close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- Ухтинский государственный технический университет

код для вставкиСкачать
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
С. А. Дейнега
Начертательная геометрия. Учебные модули
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по математике педвузов и университетов Волго-Вятского
региона в качестве учебного пособия для студентов математических
направлений подготовки высших учебных заведений
Ухта, УГТУ, 2014
УДК 744 (075.8)
ББК 22.151 я7
Д 27
Дейнега, С. А.
Д 27
Начертательная геометрия. Учебные модули [Текст] : учеб. пособие /
С. А. Дейнега. – Ухта : УГТУ, 2014. – 174 с.: ил.
ISBN 978-5-88179-819-2
Учебное пособие предназначено в помощь студентам технических вузов при
изучении дисциплины «Начертательная геометрия» для самостоятельного освоения
теоретических знаний, для самоконтроля полученных знаний, а также при подготовке
к экзаменам. Учебный материал пособия соответствует федеральным государственным образовательным стандартам направлений технического профиля.
Содержание пособия охватывает основные разделы дисциплины в соответствии с программой федеральных государственных образовательных стандартов
высшего профессионального образования и представлено в виде учебных модулей.
Каждый учебный модуль включает дидактическую цель и задачи, содержит основные
теоретические сведения конкретного раздела дисциплины «Начертательная геометрия», примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения, контрольные вопросы и тесты с ответами для проверки своих знаний.
Учебное пособие может быть использовано студентами всех форм обучения и
направлений по дисциплине «Начертательная геометрия».
УДК 744 (075.8)
ББК 22.151 я7
Рецензенты: Т. Е. Помигалова, доцент кафедры «Прикладная механика» Тюменского
нефтегазового государственного университета, к.т.н.; В. Т. Фёдоров, начальник технического отдела ОАО «СМН», к.т.н.
© Ухтинский государственный технический университет, 2014
© Дейнега С. А., 2014
ISBN 978-5-88179-819-2
СОДЕРЖАНИЕ
Принятые обозначения ................................................................................................ 6
Примеры символической записи .......................................................................... 6
МОДУЛЬ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ ...................................................................... 7
1.1. Предмет «Начертательная геометрия» ................................................... 7
1.2. Методы проецирования............................................................................ 8
1.2.1. Центральное проецирование ......................................................... 8
Параллельное проецирование ............................................................................ 10
1.3.Свойства параллельного проецирования .............................................. 11
1.4.Способы обратимости чертежа .............................................................. 15
Контрольные вопросы ......................................................................................... 16
Тест «Виды проецирования. Свойства проецирования» ................................. 17
Контрольные задачи ............................................................................................ 19
МОДУЛЬ 2. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ......................................................... 20
2.1. Комплексный чертёж точки................................................................... 21
2.1.1. Положение точек относительно плоскостей проекций ............ 26
2.1.2. Положение точек относительно друг друга ............................... 28
Контрольные вопросы ......................................................................................... 30
Тест «Комплексный чертёж точки» ................................................................... 30
Контрольные задачи ............................................................................................ 32
2.2 Комплексный чертёж прямой ................................................................. 34
2.2.1. Прямые частного положения....................................................... 35
Контрольные вопросы ......................................................................................... 39
Тест «Комплексный чертёж прямой» ................................................................ 39
Контрольные задачи ............................................................................................ 41
2.2.2. Взаимное положение точки и прямой ........................................ 42
2.2.3. Взаимное расположение прямых ................................................ 43
2.2.4. Построение натуральной величины прямой общего
положения. Метод катетов.................................................................................. 46
Контрольные вопросы ......................................................................................... 47
Тест «Позиционные задачи точки и прямой» ................................................... 47
Контрольные задачи ............................................................................................ 49
2.3.Комплексный чертёж плоскости ............................................................ 50
2.3.1. Проецирующие плоскости ........................................................... 51
2.3.2. Плоскости уровня ......................................................................... 52
2.3.3. Взаимное расположение точки и плоскости .............................. 54
2.3.4. Главные линии плоскости............................................................ 55
3
2.3.5. Взаимное расположение прямой и плоскости ........................... 57
2.3.6. Взаимное расположение двух плоскостей ................................. 63
2.4. Комплексный чертёж кривых линий .................................................... 66
2.4.1. Проецирование кривой ................................................................ 67
2.4.2. Построение касательной, нормали к кривой ............................. 68
2.4.3. Свойства проекций кривых линий .............................................. 69
Контрольные вопросы ......................................................................................... 70
Тест «Комплексный чертёж плоскости. Позиционные задачи плоскости» .. 70
Контрольные задачи ............................................................................................ 72
2.5. Аксонометрические проекции............................................................... 74
2.5.1. Стандартные аксонометрические проекции .............................. 76
2.5.2. Построение геометрических объектов в прямоугольной
изометрии и диметрии ......................................................................................... 78
2.5.3. Аксонометрические проекции окружности ............................... 80
2.5.4. Примеры построения окружности в аксонометрии .................. 81
Контрольные вопросы ......................................................................................... 84
Тест «Аксонометрические проекции» ............................................................... 84
Контрольные задачи ............................................................................................ 88
МОДУЛЬ 3. ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ...................................................................... 90
3.1. Классификация поверхностей ............................................................... 91
3.2. Задание линейчатых многогранных поверхностей
на комплексном чертеже ..................................................................................... 92
3.3. Задание кривых линейчатых поверхностей
на комплексном чертеже ..................................................................................... 95
3.4. Задание неразвёртывающихся линейчатых поверхностей
с двумя направляющими ..................................................................................... 98
3.5. Поверхности вращения ........................................................................ 100
3.6. Закономерные поверхности вращения ............................................... 102
3.7. Винтовые поверхности ......................................................................... 110
3.8. Циклические поверхности ................................................................... 113
Контрольные вопросы ....................................................................................... 113
Тест «Поверхности» .......................................................................................... 114
Контрольные задачи .......................................................................................... 115
МОДУЛЬ 4. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ....................................................... 117
4.1. Пересечение поверхностей плоскостью ............................................. 117
4.2. Пересечение поверхностей прямой .................................................... 124
4
Контрольные вопросы ....................................................................................... 126
Тест «Позиционные задачи поверхности» ...................................................... 126
Контрольные задачи .......................................................................................... 128
4.3. Пересечение поверхностей .................................................................. 129
4.4. Частные случаи пересечения поверхностей вращения
второго порядка ................................................................................................. 139
4.5. Пересечение соосных поверхностей вращения ................................. 141
Контрольные вопросы ....................................................................................... 144
Тест «Пересечение поверхностей» .................................................................. 144
Контрольные задачи .......................................................................................... 146
МОДУЛЬ 5. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА ........................................................................ 148
5.1. Метрические задачи ............................................................................. 148
5.2. Способ замены плоскостей проекций ................................................ 150
5.3. Способ вращения вокруг проецирующей оси ................................... 152
5.4. Основные задачи преобразования ...................................................... 153
Контрольные вопросы ....................................................................................... 159
Тест «Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа» ........ 160
Контрольные задачи .......................................................................................... 161
5.5. Построение развёрток поверхностей .................................................. 163
Контрольные вопросы ....................................................................................... 170
Тест «Развёртки поверхностей» ....................................................................... 171
Контрольные задачи .......................................................................................... 172
Библиографический список .............................................................................. 173
5
Принятые обозначения
А, В, С... или 1, 2, 3.. – точки
a, b, c... – линии
Буквы греческого алфавита: Г – гамма,  – дельта,  – лямбда,  – сигма, Ф – фи,
 – пси,  – омега... – поверхности
 АВС, а  b, m  АВ или , , ... – углы
 – параллельность
 – перпендикулярность
 – касание
= – совпадение или тождество
 или  – принадлежность, включение (концы знака направлены в сторону
большемерной фигуры)
 – пересечение
 – логическое следствие.
/ – скрещивающиеся прямые
… – расстояние между элементами пространства:
АВ – расстояние от точки А до точки В;
Аа – расстояние от точки А до линии а;
ab – расстояние между линиями а и b;
А – расстояние от точки А до поверхности ;
Г – расстояние между поверхностями.
Примеры символической записи
(а  b)  Г(А, m) – плоскость, заданная пересекающимися прямыми а и b, параллельна плоскости, заданной точкой А и прямой m
АВ  Г – отрезок АВ перпендикулярен плоскости Г.
А1 = В1 – проекции точек А и В совпадают.
А  а – точка А принадлежит прямой а.
а   – через прямую а проходит плоскость .
А  b – прямой b принадлежит точка А.
  Ф(ОА) – плоскость  пересекает сферу Ф, заданной центром О и точкой А,
принадлежащей сфере.
6
МОДУЛЬ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
Цель: изучить методы и свойства проецирования, способы представления пространственных объектов на плоскости.
Задачи: овладеть методами проецирования и уметь использовать их при решении практических задач.
1.1. Предмет «Начертательная геометрия»
Геометрия изучает пространственные формы реальных предметов, исследуя их свойства, характеризующие форму, размеры и взаимное положение.
Предметы, различаемые по этим свойствам, называют геометрическими фигурами. К ним относятся: точки, прямые, плоскости, поверхности.
Начертательная геометрия основывается на аксиомах и теоремах элементарной геометрии и инвариантах проецирования и изучает теоретические основы
методов построения изображений (проекций) геометрических фигур на какойлибо поверхности и способы решения различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при помощи их изображений. Совокупность
двух и более взаимосвязанных изображений предмета называется чертежом.
Чертежи дают геометрическую информацию о пространственной фигуре. Поэтому, чертёж фигуры является её графической моделью. Чертёж имеет большое значение в практической деятельности человека. Он является средством выражения
замыслов учёного, конструктора и основным производственным документом, по
которому осуществляется строительство зданий и инженерных сооружений, изготовление машин, механизмов и их составных частей.
Чертёж является международным графическим языком, понятным любому технически грамотному человеку. Начертательная геометрия – грамматика
этого языка. Знания и навыки, приобретенные при изучении начертательной
геометрии, послужат в дальнейшем основой для решения технических задач в
инженерной практике. Изучение начертательной геометрии развивает пространственное и логическое мышление, необходимое в любой области инженерной деятельности и является базой для изучения многих инженернотехнических дисциплин: черчения, инженерной графики, архитектуры, деталей
машин и механизмов, теоретической и строительной механики и др.
В курсе начертательной геометрии изучаются:
- способы получения изображений пространственных форм на плоскости;
- методы построения графических моделей (чертежей) на плоскости;
- способы графического решения геометрических задач на чертежах;
7
- преобразования графических моделей в аналитические, и наоборот, аналитических в графические.
Основной задачей начертательной геометрии является изучение методов
построения изображений пространственных форм на плоскости и решение пространственных задач с помощью этих изображений
1.2. Методы проецирования
В начертательной геометрии чертёж является основным инструментом
для решения различных пространственных задач. Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование, поэтому все чертежи называются проекционными. Отображение пространственных
фигур на плоскость осуществляется с помощью двух способов проецирования:
центрального и параллельного.
Все чертежи, построенные методами начертательной геометрии, должны
отвечать следующим основным требованиям:
- наглядность, обеспечивающая пространственное представление объекта;
- простота построения изображений;
- обратимость чертежа, т. е. возможность восстановления оригинала по
чертежу и представление пространственной формы, размеров, положения изображённого объекта в пространстве;
- точность построения и решения задач.
1.2.1. Центральное проецирование
Аппарат центрального проецирования (рис. 1) состоит из следующих
элементов:
- центра проецирования S;
- плоскости проекций П1;
- проецирующих прямых (SA, SB, SC).
Чтобы спроецировать некоторую точку А пространства на плоскость
П0, необходимо через центр проецирования S провести проецирующую прямую SА до её пересечения с плоскостью П0 в точке А0: SА ∩ П0 = А0. Для получения изображения любого предмета, например, прямой АВ, необходимо
через точку S и отдельные её точки (В и С) провести проецирующую прямую
(SВ и SС): SВ ∩ П0 = В0. SС ∩ П0= С0 Точки В0 и С0 пересечения проецирующих лучей SВ и SС с плоскостью П0 будут являться центральными проекциями точек В и С на плоскость П0.
8
Рис. 1. Центральное проецирование
Вид и размеры проекции меняются в зависимости от направления плоскости проекций и положения её относительно центра и оригинала. Проецирующие прямые, проходящие через точки кривой а, образуют коническую
поверхность, которая пересекается плоскостью П1 по кривой а1 – проекции
кривой а (рис. 2). При изменении направления плоскости проекций эта линия
будет изменяться и по форме, и по размерам.
Рис. 2. Центральное проецирование кривой линии
9
Центральные проекции используют в построениях перспективы различных сооружений и их комплексов, в архитектурном проектировании объектов.
Однако этот метод имеет существенные недостатки:
- сложность построения объектов;
- сложность при определении истинных размеров объекта из-за значительных искажений.
Большим достоинством центральных проекций является их наглядность.
Но изображение, полученное центральным проецированием, не отвечает требованию обратимости чертежа, так как невозможно по одной проекции определить форму и размеры предметов. Любой точке пространства соответствует
единственная её проекция, но центральная проекция точки не определяет однозначно её положение в пространстве. На проецирующей прямой можно выбрать
множество точек (линий), имеющих одну и ту же проекцию. Чтобы придать однокартинным изображениям обратимость, необходимо внести некоторые дополнения в аппарат проецирования.
1.2.2. Параллельное проецирование
Если центр проекций S (рис. 3) удалить в бесконечность, то все проецирующие прямые SA, SB и т. д. станут параллельны между собой. Этот метод
проецирования называется параллельным.
Рис. 3. Параллельное проецирование отрезка прямой линии
Для задания аппарата параллельного проецирования необходимо ввести
направление проецирования – S. Чтобы спроецировать некоторую точку А пространства на плоскость П0, необходимо параллельно направлению проецирования S провести проецирующую прямую SА до её пересечения с плоскостью П0 в
10
точке А0 : SА ∩ П0 = А0. Аналогично проецируем на плоскость проекций любой
предмет, например, прямую ВС, проводя параллельно направлению проецирования S через точки (В и С) проецирующие прямые (SВ и SС): SВ ∩ П0 = В0, SС ∩
П0 = С0. Точки А0, В0 и С0 называются параллельными проекциями точек А, В и С.
Вид и размеры изображения в параллельной проекции на любой плоскости одинакового направления остаются неизменными. Именно поэтому параллельное проецирование применяют в технике. Изображения меняют форму и
размеры только с изменением направления проецирования на плоскости проекций. Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или
ортогональным (рис. 4). Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным (рис. 5).
Параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет
меньшую наглядность, но обладает лучшей измеримостью и простотой построения. Для обратимости чертежа также необходимы дополнения в аппарате
проецирования.
Рис. 4. Ортогональное проецирование
Рис. 5. Косоугольное проецирование
1.3. Свойства параллельного проецирования
Все предметы – плоские (двумерные) и пространственные (трёхмерные) –
независимо от способа проецирования изображаются на плоскости проекций в
общем случае искаженно. Однако между оригиналом и проекцией устанавливается геометрическая (проективная) взаимосвязь. Геометрические образы (формы) содержат в себе свойства, сохраняющиеся в проекциях при любых их
преобразованиях. Эти свойства в данном преобразовании называют проективными или инвариантными.
11
Рассмотрим основные свойства параллельного проецирования.
Свойство 1. Проекция точки на плоскости есть точка (рис. 6).
Свойство 2. Проекция прямой линии на плоскости есть прямая (рис. 7).
АА1 ∩ П1 = А1
АА1ВВ1 ∩ П1 = А1В1
Рис. 6. Проекция точки
Рис. 7. Проекция прямой
Свойство 3. Если точка принадлежит (инцидентна) линии, то проекция
точки принадлежит проекции этой линии (рис. 8).
Свойство 4. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо
отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении (рис. 8).
C1  A1B1  C  AB
AC
AC
 1 1
CB C1B1
Рис. 8. Свойство принадлежности и деления отрезка
12
Свойство 5. Точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых
линий является проекцией точки пересечения этих прямых (рис. 9).
а1 ∩ b1 = K1  a ∩ b = K
Рис. 9. Свойство проекции пересекающихся прямых
Свойство 6. Проекции двух скрещивающихся (непересекающихся)
прямых линий в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться (рис. 10 а), или быть параллельными (рис. 10 б). Очевидно, по
одной проекции нельзя установить, параллельны или скрещиваются прямые
в пространстве.
а)
б)
Рис. 10. Свойство проекции скрещивающихся прямых
Свойство 7. Плоская фигура или прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения, т. е. в натуральную величину (рис. 11). На рисунке 11 показано параллельное расположение прямой АЕ и
плоскости ВDC относительно плоскости проекций П1:
AE || П1  A1E1 – натуральная величина
BDC || П1  B1D1C1 – натуральная величина.
13
Свойство 8. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения (прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рис. 12).
Рис. 11. Свойство проекции
натуральной величины
Рис. 12. Свойство проекции
прямого угла
Теорема о проецировании прямого угла: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то
угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Обратная теорема: Если прямой угол проецируется ортогонально в виде
прямого угла, то он имеет сторону, расположенную параллельно плоскости
проекций.
Необходимо отметить, что прямой угол может проецироваться в виде
острого или тупого угла, если ни одна из его сторон не параллельна плоскости
проекций.
Свойство 9. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны и их
длины находятся в таком же отношении, как и длины проецируемых отрезков
(рис. 13): АВ || СD  |AB| || |CD| = |A1B1| || |C1D1|.
Из этого следует, что параллельные прямые линии проецируются на
плоскости проекций в виде параллельных прямых независимо от выбора
направления проецирования.
Свойство 10. При параллельном перемещении фигуры (A/ В/ С/) или плоскости проекций (П1/) изображение фигуры на этой плоскости не изменяется
(рис. 14).
14
Рис. 13. Свойство проекции
параллельных прямых
Рис. 14. Свойство
параллельного перемещения
1.4. Способы обратимости чертежа
Существует несколько способов установления соответствий между оригиналом и его проекциями, поскольку важно уметь не только строить изображения
(проекции) рассматриваемых предметов, но и мысленно воспроизводить их в пространстве по плоским изображениям. Одной проекции предмета без дополнительных условий недостаточно для представления его формы, размеров и положения в
пространстве. Дополнительные условия обратимости чертежей зависят от методов
проецирования и изображения предметов. Например, аксонометрический метод
построения изображений. Чертежи, получаемые этим методом, носят название аксонометрических. Другой метод проецирования называется ортогональным. В
этом случае чертежи называют ортогональными. Они нашли наибольшее применение в технике. Кроме этих методов существует много других, каждый из которых
применяется для создания изображений предметов.
Прямоугольные (ортогональные) проекции являются наиболее распространёнными в конструкторской практике, хотя они и не дают наибольшей
наглядности изображения, но являются простыми с точки зрения графических
построений и обеспечивают точное соотношение размеров изображений предметов на плоскости. При ортогональном проецировании изображение предмета
получают проецированием на нескольких взаимно перпендикулярных плоскостях. При этом предмет находится между наблюдателем и плоскостью проекций. Такие изображения полностью определяют положение предмета в
пространстве (рис. 15).
15
Рис. 15. Комплекс ортогональных проекций
Контрольные вопросы
1. Какие способы проецирования используются в начертательной геометрии?
2. Что означает понятие «обратимость чертежа»?
3. Что изучает предмет «Начертательная геометрия»?
4. Перечислите свойства центрального и параллельного проецирования.
5. Каково направление проецирующего луча при параллельном проецировании? В чём его отличие от центрального проецирования?
6. В чём отличие между ортогональным и косоугольным проецированием?
7. Как называют плоскость, на которой получают изображение геометрического объекта?
8. Что называется проекцией?
9. Как обозначаются плоскости проекций?
10. Что понимают под осью проекций?
11. В чём разница между центральным и параллельным методами проецирования?
16
Тест «Виды проецирования. Свойства проецирования»
1. Свойство ортогонального проецирования о проецировании прямого
угла без искажения показано на чертеже:
1
2
3
4
2. Определите правильный вариант ответа для конкретного вида проецирования. Проецирование называют (центральным, косоугольным, параллельным), если проецирующие лучи:
а) параллельны между собой и не перпендикулярны по отношению к
плоскости проекций;
б) перпендикулярны по отношению к плоскости проекций;
в) параллельны между собой и расположены под углом 45° по отношению к плоскости проекций;
г) проходят через точку;
д) проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны по
отношению к плоскости проекций.
3. При каком проецировании, плоская фигура, параллельная плоскости
проекций, проецируется в натуральную величину?
- любого вида;
- ортогонального;
- центрального;
- параллельного.
4. Определите соответствие между элементами аппарата проецирования
и их названием:
- А; А1; П1; S; SA;
- направление проецирования; плоскость проекций; объект; проекция
объекта; проецирующий луч.
5. Завершите определение. Линия, соединяющая на чертеже проекции
точки и точку в пространстве, называется проецирующий …
6. Верно ли следующее утверждение: «при ортогональном проецировании
длина проекции отрезка может быть больше натуральной величины отрезка»?
17
7. Изображения, полученные методом ортогонального проецирования,
показаны на рисунках:
8. По заданным рисункам определите вид проецирования:
- центральное;
- параллельное прямоугольное;
- параллельное косоугольное.
а)
б)
9. Каково направление проецирующего луча в ортогональном проецировании?
- параллельное;
- перпендикулярное;
- наклонное.
10. Для центрального проецирования не является инвариантным (неизменным) следующее свойство:
а) сохраняется пропорциональность параллельных отрезков;
б) проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия;
в) проекцией точки является точка.
Ответы: 1 − 1, 3; проецирование центральное – г, косоугольное – а, параллельное – б, д; 3 – ортогонального; 4 – А (объект), А1 – проекция объекта,
П1 – плоскость проекций, S – направление проецирования, SA – проецирующий луч; 5 – луч; 6 – не верно; 7 – 1, 2, 4; 8 – параллельное прямоугольное (а),
центральное (б); 9 – перпендикулярное; 10 – а.
18
Контрольные задачи
Задача 1. Из центра S спроецировать треугольник АВС на плоскость П1.
Известны проекции А1 и В1 вершин А и В и точки пересечения прямой линии
стороны АС этого треугольника с плоскостью проекций.
Задача 2. Построить в плоскости П1 центральную проекцию плоской фигуры АВС. Центр проецирования и проекция А и В известны.
Условие задачи 1
Условие задачи 2
Задача 3. Построить в плоскости П1 параллельную проекцию АВС. Известны проекции А1 и В1 вершин А и В и точка К (К1) пересечения прямой линии стороны ВС треугольника с плоскостью П1.
Задача 4. Построить параллельную проекцию плоской фигуры, параллельной плоскости проекций П1. Направление проецирования S и проекция А1
точки А фигуры известны.
Условие задачи 3
Условие задачи 4
Задача 5. Построить в плоскости П1 проекцию параллельного проецирования отрезка АВ и определить точку С, делящую АВ пополам.
19
Задача 6. Построить прямую с, проходящую через точку С, если дана
проекция прямой с (с1) и точка С.
Условие задачи 5
Условие задачи 6
МОДУЛЬ 2. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Цель: изучить изображение основных геометрических элементов на чертеже
и их графические свойства.
Задачи: знать процессы образования основных геометрических элементов;
уметь строить их проекции и определять их положение в пространстве;
определять принадлежность точек и линий другим геометрическим элементам
по комплексному чертежу.
Изучение курса начертательной геометрии ведётся на абстрактных геометрических фигурах: точка, линия, плоскость, поверхность, так как они упрощают решение многих задач в начертательной геометрии. Необходимо изучить
принципы построения изображений этих фигур на плоскости. Любой предмет
пространства рассматривается как определённая совокупность отдельных точек
этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки.
Принцип построения чертежей, которым мы пользуемся, разработал
французский геометр Гаспар Монж. В 1798 году он обобщил накопленные теоретические знания и опыт и впервые дал научное обоснование общего метода
построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Такой чертёж называется эпюром (чертежом)
Монжа. Для обратимости чертежа необходимо и достаточно двух проекций
объекта. Но для более сложных объектов этого бывает недостаточно. Поэтому,
на практике часто используют большее число изображений, а эпюр Монжа
20
называют комплексным чертежом, который представляет совокупность двух
или более взаимосвязанных ортогональных проекций оригинала, расположенных в одной плоскости чертежа. Комплексный чертёж может быть двухкартинным (состоит из двух плоскостей проекций) или трёхкартинным (используются
три плоскости проекций), построен с осями проекций или без них.
2.1. Комплексный чертеж точки
Точка является простейшей геометрической фигурой, неделимым элементом пространства. Обозначается точка прописными буквами латинского
алфавита (А, В, С…) или цифрами. Точка не имеет размеров, но на чертеже точку показывают в виде условного изображения – кружочком, крестиком и т. п.
Рассмотрим в пространстве систему трёх взаимно перпендикулярных
плоскостей, на которые спроецируем точку А (рис. 16):
П1 – горизонтальная плоскость проекций;
П2 – фронтальная плоскость проекций;
П3 – профильная плоскость проекций.
Рис. 16. Система взаимно перпендикулярных проекций
Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются x, y, z. Точка О – точка пересечения всех трёх осей
проекций – называется началом координат. Спроецируем точку А на плоскости
проекций (рис. 16). Для того, чтобы получить проекцию точки А на горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости П1, и найти точку пересечения А1
21
этой прямой с плоскостью П1. Точка А1 называется горизонтальной проекцией
точки А. Путём ортогонального проецирования точки А на фронтальную и профильную плоскости проекций образуются её фронтальная П2 и профильная П3
проекции точки А.
Длины отрезков, равные расстояниям от точки А до горизонтальной
(П1), фронтальной (П2) и профильной (П3) плоскостей проекций, называются
прямоугольными (декартовыми) координатами:
По оси x – абцисса, равная длине отрезка xА = /AA3/ = /ОАx/;
По оси y – ордината, равная длине отрезка yА = /AA2/ = /ОАy/;
По оси z – аппликата, равная длине отрезка zА = /AA1/ = /ОАz/.
Взаимно перпендикулярные плоскости дают пространственное изображение точки А. Для получения трёх проекций точки в плоскости чертежа
(рис. 17) плоскости проекций П1, П2, П3 условно совмещают с плоскостью чертежа следующим образом. Фронтальная плоскость проекций П2 принимается за
плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций П1 совмещается с
плоскостью чертежа вращением вокруг оси x, а профильная плоскость проекций П3 – вращением вокруг оси z. Таким образом, получаем трёхкартинный
комплексный чертёж точки А.
Рис. 17. Ортогональный чертёж точки А
При совмещении плоскости П1 с плоскостью чертежа положительное
направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси z, а отрицательное направление – с положительным направлением оси z. При совмещении
плоскости П3 с плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси x, а отрицательное направление – с
положительным направлением оси x.
22
В результате образуется ортогональный чертёж или эпюр (от франц. еpure –
чертёж, проект), где изображают только проекции геометрических объектов, а
не сами объекты. Любые две проекции точек, изображённые на эпюре, связаны
между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций:
A1 A2  x; A2 A3  z; A1 A3  y.
Каждая проекция точки А определяется двумя координатами:
A1 (Ax, Ay); A2 (Ax, Az); A3(Ay, Az).
Положение точки А может быть задано не только графически, но и аналитически. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки А в выбранных единицах длины. Запись точки А
будет в виде: А (xА, yА, zА). От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.
Пример 1. Требуется построить проекции точки В (5, 2, 3).
Выбираем длину единичного отрезка и откладываем на осях проекций
координатные отрезки (рис. 18):
xВ = /ОВx/ = 5; yВ = /ОВy/ = 2; zВ = /ОВz/ = 3.
Отмечаем точки на осях Вx, By, Bz.
Из отмеченных точек проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точек В:
В1 = (Вx В1  x) ∩ ( Вy В1  y);
В2 = (Вx В2  x) ∩ ( Вz В2  z);
В3 = (ВyВ3  y) ∩ ( Вz В3  z).
Рис. 18. Построение проекций точки В
Однозначно положение точки в пространстве определяют две проекции
этой точки на эпюре, по которым всегда можно построить третью.
23
Пример 2. Требуется построить горизонтальную проекцию точки А по двум
заданным (рис. 19 а): фронтальной проекции А2 и профильной проекции А3.
а)
б)
Рис. 19. Построение горизонтальной проекции точки А
Из имеющихся проекций точки А (А2 и А3) проводят линии проекционной
связи, перпендикулярные осям проекций. На пересечении линий проекционной
связи с осями проекций отмечают точки Ax, Ay. Строится горизонтальная проекция точки А1 (рис. 19 б) на пересечении линий связи, проведённых из А2 и А3.
Образование двухкартинного комплексного чертежа показано на рисунке 20, где точка А проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости
проекций П1 и П2. Проецирующие лучи АА2 и АА1, проведённые из точки А
перпендикулярно плоскостям проекций П1 и П2, пересекаются с ними в точках
А2 и А1. Эти точки являются проекциями точки А:
А1 = АА1 ∩ П1 – горизонтальная проекция точки А;
А2 = АА2 ∩ П2 – фронтальная проекция точки А.
Рис. 20. Образование двухкартинного комплексного чертежа точки А
24
Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций П1 (АА1)
называется высотой точки – Z. Расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций П2 (АА2) называется глубиной точки – Y. Проекции проецирующих лучей на плоскостях проекций А2Ах и А1Ах называются линиями связи.
Построение плоского чертежа осуществляется поворотом плоскости П1
вокруг оси х до совмещения с плоскостью П2. Затем от точки Ах, находящейся
на оси х, откладываем высоту точки А (расстояние Z) вверх, а глубину точки А
(расстояние Y) вниз (рис. 21).
Линия А1А2 называется вертикальной линией связи. Она всегда перпендикулярна оси проекций х при ортогональном проецировании.
Рис. 21. Образование комплексного чертежа точки А
В практике работы с изображениями обычно оси проекций не чертят. Но
их присутствие выражается через линии проекционной связи или размеры. Такой чертёж называют безосным (рис. 22). Линии связи можно не вычерчивать,
но их необходимо соблюдать. Если задан безосный чертёж, и необходимо перейти к координатам, то согласно свойству параллельного переноса (свойство 10) ось х можно выбрать произвольно, но перпендикулярно линии связи
(рис. 23). При этом координаты объекта будут определены с точностью до параллельного переноса плоскостей проекций. Если по ним восстановить оригинал, то получим ту же самую точку А.
Комплексный чертеж Монжа обладает следующими свойствами:
- две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве;
- две проекции точки всегда лежат на одной линии связи;
- все линии связи параллельны между собой и перпендикулярны осям
проекций.
Двухкартинный комплексный чертёж Монжа является метрически определённым чертежом, следовательно, он обратим. Если имеются две проекции
оригинала, то можно построить сколько угодно проекций данного оригинала.
25
Рис. 22. Безосный
комплексный чертеж
Рис. 23. Выбор оси х
2.1.1. Положение точек относительно плоскостей проекций
Комплексный чертёж (эпюр) точки состоит из двух или трёх ортогональных проекций, которые получают на взаимно перпендикулярных плоскостях
проекций. Плоскости проекций делят пространство на восемь трёхгранных углов, называемые четверти или октанты (рис. 24).
Рис. 24. Расположение четвертей (октантов)
Система знаков четвертей соответствует «правой системе координат»,
принятой за стандартную систему. При построении чертежей используют первый октант, но координаты точек могут находиться в других четвертях и иметь
отрицательные значения. Для определения четверти, в которой находится точка
и построения эпюра точки можно воспользоваться таблицей и плоской системой координат, показанной на рисунке 25.
26
Рис. 25. Таблица соответствия знаков координат четвертям (октантам)
В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:
1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций
(рис. 17-23). У точки общего положения все три координаты отличны от нуля;
2) точки частного положения, принадлежащие плоскостям проекций, лежащие на осях или в начале координат. Если точка лежит в плоскости проекций
(рис. 26), то её координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций,
равна нулю. Если точка лежит на оси проекций (рис. 27), то две другие её координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю (рис. 28), то
точка лежит в начале координат.
Рис. 26. Проекции точки частного положения,
принадлежащие плоскостям проекций
27
Рис. 27. Проекции точки частного положения
Рис. 28. Построение проекций точек частного положения
2.1.2. Положение точек относительно друг друга
Точки в пространстве относительно друг друга могут занимать два положения: точки совпадают (рис. 29 а); точки не совпадают (рис. 29 б).
а)
б)
Рис. 29. Положение точек относительно друг друга:
а) совпадают; б) не совпадают
28
Если совпадают проекции точек, то такие точки называются конкурирующими. Точки А и В, у которых совпадают горизонтальные проекции, называются горизонтально-конкурирующими (рис. 30). Из двух проекций точек на горизонтальной
плоскости проекций П1 видна та, которая расположена выше на фронтальной плоскости проекций. Невидимая проекция точки показана в круглых скобках.
Точки С и D, у которых совпадают фронтальные проекции, называются
фронтально-конкурирующими (рис. 31). Из двух проекций точек на фронтальной плоскости проекций П2 видна та, которая расположена ниже на горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 30. Горизонтально-конкурирующие
точки
Рис. 31. Фронтально-конкурирующие
точки
Точки А и Е (рис. 32), у которых совпадают профильные проекции, называются профильно-конкурирующими. Из двух проекций точек на профильной
плоскости проекций П3 видна та, которая расположена левее на фронтальной
или на горизонтальной плоскостях проекций.
Рис. 32. Профильно-конкурирующие точки
29
Контрольные вопросы
1. Какой метод проецирования используется для построения технических
чертежей?
2. Сколько проекций должен иметь чертёж, чтобы его можно было
назвать обратимым?
3. Что называется линиями связи, и как они располагаются относительно
осей проекций?
4. Какими координатами определяется расстояние от точки до плоскостей
проекций П1, П2, П3?
5. Какие точки называются конкурирующими и для чего их используют?
6. Сколько проекций точки необходимо для её однозначного положения в
пространстве?
7. Какими координатами характеризуется каждая точка пространства?
8. Сколько необходимо координат для определения любой проекции точки на чертеже?
9. Чему равна высота, глубина и широта точки А (50, 20, 30)?
Тест «Комплексный чертёж точки»
1. Проекции точки А имеют координаты:
- А1 (ха, za);
- А1 (ха, ya);
- А2 (ха, za);
- А2 (yа, za);
- А3 (ха, za).
2. Положение точки в пространстве однозначно определяется:
- двумя координатами;
- тремя координатами;
- одной координатой;
- двумя ортогональными проекциями;
- тремя ортогональными проекциями.
3. Плоскости проекций П1, П2, П3 делят пространство на:
- четыре октанта;
- восемь четвертей;
- четыре трёхгранных угла;
- восемь октантов.
30
4. Сколько одинаковых координат имеют конкурирующие точки?
- все;
- одну;
- две.
5. По комплексному чертежу определить положение точек А, В, С, D в
пространстве.
6. Линия проекционной связи соединяет …
а) проекции точки и начало координат;
б) оси проекций;
в) две проекции любой точки, изображенной на эпюре;
г) проекции точек с центром проецирования.
7. Чертёж, образуемый в результате совмещения трёх взаимно перпендикулярных плоскостей проекций с плоскостью чертежа, называется …
- проекционным чертежом;
- аксонометрией;
- позиционным чертежом;
- эпюром.
8. Чертёж фронтально конкурирующих точек показан на рисунке …
В2
А2
А2
А2
А2 (В2 )
В2
В2
В1
В1
В1
А1
1
А1 (В1 )
А1
2
3
9. Точка А принадлежит оси ОZ в случае:
- А(0, 0, 20);
- А(10, 20, 15);
- А(10, 20, 0);
- А(10, 0, 0).
31
А1
4
10. Проекция точки А на П2 построена правильно на рисунке:
z
А2
y
x
А1
z
А3
x А2
А1
y
1
z
А3
А3
А2
y
y
x
А1
y
2
z
3
y
x
А1
y
А3
А2
y
4
11. Точка А (10, 0, 10) расположена …
- в плоскости П2;
- в плоскости П1;
- на оси ОХ;
- в плоскости П3.
Ответы: 1 − А1 (ха, ya), А2 (ха, za); 2 – тремя координатами; 3 – восемь октантов; 4 – две; 5 – точка А общего положения, точка B, С и D частного положения; 6 – в; 7 − эпюром; 8 – 2; 9 – А(0, 0, 20); 10 – 3; 11 – в плоскости П2.
Контрольные задачи
Задача 1. По наглядному изображению точек построить их ортогональные проекции на три плоскости
проекций.
Задача 2. Построить трёхкартинный
комплексный чертёж точек по их координатам: А (30, 25, 45); В (15, 10, 0);
С (0, 30, 0).
32
Задачи 3. По двум заданным проекциям
построить недостающие проекции точек
А, В, С и D. Определить какая из точек
находится выше, дальше, ниже, перед
всеми точками?
Задача 4. Построить недостающие
проекции точек. Укажите видимость точек в горизонтальной и
профильной плоскостях проекций?
Задача 5. На заданных линиях связи построить проекции точек В и С. Точка В расположена выше точки а на 10 мм и ближе к
наблюдателю на 15 мм. Точка С расположена ниже точки А на 10 мм и ближе к
плоскости П2 на 5 мм.
Задача 6. Построить проекции точки А, Задача 7. Найти положение гориотстоящей от плоскости П1 на расстоянии зонтальной оси проекций.
20 мм, от плоскости П2 на расстоянии
30 мм и лежащей в плоскости П3. Записать
координаты этой точки.
33
2.2. Комплексный чертёж прямой
Линия – одномерная геометрическая фигура, обозначается строчными
буквами латинского алфавита − а, в, с... В начертательной геометрии линия
определяется кинематически, как траектория непрерывно движущейся точки в
пространстве. Рассматриваются следующие линии – прямая, отрезок, ломаная,
кривая.
Прямая линия в пространстве может быть задана совокупностью элементов, которые называются определителем прямой. На рисунке 33 показано представление прямой, заданной различными определителями: точкой и
направлением луча (А, s), двумя точками (А, В), отрезком прямой АВ ([AB]),
прямой b и точкой А, через которую она проходит (b, А).
Рис. 33. Задание прямой линии
Проекции прямой линии могут занимать общее или частное положение
относительно плоскостей проекций.
Прямая линия, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Особенности задания
прямых линий общего положения на комплексном чертеже:
1. Любая проекция прямой линии общего положения искажает натуральную длину.
2. Любая проекция прямой линии общего положения наклонена к линиям
связи под углом  90, ни один из них не показывает натуральную величину углов наклона к плоскостям проекций.
На рисунке 34 показано проецирование прямой на плоскости проекций и
один из вариантов комплексного чертежа прямой общего положения.
На комплексных чертежах нет очертаний плоскостей проекций, но есть
линии связи, поэтому положение геометрических фигур в пространстве определяется положением их проекций относительно линий связи. Графический признак прямой общего положения: ни одна из её проекций не  и не  линиям
связи.
34
Рис. 34. Прямая линия общего положения
2.2.1. Прямые частного положения
Прямые линии, параллельные или перпендикулярные плоскости проекций, называют прямыми частного положения. Прямые линии, параллельные
одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня и на эту плоскость
прямые проецируются в натуральную величину. Две другие проекции прямой
линии параллельны осям проекций.
Прямые уровня различают на:
- горизонтальную прямую (h), параллельную горизонтальной плоскости проекций П1. Горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его
натуральной величине (рис. 35). Фронтальная проекция горизонтальной прямой
всегда  оси х. Угол наклона горизонтальной прямой h к фронтальной плоскости
проекций П2 изображается на П1 также в истинную величину: β1 = β;
- фронтальную прямую (f), параллельную фронтальной плоскости проекций П2. Фронтальная проекция отрезка фронтальной прямой равна его натуральной величине (рис. 36). Горизонтальная проекция фронтальной прямой
всегда  оси х. Угол наклона фронтальной прямой f к горизонтальной плоскости
проекций П1 изображается на П2 в истинную величину: 2 = ;
- профильную прямую (р), параллельную профильной плоскости проекций
П3. Профильная проекция отрезка профильной прямой равна его натуральной
35
величине (рис. 37). Горизонтальная и фронтальная проекция профильной прямой всегда  осям у и z. Угол наклона профильной прямой р к горизонтальной
плоскости проекций П1 и к фронтальной плоскости проекций П2 изображается
на П3 в истинную величину: α3 = α; β3 = β.
Отметим особенности задания прямых уровня на комплексном чертеже.
1. Одна из проекций прямых уровня перпендикулярна линиям связи установленного направления.
2. Одна из проекций прямой уровня параллельна самой прямой и даёт истинную величину, а также показывает истинный угол наклона к одной из плоскостей проекций (h, f), к двум плоскостям проекций (p).
Рис. 35. Проекции горизонтальной прямой
Рис. 36. Проекции фронтальной прямой
36
Рис. 37. Проекции профильной прямой
Проецирующей прямой называется прямая, перпендикулярная одной из
плоскостей проекций или параллельная двум плоскостям проекций. Прямая
проецируется в точку на плоскости проекций, перпендикулярно которой она
расположена. Прямая проецируется в натуральную величину на плоскости проекций, параллельно которым она расположена.
Различают следующие проецирующие прямые:
- горизонтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 38). Фронтальная и профильная
проекции отрезка горизонтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине. Горизонтальная проекция горизонтально-проецирующей прямой
представляет собой точку;
- фронтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 39). Горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проецирующей прямой равны его натуральной
величине. Фронтальная проекция фронтально-проецирующей прямой представляет собой точку;
- профильно-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3 (рис. 40). Горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-проецирующей прямой равны его натуральной
величине. Профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет собой точку.
Отличительным графическим признаком проецирующих прямых на комплексном чертеже является то, что одна из проекций прямой вырождается в
точку.
37
Рис. 38. Горизонтально-проецирующая прямая
Рис. 39. Фронтально-проецирующая прямая
Рис. 40. Профильно-проецирующая прямая
38
Контрольные вопросы
1. На какие группы делятся прямые в зависимости от расположения по
отношению к плоскостям проекций?
2. Каковы характерные признаки чертежей:
а) прямой общего положения?
б) горизонтальной прямой?
в) фронтальной прямой?
г) профильной прямой?
д) горизонтально-проецирующей прямой?
е) фронтально-проецирующей прямой?
ж) профильно-проецирующей прямой?
3. Какая прямая называется прямой общего положения?
4. Какие прямые называются прямыми уровня?
5. Какие прямые называются проецирующими?
Тест «Комплексный чертёж прямой»
1. Истинная длина отрезка АВ определяется без вспомогательных построений на рисунке …
1
2
3
4
2. Чертёж горизонтальной прямой показан на рисунке …
1
2
3
3. Фронтально-проецирующая прямая расположена:
- перпендикулярно П2;
- перпендикулярно П3;
- перпендикулярно П1;
- параллельно П2.
39
4
4. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется:
- профильная прямая;
- горизонтальная прямая;
- фронтальная прямая;
- горизонтально-проецирующая прямая.
5. Чертёж прямой общего положения показан на рисунке …
1
2
3
4
6. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется …
- профильная прямая;
- горизонтальная прямая;
- фронтальная прямая;
- горизонтально-проецирующая прямая.
7. Укажите чертежи следующих прямых:
1
2
3
4
5
6
а) общего положения;
б) профильно-проецирующую прямую;
в) горизонтально-проецирующую прямую;
г) фронтально-проецирующую прямую;
д) укажите чертёж, где есть натуральная величина угла наклона прямой к П1.
Ответы: 1 – 4; 2 – 1; 3 – перпендикулярно П2; 4 – горизонталь; 5 – 3; 6 –
горизонталь; 7: а-3; б-4; в-1; г-5; д-2.
40
Контрольные задачи
Задача 1. Построить горизонтальную, фронтальную и профильную проекции отрезка прямой линии,
заданной координатами точек: А (45,
25,10); В (20, 5, 35). Как называется
эта прямая?
Задача 2. По заданной проекции построить недостающие проекции горизонтально-проецирующей
прямой, имеющей глубину 20 мм.
Задача 3. Построить недостающие проекции отрезков прямых
линий, если известно, что глубина
точки А равна 35 мм, глубина точки В равна 10 мм; высота точки К
равна 20 мм, высота точки М равна
5 мм.
Задача 4. Построить недостающую проекцию ломаной линии
АВСDE. Дать название каждого
отрезка.
41
Задача 5. Построить проекции
отрезка АВ = 30 мм горизонтальнопроецирующей прямой при условии,
что точка А делит отрезок пополам.
Задача 6. Построить профильную проекцию прямой а найти на
ней точку, имеющую высоту 15 мм.
Задача 7. Через точку В провести фронтальную прямую длиной
25 мм, имеющую наклон к плоскости
П1 30°.
2.2.2. Взаимное положение точки и прямой
Точка принадлежит прямой, если её проекции находятся на одноимённых
проекциях этой прямой (рис. 41): А1  b1, А2  b2  А  b. С1  b1, С2  b2  С  b.
Рис. 41. Принадлежность точки прямой
42
На рисунке 42 даны проекции точек, из которых только точка С принадлежит прямой а.
В случаях, когда точка и прямая лежат в одной плоскости, параллельной
какой-либо из плоскостей проекций (П1, П2 или П3), то их взаимное расположение определяется по их проекциям на плоскостях проекций. Например, как
определено расположение прямой АВ и точки К на рисунке 43.
Рис. 42. Принадлежность точки С
прямой а
Рис. 43. Определение принадлежности
точки К прямой АВ
2.2.3. Взаимное расположение прямых
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и
не имеют общих точек. Одноимённые проекции параллельных прямых параллельны между собой. Это свойство параллельного проецирования остаётся справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB || CD, то A1B1 || C1D1; A2B2 ||
C2D2; A3B3 || C3D3 (рис. 44). Для определения взаимного положения прямых, параллельных одной из плоскостей проекций, необходимо выполнить проекцию этих
прямых на плоскость, параллельно которой они расположены (рис. 45). Например,
фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но в
рассмотренном случае проекции отрезков на профильную плоскость П3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
Пересекающимися называются две прямые, принадлежащие одной плоскости и имеющие одну общую точку: АВ ∩ СD = К. Если прямые пересекаются,
то одноимённые проекции этих прямых тоже пересекаются и проекции точки
их пересечения находятся на одной линии связи (рис. 46):
АВ ∩ CD = К  А1В1 ∩ C1D1 = К1, А2B2 ∩ C2D2 = К2, А3B3 ∩ C3В3 = К3.
43
Рис. 44. Проекции параллельных
прямых
Рис. 45. Определение положения прямых
по профильной проекции
В проекциях пересекающихся прямых есть два частных случая.
- Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций,
например профильной плоскости проекций (рис. 47), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. В этом случае горизонтальная
и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи. Профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, но точка их пересечения не лежит на одной линии
связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.
- Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной
плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций
(рис. 48). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции.
Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных
прямых, не лежат в одной плоскости (рис. 45). Одноимённые проекции двух
скрещивающихся прямых могут пересекаться, но проекции точек их пересечения не лежат на одной линии связи (рис. 49).
Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одной линии связи,
называются конкурирующими. По этим точкам определяют видимость геометрических объектов. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноимённых проекций скрещивающихся прямых (точки 1 и 2 на
фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости
проекций – рис. 49).
44
На фронтальной плоскости проекций видимой будет точка, которая на горизонтальной проекции имеет наибольшее значение по оси ординат (оси y) – точка 1. На горизонтальной проекции видимой будет точка, которая на фронтальной
проекции имеет наибольшее значение по оси аппликат (оси z) – точка 4.
Рис. 46. Проекции пересекающихся прямых
Рис. 47. Проекции скрещивающихся
прямых
Рис. 48. Проекции
пересекающихся прямых
45
Рис. 49. Проекции конкурирующих точек скрещивающихся прямых
2.2.4. Построение натуральной величины отрезка прямой общего
положения. Метод катетов.
Сущность метода катетов, применяемого для определения натуральной
величины отрезка прямой общего положения, рассмотрена на пространственном чертеже (рис. 50 а).
Заданный в пространстве отрезок прямой AB имеет проекцию на горизонтальной плоскости проекций (A1B1). Если через точку А провести AВ1 || А1В1, то получим прямоугольный треугольник (АВВ1), в котором АВ является гипотенузой
треугольника и натуральной величиной отрезка. Тогда один из катетов прямоугольного треугольника будет равен проекции отрезка АВ на плоскость проекций П1 (АВ1 = А1В1). Второй катет BВ1 это разность удалений концов отрезка от
плоскости проекций П1.
На плоском чертеже (рис. 50 б) определение натуральной величины этого
отрезка решается следующим образом. Исходными данными являются две проекции отрезка AB (А2В2 и А1В1).
а)
б)
Рис. 50. Определение натуральной величины прямой методом катетов
46
Проекция отрезка A1B1 является натуральной величиной одного из катетов прямоугольного треугольника. Чтобы найти второй катет, проводится
A2В21  линиям связи (рис. 50 б). Перпендикуляр к катету B2B21 − это разность
удалений концов отрезка от П1. Откладывается расстояние B2В21 на перпендикуляре к A1B1 с любой стороны. Отрезок A1B0 – это натуральная величина AB, а
угол  − есть угол наклона AB к П1. Таким же образом можно найти угол
наклона данного отрезка к П2, построив прямоугольный треугольник на П2.
Контрольные вопросы
1. Какое взаимное положение могут занимать прямые линии относительно друг друга?
2. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе П1, П2 определить, параллельны ли между собой эти прямые?
3. Перечислите графические признаки:
- параллельных прямых;
- пересекающихся прямых;
- скрещивающихся прямых.
4. Как изображаются в системе П1, П2 две пересекающиеся прямые линии?
5. Какое положение точка может занимать относительно прямой линии?
6. Когда точка принадлежит прямой линии?
7. Как могут располагаться прямые линии друг относительно друга?
8. Какие точки называются конкурирующими?
Тест «Позиционные задачи точки и прямой»
1. Точка D принадлежит прямой d на чертеже ...
1
2
3
4
2. Натуральную величину отрезка прямой способом прямоугольного
треугольника можно определить, если задана только его…
1) профильная проекция;
2) горизонтальная проекция;
47
3) фронтальная и горизонтальная проекции;
4) фронтальная проекция.
3. На каком чертеже показаны пересекающиеся прямые?
1
2
3
4. Определить на каком чертеже показаны: а) пересекающиеся;
б) параллельные; в) скрещивающиеся прямые.
5. На рисунке даны чертежи прямых. Требуется указать:
а) чертёж пересекающихся прямых;
б) чертежи параллельных прямых;
в) чертежи скрещивающихся прямых.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ответы: 1 – 3; 2 – 3; 3 – 2; 4 – а) в, д, е; б) б, г; в) а; 5 – а-5, б-2, 4, в-1, 3, 6.
48
Контрольные задачи
Задача 1. Установите видимость фронтальных проекций прямых линий.
Задача 2. Определить
Задача 3. На каких чертежах (а, б, в)
взаимное положение прямой показаны пересекающиеся, параллельные и
m и точек А, В, С и D.
скрещивающиеся прямые? Доказать.
Задача 5. Через точку А построить пеЗадача 4. Определить
взаимное положение двух ресекающиеся под прямым углом прямые
линии, одна из которых – горизонтальная
профильных прямых.
прямая уровня, расположенная под углом 30°
к фронтальной плоскости проекций.
49
2.3. Комплексный чертёж плоскости
Положение плоскости в пространстве и на чертеже однозначно можно
определить (рис. 51):
а) проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой  (A, B, C);
б) проекциями прямой и точки, не лежащей на ней  (а, В);
в) проекциями двух пересекающихся прямых  (n ∩ m);
г) проекциями двух параллельных прямых  (a // c);
д) проекциями любой плоской фигурой, например треугольником
 (АВС).
е) следами плоскости.
а
б
г
д
Рис. 51. Способы задания плоскости
в
е
Линия пересечения плоскости с плоскостью проекций называется следом
плоскости. На рисунке 51 е плоскость задана в виде её горизонтального (PH) и
фронтального (PV) следов.
По отношению к плоскостям проекций плоскость может занимать различные положения. Плоскость общего положения занимает произвольное по50
ложение по отношению к плоскостям проекций (рис. 51). Углы наклона этой
плоскости к плоскостям проекций произвольные – отличные от 0 и 90°.
Если плоскость перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей
проекций, то её называют плоскостью частного положения. Различают две
группы таких плоскостей: проецирующие и уровня.
2.3.1. Проецирующие плоскости
Плоскости перпендикулярные к одной плоскости проекций называются
проецирующими. Одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в
прямую линию. В зависимости от расположения проецирующей плоскости относительно плоскостей проекций различают три её положения: горизонтальнопроецирующая, фронтально-проецирующая, профильно-проецирующая.
Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей (рис. 52). Горизонтальная проекция горизонтально-проецирующей плоскости – прямая линия, не параллельная и не
перпендикулярная линиям связи. Из чертежа на рисунке 52 видно, что  –
угол наклона плоскости к П2.
Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций называется фронтально-проецирующей плоскостью. Фронтальная проекция фронтально-проецирующей плоскости – прямая линия, не параллельная и не
перпендикулярная линиям связи (рис. 53). Угол  – угол наклона фронтальнопроецирующей плоскости к П1. Угол  – угол наклона плоскости к П3.
Рис. 52. Горизонтально-проецирующая плоскость
51
Рис. 53. Фронтально-проецирующая плоскость
Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующая плоскость. Профильная проекция профильнопроецирующей плоскости – прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи (рис. 54). Угол  − угол наклона фронтальнопроецирующей плоскости к П1. Угол  − угол наклона плоскости к П2.
Рис. 54. Профильно-проецирующая плоскость
2.3.2. Плоскости уровня
Плоскость, параллельная одной плоскости проекций и перпендикулярная
одновременно двум плоскостям проекций, называется плоскостью уровня. Все
плоскости уровня проецируются в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой они параллельны.
Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (|| П1) и перпендикулярная фронтальной ( П2) и профильной ( П3) плоскостям проекций
52
называется горизонтальная плоскость уровня (рис. 55). Фронтальная и профильная
проекции горизонтальной плоскости уровня – прямая линия. Горизонтальная проекция горизонтальной плоскости уровня – натуральная величина плоскости.
Рис. 55. Горизонтальная плоскость уровня
Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (// П2) и перпендикулярная горизонтальной ( П1) и профильной ( П3) плоскостям проекций
называется фронтальная плоскость уровня (рис. 56). Горизонтальная и профильная
проекции фронтальной плоскости уровня – прямая линия. Фронтальная проекция
фронтальной плоскости уровня – натуральная величина плоскости.
Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (|| П3) и перпендикулярная горизонтальной ( П1) и фронтальной ( П3) плоскостям проекций называется профильная плоскость уровня (рис. 57). Горизонтальная и
фронтальная проекции профильной плоскости уровня – прямая линия. Профильная проекция фронтальной плоскости уровня – натуральная величина проецируемой плоскости.
Рис. 56. Фронтальная плоскость уровня
53
Рис. 57. Профильная плоскость уровня
2.3.3. Взаимное расположение точки и плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в
плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.
Задача. Плоскость  задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 58 а).
Фронтальная проекция точки М (М2) принадлежит плоскости. Требуется найти
горизонтальную проекцию точки М (М1). Краткая запись условия задачи:
 (а || b), М (М2)  ; М1 = ?
а)
б)
Рис. 58. Профильная плоскость уровня
в)
Решение. Через фронтальную проекцию точки М (М2) (рис. 58 б) проводят
вспомогательную прямую k  : k2 ∩ a2 = 12; k2 ∩ b2 = 22. Находят горизонталь54
ные проекции точек 1 и 2 (11 и 21) по условию принадлежности прямым а и b соответственно. Через найденные точки на горизонтальной плоскости проекций (11
и 21) проводят горизонтальную проекцию прямой k (k1), на которой с помощью
линии связи находят горизонтальную проекцию точки М − М1 (рис. 58 в). Вариантов решения задачи бесчисленное множество, так как через заданную проекцию точки М (М2) можно провести сколько угодно проекций прямых.
2.3.4. Главные линии плоскости
Если прямая принадлежит плоскости и занимает в ней какое-то особое
положение, то она называется главной линией плоскости. К ним относятся линии уровня плоскости: горизонталь, фронталь и профильная прямая, а также
линии наибольшего наклона плоскости.
Главные линии плоскости полностью определяют положение плоскости в пространстве и их часто используют для решения задач в начертательной геометрии.
Горизонталь плоскости (h) – это прямая, принадлежащая плоскости, и
параллельная горизонтальной плоскости проекций.
Задача. Дана плоскость Г (a W b) (рис. 59 а). Требуется построить: h  Г;
h  П1.
а)
б)
Рис. 59. Построение горизонтали плоскости
Решение. Построение начинают с фронтальной проекции горизонтали
(рис. 59 б): h2 (h2  П1). Так как фронтальная проекция горизонтали h2 принадлежит плоскости, то её проекцию (h1) на горизонтальной плоскости находят по
двум точкам, лежащим в плоскости (1  а, 2  b). h1 – натуральная величина h.
Фронталь плоскости (f) – это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Задача. Дана плоскость  (АВС) (рис. 60 а). Требуется построить: f  ;
f || П2.
55
а)
б)
Рис. 60. Построение фронтали плоскости
Решение. Проводят горизонтальную проекцию фронтали f1 (f || П2). Так
как f принадлежит плоскости, то фронтальную проекцию фронтали f2 находим
по двум точкам, лежащим в плоскости (1  m, 2  n). Фронтальная проекция
фронтали (f2) является натуральной величиной фронтали плоскости f (рис. 60 б).
Линия наибольшего наклона плоскости – это прямая, принадлежащая
плоскости и перпендикулярная одной из линий уровня плоскости. С её помощью определяют угол наклона заданной плоскости к одной из плоскостей проекций. Линию наибольшего наклона плоскости к П1 обозначают буквой g, к
П2 − буквой е.
Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската (рис. 61). Построение этой линии рассмотрено
на конкретном примере.
Рис. 61. Линия наибольшего наклона g к П1
Задача. Определить линию ската плоскости Ф (АВС) к горизонтальной
плоскости проекций.
Решение. Плоскость Ф задана треугольником АВС.
56
Алгоритм решения задачи:
1. В плоскости Ф (АВС) проводится горизонталь h (h1, h2) (рис. 62 а).
2. Строится линия g1 (B1K1)  h1 (рис. 62 б). Проекция линии на фронтальной плоскости g2 (B2K2) определяется по её принадлежности плоскости
(рис. 60 в).
а)
б)
в)
Рис. 62. Нахождение линии ската g плоскости Ф (АВС) к П1
Аналогично можно решить задачу на построение линии ската плоскости Ф
к П2. Для этого в плоскости Ф необходимо построить фронталь. Линию
наибольшего наклона плоскости к П2 − е необходимо строить перпендикулярно
фронтали (е2  f2  е).
2.3.5. Взаимное расположение прямой и плоскости
Возможны следующие три случая относительного расположения прямой
и плоскости:
- прямая принадлежит плоскости;
- прямая параллельна плоскости;
- прямая пересекает плоскость.
Задачи на принадлежность прямой и плоскости решаются на основании
следующих положений:
- если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости;
- если прямая проходит через одну точку плоскости и параллельна какойнибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости.
Задача на принадлежность прямой плоскости рассмотрена на примере
второго свойства.
57
Задача. Плоскость Г задана  АВС (рис. 63 а). Точка М (М1) принадлежит
плоскости Г. Найти М2. М (М1)  Г (АВС). М2 = ?
а)
б)
Рис. 63. Принадлежность точки и прямой плоскости
Решение. Через точку М1 (рис. 63 б) проводится прямая параллельно стороне треугольника АС. Прямая пересечёт сторону А1B1 в точке 11. С помощью
линии связи определяют фронтальную проекцию точки 12. Для этого из точки 12
проводится фронтальная проекция прямой параллельно стороне А2В2 и на этой
проекции прямой находится фронтальная проекция точки М2.
Алгоритмическая запись решения: 11  A1В1  12  A2В2; 12  ℓ2, ℓ2 || A2С2;
M2  ℓ2. Из стереометрии известно: если прямая параллельна плоскости, то она
параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. Рассмотрим построение
прямых параллельных плоскости на примере решения задач.
Задача: Через точку M (M2, M1) провести прямую m (m1, m2), параллельную плоскости  (a ∩ b) (рис. 64 а).
Решение: Через горизонтальную проекцию точки M (M1) проводится
произвольная прямая m (m1). В плоскости 1 (рис. 64 б) проводится прямая n
(n1) параллельно m (m1): 1121 || m1. Определяется её фронтальная проекция 1222 в
плоскости 2 – n2 (рис. 64 в). Через точку М2 проводится прямая m2 параллельно
n2 (рис. 64 г).
Согласно свойству параллельного проецирования прямая m параллельна
прямой n, n  , следовательно, m || .
58
Рис. 64. Построение прямой параллельной плоскости
На эпюре (рис. 65) параллельность прямой m и плоскости ABC доказывается тем, что m2 || А2В2, m1 || А1 В1, т. е. прямая m параллельна плоскости ABC.
Рис. 65. Построение прямой m || плоскости ABC
Если прямая пересекает плоскость, то решается задача по нахождению
точки пересечения прямой с плоскостью – первая главная позиционная задача.
Решение этой задачи сводится к простейшей задаче по определению линии пе59
ресечения двух плоскостей, из которых одна – проецирующая. Алгоритм решения подобных задач выполняется в три этапа:
1) Заключить прямую во вспомогательную проецирующую плоскость
(а  ).
2) Построить линию пересечения вспомогательной плоскости-посредника
с заданной ( ∩ а = m).
3) Найти точку пересечения полученной линии пересечения с заданной
прямой (m ∩ а = К).
Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К пересечения прямой ℓ с плоскостью α.
Задача. Определить точку К пересечения данной прямой ℓ с плоскостью α.
Определить видимость прямой.
Возможны три варианта условия данной задачи:
- прямая ℓ – общего положения, плоскость α – проецирующая (или уровня);
- прямая ℓ – проецирующая, плоскость – общего положения;
- прямая ℓ – общего положения, плоскость – общего положения.
Решить первые две задачи можно не применяя общего алгоритма решения, поскольку один из заданных образов занимает частное положение.
В первом случае (рис. 66) плоскость α (АВС) – горизонтальнопроецирующая.
Горизонтальная проекция К1 искомой точки К определяется как точка пересечения проекции А1В1С1 плоскости α с горизонтальной проекцией ℓ1 данной
прямой ℓ (рис. 64 а). Фронтальная проекция К2 точки К строится из условия
принадлежности точки К прямой ℓ (рис. 64 б).
а)
б)
Рис. 66. Решение задачи на пересечение проецирующей плоскости
с прямой общего положения
60
Во втором случае прямая ℓ − фронтально-проецирующая (рис. 67). Фронтальные проекции любой её точки, а также и искомой К, пересечения прямой ℓ
с плоскостью α (АВС), совпадает с её вырожденной проекцией (ℓ2 совпадает с
К2). Построение горизонтальной проекции К1 точки К выполняется из условия
принадлежности точки К плоскости α: точка К принадлежит плоскости α, так
как она принадлежит её прямой ℓ1 (К1 находится как точка пересечения прямой
A111 с прямой ℓ1). Видимость прямой ℓ в этих задачах решается с помощью конкурирующих точек.
В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой ℓ
с плоскостью α (c || d) выполнено по описанному выше алгоритму (рис. 68).
1) прямую ℓ заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость – посредник S (S1);
2) строят прямую m пересечения плоскостей α (c || d) и S(S1). Фронтальную проекцию m2 строят из условия ее принадлежности данной плоскости α (m
и ℓ имеют общие точки 1 и 2);
3) находят точку K2, как результат пересечения прямых ℓ2 и m2. Точку K1
строят по принадлежности прямой m1. Точка K (K2, K1) – искомая точка пересечения прямой ℓ с плоскостью α (c || d).
Видимость прямой определяют по правилу конкурирующих точек. Так,
на плоскости Н видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих
точек 1 и 3 (11 = 31), где точка 1 принадлежит плоскости α, а точка 3 – прямой ℓ.
Точка 3 расположена над точкой 1, поэтому точка 3 и прямая ℓ в этом участке
на плоскости Н будет видима.
Рис. 67. Решение задачи на пересечение плоскости общего положения
с проецирующей прямой
61
На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях Н и V).
При решении некоторых задач необходимо уметь строить прямые, перпендикулярные плоскости. Из геометрии известен признак перпендикулярности: прямая, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум
пересекающимся прямым этой плоскости. С учётом свойства прямого угла в
начертательной геометрии этот признак формулируется так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна пересекающимся горизонтали h и
фронтали f этой плоскости. Т. е. если прямая линия пересекает плоскость под
прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости.
а)
б)
в)
Рис. 68. а) исходное условие задачи; б и в) решение задачи
Задача. На плоскость, заданную треугольником ABC, необходимо опустить перпендикуляр из точки К. Решение задачи показано на рисунке 69.
Рис. 69. Построение перпендикуляра к плоскости
62
Решение. В соответствии с условием перпендикулярности прямой и
плоскости проводятся проекции горизонтали h (h2, h1) и фронтали f (f1, f2) плоскости АВС. Затем из заданных проекций точки К (K1 и K2) опускают перпендикуляры: на горизонтальной проекции плоскости из К1 к h1, на фронтальной
проекции плоскости из К2 к f2. Прямая, проведенная таким образом, будет перпендикулярна плоскости треугольника ABC.
2.3.6. Взаимное расположение двух плоскостей
По взаимному расположению в пространстве выделяют взаимно параллельные или пересекающиеся плоскости.
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рисунке 70 показана плоскость β (a ∩ b) параллельная плоскости 
(с ∩ d), проходящей через произвольную точку пространства A. Плоскости параллельны, т. к. a || c, b || d.
Если плоскости пересекаются, то они имеют общую линию пересечения.
Линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения
которой достаточно определить две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
Если одна из пересекающихся плоскостей (рис. 71) занимает частное положение (β  П2), то её вырожденная проекция β2 включает в себя проекцию a2 – линии a пересечения плоскостей. Горизонтальную проекцию a1 прямой a строят
по двум общим с плоскостью точкам 1 и 2.
Рис. 70. Взаимно параллельные
плоскости
63
Рис. 71. Пересечение
плоскостей, одна из которых
фронтально-проецирующая
Для определения точек линии пересечения, плоскости общего положения
 и β пересекают двумя вспомогательными проецирующими плоскостямипосредниками. Решение задач упрощается, если вспомогательные плоскости
проводить через прямые, задающие плоскость. Определение линии пересечения
плоскостей – вторая главная позиционная задача начертательной геометрии.
Пример. На рисунке 72 показано решение задачи на определение линии MN
пересечения двух плоскостей ABC и DEK.
Рис. 72. Решения задачи на пересечение плоскостей
64
Плоскость  задана треугольником (ABC), плоскость β задана треугольником (DEK). Точки M и N, определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон
(рассматриваем их как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK, т. е. дважды решается позиционная задача на определение точки
пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному выше алгоритму. Выбор
сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно
определить, какая сторона треугольника пересечет плоскость другого. Выбор
плоскости-посредника также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально-проецирующую или во фронтально-проецирующую плоскости.
Рассмотрим алгоритм решения этой задачи.
1. Для построения точки N использована фронтально-проецирующая
плоскость-посредник Т (Т2), в которую заключена сторона A2B2 треугольника
A2B2C2: (Т2  A2B2).
2. Строится линия пересечения (на чертеже она задана точками 12 и 22)
плоскости-посредника Т (Т2) и плоскости DEK:
(Т ∩ DEK = 1222  1121 ∩ A1B1 = N1  N2).
3. Аналогично находится точка M. Используется фронтальнопроецирующая плоскость-посредник Г (Г2), в которую заключена сторона A2С2
треугольника A2B2C2: (Г2  A2С2).
4. Строится линия пересечения (на чертеже она задана точками 32 и 42)
плоскости-посредника Г (Г2) и плоскости DEK:
(Г ∩ DEK = 3242  3141 ∩ A1С1 = 51  51 N1 ∩ DEK = M1  M2).
Видимость проекций пересекающихся плоскостей АВС и DEK на П2
определена с помощью фронтально-конкурирующих точек 1 и 6, на П1 – с помощью горизонтально конкурирующих точек 7 и 8.
Один из случаев пересечения плоскостей – взаимно перпендикулярные
плоскости, которые можно построить, если в каждой из них есть прямая линия
перпендикулярная другой плоскости.
Например, пусть задана прямая линия ℓ (рис. 73), через которую нужно
провести плоскость  перпендикулярно плоскости β, заданную треугольником
DEF. Для этого:
 строится горизонталь и фронталь плоскости β (DEF):
h – h2 (E222), h1 (E121); f – f2 (E212), f1 (E111).
 на прямой ℓ выбирается произвольно точка А: А2  ℓ2  А1.
 через точку А проводится прямая n  (h, f): n2  f2; n1  h1.
65
Таким образом, построены взаимно перпендикулярные плоскости.
Рис. 73. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
2.4. Комплексный чертёж кривых линий
Кривые линии в начертательной геометрии рассматривают как траекторию непрерывно перемещающейся точки в пространстве (кинематический способ задания). Линии применяются не только для выполнения изображений
различных геометрических фигур, но и позволяют решать многие научные и
инженерные задачи. Например, с помощью линии можно создавать наглядные
модели многих процессов, и исследовать функциональную зависимость между
различными параметрами. Кривую линию можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей.
В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям.
Построение проекций зависит от того, плоская кривая или пространственная.
Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такую кривую
называют плоской кривой линией (например, эллипс, окружность и т. д.).
Если все точки кривой невозможно совместить с одной плоскостью, то
такую кривую называют пространственной кривой линией (винтовая линия).
Если существует математическое уравнение, описывающее движение
точки, то кривую называют закономерной. Аналитически закономерные линии
подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Примером алгебраических кривых служат кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола). К
трансцендентным линиям относят графики тригонометрических функций (синусоида, косинусоида, эвольвента, циклоида).
66
Если кривую линию не удается выразить в аналитической форме, то её
задают графически. Графически, т. е. своим изображением, может быть задана
и закономерная линия, образование которой подчинено определённым геометрическим условиям.
Всякая линия характеризуется порядком. Порядок алгебраической кривой
равен степени её уравнения или определяется графически, т. е. числом точек её
возможного пересечения с произвольной прямой. Как видно из рисунка 74 эллипс – кривая второго порядка, т. к. он имеет две точки пересечения с произвольной прямой.
2.4.1. Проецирование кривой
Для проецирования кривой на плоскость проекций выбирают некоторое
число точек (рис. 75). Чем больше точек, тем точнее проекция кривой.
Линия считается заданной на чертеже, если известен закон нахождения
каждой её точки. Для задания линии удобно использовать её определитель.
Определитель линии – это минимальная информация, необходимая и достаточная для однозначного построения на эпюре любой точки кривой.
Рис. 74. Определение порядка эллипса
Рис. 75. Проецирование кривой
Построение на эпюре любой точки кривой позволит решить вопрос о характере кривой линии (плоская или пространственная). Если на заданной кривой взять произвольные четыре точки и через них провести хорды (секущие), то
возможны два варианта:
- если хорды пересекаются (рис. 76 а), то через пересекающиеся прямые
можно провести плоскость, т. е. они образуют плоскость, в которой лежит заданная кривая. В этом случае кривая линия – плоская.
- если хорды не пересекаются, а скрещиваются (рис. 76 б), значит кривая
линия – пространственная.
67
а)
б)
Рис. 76. Плоская (а) и пространственная (б) кривая линия
2.4.2. Построение касательной, нормали к кривой
Для построения касательных используют прямые, называемые секущими.
Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (АВ). Чтобы через точку А провести касательную t к кривой m, необходимо
из точки А провести секущую АВ, пересекающую кривую. Если приближать точку
В к точке А, то при их совпадении получают касательную t в данной точке (рис. 77).
Касательную (прямая t в точке А) можно рассматривать как предельное
положение секущей, которое занимает последняя при сближении точек пересечения А и В секущей АВ до слияния их в одну точку.
Прямая n, проходящая через точку А и перпендикулярная касательной t
называется нормалью кривой линии в точке А (n  А, n  t). К пространственной
кривой можно провести множество нормалей n, т. е. к касательной можно построить плоскость, нормальную к ней. Если кривая – плоская, то к касательной
можно провести только одну нормаль.
Рассмотренная точка А, у которой только одна касательная и одна нормаль, называется обыкновенной точкой кривой. Если вся кривая состоит из
обыкновенных точек, то она называется регулярной (гладкой, плавной).
У регулярной плоской кривой (рис. 78) в каждой точке А, В, С, D, Е к касательной можно провести только одну нормаль, поэтому все точки являются
обыкновенными (монотонными). Характеристикой плавной кривой может быть
и угол наклона касательных относительно оси Х, который в данном случае меняется плавно.
Точку кривой называют особой (нерегулярной), если положение или направление касательной в этой точке определено неоднозначно. К особым (нерегулярным) относятся: точки узловые (самопересечения) (рис. 79 а), точки возврата
68
первого рода (рис. 79 б), точки возврата второго рода (клюв) (рис. 79 в), точки самосоприкосновения (рис. 79 г), точки угловые (точки излома) (рис. 79 д).
Рис. 77. Построение касательной t
к кривой m
а)
Рис. 78. Гладкая плоская кривая
б)
г)
в)
д)
Рис. 79. Особые точки кривой
2.4.3. Свойства проекций кривых линий
Свойства кривых линий и их проекций позволяют наглядно демонстрировать различные процессы. В геометрии кривые линии – это линии пересечения поверхностей. Основные свойства кривой m (рис. 80):
1. Проекцией кривой линии является кривая линия (в общем случае).
2. Касательная к кривой проецируется в касательную к её проекции.
3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку её
проекции.
4. Порядок кривой (только для алгебраических кривых) в проекциях не
изменяется.
5. Число точек пересечения кривой сохраняется при проецировании.
69
Рис. 80. Инвариантные свойства кривой m
Контрольные вопросы
1. Каково условие принадлежности прямой линии плоскости?
2. Когда точка принадлежит плоскости?
3. Каков алгоритм нахождения точки пересечения прямой линии с
плоскостью?
4. В чём состоит суть способа вспомогательных плоскостей посредников
при нахождении линии пересечения двух плоскостей?
5. Какая плоскость называется проецирующей?
6. Назовите примеры плоских кривых линий.
7. Назовите примеры пространственных кривых линий.
8. Какая плоскость называется плоскостью общего положения, уровня,
проецирующей?
9. Назовите особые точки кривой линии.
10. Как определить на комплексном чертеже, какая из кривых линий
представлена: плоская или пространственная?
Тест «Комплексный чертёж плоскости.
Позиционные задачи плоскости»
1. Прямые а и в определяют плоскость на чертеже ...
1)
2)
5)
3)
6)
4)
7)
70
2. Точка К принадлежит плоскости Г(АВС) на чертеже …
1)
2)
3)
4)
3. Прямая а параллельна плоскости Г(m ∩ n) и прямая с принадлежит Г
на чертеже ...
1)
2)
3)
4)
4. Прямая g, принадлежащая плоскости Г(f ∩ h), является линией ската
на чертеже …
1)
2)
3)
4)
5. Угол наклона плоскости общего положения к П2 можно определить с
помощью:
- горизонтали;
- профильной прямой;
- линии ската;
- линии наибольшего наклона к П2.
6. Линия g плоскости Г(а // b) является ...
- фронталью;
- линией ската;
- линией наибольшего наклона к П2;
- линией наибольшего наклона к П3.
Ответы: 1 – 3, 6; 2 – 2; 3 – 3; 4 – 2; 5 – линией наибольшего наклона к П2;
6 – линией ската.
71
Контрольные задачи
Задача 1. Построить линию пеЗадача 2. Построить недостаюресечения двух плоскостей. Опреде- щие проекции точки К и прямой n,
лить видимость.
принадлежащих плоскости общего положения ∑(a ∩ b).
Задача 3. В плоскости Ω (m || n)
Задача 4. Во фронтально пропостроить горизонтальную линию ецирующей плоскости ∑(ΔАВС) поуровня высотой 10 мм и фронтальную строить
проецирующую
прямую,
линию уровня глубиной 15 мм.
удалённую от П1 на расстояние 15 мм.
Задача 5. Определить взаимное
Задача 6. Через точку L построположение прямой ℓ и плоскости ить плоскость ∑ (a ∩ b) параллельную
Θ(ΔАВС).
плоскости Q(m || n).
72
Задача 7. Найти точку пересечеЗадача 8. Найти точку пересечения прямой m с плоскостью Ω(a ∩ b). ния прямой ℓ с плоскостью ∑(ΔАВС).
Определить видимость.
Определить видимость.
Задача 9. Построить линию пересечения двух плоскостей Θ(m || n) и
Ω(a ∩ b). Определить видимость.
а)
б)
Задача 10. Построить линию пеЗадача 11. Из точки N опустить
ресечения двух плоскостей Θ(ΔАВС) и перпендикуляр на плоскость Σ(ΔАВС).
∑ (l ∩ m). Определить видимость.
73
2.5. Аксонометрические проекции
Аксонометрические изображения находят большое применение в науке,
технике и промышленности, так как они обладают свойством наглядности и
обратимости. Аксонометрические изображения получают проецированием геометрических объектов вместе с их системой координат параллельными лучами
на произвольно расположенную плоскость проекций.
На рисунке 81 показано проецирование пространственной системы координат ОXYZ с точкой А по направлению S на плоскость проекций П/, которую
называют аксонометрической плоскостью проекций.
Рис. 81. Образование аксонометрической проекции
На проецирующем луче ОО/ произвольно выберем точку О/, считая, что
она лежит в плоскости П/. Аналогично выберем проекции Ах/, Аy/, Аz/ и соединим
их с точкой О/. Получим плоскую систему О/X/Y/Z/, которую называют аксонометрической системой координат. Проекции осей О/X/, О/Y/, О/Z/ называются
аксонометрическими осями.
Спроецируем точку А и её горизонтальную проекцию – А1 на плоскость
/
П . Учитывая свойства параллельных проекций, из точки Ах/ проведем параллельно О/Y/ прямую и в пересечении с проецирующим лучом точки А1 получим
А1/, которую называют вторичной проекцией точки А. Аксонометрическая проекция А/ точки А определится в точке пересечения проецирующего луча АА/ с
прямой: А1/ А || Z/.
Процесс построения изображений в аксонометрических осях идентичен
построениям в пространственной системе координат. Разница в том, что коор74
динатные отрезки X, Y, Z пространственной системы взаимно перпендикулярны, а в аксонометрической системе они параллельны соответствующим координатным осям X/Y/Z/.
Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость
П/ характеризуется коэффициентами искажения. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на аксонометрическую плоскость П/ характеризуется коэффициентами искажения, которые определяются отношением длины
проекции отрезка оси в аксонометрии к его истинной длине.
Вычислим показатели искажения по осям x, y, z:
U
OAy y
OAx x
OAz z 
 ; W
 ; V
 .
y
OAz
z
OAx
x
OAy
Отсюда вытекает связь координат: x  u  x ; y  v  y ; z  w  z .
Для построения аксонометрической проекции объекта необходимо выбрать аксонометрические оси О/X/Y/Z/ координат и показатели искажения по
ним. Воспользуемся основной теоремой аксонометрии (теорема ПолькеШварца), которая утверждает: аксонометрические оси на плоскости П/ чертежа и показатели искажения по ним могут быть выбраны совершенно
произвольно.
Итогом этой теоремы является основное уравнение аксонометрии, которое используется без доказательств:
U 2  V 2  W 2  2  ctg 2 ,
где
(1)
 – угол между направлением проецирования и плоскостью проекций
(угол проецирования).
Для любого значения левой части уравнения всегда можно подобрать
значение угла  , удовлетворяющего условию равенства.
Проекции с углом 0    90 называются косоугольными.
Если угол   90  , то аксонометрия называется прямоугольной или ортогональной. В данном случае уравнение запишется так:
(2)
U 2 V 2 W 2  2.
Из уравнения 2 следует, что можно задать два показателя искажения, а
третий определить.
Виды аксонометрических проекций различают по значениям показателей
искажения (рис. 82).
75
ИЗОМЕТРИЯ
ДИМЕТРИЯ
Изометрические
проекции
Диметрические
проекции
U V W
U V W
U W V
V W U
ТРИМЕТРИЯ
Триметрические
проекции
U V W
Рис. 82. Виды аксонометрических проекций
2.5.1. Стандартные аксонометрические проекции
Для обеспечения простоты построений на практике пользуются стандартными аксонометрическими проекциями (ГОСТ 2.317–69), где стандартизированы углы между аксонометрическими осями и коэффициенты искажения:
прямоугольная изометрическая проекция, прямоугольная диметрическая проекция, косоугольная фронтальная изометрия, косоугольная горизонтальная
изометрия, косоугольная фронтальная диметрия.
Положение осей прямоугольной изометрии показано на рисунке 83. Коэффициенты искажения для прямоугольной изометрии: U = V = W = 0,82. Такие
коэффициенты искажения усложнят работу построения, поэтому применяют
приведённые коэффициенты искажения: U = V = W = 1. Такой приём не искажает изображения, а соответствует преобразованию подобия и приведенная аксонометрия значительно удобнее в работе. Это значит, что для построения
точки А (x, y, z) в прямоугольной изометрии с приведенными коэффициентами
искажения по аксонометрическим осям откладывают истинные координаты
точки, т. е. x/ = x; y/ = y; z/ = z.
Рис. 83. Оси прямоугольной изометрии
76
Для удобства построения осей рекомендуется из точки О/ влево для оси
X/, и вправо для оси Y/ отложить 5 равных отрезков и из последнего деления отложить вниз 3 таких же отрезка. Полученные точки соединить с О/.
Положение осей прямоугольной диметрии показано на рисунке 84. Приведённые коэффициенты искажения: U = W = 1; V = 0,5. Построить ось X / и ось Y/
можно в определенном соотношении единиц, как показано на рисунке 84
Рис. 84. Положение осей прямоугольной диметрии
Оси косоугольной фронтальной изометрии показаны на рисунке 85. Допускается применять фронтальные косоугольные изометрические проекции с
углом наклона оси Y/ в 30° и 60°. Приведенные коэффициенты искажения:
U = V = W = 1.
Оси косоугольной горизонтальной изометрии показаны на рисунке 86.
Допускается применять горизонтальные косоугольные проекции с углом
наклона оси Y/ равным 60°. Приведенные коэффициенты искажения:
U = W = V = 1.
Оси косоугольной фронтальной диметрии показаны на рисунке 87. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона
оси Y/ равным 30° и 60°. Приведенные коэффициенты искажения: U = W = 1;
V = 0,5.
Рис. 85. Положение осей
фронтальной косоугольной изометрии
Рис. 86. Положение осей
горизонтальной
косоугольной изометрии
77
Рис. 87. Положение осей
фронтальной косоугольной
диметрии
2.5.2. Построение геометрических объектов в прямоугольной изометрии
и диметрии
Построение аксонометрических проекций геометрических объектов в
общем случае сводится к построению точек по их координатам, которые определяются по ортогональному чертежу предмета.
Пример 1. Требуется построить прямоугольную изометрию отрезка прямой. Отрезок прямой строят по двум его конечным точкам. Для этого определяют их координаты в ортогональных проекциях (рис. 88): А (ха, уа, zа) и В (xb,
yb, zb). Затем переносят эти координаты на соответствующие аксонометрические оси (рис. 89 и 90), учитывая приведенные коэффициенты искажения. Прямоугольная изометрия отрезка АВ показана на рисунке 91.
Рис. 88. Ортогональные
проекции отрезка
Рис. 89. Построение точки А
в прямоугольной изометрии
Рис. 91. Прямоугольная изометрия
отрезка АВ
Рис. 90. Построение точки В
в прямоугольной изометрии
78
Пример 2. Требуется построить прямоугольную диметрию пятиугольника, ортогональные проекции которого заданы на рисунке 92.
Для построения аксонометрической проекции пятиугольника необходимо
измерить координаты каждой точки: х, у, z. У пятиугольника пять вершин, которые обозначим как 1, 2, 3, 4, 5. Так как пятиугольник лежит в горизонтальной
плоскости, то координата z во всех вершинах будет равна нулю. Поэтому, для
построения достаточно двух координат каждой точки: х и у. Полученные координаты каждой вершины откладываем на аксонометрических осях (х/, у/) прямоугольной диметрии с учётом приведённых коэффициентов искажения
(рис. 93 и 94). На рисунке 95 показан чертёж прямоугольной диметрии пятиугольника.
Рис. 92. Ортогональные проекции
пятиугольника
Рис. 93. Построение в прямоугольной
диметрии точек 1, 2, 5
Рис. 94. Построение в прямоугольной
диметрии точек 3, 4
Рис. 95. Прямоугольная диметрия
пятиугольника
79
2.5.3. Аксонометрические проекции окружности
В инженерной практике часто требуется построение аксонометрических
изображений окружности. Изображением окружности в данном случае является
эллипс. Проекции таких окружностей строят по большой и малой оси эллипса,
положение и величина которых указана в стандартных аксонометрических проекциях (ГОСТ 2.317–69).
В прямоугольной изометрии направление малой оси (рис. 96) эллипса
совпадает с той координатной осью, направление которой перпендикулярно
плоскости окружности в пространственной системе координат, т. е. совпадает с
направлением нормали к плоскости окружности.
Например, если плоскость окружности параллельна X/O/Y/, то малая ось
параллельна оси Z/, а большая ось эллипса к ней перпендикулярна. Для плоскости Y/O/Z/ малая ось параллельна оси X, большая ось перпендикулярна малой
оси. Для плоскости X/O/Z/ малая ось параллельна оси Y/.
Рис. 96. Оси эллипсов в прямоугольной изометрии
Для построения эллипса достаточно восьми точек: четыре точки определим
на осях эллипса и остальные четыре определим на линиях, проходящих через центр
эллипса и параллельных осям плоскости проекций, в которой строится эллипс. Это
точки – 1, 2, 3, 4 (рис. 96). Расстояние от центра эллипса до нужной точки будет
равно радиусу окружности в ортогональных проекциях. Длина большой оси эллипса равно 1,22 D, где D – диаметр окружности. Длина малой оси – 0,71 D.
Вышеизложенные правила построения справедливы и для построения
окружностей в прямоугольной диметрии (рис. 97). Длина большой оси эллипса
80
будет равна 1,06 D, где D – диаметр окружности. Длина малой оси: в плоскости
X/O/Y/ и Z/O/Y/ – 0,35 D, в плоскости X/O/Z/ – 0,94 D.
Рис. 97. Оси эллипсов в прямоугольной диметрии
2.5.4. Примеры построения окружности в аксонометрии
Пример 1. Требуется построить окружность, которая расположена в
плоскости XOY, диаметром 50 мм в прямоугольной изометрии, ортогональные
проекции которой заданы на рисунке 98.
1. Определяем значения длин большой и малой оси эллипса:
Б.О.Э. = 1,22 х d = 1,22 х 50 = 61;
М.О.Э. = 0,71 х d = 0,71 х 50 = 35,5.
2. Начертим оси прямоугольной изометрии. От начала отсчета осей O/ отложим расстояния: OX0 – по оси X/; OY0 – по оси Y/. Таким образом, определим центр
окружности O1. Через этот центр проведём линии для большой и малой оси эллипса
(рис. 99). Значения длин большой и малой осей эллипса разделим пополам, и отложим их от центра эллипса на соответствующих линиях. Получим вторичные проекции большой и малой оси (АВ – большая ось эллипса, CD – малая ось эллипса);
3. Через центр окружности О1 отложим отрезки параллельные осям X/ и Y/
равные радиусам окружности (R = 25 мм) и получим проекции точек 1, 2, 3, 4
(рис. 100);
4. Соединим точки плавной кривой линией (рис. 101).
Как было сказано выше, окружности в прямоугольной изометрии проецируются в эллипсы. В практических построениях эллипсы заменяют овалами.
Один из способов построения такого овала поэтапно показан на рисунке 102.
81
Рис. 98. Ортогональные проекции
окружности
Рис. 99. Построение большой и малой
осей эллипса
Рис. 100. Построение точек эллипса –
1, 2, 3, 4
а)
Рис. 101. Прямоугольная изометрия
окружности
б)
в)
Рис. 102. Поэтапное построение овала
Аксонометрические проекции окружностей большого диаметра удобно
строить при помощи хорд, построение с которыми рассмотрено в примере 2.
82
Пример 2. Требуется построить проекцию окружности диаметром 78 мм
в прямоугольной изометрии способом хорд.
Для того, чтобы выполнить эту задачу, необходимо на ортогональных
проекциях окружности (рис. 103) провести несколько линий внутри этой
окружности параллельно оси Y. Точки пересечения этих линий с осью АВ отметим как точки G, F, O, M, N. Точки пересечения этих линий с очерком окружности отметим как точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Строим оси прямоугольной изометрии и начинаем построение с определения точки центра окружности − О/ и линий, проходящих через этот центр –
А/В/ и С/D/ (рис. 104).
Рис. 103. Ортогональные проекции
окружности
Рис. 104. Построение центра окружности О/ и
диаметров окружности А/ В/, С/ D/
в прямоугольной изометрии
Затем на аксонометрической проекции линии А/В/ отмечаем точки F/, G/,
M/, N/ (рис. 105). Через эти точки параллельно оси Y/ проводим отрезки
(рис. 106). В результате получают проекции точек 1/, 2/, 3/, 4/, 5/, 6/, 7/, 8/. Соединяя плавной кривой построенные точки, получаем эллипс. Полное изображение
заданной окружности в прямоугольной изометрии показано на рис. 107.
Рис. 105. Построение проекций точек F/
и G/ в прямоугольной изометрии
Рис. 106. Построение проекций хорд
83
Рис. 107. Проекции окружности в прямоугольной изометрии
Контрольные вопросы
1. Какие проекции называют аксонометрическими?
2. Что такое коэффициент искажения в аксонометрии?
3. Как классифицируют аксонометрические проекции по значениям показателей искажения?
4. Какие стандартные виды аксонометрических проекций применяют при
построениях геометрических объектов?
5. Как устанавливается связь между аксонометрической и натуральной
систем координат?
6. О чём говорит основная теорема аксонометрии?
7. В чём отличие между аксонометрией прямоугольного и косоугольного
проецирования?
8. Под какими углами располагаются оси в прямоугольной изометрии?
9. Какова величина показателей искажения по аксонометрическим осям в
прямоугольной изометрии?
10. Под какими углами располагаются оси в прямоугольной диметрии?
11. Какова величина показателей искажения по аксонометрическим осям
в прямоугольной диметрии?
Тест «Аксонометрические проекции»
1. На каком из чертежей выполнены проекции куба в ...
а) косоугольной диметрии;
б) прямоугольной диметрии;
в) прямоугольной изометрии.
84
1
2
3
4
5
2. Положение любой точки в аксонометрии определяется ...
а) четырьмя координатами;
б) двумя координатами;
в) тремя координатами;
г) одной координатой.
3. Под коэффициентом искажения понимают ...
а) отношение проекции отрезка к его натуральной величине;
б) отношение аксонометрической величины отрезка, взятого вдоль определённой оси, к натуральной величине этого отрезка;
в) отношение натуральной величины отрезка к длине этого отрезка в аксонометрии;
г) произвольно выбранный масштаб по аксонометрическим осям отношение аксонометрической величины произвольно.
4. Дано аксонометрическое изображение призмы. На каком чертеже
призма расположена:
а) в прямоугольной изометрии;
б) в косоугольной фронтальной диметрии.
1
2
3
4
5
5. Дано аксонометрическое изображение окружности. На каком чертеже
окружность изображена в:
а) прямоугольной изометрии;
б) прямоугольной диметрии.
1
2
3
85
4
5
6. Аксонометрической называют ...
а) проекцию, полученную проецированием предмета вместе с координатной системой параллельным пучком лучей на произвольно расположенную
плоскость проекций;
б) проекцию, полученную проецированием предмета, вместе с координатной системой, параллельным пучком произвольных лучей на одну плоскость проекций;
в) проекцию, полученную проецированием предмета, вместе с координатной системой, параллельным пучком лучей на две плоскости проекций;
г) проекцию, полученную проецированием предмета, вместе с координатной системой, параллельным пучком лучей на три плоскости проекций.
7. Аксонометрия называется прямоугольной, если направление проецирования ...
а) не перпендикулярно плоскости проекций;
б) перпендикулярно плоскости проекций;
в) имеет угол 450 к плоскости проекций;
г) параллельно плоскости проекций.
8. Аксонометрия называется косоугольной, если направление проецирования...
а) перпендикулярно плоскости проекций;
б) не перпендикулярно плоскости проекций;
в) параллельно плоскости проекций;
г) имеет угол 45° к плоскости проекций.
9. Изометрической называют аксонометрическую проекцию, у которой
показатели искажения ...
а) одинаковые по двум осям;
б) переменные по всем осям;
в) разные по всем осям;
г) одинаковые по всем осям.
10. Диметрической называют аксонометрическую проекцию, у которой
показатели искажения...
а) одинаковые по двум осям;
б) переменные по всем осям;
в) одинаковые по всем осям;
г) разные по всем осям.
11. Триметрической называют аксонометрическую проекцию, у которой
показатели искажения ...
а) переменные по всем осям;
86
б) разные по всем осям;
в) одинаковые по всем осям;
г) одинаковые по двум осям.
12. При построении точной прямоугольной изометрической проекции величина показателей искажения по аксонометрическим осям равна ...
а) 0,82; б) 1,0; в) 0,5;г) 1,22.
13. К стандартным аксонометрическим проекциям с равными показателями искажения по трем осям относят ...
а) прямоугольную диметрическую проекцию;
б) косоугольную фронтальную изометрическую проекцию;
в) прямоугольную диметрическую проекцию;
г) прямоугольную изометрическую проекцию;
д) косоугольную горизонтальную изометрическую проекцию;
е) прямоугольную диметрическую проекцию.
14. Если коэффициенты искажений в прямоугольной диметрии по осям X
и Z равны единице, то по оси Y коэффициент равен …
а) 0,71; б) 1,0; в) 0,5; г) 1,22.
15. Аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения по
всем трём осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют
120°, называют ...
а) прямоугольной изометрической проекцией;
б) фронтальной изометрической проекцией;
в) фронтальной косоугольной диметрической проекцией;
г) горизонтальной изометрической проекцией.
16. Верно построена изометрия конуса на рисунке ...
1
2
3
87
4
17. Изометрия цилиндра построена на рисунке ...
1
2
3
4
18. Правильное построение куба в прямоугольной изометрии показано на
рисунке ...
1
2
3
4
Ответы: 1 – а) 4 б) 5 в) 1; 2 – в; 3 – б; 4 – а) 2,4 б)1, 3; 5 – а)1, 2, 5 б) 3, 4;
6 – а; 7 – б; 8 – б; 9 – г; 10 – а; 11 – б; 12 – а; 13 – б, г, д; 14 – в; 15 – а; 16 – 4;
17 – 4; 18 – 2.
Контрольные задачи
Задача 1. В прямоугольной изометрии через точку А (2, 5, 8) провести
прямую, пересекающую горизонтальную плоскость проекций в точке В (8, 5, 0).
Задача 2. Построить в прямоугольной изометрии и диметрии точки
А (6, 2, 10); В (3, 7, 5); С (3, 6, 4).
Задача 3. В прямоугольной диметрии построить окружность R = 30 мм,
расположенную в координатной плоскости XOY.
Задача 4. В прямоугольной изометрии и диметрии построить плоскую
фигуру, показанную на рисунке.
88
Задача 5. Построить изометрическую проекцию треугольника А (20, 15, 0),
В (50, 15. 80), С (10, 50, 65) и линию его пересечения с прямой ℓ, заданной точками (0, 20, 20) и (60, 50, 50). Определить видимость.
Задача 6. В прямоугольной диметрии построить наклонную плоскость с
вырезом по размерам, заданным на рисунке.
89
МОДУЛЬ 3. ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Цель: изучить изображение поверхностей на комплексном чертеже.
Задачи: знать механизм образования поверхностей и их определители; уметь
строить их проекции и определять их положение в пространстве; уметь решать
задачи инцидентности точек и линий поверхности на комплексном чертеже.
Совокупность упорядоченного множества точек или линий, ограничивающих некоторый объём или разделяющих пространство, называют поверхностью. Существует несколько способов задания поверхности: кинематический,
аналитический, каркасный.
Различные способы задания поверхностей широко применяют в геометрии и в технике. Поверхность на комплексном чертеже задаётся каркасом,
определителем, очерком. В начертательной геометрии поверхность рассматривают с позиций движения, кинематики, как множество всех положений перемещающейся по определённому закону линии в пространстве. Поэтому способ
образования поверхностей называют кинематическим. Образующая ℓ перемещается по некоторой неподвижной линии, называемой направляющей m.
Направляющих по количеству может быть несколько. Образующая ℓ, перемещаясь по неподвижной направляющей m, создаёт плотную сеть линий, называемой каркасом поверхности (рис. 108).
Рис. 108. Образование каркаса поверхности
Поверхность считается заданной, если на поверхности можно построить
любую точку и решать геометрические задачи. Очевидно, что любая точка будет принадлежать поверхности, если она лежит на линии каркаса этой поверхности. Для того чтобы построить точку М на поверхности (рис. 108),
необходимо построить какую-либо образующую ℓ на этой поверхности так,
чтобы она проходила через точку М (М  , М  ℓ, ℓ  ).
90
Для образования поверхности необходимо задать: форму и размеры образующей, положение образующей в пространстве, закон движения образующей,
закон изменения образующей в пространстве. Совокупность всех этих параметров, однозначно определяющих поверхность, называется её определителем.
Определитель состоит из геометрической (Г) и алгоритмической части (А).
Геометрическая часть (Г) устанавливает набор геометрических фигур
(геометрических элементов), участвующих в образовании поверхности,
например:  (m, ℓ) (рис 89). Алгоритмическая часть (А) устанавливает закон
(характер) взаимодействия геометрических фигур в процессе образования
поверхности, например: ℓ ∩ m, ℓ  S (рис. 108). При построении чертежа поверхности алгоритмической частью определителя является закон каркаса
поверхности.
3.1. Классификация поверхностей
Существует много подходов к классификации поверхностей. За основу
классификации поверхностей возьмём форму образующей и закон её перемещения в пространстве. Одни и те же поверхности могут быть отнесены одновременно к нескольким типам. Например, цилиндрическая поверхность
вращения относится к поверхностям вращения и к линейчатым поверхностям.
На рисунке 109 приведена краткая классификация поверхностей.
Рис. 109. Краткая классификация поверхностей
91
3.2. Задание линейчатых многогранных поверхностей на комплексном
чертеже
Многогранники – геометрические тела, поверхность которых состоит из
отсеков плоскостей, ограниченных многоугольниками. Их элементами являются грани, рёбра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней – рёбрами,
точки пересечения не менее чем трёх граней − вершинами.
Рёбра многогранной поверхности образуют её каркас. Построение проекций многогранной поверхности сводится к построению проекций её каркаса,
т. е. вершин, соединенных рёбрами. Количество проекций многогранника
должно быть таким, чтобы обеспечивалась обратимость чертежа. Чертёж является обратимым, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности,
можно построить её вторую проекцию.
Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум её граням, её называют замкнутой, в противном случае – незамкнутой.
Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы. Многогранники
бывают правильные и неправильные. Вокруг всех правильных многогранников
можно описать сферу. Также многогранники бывают прямые и наклонные, полные и усечённые.
Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все её рёбра
пересекаются в одной точке – вершине (рис. 110). Пирамидальная поверхность
образуется перемещением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом образующая остаётся неподвижной в точке S, называемой
вершиной (рис. 110).
Рис. 110. Комплексный чертёж пирамиды
92
Многогранная поверхность называется призматической, если все её ребра
параллельны между собой (рис. 111). Призматическая поверхность образуется
перемещением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m,
при этом всегда оставаясь параллельной некоторому направлению S (рис. 111).
Для того чтобы построить проекции точек и линий, принадлежащих многогранной поверхности, необходимо использовать все признаки принадлежности точек, определённых для плоскости. Рассмотрим несколько задач на
принадлежность точек и линий многогранной поверхности.
Рис. 111. Комплексный чертёж призмы
Задача: Построить недостающую проекцию точки М (рис. 112 а), принадлежащей пирамидальной поверхности Ф (М (М2)  , М1 = ?). Если точка
принадлежит поверхности, то она должна принадлежать какой-либо грани пирамиды. Предположим, что данная фронтальная проекция точки М (М2) принадлежит грани АВS (А2В2S2). Чтобы построить М1 (рис. 112 б) нужно через
точку М2 провести какую-либо прямую, принадлежащую грани А2В2S2. Проще
всего провести образующую 52S2  М2, а затем построить её горизонтальную
проекцию 51S1 и на неё спроецировать проекцию точки М (М1). Точка
М1 − видима, т. к. на П1 грань А1В1S1 – видима.
Если призматическая поверхность () перпендикулярна горизонтальной
плоскости проекций   П1, то она занимает проецирующее положение
(рис. 113). Горизонтальная проекция 1 призматической поверхности вырождается в линию, на которой находятся все проекции точек и линий, принадлежащих проецирующей призматической поверхности. Все образующие (рёбра)
призматической поверхности параллельны и на П1 проецируются в точки –
11,21,31,41, а грани в отрезки – 1121; 2131; 3141; 4111.
93
а
б
Рис. 112. Принадлежность точки поверхности пирамиды
Рис. 113. Нахождение точек на
поверхности проецирующей призмы
Рис. 114. Нахождение точек на поверхности
пирамиды
94
Любая точка на поверхности пирамиды (точка М) может быть найдена с
помощью вспомогательного отрезка, принадлежащего грани пирамиды, проведённого через вершину и основание пирамиды (рис. 114). Можно для нахождения точки на поверхности пирамиды (точка F) использовать вспомогательный
отрезок, расположенный параллельно основанию пирамиды (рис. 114).
Рассмотрим задачу на построение точки М, принадлежащей поверхности
призмы , занимающей общее положение.
Задача. Дана поверхность призмы (рис. 115). Требуется построить точку
М  .
Решение. Точка М принадлежит грани ВСВ/C/. Через М2 проводят ℓ2  S2,
через точку 9 (91, 92) строят ℓ1  S1, из точки М2 проводят линию связи на ℓ1 и
находят М1.
Рис. 115. Нахождение точки на поверхности призмы
3.3. Задание кривых линейчатых поверхностей на комплексном чертеже
Образующая ℓ линейчатых кривых поверхностей является прямой линией, а направляющая m (в отличие от ломаной у гранных) – кривая линия.
Как гранные, так и кривые линейчатые поверхности относятся к развертывающимся, так как они могут без деформаций (без складок и разрывов) совмещаться
с плоскостью. К кривым линейчатым развертывающимся поверхностям относятся
конические (рис. 116) и цилиндрические поверхности (рис. 117).
95
Рис. 116. Коническая поверхность общего вида
Рис. 117. Цилиндрическая поверхность общего вида
Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей ℓ по кривой направляющей m, в каждый момент движения, проходя через некоторую фиксированную точку S.
Задача: Найти на конической поверхности  недостающие проекции
точки М и К: М1 = ?, К1 = ?.
Решение. Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М (М1)
(рис. 118), необходимо через М2 провести образующую конуса и построить её
горизонтальную проекцию. Горизонтальная проекция образующей строится по
двум известным точкам: точке S и точке 1. Точку К (К1) найдём с помощью параллели, проведённой через точку М2. Построив параллель на горизонтальной
проекции конуса, найдем искомую проекцию точки К.
Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной
образующей ℓ по кривой направляющей m, в каждый момент движения, оставаясь параллельной заданному направлению s.
96
Рис. 118. Нахождение проекций точки на конической поверхности
Задача: Требуется на цилиндрической поверхности общего вида , построить недостающие проекции точки М и кривой линии а (рис. 119 а): М1 = ?.
а
б
в
Рис. 119. Нахождение точек и линии на поверхности цилиндра
97
Решение. Для построения горизонтальной проекции точки М (М1), необходимо из её фронтальной проекции М2 провести линию связи до пересечения с
горизонтальным очерком цилиндра (рис. 119 б).
Для построения горизонтальной проекции кривой линии а (а1), необходимо отметить ряд точек (12, 22, 32) на фронтальной проекции прямой а (а2),
спроецировать их на горизонтальный очерк цилиндра и соединить плавной
кривой линией – 112131 (рис. 119 в).
3.4. Задание неразвёртывающихся линейчатых поверхностей с двумя
направляющими
К неразвёртывающимся линейчатым поверхностям относятся поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана). Линейчатые поверхности с двумя направляющими (m, n), у которых образующая прямая линия (ℓ), в
каждый момент движения, пересекая направляющие, остаётся параллельной
некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.
Различают три вида таких поверхностей.
1. Цилиндроид – если направляющими являются две кривые линии (плоские или пространственные) (рис. 120).
2. Коноид – если одна из направляющих – прямая линия, а вторая – кривая (рис. 121).
3. Гиперболический параболоид (косая плоскость) – если обе направляющие – прямые линии (рис. 122).
Рис. 120. Образование поверхности цилиндроида
98
Рис. 121. Образование поверхности коноида
Рис. 122. Образование поверхности гиперболического параболоида
99
3.5. Поверхности вращения
Поверхность вращения образуется при вращении образующей (ℓ) вокруг
неподвижной оси (i). Образующая (ℓ) может быть прямой или кривой линией –
плоской или пространственной. Различают закономерные поверхности вращения и поверхности вращения общего вида.
Рассмотрим поверхность вращения общего вида (рис. 123). Каждая точка
образующей (ℓ) при вращении вокруг оси опишет окружность с центром на оси,
плоскость которой перпендикулярна оси i. Эти окружности называются параллелями. Все параллели параллельны между собой. Самая большая параллель называется экваториальной (экватор), где точка В, принадлежащая экватору,
максимально удалена от оси. Самая малая параллель называется горловой (горло),
где точка А, принадлежащая данной параллели, минимально удалена от оси i. Некоторые поверхности вращения имеют верхнюю (С) и нижнюю (D) параллели.
Линии, которые получаются в сечении поверхности вращения плоскостями,
проходящими через ось перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций,
называются меридианами. Все меридианы равны между собой. Каждый меридиан
рассекается этой плоскостью на два полумеридиана (правый и левый).
Рис. 123. Поверхность вращения общего вида
100
Фронтальный меридиан определяет очерк проекции поверхности на
фронтальную плоскость проекций и границу видимости относительно П2. Видимость точек, принадлежащих поверхности вращения, относительно П1 определяется параллелями (рис. 124).
Рис. 124. Комплексный чертёж поверхности вращения общего вида
Рассмотрим построение недостающих проекций точек А и В (А1 и В2) на
поверхности вращения общего вида. Чтобы построить недостающую проекцию
точки, лежащей на поверхности, необходимо определить параллель, проходящую через точку и по линии связи перенести точку на проекцию определённой
параллели.
Через точку А2 проводят параллель (n2), определяют радиус этой параллели (от оси до очерка поверхности), строят её горизонтальную проекцию (n1). Из
точки А2 проводят линию связи на n1, пересекаясь с ней в двух точках. Поскольку профильная проекция точки А (А2) видима, то отмечаем ту точку, которая
101
находится ниже на горизонтальной плоскости проекций. Видимость точки А1 на
горизонтальной плоскости определяется её фронтальной проекцией – А2, которая расположена ниже экватора и является невидимой.
Для построения фронтальной проекции точки В (В2) через точку В1 проводят параллель m1, отмечая точку пересечения с главным меридианом М1. Отмечают точки М2, М21 на фронтальной проекции поверхности. Искомой
параллелью является m2, проведённой через точку М2, так как точка В1 на П1
видима. Из точки В1 проводят линию связи до пересечения с m2. Фронтальная
проекция точки В (В2) будет невидима, т. к. точка В1 находится за главным меридианом поверхности.
3.6. Закономерные поверхности вращения
К закономерным поверхностям вращения относятся поверхности 2-го порядка: (цилиндр, конус, сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоид) и 4-го порядка (тор). Цилиндр вращения образуется вращением образующей (ℓ) прямой
линией вокруг параллельной ей оси. На рисунке 125 показан цилиндр, который
занимает проецирующее положение относительно П1, так как его ось i – горизонтально проецирующая прямая. Показано построение недостающей проекции
линии а по заданной фронтальной проекции ℓ2. Все построения понятны из рисунка. Точка 3 расположена на профильном меридиане, поэтому точка 33 является границей видимости на П3.
Конус вращения образуется вращением образующей (ℓ) прямой линией
вокруг оси, которую она пересекает (рис. 126). Ось конуса i  П1, образующая ℓ
занимает положение прямой уровня – фронтали. Образующая конуса вращения
и цилиндра вращения – прямая линия, поэтому цилиндр и конус относят так же
и к линейчатым поверхностям.
Для построения недостающих проекций линии на поверхности конуса
по её заданной фронтальной проекции отмечают опорные точки (рис. 127): точка 12 (11, 13) находится на основании конуса; точка 42 (41, 43) принадлежит главному меридиану. Далее на линии произвольно отмечают промежуточные точки:
точка 32 (31, 33) принадлежит параллели радиусом R23; точка 22 (21, 23) принадлежит параллели R22. Определив расположение точек на всех проекциях поверхности конуса, определяют видимость кривой линии.
Сфера образуется вращением окружности (ℓ) вокруг оси (её диаметра) (i).
На рисунке 127 показаны проекции сферы и нахождение на поверхности
точки А (А2, А3).
102
Рис. 125. Построение проекций линии ℓ на поверхности цилиндра
Рис. 126. Построение проекций кривой линии на поверхности конуса
103
Рис. 127. Нахождение точки А на поверхности сферы
Алгоритм построения точки А (А1, А3) (рис. 127):
а) Для построения горизонтальной проекции точки А (А1) по её заданной фронтальной проекции (А2), которая задана видимой, проводят параллель. Замеряют радиус проведённой параллели – R2 (от оси до очерка).
Строят горизонтальную проекцию этой параллели и проводят линию связи
из точки А2 на горизонтальную проекцию параллели до пересечения с ней и
определяют А1.
б) Определяют видимость. Точка А1 – невидима, т. к. точка А (А2) на П2
расположена ниже экватора.
в) Для построения проекции точки А (А3) необходимо из точки А2 провести линию связи на П3. Далее на П1 замеряют расстояние от фронтального
меридиана (b1) – уa (параллельно оси У) и переносят его на П3, откладывая от
проекции фронтального меридиана (b3) по линии связи (параллельно оси У).
г) Определяют видимость А3. Точка А3 – видима, т. к. точка А (А1) на
П1 расположена перед профильным меридианом.
Рассмотрим пример на построение недостающей проекции заданной
кривой линии на фронтальной проекции поверхности сферы (рис. 128).
104
Рис. 128. Построение проекции кривой линии
На линии, принадлежащей поверхности сферы отмечают опорные точки: точка 22 (21, 23) принадлежит экватору; точки 12 (11, 13) и 32 (31, 33) принадлежат главному меридиану; точка 52 (51, 53) принадлежит профильному
меридиану.
Далее отмечают промежуточные точки: 4, 6, 7 находят с помощью параллелей, радиусы которых замеряют от оси до очерка на П2. Профильные
проекции точек находят аналогично профильной проекции точки А (А3) на
рисунке 127. Особые параллели и точки на них являются границами видимости кривой на соответствующих проекциях сферы.
Поверхности вращения второго порядка это поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг оси, лежащей в плоскости
симметрии кривой.
Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг оси. Если
эллипс вращается вокруг малой оси, то образуется эллипсоид вращения сжатый (рис. 129 а). Если эллипс вращается вокруг большой оси, то образуется
поверхность вытянутого эллипсоида (рис. 129 б).
105
а)
б)
Рис. 129. Эллипсоид вращения сжатый (а) и вытянутый (б)
Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг её оси
(рис. 130). Параболоид применяется в прожекторах и фарах автомобилей,
где используются фокальные свойства параболы; если в фокусе параболы
поместить источник света, то световые лучи, отражаясь от параболы, будут
распространяться параллельно друг другу. На этом же свойстве основано и
действие звукоуловителей и радиотелескопов.
Рис. 130. Параболоид вращения
106
Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг её
оси. Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.
Однополостный гиперболоид (рис. 131) образуется при вращении гиперболы
вокруг мнимой оси. Поверхность однополостного гиперболоида может быть
образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси.
Поэтому эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям.
Рис. 131. Образование поверхности однополостного гиперболоида вращения
Русский инженер В. Г. Шухов (1921 г.) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).
На рисунке 132 показано нахождение точек на поверхности гиперболоида вращения. Через точку А2 проводят параллель до пересечения с главным (фронтальным) меридианом (точка М2). Находят горизонтальную
проекцию точки М (М1). Через М1 проводят горизонтальную проекцию этой
параллели или замеряют радиус этой параллели на П2 и проводят на П1.
Линия связи из точки А2 пересекает построенную параллель в двух
точках. Так как точка А2 на фронтальной плоскости проекций невидима, то
она находится за фронтальным меридианом, поэтому выбрать нужно верхнюю полученную точку. Точку А1 нужно взять в скобки, т. к. она не расположена в зоне видимости. Таким же образом находится недостающая
проекция точки В (В1).
К поверхности вращения 4 порядка относится поверхность тора. Форму тора имеют обода маховиков и шкивов, галтели (плавные переходы от
одной поверхности изделия к другой, создаваемые с целью уменьшения
напряжений в месте перехода).
107
Рис. 132. Нахождение точки на поверхности гиперболоида вращения
Поверхность тора образуется при вращении окружности вокруг оси,
расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через её
центр. Произвольная прямая пересекает тор в общем случае в четырёх точках, следовательно, это поверхность четвёртого порядка (рис. 133).
На рисунке 134 показано построение горизонтальной проекции кривой n
(n1) на поверхности тора. Кривую n1 строят по точкам, используя свойство принадлежности точки поверхности, проводя через точку параллель (окружность).
На фронтальной проекции кривой n2 выбирают особые точки: 1(12) и 2(22) принадлежат параллели основания тора, точки 5(52) = 6(62) принадлежат горизонтальному очерку тора, точка 7 (72) принадлежит главному меридиану (или
образующей ℓ2), точки 3 (32) = 4 (42) расположены на максимальном приближении к оси, т. е. эти точки будут расположены на самых малых параллелях.
Все особые точки, кроме 3 и 4 находятся без дополнительных построений. Для построения точек 3 и 4 проводят через 32 (42) параллели до пересечения с главным меридианом K2 (L2). Определяют положение точек K1 (L1)
108
на П1 и через них проводят горизонтальные проекции параллелей на которые
с помощью линий связи определяют положение точек 31 и 41.
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 133. Поверхность тора: а) открытый тор R < a; б) закрытый тор R = a;
в) закрытый тор R > a; г) глоболоид; д) закрытый тор
Рис. 134. Построение горизонтальной проекции кривой n на поверхности тора
109
3.7. Винтовые поверхности
Винтовой называется поверхность, которая описывается какой-либо
линией (образующей) при её винтовом движении. Винтовое движение –
сложное движение, при котором каждая точка образующей совершает одновременно два движения: вращательное и поступательное. При этом вращение происходит вокруг оси винта, а поступательное вдоль оси винта.
Винтовые поверхности широко применяются в технике: винты, шнеки, сверла, пружины и т. п.
Если образующая – прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид является основой
образования резьбы. Геликоиды подразделяются на прямые и наклонные в
зависимости расположение образующей к оси геликоида (перпендикулярна
или наклонена). Шагом винтовой поверхности называется линейное перемещение образующей за один полный оборот.
Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей
(ℓ) по двум направляющим, оставаясь в любой момент движения  оси
(рис. 135). Прямой геликоид может быть отнесён к числу коноидов и назван
винтовым коноидом (плоскость параллелизма перпендикулярна оси, i и m –
направляющие).
Наклонный геликоид (рис. 136) отличается от прямого тем, что его
прямолинейная образующая при винтовом перемещении пересекает ось геликоида под постоянным углом, отличным от прямого. Образующая (ℓ –
прямая линия) наклонного геликоида при винтовом движении скользит по
двум неподвижным направляющим (ось и цилиндрическая винтовая линия,
как и у прямого), причём во всех своих положениях угол наклона образующей к оси не меняется и образующая в каждый момент движения будет параллельна соответствующим образующим некоторого конуса вращения,
называемого направляющим конусом. В сечении геликоида плоскостью
перпендикулярной её оси, получается спираль Архимеда.
110
Рис. 135. Проекции поверхности прямого геликоида,
где i – ось цилиндрической винтовой линии;
m – цилиндрическая винтовая линия
111
Рис. 136. Проекции наклонного геликоида:
i – ось цилиндрической винтовой линии;
m – цилиндрическая винтовая линия
112
3.8. Циклические поверхности
Циклические поверхности образуются непрерывным движением окружности постоянного или переменного радиуса, ориентированной к направляющей
линии. Если радиус окружности не меняется, то поверхность называется трубчатой (рис. 137 б).
При движении замкнутой плоской кривой переменного вида, центр которой перемещается по направляющей линии, образуется поверхность, которая
называется каналовой (рис. 137 а).
Все поверхности вращения можно рассматривать как трубчатые поверхности, у которых центр окружности перемещается по направляющей прямой –
оси вращения.
Рис. 137. Циклические поверхности:
а) каналовая; б) трубчатая
Контрольные вопросы
1. Каковы основные принципы образования поверхности?
2. Что называется определителем поверхности?
3. Какие поверхности называются линейчатыми?
4. Сформулируйте признак принадлежности точки поверхности.
5. Перечислите поверхности вращения второго порядка.
6. Назовите поверхности с плоскостью параллелизма.
7. Какие поверхности могут занимать проецирующее положение?
113
Тест «Поверхности»
1. Геликоидом называется винтовая поверхность, образующей которой
является …
- прямая;
- дуга окружности;
- окружность;
- лекальная кривая.
2. Точки кривой, в которых можно провести не одну, а две и более касательных или в которых изменяется направление движения точки или вращения
касательной, называются точками …
- особыми;
- обыкновенными;
- гладкими;
- перегиба.
4. Образующей поверхности
3. Поверхности сферы принадлежат
точки …
вращения является линия …
- L;
- n;
- M;
- m;
- K;
- d;
- N.
- i.
5. К линейчатым поверхностям принадлежат …
- цилиндрическая поверхность;
- тор;
- эллипсоид вращения;
- сфера;
- конус вращения.
114
6. На рисунке показан прямой круговой конус. Дополните предложение:
«Отрезок SВ является … конуса».
1) образующей
2) осью вращения
3) направляющей
4) основанием
7. Задать коническую поверхность вращения можно …
а) вращением эллипса c вокруг одной из его осей;
б) вращением окружности a вокруг оси вращения i, проходящей через
центр окружности a;
в) вращением прямой a вокруг прямой i, a пересекает i в точке S;
г) вращением прямой k вокруг параллельной ей прямой i вращением
окружности b вокруг оси вращения i, не проходящей через центр окружности b.
8. К поверхностям с криволинейной образующей относится …
1) эллипсоид вращения;
2) цилиндроид;
3) коноид;
4) гиперболический параболоид.
Ответы: 1 – лекальная кривая; 2 – перегиба; 3 – L; 4 – n; 5 – цилиндрическая, коническая; 6 – 1; 7 – в; 8 – 1.
Контрольные задачи
Задача 1. Построить недостающие проекции точек видимой части поверхностей.
115
Задача 2. Построить три проекции цилиндра вращения и линию n, принадлежащую поверхности цилиндра.
Задача 3. Построить проекции
Задача 4. Построить проекции
трехгранной призмы высотой 40 мм пирамидальной поверхности Г (123, S)
Ф (АВС, |S) и точку М, принадлежа- и точки А и В, принадлежащие пощую поверхности призмы.
верхности пирамиды.
Задача 6. Построить недостаюЗадача 5. Построить проекции
конуса вращения и точки А, В, К, при- щие точки А, В, D и C, принадлежащие
надлежащие поверхности призмы
поверхности сферы
116
МОДУЛЬ 4. ПОЗИЦИОНЫЕ ЗАДАЧИ
Цели: изучить алгоритмы решения позиционных задач и овладеть
навыками их использования.
Задачи: знать алгоритмы позиционных задач и применять их
для практического решения.
Позиционными называют такие задачи, в которых определяется взаимное
расположение геометрических фигур. В технике детали большинства изделий
имеют формы, представляющие собой поверхности, пересечённые либо плоскостями, либо другими поверхностями. Для проектирования и изготовления изделий необходимо научиться строить линии пересечения различных
геометрических фигур.
Существует три типа позиционных задач:
- взаимное расположение геометрических фигур;
- взаимная принадлежность геометрических фигур;
- взаимное пересечение геометрических фигур.
Первые две задачи на взаимное расположение, взаимную принадлежность
и пересечение прямой с плоскостью, плоскости с плоскостью рассмотрены в
предыдущих разделах данного пособия. В данном разделе рассматриваются позиционные задачи на пересечение прямой с поверхностью, плоскости с поверхностью, поверхности с поверхностью.
Из всех позиционных задач выделяются две общие задачи, которые называют главными позиционными задачами:
Первая главная позиционная задача (1 ГПЗ) – пересечение линии с поверхностью (плоскостью). Вторая главная позиционная задача (2 ГПЗ) – взаимное пересечение двух поверхностей (плоскостей).
4.1. Пересечение поверхностей плоскостью
При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура,
которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью в общем случае
представляет собой линию (кривую или ломанную), принадлежащую секущей
плоскости (рис. 138). Определение проекций линий сечения следует начинать с
построения опорных точек:
- точек, расположенных на очерковых образующих поверхности (точки,
определяющие границы видимости проекций линии сечения);
- точек, удалённых на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций.
117
Определив опорные точки, выбирают произвольные точки линии сечения.
Проекциями сечения многогранников являются многоугольники, вершины
которых принадлежат рёбрам, а стороны – граням многогранника. Задача по
определению сечения многогранника сводится к решению задачи по определению точки пересечения прямой (рёбер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и
секущей плоскости). Первый путь решения называют способом рёбер, второй –
способом граней.
Рис. 138. Образование сечения многогранника
На рисунке 139 решена задача способом рёбер на определение сечения
четырёхгранной призмы ABCDEFGH плоскостью  (a || b):
- ребра заключаем во вспомогательные горизонтально-проецирующие
плоскости 1, 2, 3, 4 : 1  АЕ; 2  BF; 1  CG; 1  DH;
- находим проекции линий пересечения этих плоскостей с плоскостью 
(прямые 1-2; 3-4; 5-6; 7-8). Отмечаем точки пересечения этих прямых с соответствующими ребрами призмы: К = (1-2) ∩ (АЕ); L = (3-4) ∩ (BF); М = (5-6) ∩ (CG);
N = (7-8) ∩ (DH). Четырехугольник KLMW – искомое сечение.
Решение задачи значительно упрощается, если секущая плоскость или
плоскости граней занимают проецирующее положение. На рисунке 140 выполнено построение сечения трехгранной пирамиды SABC горизонтальнопроецирующей плоскостью T. Горизонтальная проекция сечения пирамиды
плоскостью T совпадает с горизонтальной проекцией этой плоскости и пересекает горизонтальные проекции ребер пирамиды в точках M1, N1, L1. Для определения фронтальной проекции сечения достаточно провести из них линии
связи на фронтальную плоскость проекций до пересечения с фронтальными
проекциями рёбер пирамиды.
118
Рис. 139. Пересечение многогранника с плоскостью
Рис. 140. Пересечение пирамиды с горизонтально-проецирующей плоскостью
119
В сечении цилиндрической поверхности плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 141):
- окружность, если секущая плоскость 2 перпендикулярна оси вращения
поверхности, т. е. параллельна горизонтальной плоскости проекций;
- эллипс, если секущая плоскость β2 не перпендикулярна и не параллельна
оси вращения;
- две образующие прямые, если секущая плоскость 3 параллельна оси
вращения поверхности.
На горизонтальной плоскости проекций сечение 1 (окружность) и β1 (эллипс) совпадают с проекцией очерка цилиндра.
Рассмотрим более подробно построение сечения цилиндра фронтальнопроецирующей плоскостью β2 на рисунке 141. В этом случае на профильной
проекции цилиндра получится эллипс. Для его построения необходимо на
фронтальной проекции сечения, совпадающей с фронтально-проецирующей
плоскостью β2, определить ряд точек: А2, В2, С2 – опорные и 12, 22, 32, 42 – промежуточные. Определяем положение опорных точек C3 и A3, которые находятся
с помощью линий связи, проведенных из фронтальных проекций C2 и A2.
Рис. 141. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью
120
Положение промежуточных точек 1, 2, 3 и 4 можно определить введением вспомогательной секущей плоскости, дающей при пересечении с заданной
поверхностью геометрически простые линии. Если в качестве плоскостипосредника выбрать горизонтальную плоскость, то при сечении цилиндра этой
плоскостью на его горизонтальной проекции получим окружность, совпадающую с горизонтальным очерком цилиндра, на которой будут находиться все
искомые точки. Определение этих точек на профильной проекции цилиндра
понятно из построений на рисунке 141. Повторяя подобную операцию, определим необходимое количество промежуточных точек для построения эллипса. В
заключение соединим все точки плавной кривой.
В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии:
- окружность, если секущая плоскость α перпендикулярна оси вращения
(рис. 142 а);
- эллипс, если секущая плоскость α пересекает все образующие поверхности (рис. 142 б);
- парабола, если секущая плоскость α параллельна одной из образующих
(рис. 142 в);
- гипербола, если секущая плоскость α параллельна двум образующим поверхности (рис. 142 г); фронтальные проекции этих образующих совпадают с
осью вращения;
- две образующие прямые, если секущая плоскость α проходит через вершину S конуса (рис. 142 д).
Проекции кривых линий сечений конуса плоскостью целесообразно строить с использованием плоскостей посредников, перпендикулярных его оси. Линия пересечения при этом будет окружностью h (рис. 142 а).
Рассмотрим построение сечения на примере, показанном на рисунке 142 б. Построение начинают с опорных точек 1, 4, 5 и 6. Положение точек 1
и 6, ограничивающих большую ось эллипса, очевидно. Точки 4 и 5 − фронтально конкурирующие и ограничивают малую ось эллипса. Положение этих точек
можно определить, вводя вспомогательную горизонтальную плоскость β. Горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости β с поверхностью конуса – окружность, на которой и находятся искомые точки.
Аналогично строят промежуточные точки пересечения, например точки 1 и 2.
Через эти точки проводят вспомогательную плоскость , находят её горизонтальную проекцию. Из точек 12, 22 проводят линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией вспомогательной плоскости . Такие построения
121
повторяют в необходимом количестве и полученные точки соединяют плавной
кривой. Подобным образом строят конические сечения, приведённые на рисунке 142 в (парабола) и рисунок 142 г (гипербола).
а)
б)
г)
в)
д)
Рисунок 142. Сечение конической поверхности плоскостью
122
Сечение поверхности сферы в любом случае окружность. На проекциях
сферы это сечение может проецироваться в виде эллипса, прямой линии или
окружности. На рисунке 143 показана поверхность сферы со сквозным вырезом, состоящим из 4 плоскостей: AB-ВC-СD-DA. Для построения контура
сквозного выреза на горизонтальной и на профильной проекциях сферы плоскости среза отмечаются точками (N, М, L, К, В, С, J, D, E), которые переносят
по линии связи на горизонтальную проекцию сферы до пересечения с соответствующей параллелью, определённой по её радиуcу (Rbc, Rk, Rℓ, Rm, Rd). На профильную проекцию сферы точки среза переносят по линиям связи с
фронтальной и горизонтальной проекций.
Рисунок 143. Сечение сферы плоскостями
123
4.2. Пересечение поверхностей прямой
Чтобы определить точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо выполнить следующие операции:
- через данную прямую провести вспомогательную секущую плоскость;
- построить линию сечения вспомогательной плоскости с заданной поверхностью;
- отметить точки пересечения построенной линии с заданной прямой;
- определить видимость линии.
На рисунке 144 приведена прямая круговая цилиндрическая поверхность,
которая пересекается прямой m. Для определения точки пересечения, заключаем прямую в горизонтально-проецирующую плоскость α, которая пересечёт поверхность цилиндра по двум образующим – a и b. Затем проводим из точек a1 и
b1 линии связи на фронтальную плоскость проекций и на пересечении фронтальных проекций образующих a2 и b2 с фронтальной проекцией прямой m2 отмечаем проекции точек 12 и 22. Далее определяем видимость прямой m.
На рисунке 145 показано построение точек пересечения прямой n с поверхностью прямого кругового конуса. Прямая n перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (n  П2), поэтому фронтальная проекция точек пересечения будет
совпадать с фронтальной проекцией прямой n2. Секущая плоскость , проведённая
на фронтальной плоскости проекций, проходит через данную прямую и вершину
конуса S. В этом случае конус будет пересекаться плоскостью по прямолинейным
образующим S1 и S2. В сечении получается треугольник, одна вершина которого
совпадает с вершиной конуса S, а две другие располагаются на его основании. С
помощью линии связи находим горизонтальные проекции точек 11 и 21 на пересечении образующих с основанием конуса. Полученный треугольник S12 и прямая n
лежат в одной секущей плоскости – . Отмечают горизонтальные проекции точек
пересечения К1 и L1 образующих S111 и S121 с проекцией прямой n1 и определяем
видимость этой прямой.
Определение точек пересечения прямой с поверхностью сферы показано
на рисунке 146. Прямая ℓ расположена параллельно фронтальной плоскости
проекций, поэтому выбираем в качестве секущей плоскости вспомогательную
плоскость α, проходящую через проекцию прямой ℓ1. Эта плоскость пересекает
сферу по окружности радиуса R, которая на фронтальной плоскости проекций
изобразится без искажений.
Определение точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды (рис. 147)
сводится к определению пересечения прямой с вспомогательной фронтальнопроецирующей плоскостью, проходящей через фронтальную проекцию прямой.
Горизонтальная проекция сечения (11213141) вспомогательной плоскости на поверхности пирамиды пересекается с проекцией прямой ℓ1 в точках М1 и N1.
124
Рис. 144. Пересечение прямой
с цилиндрической поверхностью
Рис. 146. Определение точек
пересечения прямой со сферой
Рис. 145. Пересечение прямой
с конической поверхностью
Рис. 147. Определение точек пересечения
прямой с пирамидой
125
Контрольные вопросы
1. Как строится линия сечения поверхности плоскостью?
2. Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового цилиндра?
3. Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового конуса?
4. Какие линии могут быть получены в сечении сферы?
5. Каков общий принцип построения точек пересечения прямой с поверхностью?
6. Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения
плоскостями?
7. Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения плоскостями?
8. Какие точки кривой линии сечения являются экстремальными?
9. Какие способы используют при построении сечения многогранника
плоскостью?
10. Как строятся точки входа и выхода при пересечении многогранника с
прямой линией?
Тест «Позиционные задачи поверхности»
1. При использовании способа секущих плоскостей вспомогательные
плоскости выбирают...
1) только перпендикулярно П2;
2) только перпендикулярно П1;
3) так, чтобы при пересечении их с заданными геометрическими фигурами получались окружности или прямые;
4) произвольно.
2. Эллипс получится при пересечении конуса плоскостью ...
1) Т;
2) ∑;
3) Р.
126
3. Тор рассекается по окруж4. В сечении конуса плосконостям плоскостью …
стью Σ получается линия ...
1) – Δ; 2) – Ф; 3) – ∑; 4) – Г.
1) – эллипс; 2) – гипербола;
3) – парабола;
4) – окружность
5. Профильная проекция тела цилиндра с вырезом показана на чертеже ... Ответы: 1 – 3; 2 – 1; 3 – 2; 4 – 2; 5 – 4.
127
Контрольные задачи
Задача 1. Построить проекции
Задача 2. Построить линию
линии пересечения сферы плоскосечения пирамиды плоскостью.
стью Q. Определить видимость
Определить видимость
Задача 3. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностями цилиндра, конуса и шара.
Задача 4. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью призмы
и пирамиды. Определить видимость.
128
Задача 5. Построить проекции сечения поверхностей проецирующими
плоскостями.
4.3. Пересечение поверхностей
При решении 2 ГПЗ сначала выясняют характер общего элемента двух
пересекающихся поверхностей:
- при пересечении двух многогранников общим элементом является пространственная ломаная линия;
- при пересечении многогранника с кривой поверхностью общим элементом является пространственная кривая линия;
- при пересечении двух кривых поверхностей общим элементом является
пространственная кривая линия.
Далее необходимо определить количество общих элементов пересекающихся поверхностей. Определяется оно в зависимости от характера пересечения поверхностей:
- если одна из поверхностей насквозь пронзает другую, то пересечение
называется проницанием. В этом случае линий пересечения две – m и n
(рис. 148 а);
- если очерки поверхностей касаются в одной точке, то пересечение называется частичное проницание. В этом случае линий пересечения две – m и n, но
с одной общей точкой А (рис. 148 б);
- если одна из поверхностей «вдавливается» в другую, то пересечение
называется вмятие. В этом случае линия пересечения одна – m (рис. 148 в).
129
а)
б)
в)
Рис. 148. Характер пересечения поверхностей:
а – проницание, б – частичное проницание, в – вмятие
Способ решения главных позиционных задач, или алгоритм решения, зависит от расположения пересекающихся геометрических фигур относительно
плоскостей проекций. Можно рассматривать 3 случая:
- обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение. Задачи решаются по первому алгоритму;
- одна из пересекающихся фигур – проецирующая, другая – общего положения. Задачи решаются по второму алгоритму;
- обе пересекающиеся фигуры общего положения. Задачи решаются по
третьему алгоритму.
Из известных поверхностей проецирующее положение могут занимать
только призматическая поверхность (призма) и цилиндрическая поверхность
(прямой круговой цилиндр). Решение задач на пересечение с данными поверхностями решаются по 1 алгоритму, который рассмотрим на примере решения
задачи.
Задача. Построить линию пересечения горизонтально-проецирующего
цилиндра Ф с фронтально-проецирующей призмой Г (рис. 149).
Так как обе поверхности занимают проецирующее положение относительно разных плоскостей проекций, то на фронтальной плоскости проекций
очерк призмы в пределах цилиндра является фронтальной проекцией линии пересечения поверхностей. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с главной проекцией цилиндра Ф1 в пределах призмы.
130
Рис. 149. Решение задачи на пересечение двух проецирующих поверхностей
Таким образом, линия пересечения двух заданных поверхностей есть
пространственная линия, состоящая из двух плоских кривых – дуги окружности
(а) и дуги эллипса (b). Алгоритмическая запись решения задачи: Ф  Г = m;
2 ГПЗ, 1 алгоритм; m  Г, Г проецирующая относительно П2  m2 = Г2; m  ,
 проецирующая относительно П1  m1 = 1.
Решение задач по 2 алгоритму осуществляется в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая – общего положения, рассмотрим
на конкретном примере.
Задача: Построить линию пересечения сферы  и горизонтальнопроецирующей призмы Г (рис. 150).
Решаем задачу по следующему алгоритму.
1. Определяем характер пересечения – вмятие с одной общей точкой. Поскольку призма трёхгранная, то рассматриваем пересечение сферы тремя отдельными плоскостями: α,  и β. Линией пересечения является пространственная
линия, состоящая из трёх плоских кривых второго порядка: двух дуг эллипсов
(   = a,   α = b) и одной дуги окружности (  β = с).
2. Поскольку поверхность призмы является горизонтально-проецирующей, то горизонтальная линия пересечения совпадает с Г1.
3. Фронтальную проекцию линии пересечения сферы с любой из плоскостей строим по её принадлежности сфере (рис. 151). Определяем характерные
точки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Точка 1 (12) принадлежит экватору сферы; точки 2 и 5
(22 и 52) принадлежат фронтальному меридиану сферы и определяют видимость
131
эллипса а относительно П2; точки 3 и 4 (32 и 42) являются конечными точками
дуги эллипса а; точки 6 и 7 − высшая и низшая точки эллипса а. Промежуточные точки находим по принадлежности параллелям сферы. Соединяем точки на
фронтальной плоскости проекций с учётом видимости.
4. Аналогично строим линию пересечения сферы с плоскостью α:
b    b2  2 (рис. 152).
Рис. 150. Условие задачи
132
Рис. 151. Определение линии пересечения поверхностей – а
133
Рис. 152. Определение линии пересечения поверхностей – b
Результат пересечения сферы  с плоскостью β − окружность с (рис. 153)
расположена за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, с2  2 –
невидимая.
Полное решение задачи показано на рисунке 154.
134
Рис. 153. Определение линии пересечения поверхностей – с
В случае общего положения пересекающихся поверхностей решение задач осуществляется по 3 алгоритму 2 ГПЗ с помощью плоскости-посредника.
Общий алгоритм решения (рис. 155):
- задать поверхность-посредник (например, проецирующую плоскость γ);
- построить линии пересечения а и b поверхности-посредника с заданными поверхностями (α  γ = а, α  γ = b);
- найти точки пересечения между построенными линиями а и b (а  b = K);
- повторять данные построения столько раз, сколько необходимо для построения линии пересечения поверхностей;
- определить видимость построенной линии пересечения ℓ и самих поверхностей.
135
Рис. 154. Полное решение задачи на построение линии пересечения
Решение задачи необходимо начинать с анализа характера пересечения
поверхностей для определения количества линий пересечения ℓ. Плоскостьпосредник необходимо выбирать так, чтобы она пересекала обе поверхности по
графически простым линиям – прямым или окружностям.
Для построения линии ℓ нужно найти такое количество точек, которое
определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостейпосредников. Определяем видимость линии пересечения ℓ и поверхностей.
136
Рис. 155. Общий алгоритм решения
Задача: Построить линию пересечения конуса α со сферой β (рис. 156).
1. Пересекаются две поверхности вращения второго порядка, характер пересечения – вмятие, поэтому должна получиться одна пространственная кривая линия
ℓ. Поверхности имеют общую плоскость симметрии (плоскость фронтального меридиана γ), следовательно, линия пересечения симметрична относительно плоскости γ и на П2 линия пересечения сливается в одну видимую линию.
2. Построения начинаем с характерных точек (рис. 157), не требующих
дополнительных построений для их нахождения. К ним относятся точки А и В,
лежащие в плоскости γ и принадлежащие очерковым образующим конуса и
сферы на П2 – А2 и B2. Горизонтальные проекции точек А1 и В1 находим с помощью линии связи.
3. Все остальные точки находим с помощью плоскости-посредника – горизонтальной плоскости уровня 2 (рис. 158). Плоскость-посредник пересекает
конус α по окружности а, радиусом Rа (от оси до очерка конуса). Строим данную окружность а1на П1 из центра конуса S1.
Эта же плоскость пересекает сферу β по окружности b радиусом Rb (от
оси до очерка сферы). Проводим на П1 окружность b1 из центра О1 сферы.
Окружности, пересекаясь, дают точки К1 и К1', принадлежащие линии пересечения ℓ. Точки К2 и К2' находим с помощью линии связи по принадлежности
плоскости . Остальные точки находим аналогично.
4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют
точки P и P', лежащие в плоскости экватора сферы (рис. 159). На П1 они принадлежат окружности с1. Все точки, расположенные ниже P2 и P2', на П1 будут
невидимыми, в том числе и точки B1, К1 и К1'.
137
Рис. 156
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
138
5. Крайние левые точки M и M' находим в плоскости ', проходящей через
точку встречи левой очерковой образующей конуса с перпендикуляром, проведённым из точки пересечения оси конуса с плоскостью экватора сферы
(рис. 160). Построения проводим так, как описано в пункте 3.
6. Полное решение задачи, с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей, показан на рисунке 161.
Рис. 160
Рис. 161
4.4. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго
порядка
Существуют некоторые особые случаи пересечения поверхностей.
1. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям,
плоскости которых  оси вращения: Г   = m; n – окружности (рис. 162).
2. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера
пересечёт эту поверхность по окружностям, плоскости которых  оси вращения: Ф   = m; n – окружности (рис. 163).
3. Теорема Монжа: если две поверхности вращения второго порядка
описаны около третьей поверхности вращения второго порядка, или вписаны в
139
неё, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки
линий касания.
4. На рис. 164 теорема Монжа проиллюстрирована пересечением двух
конусов  и Г, в которые вписана сфера Ф. Точки М и N – это точки, в которых
касаются все три поверхности. В результате получаются два эллипса а и b, которые проходят через точки М и N. На П1 эти эллипсы построены по принадлежности конусу Г.
Рис. 162. Пересечение соосных
поверхностей вращения
Рис. 163. Пересечение сферы
с поверхностью вращения
140
Рис. 164. Пример решения задачи по теореме Монжа
4.5. Пересечение соосных поверхностей вращения
Если пересекаются соосные поверхности вращения, имеющие расположение осей параллельно одной плоскости проекций и общую точку пересечения осей, то линию их пересечения можно найти с помощью концентрических
сфер-посредников. Рассмотрим задачу на построение линии пересечения поверхностей методом концетрических сфер-посредников.
По условию задачи (рис. 165) даны проекции пересекающихся поверхностей вращения – конуса Ф и цилиндра Т. Решение задачи по определению общей линии их пересечения выполняется на фронтальной плоскости проекций
(рис. 166). Искомая линия пересечения с фронтальной переносится на горизонтальную проекцию по принадлежности точек линии пересечения на поверхности конуса. Обе поверхности вращения образуют плоскость симметрии их осей
относительно плоскости проекций П2 и имеют общую точку пересечения осей –
О2, из которой будут проведены все вспомогательные сферы – посредники.
141
Рис. 165. Условие задачи
на пересечение соосных
поверхностей вращения
Рис. 166. Определение Rmax и Rmin
концентрических сфер-посредников
Определение линии пересечения начинаем с опорных точек (12, 22, 32, 42),
которые определяются в местах пересечения фронтальных очерков поверхностей. Границы использования вспомогательных сфер-посредников определяем
с помощью их максимального и минимального радиуса. Максимальным радиусом сферы Rmin является радиус, проведенный из точки О2 до максимально удаленной от нее точки пересечения фронтальных очерков поверхностей.
Минимальным будет один из радиусов сфер, вписанных в поверхности, имеющий
большее значение радиуса. В пределах границ этих радиусов – Rmax > R > Rmin –
можно использовать любое количество сфер-посредников для нахождения общих точек поверхностей, принадлежащих их линии пересечения. Как описано в
п. 4.4, сфера-посредник пересекает обе поверхности по окружностям m2 и n2,
плоскости которых  оси вращения. Пересекаясь между собой, окружности m2
и n2 дают общие точки линии пересечения. Таким образом, повторяя построение со следующей сферой-посредником, получаем ряд точек (1-5-6-2 и 3-7-8-4),
которые соединяем плавной кривой линией и переносим на горизонтальную
проекцию с определением их видимости (рис. 167).
142
Рис. 167. Решение задачи на пересечение соосных поверхностей вращения
Контрольные вопросы
1. Как строится линия пересечения кривой поверхности плоскостью?
2. Какие поверхности могут занимать проецирующее положение?
3. Какие задачи называются позиционными?
4. Какие задачи относят к главным позиционным?
5. От чего зависит количество общих элементов при решении главных позиционных задач?
6. Какая линия может получиться при пересечении многогранников?
7. От чего зависит выбор алгоритма решения главных позиционных задач?
8. Сформулируйте алгоритм решения 1ГПЗ и 2ГПЗ в случае, когда обе
пересекающиеся фигуры проецирующие.
9. Сформулируйте алгоритм решения 1ГПЗ и 2ГПЗ в случае, когда одна
пересекающая фигура проецирующая, а другая непроецирующая.
143
10. Сформулируйте алгоритм решения 1ГПЗ и 2ГПЗ в случае, когда обе
пересекающиеся фигуры непроецирующие.
11. Назовите частные случаи пересечения поверхностей вращения.
12. Сформулируйте теорему Монжа.
Тест «Пересечение поверхностей»
1. Поверхности
по дугам …
1) окружности;
2) эллипса;
3) параболы;
4) гиперболы.
призмы
и
конуса
пересекаются
2. Линия пересечения заданных на чертеже цилиндра и
сферы на горизонтальной плоскости проекций совпадёт с …
1) проекцией сферы;
2) проекцией цилиндра;
3) осевыми линиями.
4) проекциями цилиндра и сферы.
3. Невидимыми линиями пересечения поверхностей призмы и конуса
являются:
1) эллипс;
2) парабола;
3) окружность;
4) гипербола.
144
4. Ответьте на вопросы по чертежу:
1
2
3
4
5
а – на каком чертеже представлена 1 ГПЗ?
б – для решения какой задачи необходимо использовать теорему Монжа?
в – для решения какой задачи необходимо использовать только одну
плоскость-посредник?
г – для решения какой задачи необходимо использовать только две плоскости-посредника?
д – в каком случае результатом пересечения является один эллипс?
е – в каком случае результатом пересечения являются два эллипса?
ж – на каком чертеже характер пересечения – вмятие?
з – в каком случае результатом пересечения является прямая линия?
и – в каком случае результатом пересечения является пространственная
линия?
5. Для построения линий пересечения поверхностей необходимо
использовать теорему Монжа на чертеже ...
Ответы: 1 – 1, 2; 2 – 2; 3 – 1; 4: а – 3, б – 1, в – 3, г – 5, д – 4, е – 1, ж – 2,
з – 5, и – 2; 5 – 1.
145
Контрольные задачи
Задача 1. Построить линию пересече- Задача 2. Построить линию пересения призмы с пирамидой.
чения конуса и цилиндра.
Задача 3. Построить линию пе- Задача 4. Построить линию пересечения
ресечения цилиндра и сферы.
призмы и пирамиды.
146
Задача 4. Построить линию пересече- Задача 5. Построить линию пересечения конуса и сферы.
ния цилиндра и пирамиды.
Задача 6. Методом концентрических сфер построить линию пересечения
поверхностей.
147
МОДУЛЬ 5. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Цели: изучить способы преобразования чертежа и овладеть навыками
их использования при решении метрических задач.
Задачи: знать основные задачи преобразования, уметь использовать способы
преобразования для решения метрических задач.
5.1. Метрические задачи
Метрическими называются задачи, связанные с численной характеристикой геометрической фигуры. Наиболее часто встречаются метрические задачи
на взаимную перпендикулярность геометрических фигур, на определение натуральной величины заданных отрезка или угла, на построение натурального вида
плоской фигуры и т. п. Решение всех метрических задач сводится к решению
первой основной метрической задачи – на взаимную перпендикулярность прямой и плоскости. При определении расстояний между геометрическими фигурами всегда используется вторая основная метрическая задача – на определение
натуральной величины отрезка.
К задачам на определение расстояний между геометрическими фигурами относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до
плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п. Все эти задачи объединяет
то, что кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр и все решения сводятся к построению взаимно перпендикулярных
геометрических фигур. Кроме этого, в каждой из этих задач необходимо
определять натуральную длину отрезка. Все метрические задачи являются
сложными по составу и они решаются в несколько этапов. Рассмотрим решение одной из таких задач.
Задача: Определить расстояние от точки М до прямой общего положения а (рис. 168).
Решение. Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр. Так как прямая а – общего положения, то для построения перпендикуляра к ней необходимо через точку М провести плоскость , перпендикулярную а. Задаём эту
плоскость –  (h  f), при этом h1  a1, f2  a2 (рис. 169).
148
Рис. 169. Задание плоскости  прямой а
Рис. 168. Условие задачи
Для построения перпендикуляра необходимо найти точку (К) на перпендикуляре, принадлежащую прямой а. Для её нахождения нужно решить позиционную задачу: найти точку пересечения прямой а с плоскостью . Решаем
1 ГПЗ (рис. 170):
- вводим плоскость-посредник Г – горизонтально-проецирующую через
прямую а: Г  а  Г1 = а1;
- при пересечении плоскостей находим общую линию b: Г   = b, Г –
горизонтально-проецирующая  b1(1121) = Г1, b    b2(1222)  2.
- при пересечении линий а и b получаем искомую точку К: b2  a2 = K2  K1.
Находим натуральную величину МК методом прямоугольного треугольника
(рис. 171).
Полное решение задачи показано на рисунке 172.
Решение многих задач на комплексном чертеже часто бывает слишком
сложным из-за того, что заданные геометрические фигуры расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на
эти плоскости в искажённом виде. Решение задач упрощается в случае частного
положения геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:
а) положение, перпендикулярное плоскости проекций;
б) положение, параллельное плоскости проекций.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному
можно осуществить за счёт изменения взаимного положения проецируемой
фигуры и плоскостей проекций. Построения на комплексном чертеже, приводящие к образованию новых полей проекций, называются преобразованием комплексного чертежа.
149
Это достигается либо перемещением плоскостей проекций в новое положение, относительно геометрической фигуры, либо перемещением в пространстве геометрической фигуры до её частного положения относительно
плоскостей проекций. Первый способ называется – способ замены плоскостей
проекций, второй – способ вращения вокруг проецирующих осей.
Рис. 170. Решение 1 ГПЗ
Рис. 171. Определение
натуральной величины МК
Рис. 172. Решение задачи
5.2. Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа состоит в том, что одна из плоскостей проекций (П1
или П2) (рис. 173) заменяется новой плоскостью проекций так, чтобы геометрическая фигура, занимающая общее положение в системе плоскостей проекций
П1 – П2, оказалась бы в частном положении в новой системе плоскостей проекций (например, П1 – П4 с заменой П2 на П4). Свойства ортогонального проецирования при этом не нарушаются, т. е. новая плоскость проекций всегда
перпендикулярна смежной плоскости проекций. При построении проекции
геометрической фигуры на новую плоскость проекций П4 расстояние от фигуры до плоскости проекций П1 сохраняется неизменным.
Рассмотрим построение точки на новую плоскость проекций. Точка А задана в системе П1 – П2 (рис. 174). Необходимо ввести новую плоскость проекций П4 взамен П2, и построить проекцию точки А на П4.
В системе плоскостей проекций П1 – П2 базой отсчёта является ось х12.
Меняем плоскость проекций П2 на П4, при этом П4  П1. В новой системе плоскостей П1 – П4 база отсчёта – х14. Проводим линию связи АА4  П4. Так как П4  П1,
то АА4  П1, АА4 = А1А14 и А1А14  х14; тогда А4А14  А1А и А14А4 = А12А2.
150
Рис. 173. Замена плоскостей проекций
Рис. 174. Построение точки А на новую плоскость проекций
Поворотом плоскости проекций П4 вправо совмещаем её с П1. Точка А4 займёт положение А4 на совмещённой плоскости проекций П4. Расстояние А14А4 = расстоянию А14А4(на совмещённой плоскости проекций).
Эту же задачу рассмотрим на комплексном чертеже (рис. 175). В системе
плоскостей проекций П2 – П1 база отсчёта – ось х12. Меняем П2 на П4, проводим
новую ось – х14, которую выбираем произвольно. На линии связи, проведенной
от точки А1 до А4 перпендикулярно оси х14 (А1А4  х14), от оси х14 откладываем
расстояние А12А2.
151
Рис. 175. Построение точки А на новую плоскость проекций
на комплексном чертеже
5.3. Способ вращения вокруг проецирующей оси
Для преобразования геометрических объектов общего положения в частное можно повернуть объект относительно плоскости проекций. Рассмотрим
вращение точки вокруг оси, перпендикулярной П1.
Задача: Точку А (рис. 176) повернуть в пространстве вокруг оси i  П1 на
некоторый угол  по ходу часовой стрелки.
Решение (рис. 177). Через точку А проводим плоскость , перпендикулярную оси вращения и параллельную П1. В плоскости  на оси i (  i) отметим точку O − центр вращения. При вращении точка А описывает в плоскости 
окружность, радиус которой определяется как расстояние от точки А до оси i
(АO). После поворота точки А на угол , точка занимает положение А/. Так как
плоскость   П1, то окружность на П1 проецируется без искажения. Плоскость
  П2, поэтому её фронтальная проекция вырождается в виде прямой 2. При
выполнении операции вращения необходимо задать основные геометрические
элементы: i – ось вращения; А – вращаемая точка;  – плоскость вращения точки А (А  ,   i); O – центр вращения точки А (O = i  ); АO – радиус вращения точки. Также может быть задан угол вращения .
На комплексном чертеже (рис. 178, 179) видно, что при вращении точки
вокруг проецирующей оси, одна из проекций вращаемой точки перемещается
по окружности, а другая проекция точки перемещается по прямой, перпендикулярной оси вращения.
152
Рис. 176. Условие задачи
Рис. 177. Решение задачи
Рис. 178. Вращение точки А параллельно
горизонтальной плоскости проекций
Рис. 179. Вращение точки А параллельно
фронтальной плоскости проекций
5.4. Основные задачи преобразования
Все задачи на преобразование комплексного чертежа сводятся к четырём
основным задачам преобразования.
Первая основная задача преобразования комплексного чертежа: преобразовать прямую линию общего положения в прямую уровня (рис. 180). Решение
задачи рассмотрим способом замены плоскостей проекций. Отрезок общего положения АВ задан в системе плоскостей П1 – П2 с осью х12 (рис. 180 а). Новую
плоскость П4 взамен плоскости П2 выбираем так, чтобы отрезок АВ был бы параллелен ей, т. е. П4  П1 и АВ || П4. Ось х14 проводим параллельно А1В1
(рис. 180 б). От точек А1 и В1 проводим линии связи, перпендикулярные оси х14.
Откладываем на плоскости П4 по линии связи от оси х14 расстояния 2А4 = 1А2 и
x14В4 = х12 В2 (рис. 180 в). В системе П1 – П4 отрезок АВ – прямая уровня, а её
проекция А4В4 – натуральная величина АВ.
153
Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа: преобразовать комплексный чертёж прямой общего положения в проецирующую прямую (рис. 181).
Вторая задача решается после того, как решена первая. Необходимо выполнить два преобразования прямой общего положения, чтобы она заняла проецирующее положение. Решаем первую основную задачу преобразования комплексного
чертежа на примере отрезка АВ (рис. 183). Меняем плоскость П1 на П5 таким образом, чтобы отрезок АВ был перпендикулярен плоскости П5. Так как отрезок АВ в
новой системе плоскостей проекций П4 – П5 должен быть проецирующим, то новую ось – х45 выбираем перпендикулярно А4В4 и от новой оси х45 на линии связи откладываем расстояния: 3А5 = 2А1, х45В1 = х14В1. Поскольку x14  А1В1, то эти
расстояния равны и точки А5 и В5 совпадут. Отрезок АВ в системе П4 – П5 – проецирующий, а его проекция А5В5 вырождена в точку.
а)
б)
в)
Рис. 180. Первая основная задача преобразования
Рис. 181. Решение первой
основной задачи преобразования
Рис. 182. Решение второй
основной задачи преобразования
154
Решение первой и второй основных задач преобразования способом вращения показано на рисунке 183.
Рис. 183. Решение первой и второй основных задач
преобразования способом вращения
Вращение прямой общего положения АВ для решения первых двух задач
преобразования решается в два этапа. Выбираем ось вращения i  П2; i  С, радиус вращения: R = С2D2. Вращаем C2D2 вокруг оси i2 = C2 до положения, когда C2D2 станет  C1C2. Точка C1 останется на оси i1, все другие точки прямой
переместятся по прямым, перпендикулярным линиям связи. Точка D1 переместится в положение D1/. Отрезок CD/ – горизонталь  CD = C1D1/. Угол  –
угол наклона CD к П2.
Проводим второе вращение. Ось i2 выбираем  П1, i2  D1; i12 = D11;
i22  D11D21. Радиус вращения R = C1D11. Вращаем C1D11 до положения, когда C1D11
станет  линиям связи, и равной С12D11 (точка D11 не вращается). Точка С2, перемещаясь по прямой, займет положение D21, т. е. С22 = D21. Отрезок С2D1 – проецирующий, С2D1 занимает проецирующее положение относительно П2.
Третья основная задача преобразования комплексного чертежа: преобразовать плоскость общего положения стала в проецирующее положение. Плоскость общего положения – треугольник АВС. (рис. 184). Для преобразования
плоскости АВС в проецирующее положение необходимо ввести новую плоскость проекций и расположить её перпендикулярно относительно одной из ли155
ний уровня плоскости: П4  П1; П4  АВС; П4  h  x14  h1. Откладываем расстояния: х14А4 = х12А2, х14В4 = х12В2, х14С4 = х12С2. В новой системе П1 – П4 плоскость АВС – проецирующая, а её главная проекция А4В4С4 – прямая линия.
Рис. 184. Решение третьей основной задачи преобразования способом
замены плоскостей проекций
Четвёртая основная задача преобразования комплексного чертежа: преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня. Для решения четвёртой задачи преобразования необходимо решить третью задачу (рис. 184).
Далее вводим новую плоскость проекций П5 (рис. 185), меняем П1 на П5. Плоскость проекций П5 должна быть перпендикулярна плоскости проекций П4. Относительно плоскости АВС плоскость П5 выбираем так, чтобы она была
параллельна ей, то есть, в системе П4 – П5 плоскость АВС должна стать плоскостью уровня. Ось новой плоскости проекций – х45 проводим параллельно
А4В4С4. В новой системе (П4 – П5) проводим линии связи перпендикулярно х45
от точек А4, В4, С4. Откладываем расстояния: х45А5 = х14А1, х45В5 = х14В1,
х45С5 = х14С1. В системе П4 – П5 плоскость АВС есть плоскость уровня, а её проекция А5В5С5 – натуральная величина треугольника АВС.
Рассмотрим решение третьей и четвёртой задач преобразования способом
вращения. По условию третьей задачи преобразования необходимо плоскость
общего положения поставить в проецирующее положение (Г (АВС) – фронтально-проецирующая).
156
Рис. 185. Решение четвёртой основной задачи преобразования
способом замены плоскостей проекций
В плоскости Г (АВС) необходимо провести горизонталь и вращать плоскость Г (АВС) до положения проекции горизонтали перпендикулярно П1. Горизонталь в плоскости h (h1, h2) проводим через точку С. Выбираем положение
оси i1  П1, i1  С (рис. 186 а). Поворачиваем горизонталь h вокруг оси пока она
не займет положение h  П2, т. е. h1  линиям связи, Rh = C111 (рис. 186 б). Поворачиваем точки плоскости А и В до их совмещения с горизонталью,
Rh = С1А1, RB = С1В1 (рис. 186 в). Фронтальные проекции точек А(А2) и В(В2)
перемещаются по прямым, линиям связи и занимают положение А21 и В21.
Плоскость Г займёт фронтально-проецирующее положение (Г21 вырождается в прямую линию)  Г21 – главная проекция (рис. 186 г).
Решение четвёртой задачи преобразования (Г (АВС)  П1) способом вращения показано на рисунке 187. Сначала решаем задачу 3, рассмотренную выше (рис. 186). Произведем второе вращение. Ось вращения i2 – фронтально
проецирующая, i2  В1. Поворачиваем Г21 до положения, когда Г22 станет  линиям связи. Точки А11, С11 перемещаются по прямым уровня до положения А12,
С12. Плоскость Г2 – плоскость уровня  Г22 – её главная проекция, Г12 – натуральная величина  АВС.
157
Рис. 186. Этапы решения третьей основной задачи
преобразования способом вращения
158
Рис. 187. Решение четвёртой основной задачи
преобразования способом вращения
Контрольные вопросы
1. Для чего применяется преобразование комплексного чертежа?
2. Как формулируются четыре основные задачи преобразования эпюра
Монжа?
3. В чем заключается сущность способа замены плоскостей проекций?
4. Почему задачи 1-2, 3-4 решаются на одном чертеже?
5. Что происходит с точкой, лежащей на оси вращения, при вращении
геометрических фигур?
6. Как вращаются остальные точки?
7. Можно ли одним вращением прямую общего положения поставить в
проецирующее положение?
8. Как выбирают новую плоскость проекций?
9. Как преобразовать плоскость общего положения в проецирующую
плоскость?
159
Тест «Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа»
1. Выберите соответствующий чертёж при ответе на вопросы.
а) На каком чертеже можно определить расстояние между двумя  прямыми а и в без вспомогательных построений?
б) На каком чертеже можно измерить длину отрезка АВ без вспомогательных построений?
в) В каком случае прямая в  АВ?
г) В каком случае расстояние между прямой АВ и точкой К можно определить при помощи одной замены плоскостей проекций?
д) В каком случае расстояние между двумя параллельными прямыми а и в
можно определить с помощью двух замен плоскостей проекций?
е) В каком случае расстояние между прямой АВ и точкой К можно определить при помощи двух замен плоскостей проекций?
2. Выберите соответствующий чертёж при ответе на вопросы.
а) На каком чертеже можно определить истинный вид треугольника АВС
без дополнительных построений?
б) На каком чертеже нужно сделать две замены плоскостей проекций,
чтобы определить истинный вид треугольника АВС?
в) На каком чертеже нужно сделать одну замену плоскостей проекций,
чтобы определить истинный вид треугольника АВС?
г) На каком чертеже можно определить расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС без вспомогательных построений?
160
д) Укажите чертёж взаимно перпендикулярных плоскостей (Г  ).
е) На каком чертеже можно определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (Г  ) без вспомогательных построений?
ж) На каком чертеже можно определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (Г  ) при помощи одной замены плоскостей проекций?
3. На чертеже расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
определено способом …
а) замены плоскостей проекций;
б) методом прямоугольного треугольника;
в) способом вращения.
4. Требуется треугольник АВС привести в проецирующее положение. Для
этого ось Х дополнительной плоскости проекций следует
провести ...
1.  А1Е1;
2.  А1С1;
3.  А1В1;
4.  С1В1.
Ответы: 1 : а – 2, б – 4,5, в – 4,5, г – 4, д – 6, е – 1; 2 – а – 6, б – 1, в – 3,
г – 3, д – 4, е – 2, ж – 5; 3 – а; 4 – 1.
161
Контрольные задачи
Задача 1. Определить кратчайшее расстояния способом замены плоскостей проекций: а) между двумя точками; б) от точки до прямой; от точки до
плоскости.
а)
б)
в)
Задача 2. Определить кратчайшие расстояния:
а) между двумя параллельными прямыми;
б) между двумя скрещивающимися прямыми.
а)
б)
Задача 3. Определить угол
Задача 4. Определить расстоямежду двумя пересекающимися ние от точки О до прямой е.
прямыми.
162
Задача 5. Построить горизонтальную проекцию точки А, если известно,
что она находится на расстоянии 20 мм от плоскости АВС.
Задача 6. Определить угол между заданными плоскостями α (АВС) и
β(DBC).
5.5. Построение развёрток поверхностей
Построение развёрток поверхностей является комплексной метрической
задачей начертательной геометрии, имеющей большое прикладное значение.
Развёртки используются при проектировании гражданских и промышленных
объектов, в архитектурно-строительной практике, в лёгкой промышленности.
Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью. Развёртки поверхности целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку (рис. 188).
Некоторые поверхности можно совместить с плоскостью только путём изгибания. Если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов
и сгибов, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную
плоскую фигуру – её развёрткой.
Развёртки имеют следующие основные свойства:
- длины соответствующих линий на поверхности и на её развёртке равны
между собой;
- угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими линиями на развёртке;
- прямой линии на поверхности соответствует прямая линия на развёртке;
163
- параллельным прямым линиям на поверхности соответствуют параллельные прямые линии на развёртке;
- прямая линия между двумя точками на развёртке соответствует кратчайшему расстоянию между этими точками на поверхности. Эти линии на поверхности называют геодезическими линиями.
Рис. 188. Развертывание поверхности
Поверхности, для которых сохраняются указанные свойства на развёртке,
называют развёртывающимися. К числу развёртывающихся поверхностей относятся все многогранные поверхности, из линейчатых – цилиндрические, конические, торсовые. По возможностям и способам построения различают
развертки точные, приближённые и условные Точными называют развёртки,
построенные с применением математического аппарата, и развёртки многогранных поверхностей. Приближёнными – развёртки, построенные способом
вписанных или описанных многогранных поверхностей. Условные развёртки
неразвёртывающихся поверхностей строят способом цилиндров и конусов.
Построение точной развёртки конуса показано на рисунке 189. Произвольно
отмечается вершина конуса S, из которой откладывается в любом направлении
длина крайней образующей ℓ, которая на фронтальной плоскости проекций комплексного чертежа проецируется в натуральную величину. Из точки S радиусом,
равным длине образующей ℓ, проводится дуга на величину угла  = 180 D/ℓ. Касательно нижней дуговой линии развёртки строится основание конуса.
Построение точной развёртки цилиндра показано на рисунке 190.
Существует несколько способов построения развёрток поверхностей.
Рассмотрим некоторые из них на примерах построения развёрток многогранных поверхностей, которые используются для построения развёрток криволинейных поверхностей.
164
Рис. 189. Построение точной развёртки конуса
Рис. 190. Построение точной развёртки цилиндра
Развёрткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развёртке
в натуральную величину, то её построение сводится к определению величины
отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.
Задача. Построить развёртку трёхгранной пирамиды (рис. 191а).
Трёхгранная пирамида имеет боковые ребра SA, SB и SC общего положения. Основание пирамиды – плоскость уровня АВС, имеющая натуральную ве165
личину на горизонтальной плоскости проекций. Для определения натуральной
величины рёбер боковой поверхности пирамиды используем способом вращения относительно горизонтально-проецирующей оси, проходящей через вершину пирамиды S. Через вершину пирамиды S проводим вертикальную ось
вращения перпендикулярно П1 (рис. 191 б). Вращаем каждое ребро на горизонтальной плоскости проекций до положения фронтальной линии и переносим
каждую вершину ребра (А, В, С) по линии связи на П2 до уровня соответствующей ей точки, перемещаемой по горизонтальной линии уровня. Полученные
точки (А2/, В2/, С2/) соединяем с вершиной пирамиды S2.
а)
б)
Рис. 191. Определение натуральных величин рёбер пирамиды
Построение развёртки пирамиды (рис. 192) начинаем с ребра SA, которое
откладываем на свободном месте листа длиной, равной натуральной величине
ребра – S2A2/. Из точки А делаем засечку дугой, равной натуральной величине
ребра АС. Из точки S проводим засечку дугой, равной величине натурального
ребра SC. В месте пересечения засечек получаем точку С. Таким же образом,
выполняем построение других граней пирамиды. Положение любой точки поверхности пирамиды (например, М) определяем с помощью линии, проходящей
через точку и принадлежащей грани пирамиды. Для этого определяем натуральную величину линии и на ней определяем положение точки М.
166
Рис. 192. Развёртка пирамиды
На рисунке 193 рассмотрена задача на построение развёртки призмы способом нормального сечения. Данный способ применяют в случае, если ребра
призмы занимают положение уровня, т. е. они должны быть параллельны одной
из плоскостей проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. Алгоритм решения следующий.
Пересекая призму вспомогательной плоскостью α, перпендикулярной её
боковым рёбрам, строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника
1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она
найдена методом замены плоскостей проекций.
Начинаем построение развёртки с отрезка 10-20-30-1, равному периметру
нормального сечения (рис. 194). Через точки 10, 20, 30 и 10 проводят прямые,
перпендикулярные отрезку 10-20-30-10, на которых откладывают соответствующие отрезки боковых рёбер призмы, беря их с фронтальной проекции. Так, на
перпендикуляре, проходящем через точку 10, отложены отрезки 10G0 = 12G2 и
10G0/ = 12G2/. Соединив концы отложенных отрезков, получают развёртку боковой поверхности призмы. Далее достраивают основание развёртки.
Развёртка поверхности наклонного цилиндра, показанного на рисунке 195,
строится способом раскатки. В окружность основания цилиндра вписывается
многоугольник и строится развёртка многогранной призмы. Развёртка цилиндра в этом случае носит приближенный характер. Чем больше количество сторон вписанного в основание цилиндра многоугольника, тем более точной будет
развёртка.
167
Рис. 193. Построение развёртки призмы способом нормального сечения
168
Рис. 194. Развёртка призмы способом нормального сечения
Фронтальную проекцию цилиндра вращают вокруг вписанного ребра
призмы 12 до тех пор, пока она не совместится с плоскостью. Положение ребра
12 остаётся неизменным, все остальные рёбра вписанной призмы (22, 32 и т. д.)
перемещаются по окружностям, радиус которых определяется натуральной величиной стороны призмы – 1121, расположенных в плоскостях, перпендикулярных ребру 12. Траектория движения каждого ребра на плоскости проецируются
в прямые, перпендикулярные ребру 12. Засекая перпендикуляры, по которым
перемещаются рёбра вписанной в цилиндр призмы дугой радиуса R = 1121,
можно получить искомое положение точек развёртки.
169
Рис. 195. Построение развёртки цилиндра способом раскатки
Контрольные вопросы
1. Что называется развёрткой?
2. Как классифицируются развёртки?
3. Какими основными свойствами обладают развёртки?
4. Как выбирается способ построения развёртки?
5. В чём состоит суть способа нормального сечения при построении развёртки призмы?
170
6. Какие способы используется при построении развёртки пирамиды,
призмы?
7. Какие способы используется при построении развёртки цилиндра, конуса?
Тест «Развёртки поверхностей»
1. Длина одной из сторон прямоугольника, показанного на рисунке, являющегося развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра, равна …
- πd;
- 2πН;
- πR;
- πH.
2. На рисунке показана часть развёртки…
- прямого кругового конуса;
- наклонного конуса;
- наклонного кругового цилиндра;
- прямого кругового цилиндра.
3. Развёртки классифицируются на:
- полные;
- усечённые;
- точные;
- приведённые.
4. К неразвёртываемым поверхностям относится …
a. цилиндроид;
b. коническая поверхность
c. пирамида
d. поверхность с ребром возврата.
5. Для построения развёртки многогранных поверхностей используют
способ ...
- триангуляции;
- конусов;
- способ нормального сечения;
- цилиндров.
Ответы: 1 – πd; 2 – прямого кругового цилиндра; 3 – точные; 4 – d; 5 –
способ нормального сечения.
171
Контрольные задачи
Задача 3. Построить
Задача 2. Построить
Задача 1. Построить
развёртку пирамиды.
развёртку призмы мето- развёртку цилиндра методом нормального сечения. дом раскатки.
Задача 4. Построить развёртку конуса (а) и цилиндра (б) с линией на поверхности а.
а)
б)
172
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии : учеб. пособие /
В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский. – М. : Высшая школа, 2009. – 272 с.
2. Локтев, О. В. Краткий курс начертательной геометрии : учеб. /
О. В. Локтев. – М. : Высшая школа, 2006. – 136 с.
3. Белякова, Е. И. Начертательная геометрия. Практикум : учеб. пособие /
Е. И. Белякова, П. В. Зеленый; под ред. П. В. Зеленого. – 2-e изд., исправ. – М. :
ИНФРА-М; Мн. : Нов. знание, 2012. – 214 с.
4. Нечаева, Т. П. Начертательная геометрия. Инженерная графика : раб.
тетрадь. Ч. 1 / Т. П. Нечаева, И. А. Мельникова. – Ставрополь : АГРУС, 2010. –
54 с.
5. Начертательная геометрия. Модуль №1 : учеб.-метод. пособие / сост.
Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007. – 40 с.
6. Начертательная геометрия. Модуль №2 : учеб.-метод. пособие / сост.
Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007. – 48 с.
7. Начертательная геометрия. Модуль №3. Модуль №1 : учеб.-метод. пособие / сост. Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007. –
32 с.
8. Начертательная геометрия. Модуль №4 : учеб.-метод. пособие / сост.
Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007. – 33 с.
9. Наук, П. Е. Начертательная геометрия : учеб. пособие / П. Е. Наук,
А. Н. Богданова. – 2-е изд. – Тюмень : ТюмГНГУ, 2009. – 128 с.
10. Кошелева, Л. И. Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам
«Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» для студентов заочной
формы обучения / Л. И. Кошелева, Ф. Н. Притыкин, С. А. Кузнецов. – Омск :
Изд-во ОмГТУ, 2007. – 32 с.
173
Учебное издание
Дейнега Светлана Александровна
Начертательная геометрия. Учебные модули
Учебное пособие
Редактор П. В. Котова
Технический редактор Л. П. Коровкина
План 2013 г., позиция 81. Подписано в печать 29.08.2014 г.
Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.
Формат 60х90 1/8. Бумага офсетная. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 10,1. Уч.-изд. л. 9,1. Тираж 150 экз. Заказ №287.
Ухтинский государственный технический университет.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типография УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа