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194
˄ʪʶ 622.831:539.3
ˌ̨̡̛̥̯̭̜̌̏ ʸ.ʪ., ʶ̶̨̨̛̣̥̖ ʤ.ʻ., ʤ̦̦̖̌̽̏̌ ʽ.ʰ.
ʜʏʞʟʮʕʔʜʜʝʔ ʠʝʠʡʝʮʜʗʔ ʞʟʗʖʏʐʝʘʜʝʘ ʦʏʠʡʗ
ʛʏʠʠʗʑʏ ʞʟʗ ʞʟʝʑʔʓʔʜʗʗ ʒʝʟʜʪʤ ʑʪʟʏʐʝʡʝʙ ʠ
ʙʝʜʗʦʔʠʙʝʘ ʣʝʟʛʝʘ ʖʏʐʝʮ
˄ ̵̡̬̥̌̌ ̵̡̛̥̖̦̞̌ ̨̪̬̱̙̦-̴̨̨̨̨̖̬̥̦̔̏̌̐ ̯̞̣̌ ̨̨̬̬̣̖̦̍̌̚ ̨̡̛̥̖̯̔̌ ̯̌ ̨̬̏̚’̦́̌̌̚ ̸̌̔̌̌̚ ̨̪̬ ̛̦̪̬̱̙̖̦̜̌ ̭̯̦̌ ̡̨̨̞̬̭̐̽̐ ̛̥̭̱̌̏ ̡̨̨̦̣̌̏ ̨̨̨̛̬̦̯̣̦̟̐̌̽̚ ̶̸̨̛̛̣̞̦̬̦̟̔ ̨̡̛̛̬̏̍. ˋ̛̛̛̭̖̣̦̥̽ ̨̛̭̣̞̙̖̦̦̥̔̔́ ̨̛̣̖̦̏́̏ ̸̦̦̱̌̚ ̶̶̡̨̦̖̦̯̬̞̌̀ ̸̵̨̛̬̯̱́̐̀̚ ̦̪̬̱̙̖̦̌̽ ̱ ̨̦̞̚ ̖̖̦̦̏̔́ ̸̵̛̛̞̬̦̐ ̨̬̞̯̍.
THE STRESS STATE OF A ROCK MASSIF WHILE CONDUCTING THE MINING
WORKING WITH THE CONICAL FORM OF FACES
A method of stress state of a rock massif near the horizontal cylindrical working is developed, and a problem of mechanics of elastically deformed bodies is solved. A considerable concentration of tensile stresses in
the mining working zone is revealed by numerical calculations.
1 ʞˑ˔˕˃ːˑ˅ˍ˃ ˊ˃ˇ˃˚ˋ
ˑ̡̛̭̪̖̬̥̖̦̯̣̦̼̖̌̽ ̨̛̛̭̭̣̖̦̔̏̌́, ̨̼̪̣̦̖̦̦̼̖̏ ʰʧ˃ʺ ̛̥. ʻ.ˁ. ʿ̨̡̨̣́̏̌
ʻʤʻ ˄̡̛̬̦̼̌ ̨̡̛̪̣̌̌̚, ̸̨̯ ̨̪̭̣̖ ̨̛̪̬̖̖̦̏̔́ ̦̌ ̵̨̛̣̹̍̽ ̵̛̣̱̦̐̍̌ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̡̼̬̯̏̌̍ ̨̡̬̱̏̐ ̵̛̦ ̵̨̨̛̛̪̬̭̯̔ ̨̨̛̬̦̖̍̌̏̌̚ ̸̵̛̖̬̖̱̺̭̔̀́ ̨̦̚ ̵̦̬̱̹̖̦̦̼̌ ̛ ̵̦̖̦̬̱̹̖̦̦̼̌ ̨̨̪̬̔. ʿ̨̨̯̥̱̾ ̸̡̛̛̛̦̣̯̖̭̖̌̌ ̨̛̛̭̭̣̖̦̔̏̌́ ̨̨̨̭̖̦̦̭̯̖̜̍
̨̨̦̪̬̙̘̦̦̌́̐ ̨̨̛̭̭̯̦́́ ̛̥̭̭̌̏̌ ̭ ̯̖̥,
̸̨̯̼̍ ̛̼̭̦̯̏́̽ ̸̛̛̪̬̦̱ ̶̵̨̛̛̖̦̯̖̬̦̦̼̔̐̌̚ ̶̨̨̪̬̖̭̭̏, ̵̨̡̛̛̦̺̏̌̀̚ ̛̪̬
̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̨̨̬̦̜̐ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍, ̣̯̭́̏́̀́ ̨̨̦̜̔ ̛̚ ̵̡̯̱̣̦̼̌̌̽ ̸̌̔̌̚ ̵̡̛̛̥̖̦̌ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̪̬̔.
ˀ̨̬̯̦̌̌̍̌̚ ̨̥̖̯̔ ̛ ̬̖̹̖̦̌ ̨̪̬- ˀ̛̭. 1 – ˁ̵̖̥̌ ̨̨̨̬̦̐̐ ̛̥̭̭̌̏̌, ̨̨̭̖̬̙̺̖̔̌̐
̭̯̬̦̭̯̖̦̦̌̏̌́ ̸̌̔̌̌̚ ̨ ̨̦̪̬̙̘̦̦̌́-̨̡̖̼̬̯̱̔̏̌̍
̴̨̨̨̛̬̥̬̦̦̥̏̌ ̨̨̛̛̭̭̯̦́ ̨̨̨̬̦̐̐
̛̥̭̭̌̏̌ ̏ ̵̨̡̨̬̖̭̯̦̭̯́ ̶̸̡̨̛̛̛̣̦̬̖̭̜̔ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍, ̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̡̨̨̨̯̬̜
̨̪̬̖̪̣̖̯̭̔̌̐̌́ ̨̨̛̬̦̖̍̌̏̌̚ ̸̡̨̡̨̛̦̖̭̜ ̴̨̬̥̼ ̵̨̨̛̪̖̬̦̭̯̏ ̨̌̍́̚ (̛̬̭. 1).
ˀ̖̱̣̯̯̼̽̌̚ ̸̵̛̭̣̖̦̦̼ ̸̨̬̭̘̯̌̏ ̨̪̬̥̖̯̬̌̌̏ ̨̪̣́ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́ ̨̡̛̪̣̌̌̚, ̸̨̯
̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̏ ̨̨̛̪̬̜̦̜̌̍̚ ̸̛̭̯̌ ̨̨̪̭̖̥̖̭̯̦̏ ̨̡̛̦̖̯̏̌̚ ̨̦̌̚ ̵̛̛̬̭̯̺̌́̐̏̌̀ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́. ʿ̨̨̯̥̱̾, ̡̡̌ ̨̡̪̣̌̌̌̚ ̡̡̛̪̬̯̌̌ ̨̛̪̬̖̖̦̏̔́
̨̨̡̼̬̯̏̌̍, ̏ ̵̛̱̣̖̥̖̺̺̐̏̌̀ ̵̨̨̪̬̔̌ ̨̨̛̪̬̜̦̜̌̍̚ ̸̛̭̯̌ ̨̛̛̦̯̖̦̭̦̏ ̛̬̯̭̌̏̏̌̀́̚
̨̥̖̙̭̣̖̼̖̏ ̴̶̨̛̛̖̬̥̔̌, ̸̨̯ ̨̛̛̪̬̯̏̔ ̡ ̨̨̛̬̦̍̌̏̌̀̚ ̵̛̥̭̯̬̣̦̼̌̐̌̽ ̛̯̬̖̺̦,
̛̬̖̣̖̦̌̔̀̚ ̛̥̭̭̌̏̌ ̦̌ ̸̛̭̯̌, ̨̪̯̖̬̖ ̨̨̨̛̭̪̭̦̭̯̍ ̨̨̛̛̪̬̯̖̜̭̯̏̔̏̀ ̨̨̬̦̥̱̐ ̛̣̖̦̔̌̏̀.
ʻ̨̪̬̙̘̦̦̖̌́ ̨̨̛̭̭̯̦̖́ ̛̥̭̭̌̏̌ ̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̨̪̬̖̖̣̖̯̭̔́́
̨̨̨̛̛̭̯̦̹̖̦̥́
V r V rr J H ; V T V TT J H ; V z V zz O0J H ; W rz V rz ,
(1)
̖̐̔ J H – ̸̦̣̦̼̖̌̌̽, ̌ V rr , V TT , V zz ̛ V rz – ̨̨̛̪̣̦̯̖̣̦̼̖̔̽ ̨̦̬̥̣̦̼̖̌̽ ̛ ̡̭̯̖̣̦̼̖̌̌̽ ̛̦̪̬̙̖̦̌́́, ̨̨̱̭̣̣̖̦̦̼̖̍̏ ̨̨̛̬̦̖̥̍̌̏̌̚ ̨̨̛̪̣̭̯ ̏ ̛̥̭̭̖̌̏
̵̨̬̦̼̐ ̨̨̪̬̔;
H – ̨̛̬̭̭̯̦̖̌́ ̨̯ ̨̖̥̦̜̚ ̵̨̨̛̪̖̬̦̭̯̏ ̨̔ ̨̛̭ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍;
J – ̨̻̘̥̦̼̜̍ ̖̭̏ ̨̛̯̣̺ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̪̬̔;
O0 – ̴̴̶̡̨̛̛̖̦̯̾ ̨̨̨̭̖̏̐ ̛̣̖̦̔̌̏́.
ʻ̨̪̬̙̖̦̦̖̌́ ̨̨̛̭̭̯̦̖́ ̨̨̛̪̬̜̦̜̌̍̚ ̸̛̭̯̌ ̛̥̭̭̌̏̌ ̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̡̼̬̯̏̌̍ ̭ ̸̡̨̡̨̛̦̖̭̜
̴̨̨̬̥̜ ̨̌̍́̚
195
˃̡̌ ̡̡̌ H !! h , ̨̯ ̛̛̥̖̦̖̦̖̥̚ ̸̵̦̣̦̼̌̌̽ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́ ̨̪ ̨̼̭̯̖̏ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍
̨̨̥̙̦ ̸̪̬̖̦̖̬̖̍̽. ʿ̛̬ ̨̛̛̯̭̱̯̭̯̏ ̡̛̬̖̪ ̨̪̣̦̼̖ ̛̦̪̬̙̖̦̌́́ ̦̌ ̡̨̦̯̱̬̖ ̛ ̨̖̌̍̚
̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̬̦̼̌̏ ̦̱̣̀.
˃̨̐̔̌ ̸̛̬̦̦̼̖̐̌ ̨̛̱̭̣̏́ ̦̌ ̡̨̦̯̱̬̖ ̛ ̨̖̌̍̚ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̛̪̹̱̯̭̌́̚ ̛̭̣̖̱̺̥̔̀ ̨̨̬̥̍̌̚:
_
V rr J H ; V rz 0 .
̛̪̬ r h ; z d a
(2)
_
̛̪̬ z d h ; a d z d z 0 a rctgT 0
V rr sinT V rz cosT J H sinT ; V rz sinT V zz cosT O0J H cosT .
(3)
ʯ̸̌̔̌̌ ̨̨̛̭̭̯̯ ̏ ̨̛̛̪̬̖̖̣̖̦̔ ̛ ̨̛̛̛̭̭̣̖̦̔̏̌ ̨̨̦̪̬̙̘̦̦̌́̐ ̨̨̛̭̭̯̦́́ ̨̨̨̨̱̣̖̪̬̦̐̔̐ ̛̥̭̭̌̏̌ ̭ ̶̖̣̽̀ ̛̼̣̖̦̏́̏́ ̵̨̨̨̨̛̭̦̪̣̺̏̌̐̌̀ ̡̨̨̨̦̥̖̬̦̭̯̖̜̌̚,
̸̵̨̛̛̖̭̪̖̺̍̏̌̀ ̴̴̡̨̛̖̯̦̖̾̏ ̛ ̨̨̖̪̭̦̖̍̌̚ ̨̛̪̬̖̖̦̖̏̔ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̡̼̬̯̏̌̍.
ʰ̨̛̭̭̣̖̦̔̏̌́ ̱̖̥̍̔ ̨̭̱̺̖̭̯̣̯̏́̽, ̖̏̏̔́ ̨̛̪̙̦̱̔̏̀ ̛̭̭̯̖̥̱ ̵̨̨̛̯̦̭̯̖̣̦̼̽ ̡̨̨̛̬̦̯̔̌ ( r , z ), ̡̨̨̯̬̌́ ̭̦̏́̌̌̚ ̭ ̨̨̛̦̖̪̙̦̜̔̏ ̨̛̭̭̯̖̥̜ ̛̖̭̯̦̼̥̏̚ ̨̨̛̪̬̖̬̦̖̥̍̌̏̌̚ ʧ̛̣̣̖̌́
_
_
z (z Xt )h1 ; r r h1 .
ˀ̛̖̹̖̦̖ ̛̱̬̦̖̦̜̌̏ ̸̡̨̨̛̛̦̥̖̭̔̌̐ ̨̛̬̦̖̭̌̏̏́ ̨̥̘̥̏̽̚ ̏ ̴̨̬̥̖ [2]:
Ur
6 f
¦ ^ª A (D )U
S ³ ¬
1
(1 n)
r
n
`
Bn (D )Ur(2n) º¼ cos D z ª¬ˁ n (D )Ur(1n) ʪn (D )Ur(2n) º¼ sinD z dD ;
(4)
n 1 0
Uz
6 f
¦ ^ª A (D )U
S ³ ¬
1
(1 n)
z
n
`
Bn (D )Uz(2n) º¼ sinD z ª¬ˁ n (D )Uz(1n) ʪn (D )Uz(2n) º¼ cos D z dD ,
n 1 0
̖̐̔ ̸̨̨̨̦̖̦̍̌̚
Ur(2n1) Z3n J1 (DE1r ); Ur(2n) Z4 n (DE2r ) J1 (DE2r ); Uz(1n) Z5n (DE1r ) J0 (DE1r );
1
b O C ·
§
Uz(2n) Z6 n (DE2r ) J0 (DE2r ); Z3n ¨ E12Z2n 2Q n n n ¸ ª¬Z2n E 32n E12 º¼ ;
1 Onbn ¹
©
1
1
1
1
Z5n E1 ª¬1 2Q 1 2Q º¼ E32n E12 ; Z4 n E2 ª¬1 2Q 1 2Q º¼ E32n E22 ;
1
b O c ·
§
Z6 n ¨ Z1n n n n ¸ ª¬Z2n E32n E22 º¼ ;
1 Onbn ¹
©
An (D ) ̛ Bn (D ) , ˁ n (D ) ̛ ʪn (D ) – ̨̨̛̪̬̣̦̼̖̏̽̚ ̴̶̡̛̛̱̦ ̬̱̥̖̦̯̌̐̌ D ,
J1,2 (DE1,2r ) – ̴̶̡̛̛̱̦ ʥ̖̭̭̖̣́ ̨̨̪̖̬̏̐ ̨̬̔̌;
an C n
OC
bn º
ª a C
n n ; Z2n 1 2Q « n n 2 1 Q Z1n
;
2(1 Q )(1 Onan ) 1 Onbn
1 Onbn »¼
¬ 1 Onan
1
E12 Q 1 Q ̡12 ;
E22 ª¬1 Q 1 2Q ̡12 º¼Q 1 ; E32n 2QZ1n ˜ Z2n1 ;
UX 2 1 Q 1 2Q >1 Q E @ ; ̡22 2 UX 2 1 Q 1 2Q E ,
U – ̨̨̪̣̯̦̭̯̽ ̨̨̪̬̔;
cn ^E22a 1 Onbn ª¬2 1 Q E22 1º¼ bn ` ¬ª E22 1 Onbn O 1 Onan ¼º ;
̡12
1
(5)
196
ˌ̨̡̛̥̯̭̜̌̏ ʸ.ʪ., ʶ̶̨̨̛̣̥̖ ʤ.ʻ., ʤ̦̦̖̌̽̏̌ ʽ.ʰ.
bn
a0
ªa r a2 b 1/2 º
0
0
¬ 0
¼
;
2
2
2
ª
º
2O 2 1 Q ¬1 E2 E 1 1 Onan ¼ E1
^
`
2
2
ª¬ E22 On 1 Onan º¼ ª¬2 1 Q E 1 Onan 2 1 Q E 1 E12 º¼ ª¬On 1 Onan 1º¼ ª¬2 1 Q Oa E12 º¼ ;
^
`
2
4On2an 1 Onan 1 E12 2 1 Q ª¬1 E 1 E22 1 Onan ()º¼ E12 ;
b0
a1 2,4 ; a2 1,5 ; O1
2,2 ; O2
2,9 ; O3
3,6 .
2 ʑ˞˅ˑˇ ˋ ˓ˈ˛ˈːˋˈ ˋː˕ˈˆ˓˃ˎ˟ː˞˘ ˖˓˃˅ːˈːˋˌ
ʿ̛̛̬̦̥̌́ ̨̏ ̛̛̦̥̦̖̏̌ ̨̨̛̪̬̣̏̚ ̏ ̨̼̬̖̏̍ ̴̶̡̛̱̦̜ An (D ) ̛ Bn (D ) , C n (D ) ̛
ʪn D , ̨̨̛̪̣̙̥
5 ª A D º
5 ª B D º
ª A6 D º
Z5n E1Z3n ªB6 D º
Z6 n E2Z4 n
n
¦ « n
; «
.
(6)
« » ¦ « »
»
»
n 1 ¬C n D ¼ Z56 E1Z36
n 1 ¬ ʪn D ¼ Z66 E 2Z46
¬C 6 D ¼
¬ ʪ6 D ¼
ʪ̣̖̖̌, ̨̨̨̛̭̪̣̹̭̏̽̏̌̏̽̚ ̨̨̨̛̛̭̯̦̹̖̦̥́ ̡̨̦̌̌̚ ʧ̡̱̌ [3], ̸̨̪̣̱̖̥̌ ̛̼̬̙̖̦̏̌́ ̣̔́ ̡̨̨̥̪̦̖̦̯ ̨̯̖̦̬̌̚ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́, ̨̦̭̏́ ̡̨̨̯̬̼̖ ̏ ̨̛̱̭̣̏́ (2) ̛ (3) ̸̨̪̣̱̖̥̌
̭̣̖̱̺̱̔̀̀ ̛̭̭̯̖̥̱ ̵̛̦̯̖̬̣̦̼̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̜̌̏:
̦̌ ̡̨̦̯̱̬̖ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ r 1,0 ; z d a
¦ ³ D ^ª¬ A (D )W
5 f
n
n 1 0
5 f
(1 n)
rz
`
(2 n)
(1 n)
(2 n)
Bn (D )W rz º¼ sinD z ª¬C n (D )W rz ʪn (D )W rz º¼ cos D z dD
^
`
S
ª A D W (1rr n) B D W (2rr n) º cos D z ªC D W (1rr n) ʪ D W (2rr n) º sinD z dD
D
¦³ ¬ n
n
n
¼
¬ n
¼
q0
n 1 0
̦̌ ̵̨̨̛̪̖̬̦̭̯̏ ̨̌̍́̚ 0 d r d 1,0 ; a d z d z0 ; z0 a ctg T0 ; U r ctg T 0
5 f
¦ ³ D ^ª¬ A D cosD z
0
n
(7)
0;
J H.
Cn D sinD z0 J 1n J1 DE1r Bn D cos D z0 ʪn D sinD z0 cos DU n 10
S
`
An D sinD z0 Cn D cosD z0 J 1n J1 DE1r Bn D sinD z0 ʪn D cos D z0 J1 DE2r º¼ sinDU dD
5 f
¦ ³ D ^ª¬ A D cosD z
n
n 1 0
0
R2q0
J Hr ;
C n D sinD z0 J 5n J0 (DE1r ) Bn D cos D z0 ʪn (D )sinD z0 J 6 n J0 (DE2 r )º¼ cos DU `
ª¬ An D sinD z0 C n D cos D z0 J 5n J0 (DE1 r ) Bn (D )sinD z0 ʪn (D )cos D z0 J 6 n J0 (DE2 r )º¼ sinDU dD
S
q0
5 f
¦ ³ D ^ª¬ A
n
n 1 0
(8)
J H ª¬O0 1 O0 cosT 0 cos2 T 0 º¼ ;
D sinD z0 C n D cos D z0 J 7 n J1 (DE1r ) Bn D sinD z0 ʪn D cos D z0 J 8 n J1 (DE2 r )º¼ cos DU `
ª¬ An D cos D z0 C n D sinD z0 J 7n J1 (DE1r ) Bn D cos D z0 ʪn D sinD z0 J 8 n J1 (DE2 r )º¼ sinDU dD
S
q1
1 O0 cosT0 sinT0 cosT0 .
ˁ̸̦̣̌̌̌ ̨̨̱̣̖̯̬̖̥̔̏̏́ ̨̛̱̭̣̥̏́ (2) ̦̌ ̡̨̦̯̱̬̖ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍. ʿ̨̣̌̐̌́
4
ˁ 5 D ¦ ¬ªC n D J 7n J1 (DE1 ) ʪn D J 8 n J1 (DE2 )¼º >J 75 J1 (DE2 ) J 85 J1 (DE2 )@ ;
n 1
1
ʻ̨̪̬̙̖̦̦̖̌́ ̨̨̛̭̭̯̦̖́ ̨̨̛̪̬̜̦̜̌̍̚ ̸̛̭̯̌ ̛̥̭̭̌̏̌ ̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̡̼̬̯̏̌̍ ̭ ̸̡̨̡̨̛̦̖̭̜
̴̨̨̬̥̜ ̨̌̍́̚
4
197
A5 (D ) ¦ ¬ª An D J 7 n J1 DE1 Bn D J 8 n J1 DE2 º¼ ª¬J 75 J1 DE2 J 85 J1 DE2 º¼ 1
n 1
D
1
a
³ F ([ )sin(D K[ )d[ ;
0
B5 (D ) A5 (D ) ; ʪ5 (D ) C 5 (D ) ;
3
C 4 (D ) ¦ C n (D )W
(6 n)
rr
W
(5 n)
rr
ʪn (D )W
(25)
rr
³ F ([ )sin(D K[ )d[ ;
(54)
rr
W
(64) 1
rr
(9)
;
n 1
DW W
(44) 1
rr
B4 (D )
(15)
rr
W
a
K 1
0
3
A4 (D ) ¦ An (D )W
(3 n)
rr
Bn (D )W
(4 n)
rr
n 1
W
(34)
rr
E2
a
;
W ³ F ([ )sinD[ d[ ;
a
(34) 1
rr
0
F ([ ) – ̡̨̨̦̖̯̬̌́ ̴̶̡̛̱̦́, ̦̖̪̬̖̬̼̦̏̌́ ̥̖̭̯̖̏ ̨̭ ̨̛̛̭̥̏ ̨̨̛̛̪̬̦̼̥̏̔̚ ̏
̨̡̪̬̥̖̙̱̯̖ (0, ̌),
̛ ̛̛̦̯̖̬̬̱̐́ ̨̨̯̬̖̏ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏ (7) ̨̪ z , ̵̨̛̛̪̬̥̔ ̡ ̨̛̦̯̖̬̣̦̥̱̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̌̏̀
f a
­
½ sinD z
S
d
dD
F
[
D[
[
J Hz.
(10)
(
)sin
¾
³0 ®¯³0
q
D
0
¿
ˀ̛̖̹̖̦̖ ̛̱̬̦̖̦̌̏́ (10), ̡̡̌ ̨̛̖̭̯̦̏̚ [4], ̛̥̖̖̯ ̛̏̔
̖̐̔
1/2 1
F z 2J Hz ª¬q0 a2 z 2 º¼ .
(11)
ʦ̨̦̭́ (9) ̏ ̨̪̖̬̖̏ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏ (7) ̛ ̸̛̱̯̼̏̌́ ̛̭̣̖̱̺̖̔̀ ̨̭̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜
ʥ̖̭̭̖̣́ [4]
f
³ JQ D a JQ D b sinD zdD
0, 0 z b a; Q ! 1,
0
̱̖̙̖̥̭̍̔̌́, ̸̨̯ ̨̯̾ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏ ̨̨̱̣̖̯̬̖̯̭̔̏̏́́ ̨̨̯̙̖̭̯̖̦̦̔̏.
ʥ̨̣̖̖ ̨̨̨̪̬̦̔̍ ̨̛̬̭̭̥̯̬̥̌ ̛̬̖̹̖̦̖ ̨̨̪̖̬̏̐ ̛̚ ̵̯̬̘ ̛̱̬̦̖̦̜̌̏ (8), ̵̵̡̛̛̬̯̖̬̱̺̌̌̀̚ ̡̬̖̼̖̌̏ ̨̛̱̭̣̏́ ̦̌ ̡̨̦̯̱̬̖ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍.
ʿ̨̭̯̣̔̌̏́́ ̏ ̨̯̾ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏ ̛̼̬̙̖̦̏̌́ ̴̶̡̛̱̦̜ (9) ̛ ̨̪̣̌̐̌́
3
¦ ª¬ B D Y
An D Y4 n cos D z0 C n D Y2n ʪn D Y3n sinD z0 G3 º¼ 0;
¦ ª¬ B D Y
An D Y4 n sinD z0 C n D Y2n ʪn D Y3n cos D z0 G3 º¼ 0;
n
1n
n 1
3
n
1n
n 1
3
¦ ª¬ A D X
n
1n
n 1
Bn D X2n cos D z0 C n D X 3n ʪn D X 4 n sinD z0 G2 º¼ Q1 D ;
3
¦ ª¬ A (D )X
n
n 1
̵̨̛̦̥̌̔
1n
Bn (D ) X2n sinD z0 C n (D ) X 3n ʪn (D ) X 4 n cos D z0 G2 º¼ 0,
(73)
ª A D J W (7rr n) B D Y
G3 cos D z0 sinD z0 º
A
D
J
W
rr
n
n
23
1n
3
23
»;
B3 D ¦ «
Y
Y
Y
»¼
n 1«
13
13
13
¬
2
(12)
198
ˌ̨̡̛̥̯̭̜̌̏ ʸ.ʪ., ʶ̶̨̨̛̣̥̖ ʤ.ʻ., ʤ̦̦̖̌̽̏̌ ʽ.ʰ.
ª C n D Y2n ʪn D Y3n C3 D Y23 G3 cos D z0 sinD z0 º
¦
«
»;
Y33
Y33
Y33
n 1¬
¼
2 ª
A (D ) X 5n Bn (D ) X6 n G4 Q1 D cos D z0 G3 sinD z0 º
A3 D ¦ « n
»;
X 53
X 53
n 1¬
¼
2
ʪ3 D (13)
ª C n D X 7n ʪn D X 8 n G4 Q1 D sinD z0 G5 cos D z0 º
«
».
¦
X 73
X 73
n 1¬
¼
ˇ̶̡̛̱̦́ Q1 D ̨̨̱̣̖̯̬̖̯̔̏̏́ ̨̛̦̯̖̬̣̦̥̱̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̌̏̀
2
C 3 D f
³ Q D J DE r cosDUdD
1
1
1
0
S
q0
J Hr cosT 0 .
(14)
ʯ̸̛̦̖̦̌́ ̴̴̶̡̨̨̛̛̖̦̯̾̏ ̏ ̴̵̨̬̥̱̣̌ (12) ̛ (13) ̦̖ ̨̛̪̬̯̭̏̔́́ ̖̭̔̽̚ ̛̚-̌̚
̨̨̡̨̛̬̥̭̯̐̔̚.
ˀ̛̖̹̖̦̖ ̨̨̛̦̯̖̬̣̦̐̌̽̐ ̛̱̬̦̖̦̌̏́ (14) ̛̺̖̥ ̏ ̴̨̬̥̖
f
³ F [ J
Q1 D 1
2
ª¬D f [ º¼ d[ ; f [ [ ctgT 0 E1 ,
(15)
0
F1 D – ̡̨̨̦̖̯̬̌́ ̴̶̡̛̱̦́, ̦̖̪̬̖̬̼̦̏̌́ ̥̖̭̯̖̏ ̨̭ ̨̛̛̭̥̏ ̨̨̛̛̪̬̦̼̥̏̔̚
̦̌ ̭̖̥̖̦̯̖̐ [0, 1].
ʦ̨̦̭́ ̛̼̬̙̖̦̖̏̌ Q1 D (15) ̏ (14) ̛ ̸̛̱̯̼̏̌́ ̛̭̣̖̱̺̖̔̀ ̨̭̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜
ʥ̖̭̭̖̣́
̖̐̔
f
³D
U Q 1
JQ (aD ) JU (bD )cos D zdD 2 U Q 1 aQ *(U ) / *(Q 1); 0 z b a ,
(16)
0
̵̨̛̛̪̬̥̔ ̡ ̭̣̖̱̺̖̥̱̔̀ ̨̛̦̯̖̬̣̦̥̱̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̌̏̀
1
2
S
F
[
ª
f
[
º
d
[
J H cosT 0 ,
1
¬
¼
³0
E1q0
̛̬̖̹̖̦̖ ̡̨̨̨̨̯̬̐ ̵̨̛̦̯̭̌̔́ ̨̣̖̥̖̦̯̬̦̾̌
2S
F1 [ J H[ 3 ctg T 0 E1 cosT 0 .
(17)
E1q0
ʪ̣̖̖̌, ̨̬̺̭̏̏̌̌́̽̚ ̡ ̬̖̦̭̯̱̌̏̏ (15), ̨̪̭̣̖ ̸̛̛̼̭̣̖̦̏́ ̛̦̯̖̬̣̐̌̌ ̸̨̪̣̱̖̥̌
2S
Q1 D J HD 2 ctgT 0 E1 J3 ª¬D E1 ctgT 0 º¼ cosT 0 .
(18)
q0 E 1
ˀ̛̖̹̖̦̖ ̨̨̨̯̬̏̐ ̨̨̛̦̯̖̬̣̦̐̌̽̐ ̛̱̬̦̖̦̌̏́ (8) ̨̭̱̺̖̭̯̣̖̯̭̏́́ ̨̪ ̨̛̛̦̣̌̌̐ ̭
̨̬̭̭̥̯̬̖̦̦̼̥̌ ̼̹̖̏.
ʦ ̬̖̱̣̯̯̖̽̌̚ ̵̨̦̖̭̣̙̦̼, ̨̦ ̵̨̨̡̛̬̥̐̔̚ ̨̨̛̪̬̖̬̦̜̍̌̏̌̚ ̵̨̛̦̥̌̔ ̛̼̬̙̖̦̏̌́ ̴̶̡̛̱̦̜ B1,2 D ̛ ʪ1,2 D 2
B2 (D ) ¦ An (D )Y5n Y62 B1 (D )Y61 Y62 G11 cos D z0 G13 sinD z0 (Y62 );
n 1
2
ʪ2 D ¦ ˁ n D Y7n Y82 ʪ1 D Y81 Y82 G11 sinD z0 G13 cos D z0 Y82 ;
n 1
B1 D 2
¦ A D Y
n
n 1
9n
Y111 G14 Q2 D cos D z0 G15 sinD z0 Y111 ;
ʻ̨̪̬̙̖̦̦̖̌́ ̨̨̛̭̭̯̦̖́ ̨̨̛̪̬̜̦̜̌̍̚ ̸̛̭̯̌ ̛̥̭̭̌̏̌ ̛̪̬ ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̡̼̬̯̏̌̍ ̭ ̸̡̨̡̨̛̦̖̭̜
̴̨̨̬̥̜ ̨̌̍́̚
ʪ1 D 2
¦C
n
D Y10 n Y121 G14 Q2 D sinD z0 G15 cos D z0 Y121 ;
199
(19)
n 1
̖̐̔
2S
J HD 2 [O0 (1 O0 cosT 0 )cos2 T 0 ]J2 [D (cosT 0 E1 ].
q0
ˇ̶̡̛̛̱̦ A1,2 (D ) ̛ C1,2 (D ) ̵̨̛̦̥̌̔, ̛̬̖̹̏ ̯̬̖̯̖̽ ̨̛̦̯̖̬̣̦̖̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏
A2 D A1 D X151 G26 sinD z0 G28 cos D z0 X152 ;
Q2 D C2 D C1 D X161 G28 sinD z0 G26 cos D z0 X162 ;
(20)
A1 (D ) [(Q3 (D ) G27 G26Y152 / X152 )sinD z0 (G29 G28Y152 / X152 )cos D z0 ] / X171 ;
C1 (D ) [(G27 Q3 (D ) G26Y162 / X162 )cos D z0 (G29 G28Y162 / X162 )sinD z0 ] / Y171 ,
̖̐̔ ̨̨̭̪̥̯̖̣̦̏̐̌̽̌́ ̴̶̡̛̱̦́ Q3 (D ) ̨̨̱̣̖̯̬̖̯̔̏̏́ ̛̱̬̦̖̦̌̏̀
f
³
S
D Q3 (D ) J1 (DE2r )cos DU dD
J H(1 O0 cosT0 )sinT 0 cosT0 .
(21)
ʿ̛̛̬̦̥̌́ ̨̏ ̛̛̦̥̦̖̏̌ ̭̣̖̱̺̖̖̔̀ ̨̨̭̜̭̯̏̏ ̴̶̡̛̱̦̜ ʥ̖̭̭̖̣́ [5]
r
2 [ sin(DE2[ )
J1 (DE2r )
d[ ,
S ³0 r r 2 [ 2
̛̱̬̦̖̦̖̌̏ (21) ̛̪̬̖̭̯̥̔̌̏ ̏ ̡̨̯̥̌ ̛̖̏̔
f
S
D
Q
(
D
)sin(
DE
r
)cos
DU
d
D
J H(1 O0 cosT 0 )sinT 0 cosT 0 .
2
³ 3
(22)
q1
0
q1
0
ˀ̛̖̹̖̦̖ ̨̨̯̾̐ ̛̱̬̦̖̦̌̏́ ̛̺̖̥ ̏ ̴̨̬̥̖
Q3 (D ) D
2
1
³
F 3 ([ )cos D[ d[ ,
(23)
0
F3 ([ ) – ̡̨̨̦̖̯̬̌́ ̴̶̡̛̱̦́, ̦̖̪̬̖̬̼̦̏̌́ ̥̖̭̯̖̏ ̨̭ ̨̛̛̭̥̏ ̨̨̛̛̪̬̦̼̥̏̔̚
̦̌ ̭̖̥̖̦̯̖̐ [0, 1].
ʦ̨̦̭́ ̛̼̬̙̖̦̏̌́ Q3 (D ) (21) ̏ ̛̱̬̦̖̦̖̌̏ (22) ̛ ̸̛̱̯̼̏̌́, ̸̨̯
f
­S / 2, b2r ! U r [ ;
1
r
D
DE
D
U
[
D
sin(
)cos
(
)
r
d
®
2
³0
b2r U r [ ;
¯0,
̵̨̛̦̥̌̔
̖̐̔
F 3 ([ )
˃̨̐̔̌
Q3 D 2
J H(1 O0 cosT 0 )sinT 0 cosT 0 .
q1
2S sinD
J H 1 O0 cosT 0 sinT 0 cosT 0 .
D 3q1
(24)
ʻ̶̡̨̦̖̌, ̨̛̪̭̯̔̌̏̏ ̨̪̬̖̖̣̘̦̦̼̖̔ ̡̛̯̥̌ ̨̨̬̥̍̌̚ ̨̛̛̛̭̥̭̯̌̏̚ (6), (9), (13),
(18), (19) ̛ (20) ̏ ̴̨̬̥̱̣̼ ̣̔́ ̡̨̨̥̪̦̖̦̯ ̡̨̖̯̬̏̌ ̛̪̖̬̖̥̖̺̖̦̜ (4), ̌ ̯̖̥̌̚ ̛ ̨̯̖̦̬̌̚ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́, ̛̬̖̹̖̦̖ ̨̛̬̭̭̥̯̬̖̥̜̌̌̏̌ ̸̛̌̔̌̚ ̸̨̛̪̣̱̥ ̏ ̛̖̏̔ ̨̛̦̯̖̬̣̐̌̏
ˇ̱̬̖̽.
200
ˌ̨̡̛̥̯̭̜̌̏ ʸ.ʪ., ʶ̶̨̨̛̣̥̖ ʤ.ʻ., ʤ̦̦̖̌̽̏̌ ʽ.ʰ.
3 ʏː˃ˎˋˊ ː˃˒˓ˢˉ˩ːːˑˆˑ ˔ˑ˔˕ˑˢːˋˢ
ˋ̛̭̣̖̦̦̼̖ ̨̛̛̭̭̣̖̦̔̏̌́ ̨̦̪̬̙̘̦̦̌́-̴̨̨̨̨̛̖̬̥̬̦̦̔̏̌̐ ̨̨̛̭̭̯̦́́ ̛̼̣̍
̨̼̪̣̦̖̦̼̏ ̣̔́ ̨̨̨̨̪̬̦̔̐ ̛̥̭̭̌̏̌ ̭ ̴̴̶̡̨̨̛̛̖̦̯̥̾ ʿ̨̱̭̭̦̌̌ Q =0,2 ̛̪̬ a =10. ʻ̌
̛̬̭. 2 ̨̡̨̪̦̌̌̚ ̛̬̭̪̬̖̖̣̖̦̖̌̔ ̵̨̨̛̯̦̭̯̖̣̦̼̽ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽ V r* V r / J H ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́,
ʰ̨̖̭̯̦̏̚, ̸̨̯ ̣̀̍̌́ ̨̡̪̪̼̯̌ ̨̬̭̭̥̯̬̖̯̌̽ ̶̨̪̬̖̭̭ ̴̨̨̛̛̖̬̥̬̦̔̏̌́ ̭ ̶̖̣̽̀
̡̪̬̖̭̯̔̌̌̽̚ ̛ ̛̪̬̖̱̪̬̖̯̔̔̽ ̛̬̬̱̹̖̦̖̌̚ ̛̥̭̭̌̏̌ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̪̬̔ ̨̣̙̦̔̌ ̼̯̍̽
̦̪̬̣̖̦̌̌̏̌ ̦̌ ̛̼̭̦̖̦̖̏́ ̨̨̨̛̥̙̦̭̯̏̚ ̨̡̨̛̛̦̦̖̦̏̏́̚ ̨̦̼̚ ̵̛̛̬̭̯̺̌́̐̏̌̀
̛̦̪̬̙̖̦̜̌́.
ʶ̡̌ ̨̛̦̏̔ (̛̬̭. 2) ̛̛̣̏̍̚ ̨̌̍́̚ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ z = a ̛̬̣̦̼̖̌̔̌̽ Vr ̛̦̪̬̙̖̦̌́́
̣̯̭́̏́̀́ ̡̨̨̦̪̖̬̖̥̖̦̦̜̌̚ ̴̶̡̛̱̦̖̜, ̛̬̭̯̙̖̦̖̌́ ̛̥̖̖̯ ̨̥̖̭̯ ̛̪̬ 9 < z ч 10.
˃̡̛̥̌ ̨̨̬̥̍̌̚, ̏ ̶̨̪̬̖̭̭̖ ̨̛̪̬̖̖̦̏̔́ ̨̨̬̦̜̐ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̏ ̨̡̨̛̬̖̭̯̦̭̯ ̨̌̍́̚ ̨̨̪̭̖̥̖̭̯̦̏ ̨̡̛̦̖̯̏̌̚ ̨̦̌̚ ̵̛̛̬̭̯̺̌́̐̏̌̀ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́, ̸̨̯, ̡̡̌
̨̡̪̣̌̌̌̚ ̡̡̛̪̬̯̌̌, ̨̥̙̖̯ ̛̛̪̬̖̭̯̏ ̡ ̨̨̛̬̦̍̌̏̌̀̚ ̵̛̥̭̯̬̣̦̼̌̐̌̽ ̛̯̬̖̺̦, ̛̬̖̣̖̦̌̔̀̚
̛̥̭̭̌̏̌ ̦̌ ̸̛̭̯̌, ̡ ̨̪̯̖̬̖ ̨̨̨̛̭̪̭̦̭̯̍ ̨̨̛̛̪̬̯̖̜̭̯̏̔̏́ ̨̨̬̦̥̱̐ ̛̣̖̦̔̌̏̀.
ʦ̛̛̣̦̖́ ̡̨̨̛̦̱̭̦̭̯ ̵̨̨̛̪̖̬̦̭̯̏ ̨̌̍́̚ ̦̌ ̵̡̬̯̖̬̌̌
̛̬̭̪̬̖̖̣̖̦̌̔́ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽ Vr
*
̛̦̪̬̙̖̦̜̌́ ̨̪̬̖̭̯̣̖̦̔̌̏ ̦̌ ˀ̛̭. 2 – ˀ̛̭̪̬̖̖̣̖̦̖̌̔ V r ̏ ̨̡̨̛̬̖̭̯̦̭̯ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̛̪̬
O = 0,6, T0 = S/3
̛̬̭. 3.
ʻ̨̖̯̬̱̦̔ ̛̖̯̏̔̽, ̸̨̯ ̭
̸̛̛̱̖̣̖̦̖̥̏ ̛̬̱̭̌̔̌ ̱̣̐̌
̡̨̦̣̦̌̌ T0 ̛̥̖̖̯ ̨̥̖̭̯ ̨̛̬̭̯̦̖̏̌̌̚ ̶̶̡̨̛̛̦̖̦̯̬̌ ̵̛̛̬̭̯̺̌́̐̏̌̀ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽ ̛̦̪̬̙̖̦̜̌́
̛ ̛̪̬ T0 = S/2 ̸̡̡̛̛̪̬̯̖̭̌ ̵̨̛̛̪̬̥̔ ̡ ̸̛̦̖̦̥̌́̚ Vr ̨̥̣̌ ̸̖̥
̸̵̨̛̛̯̣̺̭̌̀́ ̨̯ ̵̛ ̸̛̦̖̦̜̌̚ ˀ̛̭. 3 – ˀ̛̭̪̬̖̖̣̖̦̖̌̔ V r* ̏ ̨̡̨̛̬̖̭̯̦̭̯ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̏ ̛̪̬̌̚ ̨̡̨̪̣̭̜ ̴̨̬̥̖ ̵̨̨̨̛̛̛̪̖̬̦̭̥̭̯̏̏ ̨̯ ̡̨̨̛̦̱̭̦̭̯ ̵̨̨̛̪̖̬̦̭̯̏ ̨̌̍́̚ ̛̪̬
O = 0,6
̛̭̯ ̨̌̍́̚. ʦ ̸̭̣̱̖̌, ̡̨̐̔̌
T0 = S/6 ̸̛̦̖̦̌́̚ ̵̛̬̣̦̼̌̔̌̽
̛̦̪̬̙̖̦̜̌́ ̛̛̣̏̍̚ ̨̌̍́̚ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ ̨̛̪̬̥̖̬̦ ̦̌ 20 % ̛̦̙̖, ̸̖̥ ̛̪̬ T0 = S/2.
ˁʿʰˁʽʶ ʸʰ˃ʫˀʤ˃˄ˀˏ
1. ˀ̱̪̪̖̦̖̜̯ ʶ.ʦ. ʪ̴̨̨̛̖̬̥̬̱̖̥̭̯̽ ̵̨̛̯̬̖̺̦̯̼̏̌ ̵̨̬̦̼̐ ̨̨̪̬̔. – ʺ.: ʻ̖̬̔̌, 1975. – 224 ̭.
2. ʿ̶̛̖̬̖̪̖̣̌ ʦ.ʧ., ʶ̶̨̨̛̣̥̖ ʤ.ʻ., ˌ̨̡̛̥̯̭̜̌̏ ʸ.ʪ. ʽ ̛̛̬̖̹̖̦ ̨̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̦̦̜̌̏ ̸̛̌̔̌̚ ̵̡̛̛̥̖̦̌ ̵̨̬̦̼̐
̨̨̪̬̔ ̣̔́ ̨̨̨̛̬̦̯̣̦̜̐̌̽̚ ̨̡̛̼̬̯̏̌̍ // ˃̬̱̼̔ ˄̡̡̨̛̬̦̭̌-ʿ̨̡̨̨̣̭̽̐ ̛̭̖̥̦̬̌̌ «Theoretical Foundations of
civil engineering». – ʪ̨̨̡̦̖̪̬̪̖̯̬̭̏ – ʦ̬̹̌̌̏̌, 2010. – C. 259-263.
3. ʸ́̏ ʤ. ʺ̸̡̛̯̖̥̯̖̭̌̌̌́ ̨̛̯̖̬́ ̨̛̱̪̬̱̭̯̐. – ʺ. – ʸ.: ʽʻ˃ʰ ʻʶ˃ʿ ˁˁˁˀ, 1935. – 674 ̭.
4. ʰ̦̯̖̬̣̦̼̖̐̌̽ ̛̱̬̦̖̦̌̏́ / ʯ̡̨̬̖̜̌̍ ʿ.ʿ. ̛ ̬̔. – ʺ.: ʻ̡̱̌̌, 1968. – 448 ̭.
5. ʧ̬̹̯̖̜̦̌̔ ʰ.ˁ., ˀ̡̛̼̙ ʰ.ʺ. ˃̶̛̣̼̌̍ ̨̛̦̯̖̬̣̐̌̏, ̭̱̥̥, ̨̬́̔̏ ̛ ̨̛̛̪̬̖̖̦̜̏̔̚. – ʺ.: ʻ̡̱̌̌, 1971. – 1180 ̭.
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