close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Распоряжение совета министров;pdf

код для вставкиСкачать
Максимова И.С., Павлова Н.Г.
Рабочая тетрадь по дисциплине
«Линейная алгебра»
2
Содержание
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Матрицы и определители
Матрицы и действия над ними
Определители
Обратная матрица
Ранг матрицы
4
4
7
10
12
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Системы линейных уравнений
СЛУ. Методы решения СЛУ
Совместность СЛУ
Однородные СЛУ
Неоднородные СЛУ
13
13
18
20
23
3. Векторы. Линейные пространства
3.1. Линейные пространства. Линейные операции над
векторами
3.2. Линейная зависимость и независимость векторов
3.3. Базис и размерность линейного пространства
3.4. Евклидовы пространства
25
25
4. Линейные операторы
4.1. Линейные операторы. Действия над линейными
операторами
4.2. Собственные векторы и собственные значения
33
33
5.
5.1.
5.2.
5.3.
Квадратичные формы
Квадратичные формы. Основные понятия
Канонический вид квадратичной формы
Положительно и отрицательно определенные
квадратичные формы
3
26
28
30
36
38
38
40
43
1. Матрицы и определители
1.1. Матрицы и действия над ними
1. Укажите, какие из представленных матриц являются
диагональными.
2. Укажите, какие из представленных матриц являются
единичными.
3. Определите элементы симметрических матриц.
4
4. Определите следы матриц.
5. Определите размерности матриц.
6. Определите элементы матриц.
5
7. Укажите, какие из представленных пар матриц являются
коммутирующими.
6
1.2. Определители
8. Сформулируйте определение определителя матрицы.
Определителем матрицы n-го порядка называется _________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
9. Укажите, какие из представленных перестановок являются
четными.
10. Определите элементы нечетных перестановок.
11. Вычислите определители матриц.
7
12. Определите элементы матриц.
13. Вычислите миноры и алгебраические дополнения
элементов матрицы.
8
14. Определите элементы матрицы.
15. Вычислите миноры и алгебраические дополнения
элементов матрицы.
16. Вычислите миноры и алгебраические дополнения
элементов матрицы.
9
1.3. Обратная матрица
17. Укажите, какие из представленных матриц являются
невырожденными.
18. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
19. Укажите, какие из представленных матриц являются
обратимыми.
10
20. Найдите обратные матрицы.
21. Укажите, какие из представленных пар матриц являются
взаимно обратными.
11
1.4. Ранг матрицы
22. Сформулируйте определение ранга матрицы.
Рангом матрицы называется ___________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
23. Найдите ранги матриц.
24. Определите элементы матриц.
12
2. Системы линейных уравнений
2.1. СЛУ. Методы решения СЛУ
25. Укажите, для решения каких из представленных систем
линейных уравнений применим метод Крамера.
13
26. Укажите, для решения каких из представленных систем
линейных уравнений применим метод обратной матрицы.
27. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
28. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
14
29. Решите систему линейных уравнений методом обратной
матрицы.
30. Решите систему линейных уравнений методом обратной
матрицы.
15
31. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
32. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
33. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
16
34. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
35. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
36. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
37. Решите систему линейных уравнений.
Ответ: ______________________________________________
17
38. Решите матричное уравнение.
39. Решите матричное уравнение.
40. Решите матричное уравнение.
2.2. Совместность СЛУ
41. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
18
42. Укажите, какие из представленных расширенных матриц
СЛУ соответствуют совместным СЛУ.
43. Вычислите ранг матрицы СЛУ и ранг расширенной
матрицы СЛУ.
19
44. Укажите, какие из представленных систем линейных
уравнений являются совместными.
2.3. Однородные СЛУ
45. Укажите, какие из представленных однородных систем
линейных уравнений являются неопределенными.
20
46. Определите, из какого числа решений состоят
фундаментальные системы решений представленных ОСЛУ.
47. Укажите, какие из представленных систем решений
являются фундаментальными системами решений для
данной ОСЛУ.
21
48. Найдите общее решение ОСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
49. Найдите общее решение ОСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
50. Найдите общее решение ОСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
51. Найдите общее решение ОСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
22
52. Найдите общее решение ОСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
2.4. Неоднородные СЛУ
53. Найдите частные решения представленных НСЛУ.
54. Найдите общие решения представленных НСЛУ.
23
55. Найдите общее решение НСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
56. Найдите общее решение НСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
57. Найдите общее решение НСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
24
58. Найдите общее решение НСЛУ.
Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
3. Векторы. Линейные пространства
3.1 Линейные пространства. Линейные операции над
векторами
59. Определите компоненты векторов.
60. Определите компоненты векторов.
25
61. Определите компоненты векторов.
3.2 Линейная зависимость и независимость векторов
62. Сформулируйте
системы векторов.
определение
линейно
зависимой
Система векторов
называется линейно
зависимой, если ______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
63. Сформулируйте определение линейно независимой
системы векторов.
Система векторов
называется линейно
независимой, если ___________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
26
____________________________________________________
____________________________________________________
64. Укажите, какие из представленных систем векторов
являются линейно независимыми.
27
65. Выразите вектор
.
66.
Выразите
,
через векторы
вектор
и
через
.
и
векторы
3.3. Базис и размерность линейного пространства
67. Сформулируйте определение базиса пространства
.
Система векторов из
называется базисом пространства
, если ____________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
68. Укажите, какие из представленных систем векторов
являются базисами .
28
69. Укажите, какие из представленных систем векторов
являются базисами .
70. Найдите матрицу перехода от базиса
,
.
,
к базису
71. Найдите матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису
e1*
e1
e2
2e3 , e2*
2e1
e2
e3 , e3*
3e1
2e2
72. В базисе e1 , e2 даны векторы a1 e1 e2 , a2
образующие
базис.
Найдите
координаты
a3 2e1 e2 в базисе a1 , a2 .
29
3e3 .
2e1 e2 ,
вектора
В
73.
a1
e1
2e2
базисе
3e3 , a 2
даны
e1 , e2 , e3
e2
2e3 , a3
Найдите координаты вектора a 4
a1 , a 2 , a3 .
e3 , образующие базис.
2e1
e2
3.4. Евклидовы пространства
74. Найдите скалярное произведение векторов.
30
векторы
e3 в базисе
75. Найдите длины векторов.
76. Найдите угол между векторами.
77. Укажите, какие из представленных пар векторов
являются ортогональными.
31
78. Укажите, какие из представленных систем векторов
являются ортонормированными базисами .
79. Укажите, какие из представленных систем векторов
являются ортонормированными базисами .
32
4. Линейные операторы
4.1. Линейные операторы. Действия над линейными
операторами
80. Укажите, какие из представленных
являются линейными операторами.
33
отображений
81. Найдите образ и ядро линейного оператора.
82. Найдите образ и ядро линейного оператора.
83. Найдите образ и ядро линейного оператора.
84. Найдите матрицу линейного оператора
в базисе
.
85. Найдите матрицу линейного оператора
в базисе
.
34
86. Линейный оператор
матрицу
в базисе
имеет
.
Найдите матрицу этого оператора в базисе
87. Линейный оператор
матрицу
в базисе
.
Найдите матрицу этого оператора в базисе
35
имеет
4.2. Собственные векторы и собственные значения
88. Найдите характеристические многочлены матриц.
89. Найдите собственные значения и собственные векторы
линейного оператора, заданного в некотором базисе
матрицей
Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
90. Найдите собственные значения и собственные векторы
линейного оператора, заданного в некотором базисе
матрицей
Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
36
91. Найдите собственные значения и собственные векторы
линейного оператора, заданного в некотором базисе
матрицей
Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
92. Найдите собственные значения и собственные векторы
линейного оператора, заданного в некотором базисе
матрицей
Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
93. Укажите, какие из представленных матриц можно
привести к диагональному виду путем перехода к новому
базису.
37
5. Квадратичные формы
5.1. Квадратичные формы. Основные понятия
94. Найдите матрицы квадратичных форм.
,
,
95. Найдите квадратичные формы по их матрицам.
38
96. Найдите ранги квадратичных форм.
39
98. Найдите квадратичную
квадратичной формы
преобразованием
форму,
полученную из
линейным
.
99. Найдите квадратичную
квадратичной формы
линейным преобразованием
форму,
полученную
из
.
5.2. Канонический вид квадратичной формы
100. Найдите ортогональные преобразования, приводящие
квадратичные формы к каноническому виду, и записать
полученный канонический вид.
40
101. Приведите квадратичные формы к нормальному виду.
41
102. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
103. Найдите положительные и отрицательные индексы
инерции и сигнатуры квадратичных форм.
42
5.3. Положительно и
квадратичные формы
отрицательно
определенные
104. Укажите, какие из представленных квадратичных форм
являются положительно определенными.
105. Укажите, какие из представленных квадратичных форм
являются отрицательно определенными.
43
44
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа