close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ___________________________________________________________
ДЕКАБРЬ 1967, ТОМ III, № 12
УДК 517.9
О СВЯЗИ МЕЖДУ УСТОЙЧИВОСТЬЮ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
И ПОЧТИ ПРИВОДИМОСТЬЮ СИСТЕМ
С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В. М. Миллионщиков
Изучение структуры решений систем с почти периодическими коэффициентами
представляет собой, по-видимому, трудную и пока не решенную задачу (см. [1]). Существуют
работы, дающие условия, при которых такая система приводима ([5 — 8]) (эти условия носят в
высшей степени специальный характер), а также работы, в которых изучается связь между
почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами и другими, но уже
общими свойствами этих систем ([9, 10]). Настоящая работа относится ко второму из
названных направлений.
Пусть дана функция j (t ) , ограниченная и равномерно непрерывная на прямой. Через Dj
будем обозначать динамическую систему, определенную следующим образом:
Пространство Rj системы Dj состоит из функций j° (t ) = lim j (tk + t ) (предел равномерный
k ®¥
на отрезках) и наделено топологией равномерной сходимости на отрезках (оно метризуемо,
см. [3], стр. 533 — 534, и компактно, см. [3], стр. 535). Динамическая система Dj задается на
Rj следующим образом:
f (j° (t ),t ) = j° (t + t )
(см. [3], стр. 534). Отметим, что значения j (t ) могут быть матрицами.
О п р е д е л е н и е 1. Функцию j (t ) , ограниченную и равномерно непрерывную на
прямой, будем называть рекуррентной, если траектория f (j (t )),t ) в Dj рекуррентна.
Т е о р е м а 1. Пусть дана система
x = A(t ) x ( x Î E n )
(1)
и пусть A(t ) рекуррентна. Тогда система (1) перроновским преобразованием x = U (t )
и ( [ 2 ] , стр. 261 — 266) с рекуррентной матрицей U (t ) приводится к треугольному
виду u& = P(t )u с рекуррентной матрицей P(t ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть U (t ) — перроновское преобразование, приводящее систему
(1) к треугольному виду
u& = P (t )u º (U -1 AU - U -1U& )u.
(2)
Тогда, как известно (см. [2], стр. 265, 247),
U& (t ) „ const.
Докажем, что из равномерной непрерывности на прямой матрицы A(t ) вытекает, что
U& (t ) равномерно непрерывна на прямой. В самом деле, из U (t ) „ const следует, что
U (t ) равномерно непрерывна на прямой, значит, то же верно и для U -1 (t ) = U * (t ). А так как,
кроме того,
U -1 (t ) = U (t ) = 1, A(t ) „ const ,
·
то U -1 AU равномерно непрерывна на прямой. Но, значит, и U -1 U равномерно непрерывна на
·
прямой (так как поддиагональные элементы матрицы U -1 U
равны соответствующим
(матрица
элементам матрицы
U -1 AU
P(t ) треугольная), и матрица U -1 AU
кососимметрична). Отсюда U = U (U -1U ) равномерно непрерывна на прямой. Из доказанного
вытекает также, что P(t ) равномерно непрерывна на прямой.
2) Пусть числовая последовательность {tk } такова, что
° (t )
A(t + t ) ® A
k
k ®¥
U (t ) „ const , U (t ) равномерно непрерывна на
равномерно на отрезках. Так как U (t ) = 1,
прямой, то по теореме Асколи ([4], стр. 43) из {tk } можно выбрать подпоследовательность (мы
будем обозначать ее тоже {tk } ), для которой
° (t ),
U (tk + t ) ® U
U (t + t ) ® V° (t )
k
равномерно на отрезках. Имеем
d °
V° (t ) = U
(t ) .
dt
° (t ) равномерно на отрезках» влечет
Заметим, что на самом деле « U (tk + t ) ® U
« U& (t + t ) ® V° (t ) равномерно на отрезках»; это доказывается точно так же, как мы доказывали
k
равномерную непрерывность U (t )
Из (2) имеем
P (tk + t ) = U -1 (tk + t ) A(tk + t )U (tk + t ) - U -1 (tk + t )U& (tk + t ).
Перейдем к пределу при k ® ¥ (предел равномерный на отрезках)
°& (t ).
° (t ) º lim P (t + t ) = U
° -1 (t ) °
° (t ) - U
° -1 (t )U
P
A(t )U
k ®¥
(3)
k
Формула (3) означает, что ортогональное преобразование
A(t ) x к треугольному виду u& = P% (t )u.
систему x& = °
° (t )u
x= U
приводит
3) U (t ) определяет в динамической системе сдвигов DU устойчивую по Лагранжу
траекторию (так как U (t ) равномерно непрерывна и ограничена, см. [3], стр. 535). Поэтому
° (t ) = lim U (t + t ) (предел равномерный на отрезках). Выберем из
существует рекуррентная U
k ®¥
k
{tk } подпоследовательность (ее обозначим снова {tk } ) так, чтобы последовательность A(tk + t )
сходилась равномерно на отрезках (к некоторой °
A(t ) (см. [4], стр. 43). Тогда, как доказано в п.
° (t )u приводит систему x = °
2), преобразование x = U
A(t ) x к треугольному виду u& = P% (t )u.
P% (t ) равномерно непрерывна в силу (3) и равномерной непрерывности P(t ). Поэтому
P% (t ) определяет в динамической системе сдвигов DP% устойчивую по Лагранжу траекторию и,
° (q + t ) ® P
° (t ) равномерно на
следовательно, найдется последовательность {q } , такая, что P
k
k
k ®¥
отрезках и P% (t ) рекуррентна. Выберем из {q k } подпоследовательность (ее снова обозначим
{q k } ) так, что
A(q k + t ) ® °
A(t ),
° (t )
U (q + t ) ® U
k
»
равномерно на отрезках ([4], стр. 43). По доказанному в пункте 2) преобразование x = U (t )u
»
»
приводит систему x& = A(t ) x к треугольному виду u& = P (t )u.
Теперь (в силу рекуррентности A(t ) это возможно) возьмем последовательность {t k }
»
такую, что A(t k + t ) ® A(t ) равномерно на отрезках. При этом можно считать (на самом деле
из {t k } нужно выбрать подпоследовательность), что
»
U (t k + t ) ® V (t ) ,
»
P (t k + t ) ® Q (t )
»
»
равномерно на отрезках. Так как U (t ) и P(t ) рекуррентны, то и V (t ), Q (t ) ) рекуррентны. По
доказанному в п. 2) система x = A(t ) x ортогональным преобразованием x = V (t )v с
рекуррентной матрицей V (t ) приводится к треугольному виду v = Q(t )v с рекуррентной
матрицей Q(t ) .
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . В случае комплексной A(t ) все то же, только слово «ортогональное» надо
всюду заменить на «унитарное».
Лемма.
Пусть
p (t )
—
рекуррентная числовая функция. Найдется
°p(t=
) lim p (t + t ) (предел равномерный на отрезках), такая, что
k ®¥
k
t
1 °
p (x )dx = l p ,
t ®+¥ t ò
0
lim
t
1 °
p (x )dx = l p ,
lim
t ®+¥ t ò
0
где
t
1
t -t ®+¥ t - t
ò p(x )dx ,
l p = lim
1
t -t ®+¥ t - t
l p lim
t
t
ò p(x )dx .
t
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть дан отрезок [ s 1 , s 2 ] и число T „ s 2 - s 1 . Пусть
s
2
1
p(t )dt = m .
s 2 - s 1 sò1
(4)
Тогда найдется отрезок [ r1 , r 2 ] Ì[s 1 , s 2 ] , такой, что T „ r 2 - r1 „ 2T и
1
r2 - r1
r2
ò p(t )dt = m .
r1
Докажем это. Отложим на отрезке [ s 1 , s 2 ] слева направо отрезки длины T . Получим т
отрезков Q1 , Q2 ,..., Qm длины T и остаток Qm +1 длины < T . Если среднее от p(t ) на каком- то
Qi (i „ m) равно m , то все доказано. Если нет, то (предположим для определенности, что
среднее от p(t ) на Q1 меньше m пусть i0 — наименьшее из тех i „ m + 1 , для которых
1
p (t )dt > m
mesQi Qòi
(такие i существуют в силу (4)). Тогда (обозначим a < b < c концы отрезков Qi0 -1 , Qi0 )
b
1
p(t )dt < m ,
b - a òa
(5)
c
1
p (t )dt > m .
c - b òb
Рассмотрим 3 случая:
(6)
a)
б)
c
i 0 „ m;
1
p (t )dt „ m ,
c - a òa
i 0 „ m;
1
p (t )dt > m ,
c - a òa
(7)
c
(8)
i0 = m + 1.
в)
(9)
c
С л уч а й а) u (t ) =
1
p (t )dt — непрерывная функция, u (b) > m (в силу (6)), u (a ) „ m ( в
c - t òt
силу (7)). Значит, найдется t Î [a, b] , такое, что u (t ) = m ; тогда отрезок [ r1 , r 2 ] = [t , c ] —
искомый.
t
1
С л уч а й б) u (t ) =
p (t )dt — непрерывная функция, u (b) < m (в силу (5)), u (c ) > m , (в
t - a òa
силу (8)). Значит, найдется t Î [b, c] , такое, что u (t ) = m ; тогда отрезок [ r1 , r 2 ] =[a, t ] —
c
искомый.
c
С л уч а й в). В этом случае
1
p (t )dt > m , поэтому рассматривается так же, как случай
c - a òa
б).
Для всяких e > 0 и T > 0 существует отрезок [t 1 , t1 ] длины t1 - t 1 > T , на котором
t
1 1
p (x )dx > l p - e ,
t1 - t 1 tò1
и существует отрезок [t 2 , t2 ] длины t2 - t 2 > T , на котором
t
1 2
p(x )d x < l p + e .
t2 - t 2 tò2
Поэтому в силу п. 1) для всяких e > 0 и T > 0 найдется отрезок [t 1 , t1 ] , для которого
T „ t1 - t 1 „ 2T ,
t
1 1
p (x )d x > l p - e ,
t1 - t 1 tò1
и найдется отрезок [t 2 , t2 ] , для которого
T „ t2 - t 2 „ 2T ,
t
1 2
p(x )d x < l p + e .
t2 - t 2 tò2
3) В силу рекуррентности p(t ) для всяких e > 0 и T > 0 существует fe (T ) > 0 такое, что
для всякого t на всяком отрезке B длины … fe (T ) найдется q , такое, что
p(t + t ) - p(q + t ) < e
при 0 „ t „ 2T , и что q + 2T Î B .
4) Фиксируем произвольное T > 0 . На всяком отрезке длины … fe (T ) найдется отрезок
[t ', t '] такой, что T „ t '- t ' „ 2T и
t'
1
p (x )dx > l p + 2e ,
t '- t ' tò'
и найдется отрезок [t '', t ''] , такой, что
T „ t ''- t '' < 2T ,
t ''
1
p(x )d x < l p + 2e .
t ''- t '' tò''
(Это утверждение вытекает из п. 2) и 3)).
5) Возьмем e k ® 0 (e k > 0) и построим по индукции последовательность чисел: T1 = 1 .
k ®¥
Пусть T1 ,..., Tn определены, тогда положим
Tn +1 = nfe n (Tn ).
6) Фиксируем любое натуральное k. Возьмем отрезок éët 2(2k k+1+1) , t2(2k k+1+1) ùû , длина которого
заключена между T2 k +1 и 2T2 k +1 , а среднее от p(t ) на нем > l p - 2e 2 k +1 . Разделим этот отрезок
на 2k равных частей. Самый левый из получившихся при этом отрезков имеет (п. 5 ) )
длину … fe 2 k (T2 k ) . Поэтому на нем в силу п. 4) найдется отрезок éët 2(2k k +1) , t2(2k k +1) ùû , длина которого
заключена между T2k и 2T2 k , а среднее от p(t ) на нем < l p - 2e 2 k . Этот отрезок разделим на
2k - 1 равных отрезков, и на самом левом из них найдем отрезок éët 2(2k k-1+1) , t2(2k k-1+1) ùû , длина
которого заключена между T2 k -1 и 2T2 k -1 , а среднее от p(t ) на нем > l p - 2e 2 k -1 и т. д.
Получим систему отрезков
[t i(2 k +1) , ti(2 k +1) ] (i = 1, 2,..., 2k + 1),
причем а) длина i -го отрезка заключена между Ti и 2Ti ; б) i -ый отрезок вложен в (i + 1) -ый,
1
-ую
причем все точки i -го отрезка отстоят от начала (i + 1) -го отрезка меньше, чем на
i
часть длины (i + 1) -го отрезка; в) среднее от p(t ) на i -ом отрезке:
> l p - 2e i при i нечетном
< l p + 2e i при i четном
7) Это построение проделаем для всякого натурального k.
Выберем теперь последовательность индексов k j ( j = 1, 2,...) (по теореме Асколи это
возможно) так, чтобы а) существовал равномерный на отрезках предел
°p(t ) = lim p (t ( k j ) + t );
1
j ®¥
б) для каждого натурального i существовали пределы
(k )
ti = lim[ti( ki ) - t 1 j ].
j ®¥
(k j )
t i = lim[t i
j ®¥
(k )
- t 1 j ].
8 ) p% (t ) —искомая функция. В самом деле. Обозначим vi среднее от p% (t ) на [t i , ti ] , mi(k )
среднее от p(t ) на éët i( k ) , ti( k ) ùû , тогда
ìïl p по нечетным i,
®í
(9)
j ®¥
i ®¥ l
ïî p по четным i.
1
Из п. 6, б) вытекает, что слева от 0 лежит не более, чем -ая часть отрезка [t i , ti ] . Значит,
i
li - vi ® 0 , где li —среднее от p(t ) на [ 0, ti ] . Отсюда в силу (9)
(k j )
vi = lim mi
i ®¥
t
ìïl p по нечетным i,
1 i°
p
(
)
d
x
x
®
í
i ®¥ l
ti ò0
ïî p по четным i.
Лемма доказана.
О п р е д е л е н и е 2. Скажем, что у системы x& = A(t ) x характеристические показатели
устойчивы, если для всякого e > 0 найдется d > 0 такое, что из B (t ) < d (t … 0) следует, что
характеристические показатели l1 … l2 … ... … ln системы x& = A(t ) x и характеристические
показатели m1 … m 2 … ... … mn системы y& = A(t ) y + B(t ) y удовлетворяют неравенствам
li - mi < e (i = 1, 2,..., n).
Т е о р е м а 2 . Пусть A ( t ) — почти периодическая матрица, система x& = A(t ) x
правильная (см. замечание в конце статьи) и характеристические показатели систем
x& = A(t ) x ,
(10)
x& = - A *(t ) x
(11)
устойчивы. Тогда система (10) почти приводима (см. [2], стр. 272 — 273).
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Всякая система x& = A% (t ) x , где A% (t ) = lim A(tk + t ) (предел,
k ®¥
равномерный на прямой), правильная (в условиях теоремы). Докажем это.
Существуют q k , такие, что °
A(q k + t ) ® A(t ) равномерно на прямой.
k ®¥
Тогда
и
—
°
A *(q k + t ) ® A *(t )
k ®¥
равномерно
на
прямой.
В
силу устойчивости
характеристических показателей систем (10) и (11) система x& = A% (t ) x имеет те же показатели,
что и система (10), а система x& = - A% *(t ) x — те же показатели, что и система (11). Так как
существует необходимое и достаточное условие правильности системы (10), выражающееся
только через характеристические показатели систем (10) и (11) (см. [2], стр. 68 —69, теорема
Перрона), то система x& = A% (t ) x правильная.
По теореме 1 существует перроновское преобразование x = U (t )u , приводящее систему
(10) к треугольному виду u& = P(t )u с рекуррентной матрицей P(t ) , причем система
x& = A% (t ) x приводится преобразованием x = U% (t ) x к треугольному виду u& = P% (t )u , где
° (t ) = lim P(t + t ) (предел, равномерный на отрезках). Так как всякая система x& = °
P
A(t ) x
k
k ®¥
правильная, то диагональные элементы всякой P% (t ) имеют средние (существуют пределы
t
1 °
p ii (t )dt ) (см. [2], стр. 141, теорема Ляпунова). В силу леммы отсюда вытекает
t ®+¥ t ò
0
lim
l pii = l pii (i = 1, 2,..., n)
pii (t ) — i -ый диагональный элемент матрицы P(t ) ). Полученное
равенство означает, что каждое pii (t ) имеет равномерное среднее, а значит, по теореме Б. Ф.
Былова (см. [2], стр. 276) система x& = A(t ) x почти приводима. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . В теореме 2 требование правильности системы на самом деле излишне:
1) Легко показать, что для устойчивости характеристических показателей систем
x& = A(t ) x и x& = - A *(t ) x необходимо и достаточно выполнения этого свойства для некоторых
° (t )) * x (где A% (t ) = lim A(t + t ) (равномерный предел)).
x& = °
A(t ) x и x& = -( A
k ®¥
k
%
2) Нетрудно доказать, что найдется правильная система x& = A(t ) x; к ней применим теорему
%
2, получим, что она почти приводима, а тогда, как легко видеть, и x& = A(t ) x; почти приводима.
Литература
1. Е р у г и н Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск,
Изд. АН БССР, 1963.
2. Б ы л о в Б. Ф.,
Виноград Р. Э.,
Г р о б м а н Д. М.,
Н е м ы ц к и й В. В. Теория
показателей Ляпунова. М., «Наука», 1966.
3. Н е м ы ц к и й В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.
2-е изд. М.—Л., ГТТИ, 1949.
4. B o u r b a k i N. Topologie generate. Chapitre 10. Espaces fonctionnels. Paris, 1949.
5. Г e л ь м а н A. E. ДАН СССР, 116, № 4, 535—537, 1957.
6. Г е л ь м а н A. E. Дифференциальные уравнения, 1, № 3, 283—294, 1965.
7. Андрианова Л. Я. Вестник Ленинград, ун-та, № 7. Серия -матем., мех. и астроном., в.
2, 14—24, 1962.
8. Х а р а с а х а л В . X. ДАН СССР, 139, № 2, 313—315, 1961.
9. L i 1 1 о J. С. Proc. Amer. Math. Soc, v. 12, № 1, 400—407, 1961.
10. Б ы л о в Б. Ф. Матем. сб., 66 (108) : 2, 1965, стр. 215—229.
Поступила в редакцию
25 марта 1967 г.
Московский государственный
университет им. М.В. Ломоносова
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа