close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Лекция 2.7. Производные и дифференциалы
высших порядков
Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции,
дается геометрическая интерпретация первого дифференциала
и доказывается его инвариантность.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности
точки x0 и пусть ∆ y = f ( x0 + ∆x ) – f ( x0 ) = f ( x) – f ( x0 ) –
приращение функции в точке x0 , соответствующее приращению
аргумента ∆ x = x – x0 .
Определение. Если приращение функции в точке x0 можно
представить в виде
(1)
∆ y = A ⋅ ∆ x + o (∆ x ) при ∆ x → 0,
где A – величина, не зависящая от ∆ x , то функция
y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, а линейная
часть приращения функции A ⋅ ∆ x называется дифференциалом
функции в точке x0 и обозначается
(
)
dy = d f ( x0 ) = A ⋅ ∆ x .
Таким образом,
(2)
∆ y = dy +o(∆ x ) при ∆ x → 0.
Из (1) видно, что приращение функции ∆ y и её дифференциал
являются эквивалентными бесконечно малыми в точке x0.
Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в
точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела
производную в этой точке.
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке x0,
т.е. имеет место равенство (1). Разделив обе части этого
равенства на ∆ x ≠ 0 и переходя к пределу, найдём
∆y
o( ∆x )
= A + lim
= A.
(3)
lim
∆ x→0 ∆x
∆ x→0
∆x
2
Из (3) видно, что производная существует и равна A, т.е. y ′ =
f ′( x0 ) = A. Необходимость доказана.
Пусть теперь производная существует
f ′( x 0 ) =
lim
∆ x→0
∆y
.
∆x
∆y
= f ′( x0 ) + α ( x) , или ∆ y =
∆x
= f ′( x0 ) ⋅ ∆ x + o (∆ x ). Последнее равенство совпадает с (1) и
означает дифференцируемость функции в точке x0. Теорема
доказана.
Из теоремы следует, что
(4)
dy =A ⋅ ∆ x = f ′( x0 ) ∆ x .
Согласно лемме в Лекции 2.3
Если y = x , то согласно (4) dy = dx = ∆ x . Учитывая это, (4)
перепишем в виде dy = f ′( x0 ) dx . Из последней записи следует
dy
, т.е. производная функции есть отношение
f ′( x 0 ) =
dx
дифференциалов функции и независимого переменного.
Проведём к графику функции y = f ( x) касательную в точке M0
( x0 , y0 ). Из чертежа видно, что MB
y
M
= ∆ y – приращение функции в
точке x0, а AB = ∆ x ⋅ tg α =
= f ′( x0 ) ∆ x = dy –
A
приращение ординаты касательной
M0
α
в точке M0, равное дифференциалу.
B
Отсюда ясен геометрический смысл
x
дифференциала.
x0
x 0 + ∆x
0
Перепишем (2) следующим образом:
y – y0 = f ′( x0 ) ( x – x0 ) + o (∆ x ), или
(5)
y ≈ y0 + f ′( x0 ) ( x – x0 ).
Сравнивая (5) с уравнением касательной, мы видим, что всякую
дугу дифференцируемой кривой в окрестности точки x0 можно
3
с точностью до бесконечно малой высшего порядка
относительно ∆ x заменить на отрезок касательной, т.е.
линеаризовать функцию, выделить её линейную часть.
Рассмотрим теперь правила нахождения дифференциала.
Теорема 2. Если каждая из функций u( x) и v( x)
дифференцируемая в точке x0, то их сумма, произведение и
частное также дифференцируемые функции в этой точке, при
этом
1) d ( u ± v) = du ± dv ,
2) d ( uv) = v du + u dv ,
vdu − udv
 u
3) d   =
, v ( x0 ) ≠ 0.
 v
v2
Докажем второе утверждение теоремы (первое и третье
доказываются аналогично). Поскольку дифференцируемые
функции имеют производные, то пользуясь (4) и теоремой 1
Лекции 2.5, получим
′
d ( uv) = ( uv) dx = ( u ′v + uv ′) dx = v ( u ′dx) + u ( v ′dx) = v du + u dv .
Теорема доказана.
Поскольку
производная
постоянной
равна
нулю
и
дифференциал от неё равен нулю dc = 0. Тогда из второго
утверждения теоремы 2 следует d ( cu) = cdu , т.е. постоянную
можно выносить за знак дифференциала.
Рассмотрим сложную функцию, являющуюся суперпозицией
двух функций y = F ( x) = f ( u) = f ( g( x) ) .
Предполагая все условия теоремы 2 Лекции 2.5 выполненными,
найдём
(6)
dy = F ′( x ) dx = Fu′ ⋅ ux′ dx = Fu′ du , или Fx′ dx = Fu′ du .
Из (6) видно, что форма записи дифференциала не меняется от
того, является ли переменная независимой или зависимой
(окончательной или промежуточной). Это свойство называют
инвариантностью формы первого дифференциала.
4
Если функция y = f ( x) дифференцируемая на интервале ( a , b ),
то её производная y ′ = f ′( x) является функцией и тоже может
иметь производную. Производная от производной называется
′
второй производной (производной второго порядка) ( f ′( x) ) =
y ′′ = f ′′( x) = = f ( 2 ) ( x) . Производная f ′( x) называется
производной первого порядка. Аналогично определяются
′
производные более высокого порядка f ( n ) ( x) = ( f ( n −1) ( x)) .
Пример 1. Доказать, что
π
( sin x) ( n ) = sin  x + n , n ∈ N.
(7)

2 
Доказательство проведём методом математической индукции
(индукция может быть неполной, полной и математической),
который заключается в следующем: проверяется утверждение
при n = 1; если из предположения, что оно верно при n следует,
что оно верно и при n + 1, то делается вывод, что утверждение
верно при любом натуральном n . Итак, проверим (7) при n = 1
π

′
. ( sin x ) = cos x = sin  x +  . Формула (7) выполняется. Пусть

2
(7) верно при n . Найдём ( n + 1)-ю производную.
′
π 
π 
 

( n) ′
( n+1)
( sin x )
=  sin x + n  = cos  x + n =
= (sin x )

 
2 
2 
(
)
π


=sin  x + ( n + 1) . Как видно, формула (7) верна и при n +1,


2
следовательно по методу математической индукции она верна
при любом натуральном n .
Можно проверить, что
π 

(cos x) ( n ) = cos  x + n .
(8)
2
Аналогично можно доказать, что
1) (cu( x))
( n)
= cu ( n ) ( x) ,
5
2) ( u( x) ± v( x) )
3) ( uv)
(n)
(n)
= u ( n ) ( x) ± v ( n ) ( x) ,
n
= ∑ cnk u (k )v (n − k ) .
k =0
Последняя формула называется формулой Лейбница. Она
напоминает бином Ньютона, при этом u ( 0) = u( x) .
Пример 2. Найти n -ю производную функции y = x 2 e x .
Решение. Воспользуемся формулой Лейбница. Пусть u = = x 2 ,
тогда u ′ = 2 x , u ′′ = 2, u ( 3) = 0 и все последующие производные
равны нулю. Пусть v = e x , т.к. ( e x )
( n)
= e x , то по формуле
Лейбница получим
( x e )( )
2 x
n
= cn0 x 2 e x + cn1 2 x e x + cn2 2 e x = ( x 2 + 2nx + n( n − 1) ) e x .
Пример 3. Найти вторую производную от функции, заданной
параметрически x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) , t ∈ E.
Решение.
Используя
(11)
Лекции
2.6
и
правила
дифференцирования сложной функции, получим
 ψ ′( t )  ′  ψ ′( t )  ′
ψ ′′ϕ ′ − ϕ ′′ψ ′
. (9)
y xx′′ = 
 =
 ⋅ t x′ =
3
 ϕ ′( t )  x
 ϕ ′( t )  t
(ϕ ′ )
Пусть функция y = f ( x) дифференцируема на некотором
интервале. Тогда первый дифференциал dy = f ′( x) dx является
функцией x , а dx = ∆x считается независимым от x , если x –
независимая переменная. Поэтому при нахождении второго
дифференциала d 2 y , т.е. дифференциала от дифференциала, dx
просто выносится за знак дифференциала как постоянная.
′
d 2 y = d ( dy) = d ( f ′( x) dx) = d ( f ′( x) ) dx = ( f ′( x) ) dx ⋅ dx =
f ′′( x) dx 2 .
Здесь dx 2 = ( dx) . Заметим, что d 2 x = d ( dx) = 0, если x –
независимая переменная. Методом математической индукции
можно доказать, что
(10)
d n y = d ( d n−1 y) = f ( n ) ( x) dx n .
2
6
Из (10) следует, что
dny
.
(11)
f ( x) =
dx n
Рассмотрим теперь сложную функцию y = f ( u) = f ( g( x) ) .
Используя инвариантность формы первого дифференциала,
запишем dy = f u′ du . Здесь u = g( x) не является независимой
переменной, поэтому du = g ′( x ) dx не является постоянной
величиной. Найдём второй дифференциал от сложной функции.
(n)
d 2 y = d ( f u′du) = d ( f u′) du + f u′ d ( du) = f uu′′ du 2 + f u′ d 2 u .
(12)
Сравнивая (12) с (10), видим, что второй дифференциал не
обладает инвариантностью формы. Очевидно, не обладают
инвариантностью формы и все последующие дифференциалы.
Понятие
высших
производной
и
дифференциала
r
распространяется на вектор-функцию r ( t ) , при этом
r
r (n) r
(n)
(n)
n r
(
)
(
)
(
)
=
d r t
( x t i + y t j + z ( t ) k ) dt n .
r
Пусть τ – единичный вектор касательной к траектории
r r
r
r r
r ′
движения точки. Поскольку ( τ , τ ) = τ 2 = 1, то (τ 2 ) = =2 τ ⋅ τ& =
r
r
r
0, т.е. векторы τ и τ& взаимно перпендикулярные. Если τ
r
определяет направление касательной, то вектор τ& определяет
направление главной нормали к траектории движения.
r
Если скорость v движения точки по траектории определяется
r
r
r r
r
первой производной v = r& ( t ) = v ⋅ τ = v ⋅ τ , то ускорение,
очевидно, определяется второй производной от радиус-вектора.
r ′
r
r
r
r
(13)
r&& ( t ) = w = ( v ⋅ τ ) = v ′τ + vτ& .
r
r
r
Можно доказать, что τ& = kv ⋅ n0 , где n0 – единичный вектор
r r
r& × r&&
– кривизна траектории. Величину
главной нормали, а k =
v3
7
обратную кривизне называют радиусом кривизны
1
k
ρ= .
Перепишем (13)
r v2 r
r
r
r
n0 = wτ τ + wn n0 .
w = v′ τ +
(14)
ρ
Равенство (14) даёт разложение ускорения на касательную
dv
составляющую wτ =
и нормальную составляющую
dt
v2
wn = .
ρ
Пример 4. Найти ускорение движения точки и его касательную
и нормальную составляющие в момент времени t =
π
2
(см. пр.1
Лекции 2.6).
Решение. Согласно (13) найдём
r
r
r &&r
w = r ( t ) = sin t i + cos t j .
′
dv 
2
t
t
r π r r π
=
.
w t = = i , w t = = 1, wτ = =  2 sin  = cos
2
2
2
dt 
2
2 t=π
2
π
Найдём кривизну траектории в момент времени t = .
2
r r r
i j k
r& &&r
&&& − &&&
xy = cos t − 1 t = π = 1.
r × r = x& y& 0 = xy
2
&&
x &&
y 0
r r
r& × r&&
1
Учитывая, что v = 2 , получим k =
=
. Тогда
v3
2 2
1
2 r
2 r r
v2
2
r
r
, w = wτ τ + wn n0 =
=
ρ = = 2 2 , wn = =
(τ + n0 ) .
2
k
ρ 2 2 2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа