close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
4.2.6. ПРЕДЕЛЫ
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант № 1
1. Найти пределы:
3x − 5 x + 2
;
1) xlim
→∞ 3
2 x + 5 x2 − x
3
2 x 2 + 3x + 1
2) xlim
; x0 = −1, x0 = 2.
→ x0
2 x 2 + 5x + 3
2
x
π
1 − cos x
3) xlim
; x0 = , x0 = 0.
→ x0
3
5x 2
⎛ x +3⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ x − 2 ⎟⎠
1+ x − 1− x
;
x→0
3x
3x − 2
5) lim
6) xlim
→∞
3 x2 + x
;
7) xlim
→∞ x − 3
3
2
8) lim x 3 − 4 x + 4 x ;
x →2 x − 12 x + 16
9) lim xctg 2 x;
10) lim (2 + x) x3 +1;
x →−1
3
2
5x + 2 x − 3
;
1
x→0
tg5x
;
x→0 ln(1 + 4 x)
3
12) xlim
x ⋅ tg ;
→∞
x
11) lim
13) xlim
→ −2
15) lim
arcsin( x + 2)
;
x 2 + 2x
5x − 2x
x →0 e − x − 1
14) xlim
→π
sin 5 x
;
sin 6 x
sin(e x − 1 − 1)
16) lim
;
x→1
ln x
;
cos 4 x − cos 2 x
17) lim
;
x →0 arctg 2 3 x
18) lim
x →0
4
x + 16 − 2
;
sin 5x
2. Сравнить б. м. α (t ) = 5t 2 + 2t 5 и β (t ) = 2t 2 + 2t 3 при t → 0 .
3
2
3. Доказать, что при х → 0 1− cos3 x ∼ sin 2 x .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №2
1. Найти пределы:
1) xlim
→∞
3 x2 − 14 x − 5
2) xlim
; x0 = 5, x0 = −2.
→ x0 2
x − 2 x − 15
3x 3 + 1
;
2 x3 − 4 x + 2
x
⎛ 2x −1⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ 2 x + 1 ⎟⎠
arcsin 2 x ; x = 0, x = 1 .
3) xlim
0
0
→ x0
5x
2
2+ x −3
;
x→7 x − 7
2x 2 + 5x − 2
;
3x − 5
5) lim
6) xlim
→∞
3x 2 + 3x − 1
7) xlim
;
→∞ 3
5x − 2 x + 1
2 x2 − 9 x + 4
8) lim
;
x →4 5 − x − x − 3
9) lim x ln x;
10) lim (3 − x) x3 −8 ;
x →2
5
3
x→0
tg3x
11) lim
x→0 ln (1 + 2 x)
13) xlim
→ −2
2
12) xlim
x ⋅ sin ;
→∞
x
;
arctg ( x + 2)
;
2
x + 2x
14) xlim
tg 5 x ⋅ ctg 6 x;
→π
− 2x
e
−1
15) lim
;
−x
−x
x →0 5
sin 2x − 2sin x
;
x→0 x ln cos5x
16) lim
−3
arcsin 2 x
;
x →0 5 x + 3 − 5 3
18) lim
17) lim
ex −e
x →1 sin ( x 2 − 1)
2. Сравнить б. м. α (t ) = t sin 2 t и β (t ) = 2t sin t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 1 −
1
∼ x.
1+ x
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №3
1. Найти пределы:
3x + x − 8
1) xlim
;
→∞
3
6x − x + 2
5
2
1
6x
3) xlim
→x
arctgx
5) lim
x
;
1 + 3x − 1
0
x→0
; x0 = 0, x0 = 1.
11) lim
x
⎞
⎟;
x − 1 ⎟⎠
tg 2x
x→0 ln (1 + 5x)
;
arcsin(1 − 2 x)
;
2
x→
4 x −1
2
13) lim1
15) lim
x →0
53 x − 4 3x
x
x
4) lim (1 + 2 x ) ;
x →0
6) xlim
→∞
2 x2 + 5 x − 3
7) xlim
;
→∞
2x2 + 3
1
9) lim ⎛⎜⎜
−
x →1⎝ ln x
x2 + x − 2 ; x = 1, x = 2.
2) xlim
0
0
→ x0
2x2 − x −1
;
arctg 2 2 x
;
17) lim
x →0 cos 3 x − cos x
3x
2
x + 2x −1
8) lim arctg 2 x ;
x→0
5x
⎛ 2x + 7 ⎞
⎜
⎟
10) xlim
→∞⎜⎝ 2 x − 3 ⎟⎠
12) xlim
2 x ⋅ tg
→∞
14) xlim
→π
4x
1
2
x
;
e sin
2
x
16) lim ln cos x ;
x →0 4
1 + x2 −1
x 3 −1
18) lim
;
x →1 sin( x − 1)
1
1
∼ x.
1+ x 2
;
⎛ x 2 − π 3 ⎞ sin 5 x
⎜
⎟
⎝
⎠
2. Сравнить б. м. α (t ) = t и β (t ) = tg t 3 при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 1 −
;
−1
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №4
1. Найти пределы:
3x − 5 x + 1
1) xlim
;
→∞ 3
2x + 4x − 5
x2 + 7 x + 10 ; x = −2, x = 1.
2) xlim
0
0
→ x0
2 x 2 + 9 x + 10
cos x − cos3 x ; x = 0, x = π .
3) xlim
0
0
→ x0
6
x2
4) xlim
(1 + 2 x )(ln(x + 1) − ln x );
→∞
2
5) lim
1 − 1− n2
n→0
n2
6) xlim
→∞
;
3 x2 − 2 x + 1
lim
;
7) x→∞
2x − 2
3x 4 + 2 x 2 − 3
− 5 x 4 − 3x 3 + 2 x
8) lim 2 x 2+ 1 − x + 6 ;
x →5 2 x − 7 x − 15
1
1− x 2
9) limπ cos x ⋅ tg 5 x;
10) lim (3 + 2 x )
7 x − 7 − 2x
;
11) lim
x→0
3x
⎛ 1
⎞
⎜ e x − 1⎟;
12) xlim
x
→∞ ⎜
⎟
⎝
⎠
x→
x →−1
2
13) lim1
x→
2
arcsin(1 − 2 x)
;
2
1 − 4x
14) xlim
tg 3x ⋅ ctg 4 x;
→π
sin(e x − 2 −1)
;
x→2 tg( x − 2)
arcsin 3x
;
x →0 ln(1 + 8 x )
16) lim
cos 5 x − cos 3x
;
2
x →0
tg 2 x
18) lim
15) lim
sin(1 − x)
;
x →1 7 x − 1
17) lim
2. Сравнить б. м. α (t )
3. Доказать, что
;
3
2
= sin 3
1+ x ∼
1
x
3
t и β (t ) = t при
при x → 0 .
t → 0.
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №5
1. Найти пределы:
2 x4 + 5 x 2 − 3
1) xlim
;
→∞ 4
5 x − 2 x3 − 4 x
2x2 − 7 x + 3
2) xlim
; x0 = 3, x0 = −2.
→ x0 2
x − 4x + 3
arctg 2 x ; x = 0, x = 1 .
3) xlim
0
0
→ x0
4x
2
4) xlim
(3x + 2)(ln (x + 1) − ln x);
→∞
3x − 2 − 2
5) lim
n→2
7) xlim
→∞
x2 − 4
6) xlim
→∞
;
3x − 2
;
3
2
3x + 2 x − 3
1
9) lim ⎛⎜⎜
x →0 ⎝ sin x
x⎠
x →0
15) lim
x →0
ln (1 + 15x)
2 2x − 32x
e − 2x −1
4− x2
x →2
arcsin ( x − 2)
;
2
x→2
x −4
;
;
arctg 2 2 x
17) lim
;
x →0 cos 7 x − cos 3x
12) limπ
x→
ctg 2 x
;
⎛π
⎞
2 ctg ⎜⎜
− x ⎟⎟
⎝2
⎠
;
sin 2 2 x
14) xlim
;
→0 x(5 1 + x − 1)
lncos x
;
x→0 ln(1 + x 2 )
16) lim
x2
;
x →1 sin π x
18) lim
2. Сравнить б. м. α (t ) = 9 + t − 3 и β (t ) = t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
;
8) lim 3 + 22 x − x + 4 ;
x →1 3 x − 4 x + 1
10) lim (5 − 2 x )
11) lim
13) lim
x2
1
1⎞
− ⎟⎟;
tg10 x
2x 3 − 5x 2 + 3
x ln(1 + x ) ∼ x sin x .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №6
1. Найти пределы:
3 + x − 5x 4
;
1) xlim
→∞ 4
x + 12 x − 3
2x2 − 7 x − 4
2) xlim
; x0 = 4, x0 = 0.
→ x0 2
x − 3x − 4
π
x 2ctg 3x
; x0 = 0, x0 = .
4
0 sin 2 x
3) xlim
→x
5) lim
n→0
1 − 3x − 1 − 2x
x+ x
2
;
3 x3 − 2 x 2 − 3
;
7) xlim
→∞
x
x→2
13) lim
x →0
15) lim
x →0
arctg ( x − 2)
x3 − 8
e 2 x −1
6x
3
+2
2
x + 3x
;
2
8) lim x −3 x − 2 ;
x →−1 x + 1
10) lim (3 + x )
x2 −4
x →−2
;
arcsin 2 3x
;
2
ln (1 + 3x)
5 x − 5 − 3x
6) xlim
→∞
3x 2 − 5 x + 1
3
⎛ 1
sin x ⎞⎟
9) lim ⎜⎜ −
;
3 ⎟
x →0 x 2
x ⎠
⎝
11) lim
4) xlim
(2 x + 1)(ln(x + 3) − ln x );
→∞
;
tg 2 6 x
;
17) lim
x →0 1 − cos 3 x
12) lim(1 − x)tg
x →1
π x;
2
14) limπ tg 4 x ⋅ ctg 6 x;
x→
2
tg ln(3x − 5)
16) lim
x→2 x + 3
e
18) lim
x →0
−e
2
x +1
sin 3x
;
x+3 − 3
2. Сравнить б. м. α ( х ) = 1 − x и β ( х ) = 1 − x при x → 1.
1+ x
3. Доказать, что при t → 0 esin t − 1 ∼ t .
;
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №7
1. Найти пределы:
x − 2x + 5x ;
1) xlim
→∞
2 + 2x2 − x4
2 x 2 − 13x + 20
2) xlim
; x0 = 4, x0 = −2.
→ x0
x2 − 6x + 8
π
1 − cos 6 x
3) xlim
; x0 = 0, x0 = .
→ x0 1 − cos 2 x
6
4) xlim
(x − 5)(ln(x − 3) − ln x );
→∞
2
5) lim
x →0
4
2
1 + 3x − 1
2
x +x
3
6) xlim
→∞
;
5 x5 − 4 x 4 + 3 x3
;
7) xlim
→∞
2
2x − 3
1 − tgx
9) limπ
;
x → cos 2 x
4
x →0
e
3x
−1
+ 2x −1
;
x
10) lim (7 + 3x )
x2 +3x+2
x →−2
1
12) xlim
x(2 x − 1);
→∞
tg 2 6 x
;
13) lim
x →0 ln (1 + 6 x)
32x − 34 x
3x
3
8) lim 1 + x − 1 − x ;
x →0
x
x 3 + 2x 2
11) lim
;
x→0 arcsin2 x
15) lim
3x 2 − 2 x + 1
14) limπ
x→
2
cos x
2
16) lim
;
1 − sin 3 x
ln (1 + x ⋅ tgx)
x→0 5
arctg 4 x 2
;
17) lim
x →0 1 − cos 2 x
;
2
;
1 + x −1
ln 2 x
18) lim
;
x →1 1 + cosπ x
4
2. Сравнить б. м. α ( х ) = 3x − x
x +1
3. Доказать, что при x → 0
5
и β ( х) = x при x → 0 .
1 − cos x ∼
x2
2
.
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №8
1. Найти пределы:
5x 2 − 3x + 1
1) xlim
;
→∞
x − 5 + 3 x3
x
tg 3
2 ; x = 0, x = 2.
3) xlim
0
0
→ x0
3
x
2x −1 − 5
;
x →3
x−3
3 x2 − 14 x − 5
2) xlim
; x0 = 5, x0 = 2.
→ x0 2
x − 6x + 5
4) lim(7 − 6 x )
1
3 x −3
x →1
3x 2 − 2 x + 5
5) lim
6) xlim
→∞
6 x 3 + 3x − 2
7) xlim
;
→∞
− 3x 3 + 2 x
8) lim 5x + 1 − 4 ;
x →3
x−3
9) lim sin x ln x ;
x→0
x 3 − 3x 2
;
x→0 arcsin2 x
11) lim
tg 2 3x
;
13) lim
x →0 ln (1 + x 2 )
3x
e
− e− x
15) lim
;
x →0
34 x −1
arcsin 2 2 x
;
17) lim
x →0 1 − cos 4 x
;
4x
4
+3
3
x + 2x
;
10) xlim
(5 x + 8) [ln (2 x − 3) − ln (2 x + 5)];
→∞
π
12) limπ ⎛⎜⎜ − x ⎞⎟⎟ tg 3x;
x→ ⎝ 2
2
⎠
sin π x
e
−1
14) lim
;
x →1
x −1
ln(2x − 5)
;
x→3 4 1 + x − 4 4
16) lim
18) lim
x →0
sin 6 x
;
x+9 −3
2. Сравнить б. м. α (t ) = tgt − sin t и β (t ) = t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
2
x ∼ x .
1 + x 1 + x2
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №9
1. Найти пределы:
7 x 4 − 2 x3 + 2 x
1) xlim
;
→∞
x 4 + 3x
2 x3 + 3 x + 1
2) xlim
; x0 = −1, x0 = 2.
→ x0 2
x − 2x − 3
π
1 − cos 4 x
; x0 = 0, x0 = .
3) xlim
→ x0 2 xtg 2 x
4
1 + 3x − 2 x + 6
5) lim
x →5
2
x − 5x
3
3x + 2 x + 1
7) xlim
;
→∞ 5
2 x − 2x + 3
⎡
9) lim ⎢
1
x →0 ⎣ x sin x
−
1 ⎤
;
2⎥
x
⎦
;
2
4) lim (3x − 5)
x− 2
x →2
6) xlim
→∞
;
6x3 + 2x − 3
3x
2
−
x
2
8) lim x 2 + 7 x + 10 ;
x →−2 2 x + 9 x + 10
10) xlim
(5 x − 3)[ln(4 − 3x ) − ln(5 − 3x )] ;
→−∞
ln (1 + sin 2x)
;
x→0
tg 5x
12) lim
13) lim
3x 2 − 5 x
;
x →0 arcsin 3 x
14) xlim
→π
1 − cos 7 x ⎤
15) lim ⎡⎢
;
x →0 ⎣ x sin 7 x ⎥⎦
tg (e 2 x −1)
16) lim
;
x→0 ln (e − x) − 1
x −1
e
−1
;
17) lim
x+2
3x
18) xlim
x sin ;
→∞
x
11) lim
x →1 2
−2
;
1 + x −1
;
x →0 sin[π ( x + 2)]
x2 −π 2
;
sin x
3
2. Сравнить б. м. α (t ) = 1 − cos t и β (t ) = 3t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 1 − cos8x ∼ 32 x2 .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №10
1. Найти пределы:
8 x − 3x + 9
1) xlim
;
→∞ 5
2x + 2x2 − 5
5
2x2 + 5x + 3
2) xlim
; x0 = −1, x0 = 3.
→ x0
x2 − x − 2
2
π.
5
x
⋅
ctg
3
x
;
x
=
0
,
x
=
3) xlim
0
0
→x
4
0
2
x −3
4) lim (3x − 8)
x →3
3x 2 − 2
;
x−2
;
5) lim
x →2 2 x − 2
6) xlim
→∞
5x4 + 2x − 3
7) xlim
;
→∞
3x 2 − 2
8) lim 5 − 22 − x ;
x →−3 1 − 4 + x
⎡ 1
arctgx ⎤
⎥;
3
x →0 ⎢ x 2
⎥⎦
x
⎣
ln(1 + 4x 2 )
;
11) lim
x→0
2
1− x +1
9) lim ⎢
13) lim
x →5
−
arctg ( x − 5)
x 2 − 6x + 5
;
1 − cos 2 x
;
x →0 3 x ⋅ arcsin x
15) lim
17) lim
e − 4x −1
[ ( x + 12)];
x →0 tg 2π
x
3
+
x −1
;
10) xlim
(7 − 10 x )[ln(1 − 2 x ) − ln(5 − 2 x )];
→−∞
4
12) xlim
x ⋅ tg ;
→∞
x
14) lim
(1 + cosπx)ctg 2πx;
x →1
ln (9 − 2x 2 )
;
x→2 sin 2 πx
16) lim
18) lim
2 x − 16
x →4 5 5 − x − 1
;
2. Сравнить б. м. α (t ) = 1 + t − 1 и β (t ) = 4t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 arcsin( x 2 − x) ∼ x3 − x .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №11
1. Найти пределы:
1 − 4x
;
1) xlim
→∞ 5 x − 2
2 x 2 + x − 10
2) xlim
; x0 = 2, x0 = −2.
→ x0 2
x − 5x + 6
3) lim 1 − cos2 x ;
x →0 13 x
x
⎛ x+4⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ x − 2 ⎟⎠
1+ x − 1− x
;
x →0
5x
3x 2 + 2 x − 3
5) lim
6) xlim
→∞
4 x5 + 2 x3 − x
;
7) xlim
→∞
3 x3 − 2
8) lim x 2− x ;
x →1 x − x
3
4x − 2x
arctg 2 x
;
9) lim
x→0
4x
10) xlim
(3x − 5)
→2
11) lim ln(1 − 4x) ⋅ ctg [π (x + 3)];
12) xlim
3x tg
→∞
x→0
13) xlim
→−2
arcsin( x + 2)
3
2+ x + x 2
−9
14) limπ
;
x→
arctg ( x − 4)
;
x →4 x 2 − 3 x − 4
4
16) lim
15) lim
x→1 4
2
3 x −1
17) lim
;
x →0 cos 9 x − cos x
18) lim
x →0
2
+1
1
x2 −2 x
2
3
x
;
;
;
1 − sin 2 x
(π − 4 x) 2
;
ln x
;
1 + x − x −1
⎛ 3π
⎞
cos⎜⎜ + x ⎟⎟ ⋅ tgx
⎝ 2
⎠
2
arcsin 2 x 2
t
при t → 0 .
2−t
7+t
3. Доказать, что при x → 0 tgx 3 ∼ x sin 2 x .
2. Сравнить б. м. α (t ) = 3t
и
β (t ) =
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №12
1. Найти пределы:
12 x3 + 4
1) xlim
;
→∞ 3
3x − 2 x + 6
2 x3 − 13 x + 20
2) xlim
; x0 = 4, x0 = 1.
→ x0
x2 − 2 x − 8
arccos3x ; x = 0, x = 3 .
3) xlim
0
0
→ x0
6x
6
x
⎛ 4x −1⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ 4 x + 1 ⎟⎠
2+ x −2
;
x →6
x−6
6) xlim
→∞
− x5 + 3
7) xlim
;
→∞ 2
2x + x − 3
8) lim
5) lim
3
+2
x−3
2+ x −3
2
x − 49
cos ( x + 3)
;
;
;
1
x3 +8
x →−2
arcsin2x
π
4
10) lim (9 + 4 x )
x →0
x→0
3x
x →7
9) lim (1 − e2 x )ctgx;
11) lim
3x 2 − 5x + 1
;
1
12) xlim
x(1 − 2 x );
→∞
2
3 x − 37 x
13) lim
;
x →0 sin 3x
4− x
e
15) lim
2
x →2
2
−1
x − 5x + 6
ln( x + 2) − ln 2
;
x →0
x
14) lim
;
tg 3 2 x
;
17) lim
x →0 x(cos 3 x − cos x)
16) limπ
x→
2
2 cos x − 1
2
18) lim
x →1 4
lnsin x
;
sin πx
x 3 − x +1 −1
2. Сравнить б. м. α (t ) = sin 3t + sin t и β (t ) = 5t 2 при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
1 + 4x −1∼ 2 x .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №13
1. Найти пределы:
4 x3 + x 2 − 6
1) xlim
;
→∞
4x + 3
3) xlim
→x
0
2x2 − 7 x + 3
2) xlim
; x0 = 3, x0 = −2.
→ x0 2
x + 4 x − 21
π
1 − cos 3 x
; x0 = 0, x0 = .
3x
3
⎛ 2x + 1 ⎞
⎟
⎜
4) xlim
→∞⎜⎝ 2 x ⎟⎠
x− x
;
5) lim
x →1 2 x 2 − 2 x
6) xlim
→∞
2 x2 − 3 x + 5
7) xlim
;
→∞
2
4x + x
8) lim
x→0 2 − 3x − 1
x →0
(e
x →0
2
ln(1 − x 2 )
;
x →0 tg 2 10 x
17) lim
x 2 −3x − 4
;
π
12) lim tg ⎛⎜⎜ − x ⎞⎟⎟tg 2 x;
;
− 1)
;
;
x →4
cos 2 x − cos x
2x
e 2 x −1
10) lim (2 x − 7)
⎝2
⎠
arctg ( x 2 − 2 x)
14) lim
;
x →2
sin 3πx
arctg 2 x
;
13) lim
x →0 a x − a − x
15) lim
5x − 6 x 3
4
1 − 2 sin x
;
3x
cos
x→
6
arcsin2x
;
2x 2 − 2x + 3
x →0 ln(1 + 2 x)
9) limπ
11) lim
2x
;
16) lim
x→π
18) lim
ln cos2x
(1− π
3
x →1 4
x)
2
;
x −1
;
x −1
2. Сравнить б. м. α (t ) = t 4 − t 2 и β (t ) = 2sin 3 4t при t → 0 .
x
3. Доказать, что при x → 0 4 − x − 2 ∼ .
4
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №14
1. Найти пределы:
3 x6 − 2 x4 + x
1) xlim
;
→∞
x − 2 x6
1
14 x
3) xlim
; x0 = 0, x0 = .
→ x0 arctg 2 x
2
x 2 + 10 x + 21; x = −3, x = 2.
2) xlim
0
0
→ x0
2 x2 + 5 x − 3
1
4) lim (1 + 3x) x ;
4x
;
x →7 1 + 4 x − 1
5) lim
x →0
6) xlim
→∞
2x 3 − 2 x + 3
4x
5
+ 5x − 2
;
3x 2 + 2 x − 3
7) xlim
;
→∞
x−5
8) lim
9) lim xctg 5 x;
⎛ 2x 2 + 3 ⎞
⎟
⎜
10) xlim
⎟⎟
→∞⎜⎜
2
⎝ 2x − x + 1 ⎠
x →0
11) lim
1 − cos x
x→0 (e 3x − 1) 2
;
4 − 4x 3
x →1
ln x
12) xlim
sin
→∞
x arcsin 2 x
;
13) lim
x →0 sin 3 2 x
14) lim
tgx − sin x
;
x →0 x(1 − cos 2 x)
16) xlim
→e
3x −9
;
x →2 arctg ( x − 2)
18) lim
15) lim
17) lim
;
x −1
;
1
1
ctg ;
5x
3x
1 − 5x + 1
;
x →0
⎡
⎤
π
x
+
(
3
)
cos ⎢
2 ⎥⎦
⎣
ln x − 1
;
x−e
x →0 5
ln(1 − x 4 )
4
;
1 − 3x − 1
2. Сравнить б. м. α ( х) = tg 2 ( x 2 − 3 x) и β ( х) = x 2 − 3 x при x → 0 .
3. Доказать, что при t → 0 etgx − 1 ∼ t .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №15
1. Найти пределы:
3 x 4 − 2 x3 − x
1) xlim
;
→∞
x − 8 x2 − 5 x 4
2 x 2 + x − 10
2) xlim
; x0 = 2, x0 = 3.
→ x0 2
x − 5x + 6
cos x − cos3 x ; x = 0, x = π .
3) xlim
0
0
→ x0
4
x2
4) xlim
(1 + 4 x)(ln( x + 1) − ln x);
→∞
5) lim
1− 1− x 2
x →0
7) xlim
→∞
x
2
6) xlim
→∞
;
3x + 2
;
3
2 x − 5x + 3
8) lim
3x 2 + 2 x − 1
x
3
−5
x
e x −1;
x →0 sin 2 x
x
x
9) xlim
(π − x)tg ;
→π
10) lim (13 + 3x)
arcsin4x 2
;
11) lim
x→0 tg 2 5x
12) xlim
sin
→∞
x →−4
2
5 ln(1 − 7 x)
;
13) lim
x →0 3arctg 4 x
15) lim
x →0
17) lim
x →0
14) lim
x →0
x+5 − 5
;
sin 3x
e2x − e x
sin 2 x − sin x
;
16) xlim
→π
;
18) lim
x →1
7
x 2 −16
;
1
1
ctg 2 ;
8x
x
1+ x 4 − x 2 −1
3
arcsin( x − 4 x)
ln cos2x
;
ln cos4x
35 x − 3 − 3 2 x
sin πx
2
;
2. Сравнить б. м. α (t ) = 9 + t − 3 и β (t ) = 4t при t → 0 .
x3
3. Доказать, что при x → 0 tgx − sin x ∼
.
2
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №16
1. Найти пределы:
2 x3 − 3 x + 1
1) xlim
;
→∞
3x 2 + 5 x
2x2 − 7 x + 3
2) xlim
; x0 = 3, x0 = −1.
→ x0 2
x − x−6
y 2ctg 4 y ; y = 0, y = π .
3) ylim
0
0
→ y0 sin 3 y
4
5) lim
x →0
1 − 3x − 1 − 2 x
x+ x
2
;
3 x3 + 2 x − 1
7) xlim
;
→∞
1 − 3 x3
13) lim
x →0
2
3
ln(1 + x )
arcsin 2 ( x − 3)
15) lim
;
x →3 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9
1 − cos 8 x
;
x →0 x ⋅ tg 3 x
17) lim
6) xlim
→∞
4x
4
−2
x +1
2x 2 + x − 3
x2 + x − 2
12) xlim
tg 2
→∞
;
;
− x 2 + 5x − 2
⎛ 1− 2x 2
⎜
10) xlim
→∞⎜⎜
2
⎝ 5 − 2x
−1
x ⋅ arctg 5x 2
x →2
x →1
x − tg 2 x
;
3
x →0
x
3 1 + x ⋅ tgx − 1
;
11) lim
e− x
4) lim (7 − 3x )
8) lim
9) lim
x→0
4
x−2
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
;
;
2
x +4
;
1
1
ctg 2 ;
3x
2x
14) lim tgπx ⋅ ctg 2πx ;
x →2
2x − 4
16) lim
;
x→2 ln ( x −1)
18) xlim
→π
e x − eπ
sin 5x − sin 3x
2. Сравнить б. м. α = tg (t 2 − 2t ) и β = t 4 − 8 t при t → 0 .
2
3x
3x + x
∼
.
3. Доказать, что при x → 0
2
1− x
1+ x
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №17
1.
Найти пределы:
2
x2 + 2 x − 8 ; x = −4, x = 1.
2) xlim
0
0
→ x0
2x2 + 7 x − 4
1 + x − 2x
1) xlim
;
→∞ 3 x − 2
cos 3x − cos 5x ; x = 0, x = π .
3) xlim
0
0
→ x0
3
x2
1− x − 4
5) lim
;
x →5 ( x − 5)( x + 5)
2
4) lim (9 − 2 x )
3
4− x
x →4
6) xlim
→∞
;
2x + 1
x
2
− 3x + 1
;
3x 2 + 4 x + 1
;
x →−1 x + 3 − 5 + 3 x
3
3x − 4 x + 5
7) xlim
;
→∞ 2
x − 3x + 1
8) lim
9) lim ln x ⋅ tg 4 x;
⎛ 4 x + 17 ⎞
⎟ ;
⎜
10) xlim
→∞⎜⎝ 4 x − 21 ⎟⎠
x
x →0
9ln (1 − 2x)
11) lim
;
x→0 4 arctg 3x
tg ( x − 3)
13) lim
12) lim
x →5 e x − 4
;
14) xlim
→π
2 x arcsin x
;
x →0 1 − cos x
16) lim
x →3
2
x − 4x + 3
x →0
e 4x −1
⎡ ⎛x
⎞⎤
sin ⎢π ⎜⎜ + 1⎟⎟⎥
⎢⎣ ⎝ 2
−e
;
1 + cos 3x
2
sin 7 x
;
ln (5 − 2x)
;
x→2 4 10 − 3x − 2
15) lim
17) lim
2 x − 32
18) xlim
x sin
→∞
;
5
;
2x
⎠⎥⎦
2.
Сравнить б. м. α (t ) = cos t − cos3 t и
3.
Доказать, что при x → 0 1 −
2
4+ x
β (t ) = 3t 2 при t → 0 .
∼
x
8
.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №18
1. Найти пределы:
x 2 + 8 x + 15 ; x = −3, x = 2.
2) xlim
0
0
→ x0
2 x 2 + 5x − 3
2 x3 − 5 x 2 − 3
1) xlim
;
→∞
1 − 3 x3
cos 2 x − cos 4 x ; x = 0, x = π .
3) xlim
0
0
→ x0
8
x2
5) lim
y →3
2 y −1 − 5
y −3
x →4
ctgx ⎞
⎛ 1
⎟;
−
x →0⎝ x sin x
x ⎟⎠
⎣ ⎝2
⎠⎦
arcsin 3x
;
2+ x − 2
x +3
e
−ex
lim
15)
2 +1
x→ 2 3 2 x − 3 x + 2
;
3 x 5 + 2 x 3 − 3x + 1
3x 2 − 1
;
x −2
;
2x + 1 − 3
10) xlim
(5 x + 4)[ln(3x + 17 ) − ln(3x + 2)];
→∞
⎡ x
⎤
11) lim ln(1 + 2x)ctg⎢π ⎛⎜⎜ + 1⎞⎟⎟⎥;
x→0
n→1
8) lim
9) lim ⎜⎜
13) lim
4) lim (7 − 6n)
6) xlim
→∞
;
2 x 2 − 3x4 + 2
7) xlim
;
→∞
5 x5
x→0
n
3n − 3
;
cos 6 x − cos 4 x
;
x →0 x ⋅ arctg 2 x
17) lim
x 2 −1
;
x→1 ln x
12) lim
14) xlim
sin 5 x ⋅ ctg 3x;
→π
16) lim xctg 2x;
x→0
1 − 3x + 1
;
x →0
⎡π (x + 1) ⎤
18) lim
cos ⎢
⎢⎣
2. Сравнить б. м. α (t ) = 3t 2 − t 3 и
β (t ) = 3t при
2−t
3. Доказать, что при x → 0 1 − cos4 x ∼ 2 x2 .
2
⎥
⎥⎦
t → 0.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №19
1. Найти пределы:
7 x3 − 2 x 2 + x − 2
1) xlim
;
→∞
3 x3 + 2 x − 3
x 2 − 6 x + 5 ; x = 1, x = −1.
2) xlim
0
0
→ x0
2 x2 − x − 1
arcsin 2 x ; x = 0, x = 1 .
3) xlim
0
0
→ x0
x
2
4) lim (3x − 5)
x
5) lim
x →0 1 + 3x − 1
x →2
6) xlim
→∞
;
2sin[π ( x + 1)]
;
x→0 ln (1 + 10x)
15) lim
3 3
x −4 x 2 +6
arcsin( x − 3)
17) lim
x→0
x − x−6
2
−e
1 − sin
e
2
14) xlim
→π
;
2
+ 2x −1
;
3− x
1
4
x
;
;
x
2;
π −x
⎛π
16) lim
;
cos10 x − cos 2 x
x
− 3x
12) xlim
4 x sin
→∞
arctg ( x + 1)
x →3
4x
2
⎛ 5 x + 19 ⎞
⎟
⎜
10) xlim
→∞⎜⎝ 5 x − 2 ⎟⎠
11) lim
e
− 5x 2 + 2x − 3
8) lim
arcsin 2 x
9) lim
;
x→0 arctg 5 x
x →−1
;
2x + 3 − 3
;
x →3 x − 2 − 1
3x2 − 2 x + 1
7) xlim
;
→∞ 2 x − 7
13) lim
2
2− x
⎝2
x→0
18) lim
;
x →1
−1
2. Сравнить б. м. α ( x) = x − 3 x
3
3. Доказать, что при t → 0 1 −
2
β ( x) =
и
2
2+t
∼
t
2
.
⎞
tg 2x cos ⎜⎜ + 3x ⎟⎟
arctg 3x
5
⎠
2
;
x 2 − x + 1 −1
;
tgπx
2x
3
7+ x
при x → 0 .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №20
1. Найти пределы:
2 x 2 − 5x + 2
2) xlim
; x0 = 2, x0 = −3.
→ x0 2
x − 5x + 6
8 x − 3x + 1
1) xlim
;
→∞ 5
2 x − 4 x6 + 3
6
3
2
π.
3) xlim
6
x
⋅
ctg
4
x
;
x
=
0
,
x
=
0
0
→x
4) lim (3x − 8)
x→3
4
0
x −3
x2 − 4
;
5) lim
x →2 2 x − 2
6) xlim
→∞
;
4x 5 − 2x 2 + 1
2 − 3x + 5 x 3
3x − 2 − 2
;
x →2 2 x + 5 − 3
2 x2 + 4
7) xlim
;
→∞ 3
3x − 2 x + 1
8) lim
cos 2 x − cos 4 x
;
2
x →0
x
10) xlim
(3 x2 + 2)⎡⎢ln(5 x 2 − 4) − ln(5 x 2 + 7)⎤⎥;
→∞
9) lim
⎣
⎦
arctg 2x
;
11) lim
x→0 sin[2π ( x + 10)]
⎛ 1
⎞
⎜ 3 x − 1⎟ ;
12) xlim
x
→∞ ⎜
⎟
⎝
⎠
2 x − 27x
;
13) lim
x →0 tg 3 x
−x
e
−1
14) lim
x
e
lim
15)
2
x →3 x
2
−9
−1
− 4x + 3
ln(1 − 3x)
πx
cos
x →0
;
2 ;
x→1 5 x − 1
16) lim
;
e sin 2 x − e sin x ;
17) lim
x →0
;
18) lim
tgx
x →2
2
2 x − 4 −1
tg ln
x
2
;
2. Сравнить б. м. α (t ) = 1 − cos 6t и β (t ) = t sin 3t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
3
1+ 2x −1 ∼
2x
.
3
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №21
1. Найти пределы:
1 − 4x
1) xlim
;
→∞ 6 x − 5
cos x − cos 3x
π.
3) xlim
;
x
=
0
,
x
=
0
0
→ x0
x
6
5) lim
x →2
3x − 2 − 2
x2 − 4
2 x 3 − 5x 4 + 6 x 5
6) xlim
;
→∞
2 − 2x
;
3 x2 + 3 x − 2
7) xlim
;
→∞ 5
4
5x − 2 x + 3
1 − cos 4 x
;
9) lim
x→0 x sin 3 x
11) lim
arctg 3x
x→0 3 − 4 x − 1
3 x2 − 14 x − 5
2) xlim
; x0 = 5, x0 = −1.
→ x0 2
x − 8x + 15
x
⎛ x+4⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ x − 2 ⎟⎠
x2 + x − 2
;
x →1 2 x 2 − x − 1
8) lim
10) lim
x→−5
x+1
2 − 25
x
(6 + x)
;
12) lim sin 3x ⋅ ctg 2 x ;
;
x →0
5
arcsin( x − 5)
13) lim
;
x→5 x 2 − 7 x + 10
x 3 + 1 −1
14) lim
;
x →0 ln(1 + x 3 )
− 3x
e
−1
15) lim
ln(2 + cos x)
16) lim
;
x→π sin x
2
(3
− 1)
x →0 tg
[π (2 + x)]
;
ln(3 − x) − ln 3
;
17) lim
x →0
x
e5x − 3 − e 2x
18) lim
x →1
tgπx
2
;
2. Сравнить б. м. α (t ) = 25 − t − 5 и β (t ) = t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
x5 − x 4 x4
∼
.
2
x+2
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №22
1. Найти пределы:
x 2 − 5 x + 4 ; x = 1, x = 3.
2) xlim
0
0
→ x0
2x2 − x −1
2 x4 + 5 x 2 − 3
1) xlim
;
→∞ 4
5 x − 2 x3 − 4 x
3) xlim
5 x ⋅ ctg 3 x; x0 = 0, x0 =
→x
0
5) lim
2+ x −3
x →7 x 2 − 6 x − 7
π.
12
2x
4) lim (3x − 5)
x →2
6) xlim
→∞
;
x2 −4
;
3x − 5
2 x + 3x − 1
3
2
;
2x + 3 −1
;
x→−1 5 + x − 2
3x 4 − 2 x + 1
7) xlim
;
→∞
3 − 2 x 2 + x3
8) lim
1 − cos 4 x
;
x→0 1 − cos 8 x
9) lim
10) xlim
(7 x + 11)[ln(3 x + 4) − ln(3x − 11)];
→∞
(e 4 x −1) 2
11) lim
;
x→0 1 − cos3x
12) xlim
ctg ;
→∞ x
x
13) lim
ln(1 + x ⋅ tg 2 x)
x →0 4
15) lim
3
4
1 + x − 2x −1
x→0 cos 7 x − cos 5 x
17) lim
x →0
x →3 arcsin( x − 3)
3
4x 2
arcsin 3x 2
⎛
tg 2 x ⋅ cos⎜⎜ x +
⎝
e x − e3
14) lim
;
7
16) lim
;
1− x 2
x→1 sinπx
3π ⎞
⎟
⎟
2 ⎠
;
;
;
sin x − sin 2
;
x →2 sin ln( x − 1)
18) lim
2. Сравнить б. м. α (t ) = cos 3t − cos 7t и β (t ) = t при t → 0 .
x
3. Доказать, что при x → 0 3 − 9 + x ∼ − .
6
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №23
1. Найти пределы:
x2 − 2 x − 8 ; x = −2, x = 3.
2) xlim
0
0
→ x0
2 x 2 + 9 x + 10
8x 4 + x 2 − 8
1) xlim
;
→∞ 2
x + 7 x4 + 9
tg 2 3x
π
; x0 = 0, x0 = .
9
0 x2
3) xlim
→x
5) lim
x →5
1 + 3x − 2 x + 6
2
x − 6x + 5
;
3 x 4 + 2 x3 − 1
7) xlim
;
→∞
12
x +4
sin 4 x
9) lim
;
x→0 arcsin 3 x
x ⋅ arcsin2 x
;
3
x→0
tg 2x
x2
arctg
2 ;
13) lim
x →0
⎛
x⎞
ln 2 ⎜⎜1 − ⎟⎟
11) lim
⎝
x3 + 2x 2 − x − 2
;
x →1
sin( x − 1)
x →0
6) xlim
→∞
3x 3 − 2 x + 1
x −4
3
;
1− x − 4
;
x →5 2 − 2 x − 6
8) lim
1+ x
10) lim (7 − x)
x →6
12) xlim
→∞
x 2 −5 x − 6
2
;
1
ctg 2 ;
x
x2
cos 5x − cos 3x
;
x →π
2
sin x
14) lim
3⎠
15) lim
17) lim
5x + 1 ⎞2 x
⎟⎟ ;
5
x
⎝
⎠
⎛
⎜
4) xlim
→∞⎜
arcsin 8 x 3
;
x(cos 7 x − cos 5 x)
16) lim
e 2x −1
x→0 5 1 + 2x − 1
18) lim
x →2π
;
ln cos x
e
sin 2 x
−1
;
2. Сравнить б. м. α (t ) = t ⋅ tg 2 t и β (t ) = 3t sin t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 sin 5 x + sin x ∼ 6 x .
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №24
1. Найти пределы:
7 x 4 − 3x 2 + 1
1) xlim
;
→∞
2 x4 − 3
x2 − 4 x − 5 ; x = −1, x = 4.
2) xlim
0
0
→ x0
2x2 + 5x + 3
cos 7 x − cos 2 x
π.
3) xlim
;
x
=
0
,
x
=
0
0
→ x0
x
3
x
⎛ x+3⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ x − 2 ⎟⎠
2x + 5 − 3
5) lim
x →2
2
x −4
9) lim
x →1 ln
11) lim
x→0
13) lim
x
4
2 x + 2x −1
3
;
3 − x + 11
;
x →−2 2 − x + 6
4 x 5 − 2 x 4 + 3 x3 − 2 x + 1
;
7) xlim
→∞
x+2
1− x
3x 2 − 5x + 1
6) xlim
→∞
;
8) lim
10) lim (13 + 2 x)
;
5
36 − x 2
x →−6
ln(a + x) − ln a
;
x →0
x
1 + x sin x −1
;
12) lim
2
3 x −1
arctg 3x
x →0 7 x − 25 x
14) lim
;
x →2
tg ln(3x − 5)
e
x +3
16) lim
3x ⋅ tgx
;
x →0 1 − cos x
18) xlim
xtg
→∞
x→1
17) lim
−e
x 2 +1
sin 3π x
;
10 − x − 3
arcsin( x − 2)
;
x →2 x 3 + x 2 − 4 x − 4
15) lim
2. Сравнить б. м.
;
1
;
2x
α (t ) = sin t 3 и β (t ) = t 2 при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0
3
x + 27 − 3 ∼
x
27
.
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №25
1. Найти пределы:
x 2 − 4 x − 5 ; x = 5, x = −2.
2) xlim
0
0
→ x0 2
3x − 14 x − 5
2x − 3
1) xlim
;
→∞ x 2 − 4 x + 1
1 − cos 2 x
3) xlim
→x
0
3x 2
; x0 = 0, x0 =
π.
3
1
x
5) lim (1 + 2 x ) ;
x →0
x − 2 −1
;
x →3 x 2 − 9
3x 2 − 2 x 2 − 1
6) xlim
;
→∞
2
3
2 − x + 2 x − 4x
4) lim
3x 2 + 2 x − 1
7) xlim
;
→∞
5x + 3
8) lim
1− 1− x 2
;
9) lim
x →0 sin 5 x
10) xlim
(25 x − 13) ln
→∞
lntgx
;
11) lim
x→π cos2x
12) xlim
x ⋅ tg ;
→∞
x
arcsin( x − 3)
;
x →3 x 2 − 5 x + 6
13) lim
5x − 3x
x →0 e − 2 x − 1
3x − 11
3x + 14
4
4
15) lim
x 2 + 10 x + 21
;
x →−3 x 2 + 8 x + 15
;
x ⋅ arctg 4 x
;
17) lim
x →0 cos 3 x − cos 5 x
2. Сравнить б. м. α (t ) = tgt
3. Доказать, что при x → 1
14) lim tg 3x ⋅ ctgx;
x →π
ln(1 − 7 x)
;
x→0 sinπ ( x + 7)
16) lim
1 + x 2 − x −1
18) lim
;
x →1 sin( x − 1)
и β (t ) = t при t → 0 .
x − 1 ∼ x3 − 1 .
x+5
1 + x2
;
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №26
1. Найти пределы:
3x − 5x + 2
1) xlim
;
→∞ 3
2 x − 5x2 + 3
2) lim
x 2 − 4 x − 12
3) xlim
; x0 = −2, x0 = 3.
→ x0
2 x 2 + 9 x + 10
4) xlim
→x
3
2
x + 3 ⎞3 x
⎟⎟ ;
⎝ x−4⎠
⎛
⎜
5) xlim
→∞⎜
9+ x −2
x →−5
0
6) xlim
→∞
2
x − 25
3x
arcsin 5x
;
; x0 = 0, x0 =
2 − 3x + x 2
;
x+5
3 x3 + 2 x − 4
;
7) xlim
→∞ 4
5 x − 3x 2 + 4
3− x2 − 7
8) lim
;
x →−4 2 − 8 + x
1 − cos 6 x
9) lim
;
x →0 cos 2 x − 1
10) lim (15 − 2 x) x 2 −7 x ;
x →7
1
tg3x
;
x→0 ln cos5x
11) lim
2
12) xlim
x
sin
→∞
sin 2 x − 1
13) lim
;
π
(
2
)
arctg
x
−
π
x→
14) lim
x →0
2
15) lim
53 x − 2 x
x →0 1 − e 2 x
16) lim
x→π
;
3x
2 ;
17) lim
x →0 ln(1 − 7 x)
arcsin
18) lim
x →π
3
3
x
2
x−5 +3 5
;
arcsin 4 x
cos x + cos4x
;
x3 −π 3
sin 4 x − 4 sin x
e
cos x
2. Сравнить б. м. α (t ) = tgt 3 и β (t ) = t 2 sin 2t при t → 0 .
3. Доказать, что при x → 0 1 − cos3 2 x ∼
3
27
tg 2 2 x .
;
2
−1
;
π.
5
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №27
1. Найти пределы:
3x2 − 5x + 1
1) xlim
;
→∞ 3
3x + 5 x2 − 1
π
sin x − cos x
; x0 = , x0 = 0.
4
cos 2 x
0
2) xlim
→x
3x + 6
0
x +8
3
; x0 = −2, x0 = 3.
3
x 2 −1
3) xlim
→x
4) lim (2 x − 1)
ax − x
5) xlim
;
→a x − 2
3x 2 + 4 x − 5
6) xlim
;
→∞ − 2 x + 1
x →1
;
1− x − 3
;
x →4 2 − x
1 − 3x
;
7) xlim
→∞ 2 + 5 x
πx
cos
6 ;
9) lim
πx
x →3
1 − tg
8) lim
10) xlim
( x 2 − 3x + 1)⎡⎢ln⎛⎜ x 2 − 3⎞⎟ − ln( x 2 + 4 x − 2)⎤⎥;
→∞
⎣
⎝
⎠
12
11) lim
x 2 − 3x
x→0 7 x − 4 x
13) lim
x →2
3
12) xlim
x
→∞
;
6+ x −2
ctg πx
;
14) lim sin 6 x ⋅ ctg 21x;
x →π
cosπx + cos 4πx
;
3
x →1
x − 6x + 5
16) lim
tg 8x
;
arcsin 3x
18) lim
15) lim
17) lim
x→0
⎞
⎛ −1
2
⎟
x
− 1⎟ ;
⎜e
⎟
⎜
⎠
⎝
2⎜
ln(1 + 4 x)
;
x→0 arcsin7 x
2. Сравнить б. м. α (t ) = 3 arcsin 2 t и β (t ) =
x →2
t
sinπx
;
2
x −4
при t → 0 .
t −1
3. Доказать, что при x → 0 arcsin x ln(1 + 3 x ) ∼ x xtg 3 x .
⎦
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №28
1. Найти пределы:
1) xlim
→∞
x2 + x − 2
; x0 = −2, x0 = 5.
0 x 2 + 2x
1 − 4 x3
;
2 x + 3 x 2 + 5 x3
2) xlim
→x
x
2
arcsin(1 − 2 x)
1
; x0 = , x0 = 0.
3) xlim
→ x0
2
4x 2 −1
5) lim
2− x −3
x →7
2
x − 49
⎛ x −3⎞
⎜
⎟ ;
4) xlim
→∞⎜⎝ x ⎟⎠
6) xlim
→∞
;
3x + 1
;
7) xlim
→∞ 3
5x + 2x − 1
4x4 − 2x3 − 2
2
x +3
;
2x 2 − 7 x − 4
8) lim
x →4 2 x 2 − 13x + 20
;
1
9) lim tg 2 x ⋅ ctg 3x;
11) lim
x→0 tgx 2 ⋅ arcsin5x
e
13) lim
3x
x →0 2
x
15) xlim
→∞
17) lim
x →0
x
−1
− 2− x
⎛
1
3⎜
x2
⎜1 − 3
⎜
⎝
;
πx ;
x →2
;
4
sin ln(4 x + 5)
;
x →−1 x 3 + 3x − 2
14) lim
;
⎞
⎟
⎟;
⎟
⎠
16) limπ
x→
x −x
;
2
arctg (5 x )
5
12) lim ( x − 2)tg
x →7
x →0
ln 3 (1 + 2x)
10) lim (2 x − 13)
7 x 2 − x3
3
2
18) lim
x →−3
2
1 − sin 3 5x
cos2 3x
;
2 − 13 + 3x
2
x −9
;
sin( x − 1)
при x → 1.
3
cos πx
1+ x
3. Доказать, что при t → 0 1 − etg 5t ∼ −5 t sin t .
2. Сравнить б. м. α ( х) =
1− x
и β ( х) =
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №29
1. Найти пределы:
1) xlim
→∞
x2 − x − 2
; x0 = −1, x0 = 3.
3
0
x +1
1 − 4x4
;
2 x + 3x2 − 5x 4
2) xlim
→x
tgx
π.
;
x
=
π
,
x
=
3) xlim
0
0
→ x0 sin 2 x
4
9 − x2
4) lim
;
x →3 3 x − 3
2
x
2x3 + 3x2 − 2x
5) lim (1 − 3x ) ;
6) xlim
→∞
2 x 2 − 3x + 1
;
7) xlim
→∞
x
8) lim
9) lim sin 6 x ⋅ ctgx;
10) xlim
(11 − 2 x )[ln(3x + 19) − ln(3x − 10)];
→∞
x →0
;
x+7 − 3− x
;
x+2
x→ −2
x →0
3
− 3x2 + 1
1 − 1 + 5x 2
;
11) lim
x→0 ln(1 + x sin x)
12) xlim
tg
→∞
25x 2 − 4
13) lim
;
x → 5 sin(5 x − 2)
2x −8
14) lim
;
x →0 6 − x − 5 + x
a x − a− x
15) lim
;
x →0 arcsin 4 x
16) lim
x
17) lim ctg 3x ⋅ arctg ;
18) lim
2
x→1
⎞
4 ⎛⎜ x 2
⎟;
e
−
1
⎟
2 ⎜
x
⎝
⎠
ln(3x − 2)
2
3+ x 2
;
−4
sin x + 3sin 4 x
;
x →π cos 5 x − cos 3x
x →0
5
2. Сравнить б. м. α ( х) = 1 + tg 2 x и β ( х) = 3 x sin x при x → 0 .
3. Доказать, что при t → π 1 + cos3 t ∼
3
2
(π − t )
2
.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы
Комплект № 1
_________________________________________________________________________________________
Вариант №30
1. Найти пределы:
1) xlim
→∞
x 2 − 6x − 7
; x0 = −1, x0 = 1.
0 2 x 2 + 3x + 1
7 x − 2 x3
;
2
3
4 + 2 x − 3x + 5 x
3) xlim
→x
1 − cos 2 x
x sin x
x
;
5) lim
x →0 x + 1 − 1
0
2) xlim
→x
1− x
π
; x0 = 0, x0 = .
4) xlim
(1 − 4 x )
→∞
6
6) xlim
→∞
arctg 2 x
;
x→0 arcsin 3 x
11) lim
x→0
13) lim
−1
1 + x sin x − 1
ln 3 (1 − 4 x)
7
15x + 4
;
15 x − 3
1
12) xlim
sin ctg ;
→∞
x
5x
;
tg 2 x ⋅ arcsin 2 5x
x→0
4x3 − 2x + 1
;
2
x −3
10) xlim
(7 x + 8) ln
→∞
9) lim
2
;
x 4 − 16
;
8) lim
x→2 x 3 + 5 x 2 − 6 x − 16
x+3 ;
7) xlim
→∞ 2
3x − 5 x + 1
ex
x
tgπx
;
x →3 tg 7πx
14) lim
;
ln( x − 2)
;
x→3 x 2 − 7 x + 12
16) limπ
15) lim
x→
2
sin3x + 1
;
cos5x
tg 5 x 2
18) lim
;
x→0 cos 5 x − cos x
5 − 4 x − 3 5x − 4
;
17) lim
x→1
xarctg 3x
3
2. Сравнить б. м. α (t ) = 1 − cos 4 t и β (t ) = t ⋅ tg 3t при t → 0 .
x 2 − 3x + 2
3. Доказать, что при x → 2 2
∼
.
x
+
5
x +3
x−2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа