close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
АТОМНАЯ ФИЗИКА
Осенний семестр 2014/2015
5. Барьерные задачи и туннельный эффект
1. Поток частиц в квантовой механике
Уравнение Шредингера
 2
 
2

  0
  U  i
 2m
t 


(*)
Комплексно сопряженное:
 2
 
2

 *  0
  U  i
 2m
t 


(**)
Умножим (*) на  * , (**) – на  и вычтем (**) из (*):
Лекция № 6


2
2m



 * 

2
2
*       *  i  *

 0


t
t 

Получаем:
i  
 *  

t
2m  x


 * 
 

 * 
 

 *


*




*




*








x

x

y

y

y

z
z
z






Вводим j :
jx

j 
i 

 * 
 

 *
,
2m 
x
x 
jz
Тогда
 jx ,
j y , jz 
jy
i 

 *
 

 *
2m 
y
y
i 

 * 
 

 *

2m 
z
z 

,





t
Интегрируем
дивергенции:
по

V

t


объему
2
dV 
d
dt
* 

t

2

  div j
и
используем

2
V
интегральную
теорему
о

dV    div j dV    j n ds
V
S

Физический смысл вектора j :
Если

2
dV
- определяет число частиц в объеме V  то
V
d
dt

2
dV
- изменение этой величины = полное число частиц,
V
пересекающих границу объема (поверхность S )  полный поток,

следовательно j - плотность потока - число частиц, проходящих через 1
ед. площади за 1 ед. времени.
Окончательно:



i
 *       * 
j  
2m
Плоская волна:

i

1
V
 
exp  i p i r  



pi
j 

Vm
2 mE
Vm


pi
j  j 

Vm
2 mE
Vm
Стационарные состояния:
Докажите: для вещественных волновых функций стационарных состояний
плотность потока обращается в нуль.
Проверка:
простейший
прямоугольной яме.
случай
-
волновые
функции
частиц
в
2.Прохождение частицы через потенциальный барьер
Потенциальный барьер: область пространства, в которой потенциальная
энергия частицы больше, чем в окружающих областях. Простейший
случай: 1D прямоугольный потенциальный барьер (рис.1).
U x 
U
E
x
0
a
Рис. 1.
Потенциальная энергия частицы:
 0 , x  0  область I

U  x    U , 0  x  a  область II
 0 , x  0  область III

Будем считать, что частица приближается к барьеру со стороны
отрицательных значений x , т.е. движется слева направо. Пусть энергия
частицы меньше высоты потенциального барьера U , т.е. E  U ( случай
E  U рассмотрен в задаче 4.7).
Уравнение Шредингера в областях I, II и III имеет вид
2
d 
dx
1
2
2
d 
dx
2
dx
x 
2
2
d 
x 
3
2
x 
2
 k 1 


2
k2
2
k1


1
2
3
x  0
x  0
x  0
k1 
(1) , где
k2 
2 mE

2
2 m U  E

2

Волновые функции - решения уравнений (1):
 1  x   A 1 exp  ik 1 x   B 1 exp   ik 1 x 
 2  x   A 2 exp  ik 2 x   B 2 exp   ik 2 x 
 3  x   A 3 exp  ik 3 x   B 3 exp   ik 3 x , k 3  k 1
(2)
Будем считать амплитуду падающей на барьер волны A 1  1 , а также
положим коэффициент B 3  0 : при движении частицы слева направо в
области III может распространяться только проходящая волна.
Условия сшивки волновых функций и их производных на границах барьера,
т.е. при x  0 и x  a , приводят к системе уравнений
1  B1  A2  B 2
ik 1  ik 1 B 1  k 2 A 2  k 2 B 2
A 2 exp  k 2 a   B 2 exp   k 2 a   A 3 exp  ik 1 a 
k 2 A 2 exp  k 2 a   k 2 B 2 exp   k 2 a   ik 1 A 3 exp  ik 1 a 
(3)
Система (3) - система 4-х уравнений с 4 неизвестными - коэффициентами
B 1 , A 2 , B 2 , A 3 - имеет решение при любых значениях параметров k 1 и k 2 =
при любых значениях энергии частицы
энергетический спектр
задачи является непрерывным.
Если есть ненулевое решение в области III – частица проходит через
барьер, в отличие от классической механики. Решая систему (3), для
амплитуды прошедшей через барьер волны получаем
A3 
4 ik 1 k 2  exp  ik 1 a 
k1
 ik 2  exp  k 2 a    k 1  ik 2
2

2
exp   k 2 a 
(4)
Найдем модуль вектора плотности потока вероятности для падающей на
барьер и прошедшей через него волны. С учетом определения (п.1),

k1
ji 
m

k1
jt 
 A3
m
2
,
находим коэффициент (вероятность) прохождения D частицы через
барьер:

2
2
2


jt
 k1  k 2 
2
2
  sh  k 2 a  
D    A 3  1 1  


2
k
k
ji

 (5)
1 2


В (5) - гиперболический синус:
sh  k 2 a   sinh
k 2 a  
exp  k 2 a   exp   k 2 a 
2
Если ширина барьера a такова, что k 2 a  1 , то
sh  k 2 a  
exp  k 2 a 
Формула (5) для D становится проще:
2
.
2
 4 k1k 2 
D  2
  exp   2 k 2 a 
2
 k1  k 2 
(6)
Подставляем выражения для k 1 и k 2 :
 2a
D  D 0  exp  


E 
E 

2 m U  E   , D 0  16
1 

U 
U 

(7)
Коэффициент D 0 - медленно изменяющаяся функция отношения E U , и
по порядку величины сравним с единицей. Поэтому в большинстве случаев
при оценке коэффициента прохождения через потенциальный барьер
полагают D 0  1 , тогда
 2a

D  exp  
2 m U  E   (8)



Из (8) следует, что коэффициент прохождения
испытывает сильную
(экспоненциальную) зависимость от ширины барьера a , массы частицы m
и разности энергий U  E .
Обобщение на случай потенциального барьера произвольной формы
Представим потенциальный барьер в виде последовательности большого
числа узких прямоугольных потенциальных барьеров, расположенных один
за другим:
U x 
E
x
x1
0
Рис.2
x2
Будем считать, что барьер имеет плавную форму, т.е. его высота на
расстоянии (по x), сравнимом с длиной волны де Бройля, изменяется
незначительно. В этом случае отражением волны на выступающих участках
прямоугольных барьеров можно пренебречь.
Волна, прошедшая через - n -й прямоугольный барьер – это волна,
падающая на n  1 - барьер и т.д. Вероятность прохождения частицы через
систему последовательно расположенных потенциальных барьеров равна
произведению вероятностей прохождения D n через каждый из барьеров 
коэффициент прохождения через барьер произвольной формы
D 

Dn 
n

exp  


n

n
2xn

 2xn
exp  



2 m U  x n   E   

(9)

2 m U  x n   E  

где -  x n ширина и U  x n  - высота n -го барьера. Переходя в (9) от
суммирования к интегрированию, получаем
 2
D  exp  
 
x2

x1
dx

2 m U  x n   E   (10)

где x 1 и x 2 - значения координат, при которых U  x   E (рис.2).
3.Туннельный эффект (ТЭ)
Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого
превышает энергию частицы, называется туннельным эффектом – ТЭ
(частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле). ТЭ - чисто
квантовое явление.
Классическая частица, отражается от барьера, высота которого больше ее
полной энергии. Пройти через барьер, т.е. через область, в которой ее
кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может.
Квантовая частица проходит через потенциальный барьер, причем
вероятность прохождения сильно (экспоненциально) зависит от массы
частицы, а также от вида потенциального барьера . Подчеркнем, что при
прохождении через барьер полная энергия частицы не меняется.
ТЭ объясняет ряд важных физических явлений:
 автоионизация атомов – вырывание электронов из атомов в сильных
постоянные электрических полях
 холодная эмиссия электронов из металла
 радиоактивный альфа -распад ядер
 …..
ТЭ находит широкое применение в технических приложениях.
На основе ТЭ создан сканирующий туннельный микроскоп (СТМ), который
произвел подлинную революцию в физике и технике поверхности и имеет
широкие перспективы в связи с развитием нанотехнологий.
Пример 1. Автоионизация атомов – вырывание электронов из
атомов в сильных постоянных электрических полях
Сильные постоянные электрические поля:   10 В / м  автоионизация
атомов – вырывание электронов из атомов.
Квантовая теория автионизации: 1931г, К.Ланцош (1893-1974).
7
Выберем систему координат
с началом в центре атома и осью OZ ,

направленной вдоль поля  . Электрон атома приобретает дополнительную
энергию U   e  z   , которую нужно ввести в гамильтониан
уравнения Шредингера для одноэлектронного атома. В результате,
возникает эффективная потенциальная энергия
U
eff
Ze

r   
r
Потенциальная энергия
взаимодействия электрона с
ядром (заряд Ze )
2
 e  z 
(*)
Дополнительная энергия в
электрическом поле
Вид функции (*) – разрез по направлению

U r 
z:
ez 
U
eff

r 
z
0
Coulomb
Coulomb
U

eff
r 
Образование 1D потенциального барьера для электрона атома во внешнем
постоянном электрическом поле  :

U r 
U
z0
eff

r 
z
0
E ''
U
m
E'
U
eff

r 
E1
Новые состояния (новые возможности):
 Электрон
с
энергией
находится
в
асимметричной
E'U m
потенциальной яме, но вследствие туннельного эффекта может ее
покинуть
 Электрон с энергией E ' '  U m покидает атом
 Электрон с энергией основного состояния E 1  U m продолжает «жить»
в деформированном электрическим полем атоме: для него вероятность
туннельного эффекта через образовавшийся потенциальный барьер
очень мала

 С увеличением  ширина барьера уменьшается и понижается высшая
точка барьера U m : туннельный эффект становится возможным для все
более низко лежащих уровней.
В сильном внешнем электрическом поле происходит выход электронов из
атомов  возникает автоионизация.
Автоионизация и спектры излучения атомов (подробнее – ЛК-15)
Если исследовать спектры излучения атомов, помещенных в электрическое

поле и постепенно увеличивать  , сначала наблюдают расщепление
спектральных линий, а затем уменьшение их интенсивности
превращения части атомов в ионы – эффект Штарка.
из-за

Эффект Штарка на спектральных линиях серии Бальмера: с ростом 
вначале исчезают компоненты линий, образованных радиационными
переходами из более высоко лежащих стационарных состояний. Причина: с
ростом главного квантового числа n уменьшается (для этих электронов)
ширина потенциального барьера  возрастает вероятность ионизации.
Конкурируют 2 процесса: переход на более низкий уровень с излучением и
ионизация, и быстрее происходит ионизация.
На рис.: для электрона атома, первоначально находившегося в
стационарном состоянии с энергией E ' '  U m вероятность автоионизации
равна 1 (барьера нет)  в сильном внешнем электрическом поле
спектральные линии, образованные переходами из состояний с n   1
вообще не должны возникать (подтверждено экспериментами).
Дальнейшее развитие теории, эксперимента, техники эксперимента
 Многоэлектронные атомы
 Неоднородное постоянное электрическое поле
 Автоэлектронная эмиссия с поверхности металлов
 Взрывная электронная эмиссия (выпускник ТПУ, академик Г.Месяц и
премия «Глобальная энергия»)
 Силовой атомный микроскоп – самый современный прибор для
исследования поверхностей твердых тел
Задачи:
1.
Пусть коэффициент прохождения через барьер определяется
формулой (8) и для частицы с массой m 1 равен D 1 . Найти коэффициент
прохождения D 2 для частицы с массой m 2  4 m 1 (остальные параметры
не меняются).
2.
Используя (*), получить формулы и найти z 0 и U


7
8
  10 В / м и   10 В / м .
m
для
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа