close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

пресс-релиз о спецпроекте "Велоквест";doc

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова
А. С. Бабенко, В. С. Секованов
ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ДИНАМИКУ
Научно-методическое пособие
Кострома
2010
ББК 22.162.7
В24
Печатается по решению редакционно-издательского совета
КГУ имени Н.А. Некрасова
Рецензенты:
Е. И. Смирнов, кандидат физико-математических наук, доктор
педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Ярославского
государственного педагогического университета
им. К. Д. Ушинского
А. В. Сидоров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова
В24
Введение в нелинейную динамику / А. С. Бабенко,
В. С. Секованов. – Кострома : КГУ им. Н. А. Некрасова,
2010. – 60 с.
В научно-методическом пособии даны основные понятия и
теоремы нелинейной динамики, рассмотрены линейные и нелинейные динамические системы, которые служат базой для моделирования различных объектов, явлений и процессов. Разработаны методические рекомендации для изучения некоторых тем нелинейной динамики.
Данное пособие предназначено для студентов физикоматематических специальностей, бакалавров, магистров, преподавателей математики, физики, экономики и др.
ББК 22.162.7
© А. С. Бабенко, В. С. Секованов, 2010
© КГУ им. Н. А. Некрасова, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ГЛАВА 1. История нелинейной динамики. . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ГЛАВА 2. Линейные и нелинейные дифференциальные
уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
ГЛАВА 3. Системы двух дифференциальных уравнений. . . . . . . 14
§ 1. Линейные системы двух дифференциальных
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 2. Нелинейные системы двух дифференциальных
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 3. Системы двух дифференциальных уравнений,
содержащие предельные циклы. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ГЛАВА 4. Задания для самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . 38
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Приложение 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Приложение 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
ВВЕДЕНИЕ
Цель данного пособия – формирование творческого потенциала
студентов посредством решения задач при изучении элементов непрерывных линейных и нелинейных динамических систем. В нем рассмотрены вопросы, связанные с историей становления линейной
и нелинейной динамики, применением непрерывных динамических
систем в различных сферах человеческой деятельности, решением задач, связанных с дифференциальным уравнением и системой двух
дифференциальных уравнений, построением фазовых портретов
с помощью компьютерных программ. Разработаны методические рекомендации проведения практических занятий по некоторым темам
нелинейной динамики.
Большое место в пособии уделено рассмотрению нелинейных
динамических систем. Нелинейная динамика – быстроразвивающееся
математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и с бурным развитием информационных
коммуникационных технологий. Идеи нелинейной динамики в настоящее время применяются в физике, металловедении, медицине, психологии, экономике, лингвистике и других областях. Нелинейные динамические системы – современное математическое направление, тесно
связанное с фрактальной геометрией, дифференциальными уравнениями, теорией функций действительной и комплексной переменных, теорией вероятностей, геометрией, алгеброй, теорией размерности.
Среди литературы по непрерывным динамическим системам
можно выделить ряд учебных пособий [1], [2], [9], [11], [14] [17], [21],
и статей [15], [16].
4
Данное пособие может быть использовано студентами математических и физических специальностей классических и педагогических университетов, а также, учителями математики и информатики,
преподавателями высшей школы. Оно, на наш взгляд, будет полезно
бакалаврам, магистрам, аспирантам различных специальностей, интересующихся приложениями нелинейной динамики.
Данное пособие состоит из введения, четырех глав, трех приложений, задач для самостоятельного решения и списка литературы.
В первой главе дается краткая историческая справка появления
исследований с помощью непрерывных динамических систем. Акцент
делается на развитие нелинейной динамики.
Во второй главе приводятся методические рекомендации исследования линейных и нелинейных динамических систем на прямой
с подробным разбором.
В третьей главе рассмотрены вопросы, связанные с линейными
и нелинейными динамическими системами на плоскости. Приводится
методика изучения данной темы на практических занятиях.
В четвертой главе приводятся задачи для самостоятельной работы, которые можно использовать при составлении контрольных работ
или домашних заданий. Некоторые задачи достаточно трудны и требуют тонких размышлений и дополнительных знаний, обозначенных
в списке литературы.
В пособии имеются три приложения.
В приложении 1 указаны основные определения и теоремы, необходимые для успешного изучения материала, изложенного в пособии.
В приложении 2 приведены программы, или разработанные самостоятельно или адаптированные из [22].
В приложении 3 приведена программа семестрового спецкурса
«Формирование креативности студентов при изучении непрерывных
динамических систем».
Авторы будут благодарны всем, кто сделает замечания и пожелания, способствующие улучшению данного учебного пособия.
5
ГЛАВА 1
ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
Следует предложить студентам первоначально обратиться к истории создания нелинейной динамики, проследить этапы развития
науки и подготовить доклады по данной тематике, при этом студенты
могут воспользоваться современными информационными и коммуникационными технологиями для поиска информации.
Остановимся на нескольких ключевых моментах.
Основателем динамики можно считать И. Ньютона, который
в XVII в. предложил описать явления с помощью дифференциальных
уравнений, то есть уравнений, связывающих независимую переменную, функцию и ряд ее производных, или динамических, систем, которые дают возможность описывать основные законы физики. Ньютон ставил задачу нахождения первообразной, которая является частным случаем интегрирования дифференциальных уравнений [26].
В XVIII–XIX вв. основной математической моделью были дифференциальные уравнения, решениями которых являются функции, описывающие поведение системы. В этот период решаются уравнения первого и второго порядка, развивается общая теория линейных дифференциальных уравнений любого порядка (Эйлер, Бернулли,
Д’Аламбер и др.). В некоторых случаях находили решение уравнения
для заданных начальных условий, в противном случае применяли
численные методы [26].
В конце XIX – начале XX в. разрабатывается аналитическая теория дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). В данный
6
период, в связи с трудностью нахождения решения уравнений, возникает необходимость исследовать систему, не находя решения, поэтому
наибольшее внимание уделяется вопросам качественного исследования: создается классификация особых (неподвижных) точек линейной
системы, исследуется поведение системы на языке геометрии, то есть
строятся фазовые портреты (изображаются в системе координат графики кривых в зависимости от начальных условий), изучаются вопросы, связанные с устойчивостью (А. М. Ляпунов) (см. прил. 1).
Доминирующие линейные системы уступают во второй половине XX в. место нелинейным системам. Ученые обращают внимание на
необходимость описания систем именно нелинейно, хотя стремятся
сводить нелинейные системы к привычным и хорошо изученным линейным системам.
В результате исследования нелинейных систем как дискретных,
так и непрерывных открываются новые виды траекторий, что дает
толчок к дальнейшему развитию нелинейной динамики.
Нелинейная динамика за все годы своего развития ищет пути
описания всевозможных процессов, объединяя математику со всеми
науками, то есть является своеобразным мостиком между математикой и физикой, химией, биологией, экономикой, психологией, политикой и др. В связи со сказанным данная область знаний является
«в общенаучном контексте как “язык междисциплинарного общения”» [17, с. 28].
Нелинейная динамика является математической основой синергетики, интенсивно развивающейся в последние десятилетия.
7
ГЛАВА
2
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Изучение динамических систем полезно начать с самого простого
случая, когда система задается одним дифференциальным уравнением.
В данном параграфе будут рассмотрены непрерывные динамические системы в одномерном пространстве, дающие возможность
освежить знания из области качественной теории дифференциальных
уравнений, провести обобщение по вопросу исследования систем (нахождение неподвижных точек, определение поведения траекторий
вблизи этих точек, построение фазового портрета) и почву для дальнейшего изучения динамических систем на плоскости и трехмерном
пространстве.
Рассмотрим пример исследования линейных непрерывных динамических систем: исследовать рост населения г. Костромы.
Пусть x – число жителей г. Костромы (весьма приближенное),
тогда изменение населения можно задать следующим образом:
x '  ax ,
(2.1)
где a – коэффициент рождаемости (знак плюс означает, во столько
раз увеличилось население, а знак минус – уменьшилось).
dx
 ax . Полученное уравнение явdt
dx
 adt .
ляется уравнением с разделяющимися переменными:
x
Решим данное уравнение
8
Проинтегрируем левую и правую части уравнения

dx
 adt , тогда
x 
ln x  at  c  x  Ceat . Поэтому x  Ceat .
Исходя из найденного решения можно построить фазовый портрет системы (2.1) (рис. 1; см. прил. 2, программа 1).
А)
Б)
Рис. 1. Фазовый портрет системы (2.1): А) a  0 ; Б) a  0
В случае исследования системы, описанной одним дифференциальным уравнением, решение найти и построить фазовый портрет не
представляет труда, но необходимо обратить внимание студентов на
качественное исследование, которое включает нахождение неподвижных точек и определение их характера.
Найдем неподвижные точки системы (2.1). Исходя из определения неподвижной точки студенты делают вывод о том, что необходимо приравнять правую часть равенства к нулю (скорость изменения
величины равна нулю, так как неподвижная точка – точка покоя [подробнее см. прил. 1]), то есть ax  0 .
Система (2.1) имеет решение – точка О (0) (прямая x  0 в
двухмерном пространстве). Исследуем точку О. Исходя из построенных фазовых портретов (рис. 1) видно, что в случае a  0 точка
является неустойчивой, все траектории с течением времени разбегаются от нее, а в случае a  0 точка асимптотически устойчива. Если рассматриваем фазовый портрет системы на плоскости tOx , то
неподвижная точка изображается прямой (в нашем случае x  0 ).
Если t отсутствует, то есть рассматриваем координатную прямую Ox ,
9
то мы получаем одномерное пространство и неподвижная точка
изображается точкой.
Возникает вопрос: как, не строя фазового портрета системы
(2.1), можно определить устойчивая точка или нет?
Студенты предлагают построить график правой части уравнения (2.1) y  ax .
В случае a  0 , точка является асимптотически устойчивой, фазовые кривые стремятся к точке О и график функции y  ax справа от
нуля лежит ниже оси Ох, а слева – выше (рис. 2).
Рис. 2. График функции y  ax при a  0
и поведение траекторий вблизи неподвижной точки
В случае a  0 точка является неустойчивой, кривые расходятся
от точки О и график функции y  ax справа от нуля лежит выше оси
Ох, а слева – ниже (рис. 3).
Рис. 3. График функции y  ax при a  0
и поведение траекторий вблизи неподвижной точки
Подводя итог вышесказанному, студенты делают вывод, что без
построения фазового портрета любого дифференциального уравнения
x '  f ( x) можно определить тип точки, то есть устойчивая она или нет.
Если производная в неподвижной точке поменяла знак с плюса на минус, то есть если f  x0  0   0 и f  x0  0   0 (рис. 2), то точка является
10
асимптотически устойчивой (на прямой такие точки называют аттракторами). Если производная в неподвижной точке поменяла знак с минуса на плюс, то есть если f  x0  0   0 и f  x0  0   0 (рис. 3), то точка является неустойчивой (на прямой такие точки называют репеллерами). Если производная в неподвижной точке не меняет знак, то точка является устойчивой (на прямой такие точки называют шунтом).
Исходя из проведенного исследования при увеличении переменной t (показывает время) переменная x экспоненциально растет или, наоборот, убывает (в зависимости от коэффициента рождаемости a ).
Интерпретируем полученное решение, возвращаясь к условию
задачи: население города в зависимости от коэффициента a будет постоянно увеличиваться или уменьшаться. В случае a  0 , число людей
в г. Костроме растет (стремится к бесконечности), при этом не учитывается смертность и другие факторы. В случае a  0 , население вымирает (стремится к нулю), при этом не учитывается рождаемость и другие факторы.
Таким образом, заданное нами линейное уравнение не описывает точно поведение системы. Попробуем задать другое уравнение,
чтобы учесть рождаемость, смертность и т. д. Для этого рекомендуется использовать нелинейное дифференциальное уравнение.
Задача остается той же: исследовать рост населения г. Костромы. При выполнении задания пользуются аналогичным алгоритмом.
Пусть изменение численности населения зависит от имеющейся пищи, тогда:
x '  x  a  bx  .
(2.2)
При нелинейном описании системы возможно более точное описание процесса роста населения, в отличие от линейного уравнения.
dx
 x  a  bx  . Полученное уравнение
dt
dx
 dt .
является уравнением с разделяющимися переменными:
x  a  bx 
Решим данное уравнение
11
Проинтегрируем левую и правую части уравнения
Преобразуем подынтегральное выражение
dx
∫ x ( a − bx ) = ∫ dt .
⎛ 1
⎞
b
+
⎜
∫ ⎝ ax a(a − bx) ⎟⎠ dx = ∫ dt ,
тогда
1
1
ln x − ln a − bx = t + c . Используя свойства логарифма, получаa
a
ем ln
x
x
= at + c , следовательно,
= Ceat . Выразим x :
a − bx
a − bx
aCe at
x=
.
1 + bCeat
Исходя из найденного решения можно построить фазовый портрет системы (2.2) (рис. 4; см. прил. 2, программа 2].
А)
Б)
Рис. 4. Фазовый портрет системы (2.2)
А) a < 0, b < 0 ; Б) оставшиеся случаи
Найдем неподвижные точки системы (2.2):
x ( a − bx ) = 0 .
⎛a⎞
Система (2.2) имеет решения – точка О (0) и точка А ⎜ ⎟ .
⎝b⎠
Исследуем точки, опираясь на фазовый портрет и на знак правой части уравнения (рис. 5).
В случае a < 0, b < 0 О – устойчивая точка, А – неустойчивая
точка (рис. 4, 5).
В остальных случаях О – неустойчивая точка, а А – устойчивая
(рис. 4, 6).
12
f ( x)
a
b
0
Рис. 5. График функции y = f ( x) и поведение траекторий
вблизи неподвижных точек
f ( x)
a
b
0
Рис. 6. График функции y = f ( x) и поведение траекторий
вблизи неподвижных точек
В результате исследования студенты делают вывод, что приведенная система лучше демонстрирует процесс роста населения в Костроме (см. подробнее [3]).
Возможны и другие описания роста населения с помощью нелинейного уравнения, которые могут привести студенты, например:
x ' = x − x 2 − a или x ' = x − x 2 − ax .
13
ГЛАВА
3
СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные системы двух дифференциальных уравнений
После изучения основных понятий динамики, рассмотренных
в пособии, целесообразно остановиться на линейных непрерывных
динамических системах, в связи тем что данные системы представляют собой базу для дальнейшего изучения материала.
Рассмотрим пример.
Исследуем взаимодействие эмоциональной и физической усталости человека, задав математическую модель.
Пусть х – эмоциональная усталость, а у – физическая усталость,
а, b, c, d – коэффициенты эмоциональной и физической усталости
для исследуемого человека (положительные числа), а знаком минус
перед коэффициентом будем обозначать эмоциональный или физический подъем.
Тогда скорость изменения эмоциональной усталости зависит от
эмоционального подъема (произошел он или нет) и от физической усталости, которая повышает эмоциональную усталость, это можно описать
следующим уравнением: x '  ay  bx . По аналогии скорость изменения
физической опишем уравнением y '  cx  dy . В итоге взаимодействие
эмоциональной и физической усталости человека задается системой
 x '  bx  ay ,

 y '  cx  dy.
14
После задания системы линейных двух дифференциальных
уравнений следует предложить студентам для удобства исследовать
систему при конкретных значениях констант.
Пусть дана система
 x '  3 x  2 y,

 y '  x  4 y.
(3.1)
Возникает вопрос: как исследовать данную систему? Дается возможность выбрать несколько вариантов решения, одним из которых
является сведение системы (3.1) к уравнению второго порядка.
Продифференцируем первое уравнение системы (3.1):
x ''  3x ' 2 y ' .
Подставим вместо y ' выражение x  4 y , взятое из второго уравнения системы (3.1). Тогда
x ''  3 x ' 2  x  4 y   3 x ' 2 x  8 y .
Из первого уравнения системы (3.1) выразим
y , тогда
2 y  x ' 3x , разделим обе части уравнения на два и получим y 
x ' 3 x
.
2
Подставим найденное выражение в x '' :
 x ' 3 x 
x ''  3x ' 2 x  8 

 2 
и раскроем скобки:
x ''  7 x ' 10 x .
Перенесем все слагаемые в одну часть:
x '' 7 x ' 10 x  0
(3.2)
Решим уравнение (3.2). Для решения уравнения (3.2) составим
характеристическое уравнение  2  7  10  0 , которое имеет два корня 1  2; 2  5 , тогда решение уравнения (3.2) запишем в виде
x  C1e2t  C2e5t . Зная x, можно найти y, для этого продифференцируем x:
x '  2C1e 2t  5C 2 e 5t ,
15
тогда y 
2C1e2t  5C2e5t  3  C1e2t  C2e5t 
2

C1e2t  2C2e5t C1 2t
 e  C2e5t .
2
2
Таким образом, решение системы (3.1):
 x  C1e 2t  C2 e 5t ,

 y  0.5C1e 2t  C2 e 5t .
В связи с трудоемкостью сведения к уравнению второго порядка,
студенты предлагают найти другой способ исследования системы (3.1),
что способствует развитию гибкости мышления (найти новый вариант
решения) и оригинальности мышления (найти более эффективный
способ решения).
Студенты обращают внимание на то, что составляющие решения e2t и e5t также являются решением системы (3.1), следовательно,
решение системы необходимо искать в виде:
 x  A1e t ,

 y  A2e t .
Подставим решение в систему (3.1)
 A1 e t  3 A1e t  2 A2e t ,

t
t
t
 A2  e  A1e  4 A2 e .
Сократим на et и перенесем все в одну часть, получим систему
 A1   3     2 A2  0,

 A2   4     A1  0.
Полученная система имеет ненулевое решение в том и только
в том случае, когда определитель системы равен нулю.
3  
1
2
 0,
4  
тогда  2  7  10  0 , которое имеет два корня:
1  2; 2  5 .
Решение системы можно записать в виде
 x  a1C1e 2t  b1C2 e 5t ,

 y  a2C1e 2t  b2C2 e 5t .
16
Найдем производные:
⎧⎪ x′ = −2a1C1e −2t − 5b1C2 e −5t ,
⎨
⎪⎩ y′ = −2a2C1e −2t − 5b2C2 e −5t .
Подставим выражения x, y и x ', y ' в систему (3.1)
⎧⎪− 2a1C1e −2t − 5b1C2e−5t = −3a1C1e −2t − 3b1C2e −5t + 2a2C1e−2t + 2b2C2e−5t ,
⎨
⎪⎩− 2a2C1e−2t − 5b2C2e−5t = a1C1e−2t + b1C2e−5t − 4a2C1e −2t − 4b2C2e −5t .
1-й случай:
⎧− 2a1 = −3a1 + 2a2 ,
⎨
⎩− 2a2 = a1 − 4a2 .
Перенесем все в одну часть:
⎧a1 − 2a2 = 0,
⎨
⎩− a1 + 2a2 = 0,
тогда если a1 = 1 , то a2 = 0,5 .
2-й случай:
⎧− 5b1 = −3b1 + 2b2 ,
⎨
⎩− 5b2 = b1 − 4b2 .
Перенесем все в одну часть:
⎧− 2b1 − 2b2 = 0,
⎨
⎩− b2 − b1 = 0,
тогда если b1 = 1 , то b2 = −1 .
В итоге получаем решение системы (3.1):
⎧⎪ x = C1e −2t + C2 e −5t ,
⎨
⎪⎩ y = 0.5C1e −2t − C2 e −5t .
Таким образом, изначально можно найти собственные значения1
матрицы коэффициентов системы (3.1) и мы нашли вместе со студентами второй способ решения системы.
1
Собственными значениями матрицы коэффициентов А называются числа
λ , удовлетворяющие равенству Ax = λ x , где x – ненулевой вектор. Собственные значения находятся с помощью решения уравнения Aλ − E = 0 .
17
На основании полученных результатов построим фазовый портрет системы (3.1) (см. подробнее прил. 1). Первоначально предложим
студентам построить фазовый портрет данной системы вручную.
Решение системы (3.1) имеет вид
 x  C1e 2t  C2 e 5t ,

 y  0.5C1e 2t  C2e 5t ,
оно задает множество кривых при различных значениях констант С1, С2.
Предположим, что фазовый портрет содержит прямые. Найдем
уравнение прямых, если таковые имеются. Пусть y  kx , подставим
найденное решение 0.5C1e2t  C2e5t  k  C1e2t  C2e5t  , раскроем скобки
0.5C1e2t  C2e5t  kC1e2t  kC2e5t , тогда
0.5C1  kC1 ,  C2  kC2 , поэтому
k = 0.5 или k = – 1.
Таким образом, фазовый портрет содержит две прямые y = 0.5;
y = – x.
Построим полученные прямые (рис. 7).
Рис. 7. Первый этап построения фазового портрета
Задав прямые, рассмотрим решение системы (3.1) при различных значениях.
 x  e 2t  e 5t ,
Пусть С1 = 1, С2 = 1, тогда 
 y  0.5e 2t  e 5t .
Строим в системе координат график кривой, заданной параметрически (рис. 8А).
 x  2e 2t  e 5t ,
Пусть С1 = – 2, С2 = 1, тогда 
(рис. 8Б).
 y  e 2t  e 5t
18
 x  2e 2t  2e 5t ,
Пусть С1 = – 2, С2 = – 2, тогда 
(рис. 8В).
 y  e 2t  2e 5t
А)
Б)
В)
Рис. 8. Построение решения при различных значениях параметров
И так далее. В итоге мы получаем фазовый портрет (рис. 9; см.
прил. 2, программа 3).
После построения фазового портрета, легко увидеть, что неподвижной точкой для системы (3.1) является начало координат. А каким
способом можно найти неподвижную точку, предварительно не строив фазовый портрет? Студентам необходимо обратиться к определению неподвижной точки (см. подробнее прил. 1).
19
Рис. 9. Фазовый портрет системы (3.1)
Найдем неподвижные точки системы (3.1). Приравняем производные к нулю:
3 x  2 y  0,

 x  4 y  0.
(3.3)
Выразим из второго уравнения переменную x и подставим в
 3  4 y  2 y  0,
 x  4 y.
первое уравнение 
Получаем
 y  0,

 x  0.
Система (3.3) имеет единственное решение – точка О (0; 0).
Подтверждение данного факта можно увидеть на фазовом портрете.
Исследуем поведение траекторий вблизи точки О и определим
характер точки.
Точки x  a могут быть асимптотически устойчивыми, устойчивыми по Ляпунову, неустойчивыми. Объясним понятие устойчивости
на примере. Если с увеличением значения t траектории находятся
в некоторой окрестности точки, не удаляясь и не приближаясь к ней,
то точка является устойчивой по Ляпунову. Если с увеличением значения t траектории приближаются к неподвижной точке, то точка является асимптотически устойчивой. Если с увеличением значения t
20
траектории удаляются от неподвижной точки, то точка является неустойчивой (см. подробнее прил. 1).
Так как 1  2 , решение системы (3.1) можно записать в виде
2 t
 x   C1e 
 , поэтому
 y   
5 t
   C2 e 
x
 0
  .
 y  t 
 
 0
Таким образом, фазовые траектории с увеличением значения
переменной t приближаются к неподвижной точке. Тем самым можно
сделать вывод, что точка О – асимптотически устойчивая. Такие точки
назвали устойчивыми узлами, для которых корни характеристического уравнения отрицательны и действительны (рис. 10).
Рис. 10. Фазовый портрет системы (3.1)
Далее следует интерпретировать полученные результаты, для
чего необходимо проанализировать условие задачи и проведенное исследование. При заданных параметрах усталость человека при различных начальных условиях всегда будет снижаться, кроме этого
подъем физический будет уравновешивать эмоциональную усталость
и наоборот, в связи с тем что точка O  0; 0  является асимптотически
устойчивой.
После совместного разбора задачи, студентам предлагается разделиться на группы и каждой группе исследовать одну из систем (заданиия даются на карточках, приведенных ниже), отличающихся собственными значениями матрицы коэффициентов, в данной ситуации
21
они проявляют самостоятельность. В конце подводятся итоги
и составляется классификация неподвижных точек в зависимости от
собственных значений. Изучение данной темы дает основу для изучения линейных систем трех дифференциальных уравнений и нелинейных систем двух и трех дифференциальных уравнений.
Карточки для работы
Задание: исследовать систему
Вариант 1
⎧ x ' = 3 x + y,
⎨
⎩ y ' = 3 y − x.
Вариант 6
Вариант 2
⎧ x ' = 3 x + y,
⎨
⎩ y ' = x + 3 y.
Вариант 7
Вариант 3
⎧ x ' = − x + y,
⎨
⎩ y ' = x − y.
Вариант 8
⎧ x ' = 4 x,
⎨
⎩ y ' = 4 y.
⎧ x ' = 0,
⎨
⎩ y ' = x.
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
⎧ x ' = −3 x ,
⎨
⎩ y ' = 7 y.
⎧ x ' = y,
⎨
⎩ y ' = − x.
⎧ x ' = 0,
⎨
⎩ y ' = 0.
⎧ x ' = −4 x ,
⎨
⎩ y ' = x − 4 y.
Вариант 4
⎧ x ' = x + y,
⎨
⎩ y ' = x + y.
Вариант 9
⎧ x ' = 4 x,
⎨
⎩ y ' = x + 4 y.
Вариант 5
⎧ x ' = −4 x,
⎨
⎩ y ' = −4 y.
Вариант 10
⎧ x ' = −3 x + y ,
⎨
⎩ y ' = −3 y − x.
Классификация неподвижных точек
Существуют следующие возможности поведения собственных
чисел:
1) действительные, отличные друг от друга и одного знака; тогда неподвижная точка – узел, причем
λ1 < 0, λ 2 < 0 – устойчивый узел (рис. 11А; см. решение систе-
мы (3.1.));
λ1 > 0, λ 2 > 0 – неустойчивый узел (рис. 11Б; карточки для рабо-
ты вариант 2);
2) действительные, отличные друг от друга и различных знаков, тогда неподвижная точка – седло (рис. 11В; карточки для работы
вариант 11];
22
 x  C1e2t  C2e 5t ,
А) 

 y  0.5C1e 2t  C2 e 5t .
2t

Г) x  C1  C2e ,
 y  C1  C2 e2t .
 x  C1e 2t  C2 e 4t ,
Б) 

 y  C1e 2t  C2 e 4t .
2t

Д) x  C1  C2e ,
y  C1  C2e2t .
x  C1 cost  C2 sint,
З) 

 y  C2 cost  C1 sin t.
4t

Л) x  C1e ,
 y  (C1t  C2 )e4t .
3t
Е) x  e (C1 cost  C2 sint),

 y  e3t (C2 cost  C1 sint ).
 x  C1e 4t ,
И) 

 y  C 2 e 4 t .
 x  C1e 4t ,
Й) 

 y  C2e 4 t .
4t

М) x  C1e ,
 y  (C1t  C2 )e 4t .
3t

В)  x  C1e ,
 y  C2 e 7 t .
3t
Ж) x  e (C1 cost  C2 sint),
y  e3t (C2 cost  C1 sint).
x  C1 ,
К) 

 y  C2 .
Н) x  C1 ,
 y  C1t  C2 .
Рис. 11. Фазовые портреты системы при различных значениях
собственных значений
23
3) действительные и один из них равен нулю, причем
λ1 = 0, λ2 < 0 – устойчивая по Ляпунову (рис. 11Г; карточки для
работы вариант 3);
λ1 = 0, λ2 > 0 – неустойчивая точка (рис. 11Д; карточки для рабо-
ты вариант 4);
4) комплексно-сопряженные, тогда неподвижная точка – фокус,
причем λ1 = a + bi, λ2 = a − bi,
a < 0 – устойчивый фокус (рис. 11Е; карточки для работы ва-
риант 10);
a > 0 – неустойчивый фокус (рис. 11Ж; карточки для работы
вариант 1);
5) чисто мнимые ( a = 0 ); тогда неподвижная точка – центр
(рис. 11З; карточки для работы вариант 12);
6) действительные равные и существуют два собственных линейно независимых вектора; тогда неподвижная точка – дикретический узел, причем
λ < 0 – устойчивый дикретический узел (рис. 11И; карточки для
работы вариант 5);
λ > 0 – неустойчивый дикретический узел (рис. 11Й; карточки
для работы вариант 6);
λ = 0 – устойчивая по Ляпунову точка (рис. 11К; карточки для
работы вариант 13);
7) действительные, равные и существует один собственный вектор и добавляем ортогональный вектор, называемый присоединенным; тогда неподвижная точка – вырожденный узел, причем
λ < 0 – устойчивый вырожденный узел (рис. 11Л; карточки для
работы вариант 8);
λ > 0 – неустойчивый вырожденный узел (рис. 11М; карточки
для работы вариант 9);
λ = 0 – неустойчивая точка (рис. 11Н; карточки для работы ва-
риант 7).
24
§ 2. Нелинейные системы двух дифференциальных уравнений
Наибольший интерес в динамике представляют нелинейные
системы, в чем мы убедились на примере нелинейных дифференциальных уравнений, которые более реально описывают процессы и явления, чем линейные системы. Для примера приведем следующую задачу о взаимодействии двух популяций.
Пусть необходимо записывать поголовье зайцев и волков заповедника. Кроме этого, будем иметь в виду идеальную ситуацию,
то есть в заповеднике имеются только зайцы и волки, исключим болезни, отсутствие корма. Так как волки питаются только зайцами,
то поголовье зайцев со временем уменьшится, а поголовье волков
увеличится. Зайцев становится меньше, волкам нечего есть, и они
умирают от голода. Теперь зайцев некому есть и их поголовье увеличивается, а волков нет. Требуется описать взаимодействие двух
популяций.
Пусть x – популяция зайцев, а y – популяция волков. Исследуем взаимодействие двух биологических видов хищник – жертва,
где член x характеризует прирост числа жертв; член − xy – гибель
жертв за счет взаимодействия с хищником; член xy – прирост хищников за счет поедания жертв; член − y – гибель хищников в случае
нехватки жертв. Тогда скорость изменения количества зайцев x '
можно описать, как x − xy , а скорость изменения количества волков
y ' можно описать как − y + xy . Если y → 0, x > 0 , популяция зайцев
может расти неограниченно, благодаря отсутствию поедающих их
волков, в противном случае x → 0, y > 0 популяция волков обречена
на вымирание из-за отсутствия корма. При сосуществовании обоих
видов имеется возможность баланса двух конкурирующих тенденций: волки сокращают популяцию зайцев и увеличивают свою собственную, находясь при этом под угрозой голодной смерти [23, с. 25].
⎧ x ' = x − xy,
⎨
⎩ y ' = − y + xy.
25
(3.4)
Следует обратить внимание на то, что студенты могут предложить иной способ задания системы (используя не прямую зависимость между численностью популяции, а обратную). В данном случае
рекомендуется провести исследование одной системы, а другую оставить на самостоятельное изучение.
У студентов возникает вопрос: как исследовать систему (3.4)?
Решение нелинейной системы найти достаточно сложно и зачастую
невозможно, в отличие от линейных. На данном этапе изучения материала студенты могут предложить провести качественное исследование,
то есть найти неподвижные точки, но определить их тип они не могут.
Найдем неподвижные точки системы (3.4). Тогда
 x  xy  0,

  y  xy  0.
(3.5)
Система (3.5) имеет два решения: O (0; 0), A(1;1) .
Далее необходимо определить тип точек. Появляется ряд вопросов: как исследовать точки на устойчивость; каков способ определения типа точки, если нам известна классификация неподвижных точек
линейных систем? Здесь придется воспользоваться не только аналогией
с линейными системами, но и проявить оригинальность мышления,
необходимо догадаться, как свести нелинейную систему к линейной.
Неподвижные точки нелинейных систем находятся аналогично, только для определения типа точки необходимо систему линеаризировать,
то есть заменить на линейную.
Студенты могут предложить следующий вариант: разложить правые части уравнений в ряд Тейлора в окрестности неподвижной точки.
Идея такова: пусть неподвижная точка имеет координаты
 x0 ; y0 
 x  f1 ( x, y ),
и дана нелинейная система 
 y  f 2 ( x, y ).
Тогда разложение в ряд можно записать следующим образом:
f1 ( x, y )  f1x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f1y ( x0 , y 0 )  ( y  y0 ) 
 f1xy ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  ( y  y 0 ) 
26
f1yy ( x0 , y 0 )
2!
f1xx ( x0 , y0 )
2!
 ( x  x0 ) 2 
 ( y  y0 ) 2  
f 2 ( x, y)  f 2x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f 2 y ( x0 , y0 )  ( y  y0 ) 
 f 2xy ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  ( y  y0 ) 
f 2yy ( x0 , y0 )
2!
f 2xx ( x0 , y0 )
2!
 ( x  x0 )2 
 ( y  y0 ) 2  
Если пренебречь членами более высокого порядка, оставив
только линейные множители, то
 x  f1x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f1y ( x0 , y0 )  ( y  y0 ),

 y  f 2 x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f 2 y ( x0 , y0 )  ( y  y0 ).
Так как производная от постоянной равна нулю, x '   x  x0  '
и y '   y  y0  '
( x  x0 )  f1x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f1y ( x0 , y0 )  ( y  y0 ),

( y  y0 )  f 2 x ( x0 , y0 )  ( x  x0 )  f 2 y ( x0 , y0 )  ( y  y0 ).
Переобозначим x  x  x0 и y  y  y0 и получим линеаризированную систему
 x  f1x ( x0 , y0 )  x  f1y ( x0 , y0 )  y,

 y  f 2 x ( x0 , y0 )  x  f 2 y ( x0 , y0 )  y.
Тогда в нашем случае:


 x  xy   1  y ,  x  xy    x ;
y
x


  y  xy   y , y   y  xy   1  x .
x
Линеаризуем систему (3.4) и получим:
 x '  1  y0  x  x0 y ,

 y '  y0 x   x0  1 y.
Составим характеристическое уравнение системы (3.6).
1  y0  
y0
 x0
 0;  2   y0  x0    x0  y0  1  0.
x0  1  
27
(3.6)
Характеристическое уравнение, соответствующее точке O ,
 2  1  0 имеет положительный и отрицательный корни, следовательно, точка O является седлом, в которой система (3.4) неустойчива.
Характеристическое уравнение, соответствующее точке A ,  2  1  0
имеет два мнимых корня с нулевой действительной частью, следовательно, точка A является центром, в которой система (3.4) устойчива
по Ляпунову [4, с. 206].
Таким образом, можно сформулировать теорему о линеаризации, которая устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой неподвижной точки с фазовым портретом линеаризованной системы.
 x  f1 ( x, y ),
Теорема. Пусть нелинейная система 
имеет непод y  f 2 ( x, y ).
вижную точку  x0 , y0  . Тогда в окрестности неподвижной точки фазовые портреты этой системы и ее линеаризации качественно эквивалентны (то есть между фазовыми портретами существует непрерывное взаимно однозначное отображение), если только неподвижная
точка не является центром [19, с. 136].
Если обозначить a1 
f1
x
; b1 
x0 , y0
f 2
x
; a2 
x0 , y0
f1
y
; b2 
x0 , y0
f 2
y
,
x0 , y0
 x  a1 x  a2 y,
тогда 
– линеаризованная система для нелинейной
 y  b1 x  b2 y
системы.
Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует узлу (устойчивому, неустойчивому), фокусу (устойчивому,
неустойчивому), седлу, то такой же тип имеет и исследуемая неподвижная точка нелинейной системы [19, с. 123].
Мы провели анализ данной системы. Определили наличие
в ней неподвижных точек, ни одна из которых не является устойчивой асимптотически. Для полного исследования необходимо построить фазовый портрет, то есть определить имеются ли другие устойчивые множества.
28
Складывается вопрос: как же выполнить это? Студенты могут
предложить несколько вариантов: попробовать найти решение системы, воспользоваться численными методами и т. д., тем самым мы
развиваем ряд качеств, таких как оригинальность, беглость и гибкость мышления.
Следуя работе [6], напомним о численном решении систем
дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть требуется найти решение задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных:
 x1 '  f1  t , x1 ,..., x n  ,

 x 2 '  f 2  t , x1 ,..., xn  ,

...
 x '  f  t , x ,..., x  ,
n
1
n
 n
 x1  t 0   x10 ,

0
 x2  t0   x2 ,

...
 x t  x0.
n
 n 0
Можно применять любой из численных методов, изучавшихся
в курсе «Численные методы».
В случае, когда функции fi зависят от t , то используется явнонеявный метод Эйлера (предиктор-корректорный метод Адамса первого порядка):
yi 1  yi  h  f ( xi , yi ),
~

~
 yi 1  yi  h  f ( xi 1 , yi 1 ).
В случае, когда функции f i не зависят от x , используется самый простой метод – явный метод Эйлера:
yi 1  yi  h  f  xi , yi  .
Можно выбрать и другие численные методы приближенного
решения дифференциальных уравнений.
Пусть мы имеем систему двух дифференциальных уравнений
 x  f1 ( x, y ),

 y   f 2 ( x, y ).
29
Решение системы можно найти следующим образом:
 xi1  xi  h  f1 ( xi , yi ),

 yi 1  yi  h  f 2 ( xi , yi ).
В данном случае рекомендуется запрограммировать построение фазового портрета с помощью численных методов (см. прил. 2,
программа 4). Исходя из рассуждений, проведенных ранее, и исследования системы разными методами строится фазовый портрет системы (3.4) (рис. 12).
Рис. 12. Фазовый портрет системы (3.4)
Интерпретируем проведенное исследование. Вблизи нуля траекторией является гипербола и направление движения от нуля к бесконечности, что подтверждает рассуждения, сделанные вначале. Другая
неподвижная точка – центр, то есть траектории вблизи нее – подобие
эллипсов, таким образом, изменение численности популяций происходит по циклу, описанному при анализе условия задачи.
Далее исследуем другую систему, более сложную:
 x '  y,

 y '   y  sin x.
(3.7)
Найдем неподвижные точки системы (3.7):
 y  0,

 y  sin x  0.
(3.8)
Система (3.8) имеет бесконечно много решений – точки
A( n;0), n  Z , то есть A1 (2 k ; 0), k  Z , A2 ( (2k  1); 0), k  Z .
30
Для того чтобы определить тип точек, линеаризуем систему
(3.7). Пусть неподвижная точка имеет координаты  x0 ; y0  .


 y  0 ,  y  1 ,
y
x


  y  sin x   cos x ,  y  sin x  1 .
y
x
Получим
 x '  0  x  y,

 y '   cos x0  x  y.
Так как
cos 2k  1
n
cos  n  
  1 ,
cos  2k  1   1
тогда
 x '  y,

n 1
 y '  (1) x  y.
(3.9)
Составим характеристическое уравнение системы (3.9):

(1)n 1
1
 0;  2    (1) n  0.
1  
Характеристическое уравнение, соответствующее точкам A1 ,
 2    1  0 имеет два мнимых корня с отрицательными действитель-
ными частями, следовательно, точки A1 являются устойчивыми фокусами. Характеристическое уравнение, соответствующее точкам A2 ,
 2    1  0 имеет положительный и отрицательный корни, следова-
тельно, точки A2 является седлами.
С помощью численных методов и среды Turbo Pascal строим
фазовый портрет системы (3.7) (рис. 13; см. прил. 2, программа 5).
31
Рис. 13. Фазовый портрет системы (3.7)
Рассмотрели более сложную систему и закрепили этапы исследования нелинейных систем.
§ 3. Системы двух дифференциальных уравнений,
содержащих предельные циклы
После исследования нескольких нелинейных систем идут примеры систем, имеющих предельный цикл. Тем самым показать особенность нелинейных систем. Любая линейная система имеет неподвижные точки, которые легко можно найти, но только некоторые нелинейные системы дадут в фазовом портрете такую особую траекторию как предельный цикл. Рассмотрим задачу, приведенную в нескольких работах [7, 15, 19].
 x '  2x  y  x  x2  y 2  ,

Исследовать систему 
2
2
 y '  x  2 y  y  x  y  .
(3.10)
Проведем исследование по плану, который был установлен ранее при исследовании других нелинейных систем, то есть проведем
качественное исследование: найдем неподвижные точки системы, определим их тип; построим фазовый портрет с помощью численных
методов в среде Turbo Pascal.
32
Найдем неподвижные точки системы (3.10).
2 x  y  x  x 2  y 2   0,


2
2
 x  2 y  y  x  y   0.
(3.11)
1) если x  0 , то y  0 ; 2) если y  0 , то x  0 ; 3) x  0; y  0 .
Из второго уравнения выразим x 2  y 2 и подставим в первое:

 x  2y 
2 x  y  x 
  0,

 y 

 x2  y 2  x  2 y .

y
x2
Преобразовав первое уравнение, получим 2 x  y   2 x  0 , следоваy
тельно,  y 
x2
 0 , тогда y 2   x 2 , а данное уравнение не имеет решеy
ния ни при каких значениях переменных.
Система (3.11) имеет единственное решение O(0;0) . Для того
чтобы определить тип точки, линеаризуем систему (3.10) в окрестности точки О.
Найдем частные производные правых частей уравнений системы (3.10):


2 x  y  xx 2  y 2   1  2 xy
2 x  y  x x 2  y 2  2  3x 2  y 2 ;
y
x







x  2 y  y x 2  y 2  1  2 xy ;
x  2 y  y x 2  y 2   2  x 2  3 y 2
y
x

Тогда
b2  2  x 2  3 y 2
a1  2  3 x 2  y 2
 0;0



 0;0 

b1  1  2 xy  0;0  ,
,
a2  1  2 xy  0;0 ,
.
В нашем случае
 x '  2 x  y,

 y '  x  2 y.
33
(3.12)
Составим характеристическое уравнение системы (3.12).
2
1
1
 0;  2  4  5  0.
2
Характеристическое уравнение имеет два мнимых корня 2  i
с положительной действительной частью, следовательно, точка O является неустойчивым фокусом.
При исследовании получилось выявить только одну точку, которая к тому же является неустойчивой.
Далее следует предложить студентам построить фазовый портрет системы в среде Turbo Pascal (рис. 14; см. прил. 2, программа 6).
Рис. 14. Фазовый портрет системы (3.10)
В результате построения обнаруживается траектория, попадая
на которую точки остаются на ней. Предложим студентам взять другие начальные условия (можно неоднократно) и опять получаем траекторию – окружность, к которой стремятся все траектории вне зависимости от начальных условий.
Далее необходимо сказать, что такой вид траектории называется
предельным циклом и ввести это понятие.
Замкнутая траектория на фазовом портрете называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий, точнее, если не существует окрестности, не содержащей других
34
замкнутых траекторий. Проиллюстрируем определение (рис. 15):
необходимо отличать наличие предельного цикла и центра в фазовом
портрете [19].
А)
Б)
Рис. 15. Окрестности точки О (0; 0): А) центр; Б) предельный цикл
Существует три типа предельных циклов:
1) устойчивый (притягивающий) предельный цикл, когда траектории навиваются на предельный цикл с обеих сторон при t  
(рис. 16);
2) неустойчивый (отталкивающий) предельный цикл, когда
траектории – спирали, удаляющиеся от предельного цикла с обеих
сторон при t   (рис. 17);
3) полуустойчивый предельный цикл, когда траектории навиваются на замкнутую траекторию с одной сторон и удаляются от нее
с другой (рис. 18) [19].
Рис. 16. Устойчивый предельный цикл
35
Рис. 17. Неустойчивый предельный цикл
Рис. 18. Полуустойчивый предельный цикл
Теперь необходимо определить уравнение предельного цикла,
для этого целесообразно перейти в полярные координаты.
Если
⎧ x = r ⋅ cos ϕ ,
⎨
⎩ y = r ⋅ sin ϕ ,
то
⎧⎪( r ⋅ cos ϕ ) ' = 2r ⋅ cos ϕ − r ⋅ sin ϕ − r 3 ⋅ cos ϕ ,
⎨
3
⎪⎩( r ⋅ sin ϕ ) ' = r ⋅ cos ϕ + 2r ⋅ sin ϕ − r ⋅ sin ϕ ,
⎧⎪r '⋅ cos ϕ − r ⋅ sin ϕ ⋅ ϕ ' = 2r ⋅ cos ϕ − r ⋅ sin ϕ − r 3 ⋅ cos ϕ ,
следовательно, ⎨
3
⎪⎩r '⋅ sin ϕ + r ⋅ cos ϕ ⋅ ϕ ' = r ⋅ cos ϕ + 2r ⋅ sin ϕ − r ⋅ sin ϕ .
Умножим первое равенство на cos ϕ , а второе – на sin ϕ и сложим равенства:
⎧⎪r ′ ⋅ cos 2 ϕ − r ⋅ cosϕ ⋅ sin ϕ ⋅ ϕ ′ = 2r ⋅ cos 2 ϕ − r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ − r 3 ⋅ cos 2 ϕ ,
⎨
⎪⎩r ′ ⋅ sin 2 ϕ + r ⋅ sin ϕ ⋅ cosϕ ⋅ ϕ ′ = r ⋅ cosϕ ⋅ sin ϕ + 2r ⋅ sin 2 ϕ − r 3 ⋅ sin 2 ϕ ,
тогда r ' = 2r − r 3 .
36
Умножим первое равенство на sin  , а второе – на cos  и из
второго равенства вычтем первое равенство:
r   cos   sin   r  sin 2      2r  cos   sin   r  sin 2   r 3  cos   sin  ,

r   sin   cos   r  cos2      r  cos 2   2r  sin   cos   r 3  sin   cos  ,
тогда  '  1 .
Получаем следующую систему:
 r '  r  2  r 2  ,

 '  1.
(3.13)
Найдем неподвижные точки системы (3.13): r  2  r 2   0 , следовательно, r1  0, r2  2 ; r1  0 соответствует неподвижной точке системы (3.10) O  0;0  ; r2  2 соответствует предельному циклу, который является окружности радиуса 2 .
В результате решения данного задания студенты видят необычность и важность нелинейных систем, так как в линейных системах
возможно появление только неподвижной точки.
Далее следует привести несколько примеров систем, в которых имеются предельные циклы, устойчивые или нет, являющиеся
замкнутой кривой, необязательно окружностью. В качестве такого
примера можно предложить исследовать поведение системы
x '' a 1  bx 2  x ' x  0 , предварительно сведя ее к системе двух диффе-
ренциальных уравнений.
37
ГЛАВА
4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Исследовать рост населения г. Костромы, описав системы с
помощью нелинейного дифференциального уравнения.
2. Исследовать поведение системы x '  x 2   в зависимости от
изменения параметра  .
3. Описать взаимодействие популяций двух видов – А и В – при
условии, что популяция В гибнет с постоянной скоростью c .
4. Описать взаимодействие популяций двух видов: А и В.
5. Исследовать поведение систем:
 x '  x,
А) 
2
y'  y
 x  2 y   (12 x 2  3 x 3 ),
Б) 
 y   12 x  3 x 2  2y.
 x  k1 x 2  k 2 x 3  x,
6. Исследовать поведение системы 
в зави y   k3 y
симости от изменения параметра  .
7. Исследовать системы:
wxy
 
x

r
(
1

xk
)
x

,

dx
А) 
 y  s1  jy  y.
x 


38
 x  2 y   ( y 2  2 x 2  x 4 )(4 x  4 x 3 ),
Б) 
 y  4 x  4 x 3   ( y 2  2 x 2  x 4 )2 y.
 x  x  y  x( x 2  y 2 ),
8. Исследовать поведение системы 
в за y  x  y  y ( x 2  y 2 )
висимости от изменения параметра  .
9. Исследовать систему, заданную в полярной системе коорди-


    (    12 ,
при   1 в зависимости от изменения пара


1
,

нат, 
метра  .
39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Материал, изложенный в данном пособии, является основой линейной и нелинейной динамики, дающий возможность изучения других разделов динамики и представляет собой методическую разработку некоторых тем курса. В пособии особое внимание уделяется непрерывным динамическим системам, которые задаются дифференциальным уравнением или системой двух дифференциальных уравнений
и методике исследования данных систем на занятиях.
Изучение разделов, приведенных в пособии, позволяет, во-первых, взглянуть на дифференциальные уравнения как способ моделирования явлений физики, техники, а также биологии, химии, психологии и других наук; во-вторых, изучить нелинейные системы двух
дифференциальных уравнений и способы их исследования; в-третьих,
использовать при исследовании систем компьютер, позволяющий
строить фазовые портреты и проводить эксперименты. Кроме того,
в данном пособии приводятся задания для самостоятельной работы,
позволяющие проверить усвоение знаний студентов.
40
ПРИЛОЖЕНИЕ
1
1. Понятие динамической системы
Что же такое динамическая система? Проще всего это понять, рассмотрев пример, разобранный в главе 3. Пусть необходимо записывать
поголовье зайцев и волков заповедника. Кроме этого, будем иметь в виду идеальную ситуацию, то есть в заповеднике имеются только зайцы
и волки, исключим болезни, отсутствие корма. Так как волки питаются
только зайцами, то поголовье зайцев со временем уменьшится, а поголовье волков увеличится. Зайцев становится меньше, а волкам нечего есть,
и они умирают от голода. Теперь зайцев некому есть, и их поголовье
увеличивается, а поголовье волков уменьшилось. Следовательно,
у нас появилась некая закономерность и процесс в заповеднике «зациклился» – стал периодическим, и мы получили динамическую систему, которую называют система «жертва – хищник». Если изобразить
данную ситуацию на графике, то получим кривую – эллипс (рис. 19).
Рис. 19. Система «жертва – хищник»
Закономерности поддаются многие процессы, например движение маятника часов, система «Солнце – планеты», в которой планеты
вращаются вокруг Солнца.
41
Мы привели примеры динамических систем. Поясним теперь,
что именно мы будем понимать под этим термином.
Вообще говоря, в разных книгах можно найти различные толкования этого термина, например такие:
 это синоним термина «автономная система обыкновенных
дифференциальных уравнений»: x  g ( x) [12];
 это математическая модель некоторой механической системы [18].
 это система любой природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени [9].
Наиболее общее определение дает А. И. Чуличков в книге «Математические модели нелинейной динамики». Под динамической системой он понимает или объект, или процесс, для которых однозначно
определено понятие состояния как совокупности значений некоторых
величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий
эволюцию начального состояния во времени [24].
x
 (x)
Пространство
состояний
Рис. 20. Полет камня
Поясним данное определение на примере, рассмотренном
в книге Ильяшенко [11]. Например, рассмотрим полет камня под действием некоторых сил. Состояние камня определяется его положением в пространстве, то есть тремя координатами, и скоростью – еще
тремя координатами вектора скорости. Этот набор из шести чисел
можно рассматривать как точку в некотором воображаемом шестимерном пространстве, точно так же, как можно рассматривать две координаты, задающие точку на плоскости. Силы, действующие на летящий
42
камень, позволяют вычислить в пространстве вектор, который указывает, как меняется положение камня. Поэтому эволюционные процессы
описываются следующей картинкой: имеется пространство состояний,
и к каждой точке этого пространства приложен вектор.
Со временем состояние меняется – это и есть эволюция (рис. 20, [11]).
2. Классификация динамических систем
Если исследователя интересуют состояния динамических систем
в любой момент времени на заданном интервале, то говорят о системах
с непрерывным временем и для описания их эволюции используют, как
правило, дифференциальные уравнения или их системы. Если же для
описания поведения систем достаточно знать их состояние в конечном
или счетном числе моментов времени, то говорят о системах с дискретным временем и для описания их развития используют дискретные
отображения, например разностные уравнения [24].
Рассмотрим пример, приведенный в главе 3. Если наблюдателю
необходимо определять поголовье зайцев и волков в любой момент
времени, то динамическая система «жертва – хищник» будет непрерывной. М. Табор в книге «Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике» предлагает следующее описание данной системы
 x  x  xy,

 y    y  xy,
введенной Вольтером для изучения популяционной динамики. Приведенная система является самым простым примером, описания системы [23, с. 25].
Если же наблюдателю необходимо знать поголовье животных
только раз в месяц или раз в неделю, кроме этого, важность представляет только одна популяция на изолированной территории в независимости от другой популяции, то динамическая система «жертва –
хищник» будет дискретной. Например, в книге «Введение в нелинейную динамику» В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский
предлагают описание системы логистическим отображением. Пусть xn
43
представляет численность популяции в год с номером n , тогда численность популяции в данный год xn1 , зависимость от того, сколько
животных было год назад. Эту зависимость можно определить логистическим отображением: xn 1  r  xn 1  xn  , где r – плодовитость животных. Очевидно, что величина 1  xn пропорциональна количеству
имеющейся пищи. Иными словами, по мере того как число животных
приближается к допустимому значению (единице), количество пищи,
постоянно сокращается, приближаясь к нулю, то есть 0  xn  1 . Это
условие обеспечивается при 0  r  4 [8, с. 155].
Таким образом, система «хищник – жертва» может быть описана
двумя способами. Задание системы непрерывно дает возможность описать взаимодействие двух популяций, нахождение изменений количеств
особей как хищников, так и жертв в любой момент времени. Исследование непрерывной динамической системы непосредственно связано с качественной теорией дифференциальных уравнений и анализом сложных
математических моделей, но изучение системы «хищник – жертва» дает
простой фазовый портрет и аттрактор – неподвижную точку.
Задав дискретную динамическую систему «хищник – жертва»,
мы можем наблюдать только за изменением популяции хищника в зависимости от популяции жертвы, но об изменении популяции жертвы
сказать ничего не можем, в итоге получаем простое одномерное отображение, которое обладает интереснейшими свойствами, наблюдаемыми при изменении параметра r и приводящими к процессу, характеризующемуся хаотичностью.
Приведем еще несколько примеров как дискретных, так и непрерывных систем.
Одна из первых математических моделей, представляющая
собой дискретную динамическую систему, возникла в задаче Леонардо из Пизы, предложенной в начале XIII в. Леонардо сформулировал свою задачу так: «Некто поместил пару кроликов в загоне,
огороженном со всех сторон, дабы знать, сколько пар кроликов родится в течение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство дают они
со второго месяца после своего рождения. Поскольку первая пара
44
в первом месяце дает потомство, то удвой число кроликов, и в первом месяце окажутся две пары. Из них одна пара, а именно первая,
дает потомство и в следующем месяце, так что во втором месяце
окажутся три пары... Сколько пар произвела первая пара в загоне
к концу одного года?»
Количество пар кроликов в месяц можно получить с помощью
следующего разностного уравнения: f ( n 2) ( x0 )  f ( n1) ( x0 )  f ( n ) ( x0 ) .
Еще один пример дискретной динамической системы: рассмотрим остроугольный треугольник ABC (рис. 21). Проведем в нем высоты. Обозначим их основания (то есть точки, где они пересекаются с
соответствующими сторонами) через A1 , B1 , C1 . Рассмотрим треугольник A1 , B1 , C1 и обозначим основания высот в нем через A2 , B2 , C2 . И
т. д. Обозначим углы треугольника A1 , B1 , C1 – 1 , 1 ,  1 , треугольника
A2 , B2 , C2 через  2 ,  2 ,  2 . Эволюцию данной динамической системы
можно описать с помощью трех разностных уравнений:
Рис. 21. Треугольники
ABC
и
A1B1C1
0
AC1C  AAC
1  90 ( AA1 и CC1 – высоты треугольника ABC ), сле-
довательно, точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности с диаметром AC ,
так как точки A1 , C1 видны под одним углом. Таким образом, AC1 AC
–
1
вписанный четырехугольник, следовательно, C1 AC  C1 A`1C  1800 ,


AA1C  900 и C1 AC   . C1 A1 A  1800    900  900   , следова-
тельно, C1 A1 B1  2C1 A1 A (по свойству ортотреугольника: высоты
треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника, то есть
AA1 биссектриса C1 A1B1 ), C1 A1 B1  2  90 0     180 0  2    2 .
45
Аналогично получаем, что A1 B1C1    2  , A1C1B1    2 .
В итоге отображение можно задать следующим образом:
 n 1    2 n ,
 n1    2 n ,
 n1    2 n .
В качестве дополнительной задачи можно предложить рассмотреть прямоугольный и тупоугольный треугольники.
Рассмотрим пример непрерывной динамической системы. Гармонические колебания – динамическая система. Данная систему можно описать следующим обыкновенным дифференциальным уравнением с начальными условиями: x   x; x(0)  x0 , x(0)  v0 , которое описывает движение материальной точки, которая перемещается вдоль прямой под действием возрастающей силы, пропорциональной смещению
точки из состояния равновесия х = 0. Данное уравнение можно свести
к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
 x  p,

 p   x ,
x (0)  x0 , p(0)  v0 .
Значения координаты х материальной точки и ее импульса p  x
полностью описывает состояние механической системы в момент времени t. Фазовыми координатами в этом случае является пара (х, р).
Рис. 22. Поведение маятника
На фазовой плоскости фазовые траектории являются окружностями, радиусы которых определяются начальными условиями (рис. 22;
подробнее см. [24]).
46
Кроме дискретных и непрерывных систем, как было сказано выше, можно выделить линейные и нелинейные динамические системы.
Под линейными будем понимать системы, в которых оператор,
определяющий эволюцию начального состояния во времени, является
линейным, то есть переменные входят в систему в первой степени, не
перемножаясь между собой. В противном случае они называются нелинейными.
Например, линейными дискретными динамическими системами
являются примеры о кроликах и об углах треугольника, а линейной
непрерывной системой являются гармонические колебания. Нелинейной системой является система «жертва – хищник».
Нас в большей степени будут интересовать непрерывные динамические системы, которые задаются системой дифференциальных
уравнений. Рассмотрим подробнее именно их.
Пусть набор чисел x   x1 , x2 ,..., xn  в некоторый момент времени
описывает состояние динамической системы, и разным наборам
 x1 , x2 ,..., xn  соответствуют разные состояния. Зададим эволюционный
оператор, указав скорость изменения каждого состояния системы:
dxi
 f i ( x1 , x2 ,, xn ), i  1,, n ,
dt
(1)
где х – точка евклидова пространства R n , называемого фазовым пространством, х называется фазовой точкой. Системы вида (1), в которых
правая часть не зависит явно от времени, называются автономными.
Если систему уравнений дополнить начальными условиями х(0) = х0,
то получим начальную задачу для уравнений (1), или задачу Коши.
Ее решение  x (t ), t  0 , рассматриваемое как множество точек фазового пространства R n , образует фазовую траекторию, а движение вдоль
траектории – фазовым потоком. В фазовом пространстве правые части
системы уравнений (1) задают векторное поле скоростей, сопоставляющее всякой точке х вектор f ( x) , выходящий из точки х; здесь
f (x)   f1(x1, x2 ,..., xn ),..., fn (x1, x2 ,..., xn ) . Фазовые траектории и векторное
поле скоростей дают наглядное представление о характере поведения
системы с течением времени. Фундаментальным свойством уравнений
47
является их однозначность, различные фазовые траектории не пересекаются. Если множество различных решений (соответствующих различным начальным условиям) изобразить на одной фазовой плоскости, возникает общая картина поведения системы. Множества фазовых траекторий, соответствующие различным начальным условиям, образуют фазовый портрет динамической системы (см. подробнее [4], [12], [20]).
Таким образом, в фазовом пространстве оказывается заданным
векторное поле скоростей f ( x) , которое можно истолковать как стационарный (не зависящий от времени) фазовый поток, тогда как каждое решение x(t ) уравнения (1) описывает закон движения фазовой
точки в этом потоке. Термин «фазовый поток» часто используют, когда говорят о динамике системы в целом, а не об эволюции конкретной фазовой точки.
Пусть x(t ) – решение динамической системы (1). Фазовая траектория может быть только одного из трех типов:
1) непериодическая, для которой x  t1   x  t2  при t1  t2 , называемая незамкнутой траекторией;
2) периодическая, для которой найдется такое число T  0 , что
x  t  T   x  t  , а x  t1   x  t2  при 0  t1  t2  T , называемая замкнутой
траекторией или циклом;
3) постоянная, для которой x  t   x0 , называемая неподвижной
точкой.
Вследствие того что фундаментальным свойством решений дифференциальных уравнений является их единственность, различные фазовые траектории не пересекаются! Таким образом, если динамическая
система задана уравнением, то постулируется, что каждому начальному
значению ставится в соответствие единственная траектория. На основании выше сформулированного свойства решений уравнения можно сделать вывод, что на фазовой плоскости возможно только три поведения:
совершать периодическое движение, неограниченно стремиться к неподвижной точке, неограниченно удаляться от неподвижной точки [8].
Наличие определенного вида траектории дает возможность определить поведении других траекторий вблизи данной.
48
3. Понятие устойчивости
Объясним понятие устойчивости на примере, а затем дадим
строгое определение. Пусть есть некий механизм, работающий в определенном режиме. Этот режим называется устойчивым, если малое
изменение начального положения механизма повлечет за собой соответственно малое изменение режима работы. А если, кроме того, с течением времени режим работы при малоизмененных условиях станет
практически неотличим от неизмененного, то последний называется
асимптотически устойчивым. Соответственно, неустойчивым режимом называется режим, для которого малое изменение начального положения механизма сильно изменит режим работы, то есть в конечном счете механизм перестанет действовать [25].
Сформулируем более строго определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости и неустойчивости (см. подробнее [5], [10]).
Пусть дана система x '  f ( x) .
Решение x0(t) системы называется устойчивым по Ляпунову
(или, короче, устойчивым), если для любого  > 0 найдется такое  > 0,
что для всякого решения х(t) той же системы, значения которой в точке t0 удовлетворяет неравенству |х(t0) – x0(t0)| < , для всех t  t0 справедливо неравенство |х(t) – х0(t)| <  t  t0 [12].
Иными словами, решение х0(t) устойчиво, если
достаточно близкие к нему
в любой начальный момент t0
решения х(t) целиком погружаются в сколь угодно узкую
-трубку построенную, вокруг
решения х0(t) (рис. 23).
Рис. 23. Устойчивость по Ляпунову
Решение х0(t) системы называется асимптотически устойчивым,
если решение х0(t) устойчиво по Ляпунову и, кроме этого,
lim | x(t )  x0 (t ) | 0 [12].
t 
49
Таким образом, асимптотическая
устойчивость есть «устойчивость с нагрузкой», то есть устойчивость при наличии
дополнительных условий. Все решения
х0(t) при начальных данных (t0, x0 + x),
близкие в начальный момент t0 к решению х0(t) (то есть начинающиеся в пределах -трубки), не выходят за пределы трубки при всех значениях t  t0 (рис. 24).
Рис. 24. Асимптотическая
устойчивость
Решение x0(t) будем называть неустойчивым по Ляпунову, если
для некоторых  > 0 и любых  > 0 существует решение х(t) (хотя бы
одно) и момент t1 = t1() > t0 такие, что
|х(t0) – х0(t0)| <  и |х(t) – х0(t)|   [12].
Среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х0(t), найдется
хотя бы одно, которое в некоторый момент
t1 (свой для каждого такого решения)
выйдет за пределы -трубки (рис. 25).
Особое место занимают устойчивые
траектории, которые необходимо выделить
Рис. 25. Неустойчивость
отдельно, назвав их аттракторами.
50
ПРИЛОЖЕНИЕ
2
Приведем программы построения фазовых портретов рассмотренных выше примеров, составленные в среде Turbo Pascal:
Программа 1:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=150;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c: integer; z,x,y: real; t: array [0..640] of pointtype;
begin gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\');
cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
for c:=-5 to 5 do begin
for i:=0 to 640 do begin
x:=(i-s1)/m; y:=c1*exp(-а*x);
t[i].x:=s1+round(x*m); t[i].y:=s2-round(y*m);
end; drawpoly(getmaxx,t); end;
readln; closegraph; end.
Программа 2:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=50;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c1,c2: integer; z,x,y: real;
51
t: array [0..640] of pointtype;
begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\');
cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
for c1:=-5 to -2 do begin for i:=0 to 640 do begin
x:=(i-s1)/m; y:=(2-2*c1*exp(x))/(1+c1*exp(x));
t[i].x:=s1+round(x*m); t[i].y:=s2-round(y*m); end;
drawpoly(getmaxx,t); end;
for c1:=0 to 5 do begin for i:=0 to 640 do begin
x:=(i-s1)/m; y:=(2-2*c1*exp(x))/(1+c1*exp(x));
t[i].x:=s1+round(x*m); t[i].y:=s2-round(y*m); end;
drawpoly(getmaxx,t); end;
readln; closegraph;
end.
Программа 3:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=150;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c1,c2: integer; z,x,y: real;
t: array [0..640] of pointtype;
begin gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\');
cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
for c1:=-3 to 3 do begin for c2:=-3 to 3 do begin for i:=0 to 640 do begin
z:=(i-s1)/m; x:=c1*exp(-2*z)+c2*exp(-5*z);
y:=0.5*c1*exp(-2*z)-c2*exp(-5*z);
t[i].x:=s1+round(x*m); t[i].y:=s2-round(y*m);
end; drawpoly(getmaxx,t); end; end;
readln; closegraph; end.
52
Программа 4:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=50;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c1,c2: integer; z,x,y,x1,y1,x2,y2,h: real;
t: array [0..640] of pointtype;
procedure graf(x,y: real);
begin
repeat
x2:=x; y2:=y;
x1:=x+h*(X-X*Y); y1:=y+h*(-y+X*Y);
x:=x1; y:=y1;
putpixel(s1+round(x*m),s2-round(y*m),9);
until (x=x2) and (y=y2);
end;
begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\');
cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
h:=0.01; graf(2,1);
readln; closegraph;
end.
Программа 5:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=50;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c1,c2: integer; z,x,y,x1,y1,x2,y2,h: real;
procedure graf(x,y: real); begin
repeat x2:=x; y2:=y;
x1:=x+h*y; y1:=y+h*(-y-sin(x));
x:=x1; y:=y1;
53
putpixel(s1+round(x*m),s2-round(y*m),9);
until (x=x2) and (y=y2); end;
begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\'); cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
h:=0.001; graf(-pi,-0.1); graf(-pi,0.1); graf(pi,0.1); graf(pi,-0.1);
graf(-4,4); graf(-7,4); readln; closegraph; end.
Программа 6:
program zadacha;
uses crt, graph;
const m=50;
var gd,gm,i,j,s1,s2,c1,c2: integer; z,x,y,x1,y1,x2,y2,h: real;
procedure graf(x,y: real); begin
repeat x2:=x; y2:=y;
x1:=x+h*(2*x-y-x*(x*x+y*y)); y1:=y+h*(2*y+x-y*(x*x+y*y));
x:=x1; y:=y1;
putpixel(s1+round(x*m),s2-round(y*m),9);
until keypressed; end;
begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'C:\tp7\bgi\'); cleardevice;
s1:=getmaxx div 2; s2:=getmaxy div 2;
line(0,s2,getmaxx,s2); line(s1,0,s1,getmaxy);
h:=0.001;
graf(0,0.1);
readln; closegraph; end.
54
ПРИЛОЖЕНИЕ
3
Программа спецкурса
«Формирование креативности студентов
при изучении непрерывных динамических систем»
Общий объем – 100 часов, из них аудиторных – 64 часа (32 –
лекционных, 32 – практических) и 36 часов для самостоятельной работы (восьмой семестр).
Пояснительная записка к спецкурсу
В рамках данного спецкурса предусматривается изучение динамических систем как линейных, так и нелинейных.
Динамические системы служат основой математического моделирования процессов и явлений, наблюдаемых в природе и других сферах
жизни. С помощью динамических систем можно описывать не только
физические и технические процессы, но и психологические, экономические, химические, биологические и так далее, то есть динамические системы являются способом описания всевозможных явлений.
Цели курса:
1. Изучить основные понятия нелинейной динамики.
2. Познакомить с историей развития нелинейной динамики.
3. Сформировать умение исследовать системы различными способами, проводить качественное исследование и моделировать поведение системы с помощью компьютера.
Студент должен уметь:
1) оперировать основными понятиями;
2) исследовать системы и проводить качественное исследование;
3) моделировать поведение системы с помощью компьютера.
55
Объем дисциплины и виды учебной работы
Виды учебных занятий
Всего часов
Общая трудоемкость
100
Аудиторные занятия
64
Лекции
32
Практические занятия
32
Самостоятельная работа
36
Вид итогового контроля:
зачет
Примечание: дисциплина изучается в 8-м семестре.
Тематический план дисциплины
№
п/п
Наименование темы
Всего
часов
Аудиторные занятия
Всего
Лекции
Практ.
занятия
Самост.
работа
1
Динамические системы
6
4
2
2
2
2
Непрерывные динамические системы
10
8
4
4
2
3
Динамические системы,
заданные дифференциальным уравнением или системой двух дифференциальных уравнений
32
20
10
10
12
4
Динамические системы,
заданные системой трех
дифференциальных уравнений
16
8
4
4
8
5
Аттракторы
24
16
8
8
8
6
Связь динамических систем с фракталами и теорией
хаоса
12
8
4
4
4
Итого
100
64
32
32
36
56
Содержание спецкурса
Тема № 1. Динамические системы. Определение динамической системы. Классификация динамических систем: линейные и нелинейные, дискретные и непрерывные, консервативные и диссипативные. История развития нелинейной динамики.
Тема № 2. Непрерывные динамические системы. Основные
понятия и примеры непрерывных динамических систем.
Тема № 3. Динамические системы, заданные дифференциальным уравнением или системой двух дифференциальных уравнений. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Линейные и нелинейные системы двух дифференциальных уравнений и
системы, содержащие предельный цикл. Связь непрерывных динамических систем с дискретными. Понятие бифуркации и ее типы.
Тема №4. Динамические системы, заданные системой трех
дифференциальных уравнений. Линейные и нелинейные системы
трех дифференциальных уравнений. Система Лоренца, Рессера.
Тема № 5. Аттракторы. Регулярные и странные аттракторы
дискретных и непрерывных систем.
Тема № 6. Связь динамических систем с фракталами и теорией хаоса. Аттракторы, имеющие фрактальную структуру. Динамические системы с хаотическим поведением.
57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК
1. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. – М.:
Изд-во ЛКИ, 2008. – 224 с.
2. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса
в радиофизических системах. – М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит.,
1990. – 312 с.
3. Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. – М.: МЦНМО, 2000. – 32 с.
4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –
Ижевск: Ижев. респ. типогр., 2000. – 368 с.
5. Былов Б.Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложение к
вопросам устойчивости. – М., 1966. – 570 с.
6. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие
для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.: ил.
7. Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств // Соровский образовательный журнал. – 1998. – № 1. – С. 122–127.
8. Гринченко В. Т. Введение в нелинейную динамику: Хаос
и фракталы / В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. – М.:
Изд-во ЛКИ, 2007. – 264 с.
9. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике: Элементарное введение. – М.: КомКнига, 2006. – 208 с.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости: учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1998.
11. Ильяшенко Ю. С. Аттракторы и их фрактальная размерность. –
М.: МЦНМО, 2005. – 16 с.
58
12. Карташев П. А.Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления / П. А. Карташев, Б. Л. Рождественский. – М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 288 с.
13. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах:
Основы теории. – М.: ПостМаркет, 2000. – 352 с.
14. Кузнецов С. П. Динамический хаос. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2001. – 295 с.
15. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения // Успехи механики. – 2002. – №3, июль – сентябрь. – С. 3–43.
16. Макаренко Н. Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети
и все такое // Лекции по нейроинформатике. – М.: МИФИ, 2002. –
Ч. 2. – С. 121–169.
17. Малинецкий Г. Г. Нелинейная динамика и хаос: Основные понятия / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. – М.: КомКнига, 2006. – 240 с.
18. Малинецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. – М.: Эдиториал УРСС,
2000. – 336 с.
19. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии / Э. М. Кольцова, Ю. Д. Третьяков, Л. С. Гордеев, А. А. Вертегел. – М.: Химия, 2001. – 408 с.
20. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. А. Д. Мышкиса, О. А. Олейник. –
М.: Изд-во МГУ, 1984. – 296 с.
21. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление
для втузов. – Т. 2. – М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 560 с.
22. Попов В. Б. Turbo Pascal для школьников: учеб. пособие. –
М.: Финансы и статистика, 2001. – 528 с.
23. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. –
М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.
24. Чуличков А. И. Математические модели нелинейной динамики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 296 с.
25. Ширяев К. Е. Некоторые аспекты теории показателей // Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова. – 2000. – №4.
26. Энциклопедический словарь (математический) / под ред.
Ю. В. Прохорова. – М.: Сов. энцикл., 1988. – 847 с.
59
Научное издание
Бабенко Алена Сергеевна
Секованов Валерий Сергеевич
ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ДИНАМИКУ
Научно-методическое пособие
Подписано в печать 05.04.2010
Формат 60х90/16
Уч.-изд. л. 3,1
Тираж 100 экз.
Изд. № 23
Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова
156961, г. Кострома, ул. 1 Мая, 14
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа