close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Государственное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №623
«Согласовано»
Директор
_Зам. директора по
УВР_________________________
«____»____________2013г.
Рабочая программа
курса «Алгебра»
8класс
Составитель:
Пирцхалава Светлана Алексеевна
учитель математики
__высшей квалификационной категории
Москва
2013
УТВЕРЖДАЮ
______________Р.Ф.Халилулин
«_____»_______2013 _ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
(Базовый уровень)
Пояснительная записка
Статус документа
Рабочая программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.
Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 7-9 классов и реализуется на основе следующих документов:
1. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев:
Сборник “Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл.”/ Сост. Г.М.Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – 3-е изд.,
стереотип.- М. Дрофа, 2002; 4-е изд. – 2009г.
2. Стандарт основного общего образования по математике.
В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:
• развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных,
инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
• овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению
математических и нематематических задач;
• изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа
реальных зависимостей;
• развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими
пространственными телами и их свойствами;
• получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов,
носящих вероятностный характер;
• развить логическое мышление и речь – умениия логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и
контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и
доказательства;
• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и
явлений.
Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:
•
•
•
•
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин,
продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность
мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к
преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научнотехнического прогресса.
Основные развивающие и воспитательные цели
Развитие:

Ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры,
пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

Математической речи;

Сенсорной сферы; двигательной моторики;

Внимания; памяти;

Навыков само и взаимопроверки.
Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и
процессов.
Воспитание:

Культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научнотехнического прогресса;

Волевых качеств;

Коммуникабельности;

Ответственности.
Место предмета в федеральном базисном учебном плане
В настоящей рабочей программе изменено соотношение часов на изучение тем, добавлены темы элементов статистики (подробнее расписано в Содержании
тем учебного курса).
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности.
В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать
внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:
планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;
решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;
исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;
ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного,
символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;
поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и
справочную литературу, современные информационные технологии.
Результаты обучения
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все
учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.
Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
В результате изучения математики ученик должен
знать/понимать1
существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;
АЛГЕБРА
уметь
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять
соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на
множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;
решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой;
определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной
графиком или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
описывать свойства изученных функций, строить их графики;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в
справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;
Помимо указанных в данном разделе знаний, в требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освоения перечисленных ниже умений.
•
интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;
СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ УЧЕБНОГО КУРСА
Алгебра 8 класс
Повторение (28 ч.)
1. Рациональные дроби (22/21 ч) ( 23 ч.)
Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.
Преобразование рациональных выражений. Функция y =
k
и её график.
x
Цель – выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.
Знать основное свойство дроби, рациональные, целые, дробные выражения; правильно употреблять термины «выражение», «тождественное
преобразование», понимать формулировку заданий: упростить выражение, разложить на множители, привести к общему знаменателю, сократить дробь. Знать и
понимать формулировку заданий: упростить выражение, разложить на множители, привести к общему знаменателю, сократить дробь, свойства обратной
пропорциональности
Уметь осуществлять в рациональных выражениях числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, выполнять действия сложения и
вычитания с алгебраическими дробями, сокращать дробь, выполнять разложение многочлена на множители применением формул сокращенного умножения,
выполнять преобразование рациональных выражений. Уметь осуществлять в рациональных выражениях числовые подстановки и выполнять соответствующие
вычисления, выполнять действия умножения и деления с алгебраическими дробями, возводить дробь в степень, выполнять преобразование рациональных
выражений; правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции), строить график обратной пропорциональности,
находить значения функции y=k/x по графику, по формуле.
2. Квадратные корни (20/17 ч) (20ч.)
Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень, приближённое значение квадратного корня.
Свойства квадратных корней. преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Функция y = x и её график.
Цель – систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие
числа; выработать умение выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Знать определения квадратного корня, арифметического квадратного корня, какие числа называются рациональными, иррациональными, как обозначается
множество рациональных чисел; свойства арифметического квадратного корня.
Уметь выполнять преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни; решать уравнения вида x2=а; находить приближенные значения
квадратного корня; находить квадратный корень из произведения, дроби, степени, строить график функции у = х и находить значения этой функции по графику
или по формуле; выносить множитель из-под знака корня, вносить множитель под знак корня; выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные
корни.
3. Квадратные уравнения (23/22 ч) (21ч.)
Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений. Решение задач,
приводящих к квадратным и рациональным уравнениям.
Цель – выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять из к решению задач.
Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного
уравнения, терему Виета и обратную ей.
Уметь решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, решать квадратные уравнения по формуле, решать неполные квадратные уравнения,
решать квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета, использовать теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена
квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений.
Знать какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение – это математический
аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.
Уметь решать дробно-рациональные уравнения, решать уравнения графическим способом, решать текстовые задачи с помощью дробно-рациональных
уравнений.
4. Неравенства (19/18 ч) ( 16 ч.)
Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке
значения выражения. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.
Цель – выработать умения решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.
Знать определение числового неравенства с одной переменной, что называется решением неравенства с одной переменной, что значит решить неравенство,
свойства числовых неравенств, понимать формулировку задачи «решить неравенство».
Уметь записывать и читать числовые промежутки, изображать их на числовой прямой, решать линейные неравенства с одной переменной, решать системы
неравенств с одной переменной.
Уметь применять свойства неравенства при решении неравенств и их систем.
5. Степень с целым показателем (10/7 ч) ( 6ч.)
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартный вид числа. Запись приближенных значений. Действия над приближенными
значениями.
Цель – сформировать умение выполнять действия над степенями с целыми показателями, ввести понятие стандартного вида числа.
Знать определение степени с целым и целым отрицательным показателем; свойства степени с целым показателями.
Уметь выполнять действия со степенями с натуральным и целым показателями; записывать числа в стандартном виде, записывать приближенные значения
чисел, выполнять
действия над приближенными значениями.
6. Элементы статистики и теории вероятностей (12-16 ч) (12 ч.)
Сбор и группировка статистических данных. Наглядное представление статистической информации
7. Повторение. Решение задач (28/29 ч) (28 ч.)
Закрепление знаний, умений и навыков, полученных на уроках по данным темам (курс алгебры 8 класса).
Учебно-методический комплект
Учебники:
Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н, Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. – 18-е изд. –
М.: Просвещение, 2010. – 238 с.: ил.
Дополнительная литература:
1. Уроки алгебры в 7 классе. / В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева. Пособие для учителей. / М.: Вербум – М, 2000. – 96 с.
2. Дидактические материалы по алгебре.7,8,9 класс. / А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова. / М: Илекса, 2002г. – 143с.
Тематическое планирование
АЛГЕБРА 8 КЛАСС
Учебник «Алгебра 8» автор Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк , К.И.Нешков, С.Б.Суворова, М.Просвещение, 2010г.
4ч в неделю, всего 136.
Тип урока
УОНМ – урок ознакомления с новым материалом
УЗИМ – урок закрепления изученного материала
УПЗУ – урок применения знаний и умений
КУ – комбинированный урок
УКЗУ – урок контроля знаний и умений
УОСЗ – урок обобщения и систематизации знаний
Тема урока
Ко
лво
ча
сов
Тип
урока
Форма контроля
МД – математический диктант
СР – самостоятельная работа
ФО – фронтальный опрос
ПР – практическая работа
ДМ – дидактический материал
КР – контрольная работа
Элементы содержания
Требования к уровню подготовки
учащихся
Корни уравнения, свойства
уравнения.
Функции у=kх+в, y = x 2 и их
Умеют решать линейное уравнение,
находить хорни.
Умеют описывать свойства графиков,
их строить, читать графики, находить
точки пересечения параболы с
графиком линейной функции.
Знают основные свойства степени с
натуральным показателем, умеют
применять свойства при решении задач.
ПОВТОРЕНИЕ. 6 часов
1
Линейное уравнение с
одной переменной.
1
КУ
2
Линейная функция и ее
график. Функция у=х2 и
её график.
1
УОСЗ
Степень с натуральным
показателем. Одночлен.
1
4
Многочлены и действия
над ними.
графики.
1
УОСЗ
КУ
Свойства степени с
натуральным показателем,
действия с степенями
одинакового показателя.
Общий вид многочлена,
сложение, вычитание и
Умеют выполнять действия с
многочленами.
Дом.
задание
Дата
проведения
2.9
3.09
5.09
6.9
9.9
умножение многочленов.
5
Формулы сокращенного
умножения. Разложение
на множители.
6
Самостоятельная работа
по теме: «Входящий
контроль».
7
8
9
10
11
12
13
УОСЗ
1
квадрат суммы, квадрат
разности, разность
квадратов, разность кубов,
сумма кубов, разложение
на множители по
формулам сокращенного
умножения.
Умеют выполнять преобразования
многочленов, применяя формулы
сокращенного умножения: квадрат
суммы и разности, разность квадратов,
куб суммы и разности, сумма и
разность кубов.
УПЗУ
12.09
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА.
23часа
Рациональные
1
УОНМ Алгебраическая дробь,
выражения.
числитель дроби, знаменатель
Рациональные
1
УЗИМ дроби, область допустимых
значений
выражения.
Рациональные
1
УПЗУ
выражения.
Основное свойство
дроби. Сокращение
дробей.
Основное свойство
дроби. Сокращение
дробей.
Основное свойство
дроби. Сокращение
дробей.
1
УОНМ
1
УЗИМ
1
УПЗУ
Сложение и вычитание
дробей с одинаковыми
знаменателями.
1
КУ
10.09
Основное свойство
алгебраической дроби,
сокращение дробей,
приведение алгебраических
дробей к общему
знаменателю
Алгебраическая дробь,
алгоритм
сложения
Иметь представление о числителе,
знаменателе алгебраической дроби,
значении алгебраической дроби и о
значении переменной, при которой
алгебраическая дробь не имеет смысла
Уметь:
– распознавать алгебраические дроби;
– находить множество допустимых
значений переменной алгебраической
дроби;
– дать оценку информации, фактам,
процессам, определять их актуальность
Иметь представление об основном
свойстве алгебраической дроби, о
действиях: сокращение дробей, приведение
дроби к общему знаменателю.
Уметь:
– применять основное свойство дроби при
преобразовании алгебраических дробей и
их сокращении;
– находить значение дроби при заданном
значении переменной
Иметь представление о сложении
и вычитании дробей с одинаковыми
знаменателями.
13.09
19.09
17.09
19.09
20.09
23.09
24.09
14
Сложение и вычитание
дробей с одинаковыми
знаменателями.
1
УЗИМ
(вычитания) алгебраических
дробей
с одинаковыми
знаменателями
15
Сложение и вычитание
дробей с разными
знаменателями.
Сложение и вычитание
дробей с разными
знаменателями.
Сложение и вычитание
дробей с разными
знаменателями.
1
УОСЗ
1
КУ
1
УОСЗ
Упрощение выражений,
сложение и вычитание
алгебраических дробей с
разными знаменателями,
наименьший общий
знаменатель, правило
приведения алгебраических
дробей к общему
знаменателю,
дополнительный множитель,
допустимые значения
переменных
1
КЗУ
3.10
1
КУ
4.10
1
УОНМ
1
КУ
22
Контрольная работа №1
по теме: «Сложение и
вычитание дробей с
разными
знаменателями».
Анализ контрольной
работы.
Умножение дробей.
Возведение дроби в
степень.
Умножение дробей.
Возведение дроби в
степень.
Деление дробей.
1
УОНМ
23
Деление дробей.
1
УЗИМ
16
17
18
19
20
21
Умножение
и деление алгебраических
дробей, возведение
алгебраических дробей в
степень, преобразование
выражений, содержащих
алгебраические дроби
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями.
Уметь:
– складывать и вычитать дроби с
одинаковыми знаменателями;
– находить общий знаменатель нескольких
дробей;
- использовать для решения
познавательных задач справочную
литературу
Иметь представление о наименьшем
общем знаменателе, о дополнительном
множителе, о выполнении действия
сложения и вычитания дробей с разными
знаменателями
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с разными знаменателями.
Уметь:
– находить общий знаменатель нескольких
дробей;
– добывать информацию по заданной теме
в источниках различного типа
Иметь представление об умножении и
делении алгебраических дробей,
возведении их в степень.
Уметь:
– пользоваться алгоритмами умножения и
деления дробей, возведения дроби в
степень, упрощая выражения;
– развернуто обосновывать суждения
26.09
28.09
30.09
1.10
14.10
15.10
17.10
18.10
Преобразование
рациональных
выражений.
Преобразование
рациональных
выражений.
1
КУ
1
УПЗУ
26
Функция и ее график.
1
УОНМ
27
Функция и ее график.
1
КУ
28
Контрольная работа №2
1
по теме:
«Преобразование
рациональных
выражений».
Анализ контрольной
1
работы.
Квадратные корни. 20 часов
24
25
29
30
31
32
33
Преобразование
рациональных выражений,
рациональные выражения,
доказательство тождества
Понятие функции, свойства
функции. Построение
графика.
Иметь представление о преобразовании
рациональных выражений, используя все
действия с алгебраическими дробями.
Уметь найти и устранить причины
возникших трудностей
Знать, как преобразовывают рациональные
выражения, используя все действия с
алгебраическими дробями.
Знать понятие функции, свойства
функции.
Уметь строить графики функции, читать
графики, распознавать их, находить
значения переменной используя график
функции.
21.10
22.10
24.10
25.10
КЗУ
28.10
КУ
29.10
Рациональные и
иррациональные числа.
Рациональные и
иррациональные числа.
1
УОНМ
1
УЗИМ
Квадратные корни.
Арифметический
квадратный корень.
Квадратные корни.
Арифметический
квадратный корень.
1
КУ
1
УПЗУ
Множество рациональных
чисел, знак принадлежности,
знак включения, символы
математического языка,
бесконечные десятичные
периодические дроби, период,
чисто периодическая дробь,
смешанно периодическая
дробь
Квадратный корень,
квадратный корень из
неотрицательного числа,
подкоренное выражение,
извлечение квадратного
корня, иррациональные
Знать понятие рациональные числа,
бесконечная десятичная периодическая
дробь.
Уметь определять понятия, приводить
доказательства
31.10
Знать действительные и иррациональные
числа.
Уметь:
– извлекать квадратные корни из
неотрицательного числа;
– вступать в речевое общение, участвовать
4.11
1.11
5.11
34
Уравнение х2=а.
1
УПЗУ
35
Нахождение
приближенных
значений квадратного
корня.
1
КУ
1
УОНМ
36
37
38
39
40
41
42
43
Функция у=
график.
и ее
Функция у=
график.
и ее
Квадратный корень из
произведения, дроби,
степени.
Квадратный корень из
произведения, дроби,
степени.
Квадратный корень из
произведения, дроби,
степени.
Контрольная работа
№3 по теме:
«Квадратный корень из
произведения, дроби,
степени».
Анализ контрольной
работы.
Вынесение множителя
из-под знака корня.
Внесение множителя
под знак корня.
1
УЗИМ
числа, кубический корень из
неотрицательного числа,
корень n-й степени из
неотрицательного числа
Квадратное уравнение, корни
уравнния.
Квадратный корень,
нахождение приближенного
значения квадратного корня
Функция
y = x , график функции
y = x , свойства функции
y = x , функция, выпуклая
вверх, функция, выпуклая
вниз
Квадратный корень из
произведения, квадратный
корень из дроби,
вычисление корней
в диалоге
Уметь решать уравнение х2=а.
Знать как найти корни уравнения х2=а,
или доказать что их них.
Уметь находить приближённые значения
квадратного корня.
Знать
7.11
Уметь:
11.11
– строить график функции y = x ,
знать её свойства;
– привести примеры, подобрать аргументы,
сформулировать выводы
12.11
1
КУ
1
УОСЗ
1
КУ
1
КЗУ
25.11
1
КУ
26.11
1
УОНМ
Вынесение множителя из под
знака корня. Внесение
множителя под знак корня
Знать свойства квадратных корней.
Уметь:
– применять свойства квадратных корней
для упрощения выражений и вычисления
корней;
– формировать вопросы, задачи, создавать
проблемную ситуацию
8.11
Знать свойства квадратного корня.
Уметь представлять произведение в виде
множителей точного квадрата числа,
выносить и вносить множитель из и под
14.11
15.11
15.11
28.11
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Вынесение множителя
из-под знака корня.
Внесение множителя
под знак корня.
Преобразование
выражений,
содержащих квадратные
корни.
Преобразование
выражений,
содержащих квадратные
корни.
Преобразование
выражений,
содержащих квадратные
корни.
1
УЗИМ
1
КУ
1
УПЗУ
1
УОСЗ
Контрольная работа
1
№4 по теме:
«Преобразование
выражений,
содержащих квадратные
корни».
Анализ контрольной
1
работы.
Квадратные уравнения. 21 час
Определение
квадратного уравнения.
Неполные квадратные
уравнения.
Определение
квадратного уравнения.
Неполные квадратные
уравнения.
Решение квадратных
уравнений выделением
квадрата двучлена.
Преобразование выражений,
содержащих операцию
извлечения квадратного
корня, освобождение от
иррациональности в
знаменателе
знак корня.
29.11
Иметь представление о преобразовании
выражений, об операциях извлечения
квадратного корня и освобождении от
иррациональности в знаменателе
Знать о преобразовании выражений, об
операциях извлечения квадратного корня и
освобождение от иррациональности в
знаменателе.
Уметь:
– выполнять преобразования, содержащие
операцию извлечения корня,
освобождаться от иррациональности в
знаменателе;
- развернуто обосновывать суждения
2.12
КЗУ
3.12
5.12
6.12
КУ
9.12
1
УОНМ
1
УЗИМ
1
УПЗУ
Квадратное уравнение,
старший коэффициент,
второй коэффициент,
свободный член, приведенное
квадратное уравнение, полное
квадратное уравнение,
неполное квадратное
уравнение, корень
квадратного уравнения,
решение квадратного
уравнения
Иметь представление о полном и
неполном квадратном уравнении, о
решении неполного квадратного
уравнения.
Уметь решать неполные квадратные
уравнения и полные квадратные уравнения,
разложив его левую часть на множители
10.12
12.12
13.12
53
Решение квадратных
уравнений по формуле.
1
КУ
54
Решение квадратных
уравнений по формуле.
1
КУ
55
1
УОНМ
1
УЗИМ
57
Решение задач с
помощью квадратных
уравнений.
Решение задач с
помощью квадратных
уравнений.
Теорема Виета.
1
КУ
58
Теорема Виета.
1
УПЗУ
59
Контрольная работа №5
по теме: «Решение
квадратных уравнений
по формуле».
Анализ контрольной
работы.
Решение дробных
рациональных
уравнений.
Решение дробных
рациональных
уравнений.
Решение дробных
рациональных
уравнений.
1
КЗУ
26.12
1
КУ
27.12
1
УОНМ
1
УПЗУ
1
КУ
56
60
61
62
63
Дискриминант квадратного
уравнения, формулы корней
квадратного уравнения,
правило решения квадратного
уравнения
Составление уравнения по
условию задачи и его
решение.
Теорема Виета, обратная
теорема Виета,
симметрическое выражение с
двумя переменными
Рациональные уравнения,
алгоритм решения
рационального уравнения,
проверка корней уравнения,
посторонние корни
Иметь представление о дискриминанте
квадратного уравнения, формулах корней
квадратного уравнения, об алгоритме
решения квадратного уравнения.
Уметь:
– решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного уравнения
через дискриминант;
– передавать информацию сжато, полно,
выборочно
Уметь составлять квадратное уравнение
по условию задачи.
Знать решение задач с помощью
квадратного уравнения.
16.12
Иметь представление о теореме Виета и об
обратной теореме Виета, о симметрических
выражениях с двумя переменными.
Уметь:
– применять теорему Виета и обратную
теорему Виета, решая квадратные
уравнения;
– находить и использовать информацию
23.12
Иметь представление о рациональных
уравнениях и об их решении.
Знать алгоритм решения рациональных
уравнений.
Уметь:
– решать рациональные уравнения по
заданному алгоритму и методом введения
новой переменной;
17.12
19.12
20.12
24.12
30.12
9.01
10.01
64
65
66
67
68
69
70
Решение задач с
помощью рацион-х
уравнений.
Решение задач с
помощью рацион-х
уравнений.
Решение задач с
помощью рацион-х
уравнений.
Графический способ
решения уравнений.
Графический способ
решения уравнений.
Контрольная работа №6
по теме: «Решение
дробных рациональных
уравнений».
Анализ контрольной
работы.
Рациональные уравнения,
математическая модель
реальной ситуации, решение
задач на составление
уравнений
– формировать вопросы, задачи, создавать
проблемную ситуацию
Уметь:
– решать задачи на числа, на движение по
дороге, на движение по воде, выделяя
основные этапы математического
моделирования;
– самостоятельно искать и отбирать
необходимую для решения учебных задач
информацию
1
УОНМ
1
УЗИМ
1
УОСЗ
1
КУ
17.01
1
УЗИМ
20.01
1
КЗУ
21.01
1
КУ
23.01
1
УОНМ
1
УЗИМ
1
УПЗУ
1
КУ
1
УОСЗ
1
КУ
13.01
14.01
16.01
Неравенства. 16 часов
71
72
73
74
75
76
Числовые неравенства.
Свойства числовых
неравенств.
Числовые неравенства.
Свойства числовых
неравенств.
Числовые неравенства.
Свойства числовых
неравенств.
Сложение и умножение
числовых неравенств.
Сложение и умножение
числовых неравенств.
Числовые промежутки.
Числовое
неравенство, свойства
числовых неравенств,
неравенства одинакового
смысла, неравенства
противоположного смысла,
среднее арифметическое,
среднее геометрическое,
неравенство Коши
Понятие числового
промежутка, изображение
Знать свойства числовых неравенств.
Иметь представление о неравенстве
одинакового смысла, противоположного
смысла, о среднем арифметическом и
геометрическом, о неравенстве Коши.
Уметь:
– применять свойства числовых неравенств
и неравенство Коши при доказательстве
числовых неравенств;
– формировать вопросы, задачи, создавать
проблемную ситуацию
24.01
Знать как изобразить числовой
промежуток на прямой, как его записать.
3.02
27.01
28.01
30.01
31.01
77
Числовые промежутки.
78
УЗИМ
числового промежутка на
числовой прямой.
Уметь читать числовой промежуток.
4.02
Решение неравенств с
1
одной переменной.
Решение неравенств с
1
одной переменной.
Решение неравенств с
1
одной переменной.
Решение систем нерав-в
1
с одной переменной.
Решение систем нерав-в
1
с одной переменной.
Решение систем нерав-в
1
с одной переменной.
Решение неравенств с
1
одной переменной.
Контрольная работа №7
1
по теме: «Решение
систем неравенств с
одной переменной».
Анализ контрольной
1
работы.
Степень с целым показателем.
УОНМ
Неравенство
с переменной, решение
неравенства с переменной,
множество решений, система
линейных неравенств,
пересечение решений
неравенств системы
Иметь представление о неравенстве
с переменной, о системе линейных
неравенств, пересечении решений
неравенств системы.
Уметь:
– решать неравенства с переменной и
системы неравенств с переменной;
– излагать информацию, интерпретируя
факты, разъясняя значение и смысл теории
6.02
1
УОНМ
1
УЗИМ
1
УПЗУ
4.03
1
КУ
6.03
91
Определение степени с
целым отрицательным
показателем.
Определение степени с
целым отрицательным
показателем.
Свойства степени с
целым показателем.
Свойства степени с
целым показателем.
Стандартный вид числа.
1
КУ
7.03
92
Стандартный вид числа.
1
УОСЗ
10.03
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
1
УПЗУ
КУ
УЗИМ
УПЗУ
7.02
10.02
11.02
13.02
УОСЗ
14.02
УОСЗ
17.02
КЗУ
24.02
КУ
25.02
12 часов
27.02
Степень с целым показателем
и е свойства. Стандартный
вид числа. Запись
приближённого значения.
Знать свойства степени с отрицательным
показателем, стандартный вид числа.
Уметь выполнять действия над степенями с
целым показателем. Записывать число в
стандартном виде.
28.02
3.03
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
Элементы статистики и теории вероятностей. 12часа
Сбор и группировка
1
УОНМ
статистических данных.
Сбор и группировка
статистических данных
Сбор и группировка
статистических данных.
Сбор и группировка
статистических данных.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
представление
статистической
информации.
Наглядное
1
1
13.03
УЗИМ
1
1
11.03
14.03
17.03
КУ
18.03
1
20.03
1
21.03
1
УОСЗ
24.03
1
25.03
1
27.03
1
28.03
1
31.03
105
представление
статистической
информации.
Контрольная работа№9
1
1.04
Обобщающее итоговое повторение курса алгебры 8 класса. 28 часов
105
Квадратные корни
1
106
Квадратные корни
1
107
Квадратные корни
1
УПЗУ
108
Квадратные кони
1
УЗИМ
109
Квадратные корни
.
1
КЗУ
110
Квадратные
уравнения
1
КУ
111
Квадратные
уравнения
1
КУ
112
Квадратные
уравнения
1
113
Квадратные
уравнения
1
УЗИМ
Формулы корней
квадратного уравнения,
теорема Виета, разложение
квадратного трехчлена на
множители.
Формулы корней
квадратного уравнения,
теорема Виета, разложение
квадратного трехчлена на
множители.
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
3.04
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
4.04
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
7.04
14.04
15.04
.
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант..
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
Могут решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного
уравнения через дискриминант.
17.04
18.04
21.04
22.04
114
Квадратные
уравнения
1
115
Неравенства
1
116
117
118
Неравенства
Неравенства
Степень с целым
показателем.
Неравенства
Неравенства
Неравенства
Степень с целым
показателем.
Степень с целым
показателем.
Степень с целым
показателем.
Степень с целым
показателем.
Степень с целым
показателем.
Решение задач
1
1
1
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
Решение задач
Решение задач
131
132
133
134
135
136
.Анализ к/рПовторение
Итоговая контрольная
работа №10
Повторение
Повторение
Итоговое повторение
Итоговое повторение
Итоговое занятие.
24.04
Решение линейных
неравенств, систем
линейных неравенств
Свойства степеней с целым
показателем.
Имеют представление о решении
линейных неравенств с одной
переменной и систем линейных
неравенств с одной переменной.
Применение свойств степеней с целым
показателем.
25.04
28.04
29.04
5.05
1
1
1
1
6.05
8.05
12.05
13.05
1
15.05
1
16.05
1
19.05
20.05
Закрепить умения решать текстовые
задачи
Проверка знаний учащихся по курсу
алгебры 8 класса
22.05
23.05
26.05
27.05
29.05
30.05
Коррекция знаний учащихся
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
1. Сократить дробь:
а)
14a 4b
49a 3b 2
;
б)
3x
2
x + 4x ;
в)
y2 − z2
2 y + 2z .
в)
5
5c − 2
− 2
c + 3 c + 3c .
2. Представить в виде дроби:
а)
3x − 1 x − 9
+
3x ;
x2
б)
1
1
−
2a − b 2a + b ;
3. Найти значение выражения:
a2 − b
−a
a
при а = 0,2; b = –5.
4. Упростить выражение:
3
x + 15 2
− 2
−
x −3 x −9 x .
5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения
( a + 1) 2 − 6a + 4
a
?
Вариант 2
1. Сократить дробь:
а)
39 x3 y
26 x 2 y 2
;
б)
5y
y2 − 2 y ;
в)
3a − 3b
a 2 − b2 .
в)
4 − 3b
3
+
b 2 − 2b b − 2 .
2. Представить в виде дроби:
а)
3 − 2a 1 − a 2
− 2
2a
a
;
б)
3. Найти значение выражения:
1
1
−
3x + y 3x − y ;
x − 6 y2
+ 3y
2y
при х = –8, у = 0,1.
4. Упростить выражение:
2
x+8 1
− 2
−
x − 4 x − 16 x .
5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения
(b − 2) 2 + 8b + 1
b
?
Вариант 3
1. Сократить дробь:
а)
22 p 4 q 2
99 p 5 q
;
б)
7a
a 2 + 5a ;
в)
x2 − y y
4x + 4 y .
в)
7
7a − 3
− 2
a + 5 a + 5a .
2. Представить в виде дроби:
а)
y − 20 5 y − 2
+
4y
y2 ;
б)
1
1
−
5c − d 5c + d
;
3. Найти значение выражения:
14b 2 − c
− 2b
7b
при b = 0,5; c = –14.
4. Упростить выражение:
5
2
3x
21
− − 2
+
x − 7 x x − 49 49 − x 2
.
5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения
(2 p + 1) 2 − 3 p + 2
p
?
Вариант 4
1. Сократить дробь:
а)
75b5 c3
50b 4 c 4
;
б)
2b
b 2 − 9b ;
в)
7x − 7 y
x2 − y 2 .
в)
5 − 4y
4
+
2
y − 6y y − 6 .
2. Представить в виде дроби:
а)
3b + 7 b 2 − 5
− 2
3b
b ;
б)
1
1
−
4p + q 4p −q ;
3. Найти значение выражения:
12 p 2 − q
− 3p
4p
при р = –0,35, q = 28.
4. Упростить выражение:
4
2
2y
10
−
+
− 2
2
y y − 5 25 − y
y − 25 .
5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения
(3x − 1) 2 − 6 x + 6
x
?
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. а)
в)
3x
3x
3
14a 4b 2a
=
=
=
2
x + 4 x x( x + 4) x + 4 ;
49a 3b 2 7b ;
б)
y 2 − z 2 ( y − z )( y + z ) y − z
=
=
2 y + 2z
2( y + z )
2 .
3 x − 1 x − 9 3(3 x − 1) + x( x − 9) 9 x − 3 + x 2 − 9 x x 2 − 3
+
=
=
=
2
2
2
3
x
x
3
x
3
x
3x 2 ;
2. а)
1
1
2 a + b − 2a + b
2b
−
=
= 2
2a − b 2a + b (2a − b)(2a + b) 4a − b 2 ;
б)
5
5c − 2
5
5c − 2 5c − 5c + 2
2
− 2
=
−
=
= 2
c + 3 c + 3c c + 3 c(c + 3)
c (c + 3)
c + 3c .
в)
a2 − b
a 2 − b − a 2 −b
−a=
=
a
a
a ,
3.
−b
5
=
a 0, 2 = 25.
при а = 0,2, b = –5:
4.
3
x + 15 2
3
x + 15
2
− 2
− =
−
− =
x − 3 x − 9 x x − 3 ( x − 3)( x + 3) x
3x( x + 3) − x( x + 15) − 2( x 2 − 9) 3 x 2 + 9 x − x 2 − 15 x − 2 x 2 + 18
=
=
=
x ( x − 3)( x + 3)
x ( x − 3)( x + 3)
18 − 6 x
6( x − 3)
6
6
=
=−
=−
=− 2
x( x − 3)( x + 3)
x( x − 3)( x + 3)
x ( x + 3)
x + 3x .
(a + 1) 2 − 6a + 4 a 2 + 2a + 1 − 6a + 4 a 2 − 4a + 5
5
=
=
=a−4+
a
a
a
a.
5.
5
Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы a было целым числом.
О т в е т: ±1; ±5.
Вариант 2
1. а)
в)
39 x3 y 3 x
5y
5y
5
=
=
=
26 x 2 y 2 2 y ;
y 2 − 2 y y ( y − 2) y − 2 ;
б)
3a − 3b
3( a − b)
3
=
=
2
2
( a − b)(a + b) a + b .
a −b
3 − 2a 1 − a 2 a (3 − 2a) − 2(1 − a 2 )
− 2 =
=
2
2
a
a
2
a
2. а)
3a − 2a 2 − 2 + 2a 2 3a − 2
=
=
2a 2
2a 2 ;
1
1
3x − y − 3x − y
−2 y
2y
−
=
= 2
=
3 x + y 3x − y (3x + y )(3 x − y ) 9 x − y 2 y 2 − 9 x 2 ;
б)
4 − 3b
3
4 − 3b
3
4 − 3b + 3b
4
+
=
+
=
= 2
2
b(b − 2)
b − 2b b − 2 b (b − 2) b − 2
b − 2b .
в)
x − 6 y2
x − 6 y2 + 6 y2
x
+ 3y =
=
2y
2y
2y ,
3.
x
−8
=
2 y 0, 2 = –40.
при х = –8, у = 0,1:
2
x+8 1
2
x+8
1
− 2
− =
−
− =
x − 4 x − 16 x x − 4 ( x − 4)( x + 4) x
4.
2 x( x + 4) − x( x + 8) − ( x + 4)( x − 4)
=
=
x( x + 4)( x − 4)
2 x 2 + 8 x − x 2 − 8 x − x 2 + 16
16
=
= 3
x( x + 4)( x − 4)
x − 16 x .
5.
(b − 2) 2 + 8b + 1 b 2 − 4b + 4 + 8b + 1 b 2 + 4b + 5
5
=
=
=b+4+
b
b
b
b.
О т в е т: ±1; ±5.
Вариант 3
1. а)
22 p 4 q 2 2q
=
99 p 5 q 9 p ;
2. а)
б)
x −y
( x − y )( x + y ) x − y
=
=
4x + 4 y
4( x + y )
4 .
2
в)
7a
7a
7
=
=
a + 5a a (a + 5) a + 5 ;
2
y
y − 20 5 y − 2 y ( y − 20) + 4(5 y − 2)
+
=
=
4y
y2
4 y2
y 2 − 20 y + 20 y − 8 y 2 − 8
=
=
4 y2
4 y2 ;
1
1
5c + d − 5c + d
2d
−
=
=
5c − d 5c + d (5c − d )(5c + d ) 25c 2 − d 2
б)
в)
;
7
7a − 3
7
7a − 3 7a − 7 a + 3
3
− 2
=
−
=
= 2
a + 5 a + 5a a + 5 a (a + 5)
a (a + 5)
a + 5a .
14b 2 − c
14b 2 − c − 14b 2
c
− 2b =
=−
7b
7b
7b ,
3.
c 14
− =
7b 3,5 = 4.
при b = 0,5; c = –14:
4.
5
2
3x
21
5
2
3x
− − 2
+
=
−
−
−
x − 7 x x − 49 49 − x 2 x − 7 x ( x − 7)( x + 7)
21
5 x( x + 7) − 2( x 2 − 49) − 3 x 2 − 21x
−
=
=
( x − 7)( x + 7)
x( x − 7)( x + 7)
5 x 2 + 35 x − 2 x 2 + 98 − 3 x 2 − 21x
14 x + 98
=
=
=
x( x − 7)( x + 7)
x( x − 7)( x + 7)
14( x + 7)
14
=
= 2
x( x − 7)( x + 7) x − 7 x .
5.
(2 p + 1) 2 − 3 p + 2 4 p 2 + 4 p + 1 − 3 p + 2
=
=
p
p
4 p2 + p + 3
3
=
= 4 p +1+
p
p.
О т в е т: ±1; ±3.
Вариант 4
1. а)
в)
2b
2b
2
75b5 c 3 3b
=
=
=
2
b − 9b b(b − 9) b − 9 ;
50b 4 c 4 2c ;
б)
7x − 7 y
7( x − y )
7
=
=
2
2
( x − y )( x + y ) x + y .
x −y
3b + 7 b 2 − 5 b(3b + 7) − 3(b 2 − 5)
− 2 =
=
3b
b
3b 2
2. а)
3b 2 + 7b − 3b 2 + 15 7b + 15
=
=
3b 2
3b 2 ;
1
1
4p −q −4p −q
−2q
2q
−
=
=
= 2
2
2
4 p + q 4 p − q (4 p + q )(4 p − q ) 16 p − q
q − 16 p 2
б)
;
в)
5 − 4y
4
5 − 4y
4
5 − 4y + 4y
5
+
=
+
=
= 2
2
y ( y − 6)
y − 6 y y − 6 y ( y − 6) y − 6
y − 6y .
12 p 2 − q
12 p 2 − q − 12 p 2
q
− 3p =
=−
4p
4p
4p ,
3.
q
28
−
=
4 p 1,4 = 20.
при р = –0,35, q = 28:
4.
4
2
2y
10
4
2
2y
−
+
− 2
= −
−
−
2
y y − 5 25 − y
y − 25 y y − 5 ( y − 5)( y + 5)
10
4( y 2 − 25) − 2 y ( y + 5) − 2 y 2 − 10 y
−
=
=
( y − 5)( y + 5)
y ( y − 5)( y + 5)
4 y 2 − 100 − 2 y 2 − 10 y − 2 y 2 − 10 y
−20 y − 100
=
=
=
y ( y − 5)( y + 5)
y ( y − 5)( y + 5)
20( y + 5)
20
20
20
=−
=−
=
=
y ( y − 5)( y + 5)
y ( y − 5) y (5 − y ) 5 y − y 2 .
5.
(3x − 1) 2 − 6 x + 6 9 x 2 + 6 x + 1 − 6 x + 6 9 x 2 + 7
7
=
=
= 9x +
x
x
x
x.
О т в е т: ±1; ±7.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1. Представьте в виде дроби:
42 x 5
y2
·
4
y
14 x5 ;
а)
63a 3b
: (18a 2 b)
б) c
;
p−q  p
p
·
+ ÷
p
 p − q q .
г)
6
2. Постройте график функции y = x . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает
4 a 2 − 1 6a + 3
:
2
a+3 ;
в) a − 9
отрицательные значения?
1
1 
2

(b − 1) 2 ·  2
+ 2
÷+
 b − 2b + 1 b − 1  b + 1 не зависит от b.
3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения
15a
21
3+
4a − 6 ?
4. При каких значениях а имеет смысл выражение
Вариант 2
1. Представьте в виде дроби:
2a
· 17 x 7 y
6
а) 51x y
;
5 x + 10 x 2 − 1
· 2
x
−
1
x −4;
в)
24b 2 c 16bc
: 5
6
a ;
б) 3a
y+c  c
c 
· −
÷
c
y
y
+
c

.
г)
2. Постройте график функции y =
положительные значения?
−
6
x . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает
x
( x − 2) 2  1
1

−
· 2
+ 2
÷
2
 x − 4 x − 4 x + 4  не зависит от х.
3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения x + 2
5b
4
2−
3 − 2b ?
4. При каких значениях b имеет смысл выражение
Вариант 3
1. Представьте в виде дроби:
28b 6
c5
·
3
84b6 ;
а) c
3x + 6 x 2 − 9
· 2
x −4;
в) x + 3
72 xy
z ;
б)
2a − b  a
a
·
+ ÷
 2a − b b  .
г) a
30 x 2 y :
4
2. Постройте график функции y = x . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает
положительные значения?

2y
2
1 
+ ( y − 3) 2 · 
+
÷
2
y+3
9 − y 2  не зависит от у.
 9 − 6y + y
3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения
3x
6
1−
10 − 5 x ?
4. При каких значениях х имеет смысл выражение
Вариант 4
1. Представьте в виде дроби:
14 p 4
q5
·
6
q
56 p 4 ;
а)
3a − 9 a 2 − 9
: 2
в) a + 2 a − 4 ;
c2
45a b ·
30a 4b ;
б)
3x + y  y
3y 
· −
÷
y
x
3
x
+
y

.
г)
3
2. Постройте график функции y =
отрицательные значения?
−
4
x . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает
2
1
3a
 3
 (5 − a)
+
·
+

÷
2
2
a + 5 не зависит от а.
a 2 − 10a + 25 
3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения  25 − a
5y
7
2−
6 + 2y ?
4. При каких значениях у имеет смысл выражение
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Вариант 1
1. Вычислите:
0,5 0,04 +
1
144
6
;
9
2 1
16 – 1;
б)
2
в) (2 0,5) .
а)
2. Найдите значение выражения:
а) 0, 25 · 64 ;
б) 56 · 14 ;
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,49;
4. Упростите выражение:
2
2
а) x 9 x , где х ≥ 0;
б)
−5b 2
8
2;
в)
б) х2 = 10.
г)
34 · 26 .
4
b 2 , где b < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число 17 .
6. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение
8
a −4?
Вариант 2
1. Вычислите:
1
196 + 1,5 0,36
а) 2
;
1,5 − 7
б)
2. Найдите значение выражения:
а) y
2
4 y , где у ≥ 0;
7a
б)
2
в) (2 1,5) .
27
3 ;
а) 0,36 · 25 ;
б) 8 · 18 ;
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,64;
4. Упростите выражение:
3
25
49 ;
в)
б) х2 = 17.
г)
2 4 · 52 .
16
a 2 , где а < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение
2
x −5?
Вариант 3
1. Вычислите:
2−3
а) 0,8 225 − 0,5 1, 21 ;
б)
2. Найдите значение выражения:
25
36 ;
2
в) (0,5 20) .
38 .
75
3 ;
а) 9 · 1,44 ;
б) 150 · 24 ;
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,81;
4. Упростите выражение:
1 3
b 9b 2
а) 3
, где b ≤ 0;
2x 2
б)
в)
б) х2 = 46.
62 · 34 .
г)
49
x 2 , где х > 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение
28 .
10
x −2?
Вариант 4
1. Вычислите:
1
1
144 +
0,81
3
а) 6
;
2,1 + 1,3
б)
2. Найдите значение выражения:
а) 225 · 0,04 ;
б) 28 · 63 ;
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,09;
4. Упростите выражение:
1 2
x 49 x 6
а) 7
, где х ≥ 0;
−5 y 6
б)
81
169 ;
2
в) (0, 4 5) .
48
3 ;
в)
б) х2 = 92.
г)
26 · 7 2 .
1
81 y10 , где у < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число
56 .
6. При каких значениях переменной у имеет смысл выражение
2
y +3?
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1
1
144 = 0,5 · 0,2 + · 12
6
6
1. а)
= 0,1 + 2 = 2,1;
9
25
5
5
2 1 −1 = 2
−1 = 2 · −1 =
16
16
4
2 – 1 = 1,5;
б)
2
2
2
в) (2 0,5) = 2 · ( 0,5) = 4 · 0,5 = 2.
0,5 0,04 +
2. а)
0, 25 · 64 = 0, 25 · 64 = 0,5 · 8 = 4;
б)
56 · 14 = 56 · 14 = 4 · 14 · 14 = 4 · 14 2 = 2 · 14 = 28;
в)
8
8
=
= 4
2
2
= 2;
4
6
2 2
г) 3 · 2 = (3 ) ·
3. а) х2 = 0,49
х = ±0,7;
(23 ) 2 = 9 · 8 = 72.
б) х2 = 10
х = ± 10 .
x2 9x2 = x2 · 3 x
4. а)
.
Так как х ≥ 0, то | x | = x. Получим:
x 2 9 x 2 = x 2 · 3x = 3 x 3 .
−5b 2
4
2
2
=
−
5
b
·
b .
b2
б)
Так как b < 0, то | b | = –b. Получим:
−5b 2
4
2
= −5b 2 ·
= 10b
2
−b
b
.
5. 4,1 < 17 < 4,2.
6. Чтобы выражение
1) а ≥ 0;
8
a − 4 имело смысл, должны выполняться два условия:
2) a – 4 ≠ 0
a≠4
a ≠ 16.
О т в е т: а ≥ 0 и a ≠ 16.
Вариант 2
1
1
196 + 1,5 0,36 = · 14 + 1,5 · 0,6
2
1. а) 2
= 7 + 0,9 = 7,9;
25
5
1,5 − 7
= 1,5 − 7 ·
49
7 = 1,5 – 5 = –3,5;
б)
2
2
2
в) (2 1,5) = 2 · ( 1,5) = 4 · 1,5 = 6.
2. а)
б)
0,36 · 25 = 0,36 ·
25 = 0,6 · 5 = 3;
8 · 18 = 8 · 18 = 4 · 2 · 2 · 9 = 2 · 2 · 3 = 12;
27
27
=
= 9
3
3
= 3;
в)
4
2
2 2
г) 2 · 5 = (2 ) ·
3. а) х2 = 0,64
х = ±0,8;
52 = 4 · 5 = 20.
б) х2 = 17
х = ± 17 .
y3 4 y 2 = y3 · 2 y
4. а)
.
Так как у ≥ 0, то | y | = y. Получим:
y 3 4 y 2 = y 3 · 2y = 2 y 4 .
7a
16
4
= 7a ·
2
a .
a
б)
Так как а < 0, то | a | = –a. Получим:
7a
16
4
=
7
a
·
− a = –28.
a2
5. 6,1 <
38 < 6,2.
6. Чтобы выражение
1) х ≥ 0;
2
x − 5 имело смысл, должны выполняться два условия:
2) x – 5 ≠ 0
x≠5
х ≠ 25.
О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 25.
Вариант 3
1. а) 0,8 225 − 0,5 1, 21 = 0,8 · 15 − 0,5 · 1,1 = 12 – 0,55 = 11,45;
25
5
5
= 2−3 · = 2−
36
6
2 = –0,5;
б)
2
2
2
в) (0,5 20) = 0,5 · ( 20) = 0, 25 · 20 = 5.
2−3
9 · 1,44 = 9 · 1,44 = 3 · 1,2 = 3,6;
б) 150 · 24 = 150 · 24 = 25 · 6 · 6 · 4 = 5 · 6 · 2 = 60;
75
75
=
= 25
3
3
в)
= 5;
2. а)
2
4
2
г) 6 · 3 = 6 ·
3. а) х2 = 0,81
х = ±0,9;
(32 ) 2 = 6 · 9 = 54.
б) х2 = 46
х = ± 46 .
1 3
1
b 9b 2 = b 3 · 3 b = b 3 · b
3
4. а) 3
.
Так как b ≤ 0, то | b | = –b. Получим:
1 3
b 9b 2 = b3 · (−b) = −b 4
3
.
2x2
49
7
2
=
2
x
·
x .
x2
б)
Так как х > 0, то | x | = x. Получим:
2x2
49
7
= 2x2 ·
2
x = 14x.
x
5. 5,2 <
28 < 5,3.
6. Чтобы выражение
1) х ≥ 0;
10
x − 2 имело смысл, должны выполняться два условия:
2) x – 2 ≠ 0
x≠2
х ≠ 4.
О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 4.
Вариант 4
1
1
1
1
144 +
0,81 = · 12 + · 0,9
3
6
3
1. а) 6
= 2 + 0,3 = 2,3;
81
9
2,1 + 1,3
= 2,1 + 1,3 ·
169
13 = 2,1 + 0,9 = 3;
б)
2
2
2
в) (0, 4 5) = 0, 4 · ( 5) = 0,16 · 5 = 0,8.
225 · 0,04 = 225 · 0,04 = 15 · 0,2 = 3;
б) 28 · 63 = 28 · 63 = 4 · 7 · 7 · 9 = 2 · 7 · 3 = 42;
48
48
=
= 16
3
3
в)
= 4;
2. а)
6
2
3 2
г) 2 · 7 = (2 ) ·
3. а) х2 = 0,09
х = ±0,3;
7 2 = 8 · 7 = 56.
б) х2 = 92
х = ± 92 .
1 2
1
x 49 x 6 = x 2 · 7 x3 = x 2 · x3
7
4. а) 7
.
Так как х ≥ 0, то
x3 = x3
. Получим:
1 2
x 49 x 6 = x 2 · x 3 = x5
7
.
−5 y 6
б)
1
1
6
=
−
5
y
·
81 y10
9 y5
Так как у < 0, то
−5 y 6
y5 = − y5
.
. Получим:
1
1
5y
6
=
−
5
y
·
=
81 y10
−9 y 5 9 .
5. 7,4 <
56 < 7,5.
6. Чтобы выражение
1) у ≥ 0;
2
y + 3 имело смысл, должны выполняться два условия:
2) y + 3 ≠ 0
у – любое.
О т в е т: у ≥ 0.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Вариант 1
1. Упростите выражение:
а) 10 3 − 4 48 − 75 ;
б) (5 2 − 18) ·
2;
2
в) (3 − 2) .
7
1 1
20
7 и 2
.
2. Сравните:
3. Сократите дробь:
6+ 6
30 + 5 ;
9−a
б) 3 + a .
а)
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
1
а) 2 5 ;
б)
8
7 −1 .
1
1
−
5. Докажите, что значение выражения 2 3 + 1 2 3 − 1 есть число рациональное.
6. При каких значениях а дробь
a− 5
a − 5 принимает наибольшее значение?
Вариант 2
1. Упростите выражение:
а) 2 2 + 50 − 98 ;
б) (3 5 − 20) ·
5;
1
1
60 10
5.
2. Сравните: 2
и
3. Сократите дробь:
5− 5
а) 10 − 2 ;
b−4
б) b − 2 .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
2
в) ( 3 + 2) .
2
а) 3 7 ;
4
б) 11 + 3 .
1
1
+
5. Докажите, что значение выражения 1 − 3 5 1 + 3 5 есть число рациональное.
x −2
6. При каких значениях х дробь x − 4 принимает наибольшее значение?
Вариант 3
1. Упростите выражение:
а) 6 3 + 27 − 3 75 ;
б) ( 50 − 2 2) × 2 ;
1
1
12
45
2
3
2. Сравните:
и
.
3. Сократите дробь:
3 −3
5 − 15 ;
2
(2
−
3)
в)
.
a−2 a
б) 3 a − 6 .
а)
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
5
а) 3 10 ;
б)
8
6+ 2.
1
1
−
5. Докажите, что значение выражения 2 7 − 1 2 7 + 1 есть число рациональное.
6. При каких значениях х дробь
x− 7
x − 7 принимает наибольшее значение?
Вариант 4
1. Упростите выражение:
а) 5 2 + 2 32 − 98 ;
б) (4 3 + 27) ·
2
в) ( 5 − 3) .
3;
1
1
28
54
2
3
2. Сравните:
и
.
3. Сократите дробь:
10 + 5
а) 2 + 10 ;
x−3 x
б) 2 x − 6 .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
7
а) 2 21 ;
22
б) 13 − 2 .
1
5. Докажите, что значение выражения 3 + 15
+
1
3 − 15 есть число рациональное.
p −1
6. При каких значениях р дробь p − 1 принимает наибольшее значение?
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. а) 10 3 − 4 48 − 75 = 10 3 − 4 16 · 3 − 25 · 3 =
= 10 3 − 16 3 − 5 3 = −11 3 ;
б) (5 2 − 18) · 2 = 5 2 · 2 − 18 · 2 = 5 · 2 − 36 =
= 10 – 6 = 4;
2
2
2
в) (3 − 2) = 3 − 2 · 3 · 2 + ( 2) = 9 − 6 2 + 2 = 11 − 6 2 .
1
1
= 49 · = 7
7
7
2.
;
1
1
20 =
· 20 = 5
2
4
.
7
Так как
7 > 5 , то
7
1 1
>
20
7 2
.
6+ 6
6 ( 6 + 1)
6
6
=
=
=
= 1, 2
5
30
+
5
5
(
6
+
1)
5
3. а)
;
9−a
(3 − a ) (3 + a )
=
= 3− a
3
+
a
3
+
a
б)
.
1
5
5
=
4. а) 2 5 2 5 · 5 10 ;
8
8( 7 + 1)
8( 7 + 1) 8( 7 + 1)
=
=
=
=
2
2
7
−
1
7
−
1
(
7
−
1)
(
7
+
1)
(
7)
−
1
б)
=
=
8( 7 + 1) 4( 7 + 1) 4 7 + 4
=
=
6
3
3
.
1
1
2 3 −1− 2 3 −1
−2
−
=
=
=
2
2
2
3
+
1
2
3
−
1
(2
3
+
1)
(2
3
−
1)
(2
3)
−
1
5.
−2
2
=
=−
12 − 1
11 .
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
a− 5
a− 5
1
=
=
a−5
( a − 5)( a + 5)
a+ 5.
6.
Выражение a + 5 принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.
1
Дробь a + 5 будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение a + 5 принимает наименьшее
значение при а = 0.
О т в е т: при а = 0.
Вариант 2
1. а) 2 2 + 50 − 98 = 2 2 + 25 · 2 − 49 · 2 =
= 2 2 + 5 2 − 7 2 = 0;
б) (3 5 − 20) ·
= 15 – 10 = 5;
5 = 3 5 · 5 − 20 · 5 = 3 · 5 − 100 =
2
2
в) ( 3 + 2) = ( 3) + 2 3 ·
=5+2 6 .
2 + ( 2) 2 = 3 + 2 6 + 2 =
1
1
60 =
· 60 = 15
2
4
2.
;
1
1
10
= 100 · = 20
5
5
.
1
1
60 < 10
5.
Так как 15 < 20 , то 2
5− 5
5 ( 5 − 1)
5
5
=
=
=
= 2,5
2
10
−
2
2
(
5
−
1)
2
3. а)
;
b − 4 ( b − 2) ( b + 2)
=
= b
b
−
2
b
−
2
б)
+ 2.
2
2 7
2 7
=
21 ;
4. а) 3 7 3 7 · 7
4
4( 11 − 3)
4( 11 − 3) 4( 11 − 3)
=
=
=
=
2
2
11
−
9
11
+
3
(
11
+
3)
(
11
−
3)
(
11)
−
3
б)
=
=
4( 11 − 3)
= 2( 11 − 3) = 2 11
2
– 6.
1
1
1+ 3 5 +1− 3 5
2
2
+
=
= 2
=
=
2
1
−
45
1
−
3
5
1
+
3
5
(1
−
3
5)
(1
+
3
5)
1
−
(3
5)
5.
2
1
=
=−
−44
22 .
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
x −2
x −2
1
=
=
x−4
( x − 2) ( x + 2)
x +2.
6.
Выражение x + 2 принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.
1
Дробь x + 2 будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение x + 2 принимает наименьшее значение
при х = 0.
О т в е т: при х = 0.
Вариант 3
1. а) 6 3 + 27 − 3 75 = 6 3 + 9 · 3 − 3 25 · 3 =
= 6 3 + 3 3 − 15 3 = −6 3 ;
б) ( 50 − 2 2) 2 = 50 · 2 − 2 2 · 2 = 100 − 2 · 2 =
= 10 – 4 = 6;
2
2
2
в) (2 − 3) = 2 − 2 · 2 · 3 + ( 3) = 4 − 4 3 + 3 = 7 − 4 3 .
1
1
12 =
· 12 = 3
4
2. 2
,
1
1
45 =
· 45 = 5
3
9
.
1
1
12 <
45
3
<
5
2
3
Так как
, то
.
3. а)
3 −3
3 (1 − 3)
3
3
=
=
=
= 0,6
5
5 − 15
5 (1 − 3)
5
;
a−2 a
a ( a − 2)
a
=
=
3 .
3( a − 2)
б) 3 a − 6
5
5 10
5 10
10
=
=
=
6 ;
4. а) 3 10 3 10 · 10 3 · 10
б)
8
8( 6 − 2)
8( 6 − 2)
=
=
=
6 + 2 ( 6 + 2) ( 6 − 2) ( 6) 2 − ( 2) 2
=
8( 6 − 2) 8( 6 − 2)
=
= 2( 6 − 2) = 2 6 − 2 2
6−2
4
.
1
1
2 7 +1− 2 7 +1
2
−
=
=
=
2
2
5. 2 7 − 1 2 7 + 1 (2 7 − 1) (2 7 + 1) (2 7) − 1
2
2
=
=
28 − 1 27 .
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
6.
x− 7
x− 7
=
=
x−7
( x − 7)( x + 7)
Выражение
1
x+ 7.
x + 7 принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.
1
x + 7 будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение
Дробь
значение при х = 0.
О т в е т: при х = 0.
Вариант 4
1. а) 5 2 + 2 32 − 98 = 5 2 + 2 16 · 2 − 49 · 2 =
= 5 2 +8 2 −7 2 = 6 2 ;
б) (4 3 + 27) · 3 = 4 3 · 3 + 27 · 3 = 4 · 3 + 81 =
= 12 + 9 = 21;
2
2
(
5
−
3)
=
(
5)
−2 5 ·
в)
= 8 − 2 15 .
3 + ( 3) 2 = 5 − 2 15 + 3 =
x + 7 принимает наименьшее
1
1
28 =
· 28 = 7
4
2. 2
;
1
1
54 =
· 54 = 6
3
9
.
1
1
28 >
54
3
Так как 7 > 6 , то 2
.
10 + 5
5(
=
2(
3. а) 2 + 10
x−3 x
x(
=
2(
б) 2 x − 6
2 + 5)
5
=
= 2,5
2
2 + 5)
;
x − 3)
x
=
2 .
x − 3)
7
7 21
7 21
21
=
=
=
6 ;
4. а) 2 21 2 21 · 21 2 · 21
22
22( 13 + 2)
22( 13 + 2)
=
=
=
2
2
13
−
2
(
13
−
2)
(
13
+
2)
(
13)
−
(
2)
б)
22( 13 + 2) 22( 13 + 2)
=
=
= 2( 13 + 2) = 2 13 + 2 2
13 − 2
11
.
1
5. 3 + 15
=
+
1
3 − 15
=
3 − 15 + 3 + 15
6
= 2
=
(3 + 15) (3 − 15) 3 − ( 15) 2
6
6
=
9 − 15 −6 = –1.
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
p −1
p −1
1
=
=
p − 1 ( p − 1) ( p + 1)
p +1 .
6.
Выражение p + 1 принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.
1
p + 1 будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение
Дробь
при р = 0.
О т в е т: при р = 0.
p + 1 принимает наименьшее значение
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) 2х2 + 7х – 9 = 0;
в) 100х2 – 16 = 0;
б) 3х2 = 18х;
г) х2 – 16х + 63 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см 2.
3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) 3х2 + 13х – 10 = 0;
в) 16х2 = 49;
б) 2х2 – 3х = 0;
г) х2 – 2х – 35 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см 2.
3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) 7х2 – 9х + 2 = 0;
в) 7х2 – 28 = 0;
б) 5х2 = 12х;
г) х2 + 20х + 91 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) 9х2 – 7х – 2 = 0;
в) 5х2 = 45;
б) 4х2 – х = 0;
г) х2 + 18х – 63 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. Один из корней уравнения х2 – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. а) 2х2 + 7х – 9 = 0.
1-й с п о с о б. D = 72 – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.
−7 + 121 −7 + 11 4
=
=
2·2
4
4 = 1;
x1 =
−7 − 121 −7 − 11
18
9
=
=− =−
2·2
4
4
2 = –4,5.
x2 =
c
2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = a , то есть х1 = 1,
−9
х2 = 2 = –4,5.
б) 3х2 = 18х;
3х2 – 18х = 0;
3х (х – 6) = 0;
х=0
или
х = 6.
2
в) 100х – 16 = 0;
100х2 = 16;
16
х2 = 100 ;
4
х2 = 25 ;
4
±
25 ;
х=
2
±
х = 5;
х = ±0,4.
г) х2 – 16х + 63 = 0.
1-й с п о с о б. D1 = (–8)2 – 63 = 64 – 63 = 1, D1 > 0, 2 корня.
x1 = 8 + 1 = 9; x2 = 8 – 1 = 7.
2-й с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:
х1 + х2 = 16, х1 · х2 = 63. Подбором получаем: х1 = 9, х2 = 7.
О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.
20 − 2 x
2
2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона
см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь
прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:
х (10 – х) = 24;
10х – х2 – 24 = 0;
х2 – 10х + 24 = 0;
D1 = (–5)2 – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D1 > 0, 2 корня.
x1 = 5 + 1 = 6; x2 = 5 – 1 = 4. Оба корня удовлетворяют условию задачи.
О т в е т: 4 см; 6 см.
3. Пусть х1 = –9 и х2 – корни уравнения х2 + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х2 = –р и –9 · х2 = –18.
−18
Имеем: х2 = −9 ; х2 = 2 и –9 + х2 = –р, отсюда р = 7.
О т в е т: х2 = 2; р = 7.
Вариант 2
1. а) 3х2 + 13х – 10 = 0.
D = 132 – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.
−13 + 289 −13 + 17 4 2
=
= =
2·3
6
6 3;
х1 =
−13 − 289 −13 − 17 −30
=
=
2·3
6
6 = –5.
х2 =
б) 2х2 – 3х = 0;
х (2х – 3) = 0;
х=0
или
2х – 3 = 0;
3
х= 2;
х = 1,5.
2
в) 16х = 49.
49
х2 = 16 ;
49
х = ± 16 ;
7
х=±4;
х = ±1,75.
г) х2 – 2х – 35 = 0.
D1 = (–1)2 – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D1 > 0, 2 корня.
x1 = 1 + 36 = 1 + 6 = 7;
36 = 1 – 6 = –5.
2
О т в е т: а) –5; 3 ; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.
x2 = 1 –
30 − 2 x
2
2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона
см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь
прямоугольника равна 56 см2, составим уравнение:
х (15 – х) = 56;
15х – х2 – 56 = 0;
х2 – 15х + 56 = 0;
D = (–15)2 – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.
15 + 1 16
=
2
2 = 8;
x1 =
15 − 1 14
=
2
2 = 7.
x2 =
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
О т в е т: 7 см; 8 см.
3. Пусть х1 = –7 и х2 – корни уравнения х2 + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х2 = –11 и –7 · х2 = q.
Имеем: х2 = –11 + 7, х2 = –4 и –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.
О т в е т: х2 = –4; q = 28.
Вариант 3
1. а) 7х2 – 9х + 2 = 0.
1-й с п о с о б. D = (–9)2 – 4 · 7 · 2 = 81 – 56 = 25, D > 0, 2 корня.
9 + 25 9 + 5
=
14 = 1;
х1 = 2 · 7
9 − 25 9 − 5 4 2
=
= =
14 14 7 .
х2 = 2 · 7
c
2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = a , то есть х1 = 1,
2
х2 = 7 .
б) 5х2 = 12х.
5х2 – 12х = 0;
х (5х – 12) = 0;
х=0
или
5х – 12 = 0;
5х = 12;
12
х= 5 ;
х = 2,4.
2
в) 7х – 28 = 0.
7х2 = 28;
х2 = 4;
х=± 4;
х = ±2.
г) х2 + 20х + 91 = 0.
D1 = 102 – 1 · 91 = 100 – 91 = 9, D1 > 0, 2 корня.
x1 = –10 + 9 = –10 + 3 = –7;
9 = –10 – 3 = –13.
2
О т в е т: а) 1; 7 ; б) 0; 2,4; в) ±2; г) –13; –7.
x2 = –10 –
26 − 2 x
2
2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона
см, что составляет (13 – х) см. Зная, что площадь
прямоугольника равна 36 см2, составим уравнение:
х (13 – х) = 36;
13х – х2 – 36 = 0;
х2 – 13х + 36 = 0;
D = (–13)2 – 4 · 1 · 36 = 169 – 144 = 25, D > 0, 2 корня.
13 + 25 13 + 5
=
2
2 = 9;
х1 =
13 − 25 13 − 5
=
2
2 = 4.
х2 =
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
О т в е т: 4 см; 9 см.
3. Пусть х1 = –4 и х2 – корни уравнения х2 + рх + 56 = 0, тогда по теореме Виета: –4 + х2 = –р и –4 · х2 = 56.
56
Имеем: х2 = −4 ; х2 = –14 и –4 + (–14) = –р, отсюда р = 18.
О т в е т: х2 = –14; р = 18.
Вариант 4
2
1. а) 9х – 7х – 2 = 0.
1-й с п о с о б. D = (–7)2 – 4 · 9 · (–2) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.
7 + 121 7 + 11
=
18 = 1;
х1 = 2 · 9
7 − 121 7 − 11 −4
2
=
=
=−
18
18
9.
х2 = 2 · 9
2-й
−
с
п
о
с
о
б.
a
+
b
+
c
2
9.
х2 =
б) 4х2 – х = 0.
х (4х – 1) = 0;
х=0
или
5х – 12 = 0;
4х – 1 = 0;
4х = 1;
1
х= 4;
х = 0,25.
в) 5х2 = 45.
45
х2 = 5 ;
х2 = 9;
х=± 9;
х = ±3.
г) х2 + 18х – 63 = 0.
D1 = 92 – 1 · (–63) = 81 + 63 = 144, D1 > 0, 2 корня.
x1 = –9 + 144 = –9 + 12 = 3;
=
0,
значит,
х1
=
1,
х2
=
c
a,
то
есть
х1
=
1,
x2 = –9 – 144 = –9 – 12 = –21.
О т в е т: а)
−
2
9 ; 1; б) 0; 0,25; в) ±3; г) –21; 3.
22 − 2 x
2
2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона
см, что составляет (11 – х) см. Зная, что площадь
прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:
х (11 – х) = 24;
11х – х2 – 24 = 0;
х2 – 11х + 24 = 0;
D = (–11)2 – 4 · 1 · 24 = 121 – 96 = 25, D > 0, 2 корня.
11 + 25 11 + 5
=
2
2 = 8;
х1 =
11 − 25 11 − 5
=
2
2 = 3.
х2 =
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
О т в е т: 3 см; 8 см.
3. Пусть х1 = 13 и х2 – корни уравнения х2 – 7х + q = 0, тогда по теореме Виета: 13 + х2 = 7 и 13 · х2 = q.
Имеем: х2 = 7 – 13, х2 = –6 и 13 · (–6) = q, отсюда q = –78.
О т в е т: х2 = –6; q = –78.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
Вариант 1
1. Решите уравнение:
x2
12 − x
= 2
2
а) x − 9 x − 9 ;
6
5
+
б) x − 2 x = 3.
2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге,
которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный
путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
Вариант 2
1. Решите уравнение:
3x + 4
x2
= 2
2
а) x − 16 x − 16 ;
3
8
+
б) x − 5 x = 2.
2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему
потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки
равна 3 км/ч.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
x2
4x + 5
= 2
2
а) x − 1 x − 1 ;
5
8
−
б) x − 3 x = 3.
2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая
короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в
В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?
Вариант 4
1. Решите уравнение:
5 x + 14
x2
= 2
2
а) x − 4 x − 4 ;
8
10
−
б) x − 3 x = 2.
2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему
потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки
равна 2 км/ч?
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
x2
12 − x
=
2
2
1. а) x − 9 x − 9 . Общий знаменатель х2 – 9.
х2 = 12 – х;
х2 + х – 12 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 3; х2 = –4.
Если х = 3, то х2 – 9 = 0.
Если х = –4, то х2 – 9 ≠ 0.
6
5
+
б) x − 2 x = 3. Общий знаменатель х (х – 2).
6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);
6х + 5х – 10 – 3х2 + 6х = 0;
–3х2 + 17х – 10 = 0;
3х2 – 17х + 10 = 0.
D = (–17)2 – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.
17 + 169 17 + 13 30
=
=
2·3
6
6 = 5;
x1 =
17 − 169 17 − 13 4 2
=
= =
2
·
3
6
6 3.
x2 =
Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.
2
Если х = 3 , то х (х – 2) ≠ 0.
2
О т в е т: а) –4; б) 3 ; 5.
2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно.
27
27 − 7
1
На путь из А в В он затратил x ч, а обратно x − 3 ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( 6 часа) меньше,
составим уравнение:
27
20
1
x – x − 3 = 6 . Общий знаменатель 6х (х – 3).
162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;
162х – 486 – 120х – х2 + 3х = 0;
х2 – 45х + 486 = 0.
D = (–45)2 – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.
45 + 81 45 + 9
=
2
2 = 27;
x1 =
45 − 81 45 − 9
=
2
2 = 18.
x2 =
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая
скорость для велосипедиста).
О т в е т: 18 км/ч.
Вариант 2
3x + 4
x2
= 2
2
x
−
16
x − 16 . Общий знаменатель х2 – 16.
1. а)
3х + 4 = х2;
х2 – 3х – 4 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета х1 = 4; х2 = –1.
Если х = 4, то х2 – 16 = 0.
Если х = – 1, то х2 – 16 ≠ 0.
3
8
+
б) x − 5 x = 2. Общий знаменатель х (х – 5).
3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);
3х + 8х – 40 – 2х2 + 10х = 0;
–2х2 + 21х – 40 = 0;
2х2 – 21х + 40 = 0.
D = (–21)2 – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.
21 + 121 21 + 11
=
2·2
4
x1 =
= 8;
21 − 121 21 − 11 10 5
=
= =
2·2
4
4 2 = 2,5.
x2 =
Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.
Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.
О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.
2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 3) км/ч, по течению – (х + 3)
12
5
18
км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл x − 3 ч, по течению x + 3 ч, а по озеру он шёл бы x ч. Зная, что на все
плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:
12
5
18
x − 3 + x + 3 = x . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).
12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);
12х2 + 36х + 5х2 – 15х – 18х2 + 162 = 0;
х2 – 21х – 162 = 0.
D = (–21)2 – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.
21 + 1089 21 + 33
=
2
2
x1 =
= 27;
21 − 1089 21 − 33
=
2
2
x2 =
= –6.
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 27 км/ч.
Вариант 3
x2
4x + 5
= 2
2
1. а) x − 1 x − 1 . Общий знаменатель х2 – 1.
х2 = 4х + 5;
х2 – 4х – 5 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –1.
Если х = 5, то х2 – 1 ≠ 0.
Если х = –1, то х2 – 1 = 0.
5
8
−
б) x − 3 x = 3. Общий знаменатель х (х – 3).
5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);
5х – 8х + 24 – 3х2 + 9х = 0;
3х2 – 6х – 24 = 0;
х2 – 2х – 8 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 4; х2 = –2.
Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.
Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.
О т в е т: а) 5; б) –2; 4.
2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На
48
48 − 8
путь из А в В он затратил x ч, а обратно x + 4 ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:
48
40
x – x + 4 = 1. Общий знаменатель х (х + 4).
48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;
48х + 192 – 40х – х2 – 4х = 0;
х2 – 4х – 192 = 0.
D1 = (–2)2 + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.
x1 = 2 + 196 = 2 + 14 = 16;
x2 = 2 – 196 = 2 – 14 = –12.
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 16 км/ч.
Вариант 4
5 x + 14
x2
= 2
2
x
−
4
x − 4 . Общий знаменатель х2 – 4.
1. а)
5х + 14 = х2;
х2 – 5х – 14 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7; х2 = –2.
Если х = 7, то х2 – 4 ≠ 0.
Если х = –2, то х2 – 4 = 0.
8
10
−
б) x − 3 x = 2. Общий знаменатель х (х – 3).
8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;
8х – 10х + 30 – 2х2 + 6х = 0;
2х2 – 4х – 30 = 0;
х2 – 2х – 15 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –3.
Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.
Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.
О т в е т: а) 7; б) –3; 5.
2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 2) км/ч, по течению – (х + 2)
15
6
22
км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл x − 2 ч, по течению x + 2 ч, а по озеру он шёл бы x ч. Зная, что на все
плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:
15
6
22
x − 2 + x + 2 = x . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).
15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;
15х2 + 30х + 6х2 – 12х – 22х2 + 88 = 0;
х2 – 18х – 8 = 0.
D1 = (–9)2 + 88 = 169, D1 > 0, 2 корня.
x1 = 9 + 169 = 9 + 13 = 22;
x2 = 9 – 169 = 9 – 13 = –4.
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 22 км/ч.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю.
Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить
любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, учащийся может получить дополнительную оценку.
Вариант 1
1. Докажите неравенство:
а) (x – 2)2 > x(x – 4);
б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).
2. Известно, что а < b. Сравните:
а) 21а и 21b;
б) –3,2а и –3,2b;
в) 1,5b и 1,5а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 2,6 < 7 < 2,7. Оцените:
а) 2 7 ;
б) – 7 .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7, 1,2 < b < 1,3.
5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся
последовательности с произведением средних членов.
Вариант 2
1. Докажите неравенство:
а) (x + 7)2 > x(x + 14);
б) b2 + 5 ≥ 10(b – 2).
2. Известно, что а > b. Сравните:
а) 18а и 18b;
б) –6,7а и –6,7b;
в) –3,7b и –3,7а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,1 < 10 < 3,2. Оцените:
а) 3 10 ;
б) – 10 .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6, 3,2 < b < 3,3.
5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Сравните произведение первого и последнего из них с
произведением двух средних чисел.
Вариант 3
1. Докажите неравенство:
а) (x – 3)2 > x(x – 6);
б) у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).
2. Известно, что х < у. Сравните:
а) 8х и 8у;
б) –1,4х и –1,4у;
в) –5,6у и –5,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,6 < 13 < 3,7. Оцените:
а) 3 13 ;
б) –2 13 .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2, 1,5 < у < 1,6.
5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.
Вариант 4
1. Докажите неравенство:
а) (x + 1)2 > x(x + 2);
б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).
2. Известно, что х > у. Сравните:
а) 13х и 13у;
б) –5,1х и –5,1у;
в) 2,6у и 2,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,3 < 11 < 3,4. Оцените:
а) 5 11 ;
б) –2 11 .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7, 6,1 < b < 6,2.
5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся
последовательности с произведением крайних членов.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. а) (x – 2)2 – x(x – 4) = x2 – 4x + 4 – x2 + 4x = 4 > 0, значит,
(x – 2)2 > x(x – 4).
б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,
значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).
2. а) а < b;
21а < 21b;
б) а < b;
–3,2а > –3,2b;
в) а < b;
b > a;
1,5b > 1,5а.
О т в е т: а) 21а < 21b; б) –3,2а > –3,2b; в) 1,5b > 1,5а.
3. а) 2,6 < 7 < 2,7;
5,2 < 2 7 < 5,4;
б) 2,6 < 7 < 2,7
–2,7 < – 7 < –2,6.
О т в е т: а) 5,2 < 2 7 < 5,4; б) –2,7 < – 7 < –2,6.
4.
S = a · b см2;
P = 2(a + b) см;
2,6 < а < 2,7
2,6 < а < 2,7
1,2 < b < 1,3
1,2 < b < 1,3
2,6 · 1,2 < a · b < 2,7 · 1,3
2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3
3,12 < ab < 3,51
2 · 3,8 < 2(a + b) < 2 · 4
3,12 < S < 3,51
7,6 < 2(a + b) < 8,0
7,6 < Р < 8,0
О т в е т: 3,12 < S < 3,51; 7,6 < Р < 8,0.
5. Пусть 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а – полученная последовательность.
(2 + а)(5 + а) – (3 + а)(4 + а) = 10 + 2а + 5а + а2 – 12 – 3а –
= –2 < 0, значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.
Вариант 2
1. а) (x + 7)2 – x(x + 14) = x2 + 14x + 49 – x2 – 14x = 49 > 0,
значит, (x + 7)2 > x(x + 14).
б) b2 + 5 – 10(b – 2) = b2 + 5 – 10b + 20 = b2 – 10b + 25 = (b – 5)2 ≥ 0,
значит, b2 + 5 ≥ 10(b – 2).
2. а) а > b;
18а > 18b;
в) а > b;
b < a;
–3,7b > –3,7а.
О т в е т: а) 18а > 18b; б) –6,7а < –6,7b; в) –3,7b > –3,7а.
3. а) 3,1 < 10 < 3,2
9,3 < 10 < 9,6;
б) а > b;
–6,7а < –6,7b;
б) 3,1 < 10 < 3,2
–3,2 < – 10 < –3,1.
4а
–
а2
=
О т в е т: а) 9,3 < 10 < 9,6; б) –3,2 < – 10 < –3,1.
4.
S = a · b см2
P = 2(a + b) см.
1,5 < а < 1,6
1,5 < а < 1,6
3,2 < b < 3,3
3,2 < b < 3,3
4,80 < ab < 5,28
1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3
4,80 < S < 5,28.
2 · 4,7 < 2(a + b) < 2 · 4,9
9,4 < 2(a + b) < 9,8
9,4 < Р < 9,8.
О т в е т: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.
5. п, п + 1, п + 2, п + 3 – последовательные натуральные числа.
п (п + 3) – (п + 1) (п + 2) = п2 + 3п – п2 – 2п – п –2 = –2 < 0, значит, произведение первого и последнего числа меньше
произведения двух средних чисел.
Вариант 3
2
2
2
1. а) (x – 3) – x(x – 6) = x – 6x + 9 – x + 6x = 9 > 0,
значит, (x – 3)2 > x(x – 6).
б) у2 + 1 – 2(5у – 12) = у2 + 1 – 10у + 24 = у2 – 10у + 25 = (у – 5)2 ≥ 0,
значит, у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).
2. а) х < у;
8х < 8у;
в) х < у;
y > x;
–5,6у < –5,6х.
О т в е т: а) 8х < 8у; б) –1,4х > –1,4у; в) –5,6у < –5,6х.
3. а) 3,6 < 13 < 3,7
10,8 < 3 13 < 11,1.
б) х < у;
–1,4х > –1,4у;
б) 3,6 < 13 < 3,7
7,2 < 2 13 < 7,4
–7,4 < –2 13 < –7,2.
О т в е т: а) 10,8 < 3 13 < 11,1; б) –7,4 < –2 13 < –7,2.
S = х · у см2
1,1 < х < 1,2
1,5 < у < 1,6
1,1 · 1,5 < ху < 1,2 · 1,6
1,65 < ху < 1,92
1,65 < S < 1,92.
4.
P = (х + у) см.
1,1 < х < 1,2
1,5 < у < 1,6
1,1 + 1,5 < х + у < 1,2 + 1,6
2 · 2,6 < 2(х + у) < 2 · 2,8
5,2 < 2(х + у) < 5,6.
5,2 < Р < 5,6.
О т в е т: 1,65 < S < 1,92; 5,2 < Р < 5,6.
5. п, п + 1, п + 2 – последовательные натуральные числа.
(п + 1)2 – п (п + 2) = п2 + 2п + 1 – п2 – 2п = 1 > 0, значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других чисел.
Вариант 4
2
2
2
1. а) (x + 1) – x(x + 2) = x + 2x + 1 – x – 2x = 1 > 0,
значит, (x + 1)2 > x(x + 2).
б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,
значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).
2. а) х > у;
13х > 13у;
в) х > у;
y > x;
2,6у < 2,6х.
О т в е т: а) 13х > 13у; б) –5,1х < –5,1у; в) 2,6у < 2,6х.
3. а) 3,3 < 11 < 3,4
16,5 < 5 11 < 17,0;
б) х > у;
–5,1х < –5,1у;
б) 3,3 < 11 < 3,4
–6,6 > –2 11 > –6,8;
–6,8 < –2 11 < –6,6.
О т в е т: а) 16,5 < 5 11 < 17,0; б) –6,8 < –2 11 < –6,6.
4.
S = с · b см2
P = 2(с + b) см
4,6 < с < 4,7
4,6 < с < 4,7
6,1 < b < 6,2
6,1 < b < 6,2
4,6 · 6,1 < с · b < 4,7 · 6,2
28,06 < сb < 29,14
28,06 < S < 29,14.
4,6 + 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2
2 · 10,7 < 2(с + b) < 2 · 10,9
21,4 < 2(с + b) < 21,8
21,4 < Р < 21,8.
О т в е т: 28,06 < S < 29,14; 21,4 < Р < 21,8.
5. 6 + т, 5 + т, 4 + т, 3 + т – полученная последовательность.
(5 + т)( 4 + т) – (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т2 – 18 – 6т
– т2 = 2 > 0, значит, произведение средних членов последовательности больше произведения её крайних членов.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
Вариант 1
1. Решите неравенство:
1
а) 6 x < 5;
б) 1 – 3х ≤ 0;
в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1.
7+a
12 − a
2. При каких а значение дроби 3 меньше соответствующего значения дроби 2 ?
3. Решите систему неравенств:
2 x − 3 > 0,

а) 7 x + 4 > 0;
3 − 2 x < 1,

б) 1,6 + x < 2,9.
6 − 2 x < 3( x − 1),


x
6 − ≥ x.

2
4. Найдите целые решения системы неравенств 
5. При каких значениях х имеет смысл выражение
3x − 2 + 6 − x ?
a
6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x – 7 < 3 является числовой промежуток (–∞; 4)?
–
3т
–
Вариант 2
1. Решите неравенство:
1
а) 3 х ≥ 2;
б) 2 – 7х > 0;
в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4.
b+4
5 − 2b
2. При каких b значение дроби 2 больше соответствующего значения дроби 3 ?
3. Решите систему неравенств:
4 x − 10 > 10,

а) 3x − 5 > 1;
1, 4 + x > 1,5,

б) 5 − 2 x > 2.
10 − 4 x ≥ 3(1 − x),


x
3,5 + < 2 x.

4
4. Найдите целые решения системы неравенств 
5. При каких значениях а имеет смысл выражение
5a − 1 + a + 8 ?
b
6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4х + 6 > 5 является числовой промежуток (3; +∞)?
Вариант 3
1. Решите неравенство:
1
а) 4 х > 1;
б) 1 – 6х ≥ 0;
в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5.
m +1
2. При каких т значение дроби 3 меньше соответствующего значения выражения т – 6?
3. Решите систему неравенств:
3x − 9 < 0,

а) 5 x + 2 > 0;
15 − x < 14,

б) 4 − 2 x < 5.
5(1 − 2 x) < 2 x − 4,


x
2,5
+
≥ x.


2
4. Найдите целые решения системы неравенств
5. При каких значениях а имеет смысл выражение 12 − 3a + a + 2 ?
a
6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5х – 1 < 4 является числовой промежуток (–∞; 2)?
Вариант 4
1. Решите неравенство:
1
а) 8 х ≤ 2;
б) 2 – 5х < 0;
в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5.
a+2
2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби 4 ?
3. Решите систему неравенств:
6 x − 12 > 0,

а) 2 x − 3 > 0;
26 − x < 25,

б) 2 x + 7 < 13.
1 − 5 x < 4(1 − x),


x
3,5
+
≥ 2 x.

4
4. Найдите целые решения системы неравенств 
5.
+ 4+m ?
При
каких
значениях
т
имеет
смысл
выражение
15 − 5m +
6.
При
каких
значениях
b
множеством
решений
неравенства
6х
+
11
>
b
> 4 является числовой промежуток (1; +∞)?
Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю.
Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготовки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2
задания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые 5 заданий.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1
1. а) 6 x < 5
х < 30;
б) 1 – 3х ≤ 0;
×6
;
(–∞; 30).
– 3х ≤ 1
: (−3) ;
1
х ≥ 3;
1

 3 ; + ∞ ÷
.
в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1;
5y – 6 – 4,6 > 3y + 1;
5y – 3y > 1 + 6 + 4,6;
: 2;
2y > 11,6
y > 5,8;
(5,8; +∞).
1

 3 ; + ∞ ÷
 ; в) (5,8; +∞).
О т в е т: а) (–∞; 30); б)
7 + a 12 − a
2. 3 < 2
×6
;
2(7 + a) < 3(12 – a);
14 + 2a < 36 – 3a;
2a + 3a < 36 – 14;
: 5;
5a < 22
a < 4,4.
О т в е т: при a < 4,4.
3. а)
2 x − 3 > 0,

7 x + 4 > 0;
 2 x > 3,

7 x > −4;
 x > 1,5,

4

x
>
−
;

7
(1,5; +∞).
3 − 2 x < 1,

б) 1,6 + x < 2,9;
 −2 x < −2,

 x < 1,3;
 x > 1,

 x < 1,3;
(1; 1,3).
О т в е т: а) (1,5; +∞); б) (1; 1,3).
6 − 2 x < 3( x − 1),


x
6 − ≥ x;

2
4. 
6 − 2 x < 3x − 3,

12 − x ≥ 2 x;
−2 x − 3 x < −3 − 6,

− x − 2 x ≥ −12;
−5 x < −9,

−3x ≥ −12;
 x > 1,8,

 x ≤ 4;
О т в е т: 2; 3; 4.
5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:
3x − 2 ≥ 0,

6 − x ≥ 0;
3 x ≥ 2,

− x ≥ −6;
2

x ≥ ,
3


 x ≤ 6;
2
3 ≤ x ≤ 6.
2
О т в е т: при 3 ≤ x ≤ 6.
a
6. 3x – 7 < 3 ;
9х – 21 < a;
9x < a + 21;
a 7

 −∞; + ÷
9 3.

a 7
+
x< 9 3;
Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 4), если:
a 7
+
9 3 =4
×9
;
а + 21 = 36;
а = 15.
О т в е т: при а = 15.
Вариант 2
1
1. а) 3 х ≥ 2
×3
х ≥ 6;
б) 2 – 7х > 0;
–7x > –2
2
x< 7;
;
[6; +∞).
: (−7) ;
2

 −∞; ÷
7.

в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4;
6y – 9 – 3,4 > 4y – 2,4;
6y – 4y > 9 + 3,4 – 2,4;
: (−2) ;
2y > 10
y > 5;
(5; +∞).
2

 −∞; ÷
7  ; в) (5; +∞).
О т в е т: а) [6; +∞); б) 
b + 4 5 − 2b
2. 2 > 3
3(b + 4) >2(5 – 2b);
3b + 12 > 10 – 4b;
3b + 4b > 10 – 12;
: 7;
7b > –2
b>
−
2
7.
×6
;
О т в е т: при b >
−
 4 x − 10 > 10,

3. а) 3x − 5 > 1;
2
7.
 4 x > 20,

3 x > 6;
 x > 5,

 x > 2;
(5; +∞).
1, 4 + x > 1,5,

б) 5 − 2 x > 2;
 x > 1,1,

−2 x > −3;
 x > 1,1,

 x < 1,5;
(1,1; 1,5).
О т в е т: а) (5; +∞); б) (1,1; 1,5).
10 − 4 x ≥ 3(1 − x),
10 − 4 x ≥ 3 − 3x,



x
14 + x < 8 x;
3,5 + 4 < 2 x;
4. 
− x ≥ −7,
 x ≤ 7,


−7 x < −14;
 x > 2;
−4 x + 3x ≥ 3 − 10,

 x − 8 x < −14;
О т в е т: 3; 4; 5; 6; 7.
5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:
5 − a ≥ 0,

a + 8 ≥ 0;
− a ≥ −5,

a ≥ −8;
–8 ≤ а ≤ 5.
О т в е т: при –8 ≤ а ≤ 5.
 a ≤ 5,

 a ≥ −8;
b
6. 4х + 6 > 5 ;
20x + 30 > b;
20x > b – 30;
 b 3

 − ; + ∞÷
 20 2
.
b 3
−
x > 20 2 ;
Множеством решений является числовой промежуток (3; +∞), если:
b 3
−
20 2 = 3;
b – 30 = 60;
b = 90.
О т в е т: при b = 90.
Вариант 3
1
1. а) 4 х > 1
х > 4;
б) 1 – 6х ≥ 0;
– 6х ≥ –1
1
х≤ 6;
×4
;
(4; +∞).
: (−6) ;
1

−∞
;

6  .

в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5;
5y – 7 – 6 < 4y – 1,5;
5y – 4y < 7 + 6 – 1,5;
y < 11,5;
(–∞; 11,5).
1

 −∞; 
6  ; в) (–∞; 11,5).
О т в е т: а) (4; +∞); б) 
m +1
2. 3 < т – 6
×3
;
m + 1 < 3(m – 6);
m + 1 < 3m – 18;
m – 3m < –1 – 18;
: (−2) ;
–2т < –19
т > 9,5.
О т в е т: при т > 9,5.
3x − 9 < 0,

3. а) 5 x + 2 > 0;
3 x < 9,

5 x > −2;
 x < 4,

 x > −0, 4;
(–0,4; 3).
15 − x < 14,

б)  4 − 2 x < 5;
 − x < −1,

 −2 x < 1;
 x > 1,

 x > 0,5;
(1; +∞).
О т в е т: а) (–0,4; 3); б) (1; +∞).
5(1 − 2 x) < 2 x − 4,


x
2,5
+
≥ x;

2
4. 
5 − 10 x < 2 x − 4,

5 + x ≥ 2 x;
−10 x − 2 x < −4 − 5,

 x − 2 x ≥ −5;
−12 x < −9,

− x ≥ −5;
3

x > ,
4


 x ≤ 5;
О т в е т: 1; 2; 3; 4; 5.
5. Выражение имеет смысл при a, удовлетворяющих системе:
12 − 3a ≥ 0,

a + 2 ≥ 0;
−3a ≥ −12,

a ≥ −2;
 a ≤ 4,

a ≥ −2;
–2 ≤ а ≤ 4.
О т в е т: при –2 ≤ а ≤ 4.
a
6. 5х – 1 < 4 ;
20x – 4 < a;
20x < a + 4;
a 1
+
x < 20 5 ;
a 1

−∞
;
+ ÷

20 5  .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 2), если:
a 1
+
20 5 = 2;
а + 4 = 40;
а = 36.
О т в е т: при а = 36.
Вариант 4
1
1. а) 8 х ≤ 2
×8
х ≤ 16;
б) 2 – 5х < 0;
;
(–∞; 16].
: (−5) ;
–5х < –2
х > 0,4;
(0,4; +∞).
в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5;
3x – 4,5 – 4 < 4x + 1,5;
3x – 4x < 4,5 + 4 + 1,5;
–x < 10;
х > –10;
(–10; +∞).
О т в е т: а) (–∞; 16]; б) (0,4; +∞); в) (–10; +∞).
a+2
2. а + 6 < 4
×4
;
4(а + 6) < а + 2;
4а + 24 < а + 2;
4а – а < 2 – 24;
3а < –22;
1
а < –7 3 .
1
О т в е т: при а < –7 3 .
6 x − 12 > 0,

3. а)  2 x − 3 > 0;
6 x > 12,

2 x > 3;
 x > 2,

 x > 1,5;
(2; +∞).
26 − x < 25,

б) 2 x + 7 < 13;
− x < −1,

2 x < 6;
 x > 1,

 x < 3;
(1; 3).
О т в е т: а) (2; +∞); б) (1; 3).
1 − 5 x < 4(1 − x),


x
3,5 + ≥ 2 x;

4
4. 
− x < 3,

−7 x ≥ −14;
1 − 5 x < 4 − 4 x,

14 + x ≥ 8 x;
−5 x + 4 x < 4 − 1,

 x − 8 x ≥ −14;
 x > −3,

 x ≤ 2;
О т в е т: –2; –1; 0; 1; 2.
5. Выражение имеет смысл при m, удовлетворяющих системе:
15 − 5m ≥ 0,

4 + m ≥ 0;
 −5m ≥ −15,

m ≥ −4;
–4 ≤ т ≤ 3.
О т в е т: при –4 ≤ т ≤ 3.
b
6. 6х + 11 > 4 ;
24х + 44 > b;
24x > b – 44;
 m ≤ 3,

 m ≥ −4;
b 11
−
x > 24 6 ;
 b 11

 − ; + ∞÷
 24 6
.
Множеством решений является числовой промежуток (1; +∞), если:
b 11
−
24 6 = 1;
b – 44 = 24;
b = 68.
О т в е т: при b = 68.
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Решите систему неравенств:
3( x − 1) − 2(1 + x) < 1,

3x − 4 > 0.
2. Упростите выражение: ( 6 + 3) 12 − 2 6 ·
3.
 6
1  y2 + 6 y + 9
+
 2
÷·
3
−
y
5
y
−
9

3. Упростите выражение: 
.
4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого
на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого
автомобиля.
5. При каких значениях х функция y =
−
x −8
4 + 1 принимает положительные значения?
Вариант 2
1. Решите систему неравенств:
5(2 x − 1) − 3(3 x + 6) < 2,

2 x − 17 > 0.
2. Упростите выражение: ( 10 + 5) ·
20 − 5 8 .
1 
1
 2
+
:
 2
÷
2
2
3. Упростите выражение:  x − 4 2 x − x  x + 4 x + 4 .
4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч
большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?
6− x
5. При каких значениях х функция y = 5 – 2 принимает отрицательные значения?
Вариант 3
1. Решите неравенство: 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1.
5
27
3
2. Упростите выражение:
.
1 
x
 3
+

÷: 2
2
x − 3  x − 6x + 9 .
3. Упростите выражение:  9 − x
( 15 + 5) 15 −
4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она
прошла на 7 ч 30 мин скорее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».
x−3
5. При каких значениях х функция y = 3 + 4 принимает отрицательные значения?
Вариант 4
1. Решите неравенство: 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х.
2. Упростите выражение: ( 18 + 3) 2 − 0,5 24 .
1  x2 + 4 x + 4
 4
+
 2
÷·
2
−
x
3
x
−
4

3. Упростите выражение: 
.
4. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за ним вышла из пункта А моторная лодка, которая
догнала плот на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на
12 км/ч?
12 − x
5. При каких значениях х функция y = 6 + 1 принимает положительные значения?
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
3( x − 1) − 2(1 + x) < 1,
3 x − 3 − 2 − 2 x < 1,
 x − 5 < 1,
⇔
⇔
⇔



3
x
−
4
>
0;
3
x
>
4;
3
x
>
4;


1. 
 x < 6,

⇔ 
4
 x > 3 .
 1 
1 ; 6 ÷
О т в е т:  3  .
2. ( 6 + 3) 12 − 2 6 · 3 = 6 · 12 + 3 · 12 − 2 6 · 3 =
= 6 · 6 · 2 + 36 − 2 2 · 3 · 3 = 6 2 + 6 − 6 2 = 6 .
6
1
6
1
6− y −3
+
=
−
=
=
3
−
y
(
y
−
3)(
y
+
3)
y
−
3
(
y
−
3)(
y
+
3)
y
−
9
3. 1)
3− y
1
=
=−
( y − 3)( y + 3)
y+3;
2
1
y2 + 6 y + 9
1
( y + 3) 2
y+3
−
·
=−
·
=−
5
y+3
5
5 .
2) y + 3
y+3
−
5 .
О т в е т:
4. Пусть скорость первого автомобиля х км/ч, тогда скорость второго автомобиля (х – 10) км/ч.
560
Время, затраченное первым автомобилем на прохождение пути в 560 км, равно x ч, а время, затраченное вторым
560
автомобилем на похождение этого же пути, равно x − 10 ч.
Первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Получим уравнение:
560
560
x − 10 – x = 1.
Решим это уравнение:
560х – 560 (х – 10) = х (х – 10);
560х – 560х + 5600 = х2 – 10х;
х2 – 10х – 5600 = 0;
х1 = –70 (не подходит по смыслу задачи);
х2 = 80.
Получим, что скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго 70 км/ч.
О т в е т: 80 км/ч и 70 км/ч.
5. Чтобы узнать все значения х, при которых функция y =
неравенство:
−
x −8
4 + 1 > 0;
−
x −8
4 + 1 принимает положительные значения, нужно решить
8− x
4 > –1;
8 – х > –4;
–х > –12;
х < 12.
О т в е т: при х < 12.
Вариант 2
5(2 x − 1) − 3(3 x + 6) < 2,
10 x − 5 − 9 x − 18 < 2,
⇔


 2 x > 17;
1. 2 x − 17 > 0;
 x − 23 < 2,
 x < 25,
⇔ 
⇔ 
2 x > 17;
 x > 8,5.
⇔
О т в е т: (8,5; 25).
2. ( 10 + 5) · 20 − 5 8 = 10 · 20 + 5 · 20 − 5 4 · 2 =
= 10 · 10 · 2 + 5 · 5 · 4 − 10 2 = 10 2 + 10 − 10 2 = 10 .
2
1
2
1
2
+
=
+
=
−
2
2
(
x
−
2)(
x
+
2)
x
(2
−
x
)
(
x
−
2)(
x
+
2)
x
−
4
2
x
−
x
3. 1)
1
2x − x − 2
x−2
1
−
=
=
=
x( x − 2) x( x − 2)( x + 2) x( x − 2)( x + 2) x( x + 2) .
1
1
1 · ( x + 2) 2 x + 2
: 2
=
=
x
(
x
+
2)
x
(
x
+
2)
·
1
x .
x
+
4
x
+
4
2)
x+2
О т в е т: x .
4. Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – его скорость на перегоне в 80 км. Если бы на перегоне в
80
80
80 км поезд шёл по расписанию, то он затратил бы на это x ч. В реальности этот перегон он преодолел за x + 10 ч. Отрезок
4
пути, равный 80 км, поезд в реальности прошёл на 16 мин (или 15 ч) быстрее, чем предполагал по расписанию.
Получим уравнение:
80
80
4
x – x + 10 = 15 .
Решим это уравнение:
15 · 80(х + 10) – 15 · 80х = 4х(х + 10);
15 · 80х + 15 · 80 · 10 – 15 · 80х = 4х2 + 40х;
4х2 + 40х – 15 · 80 · 10 = 0;
х2 + 10х – 3000 = 0;
х1 = –60 (не подходит по смыслу задачи);
х2 = 50.
О т в е т: 50 км/ч.
6− x
5. 5 – 2 < 0;
6 – х – 10 < 0;
– х < 4;
х > –4.
О т в е т: х > –4.
Вариант 3
1. 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1;
8х – 4 – 9х – 6 > 1;
–х > 11;
х < –11.
О т в е т: (–∞; –11).
5
5
27 = 15 · 15 + 5 · 15 −
9·3=
3
3
2.
5
= 15 + 5 · 5 · 3 − · 3 3 = 15 + 5 3 − 5 3 = 15
3
.
( 15 + 5) 15 −
3
1
3
1
3−3− x
+
=
−
=
=
2
x
−
3
(3
−
x
)(3
+
x
)
3
−
x
(3
−
x
)(3
+
x
)
9
−
x
3. 1)
−x
x
=
=
(3 − x)(3 + x) ( x − 3)( x + 3) ;
x
x
x · (x − 3) 2
x −3
: 2
=
=
2) ( x − 3)( x + 3) x − 6 x + 9 ( x − 3)( x + 3) · x x + 3 .
x−3
О т в е т: x + 3 .
210
4. Пусть скорость «Ракеты» х км/ч, тогда скорость теплохода (х – 50) км/ч. Путь в 210 км «Ракета» проходит за x ч, а
210
теплоход – за x − 50 ч. По условию этот путь «Ракета» проходит быстрее теплохода на 7,5 ч.
Получим уравнение:
210
210
x − 50 – x = 7,5.
Решим это уравнение:
210х – 210 (х – 50) = 7,5х(х – 50);
210х – 210х + 210 · 50 = 7,5х2 – 7,5 · 50х;
7,5х2 – 7,5 · 50х – 210 · 50 = 0;
15х2 – 15 · 50х – 210 · 100 = 0;
х2 – 50х – 1400 = 0;
х1 = –20 (не подходит по смыслу задачи);
х2 = 70.
О т в е т: 70 км/ч.
x−3
5. 3 + 4 < 0;
х – 3 + 12 < 0;
х < –9.
О т в е т: х < –9.
Вариант 4
1. 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х;
9х – 18 – 6х – 3 > 5х;
3х – 5х > 21;
–2х > 21;
х < – 10,5.
О т в е т: (–∞; –10,5).
2. ( 18 + 3) 2 − 0,5 24 = 18 · 2 + 3 · 2 − 0,5 4 · 6 =
= 36 + 6 − 6 = 6 .
4
1
4
1
4−x−2
+
=
−
=
=
2
−
x
(
x
−
2)(
x
+
2)
x
−
2
(
x
−
2)(
x
+
2)
x
−
4
3. 1)
2−x
1
=
=−
( x − 2)( x + 2)
x+2;
2
1
x2 + 4 x + 4
1 · ( x + 2) 2
x+2
−
·
=−
=−
3
( x + 2) · 3
3 .
2) x + 2
−
x+2
3 .
О т в е т:
4. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда моторная лодка шла со скоростью (12 + х) км/ч. Расстояние в 20 км плот прошёл
20
20
1
за x ч, а моторная лодка – за 12 + x ч. Лодка была в пути на 5 3 ч меньше, чем плот.
Получим уравнение:
20
20
1
x – 12 + x = 5 3 .
Решим это уравнение:
1
20(12 + x ) − 20 x = 5 x (12 + x)
3
;
16
20 · 12 + 20x − 20 x = x (12 + x)
3
;
60 · 12 = 16х (12 + х);
15 · 3 = х (12 + х);
х2 + 12х – 45 = 0;
х1 = –15 (не подходит по смыслу задачи);
х2 = 3.
О т в е т: 3 км/ч.
12 − x
5. 6 + 1 > 0;
12 – х + 6 > 0;
–х > –18;
х < 18.
О т в е т: х < 18.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа