

x01  x02 a1 cos 01  a2 cos 02
a 2  a12  a22  2a1a2 cos 02  01 
1) Если фазы одинаковы: υ 2 = υ 1, т.е. υ 02 = υ 01, то амплитуды складываются а =а1+а2.
Если при этом а1= а2, то амплитуда результирующего колебания удваивается, т.е. а = 2а1.
2) Фазы противоположны υ 02 – υ 01 = π. Амплитуда а =а1-а2,
и, если а1= а2, то а = 0 – колебания взаимно уничтожаются.
2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот
x  a cost  01 
y  b cost  02 
b
x a
1) Положим υ 02 = υ 01,  , Откуда y  x
– прямая.
a
y b
b
2) Если υ 02 – υ 01 = π, y   x – прямая.
a

 y
x


3) υ 02 = υ 01 + π/2
 cos t  01  ;
 cos t  01     sin t  01  ,
a
2


 b
x2 y2

 1 - эллипс. Если при этом a = b , то эллипс превращается в окружность
a2 b2
радиуса а. Таким образом, в случае равных частот при разных начальных фазах колебания происходят по эллипсу
4) в случае неравных частот получаются кривые вид которых зависит от отношения частот и
сдвига начальных фаз (фигуры Лиссажу, их можно наблюдать на экране осциллографа)
откуда получим
Лекция 2
ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛБАНИЯ
2.1. Затухающие свободные колебания. Характеристики процесса затухания
В реальных системах всегда присутствует трение. При малых скоростях сила трения пропорциональна скорости, так что Fт .  rv , где r - коэффициент трения, зависящий от свойств
среды, формы и размеров тела. Уравнение движения
ma  kx  rv
2
d x
dx
с учетом того, что a  2
и v
, имеем
dt
dt
d 2x
r dx
k


x 0.
2
m dt
m
dt
Обозначим
k
r
  02 и
 2 , получим дифференциальное уравнение свободных затухаm
m
ющих колебаний
d 2x
dx
 2
  02 x  0 ,
2
dt
dt
- частота свободных незатухающих колебаний,  - коэффициент затухания. Решение этого
где ω 0
уравнения может быть в виде
x  a0e t cos0t  0  .
Амплитуда этих колебаний – убывающая функция времени
7
a  a 0 e  t .
частота определяется выражением
   02   2
С увеличением трения период
T
2

2

 2
возрастает и становится мнимым, а движение – апериодическим. Сопоставим соседние амплитуды
при условии, что β < ω
at 
 T .
at  T 
Прологарифмируем последнее выражение
at 
ln

at  T 
λ – логарифмический декремент затухания.
2
0
  T
Выясним его физический смысл
ln

at 
at  nT 
,
n
at 
1
, если
 e  2,71 , т.е. логарифмический декремент затухания
at  nT 
n
обратен числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в e раз.
откуда следует, что  
2.2. Вынужденные колебания. Резонанс
При наличии трения энергия осциллятора уменьшается, превращаясь в тепло, выделяющееся в среде, в которой происходят колебания. Для поддержания колебаний необходимо действовать
периодической силой. Пусть вынуждающая сила изменяется по закону
F t   F0 cos t .
Дифференциальное уравнение для этого случая
d 2x
dx
1
 2
  02 x  Fx t  .
2
dt
m
dt
Сначала происходит переходной процесс, при котором система совершает два колебательных
движения, т.е.
xt   x1 t   x2 t  ,
при этом первое слагаемое описывает свободные затухающие колебания с частотой ω 0, второе –
незатухающие колебания, происходящие с частотой вынуждающей силы Ω. Через некоторое время
x1 быстро затухает (за τ = 4,6/β амплитуда уменьшается в 100 раз), и в установившемся режиме колебания будут совершаться с частотой вынуждающей силы:
x = a сos (Ωt+φ0)
Величиной, характеризующей энергетические потери, является добротность.
Добротностью Q называют умноженное на 2π отношение запасенной энергии к величине средней
энергии, теряемой за один период колебаний.

Q 0 .
2
При вынужденных колебаниях наблюдается такое явление как резонанс.
Резонансом называют резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении
частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний системы.
Чем больше в системе потери энергии (больше коэффициент затухания), тем слабее выражен резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты. При резонансе    02  2 2
8
Лекция 3
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И АВТОКОЛЕБАНИЯ
3.1. Параметрическая раскачка колебаний.
Этот способ раскачки незатухающих колебаний связан с подпиткой энергией путем изменения параметров осциллятора - "жесткости" К (как правило) или "инерции" М. Самый известный
пример - качели, которые можно упрощенно представить в виде математического маятника с изменяющимся положением груза, т.е. с изменяющейся длиной нити. Но мы рассмотрим более простую и близкую к радиотехнике систему - колебательный контур с конденсатором переменной емкости.
Емкость плоского конденсатора С = εS/d зависит от площади пластин S, расстояния между
ними d и проницаемости ε заполняющего конденсатор диэлектрика. Величиной емкости можно
управлять, меняя, например, d или ε. Для простоты предположим, что у конденсатора есть два состояния с емкостью С1 и С2, причем С1 < С2, а сопротивлением R контура пока пренебрежем, что
позволит пользоваться законом сохранения энергии.
В процессе колебаний энергия переходит из одной формы в другую, а именно, из энергии
электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Пусть в
начальный момент t = 0 на конденсаторе находится заряд q0, а ток в контуре I = 0, и пусть емкость
конденсатора минимальна, С = C1, - это дает большее (при том же заряде) напряжение, разгоняющее ток в индуктивности. Когда конденсатор полностью разрядится (q = 0), а запасенная в нем
энергия
целиком
перейдет
в
энергию
магнитного
по-
ля,
увеличим емкость до С2 (в идеале это
не требует затрат энергии, т.к. конденсатор не заряжен) . В ходе последующей перезарядки конденсатор большей емкости получит больший заряд, q12 = С2LI02 = 2С2 W0> q02 = 2С1 W0. Подчеркнем, что в описанных до сих пор процессах энергия колебаний сохранялась. Но теперь, когда конденсатор полностью заряжен, и ток 1 = 0, уменьшим емкость до С1. Для этого придется совершить
работу (например, раздвинуть пластины заряженного конденсатора) и увеличить энергию колебательного контура до W1 = (C2/C1)W0.
A = ΔW = W1-W0.
Затем процесс повторяется: разряд конденсатора при С = С 1 , увеличение С до С 2 при q = 0
и максимальном токе, заряд конденсатора при С = С2 , подвод энергии путем уменьшения до С 1
емкости заряженного конденсатора при I = 0, и т.д.
За каждую половину периода колебаний контура конденсатор совершает полный цикл изменений емкости, а амплитуда колебаний увеличивается в
раз (рис. 13а), энергия же возрастает в а 2 = С 2 /С 1 раз. Таким образом, амплитуда и энергия колебаний увеличиваются со временем в геометрической прогрессии.
конденсатора). Такой способ раскачки колебаний называется параметрическим.
Ясно, что неограниченный рост амплитуды колебаний - следствие пренебрежения диссипативными процессами. Если учесть выделение тепла на активном сопротивлении контура R, то
колебание между двумя последовательными подводами энергии становится затухающим с коэффициентом затухания β = R/(2L). Амплитуда за этот промежуток времени, равный Т/2, уменьшается в
раз, а энергия в Λ раз.
Колебания будут нарастающими (W1 ´ > W0 ), если подводимая энергия перекрывает диссипацию, α 2 > Λ, и затухающими (W1 ´ < W0 ), если темп подвода энергии недостаточен, α 2 < Λ. И
только в случае точного баланса, т.е. при α 2 = Λ, амплитуда колебаний будет оставаться неизменной, равной первоначальной.
Такой итог борьбы раскачки с диссипацией - следствие линейности обоих механизмов: и
9
подводимая, и диссипируемая энергия пропорциональны квадрату амплитуды, так что ―исход
борьбы‖ определяют коэффициенты пропорциональности α 2 и Λ.
Возможности источника, питающего энергией колебательную систему, ограничены, поэтому энергия ΔW, передаваемая системе за полпериода, не может расти неограниченно пропорционально А 2 (квадрату амплитуды), как того требует линейная теория. Начиная с некоторого значения амплитуды, рост ΔW замедляется, и, в конце концов, ΔW стремится к конечному пределу. Если диссипируемая за полпериода энергия по-прежнему пропорциональна А 2 , кривые ΔW (А) и
Wдис (А) обязательно пересекутся в некоторой точке А = A 0 . Здесь достигается баланс между поступлением энергии и ее потерями, и это значение и будет амплитудой установившихся колебаний. Легко видеть, что этот режим устойчив: отклонения вверх (А > Ао) или вниз (А < Ао) ведут
к такому нарушению баланса, которое способствует восстановлению А = АоНелинейным может оказаться и механизм диссипации. Хорошо известно, что сопротивление проводника растет с температурой. Температура же тем выше, чем больше тепла выделяется в
проводнике. Следовательно, R увеличивается с ростом амплитуды тока, и диссипативные потери
растут быстрее, чем А 2 . В результате даже при квадратичной зависимости ΔW(А) (т.е. при неограниченных возможностях источника) кривая потерь пересечет кривую ΔW(А) в некоторой точке А
= A 0 , также соответствующей устойчивому режиму колебаний.
3.2. Автоколебания
Автоколебания — очень важный и широко распространенный в природе и технике класс
незатухающих колебаний. Автоколебания - это, например, свист тонкой ветки и гудение проводов
под действием ветра, звучание человеческого голоса и голосов животных, периодические пульсации блеска, характерные для целого класса звезд, так называемых цефеид. Автоколебательными
системами являются все духовые и смычковые музыкальные инструменты, часы, разнообразные
электронные генераторы, в том числе - лазеры и мазеры, и многие другие устройства.
Для поддержания автоколебаний необходим источник энергии и/или вещества - в этом их
сходство с вынужденными и параметрическими колебаниями. Принципиальное же отличие состоит в том, что параметры как самой автоколебательной системы, так и источника энергии не зависят явно от времени. Существование автоколебаний обусловлено авторегулировкой поступления (отвода) энергии и/или вещества в систему (из системы). Иными словами, автоколебательная система сама решает, когда и сколько взять у источника (или отдать во внешнюю среду). Важнейший признак автоколебаний - независимость их периода, формы и амплитуды от начальных
условий. По структуре и принципу автоколебания делятся на осцилляторные и накопительные.
Автоколебательные системы осцилляторного типа.
Примером систем осцилляторного типа служат часы, скрипичная и виолончельная струны,
крыло самолета в воздушном потоке, а также многие конструкции электронных генераторов колебаний.
Основные элементы автоколебательной системы осцилляторного типа и их взаимодействие
удобно продемонстрировать на примере электрического звонка. Источником энергии служит батарея или электрическая сеть. Осциллятор - упругая металлическая пластина со стальным якорем
и молоточком на конце - несет на себе подвижный контакт, который в положении покоя (при
неподключенном напряжении) касается неподвижного контакта. При подключении напряжения
цепь оказывается замкнутой, электромагнит притягивает укрепленный на упругой пластине якорь,
контакты размыкаются, под действием упругой силы осциллятор возвращается в исходное положение, контакты замыкаются, и весь цикл повторяется снова. Тем самым возбуждаются незатухающие колебания, при которых, благодаря обратной связи (автоматическому замыканию и размыканию контактов в такт колебаниям), происходит подвод энергии в нужный момент периода.
Как правило, после начала действия (подключения) источника энергии автоколебательная
система некоторое время работает в нестационарном режиме: происходит возбуждение (установление) колебаний, когда их амплитуда А растет (благодаря превышению поступления энергии за
период, ΔW над ее диссипацией Wдис ), пока не достигнет значения A 0 , при котором ΔW = Wдис .
Если по каким-то причинам (скажем, вследствие слишком сильного начального толчка) А превысит A 0 , потери энергии на диссипацию будут больше, чем поступление, и амплитуда уменьшится
до A 0 . Таким образом, установившаяся амплитуда колебаний A 0 не зависит от начальных условий.
10
Процесса возбуждения автоколебаний может протекать по-разному, в зависимости от
устройства системы. В простейшем случае ΔW не зависит (или слабо зависит) от А, в то время как
Wдис растет с А. При этом режим возбуждения автоколебаний мягкий, сколь угодно слабые
начальные колебания осциллятора усиливаются (раскачиваются) до ―рабочей‖ амплитуды A 0 . Но
есть и такие автоколебательные системы, в которых начальные колебания осциллятора будут усиливаться только в том случае, если их амплитуда выше порогового значения А п . Так будет,
например, если для приведения регулятора в действие (т.е. для получения энергии от источника)
требуется конечное усилие, которое могут обеспечить только колебания с достаточной амплитудой. Этот режим возбуждения автоколебаний называется жестким.
Автоколебательные системы накопительного типа.
Место осциллятора здесь занимает накопитель, через который проходит поток энергии
и/или вещества. Управляемый накопителем переключатель осуществляет обратную связь, регулируя либо подвод, либо отвод энергии (вещества), а в особых случаях - оба эти процесса. Механический вариант такой системы - гидравлический осциллятор (дозатор). Сосуд (накопитель) непрерывно наполняется водой до тех пор, пока при уровне воды Н 2 встроенный в сосуд сифон (переключатель) не начнет действовать и не опорожнит сосуд до уровня Н = Н 1 . При Н < H 1 в сифон
поступает воздух, опорожнение прекращается, и сосуд вновь начинает наполняться. Колебания
уровня воды со временем имеют характерный для систем накопительного типа вид. Период колебаний разбит на две существенно различающиеся по длительности стадии - относительно продолжительную накопительную и краткую разгрузочную, при этом скорость сброса во много раз (порой на несколько порядков) превышает скорость накопления. Такие колебания принято называть
разрывными (или релаксационными).
Простым примером электрической автоколебательной системы накопительного типа служит генератор пилообразного напряжения на неоновой лампе.
Автоколебательные системы накопительного типа также широко распространены в природе и технике. К ним относятся, в частности, гейзеры и различные генераторы импульсов, например, мультивибраторы. В заключение отметим, что деление автоколебательных систем на осцилляторные и накопительные достаточно условно. Между ними нет жесткой границы, и часто трудно сказать, какому типу больше соответствует конкретная система. Ведь любой осциллятор всегда
состоит из накопителей, между которыми происходит обмен энергией. В случае низкой добротности осциллятора к нему при каждом колебании должна подводиться значительная энергия, сравнимая с полной энергией колебаний, и можно считать, что поток энергии управляется накопителем; по форме же такие колебания очень далеки от синусоидальных и похожи на разрывные.
Лекция 4
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Реальные системы имеют обычно большое число степеней свободы, и лишь в редких случаях в интересующие нас процессы основной вклад вносит только одна из них. Необходимо поэтому
представлять себе, хотя бы на качественном уровне, основные отличительные черты поведения
колебательных систем с несколькими степенями свободы. Изучим этот вопрос на примере двух
связанных осцилляторов.
4.1. Собственные колебания
систем с несколькими степенями свободы
Простейшая механическая модель такого рода - две массы, m 1 и т 2 , на пружинах жесткости
k 1 и k 2 , связанные между собой третьей пружиной жесткости К
(рис. 4.1). Система имеет две степени свободы: для задания ее
состояния нужны две координаты и две скорости - положение
(относительно равновесия) левой массы х 1 и правой х 2 и
их скорости. Предположим сначала, что т 1 = т 2 = т и k 1 = k 2 =
k.
Рис. 4.1. Связанные
Без третьей пружины, каждая масса совершала бы
гармопружинные
маятники
нические колебания с одной и той же частотой
. Если мы в начальный момент отклоним обе массы в одну сторону (например, влево)
11
на одну и ту же величину и отпустим, они будут колебаться синхронно с амплитудой А, с частотой ω1 = ω0, сохраняя расстояние между собой, т.е. не деформируя среднюю пружину (как будто
этой пружины нет). Это один тип (или мода) колебаний. Теперь отклоним массы в разные стороны (анпример, левую влево, а правую вправо) на одну и ту же величину и отпустим. Массы, очевидно, будут колебаться, совершая симметричные движения амплитуды А навстречу друг другу.
Частота колебаний при этом будет
. Это - другая мода колебаний. Обе они симметричны (поскольку симметрична сама система) и реализуются при симметричных начальных
условиях, но симметрии эти разные: в первом случае массы движутся в фазе (обе в одну сторону),
а во втором в противофазе (в противоположные стороны). Нетрудно понять, что при произвольных начальных условиях колебание каждой из масс будет суперпозицией мод, т.е. колебаний первого и второго типа.
Теперь обратимся к уравнениям.
Складывая и вычитая эти уравнения, получим:
Переменные s1 и s 2 называются нормальными координатами, а соответствующие им
частоты wi и ш2 - нормальными (или собственными) частотами колебательной системы. Модой называется колебание системы на одной из собственных частот. При этом колеблется
только соответствующая нормальная координата, а остальные нормальные координаты постоянны (равны нулю).
Электрическим аналогом рассмотренной системы служат
два связанных колебательных контура (рис. 4.2). Это - тоже симметричная система, и у нее также есть две симметричные моды колебаний:
―синфазная‖, когда I1 = I 2 , ток течет ―мимо‖ конденсатора С 1 и частота
колебаний равна
, и ―противофазная‖, когда I1 = -I 2 , кондензаряжается удвоенным током, а частота колебаний равна
Рис. 4.2. Связанные колебательные контуры
. В общем же случае колебания этих связанных
представляют собой, очевидно, суперпозицию (сумму) обеих мод.
сатор С 1
контуров
4.2. Вынужденные колебания
Рассмотрим теперь колебания системы под действием внешних периодических сил:
или
Подставляя
получим систему алгебраических уравнений:
12
решение которой находится по правилу Крамера. Рассмотрим сперва случай, когда сила действует только на первую подсистему (F 2 = 0). Тогда
Если же сила действует только на вторую подсистему (F 1 = 0), решение получается из перестановкой индексов 1 и 2:
Интересно проанализировать эти решения. Во-первых, видно, что если частота вынуждающей
силы (не важно, F 1 или F 2 ) равна одной из нормальных частот колебательной системы, ω1 или ω2 ,
наступает резонанс - амплитуды Х 1 и Х 2 колебаний обеих подсистем неограниченно (так как мы
не учли диссипацию) растут. Во-вторых, единичная сила F 1 = 1, приложенная к подсистеме 1, вызывает в подсистеме 2 точно такой же отклик, какой вызывает в подсистеме 1 единичная сила F 2 =
1, приложенная к подсистеме 2, - это знаменитая теорема взаимности. Наконец, в-третьих, если, скажем, сила F1; приложенная к подсистеме 1, имеет частоту, равную парциальной частоте
υ 2 подсистемы 2, она вызывает колебания только подсистемы 2, первая же подсистема остается в
покое, Х 1 = 0! Объясняется это тем, что при ω = υ 2 внешняя сила F 1 и подсистема 2 оказывают на
подсистему 1 равные и противоположно направленные воздействия, которые в точности уравновешивают друг друга.
Это удивительное явление динамического демпфирования (или успокоения) имеет многочисленные применения. Например, в радиотехнике на нем основано действие фильтра-пробки
(или отсасывающего контура): благодаря связи второго контура с первым, на который действует
внешнее возмущение, при соответствующей настройке можно добиться того, что одна определенная частота в первом контуре не будет появляться совсем. Но самое, пожалуй, эффектное приложение динамического демпфирования - это успокоитель качки судов. Подсистемами служат корабль и вода в специальном резервуаре - так называемых цистернах Фрама, а внешней силой морское волнение. Парциальная частота колебаний воды в цистернах подбирается близкой к частоте качки, при этом вода в цистернах колеблется очень сильно, а качка корабля заметно ослабевает.
Лекция 5
ПРОДОЛЬНЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
5.1. Волны. Характеристики волновых процессов
В системах со многими степенями свободы наблюдаются явления передачи различных возмущений
от одних частей системы к другим, обусловленные взаимодействием между различными частями
системы. Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества или поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волной или волновым процессом.
Ориентация колебаний может быть различной относительно направления их распространения. В связи с этим волны могут быть продольными или поперечным. Продольные звуковые волны связаны с деформацией сжатия – разряжения (могут распространяться в любой среде), поперечные – с деформацией сдвига (могут распространяться только в твердом теле). Электромагнитные волны – поперечные, так как колебания напряженностей электрического и магнитного поля в
них происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые
части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны – поверхность, которая отделяет часть простран13
ства, захваченную волновым процессом, от области, где колебания еще не начались. Фронт волны
в каждый момент времени один, и он перемещается в пространстве. Геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности
можно провести через любые точки пространства, охваченные волновым процессом, и их может
быть сколько угодно. Волновые поверхности могут быть любой формы, наиболее простые – плоскости и сферы. В первом случае волна называется плоской, во втором – сферической.
Пусть некий волновой процесс описывается функцией ξ = ξ (x,t). График функции – это
зримое изображение волны в данный момент времени. Он соответствует плоской волне, распространяющейся вдоль оси x, взятой в момент времени t. Длиной волны называют расстояние, на которое перемещается волна за один период колебаний частиц среды или поля
λ = vT.
Другими словами, длина волны есть
расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (в одинаковых
фазах). Частота и период обратны друг другу
f 
поэтому f  V . Если f = const, то волна назымонохроматической.
Рис. 5.1. График распространения волны
1
,
T
вается
5.2. Звуковые волны в газах
Продольные волны распространяются в виде звуковых волн в веществе, находящемся в
любом состоянии: в плазме, газах, жидкостях и твердых телах. В случае волн в газах на распространение волн налагаются некоторые термодинамические ограничения. В случае твердых тел
распространение волн будет зависеть от формы образца. Ни в газах, ни в жидкостях невозможна
поперечная сдвиговая деформация, необходимая для поперечных волн. В твердом же теле могут
поддерживаться как продольные, так и поперечные колебания.
Волновое уравнение для продольных звуковых волн в газе:
,
где v - волновая скорость.
Обозначив через ξм максимальную амплитуду смещения, мы получим следующие выражения для волны, бегущей в положительном направлении оси х:
Где δ – разрежение, т.е. относительное изменение объема, s - уплотнение, т.е. относительное изменение плотности, р - избыточное давление, Ва - модуль всестороннего сжатия.
В случае волны, бегущей в отрицательном направлении оси х:
5.3. Распределение энергии в звуковых волнах
В звуковой волне средние значения плотностей кинетической и потенциальной энергий
одинаковы:
,
где ρ0 - начальная плотность.
Но важнее другое обстоятельство. Потенциальная и кинетическая энергии элемента максимальны (или минимальны) одновременно. Энергия элемента возрастает до максимума и при сжатии, и при разрежении, поскольку запасенная энергия определяется величиной .
5.4. Интенсивность звуковых волн. Удельный акустический импеданс
Интенсивность характеризует поток энергии, т. е. скорость, с которой энергия проходит через единичную площадь; поэтому она равна произведению плотности энергии (кинетической и
потенциальной) на волновую скорость v.
Интенсивность можно вычислить следующим образом:
14
Удельный акустический импеданс z - отношение силы на единицу площади (избыточного
давления) к скорости частиц.
Для волны, бегущей в положительном направлении оси x
Для волны, бегущей в отрицательном направлении оси x удельный акустический импеданс
равен
Для плоских звуковых волн удельный акустический импеданс ρ0v является действительной
величиной, а в случае сферических волн он имеет дополнительную реактивную компоненту jk/r,
где r, — расстояние, пройденное волновым фронтом. С увеличением r эта компонента стремится к
нулю, а сферическая волна становится практически плоской.
5.5. Отражение и прохождение звуковых волн на границе сред
Когда звуковая волна падает на границу, разделяющую
две среды с разными акустическими импедансами, при расчете
отражения и прохождения волны нужно учитывать два граничных условия: на границе должны быть непрерывными скорость
частиц и избыточное акустическое давление р.
Это физические условия, необходимые для того, чтобы
две среды находились в полном контакте на всей границе.
Если индексом i обозначить падающую, индексом r - отраженную и индексом t - прошедшую волны, то в силу граничРис. 5.2. Звуковые волны на
ных условий
границе раздела двух сред
Коэффициент отражения и коэффициент пропускания:
Энергетические коэффициенты отражения и пропускания определяются следующими формулами:
Большое различие между удельными акустическими импедансами воздуха, с одной стороны, и воды или стали, с другой стороны, приводит к чрезвычайно сильному рассогласованию импедансов, когда предпринимаются попытки передать акустическую энергию через границу между
этими средами.
На границе воздух - вода энергия звуковой волны почти полностью отражается независимо
от того, с какой стороны волна падает на поверхность. Через границу сталь - вода может быть передано только 14% акустической энергии. Это имеет очень важное значение для передающих и
приемных акустических устройств.
15
Лекция 6
ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ
6.1. Волновое уравнение и его решение
Рассмотрим поперечные волпримере волн в струне. Рассмотрим
нечно малый отрезок струны длиной
6.1). Волновое уравнение выводится
рого закона Ньютона.
ны
на
бескоds (рис.
из вто-
где T - натяжение струны, ρ линейная плотность.
Решение волнового уравнения функция
переменных х и t. Можно показать,
что решением является любая функция вида y =
Рис. 6.1. Элемент струны ds ≈ dx
f1(vt - х), или y=f2(ct+x).
Представим решение для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х,
в виде
, а в отрицательном .
6.2. Импеданс струны
Любая среда, в которой распространяются волны, характеризуется неким импедансом для
этих волн, или волновым сопротивлением. Если среда без потерь и не имеет механизма диссипации или сопротивления, то импеданс будет действительным и будет определяться двумя параметрами, описывающими накопление энергии в среде: инерцией и упругостью. При наличии механизма потерь в импедансе появится мнимый член.
Струна тоже характеризуется неким импедансом для бегущих волн, который в соответствии с
природой этих волн определяется как отношение поперечной силы к поперечной скорости. Для
волны, бегущей в положительном направлении
.
6.3. Отражение и прохождение волн на границе двух струн
Предположим, что струна состоит из двух кусков, гладко соединенных в некоторой точке, и
имеет постоянное натяжение Т вдоль всей длины. Обе части струны имеют разные линейные
плотности ρ1 и ρ2 и разные волновые скорости v1 и v2 . Характеристические импедансы равны Z1=
ρ1 v1 и Z2= ρ2 v2 (рис. 6.2).
Волна, бегущая по струне, в точке х = 0 встречает скачок импеданса, как показано на рис. 6.2. В
этой точке х = 0 часть падающей волны отразится, а другая часть пройдет в область с импедансом
Z2= ρ2 v2.
Смещение для падающей волны запишем в виде
, где А1 - действительная амплитуда. Смещение для отраженной волны, бегущей в отрицательном направлении оси х имеет
вид
, где В1 - амплитуда. Смещение для прошедшей волны, бегущей в положительном направлении оси х, определяется выражением
где А2 - амплитуда.
Найдем амплитудные коэффициенты отражения и прохождения, т. е. отношения величин В1 и
А2 к амплитуде А1. Для этого воспользуемся граничными условиями, которые должны выполняться в точке скачка импеданса х = 0. Эти граничные условия следующие:
1. Геометрическое условие, заключающееся в том, что в любой момент времени смещение
справа и слева в непосредственной близости от точки х = 0 одинаково. Таким образом, скачка
смещения нет.
2. Динамическое условие, заключающееся в том, что поперечная сила Т(ду/дх) непрерывна в
точке х = 0. Следовательно, непрерывна производная смещения по х.
16
Энергетические коэффициенты отражения и пропускания определяются следующими формулами:
6.4. Согласование импедансов
Согласование импедансов имеет очень важное практическое значение в вопросе передачи
энергии. Длинные кабели, по которым переносится энергия, должны быть точно согласованы во
всех соединениях, чтобы избежать потерь энергии за счет отражения. Энергия, получаемая от любого генератора, максимальна, когда нагрузка согласована с импедансом генератора. Громкоговоритель согласуется с импедансом выхода усилителя путем выбора правильного отношения числа
витков в обмотках трансформатора связи.
Когда между двумя струнами с разными импедансами имеется гладкое соединение, на границе происходит отражение энергии. Путем введения еще одной струны определенной длины
между двумя несогласованными струнами можно исключить отражение энергии и согласовать
импедансы.
Нам нужно (рис.6.2) согласовать импедансы Z1 = ρ1v1 и Z3 = ρ3v3 путем введения струны
длиной l с импедансом Z2 = ρ2v2. Струны гладко соединены, и задача в том, чтобы найти величины
l и Z2. Условие согласования означает, что
Из граничных условий:
Решение
системы
приводит
к
.
Толщина диэлектрического покрытия на
оптических линзах, которое исключает отражение при прохождении света из воздуха в стекло, равна четверти длины волны. Радужная
Рис. 6.2. Согласование импедансов с поокраска в таких линзах возникает из-за того,
мощью дополнительной струны
что точное согласование происходит только на
одной частоте. Линии передачи согласуются с
нагрузками путем введения четвертьволновых отрезков линии с соответствующим импедансом.
6.5. Стоячие волны на струне фиксированной длины
Если импеданс отражающей среды равен бесконечности, то бегущая волна полностью отражается с изменением фазы на π радиан. Бесконечным импедансом характеризуются жестко закрепленные концы струны с фиксированной длиной l. Теперь мы исследуем поведение волн на такой
струне.
Рассмотрим простейший случай, когда одна монохроматическая волна с амплитудой а и часто17
той со распространяется в положительном направлении оси ху а другая монохроматическая волна
той же частоты с амплитудой b распространяется в отрицательном направлении оси х. Тогда смещение в любой точке струны будет определяться выражением
и граничными условиями у = 0 при х = 0 и х = l для любого момента времени.
Смещение y дается выражением
.
Согласно условию у = 0 при х = l для любого момента времени разрешенные частоты
. Это нормальные частоты, соответствующие нормальным модам колебаний. Их часто
называют собственными частотами.
6.6. Волновой пакет и групповая скорость
Путем сложения ряда волн с разными частотами (длинами волн) и скоростями можно получить группу волн, или волновой пакет. Волны редко существуют в виде отдельных монохроматических компонент. Импульс белого света имеет сплошной спектр частот, поэтому движение такого импульса описывается его групповой скоростью. Конечно, такой пакет расплывается со временем, поскольку волновые скорости каждой компоненты неодинаковы во всех средах, кроме свободного пространства. Только в свободном пространстве импульс белого света остается неизменным.
Групповая скорость - скорость распространения максимума амплитуды пакета, скорость, с
которой переносится энергия пакета. В случае монохроматической волны групповая и волновая
скорости одинаковы.
Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты, называется диспергирующей средой.
Зависимость ω от k выражается дисперсионной формулой.
.
При
дисперсия - нормальная, при
- аномальная.
Для электромагнитных волн электрический проводник обладает аномальной дисперсией, а
диэлектрик - нормальной дисперсией всюду, кроме небольших областей около собственных резонансных частот атомов, образующих диэлектрик.
Лекция 7
ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
7.1. Волны в линиях передачи без потерь
Рис. 7.1. Элемент линии передачи без потерь
Волны в линиях передачи - волновое
распространение напряжений и токов. Любую линию передачи можно упрощенно
представить в виде системы двух параллельных проводов, к одному концу которой присоединен генератор переменного тока.
На рис.7.1 изображен короткий элемент (с нулевым сопротивлением) идеальной
линии передачи длиной dx<<λ, где λ, - длина
волны напряжения или тока. Индуктивность
элемента равна L0dx, а его емкость - C0dx.
Волновые уравнения для волн напряжения и тока
Волны тока и напряжения распространяются с одинаковой скоростью v2 = 1/L0C0.
18
7.2. Волновое сопротивление линии передачи
Решения волновых уравнений имеют вид
,
,
где U0 И I0 - максимальные значения, а индекс + относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси х.
Волновое сопротивление для волны, распространяющейся в положительном направлении
оси х, равно отношению U+ К I+ .
.
Волны, которые распространяются в отрицательном направлении оси х, будут описываться
следующими выражениями, полученными путем решения волнового уравнения:
,
.
Здесь минусом в индексе обозначено отрицательное направление оси х, в котором распространяется волна.
Тогда
.
Если волны распространяются вдоль линии передачи в обоих направлениях, то полное
напряжение и полный ток в любой точке будут определяться выражениями
,
.
Когда в линии передачи волны распространяются только в положительном направлении,
волны напряжения и тока всегда находятся в фазе и переносят энергию, которая все время поступает в линию от генератора. Когда же волны распространяются в обоих направлениях, положение
изменяется. Волны, бегущие в отрицательном направлении оси х, возникают за счет отражения на
границе, если линия имеет конечную длину или не согласована.
7.3. Отражение от конца линии передачи
Предположим, что линия передачи с волновым сопротивлением Z0 имеет конечную длину,
а на ее конце, противоположном генератору, имеется нагрузка с импедансом ZH
Граничные условия на нагрузке должны быть следующими:
где UH - напряжение на нагрузке. Кроме того,
Из этих уравнений нетрудно получить, что амплитудный коэффициент отражения для
напряжения и тока:
Кроме того:
7.4. Короткозамкнутая линия передачи
Если концы линии передачи замкнуты накоротко и ZH = 0, то мы получаем:
=0
Следовательно, U+ = - U- и происходит полное отражение с изменением фазы волны на π. При
этом возникают стоячие волны. В любой точке х линии мы можем представить две рассматриваемые волны напряжения в виде
В случае полного отражения и изменения фазы на π выполняется соотношение U0+ = - U0-, а
поэтому полное напряжение в точке х таково:
19
,
а соответствующий ток:
Видно, что во всех точках линии передачи напряжение сдвинуто по фазе относительно тока
на 90° как в пространстве, так и во времени. Поэтому коэффициент мощности cos υ = cos 90° = 0 и
энергия не потребляется. В случае стоячей волны в обоих направлениях переносится одинаковая
энергия и полная переносимая энергия равна нулю.
7.5. Волны в линиях передачи с потерями
В реальных линиях передачи в проводах всегда имеется некоторое сопротивление, которое
будет приводить к потерям энергии. Мы учтем это сопротивление, предполагая, что линия передачи содержит последовательно включенный резистор с сопротивлением R0 и параллельный, или
шунтирующий,
резистор
между
проводами, который мы будем характеризовать проводимостью
G0.
Модель
короткого
элемента линии передачи,
имеющего длину dx, приведена
на
рис.7.2. В нее входят резистор с
Рис. 7.2. Элемент линии передачи с потерями
сопротивлением R0 dx, соединенный последовательно с катушкой индуктивности L0dx, и резистор с проводимостью G0 dx,
шунтирующий конденсатор с емкостью C0 dx. Теперь возможен ток и поперек линии передачи,
поскольку диэлектрик не является идеальным.
Временную зависимость напряжения и тока вдоль линии передачи можно представить в виде
Для координатной составляющей можно получить уравнения:
где
де:
. Величина γ, очевидно, комплексна, и ее можно представить в ви. Полное решение для напряжения можно представить следующим образом:
Оно представляет собой две волны: одна бежит вправо, и ее амплитуда А уменьшается с
расстоянием соответственно множителю е-αх, а другая бежит влево, и ее амплитуда В уменьшается
экспоненциально с расстоянием соответственно множителю еαх. Величины γ, α и k называются
константой распространения, коэффициентом затухания или поглощения и волновым числом.
Ток I изменяется точно так же. Поскольку мощность равна произведению UI, зависимость
потерь энергии от расстояния описывается функцией е-2ах.
7.6. Волновое сопротивление линии передачи с потерями
Для линии передачи с потерями волновое сопротивление для волны, бегущей в положительном направлении оси х, определяется:
Для волны, бегущей в отрицательном направлении оси х:
Наличие резистивного члена в комплексном волновом сопротивлении означает, что энергия
волн будет поглощаться за счет выделения джоулева тепла.
20
Лекция 8
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
8.1. Электромагнитные волны в непроводящей среде
В электромагнитной волне колеблются значения напряженностей магнитного (вектор H) и
электрического полей (вектор E). Волновое уравнение можно вывести из уравнений Максвелла.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной непроводящей среде (ρ = 0, j = 0, D = εε0 Е, В = μμ0 Н). Направим ось z перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их составляющие не будут зависеть от координат х и
у. Получим волновые уравнения:
Фазовая скорость распространения электромагнитной волны (скорость света в среде)
,
– скорость света в вакууме,
Решения волновых уравнений:
– показатель преломления среды.
,
.
Подстановка этих решений в уравнения Максвелла дает:
,
.
Перемножив эти выражения, получим
.
Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной
волне происходят с одинаковой фазой, а амплитуды этих векторов связаны соотношением
.
8.2. Вектор Умова – Пойтинга. Волновое сопротивление диэлектрика
для электромагнитных волн
Волновое сопротивление диэлектрика для электромагнитных волн.
E
E cos(t  kz) E0
0
.
z x  0


H y H 0 cos(t  kz) H 0
 0
Плотность энергии электрического и магнитного поля соответственно:
wэл   0 E 2 / 2 , wмаг  0 H 2 / 2
Суммарная плотность энергии:
w  wэл  wмаг   0 E 2 / 2  0 H 2 / 2  2wэл  2wмаг   0 0 EH .
Перенос энергии электромагнитной волной описывается с помощью вектора УмоваПойтинга.

 
S  EH .
Т.к. вектора Е и Н – перпендикулярны, модуль вектора Умова-Пойтинга:
S  w  v  EH .



S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен
энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную направлению распространения волны.
8.3. Электромагнитные волны в проводящей среде
Выведем волновое уравнение для проводящей среды из уравнений Максвелла. Запишем эти
уравнения в виде проекций, считая, что Е=Еx, Н=Нy.
21

H y
z
  0
E x
 E x
t
H y
E x
, откуда, дифференцируя по z получим
  0
z
t
2H y
z
2
  0 0
2H y
t
2
 0
H y
t
 Ex
 Ex
E
  0 0
 0 x
2
2
z
t
t
2
2
В волновых уравнениях: первое слагаемое в левой части – токи проводимости, второе – токи смещения. Второе слагаемое – дисперсионный член.
Наличие дисперсионного члена, благодаря которому возможны токи проводимости, приводит к добавлению в чисто волновое уравнение диффузионного члена. (0 ) 1 – магнитный коэффициент диффузии.
Найдем решение волнового уравнения, предполагая, что временная зависимость – гармониjt
ческая. Подставим E x  E ( z )  e во второе уравнение, получим:
2E
  E 0 0 2  jE0
z 2
2E
 ( j0   0 0 2 ) E  0
2
z
2E
2
2
  2 E  0 , где   j0   0 0
2
z
Такое уравнение рассматривали в линиях передачи. Оно имеет решение
e z
– для волны,
z
распространяющейся слева направо и e – для волны, распространяющейся справа налево.
Рассмотрим волну, бегущую в положительном направлении оси z, т.е.
Ex  E0e jt ez .
Оценим величину γ. Для этого сравним два члена в левой части второго волнового уравнения. Первый – токи проводимости, второй – токи смещения. Определим их отношение:
E
0 x
jt  z

t  jE0e e

2
2
jt  z
 E
  0 E0e e
j 0
 0 0 2 x
t
Для проводника ток проводимости >> тока смещения. Следовательно
  j 0
 2  j0   0 0 2  j 0 , откуда
   
  (1  j ) 0 
 2 
1/ 2
. Следовательно
Ex  E0e jt ezt  E0e(  0 / 2)
1/ 2
z
e j t  (  0 / 2)
1/ 2
z

решение соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси
z.Амплитуда волны уменьшается по закону
e(  0 / 2)
1/ 2
z
 e z /  .

2
1/ 2

В проводнике электрическое поле уменьшается в е раз на расстоянии   
 , кото

0 

рое называется глубиной скин-слоя.
Например, для меди ζ = 5,8∙107 См/м на f = 50 Гц δ = 9,9 мм, на f = 1 МГц
δ = 6,6∙10-5
22
м, на f = 30 ГГц δ = 3,8∙10-7 м. Высокочастотные волны в проводнике распространяются лишь на
очень маленькое расстояние.
8.4. Волновое сопротивление проводящей среды для электромагнитных волн
Определим волновое сопротивление для электромагнитных волн проводящей среды, характеризующейся величинами ε, μ и σ. Если отношение Ех/Ну — комплексная величина, то это
означает, что между двумя полями существует разность фаз. В проводнике
,
.
Отсюда находим импеданс (волновое сопротивление) проводника:
Таким образом, импеданс проводника имеет величину
Ну отстает по фазе от Ех на 45°.
и фазовый угол 45°, т. е. поле
8.5. Отражение и прохождение электромагнитных волн на границе раздела сред (нормальное
падение)
На рис. 8.1 изображена неограниченная плоская поверхность, разделяющая две среды с импедансами Z1 и
Z2 (действительными или комплексными),
на которую нормально падает электромагнитная
волна. Составляющие полей показаны на
схеме, где индексы i, r и t обозначают
падающую, отраженную и прошедшедшую волны.
Согласно теории электромагнитного поля, граничные условия заключаются в том, что тангенциальные, т. Рис. 8.1. Отражение и преломление волн на
е.
пагранице
раздела
сред
раллельные границе, составляющие полевых векторов Е и Н непрерывны
на границе раздела сред. Таким образом,
где
Из этих уравнений нетрудно получить, что амплитудные коэффициенты отражения и пропускания для напряженностей электрического и магнитного поля:
Если волна, распространяющаяся в воздухе, падает нормально на идеальный проводник с
Z2 = 0, то
что соответствует полному отражению. Следовательно, хорошие проводники хорошо отражают
электромагнитные волны. Например, световые волны хорошо отражаются от металлических поверхностей.
Лекция 9
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
9.1. Излучение элементарного вибратора
23
Элементарным вибратором называется система,
которой малы по сравнению с длиной волны. Рассмотрим
(рис. 9.1), состоящую из двух шариков, несущих заряды ±
соидально меняющиеся со временем, причем расстояние l
центрами шариков мало по сравнению с длиной волны λ в
жающей среде. Будем считать, что этой средой является вакувоздух. Заряды ± q образуют диполь, момент которого р
идально меняется со временем:
размеры
систему
q, синумежду
окруум или
синусоРис. 9.1. Элементарный вибратор
Из уравнений Максвелла выводится, что на расстояниях r
от середины вибратора, больших по сравнению с длиной волны, вследвследствие изменения со временем вектора р возникает электромагнитное поле, в котором векторы Е, H описываются формулами
Здесь r1 - единичный вектор, направленный от середины диполя О к точке наблюдения Р.
Линии вектора Е (электрические силовые линии) расположены по меридианам, линии вектора Н
(магнитные силовые линии) - по параллелям концентрических сфер с центром в О и с полюсами на продолжении оси диполя (рис. 9.2). Посмотрим, как изменяются Е и Н со временем.
Рис. 9.2. Вектора напряженностей
электрического и магнитного поля
Напряженности электрического и магнитного полей колеблются в каждой точке пространства синфазно; поверхности равной фазы - сферы с центром, совпадающим с серединой вибратора О. Амплитуды электрического и магнитного полей (домноженные на электрическую и магнитную постоянные, соответственно) в каждой точке пространства равны друг другу. При удалении от О по фиксированному направлению эти амплитуды убывают обратно пропорционально первой степени расстояния. При фиксированном r (на данной сфере с
центром О) амплитуды Е, Н зависят от широты,
амплитуды максимальны на экваторе и, монотонно
убывая с ростом ψ, обращаются в нуль на полюсах.
Вычислим поток энергии в точке r, ψ. Принимая во внимание перпендикулярность векторов
E, Н, имеем:
откуда для среднего значения за период находим:
Строя в полярных координатах график зависимости S от ψ при фиксированном r, мы получаем
полярную диаграмму направленности, указывающую распределение потока энергии по направлениям в данной меридиональной плоскости (рис.9.3).
Мощность элементарного вибратора
Рис. 9.3. Диаграмма направленности
элементарного вибратора
24
Для поддержания незатухающих колебаний вибратора необходим источник, восполняющий
потерю энергии на излучение, т. е. доставляющий полю диполя мощность Р. Амплитуда тока в
диполе
Мы можем представить Р в виде
где Rизл - сопротивлением излучения диполя.
9.2. Излучение полуволнового вибратора
Под сложным излучателем понимают систему, излучающую акустические или электромагнитные волны, имеющую размеры не малые по сравнению с длиной волны. Некоторые сложные
излучатели дают остро
направленное излучение.
Представим в общих чертах, как излучает
антенна, состоящая из
одного тонкого полуволнового вибратора (рис.
9.4). Пренебрежем разрывом между половинами
вибратора и будем его
рассматривать как отреРис. 9.4. Тонкий полуволновой вибратор (а) и его идеализация
зок прямой линии, а каж(б, в)
дый элемент этого отрезка («элемент» вибратора) - как элементарный вибратор. Поле, излучаемое антенной в целом, есть
суперпозиция полей отдельных ее элементов.
Рассмотрим сначала точки пространства, лежащие в одной какой-нибудь меридиональной
плоскости (плоскости, содержащей ось вибратора). Электрические поля, создаваемые отдельными
элементарными вибраторами у = ух, у = у2 (ось у совпадает с осью антенны) в точке Р, лежат в
рассматриваемой плоскости, а магнитные поля к ней перпендикулярны и, следовательно, коллинеарны между собой. Предположим, что мы настолько далеко ушли от антенны, что прямые, соединяющие точку наблюдения Р с различными точками вибратора, можно считать параллельными (рис. 9.4, в). Тогда векторы Е от отдельных элементов можно считать коллинеарными, а разность хода колебаний Δ, приходящих от элементов вибратора, можно рассчитывать по приближенной формуле
,
где ψ - угол между прямой, соединяющей какую-нибудь точку вибратора с точкой наблюдения Р,
и перпендикуляром к вибратору, лежащему в выбранной плоскости, υ - разность фаз, k - волновое
число.
В точках наблюдения, находящихся в направлении ψ = 0, колебания от всех элементарных
вибраторов приходят в одинаковой фазе (для любой пары точек Δ = 0), в таких точках амплитуда
вектора Е есть просто сумма амплитуд полей, создаваемых отдельными элементарными вибраторами. Чем больше угол ψ, тем больше отличаются по фазе колебания, приходящие от какихнибудь двух элементарных вибраторов. При ψ → к π/2 сдвиг фаз между колебаниями, создаваемыми крайними элементами вибратора, стремится к π (так как длина вибратора равна половине
длины волны). Поэтому колебания, приходящие от участков, близких к концам вибратора, почти
полностью погашают друг друга. Ясно, что диаграмма направленности полуволнового вибратора
в меридиональной плоскости несколько острее, чем диаграмма направленности элементарного
вибратора. Диаграмма направленности в экваториальной плоскости в силу осевой симметрии - такая же, как у элементарного вибратора (окружность).
5.3
Краткое описание лабораторных работ
5.3.1 Перечень рекомендуемых лабораторных работ
Учебным планом лабораторные работы не предусмотрены
25
5.4
Краткое описание практических занятий
5.4.1 Перечень практических занятий
Практическое занятие № 1. Гармонические колебания
Практическое занятие № 2. Гармонические колебания
Практическое занятие № 3. Затухающие колебания
Практическое занятие № 4. Вынужденные колебания
Практическое занятие № 5. Затухающие и вынужденные колебания
Практическое занятие № 6. Параметрические и автоколебания
Практическое занятие № 7. Колебания в системе с N степенями свободы
Практическое занятие № 8. Параметрические и автоколебания. Колебания в системе с N степенями свободы
Практическое занятие № 9. Продольные звуковые волны
Практическое занятие № 10. Поперечные волны в струне
Практическое занятие № 11. Продольные звуковые волны и поперечные волны в струне
Практическое занятие № 12. Волны в линиях передачи
Практическое занятие № 13. Волны в линиях передачи
Практическое занятие № 14. Электромагнитные волны
Практическое занятие № 15. Электромагнитные волны
Практическое занятие № 16. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных
волн
Практическое занятие № 17. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных
волн
5.4.2
Методические указания по выполнению заданий на
практических занятиях
Практические занятия № 1, 3, 4, 6, 7. Гармонические колебания. Затухающие и вынужденные колебания. Параметрические и автоколебания. Колебания в системе с N степенями
свободы. Проходят в форме семинарского занятия в диалоговом режиме. На занятии обсуждается
на конкретных примерах особенности различных видов колебаний, их параметры, разбираются
вывод уравнения колебания, его решение, энергия колебательного процесса.
Цель занятий: усвоение особенностей различных видов колебаний, их параметров, уравнений
колебаний, их решений, энергии колебательного процесса.
Задание на занятия: во время занятия студенты участвуют в обсуждении на конкретных примерах особенностей различных видов колебаний, их параметров, самостоятельно выводят уравнения колебания, получают его решение, разбирают особенности преобразования энергии для каждого колебательного процесса.
Требования к отчетным материалам и документам: отчетными материалами являются информационные материалы по различным видам колебаний (в произвольной форме).
Ход занятия: студент участвует в обсуждении на конкретных примерах особенностей различных видов колебаний. При разборе конкретных задач возможна как индивидуальная, так и групповая работа с организацией соревнования между группами; студенты, первыми решившие ту или
иную задачу, объясняют ход решения группе; в случае необходимости преподаватель во время занятия подсказывает ход решения задачи.
Практические занятия № 2, 5, 8. Гармонические колебания. Затухающие и вынужденные
колебания. Параметрические и автоколебания. Колебания в системе с N степенями свободы.
Проходят в форме контрольной работы, на которой даются конкретные вопросы и задачи на особенности различных видов колебаний.
Цель занятий: закрепление теоретических знаний об особенностях различных видов колебаний, полученных на лекциях и предыдущих практических занятиях, привитие навыков самостоятельного решения практических задач.
Задание на занятия: во время занятия студенты самостоятельно решают задачи, отвечают на
теоретические вопросы.
26
Требования к отчетным материалам и документам: отчетными материалами являются выполненные контрольные работы.
Ход занятия: студент получает задание с теоретическими вопросами и задачами, выполняет
задание и сдает его преподавателю.
Практические занятия № 9, 10, 12, 14, 16. Продольные звуковые волны и поперечные
волны в струне. Волны в линиях передачи. Электромагнитные волны. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных волн. Проходят в форме семинарского занятия в
диалоговом режиме. На занятии обсуждается на конкретных примерах особенности различных
волновых процессов. Вывод волнового уравнения, его решение. Понятие импеданса. Процессы на
границе раздела двух сред. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных волн
Цель занятий: усвоение особенностей различных волновых процессов, их основных параметров.
Задание на занятия: во время занятия студенты участвуют в обсуждении на конкретных примерах особенностей различных волновых процессов, их основных параметров, самостоятельно
выводят волновое уравнение, получают его решение. Разбирают понятие импеданса. Рассматривают процессы на границе раздела двух сред.
Требования к отчетным материалам и документам: отчетными материалами являются информационные материалы по различным волновым процессам (в произвольной форме).
Ход занятия: студент участвует в обсуждении на конкретных примерах особенностей различных волновых процессов. При разборе конкретных задач возможна как индивидуальная, так и
групповая работа с организацией соревнования между группами; студенты, первыми решившие ту
или иную задачу, объясняют ход решения группе; в случае необходимости преподаватель во время
занятия подсказывает ход решения задачи.
Практические занятия № 11, 13, 15, 17. Продольные звуковые волны и поперечные волны в струне. Волны в линиях передачи. Электромагнитные волны. Волны в направляющих
системах. Излучение электромагнитных волн. Колебания в системе с N степенями свободы.
Проходят в форме контрольной работы, на которой даются конкретные вопросы и задачи на особенности различных волновых процессов.
Цель занятий: закрепление теоретических знаний об особенностях различных волновых процессов, полученных на лекциях и предыдущих практических занятиях, привитие навыков самостоятельного решения практических задач.
Задание на занятия: во время занятия студенты самостоятельно решают задачи, отвечают на
теоретические вопросы.
Требования к отчетным материалам и документам: отчетными материалами являются выполненные контрольные работы.
Ход занятия: студент получает задание с теоретическими вопросами и задачами, выполняет
задание и сдает его преподавателю.
Практическое занятие № 1. Гармонические колебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются понятие гармонических колебаний, их особенности,
параметры, вывод уравнения колебаний, его решение, превращение энергии в гармонических колебаниях. Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры гармонических колебаний.
Вопросы
1. Основные виды колебаний, понятие равновесия.
2. Гармонические колебания, их основные параметры: амплитуда, период, частота, циклическая
частота, фаза.
3. Уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника. Смещение, скорость и
ускорение при гармонических колебаниях.
4. Уравнение гармонических колебаний на примере колебательного контура. Период, частота колебаний.
5. Уравнение гармонического осциллятора. Обобщенная масса, возвращающая сила, циклическая
частота.
27
Комплексное представление колебаний, сложение колебаний одной частоты. Векторные диаграммы.
7. Линейность и принцип суперпозиции.
8. Энергия гармонического осциллятора (на примере пружинного маятника).
9. Энергия гармонического осциллятора (на примере колебательного контура).
10. Энергия суммы колебаний
6.
Практическое занятие № 2. Гармонические колебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит
в
форме
контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в
указаниях к занятию № 1, и решает задачи (примеры задач приведены
ниже).
Задачи
1. Опираясь на уравнение гармонического осциллятора, для математического маятника получить уравнение колебаний, определить циклическую
частоту, возвращающую силу, коэффициент жесткости, записать
решение. Записать уравнения относительно смещения x и углового перемещения φ.
2. Для математического маятника найти формулу для энергии и вывести уравнение движения из
dE
условия
 0.
dt
3. Опираясь на уравнение гармонического осциллятора,
для системы, изображенной на рисунке (тело прикреплено к средней точке струны с постоянным
натяжением Т), получить уравнение колебаний,
определить циклическую частоту, коэффициент
жесткости, записать решение.
4. Для той же системы найти формулу для энергии и вывести уравнение движения из условия
dE
 0.
dt
5. Найти отношение значений циклической частоты
для
гармонических колебаний трех систем,
изображенных на рисунке.
6. Смещение гармонического осциллятора описывается
x0, а
уравнением x  a sin( t   ) . Приняв при t =0 x =
dx
 v0 , определить амплитуду и фазовую постоянную колебаний.
dt
7. Маятник колеблется с амплитудой а. Найдите фазовую постоянную  для решений
если колебания начинаются из положения x =a.
Практическое занятие № 3. Затухающие колебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором обсуждаются на конкретных примерах понятие затухающих колебаний, их параметры, режимы докритической и закритической диссипации, изменение энергии при затухающих колебаниях. Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные
примеры затухающих колебаний.
Вопросы
1. Затухающие колебания на примере колебательного контура.
2. Докритическая диссипация.
3. Характеристики затухающих колебаний.
4. Закритическая диссипация. Частные случаи.
5. Апериодические колебания
6. Модель линейного осциллятора с затуханием.
7. Энергия затухающих гармонических колебаний при слабой диссипации.
28
Практическое занятие № 4. Вынужденные колебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на примере электрического колебательного контура обсуждаются понятие вынужденных
колебаний, их особенности, параметры, вывод уравнения колебаний, его решение, явление резонанса. Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры вынужденных колебаний.
Вопросы
1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Основные
характеристики.
2. Частное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний в колебательном
контуре.
3. Импедансы.
4. Зависимость амплитуды и фазы установившихся вынужденных колебаний от частоты внешней
гармонической силы.
5. Явление резонанса напряжений и резонансные кривые.
6. Полоса пропускания контура.
7. Энергия при вынужденных колебаниях в колебательном контуре.
8. Возбуждение контура несинусоидальной периодической ЭДС
9. Установление вынужденных колебаний.
10. Раскачка колебаний в контуре при возбуждении на резонансной частоте.
11. Параллельное соединение колебательного контура и источника ЭДС.
12. Резонанс токов.
Практическое занятие № 5. Затухающие и вынужденные колебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятиям № 3, 4, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
1. За t0=10 мин. Амплитуда колебаний уменьшилась в 10 раз. За какое время t1 она уменьшится
еще в 10 раз? Чему равен коэффициент затухания?
2. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с индуктивностью 1мГн и
переменного конденсатора, емкость которого меняется от 9,7 до 92 пФ. В каком диапазоне
длин волн может принимать радиостанции этот приемник? Какова полоса пропускания
приемника и добротность, когда он настроен на частоту 1МГц, если активное сопротивление
индуктивности 10 Ом?
3. Уравнение mx  kx  F0 sin  t описывает движение гармонического осциллятора без затухания
под действием силы с частотой . Решив это уравнение, покажите, что частное решение
F0 sin  t
описывается выражением x 
,  02  k / m . Далее покажите, что общее решение для
m( 02   2 )
F0 sin  t
 A cos  0 t  B sin  0 t , где A и B – постоянные, зависящие
смещения x имеет вид x 
m( 02   2 )
от начальных условий. Найдите решение для смещения при следующих начальных условиях в
момент времени t=0: x=a, x =0; 1) x=-a, x =0; 2) x=a/2, x =0; 3) x=-a/2, x =0; 4) x=a, x =v; 5) x=a,
x =-v; 6) x=0, x =v; 7) x=0, x =-v; 8) x=0, x =3v; 9) x=0, x =0.
d 2x
dx
4. Показать, что смещение x  ( A  Bt )e  Rt / 2m удовлетворяет уравнению m 2  R  kx  0 ,
dt
dt
2
R
k
если
.

2
m
4m
5. Частота гармонического осциллятора с затуханием определяется выражением
k
R2
R2
2
2  



определить добротность и логарифмический декремент затухания
0
m 4m 2
4m 2
при ω02 - ω2 = 10-6 ω02.
29
6.
7.
Частота гармонического осциллятора с затуханием определяется выражением
k
R2
R2
2
2
определить коэффициент жесткости системы и коэффициент силы
  
 0 
m 4m 2
4m 2
сопротивления при ω02 = 106 Гц.
Частота гармонического осциллятора с затуханием определяется выражением
k
R2
R2
2
определить энергию системы и время ее уменьшения в е раз и
2  



0
m 4m 2
4m 2
энергию, теряемую за первый период, если максимальное смещение при t =0 равно 10-2 м.
Практическое занятие № 6. Параметрические и автоколебания.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются понятие параметрических и автоколебаний, их особенности, параметры, вывод уравнения колебаний, его решение, превращение энергии. Студентам
предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры параметрических и автоколебаний.
Вопросы
1. Параметрические колебания. Понятие. Примеры.
2. Параметрические колебания в колебательном контуре с переменой емкостью (без диссипации)
3. Параметрические колебания в колебательном контуре с переменой емкостью (с учетом диссипации)
4. Влияние нелинейных эффектов на параметрические колебания с учетом диссипации
5. Автоколебания. Примеры. Типы автоколебательных систем.
6. Автоколебательные системы осцилляторного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере электрического звонка.
7. Мягкий и жесткий режим автоколебаний в системах осцилляторного типа. Форма установившихся колебаний при различной добротности.
8. Автоколебательные системы накопительного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере гидравлического осциллятора.
9. Автоколебательные системы накопительного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере генератора пилообразного напряжения.
Практическое занятие № 7. Колебания в системе с N степенями свободы.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются собственные и вынужденные колебания с N степенями свободы. Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать
конкретные примеры колебаний с N степенями свободы.
Вопросы
1. Собственные механические и электрические колебания с двумя степенями свободы (симметричная система).
2. Нормальные координаты и собственные частоты колебаний системы.
3. Моды колебаний.
4. Связанные колебания одинаковой амплитуды. Биения.
5. Собственные механические колебания с двумя степенями свободы (несимметричная система).
6. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы.
7. Резонанс при вынужденных колебаниях с N степенями свободы.
8. Теорема взаимности. Динамическое демпфирование.
Практическое занятие № 8. Параметрические и автоколебания. Колебания в системе с N
степенями свободы.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятиям № 6, 7, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
1. Два маятника одинаковой длины l, но разной массы m1 и m2, в положении покоя связаны неве30
сомой и нерастянутой в этом положении пружиной жесткости k. Поте, что уравнения движения связанных маятников принимают вид:
m1 x  m1 ( g / l ) x  k ( x  y )
. Здесь x и y – смещения от положения
m2 y  m2 ( g / l ) y  k ( x  y )
новесия первого и второго маятника. Покажите, что в качестве норm x  m2 y
,
Y  x  y . Частоных координат можно выбрать X  1
m1  m2
кажиравмальты
 1
g
g
1 
 .Найдите ам,
 22   k  
l
l
 m1 m2 
плитуды нормальных мод X0 и Y0 , при следующих начальных условиях в момент времени t=0:
0) x=A, y=0, x  y  0 ;
Покажите, что потенциальную энергию двух одинаковых математических маятников, соединенных пружиной, можно записать в виде aX2+bY2, где X, Y – нормальные координаты, а a, b –
постоянные. Покажите, что кинетическую энергию можно представить в виде cX 2  dY , где c,
d – постоянные. Выразить a, b, c, d через k, l, m, g.
Два тела с одинаковой массой колеблются в вертикальном направлении. Покажите, что частоты нормальных мод колебаний определяются выражением
k
и что отношение амплитуды смещения верхнего тела
 2  (3  5 )
2m
к амплитуде смещения нижнего тела равно 5 / 2  1 в случае медленных колебаний и 5 / 2  1 в случае быстрых колебаний.
нормальных мод определяются выражениями 12 
2.
3.
Практическое занятие № 9. Продольные звуковые волны.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются продольные звуковые волны в газе и твердом теле.
Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные
примеры продольных звуковых волн.
Вопросы
1. Вывод волнового уравнения для продольных звуковых волн в газах
2. Решение волнового уравнения для продольных звуковых волн в газах
3. Распределение энергии в продольных звуковых волнах в газах
4. Интенсивность звуковых волн и удельный акустический импеданс
5. Волновое уравнение для продольных волн в твердом теле
6. Отражение и похождение звуковых волн на границе раздела сред
Практическое занятие № 10. Поперечные волны в струне.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются поперечные волны в струне. Студентам предлагается
подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры поперечных волн.
Вопросы
1. Вывод волнового уравнения для струны
2. Решение волнового уравнения для струны
3. Импеданс струны
4. Отражение и похождение волн на границе двух струн.
5. Амплитудные коэффициенты отражение и пропускания
6. Отражение и прохождение энергии на границе двух струн.
7. Энергетические коэффициенты отражение и пропускания
8. Согласование импедансов
9. Стоячие волны на струне фиксированной длины.
10. Коэффициент стоячей волны
11. Энергия колеблющейся струны
31
12. Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами
13. Волновой пакет, состоящий их многих гармоник.
14. Теорема о ширине частотной полосы.
Практическое занятие № 11. Продольные звуковые волны и поперечные волны в струне.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятиям № 9,10, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
2 y 1 2 y
1. Покажите, что функция y  f 2 (vt  x) удовлетворяет волновому уравнению

x 2 v t 2
2. Покажите, что профиль волны y  f1 (vt  x) не изменяется со временем
3. Точечная масса М прикреплена в некоторой точке к струне, имеющей импеданс ρv. Поперечная волна с частотой ω распространяется в положительном направлении оси x и частично отражается от этой массы, а частично проходит. Граничные условия заключаются в том, что
смещения струны в непосредственной близости справа и слева от массы одинаковы, а разность
поперечных сил в этих же точках равна произведению массы на ее ускорение. Определить амплитудный коэффициент отражения.
4. По струне бежит волна со смещением y  a sin(t  kx) . Покажите, что средняя работа (среднее произведение поперечной силы на поперечную скорость) равна скорости переноса энергии
вдоль струны.
5. Поперечная гармоническая сила с пиковым значением 0,3 Н и частотой 5 Гц возбуждает волны
на конце очень длинной струны с линейной плотностью ρ 0,001 кг/м. Покажите, что скорость
переноса энергии вдоль струны равна 3π/20 Вт, волновая скорость составляет 30/ π м/с.
6. Соотношение между импедансом Z и показателем преломления n диэлектрика определяется
формулой Z=1/n .Свет, распространяющийся в вакууме, падает на стеклянную линзу. Показатель преломления, которой n=1,5 для λ=5,5∙10-7 м. Покажите, что отражение на этой длине
волны можно устранить при помощи покрытия с показателем преломления 1,22 толщиной
1,12∙10-7 м.
 x
7. Докажите, что смещение yn в выражении y n  ( An cos  n t  Bn sin  n t ) sin n для стоячей волv
2
ны удовлетворяет стационарному волновому уравнению  y2  k 2 y  0
x
8.
Фазовая скорость поперечных волн в кристалле с межатомным расстоянием а определяется
выражением v  c sin(ka / 2) , где k – волновое число, с – постоянная. Определить групповую
ka / 2
скорость. Каково предельное значение групповой скорости при больших длинах волн.
Пружина с массой m,коэффициентом жесткости k и длиной L растянута до длины L+l. Когда
вдоль пружины распространяются продольные волны, уравнение движения элемента пружины
 2 F
dx , где ξ - продольное смещение, а F длиной dx может быть записано в виде mdx 2 
x
t
возвращающая сила. Выведите волновое уравнение и определите волновую скорость.
10. Коэффициент Пуассона ζ для твердого тела равен 0,25. Покажите, что отношение скорости
продольной волны к скорости поперечной волны равно 3 .
11. В трубе длиной l образовались стоячие волны. Оба
конца трубы открыты. Смещение частиц дается
выражением   ( A cos kx  B sin kx) sin t , граничные условия показаны на рисунке. Докажите, что
  A cos kxsin t ,   2l / n .
9.
Практическое занятие № 12. Волны в линиях передачи.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором обсуждаются волны в линиях передачи без потерь и с потерями. Студентам предлагается
32
подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры волн в линиях передачи.
Вопросы
1. Вывод волнового уравнения для идеальной линии передачи без потерь
2. Волновое сопротивление идеальной линии передачи без потерь
3. Отражение от конца линии передачи
4. Короткозамкнутая линия передачи.
5. Стоячие волны
6. Вывод волнового уравнения для линии передачи с потерями.
7. Роль сопротивления.
8. Решение волнового уравнения.
9. Волновое сопротивление идеальной линии передачи с потерями
Практическое занятие № 13. Волны в линиях передачи.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятию № 12, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
1. Линия с волновым сопротивлением Z0 имеет конечную длину и замкнута на нагрузку с импедансом Z1 = 0,3 Z0. Найти амплитудный коэффициент отражения по напряжению и току.
2. Линия длины l, имеющая погонные индуктивность L0 и емкость С0, разомкнута на одном конце и коротко замкнута на другом. Найти спектр частот собственных колебаний такого резонатора.
3. Линия передачи с волновым сопротивлением Z0 имеет конечную длину, а на ее конце имеется
нагрузка с импедансом ZН. Волна, бегущая от генератора к нагрузке (U+ , I+), может отразиться
в виде волны, бегущей от нагрузки к генератору (V- , I -). Из граничных условий на нагрузке:
V+ +U-=UH, I++I-=IH , где UH , IH – напряжение и ток на нагрузке, а также из условий:
U
U
UH
 Z0 ,
 Z 0 ,
 Z H получить амплитудный коэффициент отражения для
I
I
IH
напряжения U-/U+ и амплитудный коэффициент отражения для тока I - /I+ . Получить численные значения этих коэффициентов отражения для следующих ZH = Z0 .
4. Покажите, что линию передачи с волновым сопротивлением Z0 можно согласовать с нагрузкой
ZL при помощи четвертьволновой линии без потерь с волновым сопротивлением Zm , если Zm2=
Z0 ZL
Практическое занятие № 14. Электромагнитные волны.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором обсуждаются электромагнитные волны в непроводящей и проводящей среде. Студентам
предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры электромагнитных волн.
Вопросы
1. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн в непроводящей среде. Общий случай
2. Вывод волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в непроводящей среде.
3. Решение волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в непроводящей среде.
4. Вектор Пойтинга.
5. Волновое сопротивление диэлектрика для электромагнитных волн
6. Вывод волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в проводящей среде.
7. Решение волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в проводящей среде.
8. Глубина скин-слоя.
9. Волновое сопротивление проводящей среды для электромагнитных волн
10. Отражение и прохождение электромагнитных волн на границе раздела сред при нормальном
падении
11. Связь между волновым сопротивлением и показателем преломления
Практическое занятие № 15. Электромагнитные волны.
33
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятию № 14, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
1. Плоскополяризованная электромагнитная волна (Ex , Hy) распространяется в свободном пространстве. Покажите, что вектор Пойтинга (поток энергии, измеряемый в единицах Вт/м 2 дается выражением S  E x H y  c  0 E x2   0 H y2   c 0 E x2  c 0 H y2 , где c – скорость света, 0 1
2
2.
3.
4.
1
2

диэлектрическая проницаемость вакуума, 0 – магнитная проницаемость вакуума. Пусть средняя мощность излучения радиостанции, распределенного равномерно по полусфере с центром
в точке расположения станции, составляет P. Найдите величину вектора Пойтинга, а также
амплитуду электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в точке,
находящейся на расстоянии R от станции, если численные значения мощности P =103 Вт и
расстояние R =1 км.
Удельная проводимость среды ζ=10-1 См/м, относительная диэлектрическая проницаемость
ε=50, относительная магнитная проницаемость μ=1. Определите, является среда проводником
или диэлектриком на частоте: а) 50 кГц, б) 10 4 МГц (среда является проводником, если отношение тока проводимости к току смещения > 100, ε0 =(36 π∙109)-1 Ф/м, μ0 =4 π∙10-7 Гн/м)
Электрические и магнитные свойства воды в Атлантическом океане характеризуются следующими параметрами: ε=81, μ=1, ζ=4,3 См/м. Покажите, что вода океана ведет себя как проводник до частоты порядка 10 МГц. Какова наибольшая длина волны электромагнитных волн,
которые могут распространяться под водой? (среда является проводником, если отношение
тока проводимости к току смещения > 100, ε0 =(36 π∙109)-1 Ф/м, μ0 =4 π∙10-7 Гн/м)
Покажите, что при нормальном падении света, распространяющегося в свободном пространстве, на поверхность диэлектрика с показателем преломления n относительные интенсивности
E
отраженного и прошедшего света определяются коэффициентами: R   r
 Ei
E
T   t
 Ei
2

1 n 
  
 ,
1

n



2
2

4n
 
. Определите коэффициенты R и T для стекла с n =1,5 и для воды с ε=81.
(1  n) 2

Практическое занятие № 16. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных волн.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме семинара, на котором на конкретных примерах обсуждаются волны в пространстве двух и трех измерений, распространение волн в волноводах, излучение электромагнитных волн,. Студентам предлагается подобрать материал по прилагаемым вопросам, разобрать конкретные примеры излучателей.
Вопросы
1. Плоская волна в пространстве двух и трех измерений
2. Вывод волнового уравнения в случае двух измерений
3. Распространение волн в волноводах
4. Излучение элементарного вибратора.
5. Напряженности электрического и магнитного поля на обльшом удалении от оси вибратора
6. Вектор Умова-Пойтинга для элементарного вибратора.
7. Диаграмма направленности для элементарного вибратора.
8. Сопротивление излучения диполя
9. Излучение полуволнового вибратора
10. Излучение антенны, состоящей их двух параллельных полуволновых вибраторов с одинаковыми фазами. Диаграммы направленности такой антенны
11. Излучение антенны, состоящей их двух параллельных полуволновых вибраторов, отстоящих
на четверть волны и колеблющихся со сдвигом фазы π/2. Диаграмма направленности такой антенны
12. Излучение антенны в виде одномерной решетки из полуволновых вибраторов. Амплитуда результирующих колебаний. Ее диаграмма направленности
34
13. Излучение решетки из сдвоенных вибраторов. Амплитуда колебаний. Ее диаграмма направленности
Практическое занятие № 17. Волны в направляющих системах. Излучение электромагнитных волн.
Основные рекомендации по выполнению заданий: Занятие проходит в форме контрольной работы. Студент отвечает на теоретические вопросы, приведенные в указаниях к занятию № 17, и
решает задачи (примеры задач приведены ниже).
Задачи
1. Плоскополяризованная электромагнитная волна распространяется за счет многократного отражения вдоль
волновода, состоящего из двух параллельных плоскостей
с бесконечной проводимостью, расстояние между
плоскостями равно а. Волновой вектор лежит в плоскости xy, вектор напряженности электрического поля
направлен вдоль оси z (перпендикулярно плоскости чертежа). Пользуясь граничными условиями, получить выражение для волны Ez, распространяющейся вдоль направления y. Получить
значение групповой и фазовой скорости и критической длины волны.
2. Пользуясь координатным представлением уравнений Максвелла для непроводящей среды.
Покажите, то электромагнитная волна, имеющая ненулевую компоненту напряженности электрического поля только вдоль оси z, имеет отличные от нуля компоненты напряженности магнитного поля вдоль обеих осей x и y.
3. Покажите, что волновое сопротивление волновода, состоящего их двух параллельных плоских
a  0
проводников шириной b,находящихся на расстоянии a друг от друга, равно Z 0 
b  0
4. Используя выражение для вектора Пойтинга, покажите, что мощность волн6ы, бегущей в положительном направлении в волноводе, состоящем их двух параллельных плоских проводни2
ков шириной b,находящихся на расстоянии a друг от друга, равна 0,5abE0  0 / 0
5. Электромагнитная волна (Е, Н) распространяется вдоль оси по полой трубе произвольного
сечения с идеально проводящими стенками. Тангенциальная компонента поля на проводящих
стенках всегда должна быть равна нулю. Покажите, что подстановка решения
E  E ( y, z) cos(t  k x x) в волновое уравнение проводит к следующему уравнению
6.
7.
2E 2E
 2  k 2 E , где k2=ω2/c2- kx2, а kx – проекция волнового вектора на ось x
2
y
z
Волновод имеет прямоугольное сечение с шириной а (вдоль оси y) и высотой b (вдоль оси z).
2E 2E
Волновое уравнение имеет вид
 2  k 2 E . Покажите, что граничными условиями
2
y
z
Ex=0 при y=0, y=a, z=0, z=b определяются следующие решения волнового уравне m2 n2 
my
nz
ния E x  A sin
sin
cos(t  k x x) , где k 2   2  2  2 
a
b
b 
a
Волновод имеет прямоугольное сечение с шириной а (вдоль оси y) и высотой b (вдоль оси z).
2E 2E

 k 2 E . Решение волнового уравнения имеет вид
Волновое уравнение имеет вид
y 2 z 2
 m2 n2 
my
nz
sin
cos(t  k x x) , где k 2   2  2  2  . Покажите, что критическая частота
a
b
b 
a
ω, при которой kx - действительная величина, определяется условием т = п = 1. Покажите, что
произведение фазовой скорости на групповую равно с2.
E x  A sin
5.5
Краткое описание видов самостоятельной работы
5.5.1 Общий перечень видов самостоятельной работы
35
1.
2.
Подготовка к практическим занятиям.
Подготовка к зачету.
5.5.2 Методические рекомендации по выполнению каждого вида самостоятельной работы
1. Подготовка к практическим занятиям.
Цель работы: закрепление теоретических и практических знаний, полученных на аудиторных
занятиях, обучение навыкам самостоятельного решения поставленных задач.
Содержание заданий:
Практические занятия включают в себя три вида работы: решение задач, обсуждение в диалоговом режиме и углубленное изучение теоретического материала, рассматриваемого на лекциях и
проведение проверочных контрольных работ.
Требования к отчетным материалам и документам: отчетными материалами являются конспекты с решенными задачами, материалы, подобранные к практическому занятию (слайд – материалы и т.п.).
Основные рекомендации по выполнению заданий:
При подготовке к практическим занятиям, связанным с решением задач, рекомендуется начать
с изучения лекционного материала по рассматриваемой теме. При возникновении неясностей или
затруднений в понимании материала следует обратиться к литературе, рекомендованной преподавателем. После изучения теоретического материала необходимо просмотреть задачи, которые решались на практических занятиях, и тщательно разобраться в методике решения каждой задачи,
особое внимание обращая на теоретическое обоснование хода решения. Только после этого можно
приступать к самостоятельному решению задач.
При подготовке к семинарскому занятию следует начать с изучения лекционного материала по
рассматриваемой теме, а затем просмотреть материал, изложенный в дополнительной литературе,
воспользоваться ресурсы сети Интернет. Желательно подготовить небольшой иллюстративный
материал.
При подготовке к контрольным работам следует начать с изучения лекционного материала по
рассматриваемой теме, а затем обратить внимание на контрольные вопросы и задачи (пункт 5.4.2).
Краткий перечень типовых тем, заданий: теоретические вопросы, которые должен рассмотреть студент, а также типовые задачи приведены в методических указаниях к каждому практическому занятию (пункт 5.4.2).
2. Подготовка к зачету.
Цель работы: систематизация и закрепление теоретических и практических знаний, полученных на аудиторных занятиях.
Содержание заданий: при подготовке к зачету студент повторяет теоретический материал и
готовит ответы на вопросы.
Основные рекомендации по выполнению заданий: при подготовке к ответам на вопросы рекомендуется начать с изучения лекционного материала, а затем обратиться к дополнительной литературе. Кроме того, следует просмотреть решения задач, рассматриваемых на практических занятиях в течение семестра.
Перечень типовых заданий: теоретические вопросы, которые должен рассмотреть студент,
приведены в пункте 7.5.
5.5.3 Описание курсового проекта (курсовой работы)
Курсовой проект учебным планом не предусмотрен.
Применяемые образовательные технологии
При реализации данной программы применяются инновационные технологии обучения, активные и интерактивные формы проведения занятий, указанные в таблице 2.
6.
Таблица 2 - Применяемые образовательные технологии
Технологии
Виды занятий
Лекции
Лаб.
36
Практ./
СРС
Курсовой
раб.
Семинар в диалоговом режиме
Сем. зан.
16
проект
Методы и технологии контроля уровня подготовки по дисциплине
Виды контрольных мероприятий, применяемых контрольно-измерительных
технологий и средств.
Контрольные работы.
Зачет.
7.4
Критерии оценки уровня освоения учебной программы (рейтинг).
К зачету допускаются студенты, успешно выполнившие и защитившие все лабораторные
работы и написавшие контрольные работы. Зачет проходит в устной форме. Билет содержит два
теоретических вопроса из различных разделов курса и задачу. Для получения оценки «зачтено»
достаточно правильно ответить на два теоретических вопроса.
7.
7.3
7.5
Контрольно-измерительные материалы и другие оценочные средства для итоговой аттестации по дисциплине.
Контрольные вопросы к зачету по курсу «Основы теории колебаний и волн»
1. КОЛЕБАНИЯ
1. Основные виды колебаний, понятие равновесия.
2. Гармонические колебания, их основные параметры: амплитуда, период, частота, циклическая
частота, фаза.
3. Уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника. Смещение, скорость и
ускорение при гармонических колебаниях.
4. Уравнение гармонических колебаний на примере колебательного контура. Период, частота колебаний.
5. Уравнение гармонического осциллятора. Обобщенная масса, возвращающая сила, циклическая
частота.
6. Комплексное представление колебаний, сложение колебаний одной частоты. Векторные диаграммы.
7. Линейность и принцип суперпозиции.
8. Энергия гармонического осциллятора (на примере пружинного маятника).
9. Энергия гармонического осциллятора (на примере колебательного контура).
10. Энергия суммы колебаний
11. Затухающие колебания на примере колебательного контура.
12. Докритическая диссипация. Характеристики затухающих колебаний.
13. Закритическая диссипация. Частные случаи. Апериодические колебания
14. Модель линейного осциллятора с затуханием.
15. Энергия затухающих гармонических колебаний при слабой диссипации.
16. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в колебательном контуре. Основные
характеристики.
17. Частное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний в колебательном
контуре. Импедансы.
18. Зависимость амплитуды и фазы установившихся вынужденных колебаний от частоты внешней
гармонической силы.
19. Явление резонанса напряжений и резонансные кривые. Полоса пропускания контура.
20. Энергия при вынужденных колебаниях в колебательном контуре.
21. Возбуждение контура несинусоидальной периодической ЭДС
22. Установление вынужденных колебаний. Раскачка колебаний в контуре при возбуждении на
резонансной частоте.
23. Параллельное соединение колебательного контура и источника ЭДС. Резонанс токов.
24. Параметрические колебания. Понятие. Примеры.
25. Параметрические колебания в колебательном контуре с переменой емкостью (без диссипации)
26. Параметрические колебания в колебательном контуре с переменой емкостью (с учетом диссипации)
37
27. Влияние нелинейных эффектов на параметрические колебания с учетом диссипации
28. Автоколебания. Примеры. Типы автоколебательных систем.
29. Автоколебательные системы осцилляторного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере электрического звонка.
30. Мягкий и жесткий режим автоколебаний в системах осцилляторного типа. Форма установившихся колебаний при различной добротности.
31. Автоколебательные системы накопительного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере гидравлического осциллятора.
32. Автоколебательные системы накопительного типа. Общая схема. Примеры. Описание автоколебаний на примере генератора пилообразного напряжения.
33. Собственные механические и электрические колебания с двумя степенями свободы (симметричная система). Нормальные координаты и собственные частоты колебаний системы. Моды
колебаний.
34. Связанные колебания одинаковой амплитуды. Биения.
35. Собственные механические колебания с двумя степенями свободы (несимметричная система).
36. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы. Резонанс. Теорема взаимности. Динамическое демпфирование.
2. ВОЛНЫ
37. Вывод волнового уравнения для продольных звуковых волн в газах
38. Решение волнового уравнения для продольных звуковых волн в газах
39. Распределение энергии в продольных звуковых волнах в газах
40. Интенсивность звуковых волн и удельный акустический импеданс
41. Волновое уравнение для продольных волн в твердом теле
42. Отражение и похождение звуковых волн на границе раздела сред
43. Вывод волнового уравнения для струны
44. Решение волнового уравнения для струны
45. Импеданс струны
46. Отражение и похождение волн на границе двух струн. Амплитудные коэффициенты отражение и пропускания
47. Отражение и прохождение энергии на границе двух струн. Энергетические коэффициенты отражение и пропускания
48. Согласование импедансов
49. Стоячие волны на струне фиксированной длины. Коэффициент стоячей волны
50. Энергия колеблющейся струны
51. Сложение двух волн с почти одинаковыми частотами
52. Волновой пакет, состоящий их многих гармоник. Теорема о ширине частотной полосы.
53. Вывод волнового уравнения для идеальной линии передачи без потерь
54. Волновое сопротивление идеальной линии передачи без потерь
55. Отражение от конца линии передачи
56. Короткозамкнутая линия передачи. Стоячие волны
57. Вывод волнового уравнения для линии передачи с потерями. Роль сопротивления. Решение
волнового уравнения.
58. Волновое сопротивление идеальной линии передачи с потерями
59. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн в непроводящей среде. Общий случай
60. Вывод волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в непроводящей среде.
61. Решение волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в непроводящей среде.
Вектор Пойтинга.
62. Волновое сопротивление диэлектрика для электромагнитных волн
63. Вывод волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в проводящей среде.
64. Решение волнового уравнения для плоских электромагнитных волн в проводящей среде. Глубина скин-слоя.
65. Волновое сопротивление проводящей среды для электромагнитных волн
66. Отражение и прохождение электромагнитных волн на границе раздела сред при нормальном
падении
38
67. Связь между волновым сопротивлением и показателем преломления
68. Плоская волна в пространстве двух и трех измерений
69. Вывод волнового уравнения в случае двух измерений
70. Распространение волн в волноводах
71. Излучение элементарного вибратора. Напряженности электрического и магнитного поля
72. Вектор Умова-Пойтинга для элементарного вибратора. Диаграмма направленности. Сопротивление излучения диполя
73. Излучение полуволнового вибратора
74. Излучение антенны, состоящей их двух параллельных полуволновых вибраторов с одинаковыми фазами. Диаграммы направленности
75. Излучение антенны, состоящей их двух параллельных полуволновых вибраторов, отстоящих
на четверть волны и колеблющихся со сдвигом фазы π/2. Диаграмма направленности
76. Излучение антенны в виде одномерной решетки из полуволновых вибраторов. Амплитуда результирующих колебаний. Диаграмма направленности
77. Излучение решетки из сдвоенных вибраторов. Амплитуда колебаний. Диаграмма направленности
2.
8.
Рекомендуемое информационное обеспечение дисциплины
8.3
Основная учебная литература
Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. – СПб.: Лань, 2008. – 496 с.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. – СПб.: Лань, 2008. – 496 с.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М.: Бином. Лаб знаний, 2007. – 431 с.
Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2007. – 557 с.
8.4
Дополнительная учебная и справочная литература.
Филиппов И.Г. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. – М.:
Изд-во Моск. Строит. Ун-та, 2007. – 428 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – СПб.: Лань, 2006.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.5
Электронные образовательные ресурсы:
8.5.1 Ресурсы ИрГТУ, доступные в библиотеке университета или в локальной сети
университета.
8.5.2 Ресурсы сети Интернет
http://library.istu.edu/hoe
http://www2.viniti.ru
http://www.springerlink.com/home/main.mpx
http://www.OECDiLibrary.org
kunigin.narod.ru
radioengineer.ucoz.ru
1.
2.
3.
4.
1.
Рекомендуемые специализированные программные средства
приемников оптического излучения, образцы оптических устройств.
10.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лабораторные работы проводятся в лаборатории кабелей связи и волоконно-оптической
техники (В019б) ФТИ. В лабораторных работах используются экспериментальные модули KL-900D для изучения волоконной оптики, стенд для измерения параметров источников и приемников оптического излучения, образцы оптических устройств.
9.
39
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа