close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Производные и
дифференциалы
высших порядков.
Формула Тейлора
Лекция 9
1
Производные высших порядков
• Пусть функция y  f ( x)
имеет на интервале(a, b)
производную y  f ( x) . Эта производная в свою
очередь также может иметь производную, которая
называется второй производной y  ( f ( x)) .
Аналогично определяется n-ая производная
равенством
.
y(n)  ( f (n1) ( x))
• Пример.
(e x ) ( n )  e x ,
( x n )( n )  n !


(sin x)  cos x  sin( x  ), (sin x)   sin x  sin( x  2)
2
2
(sin x)
(n)
 sin( x 

2
n)
2
Производные функций, заданных
параметрически
• Вычислить вторую производную yxx
заданной параметрически
 x  x(t )
t  ( ,  ).

 y  y (t )
• Пример. Вычислить yxx циклоиды.
функции ,
 x  R(t  sin t )
   t   .

 y  R(1  cos t )
Получено
yx  ctg
t
2
3
Производные функций, заданных неявно
• Вычислить вторую производную
заданной неявно
yxx
функции,
x2  y 2  r 2
4
Дифференциалы высших порядков
• Определим дифференциал второго порядка
d 2 y  d (dy )  d ( f ( x )dx )  f ( x )(dx )2  f ( x )dx 2
• Аналогично определяется дифференциал n-го
порядка
(n1)
(n1)
(n)
d n y  d (d
y )  dx n1d ( f
( x))  f
( x)dx n .
• Отсюда
f
( n)
dny
( x)  n
dx
5
Дифференциал второго порядка сложной
функции
• Найдём дифференциал d 2 y ( x)
сложной функции
y  f ( g ( x)).
второго порядка
• Обозначим u  g ( x) В силу инвариантности формы
первого дифференциала
dy  yu du
• Из формулы дифференциала произведения
получаем
d 2 y  d ( yu du )  d ( yu )du  yu d (du ) 
 (du ) 2  yu d 2u
 yuu
6
Формула Тейлора для многочлена
n
P
(
x
)

b

b
x


b
x
• Теорема. Если
многочлен
n
n
0 1
n-ой степени, то коэффициенты разложения этого
многочлена по степеням ( x  x0 )
Pn ( x)  a  a ( x  x )   an ( x  x )n
0 1
0
0
• имеют вид
( n)
Pn ( x )
Pn ( x )
0 , ,a 
0
a  Pn ( x ), a 
n
0
0
1
1!
n!
• т.o. справедлива формула Тейлора для многочлена
(k )
P
n n ( x0 )
Pn ( x)  
( x  x )k
0
k!
k 0
7
Многочлен Тейлора.
• Пусть y  f ( x) произвольная функция, имеющая n
производных в точке x0
. Многочлен вида
(k )
f
(x )
n
0 ( x  x )k
Qn ( x)  
0
k!
k 0
• называется многочленом Тейлора n- ой степени
функции y  f ( x)
по степеням x  x0
.
• Справедливы равенства
f ( x )  Qn ( x ), f ( x )  Qn ( x ),
0
0
0
0
, f
( n)
( x )  Qn
0
( n)
( x ).
0
8
Замечание 1
• Таким образом, значение многочлена Тейлора n-ой
степени и всех его n производных в точке x равны
0
соответствующим значениям функции и её
производных.
9
Формула Тейлора
• Разность rn ( x)  f ( x)  Qn ( x) называется
остаточным членом формулы Тейлора. Отсюда
f ( x)  Qn ( x)  rn ( x)
• т.о. справедливо равенство
(k )
f
(x )
n
0 ( x  x )k  r ( x),
f ( x)  
n
0
k
!
k 0
• которое называется формулой Тейлора для
функции y  f ( x).
10
Замечание 2
В силу замечания 1 справедливы следующие
равенства:
r ( x )  f ( x0 )  Q ( x0 )  0,
0
r ( x )  f ( x )  Qn ( x )  0,
0
0
0
r
( n)
(x )  f
0
( n)
( x )  Qn
0
( n)
( x )  0.
0
11
Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано
• Теорема. Если функция y  f ( x) определена в
окрестности точки x0 и имеет n
производных
в окрестности точки x0 , то справедлива формула
Тейлора
(k )
f
(x )
n
0 ( x  x ) k  o( x  x ) n .
f ( x)  
x  x0
0
0
k
!
k 0
n
r
(
x
)

o
(
x

x
)
• Остаточный член n
называется
0
остаточным членом в форме Пеано.
12
Формулы Тейлора основных элементарных
функций.
• Если x0  0 , то формула Тейлора называется
формулой Маклорена
• Справедливы следующие формулы Тейлора для x0  0
т.е. формулы Маклорена разложения
элементарных функций :
2
n
x
x
ex  1 x 
 
 o( x n ), x  0
2!
n!
2n1
x3 x5
x
sin x  x 

  (1)n1
 o( x 2n ), x  0
3! 5!
(2n  1)!
13
Продолжение
• Справедливы также формулы
2n
x2 x4
x
cos x  1 

  (1)n1
 o( x 2n1), x  0
2! 4!
(2n)!
x2
xn
n

1
ln(1  x)  x 
  (1)
 o( x n ), x  0
2
n
 (  1) 2

(1  x)  1   x 
x  
2!
 (  1) (  n  1) n

x  o( x n ), x  0
n!
14
Примеры
x3  3x 2  5 x  1 по
• В разложении многочлена
степеням x  1 найти коэффициент при ( x  1) 2
• Д.З
• Найти коэффициент при x 4
в разложении по
2
формуле Маклорена функции y  cos x
• Найти коэффициент при x 5
формуле Маклорена функции
в разложении по
y  x 3 1  x2
15
Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа
• Теорема. Если функция y  f ( x) определена в
окрестности точки x0 вместе со своими
производными до порядка n  1 включительно, то
для любой точки x из этой окрестности
справедлива формула Тейлора
(k )
(n1)
f
(x )
n
f
(c )
k
0
f ( x)  
(x  x ) 
( x  x )n1,
0
0
k!
(n  1)!
k 0
• где точка c
лежит между точками x
и x0
.
16
Линеаризация функций
• Используя первые 2 члена разложения формулы
Тейлора, можно получить представление функции
в виде
f ( x)  f(x +)0
f (x )0
(x - x )0  o( x  x0 ), x  x0
1!
• Линейная часть этого представления называется
линеаризацией функции f ( x) в окрестности точки x0
.
• Пример 1. Найти линеаризацию функции
y  (2 x  1)sin( x  1)
• в окрестности точки x 1.
17
Пример 2
1 2
• Разложить функцию y  x  ln x по формуле
2
Тейлора в окрестность точки x0  1
, используя
многочлен Тейлора 2-й степени.
18
Решение примера
• Формула Тейлора с многочленом Тейлора второго
порядка имеет вид
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )2  o( x  x0 )2 (1)
1!
2!
• Разложим по формуле Тейлора отдельно f1( x)  1 x2
2
и f ( x )  ln x , и по условию x  1 .Имеем
0
2
f1(1)  1 , f1( x)  2 x, f1(1)  1, f1( x)  1, f1(1) 1,
2
2
• следовательно, по формуле Тейлора (1)
x2  1  1 ( x 1)  1 ( x 1)2.
2 1!
2!
(2)
19
Продолжение решения примера
• Объяснить отсутствие o( x  x0)2 в формуле (2)!
• Для разложения f 2 ( x )  ln x используем формулу
стандартного разложения ln(1  x ) по степеням x
x2
ln(1  x )  x 
 o( x 2 ), x  0.
2
• Получаем
( x  1)2
ln x  ln(1  ( x  1))  x  1 
 o( x  1) 2 , x  1. (3)
2
1 2
• Подставим формулы (2) и (3) в f ( x )  x  ln x .
2
20
Продолжение решения примера
• Получаем Формулу Тейлора исходной функции
1 1
1
1 2
x  ln x   ( x  1)  ( x  1) 2 
2
2 1!
2!
( x  1) 2
[ x  1 
 o( x  1) 2 ], x  1
2
• Отсюда
1
1 2
y  x  ln x   ( x  1)2  o( x  1) 2 , x  1
2
2
21
График функции
• График параболы
y
1
 ( x  1)2 можно построить
2
1
путём параллельного переноса параболы y   x 2
на единицу вправо.
2
y
y
1
 ( x  1)2
2
0, 5
x
0
1
22
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа