close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Неопределенный интеграл

код для вставкиСкачать
17
Т е м а 4
Неопределенный интеграл
Интегральное исчисление является составной частью
математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а
именно в тех случаях, когда по виду известной производной требуется найти вид самой функции.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики",
М., 1998, с.59-64, 66.
В процессе подготовки к практическому занятию по
теме необходимо
выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1) Понятие производной функции одной переменной.
2) Основные формулы дифференцирования.
3) Понятие дифференциала функции.
4) Понятие первообразной функции.
П. Изучить по указанной литературе следующие теоретические вопросы:
1) Понятие неопределенного интеграла.
2) Основные свойства неопределенного интеграла
3) Таблица основных интегралов.
4) Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование.
б) интегрирование методом подставки.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Найти интеграл  ( x 2  x  2)dx
Решение
В соответствии с одним из свойств неопределенного интеграла: интеграл алгебраической суммы нескольких функций
равен алгебраической сумме неопределенных интегралов слагаемых. Поэтому
 (x
2
 x  2)dx   x 2 dx   xdx   2dx
Используя другое свойство неопределенного интеграла, в
соответствии с которым постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить из под знака интеграла, получаем:
2
2
 x dx   xdx   2dx   x dx   xdx  2 dx
18
Применяя формулу интегрирования степенной функции
x n 1
n
 x dx  n  1  C
при нахождении каждого из трех интегралов в правой части,
окончательно получаем:
x3 x2
2
2
 ( x  x  2)dx   x dx   xdx  2 dx  3  2  2 x  C
Найти самостоятельно следующие интегралы:
2
1)  (2 x 2  5x  6)dx
2)  ( x  1) dx
Задача 2. Найти

x  1dx
Решение
Введем новую переменную t  x  1 и выразим дифференциал
dx через dt . В соответствии с определением дифференциала,
имеем:
dt  t dx  ( x  1)dx  dx , отсюда dx  dt
Подставив t в подынтегральное выражение, получим:

x  1dx  
1
2
1
1
2
3
t
2
t dt   t dt 
C  t2 C
1
3
1
2
Возвращаясь к первоначальной
тельно получим:
3
2 2
2
x

1
dx

t

C

( x  1) 3  C

3
3
Найти самостоятельно следующий интеграл:
Задача 3. Найти
 cos
2
x , оконча-
переменной

dx
4x  3
x sin xdx
Решение
Введем новую переменную t  cos x . Выразим дифференциал
dx через dt . Для этого, дифференцируя выражение cos x  t ,
последовательно получим
dt
d (cos x)  dt ;  sin x dx  dt ; dx  
sin x
Подставляем в подынтегральное выражение
t3
2
2
 cos x sin xdx   t dt   3  C
19
Возвращаясь
тельно получим
2
 cos x sin xdx  
к
первоначальной
переменной
x , оконча-
cos 3 x
C
3
Найти самостоятельно следующие интегралы:
2
1)  cos 7 xdx
2)  sin x  cos xdx
Задача 4. Найти
n  0.
e
nx
dx , n - постоянный коэффициент,
Решение
Введем новую переменную t  nx , дифференцируем:
dt
d (nx)  dt ; ndx  dt , отсюда dx  . Тогда
n
e
nx
dx   e t 
dt 1 t
1
  e dt  e t  C
n n
n
Возвращаясь к первоначальной переменной х, окончательно получим:
1 nx
nx
e
dx

e C.

n
Найти самостоятельно следующие интегралы:
1)
3x
e
 dx
2)
 sin x  e
cos x
dx
Задача 5. Скорость тела задана выражением V  (6t 2  2t ) ,
где скорость измеряется в м/с, а время - в секундах. Найти
зависимость координаты тела от времени (уравнение движения), если через 3 секунды после начала движения координата тела оказалась равной 60 м.
Решение
По определению скорости
V 
dx
,
dt
тогда в нашем случае
dx
 (6t 2  2t ) .
dt
Отсюда dx  (6t 2  2t )dt .
Интегрируя, получаем:
t3
t2
x(t )   (6t  2t )dt  6 t dt  2 tdt  6  2  C  2t 3  t 2  C .
3
2
Используя дополнительное условие задачи x(3)  60 , получим:
x(3)  2  33  32  C  60 , откуда C  3 .
2
2
20
Таким образом,
имеет вид:
уравнение
движения
тела
окончательно
x(t )  2t 3  t 2  3 (м).
Решить самостоятельно следующую задачу:
Скорость точки задана уравнением V  (2t  4) ) м/с. Найти
уравнение движения точки, если в начальный момент времени
координата точки равна О.
Задача
6.
Изменение
численности микроорганизмов за
dN
 100t 2 . Определить заединицу времени задается формулой
dt
висимость количества микроорганизмов N от времени, если
при t  0 N (0)  100 .
Решение
dN
 100t 2 можно определить зависимость числа
dt
t3
2
микроорганизмов от времени N (t )   100t dt  100  C .
3
Из формулы
Чтобы определить значение константы интегрирования C ,
нужно воспользоваться начальными условиями, т.е. N (0)  100 .
N (0)  100 
03
 C . Отсюда N (0)  C , C  100 .
3
100 3
t  100 .
3
Следовательно, количество микроорганизмов увеличивается со временем пропорционально третьей степени времени,
начиная со значения N  100 в начальный момент времени.
Тогда получаем результат N (t ) 
Решить самостоятельно следующую задачу
Сила, действующая на тело в направлении движения, изменяется со временем по закону F  2t (H). Найти скорость
тела в любой момент времени, зная, что в момент t  0 она
была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.
21
Задачи для решения на практическом занятии:
1.  x 5 dx
2.  (1  4 x)(1  2 x)dx
3x 2  4 x  6
dx
3. 
x2
dx
1 x
dx
5. 
(1  x) 2
4. 
6. 
2 xdx
x2 1
7.  x 2 x 3  1dx
2x  1
dx
8.  cos
3
9.  5 x  1dx
10.
 sin(5x  1)dx
11.
 sin
12.
 sin
13.
dx
 x ln x
3
x  cos xdx
ctgx
dx
2
x
14.
dx  ln x
 x
15.
 tgx  dx
16.
x
 e  x  dx
2
Решить задачи
1) Составить уравнение движения тела, если скорость тела V  t 2  2t  5 (м/с), а при t=0 тело находилось в точке x  0 .
2) Скорость тела пропорциональна квадрату времени. Составить уравнение движения тела, если известно, что через
3 с координата тела x  18 см, а в начальный момент времени
x0  0 .
3) Ток в цепи, содержащей конденсатор, изменяется с
течением времени по закону I  I 0 sin t , где I 0 ,  - постоянные
величины. Определить, как изменяется со временем заряд
конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален,
заряд конденсатора равен нулю.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа