close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

В настоящее время по делу собрана достаточная;pdf

код для вставкиСкачать
Тема № 6
Тема 2.6. Изгиб.
Построение эпюр поперечных сил
и изгибающих моментов.
Основные правила построения эпюр
Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов.
Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Эпюры
поперечных
сил
и
изгибающих
моментов
можно
строить,
предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения,
выражающие изменения Q и Мхпо участкам.
Напомним, что границы участков нагружения— это сечения, в которых
приложены внешние нагрузки.
Примеры решения задач
Пример 1. На балку действуют сосредоточенные силы и момент (рис. 30.1).
Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Решение
Последовательно по участкам нагружения рассматриваем внутренние силовые
факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия
отсеченной части. Для каждого участка записываем уравнения внутренних
силовых факторов.
Используем известные правила:
— поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних
сил на ось Оу;
— изгибающий
момент
численно
равен
алгебраической
сумме
моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно
нейтральной оси, совпадающей с осьюОх;
— принятые
знаки
поперечных
сил
и
изгибающих
моментов
(рис. 30.2):
Составим уравнения равновесия.
1. Рассмотрим участок 1 (рис. 30.3а).
Изгибающий момент меняется по линейному закону, график -прямая линия.
Поперечную силу и изгибающий момент можно определять сразу из
зависимостей Qy = ΣFy;Мх=Σmх, не составляя уравнения равновесия участка.
Знак каждого из слагаемых этих уравнений определяем отдельно (участок 3).
3. Рассмотрим участок 3 (рис. 30.3в).
Qз = -10 + 20 = 10 кН — положительна.
ΣmХз =0; Мхз= -Fz3 + F2(z3- 3) + m.
7м ≤z3≤10м:при z3= 7 м
MxBсправа= - 10·7+20·4+15 = 25 кН · М;
при z3= 10 м. Мхс = -10·10+20·10+15 = 55кН·м.
Обращаем внимание, что для точкиВполучено два значения изгибающих
моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3
— правее точки В.
Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внешний момент и
поэтому внутренний момент сил упругости меняется.
В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов появится скачок,
равный величине приложенного момента.
Поперечная сила в точкеВдля второго и третьего участков одинакова.
Следовательно, приложение внешнего момента не отражается на эпюре
поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.
График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая
линия.
4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается прежним: масштабы
эпюр выбираются отдельно, исходя из значений максимальных сил и моментов.
Графики обводятся толстой основной линией и заштриховываются поперек. На
графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы
измерения.
Правила построения эпюр(рис. 30.1 и 30.4):
1. Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила
постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону.
2. В частном случае, когда поперечная сила на участке равна нулю, изгибающий
момент постоянен (чистый изгиб), график — прямая линия, параллельная
продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).
3. В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре
Qвозникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов — излом.
4. В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на
эпюре Ми возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при
этом не изменяется.
5. В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении
сосредоточенной силе или реакции в заделке.
6. На свободном конце балки или шарнирно опертом конце момент равен нулю,
за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний
момент).
Пример 2. На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты
(рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных
реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия,
составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим
проверку правильностирешения по уравнению
n
ΣFky= 0 (см. лекцию 6).
0
Решение
1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:
ΣmA = 0; -F1 · 6 + m- RB· 10 + F2 · 12 = 0;
-35 · 6 + 80 - RB · 10 + 70 · 12 = 0;
Реакция в опоре направлена в обратную сторону.
Проверка: ΣFy = 0;
-RA + F1 + RB-F2 = 0;
-36 + 35 + 71 - 70 = 0.
Реакции определены верно.
2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления
уравнений.
Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим
моментом и правила построения эпюр.Участок 1 (от точкиАдо точки С).
В точкеАприложена реакция RA, направленная вниз. Поперечная сила на участке
постоянна: Q1 = RA= - З6кН.
Момент в точкеАравен нулю.
ТочкаС(слева). Приложена внешняя сила F1=З5кН, направленная вверх, — здесь
возникнет скачок вверх на величину З5кН. Момент в точкеС(слева) может быть
рассчитан по известной зависимости МСслева =-RA· 6; МСслева=-36·6 =-216 кН· м.
Участок 2 (от точкиСсправа до точки В).
Поперечная сила в точкеС(справа) равна Qc = -RA+ F1;Qc = -36 + 35 = -1кН.
В точкеСприложена внешняя пара сил с моментом 80кН·м, следовательно, здесь
проявляется скачок на величину приложенного момента: Мcсправа = МСслева+ m;
Мcсправа = -216 + 80 = 136кН·м.
Поперечная сила на втором участке постоянна: Q2 = Qcсправа.
Момент в точкеВопределяется по зависимости
МB = -RA• 10 + F1 • 4 + m; MB = -36 • 10 + 35 • 4 + 80 = -140 кН•м.
Справа и слева от точкиВмомент имеет одинаковые значения.
Участок 3 (от точкиВ(справа) до точки D).
В точкеВприложена внешняя сила RB. Здесь появляется скачок на величину 71
кН, QB = -1 + 71 = 70 кН.
Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке Dравен
нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил: MD = 0.
Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и
справа налево.
По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпюры под схемой
вала, рис. 30.4).
Контрольные вопросы и задания
1. Определите величины поперечных сил в сечении 1 и в сечении 2 (рис. 30.5).
2.
Напишите формулу для расчета изгибающего момента в сечении 3 (рис. 30.6).
3. Из
представленных
эпюр
выберете
эпюру
поперечной
силыдля
изображенной балки (рис. 30.7).
Пояснения.
A. Обратить внимание на знак силы в сечении 1 (знак +).
Б. Обратить внимание на величину скачков в местах приложения внешних
сил.
B. Приложение
момента
пары
сил
не
должно
отражаться
на
эпюре Q.
4. По рис. 30.8 выбрать эпюру изгибающего момента для изображенной на
рис. 30.7 балки.
Пояснения.
A. На конце бруса приложен момент пары, следовательно, в этом
месте изгибающий момент должен быть равен этому же значению.
Б. Обратить внимание на знак момента в сечении 1.
B. В точке Априложена также и сила,поэтомулиния, очертившая
эпюру, должна быть наклонной.
5. Ответьте на вопросы тестового задания.
Тема 2.6. Изгиб.
Определение внутренних силовых факторов
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов. Приложены сосредоточенные и распределенные
нагрузки
Знать дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной
нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом,
основные правила
построения эпюр.
Уметь строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента в случае
приложения сосредоточенных и распределенных нагрузок.
Примеры решения задач
Пример 1. Одноопорная балка нагружена сосредоточенными силами и
распределенной нагрузкой (рис. 31.1). Построить эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов.
Решение
Задачу решаем с помощью составления уравнений поперечных сил и
изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.
При проверке эпюр используем дифференциальные зависимости между
интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим
моментом:
1. Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности
распределенной нагрузки
2. Производная
перечной силе
изгибающего
момента
по
длине
балки
равна
по
Рассмотрим участок 1, сечение 1.
Поперечная сила Q1 = —F1 =—15 кН.
По принятому правилу знаков поперечная сила отрицательна и постоянна на
этом участке.
Изгибающий момент МХ1=— F1z1.
0≤z1≤ 4м: МА = 0; МB= -15 • 4 = -60кН • м.
Рассмотрим участок 2, сечение 2.
Поперечная сила Q2 = —F1— q (z2-4).
4 м ≤ z2≤ 8 м: QB = -F1 = -15 кН; Qсслевa = -39 кН.
Поперечная сила изменяется по линейному закону.
Изгибающий момент
4 м ≤ z2≤ 8 м:
при Z2 = 4 м изгибающий момент Мв = —60 кН • м. В точкеВнет внешнего
момента, поэтому изгибающий момент слева и справа от точки В одинаков. В этом
случае рассчитывать его дважды не следует;
Рассмотрим участок 3, сечение 3.
В точкеСприложена внешняя сила F2.На эпюре должен быть скачок, равный
приложенной силе; на эпюре моментов должен быть излом.
Поперечная сила на участке 3: Q3 = - F1-q (z3-4)-F2;
при z3 = 8м Qссправа = -15 - 6 • 4 - 10 = -49кН;
точка С: Qсслева= 39 кН; Qссправа = 49 кН;
при z3 = 10м QD= -15-6∙6- 10 = -61кН.
Поперечная сила изменяется по линейному закону.
Изгибающий момент
8м ≤ z3≤ 10м:
На участках 2 и 3 эпюра изгибающих моментов ограничена квадратичной
параболой.
По полученным результатам, учитывая дифференциальные зависимости между
поперечной силой и изгибающим моментом, строим эпюры Qи Мх. На втором и
третьем участках поперечная сила не имеет нулевых значений, поэтому на эпюре
моментов нет экстремумов.
Основные правила построения эпюр в случае приложения
распределенной нагрузки. Контроль правильности решений
1. Для участка балки с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила
Qизменяется по линейному закону, эпюра ограничена наклонной прямой.
Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, эпюра Мхограничена
параболой второго порядка.
2. В сечении, где эпюра Qпереходит через ноль (наклонная линия пересекает ось
абсцисс), изгибающий момент экстремален: касательная к эпюре Мхв этом месте
параллельна оси абсцисс.
3. Параболическая
и
прямолинейная
части
эпюры
моментов
там,
где кончается или начинается распределенная нагрузка, сопрягаются плавно, без
излома,
если
в
соответствующем
сечении
к
балке
не
приложена сосредоточенная сила.
4. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то эпюра момента очерчена
параболой, обращенной выпуклостью вверх.
5. Из теоремы Журавского следует:
— если на участке Q>0, МИ растет;
— если на участке Q<0, МИубывает;
— если на участке Q = 0, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб);
— если в точке Q= 0, изгибающий момент достигает экстремального значения
(Миmin или Миmax ).
Пример 2. Расчет двухопорной балки. Двухопорная балка нагружена
равномерно распределенной нагрузкой (рис. 31.2).
Решение
При определении реакций в опоре равномерно распределенную нагрузку
можнозаранее заменить равнодействующей сосредоточенной силой: G = ql;q =
4кН/м; G = 4 • 6 = 24кН (рис. 31.2).
При
построении
эпюр
поперечных
сил
и
изгибающих
моментов
распределенная нагрузка учитывается постепенно.
Расчет балки можно провести по характерным точкам, при этом необходимо
знать правила построения эпюр, перечисленные выше.
Определяем реакции в опорах балки.
Построение эпюр
Анализируем схему балки.
Рассмотрим участок 1 до сечения 1.
В опореАдействует сосредоточенная сила RA= 7,2 кН. На участке 1 поперечная
сила остается постоянной: Q1 = RA= 7,2 кН (рис. 31.3).
Изгибающий момент в точкеАравен нулю, т. к. здесь нет момента внешней пары
сил: МА= 0.
Момент в точкеС(граница участка, z — 4м) Мс = RA• 4; Мс = 7,2 -4 = 28,8кН • м.
Эпюра очерчивается прямой линией, наклонной к оси Oz(рис. 31.3).
Рассмотрим участок 2 (рис. 31.3). Здесь действует распределенная нагрузка
интенсивностью q = 4кН/м. При перемещении вдоль оси балки направо
распределенная нагрузка суммируется. Эпюра Q2— прямая линия, наклонная к оси
Oz. Распределенная нагрузка направлена вниз (см. Основные правила построения
эпюр, п. 4), здесь эпюра изгибающего момента очерчена параболой, обращенной
выпуклостью вверх.
Реакция в опоре RAи распределенная нагрузка направлены в разные стороны.
Следовательно, возможна точка, в которой, по правилу 2, Q2 = 0, а изгибающий
момент экстремален.
Для построения эпюры моментов необходимо составить уравнение поперечной
силы на участке 2 и приравнять величину поперечной силы нулю. Из уравнения
можно определить координату точки, в которой изгибающий момент экстремален.
Проводим необходимые расчеты, определяем величины поперечных сил и
изгибающих моментов в характерных точках.
Рассмотрим участок 2, сечение 2 (рис. 31.3).
Уравнение поперечной силы Q2 = RA— q(z2— 4) = 0.
Откуда:
— координата
точки, где изгибающий момент экстремален, т. к. Q2=0.
Уравнение момента на участке 2:
Максимальноезначение изгибающего момента на участке 2
Значения поперечной силы и изгибающего момента в точкеВ:QB = RB = 16,8 кН;
МВ = 0.
Строим эпюру поперечной силы. Первый участок — прямая линия,
параллельная оси Oz. В точкеСэпюра становится наклонной. Строим эпюру
изгибающих моментов (рис. 31.3).
Участок 1 эпюра — прямая линия; МА= 0; Мс — 28,8 кН • м.
Участок 2 эпюра — параболас экстремумом в точкеz = 5,8 м;
Тема 2.6. Изгиб261
Контрольные вопросы и задания
1. Если эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой, как выглядит эпюра
изгибающего момента?
2. Как определить положение экстремального значения изгибающего момента при
действии распределенной нагрузки на участке балки?
3. Распределенная нагрузка направлена вверх. Как выглядит парабола, очерчивающая
эпюру изгибающих моментов вдоль оси бруса?
4. Определите координату z, в которой поперечная сила равна нулю (рис. 31.4).
5. Определите величину изгибающего момента в точкеС(z= 5 м), используя схему рис.
31.4.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа