close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

ГУ «Витебская областная библиотека имени В. И. Ленина»;pdf

код для вставкиСкачать
Введение в курс начертательной геометрии
Требования государственного образовательного
стандарта (ГОС) к содержанию дисциплины
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
1.
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Предмет начертательной геометрии. Основные виды обратимых
изображений. Задание точки, прямой, плоскости и многогранников на
комплексном чертеже Монжа. Позиционные задачи. Метрические задачи.
Способы преобразования чертежа. Многогранники. Кривые линии.
Поверхности. Поверхности вращения. Линейчатые поверхности. Винтовые
поверхности. Циклические поверхности. Обобщенные позиционные задачи.
Метрические задачи. Построение разверток поверхностей. Касательные линии
и плоскости к поверхности. Аксонометрические проекции.
ВНИМАНИЮ СТУДЕНТА
При изучении НГ каждый студент должен использовать следующие
инструменты и принадлежности:

треугольники с делениями (один - с углами 45 и катетами 130-150
мм, второй- с углами 30 и 60 и с большим катетом 200.. 220 мм);

карандаши - простые (марки НВ, В), зелёный, красный, жёлтый и
синий;

циркуль;

резинку мягкую для стирания карандашных линий.
Используемые обозначения
H, V, W – горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости
проекций.
0, x, y, z –– начало координат и оси координат.
А, В, С, 1, 2, 3…- точки в пространстве.
А', А'', А''' – горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки
''А.
a', а'', а''' - горизонтальная, фронтальная и профильная проекции прямой а.
, , ,… - плоскости или поверхности пространства.
, , ,… - новые плоскости проекций при замене основных плоскостей
проекций.
А1, А2, А3,…- обозначение новых проекций точки А при замене
плоскостей проекций.
А1', А1'',… - обозначение новых проекций точки А при 1-м вращении
А2', А2'',… - обозначение новых проекций точки А при 2-м вращении.
Ф – общее обозначение любой фигуры (точки, прямой, поверхности…).
рис. 14(л1) – пример ссылки: см. рисунок 14 в лекции № 1
Используемые символы
∩ - пересекаются, например АВ ∩ =F
ǁ (∦) – параллельны (не параллельны), например AB ǁ СD
∸ - скрещиваются, например AB ∸ CD
⊥ (Ł)-взаимно перпендикулярны (не перпендикулярны), например АВ ⊥
⊂ (⊄) – принадлежит (не принадлежит), например Т
⊃ (⊅)проходит (не проходит) через, например
⊃A
≡ - совпадают, например А2≡В2
≅ - конгруэнтные фигуры (при наложении друг на друга полностью
совпадают), например, △АВС≅△А2В2С2
△ – обозначение треугольника, □ – обозначение квадрата
R – обозначение радиуса окружности
- обозначение диаметра окружности
⇒ - логическое следствие «Если …, то …»
U – объединение фигур
- расстояние между фигурами, например
А,
- расстояние от точки А до плоскости
АВ
- длина отрезка,
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВВОДНАЯ)
ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ОБРАТИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
(ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ)
Уже в давние времена у людей появилась необходимость изготавливать
достаточно сложные изделия в нескольких экземплярах, для чего нужны были
чертежи.
Поэтому возникла такая проблема:
как изобразить на листе чертежа, имеющего только два
измерения, фигуры трехмерного пространства, и наоборот, как
определить формы, размеры и взаимное расположение
геометрических фигур в пространстве по имеющимся
изображениям и решить поставленные задачи, т.е. как получить
обратимые изображения?
В процессе решения этой проблемы и возникла наука Начертательная
геометрия, которая служит мостом между стереометрией и планиметрией.
Название науки НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ содержит два слова.
Слово ГЕОМЕТРИЯ связывает науку с областью математики, а слово
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ, происходящее от слов НАЧЕРТАТЬ, ЧЕРТИТЬ или
ЧЕРТА, указывает на графическую форму познания науки.
1.
Цель, задачи и предмет изучения начертательной геометрии,
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ включена в программу инженерного
образования для реализации следующих целей:
во-первых, обеспечить инженера методами построения изображений
любых фигур;
во-вторых, - способами графического решения позиционных и
метрических задач;
в-третьих, развить пространственное воображение, без которого
немыслимо никакое инженерное творчество.
Задачи, решаемые в начертательной геометрии, могут быть
позиционными, метрическими или содержать позиционную и метрическую
составляющие:
- позиционные задачи требуют ответа о взаимном расположении
геометрических фигур,
- метрические задачи - об истинных размерах расстояний и углов, как
между элементами одной фигуры, так и между разными фигурами.
Предметом изучения начертательной геометрии являются:
1) метод проекций, устанавливающий взаимно однозначное соответствие
между фигурами трёхмерного пространства и их двумерными изображениями;
2) изображения самих фигур;
3) способы решения позиционных и метрических задач при различных
взаимных положениях фигур.
В какой бы стране не изготовляли детали или более сложные изделия,
везде они изготовляются по чертежам, понятным человеку любой
национальности. Поэтому говорят, что чертёж - это международный язык
техники, а начертательная геометрия - грамматика этого языка. Причём
это самый лаконичный язык. В нём всего один элемент - линия или её частный
случай - точка. Для сравнения: в русском языке - 32 элемента (буквы), в языке
чисел - 10 цифр, в языке звуков - 7 нот. И ещё одно достоинство языка графики
- его наглядность и очень большая информативность. Попробуйте дать такое
словесное, описание изделия, т.е. без чертежей, чтобы по нему можно было
изготовить это изделие, например не сложный токарный станок. На это уйдут
сотни тысяч слов, но результата не будет!
2.
Структура и логическая организация дисциплины
Особенности изучения НГ
и рекомендации по самостоятельной работе
Как видно из названия «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ИНЖЕНЕРНАЯ и КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА», дисциплина содержит три
раздела:
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (НГ),
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА (ИГ),
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА (КГ).
На изучение каждого раздела отводится один семестр.
В процессе изучения НГ каждый студент овладевает логикой
пространственного мышления, пространственными представлениями и
воображением, грамматикой чертежа. В конце семестра – оценка знаний.
В процессе работы над ИГ студенты изучают стандарты на чертежи и
осваивают ручную технологию разработки и изготовления чертежей на
инженерном уровне. В конце семестра – оценка знаний.
При изучении КГ студенты учатся выполнять чертежи на компьютерах,
используя такие графические редакторы как, например, Компас, AutoCAD,
Inventor или др. В конце семестра – оценка знаний.
НГ, как и планиметрия или стереометрия основана на дедуктивной
логике. Процесс её познания идёт от простого к сложному, от общего к
частному.
Поэтому структурно
курс
НГ
включает
следующую
последовательность изучаемых тем: изображения точки, прямой, плоскости и
многогранников,
способы
преобразования
чертежа,
пересечение
геометрических поверхностей плоскостью, прямой и друг с другом.
Графический язык НГ, символами которого являются линии и точки,
труден для большинства обучаемых студентов. Чтобы успешнее преодолеть его
трудности, необходимо не просто читать учебник и конспект лекций, а
обязательно мысленно представлять, что дано в пространстве, почему
получаются такие изображения, понять логику и последовательность
выполненных построений, самостоятельно воспроизвести эти построения и
только затем запоминать, на основании каких теоретических положений были
выполнены эти построения.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ОБРАТИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Понятие обратимости чертежа
Какие требования обычно предъявляются к чертежу? Это - точность,
простота, наглядность и обратимость. Первые три требования не нуждаются в
пояснениях.
С позиций теории множеств, любая геометрическая фигура
рассматривается как множество всех принадлежащих ей точек.
Множество точек пространства трёхпараметрично, так как любая его
точка однозначно определяется тремя координатами (рис. 1d), что принято
обозначать как 3.
Как на поверхности, так и на линии существует своё множество точек.
Положение точки на любой линии (рис. 1а) определяется одной координатой,
например расстоянием х от фиксированной точки отсчёта 0; точки на
поверхности - двумя криволинейными координатами х и у (рис. 1b), точки на
плоскости – двумя линейными координатами х и у (рис. 1с). Поэтому говорят,
что точки на линии составляют однопараметрическое множество точек 1, а
точки на криволинейной или плоской поверхности - двупараметическое
множество точек 2.
1
Линия, определяемая множеством точек
, может принадлежать
2
поверхности, с множеством точек
, или трёхмерному пространству с
3
множеством точек .
Рис. 1
Раскроем подробнее понятие обратимости чертежа: чертеж называется
обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму,
размеры и положение в пространстве. Очевидно, чертеж будет обратимым
только в том случае, если между множествами геометрических фигур
пространства и их изображений установлено взаимно однозначное
соответствие. Так как любая геометрическая фигура представляется как
множество точек, то сформулированный признак обратимости можно уточнить
так: чертеж будет обратимым, если трехпараметрическому множеству
точек пространства соответствует трёхпараметрическое множество их
изображений.
МЕТОД ДВУХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Метод проекций
Теоретическую основу НГ составляет метод проекций. В основу метода
положена операция получения изображения точки, как результат пересечения
проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.
Для реализации метода необходим аппарат проецирования и объекты
проецирования. Введём следующие обозначения:
1) аппарат проецирования - это плоскость проекций П и центр
проецирования S;
2) объект проецирования - точки А, В, С... какой-либо фигуры;
3) результат проецирования - проекции АП, ВП, СП, …точек А, В, С…
Рис. 2
Рис. 3
Каждую точку пространства проецируем из центра S на плоскость П, т.е.
проводим проецирующий луч, например SA (рис. 2). Пересечение
проецирующего луча с плоскостью проекций П определяет проекцию АП точки
А…
Так как центр проецирования находится на доступном для нас
расстоянии, то это центральное проецирование.
На рис. 3 показан тот же аппарат проецирования, а на проецирующих
лучах, проходящих через вершины △АВС, добавлены вершины △DEF. Как
видим (рис. 3) один аппарат проецирования, не позволяет по одной проекции
судить ни о положении фигуры в пространстве, ни о размерах этой фигуры.
Действительно, точки на плоскости проекций П определяются двумя
параметрами (множество 2), а точки пространства определяются тремя
параметрами (множество 3).
Таким образом, одна из основных задач начертательной геометрии, как
научной дисциплины, состоит в разработке способов получения обратимых
чертежей.
Известно множество таких способов, но наибольшее
распространение получили способы по схеме метода двух изображений.
Метод двух изображений
Классический метод двух изображений реализуется при наличии трёх
аппаратов центрального проецирования:
 основной аппарат проецирования – плоскость П и центр S,
 вспомогательный аппарат проецирования – плоскость П1 и центр S1,
 вспомогательный аппарат проецирования – плоскость П2 и центр S2.
При этом все центры проецирования должны лежать на одной
прямой!
На рис. 4. слева показана схема возможного размещения плоскостей
проекций и центов проецирования, а справа – более наглядное изображение
центров и плоскостей. В качестве объекта проецирования взята простейшая
фигура, а именно точка А.
Рис. 4
Проведём через точку А проецирующие лучи из S1 и S2. Получим на П1 и
П2 вспомогательные проекции А1 и А2 точки А. Проецирующий луч из S1,
проходящий через S2, даёт на П1 проекцию S21 точки S2. Аналогично, S12 есть
проекция центра S1 из центра S2 на плоскость П2 (см. рис. 4 справа).
Линия центров SS1S2 пересекает плоскость проекций П в точке S0.
Затем вспомогательные проекции А1 и А2 перепроецируются из
основного центра S на плоскость проекций П и получаются соответственно
основные проекции А и А .
Так как прямая центров SS1S2 и точка А образуют проецирующую
плоскость, то она пересекает плоскость П по прямой, проходящей через S0 и
содержащей основные проекции А и А . Эта же проецирующая плоскость
пересекает плоскости П1 и П2 по прямым 1S21 и 1S12. На прямой 1S21 находится
вспомогательная проекция А1, а на прямой 1S12 – вспомогательная проекция
А2.
Прямая S0А А на плоскости П называется линией связи между
основными проекциями А и А , а точка S0 называется исключённой
точкой на плоскости П. Соответственно прямые 1S21 и 1S12 являются линиями
связи для вспомогательных проекций А1 и А2 на плоскостях П1 и П2.
Мысленно (по рис. 4 справа) выполните построения в обратной
последовательности, начиная от A' и А". При этом, как видите, можно
восстановить положение точки в пространстве! Значит, полученное
изображение является обратимым. С точки зрения исчислительной геометрии
обратимость полученного изображения объясняется так:
точка А пространства определена тремя параметрами ( 3),
пара А', А" основных проекций точки А, лежащих на линии связи, тоже
определяется тремя параметрами – например, проекцию А' можно выбрать из
множества 2 точек плоскости П, а проекцию А" можно выбрать лишь из
множества 1 точек, принадлежащих линии связи S0А'А". Поэтому пары двух
основных проекций А' и А" будут составлять трехпараметрическое множество
3
= 2+ 1.
Метод главного и вторичного изображения
На практике используют более простой вариант метода двух
изображений. Одна, например первая вспомогательная плоскость проекций П1
совмещается с основной плоскостью проекций П – рис. 5. Значит, первая
вспомогательная проекция А1 сразу попадает на основную плоскость проекций
П≡П1.
Последующее
проецирование
А1
из
основного центра S на
плоскость П ничего не
меняет. Поэтому вместо А1
полученную
проекцию
обозначим сразу как А'.
Рис. 5
Вторая проекция, как и на рис. 4, является результатом двух
проецирований: сперва из центра S2 на плоскость П2, затем из центра S на
плоскость П. Поэтому первая проекция обычно называется главной, а
вторая – вторичной. На практике стараются фигуру разместить относительно
плоскости П так, чтобы её главная проекция давала наиболее полную и
наглядную информацию о фигуре. А вторичная проекция служит
геометрическим целям – без неё геометрическая информация о фигуре будет не
полной.
Бесконечно удалённые точки, прямые и плоскость
Любой выбранной точке фигуры при проецировании, вообще говоря,
должна соответствовать проекция этой точки. Слова «вообще говоря»
приходится употреблять потому, что из этого правила существуют исключения.
Рассмотрим (рис. 6), как строятся из центра S проекции точек прямой а
на плоскость П. При перемещении точек в направлении D получаем на аП
проекции АП, ВП, СП точек. Затем на прямой аП окажется точка DП, как
результат пересечения луча SDП∥ а. Значит, почти все точки прямой аП
представляют собой проекции точек прямой а. Все, кроме одной - DП! Ведь по
Евклиду, две параллельные прямые (SDП ∥ а) не пересекаются. Евклид древнегреческий математик, написавший свой главный труд «Начала». Жил
около 365 – 300 до н.э.
Рис. 6
Рис. 7
Чтобы заполнить этот пробел, Дезарг предложил считать, что точка DП
является изображением «бесконечно удалённой точки» D прямой а.
Аналогично, когда проецирующий луч станет параллелен аП и пересечёт
прямую а в точке E, припишем точке Е в качестве проекции «бесконечно
удаленную точку» Е П прямой аП. Дезарг Жирар – французский математик,
заложивший основы проективной геометрии. Жил в 1591-1661г.г.
Теперь возможна такая трактовка:
Две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной
(несобственной) точке
Плоскость и параллельная её прямая пересекаются в бесконечно
удалённой (несобственной) точке.
На рис. 7 в плоскости лежат взаимно параллельные прямые a, b, c. Эти
прямые из центра S проецируются на плоскость проекций П. Как видно из
этого рисунка, эти прямые проецируются на плоскость П в виде прямых,
пересекающихся в одной точке ТП, именно в той точке, которая считается
проекцией бесконечно удалённой точки прямой а. Отсюда следует, что все
прямые параллельные между собой, имеют общую бесконечно удалённую
точку.
Т.е. по Дезаргу все параллельные друг другу прямые пересекаются в
одной точке – именно в их общей несобственной точке.
Проецирующие лучи, проходящие через S и
параллельные плоскости , лежат в одной плоскости
- рис. 8. Эта плоскость пересекает плоскость
проекций П по прямой bП, точки которой являются
проекциями бесконечно удалённых точек плоскости
. Опять получается, что прямая bП единственная
прямая плоскости П, которая не является проекцией
какой-либо прямой плоскости .
Рис. 8
Дезарг предложил называть совокупность всех бесконечно удалённых
точек плоскости – бесконечно удалённой (несобственной) прямой плоскости.
Значит, все параллельные между собой плоскости будут пересекаться по
одной несобственной прямой.
Отсюда, для бесконечного множества плоскостей имеется бесконечное
множество бесконечно удалённых прямых.
В результате совокупность бесконечно удалённых точек и прямых
определяет бесконечно удалённую (несобственную) плоскость пространства.
Введение бесконечно удалённых (несобственных) элементов (точек,
прямых и плоскости) вносит чисто словесное изменение в формулировку
некоторых теорем геометрии. Но в этом случае отпадает ряд исключений.
Например, по Евклиду, что две прямые плоскости пересекаются в одной, и
только в одной точке, если они не параллельны. Теперь это можно изложить без
исключения: две прямые плоскости пересекаются в одной и только в одной
точке (подразумевается в собственной или бесконечно удалённой, т.е.
несобственной). Точно также, плоскость и прямая, лежащая вне плоскости,
всегда пересекаются (в собственной или несобственной точке). Пространство,
дополненное несобственными элементами, называют «расширенным» или
проективным.
Обратите внимание на то, что происходит в случае замены слова
«плоскость» на слово «точка» в аксиомах геометрии.
Точка и прямая, не проходящая через точку, определяют плоскость.
Плоскость и прямая, вне плоскости, определяют точку.
Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость.
Три плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют точку.
Две разные точки определяют одну и только одну прямую.
Две разные плоскости определяют одну и только одну прямую.
Это так называемый принцип двойственности.
Перспективные проекции
Перспективные изображения (перспектива) обладают наибольшей
наглядностью. Перспектива используется в основном для изображения
крупногабаритных строительных и архитектурных сооружений. Способ
перспективных проекций позволяет передавать кажущиеся изменения
величины и формы объекта, вызванные его расположением и удалённостью от
наблюдателя.
Это наиболее древний вид обратимых изображений. Перспективные
изображения начали применять при решении практических задач строительства
еще в древнем Египте. В трактате римского архитектора Марка Витрувия (I в.
до н.э.) "Десять книг об архитектуре" уже имелись сведения, относящихся к
построению перспективных изображений. Основы теории перспективы были
разработаны в эпоху возрождения итальянцем Альберти (1404 — 1472 гг.),
немцем Дюрером (1471 — 1528 гг.) и многими другими зодчими и
художниками.
Рис. 9
Рис. 10
На рис. 9 показана схема размещения проецирующих аппаратов по
методу главного и вторичного изображений и объект проецирования в виде
точки А.
В данном случае первый вспомогательный аппарат центрального
проецирования совмещается с основным аппаратом центрального
проецирования: П1≡П и S1≡S.
Плоскость проекций П2 второго вспомогательного аппарата размещается
перпендикулярно к плоскости П. Второй вспомогательный центр
проецирования удалён в бесконечность в направлении перпендикулярном к
плоскости П2, т.е. проецирующие лучи из S2 становятся взаимно
параллельными. Направление проецирования задаётся прямой s2 П2.
Так как все проецирующие лучи направлены перпендикулярно к
плоскости проекций П2, то получаем частный случай центрального
проецирования, который называется прямоугольным или ортогональным
проецированием.
Линия центров SS1S2 П2, а значит SS1S2 ∥П. Поэтому исключённая
точка S0 (результат пересечения линии центров с плоскостью П) находится в
бесконечности в направлении, перпендикулярном к П2 (и к хП). Значит линия
связи S0 A'A" xП.
Перспективные
изображения
получаются
в
следующей
последовательности - рис 10:

сначала точка А по направлению s2 П2 проецируется в А2,

затем точки А и А2 проецируются из центра S на плоскость П в виде
А иА .
Основные понятия и терминология,
которые используются в перспективе
Плоскость проекций, на которой располагается объект проецирования
(здание, сооружение), называется предметной плоскостью и обозначается П2
(на рис. 10 объектом проецирования является точка А). Перпендикулярная ей
плоскость, на которую осуществляется перспективное проецирование,
называется картинной плоскостью или картиной и обозначается П.
Центр проецирования, т. е. точка, в которой располагается глаз
наблюдателя, называется точкой зрения и обозначается S.
Плоскость, проходящая через точку зрения S параллельно картинной
плоскости П, называется нейтральной плоскостью и обозначается .
Картинная и нейтральная плоскости делят все пространство на три части.
Пространство, которое находится от наблюдателя за картинной
плоскостью и в котором располагается проецируемый объект (предмет),
называется предметным пространством.
Пространство, заключенное между картинной и нейтральной
плоскостями, называется промежуточным.
Пространство, расположенное по другую сторону от нейтральной
плоскости, называется мнимым.
Горизонтальная плоскость, проходящая через точку зрения S, называется
плоскостью горизонта и обозначается .
Линия пересечения плоскости горизонта
и картинной плоскости П
называется линией горизонта или горизонтом и обозначается h — h.
Линия пересечения картинной и предметной плоскостей называется
основанием картинной плоскости П или основанием картины и обозначается
х П.
Перпендикуляр, опущенный из точки зрения S на картинную плоскость
П, называется главным лучом.
Точка пересечения главного луча с картинной плоскостью П называется
главной точкой картины и обозначается Р.
А2 – основание точки А, расположенной в предметном пространстве.
А' – перспектива точки А
А" – вторичная проекция точки А.
Р2 – основание главной точки картины.
(А')2 – основание перспективы точки А (т.е. основание точки А').
S2 – основание точки зрения.
Расстояние от точки зрения S до предметной плоскости SS2 , называется
высотой горизонта и обозначается h.
Расстояние от точки зрения S до картины называется главным
расстоянием и обозначается D, т.е. D= SP .
В зависимости от вида поверхности, на которой строятся перспективные
проекции, различают следующие виды перспективы:
1. Линейная перспектива — проецирование на вертикальную плоскость
П.
2. Плафонная перспектива — проецирование на горизонтальную
плоскость.
3. Панорамная перспектива — проецирование на цилиндрическую
поверхность.
4. Купольная перспектива — проецирование на сферу.
Существуют ещё театральная, рельефная, диорамная, архитектурная,
стереоскопическая и др. виды перспектив.
Аксонометрические проекции
Для обеспечения хорошей наглядности и достаточной простоты
построения изображений в НГ используется метод аксонометрического
проецирования. Аксонометрические проекции широко используются в
инженерной практике для изображения деталей и узлов в
машиностроении, а также для изображения строительных конструкций.
Эти обратимые проекции тоже создаются на основании метода главного и
вторичного изображений.
Схема размещения проецирующих аппаратов по методу главного и
вторичного изображений и объект проецирования в виде точки А представлены
на рис. 11.
Рис. 11
Рис. 12
В данном случае первый вспомогательный аппарат проецирования
совмещается с основным аппаратом проецирования: П1≡П и S1≡S. При этом
центр S≡S1 удаляется в бесконечность в выбранном направлении. Тогда
проецирующие лучи становятся взаимно параллельными.
Если параллельные лучи не перпендикулярны к плоскости П, то этот
частный случай центрального проецирования называется параллельным
(косоугольным) проецированием.
Положение бесконечно удалённого центра S задаётся направлением
прямой s≡s1, идущей из центра S – см. рис. 11 и 12.
На плоскости П2 второго вспомогательного аппарата проецирования
размещаются координаты x и y декартовой системы координат 0xyz – рис. 12.
Центр проецирования S2 удалён в бесконечность в направлении,
перпендикулярном относительно плоскости проекций П2. Значит, направление
s2 проецирующих лучей из S2 будет параллельно оси z. А2 есть вторая
вспомогательная проекция точки А. Здесь 0АхА2 А называется координатной
ломаной, где 0Ах =хА, АХ А2 =yA= 0AY , А2А =z – координаты точки А
(с учётом масштабной единицы е).
Аксонометрические
изображения
строятся
в
следующей
последовательности - рис 12:

сначала точка А по направлению s2 П2 проецируется на П2 в А2,

затем точка А и её вспомогательная проекция А2 вместе с системой
координат 0xyz проецируются из центра S по направлению s≡s1 на плоскость
П в виде А и А .
Полученное таким образом изображение называется аксонометрическим.
Основные понятия и терминология,
которые используются в аксонометрии
А – объект проецирования.
А2 – вспомогательная ортогональная проекция точки А на плоскость П2.
А' – аксонометрическая проекция точки А.
А" – вторичная проекция (основание) точки А.
0xyz – декартовая система координат, АА2Ах0 - координатная ломаная.
0'x'y'z'
–
аксонометрическая
система
координат,
0 А хА А аксонометрическая координатная ломаная.
При параллельном проецировании сохраняется параллельность линий,
поэтому – см. рис. 12:
если АА2∥z, то и А'А"∥z';
если А2Аy∥x, то и А"Аy'∥x ;
если А2Ах∥y, то и А"А'х∥y .
В зависимости от ориентации вспомогательного аппарата проецирования
(П2, s2) относительно плоскости П и направления проецирования s возможны
разные виды аксонометрии:
 если направление s П, то имеем прямоугольную аксонометрию,
 если направление s Ł П, то имеем косоугольную аксонометрию.
В общем случае оси декартовой системы координат не параллельны
плоскости П и поэтому проецируются на плоскость П с изменениями размеров
масштабной единицы е по осям x , y и z .
е – масштабная единица по осям декартовой системы координат
еx - масштабная единица по аксонометрической оси х
еу - масштабная единица по аксонометрической оси у
еz - масштабная единица по аксонометрической оси z
Отношение масштабной единицы по аксонометрической оси к
масштабной единице e декартовой системы координат называют
коэффициентом искажения по этой оси.
kx
ex'
; ky
e
e'y
e
; kz
ez'
e
В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения
аксонометрия бывает:

изометрическая (все коэффициенты искажения k равны);

диметрическая (два коэффициента искажения равны, но не равны
третьему);

триметрическая (все коэффициенты искажения различны).
Если на плоскости П изображена произвольная аксонометрическая
система координат 0'x'y'z' с произвольно назначенными масштабными
единицами ex' , e'y и ez' , то этому варианту соответствует конкретное взаимное
положение аппаратов (П2, s2) и (П, s) косоугольного аксонометрического
проецирования. Эта взаимосвязь была доказана в теоремах Польке и ПолькеШварца во второй половине 19 века. Карл Польке (1810-1876 гг.) в 1853 году
доказал теорему о метрических зависимостях объекта проецирования и его
изображением в аксонометрии. В 1864 году Г.А. Шварц сформулировал более
общую теорему и дал более простое доказательство теоремы К. Польке.
Для прямоугольных аксонометрических проекций подобная свобода
выбора отсутствует. В этом случае для задания аксонометрических осей
сначала чертят остроугольный треугольник. В нём строят три высоты, которые
принимают за оси прямоугольной аксонометрии. При этом доказано, что
коэффициенты
искажения
должны
удовлетворять
условию:
2
2
2
kX
kY
kZ
2.
Из
множества
аксонометрических
проекций
ГОСТ
2.317-69
устанавливает два вида прямоугольных проекций (изометрия и диметрия) и
три вида косоугольных проекций (фронтальные изометрия и диметрия и
горизонтальная изометрия). Ось z' располагают всегда вертикально! Эти виды
аксонометрий применяются в чертежах всех отраслей промышленности и
строительства.
Прямоугольную изометрию (рис. 13 a) можно получить, если плоскость
П будет пересекать оси декартовой системы координат 0xyz в точках,
одинаково удалённых от начала 0 этой системы координат.
В этом случае получаем аксонометрическую систему координат 0'x'y'z'
(рис 13а) в которой оси образуют друг с другом углы в 120 0, а коэффициенты
искажения по всем осям равны 0,82. Практически очень неудобно координаты
точек изображаемого объекта умножать на этот коэффициент. Поэтому ГОСТ
рекомендует строить прямоугольную изометрию фигуры без сокращения по
осям x y и z . При этом получается изображение подобное, но увеличенное в
1:0,82=1,22 раза. Такую изометрию называют практической.
Рис. 13
Прямоугольную диметрию (рис. 13 b) можно получить путём
ориентации декартовой системы координат 0xyz относительно плоскости П так,
чтобы коэффициенты по осям x и z приняли равные значения (kX = kZ),
коэффициент по оси y стал равен kY =0,5kX. В этом случае коэффициенты
искажения примут значения: kX = kZ =0,94, а kY=0,47. На практике пользуются
приведёнными коэффициентами kX = kZ =1 и kY=0,5. Изображение при этом
получается увеличенным в 1:0,94=1,06 раза. Кроме того, оси располагаются так,
как показано на рис. 13b, т.е. оси x и y образуют с горизонтальной линией
соответственно углы 7010 и 41025 .
Косоугольную фронтальную изометрию (рис. 13 с) получают,
ориентируя декартовую систему координат 0xyz относительно плоскости П так,
чтобы фронтальная плоскость x0z стала параллельна плоскости П. Направление
косоугольного проецирования должно быть таким, чтобы ось y проецировалась
без искажения, а угол между горизонтальной линией и осью y был равен 450.
Допускается угол 300 или 600. Коэффициенты искажения по всем
аксонометрическим осям равны 1.
Косоугольную горизонтальную изометрию (рис. 13d) получают,
ориентируя декартовую систему координат 0xyz относительно плоскости П так,
чтобы горизонтальная плоскость x0y стала параллельна плоскости П.
Направление косоугольного проецирования должно быть таким, чтобы ось y
проецировалась без искажения, а угол между горизонтальной линией и осью y
был равен 300. Допускается угол 450 или 600. Коэффициенты искажения по всем
аксонометрическим осям равны 1.
Косоугольную фронтальную диметрию (рис. 13 е) можно получить
путём ориентации декартовой системы координат 0xyz относительно плоскости
П так, чтобы фронтальная плоскость x0z стала параллельна плоскости П.
Значит , по осям x и z коэффициенты искажения примут значения: kX = kZ =1.
Направление косоугольного проецирования должно быть таким, чтобы ось y
проецировалась с коэффициентом kY=0,5, а угол между горизонтальной линией
и осью y был равен 450. Допускается угол 300 или 600.
Метод ортогональных проекций (метод Монжа)
Наиболее удобным в инженерной машиностроительной практике
оказался так называемый метод двух ортогональных проекций.
Метод ортогональных (прямоугольных) проекций разработан в конце
XVIII века французским учёным Гаспаром Монжем (1746-1818 г.г.).
Положительные качества этого метода – простота построения изображений и
возможность определять размеры объекта по чертежу. Недостаток отсутствие наглядности. Метод ортогональных проекций используется
наиболее часто для изображения деталей машин и механизмов.
Этот метод тоже является частным случаем метода главного и вторичного
изображений. Схема размещения проецирующих аппаратов по методу главного
и вторичного изображений и объект проецирования в виде точки А
представлены на рис. 14.
Плоскости вспомогательных аппаратов проецирования размещают
взаимно перпендикулярно, т.е.
П П2. Плоскость
П2 называют горизонтальной плоскостью проекций, а
плоскость П – фронтальной плоскостью проекций.
П2∩П = х – ось проекций.
Центры вспомогательного проецирования S1 и
S2 удаляются в бесконечность по направлениям,
перпендикулярным к соответствующим плоскостям
проекций, т.е. имеем ортогональное проецирование
относительно П и П2. Положение несобственных
центров S1 и S2 задаётся направлением прямых s1 H
и s2 V.
Рис. 14
Проецируя точку А на плоскости П и П2, получаем основную (главную)
проекцию А и вспомогательную проекцию А2.
Согласно методу главного и вторичного изображений одну из
вспомогательных плоскостей проекций совмещают с основной плоскостью
проекций П. Совместим с П, например, первую плоскость проекций П1. Значит
первая вспомогательная проекция А1 сразу попадает на основную плоскость
проекций П≡П1. Последующее проецирование А1 из основного центра S1 на
плоскость П≡П1 ничего не меняет. Поэтому вместо А1 полученную проекцию
целесообразно обозначить сразу, как А .
Основной центр проецирования S выберем так. Плоскость П П2.
Проведём через ось х биссекторную плоскость (рис. 14), которая делит угол
между П и П2 пополам. Теперь задаём положение S
в направлении,
перпендикулярном . Направление проецирующих лучей из S задаётся
направлением прямой s .
Ортогональные
проекции
точки
строятся
в
следующей
последовательности - рис 14:

сначала точка А по направлению s1 П проецируется на П в А ,

затем точка А по направлению s2 П2 проецируется на П2 в А2

затем вспомогательная проекция А2 перепроецируются из центра S
по направлению s на плоскость П в виде А .
Полученное таким образом изображение называется эпюром Монжа или
комплексным чертежом.
Как видим, все три центра проецирования удалены в бесконечность.
Докажем, что все они лежат на одной прямой (SS1S2) (требование к схеме на
рис. 4). Т.к. три плоскости H, П≡V и
луч s1∞ х, так как s1∞ H;
проходят через общую ось х, то:
луч s2∞ х, так как s2∞ V≡П
и луч s∞ х, так как s∞ .
При построении проекций точки А, все эти лучи лежат в одной плоскости
и
значит
принадлежат
бесконечно
удалённой
прямой
(SS1S2)
этой
проецирующей плоскости (см. пояснения к рис. 8). Так как прямая (SS1S2) х,
пересекает плоскость V≡П в бесконечно удалённой точке (S0) , то линия связи
(S0) А А х.
Есть и другой вариант получения на эпюре Монжа вторичной проекции
А : плоскость П1 вместе со вспомогательной проекцией А1 вращаем вокруг оси
х до совмещения с плоскостью П – см. рис.14.
МЕТОД ДВУХ СЛЕДОВ
Задание прямой
Наряду с методом двух изображений, в начертательной геометрии
большое значение имеет так называемый метод двух следов. На практике оба
метода применяются совместно, переплетаясь и взаимно дополняя друг друга.
При этом метод двух изображений оказывается особенно удобным для
задания (и построения) точек и прямых, а метод двух следов - для прямых и
плоскостей.
Основным элементом в методе двух следов является не точка, а прямая.
Зададим плоскость изображений П и две плоскости П1 и П2, называемые
п л о с к о с т я м и с л е д о в (рис. 15), а также центр проекций S вне указанных трех
плоскостей. Эти три плоскости П , П , П и S образуют основную систему
проецирования в методе двух следов.
Линию пересечения плоскостей с л е д о в П и П о б о з н а ч и м ч е р е з х , а е ё п р о е к ц и ю
1
2
1
2
на пло ск о ст и и з о бр а ж е ни й П на з о в ё м иск люч ё нно й пря мо й и о бо з на ч им х
.
Рассмотрим теперь какую-либо прямую р, не пересекающую прямую х .
Обозначим точки ее пересечения с плоскостями следов через N и M .Эти точки
назовем с л е д а м и прямой р: N - первым следом, M - вторым. Спроецируем следы N
и M на плоскость изображений П из центра S. Получим проекции следов N и M .
Они
лежат
вне
исключенной прямой х'.
Ясно,
что
проекции
следов
вполне
определяют
следы
в
пространстве, а следы
(если только они не
совпадают)
вполне
определяют
неособую
прямую.
1
1
2
2
2
1
1
2
Рис. 15
Итак, имеем:
Вывод 1. Каждой неособой прямой соответствует на плоскости
изображений пара точек, лежащих вне исключенной прямой х', и, наоборот,
любой паре точек, из которых ни одна не лежит на исключенной прямой х',
соответствует в пространстве одна, и только одна (неособая) прямая.
Представим, что прямая пересекает прямую х ' . В этом случае следы
прямой совпадут. Такая прямая называется особой, т.к. её положение в
пространстве не определяется по изображению следов на плоскости П.
Если представить, что заданная прямая проходит через центр проекций S,
но не пересекает прямую х, то проекции следов на П совпадут, однако, будут
лежать вне х'. Положение такой прямой в пространстве определяется и поэтому
это неособая прямая.
Задание плоскости
Рис. 16
Плоскость , не проходящая через прямую х , т . е . неособая плоскость,
пересекает плоскости следов по двум прямым: 1 и 2 (рис. 16)
Эти прямые называются с л е д а м и плоскости : 1 — первым следом, 2
— вторым следом. Оба следа пересекаются на прямой х: х
х. Поэтому
проекции следов 1 и 2 из центра S на плоскости П пересекаются на
исключённой прямой х в точке х . Проекции следов 1 и 2 однозначно
определяют плоскость, если только они не совпадают с х .
Представим, что плоскость проходит через прямую х, то есть следы 1
и 2 совпадают с х. В этом случае положение плоскости в пространстве не
определено. Такая плоскость называется особой. У особой плоскости проекции
следов совпадают с
исключенной прямой х .
Заметим,
что
у
плоскости
,
проходящей через центр
проекций,
но
не
проходящей
через
прямую
х,
т.е.
у
неособой
плоскости,
проекции следов тоже
совпадают,
однако,
отличны от исключенной прямой х (рис. 17).
Рис. 17
Вывод 2. Каждой неособой плоскости пространства соответствует на
плоскости изображений пара прямых, пересекающихся на исключенной прямой
х , и, наоборот, любой паре прямых, пересекающихся на х , из которых ни одна
не совпадает с х , соответствует в пространстве одна, и только одна
(неособая) плоскость.
Если прямая принадлежит плоскости, то, очевидно, следы прямой
принадлежат соответственным следами плоскости:
Вывод 3. Прямая принадлежит плоскости в том и только в том случае,
если одноименные проекции следов прямых принадлежат одноимённым
следам плоскости.
Как видим, прямые и плоскости задаются очень просто, но о наглядности
изображения по методу двух следов говорить не приходится. Какая уж тут
наглядность, когда прямая изображается парой точек, а плоскость – парой
прямых.
Сочетание метода двух следов и метода двух изображений
На практике методы двух следов и двух изображений обычно
применяются совместно. При этом центр проекций метода двух следов S всегда
совмещается с главным центром метода двух изображений S. Что касается
плоскостей следов П и П2, то они либо совмещаются со вспомогательными
плоскостями проекций метода двух изображений, либо выбираются как-либо
иначе.
В методе двух следов:
 прямая изображается следом (точкой), принадлежащим плоскости П1 и
следом (точкой), принадлежащим плоскости П2,
 плоскость изображается следом (прямой), принадлежащим плоскости П1
и следом (прямой), принадлежащим плоскости П2, при этом следы
пересекаются на исключённой прямой х .
В методе двух изображений:
 точка изображается двумя проекциями,
 прямая изображается, например, двумя проекциями её двух точек,
 плоскость изображается, например, двумя проекциями её трёх точек.
1
При
сочетании
метода двух следов с
методом
двух
ортогональных
изображений
плоскости
следов
совмещаются
с
плоскостями проекций – рис.
18
Рис.18
Проекции с числовыми отметками
Проекции с числовыми отметками относятся к обратимым изображениям.
Они не обладают наглядностью, но имеют высокую точность и простоту
построений. Проекции с числовыми отметками применяются для
изображения объектов, у которых высота значительно меньше их длины и
ширины, т.е. когда невозможно показать в одном масштабе две проекции
сооружения. Этот вид проекций используется при проектировании
крупногабаритных в плане инженерных сооружений на земной
(топографической) поверхности, таких как:

откосов железных и автомобильных дорог,

аэродромов, мостов и путепроводов, интерьеров станций
метрополитенов и пассажирских залов,

насыпей и выемок в кривых и прямых участках пути,

для определения границ и объёмов земляных работ при
строительстве этих сооружений.
Метод проекций с числовыми отметками представляет собой
ортогональное проецирование фигур на горизонтальную плоскость проекций.
Как известно, один аппарат проецирования, не позволяет по одной проекции
судить ни о положении фигуры в пространстве, ни о размерах этой фигуры.
Действительно, точки на плоскости проекций П определяются двумя
параметрами (множество 2), а точки пространства определяются тремя
параметрами (множество 3). Поэтому для получения обратимого чертежа
указывается не только горизонтальная проекция точки, но и её удаление от
горизонтальной плоскости проекций, т.е. координата z, которая называется
числовой отметкой точки. Горизонтальная плоскость, на которую
проецируются геометрические фигуры, называется плоскостью нулевого
уровня или планом.
На территории РФ за плоскость нулевого уровня принят уровень
Балтийского моря (нуль Кронштадтского Футштока). При проектировании
инженерных сооружений за горизонтальную плоскость проекций может быть
принята плоскость промежуточного уровня, при условии, что известно
расстояние от этой плоскости до уровня Балтийского моря.
Рис. 19
На рис. 19 а изображена прямая АВ во фронтальной диметрии с
координатами точек: А(5,1,1), В(1,4,4).
На рис. 19 b изображена эта же прямая в проекциях с числовыми
отметками: А +1 и В +4. Здесь +1 и +4 показывают, что точки находятся над
плоскостью плана Н на расстоянии 1 и 4 единиц выбранного масштаба. Если
точка будет под плоскостью Н плана (-z), то числовая отметка будет записана
со знаком «-».
На чертежах, выполненных в проекциях с числовыми отметками, не
указывают координатные оси, начало координат и имя плоскости нулевого
уровня. Т.к. чертёж должен выполняться по каким-то размерам, то на нём
должен быть указан линейный масштаб, например 1 единица масштаба равна 1
метру. Так оформлен чертёж на рис 19 с.
Для прямой существует понятие уклона относительно плоскости
нулевого уровня. Поэтому прямую на чертеже можно задать одной точкой и
величиной уклона – рис. 19 с.
Уклон определяется так: i
tg
0
zB z A
, где А – начало, а В конец
A' B'
прямой. A B - длина горизонтальной проекции прямой АВ. При этом важно
еще знать, как направлена прямая от одной точки к другой: с подъёмом или
спуском. Если с подъёмом, как на рис. 19 а, то zВ > zА и величина уклона
определяется со знаком плюс.
Если за начало прямой взять точку В и за конец - точку А, то значение i
станет отрицательным. Такой вариант в проекциях с числовыми отметками
показан на рис. 19 d.
Векторные проекции
Этот способ обратимых чертежей предложил академик Евграф
Степанович Фёдоров для усовершенствования проекций с числовыми
отметками. Фёдоров Е.С. (1853-1919 гг.) русский кристаллограф. Его работы
послужили развитию теории многогранников, как самостоятельного раздела
геометрии.
В этом способе вместо числовых отметок используются векторы, чьи
модули равны координате z. Все векторы должны быть взаимно
параллельными, а направление векторов выбирается произвольно. Кроме того,
если положительное значение z задать вектором, направленным вниз, то
отрицательное значение z определяется вектором с противоположным
направлением.
Например, для точки А на рис. 20
длина вектора равна 2 единицам
масштаба. Значит, точка находится над
плоскостью нулевого уровня на 2 единицы
выбранного масштаба (z=2). Точка В
изображена вектором, длиной 4 единицы,
направленным
в
противоположную
сторону. Поэтому точка В находится под
плоскостью нулевого уровня на 4 единицы
выбранного масштаба (z=-4).
Рис. 20
Циклография Фидлера-Фёдорова
В
этом
способе
проекция
точки
изображается в виде окружности, центр которой
определяет положение проекции точки на
плоскости нулевого уровня. Величина радиуса
окружности определяет удалённость точки от
плоскости нулевого уровня. Если направление
обхода окружности по часовой стрелке принять
за положительное значение координаты z, то
против часовой стрелки – отрицательное
значение координаты z.
Рис. 21
На рис. 21 точка А располагается над плоскостью нулевого уровня на 1
единицу выбранного масштаба (z=1), а точка В – под плоскостью нулевого
уровня на 3 единицы выбранного масштаба (z=-3).
Задание на самостоятельную работу:
 Изучить, понять и запомнить материал лекции 1
Рекомендуемая учебная литература:
Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник.- 3-е изд., перераб и доп.М.:ИНФРА-М, 2008.- (Высшее образование): см. с. 3-22
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа