close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Новая индустриализация России;doc

код для вставкиСкачать
Олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, апрель 2014 г.
Тренировочный школьный тур. 4 класс - решения
Задача 1. Нашего соседа пришли поздравить с днём рождения его отец, сын и внук.
Их звали Антон Сергеевич, Андрей Борисович и Сергей Никитич. Как зовут нашего
соседа, если у него только один сын и нет дочерей?
Ответ: Никита Андреевич. Решение. Среди перечисленных есть отец и сын, значит, одно из отчеств должно совпадать с именем. Это верно только для Сергеевича,
поэтому Антон Сергеевич – внук, Сергей Никитич – сын, сам сосед – Никита. Остается для деда только Андрей Борисович, значит, сосед – Никита Андреевич
Задача 2. В магазин обуви пришли несколько сороконожек в одинаковых башмачках (у каждой из них по 20 пар ног). У некоторых сороконожек не хватало обуви на
задней половине ног, у других - на передней половине, у третьих обуты были
только правые ножки, а у четвертых только левые. Они купили в магазине 200 пар
обуви, полностью обулись и ушли, оставив 20 левых ботинок. Сколько сороконожек пришло в магазин?
Ответ: 19 сороконожек. Решение. Куплено 400 ботинок. У каждой сороконожки
40 ног, половина необута, значит, каждая сороконожка взяла 20 ботинок, еще 20
осталось. Итого получаем 19 сороконожек. Пример: 8 «задних», 8 «передних», 1
«левая» и 2 «правых». «Задняя» - это сороконожка, у которой нет обуви на задних ножках. Другие аналогично.
Задача 3. Фигура, изображённая на рисунке, состоит из 14
кубиков. Эту фигуру снаружи (в том числе и основание) покрасили в красный цвет, а потом разломали на отдельные
кубики. У скольких из них оказались окрашенными ровно 4
грани?
Ответ: у шести. Решение. Вверху 4 кубика, значит, в основании 10 кубиков, и
основание выглядит сверху так (части некоторых кубиков видны на
рис.). У кубиков на втором этаже закрыта только нижняя грань, поэтому
окрашено будет по 5 граней. Кубики, стоящие на «первом» этаже, соприкасаются с кубиками на своем уровне по двум граням. Но у угловых
кубиков еще закрыта верхняя грань, поэтому будут окрашены только три грани.
Остальные шесть кубиков нам подходят.
Задача 4. Вдоль прямой аллеи растут пять дубов A, Б, В, Г, Д (расстояния между
дубами не обязательно одинаковы, дубы именно в таком порядке), расстояние
между А и Д – 28 м. Точно посередине между А и Б Кролик посадил морковку. В
середине Б и В Винни-Пух посадил розу. В середине между В и Г Пятачок закопал
жёлудь. В середине между Г и Д Иа-Иа посадил чертополох. Расстояние между
морковкой и чертополохом равно 20 м. Чему равно расстояние между розой и жёлудем?
Ответ: 6 метров. Решение. АД = 28 м, МЧ = 20 м. Тогда, если вычесть одно из
А
Б
М
Г
В
Р
Ж
Д
Ч
другого, то получим, что АМ+ЧД = 8 м. Но АМ = МБ, ГЧ = ЧД, поэтому МБ+ЧД = 8 м.
Тогда вычтем из МЧ суму расстояний МБ+ГЧ. Получим БГ = 20–8 = 12 м. Теперь заметим, что БГ = БР+РВ+ВЖ+ЖГ, БР = РВ, ВЖ = ЖГ, поэтому РВ+ВЖ составляют ровно
половину от БГ, то есть 6 м. Осталось заметить, что РЖ = РВ+ВЖ
Задача 5. На столе стоят 10 коробочек, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один
белый шарик. Покажите, как за 9 вопросов найти коробочку с белым шариком.
Решение. Возьмем любую коробочку, назовем её А, и начнем проверять её со
всеми остальными. Это ровно 9 проверок. Если хотя бы один раз из этих 9 было
«нет», то в коробке А нет белого шарика. Но белые шарики есть, значит, хотя бы
один раз из этих 9-ти проверок был ответ «да». Но это означает, что белый шарик
был во второй коробке, участвовавшей в проверке (т. к. в А белого шарика нет).
Если же все ответы были «да», то коробочка А содержит белый шарик. Докажем,
что это так. Если это не так, то там – черный, а так как белых четное количество, и
всего шариков 10, то и черных – четно, значит, есть еще одна коробочка с черным
шариком, назовём её Б. Но в какой-то момент А и Б проверяют вместе, тогда ответ
должны быть «нет». Противоречие, значит, в А – белый шарик.
Олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, апрель 2014 г.
Тренировочный школьный тур. 5 класс - решения
Олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, апрель 2014 г.
Тренировочный школьный тур. 5 класс - решения
Задача 1. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше
первой, третья — втрое меньше второй, а четвёртая — вчетверо больше третьей.
Задача 1. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше
первой, третья — втрое меньше второй, а четвёртая — вчетверо больше третьей.
Ответ: 3628. Решение. Вторая цифра должна делиться на 2 и на 3, значит, она
делится на 6, тогда первая – это 3, третья равна 2, четвертая равна 8.
Ответ: 3628. Решение. Вторая цифра должна делиться на 2 и на 3, значит, она
делится на 6, тогда первая – это 3, третья равна 2, четвертая равна 8.
Задача 2. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6
км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В
12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он
развернулся? Объясните, как был найден ответ.
Задача 2. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6
км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В
12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он
развернулся? Объясните, как был найден ответ.
Ответ: 10 км. Решение. В 12.00 прошло три часа с момента, как Юра стартовал.
Итого он прошел 18 км, а осталось еще 2, поэтому к возвращению домой он пройдет 20 км, то есть повернул он на расстоянии 10 км.
Ответ: 10 км. Решение. В 12.00 прошло три часа с момента, как Юра стартовал.
Итого он прошел 18 км, а осталось еще 2, поэтому к возвращению домой он пройдет 20 км, то есть повернул он на расстоянии 10 км.
Задача 3. На доске были написаны примеры на сложение. Вовочка заменил одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось, что
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Д+В+А = 20 , а Т+Р+И+Ж+Д+Ы+Т+Р+И = 50 . Чему может быть равно
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Т+Р+И?
Задача 3. На доске были написаны примеры на сложение. Вовочка заменил одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось, что
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Д+В+А = 20 , а Т+Р+И+Ж+Д+Ы+Т+Р+И = 50 . Чему может быть равно
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Т+Р+И?
Ответ: 35. Решение. Сделаем замену. Д+В+А = Х, Т+Р+И = Y, Ж+Д+Ы = Z. Получим,
что X+Z+X = 20, Y+Z+Y = 50. Сложив эти равенства, получим, что 2X+2Y+2Z = 70,
X+Y+Z = 35, после замен легко понять, что именно это и требовалось найти.
Ответ: 35. Решение. Сделаем замену. Д+В+А = Х, Т+Р+И = Y, Ж+Д+Ы = Z. Получим,
что X+Z+X = 20, Y+Z+Y = 50. Сложив эти равенства, получим, что 2X+2Y+2Z = 70,
X+Y+Z = 35, после замен легко понять, что именно это и требовалось найти.
Задача 4. Разрежьте «тыкву» на такие кусочки
(черных квадратиков нет).
Кусочки можно поворачивать и переворачивать.
Задача 4. Разрежьте «тыкву» на такие кусочки (черных квадратиков нет). Кусочки можно поворачивать
и переворачивать.
Ответ: см. рисунок.
Ответ: см. рисунок.
Задача 5. Можно ли выложить в ряд 20 шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя
бы один белый, среди любых трёх идущих подряд — хотя бы один синий, а среди
любых девяти идущих подряд — хотя бы один красный?
Задача 5. Можно ли выложить в ряд 20
шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых
двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих
подряд — хотя бы один синий, а среди любых девяти идущих подряд — хотя бы
один красный?
Ответ: нет. Решение. Красные точно должны быть. Пусть есть красный не с краю.
Тогда слева и справа от него обязаны быть белые, но тогда среди эти трех нет синего. Значит, красные могут быть только с краю, но тогда среди шариков с 2-го по
10-й нет ни одного красного.
Ответ: нет. Решение. Красные точно должны быть. Пусть есть красный не с краю.
Тогда слева и справа от него обязаны быть белые, но тогда среди эти трех нет синего. Значит, красные могут быть только с краю, но тогда среди шариков с 2-го по
10-й нет ни одного красного.
Олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, апрель 2014 г.
Тренировочный школьный тур. 6 класс – решения
Задача 1. «Уголок», изображённый на рисунке справа,
легко разрезать на четыре одинаковых квадрата. А как
разрезать его на 6 одинаковых частей?
Ответ: см. рис. Решение. Наверняка могут быть и другие
варианты.
Задача 2. В магазине продают металлические
буквы (одинаковые буквы стоят одинаково, а разные, возможно, по-разному; цены не обязательно
равны целому числу рублей). Слово ВОЛ обойдётся в 15 рублей, ОЛОВО — в 23 рубля, СТОК — в
20 рублей. Сколько стоит слово ОТКОС? Ответ
объясните
Ответ: 24 рубля. Решение. ОЛОВО превышает ВОЛа на две буквы О, значит, они
стоят 23–15 = 8 рублей, значит, одна буква О стоит 4 рубля. ОТКОС превышает СТОК
на одну букву О, значит, стоит 20+4 = 24 рубля.
Задача 3. Одиннадцать пауков встали в хоровод. Каждый из них стоит на двух лапках, некоторыми держит соседа справа, а остальными — соседа слева. Сколькими
лапками может держать произвольный паук своего соседа? У каждого паука 8 лапок.
Ответ: тремя. Решение. Всего у каждого паука 6 лапок. Пронумеруем пауков от
1 до 11-го. Пусть первый паук держит второго n лапками, тогда он держит 11-го 6n лапками. Второй отдал первому n лапок, поэтому с третьим он держится 6-n лапками. И так далее, четный с нечетным (четный имеет номер меньше) держатся 6n лапками, нечетный с четным ( номер нечетного меньше) – n лапками. Значит, 10
и 11-й используют 6-n лапок. Одиннадцатый с первым должны использовать n лапок, но вначале получалось, что у них использовано 6–n. Значит, 6–n = n, n=3.
Задача 4. У Васи была коробка из-под обуви объёмом 128 дм3. Площадь его основания равна 16 дм2, а периметр этого основания равен 19 дм. Найдите площадь
развёртки этой коробки.
Ответ: 168 дм2. Решение. Высота коробки равна 128:16 = 8 дм. Посмотрим на
площадь боковых стенок. Пусть стороны основания равны a и b, 2a+2b = 19. Площадь двух боковых стенок равна 8a (каждая), еще двух – 8b ( каждая), значит, суммарная площадь равна 2∙(8a+8b) = 8∙19= 152 дм2. Значит, общая площадь развертки
равна 152+16 = 168 дм2 (если считать без крышки).
Задача 5. На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии,
пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между
которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все
тома по возрастанию номеров?
Ответ: да. Решение. Возьмём любой том. Он удалён не меньше, чем на 4 тома,
либо от тома, стоящего первым, либо от тома, стоящего последним. Поэтому мы
сможем поставить его либо на первое, либо на последнее место, а потом, если захотим, переставить с последнего на первое или наоборот. Поскольку место, на котором он должен стоять, удалено не меньше, чем на 4 тома, либо от первого места,
либо от последнего, мы сможем следующим ходом поставить его на это место.
Проделав описанную процедуру со всеми томами, кроме томов 1 и 10, мы поставим все их на свои места. Тома 1 и 10 окажутся после этого крайними, и мы получим расстановку томов по возрастанию номеров либо сразу, либо поменяв местами крайние тома.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа