close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Ухтинский государственный технический университет

код для вставкиСкачать
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
Кафедра электрификации и автоматизации технологических процессов
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОФАЗНОЙ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Методические указания
Ухта, УГТУ, 2014
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2 я7
С 77
Старцев, А. Э.
С 77
Исследование однофазной цепи синусоидального тока : метод. указания / А. Э. Старцев, И. А. Дементьев, П. С. Шичёв. – Ухта : УГТУ, 2014. –
48 с. ; ил.
Методические указания предназначены для самостоятельного выполнения расчётно-графической работы по дисциплинам «Электротехника», «Электротехника и электроника», «Общая электротехника и электроника», «Электроснабжение с основами электротехники» для студентов неэлектрических специальностей.
Методические указания содержат задания на выполнение работы по исследованию однофазной цепи синусоидального тока.
Методические указания позволяют освоить основные теоретические сведения по цепям переменного синусоидального тока.
Содержание указаний соответствует учебным рабочим программам.
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2 я7
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой ЭАТП, пр. №06 от
03.06.2004, и рекомендованы к изданию.
Рецензент: З. Х. Ягубов, проф. каф. ЭАТП УГТУ, д.т.н.
Редактор: Е. В. Тетеревлёва, доцент каф. ЭАТП УГТУ.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2014 г., позиция 373.
Подписано в печать 28.02.2014. Компьютерный набор.
Объем 48 с. Тираж 100 экз. Заказ №282.
© Ухтинский государственный технический университет, 2014
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типография УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Краткие теоретические сведения.................................................................. 4
1.1 Основные величины, характеризующие синусоидальные колебания.. 4
1.2 Действующие и средние значения синусоидальных величин............... 4
1.3 Представление синусоидально изменяющихся величин в виде
комплексных чисел .......................................................................................... 5
1.4 Комплексное сопротивление .................................................................... 6
1.5 Алгебраические операции с комплексными числами, векторная
диаграмма.......................................................................................................... 7
1.6 Резистор в цепи синусоидального тока ................................................... 11
1.7 Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока......................... 12
1.8 Конденсатор в цепи синусоидального тока............................................. 14
1.9 Символический (комплексный) метод расчёта цепей
синусоидального тока ...................................................................................... 16
1.10 Законы Кирхгофа для мгновенных значений........................................ 16
1.11 Законы Кирхгофа в комплексной форме ............................................... 16
1.12 Символический (комплексный) метод расчёта цепей
синусоидального тока ...................................................................................... 18
1.13 Мощность в цепи синусоидального тока............................................... 25
1.14 Комплексная мощность ........................................................................... 27
1.15 Баланс мощностей в цепях синусоидального тока............................... 28
2 Задание на расчётно-графическую работу.................................................. 32
Библиографический список.................................................................................. 44
Приложение. Оформление расчётно-графических работ ................................. 45
3
1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Основные величины, характеризующие синусоидальные колебания
Переменные синусоидальные напряжения и токи являются синусоидальными функциями времени:
u (t ) = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ u ) (В ) ;
i(t ) = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ i ) ( А) ,
где
U m , I m – амплитудные значение напряжения и тока;
(ω ⋅ t + ϕ ) – фаза колебания;
ϕu , ϕi – начальные фазы колебаний напряжения и тока;
(ϕu − ϕi ) – сдвиг по фазе между напряжением и током;
ω = 2πf – угловая частота колебания;
f – частота колебания;
1
T=
– период колебания, т. е. время, за которое совершается одно полf
ное колебание.
1.2 Действующие и средние значения синусоидальных величин
Действующим значением периодически изменяющейся величины i(t ) называется её среднеквадратическое значение за период колебания:
I=
1 T 2
⋅ ∫ i (t )dt .
T 0
Для синусоидальной величины соотношение между её действующим и
амплитудным значением:
1 T 2
I=
⋅ ∫ I m ⋅ sin 2 (ω ⋅ t + ϕ i )dt ;
T 0
I=
Im
.
2
Под средним значением периодически изменяющейся величины i(t ) понимают её среднее значение за полпериода колебания.
T /2
1
I ср =
⋅ i (t )dt .
(T / 2) ∫0
4
Для синусоидальной величины соотношение между её средним и амплитудным значением:
T /2
1
I ср =
⋅ I ⋅ sin(ωt + ϕ i )dt ;
(T / 2) ∫0 m
I ср =
2
π
⋅ Im .
1.3 Представление синусоидально изменяющихся величин в виде
комплексных чисел
Любая синусоидально изменяющаяся величина может быть представлена
её изображением в комплексной форме согласно формуле Эйлера:
e j⋅ϕ = cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ,
где
j = − 1 – мнимая единица.
Помножив левую часть выражения на I m e jωt , получим:
e j⋅ϕ ⋅ I m ⋅ e j⋅ω ⋅t = I m ⋅ e j⋅(ω⋅t +ϕ ) = I m ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ ) + j ⋅ I m ⋅ sin (ω ⋅ t + ϕ ) .
Очевидно, что мнимая часть комплексного числа I m e j (ωt +ϕ ) , равная
I m sin(ωt + ϕ ) , представляет собой аналитическую форму записи синусоидаль-
ного колебания и содержит в себе всю информацию об этом колебании, т. е.
амплитуду, угловую частоту, начальную фазу. Полагая t = 0 , получим:
I m ⋅ e j (ω ⋅0+ϕ ) = I m ⋅ e j⋅ϕ = I m ⋅ cos(ω ⋅ 0 + ϕ ) + j ⋅ I m ⋅ sin (ω ⋅ 0 + ϕ ) ;
I m ⋅ e j⋅ϕ = I m ⋅ cosϕ + j ⋅ I m ⋅ sin ϕ .
Таким образом, изображением синусоидально изменяющейся величины
i (t ) = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ ) в комплексной форме является следующий комплекс действующего значения этой величины (комплексы синусоидально изменяющихся
величин записываются прописными буквами с точкой сверху):
I
Iɺ = m ⋅ e j⋅ϕ = I ⋅ e j⋅ϕ = I ⋅ cosϕ + j ⋅ I ⋅ sin ϕ ,
2
где
I m – амплитудное значение синусоидально изменяющейся величины;
I – действующее значение синусоидально изменяющейся величины;
ϕ – начальная фаза колебания.
5
Выражение вида Iɺ = I ⋅ e jϕ представляет собой показательную форму записи комплексного числа.
Выражение вида Iɺ = I ⋅ cosϕ + j ⋅ I ⋅ sin ϕ представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа.
Пример 1
Известна аналитическая форма записи падения напряжения на элементе
цепи:
u (t ) = 141,42 ⋅ sin (314t + 60 ) .
Решение
Комплекс действующего значения этой величины запишется следующим
образом:
141,42 j 60
Uɺ =
⋅e
= 100 ⋅ e j 60 = 100 ⋅ cos 60 + j ⋅ 100 ⋅ sin 60 (В ) ;
2
Uɺ = 100 ⋅ e j 60 = 50 + j ⋅ 86,603 (В ) .
1.4 Комплексное сопротивление
Согласно закону Ома в комплексной форме, комплексным сопротивлением, Z , элемента в цепи синусоидального тока является отношение комплекса
напряжения на элементе к комплексу тока, протекающего через элемент, т. е.
Z=
Uɺ
.
Iɺ
Комплексное сопротивление обозначается буквой Z , с чертой снизу, указывающей на комплексный характер величины. Пусть заданы в общем виде
комплекс действующего значения напряжения на элементе и комплекс действующего значения тока, протекающего через элемент:
Uɺ = U ⋅ e j⋅ϕ ;
Iɺ = I ⋅ e j⋅ϕ .
u
i
Тогда комплексное сопротивление элемента запишется в виде:
Uɺ U ⋅ e j⋅ϕ U j⋅(ϕ −ϕ )
Z= =
= e
= Z ⋅ e j⋅ϕ ,
ϕ
j
⋅
Iɺ I ⋅ e
I
u
u
i
i
где
Z – модуль комплексного сопротивления элемента;
ϕ = ϕ u − ϕ i – сдвиг по фазе, вносимый элементом.
6
1.5 Алгебраические операции с комплексными числами, векторная
диаграмма
Изобразим комплексное число a = b + jc как вектор на комплексной
плоскости (рис. 1.1), где b – это проекция вектора на действительную ось,
c – это проекция вектора на мнимую ось.
Очевидно, что алгебраическая форма записи комплексного числа
a = b + jc определяет вектор в декартовых координатах.
Этот же вектор можно задать, определив его модуль ρ и угол между направлением вектора и положительным направлением действительной оси, φ,
т. е. определить вектор в полярных координатах (рис. 1.1). Для этого воспользуемся показательной формой записи комплексного числа, т. е. a = ρ ⋅ e j⋅ϕ .
Угол, φ, отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления действительной оси.
Переход от алгебраической формы a = b + j ⋅ c к показательной a = ρ ⋅ e j⋅ϕ
выполняется по формулам, следующим из рисунка 1.1:

ρ = b 2 + c 2 ;


c
a = b + j ⋅ c = ρ ⋅ e j⋅ϕ , где ϕ = arctg  , (b > 0 );
b


c
ϕ = arctg   + 180 , (b < 0 ).
b

Обратный переход от показательной формы a = ρ ⋅ e j⋅ϕ к алгебраической
a = b + j ⋅ c следует из формулы Эйлера:
a = ρ ⋅e
jϕ
b = ρ ⋅ cosϕ ;
= b + j ⋅ c , где 
c = ρ ⋅ sin ϕ .
Векторной диаграммой называется совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображённых в одной системе координат. Наиболее распространённым типом векторной диаграммы является диаграмма, которая содержит на комплексной плоскости комплексы действующих значений ЭДС, напряжений и токов.
7
+j
a
ρ
φ
b
0
+1
Рисунок 1.1 – Способы изображения комплексного числа в виде вектора
Пример 2
Построить векторную диаграмму напряжений и токов на участке цепи,
если известно, что: Uɺ = 10 ⋅ e j⋅30 (В), Iɺ = 5 ⋅ e j⋅(−45 ) (А).
Решение
Представим комплексы напряжений и токов в алгебраической форме:
Uɺ = 10e j 30 = 10 cos 30 + j10 sin 30 = 8,66 + j 5 (В ) ;
Iɺ = 5e − j 45 = 5 cos(− 45 ) + j 5 sin (− 45 ) = 3,54 − j 3,54 ( А) .
+j
U·
5
30°
3,54
0
8,66
-45°
+1
I·
3,54
Рисунок 1.2 – Векторная диаграмма к Примеру 1
8
Изобразим их на комплексной плоскости, задаваясь для каждого вектора
значениями его проекций на действительную и мнимую оси, либо модулем вектора и углом между направлением вектора и положительным направлением
действительной оси. Векторная диаграмма показана на рисунке 1.2.
Если заданы два комплексных числа Iɺ1 = I1' + j ⋅ I1'' и Iɺ2 = I 2' + j ⋅ I 2'' , то их
суммой будет следующее комплексное число:
Iɺ = Iɺ1 + Iɺ2 = (I1' + I 2' ) + j ⋅ (I1'' + I 2'' ) = I ' + j ⋅ I '' .
При сложении комплексных чисел отдельно суммируются их действительные и мнимые части. Очевидно, что удобно суммировать комплексные
числа, представленные в алгебраической форме.
Пример 3
Известны комплексные сопротивления ветвей: Z 1 = 2 + j ⋅ 5 (Ом ) и
Z 2 = 4 − j ⋅ 8 (Ом ) . Найти их сумму.
Решение:
Z = Z1 + Z 2 = 2 + j ⋅ 5 + 4 − j ⋅ 8 = 6 − j ⋅ 3.
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, осуществляется почленным перемножением их действительных и мнимых частей:
Iɺ = Iɺ1 ⋅ Iɺ2 = I1' ⋅ I 2' + j ⋅ I1'' ⋅ I 2' + j ⋅ I 2'' ⋅ I1' + j 2 ⋅ I1'' ⋅ I 2'' ,
Iɺ = I1' ⋅ I 2' − I 1'' ⋅ I 2'' + j ⋅ (I1'' ⋅ I 2' + I 2'' ⋅ I 1' ), т. к. j 2 =
(
Пример 4
Известны комплексные сопротивления ветвей:
Z 2 = 4 − j ⋅ 8 (Ом ) . Найти их произведение.
)
2
− 1 = −1 .
Z 1 = 2 + j ⋅ 5 (Ом ) и
Решение:
Z = Z 1 ⋅ Z 2 = (2 + j ⋅ 5) ⋅ (4 − j ⋅ 8) = 8 + j ⋅ 20 − j ⋅ 16 + 40 = 48 + j ⋅ 4 (Ом ) .
В
случае если необходимо разделить два комплексных числа
Iɺ1 = I + j ⋅ I1'' и Iɺ2 = I 2' + j ⋅ I 2'' , заданных в алгебраической форме, например:
'
1
'
''
ɺ
ɺI = I1 = I1 + j ⋅ I1 ,
Iɺ2 I 2' + j ⋅ I 2''
то для того, чтобы представить искомое комплексное число Iɺ в алгебраической
форме, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этого числа на со∗
пряжённое комплексное значение знаменателя I .
9
∗
Числом I 2 , комплексно сопряжённым с числом Iɺ2 , называется число, от∗
личающееся от исходного знаком мнимой части, т. е. I 2 = I 2' − jI 2'' .
Таким образом,
*
Iɺ1 ⋅ I 2
Iɺ =
*
Iɺ2 ⋅ I 2
=
(I
(I
'
1
'
2
+ j ⋅ I1'' ) ⋅ (I 2' − j ⋅ I 2'' ) I1' ⋅ I 2' + I1'' ⋅ I 2'' + j ⋅ (I1'' ⋅ I 2' − I 2'' ⋅ I1' )
;
=
' 2
'' 2
+ j ⋅ I 2'' ) ⋅ (I 2' − j ⋅ I 2'' )
(I 2 ) − ( j ⋅ I 2 )
'
'
''
''
''
'
''
'
'
'
''
''
''
'
''
'
ɺI = I1 ⋅ I 2 + I1 ⋅ I 2 + j ⋅ (I1 ⋅ I 2 − I 2 ⋅ I1 ) = I1 ⋅ I 2 + I1 ⋅ I 2 + j ⋅ I1 ⋅ I 2 − I 2 ⋅ I1 ,
(I 2' )2 + (I 2'' )2
(I 2' )2 + (I 2'' )2
(I 2' )2 + (I 2'' )2
где
I 1' ⋅ I 2' + I 1'' ⋅ I 2''
(I ) + (I )
' 2
2
'' 2
2
I 1'' ⋅ I 2' − I 2'' ⋅ I 1'
(I ) + (I )
' 2
2
'' 2
2
– действительная часть комплексного числа Iɺ ;
– мнимая часть комплексного числа Iɺ .
Пример 5
Известны комплексные сопротивления ветвей: Z 1 = 2 − j 6 и Z 2 = 3 − j 4 .
Найти их частное.
Решение:
Z=
Z 1 (2 − j 6 ) (2 − j 6 ) ⋅ (3 + j 4 ) 6 − j18 + j8 + 24 30 − j10
=
=
=
= 1,2 − j 0,4 (Ом ) .
Z 2 (3 − j 4 ) (3 − j 4 ) ⋅ (3 + j 4 )
32 + 4 2
25
Очевидно, что операции умножения и деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, приводят к достаточно громоздким преобразованиям, поэтому подобные операции удобнее производить с комплексными
числами, заданными в показательной форме. Например, если Iɺ1 = I1e jϕ , а
1
Iɺ2 = I 2 e jϕ , то их произведение:
2
Iɺ = Iɺ1 ⋅ Iɺ2 = I1 ⋅ e j⋅ϕ I 2 ⋅ e j⋅ϕ = I1 ⋅ I 2 ⋅ e j⋅(ϕ +ϕ ) .
1
2
1
Частное от деления этих чисел:
Iɺ
I ⋅ e j⋅ϕ
I
Iɺ = 1 = 1 j⋅ϕ = 1 ⋅ e j⋅(ϕ −ϕ ) .
Iɺ2 I 2 ⋅ e
I2
1
1
2
10
2
2
Пример 6
Известны
комплексные
сопротивления
ветвей:
Z 1 = 6 ⋅ e j⋅30
и
Z 2 = 3 ⋅ e − j⋅45 . Найти их произведение и частное.
Решение:
Z = Z 1 ⋅ Z 2 = 6 ⋅ e j⋅30 ⋅ 3 ⋅ e − j⋅45 = 18 ⋅ e − j⋅15 ;
Z 1 6 ⋅ e j⋅30
Z=
=
= 2 ⋅ e j⋅75 .
− j ⋅45
Z 2 3⋅ e
1.6 Резистор в цепи синусоидального тока
Напряжение на резистивном элементе и ток, протекающий через него,
связаны законом Ома. Если u (t ) = U m sin(ωt + ϕ ) , то:
i (t ) =
u (t ) U m sin(ωt + ϕ )
=
= I m sin(ωt + ϕ ) .
R
R
Очевидно, что напряжение и ток имеют одинаковую начальную фазу, т. е.
резистивный элемент не вносит сдвига по фазе между напряжением и током.
График мгновенных значений напряжения и тока представлен на рисунке 1.3.
i(t), u(t)
u(t)
i(t)
ωt
φ
π
2
3π
2
π
2π
5π
2
Рисунок 1.3 – График мгновенных значений напряжения и тока на резисторе
Комплексы действующих значений напряжения и тока на резистивном
элементе:
11
Uɺ = U ⋅ e j⋅ϕ ;
U ⋅e
Iɺ =
R
j ⋅ϕ
= I ⋅ e j⋅ϕ .
Комплексное сопротивление резистивного элемента равно его активному
сопротивлению:
Uɺ U ⋅ e j⋅ϕ
Z= =
= R.
Iɺ U ⋅ e j⋅ϕ
R
Векторная диаграмма представлена на рисунке 1.4.
Рисунок 1.4 – Векторная диаграмма на резисторе
1.7 Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока
Напряжение на индуктивности и ток, протекающий через него, связаны
следующим соотношением:
u (t ) = L
di(t )
.
dt
Если i (t ) = I m sin(ωt + ϕ ) , то:
π

u (t ) = I m ⋅ ω ⋅ L ⋅ cos(ωt + ϕ ) = I m X L sin ωt + ϕ +  ,
2

где
xL = ωL – индуктивное сопротивление переменному синусоидальному
току катушки индуктивности.
12
Очевидно, что напряжение на катушке индуктивности опережает ток через неё по фазе на угол
π
2
представлен на рисунке 1.5.
. График мгновенных значений напряжения и тока
Рисунок 1.5 – График мгновенных значений напряжения и тока
на катушке индуктивности
Комплексы действующих значений напряжения и тока на индуктивности:
Iɺ = I ⋅ e j⋅ϕ ;
Uɺ = I ⋅ X L ⋅ e
 π
j ⋅ ϕ + 
2

.
Комплексное сопротивление катушки индуктивности:
 π
j ⋅ ϕ + 
2
Uɺ I ⋅ X L ⋅ e 
Z= =
Iɺ
I ⋅ e jϕ
Выражение e
j⋅
π
2
= XL ⋅e
j⋅
π
2
= j ⋅ XL.
= j следует непосредственно из формулы Эйлера:
e
j⋅
π
2
π 
π 
= cos  + j ⋅ sin  = j .
2
2
Векторная диаграмма представлена на рисунке 1.6.
13
Рисунок 1.6 – Векторная диаграмма на катушке индуктивности
1.8 Конденсатор в цепи синусоидального тока
Напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через него, связаны
между собой следующим соотношением:
i (t ) = C
du (t )
.
dt
Если u (t ) = U m sin(ωt + ϕ ) , то:
i (t ) = U m ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos(ωt + ϕ ) =
Um
π

⋅ sin ωt + ϕ +  ,
XC
2

1
– ёмкостное сопротивление конденсатора переменному синуCω
соидальному току.
Очевидно, что напряжение на конденсаторе отстаёт от тока через него по
где
XC =
фазе на угол
π
2
на рисунке 1.7.
. График мгновенных значений напряжения и тока представлен
14
Рисунок 1.7 – График мгновенных значений напряжения и токана конденсаторе
Комплексы действующих значений напряжения и тока на конденсаторе:
Uɺ = U ⋅ e jϕ ;
U
Iɺ =
.
 π
XC ⋅e
j ⋅ ϕ + 
2

Комплексное сопротивление конденсатора:
π
−j
Uɺ
Ue jϕ
Z= =
= X C e 2 = − jX C ;
ɺI U ⋅ X C ⋅ e j (ϕ +π / 2 )
Векторная диаграмма представлена на рисунке 1.8.
+j
U·
I·
φ
0
+1
Рисунок 1.8 – Векторная диаграмма на конденсаторе
15
1.9 Символический
(комплексный)
метод
расчёта
цепей
синусоидального тока
Сущность символического (комплексного) метода расчёта цепей синусоидального тока состоит в том, что все известные напряжения и токи, а также
элементы цепи заменяются их изображениями в комплексной форме, т. е. напряжения и токи заменяются комплексами их действующих значений, элементы цепи – их комплексными сопротивлениями.
Для расчёта применимы все методы, используемые в цепях постоянного
тока: метод эквивалентных преобразований, метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов,
метод эквивалентного генератора и др., но только в комплексной форме.
1.10 Законы Кирхгофа для мгновенных значений
Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений: алгебраическая сумма
мгновенных значений токов в узле равна нулю.
n
∑i
k =1
k
= 0,
где
k – число ветвей, соединённых в узле.
Второй закон Кирхгофа для мгновенных значений: алгебраическая сумма
напряжений на элементах контура в заданный момент времени равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени:
n
m
k =1
p =1
∑ uk = ∑ e p ,
где
k – порядковый номер напряжения;
p – порядковый номер ЭДС;
n – суммарное число элементов в контуре;
m – число ЭДС в контуре.
1.11 Законы Кирхгофа в комплексной форме
Как показано ранее, синусоидальные функции времени можно представить в комплексной форме. Осуществив подобный переход, можно записать законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: алгебраическая сумма
комплексов токов в узле электрической цепи равна нулю.
16
n
∑ Iɺ
k =1
k
= 0,
где
k – число ветвей, соединённых в узле.
Например, для фрагмента цепи, изображённой на рисунке 1.9, уравнение,
составленное по первому закону Кирхгофа в комплексной форме, имеет вид:
− Iɺ1 + Iɺ2 + Iɺ3 + Iɺ4 − Iɺ5 = 0
·I
3
·I
5
I·1
a
·I
4
I2
Рисунок 1.9 – Узел для пояснения первого закона Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: алгебраическая сумма
комплексов напряжений в контуре равна алгебраической сумме комплексов
ЭДС в этом же контуре:
n
m
k =1
p =1
∑ Uɺ k = ∑ Eɺ p .
Для контура, изображённого на рисунке 1.10, уравнение, составленное по
второму закону Кирхгофа в комплексной форме, можно записать так:
Uɺ R1 − Uɺ L 2 − Uɺ R 3 − Uɺ C 4 = Eɺ1 − Eɺ 2 − Eɺ 3 ,
где
Uɺ R1 = Iɺ1 ⋅ R1 – комплекс падения напряжения на резисторе, R1;
Uɺ L 2 = Iɺ2 ⋅ j ⋅ ω ⋅ L2 = Iɺ2 ⋅ j ⋅ X L 2 – комплекс падения напряжения на ка-
тушке индуктивности, L;
Uɺ = Iɺ ⋅ R – комплекс падения напряжения на резисторе, R3;
R3
3
Uɺ С 4 = Iɺ4 ⋅
3
(− j )
= Iɺ4 ⋅
= Iɺ2 ⋅ ( − j ⋅ X C 4 ) – комплекс падения наj ⋅ ω ⋅ С4
ω ⋅ С4
1
пряжения на конденсаторе, С4 .
17
Рисунок 1.10 – Контур для пояснения второго закона Кирхгофа
1.12 Символический
(комплексный)
метод
расчёта
цепей
синусоидального тока
Сущность символического (комплексного) метода расчёта цепей синусоидального тока состоит в том, что все известные напряжения и токи, а также
элементы цепи заменяются их изображениями в комплексной форме, т. е. напряжения и токи заменяются комплексами их действующих значений, элементы цепи – их комплексными сопротивлениями.
Для расчёта применимы все методы, используемые в цепях постоянного
тока: метод эквивалентных преобразований, метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов,
метод эквивалентного генератора и др., но только в комплексной форме.
Пример 7
Начертить схему замещения электрической цепи с обозначением характера сопротивлений всех ветвей, определить комплексы токов в ветвях, показания
приборов сложной цепи (рисунок 1.11), построить векторную диаграмму токов
и напряжений и осциллограмму напряжения на резисторе, R1.
Дано:
( Ом ) ;
Z 2 = 10, 00 − j ⋅10, 00 ( Ом ) ;
Z 3 = j ⋅ 6, 00 ( Ом ) ;
Z 1 = 8, 00 ⋅ e j⋅53
R = 0 Ом, L = 25, 2 мГн;
Z 5 = j ⋅ 3 ( Ом ) ;
18
Uɺ = 200 ( B ) ;
f = 50 ( Гц ) .
Рисунок 1.11 – Исходная схема для Примера 7
Решение
Угловая частота колебаний в цепи:
 рад. 
ω = 2πf = 2 ⋅ π ⋅ 50 = 314,16 
.
 с 
Определим комплексные сопротивления всех элементов цепи, при этом
будем считать, что измерительные приборы идеальные, т. е. сопротивление амперметра равно нулю, а сопротивление вольтметра – бесконечности.
Z 1 = 8,00 ⋅ e j⋅53 = 4,81 + j ⋅ 6,39 (Ом );
Z 2 = 10,00 − j ⋅ 10,00 = 14,14 ⋅ e j⋅(−45, 00 ) (Ом );
Z 3 = j ⋅ 6,00 = 6,00 ⋅ e j⋅90, 00
(Ом );
Z 4 = j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 25,2 ⋅ 10 −3 ≈ j ⋅ 8 = 8 ⋅ e j⋅90,00
Z 5 = j ⋅ 3 = 3,00 ⋅ e j⋅90,00
(Ом );
(Ом ).
Рисунок 1.12 – Схема замещения электрической цепи с обозначением характера
сопротивлений ветвей
19
Изобразим схему цепи, на которой все элементы цепи заменены их изображениями в комплексной форме (рис. 1.13).
Рисунок 1.13 – Схема замещения электрической цепи, на которой все элементы цепи
заменены их изображениями в комплексной форме
Упростим схему, изображённую на рисунке 1.13.
Сопротивления Z 1 и Z 3 соединены последовательно.
Z 13 = Z 1 + Z 3 = 4,81 + j ⋅ 6,39 + j ⋅ 6 = 4,81 + j ⋅ 12,39 = 13,29 ⋅ e j⋅68, 76
(Ом ).
Получим упрощённую схему, как на рисунке 1.14.
Рисунок 1.14 – Схема после первого преобразования
Сопротивление Z 13 соединено параллельно относительно сопротивления Z 2 :
Z 13 = Z 1 + Z 3 = 4,81 + j ⋅ 6,39 + j ⋅ 6 = 4,81 + j ⋅ 12,39 = 13,29 ⋅ e j⋅68, 76
Z 123
(Ом );
Z 13 ⋅ Z 2 13,29 ⋅ e j⋅30,96 ⋅ 14,14 ⋅ e j⋅(−45, 00 ) 187,97 ⋅ e j⋅23,76
=
=
=
=
Z 13 + Z 2
4,81 + j ⋅ 12,39 + 10 − j ⋅ 10
14,81 + j ⋅ 2,39
187,97 ⋅ e j⋅23, 76
=
= 12,53 ⋅ e j⋅14,60 = 12,12 + j ⋅ 3,16 (Ом ).
9 ,16
15,01 ⋅ e
20
Получим упрощённую схему, как на рисунке 1.14.
Рисунок 1.15 – Схема после второго преобразования
Сопротивления Z 123 и Z 4 соединены последовательно:
Z 1234 = Z 123 + Z 4 = 12,12 + j ⋅ 3,16 + j ⋅ 8,00 = 12,12 + j ⋅ 11,16 =
= 16,48 ⋅ e j⋅42,63
(Ом ).
Рисунок 1.16 – Схема после третьего преобразования
Определим эквивалентное сопротивление схемы. Сопротивление Z 1234
соединено параллельно относительно сопротивления Z 5 :
Z 1234 ⋅ Z 5 16,48 ⋅ e j⋅42, 63 ⋅ 3 ⋅ e j⋅(−90,00 ) 49,26 ⋅ e j⋅47 ,58
Zэ =
=
=
=
Z 1234 + Z 5
12,12 + j ⋅ 11,16 − j ⋅ 3
12,12 + j ⋅ 8,16
49,43 ⋅ e j⋅(−47,37 )
=
= 3,38 ⋅ e j⋅(−81,31 ) = 0,51 − j ⋅ 3,34 (Ом ).
j ⋅33, 94
14,61 ⋅ e
Далее определим эквивалентный ток схемы:
Uɺ
200
Iɺ =
=
= 59,12 ⋅ e j⋅81,31 = 8,93 + j ⋅ 58,45 ( A) .
j⋅(−81, 31 )
Z э 3,38 ⋅ e
21
Определим напряжение Uɺ aс :
Uɺ aс = Uɺ 5 = Uɺ = 200 (B ).
Определим токи Iɺ4 и Iɺ3 :
Uɺ
200
Iɺ4 = aс =
= 66,67 ⋅ e j⋅90, 00 = j ⋅ 66,67 ( A);
j ⋅(−90, 00 )
Z 5 3,00 ⋅ e
Uɺ
200
Iɺ3 = aс =
= 12,14 ⋅ e j⋅(−42,63 ) = 8,93 − j ⋅ 8,22 ( A).
j ⋅42, 63
Z 1234 16,48 ⋅ e
Определим напряжение Uɺ ab :
Uɺ ab = Uɺ 2 = Iɺ3 ⋅ Z 123 = 12,14 ⋅ e j⋅(−42,63 ) ⋅ 12,53 ⋅ e j⋅14, 60 = 152,06 ⋅ e j⋅(−28, 03 ) =
= 134,23 − j ⋅ 71,45 (B ).
Определим токи Iɺ4
и
Iɺ3 :
j ⋅(− 28, 03 )
ɺ
ɺI = U ab = 152,06 ⋅ e
= 10,75 ⋅ e j⋅16,97 = 10,28 − j ⋅ 3,14 ( A);
2
j ⋅(− 45, 00 )
Z2
14,14 ⋅ e
j ⋅(− 28, 03 )
ɺ
ɺI1 = U ab = 152,06 ⋅ e
= 11,44 ⋅ e j⋅(−96,79 ) = −1,35 − j ⋅ 11,36 ( A).
j ⋅68, 76
Z 13
13,29 ⋅ e
Минус в действительной части комплекса тока Iɺ2 означает, что ток в реальности течёт в направлении, противоположном выбранному.
Определим оставшиеся напряжения Uɺ 1 , Uɺ 3 и Uɺ 4 :
Uɺ 1 = Iɺ1 ⋅ Z 1 = 11,44 ⋅ e j⋅(−96,79 ) ⋅ 8,00 ⋅ e j⋅53, 00 = 91,84 ⋅ e j⋅(−43,58 ) =
= 66,53 − j ⋅ 63,31 (B );
Uɺ 3 = Iɺ1 ⋅ Z 3 = 11,44 ⋅ e j⋅(−96, 79 ) ⋅ 6,00 ⋅ e j⋅90,00 = 68,88 ⋅ e j⋅(−6,58 ) =
= 68,42 − j ⋅ 7,89 (B );
Uɺ 4 = Iɺ3 ⋅ Z 4 = 12,14 ⋅ e j⋅(−42, 63 ) ⋅ 8,00 ⋅ e j⋅90, 00 = 97,11 ⋅ e j⋅47 ,37 =
= 65,77 − j ⋅ 71,45 (B ).
Определим показания приборов. Показания приборов представляют собой
действующие значения измеряемых величин.
22
Амперметр показывает действующее значение тока, комплекс которого:
Iɺ3 = 12,18 ⋅ e j⋅(−42, 42 ) ( A) . Действующее значение – это модуль комплекса тока,
т. е. амперметр покажет значение 12,18 ( A) .
Вольтметр показывает действующее значение напряжения, создаваемого
сопротивлением, Z 2 , Uɺ ab = Uɺ 2 = 152,58 ⋅ e j⋅(−27 ,81 ) (В ) . Действующее значение –
это модуль комплекса напряжения, т. е. вольтметр покажет значение
152,58 (В ) .
Построим векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Iɺ = 59,12 ⋅ e j⋅81,31 = 8,93 + j ⋅ 58,45 ( A);
Iɺ1 = 11,44 ⋅ e j⋅(−96,79 ) = −1,35 − j ⋅ 11,36 ( A);
Iɺ2 = 10,75 ⋅ e j⋅16,97 = 10,28 − j ⋅ 3,14 ( A);
Iɺ = 12,14 ⋅ e j⋅(−42, 63 ) = 8,93 − j ⋅ 8,22 ( A);
3
Iɺ4 = 66,67 ⋅ e j⋅90, 00 = j ⋅ 66,67 ( A).
Векторная диаграмма токов представлена на рисунке 1.17.
80
70
+j
I4
60
I
50
40
30
20
10
I2
0
-2
-1 0
-10
I1
1
2
3
4
5
6
7
8
I3
-20
Рисунок 1.17 – Векторная диаграмма токов
23
9
10
+1
11
Uɺ 2 = 152,06 ⋅ e j⋅(−28,03 ) = 134,23 − j ⋅ 71,45 (B );
Uɺ 4 = 97,11 ⋅ e j⋅47 ,37 = 65,77 − j ⋅ 71,45 (B );
Uɺ 5 = Uɺ = 200 (B ).
Векторная диаграмма токов представлена на рисунке 1.18.
80
+j
U4
60
40
20
U5 =U
0
0
25
50
75
100
125
150
175
200
+1
225
-20
-40
-60
U2
-80
Рисунок 1.18 – Векторная диаграмма напряжений
Осциллограмма (от лат. oscillo, oscillatum качаться, колебаться и греч.
gramma запись, изображение) – кривая, отражающая параметры некоторого колебательного процесса. Изображается в координатах величина-время. Осциллограмма переменного напряжения (тока) будет выглядеть как синусоида, размах
которой определяется величиной (амплитудой) напряжения (тока).
Для построения осциллограммы напряжения u 2 (t ) необходимо от найденного нами ранее изображения этого напряжения в комплексной форме, Uɺ 2 ,
перейти к её аналитической форме записи.
Найдём амплитуду этого напряжения:
Uɺ 2 = 152,06 ⋅ e j⋅(−28,03 ) = 134,23 − j ⋅ 71,45 (B ).
Найдём амплитуду этого тока:
24
U 2 m = 152,06 ⋅ 2 = 215,05 (B ).
Аналитическая
зависимость
напряжения
u 2 (t )
будет
иметь
вид
рад. 

 с учётом того, что ω = 314,16
:
с 

u 2 (t ) = 215,05 ⋅ sin (314,16 ⋅ t − 28,03 ) = 215,05 ⋅ sin (314,16 ⋅ t − 0,49 ) .
Построим таблицу значений для построения осциллограммы в течение
1 1
одного периода T = =
= 0,02 (c) (таблица 1.1).
f 50
Таблица 1.1 – Таблица к построению осциллограммы u 2 (t )
u 2 (t ) 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014
t
0,016
0,018 0,020
-101,05 29,83 149,31 211,76 193,33 101,05 -29,83 -149,31 -211,76 -193,33 -101,05
Осциллограмма будет иметь вид, представленный на рисунке 1.19.
Рисунок 1.19 – Осциллограмма напряжения u 2 (t )
1.13 Мощность в цепи синусоидального тока
В цепях синусоидального тока рассматривают понятия мгновенной, активной, реактивной и полной мощности.
25
Мгновенной мощностью называют произведение мгновенных значений
напряжения и тока:
p = u (t ) ⋅ i (t ) .
Активной мощностью называют среднее значение мгновенной мощности за период колебания. Для цепей синусоидального тока:
1 T
P = ⋅ ∫ p (t )dt = U ⋅ I ⋅ cosϕ ,
T 0
ϕ – сдвиг по фазе между напряжением и током;
U, I – действующие значения напряжения и тока.
Активная мощность характеризует необратимые преобразования электрической энергии в другие виды энергии, например в тепловую. Активная
мощность измеряется в ваттах (Вт).
Реактивная мощность – это мощность, характеризующая взаимный
энергообмен между реактивными элементами цепи и источником энергии, т. е.
обратимые преобразования энергии, например в энергию магнитного поля, и
представляет собой амплитуду мгновенной мощности реактивных элементов.
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр) и определяется по формуле:
где
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ .
В зависимости от знака угла, ϕ , реактивная мощность будет либо положительной, т. е. носить индуктивный характер ( ϕ > 0 ), либо отрицательной и
носить ёмкостной характер ( ϕ < 0 ).
Полной мощностью называется максимальное значение мощности, которое может отдать или получить участок электрической цепи при заданных
значениях напряжения и тока, U, I. Понятие полной мощности часто употребляется для характеристики эксплуатационных возможностей электротехнических устройств (трансформаторов, генераторов, электрических машин и др.).
Номинальное значение полной мощности является их паспортной величиной.
Определяется полная мощность по формуле:
S = P2 + Q2 = U ⋅ I ,
S = P 2 + Q 2 = (U ⋅ I ⋅ cosϕ ) 2 + (U ⋅ I ⋅ sin ϕ ) 2 = U ⋅ I cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = U ⋅ I .
Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА).
26
т. к .
1.14 Комплексная мощность
При анализе цепей синусоидального тока символическим методом используют понятие комплексной мощности. Комплексной мощностью называется произведение комплекса напряжения на комплексно сопряжённый ток.
*
S = Uɺ ⋅ I ,
где
Uɺ – комплекс напряжения на участке цепи;
*
I – сопряжённое комплексное значение тока на участке цепи.
Пусть заданы комплексы напряжения и тока на участке цепи:
Uɺ = Ue jϕ = U а + jU р ,
u
Iɺ = Ie jϕ = I a + jI p .
i
где
U, I – действующие значения напряжения и тока;
ϕ u , ϕ i – начальные фазы напряжения и тока соответственно;
U a , I a – активные составляющие напряжения и тока;
U p , I p – реактивные составляющие напряжения и тока.
Величина, сопряжённая комплексу тока, Iɺ , равна:
*
I = Ia − j ⋅ I p = Ia + I p ⋅ e
2
2
 −I p
j ⋅arctg 
 Ia



= I ⋅ e − jϕ .
i
Тогда комплексная мощность S , представляющая собой произведение
комплексных чисел, запишется следующим образом:
*
S = Uɺ ⋅ I = U ⋅ e j⋅ϕ ⋅ I ⋅ e − j⋅ϕ = U ⋅ I ⋅ e j⋅(ϕ −ϕ ) = U ⋅ Ie j⋅ϕ = U ⋅ I ⋅ cosϕ + j ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ ;
u
i
u
i
*
S = S ⋅ e j⋅ϕ = Uɺ ⋅ I = P + jQ .
где
P = U ⋅ I ⋅ cosϕ – активная мощность;
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ – реактивная мощность.
Таким образом, действительная часть комплексной мощности S представляет собой активную мощность, мнимая часть – реактивную мощность, а
модуль комплексной мощности S – полную мощность.
Пример 8
Определить по условиям Примера 7 полную, активную и реактивную
мощности, отдаваемые источником энергии в цепь. Известно, что:
27
Uɺ = 200 ⋅ e j⋅0,00 = 200 (В),
Iɺ = 59,12 ⋅ e j⋅81,31 = 8,93 + j ⋅ 58,45 (А).
Решение:
Определим величину комплексно сопряженного тока
*
I = 59,12 ⋅ e j⋅(−81,31 ) = 8,93 − j ⋅ 58,45 (А).
Найдём комплексную мощность:
*
S ист = Uɺ ⋅ I = 200 ⋅ 59,12 ⋅ e j⋅(−81,31 ) = 11824,78 ⋅ e j⋅(−81,31 ) =
= 1786,29 − j ⋅ 11689,08 ( ВА).
Активная мощность, отдаваемая источником энергии, равна 1786,29 (Вт).
Реактивная мощность, отдаваемая источником энергии, положительна,
равна 11689,08 (ВАр) и носит ёмкостной характер.
Полная мощность, отдаваемая источником энергии, равна 11824,78 (ВА).
Пример 9
Ваттметр показывает активную мощность, потребляемую комплексным
сопротивлением Z123 (по Примеру 7).
Решение
Определим полную мощность, потребляемую на данном участке цепи:
*
S = Uɺ ab ⋅ I 3 = 152,06 ⋅ e j⋅(−28,03 ) ⋅12,14 ⋅ e j⋅42, 63 = 1845,92 ⋅ e j⋅14,60 =
= 1786,29 − j ⋅ 465,37 ( ВА)
Активная мощность представляет собой действительную часть комплекса
полной мощности, т. е. ваттметр покажет значение 1786,29 (Вт ) .
1.15 Баланс мощностей в цепях синусоидального тока
Уравнение баланса мощностей в цепях синусоидального тока, очевидно,
должно учитывать как мощность, необратимо преобразующуюся в другие виды
энергии (активную мощность), так и мощность обратимых преобразований
энергии (реактивную мощность). Поэтому уравнения баланса мощностей в цепях синусоидального тока выглядят следующим образом:
∑P
ист
= ∑ Pпр .
28
Сумма активных мощностей источников энергии равна сумме активных
мощностей преемников энергии:
∑Q
ст
=∑ Qпр .
Алгебраическая сумма реактивных мощностей источников энергии равна
алгебраической сумме реактивных мощностей преемников энергии. Реактивная
мощность может быть положительной (индуктивный элемент) и отрицательной
(ёмкостной элемент).
Пример 10
Составить уравнения баланса мощностей для цепи согласно условию
Примера 7 (рис. 1.11).
Решение
Активная и реактивная мощности, отдаваемые источником энергии, нами
найдены (см. Пример 8), и так как источник энергии всего один, то:
∑ Pист = 1186,29 (Вт);
∑ Qист = −11689,08 (ВАр).
Напряжения и токи на всех участках цепи нами также найдены ранее
(см. Пример 7).
Iɺ = 59,12 ⋅ e j⋅81,31 = 8,93 + j ⋅ 58,45 ( A);
Iɺ1 = 11,44 ⋅ e j⋅(−96,79 ) = −1,35 − j ⋅ 11,36 ( A);
Iɺ2 = 10,75 ⋅ e j⋅16,97 = 10,28 − j ⋅ 3,14 ( A);
Iɺ3 = 12,14 ⋅ e j⋅(−42, 63 ) = 8,93 − j ⋅ 8,22 ( A);
Iɺ4 = 66,67 ⋅ e j⋅90, 00 = j ⋅ 66,67 ( A).
Uɺ 2 = 152,06 ⋅ e j⋅(−28,03 ) = 134,23 − j ⋅ 71,45 (B );
Uɺ 4 = 97,11 ⋅ e j⋅47 ,37 = 65,77 − j ⋅ 71,45 (B );
Uɺ 5 = Uɺ = 200 (B ).
Найдём комплексно сопряжённые токи:
*
I = 59,12 ⋅ e
(
j⋅ −81,31
)
= 8,93 − j ⋅ 58, 45 ( A ) ;
*
I1 = 11, 44 ⋅ e j⋅96,79 = −1,35 + j ⋅ 11,36 ( A ) ;
*
I 2 = 10,75 ⋅ e
(
j ⋅ −16,97
)
= 10,28 − j ⋅ 3,14 ( A ) ;
29
*
I 3 = 12,14 ⋅ e j⋅42,63 = 8,93 + j ⋅ 8,22 ( A ) ;
*
I 4 = 66,67 ⋅ e
(
j ⋅ −90,00
)
= − j ⋅ 66,67 ( A ) .
Найдём полные мощности, потребляемые каждым приёмником энергии:
*
S Z = Uɺ 1 ⋅ I1 = 91,52 ⋅ e j⋅(−43, 79 ) ⋅ 11,44 ⋅ e j⋅96, 79 = 1047,07 ⋅ e j⋅53, 00 =
1
= 630,14 + j ⋅ 836,22 ( ВА);
*
S Z = Uɺ 2 ⋅ I 2 = 152,06 ⋅ e j⋅(− 28, 03 ) ⋅ 10,75 ⋅ e j⋅(−16,97 ) = 1635,04 ⋅ e j⋅45, 00 =
2
= 1156,15 − j ⋅ 1156,15 ( ВА);
*
S Z = Uɺ 3 ⋅ I 1 = 68,64 ⋅ e j⋅(−6, 79 ) ⋅ 11,44 ⋅ e j⋅96, 79 = 785,30 ⋅ e j⋅90, 00 =
3
= 0 + j ⋅ 785,30 ( ВА);
*
S Z = Uɺ 4 ⋅ I 3 = 97,11 ⋅ e j⋅47 ,37 ⋅ 12,14 ⋅ e j⋅42, 63 = 1178,88 ⋅ e j⋅90, 00 =
4
= 0 + j ⋅ 1178,88 ( ВА);
*
S Z = Uɺ 5 ⋅ I 4 = 200 ⋅ 66,67 ⋅ e j⋅(−90, 00 ) = 13333,33 ⋅ e j⋅(−90, 00 ) =
5
= 0 − j ⋅ 13333,33 ( ВА).
Активная мощность – это действительная часть комплекса полной мощности.
Реактивная мощность – это мнимая часть комплекса полной мощности.
Найдём сумму активных мощностей всей приёмников:
∑ Pпр = Re[S Z
1
] + Re[S ] + Re[S ] + Re[S ] + Re[S ] =
Z2
Z3
Z4
Z5
= 630,14 + 1156,15 + 0,00 + 0,00 + 0,00 = 1786,29 (Вт ).
Найдём сумму реактивных мощностей всей приёмников:
∑ Qпр = Im[S Z
1
] + Im[S ] + Im[S ] + Im[S ] + Im[S ] =
Z2
Z3
Z4
Z5
= 836,22 − 1156,15 + 785,30 + 1178,88 − 13333,33 = −11689,08 (ВАр ).
Сравним полученные результаты:
∑P
ист
= ∑ Pпр ;
1786,29 = 1786,29 .
Погрешность вычислений активной мощности:
γР =
∑ Pист − ∑ Pпр ⋅ 100% = 1786,29 − 1786,29 ⋅ 100% = 0% ;
1786,29
∑ Pист
30
∑Q
ст
= ∑ Qпр ;
− 11689,08 = −11689,08 .
Погрешность вычислений реактивной мощности:
γР =
∑ Qист − ∑ Qпр ⋅ 100% = − 11689,08 − (− 11689,08) ⋅ 100% = 0% .
− 11689,08
∑ Qист
Условия выполнены, следовательно, баланс активных и реактивных мощностей выполняется.
31
2 ЗАДАНИЕ НА РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ
Начертить схему замещения электрической цепи с обозначением характе1.
ра сопротивлений всех ветвей.
Указать на схеме условные положительные направления токов в ветвях.
2.
Определить токи всех ветвей в комплексной форме.
3.
Определить показания приборов.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной
4.
плоскости.
Построить осциллограмму тока в ветви или напряжения на участке, опре5.
делённом в задании.
6.
Составить баланс активных и реактивных мощностей.
Исходные данные приведены в таблице 2.1. Номер схемы для расчётов
задан в таблице 2.1 исходных данных. Номер варианта и номер группы выбираются согласно номеру по списку в журнале преподавателя и номеру группы,
по номеру зачётной книжки и номеру группы или задаётся преподавателем в
произвольном порядке (по решению преподавателя).
Все величины в работе должны быть представлены минимум в двух формах записи: алгебраической и показательной. Запись величины в тригонометрической форме – по желанию студента.
Номиналы резисторов заданы в омах (Ом), значения индуктивностей – в
миллигенри (мГн), а значения ёмкостей – в микрофарадах (мкФ).
Значения действующего напряжения (при входном напряжении, заданном
в аналитической форме), значения индуктивных и ёмкостных сопротивлений
элементов округлять до целого числа.
Частота питающей сети f = 50 (Гц).
При составлении баланса активных и реактивных мощностей относительную погрешность вычислений оценить согласно формулам:
∑ Pист − ∑ Pпр ⋅100% ;
∑ Pист
∑ Qист − ∑ Qпр ⋅100% .
γQ =
∑ Qист
γР =
Относительная погрешность не должна превышать 5%.
32
Таблица 2.1 – Исходные данные для расчёта
33
№
№
№
варианта гр. схемы
1
2
3
1
1
2
2
1
3
3
4
4
1
13
2
14
2
3
15
4
16
1
5
2
6
3
3
7
4
8
1
17
2
18
4
3
19
4
20
1
9
2
10
5
3
11
4
12
Z1
Z2
Z3
4
5
6
-j·2
R=10, C=1592
5·e-j·45°
1+j·10
-j·6
-j·4
R=3, C=2388
6+j·16
R=2, L=6,4
j·7
9·e-j·25°
-j·8
-j·14
4-j·16
R=2, C=1592
4+j·15
-j·7
j·9
R=5, C=1592
-j·7
2-j·12
7-j·17
2-j·13
2·e-j·25°
j·8
R=6, C=1592
2+j·11
5+j·9
-j·9
2·e-j·45°
1·e-j·45°
3·e-j·25°
j·7
-j·5
5-j·15
-j·3
1-j·13
5
R=5, L=9,6
j·45°
-j·90°
1·e
3·e
R=0, C=796
-j·25°
R=0, C=2388
4·e
3·ej·90°
6·ej·90°
4-j·15
6·e-j·90°
1·e-j·45°
5·e-j·25°
R=7, C=531
5-j·10
-j·2
5·e-j·25°
7·ej·45°
R=5, C=796
-j·8
R=1, C=3184 R=4, C=796
5·e-j·45°
Z4
Z5
7
3·e-j·25°
R=2, L=12,7
5-j·14
R=9, C=354
10-j·20
R=2, C=3184
9+j·18
R=5, C=1592
R=3, L=9,6
1·e-j·30°
2·e-j·30°
-j·8
R=5, C=796
R=8, L=9,6
j·8
3
3-j·13
R=10, C=796
j·6
R=3, L=12,7
8
1·e-j·25°
6+j·15
2·e-j·25°
R=3, L=3,2
R=0, C=796
j·10
5-j·8
-j·2
1·e-j·45°
-j·4
9
R=10, L=6,4
R=5, C=2388
6·e-j·90°
5-j·16
R=9, C=398
10+j·19
1+j·12
2·e-j·25°
2
u(t),
i(t)
9
i1(t)
i1(t)
i2(t)
i2(t)
u4(t)
i3(t)
i3(t)
u3(t)
u1(t)
u1(t)
u4(t)
u3(t)
u4(t)
i2(t)
i4(t)
u5(t)
i5(t)
u5(t)
i3(t)
u2(t)
Входное
напряжение
10
u(t)=354·sin(ωt+π
π/2)
190·e-j·30°
u(t)=113·sin(ω
ωt+π
π/6)
220·e-j·45°
250
200
180·e-j·60°
u(t)=255·sin(ω
ωt+π
π/4)
u(t)=283·sin(ω
ωt+π
π/2)
220
120·ej·30°
u(t)=311·sin(ω
ωt+π
π/6)
60·e-j45°
200·ej·60°
u(t)=184·sin(ω
ωt+π
π/3)
180
200·ej·45°
100·e-j·45°
150
80
Продолжение таблицы 2.1
1
6
7
34
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
21
1·e-j·45°
1·e-j·25°
R=0, L=22,3
6·e-j·45°
R=0, C=796
u1(t)
10
1+j·11
j·9
10-j·21
i1(t)
140
-j·90°
2
22
R=5, C=1592
3·e
3
23
R=2, L=19,1
5·e-j·25°
R=10, C=318
7-j·18
2-j·14
u1(t)
75·ej·60°
4
24
R=8, C=398
4·ej·45°
1·e-j·25°
2·ej·45°
9+j·19
u5(t)
45
1
1
7+j·16
R=6, C=531
j·10
R=0, C=796
1-j·12
i4(t) u(t)=113·sin(ω
ωt+π
π/4)
4+j·16
5+j·14
u2(t)
140·ej·60°
2
2
-j·4
R=0, L=12,7
3
3
j·4
5
R=7, L=19,1
R=10, C=2388
6-j·18
u2(t) u(t)=212·sin(ω
ωt+π
π/2)
4
4
1·ej·90°
R=3, C=1592
10
4·e-j·25°
5+j·13
i1(t) u(t)=255·sin(ω
ωt+π
π/6)
1
25
8-j·20
R=10, L=19,1
2-j·15
3-j·14
R=10, C=796
R=5, C=3184
-j·25°
3·e
-j·25°
2·e
-j·45°
5·e
R=0, L=25,5
1·e
-j·25°
i4(t)
100
u4(t)
90·e-j·90°
2
5
3
6
-j·5
9
R=3, C=1592
3+j·14
7+j·17
4
7
j·6
5-j·8
R=3, L=22,3
j·4
3
1
12
R=10, C=796
2·e-j·25°
10-j·22
R=3, L=28,7
8·ej·90°
2
13
3
9·e-j·45°
j·3
3+j·12
R=2, L=3,2
i4(t)
90·e-j·60°
3
14
7-j·20
j·5
R=5, C=1061
8+j·17
R=0, C=1592
i2(t)
220·e-j·45°
4
15
5·ej·90°
3·e-j·90°
10
6-j·16
7·ej·90°
u2(t)
1
8
8+j·20
R=5, C=1592
1-j·11
4-j·18
R=7, L=25,5
u3(t)
100
180
2
9
8-j·19
4·e-j·25°
9-j·19
R=7, L=12,7
2+j·12
u1(t)
60·ej·45°
3
10
5-j·8
j·5
R=1, C=3184
R=3, L=15,9
5-j·17
u4(t) u(t)=283·sin(ω
ωt+π
π/3)
4
11
1·e-j·45°
7·ej·90°
9-j·21
R=5, C=1592
R=2, L=9,6
u5(t) u(t)=354·sin(ω
ωt+π
π/6)
u1(t) u(t)=113·sin(ω
ωt+π
π/3)
u4(t)
140·ej·90°
u3(t) u(t)=283·sin(ω
ωt+π
π/2)
Продолжение таблицы 2.1
1
11
12
35
13
14
15
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
16
2
10·e-j·25°
-j·7
7
R=0, L=3,2
u1(t)
120
R=10, C=531
9+j·20
-j·7
u1(t)
i2(t)
220
60
9·e
j·90°
2
17
7
3
18
R=0, C=2388
-j·6
-j·8
6-j·17
5
4
19
R=0, L=9,6
6-j·19
j·3
8·e-j·25°
R=0, C=1592
1
22
j·8
R=5, L=12,7
-j·2
j·2
j·8
i4(t)
2
23
R=10, L=31,8
9-j·8
5+j·15
R=2, C=1592
j·10
u4(t) u(t)=311·sin(ω
ωt+π
π/2)
3
24
5-j·8
j·4
1
-j·10
R=7, L=3,2
i5(t) u(t)=141·sin(ω
ωt+π
π/3)
4
25
2+j·14
R=15, C=1592
8+j·19
3+j·15
3-j·16
1
20
5·e-j·90°
9·ej·90°
R=9, C=318
R=5, C=637
j·4
2
21
R=0, L=28,7
7+j·18
R=2, L=31,8
10+j·21
9
u2(t)
100·ej·45°
3
1
1-j·14
R=2, L=28,7
R=5, L=22,3
4·e-j·25°
8·e-j·45°
i5(t)
100
4
2
2
R=5, L=3,2
R=0, C=2388
-j·10
10-j·10
i3(t) u(t)=184·sin(ω
ωt+π
π/2)
1
3
j·5
3-j·15
4+j·17
R=5, L=6,4
R=2, L=25,5
u5(t)
230·e-j·60°
2
4
6·e-j·25°
7·ej·77°
R=7, C=354
4+j·14
j·2
i5(t)
3
5
4
7-j·19
-j·8
R=7, L=31,8
6+j·18
u5(t)
45
80
4
6
R=5, L=19,1
R=10, C=354
R=7, L=6,4
R=3, C=1061
j·3
u2(t)
190·e-j·90°
1
7
8-j·18
j·8
R=7, C=455
1·ej·90°
4·e-j·45°
2
8
12
6+j·17
-j·9
j·9
R=3, C=3184
u3(t)
250
3
9
-j·6
10-j·23
2·e-j·90°
j·7
j·5
i3(t)
200·ej·90°
4
10
10·e-j·35°
2+j·13
-j·3
5
R=2, L=22,3
i5(t)
180·e-j·90°
u3(t) u(t)=212·sin(ω
ωt+π
π/3)
i1(t)
220·e-j·60°
120
i3(t) u(t)=283·sin(ω
ωt+π
π/2)
u4(t) u(t)=311·sin(ω
ωt+π
π/6)
Продолжение таблицы 2.1
1
16
17
36
18
19
20
2
3
4
5
6
7
8
1
11
j·4
-j·5
9
10·e-j·45°
10·ej·90°
R=2, L=6,4
-j·4
-j·4
j·2
i1(t)
9·e
j·25°
9
10
u2(t) u(t)=255·sin(ω
ωt+π
π/3)
120·e-j·90°
2
12
3
13
R=0, C=2388
7
2
R=0, L=28,7
-j·9
u1(t) u(t)=311·sin(ω
ωt+π
π/4)
4
14
3+j·16
8+j·18
5+j·8
j·10
-j·2
u2(t)
1
15
5-j·9
6
-j·9
-j·5
R=10, C=318
i2(t)
220
180
2
16
-j·8
10+j·20
R=3, L=19,1
1
3
i4(t)
75·e-j·90°
3
17
7·e-j·30°
j·6
5
1+j·13
7+j·19
i3(t)
80
4
18
j·2
1
4-j·17
R=8, C=796
3+j·13
i3(t) u(t)=184·sin(ω
ωt+π
π/3)
1
19
7-j·8
5+j·5
1-j·15
7·e-j·45°
R=6, C=637
u3(t)
200
2
20
j·10
-j·6
2-j·16
6·ej·25°
7·ej·90°
i2(t)
250
j·3
R=10, L=31,8
4
5+j·16
i1(t)
140·ej·30°
5·e
-j·25°
3
21
4
22
j·9
R=8, C=455
-j·3
9+j·21
9
u3(t)
1
23
j·4
11·e-j·90°
5-j·18
3-j·17
10
i3(t)
150
150
2
24
R=3, C=1592
8
8
8·e-j·90°
9·e-j·25°
u4(t)
200
5-j·9
R=2, L=15,9
j·90°
i2(t) u(t)=113·sin(ω
ωt+π
π/4)
3
25
-j·9
6
10·e
4
25
4
8
10·e-j·45°
-j·5
9
1
24
9·e-j·45°
-j·3
R=9, C=637
5
8·e-j·77°
u2(t) u(t)=354·sin(ω
ωt+π
π/3)
2
23
-j·6
-j·10
j·5
6
R=7, L=15,9
i1(t) u(t)=354·sin(ω
ωt+π
π/4)
3
22
8
R=5, C=1592
-j·2
8
-j·10
i3(t)
140
4
21
3·e-j·30°
j·3
R=2, C=3184
1
9-j·20
u3(t)
230·e-j·45°
i5(t)
45
Окончание таблицы 2.1
1
21
22
37
23
24
25
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
20
j·7
-j·3
4-j·19
10
8-j·21
u5(t)
10
R=4, C=1061
6-j·20
R=5, L=15,9
9-j·22
i1(t)
180·ej·45°
-j·5
i5(t)
75·ej·30°
R=10, C=1592 u1(t)
60·ej·60°
j·45°
2
19
9·e
3
18
6
R=2, L=15,9
7-j·21
j·8
4
17
R=5, L=31,8
j·3
2·e-j·30°
j·6
1
16
2·e-j·25°
5+j·17
j·7
10·ej·25°
j·4
u5(t) u(t)=141·sin(ω
ωt+π
π/6)
2
15
R=10, L=25,5
j·9
j·7
j·6
i4(t) u(t)=311·sin(ω
ωt+π
π/3)
R=1, C=318
j·10
j·2
j·5
i5(t)
140
i1(t)
120·e-j·45°
j·90°
3
14
5·e
4
13
5·e-j·45°
1
j·2
j·3
R=5, L=25,5
1
12
10+j·10
3·e-j·25°
R=4, C=1592
R=4, C=455
-j·3
i2(t) u(t)=255·sin(ω
ωt+π
π/4)
5
-j·8
-j·5
u3(t)
120
R=6, C=1061
j·5
-j·10
u2(t)
100·e-j·90°
3
R=2, L=22,3
i5(t) u(t)=141·sin(ω
ωt+π
π/3)
-j·30°
2
11
-j·2
3·e
3
10
-j·3
6·e-j·45°
4
9
8·e-j·30°
11·ej·25°
1
8
9-j·23
10+j·22
R=5, L=28,7
R=7, C=796
-j·7
i4(t) u(t)=184·sin(ω
ωt+π
π/2)
2
7
10-j·24
1+j·14
R=5, C=3184
8
2
i2(t) u(t)=141·sin(ω
ωt+π
π/4)
3
6
8·e-j·30°
2+j·15
j·10
-j·6
10
u4(t)
190·ej·45°
4
5
4
7
R=8, C=796
6
11·e-j·45°
u5(t)
90·ej·30°
1
4
5
4+j·18
5
7
11·ej·90°
i4(t) u(t)=354·sin(ω
ωt+π
π/3)
R=10, C=637
6+j·19
R=3, C=455
11·e
-j·25°
2
3
R=8, C=354
3
2
8+j·21
R=6, C=398
-j·5
10+j·23
8-j·22
4
1
9+j·22
7+j·20
R=1, C=531
R=5, C=398
4
i4(t)
60
u5(t) u(t)=212·sin(ω
ωt+π
π/2)
i5(t)
230·ej·30°
Схема 1
A
V
Z1
U
W
Z3
Z2
Z4
Z5
Схема 2
W
Z1
V
U
Z5
Z3
A
Z2
Z4
Схема 3
Z1
A
W
Z4
Z2
U
Z3
V
Z5
Схема 4
Z5
W
Z1
Z2
V
Z4
Z3
Рисунок 2.1 – Схемы 1-4
38
U
Схема 5
Z4
A
W
Z1
V
Z5
U
Z5
U
Z5
U
Z3
Z2
Схема 6
Z4
A
W
Z1
Z3
Z2
Схема 7
Z2
W
Z1
V
Z3
Z4
A
Схема 8
Z1
W
Z2
Z3
Z4 V
Z5
A
Рисунок 2.2 – Схемы 5-8
39
U
Z1
W
Схема 9
Z2
V
A
U
Z3
Z4
Z3
Z1
Z5
Схема 10
V
Z2
Z5
W
Z4
U
A
Схема 11
Z2
Z5
W
V
Z3
Z1
Z4
U
A
W
Z1
Схема 12
Z2
Z3
U
Z4
V
Z2
A
Рисунок 2.3 – Схемы 9-12
40
Схема 13
W
A
Z1
V
Z3
Z5
Z2
U
Z4
Схема 14
W
V
Z1
Z5
U
Z2
A
Z3
Z4
Схема 15
W
Z5
A
Z2
Z1
Z4
U
V
Z3
Схема 16
Z1
U
W
V
Z2
Z3
Z5
Рисунок 2.4 – Схемы 13-16
41
Z4
A
Схема 17
Z5
W
Z1
V
Z4
U
Z3
Z2
A
Z1
Схема 18
Z4
W
Z3
A
U
V
Z2
Z5
Схема 19
Z1
Z3
Z4
Z2
W
V
U
Z5
Z1
U
V
A
Схема 20
Z5
W
Z2
Z3
A
Рисунок 2.5 – Схемы 17-20
42
Z4
Схема 21
Z4
A
W
U
Z1
V
Z3
Z5
Z2
Z1
Схема 22
W
Z3
U
Z2
Z4
Z5
A
Z2
Схема 23
A
W
U
V
Z1
Z5
Z3
Z4
Z1
Схема 24
A
W
U
Z2
V
Z3
Z4
Z5
Рисунок 2.6 – Схемы 21-24
43
Рисунок 2.7 – Схема 25
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Старцев, А. Э. Исследование однофазной цепи синусоидального тока :
метод. указания / А. Э. Старцев. – Ухта : Институт управления, информации и
бизнеса, 2004. – 44 с. ; ил.
2 Иванов, И. И. Электротехника и основы электроники : учеб. –
7-е изд., перераб. и доп. / И. И. Иванов, Г. И. Соловьёв, В. Я. Фролов. – СПб. :
Лань, 2012. – 736 с. ; ил.
3 Герасимов, В. Г. Электротехника и электроника : учеб. для студентов неэлектротехнических специальностей вузов. В 3-х кн. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи / В. Г. Герасимов [и др.]. – М. : Энергоатомиздат, 1996. – 290 с. ; ил.
44
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОФОРМЛЕНИЕ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
Расчётно-графическая работа должна быть представлена в оформленном
и скреплённом виде на листах формата А4. Допускается оформление работ в
печатном и рукописном виде. Далее представлены требования к оформлению
РГР. В случае рукописного вида не актуальны только требования по шрифту
(но почерк должен быть легко разборчивым) и межстрочному интервалу. Остальные требования те же.
1 Оформление титульного листа
•
•
Образец оформления титульных листов представлен ниже.
Титульный лист НЕ нумеруется.
2 Оформление текста (общие требования):
•
•
•
•
•
•
Нумерация страниц ВЕЗДЕ, кроме титульного листа: снизу по центру.
Поля: 2 см верхнее и нижнее, 3 см и более – левое, 1 см и более – правое.
Шрифт 14пт, Times New Roman; межстрочный интервал: 1,5 строки.
Интервалы ДО и ПОСЛЕ между абзацами текста запрещены.
Интервал шрифта: масштаб 100%, интервал: обычный.
Выравнивание по ширине; абзацный отступ 1,25 см.
3 Оформление таблиц
•
•
•
•
Отделяются одной строкой ДО и ПОСЛЕ.
Ширина таблицы: 100%.
Таблицы подписываются слева, без отступа по форме:
Таблица Х – Название таблицы, без точек после нумерации и названия.
Поля таблицы: см. таблицу 1.
Таблица 1 – Поля таблицы (пример маленькой таблицы)
Верхнее поле
0
Левое поле
0
Нижнее поле
0
Правое поле
0
45
4 Оформление рисунков
•
Отступ от основного текста: 1 строка ДО рисунка и ПОСЛЕ подрисуночной подписи (если только не в начале или конце страницы).
•
Выравнивание: по центру; положение рисунка: по тексту.
•
Ссылки в тексте обязательны и в полной форме.
•
Подпись рисунков по форме: Рисунок Х – Название рисунка, по центру,
без точек после нумерации и названия (пример см. на рисунке 1);
•
Текст на рисунках должен быть читаемым (рекомендуется 12-14 пт);
•
Допускается выполнение СХЕМ карандашом, но обязательно по линейке
и с соблюдением размеров (см. таблицу 2).
Таблица 2 – Стандартные условные графические
обозначения некоторых элементов электрических схем
10
10
буквенные
Е
Источник ЭДС
R
Резистор,
активное сопротивление
L
Катушка индуктивности,
индуктивное сопротивление
С
Конденсатор,
ёмкостное сопротивление,
А*
Амперметр
V*
Вольтметр
W*
Ваттметр
4
2
и
____________________________________________________________________
* – обозначения внутри круга
46
5 Оформление формул
•
•
Для набора формул рекомендуется использовать Microsoft Equation 3.
Шрифт: Times New Roman, размеры показаны на рисунке 1:
Рисунок 1 – Настройка размеров в Microsoft Equation 3
•
Шрифт: цифры и функции – прямой, остальной текст – курсив.
•
Отделяются от текста одной строкой, до и после формулы. Если формул
несколько, то отделяются только крайние, между формулами расстояние равно
межстрочному интервалу.
6 Оформление списка использованной литературы
•
С новой страницы, посередине, ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ.
•
Располагается ПОСЛЕ основного текста.
•
Внутри нумерованный список.
•
Ссылки на все источники должны быть в тексте работы: номер по списку
в квадратных скобках. Нумерация источников строго в соответствии с текстом
и по его ходу.
•
Пример оформления списка использованной литературы с различными
источниками:
далее на новой странице:
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Иванов, Б. А. Частотная коррекция линейных систем автоматического
управления : учеб. пособие / Б. А. Иванов, Н. С. Тимошенко, К. Н. Соловей. –
Ухта : УИИ, 1996. – 78 с., ил.
2.
Определение понятия “электропривод” [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: http://bourabai.kz/toe/electro01.htm (дата обращения 27.06.2013).
Если возможно, то для статьи из Интернета указывается автор (ы).
Оформление по подобию литературы 1.
47
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
Кафедра электрификации и автоматизации технологических процессов
Расчётно-графическая работа
по дисциплине Название дисциплины
Название расчётно-графической работы
Вариант Х
Выполнил (а):
студент (ка) гр. ГР-1Х (дата выполнения и подпись, ручкой)
И. О. Фамилия
Проверил (а):
И. О. Фамилия
(дата защиты и подпись, ручкой)
Ухта 201Х
48
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа