close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Тихоокеанский государственный университет

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тихоокеанский государственный университет»
.ЧАСТНЫЕ
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Методические указания к выполнению контрольной работы
для обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Строительство»
заочной формы обучения
Хабаровск
Издательство ТОГУ
2014
1
УДК 539.3/6(076.5)
Частные задачи теория упругости : методические указания к выполнению
контрольной работы для обучающихся по направлению подготовки бакалавров
«Строительство» заочной формы обучения / сост. Л. М. Иванников, В. Е. Киселев. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2014. – 15 с.
Методические указания составлены на кафедре «Механика деформируемого
твердого тела». Включают цель и задачи контрольной работы, порядок выполнения, методические рекомендации, вопросы и задания для самопроверки, задачи, входящие в контрольную работу.
Печатается в соответствии с решениями кафедры «Механика деформируемого твердого тела» и методического совета инженерно строительного факультета.
© Тихоокеанский государственный университет, 2014
2
1.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В соответствии с учебным планом дисциплины «Частные задачи теории
упругости» предусмотрено выполнение контрольной работы.
Цель работы – закрепить теоретические знания и получить практические
навыки при решении плоской задачи теории упругости, исследовании напряженного состояния в точке упругого тела и изгиба пластин.
Задачи работы: определение внешних сил, приложенных по четырем граням
полосы-балки, по заданной функции напряжений; определение главных напряжений и положения главных площадок для заданного напряженного состояния
в точке; построение эпюр моментов и поперечных сил в сечениях пластинки
при заданном уравнении упругой поверхности пластинки.
В результате изучения курса обучающиеся должны знать основные положения теории упругости, уметь решать задачи по применению обратного метода в теории упругости для балки-полосы, исследовать напряженное состояние в
точке упругого тела, рассчитывать прямоугольные и круглые пластинки при заданном уравнении упругой поверхности пластинки, владеть основными методами теории упругости для решения этих задач.
2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
Контрольная работа состоит из двух заданий. Первое задание в зависимости
от шифра студента включает решение задачи Ι (расчет полосы-балки) или ΙΙ
(исследование напряженного состояния в точке упругого тела). Второе задание
аналогично включает решение одной из задач III, IV (расчет прямоугольной
пластинки) или V (расчет круглой пластинки).
В заголовке контрольной работы должны быть четко написаны фамилия и
инициалы студента, факультет, специальность (направление) и номер зачетной
книжки. Перед решением задач надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратный чертеж в масштабе и указать на нем в
числах все величины, необходимые при расчете. Необходимо указывать размерность всех величин. Номера задач выбираются из табл. 1. Исходные данные
для решения задач выбираются студентом из таблиц в соответствии с его личным учебным шифром (номером зачетной книжки). Шифром считаются две последние цифры, например, если номер зачетной книжки МТ 140907635, то
учебным шифром будет 35. Таким образом, для этого шифра первая цифра 3 и
3
последняя цифра 5. Перед тем как приступить к выполнению контрольной работы, необходимо изучить теоретический материал (см. 4).
Таблица 1
Номера задач, входящих в контрольную работу
Первая цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Последняя цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Первое задание
I
II
I
II
I
II
I
II
I
II
Второе задание
III
IV
V
III
IV
V
III
IV
V
III
Задача I
Дана прямоугольная полоса-балка (рис. 1) длиной lℓ, высотой h и толщиной,
равной 1. Выражение для функции напряжений выбрать из табл. 2, а числовые значения – из табл. 3. Объемными силами пренебречь.
y
h
y
z
x
0
ℓ
1
Рис. 1. Схема полосы-балки
Требуется:
1. Проверить, можно ли предложенную функцию принять для решения
плоской задачи теории упругости. В этих целях использовать бигармоническое уравнение
4
2. Найти выражения для напряжений σx , σy и τxy, пользуясь формулами для
напряжений:
.
3. Построить эпюры напряжений σx , σy и τxy для одного сечения: либо перпендикулярного оси 0х, либо перпендикулярного оси 0у (значения х и у заданы
в табл. 3).
4. Определить внешние силы (нормальные и касательные), приложенные ко
всем четырем граням полосы-балки, дать их изображение на рисунке полосыбалки. В этих целях использовать условия на поверхности тела (условия на
контуре тела или статические граничные условия):
l+
,
где
– проекции на оси 0х и 0у внешних сил, действующих на гранях
полосы-балки; – нормаль к грани;
– направляющие косинусы нормали к рассматриваемой площадке.
Числовые данные выбираются в соответствии с шифром из табл. 2.
Таблица 2
Выражения для функций напряжений (задача I)
Последняя цифра шифра
Функция напряжений (x, y)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
Таблица 3
Числовые значения для задачи I
Первая
цифра
шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
b
ℓ
h
x
y
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
3
2
2
0.2
0.3
0.4
0.3
0.5
0.5
0.5
0.3
0.2
0.4
м
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
5
6
5
6
6
4
4
6
5
5
Методические указания к выполнению задачи I
1. При решении задачи удобно использовать следующие обозначения и
правило знаков для напряжений:
1) нормальные напряжения имеют индекс оси, параллельно которой нормаль к данной площадке. Нормальные напряжения, действующие от площадки
(растягивающие), положительны. Сжимающие напряжения, направленные к
площадке, отрицательны;
2) касательные напряжения имеют два индекса. Первый индекс указывает,
какой оси параллелен вектор касательного напряжения, а второй индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, по которой действует данное
касательной напряжение. Если нормаль к площадке направлена в сторону соответствующей положительной оси, то касательное напряжение, направленное
также в сторону положительной оси, считается положительным. В противном
случае касательное напряжение отрицательно. Если нормаль к площадке
направлена в сторону отрицательной координатной оси (второй индекс), то положительным будет касательное напряжение, направленное в сторону отрицательного направления соответствующей координатной оси (первый индекс);
3) направляющие косинусы l и m от положительного направления осей Х и Y
соответственно.
2. Для проверки правильности выполнения п. 3 необходимо выполнить проверку равновесия полосы – балки, спроектировав все найденные внешние силы
на оси Х и Υ.
6
z
Задача II
Напряженное состояние в точке тела
(рис. 2) задано девятью компонентами:
σx , σy , ơz , τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz .
Требуется:
1. Определить главные напряжения
и проверить правильность их нахождения.
2. Определить положение одной из
главных площадок.
3. Показать графически нормаль к
главной площадке. Исходные данные
выбираются из табл. 4.
x
y
Рис. 2. Напряженное состояние в точке
Таблица 4
Числовые значения напряжений для задачи II
Первая
цифра
шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
σx,
МПа
σy,
МПа
σz,
МПа
80
100
90
–90
100
160
100
100
150
–140
60
120
90
–90
100
80
80
150
70
–60
160
80
120
–420
100
60
120
50
80
–100
Последняя
цифра
шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
τxy,
МПа
τyz,
МПа
МПа
100
50
60
80
60
100
120
100
–90
60
60
100
60
60
80
–90
50
50
–80
100
80
50
100
100
–60
–50
–100
60
90
–50
zx,
Методические указания к выполнению задачи II
1. Записать кубическое уравнение для определения главных напряжений в
точке упругого тела и вычислить его коэффициенты.
,
где коэффициенты являются инвариантами преобразования координат:
(1)
7
2. Решить кубическое уравнение, воспользовавшись соответствующими
формулами или применив один из вычислительных комплексов, например,
Mathcad. Корни уравнения обозначить , , ,
где
3. Проверить правильность решения кубического уравнения, используя инвариантность коэффициентов , , :
;
(2)
.
Сравнить (1) и (2).
4. Определить положение главных площадок, т. е. вычислить направляющие косинусы нормалей к главным площадкам l, m, n. Для этого систему однородных уравнений равновесия представим в следующем виде:
–
-
–
–
(3)
Добавим соотношение между квадратами направляющих косинусов в виде
(4)
Из трех уравнений (3) только два уравнения независимы, поэтому, определив
и
из решения двух уравнений, третье используем для контроля найден-
ных отношений
и
. Далее из (4) находим n, а затем из соотношений
и
находим l и m и их знаки.
5. Выполнить проверку правильности определения направляющих косинусов по следующим равенствам:
Z
n
O
m
6. Показать направление главных напряжений, рассматривая
, , как координаты некоторой точки А, лежащей на нормали ν к соответствующей главной площадке (рис. 3).
ν
A
l
X
Y
Рис. 3. Направление главного напряжения
8
Задача III
y
Пластинка (рис. 4) изгибается под дейb
ствием поперечной нагрузки. Задано уравнение упругой поверхности w(x, y) (табл. 5).
x
Требуется:
а
1. Установить, каким граничным условиям
удовлетворяет предложенное уравнение упруРис. 4 Схема пластинки
гой поверхности w(х, у). Уравнение упругой
поверхности приведено в табл. 5.
2. Определить постоянный коэффициент С, используя дифференциальное
уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки.
3. Составить выражения для моментов и поперечных сил.
4. Построить эпюры моментов и поперечных сил в сечениях х (Мх , Qх) или у
(Му, Qу). Числовые данные взять из табл. 7.
Таблица. 5
Уравнения прямоугольных пластинок
Последняя цифра шифра
Уравнение поперечной нагрузки q(x, y)
и упругой поверхности пластинки w(x, y)
0; 5
1; 6
2; 7
3; 8
4; 9
y
Задача IV
Пластинка (рис. 5) изгибается под действием поперечной нагрузки. Задано уравнение упругой поверхности w(x, y) (табл. 6).
2b
x
2а
Рис. 5. Схема пластинки
9
Требуется:
1. Установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное
уравнение упругой поверхности w(х, у). Уравнение упругой поверхности приведено в табл. 5.
2. Определить постоянный коэффициент С, используя дифференциальное
уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки.
3. Составить выражения для моментов и поперечных сил.
4. Построить эпюры моментов и поперечных сил в сечениях х (Мх , Qх) или у
(Му, Qу). Числовые данные приведены в табл. 7.
Таблица 6
Уравнения срединной поверхности пластинки
Последняя цифра
шифра
Уравнение поперечной нагрузки q(x, y)
и упругой поверхности пластинки w(x, y)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица. 7
Числовые значения для задач III и IV
Первая цифра шифра
а, м
b, м,
h, м
0; 5
4
3
0.1
3
2
0.35
1; 6
3
3
0.2
2
1
0.3
2; 7
5
4
0.2
3
1
0.25
3; 8
3
5
0.1
1
2
0.3
4; 9
4
3
0.1
2
2
0.25
10
x, м
y, м
Методические указания к выполнению задач III и IV
Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки в декартовых координатах
Изгибающие моменты:
Поперечные силы:
Крутящий момент
где цилиндрическая жесткость пластинки
Задача V
Круглая пластинка, опертая по контуру, находится под действием внешней
нагрузки (рис. 6). Жесткость пластинки D = const.
Требуется:
1. Проверить граничные условия.
2. Определить постоянный коэффициент С, используя дифференциальное
уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки в полярных координатах (табл. 8).
3. Построить эпюры моментов и поперечных сил в диаметральных поперечных сечениях (Mr, M ).
Числовые данные взять из табл. 9.
r
a
r
a
q
q
a
а
a
r
б
а
r
a
a
F
F
в
а
a
Рис. 6. Схема пластинки
11
г
а
a
Таблица 8
Уравнение срединной поверхности круглой пластинки
Последняя
цифра
шифра
Условное
буквенное
обозначение
на рис. 6
0; 5
а
1; 6
б
2; 7
в
3; 8
г
4; 9
а
Поперечная нагрузка и уравнение упругой поверхности
пластинки w(r)
Сосредоточенная сила
Сосредоточенная сила
Таблица 9
Числовые значения
для задачи V (круглая пластинка)
Первая
цифра
шифра
a, м
h, м
μ
0
6
0.2
0.25
1
5
0.15
0.25
2
4
0.15
0.25
3
5
0.2
0.3
4
5
0.2
0.3
5
6
0.25
0.35
6
6
0.2
0.35
7
4
0.2
0.3
8
4
0.15
0.3
9
6
0.2
0.3
12
Методические указания к выполнению задачи V
Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой
пластинки (осесимметричная задача):
или
Изгибающие моменты:
Поперечная сила:
или
3.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
К разделу «Плоская задача теории упругости и исследование напряженного состояния в точке упругого тела»
1. Какие тела называются однородными, изотропными, анизотропными?
Приведите примеры таких тел.
2. Система индексов и правило знаков, использующиеся для обозначения
напряжений и деформаций в теории упругости.
3. Дайте определение плоской задачи теории упругости. В чем отличие
плоского напряженного состояния и плоской деформации?
4. Запишите основные уравнения для решения плоской задачи деформации
и плоского напряженного состояния.
5. Запишите тензор напряжений и тензор деформаций в точке упругого тела
для плоской задачи теории упругости.
6. Какие уравнения используются для решения плоской задачи теории упругости?
7. ;Какие методы решения задач используются в теории упругости?
8. Как решается задача теории упругости в напряжениях?
9. Как решается задача теории упругости в перемещениях?
13
10. Запишите уравнения неразрывности Сен-Венана для плоской задачи
теории упругости. Каков их физический смысл?
11. Что называется оператором Лапласа?
12. Какая функция называется бигармонической?
13. Чему равна наивысшая степень полинома, при которой тождественно
удовлетворяется бигармоническое уравнение плоской задачи?
14. Полиному какой степени соответствует однородное напряженное состояние?
15. Для какого случая изгиба призматического бруса справедлива гипотеза
плоских сечений?
16. Напишите выражения для инвариантов тензора напряжений и тензора
деформаций. Каков смысл первого инварианта тензора напряжений и первого
инварианта тензора деформаций?
17. Какие напряжения называются главными? Приведите порядок определения главных напряжений.
18. Как определяется положение главных площадок?
К разделу «Изгиб пластинок»
1. Что называют пластинкой?
2. Какие пластинки называются тонкими, средней толщины, толстыми?
3. Какие гипотезы используются при расчете пластинок?
4. Запишите граничные условия для шарнирно опертого и защемленного
краев прямоугольной пластинки.
5. Запишите граничные условия для свободного края пластинки.
6. Запишите дифференциальное уравнение изгиба прямоугольной пластинки.
7. Запишите дифференциальное уравнение изгиба круглой пластинки
(осесимметричный изгиб).
8. Какие методы используются для расчета пластинок?
9. Какой изгиб пластинки называется осесимметричным?
10. Чему равны крутящие моменты при осесимметричном изгибе пластинки?
11. Какие внутренние силы возникают в сечениях пластинки и как они обозначаются?
12. Какой изгиб пластинки называется цилиндрическим? Какие аналогии
можно установить между цилиндрическим изгибом пластинки и изгибом простой балки?
14
13. В чем заключается явление чистого изгиба пластинки?
14. Какую аналогию можно установить между уравнением изогнутой поверхности пластинки и бигармоническим уравнением плоской задачи?
15. Как влияет способ заделки опорного сечения консоли при загружении
ее силой на конце на прогиб свободного конца?
16. Как определяются напряжения в сечении пластинки?
4.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Саргсян, А. Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов : учеб. для вузов / А. Е. Саргсян.
– 2-е изд., испр. и доп. – М. : Высш. шк., 2000. – 286 с.
2. Александров, А. В. Сопротивление материалов: основы теории упругости
и пластичности : учеб. для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – 2-е изд.,
испр. – М. : Высш. шк., 2002. – 400 с.
3. Тен Ен Со. Решение задач теории упругости с применением Mathcad 14.0 :
учеб. пособие / Тен Ен Со. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010.
– 75 с.
4. Иовенко, В. В. Изгиб тонких пластинок : учеб. пособие / В. В. Иовенко.
– Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. – 60 с.
5. Кутуков, Б. Н. Сопротивление материалов с основами теории упругости и
пластичности : методические указания для студентов-заочников инж.-строит.
спец. высш. учеб. заведений / Б. Н Кутуков., М. М. Кац. – 3-е изд. – М. : Высш.
шк., 1990. – 80 с.
Оглавление
1. Цель и задачи контрольной работы ………………………………………… 3
2. Контрольная работа. Указания по выполнению …………………………..... 3
Задача I………………….….…………………………………………….……. 4
Задача II…………………..…………………………………………………… 7
Задача III……………………..…………..……………………………….…… 9
Задача IV……………………………………………………………………… 9
Задача V………………………………………………………................…….. .11
3. Вопросы и задания для самопроверки.……………………………………… 13
4. Список рекомендуемой литературы…………………………………….…… 15
15
ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Методические указания к выполнению контрольной работы
для обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Строительство»
заочной формы обучения
Леонид Матвеевич Иванников
Виталий Евгеньевич Киселев
Главный редактор Л. А. Суевалова
Редактор Е. Н. Ярулина
Компьютерная верстка В. Е. Киселева
Подписано в печать 19.02.14. Формат 60 × 84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».
Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 30 экз. Заказ 36.
Издательство Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
16
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа