close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Факультет «Экономика и финансы».
Использование понятия определенного интеграла в экономике
1) Пусть функция z  f x  описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции
Qt1 , t 2  , произведенной за промежуток времени [t1 , t 2 ] , вычисляется
по формуле:
Qt1 , t 2  
t2
 f t dt
(1)
t1
Пример 1. Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией z  32  2 0,5t 5 , где t – время в месяцах. Найти объем продукции, произведенной: 1) за первый месяц; 2) за третий месяц; 3) за шестой месяц; 4) за
последний месяц года, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.
Решение.
Q t1, t2  
По формуле (1) получаем:
 32  2
t2
dt  32  dt   2
 0,5t  5
t1
 32t2  t1  

t2
t2
t1
t1
 0,5t  5
dt 
t2
t
32t t2
1
2  0,5t  5
 2

ln 2 t
1

64  0,5t2
2
 2  0,5t1 .
ln 2
Тогда:
Q0, 1  321  0 


64 0,5
2
 2 0  4,95 ;
ln 2




Q2, 3  323  2 
64 0,53
2
 2 0,52  18,48 ;
ln 2
Q5, 6  326  5 
64 0,56
2
 2 0,55  27,22 ;
ln 2
Q11, 12  3212  11 


64 0,512
2
 2 0,511  31,4 .
ln 2
Сравнивая полученные результаты, можно заметить, что основная работа по внедрению данного технологического процесса приходится на вторую половину года.
1
Факультет «Экономика и финансы».
2) Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности производства связана с использованием, например, так
называемых функций Кобба – Дугласа g  b0 x1b1 x 2b2 , где g – величина
общественного продукта, x1 – затраты труда, x 2 – объем производственных фондов. Если считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то функция примет
вид g t   t    e t . Тогда объем выпускаемой продукции за T лет
составит:
T
Q   t    e t dt
(2)
0
Пример 2. Найти объем продукции, выпускаемой за 4 года, если функция
Кобба - Дугласа имеет вид g t   1  t  e 3t .
Решение.
По формуле (2) объем Q произведенной продукции равен
4
Q   1  t  e 3t dt .
0
Применяя формулу интегрирования по частям, имеем: u  t  1, dv  e 3t dt .
1
Тогда du  dt , v   e 3t dt  e 3t .
3
1
Q  1  t e 3t
3
4
0


4
1 4 3t
1
1
  e dt  5e12  1  e 3t
30
3
9

0


1
14e12  2  2,53  10 5 .
9
3) В разделе 2 при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот
поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо
закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функциn
ей R t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна  f ( t )dt .
0
В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n
сумма составит:
n
S =  f(t)e (n
- t)
dt .
0
Современная величина такого потока равна
n
A =  f(t)e- tdt .
0
2
Факультет «Экономика и финансы».
Пусть функция потока платежей является линейной: Rt = Ro + at, где
Ro - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:
n
n
n
0
0
0
A =  (R 0  at) e-  tdt =  R 0 e-  tdt +  at e -  tdt .
n
Обозначим A1 =  R 0 e
- t
n
A2 =  at e -  tdt .
dt ,
n
0
0
n
0
0
Имеем: A1= R 0  e -  tdt = – Ro/ e-  t = – Ro/( e-  n – eo) = – Ro/( e-  n -1) =
n
= Ro( e-  n -1)/.
A2 = a  t e -  tdt .
0
Вычислим неопределенный интеграл  t e-  tdt по частям:
dv = e -  t dt  du = dt, v =
u = t,
dt = – t e -  t / + 1/
Следовательно,
te
- t


e-  tdt = – e -  t /, тогда
e-  tdt = – t e -  t / (t+1/) +C.
n
A2 = -a t e -  t / (t+1/) = ((1- e-  n )/ - n e-  n )a/.
0
Итак, исходный интеграл
A = A1 + A2 = Ro( e-  n -1)/ + ((1- e-  n )/ - n e-  n )a/.
4) Неравномерность распределения доходов среди населения,
кривая Лоренца
y
A
1
yx
B
y  f (x)
0
C
1
Рис. 1
x
Рассмотрим функцию y  f (x) , характеризующую неравномерность распределения доходов среди населения, где y – доля
совокупного дохода, получаемого долей x
беднейшего населения. График этой функции называется кривой Лоренца (рис. 1).
0  f ( x)  x
Очевидно,
что
при
x [0; 1] . и неравномерность распределения
доходов тем больше, чем больше площадь
фигуры OAB.
3
Факультет «Экономика и финансы».
Поэтому в качестве меры указанной неравномерности используют так
называемый коэффициент Джини k, равный отношению площади фигуры
OAB к площади треугольника OAC.
Пример 3.
По данным исследований о распределении доходов в одной из стран кривая
x
Лоренца может быть описана уравнением y 
, где x [0; 1] . Вычис3  2x
лить коэффициент Джини k.
Решение. По формуле вычисления площади плоской фигуры получим:
1
1


x 
x  1,5  1,5 
1
3


 x 
dx 
dx    x 
dx    x  


3

2
x
2
x

3
2
2
2
x

3






0
0
0
1
S OAB
x2

2
1

0
1 1 3
1
x 0  ln 2 x  3 0  1  0,75 ln 3  0,176 .
2
4
Тогда k 
SOAB 0,176

 0,352 .
SOAC
0,5
5) Пусть p  f (x) - кривая спроса D на некоторый товар и p  g (x) - кривая
предложения S, где p –цена на товар, x – величина спроса (предложения). Обозначим через x0 , p0  точку рыночного равновесия (рис. 2).
Доход от реализации количества товара x0 по равновесной цене p0
равен произведению x0 p0 .
Если предполагать непрерывное
снижение цены от максимальной
pD  f 0 до равновесной p0 по мере
удовлетворения спроса, то доход соста-
p
p  f x 
pD
S
x0
C
вит
 f x dx
. Величина денежных
0
p0
P
D
p  g x 
Рис. 2
 f x dx  p0 x0
сберегается
0
x0
0
средств C 
x0
x
потребителями, если предполагать продажу товара по равновесной цене p0 ,
поэтому C называется выигрышем потребителей.
4
Факультет «Экономика и финансы».
x0
Аналогично, величина P  p0 x0   g  x  dx называется выигрышем по0
ставщиков. Величины C и P численно равны площадям соответствующих
криволинейных треугольников (рис. 2).
Пример 4.
Найти выигрыши потребителей и поставщиков в предложении установления
рыночного равновесия, если законы спроса и предложения имеют вид:
11
p  186  x 2 , p  20  x .
6
Решение. Решая систему
 p  186  x 2 ,


11
 p  20  x,
6

найдем точку рыночного равновесия: x0  12, p0  42 .
Тогда C 
 186  x
12
0
12
2
dx  12  42
12
 186 x 0
x3

3
12
 504  1152 ,
0
2
11 
12 11 x

P  12  42    20  x  dx  504  20 x 0  
6 
6 2
0
12
 132 .
0
Вопросы для самоконтроля
1. Как вычисляется объем продукции, произведенной за промежуток времени [t1 , t 2 ] ?
2. Напишите формулу для вычисления объема выпускаемой продукции,
используя функции Кобба – Дугласа.
3. Что показывает кривая Лоренца? Как вычисляется коэффициент Джини?
4. Что называется выигрышем поставщиков и как найти эту величину?
5. Что называется выигрышем потребителей и как найти эту величину?
Задания для самостоятельного решения
1. Определить объем выпуска продукции за первые пять часов работы
при производительности f t   11,3e 0,417t , где t – время в часах.
5
Факультет «Экономика и финансы».
2. Найти объем продукции, выпущенной предприятием за год (258 рабочих дней), если ежедневная производительность этого предприятия задана функцией f t   0,0033t 2  0,089t  20,96 , где 0  t  8 , t – время
в часах.
3. При непрерывном производстве химического волокна производительность f t  (т/ч) растет с момента запуска 10 часов, а затем остается постоянной. Сколько волокна дает аппарат в первые сутки после запуска,
если f t  
t
e5
 1 при t  [0; 10] .
4. Найти объем выпуска продукции за три года, если в функции Кобба –
Дугласа g t   3t  4e 2t .
5. Кривые Лоренца распределения дохода в некоторых странах могут
быть заданы уравнениями: 1) y  0,85x 2  0,15x ; 2) y  2 x  1 ; 3)
y  0,7 x 3  0,3x 2 . Какую часть дохода получают 10% наиболее низкооплачиваемого населения? Вычислить коэффициенты Джини для этих
стран.
6. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид: p  134  x 2 . Найти
выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 70.
100
. Найти
x  15
выигрыш потребителей, если равновесное количество товара равно 10.
7. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид: p 
8. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид:
1
1) p  250  x 2 , p  x  20 ;
2) p  240  x 2 , p  x 2  2 x  20 .
3
6
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа