close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

. Аксиома вполне упорядоченности. Теорема о делении с

код для вставкиСкачать
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ»,
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ
«ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ИНФОРМАТИКА
И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»,
2 КУРС, 1 СЕМЕСТР 2013–2014 УЧЕБНОГО ГОДА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. Аксиома вполне упорядоченности. Теорема о
делении с остатком. Функции «пол» и «потолок». Отношение делимости. Наибольший общий делитель, теорема существования и единственности, следствия.
Алгоритм Евклида. Сложность алгоритма Евклида. Алгоритм нахождения линейного представления наибольшего общего делителя. Взаимно простые числа;
теорема о свойствах, равносильных взаимной простоте; свойства взаимно простых чисел; описание делителей произведения двух взаимно простых чисел.
Наименьшее общее кратное (определение, теорема существования и единственности). Теоремы о равенствах [a1 , a2 , , an ]  [[a1 , a2 , an1 ], an ], [a, b]  (a, b)  ab.
Определение и элементарные свойства простых чисел (теорема о наименьшем отличном от единицы делителе числа, бесконечность множества простых
чисел). Свойства простых чисел ( a (a, p )  1 или p | a ; p | ab  p | a или p | b ;
p | q  p  q ). Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.
Функция ord p , её свойства. Теорема о соотношении n | Cnk .
Мультипликативные функции. Свойства мультипликативных функций.
Функция Мёбиуса. Мультипликативность функции Мёбиуса. Функция Эйлера
(лемма, теорема о значении функции Эйлера, следствия). Преобразование Дирихле. Мультипликативность преобразования Дирихле мультипликативной функции. Преобразование Дирихле функций Эйлера, Мебиуса и f (n)  n s . Формула
для вычисления произведения всех делителей данного числа. Формула обращения Мебиуса.
Сравнения. Свойства, равносильные сравнимости. Свойства сравнений,
классы чисел по данному модулю. Полная и приведенная системы вычетов.
Сравнения первой степени. Теорема существования и единственности, алгоритм
решения. Китайская теорема об остатках. Линейные преобразования полной и
приведенной систем вычетов (лемма и теорема). Теоремы Эйлера и Ферма. Теорема Вильсона.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ. Бинарная операция, таблица Кэли. Коммутативность и ассоциативность. Моноид. Единственность единичного элемента. Мультипликативная и аддитивная запись. Примеры моноидов. Целые неотрицательные степени элемента моноида.
Группа, аксиоматика, единственность обратного элемента, свойства обратного элемента. Целые степени элемента группы. Конечные и бесконечные
группы, порядок группы. Примеры групп. Биективность отображений x  ax и
x  xa в группе. Уравнение, определяющее единичный элемент группы. Порядок элемента группы, свойства порядка (включая: условия, равносильные конечности порядка; порядок степени элемента; порядок произведения элементов конечного порядка). Подгруппы, примеры подгрупп. Критерии того, что подмножество является подгруппой.
2
Циклические группы, примеры циклических групп. Примеры нециклических групп. Подгруппа, порожденная элементом, связь её порядка с порядком
элемента a , альтернативное определение цикличности группы. Критерий цикличности конечной группы, следствия. Теорема о цикличности подгрупп циклической группы. Следствие о подгруппах бесконечной циклической группы (исчерпываются попарно различными циклическими подгруппами, порожденными
элементами a k , k  0 , 1 , …). Следствие о подгруппах группы  .
Гомоморфизм, свойства гомоморфизмов. Ядро гомоморфизма (определение, теорема, критерий инъективности гомоморфизма). Образ гомоморфизма
(определение, теорема, критерий сюръективности гомоморфизма). Изоморфизм.
Критерий того, что гомоморфизм является изоморфизмом. Теоремы о реализации циклических групп ( G  U n или G   ).
Операции с подмножествами элементов группы, свойства этих операций.
Отношение эквивалентности, определяемое подгруппой, левый смежный класс.
Равномощность двух левых смежных классов. Равномощность множества всех
левых смежных классов и множества всех правых смежных классов, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа ( | G || G : H |  | H | ), следствия. Критерий того, что
группа не имеет собственных подгрупп. Теорема о подгруппах конечной циклической группы.
Нормальные подгруппы; критерий нормальности подгруппы. Примеры
нормальных подгрупп. Факторгруппа, теорема о гомоморфизмах.
Прямое произведение групп, элементарные свойства.
Экспонента группы, свойства экспоненты (включая утверждения: существование в конечной коммутативной группе элемента со свойством | a | exp(G );
критерий цикличности конечной коммутативной группы; критерий цикличности
прямого произведения конечных коммутативных групп).
Литература
1. И.М. Виноградов. Основы теории чисел.
2. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра.
--
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа