close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

, lim ax = , lim by = z = ∃ x lim , lim az = . lim a yn = ∃ x / n = x lim = y

код для вставкиСкачать
§3. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 3.1. Если данная последовательность имеет предел, то он
единственный.
Теорема 3.2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Замечание 3.1. Обратная теорема неверна, и ограниченная
последовательность может не иметь предела (см. пример 2.2).
Теорема 3.3. Пусть даны последовательности { xn }, { yn } и для  n N
выполняется неравенство xn ≤ yn . Если lim xn  a, а lim yn  b, то a ≤ b.
n 
n 
Теорема 3.4 (теорема о сжатой последовательности). Пусть даны три
последовательности { xn }, { yn }, { z n }, при этом для  n N выполняется
неравенство xn ≤ yn  zn . Если  lim xn  lim zn  a, то  lim yn  a.
n 
n 
n 
Арифметические операции
над сходящимися последовательностями
Определение 3.1. Пусть даны две последовательности { xn }, { yn }.
Последовательности { xn + y n }, { xn y n } называются суммой и произведением
данных последовательностей, а последовательность { xn / y n } – их частным
при условии, что y n ≠ 0 при  n N.
Теорема 3.5. Если lim xn  a и lim yn  b, то lim ( xn  yn )  a  b ,
n 
n 
n 
lim xn yn  ab, а если при этом b ≠ 0, то lim ( xn / yn )  a / b.
n 
n 
3.
1
►Оба члена дроби под знаком предела поделим на 2 n , получим:
2 n 1  3  2  3 2 n  2  3(1 2) n . Поскольку lim (1 2) n  0 (пример 2.1), то
n 
2n  1
1  1 2n
1  (1 2) n
n 1
2  3(1 2) n
lim 2 n  3  lim
 2 в силу теоремы 3.5.◄
n  2  1
n   1  (1 2) n
Пример 3.1. Найти lim
2 n 1
n  2n
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа