close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Лекция 2.
Автор:
Муравьев Сергей Евгеньевич
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ
вагона относительно друг друга равно l . Найти скорость пули. Считать,
что когда пуля пробивает стенки вагона, она никак не меняет своего
движения.
Домашняя работа
5. По озеру со скоростью v1 движется корабль длиной l . В некоторый
момент времени от кормы корабля к его носу начинает двигаться
маленький катер. Скорость катера v2 ( v2  v1 ). Доплыв до носа корабля
катер разворачивается и движется в направлении кормы. Через какое
время после начала движения катер достигнет кормы?
6. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу начинают
двигаться
два связанной
тела. Через
некоторое
время
они
В системе отсчета,
с кораблем
скорость катера
«туда»
равнавстречаются
v2  v1 , обратноипродолжают двигаться в тех же направлениях. Первое достигает
v2  v1 . Поэтому
время
возвращение
конечного
пункта
через
время t1равно
после встречи, второе - через время t2 .
Через какое время после началаl движения
l тела2встретились?
lv2
t
v2  v1

v2  v1

v22  v12
2
2
1
катер разворачивается и движется в направлении кормы. Через какое
время после начала движения катер достигнет кормы?
Домашняя работа
6. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу начинают
двигаться два тела. Через некоторое время они встречаются и
продолжают двигаться в тех же направлениях. Первое достигает
конечного пункта через время t1 после встречи, второе - через время t2 .
Через какое время после начала движения тела встретились?
Пусть
встречи
равно
тела тела
пройдут
до встречи
расстояния
l1  v1t , ll2 
v2t . А
t . Тогда
Пустьвремя
время
встречи
равно
пройдут
до встречи
расстояния
t . Тогда
1  v1t , l2
после встречи первое пройдет то же расстояние, что и второе до встречи, и наоборот. Поэтому
v
после встречи первое пройдет то же расстояние, что и второе до встречи, и наоборот. Поэ
l
v
l
v
t1  2  l22 t , v2 t2  1  1l1t
v1
tv11  v1  t ,
t
v2t2 v2 
Перемножая эти равенства, получим
v1
v1
v2
Перемножая эти равенства, получим t  t t
12
t  t1t2
v2
Ускорение
Рассмотрим три тела
1с
2 м/с
1 м/с
10 с
19 м/с
10 м/с
У какого
из них
скорость
изменялась
быстрее?
20 с
20 м/с
41 м/с
Ускорение
Ускорение вводится для характеристики быстроты
изменения скорости. Идея – сравнить изменения
скорости тел за один и тот же интервал времени
v
a
t
Это отношение показывает на сколько
скорость тела за единицу времени.
меняется
Можно говорить о среднем и мгновенном ускорении
Ускорение
Пример 1. Расстояние между точками A и B равно S . От A до B тело двигалось с
постоянной скоростью v1 , от B до A с постоянной скоростью v2 . Найти среднее
ускорение тела за все время движения. За первую половину времени движения, за
вторую половину времени движения.
v2  v1
v2  v1
Среднее ускорение a 
, величина среднего ускорения a 
t
t

v1
A
B

v2

v

- v1
v  v1  v2 ,

v2
S S S  v1  v2 
t  
v1 v2
v1v2
v1v2
a
S
Ускорение
Если v2  v1 , в течение всей первой половины времени движения тело имело
скорость v1 , поэтому среднее ускорение за это время равно нулю. Изменение
скорости за вторую половину – такое же, но время вдвое меньше – среднее
ускорение вдвое больше среднего ускорения за все время движения
a
v1v2
S
Пример 2. Тело свободно падает вертикально вниз. Найти направление вектора мгновенного
ускорения тела в произвольной точке траектории. То же для тела, движущегося свободно
вертикально вверх.
Ускорение
1

v1

v2
2

v2

v

- v1

v2
2

v1
1

v2

v

- v1
Ускорение
Опыт показывает, что для достаточно массивных и небольших по размеру тел (на
движение которых не оказывает влияние сопротивление воздуха) вектор ускорения в
разных точках траектории одинаков, то есть и направление, и величина ускорения
тела не меняется в процессе движения. Это утверждение справедливо не только в
случае рассмотренного выше вертикального движения, а для любого свободного
движения вблизи поверхности земли (в том числе и криволинейного).
Если ускорение тела в процессе движения не меняется, то такое движение
называют равноускоренным («равноускоренное» - «равное ускорение»).
Опыт показывает, что ускорение тел при их свободном движении вблизи
поверхности земли не зависит от массы тела и приблизительно равно 9,8 м/с2 .
Векторная алгебра
Проекция вектора на координатную ось
Число, равное произведению модуля вектора на косинус
угла между вектором и положительным направлением оси
ax  a cos  a , x 
Проекция вектора - величина алгебраическая: если угол
между вектором и положительным направлением оси x
острый, a x  0 (т.к. cos  a , x   0 ); если угол между вектором
и положительным направлением оси x - тупой, a x  0 (т.к.
cos  a , x   0 ); если вектор перпендикулярен оси, то a x  0
(т.к. cos  a , x   0 ).
Векторная алгебра
Геометрический смысл проекции
a

A
C
C
a
B
A
A1

В1
ax  длина A1B1
x
B
А1
B1
x
ax  длина A1B1
Векторная алгебра
Пусть даны произвольные векторы a и b . Как связаны
между собой проекции этих векторов a x и bx и проекция


вектора их суммы a  b ?

a
 
a +b
ax
 
(a + b ) x
x

b
bx
a  b 
x
x
 a x  bx
Векторная алгебра

b
a b
a  b 

a
x
A
B
C
x
 a x  bx
Равноускоренное движение
Пример 3. Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли с начальной
скоростью v0 . Найти: максимальную высоту подъема тела над поверхностью земли,
время подъема на эту высоту, время, через которое тело упадет на землю, скорость,
которую будет иметь тело перед самым падением.
Для равноускоренного движения зависимости радиусвектора тела по отношению к произвольной системе
координат и его скорости от времени определяются
уравнениями
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
t
- ПЕРЕМЕННАЯ
R(t )
Равноускоренное движение
Перейдем к уравнениям для проекций векторов на
координатные оси
gt 2
y (t )  v0t 
(1)
2
v y (t )  v y  gt
y

g

v0
x
Уравнения (1) содержат ВСЮ информацию о движении тела. Можно подставлять в
них любые моменты времени (в качестве значения переменной t ) и находить
координату и скорость тела в этот момент
Применяем уравнения движения к верхней точке траектории. Для этого подставляем
в эти уравнения НЕИЗВЕСТНОЕ время движения до этой точки t1 . Получим
gt12
y (t1 )  h  v0t1 
2
v y (t1 )  0  v y  gt1
Равноускоренное движение
Из второго уравнения находим t1 
v0
g
v02
а затем из первого уравнения высоту подъема h 
2g
Применяем теперь уравнения к точке падения тела на землю
gt22
y (t2 )  0  v0t2 
2
v y (t2 )  v0  gt2
2v0
Из первого уравнения находим время движения t2 
, а затем из первого
g
уравнения скорость тела в конце
2v
v y (t2 )  v0  g 0  v0
g
Равноускоренное движение
Схема применения законов равноускоренного движения. Основная идея - в
законах содержится вся информация о движении.
(1) Убедиться, что в задаче речь идет о движении с постоянным ускорением.
(2) Написать законы равноускоренного движения в векторном виде. В
векторных уравнениях – только знаки «+».
(3) Выбрать систему координат, относительно которой определяются радиусвекторы.
(4) Перейти от векторных уравнений к уравнениям для проекций.
(5) Применить полученные зависимости к тем или иным точкам траектории в уравнения движения следует подставить время движения до этих точек и
получить уравнения, связывающие координату, скорость и время.
Равноускоренное движение
Пример 4. Тело движется прямолинейно с севера на юг. Скорость тела
убывает. Куда направлен вектор ускорения тела?
1. На юг
2. На запад
3. На север
4. На восток
Пример 5. Автомобиль движется прямолинейно из состояния покоя с ускорением a .
Какой путь пройдет автомобиль за время t1 от начала движения?
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения в системе координат, начало которой в точке, откуда тело начало движение,
ось направлена вдоль ускорения
at 2
x (t ) 
2
v x (t )  at
Подставляя данное время в первое уравнение, найдем координату
at12
x (t )  S 
2
Равноускоренное движение
Пример 6. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с постоянным
ускорением a , пройдет путь S ?
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения в системе координат, начало которой в точке, откуда тело начало движение,
ось направлена вдоль ускорения
at 2
x (t ) 
2
v x (t )  at
Подставляя искомое время в первое уравнение, и решая его, найдем время
at12
2S
x (t )  S 

t1 
2
a
Равноускоренное движение
Пример 7. С каким ускорением движется трогающийся с места автомобиль, если он
набирает скорость v1 за время t1 ?
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения в системе координат, начало которой в точке, откуда автомобиль начал
движение, ось направлена вдоль ускорения
at 2
x (t ) 
2
v x (t )  at
Подставляя данное время в первое уравнение, и решая его, найдем ускорение
at12
2S
x (t )  S 

a 2
2
t1
Равноускоренное движение
Пример 8. Пуля, летящая со скоростью v0 , ударяет в земляной вал и, двигаясь внутри вала
прямолинейно, проникает в него на глубину l . Какое время  пуля двигалась внутри вала? С
каким ускорением? На какой глубине скорость пули уменьшилась в n раз? Чему равнялась
скорость пули к тому моменту, когда оно прошла m -ую часть своего пути внутри вала
( l1  l / m )? Какой путь прошла пуля за k -ую часть времени движения до остановки
(  1   / n )? Движение пули считать равноускоренным
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения для проекций
2
at
2
v x (t )  v0  at
x (t )  v0t 
y

v0
x
Равноускоренное движение
Применяя эти уравнения к точке остановки пули, получим
a 2
l  v0 
2
0  v0  a
v02
2l
a ,  
2l
v0

Найдем глубину, на которой скорость пули уменьшилась в n раз. Для этого применим
уравнения движения к этой точке, то есть подставим время движения до этой точки t1
(оно нам пока не известно). Тогда левая часть второго уравнения движения в момент t1
дает v0 / n , первого - неизвестную координату исследуемой точки l1 :
at12
l1  v0t1 
2
v0 / n  v0  at1

l1 
v02  n 2  1
2an
2

l  n 2  1
n2
Равноускоренное движение
Найдем скорость пули в точке, находящейся на расстоянии l / m от точки ее влета в
вал. Для этого подставим в уравнения движения время движения до исследуемой точки
t2 . Получим
at22
l / m  v0t2 
2
v2  v0  at2

 t2 1,2
v0  v02  2al / m

a
Какой корень для времени взять? Очевидно «минус». Подставляя это значение в уравнение
для скорости, найдем скорость пули на глубине l / m
v2  v02  2al / m  v0
m 1
m
Ответ на последний вопрос задачи относительно пути, пройденного за время  1   / n после
влета в вал, находится с помощью подстановки времени  1 в первое уравнение движения:
S1 
v0
k
 v0 
1 

kl 

Равноускоренное движение
Пример 9. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты
H . За какое время тело пройдет отрезок пути длиной h перед
поверхностью земли (см. рисунок)?
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
x
H
h
y
Уравнения для проекций на ось y
gt 2
y (t ) 
2
v y (t )  gt
Но подставлять искомое время (обозначим его t ) в эти уравнения бессмысленно, мы
найдем не то, что нам нужно. А что нужно делать? Но искомый интервал времени t
связан со временем, входящим в эти уравнения. Действительно, интервал t равен
разности моментов времени, в которые тело оказалось на поверхности земли и в точке
на высоте h , причем эти моменты можно отсчитывать и от начала движения.
Равноускоренное движение
Поэтому применим уравнения движения сначала к точке, находящейся на поверхности
земли, а потом к точке, находящейся на высоте h от поверхности. Пусть полное время
падения, отсчитанное от начала движения, равно t2 . Тогда
gt22
H
2

t2 
2H
g
Пусть время, когда тело оказалось в точке на высоте h - t1 . При нашем выборе
системы координат координата этой точки равна H  h . Поэтому
gt12
H h 
2

t2 
2( H  h )
g
Отсюда находим
t  t2  t1 
2H
2( H  h )

g
g
Равноускоренное движение
Пример 10. Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью v0 , направленной под
углом  к горизонту. Найти: максимальную высоту подъема тела над поверхностью, время
подъема на эту высоту, время, через которое тело упадет на землю, расстояние от точки бросания до точки падения, скорость, которую будет иметь тело перед самым падением на землю,
угол между вектором скорости перед падением и поверхностью земли.
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения для проекций на оси координат
x (t )  v0 cos  t
gt 2
y (t )  v0 sin  t 
2
v x (t )  v0 cos 
v y (t )  v0 sin   gt

v1
y

v0
hm
x

l1
Равноускоренное движение
Применим уравнения к верхней точке траектории тела. Подставим в эти уравнения
неизвестное время движения до этой точки t1 (время подъема). Тогда первые два уравнения
дадут координаты верхней точки траектории, которые при нашем выборе системы координат
равны расстоянию по горизонтали до нее l1 ( x -координата) и максимальную высоту подъема
тела над землей hm ( y -координата). Вторые два уравнения дадут проекции скорости тела в
верхней точке на оси x и y .
Поскольку рассматриваемая точка - самая верхняя точка, то вектор скорости тела в ней
направлен параллельно поверхности земли, и, следовательно, его проекция на вертикальную
ось y равна нулю. Поэтому четвертое уравнение дает
v y (t1 )  v0 sin   gt1  0

А затем из второго уравнения находим
v02 sin 2 
hm  y (t1 ) 
2g
t1 
v0 sin 
g
Равноускоренное движение
Подставим в уравнения движения время
y
t2 , прошедшее от момента броска до

момента падения тела на землю (это
v0
время нам пока неизвестно). Тогда
первое из уравнений даст x -координату
v x ,1 x

точки падения (дальность полета),
А
 В
последнее - проекцию вектора скорости
-v y ,1
тела в момент падения на ось y .
v1 С
l
Второе уравнение в применении к точке
падения даст y -координату точки падения – при нашем выборе системы координат равна нулю:
gt22
y (t2 )  v0 sin  t2 
0
2
Решая квадратное уравнение, найдем два значения полного времени движения t2
t2 
2v0 sin 
g
Равноускоренное движение
Подставляя время движения в остальные уравнения, найдем дальность полета тела l и проекцию его скорости на вертикальную ось в момент падения v y ,1
2v02 sin  cos  v02 sin 2
x ( t2 ) 

,
g
g
А затем и величину конечной скорости
v1  v  v
2
x ,1
2
y ,1
 v0
Угол подлета тела к земле - это угол между
вектором скорости тела и поверхностью земли. Поэтому
cos  
v1, x
 cos ,    
v1
v y ,1  v0 sin 
y

v0

А
l
v x ,1 x
 В
-v y ,1
v1 С
Равноускоренное движение
Пример 11. Тело бросили с начальной скоростью v0 под

v0
углом  к горизонту со ступеньки высотой h так, как показано на рисунке. С какой скоростью тело упадет на зем-
h
лю? Как эта скорость зависит от угла  ?
Векторные уравнения
at 2
R(t )  R0  v0t 
2
v (t )  v0  at
Уравнения для проекций на оси координат
x (t )  v0 cos  t
gt 2
y (t )  v0 sin  t 
2
v x (t )  v0 cos 
v y (t )  v0 sin   gt
y

v0
h

x

Равноускоренное движение
Применяем уравнения к точке падения. В этой точке y -координата тела равна y  h . Из
второго уравнения получаем:
gt12
 v0 sin  t1  h  0
2
Отсюда
t1,2
v0 sin   v02 sin 2   2 gh

g
(физический корень - с «плюсом»).
Теперь находим проекцию скорости на ось y в момент падения
v y (t1 )  v0 sin   gt1   v02 sin 2   2 gh
А затем и модуль скорости
v  vx2  v 2y  v02 cos2   v02 sin2   2 gh  v02  2 gh
Равноускоренное движение
Домашнее задание
1. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло расстояние S за время  .
Какую скорость имело тело, в тот момент, когда оно прошло в n раз меньшее расстояние?
2. Тело двигалось прямолинейно и равноускоренно с начальной скоростью v0 . Известно, что
скорость тела увеличилась в два раза (оставаясь такой же по направлению), когда тело прошло
путь S . Через какое время после выхода из начальной точки скорость тела увеличилась в n
раз по сравнению с начальной?
3. Тело, движущееся прямолинейно и равноускоренно, проходит два последовательных участка
длиной l и 2l за интервалы времени  и 3 . Найти ускорение тела.
4. Тело толкнули вверх вдоль наклонной плоскости. На расстоянии l от основания плоскости
тело побывало дважды - через время t1 и t2 после начала движения. Определить начальную
скорость и ускорение тела, считая его постоянным.
5. Из точки, находящейся на некоторой высоте под землей, с одинаковой по модулю начальной
Равноускоренное движение
5. Тело свободно падает из состояния покоя с высоты H . Какое расстояние тело пройдет за
интервал времени  перед падением на землю?
6. Из точки, находящейся на некоторой высоте под землей, с одинаковой по модулю начальной
скоростью v0 бросили два тела: одно вертикально вверх, второе горизонтально. Чему равно
расстояние между телами в тот момент, когда первое тело поднялось на максимальную высоту?
Считать, что второе тело в этот момент времени еще не успело упасть на землю.
Равноускоренное движение
Ответы
1. v 
2 S  n  1
2S
, 2.  
,
3v0
 n
g 2
2 v02
5. l   2 gH 
6. S 
g
2
3. a 
l
6 2
,
4. v0 
l  t1  t2 
2l
, a
.
t1t2
t1t2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа