close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

-330- 8.4.2 Хаос в технических системах. Критерии обнаружения

код для вставкиСкачать
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-330-
8.4.2 Хаос в технических системах. Критерии обнаружения хаоса
Приведенные в предыдущей главе примеры являются иллюстрацией
детерминированного хаоса либо происходящего «на бумаге», т.е. представляют
собой
теоретические
нелинейные
модели,
демонстрирующие
хаотическое
поведение, либо физически мотивированные системы, воплощенные на практике,
однако реализованные исключительно в лабораторных условиях с изначальной
целью – получить установку, прибор или систему, практически реализующую
режим детерминированного хаоса, дабы затем его «пощупать» приборами, будучи
уверенным, что исследуется именно детерминированный хаос, а не сходные
случайные шумы, которых и без того достаточно много в реальных системах.
Исключением является разве что модель Лоренца, которая была получена как
математическая модель конвективных атмосферных потоков, т.е. является
теоретической моделью, описывающей физически существующий реальный
хаотический процесс (конвективное движение воздушных масс турбулентного
характера), причем процесс, существующий «сам по себе», а не по воле
исследователя, который «вызывает хаос специально», например, посредством
создания
генератора
хаотических
колебаний
(генераторы
Чуа,
Кияшко-
Пиковского-Рабиновича, Анищенко-Астахова и т.п.). Однако это вовсе не
означает того, что хаос имеет экзотических характер, редко встречающийся в
реальных технических системах.
Как уже было сказано выше, исследования последних лет показали, что хаос
является весьма распространенным видом движения нелинейных динамических
систем, наряду с периодическими и квазипериодическими колебаниями. Как же
оказалось, что до последнего времени хаотическим колебаниям в динамических
системах не придавалось особого значения?
Если подходить к анализу движения нелинейной динамической системы с
точки зрения инженера, то практический интерес представляют следующие
варианты движения реальной системы:
 система приходит к состоянию устойчивого равновесия;
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-331-
 система выходит на установившиеся автоколебания;
 система выходит на беспорядочные колебания.
Наблюдаемые
на
практике
шумы
списывались
на
неконтролируемые
возмущения, действующие в системе, т.е. на случайные факторы.
Инженерной задачей всегда являлось обеспечение устойчивого движения
системы (покоя в точке равновесия, т.е. обеспечения стабильного статического
режима работы, либо поддержания стабильных автоколебаний). Беспорядочные
колебания выходной координаты объекта управления «безжалостно давились»
путем введения соответствующих устройств управления, причем в рамках этой
«борьбы за чистоту и незамутненность» выходного сигнала устройства
управления прошли развитие от простейших систем стабилизации с линейными
регуляторами
и
управлением
по
отклонению
до
сложных
адаптивных,
самонастраивающихся систем и интеллектуальных систем управления. Но никто
при этом не задавался вопросом: а какова природа того, с чем мы боремся? Всегда
ли шумы и отклонения движения системы от заданной траектории носят
вероятностный характер, т.е. вызваны исключительно воздействием совокупности
внешних
неконтролируемых
воздействий
случайного
характера.
Хаос
и
случайность в понимании инженера всегда были синонимами, по суть одним и
тем же явлением: помехами, искажающими желаемое поведение системы.
Данный подход: «не разбираться, а давить», («давить» - в смысле ввести в
систему устройство управления, которое должно обеспечить требуемый режим
работы системы) всегда хорошо работал в системах, движение которых можно с
приемлемой точностью описать линейными операторами. Почему? Да потому что
в линейных и псевдолинейных (т.е. линеаризованных в рабочей области) системах
квазипериодическим и тем более хаотическим колебаниям взяться попросту
неоткуда, т.е. любые шумы в системе – это по определению внешнее
неконтролируемое воздействие случайного характера. Что касается нелинейных
систем, то шумы в них могут иметь различную природу являться не только
следствием случайных внешних воздействий, но и быть вызванными, как это ни
парадоксально самой системой, причем процессы, порождающие эти шумы носят
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-332-
детерминированный характер.
Положение
осложнялось
тем,
что
статистические
методы
обработки
экспериментальных данных не позволяли и не позволяют отличить хаотические
колебания от случайного процесса. Да такая задача и не ставилась: если наблюдался
не устойчивый статический режим, а колебания, периодичность которых ставилась
под сомнение, то прибегали к спектральному анализу Фурье. Окончательную оценку
периодичности или непериодичности процесса может дать только точный анализ,
поскольку мультичастотные колебания с большим набором частот по внешнему
виду зачастую неотличимы от случайных. И если эти непериодические на первый
взгляд колебания оказывались на самом деле непериодическими, т.е имели
непрерывную
спектральную
плотность,
то
наблюдаемые
колебания
классифицировали как случайный процесс, и боролись с ними соответственно как со
случайным процессом. При этом не принималось во внимание то непрерывная
спектральная мощность сигнала характерна, не только для случайного процесса, но
и для хаотических колебаний, которые, в отличие от случайного процесса имеют
абсолютно детерминированную природу.
В
качестве
иллюстрации
«Фурье-неразличимости»
хаотических
и
стохастических колебаний на рисунке представлены: слева-вверху – спектральная
плотность полигармонического сигнала (суперпозиция колебаний с кратными
частотами), справа-вверху – спектральная плотность квазипериодического движения
на торе (колебания предельного цикла), слева-внизу спектральная плотность
апериодических хаотических колебаний в системе Бенара (конвекция в жидкости)
«Моделирование систем»
-333-
© Филатов А.Г.
при относительных числах Релея, соответствующих режиму детерминированного
хаоса, справа-внизу – спектральная плотность случайного процесса.
Несмотря на внешнюю схожести спектральных и временных характеристик,
хаотические колебания в отличие от стохастических, обладают внутренним
порядком, только этот порядок нельзя обнаружить при анализе частотного спектра
или отклика хаотической системы на детерминированное воздействие. Этот порядок
проявляется при анализе движения хаотических систем в фазовом пространстве
методами нелинейной динамики.
Инженеры-практики боролись с шумами и помехами, не вникая глубоко в
вопрос их происхождения, как правило ограничиваясь спектральным анализом,
согласно которому, все что не периодично (имеет дискретный спектр), то
случайно (имеет непрерывный спектр), используя соответствующие методы
борьбы с помехами: системы стабилизации и управления с обратной связью по
отклонению, фильтры (в том числе и адаптивные), самонастраивающиеся
регуляторы (в том числе интеллектуальные) и т.п.
За такое невнимание к себе со стороны инженеров-практиков хаотические
«Моделирование систем»
процессы «платили
им
© Филатов А.Г.
-334-
взаимностью»: зачастую при разработке систем
автоматических стабилизации и управления движением динамических систем
полученные результаты стабилизации движения оказывались далекими от
ожидаемых:
уменьшение
шума
в
системе
оказывалось
гораздо
менее
существенным, чем следовало бы исходя из теоретических расчетов. И
немудрено, инженер исходил из того, что борется с влиянием случайных внешних
факторов, воздействующими на систему, не подозревая, что на самом деле
борется
фактически со структурой системы, поскольку шумы являются
порождением нелинейной динамики объекта управления. Не получая должного
эффекта шумоподавления, инженеры искали новые подходы: гораздо большую
помехоустойчивость по сравнению с традиционными регуляторами и системами
управления давало применение устройств управления, меняющих структуру
системы, т.е. адаптивных и интеллектуальных регуляторов, т.е. устройств
управления, приспосабливающихся к изменяющемуся поведению объекта.
Однако при этом, никоим образом не учитывались внутренние нелинейные
процессы в объекте управления, порождающие динамический хаос: как и раньше,
предполагалось, что шумы в системе вызваны внешними возмущающими
факторами и наличием большого числа степеней свободы, т.е. носят случайный
характер.
Таким образом, несмотря на то, что еще в начале XX-го века математики (в
частности Пуанкаре, Ван-дер-Поль) знали о том, что некоторые динамические
системы имеют непериодические («странные») решения, эти знания не были
задействованы в инженерной практике
Кардинальные изменения в этой области произошли во второй половине XXго века. Почему не раньше? Потому что, хотя еще Пуанкаре и Биркгоф в свое
время
высказывали
догадки
о
хаотическом
движении
в
простых
детерминированных системах, только с появлением во второй половине XX-го
века
мощных
вычислительных
нелинейную динамику
систем
стало
возможным
рассчитывать
длинных временных рядов и производить численные
оценки сходимости траекторий, необходимые для изучения хаотических явлений.
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-335-
Символичным и знаковым является тот факт, что новый прорыв в нелинейной
динамике, начался именно с вычислительного эксперимента, проведенного не
математиком-теоретиком, а метеорологом Э.Лоренцом, который работал над
компьютерным моделированием движения атмосферных потоков. Данная работа
положила начало целому ряду открытий, изменивших и математическую теорию
динамических систем, и методику практического анализа и управления
движением динамических систем.
Во-первых,
была
установлена
возможность
хаотического
поведения
в
нелинейных системах с совсем небольшим числом степеней свободы. Как уже было
сказано выше, впервые хаотическое поведение в простых гамильтоновых системах
обнаружил А.Пуанкаре около ста лет назад, но только после работы Э.Лоренца
(1963г.), в которой исследовалось хаотическое поведение диссипативной системы из
трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (см. описание
системы Лоренца), было оценено значение этого факта и началось активное
исследования хаотического поведения динамических систем. Правда, произошло это
тоже не сразу, а только после ключевой работы Д.Рюэля и Ф.Таккенса 1971г., в
которой было сформулировано понятие странного аттрактора и указана его роль в
формировании нерегулярного поведения системы. Таким образом, была обозначена
первая отправная точка нового нелинейного подхода в теории систем: простые
системы с малым числом степеней свободы и детерминированным описанием
могут демонстрировать сложное, хаотическое поведение.
Во-вторых, было понято, что в сложной динамической системе существуют
некие элементы порядка. В 70-80-х годах появляются многочисленные работы о
когерентных структурах в турбулентных потоках и делаются первые попытки
описания турбулентности на языке фракталов. Именно в это время сформировались
такие науки, как теория катастроф и синергетика, появились первые книги о
«детерминированном хаосе» и «порядке в хаосе». Важно подчеркнуть, что обычно
рассматриваемые в этих книгах проблемы динамических систем невысокого порядка
не имеют прямого отношения к сложным системам. Тем не менее, рассматриваемые
в качественной теории динамических систем вопросы чрезвычайно полезны как для
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-336-
понимания путей развития сценариев перехода к хаосу в динамических системах,
так и для отработки методов описания хаотических систем. Таким образом, была
обозначена вторая отправная точка нового нелинейного подхода в теории систем:
сложные системы с большим числом степеней свободы, не имеющие точного
детерминированного описания и демонстрирующие сложное, хаотическое
поведение, позволяют выделить некие «величины порядка» посредством
которых
динамика
данных
систем
может
быть
описана
простой
детерминированной системой с малым числом степеней свободы.
Что это дало в инженерном плане? Во-первых, математическое описание
неупорядоченного шума в системах и потенциальную возможность управления этим
шумом (обратите внимание на смещение акцентов: не борьба с шумом, как раньше,
а управление шумом; желающие могут добавить сюда и философские измышления
по типу: «Если ты не можешь кого-то победить, сделай его своим другом» и т.п.).
Разумеется речь в данном случае идет только о детерминированном шуме, т.е. шуме
как порождении нелинейной динамики объекта, либо большого числа степеней
свободы объекта. По отношению к случайному шуму вероятностного характера, т.е.
шуму, вызванному неконтролируемыми внешними воздействиями, подход остается
прежним: «давить».
Во-вторых, новые открытия в области нелинейной динамики позволили создать
новые методы регистрации и анализа колебаний в физических системах, например,
методы количественного анализа наблюдаемых сигналов в динамических системах
при помощи фрактальной размерности и Ляпуновских показателей, т.е. дали в руки
инженеру инструменты, при помощи которых он смог ответить на вопрос, какую
природу
имеет
шум
в
данной
физической
системе:
вероятностный
или
детерминированный; и в зависимости от выясненной природы наблюдаемых
апериодических колебаний в системе, выбрать тот или иной способ борьбы с
шумами. Если раньше бороться приходилось «вслепую», опираясь на в основном на
спектральный Фурье-анализ, то новые методы нелинейной динамики позволили
точно классифицировать наблюдаемый временной ряд: случайный процесс либо
детерминированный хаос; если случайный процесс то применяются одни методы
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-337-
борьбы с шумами (например, адаптивная фильтрация), если детерминированный
хаос, то другие (например, т.н. синергетическое управление ил управление по
Ляпуновским показателям). Следует особо отметить, что данная область теории
управления – теория управления хаотическими системами; еще молода и находится
в стадии становления.
В
каких
же
технических
системах
на
практике
возможно
ожидать
возникновение хаотических режимов?
Хаотические колебания возникают вследствие присутствия в системе
существенной нелинейности, т.е. нелинейности, которая в рабочей области
объекта не может быть линеаризована без потери физической адекватности
модели объекта управления и ее реального прототипа. Можно привести
следующие примеры таких нелинейностей в механических и электрических
системах:
 нелинейные упругие элементы, пружины;
 нелинейное затухание типа трения;
 мертвый ход, зазоры, ограничители и билинейные пружины;
 гидродинамические силы, создаваемые жидкостями;
 нелинейные граничные условия;
 нелинейные обратные связи в системах управления;
 нелинейные сопротивления, емкости и индуктивности;
 диоды, транзисторы и другие полупроводниковые элементы.
В непрерывных механических средах нелинейные эффекты возникают по
следующим причинам:
 кинематика, например силы инерции и силы Кориолиса;
 материальные соотношения, например, зависимость напряжений от деформаций;
 граничные
условия,
например,
свободная
поверхность
жидкости
или
ограничения, определяющиеся деформациями;
 нелинейные силы, например, магнитные или электрические;
 геометрические
нелинейности,
связанные
с
сильными деформациями
в
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-338-
конструкционных твердых элементах (балках, плитах, перекрытиях, оболочках).
В качестве примера рассмотрим уравнение сохранения импульса в механике
сплошной среды:   f 
v
 v v , где  - тензор напряжений, f - массовая
t
сила, v - скорость движения среды. Нелинейность может входить в это уравнение
посредством зависимости напряжений от деформаций или скорости деформаций.
Также могут быть нелинейными массовые силы, встречающиеся в магнитной
гидродинамике, но самой существенной нелинейностью в данном уравнении
является нелинейный член vv ( переносное ускорение), который во многих задачах
динамики жидкости является основным источником турбулентности – наглядного
примера хаотического процесса в непрерывной среде.
В классическом уравнении Навье-Стокса, описывающем механику жидкостей,
нелинейность содержится в переносном ускорении vv :
 2 v  p 
v
 v v ,
t
где  - кинематическая вязкость, p - давление в жидкости. Если рассматриваются
линейно-вязкие ньютоновские жидкости, то вязкий член в левой части линеен. Если
включить
в
рассмотрение
нелинейно-вязкие
неньютоновские
жидкости
и
упругопластичные среды, то открывается широкое поле для исследования
нелинейных и хаотических явлений в сплошных средах в областях механики,
электромагнетизма
возникновение
и
акустики,
хаотических
т.е.
колебаний
переносное
не
только
ускорение
в
обуславливает
экзотических
средах
т6еоретической физики, например, плазме, но и широком спектре технологических
процессов, постоянно встречающихся в инженерной практике.
Уже из одного приведенного примера становится понятным, что хаотические
явления
возможны
во
многих
физических
системах
и
соответствующих
производственных процессах. После того как инженеры-практики наконец-то стали
получать из рук исследователей-теоретиков соответствующий инструментарий для
анализа нелинейных динамических систем, в научной и технической литературе не
прекращается поток сообщений о выявлении хаотической динамики в тех или иных
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-339-
технических системах, причем это далеко не полный список технических систем,
демонстрирующих на практике «непреднамеренные» хаотические колебания:
 колебания изогнутых упругих структур;
 механические системы с зазором и мертвым ходом;
 аэроупругие системы;
 динамика упругих систем типа «колесо-рельс»;
 магнитомеханические приводы;
 трехмерные упругие конструкционные элементы (балки, оболочки);
 механические системы с нелинейным трением скольжения;
 гироскопические механические системы;
 нелинейные акустические системы;
 электрические цепи с нелинейными индуктивными и емкостными элементами;
 цепи с гармоническими источниками тока и полупроводниковыми элементами;
 устройства с обратной связью;
 лазеры и нелинейные оптические системы;
 кинетика химических реакций;
 процессы тепломассобмена, сопровождающиеся фазовыми переходами;
 биологические модели динамики популяций.
Если в системе не наблюдается непериодических колебаний, то для ответа на
вопрос, могут ли они возникнуть вообще требуется либо составить нелинейную
математическую модель системы и произвести ее анализ методами нелинейной
динамики (об этом шла речь в предыдущей главе данного учебного пособия), либо
варьировать управляющие параметры и таким образом экспериментально выяснить
возможность хаотических режимов в системе. Последнее не всегда возможно в силу
тех или иных ограничений, например подобные эксперименты недопустимы над
реальным
технологическим
процессом,
находящимся
в
стационарном,
удовлетворяющем технологов состоянии.
Если в системе присутствуют непериодические колебания, то для ответа на
вопрос, хаотичны они, т.е. обусловлены нелинейной динамикой системы, либо
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-340-
стохастичны, т.е. обусловлены большим количеством неуправляемых внешних
воздействий
вероятностного
характера,
необходим
практически
анализ
наблюдаемых колебаний. Поэтому обратимся теперь к критериям хаотичности,
применяемым для практического анализа временных рядов.
Фурье-анализ. Если в системе наблюдается сигнал, визуальная оценка
которого говорит о том, что он не является периодическим (проще говоря, если на
вид сигнал кажется случайным и не показывает явной периодичности), то первое что
должен сделать исследователь – это получить спектр мощности наблюдаемого
сигнала. Часто квазипериодический мультичастотный сигнал выглядит достаточно
сложно и может быть принят за хаотические колебания или случайный процесс.
Если спектр содержит ярко выраженный набор дискретных частот, то данный сигнал
является мультичастотным квазипериодическим. Если спектр сигнала является
непрерывной
функцией
без
явно
выраженного конечного набора частотных
максимумов,
то
сигнал
является
хаотическим или случайным. На рисунке
показаны
рассчитанные
экспериментальным
данным
по
спектры
мощности колебаний в системе Бенара,
динамика которой
при докритическом
параметре Релея соответствует мультичастотным квазипериодическим колебаниям, а
при надкритическом параметре Релея соответствует режиму детерминированного
хаоса. Для дальнейшего анализа природы сигнала уже недостаточно ни анализа
Фурье, ни анализа временных рядов статистическими методами, поскольку
корреляционная функция и хаотического, и случайного сигналов имеет качественно
один и тот же вид – быстро спадает до нуля, поэтому на последующих этапах в ход
идут специфические методы нелинейной динамики.
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-341-
Отображение Пуанкаре – это сечение траектории движения системы
динамической системы в фазовом пространстве при помощи секущей поверхности.
Выбор секущей поверхности во многом произволен, однако ее необходимо выбирать
так, чтобы траектория движения системы, во-первых, пересекала ее многократно, а
во-вторых, была исключена возможность касания траектории этой поверхности. На
рисунке представлены простейшие сечения Пуанкаре с секущей поверхность в виде
плоскости для разных траекторий
динамической системы : (а) –
динамический хаос, (б) – движение
к неподвижной точке (устойчивый
фокус), (в) – предельный цикл, (г)
– мультичастотные колебания.
В
стохастических системах
отображение
Пуанкаре
иметь
неупорядоченного
вид
скопления
точек,
т.н.
будет
облака
рассеивания. В хаотических системах отображение Пуанкаре будут иметь
упорядоченный характер: точки отображения будут стремиться выстроиться вдоль
неких линий. Более того, при увеличении части отображения Пуанкаре хаотической
траектории движения системы, увеличенная часть отображения демонстрирует
более тонкую структуру, подобную исходному отображению, т.е. множество точек
отображения Пуанкаре хаотической системы имеет вложенную структуру, подобную
Канторовским множествам, а следовательно, являются фракталами и имеют
соответствующую фрактальную размерность. В качестве наглядной иллюстрации на
рисунке показано: (а) – отображение Пуанкаре стохастического временного ряда, (б)
– отображение Пуанкаре хаотического временного ряда, (в) – увеличенный фрагмент
хаотического отображения Пуанкаре (б).
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-342-
Фрактал – это имеющий дробную (фрактальную)
метрическую размерность самоподобный объект, части
которого повторяют исходный целый объект. Нас в
данный момент интересует тот факт, что отображение
Пуанкаре
хаотической
динамической
системы,
в
отличие от отображения Пуанкаре стохастической
системы, имеет некий внутренний порядок, который
заключается в том, что полученное отображение
Пуанкаре имеет дробную (фрактальную) метрическую
размерность,
кстати,
соответствующую
фрактальной
размерности
в
оценке
соответствии
с
Ляпуновскими показателями (см. гл.8.3. данного курса
лекций), т.е. если исследователь одним из численных
методов
определит
по
отображению
Пуанкаре
хаотической системы ее фрактальную размерность,
затем по исходному временному ряду получит спектр
Ляпуновских показателей и вычислит соответствующую
оценку
фрактальной
размерности,
то
полученные
значения должны совпадать с точностью применяющихся вычислительных схем.
При анализе хаотичности сигнала не обязательно считать по отображению Пуанкаре
ее метрическую размерность, дабы в случае, если величина получится дробной,
сказать, что, судя по дробной(фрактальной) размерности отображения, сигнал
хаотичен. Зачастую достаточно получить отображение Пуанкаре, чтобы уже «на
глаз» можно было сказать, что перед нами фрактал. И хотя количественным
подтверждением фрактального характера отображения Пуанкаре, а значит, и
хаотичности системы, может служить только дробная (фрактальная) метрическая
размерность отображения, на качественном уровне фрактал невозможно не узнать,
что видно из приведенного ниже рисунка, на котором представлены отображения
Пуанкаре
слева-направо:
индуктивностью,
хаотических
хаотического
движения
колебаний
в
цепи
с
нелинейной
упругого металлического стержня,
«Моделирование систем»
продольно
изогнутого
© Филатов А.Г.
-343магнитными
силами,
хаотические
колебания
в
модифицированном генераторе Ван-дер-Поля 3-го порядка, хаотическое движение в
нелинейном потенциальном поле с двумя потенциальными ямами.
Чем более упорядочена траектория движения системы, тем более упорядочено ее
отображение Пуанкаре, поэтому при изменении параметров системы по изменению
отображения Пуанкаре можно судить о том,
приближается
системы
к
ли
характер
хаотическому.
движения
На
рисунке
показана эволюция отображения Пуанкаре
системы Бенара, динамика которой
докритическом
соответствует
мультичастотным
квазипериодическим
параметре
колебаниям
при
Релея
(слева),
а
надкритическом параметре Релея соответствует режиму детерминированного хаоса
(справа).
Как на практике строится отображение Пуанкаре? В случае аналитически
заданного оператора эволюции динамической системы найти отображение Пуанкаре
для конкретных нелинейных систем в явном виде удается очень редко, в тех
исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналитическое решение. Однако, существует достаточно способов численного построения
отображение Пуанкаре. Тем не менее, случай когда динамическая система задана
аналитически, т.е. когда в фазовом пространстве заданы оператор эволюции
x  F x  динамической системы и секущая поверхность Пуанкаре S  x   0 , мы
рассматривать не будем (желающие могут ознакомиться с этими методами в
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-344-
соответствующей литературе, поскольку нас интересует построение отображения
Пуанкаре по временному ряду, т.е. по экспериментальным данным. Если
анализируемый на хаотичность сигнал xt  представлен в виде дискретного
временного ряда x0 , x1 , , xn  1 , xn , то одномерное отображение Пуанкаре будет
иметь следующий вид: xi  1  f  xi  , что в простейшем случае для одномерного
линейного сечения f на практике означает построение отображения по точкам
x0 ; x1  , x1 ; x2 ,…, xn  2 ; xn 1  , xn 1 ; xn .
Характеристикой степени хаотичности временного ряда x0 , x1 , , xn 1 , xn может
служить
его
аттрактора),
поточечная
которая
размерность
соответствует
(аналог
метрической
фрактальной
размерности
(фрактальной)
размерности
отображения Пуанкаре временного ряда. Фактически эта величина определяет –
является ли отображение Пуанкаре временного ряда фракталом, что весьма ценно
для случаев, когда визуально «фрактальность» отображения Пуанкаре вызывает
сомнения. Алгоритм расчета фрактальной размерности отображения Пуанкаре
временного ряда выглядит следующим образом.
Построим отображение Пуанкаре временного ряда, состоящее из N точек, и
выберем на отображении произвольную точку
xk ; xk 1  .
окружность диаметра  и посчитаем число точек
Опишем вокруг нее
N   , попавших внутрь
окружности. Так называемая точечная размерность отображения Пуанкаре в
конкретной
k -ой точке
xk ; xk 1 
вычисляется как
усредненная точечная размерность, которая является
ln N    ln N
, а
0
ln 
d k  lim
оценкой метрической
(фрактальной) размерности DF отображения Пуанкаре:
1 N
 dk .
N k 1
Пример. Рассмотрим два временных ряда  x1 , xn  и  y1 , y n  . Для первого
DF 
ряда значения отсчетов xi - случайная величина с нормальным распределением,
нулевым средним и стандартным отклонением. Для второго ряда значения отсчетов
«Моделирование систем»
-345-
© Филатов А.Г.
 yi  1  a 2 yi 1  bzi 1 ,
где a  1,4 ,
yi - результат хаотического отображения Хенона 
zi  yi 1 ,

b  0,3 . Несмотря на то, что визуально временные реализации обоих временных
рядов выглядят как неупорядоченный шум, отображения Пуанкаре временных рядов
позволяют выделить во втором случае (для ряда Хенона) упорядоченность, которая
выражается в наличие фрактальной структуры сечения Пуанкаре. Отображение
Пуанкаре ряда Гаусса имеет вид облака рассеяния с центром и плотностью,
определяемыми соответственно математическим ожиданием и СКО случайной
величины со стандартным нормальным законом распределения.
Следующим критерием хаотичности временного ряда может служит спектр
Ляпуновских показателей, вычисленный каким либо специальным численным
методом, например, методом Вольфа. О роли Ляпуновских показателей в
нелинейной динамике и о методах вычисления спектра Ляпуновских показателей
уже достаточно сказано в главе 8.3 данного курса лекций. Напомним еще раз, что
сигнатура Ляпуновских показателей четко разделяет аттракторы непрерывных
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-346-
динамических систем на четыре группы. Например для динамических систем
третьего порядка сигнатура спектра Ляпуновских показателей будет соответствовать
изображенным на рис. аттракторам.
Применительно к анализируемому на хаотичность
временному
отметить,
x0 , x1 , , xn 1 , xn
ряду
что
дискретного
при
определении
отображения
остается
хаотичности
сигнатура
спектра
Ляпуновских показателей для дискретных систем
(каскадов) не имеет ограничений, характерных для
непрерывных систем (потоков): нулевой показатель
может отсутствовать, свойство диссипативность
может не выполняться, что говорит о возможности детерминированного хаоса в
дискретных системах второго и даже первого порядка (в отличие от непрерывных
систем, в которых динамический хаос возможен в системах не ниже третьего
порядка).
Если временной ряд x0 , x1 , , xn  1 , xn имеет не стохастичное, а хаотичное
происхождение,
то
соответствующий
вычислительный
алгоритм
оценки
Ляпуновских показателей будет сходиться, причем сигнатура спектра, к которому
сходится соответствующий вычислительный алгоритм, отвечает требованиям
детерминированного хаоса:
 
в случае одномерного отображения, ;  в случае
двумерного отображения,  ;0;  в случае трехмерного отображения. На рисунке
представлены результаты расчета Ляпуновских показателей ряда Гаусса и ряда
Хенона из предыдущего примера, вычисленные исходя из того, что ряды являются
одномерными отображениями. Оценка Ляпуновского показателя стохастического
ряда
сходится к нулевому значению,
а
оценка
положительному, что соответствует сигнатуре
хаотической системы.
 
хаотического
ряда
– к
одномерной дискретной
«Моделирование систем»
© Филатов А.Г.
-347-
Dynamics of Lyapunov exponents
2.5
Lyapunov exponents
2
=0.091635
1.5
1
0.5
0
20
40
60
80
100
t
120
140
160
180
200
В ряду методов обнаружения хаотических процессов особняком стоит метод
вейвлет-анализа. Вышеперечисленные методы распознавания хаоса являются
плодом современной теории динамических систем, к которой относятся и
хаотические системы. Вейвлет-анализ имеет совершенно другую «математическую
родословную». Он разрабатывался как альтернатива гармническому анализу Фурье в
плане компенсации недостатков гармонического анализа при исследовании
нестационарных сигналов и первоначально не имел совершенно никакого
отношения к теории динамических систем. Однако, вейвлет-анализ, созданный,
кстати как и современные методы нелинейной динамики, в конце XX века оказался
настолько мощным и универсальным инструментом исследования сигналов и
систем, что первые попытки его применения для анализа хаотических колебаний
дали весьма обнадеживающие результаты и позволили надеяться, что вейвлетанализ со временем для теории нелинейных динамических систем будет иметь то же
значение, какое имеет в теории линейных систем анализ Фурье, как уже было
отмечено в начале этой главы «неподходящий» для нелинейной динамики.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа