close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ВВЕДЕНИЕ.
ИЗЛУЧЕНИЕ
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЗАРЯДОВ
И
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 1. Дипольное излучение
Потенциал системы (токов) зарядов, движущихся с нерелятивистскими
скоростями:
r
r 1 j (rr, t )
A = ∫ r re dV ,
c V rp − r
r
r
ρ(r , t )
ϕ rp , t = ∫ r er dV ,
V rp − r
r r
rp − r
t = te +
,
c
r r r
R = rp − r .
( )
(1)
0
r
r
r
n
Рис. 1. Система движущихся зарядов.
0 – начало координат; р − точка наблюдения;
r r
dV – элемент объема; n = rp rp
dV
r
rp
r
R
P
r
r
При rp >> r
потенциалы на "больших расстояниях" вычисляются проще.
Действительно,
(
r r
2
⎛
r
rp , r
r r
r
2
2
R = rp + r − 2 rp , r ≈ rp ⎜1 + 2 − 2
⎜ 2rp
rp
⎝
r r
rp (n , r )
.
t ≈ te + −
c
c
(
)
1
) ⎞⎟ ≈ r − (nr, rr ),
⎟ p
⎠
(2)
Здесь малыми параметрами являются
r
rp
r r
n, r
.
c
и
(3)
Первый очевиден – геометрия. Второй – менее очевиден. Его надо сравнивать с
характерными временами изменения системы зарядов (токов):
∆t ~ T ≡
2π λ
≡ ,
ω c
где λ − длина волны, соответствующая частоте ω (пока мы ещё не знаем, что это
такое). Тем не менее, появился параметр, имеющий размерность длины. При
(nr, rr )
∆t >>
c
запаздыванием изменения поля по объёму можно пренебречь. А это значит, что
пренебречь запаздыванием можно при
r r
λ >> (n , r ) ≤ r.
Таким образом, появились две области, для которых эффект запаздывания поля
заметно проще вычисляется:
r ~ rp − квазистатический случай, ближняя зона ,
r << λ << rp − волновая зона.
Во втором случае основным при разложении потенциалов (1) является параметр
запаздывания
(nr, rr ) ~
c ⋅ ∆t
r
<< 1,
λ
(4)
а геометрическим параметром r rp можно пренебречь.
Соответственно,
в
волновой
зоне
потенциалы
(1)
принимают,
приближенно, вид
r r r
rr
rp ⎞
1 r⎛ r
1 ∂j (n , r )
A rp , t ≈
j ⎜ r , t − ⎟⎟ ⋅ dV +
dV + K,
crp ∫ ⎜⎝
c⎠
crp ∫ ∂t c
r r
r r
rp ⎞
r
1 ⎛r
1 ∂p (n, r )
1 ∂ 2 p (n, r )2
dV +
dV + K
ϕ rp , t ≈ ∫ ρ⎜⎜ r , t − ⎟⎟ ⋅ dV + ∫
2rp ∫ ∂t 2 c 2
rp ⎝
c⎠
rp ∂t c
rr
Сразу же "позаботимся" о первом слагаемом в выражении для A rp , t :
( )
( )
( )
2
(5)
r r
∫ j (r ) ⋅ dV ≠ 0,
(6)
V
т.к. система нестационарная (!). Первое слагаемое в выражении для ϕ есть
⎛ rp ⎞
Q⎜⎜ t − ⎟⎟
rp ⎞
c⎠
r
1 ⎛r
ϕ0 rp , t ≡ ∫ ρ⎜⎜ r , t − ⎟⎟ ⋅ dV = ⎝
rp V ⎝
c⎠
rp
( )
(7)
− кулоновский потенциал системы зарядов, т.е. "нулевое приближение".
Второе слагаемое для ϕ есть (берём по частям)
r r
r r r
r
1 ∂p (n , r )
1
dV =
ϕ1 rp , t = ∫
− divj ⋅ (n , r ) dV =
∫
rp V ∂t c
crp V
(
( )
1
=
crp
)
⎫⎪ 1
⎧⎪
r r
r r
⎨∑ ∫∫ (n , r ) jα dSα − ∫ n , j dV ⎬ =
⎪⎭ crp
⎪⎩ α S α
( )
∫(
)
r r
n , j dV .
(8)
Первое слагаемое в фигурных скобках обращаем в ноль, выбрав поверхность Sα за
пределами объёма токов. Очевидно, что потенциал
r r
rp ⎞
1 r⎛ r
A0 rp , t ≡
j ⎜⎜ rp , t − ⎟⎟ ⋅ dV
∫
crp ⎝
c⎠
( )
(9)
связан с ϕ1 соотношением
(
)
r r
ϕ1 = n , A0 ,
r
A0 ~ ϕ1.
(10)
Далее,
r
r
r
d
r&
rr
∫ j dV = ∫ ρv dV = ∑ envn = dt ∑ en rn = d ,
V
V
N
n
r
де en – заряды системы, d − её дипольный момент. Таким образом,
r
⎛⎜ nr , d& ⎞⎟
r&
r
d
⎠ = nr, Ar .
A0 =
, ϕ1 = ⎝
0
crp
crp
(
)
(11)
Это потенциалы системы зарядов в дипольном приближении. При этом
r
r ⎛ rp ⎞
d (t ′) = d ⎜⎜ t − ⎟⎟ ,
c⎠
⎝
а потенциалы описывают поле системы в волновой зоне.
Теперь найдём поле системы зарядов в дипольном приближении:
3
(12)
r
r
r
r
1 ∂A0
B = rotA0 , E = −
− ∇ϕ1.
c ∂t
(13)
r
При этом нужно не забывать, что дипольный момент зависит от rp через
запаздывающее время (12), а дифференцирование в (13) производится по
координатам точки наблюдения rp. Поэтому
r&
r&
r
r
1 ⎡
1 ⎡ ⎛ 1 ⎞ r& ⎤
d
Bd = ∇ p × A0 = ∇ p ×
=
∇ p × d ⎤ + ⎢∇ p ⎜ r ⎟ × d ⎥ .
⎥⎦ c ⎢ ⎜ rp ⎟ ⎥
crp crp ⎢⎣
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
r
ex
r&
∂
∇p ×d =
∂x
r
⎛⎜ d& ⎞⎟
⎝ ⎠x
r
ey
∂
∂y
r
⎛⎜ d& ⎞⎟
⎝ ⎠y
rp = x 2 + y 2 + z 2 ≡
r
ez
∂
.
∂z
r
⎛⎜ d& ⎞⎟
⎝ ⎠z
3
∑ xγ2 .
γ =1
Но
∂ ⎛ r& ⎞ ∂t ′ &r& ∂ ⎛⎜ 1
∂ ⎛ r& ⎞
= dβ
t−
⎜d ⎟
⎜d ⎟ =
∂xα ⎜⎝ c
∂xα ⎝ ⎠β ∂t ′ ⎝ ⎠β ∂xα
2
⎞
γ =1
⎠
&r& x
∑ xγ2 ⎟⎟ = −dβ crα .
p
Стало быть, дифференцирование по xα сводится к замене
r
r
⎛⎜ d& ⎞⎟ → − 1 ⎛⎜ d&& ⎞⎟
⎝ ⎠β
crp ⎝ ⎠β
и
∂
→ xα .
∂xα
Поэтому
r&
1
∇p ×d = −
crp
r
ex
r
ey
r
ez
xp
r
⎛⎜ d&& ⎞⎟
⎝ ⎠x
yp
r
⎛⎜ d&& ⎞⎟
⎝ ⎠y
zp
r
⎛⎜ d&& ⎞⎟
⎝ ⎠z
r
⎡nr × d&&⎤
1 ⎡ r &r&⎤
⎥⎦
⎢
,
=−
⋅ rp × d = − ⎣
⎥⎦
crp ⎢⎣
c
r r
где n = rp rp (рис. 1).
Во втором слагаемом в (14) аналогично
4
(14)
r
⎛1⎞
⎛1⎞
rp
∇ p ⎜ ⎟ = − 3 ~ 0⎜ 2 ⎟ .
⎜ rp ⎟
⎜ rp ⎟
rp
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Таким образом,
r &r&
r
n×d
Bd = − 2 .
c rp
(15)
Далее очередь электрического поля:
r⎛ r ⎞ ⎞
⎛
⎜ r d& ⎜⎜ t − p ⎟ ⎟
r&&
r
c ⎟⎠ ⎟
r r
d
1 ∂A0
1 ⎜ rp
Ed = −
− ∇ n , A0 = − 2 − ∇⎜ , ⎝
⎟=
c ∂t
rp
c rp c ⎜ rp
⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
r&&
r
r
d
1 ⎛ ∇rp r& ⎞ 1 ⎛ rp &r& ⎞ ⎛ rp ⎞
= − 2 − ⎜ 2 , d ⎟ − ⎜ 2 , d ⎟ ⋅ ∇⎜⎜ − ⎟⎟ =
⎟ ⎝ c⎠
⎟ c ⎜ rp
c rp c ⎜⎝ rp
⎠
⎝
⎠
r&
r&&
⎛
⎞
d
1 r ∂ ⎜ xβ d ⎟
1 ⎛ r &r& ⎞ r
= − 2 − ∑ eα
+
⎜ n , d ⎟n ,
∑
⎠
c rp c α ∂xα ⎜⎜ β rp2 ⎟⎟ c 2 rp ⎝
⎝
⎠
(
)
т.к. ∇rp = n , и, кроме того, второе слагаемое равно
r
⎫
⎧
⎧ r& 2rr ⎛ rr , dr& ⎞ ⎫
⎛⎜ d& ⎞⎟
⎟⎪
p⎜ p
r
r 2x
1⎪ r ⎝ ⎠
1⎪d
& ⎪
⎝
⎠ .
− ⎨∑ eα 2 α − ∑ eα 4α ∑ xβ dβ ⎬ = − ⎨ 2 −
⎬
4
c
c⎪α
rp
rp β
rp
α
⎪ rp
⎪
⎪
⎩
⎭
⎭
⎩
Это член порядка 1 rp2 . Окончательно
r &r& r
n × ⎡d × n ⎤
r
r
r r
r
1
⎢⎣
⎥⎦
&& r && r
B
Ed ≈ 2 ⎛⎜ − d + n ⎛⎜ d , n ⎞⎟ ⎞⎟ = −
=
×n .
⎝
⎠⎠
c 2 rp
c rp ⎝
[
Два следствия.
r
r r
1) E = B × n и
[
]
]
(16)
[Er × B] = nrB ,
2
r
r
1
2) E = B ∝ .
rp
Суммируя сказанное выше, приведём формулы, описывающие поле
системы зарядов в дипольном приближении:
5
r&
d
1 r
A0 (t ) =
∫ j dV = cr ,
crp
p
r
⎛⎜ nr , d& ⎞⎟
⎠,
ϕ1 (t ) = ⎝
crp
r
⎡d&& × nr ⎤
r
1 r& r
⎥
⎢
Bd (t ) = ⎡ A0 × n ⎤ = ⎣ 2 ⎦ ,
⎥
⎢
⎦
c⎣
c rp
r r
Ed (t ) = Bd × n .
[
!
Подчеркнём,
что
в
(18)
]
правых
частях
r&
r
rp
r
&r&
j (te ), d (te ), d (te ) и n (te ), te = t − .
c
равенств
Плотность
стоят
потока
значения
энергии
(интенсивность) дипольного излучения∗)
[
]
[[
]
&r& 2
d sin 2 θ
]
r
r
r c 2 r c
r
c r
c r r r
Sd =
Ed × Bd =
Bd × n × Bd = n
Bd = n
=n
.
4π
4π
4π
4π
4πc 3rp2
&r&
d
Q(t)
θ
&r&
d
p
θ
r
n
Рис. 2. Система зарядов,
r
излучающих в направлении n (θ)
(19)
dσ
r
n
Рис. 3. К вычислению потока
в элемент dΩ. dσ = rp2 dΩ
Поток энергии в единицу телесного угла найдём, записав (рис. 3) поток через
площадку dσ = rp2 dΩ :
∗)
Строго говоря, следует называть эту величину "поток энергии системы в дипольном
приближении". Кроме того, мы ещё не объяснили, почему этот поток – "излучение". Об этом чуть
ниже.
6
r 2
⎛⎜ d&& ⎞⎟ sin 2 θ
r r
r r
d = n , S dσ = n, S ⋅ rp2 dΩ = ⎝ ⎠ 3 dΩ .
4πc
( )
( )
Отсюда
r 2
⎛⎜ d&& ⎞⎟ sin 2 θ
dJ ⎝ ⎠
=
.
dΩ
4πc 3
(20)
Таким образом, поток энергии в единицу телесного угла не зависит от расстояния
(!). Так же постоянен и полный поток
J=
2
dJ
∫ dΩ dΩ = 3
Ω
&r& 2
d
c3
(21)
.
Задача 1. Вычислить полный поток дипольного излучения системы зарядов (21).
Задача 2. Найти распределение интенсивности излучения заряда, вращающегося по окружности
радиуса r0.
Распределение потока энергии (20) по углу θ имеет характерный вид (рис. 4) –
&r&
оно аксиально симметрично относительно вектора d и изменяется
r &r&
пропорционально sin2θ в плоскости ⎛⎜ rp , d ⎞⎟ . Принято представлять подобные
⎝
⎠
распределения в виде векторной диаграммы, на которой длина радиуса-вектора
пропорциональна величине изображаемой функции на данном направлении
(рис. 4).
Поскольку плотность потока энергии
dJ dΩ
и полный поток не
изменяются с расстоянием от системы до точки наблюдения, а сам поток имеет
вполне определённую направленность (см. (19)), то "налицо" все признаки
излучения: электромагнитное поле покидает систему зарядов, отрывается от неё.
Такое поле, рассчитанное в дипольном приближении (18), и называют дипольным
излучением.
7
а)
б)
1
1
&r&
d
θ
0.5
y( α )
0.5
yR ( α )
0
0.5
1
&r&
d
0
θ
0.5
1
0.5
0
0.5
1
1
x( α )
1
0.5
0
0.5
1
xR ( α )
Рис. 4. Векторная диаграмма распределения плотности потока излучения в плоскости
&r&
&r&
dJ (θ, ϕ) ⎛ dJ ⎞
вектора d (а) и в плоскости, ортогональной d (б): f (θ, ϕ) =
⎜
⎟
dΩ
⎝ dΩ ⎠ max
Поляризация дипольного излучения следует из формул (18):
r r& r
r
r
r
&r& r
A0 || d , Bd || ⎡d × n ⎤ , Ed перпендикулярен плоскости векторов Bd и n (рис. 5).
⎢⎣
⎥⎦
⎛ d&r&(t )⎞
⎜ e ⎟
⎝
⎠
Q
r
n
Рис. 5. Поляризация дипольного
излучения.
q(te) – положение системы зарядов и
их величина в момент te = t − rp c ; t
r
Bd (t )
r
Ed (t )
⎛ d&r& ⎞
⎜ ⊥⎟
⎝ ⎠
– момент наблюдения; плоскость Q
r
ортогональна вектору n
&r&
d (te )
q(te)
В чем же физика дипольного излучения? Заряд, движущийся ускоренно,
"стряхивает" с себя электромагнитное поле. То же происходит при колебаниях
&r&
заряда, ускоренном вращении, и т.п. Важно, чтобы d ≠ 0 .
×
Рис. 6. "Срыв" электромагнитного поля при возвратновращательном движении системы зарядов
8
Аналогия: собака после купания стряхивает с себя воду – возвратнопоступательные и возвратно-вращательные движения, вода на шерсти отрывается
и слетает в виде капель.
Мультипольное движение
а)
б)
l
+q
+
−
−q
d≠0
+
−
d = 0, D ≠ 0
Рис. 7. Две плоские системы зарядов: а) d ∼ ql, б) d = 0, D ∼
q
q
ql d
−
≈ 2 = 2,
r r+l r
r
d
d
2ld D Электростатика!
ϕD ~ 2 −
≈
= .
r
(r + l )2 r 3 r 3
ϕd ~
На самом деле, D – тензор (матрица) Dαβ. Если d = 0, D ≠ 0, разложения (5) нужно
продолжить до следующих, по порядку малости, членов ряда.
§ 2. Преобразования Лоренца для электромагнитного поля
Приведём (без вывода) известные соотношения для преобразования
r r
компонент электромагнитного поля E , B при переходе из одной инерциальной
r
системы в другую. Ось x направлена вдоль вектора v − скорости движения
(
)
системы (x′, y′, z′) (рис. 8).
9
y′
y
Рис. 8. Выбор осей координат двух инерциальных
систем, движущихся относительно другой со
r
скоростью v
r
v
x′
x
z′
z
При таком выборе осей координат компоненты поля связаны друг с другом
соотношениями
(
)
By = γ (B′y − β Ez′ ),
E x = Ex′ , E y = γ E ′y + β Bz′ , E z = γ (E ′z − β Bz′ ),
Bx = Bx′ ,
Bz = γ (Bz′ + βE z′ ),
(22)
где
(
v
β = , γ = 1 − β2
c
)
−1 2
.
(23)
Параметр γ принято называть Лоренц-фактором.
Из (22) следует, что при переходе из одной системы в другую продольные
r
r
(направленные вдоль v ) компоненты поля, а поперечные к вектору v
r
r
компоненты преобразуются друг через друга. Представим вектора E и B в виде
суммы продольной и поперечной компонент:
r r
r
r r r
E = E|| + E⊥ , B = B|| + B⊥ ,
r r
r
r r
r
r
r
r
r
E|| = ex E x , E⊥ = e y E y + ez Ez , B|| = ex Bx , B⊥ = e y B y + ez Bz ,
где eα (α = x, y, z) – орты. Тогда (22) можно записать в виде
r r
r
r
r
r
E|| = E||′, E⊥ = γ E⊥′ − β × B′ ,
r r
r
r
r
r
B|| = B||′, B⊥ = γ B⊥′ + β × E ′ .
r r
r r
r r
r r
Здесь учтено, что β × E⊥ ≡ β × E и β × B⊥ ≡ β × B .
[
] [
( [ ])
( [ ])
] [ ]
] [
(24)
(25)
Задача 3. Показать, что из соотношений (25) следуют равенства (22) при соответствующем
выборе осей координат.
10
Задача 4. Показать, что первые два соотношения для поля (25) в нерелятивистском пределе дают
силу Лоренца, действующую на единичный заряд, покоящийся в системе ()′.
Задача 5. Показать, что если в одной из систем магнитное поле равно нулю, то в другой
(движущейся относительно первой) электрическое и магнитное поля не равны нулю и связаны
между собой равенством
[ ]
r r r
B = β× E .
(26)
§ 3. Потери энергии частицы в электромагнитном поле
Зная законы дипольного излучения и преобразования электромагнитного
поля, можно найти общие соотношения для потерь энергии частицы на излучение
r r
на излучение при ее движении во внешне электромагнитном поле E0 , B0 .
(
)
Действительно, в мгновенно сопутствующей системе (МСС), где частица
мгновенно покоится, на нее действует только электрическое поле E′, и полная
потеря энергии частицы на излучение за время dt′ равно (см. (21))
2
2 ⎛ e2 E′ ⎞
⎟ dt ′.
dε ′ = 3 ⎜⎜
3c ⎝ m ⎟⎠
(27)
Используя известные соотношения для преобразования энергии и времени
dε = γdε ′, dt = γdt ′
и формулы преобразования поля (25), но теперь из МСС в лабораторную систему,
(
)
запишем (E ′)2 = (E||′ )2 + (E⊥′ )2 :
dε =
{
(
[
r r
r
2e 4
2
2
E
+
γ
E
+
β
×B
||
⊥
3c 3m 2
где rcl =
]) }dt = 2cr3
2
cl
2
{
(
e2
− классический радиус частицы. Далее учтем, что
mc 2
r r
r r r
βE|| = β, E , E|| , β × B = 0 ,
( ) ( [
и получим
dε =
{(
[
r r
2crcl2 2 r
γ Eo + β × Bo
3
11
[ ]) ([ ]) }dt,
r r
r r
r
γ 2 E 2 − β2 E||2 + 2 E⊥ , β, B + β, B
])
]) − (βr, Er ) }dt.
2
2
o
2
Здесь введен индекс "о" для обозначения внешнего поля, в котором движется
частица, дабы отличать его от поля излучения частицы. Интегрируя вдоль
траектории частицы, окончательно найдем значение потерь энергии частицы на
(дипольное!) излучение:
∆ε =
2crcl2
3
∆S
∫γ
0
2
{(Er + [βr × Br ]) − (βr, Er ) }dsβ .
2
o
o
2
(28)
o
r r r
Отметим, что все величины под интегралами – γ, E , B, β − являются, вообще
говоря, функциями координат s, отсчитываемой вдоль траектории частицы. Из
формулы (28) следует, в частности, что потери энергии в единицу времени для
r r
частицы в электрическом поле Eo || β не зависят от энергии частицы:
2 2 2 r r
⎛ dε ⎞
⎜ ⎟ = crcl Eo , Eo || β ,
⎝ dt ⎠ E|| 3
(29)
r
r
а в поле Eo ⊥ β растут с энергией пропорционально ее квадрату:
r
2 2 2 2 r
⎛ dε ⎞
⎜ ⎟ = crcl γ Eo , Eo ⊥ β .
⎝ dt ⎠ E ⊥ 3
(30)
r r
В магнитном поле B ⊥ β мощность потерь также быстро растет с энергией
2 2 2 2 2 r
⎛ dε ⎞
⎜ ⎟ = crcl β γ Bo , Bo ⊥ β .
⎝ dt ⎠ B⊥ 3
(31)
Из формул (28), (29) следует одно важное заключение: мощность потерь
существенно зависит от массы частицы (которая содержится в параметре rcl). При
заданной энергии частицы εo из (29)−(31) находим
ε ⎛ ε
1
1
2ε
⎛ dε ⎞
⎛ dε ⎞
⎛ dε ⎞
⎞ ε >> mc 2
⎯→ 4 2 . (32)
⎜ ⎟ ∝ 2 , ⎜ ⎟ ∝ 4 , ⎜ ⎟ ∝ 3 ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯
mc
⎝ dt ⎠ E|| m
⎝ dt ⎠ E⊥ m
⎝ dt ⎠ B⊥ m ⎝ mc
⎠
Поэтому в природе (и эксперименте) значительно интенсивнее излучают легкие
частицы.
Так,
при
равной
энергии
значения
мощности
излучения
ультрарелятивистских электронов и протонов в магнитном поле относятся как
4
⎛ mp ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ≈ 1,13 ⋅ 1013.
m
⎝ e⎠
12
Подход, использованный при выводе формулы (28), предполагает испускание
частицей, покоящейся (!) в МСС, электромагнитного излучения. Спрашивается,
как выполняется в этом случае закон сохранения энергии-импульса при описании
этого явления на языке квантовой физики? И откуда покоящаяся частица берет
энергию на испускание кванта излучения (фотона)? Очевидно, что в МСС энергия
частицы равна mc2 до испускания фотона и больше mc2 после испускания, т.к.
частица получает "импульс отдачи", как следует из закона сохранения импульса.
Таким образом, исключив из рассмотрения источник ускорения частицы, мы
немедленно приходим к нарушению закона сохранения энергии. Отсюда
напрашивается
вывод:
"участие"
внешнего
поля
(источника
ускорения)
принципиально необходимо в акте излучения – именно из этого источника
"черпается" в МСС энергия излучения. А тогда и с законом сохранения энергииимпульса все обстоит благополучно. Это иллюстрирует задача 6.
Задача 6. Электрон рассеивается в поле тяжелого атомного ядра и испускает фотон под углом α к
направлению начальной скорости электрона. Найти энергию фотона для случая, когда векторы
электрона до соударения и всех трех частиц после соударения лежат в одной плоскости, а импульс
ядра перпендикулярен вектору импульса электрона до соударения ( ϕ = π 2 , рис. 9), скорость ядра
vM << c.
e
θ
M
M
ϕ
α
Рис. 9. Кинематика столкновения электрона с ядром
εe + Mc 2 = εω + εθ + εM ,
pe = − pω sin α + pθ cos θ + pM cos ϕ ,
0 = − pω sin α + pθ sin θ − pM sin ϕ ,
εω − p ω c , γ M ≈ 1 +
13
β
.
2
2
M
(33)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа