close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Стр. 1 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2014/2015 уч. год
Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр
Предел последовательности
Простейшие
2n 5 − n 2 + 9n
.
n → ∞ −4n 5 − 5n 4 − 4n − 2
1. Вычислите предел последовательности lim
−2n 4 + n + 8
.
n → ∞ 7n 2 − 3n + 6
2. Вычислите предел последовательности lim
5n 5 − 4n 4 + 8n 3 + 9n 2 + 7n − 8
.
n →∞
2n 6 + 2n 5 + 9n 4 − 2n 3 + 2
3. Вычислите предел последовательности lim
4. Вычислите предел последовательности lim
8 + 4n + 3 cos3n
.
+ 3n − 5 cos5n
n →∞ 8
7 − 5n − 8 sin 3 8n
.
n → ∞ 8n 2 + 6 cos8n + 6
5. Вычислите предел последовательности lim
6. Вычислите предел последовательности lim
√7n 20
+ 5n 6 + n − 6
.
−2n 10 + 5n + 3
n →∞
7. Вычислите предел последовательности lim
√7n 18
n →∞
8. Вычислите предел последовательности lim
−n−5
.
−3n 8 + 6
9n 8 − 6n 5 − 1
n → ∞ √5n 20
− 5n + 1
.
Простые
9. Вычислите предел последовательности lim
3n − 2
n → ∞ −3n
10. Вычислите предел последовательности lim
n →∞
+ 2 + √n 2 + 4n − 3
√5n 18
+ n − 8 − √5n 8 + 9
.
−7n 9 + 8n + 4
2
11. Вычислите предел последовательности lim
n →∞
 7n + 9  n 2

 
+ 6
2
2n 6 + 4
.
Пределы с показательной функцией
4 ⋅ 3n − 3 ⋅ 5n + 3
.
n → ∞ 5 ⋅ 3n + 4 ⋅ 5n − 4
12. Вычислите предел последовательности lim
3n 3 − 3 − 4 ⋅ 2 n
.
n → ∞ 4 ⋅ 2 n + 2n 3 + 2
13. Вычислите предел последовательности lim
5 ⋅ 6 −n − 4 ⋅ 4 −n − 2
.
n → ∞ 3 ⋅ 4 −n − 4 ⋅ 6 −n + 3
14. Вычислите предел последовательности lim
3 ⋅ 4 −n + 5 ⋅ 3 −n
.
n → ∞ 2 ⋅ 4 −n + 3 ⋅ 3 −n
15. Вычислите предел последовательности lim
.
Стр. 2 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
5 ⋅ 2 −n − 2n 4 − 2
.
n → ∞ 4n 4 − 3 ⋅ 2 −n − 3
16. Вычислите предел последовательности lim
3 ⋅ 6 n − 4n 4 − 1
.
n → ∞ 2 ⋅ 5 n − 3n 5
17. Вычислите предел последовательности lim
3n 7 − 5 ⋅ 4 n
.
n → ∞ 4 ⋅ 6 n − 5n 5 + 2
18. Вычислите предел последовательности lim
Пределы с разностями бесконечно больших величин
 8 − 8n + 5n 2 4 + 7n − 3n 2 
19. Вычислите предел последовательности lim 
+
.
n →∞ 
5n + 7
3n − 3 
20. Вычислите предел последовательности lim  √4n 2 + 2n − 3 − 2n .
n →∞
Второй замечательный предел
7n + 1  −6n −8
21. Вычислите предел последовательности lim 
.
n → ∞  7n − 4 

n
5
 5 + 7
22. Вычислите предел последовательности lim  n
n →∞  5 + 3

n
+4
.
23. Вычислите предел последовательности lim ( − 2n − 6) ln(3n − 1) − ln(3n + 4) .
n →∞
24. Вычислите предел последовательности lim (7 n − 6) ln(7 n + 3) − ln(7 n + 8) .
n →∞
Предел функции
Простые пределы функций в конечных точках
3x 2 − 4x − 20
.
x → −2 x 2 − 6x − 16
25. Вычислите предел lim
6x 2 − 3x − 3
.
x→1
x2 − 1
26. Вычислите предел lim
5 − √35 + 2x
.
x → −5 9 − √41 − 8x
27. Вычислите предел lim
1-й замечательный предел
x 4 − 4x + 7 3  3 
tg 
.
x→∞
5x − 8
 x − 4 
28. Вычислите предел lim
3x 2 + 5x − 8
.
x → 1 5 tg(x − 1)
29. Вычислите предел lim
2-й замечательный предел
4
3 − 4x  tg5x
30. Вычислите предел lim 
.
x → 0  3 − 2x 
x −2
31. Вычислите предел lim x 1 − x .
x→1
2014/2015 уч. год
Стр. 3 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Пределы на правило Лопиталя
7
32. Вычислите предел lim
x→1
√x
−1
3
1 − √x
.
x 3 + 2x 4
.
x → 0 arctg4x − 4x
33. Вычислите предел lim
34. Вычислите предел lim
8x + 7
.
2 ln9x
x → +∞ −7 +
Исследование функций, не использующее производные
Классификация изолированных точек разрыва функции (часть 2)
35. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
⎧ 4x , x ∈ ( − ∞; 2),
⎪
f (x) = −x 2 + 6x − 6, x ∈ [2; 3],
⎨
3
⎪ − x −4
, x ∈ (3; + ∞) .
⎩
36. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
2
⎧ x +1 , x ∈ ( − ∞; − 2),
⎪
f (x) = 2x 2 + 3x − 4, x ∈ [ − 2; − 1),
⎨
1
⎪ − x −1
, x ∈ [ − 1; + ∞) .
⎩
37. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
4
⎧ x −3 , x ∈ ( − ∞; − 1),
⎪
f (x) = −2x 2 − 3x − 2, x ∈ ( − 1; 7),
⎨
7
⎪ − x −7
, x ∈ (7; + ∞) .
⎩
38. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
8
, x ∈ ( − ∞; − 3),
⎧ x −5
⎪
f (x) = −2x 2 − 8x − 7, x ∈ [ − 3; 3],
⎨
7
⎪ x −3
, x ∈ (3; + ∞) .
⎩
39. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
5
, x ∈ ( − ∞; − 7),
⎧ − x +2
⎪
f (x) = −2x 2 + 4x + 9, x ∈ [ − 7; − 2),
⎨
7
⎪ − x +3
, x ∈ ( − 2; + ∞) .
⎩
40. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
8
⎧ − x −4 , x ∈ ( − ∞; 2),
⎪
f (x) = −2x 2 + 2x + 8, x ∈ [2; 4],
⎨
8
⎪ x −3
, x ∈ (4; + ∞) .
⎩
41. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
2014/2015 уч. год
Стр. 4 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
1
⎧ − x +1 , x ∈ ( − ∞; − 2),
⎪
f (x) = −3x 2 + 6x + 3, x ∈ ( − 2; 2],
⎨
6
⎪ − x −1
, x ∈ (2; + ∞) .
⎩
42. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
5
, x ∈ ( − ∞; − 2],
⎧ x +1
⎪
f (x) = −x 2 + 2x + 3, x ∈ ( − 2; 4),
⎨
5
⎪ − x −3
, x ∈ (4; + ∞) .
⎩
43. Найдите точки разрыва функции и определите их типы
4
⎧ x −3 , x ∈ ( − ∞; 2],
⎪
f (x) = −x 2 + 2x − 4, x ∈ (2; 3],
⎨
7
⎪ − x −2
, x ∈ (3; + ∞) .
⎩
Асимптоты графика функции
44. Найдите асимптоты графика функции f (x) =
1 + 2x
.
x−2
45. Найдите асимптоты графика функции f (x) = −
46. Найдите асимптоты графика функции f (x) =
4x 2 − 5x + 1
.
2+ x
2x 2 + 3x − 2
.
x+2
Производная
Упражнения на вычисление производных
47. Продифференцируйте функцию f (x) = 6
1
. Преобразовывать и упрощать
8x 2 + 7x
выражение производной не нужно.
48. Продифференцируйте функцию f (x) = 5tg(10x 2 − 4x) . Преобразовывать и упрощать
выражение производной не нужно.
49. Продифференцируйте функцию f (x) = 9log59 (6x 3 − 8x 2 ) . Преобразовывать и
упрощать выражение производной не нужно.
Эластичность
50. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
D(p) = 25 − 11p и с функцией предложения S(p) = 7p − 11, где p — цена товара в рублях,
вычислите эластичность спроса в точке рыночного равновесия.
51. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса D(p) = 10 − p
и с функцией предложения S( p) = 6p − 39, где p — цена товара в рублях, вычислите
эластичность предложения в точке рыночного равновесия.
Уравнение касательной
52. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = 2x 3 − 6x 2 + x − 1 в
точке x0 = 2 .
2014/2015 уч. год
Стр. 5 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
53. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) =
2014/2015 уч. год
5x 2 + 4x + 5
в точке
− x2 + x + 1
x0 = 1 .
54. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = ( − 3x − 1) e −4x
точке x0 = − 1 .
55. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) =
2 +8x +12
в
ln(6x − 5)
в точке
−6x 2 − 6x + 13
x0 = 1 .
Исследование функций и построение графиков
Промежутки возрастания и убывания
56. Для функции f (x) = − 7x 3 + 4x 2 + 5x − 3 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
57. Для функции f (x) = 5x 5 − 5x 3 + 2x + 6 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
58. Для функции f (x) = − 3x 5 + 7x 3 − 6x − 7 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
59. Для функции f (x) = 3x 5 − 3x 3 − 6x + 5 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
60. Для функции f (x) = − 2x 5 − x 3 + x − 7 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
61. Для функции f (x) = 7x 5 + 6x 3 + 4x − 1 найдите промежутки возрастания и
убывания, а также укажите точки локальных экстремумов.
x+6
найдите промежутки возрастания и убывания, а
− 3x − 18
также укажите точки локальных экстремумов.
62. Для функции f (x) =
x2
−x 2 + 3x + 7
найдите промежутки возрастания и убывания, а
x2
также укажите точки локальных экстремумов.
63. Для функции f (x) =
2x + 1
найдите промежутки возрастания и убывания, а также
x 2 + 42
укажите точки локальных экстремумов.
64. Для функции f (x) =
65. Для функции f (x) = (x + 4) 9 (x − 2) 7 найдите промежутки возрастания и убывания, а
также укажите точки локальных экстремумов.
66. Для функции f (x) = (x − 2) ⋅ e x +7 найдите промежутки возрастания и убывания, а
также укажите точки локальных экстремумов.
67. Для функции f (x) = x − 17 arctg(x + 4) найдите промежутки возрастания и убывания,
а также укажите точки локальных экстремумов.
Промежутки выпуклости и вогнутости
68. Для функции f (x) = − 2x 4 + 28x 3 + 96x 2 + 8x − 3 найдите промежутки выпуклости
(выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
Стр. 6 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2014/2015 уч. год
69. Для функции f (x) = − 4x 4 − 2x 3 − 8x 2 − 3x + 9 найдите промежутки выпуклости
(выпуклости вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
x3
найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),
x 2 + 11
вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.
70. Для функции f (x) =
Построение эскизов грaфиков функций по готовому исследовaнию
71. Постройте эскиз грaфикa кaкой-либо функции f (x), удовлетворяющей следующим
условиям:
1) D[ f ] = ( − ∞; − 6) ∪ ( − 6; + ∞), функция двaжды дифференцируемa нa
( − ∞; − 6) ∪ ( − 6; − 2) ∪ ( − 2; 3) ∪ (3; + ∞);
2) lim f (x) = 0, lim f (x) = − 2, lim
x → −∞
lim
x → −2 ±0
x → +∞
x → −6 −0
f (x) = − ∞, lim
x → −6 +0
f (x) = − 6, f ʹ(x) = + ∞, lim f (x) = + ∞, lim f (x) = 10 = f (3);
x → 3 −0
x → 3 +0
3) f ʹ(x) > 0 нa ( − 6; − 2) ∪ ( − 2; 3), f ʹ(x) < 0 нa ( − ∞; − 6) ∪ (3; + ∞), f ( − 2) = 1;
4) f ʹʹ(x) > 0 нa ( − 5; − 2) ∪ (1; 3) ∪ (3; + ∞), f ʹʹ(x) < 0 нa
( − ∞; − 6) ∪ ( − 6; − 5) ∪ ( − 2; 1) .
Комментaрий. В зaдaнии требуется построить не грaфик функции (это невозможно по
недостaтку дaнных), a лишь эскиз грaфикa. Поэтому допустимы некоторые искaжения
мaсштaбa, в чaстности, нерaвномерность мaсштaбa по осям координaт. Нa эскизе
необходимо отметить мaксимумы и минимумы функции, точки перегибов, aсимптоты
(вертикaльные, нaклонные, горизонтaльные).
Теоретические вопросы и задачи
Вопросы на знание определений и формулировок (1 семестр)
72. Дайте определение числовой функции. Какие существуют способы задания
функции?
73. Дайте определение обратной функции.
74. Дайте определение сложной функции.
75. Дайте определение числовой последовательности.
76. Дайте определение предела числовой последовательности.
77. Сформулируйте основные свойства пределов сходящихся последовательностей,
связанные с арифметическими действиями.
78. Дайте определение ограниченной последовательности.
79. Дайте определение бесконечно малой последовательности.
80. Дайте определение бесконечно большой последовательности.
81. Дайте определение монотонных последовательностей.
82. Дайте определение предела функции в точке.
83. Сформулируйте основные свойства пределов функций, связанные с
арифметическими действиями.
Стр. 7 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
84. Дайте определение бесконечно малой функции.
85. Дайте определение бесконечно большой функции.
86. Cформулируйте первый замечательный предел.
87. Cформулируйте второй замечательный предел.
88. Дайте определения односторонних пределов функции в точке.
89. Дайте определение функции, непрерывной в точке.
90. Дайте определение точки разрыва функции. Приведите классификацию точек
разрыва.
91. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.
92. Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции.
93. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций.
94. Дайте определение производной функции f (x) в точке x0 .
95. Дайте определение дифференциала функции f (x) в точке x0 .
96. Запишите правила дифференцирования основных элементарных функций.
97. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
98. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
99. В чем заключается геометрический смысл производной функции и дифференциала
функции?
100. Запишите уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x0 .
101. Дайте определение эластичности функции.
102. Сформулируйте теорему Ролля.
103. Сформулируйте теорему Лагранжа.
104. Сформулируйте теорему Коши.
105. Сформулируйте правило Лопиталя.
106. Дайте определение производной второго порядка и запишите формулу второго
дифференциала.
107. Запишите формулы Тейлора и Маклорена.
108. Сформулируйте признак монотонности дифференцируемой функции.
109. Дайте определение локального экстремума функции одной переменной.
110. Сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной
переменной.
111. Дайте определение точки перегиба функции.
112. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба.
113. Дайте определение асимптот графика функции.
Действительные числа (1 семестр)
2014/2015 уч. год
Стр. 8 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
114. Приведите определения точных верхней и нижней граней числового множества.
Приведите пример ограниченного числового множества M, такого, что inf(M) ∈ ̅M̅ и
sup(M) ∈ M, где ̅M̅ — дополнение к множеству M .
115. Сформулируйте свойство полноты множества действительных чисел. Выполняется
ли такое свойство у множества рациональных чисел?
116. Сформулируйте теорему Кантора о последовательности вложенных отрезков.
Приведите пример последовательности вложенных отрезков, имеющих единственную
общую точку √15 .
Предел последовательности (1 семестр)
117. Дайте определение предела числовой последовательности. Приведите примеры:
а) последовательности, сходящейся к числу −7;
б) расходящейся последовательности;
в) ограниченной последовательности, не имеющей предела.
118. Докажите, что последовательность {xn }, где xn = ( − 3) 6n +4 не имеет числового
предела.
119. Дана последовательность x1 = 0, 8, x2 = 0, 88, x3 = 0, 888, . . . , xn = 0, 888...8,
. . . (Десятичная запись n-го члена последовательности содержит n цифр «8».)
Определите, чему равен предел этой последовательности?
120. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
5n − 9
5
что предел последовательности {xn }, xn =
, равен числу a = , или опровергните
8n − 9
8
это утверждение.
121. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
6 ⋅ 2n + 4
3
что предел последовательности {xn }, xn =
, равен числу a = , или
n
10 ⋅ 2 − 4
5
опровергните это утверждение.
122. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
−n − 9
что предел последовательности {xn }, xn =
, равен числу a = − 1, или
8n + 5
опровергните это утверждение.
123. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
−5 ⋅ 3 n − 6
3
что предел последовательности {xn }, xn =
, равен числу a = , или
n
7⋅3 −4
4
опровергните это утверждение.
124. Дайте определение предела последовательности. a) Исходя из определения,
−n + 4
1
докажите, что предел последовательности {xn }, xn =
, равен числу a = − , или
11n + 1
11
опровергните это утверждение.
б) Если утверждение верно, то для ε =
11
найдите такое N, чтобы при всех n > N
10000
выполнялось неравенство |xn − a|| < ε .
125. Дайте определение предела последовательности. a) Исходя из определения,
2014/2015 уч. год
Стр. 9 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
докажите, что предел последовательности {xn }, xn =
−4 ⋅ 2 n + 4
4
, равен числу a = − ,
3 ⋅ 2 n + 10
3
или опровергните это утверждение.
б) Если утверждение верно, то для ε =
1
найдите такое N, чтобы при всех n > N
10000
выполнялось неравенство |xn − a|| < ε .
126. Дайте определение предела последовательности. a) Исходя из определения,
7n + 6
, равен числу a = − 2, или
докажите, что предел последовательности {xn }, xn =
8n − 4
опровергните это утверждение.
б) Если утверждение верно, то для ε =
7
найдите такое N, чтобы при всех n > N
100
выполнялось неравенство |xn − a|| < ε .
127. Дайте определение предела последовательности. a) Исходя из определения,
5 ⋅ 4n − 4
, равен числу a = − 3, или
докажите, что предел последовательности {xn }, xn =
9 ⋅ 4n − 4
опровергните это утверждение.
б) Если утверждение верно, то для ε =
1
найдите такое N, чтобы при всех n > N
100000
выполнялось неравенство |xn − a|| < ε .
128. Дайте определение последовательности, ограниченной снизу. Приведите пример
такой последовательности. Может ли предел последовательности, ограниченной снизу
числом −7, быть равным: а) −7 . 06; б) −6 . 97? Ответ обоснуйте.
129. Дайте определение последовательности, ограниченной сверху. Приведите пример
последовательности, не являющейся ограниченной сверху.
130. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.
131. Дайте определение ограниченной последовательности. Приведите пример
ограниченной последовательности, не имеющей предела.
132. Докажите, что сходящаяся последовательность не может иметь два различных
предела.
133. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся последовательностей?
Приведите пример расходящихся последовательностей, сумма которых сходится.
134. Может ли последовательность {xn + yn } сходиться, если последовательность {xn }
сходится, а последовательность {yn } расходится? Ответ обоснуйте.
135. Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся последовательностей?
Приведите пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится.
136. Может ли последовательность {xn ⋅ yn } сходиться, если последовательность {xn }
сходится, а последовательность {yn } расходится?
137. Докажите, что если {αn } — бесконечно малая, а {xn } — ограниченная
последовательности, то {αn xn } — бесконечно малая последовательность.
138. Дайте определение бесконечно малой последовательности. Приведите примеры
бесконечно малых последовательностей, отношение которых: а) является бесконечно
2014/2015 уч. год
Стр. 10 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
малой последовательностью; б) не является бесконечно малой последовательностью.
139. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Докажите, что
подпоследовательности сходящейся последовательности сходятся и имеют тот же предел,
что и сама последовательность.
140. Может ли подпоследовательность расходящейся последовательности сходиться?
Ответ обоснуйте.
141. Что означает запись " lim xn = + ∞"? Докажите, исходя из определения, что
n→∞
lim
n →∞
3
√n + 6
= + ∞?
142. Что означает запись " lim xn = + ∞"? Докажите, исходя из определения, что
n→∞
lim (n 2 + 4) = + ∞?
n →∞
143. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
−2n 2 + 6
что предел последовательности {xn }, xn =
, равен −∞, или опровергните это
n−6
утверждение.
144. Дайте определение предела последовательности. Исходя из определения, докажите,
−n + 9
, равен −∞, или опровергните это
что предел последовательности {xn }, xn = 2
2n + 1
утверждение.
145. Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой?
Ответ обоснуйте.
146. Какие из следующих последовательностей являются монотонными, а какие строго
монотонными?
a) −7, −7, −7, −7, −7, −7, −7, …, 1, …;
б) 7, −7, 7, −7, 7, −7, 7, …, ( − 1) n 7, …;
в) 9, 4, −1, −6, −11, −16, −21, …, (14 − 5n) …;
1
1
1
1
1
1
1
, …
г) −1, − , − , − , − , − , − , …,
4
7
10
13
16
19
2 − 3n
147. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной
последовательности. Приведите пример монотонной ограниченной последовательности,
предел которой равен √13 .
Предел функции в точке и непрерывность функции (1 семестр)
148. Сформулируйте определение предела функции в точке по Гейне. Найдите, исходя из
x2 + 1
определения lim
.
x → −5 x + 7
149. Сформулируйте определение предела функции в точке по Гейне. Имеет ли функция
1
f (x) = cos предел в точке x = 0? Ответ обоснуйте.
x
150. Сформулируйте определение предела функции в точке по Гейне. Имеет ли функция
1
f (x) = x cos предел в точке x = 0? Ответ обоснуйте.
x
2014/2015 уч. год
Стр. 11 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2014/2015 уч. год
151. Дайте определение предела функции по Гейне при x → ∞ . Имеет ли функция
f (x) = sin x предел при x → ∞?
152. Дайте определения односторонних пределов функции в точке (по Гейне). Что
можно сказать об односторонних пределах функции f (x) в точке x0 , если lim f (x) = a?
x → x0
Ответ обоснуйте.
153. Сформулируйте определение пределa функции в точке по Гейне. Существует ли
x+1
lim
? Ответ обоснуйте.
x → −1 | x + 1||
154. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если
последние существуют и конечны.
155. Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их
пределов, если последние существуют и конечны.
156. Дайте определение бесконечно малой функции. Является ли функция cos x
34
35
бесконечно малой величиной при x → − π? А при x → − π?
14
14
157. Что означает запись " f (x) = o(g(x)) при x → x0 "? При каком максимальном целом n
12
выполнено условие: |x|| 5 = o(x n ) при x → 0? Ответ обоснуйте.
158. Докажите, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию
есть снова бесконечно малая функция.
159. Дайте определение бесконечно большой функции. Приведите пример функции,
π
имеющей бесконечный предел при x → .
2
160. Изобразите график функции f (x) в окрестности точки −2, у которой
lim f (x) = + ∞, lim f (x) = 3 .
x → −2 −0
x → −2 +0
161. Может ли функция f (x) + g(x) быть непрерывной в точке x0 , если функция f (x)
непрерывна, а функция g(x) определена в этой точке и имеет разрыв в ней? Ответ
обоснуйте.
162. Может ли функция f (x) ⋅ g(x) быть непрерывной в точке x0 , если функция f (x)
непрерывна, а функция g(x) определена в этой точке и имеет разрыв в ней? Ответ
обоснуйте.
163. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значение a, при
 x 2 −1 , x ≠ − 1,
x +1
котором функция f (x) = 
является непрерывной в точке x = − 1 . Ответ
 a,
x= −1
обоснуйте.
164. Изобразите график какой-либо функции, имеющей неустранимую точку разрыва
II-го рода.
165. Изобразите график какой-либо функции, имеющей один устранимый разрыв и один
неустранимый разрыв I-го рода со скачком, равным 3 .
166. Сформулируйте 1-й и 2-й замечательные пределы. Докажите 1-й замечательный
предел.
Стр. 12 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2014/2015 уч. год
167. Пусть функция f (x) непрерывна в точке x0 и пусть f (x0 ) > 0 . Докажите, что
существует окрестность точки x0 , в точках которой функция f (x) принимает
положительные значения.
168. Докажите, что непрерывная на отрезке функция, принимающая в концах его
значения разных знаков, обращается в ноль в некоторой точке этого отрезка.
169. Докажите, что всякий многочлен нечетной степени с действительными
коэффициентами имеет действительный корень.
170. Обоснуйте, почему график функции f (x) = − x 3 − 2x не имеет асимптот.
Дифференциальное исчисление (1 семестр)
171. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
 x 2 sin 1 , x ≠ 0,
x
производную функции f (x) = 
в точке x = 0.
 a,
x=0
172. Докажите теорему о производной суммы двух функций.
173. Докажите теорему о производной произведения двух функций.
174. Выведите формулу для вычисления производной функции  f (x)


g(x)
.
175. Следует ли из существования конечной производной функции f (x) в точке ее
непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.
176. Приведите пример функции, непрерывной в некоторой точке, но не
дифференцируемой в ней. Ответ обоснуйте.
177. Докажите, исходя из определения, что производная нечетной функции, является
четной функцией.
178. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их
эластичностей.
179. Докажите, что эластичность отношения двух функций равна разности их
эластичностей.
180. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.
181. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.
182. Сформулируйте теорему Ролля. Можно ли утверждать, что производная функции
f (x) = (x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 7) обращается в нуль в трех точках интервала (2; 7)? Ответ
обоснуйте.
183. Сформулируйте теорему Ролля. Докажите, что производная функции
f (x) = (x − 6) ln(4x + 9) обращается в нуль в некоторой точке интервала ( − 2; 6) .
184. Сформулируйте теорему Ролля. Можно ли применить теорему Ролля к случаю
f (x) = |x|| при x ∈ [ − 1, 1]?
185. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.
186. Сформулируйте теорему Лагранжа. Объясните её геометрический смысл.
187. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ʹ(x) = 0 на интервале
(a; b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.
Стр. 13 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
188. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ʹ(x) > 0 на интервале
(a; b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.
189. Выведите из теоремы Коши для пары дифференцируемых функций утверждение
теоремы Лагранжа.
190. Дайте определение многочлена Тейлора Pn (x) функции f (x) в точке x0 . Чему равны
его производные в этой точке?
191. Найдите многочлен Тейлора P3 (x) функции f (x) в точке x0 = 3, если f (3) = − 1,
f ʹ(3) = − 1, f ʹʹ(3) = 4, f ʹʹʹ(3) = 1 .
192. Многочлен f (x) = x 3 + 13x 2 + 58x + 87 разложитe по целым положительным
степеням (x + 4) .
193. Функцию f (x) = e x разложитe по степеням (x + 3) до члена, содержащего
множитель (x + 3) 3 .
194. Дайте определение и сформулируйте необходимое условие локального экстремума
функции одной переменной. Приведите пример функции, для которой это условие
выполнено в некоторой точке, но экстремум отсутствует.
195. Докажите необходимое условие локального экстремума функции одной
переменной.
196. Приведите пример функции, у которой в стационарной точке нет экстремума.
197. Приведите пример функции, которая не дифференцируема в точке максимума.
198. Приведите пример функции, у которой имеется точка перегиба, не являющаяся
стационарной.
199. Приведете определение чётной и нечетной функции. Приведите примеры чётной
функции, нечётной функции, не чётной и не нечётной функции. Может ли функция быть и
чётной и нечётной одновременно? Ответ обоснуйте.
200. Дайте определения выпуклой и вогнутой на интервале функции. Приведите пример
функции, обладающей в каждой точке непрерывной производной второго порядка и
имеющей бесконечное число точек перегиба.
201. Дайте определения выпуклой и вогнутой на интервале функции. Может ли
элементарная функция, не имеющая точек перегиба, быть выпуклой на одном интервале из
своей области определения и вогнутой на другом? Ответ обоснуйте.
Дифференциальное исчисление
202. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = (x − 3) 2 в каждой точке ее области существования.
203. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = (x − 5) 3 в каждой точке ее области существования.
204. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = x 3 в каждой точке ее области существования.
205. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = 2x 3 − x в каждой точке ее области существования.
206. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
2014/2015 уч. год
Стр. 14 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
производную функции f (x) =
1
в каждой точке ее области существования.
x2
207. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
1
производную функции f (x) =
в каждой точке ее области существования.
x−3
208. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = √ x в точке x0 = 25 .
209. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = √2x + 1 в каждой точке ее области существования.
210. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = cos x в каждой точке ее области существования.
211. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = cos 2 x в каждой точке ее области существования.
212. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = cos( − 2x + 1) в каждой точке ее области существования.
213. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = sin 2 ( − 4x + 1) в каждой точке ее области существования.
214. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = ctg(x + 4) в каждой точке ее области существования.
215. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = ctg 2 (x − 4) в каждой точке ее области существования.
216. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = ln(x + 2) в каждой точке ее области существования.
217. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = ln 2 (x − 2) в каждой точке ее области существования.
218. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = 7 x +4 в каждой точке ее области существования.
219. Дайте определение производной функции в точке. Найдите, исходя из определения,
производную функции f (x) = x |x|| в точке x = 0 .
Ответы
1
4
1
3
1
49
1. − . 2. −∞ . 3. 0 . 4. . 5. 0 . 6. − √7 . 7. −∞ . 8. 0 . 9. − . 10. − √5 . 11.
. 12.
2
3
2
2
7
2
3
2
5
1
5
1
− 30
− . 13. −1 . 14. − . 15. . 16. − . 17. +∞ . 18. 0 . 19. − . 20. . 21. e 7 . 22. e 4 . 23.
4
3
3
2
3
2
10
8
9
9
27
11
3
3
−8
. 24. −5 . 25. . 26. . 27. − . 28.
. 29.
. 30. e 15 . 31. e . 32. − . 33. − . 34.
3
5
2
20
5
5
7
64
+∞ . 35. x = 0, x = 4 — неустранимые разрывы II-го рода. 36. x = − 1 — неустранимый
разрыв I рода, x = 1 — неустранимый разрыв II рода. 37. x = − 1 — устранимый разрыв;
x = 7 — неустранимый разрыв II рода. 38. x = 3 — неустранимый разрыв II рода. 39. x = − 7
— неустранимый разрыв I рода; x = − 2 — устранимый разрыв. 40. x = 4 — неустранимый
разрыв I рода. 41. x = − 2, x = 2 — неустранимыe разрывы I рода. 42. x = 4 — устранимый
2014/2015 уч. год
Стр. 15 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
разрыв. 43. Разрывов нет. 44. Вертикальная асимптота: x = 2; горизонтальная асимптота
y = 2 при x → ± ∞ . 45. Вертикальная асимптота: x = − 2; наклонная асимптота
y = − 4x + 13 при x → ± ∞ . 46. Hаклонная асимптота y = 2x − 1 при x → ± ∞ . 47.
−1
1
f ʹ(x) = 6 ⋅
⋅ (16x + 7) . 48. f ʹ(x) = 5 ⋅
⋅ (20x − 4) . 49.
2
2
2
cos (10x 2 − 4x)
(8x + 7x)
1
22
⋅ (18x 2 − 16x) . 50. ED, p (2) = −
= − 7 . 333 .
2
3
( − 8x ) ln5
51. ES, p (7) = 14 = 14 . 52. y = x − 9 . 53. y = 28x − 14 . 54. y = 29x + 31 . 55. y = 6x − 6 . 56.
1 5
1 5
1
Промежутки убывания: ( − ∞; − ], [ ; ∞); промежутoк возрастания: [ − ; ]; x = − —
3 7
3 7
3
5
1
1
точка минимума. x = — точка максимума. 57. Промежутки убывания: [ − √10; − √5];
5
7
5
1
1
1
1
1
1
[ √5; √10]; промежутки возрастания: ( − ∞; − √10], [ − √5; √5]; [ √10; ∞);
5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
x = − √5, x = √10 — точки минимума, x = − √10, x = √5 — точки максимума.
5
5
5
5
1
1
1
58. Промежутки убывания: ( − ∞; − 1], [ − √10; √10]; [1; ∞); x = − √10, x = 1
5
5
5
1
1
промежутки возрастания: [ − 1; − √10]; [ √10; 1]; — точки минимума, x = − 1,
5
5
1
1
x = √10 x = − √10, x = 1 — точки максимума. 59. Промежутoк убывания: [ − 1; 1];
5
5
промежутки возрастания: ( − ∞; − 1], [1; ∞); x = 1 — точкa минимума, x = − 1 — точкa
1
1
максимума. 60. Промежутки убывания: ( − ∞; − √5], [ √5; ∞); промежутoк возрастания:
5
5
1
1
1
1
[ − √ 5; √5]; x = − √5 — точкa минимума, x = √5 — точкa максимума. 61.
5
5
5
5
Промежутoк возрастания: ( − ∞; ∞) . 62. Промежутки убывания: ( − ∞; − 12], [0; 6), (6; ∞);
промежутки возрастания: [ − 12; − 3), ( − 3; 0]; x = − 12 — точка минимума;x = 0 — точка
14
максимума. 63. Промежутки убывания:  − ∞; − ], (0; + ∞); промежуток возрастания:
3
14
14
[ − 3 ; 0; x = − 3 — точка минимума. 64. Промежутки убывания: ( − ∞; − 7], [6; + ∞);
промежуток возрастания: [ − 7; 6]; x = − 7 — точка минимума; x = 6 — точка максимума.
5
5
5
65. Промежуток убывания:  − ∞; − ]; промежуток возрастания: [ − ; + ∞; x = − —
8
8
8
f ʹ(x) = 9 ⋅ 9 log58 (6x 3 − 8x 2 ) ⋅
6x 3
точка минимума. 66. Промежутoк убывания:  − ∞; 1]; промежутoк возрастания: [1; ∞); x = 1
— точкa минимума. 67. Промежутoк убывания: [ − 8; 0]; промежутки возрастания:


− ∞; − 8], [0; ∞); x = 0 — точка минимума; x = − 8 — точка максимума. 68. Промежутки
вогнутости (выпуклости вверх): ( − ∞; − 1], [8; + ∞); промежутoк выпуклости (выпуклости
вниз): [ − 1; 8]; x = − 1, x = 8, — точки перегиба. 69. Промежутoк вогнутости (выпуклости
вверх): ( − ∞; + ∞) . 70. Промежутки вогнутости (выпуклости вверх): [ − √33; 0],
[√33; + ∞; промежутки выпуклости (выпуклости вниз):  − ∞; − √33], [0; √33]; x = 0,
x = ± √33 — точки перегиба. 71. Ответом является эскиз грaфикa функции. 120. Это
утверждение верно. 121. Это утверждение верно. 122. Это утверждение не верно. 123. Это
утверждение не верно. 124. a) Это утверждение верно, б)
45 1 1
N=⎡
⋅ − ⎤ = [338 . 0008] = 338 . 125. a) Это утверждение верно, б)
⎣ 121 ε 11 ⎦
2014/2015 уч. год
Стр. 16 из 16
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
52 1 10
N = ⎡log2  ⋅ − ⎤ = [log2 (57774 . 4444)] = [15 . 8181] = 15 . 126. a) Это утверждение не
3 ⎦
9 ε
⎣
верно. 127. a) Это утверждение не верно. 143. Это утверждение верно. 144. Это утверждение
1
нe верно. 191. P3 (x) = − 1 − (x − 3) + 2(x − 3) 2 + (x − 3) 3 . 192.
6
f (x) = (x + 4) 3 + (x + 4) 2 + 2(x + 4) − 1 .
2014/2015 уч. год
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа