close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых
пространствах
В. М. Миллионщиков (Москва)
В этой работе обобщаются на случай полных локально выпуклых пространств
dx
некоторые теоремы, известные для уравнения
= f ( x, t ) в банаховых пространствах
dt
(см. [1]; [2], стр. 231).
§ 1. Интегрирование в локально выпуклых пространствах
Пусть E — полное локально выпуклое пространство и
{ p ( x )}
— достаточное
множество полунорм в E (см. [3], стр. 46—52). Пусть F ( S , E ) — множество
отображений измеримого множества S Í E n ( mes S £ ¥ ) в E ( E n — n -мерное эвклидово
пространство).
I. Определим сначала интеграл от счетнозначной функции (см. [4], стр. 54, определение
3.2.2) x ( a ) Î F ( S , E ) . Счетнозначную функцию x ( a ) назовем и н т е г р и р у е м о й на S ,
если для каждой полунормы p ( x ) Î { p ( x )}
¥
å p éë x ( a )ùû mes S
i
i =1
i
< ¥,
где Si ( i = 1, 2,... ) — множества, на каждом из которых x ( a ) постоянна, а ai Î Si . Тогда
сумма
IS =
¥
å x ( a ) mes S
i=1
i
i
существует (так как E полно) и не зависит от порядка суммирования. Положим
ò x (a ) da = IS .
S
Множество счетнозначных интегрируемых на S функций обозначим через Fw ( S , E ) .
Непосредственно получается следующее свойство.
1. Если x ( a ) , y ( a ) Î Fw ( S , E ) и l , m — действительные числа, то
lx ( a ) + my ( a ) Î Fw ( S , E ) и
ò éëlx ( a ) + my ( a )ùû d a = l ò x ( a ) d a + m ò y ( a ) d a .
S
S
(1.1)
S
Докажем свойство
2. Если p ( x ) Î { p ( x )} и x ( a ) Î Fw ( S , E ) , то p ( x ( a ) ) Î Fw ( S , E1 ) и
æ
ö
(1.2)
p ç ò x (a) da ÷ £ ò p ( x (a)) da .
èS
ø S
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем:
n
æ
ö
æ ¥
ö
æ
ö
æ n
ö
p ç ò x ( a ) d a ÷ = p ç å x ( ai ) mes Si ÷ = p ç lim å x ( ai ) mes Si ÷ = lim p ç å x ( ai ) mes Si ÷ £
è i =1
ø
è n ®¥ i =1
ø n®¥ è i =1
ø
èS
ø
n
¥
i =1
i =1
£ lim å p ( x ( ai ) ) mes Si = å p ( x ( a i ) ) mes Si = ò p ( x ( a ) ) d a
n ®¥
(последнее равенство мы получили, положив E = E1 ).
S
3. А б с о л ю т н а я
x ( a ) Î Fw ( S , E ) , то для всякой
н е п р е р ы в н о с т ь . Если
окрестности нуля U Ì E существует d > 0 , такое, что если mes Q < d , Q Í S , то
ò x ( a ) d a ÎU .
Q
До казательств о . Пусть
U = U ( x : pk ( x ) < e ) k = 1, 2,..., n; pk ( x ) Î { p ( x )}
(
)
(см. [3], стр. 52). Так как
¥
å p ( x ( a ) ) × mes S
i =1
k
i
i
<¥
для всякого k = 1, 2,..., n , то существует такое m , что
¥
e
( k = 1, 2,..., n ).
pk ( x ( ai ) ) × mes Si <
å
2
i = m +1
Положим
e
d=
.
m
é
ù
2 max å pk ( x ( ai ) ) ú
k =1,2,..., n ê
ë i =1
û
Если знаменатель в этой формуле равен нулю, то считаем
положительным числом.
Пусть mes Q < d , Q Í S . Тогда
d
произвольным
ò x ( a ) d a ÎU .
Q
В самом деле,
¥
æ
ö
pk ç ò x ( a ) d a ÷ £ ò pk ( x ( a ) ) d a = å pk ( x ( ai ) ) × mes ( Si I Q ) <
çQ
÷ Q
i =1
è
ø
m
m
m
e
e
e e e
< å pk ( x ( a i ) ) × mes ( Si I Q ) + £ mesQ å pk ( x ( a i ) ) + < då pk ( x ( a i ) ) + £ + = e.
2
2
2 2 2
i =1
i =1
i =1
Отметим еще два непосредственно получаемых свойства.
4. Если x ( a ) Î Fw ( S , E ) , то x ( a ) Î Fw ( P, E ) для всякого измеримого множества
P Ì S . Если при этом x ( a ) — действительная неотрицательная функция, то
ò x ( a ) d a £ ò x (a ) d a .
P
S
5. Если x ( a ) Î Fw ( S , E ) , а Si ( i = 1, 2,...) — измеримые множества, такие, что
S=
¥
US
i= 1
i
, mes ( Si I Q ) = 0 ( i ¹ j ), то
ò x ( a ) d a = ò x ( a ) d a + ò x ( a ) d a + ... .
S
S1
(1.3)
S2
II. Рассмотрим направленную последовательность счетнозначных интегрируемых
функций { xb ( a )}bÎB ( B — направленное множество), для которой выполнены условия:
(*) Для всякого p ( x ) Î { p ( x )} и всякого e > 0 существует такое b Î B , что для всяких
b¢ > b , b¢¢ > b
ò p ( x (a) - x (a)) da < e .
b¢¢
S
b¢
(**) Существует такая функция x ( a ) , что для всякого e > 0 имеется множество
S e Ì S , для которого mes ( S \ Se ) < e и последовательность
{ x ( a )}
b
bÎB
сходится к x ( a )
равномерно на Se .
Последовательность из одинаковых функций удовлетворяет этим условиям. Менее
тривиальный пример такой последовательности даст теорема 1.7.
Рассмотрим для каждого измеримого множества Q Ì S последовательность
ïì
ïü
íò xb ( a ) d a ý
ïîQ
ïþbÎB
(в силу свойства 4 эти интегралы существуют). В силу свойств 1, 2, 4 для всякого
p ( x ) Î { p ( x )}
æ
ö
p ç ò xb¢¢ ( a ) d a - ò xb¢ ( a ) d a ÷ £ ò p ( xb¢¢ ( a ) - xb¢ ( a ) ) d a
çQ
÷ S
Q
è
ø
для любых b¢, b¢¢ Î B . Отсюда и из условия (*) вытекает, что последовательность
ïì
ïü
íò xb ( a ) d a ý — фундаментальная. Так как E полно, то существует
ïîQ
ïþbÎB
lim ò xb ( a ) d a .
bÎB
Имеем функцию
Q
F ( Q ) = lim ò xb ( a ) d a ,
bÎB
Q
определенную на совокупности измеримых подмножеств множества S .
Впоследствии мы положим ò x ( a ) d a = F ( Q ) , но для этого надо доказать, что F ( Q ) не
Q
зависит от выбора последовательности
{ x ( a )}
b
bÎB
, обладающей свойствами (*) и (**).
Удобно сначала доказать абсолютную непрерывность и полную аддитивность функции
F ( Q ) , а затем установить, что F ( Q ) не зависит от выбора { xb ( a )} .
bÎB
Лемма
1.1.
(А д д и т и в н о с т ь
mes ( Q1 I Q2 ) = 0 , то
ф ункции
F ( Q ) .)
Если
Q1 Ì S ,
Q2 Ì S ,
F ( Q1 U Q2 ) = F ( Q1 ) + F ( Q2 ) .
Утверждение леммы получается предельным переходом в (1.3).
Л е м м а 1.2. (А б с о л ю т н а я н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ц и и F ( Q ) .) Для всякой
окрестности нуля U Ì E существует d > 0 такое, что если mesQ < d , Q Ì S , то
F ( Q ) ÎU .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем:
U = U ( x : pk ( x ) < e ) k = 1, 2,..., n; pk ( x ) Î { p ( x )} .
(
)
Возьмем такое b¢ Î B , что для всякого b¢¢ > b¢
e
ò p ( x (a) - x (a)) da £ 4
k
S
b¢
b¢¢
при всех k = 1, 2,..., n (существование такого b¢ вытекает из условия (*)). Пусть d > 0
таково, что для всякого множества Q Ì S , такого, что mesQ < d , выполнены неравенства
æ
ö e
pk ç ò xb¢ ( a ) d a ÷ < ( k = 1, 2,..., n ). Существование такого d уже доказано, так как xb¢ ( a )
çQ
÷ 4
è
ø
— счетнозначная функция. Тогда для всякого b¢¢ > b¢ , всякого измеримого множества
Q Ì S , такого, что mesQ < d , и всякого k = 1, 2,..., n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
pk ç ò xb¢¢ ( a ) d a ÷ £ pk ç ò xb¢¢ ( a ) d a - ò xb¢ ( a ) d a ÷ + pk ç ò xb¢ ( a ) d a ÷ <
çQ
÷
çQ
÷
çQ
÷
Q
è
ø
è
ø
è
ø
e e
< ò pk ( xb¢¢ ( a ) - xb¢ ( a ) ) d a + < .
4 2
S
Следовательно, для всякого измеримого Q Ì S , такого, что mesQ < d , будет
æ
ö e
pk ç lim ò xb ( a ) d a ÷ £ < e ( k = 1, 2,..., n ).
ç bÎB Q
÷ 2
è
ø
Л е м м а 1.3. (П о л н а я а д д и т и в н о с т ь ф у н к ц и и F ( Q ) .) Если множества Qi
( i = 1, 2,... ) измеримы, Q =
¥
UQ Ì S
i
i= 1
и mes ( Qi I Q j ) = 0 при i ¹ j , то
¥
F ( Q ) = å F ( Qi ) .
i =1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из леммы 1. 1 следует:
m
F ( Q ) = å F ( Qi ) + F ( Qm* ) ; Qm* =
i =1
Докажем, что F ( Qm* ) ® 0 при m ® ¥ .
¥
UQ
i
( m = 1, 2,... ).
i = m +1
Пусть дана окрестность нуля
U = U ( x : pk ( x ) < e ) k = 1, 2,..., n; pk ( x ) Î { p ( x )} .
(
)
Выбираем b¢ , как указано в доказательстве леммы 1.2. В силу (1.3) существует такое N ,
что при m > N
æ
ö e
( k = 1, 2,..., n ).
pk ç ò xb¢ ( a ) d a ÷ <
ç Q*
÷ 4
è m
ø
Проводя те же выкладки, что и в доказательстве леммы 1.2, получаем при m > N
F ( Qm* ) Î U .
Л е м м а 1.4. Пусть последовательности
{ x ( a )}
b
bÎB
и
{ y ( a )}
g
gÎG
(где B и G —
направленные множества) удовлетворяют условиям (*) и (**) для функции x ( a ) . Тогда
lim ò xb ( a ) d a = lim ò yg ( a ) d a
bÎB
gÎG
Q
Q
для всякого измеримого Q Ì S .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем равносильное утверждение: для всякого измеримого
множества Q Ì S
lim ò zd ( a ) d a = 0 ,
dÎD
Q
где введено обозначение zd ( a ) = xb ( a ) - yg ( a ) и d = ( b, g ) Î D = B ´ G с отношением
порядка: ( b¢, g ¢ ) ³ (b, g ) , тогда и только тогда, когда b¢ ³ b и g¢ ³ g (при этом D также
становится направленным множеством).
Очевидно, последовательность
{ z ( a )}
d
dÎD
удовлетворяет условиям (*) и (**) для
функции z ( a ) º 0 . Отсюда, в силу лемм 1.2 и 1.3, Y ( Q ) = lim ò zd ( a ) d a — абсолютно
dÎD
Q
непрерывная, вполне аддитивная функция множеств.
Пусть Y ( Q0 ) ¹ 0 для некоторого измеримого множества Q0 Ì S . Пусть U — такая
окрестность нуля в E , что Y ( Q0 ) Î U , и пусть e > 0 таково, что если mesQ < e ( Q Ì S ),
то Y ( Q ) ÎU . Пусть S e Ì S таково, что mes ( S \ Se ) < e и последовательность { zd ( a )}dÎD
сходится к z ( a ) º 0 равномерно на Se . Тогда
Y ( Q0 I Se ) = Y ( Q0 ) - Y ( Q0 I ( S \ Se ) ) ¹ 0 ,
так как Y ( Q0 ) Î U , а Y ( Q0 I ( S \ Se ) ) ÎU , ибо mes ( Q0 I ( S \ Se ) ) £ mes ( S \ S e ) < e .
Так как Q0 I Se можно разбить на счетное множество подмножеств, мера каждого из
которых конечна, то в силу полной аддитивности Y ( Q ) найдется множество Q1 Ì Q0 I Se
такое, что mesQ1 < ¥ и
Y ( Q1 ) = lim ò zd ( a ) d a ¹ 0 .
dÎD
Но для всякого p ( x ) Î { p ( x )}
Q1
æ
ö
pk ç ò zd ( a ) d a ÷ £ ò p ( zd ( a ) ) d a £ sup p ( zd ( a ) ) × mesQ1 ® 0 .
bÎB
çQ
÷ Q
aÎSe
è 1
ø 1
Полученное противоречие доказывает утверждение.
О п р е д е л е н и е 1.1. Функция x ( a ) называется и н т е г р и р у е м о й на S , если для
нее существует последовательность счетнозначных интегрируемых функций
{ x ( a )}
b
bÎB
( B — направленное множество), удовлетворяющая условиям (*) и (**). При этом по
определению полагаем
ò x ( a ) d a = lim ò xb ( a ) d a .
S
bÎB
S
III. С в о й с т в а и н т е г р а л а .
Теорема 1.1. Если E — банахово пространство, то введенный интеграл совпадает с
интегралом Бохнера (см. [4], стр. 62, определение 3.5.3) и, следовательно, при E = E1
( E1 — действительная прямая) — с интегралом Лебега.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать (см. [4], стр. 53), что если E — банахово
пространство, то следующие условия равносильны.
А. Для всякого e > 0 и всякой окрестности нуля U Ì E существуют множество
Se ,U Ì S , mes ( S \ Se,U ) < e , и b Î B такие, что для всякого b¢ > b и всякого a Î Se ,U
xb¢ ( a ) - x ( a ) Î U .
В. Для всякого e > 0 существует множество S e Ì S , mes ( S \ Se ) < e , и для всякой
окрестности нуля U Ì E существует b Î B , такие, что для всякого b¢ > b и всякого a Î S e
xb¢ ( a ) - x ( a ) Î U .
Во всяком пространстве E из условия В следует условие А. (Достаточно положить
Se ,U = Se .) Докажем, что для всякого E со счетной базой окрестностей нуля U1 , U 2 ,... из А
следует В.
Пусть e > 0 . Для всякого k = 1, 2,... найдем, согласно условию А, множество S k = S e .
2k
,U k
¥
Множество S = I Sk удовлетворяет условию В, так как
k =1
¥
æ¥
ö ¥
e
mes ( S \ Se ) = mes ç U ( S \ S k ) ÷ £ å mes ( S \ Sk ) < å k = e .
k =1 2
è k =1
ø k =1
Т е о р е м а 1.2. Если x ( a ) и y ( a ) интегрируемы на S , а l и m — действительные
числа, то функция lx ( a ) + my ( a ) интегрируема на S и
ò éëlx ( a ) + my ( a )ùû d a = l ò x ( a ) d a + m ò y ( a ) d a .
S
Доказательство.
S
{ x ( a )}
Пусть
b
S
{ y ( a )}
и
bÎB
g
gÎG
—
последовательности
счетнозначных интегрируемых функций, обладающие свойствами (*) и (**)
соответственно по отношению к x ( a ) и y ( a ) . Тогда последовательность счетнозначных,
интегрируемых на S (согласно свойству 1) функций
{lxb ( a ) + myg ( a )} b,g ÎB´G=D
(
)
( ( b¢, g ¢ ) ³ (b, g ) , если b¢ ³ b и g¢ ³ g ) обладает теми же свойствами по отношению к
функции lx ( a ) + my ( a ) . Согласно равенству (1.1), для каждого ( b, g ) Î D
ò ëélx ( a ) + my ( a )ûù d a = l ò x ( a ) d a + m ò y ( a ) d a .
b
g
b
S
Отсюда
ò éëlxb ( a ) + myg ( a )ùû d a = lim
( b , g )ÎD
S
g
S
S
ò éëlx (a ) + my ( a ) ùû d a = l lim ò x ( a ) d a + m lim ò y (a ) d a =
b
g
bÎB
S
b
S
gÎG
g
S
= l ò x ( a ) d a + m ò y ( a ) d a.
S
S
Т е о р е м а 1.3. Если p ( x ) Î { p ( x )} и функция x ( a ) интегрируема на S , то p éë x ( a ) ùû
интегрируема (суммируема) на S и
æ
ö
p ç ò x ( a ) d a ÷ £ ò p éë x ( a ) ùû d a .
èS
ø S
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность { xb ( a )}bÎB удовлетворяет условиям
(*) и (**) по отношению к функции x ( a ) . Тогда то же верно для последовательности
{ p éë x ( a )ùû}
b
bÎB
по отношению к функции p éë x ( a ) ùû . Согласно неравенству (1.2), для
каждого b Î B
æ
ö
p ç ò xb ( a ) d a ÷ £ ò p éë xb ( a ) ùû d a .
èS
ø S
Отсюда
æ
ö
p ç lim ò xb ( a ) d a ÷ = lim p ò xb ( a ) d a £ lim ò p ( xb ( a ) ) d a ,
bÎB
bÎB
bÎB
S
S
S
è
ø
т. е.
æ
ö
p ç ò x ( a ) d a ÷ £ ò p éë x ( a ) ùû d a .
èS
ø S
Т е о р е м а 1.4. Если функция x ( a ) интегрируема на S , то x ( a ) интегрируема и на
всяком измеримом множестве Q Ì S .
{ x ( a )}
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность
b
bÎB
удовлетворяет условиям
(*) и (**) для функции x ( a ) на множестве S , и пусть Q — измеримое подмножество S .
Тогда для всякого p ( x ) Î { p ( x )} (согласно свойству 4)
ò p ( x ( a ) - x ( a ) ) d a £ ò p ( x ( a ) - x ( a ) ) d a ¾¾¾® 0 .
b¢¢
b¢
b¢¢
Q
Кроме того,
{ x ( a )}
b
bÎB
b¢
b¢,b¢¢ÎB
S
x (a)
сходится равномерно к
mes ( Q \ Qe ) £ mes ( S \ S e ) < e . Таким образом,
{ x ( a )}
b
bÎB
на
Qe = Q I Se , причем
удовлетворяет условиям (*) и
(**) для функции x ( a ) на множестве Q . Следовательно, функция x ( a ) интегрируема на
Q.
Т е о р е м а 1.5.
ò x (a) da
— абсолютно непрерывная функция множеств.
Q
Это утверждение вытекает из леммы 1. 2.
Т е о р е м а 1.6. ò x ( a ) d a — вполне аддитивная функция множеств.
Q
Это утверждение вытекает из леммы 1. 3.
В случае E = E1 устанавливаемое теоремой 1.7 условие интегрируемости совпадает с
условием измеримости (в форме Лузина).
Т е о р е м а 1.7. Пусть функция x ( a ) определена на компакте S Ì E n и множество X
ее значений ограничено (см. [5], стр. 45). Пусть для всякого e > 0 существует множество
Se Ì E такое, что mes ( S \ Se ) < e и x ( a ) непрерывна на Se . Тогда x ( a ) интегрируема
на S .
ni
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим разбиения S = U S k( i ) ( i = 1, 2,... ) такие, что
k =1
( ) ® 0 при i ® ¥ .
(i)
max d Sk
k =1,2...ni
Выберем a ik Î Sk( i )
( i = 1, 2,... ;
k = 1, 2,..., ni ). Функции
xi ( a ) = x ( a ik )
если a Î Sk( i ) ,
принадлежат Fw ( S , E ) и удовлетворяют условиям (*) и (**) по отношению к функции
x (a) .
Докажем, что выполняется условие (**). Пусть дано e > 0 . Возьмем множество S e Ì S ,
2
æ
ö e
такое, что mes ç S \ S e ÷ <
и x ( a ) непрерывна на S e . Пусть S e = Se Ì S e таково, что
2
è
2 ø
2
2
æ
ö e
mes ç S e \ Se ÷ < . Тогда mes ( S \ S e ) < e , Se — компакт, так как S e = Se Ì S ; функция
è 2
ø 2
x ( a ) непрерывна на Se , так как S e Ì S e . Следовательно (см. [6], гл. II, § 4, теорема 2), для
2
всякой окрестности нуля U Ì E существует d > 0 такое, что если a¢, a¢¢ Î Se и
r ( a¢, a¢¢ ) < d , то x ( a¢ ) - x ( a¢¢ ) Î U . Пусть m таково, что для всякого i > m
( )
max d Sk( ) < d . Тогда для всяких i > m , a Î S e
i
=
k 1,2...ni
( )
xi ( a ) - x ( a ) = x ( a ik ) - x ( a ) Î U ,
так как a ik , a Î Sk( i ) , а d S k( i ) < d .
Докажем, что выполняется условие (*). Пусть даны p ( x ) Î { p ( x )} и e > 0 . Возьмем
d > 0 такое, что 2dp ( X ) <
{ x ( a )} сходится к
e
p ( x ( a ) - x ( a )) <
2mes S
i
e
( X ограничено). Пусть S d Ì S таково, что mes ( S \ Sd ) < d и
2
x ( a ) равномерно на
Sd . Пусть
m
таково, что
для всяких i > m , a Î S d . Тогда для всех i, j > m
ò p ( x ( a ) - x ( a )) d a = ò p ( x ( a ) - x ( a ) ) d a + ò p ( x (a ) - x (a ) ) d a £
i
j
i
S
j
i
Sd
j
S \ Sd
£ mes Sd × sup éë p ( xi ( a ) - x ( a ) ) + p ( x j ( a ) - x ( a ) ) ùû +
aÎSd
e
e ù
ée
+ d ê + ú = e.
2mes S
aÎSd
ë 4d 4d û
Т е о р е м а 1.8. Пусть функция x ( a ) интегрируема на S и непрерывна по отношению
+ mes ( S \ Sd ) × sup éë p ( xi ( a ) ) + p ( x j ( a ) ) ùû < mes S ×
к S (см. [6], гл. 1, § 4, п. 3) в точке a0 Î S . Тогда плотность функции множеств
æ
ö
1
ç
.
.
lim
x
a
d
a
т
е
x
a
d
a
òQ ( ) ç d (Q)®0 mes Q Qò ( ) ÷÷ в точке a 0 существует и равна x ( a 0 ) .
a0 ÎQ
è
ø
Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, для всякого p ( x ) Î { p ( x )} имеем:
é 1
ù
é 1
ù
1
x
d
x
d
p
x
d
x
d
lim p ê
lim
a
a
a
a
=
a
a
a
a
(
)
(
)
(
)
(
)
ú
ê
ú£
0
0
ò
ò
ò
d ( Q )® 0
d ( Q ) ®0
Q
Q
Q
mes
mes
mes
Q
Q
Q
ëê
ûú a0ÎQ ëê
ûú
a0 ÎQ
£ lim
d ( Q )®0
a0 ÎQ
1
é
ù
p ( x ( a ) - x ( a 0 ) ) d a £ lim êsup p ( x ( a ) - x ( a 0 ) ) ú = 0.
ò
®
d
Q
0
(
)
aÎQ
mes Q Q
û
a ÎQ ë
0
С л е д с т в и е . Пусть S = [ t0 , t1 ] Ì E . Введем обозначение:
1
t1
ò x (a) da = ò x (a) da .
S
t0
Тогда если функция x ( a ) интегрируема на S и непрерывна в точке a = t2 Î S , то
t
d
x ( a ) d a в точке t2 существует и равна x ( t2 ) .
dt tò0
В самом деле,
t
d
x (a ) d a
dt tò0
t = t2
1
= lim
Dt ® 0 Dt
t2 +Dt
ò x (a ) da =
t2
1
x (a ) da .
d ( Q ) ®0 mes Q ò
Q
t ÎQ
lim
2
Из теоремы 1.7 и следствия теоремы 1.8 вытекает, что если функция x ( a ) непрерывна
на отрезке [ t0 , t1 ] (и, следовательно, ограничена: при непрерывном отображении образом
бикомпакта является бикомпактное и, значит, ограниченное, множество), то она имеет на
[t0 , t1 ]
t
первообразную функцию
ò x ( a ) d a + c , где
c Î E — произвольный (постоянный)
t0
вектор.
Из следствия теоремы 1.9 мы увидим, что других первообразных у x ( t ) нет.
Т е о р е м а 1.9. Пусть S Ì S n — компакт и A — совокупность компактных
подмножеств множества S такая, что: 1) если Q1 Î A , Q2 Î A , то Q1 I Q2 Î A , 2) для
всякого
e>0
найдутся
mes ( Qi I Q j )= 0 ( i ¹ j ),
Q1 , Q2 ,..., Qn Î A
множества
такие,
что
S=
n
UQ ,
i
=i 1
max d ( Qi ) < e . Пусть F m ( Q ) ( m = 1, 2 ) — отображения
i =1,2,...,n
множества A в E , обладающие свойствами:
a)
F m ( Q1 U Q2 ) = F m ( Q1 ) + F m ( Q2 ) ( m = 1, 2 ).
если Q1 , Q2 , Q1 U Q2 Î A и mes ( Q1 I Q2 ) = 0 .
b) Если mes Q = 0 , Q Î A , то F m ( Q ) = 0 ( m = 1, 2 ).
c) Для всякого a Î S существует
1
1
lim
F1 ( Q ) = lim
F2 (Q ) = x ( a ) .
d ( Q )® 0 mes Q
d ( Q ) ®0 mes Q
aÎQ
aÎQ
Тогда F1 ( Q ) = F 2 ( Q ) для всякого Q Î A .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим
F ( Q ) = F1 ( Q ) - F 2 ( Q ) .
Пусть
Q0 Î A
таково,
что
F ( Q0 ) ¹ 0 .
Найдется
p0 ( x ) Î { p ( x )} ,
(1.4)
для которого
p0 ( F ( Q0 ) ) = a ¹ 0 . Тогда d ( Q0 ) = b ¹ 0 (иначе предел (1.4) не существовал бы) и
mes Q0 ¹ 0 (в силу свойства b ) отображений F m ( Q ) ). Пусть
n
S = U Si¢ ;
i =1
S1¢ , S 2¢ ,..., S n¢ Î A ;
mes ( Si¢ I S ¢j ) = 0 ( i ¹ j ), d ( Si¢ ) <
Введем обозначение:
Имеем:
b
( i = 1, 2,..., n ).
2
Si = Q0 I Si¢ ( i = 1, 2,..., n ).
n
Si Î A ( i = 1, 2,..., n ), Q0 = U Si ,
i =1
b
mes ( Si I S j ) = 0 ( i ¹ j ), d ( Si ) < ( i = 1, 2,..., n ).
2
Отсюда
n
F ( Q0 ) = å F ( Si ) ,
i =1
é F ( Q0 ) ù n
é F ( Si ) ù
mes Q0 × p0 ê
ú £ å mes Si × p0 ê
ú
ë mes Q0 û i =1
ë mes Si û
n
F ( Si )
(считаем, что если mes Si = 0 , то
= 0 ) и так как mes Q0 = å mes Si , то найдется i0
mes Si
i =1
( 1 £ i0 £ n ), для которого
Положим Q1 = Si0
é F ( Si ) ù
é F ( Q0 ) ù
a
= a¢ > 0 .
p0 ê
ú ³ p0 ê
ú=
ë mes Si û
ë mes Q0 û mes Q0
и, проведя для Q1 (вместо Q0 ) те же рассуждения, найдем множество
Q2 Î A , для которого
d ( Q2 ) <
é F ( Q2 ) ù
é F ( Q1 ) ù
b
, p0 ê
ú ³ p0 ê
ú ³ a¢ > 0 , Q2 Ì Q1 .
Q
Q
4
mes
mes
2û
1û
ë
ë
По индукции построим убывающую последовательность Q0 É Q1 É Q2 É ... ,
d ( Qk ) ® 0 при k ® ¥ ,
é F ( Qk ) ù
p0 ê
ú ³ a¢ > 0 ( k = 1, 2,... ).
ë mes Qk û
¥
Множества Qk компактны, поэтому существует a Î I Qk . Из свойства с) функций
k= 1
é F ( Qk ) ù
F m ( Q ) имеем lim p0 ê
ú = 0 . Полученное противоречие доказывает теорему.
k ®¥
ë mes Qk û
Следствие. Если функция x ( t ) отображает отрезок [ t0 , t1 ] в E и jm ( t ) ( m = 1, 2 )-
первообразные для x ( t ) , то j1 ( t ) = j2 ( t ) + c .
В самом деле, пусть A — совокупность множеств Qtt12 ( t : t1 £ t £ t2 ) , где t1 , t2 , t1 £ t2 ,
— произвольные точки отрезка
[t0 , t1 ]
( )
и F m Qtt12 = jm ( t2 ) - jm ( t1 ) ( m = 1, 2 ). Тогда
выполнены условия теоремы 1.9. Проверим, например, выполнение условия с). Имеем:
j ( t ) - jm ( t1 )
1
F m ( Q ) = lim m 2
=
lim
t2 -t1 ®0
d ( Q ) ®0 mes Q
t
t
2
1
t
£
£t
t
aÎQ
1
2
é j ( t ) - jm ( t1 ) t2 - t jm ( t2 ) - jm ( t1 ) t - t1 ù
= lim ê m 2
+
ú=
t2 -t1 ®0
t
t
t
t
t
t
t
t
2
2
1
1
2
1
û
t1 £t £t2 ë
é
t - t1 ù
t -t
= lim ê x ( t ) 2
+ x (t )
ú = x (t ) .
t2 -t1 ® 0
t2 - t1
t2 - t1 û
t1 £t £t2 ë
t -t
t - t1
Третье равенство справедливо, так как 2
и
ограничены.
t 2 - t1
t 2 - t1
З а м е ч а н и е . Более общий интеграл введен в работе [12]. Однако производная от него
не всегда равна подынтегральной функции.
§ 2. Принцип неподвижной точки в локально выпуклых пространствах
О п р е д е л е н и е 2.1. Оператор A , действующий из линейного топологического
пространства Tl в Tl , называется удовлетворяющим условию Липшица с
посто янной L > 0 , если для всякой окрестности нуля U Ì Tl и любого x Î Tl
A ( x + U ) Ì A ( x ) + L ×U .
О п р е д е л е н и е 2.2. Если L = q < 1 (см. определение 2.1), то оператор A называется
сжимающим.
Если Tl — локально выпуклое пространство E (достаточное множество полунорм
которого обозначаем через { p ( x )} ), то определения 2.1 и 2.2 эквивалентны
соответственно следующим определениям 2.3 и 2.4.
О п р е д е л е н и е 2.3. Оператор A, A ( E ) Í E , называется удовлетво ряющим
усло вию Липшица с постоянной L > 0 , если для всякого p ( x ) Î { p ( x )} и любых
x, y Î E .
p ( A ( x ) - A ( y )) £ L × p ( x - y ) .
О п р е д е л е н и е 2.4. Если L = q < 1 (см. определение 2.3), то оператор A называется
сжимающим.
Тео рема 2.1. Пусть A — сжимающий оператор, действующий из множества
M Í Tl , где Tl — произвольное отделимое линейное топологическое пространство, в
множество N Í Tl . Тогда существует не более одного x Î Tl такого, что A ( x ) = x .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть A ( x ) = x ¹ y = A ( y ) ( x, y Î Tl ). Пусть V — окрестность
нуля, такая, что y - x ÏV . Положим
m0 = 1 inf m .
( y - x )ÎV
m
m> 0
Если считать (это можно сделать без ограничения общности, см. [5]), что V
нормальная окрестность (т. е. если 0 < l < 1 , то lV Ì V ), то m0 ³ 1 .
—
1æ
m ö
Положим m1 = ç m0 + 0 ÷ . Так как m 0 > 0 и q < 1 , то m1 > m0 и потому y - x Îm1V .
2è
q ø
Тогда, согласно определению 2.2,
1
y - x = A ( y ) - A ( x ) Î q × m1V = ( qm 0 + m 0 ) V ,
2
1
но это противоречит выбору m0 , ибо ( qm0 + m 0 ) < m0 .
2
Т е о р е м а 2.2. Если A — сжимающий оператор, Æ ¹ T = T Í E , A ( T ) Í T , где E —
локально выпуклое секвенциально полное (см. [3], стр. 67) пространство, то существует
x Î T , такой, что A ( x ) = x .
Д о к а з а т е л ь с т в о . T ¹ Æ , поэтому существует x0 Î T . An ( x0 ) Î T ( n = 1, 2,... ), так
как A ( T ) Í T .
Покажем, что последовательность
{ A ( x )}
n
0
( n = 1, 2,... ) — фундаментальная. Пусть
дана окрестность нуля U = U ( x : pi ( x ) < e ) ( i = 1, 2,..., k ; pi ( x ) Î { p ( x )} ). Пусть N таково,
что если m > N , то
qm
pi ( A ( x0 ) - x0 ) < e ( i = 1, 2,..., k ). Тогда для всякого m > N имеем:
1- q
s -1
pi ( Am + s ( x0 ) - Am ( x0 ) ) £ q m × pi ( As ( x0 ) - x0 ) £ q m å pi ( A j +1 ( x0 ) - A j ( x0 ) ) £
j =0
s -1
£ q m å q j pi ( A ( x0 ) - x0 ) £
j =0
qm
pi ( A ( x0 ) - x0 ) < e
1- q
( i = 1, 2,..., k ) ,
т. е. Am + s ( x0 ) - Am ( x0 ) Î U для всякого m > N и всякого s > 0 .
Так как E секвенциально полно, то существует y0 = lim An ( x0 ) Î T = T . При этом
A ( y0 ) = y0 . В самом деле,
n ®¥
(
)
A ( y0 ) = A lim An ( x0 ) = lim An+1 ( x0 ) = lim An ( x0 ) = y0
n ®¥
n ®¥
n ®¥
(сжимающий оператор и вообще оператор, удовлетворяющий условию Липшица,
непрерывен, что непосредственно следует из определения 2.1 (или 2.3)).
Т е о р е м а 2.3. Пусть T — замкнутое выпуклое множество, T Í E и E полно. Пусть
на T заданы операторы Ai ( Ai ( E ) Í E ; i = 1, 2 ), причем:
1) A1 — сжимающий оператор.
2) A2 ( T ) бикомпактно.
3) A2 непрерывен.
4) Если
A1 ( x ) + A2 ( x ) Î T . Тогда существует
x, y Î T , то
x ÎT
такой, что
A1 ( x ) + A2 ( x ) = x .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x Î T . Тогда (в силу условий 1), 4) и теорем 2.1 и 2.2)
существует, и притом единственный, y Î T такой, что y = A1 ( y ) + A2 ( x ) , т. е. на T
определен оператор y = C ( x ) , для которого
C ( x ) = A1C ( x ) + A2 ( x ) ,
Пусть z, v Î T . Тогда из (2.1) и условия 1) имеем:
C (T ) Í T .
(2.1)
p ( C ( z ) - C ( v ) ) £ q × p ( C ( z ) - C ( v ) ) + p ( A2 ( z ) - A2 ( v ) ) ,
откуда
1
p ( A2 ( z ) - A2 ( v ) )
(2.2)
1- q
для всякого p ( x ) Î { p ( x )} . Отсюда и из непрерывности A2 следует, что оператор C
непрерывен.
Докажем, что множество C ( T ) бикомпактно, воспользовавшись теоремой 3 § 4 гл. II
книги [6]. Пусть U Ì E — окрестность нуля:
U = U ( x : pi ( x ) < e ) ( i = 1, 2,..., n ).
p (C ( z ) - C ( v )) £
1
(1 - q ) ×U , где x пробегает A2 (T ) . Множество
3
1
A2 ( T ) бикомпактно, поэтому найдутся x1 ,..., xk Î A2 (T ) такие, что Vi = xi + (1 - q )U
3
( i = 1, 2,..., k ) образуют покрытие A2 ( T ) . Возьмем y1 ,..., yk Î T такие, что
Рассмотрим множество окрестностей x +
e
(1 - q ) ( i = 1, 2,..., k ; j = 1, 2,..., n ).
3
образуют покрытие множества C ( T ) . Действительно, пусть
pi ( A2 ( yi ) - xi ) <
Тогда U i = C ( yi ) + U
e
( j = 1, 2,..., n ). Так как
3
( i = 1, 2,..., k ) — покрытие множества A2 ( T ) , то существует i0 такое, что A2 ( v0 ) Î Vi0 ,
z0 Î C (T ) . Тогда существует v0 Î T такое, что p j ( z0 - C ( v0 ) ) <
{Vi }
т. е.
(
)
pi A2 ( v0 ) - xi0 <
Тогда из (2.2) получим:
(
( )) £ p ( z
p j z0 - C yi0
Но
j
(
0
(
( ) ) < e3 + 1 -1 q p ( A (v ) - A ( y ) ) .
- C ( v0 ) ) + p j C ( v0 ) - C yi0
j
( )) £ p ( A (v ) - x ) + p ( x
p j A2 ( v ) - A2 yi0
(
e
(1 - q ) ( j = 1, 2,..., n ).
3
( )) < e
Поэтому p j z0 - C yi0
j
2
0
i0
i
i0
2
0
2
i0
( ) ) < 32 e (1 - q ) .
- A2 yi0
( j = 1, 2,..., n ), т. е. z0 ÎU i0 . Рассматривая C лишь на
замкнутой выпуклой оболочке множества C ( T ) и применяя принцип Тихонова (см. [7],
стр. 767), получаем, что существует x Î C ( T ) Í T такой, что C ( x ) = x . Подставив это в
(2.1), заключаем:
x = A1 ( x ) + A2 ( x ) .
Теорема 2.4. (см. [8], стр. 47—48). Пусть операторы A1 и A2 удовлетворяют
условиям теоремы 2.2. Пусть pi ( A1 ( x ) - A2 ( x ) ) £ e (1 - q ) для i = 1, 2,..., n и всякого x Î T ,
q = max ( q1 , q2 ) . Пусть xi = A ( xi ) Î T ( i = 1, 2 ). Тогда
pi ( x1 - x2 ) £ e ( i = 1, 2,..., n ).
Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 2.2 x1 = lim A1n ( x2 ) . Поэтому
n ®¥
n -1
pi ( x1 - x2 ) = lim pi ( A1n ( x2 ) - x2 ) £ lim å q j × pi ( A1 ( x2 ) - x2 ) =
n ®¥
n ®¥
=
j =0
1
pi ( A1 ( x2 ) - x2 ) =
1- q
1
pi ( A1 ( x2 ) - A2 ( x2 ) ) £ e.
1- q
§ 3. Теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости
от начальных данных и правых частей, ограниченности и устойчивости
решений дифференциальных уравнений в локально выпуклом
пространстве
Рассмотрим
начальную
задачу
x ( t0 )= x0
для
дифференциального
уравнения
dx
= f ( x, t ) , где f ( x, t ) — непрерывный оператор, действующий из топологического
dt
произведения U ´ E1 в полное локально выпуклое пространство E ( U — замыкание
окрестности точки x0 в E , т. е. U = U ( x : pi ( x - x0 ) £ e ) ) ( i = 1, 2,..., n ; pi ( x ) Î { p ( x )} ).
° S — пространство равномерной сходимости на компактах непрерывных
Пусть E
° S — также полное локально выпуклое
отображений множества S Í E1 в E . Тогда E
пространство
с
достаточным
множеством
полунорм
{
()
}
°p
%
p , B x= sup p ( x ( t ) )
tÎB
° S ), где p ( x ) пробегает { p ( x )} , а B — множество всех компактов,
(=
x% x ( t ) Î E
± S обозначает множество отображений S в M Í E .
принадлежащих S . M
Л е м м а 3.1. Пусть
f ( x, t ) непрерывно отображает M ´ S в E , где M Í E ,
S = [t0 - h, t0 + h ] Ì E 1 . Пусть K ( t ) ³ 0 — действительная функция, суммируемая на S и
t0 + h
æ t0
ö
такая, что max ç ò K ( t ) dt , ò K ( t ) dt ÷ = L < ¥ , p ( f ( x, t ) - f ( y, t ) ) £ K ( t ) × p ( x - y ) для
ç t -h
÷
t0
è0
ø
всех p ( x ) Î { p ( x )} , x, y Î M .
Тогда оператор
()
t
A x% = x0 + ò f ( x ( t ) , t )d t
t0
± S и действует в E
°S ,
1) определен на M
± S условию Липшица с постоянной L .
2) удовлетворяет на M
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение 1) следует непосредственно из теорем 1.7 и 1.5.
Докажем утверждение 2).
± S , то
Пусть °p x% Î °p x% . Тогда если x% , %y Î M
( ) { ( )}
( ( ) ( )) = sup ò p ëé f ( x ( t) , t ) - f ( y ( t) , t )ûù d t £
t
°p A x% - A %y
tÎS
t0
t
(
)
£ sup ò K ( t ) d t × sup p ( x ( t ) - y ( t ) ) = L × °p x% - %y .
tÎS
Теорема
t ÎS
t0
3.1. Пусть
f ( x, t )
непрерывно отображает U ´ [t0 - a, t0 + a ] , где
U = U ( x : pi ( x - x0 ) £ e ) , pi ( x ) Î { p ( x )} ( i = 1, 2,..., n ), в E . Пусть
sup
xÎU
tÎ[t0 - a ,t0 + a ]
pi ( f ( x, t ) ) < ¥
( i = 1, 2,..., n ), и пусть функция K ( t ) ³ 0 суммируема на отрезке [ t0 - a, t0 + a ] и для всех
p ( x ) Î { p ( x )} , x, y ÎU
pi éë f ( x, t ) - f ( y, t ) ùû £ K ( t ) × p ( x - y ) .
Тогда имеется h0 , 0 < h0 £ a , такое, что существует, и притом единственное,
решение начальной задачи
dx
= f ( x, t ) , x ( t0 ) = x0 ,
dt
определенное на [ t0 - h0 , t0 + h0 ] .
dx
= f ( x, t ) с условием x ( t0 ) = x0
dt
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу § 1 уравнение
()
t
()
° [t - h ,t + h ] , где A x% = x + f ( x ( t ) , t )d t , причем h
эквивалентно уравнению x% = A x% в E
0
0 0
0
0
0
ò
t0
выберем следующим образом:
h0 =
1
min ( h1 , h2 ) ,
2
где
e
h1 =
sup
i =1,2,...,n
xÎU
tÎ[t0 - a ,t0 + a ]
pi é f ( x ,t )ù
ë
û
(если знаменатель равен нулю, то считаем h1 произвольным положительным числом), а h2
таково, что
t0 + h2
æ t0
ö
max ç ò K ( t ) dt , ò K ( t ) dt ÷ = q < 1 .
ç t -h
÷
t0
è0 2
ø
° [t -h ,t + h ] условиям теорем 2.2 и 2.1: по
A x% удовлетворяет на замкнутом множестве U
()
0
0 0
0
()
лемме 3.1, A x% — сжимающий оператор;
( ( ) { }) £ ò p éë f ( x ( t) , t)ùûd t £ h ×
pi A x% - x% 0
t
0
i
t0
т. е.
()
A x%
° [t - h , t + h ]
отображает U
0
0 0
0
в
sup
xÎU
tÎ[t0 - a ,t0 + a ]
pi éë f ( x, t ) ùû < e ,
²
U [t0 -h0 ,t0 + h0 ] . По теореме 2.2 существует
Int
()
²
x% Î Int
U [t0 - h0 ,t0 +h0 ] , такой что, A x% = %x . Пусть y ( t ) ( t - t0 £ h0 ) — решение начальной
задачи. Пусть существует t , для определенности t > t0 , такое, что y ( t ) Ï U . Пусть t1 —
наименьшее из всех t , t > t0 для которых y ( t ) Î FrU . Тогда y ( [t0 , t1 ]) Ì U , поэтому по
теореме 2.1 y ( t1 ) = x ( t1 ) Î IntU . Получили противоречие. Значит, y ( t ) Î U при t - t0 £ h0
и по теореме 2.1 y ( t ) = x ( t ) .
З а м е ч а н и е . Если в условии теоремы 3.1 заменить U на все пространство E , то
условие sup pi ( f ( x, t ) ) < ¥ можно отбросить. Если U ´ [t0 - a, t0 + a ] заменить на все
E ´ E1 и взять
+¥
ò K ( t ) d t < 1 , то существует решение, определенное на всей прямой E
1
.
-¥
Т е о р е м а . 3.2. Пусть fi ( x, t ) ( i = 1, 2 ) непрерывно отображают E ´ [t0 - a, t0 + a ] в E .
Пусть функции K i ( t ) ³ 0 ( i = 1, 2 ) суммируемы на отрезке [ t0 - a, t0 + a ] и для всяких
x, y Î E , p ( x ) Î { p ( x )} p ( fi ( x, t ) - fi ( y , t ) ) £ K i ( t ) p ( x - y ) . Пусть h0 = min ( h01 , h02 ) , где
h0i ( i = 1, 2 ) выбраны согласно теореме 3.1 и
t0 + h0
æ t0
ö
q = max ç ò K i ( t ) dt , ò K i ( t ) dt ÷ .
ç t -h
÷
t0
è0 0
ø
Тогда если
pk ( f1 ( x, t ) - f 2 ( x, t ) ) £
для
любой
точки
( k = 1, 2,..., n ), то
( x , t ) Î E ´ [ t0 - a , t 0 + a ]
e
(1 - q )
2h0
( k = 1, 2,..., n )
и
(
pk x0( ) - x0(
1
2)
) £ 2e (1 - q )
sup pk ( x1 ( t ) - x2 ( t ) ) £ e ( k = 1, 2,..., n ),
[t -t0 ]£ h0
где xi ( t ) — решение начальной задачи
dx
i
= f i ( x, t ) , x ( t0 ) = x0( ) .
dt
Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 3.1 операторы
t
A1 ( x% ) = x0( ) + ò f1 ( x ( t ) , t ) d t
1
t0
и
t
A2 ( x% ) = x0( ) + ò f 2 ( x ( t ) , t ) d t
2
t0
удовлетворяют условиям теоремы 2.2 в пространстве E%[ t0 -h0 , t0 + h0 ] . Так как, кроме того,
p% i ( A1 ( x% ) - A2 ( x% )) „
„ sup [ pi ( x0(1) - x0(2) )] + h0 × pi ( f1 ( x (t ), t ) - f 2 ( x(t ), t ))] „ e(1 - q),
[ t -t0 ] „ h0
то теорема сводится к теореме 2.4.
Лемма 3.2. Пусть f ( x, t ) непрерывно отображает M ´ S в E , где M Í E , S Í E1 .
Тогда оператор E ( x% ) = f ( x(t ), t )
1) определен на M% S и действует в E% S ,
2) непрерывен.
Доказательство. 1) Суперпозиция непрерывных функций непрерывна.
Докажем утверждение 2). Пусть x% Î M% S x% Î x(t ) — непрерывная функция,
определенная на всяком бикомпактном множестве B Í S , следовательно, множество X
ее значений на B бикомпактно, а значат, и Y = X ´ B бикомпактно. Мы будем
рассматривать Y как бикомпактное множество в локально выпуклом пространстве E ´ E1 .
Пусть дана окрестность нуля V Ì E . Для каждой точки ( x, t ) Î Y существует (в силу
f ( x, t ) )
непрерывности
( x¢, t ¢) Î ( x, t ) + Wx , t + Wx , t ,
окрестность
нуля
Wx , t Ì E ´ E 1
f ( x¢, t ¢) - f ( x, t ) ÎV .
то
Из
такая,
множества
что
если
окрестностей
( x, t ) + Wx , t , покрывающего Y , выберем конечное покрытие ( xi , ti ) + Wxi , ti ( i = 1, 2, K , k ),
k
и пусть W = I Wxi , ti , W = W * ´ W ** , где W * и W ** — окрестности нулей соответственно в
i =1
1
E и E .
Пусть теперь y% Î M% S таково, что y% - x% ÎWS* , т. е. y (t ) - x (t ) Î W * для всякого t Î B .
Тогда f ( x(t ), t ) - f ( y(t ), t ) Î V для всякого t Î B . В самом деле, пусть t Î B , и пусть
( xi , ti ) таково, что ( x (t ), t ) Î ( xi , ti ) + Wxi , ti . Так как
( y (t ), t ) Î ( x (t ), t ) + W Ì ( x(t ), t ) + Wxi , ti ,
то
( y (t ), t ) Î ( xi , ti ) + Wxi , ti + Wxi , ti ,
откуда и следует, что f ( x(t ), t ) - f ( y(t ), t ) Î V .
Лемма 3.3. Пусть f ( x, t ) непрерывно отображает M ´ S в E ( M Í E , S Í E1 ),
причем для каждого компакта B Í S существует бикомпакт FB Ì E , такой, что
f ( M ´ B) Í FB . Пусть S выпукло.
t
Тогда оператор A( x% ) = ò f ( x(t), t)d t
t0
1) определен на M% S и действует в E% S ,
2) непрерывен на M% ,
S
3) A( M% S ) бикомпактно.
Доказательство. Утверждение 1) следует из теорем 1.7 и 1.5. Утверждение 2) следует из
леммы 3.2 и теоремы 1.3. Докажем утверждение 3). Так как f ( x (t), t) — непрерывная
функция (при x(t) Î M ), то (согласно теореме 1.7)
t
ò
f ( x (t), t)d t =
t0
= | t - t0 |
nk
å f [ x( t
lim
(k)
max Dti ® 0
=i 1
=i 1, 2, K, nk k ®¥
lim
(k)
nk
å
max Dti ® 0
=i 1
=i 1, 2, K, nk k ®¥
(k )
i
), ti( k ) ]Dt(i k ) =
f [ x (t(i k ) ), t(i k ) ]
| Dt(i k ) |
.
| t - t0 |
Следовательно, для всякого отрезка [t0 , t ] (или [t0 , t ] ) Í S и всякого
t
ò f ( x(t), t)d t Î F ¢¢ , где
t
t0
x% Î M% S
Ft¢¢ = U lFt¢ , а Ft¢ — замкнутая выпуклая оболочка множества
[l]„ h
FB = [t0 , t ] . FB бикомпактно; значит, и Ft¢¢ — бикомпактно (см. [9], гл. II, § 4, п. 1).
Таким образом, множество значений всех функций A( x% ) ( x% Î M% S ) во всякой точке t Î S
входит в некоторое бикомпактное множество Ft¢¢ . Далее, множество A( M% S ) этих функций
равностепенно непрерывно (см. [10], § 8, п. 8). Действительно, пусть дано t1 Î S и
окрестность нуля
( i = 1, 2, K , n ). Возьмем какое-нибудь
U= U ( x : pi ( x) < e)
B = [t1 - h, t1 + h] Í S и положим h =
e
sup
pi ( y )
i = 1, 2, K, n
yÎFB
(если знаменатель равен нулю, то
считаем h любым положительным числом). h > 0 , так как FB бикомпактно, а pi ( y ) —
непрерывные функции. Положим
d = min(h, h).
Тогда из того, что | t2 - t1 | < d , следует для всякого x% Î M% S :
t2
t1
t0
t0
z = ò f ( x (t), t)d t - ò f ( x(t), t)d t ÎU ,
так как
æ t2
ö
pi ( z ) = pi ç ò f ( x(t), t)d t ÷ „ sup pi ( y ) × | t2 - t1 | < e ( i = 1, 2, K , n ).
çt
÷ yÎFB
è0
ø
По теореме Асколи (Арцела; см. [10], § 13, п. 9) множество A( M S ) бикомпактно.
Теорема 3.3. Пусть f ( x, t ) = f1 ( x, t ) + f 2 ( x, t ) , где f1 ( x, t ) и f 2 ( x, t ) непрерывно
отображают U ´ [t0 - a, t0 + a] ( U = U ( x : pi ( x - x0 ) „ e) ; i = 1, 2, K , n ; pi ( x) Î{ p ( x )} в
E . Пусть f 2 (U ´ [t0 - a, t0 + a ]) бикомпактно, а f1 ( x, t ) удовлетворяет условиям
теоремы 3.1.
Тогда найдется h > 0 такое, что существует решение начальной задачи
dx
= f ( x, t ) , x(t0 ) = x0 ,
dt
определенное на [t0 - h, t0 + h] .
dx
Доказательство. Уравнение
= f ( x, t ) с начальным условием x(t0 ) = x0 эквивалентно
dt
уравнению x% = A1 ( x% ) + A2 ( x% ) , где
t
t
t0
t0
A1 ( x% ) = x0 + ò f1 ( x(t), t)d t , A2 ( x% ) = x0 + ò f 2 ( x(t), t) d t ,
в E%[ t0 -h , t0 + h ] , причем h > 0 возьмем равным min (h1 , h2 ) , где h1 > 0 таково, что
æ t0
max ç ò K (t)d t,
ç t -h
è0 1
t0 + h1
ò
t0
ö
K (t)d t ÷ = q < 1,
÷
ø
а
h2 <
sup
xÎU
tÎ[ t0 - a , t0 + a ]
=i 1, 2, K, n
e
pi [ f1 ( x, t )] +
sup
xÎU
tÎ[ t0 - a0 , t0 + a ]
=i 1, 2, K, n
pi [ f 2 ( x, t )]
(если знаменатель равен нулю, то считаем h2 произвольным положительным числом). Из
леммы 3.3 следует, что условия 2) и 3) теоремы 2.3 выполнены (в качестве T берем
U% [t0 -h , t0 + h ] ; это множество замкнуто и выпукло, так как U замкнуто и выпукло). Из
доказательства леммы 3.1 следует, что условие 1) теоремы 2.3 выполнено. Условие 4)
теоремы 2.3 также выполнено: если x% , y% ÎU%[t0 - h , t0 + h ] , то
p% i ( A1 ( x% ) + A2 ( x% ) - x%0 ) „ h × [sup pi ( f1 ( x, t )) + sup pi ( f 2 ( x, t ))] „ e.
Мы доказали теорему, сведя ее к теореме 2.3.
Теорема 3.4. Пусть f ( x, t ) удовлетворяет условиям леммы 3.3, где M = E ,
S = [t0 , + ¥] и пусть существует p( x) Î { p ( x )} и непрерывная функция G (r , t ) , не
убывающая по r ( t … 0 , r … 0 ) и такая, что при x Î E , t Î S
p0 ( f ( x, t )) „ G ( p0 ( x), t ).
(3.1)
Пусть для всякого r0 … 0 существует функция g (t ) , определенная на S и такая, что
dg
… G ( g (t ), t ) , g (t0 ) = r0 .
(3.2)
dt
Тогда для всякого x0 Î E существует решение начальной задачи
dx
= f ( x, t ) , x(t0 ) = x0 ,
dt
определенное на всем S .
Доказательство. На замкнутом выпуклом множестве
T = T ( x% = x (t ) : p0 ( x(t )) „ g 0 (t )) ( T Ì E% S ),
dg 0
где g 0 (t ) такова, что
… G ( g 0 (t ), t ) , g 0 (t0 ) = p0 ( x0 ) , определим оператор
dt
t
A( x% ) = x0 + ò f ( x (t), t) d t.
t0
По лемме 3.3, A(T ) — бикомпакт, A(T ) Ì E% S и A непрерывен на T .
Покажем, что A(T ) Í T . Пусть x% Î T , т. е. p0 ( x(t )) „ g 0 (t ) при t Î S . Тогда
t
t
æ
ö
+
(
(
t
),
t
)
t
„
(
)
+
p0 ç x0 ò f x
d ÷ p0 x0 ò p0 ( f ( x ( t), t))d t „
ç
÷
t0
t0
è
ø
t
t
t0
t0
„ p0 ( x0 ) + ò G ( p0 ( x (t)), t)d t) „ p0 ( x0 ) + ò G ( g0 ( t), t) d t „ g 0 (t ).
Последнее неравенство следует из определения функции g 0 (t ) . Таким образом, оператор
A на множестве T удовлетворяет условиям принципа Тихонова (см. [7], стр. 767),
поэтому существует x% Î T такой, что A( x% ) = x% , т.е. существует функция x(t ) ,
dx
определенная на S = [t0 , + ¥] и такая, что x(t0 ) = x0 ,
= f ( x, t ) . При этом
dt
p0 ( x(t )) „ g 0 (t ).
(3.3)
Пусть для всякого r0 … 0 существует ограниченная функция g 0 (t ) „ Cr0 , определенная
на S = [t0 , + ¥] и такая, что g 0 (t 0 ) = r0 , и пусть неравенство (3.1) выполнено для всякого
p( x) Î { p ( x )} . Повторив доказательство теоремы 3.4 для множества
T = T ( x% = x(t ) : p ( x (t )) „ g p (t ) для всякого p( x) Î { p ( x )} ),
где g p (t ) — ограниченные функции, определенные на S и такие, что
dg p
g p (t0 ) = rp = p( x0 ) , получаем неравенство (3.3) для всякого p( x) Î { p ( x )} :
p( x(t )) „ g p (t ) „ Crp ,
dt
… G ( g p (t ), t ) ,
(3.4)
dx
= f ( x, t ) , x(t0 ) = x0 , а rp = p ( x0 ) .
dt
Неравенства (3.4) означают, что функция x(t ) ограничена, т. е. множество ее значений
ограничено (см. [5], стр. 45).
Таким образом, получена
Теорема 3.5. Пусть условия теоремы 3.4 выполнены для всякого p( x) Î { p ( x )} , причем
где x(t ) — решение начальной задачи
для всякого r0 … 0 существует ограниченная функция g 0 (t ) , определенная на S и такая,
что
dg 0
… G ( g 0 (t ), t ) , g 0 (t0 ) = r0 .
dt
Тогда для всякого x0 Î E существует ограниченное решение начальной задачи
dx
= f ( x, t ) , x(t0 ) = x0 .
dt
Определение 3.1 Пусть f ( x, t ) отображает E ´ [t0 , + ¥] в E . Пусть f (0, t ) = 0 . Точка
x = 0 называется условно устойчивой (соответственно условно асимптотически
dx
устойчивой) точкой уравнения
= f ( x, t ) , если для всякой окрестности нуля U Ì E
dt
существует окрестность нуля V Ì E такая, что если x0 Î V , то найдется решение
начальной задачи
dx
= f ( x, t ) , x(t0 ) = x0
dt
такое, что для всякого t Î [t0 , + ¥] , x(t ) ÎU (соответственно x(t ) ÎU и x(t ) ® 0 при
t ® 0 ).
Замечание. Если решение начальной задачи для всякого x0 в некоторой окрестности
нуля единственно, то условная устойчивость совпадает с устойчивостью.
Теорема 3.6. Пусть условия теоремы 3.4 выполнены для всякого p( x) Î { p ( x )} , а в (3.2)
имеет место равенство. Пусть f (0, t ) = 0 , G (0, t ) = 0 , причем точка g = 0 для
dg
уравнения
= G ( g , t ) условно устойчива (соответственно условно асимптотически
dt
устойчива).
Тогда x = 0 — условно устойчивая (соответственно условно асимптотически
dx
устойчивая) точка для уравнения
= f ( x, t ) .
dt
Доказательство. Пусть дана окрестность нуля
U = U ( x : pi ( x) < e) ( i = 1, 2, K , n ), pi ( x) Î{ p ( x )} .
Пусть d > 0 таково, что если 0 „ r0 < d , то найдется решение начальной задачи
dg0
= G ( g 0 (t ), t ) , g 0 (t ) = r0 , такое, что g 0 (t0 ) < e для всякого t Î [t0 , + ¥) . Положим
dt
V = V ( x : pi ( x) < d) ( i = 1, 2, K , n ). Пусть x0 Î V . Повторив доказательство теоремы 3.4
для множества
T = T ( x% = x(t ) : p ( x (t )) „ g p (t ) для всех p( x) Î { p ( x )} ),
где g p (t ) — решение начальной задачи
dg p
= G ( g p , t ) , g p (t0 ) = p ( x0 )
dt
(откуда следует: g pi (t0 ) < d ( i = 1, 2, K , n )), такое, что g pi (t ) < e ( i = 1, K , n ), для всякого
t Î [t0 , + ¥] , получим решение x(t ) начальной задачи
для всякого t Î [t0 , + ¥]
p( x(t )) „ g p (t ).
dx
= f ( x, t ) , (t0 ) = x0 , такое, что
dt
Положив в (3.5) p( x) = pi ( x) ( i = 1, 2, K , n ), заключаем, что для всякого t Î [t0 , + ¥]
(3.5)
x (t ) Î U .
Если точка g = 0 условно асимптотически устойчива для уравнения
можно считать, что g p (t ) ® 0 при t ® ¥ для всякого p( x) Î { p ( x )} .
Тогда из (3.5) получаем:
p( x(t )) „ g p (t ) ® 0 при t ® ¥ ,
dg
= G ( g , t ) , то
dt
dx
= f ( x, t )
dt
В заключение пользуюсь случаем поблагодарить В. В. Немыцкого за постановку задачи
и ценные указания.
(Поступило в редакцию 21/ХП 1960 г.)
т.е. точка x = 0 условно асимптотически устойчива для уравнения
Литература
1. М. А. Красносельский и С. Г. Крейн, К теории обыкновенных дифференциальных
уравнений в банаховых пространствах, Труды семин. по функц. анализу Воронежск. гос.
унив., 2 (1956), 3—23.
2. A. Stokes, The application of a fixed-point theorem to a variety of nonlinear stability
problems, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 45, № 2 (1959), 231—235.
3. M. А, Наймарк, Нормированные кольца, Москва, Гостехиздат, 1956.
4. Э. Хилл, Функциональный анализ и полугруппы, Москва, ИЛ, 1951.
5. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций,
Москва, Фиэматгиз, 1958.
6. Н. Бурбаки. Общая топология, Москва, Фиэматгиз, 1958.
7. A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., 111 (1935), 767.
8. Г. Е. Шилов, Математический анализ, Москва, Физматгиз, 1960.
9. Н. Бурбаки, Топологические векторные пространства, Москва, ИЛ, 1959.
10. N. Bourbaki, Topologie générale (Fascicule de résultats), Paris, 1953.
dx
11. В. М. Миллионщиков, К теории дифференциальных уравнений
= f ( x, t ) в
dt
локально выпуклых пространствах, ДАН СССР, т. 131, № 3 (1960), 510—513.
12. R. S. Phillips, Integration in a convex linear topological space, Trans. Amer. Math. Soc,
47, № 1 (1940), 114—145.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа