close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Г. В. РУБЛЕВА
ЭКОНОМЕТРИКА
Учебно-методическое пособие
для студентов очной формы обучения
специальности «Прикладная информатика (в экономике)»
Тюмень
Издательство
Тюменского государственного университета
2014
Введение
Эконометрика
–
это
наука,
изучающая
конкретные
количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и
процессов с помощью математических и статистических моделей и
методов. Термин «эконометрия» буквально означает измерения в
экономике.
Появление
междисциплинарного
названием
она
эконометрики
подхода
известна
к
с
изучению
1930
г.,
является
следствием
экономики.
Под
когда
было
таким
основано
«Эконометрическое общество», видевшее свою задачу в развитии
экономической теории в еѐ связи с математикой и статистикой.
При
моделировании
экономических
процессов
и
объектов
встречаются два типа данных:
пространственные данные (набор сведений по разным объектам
на один и тот же момент времени: объем производства,
количество работников, доход по различным предприятиям
одинакового типа и т. п.);
временные данные (набор сведений, характеризующий один и
тот же объект, но за разные периоды или моменты времени:
ежедневный курс доллара, ежемесячные данные о прибыли
предприятия,
ежеквартальные
данные
об
индексе
потребительских цен и т.п.).
Для анализа экономических данных могут применяться все
разделы прикладной статистики:
статистика случайных величин (природа элементов выборки –
числа);
многомерный
статистический
анализ
(элементы
выборки
–
вектора);
статистика временных рядов и случайных процессов (элементы
выборки – функции);
статистика объектов нечисловой природы, в том числе статистика
интервальных данных (элементы пространств, в которых нет
операций сложения и умножения на число: значения качественных
признаков, бинарные отношения, последовательности из 0 и 1,
множества, нечеткие множества, интервалы, тексты).
В эконометрике решаются задачи описания данных (в том числе
усреднения),
оценивания,
проверки
гипотез,
восстановления
зависимостей, классификации объектов и признаков, прогнозирования,
принятия статистических решений и др.
Например, для описания зависимости между доходом на душу
населения в год ( Y ), индексом цен на некоторый пищевой продукт,
скорректированный на общий индекс стоимости жизни ( P ) и объемом
спроса на этот продукт на душу населения в год ( C ) может быть
построена следующая эконометрическая модель:
С
α0 Y α1 Р α2 ε ,
где α0 , α1 , α 2 - неизвестные параметры, которые требуется оценить, ε случайная компонента, обусловленная наличием факторов, не учтенных
в этой зависимости.
При рассмотрении данной модели можно выяснить:
1) Нет ли переменных, которые следовало бы дополнительно
включить в уравнение (например, цены на непродовольственные
товары)?
2) Не следует ли исключить какую-либо переменную из модели?
3) Насколько корректно измерены данные?
4) Является ли модель полной: это уравнение спроса, а может быть
следовало бы еще рассмотреть уравнение предложения?
Глава 1. Выборочные исследования
1.1. Основные понятия теории выборок
Термин
«выборочные
исследования»
применяют,
когда
невозможно или экономически нецелесообразно изучить все единицы
представляющей интерес совокупности. Приходится знакомиться с
частью совокупности – с выборкой, а затем с помощью эконометрических
методов и моделей переносить выводы с выборки на всю совокупность.
В учебных курсах по теории вероятностей и математической
статистике
рассматривают
различные
параметрические
семейства
распределений числовых случайных величин. А именно, изучают
семейства нормальных распределений, логарифмически нормальных,
экспоненциальных, гамма-распределений, распределений ВейбуллаГнеденко и др. Все они зависят от одного, двух или трех параметров.
Поэтому для полного описания распределения достаточно знать или
оценить одно, два или три числа, что очень удобно. Поэтому широко
развита параметрическая теория математической статистики, в которой
предполагается,
что
распределения
результатов
наблюдений
принадлежат тем или иным параметрическим семействам.
Эконометрика
в
основном
использует
непараметрические
методы, в которых распределения результатов наблюдений могут
иметь произвольный вид. Формулы для получения доверительных
интервалов аналогичны тем, что используются при параметрическом
подходе, но вместо квантилей распределения Стьюдента стоят квантили
нормального распределения. Как известно, при росте объема выборки
квантили
распределения
Стьюдента
сходятся
к
соответствующим
квантилям стандартного нормального распределения, так что при
больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты.
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов
относительно некоторого количественного или качественного признака,
характеризующего эти объекты. Обозначим количество всех подлежащих
обследованию объектов N ( i
1, N ). Допустим, что каждому объекту i
для изучаемого признака X соответствует наблюдаемое значение xi .
Совокупность всех возможных значений подлежащих обследованию
объектов называется генеральной совокупностью, а N – объѐмом
генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть
конечной или бесконечной. Совокупность случайно отобранных (реально
наблюдаемых) объектов называется выборочной совокупностью или
просто выборкой, а еѐ объѐм обозначается n . Выборка должна
обладать следующими свойствами:
каждый элемент xi выбран случайно;
все xi имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;
n должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать
задачу
с
требуемым
качеством
(выборка
должна
быть
репрезентативной, представительной).
В зависимости от способа отбора объектов выборки подразделяют
на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект
(перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный
объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике применяются различные способы отбора, которые
принципиально можно подразделить на два вида:
1) отбор, не требующий разделения генеральной совокупности на
части: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой
случайный повторный отбор;
2) отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на
части: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный.
Простым случайным называют такой отбор, при котором
объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности
(лотерея, с помощью таблицы случайных чисел). Типическим называют
отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной
совокупности, а из каждой еѐ «типической» части. Механическим
называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически»
делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из
каждой группы отбирают один объект. Серийным называют отбор, при
котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а
«сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Часто
применяется
комбинированный
отбор,
при
котором
сочетаются
указанные способы.
Расположение выборочных наблюдѐнных значений изучаемого
признака
X
в порядке неубывания называется ранжированием.
Значение X , соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда
наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого
значения
–
варьированием.
Численность
отдельной
группы
сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой и
обозначается
mi , отношение mi / n называется относительной
частотой и обозначается ωi .
Дискретным
называется
вариационным
ранжированная
рядом
совокупность
распределения
вариант
xi
с
соответствующими им частотами или относительными частотами.
Если наблюдаемый случайный признак представляет собой
реализацию
непрерывной
случайной
величины
или
дискретной
случайной величины с большим количеством возможных значений, то
для построения вариационного ряда используют интервальный ряд
распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования
разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают
частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.
Интервальным
упорядоченная
случайного
вариационным
последовательность
признака
с
рядом
называется
интервалов
соответствующими
варьирования
частотами
или
относительными частотами попаданий в каждый из них.
Пример 1.1.
В супермаркете фиксировали, сколько покупателей
обслуживали в кассе за один час (с 10 часов до 11 в рабочие дни).
Наблюдения в течение 30 часов дали следующие результаты:
70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75, 60, 100,
100, 120, 70, 75, 70, 120, 65, 70, 75, 70, 100, 100.
Обработайте результаты наблюдений и постройте вариационный ряд.
Решение:
Число
покупателей,
обслуживаемых
в
кассе
за
час,
представляет собой реализацию дискретной случайной величины,
обозначим еѐ X. Полученные данные являются выборкой из 30
наблюдений. Составим ранжированный ряд распределения:
60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100,
100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.
Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты и
соответствующую
относительную
частоту.
Результаты
запишем
в
таблицу, которая называется дискретным вариационным рядом.
xi
60
65
70
75
100
120
mi
3
3
7
5
8
4
ωi
3/30
3/30
7/30
5/30
8/30
4/30
■
Выборочной функцией распределения или эмпирической
называется функция F * x
mx
, задающая для каждого значения x
n
относительную частоту события X
x.
Свойство статистической устойчивости частоты, обоснованное
теоремой Бернулли, оправдывает целесообразность использования
функции F
*
x при больших n в качестве приближѐнного значения
неизвестной теоретической функции распределения F x . Функции
F * x и F x обладают одинаковыми свойствами.
Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного
ряда, можно изобразить графически, используя либо график функции
F * x , либо полигон или гистограмму относительных частот.
Полигоном относительных частот называют ломанную,
отрезки которой соединяют точки
Гистограммой
x1 , 1 , x2 , 2 , …, xk , k .
относительных
частот
называют
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями
которых служат частичные интервалы длины h , а высоты равны
отношению
i . Площадь гистограммы относительных частот равна
h
сумме всех относительных частот, т.е. единице.
1.2. Оценивание параметров
Статистической
оценкой
*
неизвестного
генеральной совокупности называют функцию
наблюдаемых случайных величин X1 , X 2 ,..., X n .
параметра
f X1 , X 2 , ..., X n
от
Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она
называется точечной. Способ оценивания
- это общее правило
(функция f X1 , X 2 ,..., X n ), а значение оценки – это конкретное число,
которое
меняется
от
выборки
к
выборке
(значение
функции
* *
*
1 , 2 ,..., k представляют
f X1 , X 2 , ..., X n ), т. е. значения оценок
* . Значение оценки
собой наблюдаемые значения случайной величины
лишь по случайному совпадению может совпасть с оцениваемой
характеристикой
генеральной
совокупности,
обычно
присутствует
определѐнная ошибка. Для того чтобы оценка была «наилучшей»,
желательно, чтобы она удовлетворяла требованиям несмещѐнности,
состоятельности и эффективности.
Оценка
*
неизвестного параметра
генеральной совокупности
называется несмещѐнной, если еѐ математическое ожидание равно
оцениваемому параметру:
M
называется
Требование
смещѐнной.
. В противном случае оценка
несмещѐнности
гарантирует
отсутствие систематических ошибок при оценивании.
Оценка Оценка
*
неизвестного параметра
называется
состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е.
сходится по вероятности к оцениваемому параметру:
*
lim P ( n
n
)
P
1 или n*
.
n
В случае использования состоятельных оценок оправдывается
увеличение
объѐма
выборки,
так
как
при
этом
становятся
маловероятными значительные ошибки при оценивании.
Несмещѐнная оценка
*
параметра
называется эффективной,
если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных
несмещѐнных оценок параметра
, вычисленных по выборкам одного и
того же объѐма.
Для
генеральной
параметры
совокупности
распределения
как
обычно
вероятность
оценивают
p
такие
биномиального
распределения, математическое ожидание количественного признака
(генеральную среднюю), дисперсию. Оценки различаются в зависимости
от способа отбора объектов в выборку, от вида распределения
количественного признака.
Утверждение
1.
Несмещѐнной
и
состоятельной
оценкой
вероятности p биномиального распределения (генеральной доли)
является выборочная доля:
p
,
m
, причѐм еѐ дисперсия для повторной выборки равна
n
где ω
2
pq
, где q 1
n
2
pq N n
n N 1
Утверждение
p , а для бесповторной выборки равна
pq
1
n
2.
математического
выборочная средняя:
n
.
N
Несмещѐнной
ожидания
и
состоятельной
количественного
M X
признака
оценкой
является
x,
k
x i mi
где
x
i 1
n
Утверждение 3. Выборочная дисперсия σ в2 повторной и бесповторной
выборок является смещѐнной и состоятельной оценкой генеральной
дисперсии σ 2 . Несмещѐнной оценкой генеральной дисперсии служит
исправленная выборочная дисперсия:
s2
xi
2
где σ в
x
n
2
mi
_
n
σв2 ,
n 1
x 2.
x2
Выборочную среднюю и дисперсию признака можно вычислить с
помощью статистических функций в EXCEL:
СРЗНАЧ(число1; число2; …) – возвращает среднее арифметическое
своих аргументов;
ДИСП(число1; число2; …) – оценивает дисперсию по выборке.
*
Однако точечная оценка
значением неизвестного параметра
является лишь приближѐнным
даже в том случае, если она
несмещѐнная, состоятельная и эффективная и для выборки малого
объѐма
может
существенно
отличаться
от
.
представление о точности и надѐжности оценки
Чтобы
*
получить
параметра
,
используют интервальное оценивание.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя
числами θ1* и θ2* – концами интервала, который с заданной надѐжностью
γ покрывает заданный параметр.
Интервальной
оценкой
математического
ожидания
(генеральной средней) нормально распределѐнного количественного
признака X:
при известном среднем квадратическом отклонении генеральной
совокупности σ служит доверительный интервал:
xв
t
σ
n
x
xв
t
σ
,
n
где n – объѐм выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф t ,
при котором Ф t
(1+ γ)/2 (см. Приложение 1);
при неизвестном σ служит доверительный интервал:
xв
где
s
s
n
tγ
исправленное
-
x
xв
выборочное
s
,
n
tγ
среднее
квадратическое
отклонение, t γ - находят по таблице:
Таблица значений t γ
t n при уровне значимости γ
0,95 :
n
5
6
7
8
9
10
11
t
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
n
12
13
14
15
16
17
18
t
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
n
19
20
25
30
35
40
45
t
2,10
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
n
50
60
70
80
90
100
120
t
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
При n>120 значения t γ
tγ
t
t n можно вычислять по формуле:
100 n
Интервальной
t 100
оценкой
t
, где t
1,96 .
неизвестной
вероятности
p
биномиального распределения с надѐжностью γ служит доверительный
интервал: p1
p
p1
p2
p2 , где
n
t2
ω
t2
2n
2
t2
2n
n
n
t2
2
ω
n
t
2n
2
t
ω1 ω
n
t
2n
2
t
ω1 ω
n
,
,
здесь n – объѐм выборки, t – значение аргумента функции Лапласа
Ф t , при котором Ф t
1 γ
(см. Приложение 1), ω - относительная
2
частота.
При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в
качестве приближѐнных границ доверительного интервала:
p1
ω t
ω1 ω
; p2
n
ω t
ω1 ω
.
n
Пример 1.2. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который
должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100
бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата
произведено 400 испытаний, причѐм выигрыш появился 5 раз. Найдите
доверительный
интервал,
покрывающий
появления выигрыша с надѐжностью γ
неизвестную
0,95 .
Решение: Найдѐм относительную частоту выигрыша:
p1
t
1
n
=-0,0016;
вероятность
p2
Итак, искомый доверительный интервал: 0
t
1
n
0,0125.
=0,0234.
p 0,0234.
■
Глава 2. Методы оценки взаимозависимости признаков
2.1. Непараметрические коэффициенты взаимосвязи
коэффициент Фехнера используется для оценки зависимости
между двумя количественными признаками. Для каждого признака по
выборочным
данным
вычисляется
средняя
величина,
а
затем
определяется знак отклонения текущего значения от его среднего
значения. Подсчитывается число соответствий знаков у признаков
c и
н . Далее вычисляется коэффициент
число несоответствий знаков
Фехнера по формуле:
с
с
КФ
н
.
н
Связь считается достаточно тесной, если KФ
0,3.
Для измерения связей между признаками, значение которых
можно
упорядочить
анализируемых
(ранжировать)
свойств,
по
применяются
степени
проявления
коэффициенты
ими
ранговой
корреляции. Рангом называется номер места значения признака в
упорядоченном ряду, если все значения признака – различны. Если же
какие-либо значения признака встречаются неоднократно, то ранг
вычисляется как среднее арифметическое этих номеров мест.
коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
6
rC
1
n
i 1
2
nn
d i2
,
1
где n - объем выборки, d i - разность между рангами i -ых значений
анализируемых признаков.
Пример 2.1. Требуется определить наличие или отсутствие взаимосвязи
между
накладными
расходами
по
реализации
продукции
и
обеспеченностью товарной продукцией.
Результаты выборочной проверки предприятий отрасли представлены в
следующей таблице:
№
обеспеченность
предприятия товарной продукцией
накладные расходы
по реализации
1
12,0
462
2
18,8
939
3
11,0
506
4
29,0
1108
5
18,8
872
6
23,4
765
7
35,6
1368
8
15,4
1002
9
26,0
998
10
20,7
804
Решение: Обозначим через X - обеспеченность товарной продукцией,
Y - накладные расходы по реализации. Вычислим коэффициент Фехнера.
Для этого вычислим сначала средние значения по каждому признаку:
x
21,07 и
разностей xi
y 882,4. Далее в отдельном столбце находим знаки
x , в другом столбце – знаки разностей yi
y. В
следующем столбце определяются совпадения или несовпадения
знаков. В итоге получаем:
c 7 и
коэффициента Фехнера: КФ
0,4.
н 3. Таким образом, значение
Так как значения данных количественных признаков можно
упорядочить, то для определения тесноты связи можно использовать
также
коэффициент
ранговой
корреляции
Спирмена.
Составим
расчѐтную таблицу.
В таблице R X и RY - ранги соответствующих значений признака X
и Y . Под последним столбцом записана сумма квадратов рангов.
X
Y
RX
RY
di
d i2
12,0
462
2
1
1
1
18,8
939
4,5
6
-1,5
2,25
11,0
506
1
2
-1
1
29,0
1108
9
9
0
0
18,8
872
4,5
5
-0,5
0,25
23,4
765
7
3
4
16
35,6
1368
10
10
0
0
15,4
1002
3
8
-5
25
26,0
998
8
7
1
1
20,7
804
6
4
2
4
Итого:
Итак, rC
50,5
0,694 . Значения выборочных коэффициентов Фехнера и
ранговой корреляции Спирмена свидетельствует о достаточно тесной
зависимости величины накладных расходов по реализации продукции от
обеспеченности товарной продукцией в выборочной совокупности.
■
коэффициент ранговой корреляции Кендала. Расчет данного
коэффициента выполняется в следующей последовательности:
1) значения факторного признака X ранжируются;
2) значения результативного признака Y располагаются в порядке,
соответствующем значениям X ;
3) для
каждого
ранга
результативного
признака
определяется
количество следующих за ним значений рангов, превышающих его
величину. Суммарная величина P является мерой соответствия
последовательности рангов по X и Y ;
4) для каждого ранга Y определяется количество следующих за ним
рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается
через Q ;
5) вычисляем S K
P Q , при этом P Q
n n 1 / 2;
6) вычисляем коэффициент корреляции Кендала по формуле:
rК
2 SK
.
nn 1
Как правило, коэффициент Кендала меньше коэффициента Спирмена.
При достаточно большом объеме выборочной совокупности n значения
коэффициентов связаны соотношением: rK
2
rC .
3
Пример 2.2. По данным группы предприятий требуется оценить
зависимость между величиной уставного капитала X и количеством
выставленных акций Y .
№
Уставной капитал, млн.
Число выставленных
предприятия
руб.
акций, тыс. шт.
1
2954
856
2
1603
932
3
4102
1567
4
2350
682
5
2625
616
6
1795
497
7
2813
815
8
1751
858
9
1700
467
10
2264
661
Решение: Для вычисления коэффициента составим расчетную таблицу.
ранжирование
SK
P
Q
9
1
8
467
1
8
0
3
858
8
1
6
1795
4
497
2
6
0
616
2264
5
661
4
4
1
1795
497
2350
6
682
5
3
1
2813
815
2625
7
616
3
3
0
1751
858
2813
8
815
6
2
0
1700
467
2954
9
856
7
1
0
2264
661
4102
10
1567
10
0
0
Итого
29
16
X
Y
2954
X
RX
Y
RY
856
1603
1
932
1603
932
1700
2
4102
1567
1751
2350
682
2625
тогда
P Q 29-16=13,
корреляции
Кендала
равно:
значение
rK
коэффициента
(2•13)/(10•9)=0,29.
ранговой
Столь
малое
значение коэффициента свидетельствует о наличии слабой связи между
рассматриваемыми роизнаками.
■
коэффициент конкордации Кендала: rW
где SW
Si
i 1
S
2
n
i 1
2
k n
3
,
n
2
n
n
12 SW
Si
S i2
i 1
n
- сумма квадратов отклонений
сумм рангов наблюдений от их общего среднего ранга, S i
k
Rij , Rij
j 1
- ранг i -го наблюдения по j -ому признаку, k - число признаков ( k >2).
Коэффициент конкордации рангов Кендала используют тогда, когда
необходимо
установить
статистическую
связь
между
несколькими
признаками, значения которых можно ранжировать. С помощью этого
коэффициента принято оценивать согласованность мнений группы
экспертов.
Пример 2.3. Определить тесноту взаимосвязи между признаками,
значения которых представлены в таблице.
Индивидуальные оценки экспертов коммуникабельности
претендентов
претенденты
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
Иванов
0,198
0,204
0,184
Петров
0,119
0,098
0,125
Сидоров
0,211
0,234
0,198
Лялькин
0,176
0,196
0,202
Валькин
0,208
0,231
0,219
Кузьмин
0,165
0,174
0,186
Брекоткин
0,335
0,402
0,373
Мухин
0,105
0,143
0,124
Бабкин
0,112
0,132
0,109
Шуртиков
0,241
0,262
0,275
Решение: Проранжируем оценки экспертов для каждого претендента,
промежуточные и итоговые расчеты оформим в таблице.
10
10
Si
165,
i 1
Si2
i 1
3421, SW
3421-165•165/10=3421-2722.5=698.5
Тогда значение коэффициента конкордации Кендала равно:
rW
0,9407.
Полученное
значение
свидетельствует
согласованности мнений экспертов.
о
высокой
степени
R1
R2
R3
Si
S i2
Иванов
6
6
4
16
256
Петров
3
1
3
7
49
Сидоров
8
8
6
22
484
Лялькин
5
5
7
17
289
Валькин
7
7
8
22
484
Кузьмин
4
4
5
13
169
Брекоткин
10
10
10
30
900
Мухин
1
3
2
6
36
Бабкин
2
2
1
5
25
Шуртиков
9
9
9
27
729
Итого
165
3421
претенденты
■
2.2. Параметрические коэффициенты взаимосвязи
коэффициент ассоциации Юла применяется для оценки тесноты
взаимосвязи между двумя качественными признаками, каждый из
которых принимает только два возможных значения. Для его расчѐта
составляется таблица «тетрахорических показателей»:
да
нет
да
a
b
нет
c
d
X
Числа a , b , c , d
Y
5 представляют частоты появлений определенных
значений признаков. Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:
K ac .
ad
ad
bc
.
bc
Связь считается достаточно тесной, если K ac .
из частот a , b , c или d
равна нулю, то
0,5. Однако, если одна
K ac .
1, что может не
соответствовать действительности. В таких случаях тесноту взаимосвязи
оценивают с помощью следующего коэффициента.
коэффициент контингенции Пирсона:
ad bc
.
a b b d c d a c
K kont
Связь считается достаточно тесной, если K kont
0,3.
Для качественных признаков, состоящих более чем из двух групп,
тесноту взаимосвязи определяют с помощью коэффициентов взаимной
сопряженности:
коэффициент взаимной сопряженности Пирсона:
KП
φ2
1 φ2
,
2
где φ - показатель взаимной сопряженности: 1
φ
n 2xy
2
i , j nx n y
,
n xy , n x , n y - частоты совместного появления значений признаков и
каждого в отдельности;
коэффициент взаимной сопряженности Чупрова:
KЧ
φ2
,
k1 1 k 2 1
где k1 и k 2 - число значений (групп) соответственно у первого и
второго признаков.
Задачи
2.1 Определите силу взаимосвязи между признаками X и Y с помощью
коэффициента ранговой корреляции Спирмена ( α =0,05):
№завода
Уровень
механизации, X ,%
Трудоемкость
единицы
продукции, Y , млн.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
62
60
64
69
67
61
63
66
65
68
13
14
14
7
13
12
15
10
12
8
2.2 По данным итогов торгов (см. таблицу) на биржевом рынке с 06.03.9*
— 12.03.9* определите степень зависимости средней цены сделки от
номинальной стоимости акции с помощью коэффициентов ранговой
корреляции Спирмена и Кендала ( α =0,05):
№ п/п
Эмитент
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Средневолжский КБ
«Кубань банк»
«Автогаз банк»
АКБ «АвтоВаз банк»
«Алмазы Якутии»
ТНК «Гермес-Союз»
«Олби-Дипломат»
Сиб. торговый банк
«AVVA»
АО «МММ»
Номинал, тыс. Средняя цена сделки, тыс.
руб. X
руб. Y
1,0
2,0
1,0
6,0
1,0
4,0
1,0
4,0
2,5
7,8
10,0
16,0
10,0
11,0
5,0
18,0
10,0
16,4
1,0
5,7
2.3 По следующим данным (см. таблицу) о прибыли ( Y ,млн. руб.),
затратах на 1 рубль произведенной продукции ( X , руб.), стоимости
основных производственных фондов ( Z , млн. руб.) определите тесноту
связи между признаками ( α =0,05):
Y
Z
X
221
96
4,3
1070
77
5,9
1001
78
6,0
606
89
3,9
779
82
4,6
789
81
4,9
2.4
По следующим данным о распределении строительных фирм по
уровню рентабельности R (в %) и удельному весу активной части
основных фондов
d
(в %) рассчитайте коэффициенты взаимной
сопряженности Пирсона и Чупрова:
d
высокий
средний
низкий
высокий
6
10
25
средний
19
30
20
низкий
35
10
5
R
2.5. По данным о распределении числа погибших и раненых в
зависимости от причины наезда рассчитайте показатели взаимосвязи:
причина наезда
погибло
ранено
вина водителей
26807
146685
вина пешеходов
6451
40293
2.6 Вычислите коэффициент взаимной сопряженности Чупрова по
распределению некоторых преступлений в регионе и их раскрываемости
виды преступлений
раскрыты
не раскрыты
разбой
110
40
мошенничество
180
65
50
25
10
20
умышленное
убийство
поджог
Глава 3. Проверка статистических гипотез
3.1. Основные понятия задачи проверки гипотез
Если по результатам проведѐнных экспериментов требуется
проверить
некоторое
совокупности
и
предположение
сделать
относительно
обоснованный
вывод,
статистическая проверка гипотез. Например,
различные
способы
лечения,
или
разные
генеральной
то
используется
если сравниваются
варианты
инвестиций,
измерений, технологических процессов, рассматриваются вопросы об
эффективности нового метода обучения, управления, о значимости
математической модели и т.д. Практической реализации эксперимента
предшествует
этап,
на
котором
исследователь
должен
чѐтко
сформулировать предположение, подлежащее проверке.
Предположительное
совокупности,
проверяемое
статистической
фактического
утверждение
гипотезой.
соответствия
по
относительно
выборочным
Далее
реальных
генеральной
данным,
осуществляется
результатов
называется
проверка
экспериментов
предполагаемой гипотезе. Различают простую и сложную статистические
гипотезы.
Простой
называют
гипотезу,
содержащую
только
одно
предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из
конечного или бесконечного числа простых гипотез. Простая гипотеза, в
отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию
распределения случайной величины. Например, гипотезы «вероятность
появления события в схеме Бернулли равна 1/2», «закон распределения
случайной величины – нормальный с параметрами a
0 , σ 1» -
являются простыми, а гипотезы «вероятность появления события в
схеме Бернулли заключена между 0,3 и 0,6», «закон распределения не
является нормальным» - сложными.
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой или основной
и обозначают H 0 . Наряду с нулевой гипотезой H 0 рассматривают
альтернативную, или конкурирующую, гипотезу H 1 , являющуюся
логическим отрицанием
H 0 . Нулевая и альтернативная гипотезы
представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в
задачах проверки статистических гипотез. Например, для простой
нулевой гипотезы H 0 : p
1/ 2 сложная альтернативная гипотеза может
выглядеть таким образом H 1 : p
1/ 2 или так H 1 : p 1/ 2 или H 1 :
p 1/ 2 .
Правило, по которому принимается решение об отклонении или
принятии основной гипотезы H 0 , называется критерием. Суть проверки
статистической гипотезы заключается в том, что всѐ выборочное
пространство
делится
на
две
взаимодополняющие
области:
критическую область S кр (область неправдоподобно малых и/или
неправдоподобно больших значений) и область допустимых значений
S кр (область правдоподобных значений). В зависимости от вида
альтернативной гипотезы H 1 различают односторонние (критическая
область с одной стороны) и двухсторонние критерии (критических
области две – «два хвоста распределения»). Затем по выборке x1 ,..., xn
определяется специально составленная выборочная характеристика –
критическая статистика θкр x1 , x2 , ..., xn , точное или приближенное
распределение которой известно. Для этого известного распределения
по специальным таблицам находятся точки θкр.н и θкр.в (в случае
точка
θкр
двухсторонней
критической
области)
или
односторонней
критической
области),
разделяющие
(в
случае
критическую
область S кр и область допустимых значений S кр . Для одностороннего
критерия область принятия основной гипотезы имеет ограничение только
с одной стороны (сверху или снизу), соответственно требуется найти
квантиль уровня 1 α , либо квантиль уровня α . Для двухстороннего
критерия область принятия нулевой гипотезы имеет два ограничения –
сверху (квантиль уровня 1 α / 2 ) и снизу (квантиль уровня α / 2 ).
Рассчитывается эмпирическое значение статистики θ эмп подстановкой в
θ кр конкретных выборочных значений. Если θэмп
Sкр , то нулевая
гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза. Если же
θэмп
Sкр , то делается вывод о том, что нет оснований для отклонения
нулевой гипотезы.
Так как исследователь работает с выборочными данными,
которые попадают из генеральной совокупности случайным образом, то
можно совершить ошибки (табл.1).
Таблица 1.
отвергается
гипотеза H 0
не отвергается
верна
правильное решение
ошибка 1-го рода
не верна
ошибка 2-го рода
правильное решение
Если на самом деле верной является нулевая гипотеза, а будет
принята альтернативная гипотеза, то такая ошибка называется ошибкой
первого рода. Вероятность P H1 / H 0
α допустить ошибку 1-го рода
называется уровнем значимости критерия.
Ошибка второго рода – это принятие нулевой гипотезы в то
время, когда на самом деле верной является альтернативная гипотеза.
Вероятность допустить ошибку 2-го рода: P H 0 / H1
При
построении
процедур
проверки
β.
гипотез
желательно
минимизировать значения ошибок обоих родов, но на практике это
невозможно:
при
фиксированном
объѐме
выборки
можно
минимизировать лишь одну из величин α или β , другая при этом будет
увеличиваться.
Поэтому
поступают
таким
образом:
фиксируют
вероятность ошибки первого рода на определѐнном уровне (обычно для
α используют стандартные значения, например, равные 0,05 ; 0,01), а
вероятность ошибки второго рода – минимизируют.
Мощностью критерия называется вероятность не допустить
ошибку 2-го рода P H1 / H1
1 P H0 / H1
1 β . Оптимальным
критерием считается такой, у которого при заданном уровне значимости
α достигается максимальное значение функции мощности критерия
1 β (задача Неймана-Пирсона).
Если
использовать
терминологию
статистического
контроля
качества продукции, то вероятность α можно интерпретировать как
«риск поставщика», т.е. вероятность по результатам выборочного
контроля забраковать всю партию,
удовлетворяющую стандарту; а
вероятность β - «риск потребителя» - вероятность приѐмки плохой
продукции.
Процедура
обоснованного
сопоставления
сформулированной
гипотезы с имеющимися выборочными данными, осуществляемая с
помощью
статистического
критерия,
называется
статистической
проверкой гипотезы.
Разработаны
различные
статистические
критерии
проверки
гипотез, но последовательность шагов действий укладывается в единую
логическую схему:
1.
Выдвигается основная гипотеза H 0 (в качестве нулевой гипотезы
обычно используют то предположение, которое противоречит
наблюдаемым
фактам
и,
скорее
всего,
Формулируется альтернативная гипотеза H 1 .
будет
отклонено).
2.
Задается
уровень
значимости
критерия
α.
Логическим
обоснованием величины α является вес потерь от ошибочного
отклонения гипотезы H 0 (чем больше потери, тем меньшее
значение α необходимо выбирать).
3.
Определяется некоторая функция результатов наблюдений –
критическая статистика - случайная величина, подчиняющаяся
определенному закону распределения вероятностей. Вычисляется
еѐ значение для выборочных данных - θэмп x1 , x2 , ..., xn .
4.
Из
статистических
величины
находим
таблиц
распределения
нижнюю
этой
критическую
случайной
точку
для
неправдоподобно малых значений случайной величины или
верхнюю критическую точку для неправдоподобно больших
значений случайной величины. Для одностороннего критерия
область принятия основной гипотезы ограничена с одной стороны
(и при этом площадь «хвоста» распределения равна α ), для
двухстороннего критерия область принятия основной гипотезы
имеет два ограничения – снизу и сверху (при этом площадь
каждого хвоста равна α / 2 ).
5.
Найденное по таблицам критическое значение θкр сравнивается
с
расчетным
θэмп x1 , x2 , ..., xn . Если расчетное значение
принадлежит области правдоподобных значений, то делается
вывод «основная гипотеза H 0 не противоречит выборочным
данным». В противном случае вывод такой - «основная гипотеза
H 0 отклоняется с ошибкой первого рода α ».
По своему прикладному содержанию статистические гипотезы
можно подразделить на несколько основных типов:
о числовых значениях параметров;
о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;
об однородности выборок;
о согласии эмпирического распределения и выбранной модели;
о стохастической независимости элементов выборки.
3.2. Проверка соответствия эмпирического распределения
выбранной модели
По
эмпирическим
данным
количественным
признаком
распределения,
а
эмпирического
на
наблюдений
можно
найти
основании
распределения
над
оценки
графического
сделать
изучаемым
параметров
изображения
предположение
о
законе
распределения. Далее возникает вопрос о том, насколько велики
расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями.
Для ответа на этот вопрос можно использовать критерии согласия.
χ 2 -критерий Пирсона. Основная гипотеза H 0 : исследуемая
случайная
величина
подчиняется
X
определенному
закону
распределения. Схема применения критерия:
1. по выборочным данным необходимо построить интервальный ряд
распределения (таблицу, в первой строке которой указываются
границы интервалов, а во второй – эмпирические частоты m i );
2. вычисляются вероятности pi попадания случайной величины X в
интервал xi ; xi 1 : pi
P xi
X
xi
1
Ф xi
1
3. определяются теоретические частоты np i ;
4. вычисляем наблюдаемое значение статистики:
2
χ эмп
k
i 1
mi
npi
npi
2
, где k - количество интервалов;
Ф xi ;
5. по таблице критических значений хи-квадрат распределения при
2
заданном уровне значимости α находим значение χ кр
α ; ν , где
число степеней свободы ν
k
m 1, m - число параметров
теоретического распределения (см. Приложение 2);
2
6. если χ эмп
2
, то гипотеза H 0 отклоняется.
χ кр
Замечание*). Малочисленные частоты ( mi
5) следует объединить; в
этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо
сложить. Если производилось объединение частот, то при определении
числа степеней свободы следует в качестве k принять число групп,
оставшихся после объединения частот.
Замечание**). При проверке гипотезы контролируется лишь ошибка
первого рода α , но мы не можем делать вывод о степени риска,
связанного с принятием неверной гипотезы, т.е. с возможностью
совершения ошибки второго рода.
Критерий, основанный на оценках показателей асимметрии
и эксцесса, применяется для проверки гипотезы о том, что исследуемый
признак
имеет
нормальное
распределение.
При
нормальном
распределении показатели асимметрии As и эксцесса E x
некоторой
генеральной совокупности равны нулю. Предположим, что наблюдаемые
значения признака X
совокупности,
представляют собой выборку из генеральной
поэтому
можно
определить
только
выборочные
характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:
1 n 3
x
ni 1 i

As
(
1 n
xi2 )3
ni 1
,
1 n 4
xi
ni 1

Ex
(
1 n
xi2 )2
ni 1
3,
6( n 2)
,
( n 1)( n 3)

As
24 n ( n 2)( n 3)

Ex
,
( n 1) 2 ( n 3)( n 5)


где As - выборочная характеристика асимметрии, E s - выборочная

As
характеристика эксцесса,

E x - соответствующие средние
и
квадратические ошибки.
Если одновременно выполняются следующие неравенства:

As
1,5

 и E
x
As
6
n 1

Ex ,
1,5
то нет оснований для отклонения основной гипотезы о нормальном
характере распределения случайного признака X .
Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

As
2

 либо E
x
As
6

Ex ,
2
n 1
то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.
Кроме описанных выше критериев можно использовать для
проверки гипотезы о соответствии эмпирического закона распределения
выбранной модели критерий Колмогорова.
Пример 3.1. Измерения 100 обработанных деталей дали следующие
отклонения от номинального размера:
-2
2
1
2
-1
-2
3
1
-1
0
0
-1
3
1
2
-3
1
0
1
1
0
1
-1
1
0
2
2
1
0
-1
1
1
4
-1
1
1
-1
0
2
-2
2
0
-2
0
0
-1
1
4
-2
1
-3
0
0
1
4
0
-2
2
1
2
-1
1
0
-1
0
3
1
-2
3
-1
1
2
2
0
-2
1
0
-1
0
3
3
-2
-1
-2
1
0
0
-3
1
0
2
1
0
3
-1
2
1
0
-1
0
Проверить гипотезу о нормальном распределении признака.
Решение:
По
наблюдаемым
значениям
признака
построим
интервальный ряд распределения. Разобьем весь массив наблюдений на
7
групп:
h
xmax
Для
того
k
7.
Вычислим
величину
группировочного
интервала:
xmin / k .
чтобы
получить
выборочные
характеристики
признака,
воспользуемся электронными таблицами Excel. Сначала нужно ввести
исходные данные в виде столбца или строки в Excel. Затем порядок
действий следующий:
Сервис / Анализ данных / Описательная статистика; после ввода
данных и параметров вывода, щѐлкнув по кнопке OK, получаем таблицу:
Среднее
Стандартная ошибка
Медиана
Мода
Стандартное
отклонение
Дисперсия выборки
Эксцесс
Асимметричность
Интервал
Минимум
Максимум
Сумма
Счет
0,4
0,16
0
1
1,6
2,57
-0,32
0,06
7
-3
4
40
100
h 7/7=1. Тогда интервальный ряд распределения будет таким:
Интервал
[-3; -2)
[-2; -1)
[-1; 0)
[0; 1)
[1; 2)
[2; 3)
[3; 4]
частота
13
15
24
25
13
7
3
Построим гистограмму частот (с помощью инструмента «Гистограмма» из
пакета «Анализ данных»):
Гистограмма
30
Частота
25
20
15
10
Частота
5
0
-2
-1
0
1
2
3
Еще
Карман
По виду гистограммы сделаем предположение о том, что признак
может подчиняться нормальному закону распределения вероятностей.
эмпирическая
интервал
частота
вероятности
pi
ni
теоретические
частоты
ni
np i
npi
npi
[-3; -2)
13
0,0546
5,46
10,41
[-2;-1)
15
0,124
12,4
0,545
[-1; 0)
24
0,2105
21,05
0,413
[0; 1)
25
0,2448
24,48
0,011
[1; 2)
13
0,1952
19,52
2,178
[2; 3)
7
[3; 4]
3
10
0,1066
0,0399
0,1465
14,65
Итого:
Таким
образом,
2
15,033.
χ эмп
По
таблице
1,476
15,033
критических
распределения хи-квадрат находим при уровне значимости α
числу степеней свободы ν
2
2
6-2-1=3: χ кр
2
7,82. Так как χ эмп
точек
0,05 и
2
, то
χ кр
основную гипотезу о нормальном распределении признака отклоняем.
Теперь
воспользуемся
критерием,
основанным
на
оценках
показателей асимметрии и эксцесса. По таблице, полученной с помощью
инструмента

Ex
«Описательная
статистика»

As
находим
0,06
и
0,32. Вычислим по приближѐнным формулам их средние
квадратические отклонения:
6 98
101 103

As
0,238 и

Ex
24 100 98 97
101 101 103 105
0,455 .
Проверим, выполняются ли неравенства:

As
0,06 1,5 0,238 0,357 - выполняется;

Ex
6
101
0,261 1,5 0,455 0,683 - верно.
Следовательно, нет оснований для отклонения основной гипотезы о
нормальном характере распределения случайного признака. Мы видим,
что результаты получились различными: по критерию Пирсона гипотеза о
нормальном распределении отклоняется, а по критерию, основанному на
показателях асимметрии и эксцесса – нет оснований для отклонения
основной гипотезы. Более мощным является критерий Пирсона.
■
3.3. Проверка гипотез о значимости коэффициентов взаимосвязи
Статистическая проверка гипотез о значимости коэффициентов
взаимосвязи осуществляется по схеме, изложенной в первом пункте. В
таблице
2
приведены
критерии
проверки
гипотез
о
значимости
коэффициента Фехнера, коэффициента ранговой корреляции Спирмена,
коэффициентов ассоциации и контингенции, коэффициентов взаимной
сопряженности Пирсона и Чупрова, коэффициента ранговой корреляции
Кендала и коэффициента конкордации Кендала.
Таблица 2
нулевая гипотеза H 0
альтернативная
гипотеза H 1
статистика критерия
K
0, где
K - коэффициент
ассоциации Юла или
контингенции Пирсона
K
0
n ad bc 2
a b a c b d c d
2
χ эмп
K
0, где
K - коэффициент взаимной
сопряженности Пирсона или
Чупрова
K
0
r
0, где
r - коэффициент ранговой
корреляции Спирмена или
коэффициент Фехнера
r 0, где
r - коэффициент ранговой
корреляции Кендала
r
r
0
r
0
r
0
0, где
r - коэффициент
конкордации Кендала
ni j
k1 k 2
2
χ эмп
Tэмп
критическая область
i 1j 1
rв
ni n j
2
χ эмп
2
χ кр
α; 1
2
n
ni n j / n
2
χ эмп
2
χ кр
α ; k1 1 k2 1
n 2
, где rв - значение
2
1 rв
коэффициента, вычисленное по данным
выборки
Z эмп
2
χ эмп
rв
9n n 1
2 2n 5
12 SW
kn n 1
Tэмп
Tкр
Z эмп
2
χ эмп
α
,n 2
2
Z кр α
2
χ кр
α; n 1
3.4. Проверка гипотезы о наличии грубых шибок наблюдения
Грубые
ошибки
могут
возникнуть
из-за
ошибок
показаний
измерительных приборов, ошибок регистрации, случайного сдвига
запятой в десятичной записи числа и т.д. Пусть x , x1 , x2 , ..., xn совокупность имеющихся наблюдений, причѐм x
резко выделяется.
Необходимо выяснить, является ли это значение наблюдаемого признака
грубой ошибкой или нет. Для этого рассчитывают среднюю выборочную
x
по
наблюдениям
квадратическое
H0 : x
отклонение
конкурирующей H1 : x
значение
Tэмп
x
sX
среднее
к остальным наблюдениям против
(или x
x
x
исправленное
s X . Необходимо проверить гипотезу
о принадлежности x
x
и
x1 , x2 , ..., xn
x ). Вычисляют эмпирическое
и сравнивают его с критическим
значением
статистики Tкр α , n 1 .
При уровне значимости
0,05 для односторонней критической
области приводится таблица критических значений:
n 1
Tкр
n 1
Tкр
n 1
Tкр
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2,01
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
Если
H1 : x
конкурирующая
гипотеза
имеет
вид
H1 : x
1,64
x
x ), то выбирают одностороннюю критическую область и
(или
критическое значение статистики находят из условия: Ф Tкр
Если Tэмп
1 2α .
Tкр , то основная гипотеза отклоняется.
Пример 3.2. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы на 8
опытных участках одинакового размера (ц/га):
26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Есть основание предполагать,
что значение урожайности третьего участка x
35,9 зарегистрировано
неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся)
на 5%-ном уровне значимости?
Решение:
Исключив значение
35,9 , найдѐм для оставшихся
x
наблюдений x
27,93 (ц/га) и s X
критерия Tэмп
2,98 , а табличное Tкр 2α , 6
то
основная
гипотеза
2,67 (ц/га). Эмпирическое значение
отклоняется,
т.е.
1,94 . Так как Tэмп Tкр ,
значение
x
является
аномальным, и его следует отбросить.
■
Задачи
3.1. В первой случайной репрезентативной выборке объема 400
положительный ответ дали 300 опрошенных, а во второй случайной
репрезентативной выборке объема 600 положительный ответ дали 500
опрошенных. Укажите доверительные границы для долей (вероятностей
положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с
доверительной вероятностью 0,95.
3.2. Для двух независимых выборок объемов n1 =100 и n2 =200 даны
выборочные
средние
x =13,7
и
y =12,1,
выборочные
средние
квадратические отклонения s x =7,3 и s y =2,5. Укажите доверительные
границы для математических ожиданий (с доверительной вероятностью
0,95).
3.3. Производятся
независимые
неизвестной вероятностью
испытания
с
одинаковой,
но
появления события в каждом испытании.
Найдите доверительный интервал с надѐжностью 0,95 для оценки , если
в 60 испытаниях событие появилось 15 раз.
3.4. Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная
вероятность
p
появления события постоянна. Интересующее нас
событие появилось в 250-ти испытаниях. Найдите доверительный
интервал с надѐжностью 0,95 для оценки неизвестной вероятности
появления события p .
3.5. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой
физической величины найдены: среднее арифметическое результатов
измерений
Оцените
и «исправленное» среднее квадратическое отклонение =6.
истинное
значение
измеряемой
величины
с
помощью
доверительного интервала с надѐжностью 0,95. Предполагается, что
результаты измерений распределены нормально.
Глава 4. Корреляционно-регрессионный анализ
4.1. Основные понятия
Корреляционно-регрессионный анализ – это статистический
метод
анализа
выявления
выборочных
взаимосвязи
Предполагается,
что
наблюдений,
между
на
предназначенный
количественными
формирование
для
признаками.
средних
значений
результативного признака Y возможно оказывают влияние факторные
признаки
X1 , X 2 ,..., X k . При этом наблюдения над признаком Y
должны быть независимыми, выборочная совокупность должна быть
достаточно однородной в отношении изучаемого признака и подчиняться
нормальному закону распределения вероятностей по результативному и
факторным признакам.
Задача состоит в том, чтобы:
1) определить, какое влияние оказывают факторные признаки на
результативный признак, насколько тесно они связаны между
собой (корреляционный анализ);
2) установить аналитическое выражение связи, выбрать наилучшую
модель (регрессионный анализ).
Строится статистическая модель: Y
где
f X1 , X 2 ,..., X k
ε,
Y – наблюдаемые значения результативного признака;
f X1 , X 2 ,..., X k – аналитическое выражение для определения
средних значений признака Y ; ε – случайные отклонения.
Линейный регрессионный анализ заключается в подборе
прямой
для набора наблюдений с помощью метода наименьших
квадратов. Линейная статистическая модель имеет вид:
Y
α0
α1 X1 α2 X 2
... αk X k
ε,
где α 0 , α1 ,…, α k – параметры уравнения регрессии; ε – случайное
отклонение.
По
выборке
находят
оценки
параметров
a0 , a1 , a2 ,...,ak
α0 , α1 , α2 ,...,αk . Тогда функция регрессии будет иметь вид:
Yˆ
a0
a1 X1
a2 X 2
... ak X k .
Факторные признаки могут иметь различные единицы измерения.
Чтобы избежать суммирования величин разной размерности функцию
регрессии представляют в стандартизированном масштабе:
ZY
где ZY
Y Y
,
σY
b1 Z X1
Z Xi
b2 Z X 2
... bk Z X k ,
Xi Xi
- стандартизированные переменные,
σXi
bi - стандартизированные коэффициенты регрессии.
Стандартизированный
коэффициент
регрессии
bi
показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения
σY изменится результативный признак Y , если фактор X i увеличится
на σ X
i
при неизменном влиянии прочих факторов модели. Связь
коэффициентов множественной регрессии ai со стандартизированными
коэффициентами описывается соотношением:
ai
bi
σY
.
σXi
Для того, чтобы выяснить, насколько процентов в среднем
изменится результативный признак Y , если факторный признак X i
увеличится на 1% от своего среднего уровня при неизменных значениях
остальных
факторов,
эластичности:
рассчитывают
Ei Y
ai
Xi
.
Y
средние
коэффициенты
Коэффициенты эластичности и стандартизированные частные
коэффициенты
регрессии
можно
использовать
для
ранжирования
факторов по силе влияния на результат. Чем больше величина Ei Y
или bi , тем сильнее влияет фактор X i на результат Y .
Качество
модели
регрессии
связывают
с
адекватностью
модели наблюдаемым (эмпирическим) данным и осуществляют на
основе анализа остатков: ei
yi
yˆ i , где yi - i-ое наблюдаемое
yˆ i - расчетное i-ое значение
значение результативного признака,
результативного признака, полученное на основе функции регрессии.
Отношение
2
(дисперсии
Yˆ
признака Y , «объясненную» уравнением
регрессии) к общей дисперсии результативного признака σY2
коэффициентом детерминации:
R
2
2
Yˆ
2
Y
1
называют
2
e ,
2
Y
где σ e2 - дисперсия остатков.
Проверка значимости уравнения регрессии осуществляется с
помощью критерия Фишера: выдвигают основную гипотезу H 0 : R
2
0о
незначимости уравнения в целом и альтернативную ей гипотезу H 1 :
R2
0 о значимости уравнения. Эмпирическое значение F -статистики:
Fэмп
R2
n k 1
k
1 R2
сравнивают с критическим значением Fкр α , γ1 , γ 2 , где α =0,05 –
уровень
значимости;
γ1
k,
γ2
n k 1
-
степени
свободы
распределения Фишера-Снедеккора. Если
Fэмп
Fкр α , γ1 , γ 2 , то
гипотезу о незначимости отвергают.
Оценку качества построенной модели дает также средняя
ошибка аппроксимации:
1 n yi yˆ i
100 .
n i 1 yi
A
Допустимый предел значений A - не более 8-10%.
Для количественной оценки взаимосвязи двух наборов данных,
представленном
в
безразмерном
виде,
используется
парный
коэффициент корреляции rij :
cov X i , X j
si s j
rij
,
где cov X i , X j - ковариация факторов X i и X j , si и s j - выборочные
средние квадратические отклонения этих факторов.
Из
парных
коэффициентов
корреляций
составляется
корреляционная матрица:
X1
X2
X3
…
Xk
X1
1
X2
r21
1
X3
r31
r32
1
:
:
:
:
:
:
Xk
rk 1
rk 2
rk 3
…
1
При построении уравнения множественной регрессии может
возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной
линейной
связанности.
коллинеарны, если rij
Считается,
0,7 .
что
две
переменные
явно
По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается
лишь
явная
коллинеарность
факторов.
Для
оценки
мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель
матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами det R .
Чем ближе det R к 0, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и
ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем
ближе det R к 1, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Для
проверки
основной
гипотезы
H 0 : det R 1
вычисляют
эмпирическое значение статистики:
2
χ эмп
n 1
1
2k 5 lg det R
6
и сравнивают его с критическим значением.
2
Если χ эмп
1
2
χ кр
α , n n 1 , то гипотеза H 0 - отклоняется. Для
2
небольших выборок ( n
15 ) критическое значение находят по таблицам,
2
а для выборок большего объема χ кр
1
1,96
2
2
2n - 1 .
Другая проблема, которая может возникнуть при построении
модели множественной регрессии – наличие гетероскедастичности.
Это значит, что для каждого значения фактора X i остатки εi имеют
различную дисперсию. Для проверки на наличие гетероскедастичности
можно использовать тест Голфелда-Квандта (при небольшом объме
выборки), либо тест ранговой корреляции Спирмена.
4.2. Парная регрессионная модель
Пусть имеется n наблюдений над двумя признаками X и Y . Их
наблюдаемые значения
xi , yi
можно представить в виде точек на
плоскости. Полученное множество точек («облако точек») называется
корреляционным полем. Визуальный анализ расположения этого
«облака» позволяет сформулировать гипотезу о наличии и форме связи
между признаками.
Для оценки тесноты линейной связи между факторным и
результативным
признаками
и
X
вычисляют
Y
выборочный
коэффициент корреляции:
r
____
__ __
xy
x y
x
Статистическая
оценка
.
y
средних
значений
результативного
признака Y в зависимости от различных значений факторного признака
X называется парной регрессией: Y

f X . Различают линейные и
нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: Y
a0
a1 X
ε (по значениям выборочного
коэффициента корреляции и оценке средних значений факторного и
результативного
ˆy
r
σY
x
σX
x
признаков
можно
получить
уравнение
регрессии:
y ).
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии,
нелинейные
относительно
включѐнных
в
анализ
объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии,
нелинейные
по
оцениваемым
параметрам.
Обычно
функциональные зависимости следующих видов:
полиномы Y
a0
a1 X
гипербола Y
a0
a1
X
степенная Y
a0 X a1 ε;
ε;
a2 X 2
... ak X k ε;
используются
a0 a1X ε;
показательная Y
экспоненциальная Y
e a0 a1 X ε;
полулогарифмическая Y
обратная Y
a0
1
a0
a1 X
ε
ε;
a1 ln X
.
Схема исследования в процессе построения эконометрической
модели:
1.
Анализ экономических показателей; формулировка гипотез для
построения модели.
2.
Математическое
описание
связей
в
модели;
проведение
корреляционного анализа; выявление наличия взаимосвязи между
показателями (если еѐ нет – возвращаемся к 1 этапу);
3.
Выявление мультиколлинеарности (если она есть - устранение).
4.
Проверка идентифицируемости системы; использование методов
оценивания параметров уравнений системы с учѐтом результатов
проверки идентифицируемости системы; проведение дисперсионного
анализа.
5.
Проверка значимости модели в целом (если модель незначима –
возвращаемся
к
1
этапу);
проверка
значимости
параметров
(исключение незначимых параметров и вновь оценка параметров).
6.
Вычисление показателей, характеризующих точность модели и еѐ
прогностические способности.
Пример 4.1. Ниже приводятся данные о личных потребительских
расходах населения США за 1959-1983 гг. на бензин (Y, $млрд.),
располагаемом личном доходе (X, $млрд.) и индексе цен (P, в %):
годы
Y
X
P
1959
13,7
479,7
116,43
1960
14,2
489,7
117,52
1961
14,3
503,8
115,57
1962
14,9
524,9
114,65
1963
15,3
542,3
112,97
1964
16,0
580,8
111,20
1965
16,8
616,3
113,34
1966
17,8
646,8
112,72
1967
18,4
673,5
113,51
1968
19,9
701,3
110,88
1969
21,4
722,5
109,73
1970
22,9
751,6
105,84
1971
24,2
779,2
102,28
1972
25,4
810,3
100,00
1973
26,2
865,3
103,50
1974
24,8
858,4
127,00
1975
25,6
875,8
125,96
1976
26,8
906,8
124,75
1977
27,7
942,9
124,70
1978
28,3
988,8
121,60
1979
27,4
1015,5
149,66
1980
25,1
1021,6
188,77
1981
25,1
1049,3
193,52
1982
25,3
1058,3
173,11
1983
26,1
1095,4
161,47
а) постройте модели, описывающие зависимость Y от X и P; дайте
интерпретацию параметрам каждой модели;
б) выберите наилучшую модель, обоснуйте свой выбор.
Решение:
а) 1. Предположим, что модель зависимости Y от X и P – линейная
относительно каждого фактора и аддитивная:
Y
α0
α1X
α2 P
ε,
где α 0 , α1, α 2 - параметры модели, которые требуется оценить,
-
случайная компонента, наличие которой обусловлено всеми факторами,
не включенными в модель (несущественными).
Для оценки параметров модели будем использовать инструмент
анализа данных РЕГРЕССИЯ. В рассматриваемом примере результативным признаком является Y, факторные признаки – это признаки X и
P. Результаты регрессионного анализа:
Вывод итогов:
Регрессионная статистика
Множественный R
0,9856
R-квадрат
0,9709
Нормированный R-квадрат
0,9683
Стандартная ошибка
0,8964
Наблюдения
25
Дисперсионный анализ:
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
2
590,36
295,181
367,335
1,25508E-17
Остаток
22
17,67
0,804
Итого
24
608,04
станкоэффи-
дартная
циенты
ошибка тистика
t-ста-
ниж-
верх-
P-зна-
ние
ние
чение
95%
95%
Y-пересечение
8,139
0,91
8,91
9,45711E-09 6,24
10,03
X
0,031
0,001
24,90
1,30365E-17 0,02
0,03
P
-0,084
0,009
-8,86
1,03588E-08 -0,10
-0,06

Y
Для функции спроса на бензин получено следующее уравнение:
a0
a1 X
a2 P
8 ,139
0 ,031 X
0 ,084 P .
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии
результативного признака характеризует коэффициент детерминации:
n
R2
1
i 1
n
i 1
yi

yi
2
y
2
,
yi
где y - среднее значение результативного признака, вычисленное по
исходным данным; yi - фактическое значение результативного признака;

yi - значение, найденное из уравнения регрессии.
Для полученного уравнения значение коэффициента достаточно
высокое: R
2
0 ,971, т. е. на 97,1% вариация результативного признака
объясняется вариацией учтенных в уравнении регрессии факторов.
Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как
1 R2
0 ,029 , т. е. как 2,9%. Это свидетельствует о достаточно тесной
взаимозависимости между факторными и результативным признаками.
Качество выбранной модели оценивается с помощью F критерия Фишера:
n
Fфакт
i 1

yi
y
n
2
:i
m
yi
1

yi
2
n m 1
,
где n - объем выборки; m - число факторов.
По
данным
таблиц
дисперсионного
Вероятность ошибки при этом
анализа: Fфакт
367 ,335 .
мы получили очень маленькую: F -
значимость=1,26Е-17.
Оценим качество построенного уравнения регрессии с помощью средней
ошибки аппроксимации: A

1 n yi yi
100
n i 1 yi
3 ,188 %.
Выясним, какую интерпретацию имеет каждый коэффициент в
полученном
уравнении
регрессии.
Найдем
частные
производные
результативного признака по факторам:

Y
X
0,031 - это характеристика предельной склонности к потреб-
лению бензина при увеличении дохода на единицу. При каждом
увеличении располагаемого личного дохода на 1 $млрд. (при сохранении постоянных цен) расходы на бензин увеличатся на 31 $млн.

Y
P
0,084 - это предельная склонность к потреблению бензина при
увеличении на единицу индекса цен. На каждую единицу увеличения
индекса цен (при сохранении постоянных доходов) расходы на бензин
уменьшатся на 84 $млн. Чистый эффект в любой момент времени будет
зависеть не только от этих коэффициентов, но также от размеров
изменений X и P.
Значения частных производных можно использовать для вычисления
средних коэффициентов эластичности по каждому фактору:
EX Y
a1
X
Y
0 ,031
780 ,032
21,7
1,114 ;
EP Y
a2
P
Y
0 ,084
123 ,8
21,7
0 ,479 .
2. Предположим теперь, что модель зависимости Y от
X и P –
степенная относительно каждого фактора и мультипликативная:
Y
α0 X α1 P α2 ε ,
где α0 , α1 , α2 - параметры модели, которые требуется оценить, ε случайная компонента.
Прологарифмируем обе части этого уравнения:
ln Y
ln α0
α1 ln X
α2 ln P
ln ε .
Полученная новая модель является уже линейной по ln X , ln P и
аддитивной,
поэтому для
воспользоваться
знакомым
РЕГРЕССИЯ
«Пакета
из
нахождения
нам
оценок
параметров
инструментом
анализа».
Но
–
сначала
можно
программой
мы
должны
преобразовать исходные данные: по наблюдаемым значениям признака
Y вычислим ln Y (с помощью математической функции LN), от значений
признаков X и P также перейдем к lnX и lnP.
Результаты применения регрессионного анализа:
Вывод итогов:
Регрессионная статистика
Множественный R
0,9904
R-квадрат
0,9809
Нормированный R-квадрат
0,9791
Стандартная ошибка
0,0359
Наблюдения
25
Дисперсионный анализ
Регрессия
Остаток
Итого
df
2
22
24
SS
1,464
0,028
1,493
MS
0,732
0,001
F
Значимость F
565,56 1,21887E-19
коэффициенты
Yпересечение
lnX
lnP
стандартt-станая
тистика
ошибка
P-значение
нижние верхние
95%
95%
-1,985
0,21
-9,52
2,8997E-09
-2,41
-1,55
1,077
-0,436
0,04
0,05
31,09
-8,73
1,1227E-19
1,3271E-08
1,01
-0,54
1,14
-0,33
Итак, получаем следующее уравнение:

lnY
1,986 1,077 ln X
0 ,436 ln P .
Значение коэффициента детерминации R
2
0 ,981, Fфакт
565 ,659 , F
- значимость=1,22Е-19.
Средняя ошибка аппроксимации: A

1 n yi yi
100
n i 1 yi
0 ,954 %.
Для рассматриваемой модели содержательная интерпретация
параметров
иная.
Из
полученного
логарифмического
уравнения
регрессии выразим результативный признак:

Y
0 ,137 X 1,077P
0 ,436
.
Найдем частные производные результативного признака по факторным:

Y
X
0 ,137 1,077 X 1,077 1P 0 ,436;

Y P 0 ,137
0 ,436 X 1,077P
0 ,436 1
.
Коэффициенты эластичностей спроса по доходу и спроса по цене:

EX Y
X

Y

Y
X
1,077 ;

EP Y
P 
 Y
Y
P
0,436 .
Это означает, что при увеличении доходов на 1% (при неизменных
ценах) спрос на бензин в среднем увеличивается на 1,077%. При
увеличении индекса цен на 1% (при неизменном доходе) спрос в среднем
снижается на 0,436%. Таким образом, в степенной модели параметры
имеют содержательную интерпретацию, отличную от интерпретации
параметров линейной модели: параметр
α1
эластичности спроса по доходу, параметр
-
это коэффициент
α 2 - это коэффициент
эластичности спроса по цене.
б) Итак, мы построили две модели: линейную, аддитивную и степенную,
мультипликативную. Наилучшей моделью является та, у которой
наибольший коэффициент детерминации и при этом наименьшее
значение ошибки (F - значимость), а также наименьшее значение
средней ошибки аппроксимации. Мы видим, что в нашем случае
наилучшей является степенная модель. Отметим, что полученный
результат согласуется с экономической теорией: бензин является
ценным товаром (так как коэффициент эластичности спроса по доходу

EX Y
1) и товаром неэластичного спроса (так как коэффициент

эластичности спроса по цене E P Y
1).
■
В рассмотренном примере можно было бы выяснить и такие
вопросы, например:
нет ли факторов, которые следовало бы дополнительно включить
в уравнение?
не следует ли исключить из уравнения какой-то фактор?
насколько корректно измерены наши данные, представляют ли
они то, что должны представлять по нашему мнению?
верно
ли,
что
модель
мультипликативная?
Верна
ли
экономическая теория?
является ли модель полной? (В данном примере мы имеем дело с
уравнением
спроса
и
не
принимаем
во
внимание
уравнение
предложения. Что произойдет, если мы будем изучать спрос и
предложение одновременно?)
достаточно ли изучать макроэкономическое уравнение, подобно
приведенному выше, для ответа на интересующие нас вопросы, или
необходимо изучать также индивидуальные (микро) данные?
приведенная выше модель является статической. Возможно,
более подходящей была бы динамическая модель. Например, можно
предположить, что прошлогодний доход может влиять на текущий
уровень потребления или, что текущий уровень потребления зависит от
прошлых привычек потребления. В этом случае мы должны учесть это в
уравнении.
4.3. Проверка модели на адекватность
Проверка модели на адекватность предполагает исследование
остатков ei на наличие следующих пяти предпосылок применения
метода наименьших квадратов (МНК):
1) случайный характер остатков;
2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x i ;
3) гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинакова
для всех значений x i ;
4) отсутствие автокорреляции остатков (значения остатков
ei
распределены независимо друг от друга;
5) остатки подчиняются нормальному распределению.
1.
Проверка на случайный характер остатков.
С этой целью строится график зависимости остатков ei от
рассчитанных по модели значений результативного признака. Если на
графике получена горизонтальная полоса, то остатки ei представляют
собой случайные величины и МНК оправдан, рассчитанные значения yˆ x
хорошо аппроксимируют фактические значения y . Но возможны и другие
случаи. Тогда необходимо либо применять другую функцию, либо
вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение
регрессии, до тех пор, пока остатки ei не будут случайными величинами.
Также для проверки случайного характера остатков можно
использовать следующий критерий.
Критерий серий. Данный критерий основан на медиане выборки. Ряд из
остатков ei располагают в порядке возрастания значений ei и находят
медиану полученного ряда, т.е серединное значение при нечетном n и
среднее
арифметическое
из
двух
серединных
при
четном
n.
Возвращаясь к исходной последовательности ei , сравнивают значения
этой последовательности с медианой. i -ому значению присваивают тип
A , если значение превосходит медиану, и тип B , если значение меньше
или равно медианы. Последовательность подряд идущих одинаковых
букв A или B называется серией. Для того, чтобы последовательность
остатков была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии
не должна быть слишком большой, а общее число серий – слишком
малым.
Выборка признается случайной, если выполняются следующие
неравенства для 5% - ого уровня значимости:
K max
3.3 lg n 1 ,
ν 1 / 2 ( n 1 1,96
где K max - протяженность самой длинной серии,
n 1),
- общее число серий,
[] – целая часть числа. Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается,
то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от
тренда отвергается.
2.
Проверка равенства математического ожидания случайной
компоненты нулю.
Вторая
предпосылка
МНК
величины остатков означает, что
относительно
y
yˆ x
нулевой
средней
0.
Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных
относительно включенных переменных.
Для моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам и
приводимым к линейному виду логарифмированием, средняя ошибка
равна нулю для логарифмов исходных данных.
Если случайная компонента распределена по нормальному
закону, то проверка равенства ее математического ожидания нулю может
быть произведена на основе T
– критерия Стьюдента. Расчетное
значение этого критерия задается формулой:
Tэмп
где
e
0
e
se
n,
- среднее арифметическое значение уровней остаточной
последовательности,
se
–
стандартное
(среднеквадратическое)
отклонение для этой последовательности.
Если
Tэмп
Tкр α , n 1 ,
то
гипотеза
о
равенстве
нулю
математического ожидания случайной последовательности отвергается.
3.
Гомоскедастичность.
Для проверки нарушения этого условия можно использовать тест
Голфелда-Квандта (при небольшом объме выборки), либо тест ранговой
корреляции Спирмена (между x i и ei ) – см. пункт 2.1, стр.15.
4.
Проверка
независимости
значений
уровней
случайной
компоненты.
Механизм влияния результатов предыдущих наблюдений на
результаты
последующих
случайные величины
i
математически
выражается
в
том,
что
в регрессионной модели не оказываются
независимыми, в частности условие r i , j
0 не выполняется. Это
явление называется автокорреляцией.
Тест Дарбина – Уотсона. Этот простой критерий определяет наличие
автокорреляции между соседними членами. Тест основан на простой
идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она
присутствует и в остатках регрессии ei :
1) вычисляют эмпирическое значение критерия:
n
ei 1 2
ei
d эмп
i 2
n
.
ei2
i 1
2)
Критическое значение критерия d при любом данном уровне
значимости зависит от количества наблюдений в выборке, от значений
изучаемого признака, поэтому не существует критических значений
критерия, но есть таблицы для верхних dU и нижних d L границ d кр .
При подозрении на наличие положительной автокорреляции выводы
делают по следующей схеме:
если d эмп
d L , то d эмп
d кр , поэтому основная гипотеза об
отсутствии автокорреляции отклоняется;
если d эмп
dU , то d эмп
d кр , и, следовательно, нет оснований
для отклонения основной гипотезы;
если d L
dU , то дать однозначный ответ нельзя.
d эмп
Расчетное
значение
критерия
в
интервале
от
0
до
2
свидетельствует о положительной автокорреляции, а в интервале от 2 до
4 об отрицательной автокорреляции. Во втором случае расчетное
значение преобразуется по формуле d
4 d и
в
дальнейшем
используют значение d .
Критерий Дарбина-Уотсона обладает одним недостатком: зоной
неопределенности. Если расчетное значение попало в такую зону, то
можно
воспользоваться
и
другим
критерием
на
выявление
автокорреляции.
Тест серий (Бреуша – Годфри). Тест основан на следующей идее:
если
имеется
корреляция
между
соседними
естественно ожидать, что в уравнении et
et
наблюдениями,
(где
1
регрессии, полученные обычным МНК), коэффициент
отличающимся
от
авторегрессионным
нуля.
Заметим,
уравнением
что
первого
et
то
- остатки
окажется значимо
уравнение
порядка.
является
Практическое
применение теста заключается в оценивании методом наименьших
квадратов регрессии et
положительный,
автокорреляция,
et
. Если коэффициент авторегрессии
1
следовательно,
если
присутствует
отрицательный
–
положительная
отрицательная
автокорре-
ляция. Значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью T
– критерия:
– коэффициент регрессии значим на уровне α, если
расчетное значение Tэмп
Tкр
α
, n 2 . В формуле
2
ρ 0
s2
s
2
n
1
( xi
x )2 , больше критического
( y yˆ i )2
.
n 2
Преимущество теста Бреуша – Годфри по сравнению с тестом Дарбина –
Уотсона
заключается
в
том,
что
он
проверяется
с
помощью
статистического критерия, между тем как тест Дарбина – Уотсона
содержит зону неопределенности для значений статистики d. Еще одно
преимущество – это возможность обобщения: в число регрессоров могут
быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3, и т. д., что
позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между
более отдаленными наблюдениями. Коэффициент авторегрессии
представляет
собой
коэффициент
корреляции
между
возмущениями e и e t 1 , или коэффициент автокорреляции
соседними
1.
При несоблюдении предпосылок МНК приходится корректировать
модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые
факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить
оценки
коэффициентов
несмещенности, имеют
регрессии,
которые
меньшее значение
обладают
дисперсии
свойством
остатков и
обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую
проверку значимости параметров регрессии. Также для этой цели служит
и применение обобщенного МНК.
5.
Проверка соответствия распределения случайной компоненты
нормальному закону распределения.
Это можно сделать либо с помощью критерия согласия Пирсона,
либо с помощью критерия, основанного на показателях асимметрии и
эксцесс, или с помощью R / S - критерия.
R / S - критерий: по наибольшему emax и наименьшему emin
значениям остатков и среднеквадратическому отклонению остатков se
вычисляется эмпирическое значение статистики R / S эмп
emax
emin
se
.
Если
R / S эмп
R / Smin , R / Smax ,
то
гипотеза
H0 о
нормальном распределении остатков отклоняется.
Границы критического значения статистики при уровне значимости
α =0,05 приводятся ниже в таблице.
n
R/ S
R/ S
min
max
n
R / Smin
R / Smax
8
2,5
3,308
20
3,18
4,32
10
2,67
3,57
25
3,34
4,53
12
2,8
3,78
30
3,47
4,7
14
2,92
3,95
35
3,58
4,84
16
3,01
4,09
40
3,67
4,96
18
3,1
4,21
50
3,83
5,14
Задачи
4.1 Имеются данные о личном доходе и личных сбережениях в
Великобритании (в млрд. ф. ст.):
Год
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
Доход, X
8,8
9,4
10,0
10,6
11,0
11,9
12,7
13,5
14,3
15,5
16,7
17,7
18,6
19,7
21,1
22,8
23,9
25,2
Сбережения, Y
0,36
0,21
0,08
0,20
0,10
0,12
0,41
0,50
0,43
0,59
0,90
0,95
0,82
1,04
1,53
1,94
1,75
1,99
Постройте
корреляционное
поле.
Сделайте
предположение
о
характере зависимости.
Определите
тесноту
взаимосвязи
между
признаками. Проверьте
значимость
коэффициента
взаимосвязи на уровне
значимости
Получите
регрессии.
α =0,05.
уравнение
4.2. Изучается зависимость стоимости одного экземпляра книг (руб. Y )
от тиража (тыс. экземпляров, X ) по следующим данным:
X
1
2
3
5
10
20
30
50
Y
9,10
5,30
4,11
2,83
2,11
1,62
1,41
1,30
Сделайте предположение о характере зависимости. Постройте модели,
выберите лучшую, оцените значимость коэффициентов регрессии.
4.3. Имеются данные по странам за 1994 г. о душевом доходе (по
паритету покупательной способности валют) -
X
(долл.), индексе
человеческого развития - Y1 , индексе человеческой бедности - Y2 :
Страна
X
ОАЭ
1600
Таиланд
7100
Уругвай
6750
Ливия
6130
Колумбия
6110
Иордания
4190
Египет
3850
Марокко
3680
Перу
3650
Шри-Ланка
3280
Филиппины
2680
Боливия
2600
Китай
2600
Зимбабве
2200
Пакистан
2150
Уганда
1370
Нигерия
1350
Индия
1350
1) Получите
описательные
Y1
0,866
0,833
0,883
0,801
0,848
0,730
0,514
0,566
0,717
0,711
0,672
0,589
0,626
0,513
0,445
0,328
0,393
0,446
статистики.
Y2
14,9
11,7
11,7
18,8
10,7
10,9
34,8
41,7
22,8
20,7
17,7
22,5
17,5
17,3
46,8
41,3
41,6
36,7
Проверьте
характер
распределения признаков. При необходимости удалите аномальные
наблюдения.
2) Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.
3) Постройте парные линейные уравнения регрессии, принимая душевой
доход
в
качестве
объясняющей переменной.
Постройте
графики
остатков. Сделайте выводы.
4) Оцените значимость уравнений регрессии в целом и их параметров.
Сравните полученные результаты, выберите лучшую модель.
4.4. Имеются следующие данные по странам за 1997 г.:
Страна
Австрия
Австралия
Аргентина
Белоруссия
Бельгия
Бразилия
Великобритания
Венгрия
Германия
Греция
Дания
Египет
Израиль
Индия
Испания
Италия
Канада
Казахстан
Китай
Латвия
Нидерланды
Норвегия
Польша
Республика Корея
Россия
Румыния
США
Турция
Украина
Финляндия
Франция
Чехия
Швейцария
X1
X2
Y
77,0
78,2
72,9
68,0
77,2
66,8
77,2
70,9
77,2
78,1
75,7
66,3
77,8
62,6
78,0
78,2
79,0
67,7
69,8
68,4
77,9
78,1
72,5
72,4
66,6
69,9
76,6
69,0
68,8
76,8
78,1
73,9
78,6
3343
3001
3136
3101
3543
2938
3237
3402
3330
3575
3808
3289
3272
2415
3295
3504
3056
3007
2844
2861
3259
3350
3344
3336
2704
2943
3642
3568
2753
2916
3551
3177
3280
0,904
0,922
0,827
0,763
0,923
0,739
0,918
0,795
0,906
0,867
0,905
0,616
0,883
0,545
0,894
0,900
0,932
0,740
0,701
0,744
0,921
0,927
0,802
0,852
0,747
0,752
0,927
0,728
0,721
0,913
0,918
0,833
0,914
Швеция
78,5
3160
0,923
ЮАР
64,1
2933
0,695
Япония
80,0
2905
0,924
X 1 - ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет;
X 2 - суточная калорийность питания населения, ккал на душу;
Y - индекс человеческого развития.
1)
Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.
2)
Постройте парные уравнения регрессии.
3)
Оцените статистическую значимость уравнений и их параметров с
помощью критериев Фишера и Стьюдента.
4)
Постройте уравнение множественной регрессии.
5)
Постройте графики остатков. Сделайте выводы.
6) Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии
на гетероскедастичность, применив тест Голфельда-Квандта.
7) Оцените статистическую
значимость уравнения множественной
регрессии. Определите, какое уравнение лучше использовать для
прогноза: парную регрессию Y на X 1 ; парную регрессию Y на X 2 ;
множественную регрессию.
4.5. В представленной ниже таблице приводятся данные о деятельности
крупнейших компаний США 1996г.
1)
Рассчитайте
параметры
линейного
уравнения
множественной
регрессии с полным перечнем факторов.
2) Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с
помощью средних коэффициентов эластичности.
3) Оцените статистическую значимость параметров регрессионной
модели с помощью
t -критерия; нулевую гипотезу о значимости
уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F критерия.
4) Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
5) Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее
параметры.
6) Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные
значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
№ п/п Оборот кап. Исп. Капитал Числ-сть служ-х Чистый доход
Y , млрд.$
X 3 , тыс.чел.
X 1 , млрд.$
X 2 , млрд.$
1
6,9
83,6
222,0
6,6
2
18,0
6,5
32,0
3,0
3
107,9
50,4
82,0
6,5
4
16,7
15,4
45,2
3,3
5
79,6
29,6
299,3
0,1
6
16,2
13,3
41,6
3,6
7
5,9
5,9
17,8
1,5
8
53,1
27,1
151,0
5,5
9
18,8
11,2
82,3
2,4
10
35,3
16,4
103,0
3,0
11
71,9
32,5
225,4
4,2
12
93,6
25,4
675,0
2,7
13
10,0
6,4
43,8
1,6
14
31,5
12,5
102,3
2,4
15
36,7
14,3
105,0
3,3
16
13,8
6,5
49,1
1,8
17
64,8
22,7
50,4
2,4
18
30,4
15,8
480,0
1,6
19
12,1
9,3
71,0
1,4
20
31,3
18,9
43,0
0,9
*) Для того чтобы получить точечные оценки характеристик
распределения изучаемого признака,
анализа
данных
Описательная
можно использовать инструмент
статистика
(порядок
действий
следующий: Сервис/Анализ данных/Описательная статистика; после
ввода данных и параметров вывода, щелкнув по кнопке ОК, вы получите
таблицу с оценками математического ожидания, дисперсии, моды,
медианы, коэффициентов асимметрии и эксцесса, минимальную и
максимальную величину наблюдаемых значений признака, размах
варьирования).
Глава 5. Анализ временных рядов
Последовательность
упорядоченных
во
времени
числовых
показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления,
называется временным рядом (или динамическим рядом). Значения
уровней динамического ряда изменяются во времени под воздействием
целого ряда факторов:
1)
общее изменение значений признака во времени называется
трендом ( T );
2)
если значения признака подвержены колебаниям, повторяющимся
в течение небольшого промежутка времени, то они называются
сезонной вариацией ( S );
3)
колебания,
повторяющиеся
в
течение
более
длительного
промежутка времени (более года, на протяжении ряда лет)
называются циклической вариацией или конъюнктурной ( K );
4)
кроме того, возможны нерегулярные колебания, случайные ( E ),
являющиеся результатом действия большого числа относительно
слабых второстепенных факторов.
Таким образом, временной ряд можно представить в виде:
Yt
f T ,S,K ,E .
В социально-экономических временных рядах можно наблюдать
тенденции трех видов: среднего уровня; дисперсии; автокорреляции.
В настоящее время имеется около десятка критериев для
проверки наличия тренда, различающихся как по мощности, так и по
сложности математического аппарата: метод средних; фазочастотный
критерий знаков первой разности Валлиса и Мура; критерий Кокса и
Стюарта; метод серий; метод Фостера-Стюарта и т. д.
Метод Фостера-Стюарта, кроме определения наличия тенденции
среднего уровня, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней
временного ряда, и состоит из следующих этапов:
1) сравнивается каждый уровень ряда со всеми предыдущими, при
этом вводятся вспомогательные переменные:
если yi
yi
1 , yi
2 ,..., y1 , то
если yi
yi
1 , yi
2 ,..., y1 , то
ui
ei
1
;
0
ui
0
ei
1
.
2) вычисляются значения суммарных характеристик:
n
S
ui
ei
иd
i 1
Показатель
характеризует
Показатель
d
S
имеет
ui
ei ;
i 1
может
изменение
n
принимать
тенденции
пределы
1 n
значения
среднего
d
0
уровня
n 1
и
n 1 и
S
признака.
характеризует
тенденцию изменения дисперсии временного ряда. Оба показателя
асимптотически нормальны и имеют независимые распределения.
3) с помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том,
можно ли считать случайными разности S
μиd
0:
вычисляются эмпирические значения статистики Стьюдента:
Tэмп S
S μ
и Tэмп d
σS
d 0
,
σd
где μ - среднее значение S , определенное для ряда, в котором
уровни расположены случайным образом; σ S и σ d - стандартные
ошибки S и d , значения которых приводятся ниже в таблице для
выборок небольшого объема:
4) если
неравенство
n
μ
σS
σd
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
3,858
4,636
5,195
5,632
5,990
6,294
6,557
6,790
6,998
7,187
1,288
1,521
1,677
1,791
1,882
1,956
2,019
2,072
2,121
2,163
1,964
2,153
2,279
2,373
2,447
2,509
2,561
2,606
2,645
2,681
при
заданном
Tэмп
уровне
Tкр α , n ,
то
α
значимости
соответствующая
выполняется
гипотеза
об
отсутствии тренда отклоняется.
После того, как установлено наличие тенденции в ряду динамики,
производится ее описание с помощью методов сглаживания. Эти методы
разделяются на 2 основные группы:
1) Сглаживание
или
механическое
выравнивание
отдельных
членов ряда с использованием фактических значений соседних
уровней (метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней
(программа «Скользящее среднее» из пакета «Анализ данных»,
Excel));
2) Выравнивание
с
применением
кривой
-
аналитическое
выравнивание.
Целью аналитического выравнивания временного ряда является
определение аналитической или графической зависимости
трендовой модели Yt
тенденции.
f t
εt ,
f t
для
где εt - случайные отклонения от
Функцию
f t
выбирают таким образом, чтобы она давала
содержательное объяснение изучаемого процесса. Чаще всего при
выравнивании используются следующие зависимости:
линейная: f t
α0
α1t ;
e α0 α1t ;
экспоненциальная: f t
степенная: f t
α0t α1 ;
гипербола: f t
α0
α1
;
t
α0
полиномы различной степени: f t
логистическая кривая: f t
K
1 c
кривая Гомперца: f t
α0 t
α1t
α2t 2
...αk t k ;
;
K α0 α1t .
Существует несколько способов определения типа тенденции. К
числу наиболее распространенных способов относятся качественный
анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика
зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных
показателей динамики. В этих же целях можно использовать и
коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно
определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого
порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда.
Если временной ряд имеет
линейную тенденцию, то его соседние
уровни yt и yt 1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент
автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть
высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию,
например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции
первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше,
чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем
сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде,
тем
в
большей
степени
будут
различаться
значения
указанных
коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит
нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных
форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного
коэффициента детерминации. Выбирается уравнение с максимальным
значением этого коэффициента.
Оценка параметров αi осуществляется следующими методами:
методом избранных точек;
методом наименьших расстояний;
методом наименьших квадратов (МНК).
При проверке построенной модели на адекватность необходимо
убедиться в отсутствии существенной автокорреляции в остатках. Для
выявления автокорреляции используют критерий Дарбина-Уотсона:
1) вычисляют эмпирическое значение критерия:
n
ei 1 2
ei
d эмп
i 2
n
.
ei2
i 1
2) Критическое значение критерия d при любом данном уровне
значимости зависит от количества наблюдений в выборке, от значений
изучаемого признака, поэтому не существует критических значений
критерия, но есть таблицы для верхних dU и нижних d L границ d кр .
При подозрении на наличие положительной автокорреляции выводы
делают по следующей схеме:
если d эмп
a.
d L , то d эмп
d кр , поэтому основная гипотеза об
отсутствии автокорреляции отклоняется;
если
b.
dU , то
d эмп
d кр , и, следовательно, нет
d эмп
оснований для отклонения основной гипотезы;
если d L
c.
Если
в
наблюдаются
d эмп
dU , то дать однозначный ответ нельзя.
анализируемой
устойчивые
временной
отклонения
от
последовательности
тенденции,
то
можно
предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или
нескольких) колебательных процессов.
Для проверки гипотезы о наличии периодических колебаний
можно использовать критерий «пиков и ям», состоящий из следующих
этапов:
1) подсчитывают число экстремальных точек ряда («пики» и «ямы»)
ˆp
n 1
или
pi , где p i
i 2
2) для
, если
1
0 в
случайного
ряда
yi
1
yi
1
yi
yi
yi
противном
1
1
случае
математическое
ожидание
числа
2n 2
, поэтому если имеет место
3
экстремальных точек равно p
неравенство ˆp
yi
p 1,96 σ 2p , то гипотеза о наличии периодических
колебаний отклоняется; здесь σ 2p
16n 29 / 90 .
В зависимости от взаимосвязи компонент временного ряда между
собой может быть построена либо аддитивная модель:
Yt
T
S
K
E,
либо мультипликативная модель:
Yt
T S K E
Задачи
5.1
Динамика
выпуска
продукции
Финляндии
за
1965-1996
гг.
характеризуется следующими данными (млн. долл.):
ti
Yt
ti
Yt
ti
Yt
ti
Yt
1
2
3
4
5
6
7
8
1427
1505
1513
1635
1987
2306
2367
2913
9
1
11
12
13
14
15
16
3837
5490
5502
6342
7665
8570
11172
14150
17
18
19
20
21
22
23
24
14004
13088
12518
13471
13617
16356
20037
21748
25
26
27
28
29
30
31
32
23298
26570
23080
23981
23446
29658
39573
38435
Оцените параметры линейного и экспоненциального трендов. Выберите
наилучший вид тренда на основании графического изображения и
значения коэффициента детерминации.
5.2 Имеются данные об экспорте Yt и импорте Z t Германии, млрд. долл.
За 1985-1996 гг.:
ti
Yt
Zt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
184
243
294
323
341
410
403
422
382
430
524
521
158
191
228
280
270
346
390
402
346
385
464
456
1) Постройте график одновременного движения экспорта и импорта;
2) По каждому ряду постройте тренды и выберите лучший из них.
3) Получите уравнение регрессии и оцените тесноту и силу связи двух
рядов (по отклонениям от тренда и по множественной регрессионной
модели с включением в нее фактора времени).
4) Выполните прогноз уровней одного ряда исходя из его связи с
уровнями другого ряда.
5) Прогнозные значения уровней ряда и доверительный интервал
прогноза нанесите на график.
5.3
За последние 11 кварталов товарооборот компании ―Amada plc‖,
скорректированный по инфляции, составил:
Год
Квартал
Товарооборот
1
1
22
2
28
2
3
34
4
27
1
31
2
43
3
43
4
41
1
46
3
2
53
3
56
1) В предположении существования линейного тренда постройте модель
с аддитивной компонентой.
2) Сделайте прогноз на ближайшие три квартала. Прокомментируйте
вопрос о вероятной точности ваших прогнозов.
3) Постройте график временного ряда.
5.4. Положение дел в компании ―Double-Flood‖ достаточно тяжело. Ниже
приводятся данные о прибыли компании за последние 10 кварталов
(скорректированные по инфляции):
Год
Квартал
Прибыль
1)
Постройте
1
1
146
2
106
модель
2
3
123
4
89
временного
1
97
2
74
ряда
3
3
80
с
4
53
1
56
2
35
мультипликативной
компонентой.
1) Дайте прогноз на 3-ий и 4-ый квартал 3-го года.
2) Постройте график временного ряда.
5.5 Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации
(млрд. долл., цены Фондовой Общероссийской биржи) за 1994-1999 гг.:
№ квартала
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
экспорт
4087
4737
5768
6005
5639
6745
6311
7107
5741
7087
7310
8600
№ квартала
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
экспорт
6975
6891
7527
7971
5875
6140
6248
6041
4626
6501
6284
6707
Используя критерий «пиков» и «ям», проверьте наличие сезонной
компоненты. В случае ее обнаружения постройте аддитивную и
мультипликативную модели временного ряда. Оцените качество каждой
модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего
относительного отклонения. Выберите лучшую модель.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Задача 1.
В таблицах на стр. 76-79 приводятся наблюдаемые выборочные
значения исследуемого признака
Xk
(номер признака
студент
определяет по своему порядковому номеру в журнале).
Задание:
1)
получить интервальный вариационный ряд (разбить выборку на 5
групп);
построить
гистограмму
относительных
частот
и
сформулировать гипотезу о характере распределения признака;
2)
от интервального ряда распределения перейти к дискретному и
построить полигон относительных частот;
3)
построить эмпирическую функцию распределения;
4)
получить точечные оценки параметров распределения признака и
интервальные с надѐжностью 0,95;
5)
проверить гипотезу о законе распределения признака;
Задача 2.
В таблице на стр. 80-81 приведены ежегодные данные о
потребительских расходах и располагаемых личных доходах для США на
период с 1959 по 1983 гг. По своему порядковому номеру в журнале
студент определяет номер результативного признака Yk . Факторный
признак X у всех одинаковый.
Задание:
1) получите точечные и интервальные оценки средних значений каждого
признака с надѐжностью γ =0,95;
2) постройте корреляционное поле. Сформулируйте гипотезу о форме
связи;
3) рассчитайте параметры уравнения парной регрессии;
4) оцените тесноту связи с помощью показателя детерминации;
5)
оцените
качество
уравнения
с
помощью
средней
ошибки
аппроксимации;
6)
дайте
с
помощью
среднего
коэффициента
эластичности
сравнительную оценку силы связи фактора с результатом;
7) рассчитайте ожидаемое значение результата, если значение фактора
увеличится на 5% от его последнего значения.
Рассматриваются
следующие
показатели
(млрд.долл.
в
сопоставимых ценах):
факторный
признак
X
-
совокупные
результативные признаки:
Y1 – совокупные личные расходы;
Y2 – текущие расходы на питание;
Y3 – расходы на одежду;
Y4 – расходы на бензин;
Y5 – расходы на косметику;
Y6 – расходы на лекарства;
Y7 – плата за жильѐ;
Y8 – расходы на ювелирные изделия;
Y9 – оплата услуг стоматологов;
Y10 – расходы на табак;
Y11 – плата за телефон;
Y12 – оплата медицинских услуг;
Y13 – расходы отдых;
Y14 – расходы на частное образование;
Y15 – расходы на посуду.
личные
доходы;
Исходные данные для задачи №1:
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
10,19
3,72
1,24
3,14
30,65
7,38
-1,18
1,12
7,36
8,43
1,60
-3,51
69,08
-3,44
2,63
11,76
14,07
4,39
0,54
5,70
37,61
5,55
1,48
1,05
10,02
3,68
2,19
-7,98
87,82
-0,85
2,45
-0,65
11,86
8,32
-0,94
-6,19
94,40
-4,73
4,14
-1,99
11,02
3,80
-0,56
8,60
77,60
-4,10
4,44
12,91
10,93
3,62
1,21
-3,81
2,46
-12,02
-0,84
-4,39
8,19
4,55
-0,12
-6,95
45,25
-5,62
3,85
1,01
9,78
3,14
2,14
4,25
5,13
10,72
2,42
12,01
10,11
8,84
2,25
-10,74
55,74
-1,85
0,54
9,68
9,18
4,35
0,72
2,31
42,42
4,70
1,46
5,53
9,23
1,34
0,91
-1,41
80,48
-1,37
6,45
3,79
13,03
5,48
2,09
2,29
28,26
0,35
1,95
3,95
7,42
4,06
3,26
3,46
51,76
0,41
1,21
3,80
12,46
4,87
1,80
-3,71
17,81
-4,99
3,19
3,12
8,35
2,46
1,10
-5,17
11,14
-10,02
4,63
-5,46
12,34
2,03
1,19
1,43
9,86
8,49
4,80
-9,90
7,27
5,93
-0,49
2,86
37,24
-0,89
1,02
0,34
7,95
4,51
0,53
10,20
62,66
-2,72
1,44
10,76
10,05
5,03
0,33
-0,03
10,89
-1,15
-0,03
-1,02
8,78
3,88
1,16
-1,51
46,17
8,35
0,68
-8,70
8,57
6,17
-1,95
-1,48
2,37
-0,57
2,13
1,73
13,94
4,33
1,08
-6,93
6,46
6,47
4,05
-2,67
7,36
2,40
-1,78
-2,13
86,13
3,57
4,11
7,35
7,74
7,25
1,82
-3,67
17,99
3,56
3,99
-7,24
12,75
4,45
-0,03
4,38
64,17
-5,78
3,44
5,61
Продолжение таблицы:
9,68
3,26
3,74
6,94
69,70
3,21
2,53
-3,70
7,23
5,37
1,53
-2,78
45,28
-6,40
2,58
1,60
7,54
5,02
0,22
3,03
43,68
-0,16
1,22
6,33
12,97
7,12
-1,75
5,20
36,49
-0,36
0,97
0,27
9,57
9,25
3,47
-2,59
65,78
3,47
0,92
9,29
7,67
7,65
-0,16
-2,67
97,32
4,71
4,26
1,06
10,95
5,27
0,90
-0,62
81,35
12,23
1,14
2,34
11,82
4,15
-0,96
8,59
91,86
1,61
1,24
6,07
6,41
4,28
0,29
-0,06
15,76
-1,30
0,08
5,13
8,25
3,02
1,71
-2,03
37,25
13,53
0,26
6,54
12,75
4,16
2,26
1,79
87,01
18,25
2,56
-1,83
11,77
3,33
0,29
4,90
88,84
-9,32
1,45
14,04
12,94
1,40
-0,90
3,04
15,45
1,18
2,67
3,40
11,23
5,08
-0,54
5,53
13,72
2,70
3,91
2,22
10,79
3,00
0,85
0,39
92,32
4,68
0,80
15,03
7,04
5,30
1,90
-2,24
39,19
6,54
2,82
7,10
11,96
6,04
-0,94
-6,29
86,79
-5,03
1,81
-10,38
6,95
6,53
-0,67
-3,63
29,96
1,11
3,41
11,97
9,88
7,13
0,89
-2,19
61,62
3,41
2,92
7,83
11,83
6,40
1,46
5,74
47,83
-5,97
0,97
1,89
12,11
5,74
2,85
3,67
39,96
10,05
3,01
3,41
11,70
4,15
-0,85
5,91
46,18
-6,21
1,25
5,54
8,32
3,06
-0,40
-0,34
82,89
-3,43
2,37
4,86
9,94
6,47
-1,28
8,95
57,75
1,71
3,48
5,81
Исходные данные для задачи №1:
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
3,10
-7,89
37,21
2,31
0,54
10,75
14,49
1,91
-3,90
39,14
6,97
7,98
17,87
17,47
-0,38
0,28
-41,86
4,15
7,09
13,52
18,40
-0,65
-4,20
0,37
3,87
10,92
14,53
15,99
2,88
-10,03
1,49
5,83
8,73
18,22
19,16
0,11
-8,58
11,54
2,97
-3,43
12,76
18,91
1,57
-8,05
44,15
4,85
4,21
13,23
15,49
1,46
-4,10
-7,88
4,30
5,29
16,89
10,95
4,55
-3,84
-40,13
2,63
-0,05
14,29
13,75
-0,22
-2,73
37,70
1,69
-0,20
14,93
16,34
2,28
-6,74
-31,94
4,69
3,69
12,39
12,78
0,04
-9,23
-26,87
3,10
4,33
16,79
14,28
0,39
-3,27
-28,18
1,66
6,56
14,22
17,77
-1,22
0,63
37,00
4,75
1,19
13,56
9,78
-1,15
-6,47
-40,31
4,43
-2,62
11,25
18,34
0,83
-3,02
-43,79
3,60
3,61
13,92
13,22
-0,88
-4,20
-10,16
4,92
4,16
10,37
21,98
3,45
-4,29
-48,65
2,66
3,89
16,63
10,62
0,28
-1,22
33,56
3,55
-0,86
12,79
15,14
0,85
-2,88
12,30
-0,49
-3,90
9,51
12,46
1,83
-10,31
45,62
1,84
3,51
22,38
16,41
1,49
-6,09
-44,74
3,59
0,09
13,20
18,62
0,70
-2,75
-13,01
4,00
-12,37
14,73
21,36
0,58
-4,63
-35,10
3,05
5,65
16,23
10,53
2,64
-9,26
41,92
4,37
-4,22
12,68
12,12
Продолжение таблицы:
2,65
-5,09
-20,97
3,32
7,65
11,21
14,10
-0,10
-5,47
33,04
5,64
8,73
16,29
13,90
3,58
-9,90
7,70
2,08
5,49
13,26
12,10
0,70
-0,82
-7,97
3,71
-8,97
12,42
14,38
0,03
-6,90
-23,53
4,38
1,73
17,21
18,37
0,61
-2,86
-4,77
5,34
15,06
19,17
14,71
3,06
-1,98
33,41
3,24
-0,56
11,08
13,64
-0,24
-0,58
25,83
1,67
0,18
16,72
15,85
-0,26
-1,63
48,38
3,88
8,40
9,82
16,02
2,49
-7,11
-0,45
1,78
1,05
11,21
8,84
1,50
-7,44
-15,33
3,92
0,09
11,58
14,23
2,45
-0,61
-19,79
0,90
7,80
16,45
15,27
-0,66
-4,54
-17,20
3,92
4,24
12,48
14,27
-1,74
-6,73
-2,85
2,90
7,52
18,18
17,69
1,14
-5,94
-43,11
3,20
3,19
16,25
17,78
-0,44
-11,46
-40,51
2,51
0,88
16,92
20,57
-0,54
-5,65
-30,83
3,31
-5,26
18,82
11,01
3,49
-2,64
-8,64
6,02
1,87
15,81
15,89
1,08
-7,53
-7,03
2,44
8,25
16,21
13,93
0,34
-5,79
34,12
5,00
1,49
19,30
15,70
-0,65
-4,71
-47,22
3,73
-0,02
17,13
19,09
1,69
-3,63
-41,47
5,45
5,78
10,39
16,05
-1,71
-10,85
-29,49
4,40
-1,50
17,97
18,99
1,56
-8,65
11,93
1,98
-3,05
15,69
15,29
3,32
-1,55
42,75
-0,12
6,16
11,50
16,15
Исходные данные для задачи №2:
годы
X
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
1959
479,7
440,4
99,7
36,3
13,7
3,1
3,5
60,9
1960
489,7
452,0
100,9
36,6
14,2
3,5
3,9
64,0
1961
503,8
461,4
102,5
37,3
14,3
3,9
4,3
67,0
1962
524,9
482,0
103,5
38,9
14,9
4,2
4,7
70,7
1963
542,3
500,5
104,6
39,6
15,3
4,5
4,9
74,0
1964
580,8
528,0
108,8
42,6
16,0
4,8
5,1
77,4
1965
616,3
557,5
113,7
44,2
16,8
5,3
5,3
81,6
1966
646,8
585,7
116,6
46,9
17,8
5,9
5,5
85,3
1967
673,5
602,7
118,6
46,9
18,4
6,3
5,8
89,1
1968
701,3
634,4
123,4
49,0
19,9
6,6
6,4
93,5
1969
722,5
657,9
125,9
50,0
21,4
6,8
7,0
98,4
1970
751,6
672,1
129,4
49,4
22,9
7,0
7,7
102,0
1971
779,2
696,8
130,0
51,8
24,2
7,1
8,0
106,4
1972
810,3
737,1
132,4
55,4
25,4
7,4
8,7
112,5
1973
865,3
768,5
129,4
59,3
26,2
7,9
9,3
118,2
1974
858,4
763,6
128,1
58,7
24,8
7,8
9,8
124,2
1975
875,8
780,2
132,3
60,9
25,6
7,4
9,7
128,3
1976
906,8
823,1
139,7
63,8
26,8
7,5
10,0
134,9
1977
942,9
864,3
145,2
67,5
27,7
7,8
10,2
141,3
1978
988,8
903,2
146,1
73,6
28,3
8,1
10,4
148,5
1979
1015,5
927,6
149,3
76,7
27,4
8,4
10,8
154,8
1980
1021,6
931,8
153,2
77,9
25,1
8,3
10,7
159,8
1981
1049,3
950,9
153,0
82,6
25,1
8,3
10,6
164,8
1982
1058,3
963,3
154,6
84,2
25,3
8,1
10,3
167,5
1983
1095,4
1009,2
161,2
88,5
26,1
8,1
10,2
171,3
Продолжение таблицы
X
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
479,7
2,2
3,2
10,7
4,7
8,8
9,6
5,6
2,6
489,7
2,2
3,2
10,9
5,0
9,0
10,0
6,0
2,5
503,8
2,2
3,3
11,2
5,4
9,1
10,4
6,3
2,5
524,9
2,3
3,5
11,2
5,7
9,8
10,9
6,6
2,6
542,3
2,5
3,4
11,4
6,1
10,2
11,3
7,0
2,5
580,8
2,6
3,9
11,3
6,6
11,9
11,6
7,4
2,8
616,3
2,9
4,0
11,6
7,3
12,1
11,9
8,1
3,1
646,8
3,6
4,1
11,7
8,1
12,1
12,4
8,8
3,5
673,5
3,9
4,3
11,8
8,7
12,5
12,7
9,3
3,7
701,3
4,1
4,4
11,7
9,5
12,8
13,4
10,0
3,8
722,5
4,1
4,8
11,4
10,4
13,6
14,1
10,6
3,8
751,6
4,1
5,1
11,7
11,2
14,4
14,6
10,9
3,7
779,2
4,3
5,1
11,8
11,7
14,8
15,1
11,2
3,8
810,3
4,6
5,3
12,2
12,4
15,7
15,8
11,7
4,0
865,3
5,2
6,1
12,8
13,7
16,9
16,9
11,9
4,2
858,4
5,4
6,2
13,0
14,4
17,2
17,6
11,7
4,1
875,8
5,5
6,4
12,9
15,9
17,8
17,9
12,1
3,7
906,8
6,1
6,9
13,7
17,1
18,0
19,1
12,2
3,9
942,9
6,3
7,2
13,1
18,3
19,2
20,4
12,2
4,1
988,8
6,8
8,1
13,5
20,0
18,6
21,8
12,7
4,3
1015,5
6,7
7,9
13,7
21,6
20,1
22,2
13,1
4,5
1021,6
6,3
8,1
13,6
22,7
21,5
23,4
13,3
4,4
1049,3
6,6
8,5
14,0
23,3
22,0
26,1
13,7
4,4
1058,3
6,7
8,6
13,7
24,1
22,4
27,7
13,6
4,3
1095,4
7,0
8,5
13,0
24,2
23,3
29,8
13,7
4,7
Вопросы к зачѐту:
1.
Назовите
основные
направления
научной
и
прикладной
деятельности в эконометрике.
2.
Какие разделы прикладной статистики применяются для анализа
экономических данных?
3.
Какие
типы
данных
используются
при
моделировании
экономических процессов и объектов?
4.
Какие задачи решаются в эконометрике?
5.
Перечислите особенности эконометрических данных.
6.
Какие
методы
(параметрические
или
непараметрические)
в
основном используются в эконометрике?
7.
Запишите основные требования, предъявляемые к точечным
оценкам параметров распределения.
8.
Чем отличаются параметрические методы оценивания параметров
от непараметрических?
9.
Сформулируйте критерий проверки гипотезы об однородности двух
биномиальных выборок.
10.
Как можно проверить гипотезу о равенстве математических
ожиданий двух выборок при заданном уровне значимости α=0,05?
11.
Сформулируйте критерий проверки гипотезы об однородности
функций распределения двух выборок при заданном уровне
значимости α=0,05.
12.
Перечислите
основные
шкалы
измерения
и
допустимые
преобразования в них.
13.
Какие методы используются при получении экспертных оценок?
14.
Сформулируйте основной принцип анализа оценок экспертов.
15.
Какие методы используются для обработки мнений экспертов?
16.
С помощью каких коэффициентов можно определить взаимосвязь
качественных признаков, состоящих из двух групп?
17.
С помощью каких коэффициентов можно определить взаимосвязь
качественных признаков, состоящих более чем из двух групп?
18.
Какие коэффициенты используются для определения тесноты
взаимосвязи
между
признаками
(качественными
и
количественными)?
19.
Как вычисляется выборочный коэффициент корреляции между
двумя признаками X и Y, в каких единицах он измеряется и что
характеризует?
20.
Дайте определение и экономическую интерпретацию коэффициента
регрессии для парной линейной модели.
21.
Дайте определение коэффициента эластичности результативного
признака Y по факторному признаку X . В каких единицах он
измеряется и что показывает?
22.
Что характеризует коэффициент детерминации, чем он отличается
от коэффициента корреляции и когда они равны?
23.
Как
вычисляется
средняя
ошибка
аппроксимации
и
каков
допустимый предел еѐ значений?
24.
Если известны X , Y , σ X , σY и r , то каким будет уравнение парной
линейной регрессии?
25.
Приведите примеры моделей парной регрессии: а) линейной по
переменной; б) нелинейной по переменной; в) линейной по
параметрам; г) нелинейной по параметрам.
26.
Сформулируйте условия Гаусса-Маркова.
27.
Перечислите «патологии» корреляционно-регрессионного анализа.
28.
Как записать функцию множественной регрессии, чтобы избежать
суммирования величин (факторов) разной размерности?
29.
С помощью каких коэффициентов можно ранжировать факторы по
силе их влияния на результативный признак?
30.
Что показывает стандартизированный коэффициент регрессии?
31.
Дайте
определение
мультиколлинеарности.
Как
можно
еѐ
гетероскедастичности.
Как
можно
еѐ
обнаружить?
32.
Дайте
определение
обнаружить?
33.
Дайте определение временного ряда и назовите его компоненты.
34.
Перечислите виды тренда социально-экономических временных
рядов.
35.
Какие статистические критерии позволяют обнаружить тренд?
36.
Какие модели используются для описания взаимосвязи между
компонентами временного ряда?
37.
Какие методы применяются для сглаживания временного ряда?
38.
Перечислите способы определения типа тенденции временного
ряда.
39.
С какой целью используется критерий «пиков и ям»?
40.
Сформулируйте критерий Дарбина-Уотсона.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Значения функции Лапласа Ф(z)
z
Ф(z)
z
Ф(z)
z
z
1
2π Ф( z)
t2
e 2 dt
-
z
Ф( z)
0,00
0,5000
0,40
0,6554
0,80
0,7881
1,20
0,8849
0,01
0,5040
0,41
0,6591
0,81
0,7910
1,21
0,8869
0,02
0,5080
0,42
0,6628
0,82
0,7939
1,22
0,8883
0,03
0,5120
0,43
0,6664
0,83
0,7967
1,23
0,8907
0,04
0,5160
0,44
0,6700
0,84
0,7995
1,24
0,8925
0,05
0,5199
0,45
0,6736
0,85
0,8023
1,25
0,8944
0,06
0,5239
0,46
0,6772
0,86
0,8051
1,26
0,8962
0,07
0,5279
0,47
0,6808
0,87
0,8078
1,27
0,8980
0,08
0,5319
0,48
0,6844
0,88
0,8106
1,28
0,8997
0,09
0,5359
0,49
0,6879
0,89
0,8133
1,29
0,9015
0,10
0,5398
0,50
0,6915
0,90
0,8159
1,30
0,9032
0,11
0,5438
0,51
0,6950
0,91
0,8186
1,31
0,9049
0,12
0,5478
0,52
0,6985
0,92
0,8212
1,32
0,9066
0,13
0,5517
0,53
0,7019
0,93
0,8238
1,33
0,9082
0,14
0,5557
0,54
0,7054
0,94
0,8264
1,34
0,9099
0,15
0,5596
0,55
0,7088
0,95
0,8289
1,35
0,9115
0,16
0,5636
0,56
0,7123
0,96
0,8315
1,36
0,9131
0,17
0,5675
0,57
0,7157
0,97
0,8340
1,37
0,9147
0,18
0,5714
0,58
0,7190
0,98
0,8365
1,38
0,9162
0,19
0,5753
0,59
0,7224
0,99
0,8389
1,39
0,9177
Продолжение таблицы
z
Ф(z)
z
Ф(z)
z
Ф( z)
z
Ф( z)
0,20
0,5793
0,60
0,7257
1,00
0,8413
1,40
0,9192
0,21
0,5832
0,61
0,7291
1,01
0,8438
1,41
0,9207
0,22
0,5871
0,62
0,7324
1,02
0,8461
1,42
0,9222
0,23
0,5910
0,63
0,7357
1,03
0,8485
1,43
0,9236
0,24
0,5948
0,64
0,7389
1,04
0,8508
1,44
0,9251
0,25
0,5987
0,65
0,7422
1,05
0,8531
1,45
0,9265
0,26
0,6026
0,66
0,7454
1,06
0,8554
1,46
0,9279
0,27
0,6064
0,67
0,7486
1,07
0,8577
1,47
0,9292
0,28
0,6103
0,68
0,7517
1,08
0,8599
1,48
0,9306
0,29
0,6141
0,69
0,7549
1,09
0,8621
1,49
0,9319
0,30
0,6179
0,70
0,7580
1,10
0,8643
1,50
0,9332
0,31
0,6217
0,71
0,7611
1,11
0,8665
1,51
0,9345
0,32
0,6255
0,72
0,7642
1,12
0,8686
1,52
0,9357
0,33
0,6293
0,73
0,7673
1,13
0,8708
1,53
0,9370
0,34
0,6331
0,74
0,7703
1,14
0,8729
1,54
0,9382
0,35
0,6368
0,75
0,7734
1,15
0,8749
1,55
0,9394
0,36
0,6406
0,76
0,7764
1,16
0,8770
1,56
0,9406
0,37
0,6443
0,77
0,7794
1,17
0,8790
1,57
0,9418
0,38
0,6480
0,78
0,7823
1,18
0,8810
1,58
0,9429
0,39
0,6517
0,79
0,7852
1,19
0,8830
1,59
0,9441
Продолжение таблицы
z
Ф(z)
z
Ф(z)
z
Ф( z)
z
Ф( z)
1,60
0,9452
1,84
0,9671
2,16
0,9846
2,64
0,9959
1,61
0,9463
1,85
0,9678
2,18
0,9854
2,66
0,9961
1,62
0,9474
1,86
0,9686
2,20
0,9861
2,68
0,9963
1,63
0,9484
1,87
0,9693
2,22
0,9868
2,70
0,9965
1,64
0,9495
1,88
0,9699
2,24
0,9875
2,72
0,9967
1,65
0,9505
1,89
0,9706
2,26
0,9881
2,74
0,9969
1,66
0,9515
1,90
0,9713
2,28
0,9887
2,76
0,9971
1,67
0,9525
1,91
0,9719
2,30
0,9893
2,78
0,9973
1,68
0,9535
1,92
0,9726
2,32
0,9898
2,80
0,9974
1,69
0,9545
1,93
0,9732
2,34
0,9904
2,82
0,9976
1,70
0,9554
1,94
0,9738
2,36
0,9909
2,84
0,9977
1,71
0,9564
1,95
0,9744
2,38
0,9913
2,86
0,9979
1,72
0,9573
1,96
0,9750
2,40
0,9918
2,88
0,9980
1,73
0,9582
1,97
0,9756
2,42
0,9922
2,90
0,9981
1,74
0,9591
1,98
0,9761
2,44
0,9927
2,92
0,9982
1,75
0,9599
1,99
0,9767
2,46
0,9931
2,94
0,9984
1,76
0,9608
2,00
0,9772
2,48
0,9934
2,96
0,9985
1,77
0,9616
2,02
0,9783
2,50
0,9938
2,98
0,9986
1,78
0,9625
2,04
0,9793
2,52
0,9941
3,00
0,99865
1,79
0,9633
2,06
0,9803
2,54
0,9945
3,20
0,99931
1,80
0,9641
2,08
0,9812
2,56
0,9948
3,40
0,99966
1,81
0,9649
2,10
0,9821
2,58
0,9951
3,60
0,999841
1,82
0,9656
2,12
0,9830
2,60
0,9953
3,80
0,999928
1,83
0,9664
2,14
0,9838
2,62
0,9956
4,00
0,999968
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Квантили распределения χ k2 , p : p
k
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
75
100
0,01
0,0002
0,02
0,12
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,02
7,63
8,26
8,90
9,54
10,20
10,86
11,52
12,2
12,88
13,56
14,26
14,95
22,16
29,71
49,5
70,07
0,025
0,003
0,05
0,21
0,48
9,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
6,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
24,4
32,4
52,9
74,2
1
2
0,05
0,004
0,10
0,35
0,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,58
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,12
10,85
11,59
12,34
13,09
13,85
14,61
15,37
16,15
16,93
17,71
18,49
26,51
34,76
66,1
77,93
k/2
Г k/2
0,95
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,06
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,69
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,89
40,11
41,34
42,56
43,77
56,76
67,51
96,2
124,34
χ k2 , p
x k / 2 1e
x/2
dx
0
0,975
5,02
7,38
9,36
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,6
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
59,3
71,4
100,8
129,6
0,99
6,64
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,72
26,22
27,68
29,14
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
43,98
44,31
45,64
46,96
48,28
49,59
50,89
63,69
76,15
106,4
135,81
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Квантили распределения Фишера f k ,k , p :
1 2
k1
k2
p
n1 / 2
p
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
40
50
60
100
120
200
Г k1 k2 / 2
Г k1 / 2 Г k2 / 2
f k1 , k 2 , p
x k1 / 2
0
1
k
1 1x
k2
0,95, что соответствует правосторонней области с
1
2
3
4
5
161
18,5
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,85
4,67
4,6
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,24
4,17
4,08
4,03
4,00
3,94
3,92
3,89
200
19,0
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,38
3,32
3,23
3,18
3,15
3,09
3,07
3,04
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
2,99
2,92
2,84
2,79
2,76
2,70
2,68
2,65
225
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,76
2,69
2,61
2,56
2,52
2,48
2,45
2,41
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,2
3,11
3,02
2,96
2,9
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,60
2,53
2,45
2,29
2,37
2,19
2,29
2,14
6
8
12
α
k1 k 2 / 2
dx
0,05
30
50
100
234
239
244
248
252
253
19,33 19,37 19,41 19,44 19,47 19,49
8,94 8,84 8,74 8,66 8,58 8,56
6,16 6,04 5,91 5,80 5,70 5,66
4,95 4,82 4,68 4,56 4,44 4,40
4,28 4,15 4,00 3,87 3,75 3,71
3,87 3,73 3,57 3,38 3,32 3,27
3,58 3,44 3,28 3,15 3,03 2,98
3,37 3,23 3,07 2,86 2,80 2,76
3,22 3,07 2,91 2,77 2,64 2,59
3,09 2,95 2,79 2,57 2,51 2,46
3,00 2,85 2,69 2,54 2,40 2,35
2,92 2,77
2,6
2,38 2,31 2,26
2,85
2,7
2,53 2,31 2,24 2,19
2,79 2,64 2,48 2,25 2,18 2,12
2,74 2,59 2,42 2,19 2,12 2,07
2,70 2,55 2,38 2,15 2,08 2,02
2,66 2,51 2,34 2,11 2,04 1,98
2,63 2,48 2,31 2,07 2,00 1,94
2,60 2,45 2,28 2,12 1,96 1,90
2,49 2,34 2,16 1,92 1,84 1,78
2,42 2,27 2,09 1,93 1,76 1,69
2,34 2,18 2,00 1,74 1,66 1,59
2,13 2,02 1,95 1,78 1,60 1,52
2,25 2,10 1,92 1,65 1,56 1,48
2,03 1,92 1,85 1,63 1,48 1,39
2,17 2,02 1,83 1,55 1,46 1,37
1,98 1,87 1,80 1,62 1,42 1,32
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
d -статистика Дарбина-Уотсона: d L и dU , уровень значимости в 5%
k=1
k=2
k=3
n
dL
dU
dL
dU
dL
dU
10
0,88
1,32
0,70
1,64
0,53
2,02
11
0,93
1,32
0,66
1,60
0,60
1,93
12
0,97
1,33
0,81
1,58
0,66
1,86
13
1,01
1,34
0,86
1,56
0,72
1,82
14
1,05
1,35
0,91
1,55
0,77
1,78
15
1,08
1,36
0,95
1,54
0,82
20
1,20
1,41
1,10
1,54
25
1,29
1,45
1,21
30
1,35
1,49
35
1,40
40
k=4
k=5
dL
dU
dL
dU
1,75
0,69
1,97
0,56
2,21
1,00
1,68
0,90
1,83
0,79
1,99
1,55
1,12
1,66
1,04
1,77
0,95
1,89
1,28
1,57
1,21
1,65
1,14
1,74
1,07
1,83
1,52
1,34
1,58
1,28
1,65
1,22
1,73
1,16
1,80
1,44
1,54
1,39
1,60
1,34
1,66
1,29
1,72
1,23
1,79
45
1,48
1,57
1,43
1,62
1,38
1,67
1,34
1,72
1,29
1,78
50
1,50
1,59
1,46
1,63
1,42
1,67
1,38
1,72
1,34
1,77
55
1,53
1,60
1,49
1,64
1,45
1,68
1,41
1,72
1,38
1,77
60
1,55
1,62
1,51
1,65
1,48
1,69
1,44
1,73
1,41
1,77
65
1,57
1,63
1,54
1,66
1,50
1,70
1,47
1,73
1,44
1,77
70
1,58
1,64
1,55
1,67
1,52
1,70
1,49
1,74
1,46
1,77
75
1,60
1,65
1,57
1,68
1,54
1,71
1,51
1,74
1,49
1,77
80
1,61
1,66
1,59
1,69
1,56
1,72
1,53
1,74
1,51
1,77
85
1,62
1,67
1,60
1,70
1,57
1,72
1,55
1,75
1,52
1,77
90
1,63
1,68
1,61
1,70
1,59
1,73
1,57
1,75
1,54
1,78
95
1,64
1,69
1,62
1,71
1,60
1,73
1,58
1,75
1,56
1,78
100
1,65
1,69
1,63
1,72
1,61
1,74
1,59
1,76
1,57
1,78
Список литературы
1.
Айвазян
С.А.,
Бежаева
З.И.,
Сттароверов
О.В.
Прикладная
статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных.
– М.: Финансы и статистика, 1997. – 240 с.
2.
Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. /
3-е изд. – М.: «Наука» Главная редакция физико-математической
литературы, 1983. – 416 с.
3.
Доугерти К. Введение в эконометрику, перевод с англ. – М.: ИНФРАМ, 1997 г. – 402 с.
4.
Дубров
А.М.,
Мхитарян
В.С.,Трошин
Л.И.
Многомерные
статистические методы. Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998 г.
– 352 с.
5.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.
6.
Лизер С.
"Эконометрические методы и задачи" М.: Статистика,
1971.
7.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика.
Начальный курс". Учебное пособие. 2-е изд., испр. – М.: Дело, 1998
8.
Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов: Учеб.
пособие. – 2-е перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2001. – 170 с.
9.
Орлов А.И. «Эконометрика»: Учеб. пособ. для вузов. М: Изд-во
«Экзамен», 2002.
10.
Рублева Г.В. «Введение в эконометрику»: методический практикум.
Изд-во ТюмГУ, 1999 г.
11.
Рунион
Р.
Справочник
по
непараметрической
статистике.
Современный подход. Пер. с англ. – М.: Финансы и статистика,
1982. – 198 с.
12.
Соколов Г.А., Гладких И.М. Математическая статистика: учебник
для вузов / изд. 2-е перераб. – М.: Изд-во «Экзамен», 2007. – 431 с.
13.
Справочник по теории вероятностей и математической статистике /
В.С.Королюк,
Н.И.Портенко,
А.В.Скороход,
А.Ф.Турбин.
–
М.:
«Наука», Главная редакция физико-математической литературы,
1985. – 640 с.
14.
Эконометрика в схемах и таблицах: учеб. пособие/Н.М.Гореева,
Л.Н.Демидова,
Л.М.Клизогуб,
С.А.Орехов,
Н.А.Сердюкова,
С.Т.Швецова; под ред. Д-ра экон.наук, проф. С.А.Орехова. – М.:
Эксмо, 2008. – 224 с.
15.
Эконометрика: Учебник/Под ред. Елисеевой И.И. – М:Финансы и
статистика, 2002. – 334 с.
16.
Эконометрика: учебник для вузов/под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. –
М.: ЮНИТИ-ДФНФ, 2007. – 311 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
Введение
3
Выборочные исследования
5
1.1. Основные понятия теории выборок
5
1.2. Оценивание параметров
9
2. Методы оценки взаимозависимости признаков
15
2.1. Непараметрические коэффициенты взаимосвязи
15
2.2. Параметрические коэффициенты взаимосвязи
21
3. Проверка статистических гипотез
3.1. Основные понятия задачи проверки гипотез
25
25
3.2. Проверка соответствия эмпирического
распределения выбранной модели
3.3. Проверка значимости коэффициентов взаимосвязи
30
35
3.4. Проверка гипотезы о наличии грубых ошибок наблюдений 37
4. Корреляционно-регрессионный анализ
40
4.1. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа 40
4.2. Парная регрессионная модель
44
4.3. Проверка модели на адекватность
54
5. Анализ временных рядов
65
Лабораторный практикум
74
Вопросы к зачету
82
Приложение 1
85
Приложение 2
88
Приложение 3
89
Приложение 4
90
Список литературы
91
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа