close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Памятка для населения в период эпидемии гриппа и ОРВИ;pdf

код для вставкиСкачать
ас
ве
та
Учебное пособие для 9 класса
общеобразовательных учреждений
с русским языком обучения
од
на
я
Под редакцией А. А. Сокольского
На
р
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
Минск
«Народная асвета»
2010
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
УДК 53(075.3 = 161.1)
ББК 22.3я721
И85
Р е ц е н з е н т ы:
На
р
од
на
я
кафедра общей физики учреждения образования «Гродненский государственный
университет имени Янки Купалы» (канд. физ.-мат. наук, доц., зав. каф. А. А. Маскевич);
канд. физ.-мат. наук, учитель физики государственного учреждения образования
«Гимназия № 5 г. Минска» В. И. Анцулевич
ІSBN 978-985-03-1372-0
© Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В.,
Сокольский А. А., 2010
© Оформление. УП «Народная
асвета», 2010
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
Как работать с учебным пособием
На
р
од
на
я
Перед вами учебное пособие по физике для 9-го класса.
В нем изложены основы механики — одного из самых важных
разделов физики. С механикой вы познакомились в 7-м классе. В
этом учебном году вам предстоит изучать механику на более высоком уровне, решать сложные задачи, находить ответы на трудные вопросы. Справиться с этим поможет наше учебное пособие.
Чтобы работа с ним принесла больше пользы, дадим несколько
советов.
Сначала прочитайте заданный вам параграф от начала до конца. Затем беритесь за его детальную проработку. Не заучивайте
текст наизусть. Важнее всего понять смысл изложенного. Старайтесь связать содержание параграфа с материалом, который был
дан учителем на уроке.
Уделите внимание смыслу определений физических величин,
законов и формул. Все они выделены в тексте. Если дан вывод
формулы — самостоятельно воспроизведите его в тетради.
В текст параграфов включены вопросы. Не оставляйте без ответа ни один из них. Если на какой-либо вопрос вы не смогли ответить, вернитесь к учебному материалу еще раз.
Обращайте серьезное внимание на описание опытов. Многие
из них можно провести дома. Это поможет вам лучше понять изучаемые явления.
Проанализируйте главные выводы каждого параграфа. Полезно записать их в тетрадь и дополнить соображениями, которые
у вас возникнут, если вы серьезно проработали материал и усвоили его.
Для проверки понимания материала после главных выводов
даны контрольные вопросы. Обязательно дайте ответ на каждый
из них. В некоторых случаях для этого придется использовать дополнительные источники информации.
Правообладатель Народная асвета
4
Как работать с учебником
ас
ве
та
Изучив теоретический материал и ответив на контрольные вопросы, следует решить задачи, приведенные в упражнении в конце
параграфа. Задачи расположены по возрастанию сложности. Рекомендуем решать их в этом порядке. Наиболее сложные задачи и
.
контрольные вопросы отмечены знаком
На
р
од
на
я
Если вам удалось решить все задачи, значит, материал усвоен хорошо. Вы можете быть удовлетворены своей работой и рассчитывать на достойную оценку ваших знаний учителем.
В некоторых параграфах имеется дополнительный материал,
набранный мелким шрифтом. Его можно изучать по желанию.
Обработать результаты измерений при выполнении лабораторных работ вам поможет Приложение в конце книги.
Желаем творческих успехов и хороших оценок!
Авторы
Правообладатель Народная асвета
ВВЕДЕНИЕ
ас
ве
та
Неотъемлемой частью нашей жизни является движение. Движутся люди, автомобили, самолеты, космические корабли, планеты (рис. 1). Движутся молекулы, атомы, электроны.
На уроках физики в 7-м классе
вы получили первые представления
о механическом движении и его закономерностях. В 9-м классе мы более глубоко изучим законы механического движения, заложим основу
для дальнейшего изучения физики.
Рис. 1
§ 1. Материя. Пространство и время.
Механическое движение
од
на
я
При изучении физики вы уже познакомились с очень важным понятием — «материя». Все, что существует в окружающем нас мире, и есть
материя. В процессе развития физики выяснилось, что материя — это не
только вещество (физические тела и частицы, из которых они состоят),
но и физические силовые поля: поле тяготения, электрическое поле, магнитное поле. Без учета физических полей картина мира была бы неполной.
На рисунке 2 изображена звездная система, которая удерживается от
распада полем тяготения, а рисунок 3 показывает, как магнитное поле
действует на железные опилки.
На
р
В окружающем нас мире все непрерывно изменяется. И во Вселенной (мегамире), и в окружающих нас телах (макромире), и в атомах и элементарных
частицах (микромире) постоянно происходят разнообразные явления, протекают различные процессы. Перемещаются небесные и земные тела, происходят
вспышки на Солнце, изменяется давление и температура воздуха, протекают хи-
Рис. 2
Правообладатель Народная асвета
Рис. 3
6
Введение
На
р
од
на
я
ас
ве
та
мические реакции, растут и развиваются живые организмы, распадаются радиоактивные ядра атомов и т. д.
«Все течет, все изменяется. Невозможно дважды войти в одну и ту же
реку» — говорил древнегреческий философ Гераклит. Непрерывные изменения,
происходящие в окружающем мире, — одно из основных свойств материи.
Наиболее простой формой этих изменений является механическое движение — изменение положения одних тел относительно других в пространстве с
течением времени.
Наука, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие это движение, называется механикой. Слово «механика»
произошло от греческого mekhane^ — машина, приспособление.
Зачем нужно изучать механику?
Во-первых, законы механики чрезвычайно важны для человеческой деятельности. От современных фабрик и заводов до научных лабораторий — всюду используются различные машины и механизмы, совершающие сложные движения (рис. 4). Без глубокого понимания законов механики сконструировать такие устройства невозможно. Использование законов механики необходимо при
производстве автомобилей, кораблей, самолетов, строительстве зданий, мостов
(рис. 5), при составлении прогнозов погоды, в космических исследованиях. Расчеты, основанные на законах механики, необходимы и для достижения высоких
спортивных результатов.
Во-вторых, не опираясь на законы механики, невозможно объяснить основные
физические явления: тепловые, электрические, магнитные, световые и т. д. Все
они сопровождаются механическими перемещениями частиц. Механика — важнейшее, первое звено всей физики, ее основа.
Основными разделами механики являются кинематика, которая отвечает на
вопрос, как движутся тела, и динамика, которая выявляет причины движения и
объясняет, почему тела движутся так, а не иначе.
Рис. 4
Рис. 5
Правообладатель Народная асвета
Материя. Пространство и время. Механическое движение
7
од
на
я
ас
ве
та
Как было сказано, механическое движение — это
перемещение одних тел относительно других в пространстве с течением времени.
Понятия «пространство» и «время» играют в физике
исключительно важную роль. Все, что существует в материальном мире, существует в пространстве и во времени.
Всякое тело занимает определенную часть пространства и определенное место по отношению к другим телам. Электрическое и другие поля также находятся в той или иной области пространства. Представления о «чистом» пространстве, вне материи, лишены
смысла. Мы можем судить о пространстве именно потому, что в нем существуют физические тела и поля.
Не имеет смысла говорить и о времени вне материи. Время служит для описания изменений, происходящих в материальном мире. Одно событие происходит раньше (в более ранний момент времени),
другое — позже, одно явление длится дольше, другое — занимает меньший промежуток времени.
Дать точное определение понятий пространства и
времени сложно. Мы судим о них при помощи наших
Рис. 6
органов чувств и измерительных приборов.
Измерение времени осуществляется с помощью часов (рис. 6, а), секундомеров, хронометров. Современные атомные часы (рис. 6, б) измеряют время с точностью 10−14 с. Такие часы могут уйти вперед или отстать на 1 с не раньше, чем
через три миллиона лет!
На
р
Физика имеет дело с промежутками времени от чрезвычайно малых — 10−24 с (в ядерной физике) — до миллиардов лет (в физике космоса). Столь же огромен и диапазон расстояний — от размеров ядер (10−15 м) до размеров видимой части Вселенной (1026 м).
Главные выводы
1. Материя — это вещество и физические силовые поля. Материя существует в пространстве и во времени.
2. Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
3. Наука, которая изучает закономерности механического движения и причины, его вызывающие, называется механикой.
4. Кинематика описывает, как движутся тела, а динамика выявляет причины движения и объясняет, почему тела движутся именно так, а не иначе.
Правообладатель Народная асвета
8
Введение
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Что понимают под материей в физике?
2. В чем состоит одно из основных свойств материи?
3. Можно ли говорить о пространстве и времени вне материи? Почему?
4. Что такое механическое движение?
5. Что изучает механика? Кинематика? Динамика?
6. Почему важны законы механики? В каких областях человеческой деятельности
они используются?
§ 2. Скалярные и векторные величины.
Действия над векторами
од
на
я
В курсе физики вам встречались различные физические величины. Для
определения одних (массы, пути, температуры, объема и т. д.) достаточно (при заданной единице измерения) знать только числовое значение. Такие физические величины называются скалярными. Для определения других этого недостаточно. Почему?
На рисунке 7 показаны силы F1 и F2. Их числовые значения одинаковы, но
результаты их действия различны. Сила F1 лишь увеличила давление санок
на снег, а сила F2 вызвала движение санок. Значит, для силы важно знать не
только числовое значение, но и направление. Сила — векторная величина.
На
р
Векторные величины (векторы) характеризуются не только числовым значением, но и направлением в пространстве.
Векторные величины важны не только в механике. Без них не обойтись и в
других разделах физики.
Что необходимо знать о векторах?
1. Вектор изображают в виде направленного отрезка (стрелки). Направление стрелки показывает, куда направлен вектор, а ее длина выражает в определенном масштабе его числовое значение (рис. 8).
Числовое значение вектора называется модулем. Модуль любого не равного нулю вектора — число положительное.
Рис. 7
Рис. 8
Правообладатель Народная асвета
Скалярные и векторные величины. Действия над векторами
ас
ве
та
Рис. 9
9
Рис. 10
G
Вектор обозначают буквой, над которой поставлена стрелка (например, a),
либо буквой, выделенной жирным шрифтом (a), либо двумя буквами со стрелкой
JJJG
(например, AB, где A — начало вектора, B — конец вектора). Модуль вектора
G
G
a обозначают буквой a или символом a .
JJJG
G JJJG G
На рисунке 8 a = AB, a = AB = a = 4.
На
р
од
на
я
2. Векторы равны между собой,G если равны их модули и одинаковы их
G
направления. Равные векторы a = b лежат на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону (рис. 9). Одного только равенства модулей для
G
G
равенства векторов недостаточно. На рисунке 9 модули векторов a и c равны
G G
(а = с), но векторы между собой не равны a ≠ c .
Можно ли переместить вектор в пространстве (перенести его) и при этом
считать, что он не изменился? Можно, если при переносе не изменился ни модуль вектора, ни его направление (рис. 10).
3. Угол между векторами. Чтобы найти угол ϕ между векторами (рис. 11, а),
следует совместить начала этих векторов (рис. 11, б). Если направления векторов
одинаковы, то ϕ = 0 (рис. 11, в), если противоположны, то ϕ = 180° (рис. 11, г).
Рис. 11
G
4. Правило умножения вектора
на число. Произведение вектора a
G
G
(рис. 12, а) на число β есть вектор b = βa , определяемый следующим образом:
• его модуль b = β a;
G
• его направление при β 0 (рис. 12, б) совпадает с направлением вектора a,
а при β 0 — противоположно ему (рис. 12, в, г).
Правообладатель Народная асвета
10
Введение
Рис. 12
На
р
од
на
я
ас
ве
та
G
G
G
Вектор d = (−1) a = − a называется противопоG
ложным вектору a (рис. 12, г).
5. Правила сложения векторов
G
а) Правило треугольника. Перенесем вектор b
G
так, чтобы
G конец вектора a совместился с началом
G
вектора b (рис. 13). После этого проведем
G вектор cG
G
вектора b. GВектор c
из начала вектора a в конец
G
G
G G
есть сумма векторов a и b, т. е. c = a + b .
Рис. 13
Сумму двух векторов можно получить и по другому правилу.
б) ПравилоG параллелограмма. Совместим начала
G
векторов a и b (рис. 14). Построим
G параллелограмм
G
и
за его стороны.
ABCD, принимая
векторы
a
b
G G G
Вектор c = a + b совпадает с отрезком АС — диагональю параллелограмма,
проходящей через общее наG
G
чало векторов a и b. Сравнив рисунки 13 и 14, легко понять, что оба правила приводят к одному и тому
Рис. 14
же результату.
А как найти разность векторов?
6. Правило вычитания
векторов. Чтобы из вектоG
G
вектор
следует
совместить
начала векра a вычесть
b,
G
G
G
вектор d из конца «вычитаеторов a и b и провести
G
G
мого» вектора b вG конец «уменьшаемого» вектора
G G Ga
(рис. 15). Вектор d есть искомая разность: d = a − b .
G
Тот же результат получится, если к вектору
G a
Рис. 15
прибавить вектор, противоположный вектору b. Такой способ Gнахождения
G разности векторов очень удоG
G
бен. Проверьте построением, что a −Gb = a +G − b .
G G G
G
Из рисунка 15 видно, что если d = a − b , то a = b + d . Значит, для векторов, как и для чисел, вычитание — это действие, обратное сложению.
7. Модуль суммы векторов. Его можно найти геометрически. Например, моG
G
дуль суммы векторов a и b (см. рис. 14) равен длине диагонали АС параллелограмма ABCD (длине стороны АС треугольника ABC).
Правообладатель Народная асвета
Проекция вектора на ось
11
Поскольку в любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других,
G
G G
G
из правил векторного сложения (см. рис. 13, 14) следует: a + b a + b (модуль суммы любых
двух векторов не больше суммы их модулей).
Главные выводы
ас
ве
та
1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направлением, скалярные — только числовым значением.
2. Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника или параллелограмма.
3. Вектор, равный разности двух векторов, проводят из конца «вычитаемого»
вектора в конец «уменьшаемого» (при совмещенных началах
этих векторов).
G
G
G
4. Произведение вектора a на число β есть вектор b = βa , направленный,
G
G
как вектор
a при β 0, и противоположно вектору a при β 0. Модуль векG
тора b равен β a.
Контрольные вопросы
G
G
G
3. В каком случае векторы a и b = β a одинаково направлены? Противоположно
направлены?
G
G
G
4. Может ли модуль вектора b = β a быть меньше модуля вектора a ? В каком случае?
5. По каким правилам находят сумму векторов?
6. Как найти разность двух векторов? Как доказать, что вычитание векторов — действие, обратное сложению?
JJJG
JJJG
7. Какой смысл имели бы векторы BD и DB на рисунке 14?
8. Когда сумма модулей двух векторов больше модуля их векторной суммы? Когда
равна ей?
од
на
8.
я
1. В чем состоит различие между векторными и скалярными величинами?
2. Какие из известных вам физических величин скалярные, а какие — векторные?
На
р
§ 3. Проекция вектора на ось
Вы уже знаете, что векторную величину определяют, задавая ее модуль и направление. Имеется и другой способ определения вектора — через
его проекции на оси системы координат. Он широко используется в физике. Что такое проекция вектора на ось? Как, зная модуль и направление
вектора, найти его проекцию на ось? Как, зная проекции вектора на координатные оси, определить его направление и модуль?
Начнем с понятия проекции точки на ось. Проекция точки — это основание
перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. На рисунке 16 проекцией
точки N на ось Ox является точка N1, проекцией точки A — точка A1, и т. д.
Правообладатель Народная асвета
12
ас
ве
та
Введение
Рис. 16
На
р
од
на
я
А что представляет собой проекция вектора на ось?
Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком « + »
или « − ». Знак « + » следует брать, если угол между вектором и осью острый
(см. рис. 16, б), знак « − » — если угол тупой (см. рис. 16, в).
Проекцию вектора будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без
G
стрелки и с индексом внизу (например, ax — проекция вектора a на ось Ox).
G
На рисунке 16 угол между вектором a и осью Ox острый ϕ1 π , а меж2
G
G
ду вектором b и той же осью — тупой ϕ2 π . Поэтому проекция вектора a
2
G
на ось Ox положительна (ax = + A1 B1 = 2 0), а проекция вектора b — отрицательна (bx = − C1 D1 = −3 0).
А если вектор перпендикулярен оси? В этом случае проекция вектора равна нулю (рис. 17).
Из треугольника ABB2 (см. рис. 16), легко выразить
G
проекцию вектора a на ось Ох через его модуль и угол
между вектором и осью:
ax = a cos ϕ1 .
Проекцию bx найдем из треугольника DCD2:
(1)
bx = − D2 C = − b cos α = − b cos(180° − ϕ2 ) = b cos ϕ2 .
Рис. 17
Таким образом, проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
По формуле (1) можно найти проекцию вектора на любую ось, зная его модуль и направление. А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?
G JJJG
Рассмотрим вектор d = AC , лежащий в плоскости xOy (рис. 18). Его
проекции на оси Ох и Oу легко определить из рисунка 18: dx = A1C1 = 8,
dy = A2 B2 = 6. Из треугольника ACD по теореме Пифагора находим модуль век-
Правообладатель Народная асвета
Проекция вектора на ось
ас
ве
та
13
Рис. 19
G
тора d: d =
Разделив
cos ϕ =
Рис. 18
dx
d
dx2 + dy2 =
AD
=
8
10
на
82 + 62 = 10.
AC,
получаем:
= 0,8. По значению ко-
од
на
я
синуса можно найти угол ϕ, определяюG
щий направление вектора d. В данном примере ϕ = arccos 0,8 ≈ 37°.
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя своими проекциями на оси координат.
Вектор, произвольно направленный в пространстве, полностью определяется
тремя проекциями (рис. 19).
Обратим внимание на два важных свойства проекций.
1. Проекция вектора равна разности координат конца и начала вектора.
На рисунке 16
ax = xB − x A = 5 − 3 = 2, bx = xD − xC = 7 − 10 = −3.
На
р
Проверьте
самостоятельно, что это свойство выполняется и для проекций
G
вектора d на рисунке 18.
2. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме их проекций на
ту же ось.
G G G
Используя рисунок 20, а, б, проверьте, что из соотношения c = a + b следует
соотношение cx = ax + bx . При проверке не забывайте о знаках проекций.
Рис. 20
Правообладатель Народная асвета
14
Введение
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком « + » или « − ».
2. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если угол прямой — равна нулю.
3. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус
угла между вектором и осью.
4. Проекция вектора равна разности координат конца и начала вектора.
5. Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав
его проекции на оси координат.
6. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме их проекций на ту
же ось.
од
на
я
1. Что такое проекция точки на ось? Проекция вектора на ось?
2. Когда проекция вектора на ось: а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна?
3. Как найти проекцию вектора на ось, зная его модуль и угол между вектором и осью?
4. При каком значении угла между вектором и осью его проекция будет: а) максимальна; б) минимальна?
5. Как найти проекцию вектора на ось, зная координаты конца и начала вектора?
6. Как найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?
7. Равна ли проекция разности двух векторов на ось разности проекций этих векторов на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа.
Примеры решения задач
На
р
G
G
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов a и b
G G G
G G G
(рис. 21). Найдите модули векторов суммы c = a + b и разности d = a − b .
G G G
Р е ш е н и е. Найдем сумму векторов: c = a + b по правилу треугольника
G
(рис. 22, а) или параллелограмма (рис. 22, б). Найдем модуль вектора c . Учитывая, что
G
G
векторы a и b взаимно перпендикулярны, получим: c = a2 + b2 = 32 + 42 = 5.
Рис. 21
Рис. 22
Правообладатель Народная асвета
15
ас
ве
та
Проекция вектора на ось
Рис. 23
G G G
Разность векторов d = a − b определим пуG
G
тем сложения вектора a с вектором − b
(рис. 23, а) или по правилу вычитания векторов (рис. 23, б).
G
Модуль вектора d равен d = a2 + b2 =
О т в е т: с = 5, d = 5.
Рис. 24
3 + 4 = 5.
2
2
од
на
я
2. Определите проекции на координатные оси Ох и Оу вектора суммы
G G G
c = a + b (рис. 24).
G G
Р е ш е н и е. С помощью рисунка 24 находим проекции векторов a, b
G G G
и вектора их суммы c = a + b на оси Ох и Оу:
G ax = 2, ay = 4, bx = 4, by = −2,
G
cx = 6, cy = 2. Сложим проекции векторов a и b на эти оси: ax + bx = 2 + 4 = 6,
ay + by = 4 − 2 = 2. Мы убедились, что cx = ax + bx, cy = ay + by: проекции вектора
суммы равны сумме проекций слагаемых векторов на те же координатные оси.
О т в е т: cx = 6, cy = 2.
Упражнение 1
На
р
G G
G
G
G G G G
1. Постройте векторы a + b , a − b и b − a для каждой пары векторов a и b,
изображенных на рисунке 25 а, б, в.
G
2. Для некоторого вектора a, модуль которого равен 5, постройте векторы:
G
G
G
G
4a; 0,2a ; −3a; − a .
5
Рис. 25
Правообладатель Народная асвета
16
Рис. 26
ас
ве
та
Введение
од
на
я
3. Найдите проекции векторов (рис. 26) на координатные оси Ох и Оу.
G
G
G
G
4. Постройте сумму векторов α a + β b и разность αa − βb , если:
G
G
1) α = 2, β = 4; 2) α = −2, β = 0,5. Вектор a перпендикулярен вектору b. МоG
G
дули a = b = 4.
G G G
G G G
5. Вектор c = a + b и вектор d = a − b взаимно перпендикулярны. Сделайте
G
G
чертеж. Найдите соотношение между модулями векторов a и b.
G
6. Сила F, приложенная к телу, направлена под углом α = 30° к горизонтальной поверхности (рис. 27). Модуль этой силы F = 60 H. Найдите проекции
G
силы F на оси Ох и Оу.
G
G
7. К телу приложены две силы: F1 и F2 (рис. 28). Модуль F1 = 10 Н, F2 = 6 Н.
G G G
Угол α = 60°. Найдите: а) векторную сумму F = F1 + F2 ; б) векторы разности этих
G
G
G
G
G G
сил: F21 = F2 − F1 и F12 = F1 − F2 . Сделайте чертеж.
G
G
G
G
G
8. Для каждого из векторов F1 , F2 , F, F21 и F12 предыдущей задачи
На
р
(см. рис. 28) найдите проекции на оси Ох и Оу.
Рис. 27
Рис. 28
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
я
од
на
На
р
Правообладатель Народная асвета
18
Кинематика
§ 4. Виды механического движения.
Задача кинематики
ас
ве
та
Изучение механики начинают с раздела, называемого кинематикой.
Кинематика описывает, как движутся тела. Знание законов кинематики
необходимо не только для изучения динамики. Понятия кинематики лежат в основе всей физики. Какие задачи решает кинематика? Какими методами?
На
р
од
на
я
Говоря, что автомобиль сначала ехал прямо, затем повернул направо и вскоре остановился, мы даем словесное, качественное описание того, как двигался
автомобиль. В физике изучаются количественные закономерности явлений. Описание механического движения также должно быть количественным. Как описать
движение автомобиля (и других тел) с достаточной точностью? Для этого следует
изучить кинематику.
Задача кинематики состоит в том, чтобы дать методы математически строгого, количественного, описания движения любых тел и установить взаимосвязи между величинами, характеризующими движение.
С такими кинематическими понятиями и величинами, как траектория, скорость, пройденный путь, вы познакомились еще в 7-м классе. Но этого недостаточно. Движение реальных тел может быть чрезвычайно сложным. Понаблюдайте за самолетом, выполняющим фигуру высшего пилотажа (рис. 29, а), или за человеком,
совершающим прыжок в воду (рис. 29, б).
Можно ли вообще точно описать их движения? Для этого пришлось бы проследить за
движением каждой точки этих объектов. Решить такую задачу практически невозможно.
Как же разобраться с такими сложными движениями?
Начнем с того, что каждое реальное тело
в любой момент времени обладает некоторой геометрической формой, определенным
образом ориентировано в пространстве и занимает в нем определенное место.
Проведем опыт с обыкновенной линейкой.
Линейку можно изогнуть (изменить ее форму)
(рис. 30, а), линейку можно повернуть (изменить ее ориентацию в пространстве) (рис. 30, б),
Рис. 29
Правообладатель Народная асвета
19
ас
ве
та
Виды механического движения. Задача кинематики
Рис. 30
На
р
од
на
я
и, наконец, линейку можно перенести в другое место без изменения формы и
ориентации (рис. 30, в).
Значит, и форма, и ориентация в пространстве, и местоположение тела с
течением времени могут изменяться.
Изменение формы и (или) объема тела называется деформацией тела
(от лат. deformatio — искажение). При деформации тела изменяются расстояния
между его точками (см. рис. 30, а).
Все тела в той или иной степени деформируемы. Деформировать одни тела
очень легко (растянуть пружину, изогнуть линейку, смять кусок пластилина). Деформацию других (стального шарика, куска гранита) трудно даже заметить, но ее
можно осуществить и измерить специальными методами. Изучение деформации
очень важно для практики. В § 22 мы рассмотрим основные виды деформации.
Изменение ориентации тела в пространстве называется поворотом, а происходящее при этом движение — вращательным движением тела.
Простейший случай вращательного движения — вращение вокруг неподвижной оси (поворот открываемой двери (рис. 31, а), вращение диска в дис-
Рис. 31
Правообладатель Народная асвета
20
Кинематика
На
р
од
на
я
ас
ве
та
ководе и т. д.). В более сложных случаях — движение самолета (см. рис. 29, а),
волчка (рис. 31, б) — вращение происходит
вокруг оси, которая тоже непрерывно изменяет свое направление в пространстве.
В § 14 мы рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси.
Если движение происходит без деформаРис. 32
ции и поворота тела, его называют поступательным. При поступательном движении
прямая, проходящая через любые две точки
тела, остается параллельной своему первоначальному положению (рис. 32).
Поступательное движение может быть как
прямолинейным, так и криволинейным (рис. 33).
Траектории точек тела, движущегося поступательно, одинаковы между собой — каждая
точка повторяет движение любой другой точки тела с некоторым постоянным сдвигом.
В общем случае движение тела предРис. 33
ставляет собой результат сложения трех
движений: деформации, вращения и поступательного движения.
В кинематике разработаны методы описания каждого из этих движений.
Во многих задачах деформацией тела можно пренебречь. В таких случаях
можно использовать модель абсолютно твердого тела — воображаемого тела,
расстояние между любыми точками которого не изменяется.
Поскольку абсолютно твердое тело не деформируется, его движение сводится
к поступательному перемещению и вращению. Описать такое движение тоже не
просто, но намного легче, чем движение деформируемых тел. Теперь не надо следить за каждой точкой тела. Достаточно знать, как движется одна из них и как
происходит вращательное движение тела.
Если и деформациями и вращением тела можно пренебречь (или они нас в
данной задаче не интересуют), то достаточно рассмотреть лишь поступательное
движение тела. Так как при поступательном движении все точки тела движутся
одинаково, то изучение его движения сводится к изучению движения одной точки.
В таких случаях широко используют модель материальной точки.
Материальной точкой называют тело, размерами которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь.
Именно от поставленной задачи зависит, можно ли считать данное реальное
тело материальной точкой. Так, если нас интересует движение крыльев бабочки
Правообладатель Народная асвета
Виды механического движения. Задача кинематики
ас
ве
та
(рис. 34), ее нельзя рассматривать как материальную точку. В то же время, земной шар можно считать материальной точкой, если интересоваться только движением Земли по орбите вокруг Солнца (рис. 35), а не вращением Земли
вокруг своей оси.
Говорить о деформации и о вращении материальной точки вокруг оси, которая проходит через нее, не имеет смысла. Движение материальной точки полностью определено, если задана
ее траектория и известно, в какой точке траектории она находится в каждый момент времени.
Законы движения материальных точек служат основой для изучения движения макроскопических тел.
21
Рис. 34
од
на
я
Не надо забывать, что материальная точка — это
лишь модель реального тела. Реальных объектов, которые
бы вели себя точно так же, как материальная точка, не
существует ни в макромире, ни в микромире. В макромиРис. 35
ре — потому что все макроскопические тела имеют протяженность, могут деформироваться и вращаться. В микромире — потому что микрочастицы
вообще не движутся по определенной траектории. К этому неожиданному выводу физики
пришли, анализируя результаты опытов с микрочастицами и создав (к 1930 г.) теорию, способную объяснить эти результаты — квантовую механику.
Главные выводы
На
р
1. Изменение формы и (или) объема тела называется деформацией тела.
2. Процесс изменения ориентации тела в пространстве называется вращательным движением тела.
3. Движение тела, при котором оно не деформируется и не вращается, называется поступательным. При таком движении прямая, проходящая через
любые две точки тела, остается параллельной своему первоначальному положению.
4. Движение тела представляет собой результат сложения трех движений:
деформации, вращения и поступательного перемещения.
5. Математически строгое описание механического движения тел — основная задача кинематики.
Правообладатель Народная асвета
22
Кинематика
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Что такое деформация?
2. Что такое абсолютно твердое тело? При каких условиях реальное тело можно рассматривать как абсолютно твердое?
3. Какое движение называют вращательным? Поступательным?
4. Может ли поступательное движение быть криволинейным?
5. При каких условиях реальное тело можно рассматривать как материальную точку?
Приведите примеры, в которых тело можно принять за материальную точку и в которых этого делать нельзя.
§ 5. Относительность движения. Система отсчета
Вы сидите в кресле самолета, летящего со скоростью v = 900 км . Двич
жетесь вы или покоитесь? Один наблюдатель ответит, что вы движетесь с большой скоростью, а другой — что вы находитесь в состоянии покоя. Кто из них прав?
На
р
од
на
я
Правы оба. Относительно Земли вы движетесь, а относительно самолета —
находитесь в состоянии покоя.
Тело, относительно которого рассматривается движение других объектов,
называется телом отсчета. Тело отсчета условно принимается за неподвижное.
Если в приведенном примере за тело отсчета принята Земля, то самолет и
его пассажиры — движущиеся объекты. Если за тело отсчета принят самолет,
то сидящие в креслах пассажиры находятся в состоянии покоя, а Земля — в состоянии движения.
Понятия или величины, зависящие от выбора тела отсчета, называют относительными.
«Состояние покоя» и «состояние движения» — понятия относительные.
А относительны ли характеристики движения: скорость, траектория, путь?
В приведенном примере скорость движения авиапассажира относительно
Земли равна 900 км , а относительно самоч
лета — нулю. Значит, скорость — величина
относительная.
Рассмотрим второй пример. Мы находимся в вагоне поезда, движущегося с постоянной
скоростью по прямолинейному участку дороги.
Проследим за траекторией движения падающего с верхней полки яблока. Относительно
пассажиров в вагоне поезда траектория яблоРис. 36
ка — это вертикальная прямая AB (рис. 36).
Правообладатель Народная асвета
Относительность движения. Система отсчета
23
На
р
од
на
я
ас
ве
та
А какова траектория яблока относительно человека, стоящего на платформе,
мимо которого проезжает поезд? Для него траектория яблока — это линия AC
(см. рис. 36). Относительно платформы движение яблока криволинейное. Значит,
траектория движения тела — понятие относительное. Относительны и понятия
«прямолинейное движение» и «криволинейное движение».
А будет ли относительным путь? Легко подсчитать, что если телом отсчета
служит Земля, то в первом примере путь авиапассажира за одну минуту полета
равен 15 км. Если же за тело отсчета принят самолет, то путь авиапассажира равен нулю. Обратимся ко второму примеру. Если телом отсчета является вагон,
то путь яблока за время падения равен длине отрезка прямой AB (см. рис. 36).
Если же за тело отсчета принята платформа, то путь, пройденный яблоком за
это время, гораздо больше: он равен длине кривой AC. Таким образом, путь — величина относительная.
Понятия покоя и движения и основные характеристики движения являются относительными. Они зависят от выбора тела
отсчета.
Пусть тело отсчета выбрано. Что еще необходимо для описания движения рассматриваемого объекта (яблока, самолета, ракеты и т. д.)
относительно выбранного тела отсчета? Вспомним, что механическое движение — это изменение положения объекта в пространстве с течением времени. Следовательно, тело отсчета
надо дополнить устройствами для определения
Рис. 37
положения движущихся объектов и для измерения времени движения.
Например, для того чтобы отслеживать движение
самолетов относительно Земли, используют радиолокационные станции. Они оснащены установками для определения положения объектов — радарами и аппаратурой
для измерения времени (рис. 37).
Тело отсчета, снабженное устройствами для
определения положения других тел и для измерения времени, называется системой отсчета.
Моделью системы отсчета может служить
тело отсчета, с которым жестко связана система
координатных осей (рис. 38) и часы.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 38
24
ас
ве
та
Кинематика
Рис. 39
На
р
од
на
я
Покажем на примерах, как с помощью системы отсчета производится описание движения тел (рассматриваемых как материальные точки).
Пример 1. Движение пешехода по прямолинейному участку дороги. В
этом примере за тело отсчета выбрана Земля, а ось координат Ох направлена
вдоль рассматриваемого участка вправо (рис. 39). За начало координат взята
точка О у основания дерева. В момент времени t1 = 3 ч 10 мин положение пешехода определялось значением координаты х1 = −800 м. Если за 40 мин пешеход пройдет 1400 м, то в момент t2 = 3 ч 50 мин его координата станет равной х2 = 600 м и т. д. Таким образом, для описания движения тела по прямой
достаточно для каждого момента времени указать значение одной координаты.
Пример 2. Движение куска мела по школьной доске (рис. 40). Это движение по
плоскости. Для того чтобы определить положение куска мела на плоскости, одной
координаты недостаточно. Необходимо
использовать две координатные оси Ох
и Оу (см. рис. 40). В начальный момент
t1 = 0 координаты куска мела: х1 = −3 дм,
у1 = 2 дм (точка A), а через некоторое
время (например, в момент t2 = 3 с) они
приняли значения х2 = 3 дм, у2 = 5 дм
(точка B) и т. д. Значит, для описания
движения тела в заданной плоскости
следует использовать две координатные
оси и в каждый момент времени знать
две координаты движущегося тела.
Рис. 40
Правообладатель Народная асвета
Рис. 41
25
ас
ве
та
Относительность движения. Система отсчета
Рис. 42
Главные выводы
я
Пример 3. Движение тела в пространстве (мяча, птицы, ракеты). В этом случае система отсчета должна включать три оси, например Ох, Оу, Оz (рис. 41). Для описания движения следует
знать три координаты тела (х, у, z) в каждый момент времени.
од
на
1. Движение и покой — понятия относительные. Основные характеристики механического движения зависят от выбора системы отсчета.
2. Тело отсчета — это тело, относительно которого рассматривается движение других объектов.
3. Тело отсчета, связанная с ним система координат и часы образуют систему отсчета.
4. В данной системе отсчета положение материальной точки определяется
ее координатами.
На
р
Контрольные вопросы
1. Как понимать утверждение: «Механическое движение относительно»?
2. Что такое тело отсчета?
3. Что понимают под системой отсчета?
4. Чем определяется выбор системы координат? Покажите на примерах.
5. В романе Р. Стивенсона «Остров сокровищ» легендарный пират капитан Флинт зарыл на острове сундук с несметными сокровищами и оставил карту с таким описанием: «Высокое дерево на плече Подзорной горы. Направление — от дерева по тени
в полдень (рис. 42). Пройти сто футов. Повернуть на запад. Пройти десять саженей.
Копать на глубину пятьдесят вершков». Выберите тело отсчета и систему координат.
Сделайте чертеж. Найдите координаты клада. Ук а з а н и е: 1 фут = 30,5 см, 1 сажень = 213,4 см, 1 вершок = 44,5 мм.
Правообладатель Народная асвета
26
Кинематика
§ 6. Путь и перемещение
ас
ве
та
Автобус с футбольными болельщиками отправился с Центральной
площади г. Минска в 9 часов утра. Где
оказался автобус в 11 часов, если за
два часа он прошел путь s = 96 км?
Ясно, что в 11 часов автобус мог
быть в пункте, удаленном от Минска не более чем на 96 км. Он мог прибыть в Столбцы, Березино, Копыль
(рис. 43). Не исключено, что автобус к 11 часам уже вернулся в Минск.
Знать начальную точку и пройденный путь для определения конечного положения тела недостаточно.
Рис. 43
На
р
од
на
я
Чтобы найти положение тела в рассматриваемый момент времени, надо знать
и начальное положение тела, и пройденный путь, и траекторию движения. На рисунке 44 показано, что траектория движения автобуса проходила по автомагистрали до Логойска (где к минчанам присоединились местные болельщики), а затем
по шоссе в направлении Борисова. Отсчитав вдоль траектории 96 км от начальной точки маршрута, мы убеждаемся, что к 11 часам автобус прибыл в Борисов.
А как, зная начальное положение тела, найти его положение в любой момент
времени, если не известны ни его траектория, ни пройденный им путь?
Для этого надо определить величину, называемую перемещением. Что понимают в кинематике под перемещением, совершенным движущимся телом за
некоторый промежуток времени?
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела
(материальной точки) с его положением в конце рассматриваемого промежутка времени. Обозначается пеG
ремещение символом Δr .
G JJJJG
На рисунке 44 вектор Δr = MБ —
это перемещение автобуса за промежуток времени Δt = 2 ч (с 9 ч до 11 ч).
JJJJG
Вектор MБ проведен из точки М (Центральная площадь г. Минска) в точку Б
Рис. 44
Правообладатель Народная асвета
Путь и перемещение
27
На
р
од
на
я
ас
ве
та
G JJJJG
(стадион в г. Борисове). Вектор Δr1 = МЛ — это перемещение автобуса из МинJJJG
G
ска в Логойск, а вектор Δr2 = ЛБ — из Логойска в Борисов.
Из рисунка ясно: чтобы найти конечное положение тела, достаточно из точки, характеризующей его начальное положение, провести вектор перемещения
G
Δr . Конец этого вектора укажет положение тела в конце рассматриваемого промежутка времени.
Можно ли сравнивать путь, пройденный телом, с его перемещением? НельG
зя, поскольку путь s — скаляр, а перемещение Δr — вектор. Сравнивать путь
G
можно со скалярной величиной — модулем перемещения Δr = Δr .
Как связаны между собой путь и модуль перемещения?
В нашем примере путь, пройденный автобусом за два часа, равен s = 96 км. Это
длина траектории движения автобуса от Минска через Логойск до Борисова. Проверьте по карте, что при этом модуль перемещения автобуса Δr = 77 км. Это расстояние от Минска до Борисова. Путь автобуса больше модуля его перемещения: s Δr.
Ясно, что пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус двигался по прямой, не изменяя направления движения. Значит, в общем
случае для пути и модуля перемещения выполняется соотношение s Δr (путь не
меньше модуля перемещения).
Как складываются пройденные пути? Путь от Минска до Логойска s1 = 36 км,
от Логойска до Борисова s2 = 60 км, а от Минска до Борисова S = 96 км. Пройденные пути складываются арифметически: s1 + s2 = s.
А как складываются перемещения? Из рисунка 44 видно, что сложение перемещений происходит по правилу треугольника, как и положено векторам:
G
G
G
Δr1 + Δr2 = Δr . Равен ли при этом модуль Δr сумме модулей Δr1 + Δr2? Ответьте
самостоятельно.
При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Вернемся
к примеру 2 предыдущего параграфа.
Построим вектор перемещения куска мела
G JJJG
из точки A в точку B: Δr = AB. Из рисунка
G
45 видно, что проекции вектора Δr на координатные оси Ох и Оу равны:
(1)
Δrx = xB − x A ;
Δry = yB − yA .
Проекция вектора перемещения на
координатную ось равна разности координат конечной и начальной точек, в которых находилось тело.
Для точки, движущейся в пространстве
(см. рис. 41), к соотношениям (1) следует добавить:
Δrz = zB − zA .
Рис. 45
Правообладатель Народная асвета
28
Кинематика
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за определенный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
2. Перемещение тела (материальной точки) — это вектор, соединяющий
начальное положение тела с его положением в конце рассматриваемого промежутка времени.
3. Модуль перемещения не больше пути, пройденного за тот же промежуток времени.
4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по
правилам сложения векторов.
од
на
я
1. Что такое путь и что такое перемещение?
2. Может ли перемещение равняться нулю, если путь не равен нулю? Приведите примеры.
3. Может ли путь равняться нулю, если перемещение не равно нулю?
4. Почему путь нельзя сравнивать с перемещением, а только с его модулем?
5. В каком случае путь равен модулю перемещения?
6. Зависит ли перемещение тела от выбора системы отсчета? Ответ подтвердите
примерами.
Пример решения задачи
На
р
Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 46). Размеры площадки 60 × 80 м. Определите модули перемещений пешехода и конькобежца и пути, пройденные
ими.
Д а н о:
а = 60 м
b = 80 м
Δr1 — ?
Δr2 — ?
s1 — ?
s2 — ?
Рис. 46
Решение
Из рисунка 46 видно, что перемещения пешехода и конькобежца
одинаковы. Модуль перемещения:
Δr =
a 2 + b2 =
3600 м2 + 6400 м2 = 100 м.
Путь пешехода: s1 = а + b = 60 м + 80 м = 140 м.
Путь конькобежца: s2 = Δr = 100 м.
О т в е т: Δr1 = Δr2 = 100 м; s1 = 140 м; s2 = 100 м.
Правообладатель Народная асвета
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
29
Упражнение 2
я
ас
ве
та
1. Численное значение пути или модуля перемещения показывает счетчик
пробега автомобиля? Почему?
2. Используя рисунок 44 и данные текста, определите путь, который прошло маршрутное такси, перевозя пассажиров из Минска в Березино через Червень. Изобразите в тетради перемещения такси на участках Минск — Червень
G
G
G
(ΔrМЧ ), Червень — Березино (ΔrЧБ ) и Минск — Березино (ΔrМБ ). Докажите,
G
G
G
что ΔrМБ = ΔrМЧ + ΔrЧБ . Покажите, что модуль ΔrМБ ΔrМЧ + ΔrЧБ .
3. Спортсмен на тренировке пробежал N = 6,5 кругов радиусом R = 50 м. Какой путь пробежал спортсмен? Чему равен модуль его перемещения?
4. Строительный кран поднимает груз на высоту h = 30 м. Одновременно
кран передвигается на расстояние l = 10 м. Определите перемещение груза, его
вертикальную и горизонтальную составляющие. Изобразите их соответствующими векторами. Чему равны модули этих векторов?
5. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной
l = 6,0 см за промежутки времени t1 = 3,0 ч; t2 = 6,0 ч; t3 = 12 ч; t4 = 24 ч. Решение
подтвердите рисунком.
од
на
§ 7. Равномерное прямолинейное движение.
Скорость
На
р
В 7-м классе вы изучали равномерное прямолинейное движение, познакомились с понятием «скорость». Скорость движения у разных тел различна. За одну секунду черепаха (рис. 47) преодолевает несколько сантиметров, человек — до 10 м, гепард (см. рис. 47) — до 33 м, спортивный
автомобиль — около 100 м. Около 8 км за секунду пролетает по орбите
Рис. 47
Правообладатель Народная асвета
30
ас
ве
та
Кинематика
Рис. 48
я
спутник Земли (рис. 48, а). Но даже скорости космических кораблей —
«черепашьи» по сравнению со скоростью частиц в ускорителях. В современном ускорителе (рис. 48, б) электрон за одну секунду пролетает почти 300 000 км!
Скалярная или векторная величина — скорость? Каковы закономерности равномерного прямолинейного движения?
На
р
од
на
Проследим за падением металлического шарика в вертикальной трубке, заполненной вязкой жидкостью (сахарным сиропом) (рис. 49). При
достаточно большой концентрации сахара шарик движется равномерно. Убедиться в этом можно, отмечая положение шарика через равные промежутки времени. Опыт показывает, что за равные промежутки времени, например за Δt1 = Δt2 =
= Δt3 = ... = 5 с, шарик совершает одинаковые пеG
G
G
ремещения: Δr1 = Δr2 = Δr3 = ... .
Уменьшим промежутки времени. Во столько же раз уменьшатся и перемещения шарика, но
по-прежнему за равные промежутки времени они
будут равны. Значит, шарик движется и прямолинейно, и равномерно.
Движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые
перемещения, называется равномерным прямолинейным движением.
Рис. 49
Правообладатель Народная асвета
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
31
ас
ве
та
В 7-м классе вы находили скорость равномерного движения тела как отношение пути к промежутку времени, за который путь пройден: v = s . Это отноΔt
шение показывает, насколько быстро движется тело, но ничего не говорит о направлении движения. Чтобы охарактеризовать одной величиной и быстроту движения, и его направление, определим скорость как векторную величину, равную
отношению перемещения к промежутку времени:
G
G
v = Δr .
Δt
(1)
Скоростью равномерного прямолинейного движения называется векторная физическая величина, модуль которой численно равен модулю перемещения за единицу времени, а направление совпадает с направлением перемещения.
G
Отношение Δr для всех рассмотренных участков движения шарика было
G
Δr1
Δt1
Δt
G
Δr2
Δt2
G
Δr
од
на
я
одинаково:
=
= 3 . Это говорит о том, что скорость равномерного пряΔt3
молинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
Для равномерно и прямолинейно движущегося тела из формулы (1) легко
найти:
• перемещение:
G G
(2)
Δr = v Δt;
• проекцию перемещения на ось Ох (см. рис. 49):
Δrx = vx Δt;
(3)
На
р
• путь s (равный модулю перемещения Δr):
s = vΔt.
(4)
Определим теперь положение тела, т. е. его координату в любой момент времени. Рассмотрим пример. Автомобиль движется равномерно по прямолинейному
шоссе. Воспользуемся осью координат Ох с началом отсчета в точке О (рис. 50).
Автомобиль рассматриваем как материальную точку.
Рис. 50
Правообладатель Народная асвета
32
Кинематика
Согласно рисунку 50 в момент времени t координата автомобиля равна
x = x0 + Δrx. Проекция Δrx вектора перемещения на ось Ох равна vx Δt.
Следовательно, x = x0 + vx Δt, где Δt = t − t0 . Приняв t0 равным нулю, получим координату автомобиля:
x = x0 + vx t.
ас
ве
та
(5)
Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинематическим законом движения.
Кинематический закон равномерного прямолинейного движения состоит
в том, что координата тела линейно зависит от времени. Это следует из формулы (5).
Согласно формуле (5) проекция скорости на ось Ох:
vx =
x − x0
t
.
я
При равномерном прямолинейном движении проекция скорости на координатную ось численно равна изменению координаты движущегося тела за
единицу времени.
Напомним, что за единицу скорости в СИ принят 1 метр в секунду 1 м .
с
На
р
од
на
Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомобилях имеется спидометр (рис. 51), на самолетах — указатель скорости. Эхолокаторы измеряют скорость объектов, движущихся под водой, а радиолокаторы
(радары) — находящихся в воздухе и на земле. Сотрудники службы дорожного
движения с помощью устройств, снабженных портативным радаром и видеокамерой (рис. 52), могут оперативно регистрировать скорость любого транспортного средства.
Рис. 51
Рис. 52
Правообладатель Народная асвета
33
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Равномерное прямолинейное движение — это движение, при котором
тело (точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
2. Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
3. При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения
равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.
4. Координата равномерно прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени движения.
од
на
я
1. Чем отличаются путь и перемещение тела при равномерном прямолинейном движении?
2. Можно ли, зная модуль скорости движения и промежуток времени, определить положение тела в конечный момент времени?
3. Как направлена скорость при равномерном прямолинейном движении?
4. Какова зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном
движении? Какой будет эта зависимость, если начальное положение тела совпадает
с началом координат?
5. В каком случае проекция скорости движения будет отрицательной? Равной нулю?
Пример решения задачи
Турист прошел путь s1 = 0,60 км на север, а затем путь s2 = 0,80 км на восток.
Сколько времени потребуется туристу на возвращение в исходную точку по прямой, если модуль его скорости постоянен и равен v = 1,2 м . Какой суммарный
с
путь прошел турист? Каково его перемещение?
Решение
На
р
Д а н о:
s1 = 0,60 км
s2 = 0,80 км
Сделаем рисунок к условию задачи (рис. 53).
v = 1, 2 м
с
t—?
s—?
G
Δr — ?
Рис. 53
Правообладатель Народная асвета
34
Кинематика
G
G
G
Из рисунка следует, что перемещение: Δr = Δr1 + Δr2 .
Модуль перемещения туриста:
Δr =
Δr12 + Δr22 =
0,36 км2 + 0,64 км2 = 1,0 км.
ас
ве
та
Пройденный им путь:
s = s1 + s2 = 0,60 км + 0,80 км = 1,4 км.
Время возвращения туриста:
1000 м
t = Δr =
= 14 мин.
м
v
1,2
с
G
О т в е т: вектор перемещения Δr направлен от точки 1 к точке 2, его модуль
Δr = 1,0 км; s = 1,4 км; t = 14 мин.
Упражнение 3
я
1. Какие из характеристик движения — путь, скорость, перемещение, координата — являются векторными?
2. Переведите в метры в секунду м следующие значения модуля скорос
На
р
од
на
сти: v1 = 18 км , v2 = 36 км , v3 = 1,2 км , v4 = 8 км (первая космическая скоч
ч
мин
с
рость).
3. Равномерно движущийся электропоезд за промежуток времени
Δt = 5,0 мин прошел путь s = 6,0 км. Найдите модуль скорости движения электропоезда.
4. Футболист проделал по футбольному полю путь s1 = 40 м на север,
s2 = 30 м на восток, а затем s3 = 20 м на юг. Какой суммарный путь проделал футболист? Какое он совершил перемещение? Сколько времени потребуется футболисту на возвращение в исходную точку по прямой, если модуль его скорости
постоянен и равен v = 4,0 м ?
с
5. По прямой дороге навстречу друг другу двигались легковой автомобиль
со скоростью, модуль которой v1 = 90 км , и мотоцикл со скоростью, модуль коч
торой v2 = 20 м . На переезде они встретились и продолжили равномерное двис
жение. На каком расстоянии от переезда и друг от друга находились автомобиль
и мотоцикл через время t = 0,50 ч после встречи?
6. Два пешехода движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями, модули которых v = 5,0 км . Можно ли утверждать, что скорости двич
жения пешеходов одинаковы? Каким будет расстояние между ними через время
Правообладатель Народная асвета
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
35
ас
ве
та
t1 = 30 мин после их встречи? Какой путь к этому времени пройдет каждый из
пешеходов, если в начальный момент времени они находились на расстоянии
l = 2,0 км друг от друга?
7. В течение одного часа самолет летел прямолинейно (вдоль оси Ох).
Кинематический закон его движения имеет вид: х = А + Bt, где А = 5,0 км,
В = 720 км . Определите координату самолета в начале и в конце этого часа, моч
дуль скорости его движения, путь и модуль перемещения за время t = 20,0 мин
полета. Решение поясните рисунком.
8. Решите предыдущую задачу, приняв В = −720 км .
ч
9. Поездка велосипедиста из пункта А в пункт В и обратно состояла из двух
этапов. На первом этапе, двигаясь со скоростью v = 12 км , он преодолел
ч
половину расстояния АВ. На втором, двигаясь со скоростью, модуль которой
был постоянен, он достиг пункта В и вернулся в пункт А. Найдите модуль этой
скорости, если промежутки времени, затраченные на каждый из этапов, были
одинаковы.
од
на
я
§ 8. Графическое представление равномерного
прямолинейного движения
На
р
Зависимости между различными величинами можно наглядно изобразить с помощью графиков. Использование графиков существенно облегчает решение многих научных и практических задач.
Например, по графику зависимости температуры больного от времени
(рис. 54) легко определить, что на 5-е сутки температура достигла своего максимума, затем резко упала, а еще через сутки стала приближаться к норме. График дал наглядное представление о течении
болезни.
В физике роль графиков чрезвычайно велика. Умение строить и «читать» графики облегчает описание физических явлений и способствует более глубокому их пониманию.
Рассмотрим конкретный пример.
Дима и Таня идут навстречу друг другу
Правообладатель Народная асвета
Рис. 54
36
Рис. 55
ас
ве
та
Кинематика
(рис. 55). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Димы
v1 = 2,0 м , Тани — v2 = 1,5 м . Выберем координатную ось Ох (см. рис. 55). Пусть
с
с
На
р
од
на
я
в начальный момент t0 = 0 координата Димы х01 = 1,3 м, Тани — х02 = 6,0 м.
Построим графики зависимости от времени следующих величин: проекции
скорости vx, модуля скорости v, проекции перемещения Δrx , пути s и координаты x.
1. График проекции скорости. Из условия ясно, что проекции скоростей
G
G
v1 и v2 на ось Ох постоянны: v1x = v1 = 2,0 м = const, v2x = −v2 = −1,5 м = const.
с
с
Следовательно, графики зависимости проекций v1x и v2x от времени t — это прямые, параллельные оси времени (рис. 56, прямые I и II). Графики показывают:
проекция скорости движения при равномерном прямолинейном движении с
течением времени не изменяется.
2. График модуля скорости. График модуля скорости движения Димы — прямая I на рисунке 56, а Тани — прямая III. Почему график модуля скорости движения Димы совпадает с графиком ее проекции, а движения Тани — нет? Объясните самостоятельно.
3. График
проекции
перемещения. Проекция перемещения Δrx , совершенного за промежуток времени от
0 до t, определяется формулой Δrx = vx t.
Графики зависимости проекции перемещения Димы Δr1 x = v1 x t (прямая I)
и Тани Δr2 x = v2 x t (прямая II) от времени изображены на рисунке 57. Они
показывают: при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения прямо пропорциональна
времени.
Рис. 56
Правообладатель Народная асвета
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
37
На
р
од
на
я
ас
ве
та
4. График пути. При равномерном
прямолинейном движении путь равен моG
дулю перемещения: s = Δr = vt. График
пути, пройденного Димой, s1 = v1t, совпадает с графиком проекции его перемещения (см. рис. 57, прямая I). График пути
Тани s2 = v2 t — это прямая III. Она является «зеркальным отражением» прямой II
(см. рис. 57) от оси времени. Так получается потому, что путь всегда положителен, а проекция перемещения
Тани — отрицательна.
Рис. 57
Графики пути показывают: при равномерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален
времени.
Что еще можно определить по графикам?
Можно ли по графику скорости найти пройденный путь? Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 56. Его площадь численно равна 8. Но за время
t = 4 с Дима прошел путь s = vt, равный как раз 8 м. Это совпадение не случайное. Высота прямоугольника ABCD численно равна модулю скорости v, его основание — промежутку времени от 0 до t. Следовательно, площадь прямоугольника
ABCD численно равна пройденному за этот промежуток времени пути: s = v t.
Площадь фигуры между графиком модуля скорости и осью времени в пределах рассматриваемого промежутка времени численно равна пройденному
пути.
Такое же правило связывает площадь между графиком проекции скорости vx
0 эту площадь
и осью времени с проекцией перемещения Δrx. Только при vx
следует брать со знаком «минус». Проверьте это с помощью рисунков 56 и 57.
А можно ли по графику пути определить скорость движения? Обратимся к
рисунку 57. Угол α между графиком I пути и осью времени больше, чем угол β
между графиком III и осью времени. Почему? Потому, что за каждую секунду
Дима проходит по 2 м, а Таня — по 1,5 м. Чем больше модуль скорости, тем
больше угол наклона графика пути к оси времени.
Сравнив графики проекций перемещений I и II на рисунке 57, можно сделать
вывод: по наклону графика проекции перемещения можно судить о величине и о
знаке проекции скорости.
Рассмотрим Δ ABC на рисунке 57. В этом треугольнике катет AC численно равен промежутку времени от 0 до t, а катет BC — пройденному за это время пути s. Следовательно,
BC
s
tg α =
=
= v: тангенс угла между графиком пути и осью времени численно равен моAC
t
Правообладатель Народная асвета
38
Кинематика
дулю скорости. Докажите самостоятельно, что
тангенс угла между графиком проекции перемещения и осью времени численно равен проекции скорости.
Главные выводы
я
ас
ве
та
5. График зависимости координаты движущегося тела от времени. Этот
график называют графиком движения.
С помощью рисунка 55 легко найти зависимость координат Димы x1 и Тани x2
Рис. 58
от времени: x1 = x01 + v1xt, x2 = x02 + v2xt,
где v1x 0, v2x 0. Графики этих зависимостей — прямые I и II на рисунке 58.
Они параллельны соответствующим графикам проекций перемещения на рисунке
57. Графики движения показывают: при равномерном прямолинейном движении
координата тела линейно зависит от времени.
По точке пересечения графиков I и II (точке А) легко найти момент и координату места встречи Димы и Тани. Определите их самостоятельно.
од
на
1. Для равномерного прямолинейного движения графики проекции и модуля скорости — прямые, параллельные оси времени.
2. Графики зависимости пути, проекции перемещения и координаты от времени — прямые, наклон которых к оси времени определяется скоростью движения.
3. Площадь фигуры между графиком модуля скорости и осью времени численно равна пройденному пути. Площадь фигуры между графиком проекции
скорости и осью времени определяет проекцию перемещения.
На
р
Контрольные вопросы
1. Как по графику проекции скорости найти проекцию перемещения?
2. Можно ли по графику проекции скорости найти координату тела?
3. Какой график называется графиком движения?
4. Как по графику равномерного прямолинейного движения найти проекцию скорости,
пройденный путь и проекцию перемещения за определенный промежуток времени?
5. В каких случаях модуль перемещения равен пути, пройденному за тот же промежуток времени?
Пример решения задачи
Мотоциклист едет по прямолинейному участку дороги со скоростью, модуль
которой постоянен и равен v1 = 54 км . Через промежуток времени t1 = 20 с он
ч
Правообладатель Народная асвета
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
39
ас
ве
та
встречает велосипедиста, движущегося равномерно навстречу со скоростью, модуль которой v2 = 36 км . Определите расстояние между участниками движения
ч
через промежуток времени t2 = 30 с от начала движения. Запишите кинематические законы их движения, представьте графики проекции и модуля скорости, пути
и проекции перемещения, а также координаты обоих участников движения.
Решение
Д а н о:
v1 = 54 км = 15 м
v2 = 36
t1 = 20 с
t2 = 30 с
ч
км
ч
= 10
с
м
с
Изобразим координатную ось Ох, вдоль которой идет
движение (рис. 59).
Рис. 59
я
l—?
Пусть мотоциклист в начальный момент времени находился в начале координат
(точка О), т. е. х01 = 0, а велосипедист — в точке В. Тогда кинематический закон
движения мотоциклиста будет: x1 = v1 x t, где v1 x = v1 = 15 м . Найдем координату
c
х02 велосипедиста в начальный момент времени. Точка С на оси Ох — это место
встречи участников движения.
20 c + 10 м
од
на
х02 = ОС + СВ = v1t1 + v2t1 = 15 м
c
c
20 c = 500 м.
Кинематический закон движения велосипедиста имеет вид: x2 = x02 + v2 x t,
где v2 x = − v2 = −10 м . Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом чес
рез время t2 = 30 с очевидно равно сумме путей, которые они проделают за время t3 = t2 − t1 = 10 с после их встречи. Значит,
l = v1t3 + v2t3 = 15 м 10 c + 10 м 10 c = 250 м.
c
c
На
р
Построим графики проекций и модулей скорости. Для мотоциклиста графики
проекции скорости 1 и модуля скорости 1′ совпадают (рис. 60). Для велосипедиста график модуля скорости — прямая 2′, а проекции скорости — прямая 2. Гра-
Рис. 60
Правообладатель Народная асвета
40
ас
ве
та
Кинематика
Рис. 61
Рис. 62
од
на
я
фиками пути (рис. 61) будут прямые, выражающие прямую пропорциональную зависимость s = vt. Для мотоциклиста: s1 = v1t = 15 м t. Графики пути (прямая 1),
с
модуля перемещения (прямая 1′) и проекции перемещения (прямая 1′′) совпадают. Для велосипедиста: s2 = v2 t = 10 м t. Графики пути (прямая 2), модуля пес
ремещения (прямая 2′) совпадают, а график проекции перемещения (прямая 2′′)
находится в области отрицательных значений. Графики координат представлены
на рисунке 62 и выражают зависимости x1 = v1 x t (прямая 1) и x2 = x02 + v2 x t
(прямая 2), где х02 = 500 м. Точка А определяет время встречи и координату места встречи.
На
р
О т в е т: l = 250 м; x1 = v1 x t; x2 = x02 + v2 x t.
Рис. 63
Упражнение 4
1. Что показывают точки А и В на рисунке 58?
2. На рисунке 63 изображен график
зависимости проекции скорости от времени. Опишите движение, соответствующее
этому графику. Найдите модуль перемещения и путь за промежуток времени от
t0 = 0 до t1 = 4 ч. Может ли данный график описывать реальное движение тела?
Почему?
Правообладатель Народная асвета
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
41
На
р
од
на
я
ас
ве
та
3. На рисунке 64 представлены графики проекции на ось
Ox скорости движения катера,
байдарки и резиновой лодки по
озеру. Охарактеризуйте эти движения. Какому из транспортных
средств принадлежит график I?
График II? График III? Чему равны пути, пройденные катером,
байдаркой и резиновой лодкой
за время t = 50,0 с движения?
Рис. 64
Чему равны модули и проекции
их перемещений за этот промежуток времени?
4. Координаты теплоходов изменяются по закону: x1 = A1 + B1t, х2 = А2 + B2t,
где A1 = 6,0 км, В1 = 24 км , А2 = −6,0 км, В2 = 60 км . Для каждого из теплоходов
ч
ч
найдите начальные координаты и проекции скоростей на ось Ох. Изобразите графики движения теплоходов. Через какое время второй теплоход догонит первый?
5. На рисунке 65 изображены пешеход и велосипедист. Модуль скорости пешехода v1 = 3,6 км , велосипедиста — v2 = 12,0 км . Данные об их координач
ч
тах в момент времени t1 = 3 ч 10 мин определите по рисунку. Запишите кинематические уравнения движения и постройте графики движения пешехода и велосипедиста. Найдите модули их перемещений за промежуток времени
Δt = 20 мин. Выполните задание снова, приняв за начало координат точку A на
оси Ох, расположенную под часами. Какие из кинематических величин зависят от
выбора начала координат, а какие — нет?
Рис. 65
Правообладатель Народная асвета
42
Кинематика
ас
ве
та
6. На рисунке 66 даны графики
движения трех тел. Найдите проекции скорости движения этих тел
на ось Ох и их начальные координаты. Запишите кинематические
уравнения движения каждого тела.
О чем говорят точки пересечения
А и В графиков? Каким было расстояние между телами в начальный
момент времени и через Δt = 5,0 с
движения?
Рис. 66
§ 9. Неравномерное движение. Мгновенная скорость
од
на
я
Равномерное прямолинейное движение, т. е. движение с постоянной
скоростью, в повседневной жизни практически не встречается.
Движение с изменяющейся скоростью называется неравномерным (переменным) движением. Неравномерно движутся транспортные средства
(автомобили, корабли, самолеты),
детали машин и механизмов, падаюРис. 67
щие на Землю тела и т. д. Для таких
движений вводятся понятия средней
и мгновенной скорости. Какой смысл
имеют эти физические величины?
На
р
Неравномерное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Пусть траектория движения автомобиля криволинейна (рис. 67). Автомобиль будем считать материальной точкой. Как следует из рисунка, модуль перемещения автомобиля за промежуток времени Δt и его путь за этот промежуток
не равны между собой: Δr s. Из 7-го класса известно, что неравномерное движение характеризуется средней скоростью. Будем различать среднюю скорость
G
пути v и среднюю скорость перемещения v автомобиля. Среднюю скорость пути определим, разделив путь на промежуток времени, за который этот
путь пройден:
(1)
v = s.
Δt
Средняя же скорость перемещения определяется как
G
G
v = Δr .
Δt
Правообладатель Народная асвета
(2)
43
Неравномерное движение. Мгновенная скорость
Так как Δr
s, то модуль средней скорости перемещения не больше средней
G
скорости пути: v
v.
ас
ве
та
Формула (2) аналогична формуле скорости при равномерном прямолинейном
движении (см. § 7). Значит, средняя скорость перемещения неравномерного
движения равна скорости такого равномерного прямолинейного движения,
при котором тело совершило такое же перемещение за тот же промежуток
времени.
Дает ли средняя скорость информацию о скорости тела в каждой точке траектории? Рассмотрим пример. Если автобус городского маршрута проделал путь
s = 5,0 км за время Δt = 20 мин = 1 ч, то средняя скорость пути v = s = 15 км .
3
Δt
ч
Эта величина равна модулю скорости такого равномерного движения, при котором путь s = 5 км пройден за время Δt = 20 мин. Но каждый из вас понимает, что
автобус какое-то время мог стоять на остановках, на каких-то участках модуль
его скорости мог быть равен 60 км , на других — 5 км и т. д.
ч
ч
од
на
я
Значит, средняя скорость не дает информации о скорости движения тела в
различных точках траектории (в различные моменты времени). Для этой цели
служит мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени или
в данной точке траектории.
Как определяется мгновенная скорость? Как она направлена?
Рассмотрим пример. Пусть шарик скатывается по наклонному желобу из точки А1 (рис. 68). На рисунке представлены его положения в различные моменты
времени. Нас интересует мгновенная скорость шарика в точке О.
G
Разделив перемещение шарика Δr1 на соответствующий промежуток времени Δt1, определим среднюю скорость
G
G
Δr
v1 = 1 на участке
На
р
перемещения
Δt1
G
A1B1. Очевидно, что v1
не являет-
ся мгновенной скоростью в точке О.
Рассмотрим меньшее перемещение
G JJJJJG
Δr2 = A2 B2 . Меньше будет и промежуток времени Δt2. Теперь средG
G
Δr
няя скорость v2 = 2 .
Δt2
Правообладатель Народная асвета
Рис. 68
44
Кинематика
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Эта скорость, хотя и не равна скорости в точке О, но уже ближе к ней, чем
G
G
G
v1 . С выбором все меньших перемещений Δr3 , Δr4 , ... уменьшаются и промежутки времени Δt3, Δt4, ... . В результате мы будем последовательно получать
средние скорости, которые все меньше и меньше отличаются друг от друга и от
мгновенной скорости шарика в точке О.
В конце концов, мы придем к такому
G
малому перемещению Δrn и промежутку
времени Δtn, что движение в течение Δtn
с достаточной точностью можно будет считать равномерным, а скорость — мгновенной. Мгновенная скорость при прямолинейном движении направлена, как вектор перемещения, т. е. по направлению
движения.
Рис. 69
Если аналогичным образом рассмотреть движение по криволинейному участку траектории (рис. 69), то станет понятно, что мгновенная скорость во всех случаях направлена по касательной к
траектории в данной точке.
Понаблюдайте за раскаленными частицами, отрывающимися от точильного камня в процессе заточки. Они летят по касательной к окружности
G
(рис. 70, а). Значит, мгновенная скорость v, которую имеют частички в момент
отрыва от камня, направлена по касательной к траектории их движения до отрыва. Аналогично металлический шар, брошенный метателем молота (рис. 70,
б), начинает свой полет по касательной к окружности, по которой шар двигался
при его раскручивании.
А можно ли использовать понятие мгновенной скорости для описания равномерного прямолинейного движения? Безусловно, можно. В этом случае мгновенная скорость постоянна и равна средней скорости. В любой точке траектории
она имеет одинаковый модуль и направление.
Рис. 70
Правообладатель Народная асвета
Неравномерное движение. Мгновенная скорость
45
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Быстрота неравномерного движения на участке траектории характеризуется средней скоростью, а в данной точке траектории — мгновенной скоростью.
2. Мгновенная скорость приближенно равна средней скорости, определенной за малый промежуток времени. Точность этого приближения тем выше,
чем меньше промежуток времени.
3. При равномерном прямолинейном движении тела мгновенная скорость
одинакова в любой точке траектории, при неравномерном — различна.
4. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.
од
на
я
1. Какое движение называется неравномерным? Будет ли движение тела равномерным, если за каждый час оно проходит одинаковый путь?
2. Что показывает средняя скорость пути? Средняя скорость перемещения? Как их
вычисляют?
3. Что такое мгновенная скорость? При каком условии она приближенно равна средней скорости? Как повысить точность этого приближения?
4. Как направлена мгновенная скорость при прямолинейном движении? При криволинейном движении?
5. Как ведет себя модуль мгновенной скорости при равномерном движении? При неравномерном?
Пример решения задачи
На
р
Лыжник половину прямолинейной дистанции двигался со скоростью, модуль
которой постоянен и равен v1 = 3,0 м , а вторую половину — со скоростью, мос
дуль которой v2 = 5,0 м . Определите модуль средней скорости движения лыжс
ника на всей дистанции.
Д а н о:
v1 = 3,0
v2 = 5,0
м
с
м
с
Решение
Сделаем рисунок (рис. 71) к условию задачи.
v —?
Рис. 71
Так как движение прямолинейное без изменения направления, то путь s и модуль перемещения Δr равны. Поэтому модуль средней скорости перемещения равен
средней скорости пути:
G
v = v.
Правообладатель Народная асвета
46
Кинематика
Найдем v :
v = s =
t
s
t1 + t2
, где t1 = s , t2 = s .
2 v1
Тогда
2 v1
О т в е т: v = 3,8 м .
с
Упражнение 5
2 v2
=
2 v1v2
v1 + v2
=
2 3,0 м 5,0 м
с
с
м
8,0
с
= 3,8 м .
с
ас
ве
та
v = s s s
+
2 v2
На
р
од
на
я
1. Туристы прошли путь s1 = 10,0 км за время Δt1 = 2,0 ч, затем сделали привал длительностью Δt2 = 0,50 ч, после чего прошли оставшийся путь s2 = 6,0 км
за время Δt3 = 1,5 ч. Чему равна их средняя скорость пути на всем маршруте?
Скорость на каждом из его участков?
2. Автобус двигался прямолинейно. График зависимости модуля скорости его
движения от времени показан на рисунке 72. Определите модуль мгновенной скорости автобуса в моменты времени: t1 = 5 с, t2 = 14 с, t3 = 22 с.
3. На рисунке 73 даны графики зависимости координаты от времени для прямолинейного движения велосипедиста и пешехода. Во
сколько раз отличаются проекции их средней
скорости перемещения за время t = 3 ч движения?
4. Управляемая игрушка прошла участок пути s1 = 3,0 м за промежуток времени
Δt1 = 20 с, а затем, двигаясь перпендикулярно
Рис. 72
этому участку, еще путь s2 = 4,0 м за Δt2 = 30 с.
Участки пути прямолинейны. Сделайте чертеж
и найдите среднюю скорость пути и среднюю
скорость перемещения игрушки.
5. Учащийся на уроке физкультуры пробежал N= 2,5 круга радиусом R = 60 м за промежуток времени Δt =10 мин. Найдите путь и
перемещение учащегося. Чему равен модуль
средней скорости перемещения учащегося?
Чему равна средняя скорость пути?
6. Пассажирский катер половину времени
двигался с постоянной скоростью, модуль коРис. 73
Правообладатель Народная асвета
Сложение скоростей
47
торой v1 = 30 км . С какой по модулю постоянной скоростью он должен двигатьч
ся в течение оставшегося времени, чтобы модуль его средней скорости равнялся
v = 40 км ?
ч
7.
Первую половину пути автомобиль двигался равномерно со скоростью,
ч
ас
ве
та
модуль которой v1= 60 км , а вторую — со скоростью, в k = 1,5 раза меньшей.
Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.
8. Числовое значение какой физической величины показывает спидометр?
§ 10. Сложение скоростей
од
на
я
В повседневной жизни мы часто встречаемся с ситуациями, в которых одни тела движутся относительно других движущихся тел. Например, пассажир перемещается по вагону движущегося поезда, девушка идет по движущемуся
эскалатору (рис. 74), катер пересекает реку с
быстрым течением и т. д. Каковы закономерности таких движений? Как определить скорость катера относительно берега, зная его скорость относительно воды и скорость течения
воды?
Рис. 74
На
р
Проведем опыт. Опустим металлический шарик в заполненную сахарным сиропом стеклянную трубку, которая, оставаясь вертикальной, равномерно перемещается относительно школьной доски в
горизонтальном направлении (рис. 75). Систему отсчета K, связанную с доской, назовем неподвижной, а систему отсчета K′,
связанную с трубкой, — движущейся. Наблюдая за движением шарика, будем отмечать на доске его положение через каждые
10 с (точки 1, 2, 3, 4).
Из рисунка 75 видно, что относительно
трубки (движущейся системы отсчета K′)
Правообладатель Народная асвета
Рис. 75
48
Кинематика
G
Δr
Δt
ас
ве
та
G
шарик за 30 с совершил перемещение Δr ′. Сама же система отсчета K′ за это
G
время совершила перемещение Δr0 относительно неподвижной системы отсчета K
G
(школьной доски). Видно также, что перемещение Δr шарика относительно доски
G
G
(неподвижной системы отсчета K) равно векторной сумме перемещений Δr ′ и Δr0:
G
G
G
(1)
Δr = Δr ′ + Δr0 .
G
Перемещение тела Δr относительно неподвижной системы отсчета равно
G
векторной сумме его перемещения Δr ′ относительно движущейся системы и
G
перемещения Δr0 движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Ясно, что речь идет о перемещениях, произошедших за один и тот же промежуток времени Δt. Разделив каждый из векторов в формуле (1) на Δt, получим:
G
Δr
Δt
G
G
Δr
= Δr ′ + 0 .
Δt
Δt
(2)
G
Вектор
шарика относительно неподвиж= v — это скорость движения
G
G
ной системы отсчета K (школьной доски), Δr ′ = v′ — это скоростьG движения шаΔt
G
Δr
рика относительно движущейся системы отсчета K′ (трубки), а 0 = v0 — скоΔt
од
на
я
рость, с которой движущаяся система отсчета K′ (трубка) движется относительно
неподвижной К (доски). Таким образом,
G
G G
(3)
v = v′ + v0 .
На
р
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме его скорости относительно движущейся системы отсчета и скорости
движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Данное утверждение носит название закона сложения скоростей Галилея.
G
Он справедлив и для тел, движущихся неравномерно. В этом случае векторы v,
G
G
v′, и v0 в формуле (3) являются мгновенными скоростями.
Закон сложения скоростей (3) используется при решении многих практически
важных задач. Он позволяет найти скорость снаряда, выпущенного из движущегося танка, скорость самолета, заходящего на
посадку при сильном ветре (рис. 76), и т. д.
Закон сложения скоростей Галилея применим только для движений со скоростями, во много раз меньшими скорости света c = 3 108 м .
с
Такие скорости называются нерелятивистскими. С формулой сложения релятивистских скоростей (т. е. сравнимых со скоростью
Рис. 76
света) вы познакомитесь в 11-м классе.
Правообладатель Народная асвета
Сложение скоростей
49
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно векторной
сумме его перемещения в движущейся системе и перемещения движущейся
системы отсчета относительно неподвижной.
2. Скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме
его скорости в движущейся системе отсчета и скорости движущейся системы
относительно неподвижной.
G G G
3. Закон сложения скоростей в виде v = v′ + v0 справедлив только для
скоростей, много меньших скорости света, т. е. при v
с.
од
на
Пример решения задачи
я
1. Почему не имеет смысла говорить о скорости тела, не указав систему отсчета?
2. Как определить перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета,
зная его перемещение относительно движущейся системы?
3. Можно ли поставить опыт с шариком в трубке так, чтобы скорость шарика относительно школьной доски равнялась нулю? Как это сделать?
4. В чем смысл закона сложения скоростей Галилея? В каких случаях он применим?
Путь от одной пристани до второй моторная лодка прошла по течению реки
за время t1 = 0,30 ч, а обратный путь — за время t2 = 0,70 ч. Модуль скорости
течения воды vт = 7,2 км . Определите модуль скорости движения лодки относич
тельно воды, считая его постоянным.
Решение
Д а н о:
Сделаем рисунок (рис. 77) к условию задачи.
На
р
vт = 7,2 км
ч
t1 = 0,30 ч
t2 = 0,70 ч
vл — ?
Рис. 77
Относительно берега лодка плыла по течению (от пристани 1 к пристани 2)
со скоростью, модуль которой v12 = vл + vт, а обратно (от пристани 2 к 1) — со скоростью, модуль которой v21 = vл − vт. Тогда:
путь от пристани 1 к пристани 2: s = (vл + vт) t1;
а путь от пристани 2 к пристани 1: s = (vл − vт) t2.
Правообладатель Народная асвета
(1)
(2)
50
Кинематика
Из формул (1) и (2): vл t1 + vт t1 = vл t2 − vт t2 ;
vл =
О т в е т: vл = 18 км .
vт (t1 + t2 )
t2 − t1
=
7,2 км 1 ч
ч
0,4 ч
= 18 км .
ч
Упражнение 6
ас
ве
та
ч
1. Как найти скорость пловца относительно берега реки, зная его скорость
относительно воды и скорость течения воды в реке?
2. Для чего спортсмен, перед тем как метнуть копье, разбегается?
3. Одинаковы ли дальности полета снарядов, выпущенных из неподвижного
и из движущегося танка? Почему?
4. Модуль скорости движения катера относительно воды v1 = 4,0 м . Какие
с
значения может принять модуль скорости движения катера относительно берега,
если модуль скорости течения воды v2 = 1,5 м ?
с
5. Вертолет летит из Минска на юг. Модуль скорости движения вертолета
относительно воздуха v1 = 54 км . В направлении с севера на юг дует ветер, моч
од
на
я
дуль скорости которого v2 = 10 м . Найдите модуль скорости вертолета относис
тельно Земли и его перемещение за время t = 30 мин полета.
6. Решите предыдущую задачу для случаев, когда ветер дует: а) с юга на север; б) с запада на восток. Решение подтвердите чертежом.
7. Плот шириной l = 10 м плывет по реке со скоростью, модуль которой v1= 3,0 м .
с
Находящийся на плоту сплавщик перешел с одного края плота на другой и вернулся
обратно. Чему равны модули перемещения сплавщика за это время относительно
плота и относительно берега, если скорость движения сплавщика относительно плоG
та v2 направлена перпендикулярно скорости течения воды, а ее модуль v2 = 1,0 м ?
с
На
р
Найдите также модуль скорости движения сплавщика относительно берега.
8. Поперек реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку,
плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды v1 = 0,50 м . Под кас
G
ким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца v2 относительно воды, если ее модуль v2 = 1,0 м ? Чему равен модуль скорости двис
жения пловца относительно берега? Сколько времени займет переправа при ширине реки l = 97 м?
9. Докажите, что проплыть на катере расстояние l вверх и вниз по реке займет больше времени, чем такое же расстояние по озеру.
10. Эскалатор метро поднимает стоящего на нем пассажира за время t1 = 0,5 мин.
По неподвижному эскалатору пассажир поднялся бы за время t2 = 1,5 мин.
За какое время поднимется пассажир, идущий по движущемуся эскалатору?
Правообладатель Народная асвета
51
Ускорение
§ 11. Ускорение
ас
ве
та
Движение тел в обычных условиях, как правило, и не равномерное, и не
прямолинейное. Автомобили, самолеты, детали механизмов и т. д. ускоряют или замедляют свое движение, изменяют его направление. Что понимают под ускорением в кинематике?
од
на
я
Проведем опыт. По доске, установленной под небольшим наклоном, пустим
тележку с капельницей (рис. 78). Капельницу предварительно отрегулируем так,
чтобы капли следовали друг за другом с интервалом Δt = 1 с. На доске под капельницей поместим линейку. Положение следов от капель на бумажной полоске
показывает, что перемещение тележки за каждую последующую секунду больше,
чем за предыдущую.
Рис. 78
На
р
Увеличение перемещения тележки за одинаковые промежутки времени говорит о том, что ее скорость изменяется. Какая величина характеризует изменение
скорости? Быстроту этого изменения?
Рассмотрим движение самолета при разбеге перед взлетом (рис. 79). Пусть
через 4,0 с после начала движения его скорость достигла значения v1 = 8,0 м
с
(в точке В), а в конце десятой секунды — значения v2 = 17,0 м (в точке С).
с
Рис. 79
Правообладатель Народная асвета
52
Кинематика
Δt2
ас
ве
та
Чему равно изменение скорости движения самолета за промежуток времени
G
G G
от t0 = 0 до t1 = 4,0 с (т. е. на участке АВ)? Оно равно Δv1 = v1 − v0 . А насколько
G
G
G
изменилась скорость на участке ВС? Это изменение равно Δv2 = v2 − v1 . Так как
G
G
Δv1 = 8,0 м , а Δv2 = 9 м , то на участке ВС изменение скорости было больше.
с
с
Значит ли это, что на нем скорость самолета изменялась быстрее, чем на участке АВ?
Разделим изменение скорости на промежуток времени, за который это изG
Δv
G
менение произошло. Для первого участка получим величину a1 = 1 , для втоΔt1
G
G
G
G
Δv
рого — a2 = 2 . Так как a2 = 1,5 м2 , а a1 = 2,0 м2 , то скорость самолета росс
с
ла быстрее на участке АВ.
G
G
Именно величина a = Δv , называемая ускорением, характеризует быстроту
Δt
изменения скорости.
Ускорение — это физическая векторная величина, модуль которой численно равен модулю изменения скорости за единицу времени, а направление совпадает с направлением вектора изменения скорости:
я
G
G
a = Δv .
(1)
од
на
Δt
Формула (1) определяет среднее ускорение за промежуток времени Δt. По этой формуле
можно с необходимой точностью найти и мгновенное ускорение. Следует лишь (как и при переходе от средней скорости к мгновенной, см. § 9) вычислять ускорение за достаточно малый
промежуток времени.
Единицей ускорения в СИ является 1 м2 — ускорение прямолинейно двис
жущегося тела, модуль скорости которого изменяется на 1 м за секунду.
с
На
р
Ускорение — одна из самых важных величин в механике. Всем известно,
что плавное торможение автомобиля, автобуса, поезда практически неощутимо
для пассажиров, а резкое — очень опасно. Значит, решающее значение здесь имеет не изменение скорости,
а быстрота этого изменения, т. е. ускорение. Контролировать ускорение необходимо при движении транспорта, при работе различных механизмов, при запуске
космических кораблей и т. д. Для измерения ускорения
существуют специальные приборы — акселерометры
(рис. 80) (лат. accelero — ускоряю и греч. metreо^ —
Рис. 80
измеряю).
Правообладатель Народная асвета
Ускорение
53
ас
ве
та
На автомобиле можно установить устройство, снабженное акселерометром и радиопередатчиком, которое в случае
аварии практически мгновенно сообщит о ней в службу спасения. Устройство сработает от возникающего при столкновении кратковременного ускорения, достигающего огромного значения.
Как направлено ускорение? Из формулы (1) видно, что направление ускорения совпадает с направлениG G
G
ем изменения скорости Δv = v2 − v1. А как направлено
G
ускорение по отношению к скорости v2 ? При разбеге
самолета перед взлетом направления ускорения и скорости движения самолета совпадают (рис. 81).
Но всегда ли это так?
Рассмотрим движение самолета, замедляющего
свое движение при посадке (рис. 82). Пусть модуль его
скорости за промежуток времени Δt = 2,5 с уменьшился
с
с
Рис. 82
я
от v1 = 20,0 м до v2 = 15,0 м . Значит модуль ускорения
Рис. 81
од
на
самолета: a = Δv = 2,0 м2 . Направление же ускорения определяется направлениΔt
с
G G
G
ем вектора Δv = v2 − v1 . В данном случае он направлен противоположно скорости самолета (см. рис. 82).
На
р
G
G
При прямолинейном движении ускорение a направлено либо по скорости v
(если ее модуль растет), либо противоположно скорости (если ее модуль убывает).
Обратите внимание на то, что движение тела и с увеличением модуля скорости (с набором скорости, с разгоном тела), и с его уменьшением (с потерей скорости, с торможением) является движением с неравным нулю ускорением. РазG
G
личие состоит лишь в направлении ускорения a по отношению к скорости v.
А как направлено ускорение при криволинейном движении? Этот вопрос очень важен. Мы
рассмотрим его в § 15. Отметим только, что при криволинейном движении, из-за изменения
G
направления скорости, ускорение a будет отлично от нуля, даже если модуль скорости не изменялся в процессе движения.
Только при равномерном прямолинейном движении ускорение в любой
момент времени равно нулю.
Самым простым из всех неравномерных движений является прямолинейное
движение с постоянным ускорением. Если при таком движении модуль скорости
Правообладатель Народная асвета
54
Кинематика
растет, то его называют равноускоренным, если уменьшается, — равнозамедленным.
При движении с постоянным ускорением
G G
G
JJJJJJG
G
v − v0
a = Δv =
= const,
Δt
Δt
ас
ве
та
а проекция ускорения на любую ось, например на координатную ось Ох, постоянна и равна:
v −v
(2)
ax = x 0 x .
Δt
Главные выводы
од
на
я
1. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.
G
G
2. Ускорение a направлено по вектору изменения скорости Δv.
3. При прямолинейном движении ускорение направлено либо по скорости
(если ее модуль растет), либо противоположно скорости (если ее модуль убывает).
4. Только при равномерном прямолинейном движении ускорение в любой
момент времени равно нулю.
Контрольные вопросы
На
р
1. Куда направлено ускорение? Как найти его модуль?
2. В каких единицах измеряется ускорение?
3. Как направлено ускорение по отношению к скорости при прямолинейном движении?
4. Равно ли нулю ускорение движения, при котором модуль скорости остается постоянным, а направление скорости изменяется? Почему?
5. Может ли ускорение быть не равным нулю в тот момент, когда равна нулю скорость? Ответ обоснуйте.
6. От чего зависит знак проекции ускорения? Разберите оба примера (см. рис. 81, 82).
Рассмотрите два варианта направления оси Ох (вправо и влево на рисунке).
§ 12. Скорость при прямолинейном движении
с постоянным ускорением
Самое простое из всех неравномерных движений — прямолинейное движение с постоянным ускорением. При каких условиях оно будет равноускоренным? Равнозамедленным? Как найти мгновенную
скорость тела, движущегося с постоянным ускорением?
Правообладатель Народная асвета
Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением
ас
ве
та
Рассмотрим движение шарика по наклонному желобу (рис. 83). Трением при
движении пренебрегаем. Ускорение шариG
ка a считаем постоянным. В момент t0 = 0
шарику была сообщена начальная скоG
G
G
рость v0 . Направления векторов a и v0
показаны на рисунке 83. Как найти мгновенную скорость движения шарика?
G
G
Из определения ускорения a = Δv
55
Δt
находим изменение скорости шарика:
G G
G G G
Δv = aΔt. Подставляя сюда Δv = v − v0
G G
G
и Δt = t − t0 = t, получим: v − v0 = at. Таким образом,
G G
G
(1)
v = v0 + at.
Рис. 83
од
на
я
Мгновенная скорость движения с
постоянным ускорением линейно зависит от времени.
А как зависит от времени проекция
скорости движения шарика на ось Ох (см.
рис. 83)? Из формулы (1) следует:
vx = v0 x + ax t.
(2)
На
р
Если ось Ох выбрана так, как показано на рисунке 83, то для рассматриваемого движения шарика v0 x = v0 0,
Рис. 84
ax = a 0 и vx = v0 + at. Соответствующие графики зависимостей проекций ускорения ах и скорости vх от времени
(прямые 1 и 1’) представлены на рисунке 84, а, б. Они описывают равноускоренное движение.
Рассмотрим второй пример, отличающийся от первого тем, что начальная
G
скорость шарика v0 направлена вдоль желоба вверх (рис. 85). Двигаясь вверх,
шарик будет постепенно терять скорость. В точке А он на мгновение остановится
и начнет скатываться вниз.
Выбрав ось Ох, как показано на рисунке 85, получим: ax = − a 0,
v0 x = v0 0, vx = v0 − at. По этим формулам построим графики зависимости
Правообладатель Народная асвета
56
Кинематика
На
р
од
на
я
ас
ве
та
проекций ускорения ах и скорости vх от
времени (см. рис. 84, а, б, прямые 2 и 2′).
График 2 показывает, что ускорение
шарика постоянно и имеет направление,
противоположное направлению оси Ох.
График 2′ показывает, что вначале,
пока шарик двигался вверх, проекция скорости vх была положительна. Она уменьшалась и в момент времени t = tп обратилась в нуль. В этот момент шарик достиг Рис. 85
точки А (см. рис. 85) — точки поворота.
В этой точке направление скорости шарика изменяется на противоположное. После этого, т. е. при t tп, шарик движется вниз, и проекция скорости становится
отрицательной.
Из графиков 2 и 2′ (см. рис. 84, а, б) и рисунка 85 видно, что до момента поG
G
ворота, т. е. при t tп, скорость v и ускорение a имеют противоположные направления, а модуль скорости уменьшается — шарик движется равнозамедленG
G
но. При t tп направления v и a совпадают, а модуль скорости растет — движение шарика становится равноускоренным.
Постройте для обоих примеров графики зависимости модуля скорости от времени.
Какие еще закономерности прямолинейного движения с постоянным ускорением можно установить с помощью графиков?
В § 8 для равномерного прямолинейного движения мы показали, что площадь
фигуры между графиком проекции скорости vх и осью времени (см. рис. 56) численно равна проекции перемещения Δrx . Примем без доказательства, что это
правило можно применять и к неравномерным движениям. Тогда, согласно рисунку 86, проекция перемещения Δrx при движении с постоянным ускорением определяется площадью трапеции АВСD. Эта площадь
равна произведению полусуммы оснований трапеции
AB + DC
2
Δrx =
v0 x + vx
2
t.
(3)
Поскольку среднее значение проекции скорости
vx =
Рис. 86
на ее высоту АD. Таким образом,
Δrx
Δt
, из формулы (3) следует:
vx =
v0 x + vx
2
.
Правообладатель Народная асвета
(4)
Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением
57
При движении с постоянным ускорением соотношение, аналогичное равенству (4), выполняется не только для проекций, но и для векторов:
G
G
G
v +v
v = 0
.
2
(5)
ас
ве
та
Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме
начальной и конечной скоростей.
Формулы (3), (4) и (5) нельзя использовать для движения с непостоянным
ускорением. Это может привести к грубым ошибкам.
Проверьте самостоятельно, что площадь фигуры, ограниченной графиком проекции ускорения ах и осью времени t (см. рис. 84, а), взятая со знаком «+» при ах 0 и со знаком «−»
при ах 0, численно равна изменению проекции скорости Δvx за время от 0 до t. Докажите также, что тангенс угла наклона графика проекции скорости vx к оси времени t (см. рис. 84, б), численно равен проекции ускорения ах.
Главные выводы
од
на
я
1. При движении с постоянным ускорением скорость линейно зависит от
времени.
2. Если при прямолинейном движении с постоянным ускорением направления мгновенной скорости и ускорения совпадают, то тело движется равноускоренно, если эти направления противоположны — то равнозамедленно.
3. Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме
начальной и конечной скоростей.
На
р
Контрольные вопросы
1. Как зависит скорость от времени при движении с постоянным ускорением?
2. Что представляет собой график проекции скорости при прямолинейном движении
с постоянным ускорением?
3. Может ли при движении с постоянным ускорением повториться значение модуля
скорости тела? Когда это возможно? Приведите примеры.
4. Как, зная проекции vx и аx, определить, ускоряется или замедляется движение
тела?
5. В каких случаях проекции векторов vx, v0x и аx равны модулям векторов
G
G G
v, v0 и a ?
6. Что происходит со скоростью движения тела в момент времени t = tп (см. рис.
84, б)?
7. Что можно определить из графиков проекции ускорения и проекции скорости?
Правообладатель Народная асвета
58
Кинематика
Пример решения задачи
ас
ве
та
Автомобиль двигался со скоростью, модуль которой v1 = 72 км . Увидев красч
ный свет светофора, водитель на участке пути s = 50 м равномерно снизил скорость до v2 = 18 км . Определите характер движения автомобиля. Найдите нач
правление и модуль ускорения, с которым двигался автомобиль при торможении.
Решение
Движение автомобиля было равнозамедленным.
Ускорение автомобиля направлено противоположно направлению его движения. Модуль ускорения:
Д а н о:
v1 = 72 км = 20 м
v2 = 18
ч
км
ч
= 5,0
с
м
с
s = 50 м
a=
a—?
G
G
v2 − v1
Δt
=
v2 − v1
Δt
.
Время торможения:
v +v
Δt = s , где v = 2 1 .
2
v
Тогда
.
=
2
2
400 м2 − 25 м2
с
с
2 50 м
2s
≈ 3,8 м2 .
с
од
на
О т в е т: a = 3,8
м
с2
=
v22 − v12
я
a=
(v2 − v1 ) (v2 + v1 )
2s
Упражнение 7
На
р
1. Велосипедист, двигаясь равноускоренно по наклонному участку шоссе,
увеличил модуль скорости своего движения с v1 = 3,0 м до v1 = 6,0 м за время
с
с
Δt = 10 с. С каким ускорением двигался велосипедист?
2. Локомотив, приближаясь к станции, изменил модуль скорости движения
с v1 = 72 км до нуля за промежуток времени Δt = 1,5 мин. Определите модуль
ч
ускорения движения локомотива. Куда направлено ускорение?
3. Какую максимальную скорость за время t = 12 с приобретут санки, на которых дети съезжают с горы, если модуль ускорения санок а = 0,80 м2 ?
с
4. Моторная лодка двигалась с постоянным ускорением, проекция которого
ах = −0,30 м2 . Проекция скорости лодки изменилась с v1x = 4,0 м до v2x = 1,0 м .
с
с
с
За какой промежуток времени произошло это изменение?
5. Проекция vy мгновенной скорости сигнальной ракеты, выпущенной из
ракетницы вертикально вверх, изменяется со временем по закону: vy = A − Bt,
где А = 200 м , В = 9,81 м2 . Определите модуль скорости вылета ракеты из
с
с
Правообладатель Народная асвета
Путь, перемещение и координата тела при прямолинейном движении
59
я
ас
ве
та
ракетницы. Чему равен модуль ускорения
ракеты? Как направлено ускорение? Какой будет проекция скорости ракеты через время t = 10,0 с движения? Через какой промежуток времени ракета достигнет
наивысшей точки полета?
6. По графикам проекций скорости
движения мотоциклиста I и бегуна II (рис.
87) определите: а) проекции ускорения их
движения; б) проекции их скорости в момент времени t = 3,0 мин; в) промежуток
Рис. 87
времени движения мотоциклиста до остановки. Запишите уравнения проекций скорости vx(t) для каждого из движений.
Что означает точка А пересечения графиков проекций скорости?
7. Из аэростата, поднимающегося вертикально вверх с постоянной скоростью v0, выброшен балласт. Изобразите график проекции vy скорости движения балласта относительно Земли. Ось Oy направьте: а) вертикально
вверх; б) вертикально вниз.
од
на
§ 13. Путь, перемещение и координата тела при
прямолинейном движении с постоянным ускорением
В предыдущем параграфе мы показали, что мгновенная скорость тела
при прямолинейном движении с постоянным ускорением линейно зависит
от времени. А какова при этом зависимость от времени его координаты?
Его перемещения? Пройденного им пути?
На
р
При прямолинейном движении с постоянным ускорением проекция мгновенной скорости линейно зависит от времени:
(1)
vх = v0 x + ax t.
А как при таком движении зависит от времени проекция перемещения? Координата тела?
Для проекции перемещения в предыдущем параграфе было найдено:
Δrx =
vx + v0 x
2
t.
(2)
Подставляя vx из формулы (1) в формулу (2), находим зависимость проекции
перемещения от времени:
Δrx = v0 x t +
ax t 2
.
2
Правообладатель Народная асвета
(3)
60
Кинематика
Учитывая, что проекция перемещения равна Δrx = x − x0 , из формулы (3)
находим координату:
х = х0 + v0 x t +
ax t 2
.
2
(4)
я
ас
ве
та
Формула (4) выражает кинематический закон прямолинейного движения с
постоянным ускорением и позволяет определить положение тела (его координату)
в любой момент времени. Формулы (3) и (4) показывают, что и проекция перемещения Δrx, и координата тела х квадратично зависят от времени. В математике квадратичную зависимость записывают в виде y(х) = А + Вx + Сx2 .
Ее график представляет собой параболу. Если
С 0, то ветви параболы направлены вверх, а
если С 0, — то вниз (рис. 88).
Покажем, как зависят от времени проекция
перемещения и координата в примерах из предыдущего параграфа (движение шарика с постоянным ускорением по желобу) (см. рис. 83, 85).
Рис. 88
Примем, что модуль ускорения шарика
см
а = 5 2 , а модуль его начальной скорости — v0 = 20 см . Тогда, в соответс
од
на
с
ствии с рисунками 83 и 85, в первом примере v0 x = 20 см , ах = 5 см2 , а во втос
с
ром — v0 x = 20 см , ах = −5 см2 .
с
с
По формулам (1) и (3) найдем значения проекций мгновенной скорости шарика vx и его перемещения Δrx для моментов времени t = 2 с, 4 с, 6 с и 8 с. Занесем полученные значения vx и Δrx в таблицу.
см
с2
см
= 20
с
На
р
Пример 1
Пример 2
см
с
аx = 5
vx ,
v0 x
Δrx, см
ах = −5
v0 x
см
2
с
см
= 20
с
vx ,
см
с
Δrx, см
t=0
t=2с
t=4с
t=6с
t=8с
20
30
40
50
60
0
50
120
210
320
20
10
0
−10
−20
0
30
40
30
0
По данным таблицы построим графики зависимости проекций скорости шарика vх = v0 x + ax t и его перемещения Δrx = v0 x t +
ax t 2
2
от времени.
Правообладатель Народная асвета
Путь, перемещение и координата тела при прямолинейном движении
61
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Мы видим, что в первом примере проекция перемещения все время растет
(рис. 89, б, кривая 2) , а во втором — растет при 0 t tп, а затем уменьшается
(рис. 90, б, кривая 2′). Так происходит потому, что в момент tп = 4 с скорость изменяет свое направление на противоположное (рис. 90, а, график 1′).
А каким будет график пути? Для первого примера (и подобных ему) график пути совпадает с графиком проекции перемещения (см. рис. 89, б, кривая 2). Для второго — они совпадают лишь на промежутке времени от 0 до tп
(см. рис. 90, б). После момента поворота tп проекция перемещения начинает
уменьшаться, а путь продолжает расти. С момента времени tп путь увеличивает-
Рис. 89
Правообладатель Народная асвета
Рис. 90
62
Кинематика
равенство (2): Δrx =
ас
ве
та
ся настолько, насколько уменьшается проекция перемещения. Соответствующий
график пути изображен на рисунке 90, б штриховой линией (кривая 3).
Поскольку проекция перемещения шарика Δrx = x − x0, то график координаты
отличается от графика проекции перемещения (см. рис. 89, кривая 2) только тем,
что он смещен относительно него вверх при х0 0 (кривая 4) или вниз при х0 0
(кривая 5).
Мы знаем, что проекция скорости при движении с постоянным ускорением
линейно зависит от времени (формула (1)). А как изменяется скорость с ростом
перемещения?
v −v
Выразим время t из формулы (1): t = x 0 x . Подставим это выражение в
vx + v0 x
vx − v0 x
2
ax
ax
v2 − v02 x
.
= x
2 ax
Отсюда vx2 − v02 x = 2ax Δrx , или
vx2 = v02x + 2ax Δrx .
(5)
од
на
я
При движении с постоянным ускорением квадрат проекции мгновенной
скорости линейно зависит от проекции перемещения.
Отметим, что при движении с постоянным ускорением соотношения, аналогичные равенствам (1) и (3), выполняются не только для проекций скорости и перемещения, но и для векторов:
G G
G
(6)
v = v0 + at,
G
2
G G
(7)
Δr = v0 t + at .
2
Формулы (6) и (7) справедливы как для прямолинейного,
так и для криволиG JJJJJJG
нейного движения с постоянным ускорением, т. е. при a = const.
Главные выводы
На
р
1. При прямолинейном движении с постоянным ускорением перемещение
и координата движущегося тела являются квадратичными функциями времени.
2. Графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени
представляют собой параболу.
3. Вершина параболы на графике проекции перемещения соответствует
моменту времени, при котором скорость движения равна нулю.
Контрольные вопросы
1. Как, используя график проекции скорости, определить проекцию перемещения
тела при равноускоренном движении?
2. Какова зависимость перемещения, координаты и пути от времени при равноускоренном движении?
Правообладатель Народная асвета
Путь, перемещение и координата тела при прямолинейном движении
63
ас
ве
та
3. Как, зная график проекции перемещения, получить график координаты? Что при
этом надо знать еще?
4. В каком случае графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени совпадают?
0,
5. Где расположена вершина параболы на графике координаты, если v0 x
ax 0 ?
Пример решения задачи
Камень бросают вертикально вверх с высоты h0 = 10 м, сообщив ему
начальную скорость, модуль которой v0 = 30 м . Ускорение движения камня нас
правлено вертикально вниз. Его модуль а = 10 м2 . Определите путь и перемес
щение камня за время t = 4,0 c движения. Постройте графики проекций скорости
и перемещения, а также графики пути и координаты за время от начала движения
до момента падения камня на землю.
Решение
Д а н о:
t = 4,0 с
v0 y = v0 = 30 м ; ay = − a = −10 м2 ;
с
y0 = h0 = 10 м.
с
Найдем время t1 , за которое камень достигнет верхней точки 2 (см. рис. 91). В этой
точке vy = 0. Отсюда
v0 y + ay t1 = 0; t1 =
На
р
s —?
G
Δr — ?
я
а = 10
с
м
с2
Выберем ось Oy, как показано на рисунке 91. Тогда
од
на
h0 = 10 м
v0 = 30 м
v0
a
=
Рис. 92
30 м
с
м
10 2
с
= 3,0 с.
Рис. 91
Согласно формуле vy = v0 y + ay t, построим график зависимости проекции скорости vy от времени (рис. 92).
Площадь OAB минус площадь BDC
(см. рис. 92) равна проекции перемещения
шарика Δrу за время t = 4,0 с, а сумма этих
площадей — пройденному за это же время
пути s:
Δry = 1 OA OB − 1 BD DC ;
2
2
Правообладатель Народная асвета
64
Кинематика
s = 1 OA OB + 1 BD DC.
2
2
Подставляя сюда OA = 30 м ,
с
ОВ = 3 с, BD = 1 c, DC = 10 м ,
с
ас
ве
та
получим: Δrу = 40 м, s = 50 м.
График зависимости проекции перемещения от времени (рис. 93, график 1)
2
построим по формуле Δry = v0 t − at .
График координаты
2
y = y0 + Δry
по-
Δrу(t)
на
лучим, сдвинув график
од
на
я
y0 = h0 = 10 м вверх (рис. 93, график 2).
График пути получим из графика Δrу(t),
Рис. 93
учитывая, что после момента времени
t = 3 c (достижения верхней точки) путь, пройденный шариком, продолжает расти (рис. 93, график 3), в то время как проекция перемещения убывает.
K
О т в е т: s = 50 м; вектор Δr направлен из точки 1 в точку 3 (см. рис. 91);
Δr = 40 м.
Упражнение 8
1. Тележка съезжает с вершины наклонной плоскости за время t = 8,0 с, двигаясь с постоянным ускорением, модуль которого а = 5,0 м2 . Определите длину
с
наклонной плоскости.
2. Электровоз, подходя к станции со скоростью, модуль которой v = 20 м ,
с
На
р
начинает тормозить и через время t = 1,0 мин останавливается. Определите тормозной путь электровоза. Каким будет соотношение между путем и модулем перемещения электровоза за время торможения? С каким ускорением двигался
электровоз?
3. Проекция скорости шарика, движущегося по прямолинейному желобу,
зависит от времени по закону: vx = А + Bt, где А = 10 cм , В = 2,0 cм2 . Опрес
с
делите проекцию ускорения шарика. Чему равна проекция начальной скорости?
Запишите формулы пути, модуля перемещения и координаты шарика, принимая
начальную координату х0 = 4,0 см. Найдите их значения через время t = 6,0 с
движения. Постройте графики пути, проекции перемещения и координаты
шарика.
Правообладатель Народная асвета
Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости
65
ас
ве
та
4. По графикам проекции скорости
(рис. 94) постройте графики проекций ускорения и перемещения равноускоренного движения
двух тел. Охарактеризуйте эти движения. Чему
равно отношение путей, пройденных каждым
телом к моментам времени t1 = 4,0 с и t2 = 8,0 с
движения? Запишите кинематический закон
движения каждого из тел.
5. Подъемный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением,
Рис. 94
модуль которого а = 0,3 м2 . Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2,
с
3 и 4-ю секунды движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля
скорости движения груза от времени.
6. Кинематический закон движения брошенной вверх металлической дробинки имеет вид: у = At — Bt2, где А = 20,0 м , В = 5,0 м2 . Определите путь,
с
с
од
на
я
модуль перемещения и координату дробинки к моментам времени t1 = 2,0 с,
t2 = 4,0 с и t3 = 6,0 с от начала движения. Постройте графики зависимости от времени проекций ускорения и скорости, координаты дробинки, модуля перемещения и пути.
§ 14. Криволинейное движение.
Линейная и угловая скорости при движении тела
по окружности
На
р
До сих пор мы изучали прямолинейное движение. Однако чаще всего
тела движутся по криволинейным траекториям (рис. 95). При этом направление движения непрерывно изменяется. Как описать такое движение? Как направлена мгновенная скорость при криволинейном движении?
Рис. 95
Правообладатель Народная асвета
66
Кинематика
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Рассмотрим участок АВ траектории
(рис. 96), пройденный материальной
точкой за промежуток времени Δt при
криволинейном движении. Длина этого
участка траектории есть путь s, пройG
денный точкой, а вектор Δr представляет собой перемещение точки за это
время. Средняя скорость перемещения
G
G
на участке АВ v1 = Δr направлена по
Δt
G
вектору Δr .
Мгновенная скорость, т. е. скорость в данной точке траектории, направлена по касательной к траектории
Рис. 96
G G G
в этой точке (vA , vB , vC на рис. 96). В
этом можно убедиться, наблюдая, например, за частицами грунта, которые
отрываются от колеса буксующего автомобиля (рис. 97).
Криволинейную траекторию можно
представить как состоящую из прямолинейных участков (МК, АВ) и дуг (КА,
BD) окружностей соответствующих раРис. 97
диусов R1, и R2 и т. д. (рис. 98). Определять кинематические характеристики
при прямолинейном движении мы уже
умеем. Остается изучить движение по
окружности.
Рассмотрим материальную точку (или тело, которое можно принять
Рис. 98
за материальную точку), движущуюся
по окружности
радиусом R. Будем заG
давать положение этой точки с помощью вектора R. Его начало совпадает с центром окружности, а конец находится там, где расположена материальная точка
G
в данный момент времени. Вектор R называют радиус-вектором. На рисунке
JJJG
G
99 радиус-вектор R0 = OA характеризует положение движущейся точки в момент
G JJJG
времени t0 , а радиус-вектор R = OB — в момент времени t. При движении точки по окружности ее радиус-вектор непрерывно поворачивается — совершает
Правообладатель Народная асвета
67
Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости
ас
ве
та
вращательное движение. Например, если за время
Δt движущаяся точка переместится по окружности из
точки А в точку В (см. рис. 99), то за это время ее радиус-вектор повернется на угол Δϕ.
В СИ угол поворота измеряется в радианах (сокращенно — рад). Угол в 1 рад — это центральный
угол, длина l дуги которого равна радиусу R окружности (см. рис. 99, угол COD). Значение любого угла
в радианах равно отношению длины дуги к радиусу
окружности:
(1)
Δϕ = Δl .
R
Рис. 99
На
р
од
на
я
Если материальная точка совершила полный оборот, т. е. прошла путь l = 2πR,
то угол поворота ее радиус-вектора будет равен 2π рад.
Пусть модуль скорости частицы при ее движении по окружности не изменяется (v = const). Тогда за любые равные промежутки времени материальная точка
будет проходить одинаковые пути, а ее радиус-вектор — поворачиваться на одинаковые углы. Такое вращение называют равномерным.
Будьте внимательны! Даже если радиус-вектор точки вращается равномерно, направление скорости движения материальной точки, движущейся по окружности, непрерывно изменяется (см. рис. 99). Ее скорость как вектор не остается
G
G JJJJJJG
постоянной v ≠ const , а значит, ускорение не равно нулю (a ≠ 0)!
Быстроту вращательного движения характеризуют угловой скоростью. Ее
обозначают буквой ω (омега).
При равномерном вращении угловая скорость определяется как величина,
численно равная углу поворота радиус-вектора за единицу времени:
ω=
Δϕ
.
Δt
(2)
рад
Единицей угловой скорости в СИ является 1 радиан в секунду 1
.
с
Угловая скорость при равномерном вращении остается постоянной.
Как связаны между собой скорость движущейся по окружности материальной
точки (ее называют линейной скоростью) и угловая скорость вращения ее радиус-вектора?
Подставим выражение для угла поворота Δϕ из формулы (1) в формулу (2):
ω = Δl . Отношение Δl к Δt равно модулю линейной скорости:
RΔt
Δl
Δt
= v. Значит,
ω = v.
R
Правообладатель Народная асвета
(3)
68
Кинематика
ас
ве
та
Важной характеристикой движения по окружности со скоростью, модуль которой постоянен, является период обращения. Он равен времени, за которое
материальная точка проходит полный оборот по окружности.
Обозначим период буквой Т. За время, равное периоду, радиус-вектор поворачивается на угол Δϕ = 2 π. Значит, согласно формуле (2) угловая скорость
равномерного вращения:
ω = 2π .
T
(4)
С периодом и угловой скоростью связана частота обращения.
Частотой обращения называется величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.
Частоту обращения обычно обозначают греческой буквой ν (ню). Если, например, за 1 с совершено N = 10 оборотов, то частота обращения ν равна 10
оборотам в секунду, а время одного оборота, т. е. период, равен Т = 1 = 1 с =
ν
10
= 0,1 с. Таким образом:
ν = 1.
(5)
я
Т
од
на
Единицей частоты в СИ является единица в секунду 1 , или с−1.
с
Из формул (4) и (5) находим:
На
р
ω = 2 πν.
Рис. 100
(6)
Мы рассмотрели движение точки по окружности. Рассмотрим теперь абсолютно твердое тело,
равномерно вращающееся вокруг закрепленной оси
(рис. 100). Точки, находящиеся на оси, неподвижны.
Остальные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Чем дальше точка от оси вращения тела, тем больше
радиус окружности, которую она описывает. Поскольку тело недеформируемое, углы поворота радиус-векторов всех точек за одно и то же время
одинаковы (см. рис. 100). Значит, одинаковы и их
угловые скорости. В то же время, модули линейной скорости разных точек тела различны. Согласно
формуле (3)
v = ωR .
Правообладатель Народная асвета
Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости
69
Модуль линейной скорости точки абсолютно твердого тела, вращающегося
вокруг оси, прямо пропорционален расстоянию от этой точки до оси вращения
(см. рис. 100).
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. При криволинейном движении материальной точки мгновенная скорость
в каждый момент времени направлена по касательной к траектории движения.
2. Криволинейное движение со скоростью, модуль которой постоянен, является движением с ускорением.
3. Угловая скорость вращательного движения численно равна углу поворота радиус-вектора за единицу времени.
4. При одной и той же угловой скорости линейная скорость тем больше,
чем больше радиус окружности, по которой движется точка.
од
на
я
1. Почему движение по криволинейной траектории со скоростью, модуль которой постоянен, является движением с ускорением?
2. Какой физический смысл имеет угловая скорость? В каких единицах она измеряется?
3. Сколько радиан содержит центральный угол, длина дуги которого равна длине
окружности?
4. Что такое линейная скорость? Как она связана с угловой скоростью?
5. Как связаны между собой период обращения и угловая скорость?
6. Как зависит период обращения от частоты?
Упражнение 9
На
р
1. Материальная точка движется по дуге, представляющей собой половину окружности (рис. 101) радиуса R, из положения А в положение В. Какой
путь прошла точка? Чему равно перемещение точки и его модуль? Изобразите векторы линейной скорости в положениях А,
В, С, считая модуль линейной скорости постоянным.
2. Используя решение предыдущей задачи,
найдите и изобразите векторы:
G
G
G
G
G
G
Δv1 = vC − vA , Δv2 = vB − vC
G
G
G
и Δv3 = vB − vA .
Рис. 101
Правообладатель Народная асвета
70
Кинематика
ас
ве
та
3. Чему равно отношение пути к модулю перемещения при движении материальной точки: а) из положения А в положение В; б) из положения А в положение С (см. рис. 101)? Какой вывод из этих расчетов можно
сделать?
4. Определите угловую скорость, с которой равномерно вращается велосипедное колесо, если за промежуток времени Δt = 1,0 с оно делает четверть оборота.
§ 15. Ускорение точки при ее движении
по окружности
Δt
На
р
од
на
я
Ускорение характеризует изменение скорости за единицу времени.
Но поскольку скорость — вектор, то изменяться может как ее модуль,
так и ее направление. При прямолинейном движении ускорение определяется изменением только модуля скорости. Этот случай мы рассмотрели
раньше. А как определить ускорение, когда модуль скорости постоянен,
а направление скорости изменяется?
G
Пусть материальная точка, двигаясь по окружности со скоростью v, модуль
которой постоянен, за промежуток времени Δt переместилась из положения А
(рис. 102) в положение В. Скорость материальной точки в положениях А и В направлена по касательной к окружности в этих точках, а модули скорости равны:
vA = vB = v.
G
Мгновенное ускорение a можно найти, разделив вектор изменения скорости на малый промежуток времени, за который это изменение произошло:
G
G
(1)
a = Δv .
Рис. 102
Правообладатель Народная асвета
Ускорение точки при ее движении по окружности
71
Из векторного соотношения (1) следует соотношение для модулей:
a = Δv .
Δt
Δv
v
ас
ве
та
Найдем модуль вектора изменения скорости Δv. Для этого перенеG G
G
G
сем вектор vB в точку А (см. рис. 102) и построим вектор Δv = vB − vA . Получившиеся треугольники АCD и ОАВ подобны: они оба равнобедренные
(АD = АC = v; ОA = OB = R) и имеют равные углы Δϕ (углы со взаимно перпендикулярными сторонами АC ⊥ OA, АD ⊥ OB). Из подобия этих треугольников
следует:
= AB = Δr .
R
R
(2)
Разделим обе части равенства (2) на Δt:
Δv 1
Δt v
= Δr 1 .
Δt
R
(3)
я
Так как промежуток времени Δt мал, то Δϕ — малый угол. Для такого угла
дуга l и хорда Δr практически совпадают. Поэтому:
= v.
од
на
Δr
Δt
(4)
Подставим выражение (4) в выражение (3) и, учитывая, что Δv = a, полуΔt
чим: a = v , или
v
R
2
a= v .
R
(5)
На
р
Формула (5) определяет модуль ускорения при движении тела по окружности с линейной скоростью, модуль которой постоянен. Определим направление
G
ускорения. Учтем, что чем меньше Δϕ, тем ближе направление вектора Δv к
G
направлению на центр окружности. Значит, ускорение a направлено по радиусу к центру окружности. По этой причине его называют центростремительным.
С другой стороны, вектор скорости перпендикулярен радиусу окружноG G
сти. Значит, a ⊥ v. Поэтому центростремительное ускорение называют также нормальным ускорением (нормаль — перпендикуляр к прямой или плоскости).
Можно представить формулу центростремительного (нормального) ускорения в других видах. Подставляя в формулу (5) модуль линейной скорости v = ωR,
получим:
Правообладатель Народная асвета
72
Кинематика
a = ω2 R.
(6)
Так как период вращения Т и частота ν связаны с угловой скоростью соотношениями: ω = 2 πν = 2 π , то из формулы (6) следует:
T
ас
ве
та
2
a = 4 π2 ν 2 R = 4 π 2 R .
T
(7)
При решении задач в зависимости от условия можно использовать любую
из приведенных формул — (5), (6) или (7) — для центростремительного ускорения.
Главные выводы
од
на
я
1. При движении по окружности со скоростью, модуль которой постоянен,
ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Оно называется центростремительным (нормальным).
2. В каждой точке окружности центростремительное ускорение перпендикулярно мгновенной скорости.
2
3. Модуль центростремительного ускорения a = v .
R
Контрольные вопросы
На
р
1. Что характеризует ускорение?
2. В каком случае ускорение определяет изменение: а) только модуля скорости;
б) только направления скорости?
3. Почему ускорение при движении точки по окружности со скоростью, модуль которой постоянный, называют:
а) центростремительным;
б) нормальным?
4. Как связан модуль центростремительного ускорения: а) с модулем линейной скорости; б) с угловой скоростью?
Пример решения задачи
Период обращения T1 первого колеса в k = 4 раза больше периода обращения
T2 второго колеса, а его радиус R1 в n = 2 раза меньше радиуса R2 второго колеса.
Во сколько раз отличаются модули центростремительных ускорений точек на
ободе каждого колеса при их равномерном вращении?
Правообладатель Народная асвета
Ускорение точки при ее движении по окружности
Д а н о:
=4
R2
R1
=2
a2
a1
Решение
Модуль центростремительного ускорения точки на ободе каждого
колеса:
4 π2 R1
4 π2 R2
2
a1 = ω12 R1 =
;
a
=
ω
R
=
.
2
2
2
2
2
T1
Их отношение:
—?
Учтем, что R2 = 2R1, T2 =
Тогда
О т в е т:
a2
a1
= 32.
a2
a1
=
T1
.
4
a2
a1
=
T2
ас
ве
та
T1
T2
73
4 π2 R2 T12
T22
4 π R1
2 R1 16T12
R1
T12
Упражнение 10
2
=
R2
R1
T12
T22
.
= 32.
1. Карусель равномерно вращается (рис. 103, вид сверху), с частотой
ν = 0,10 1 . Определите угловую скорость вращения карусели. Найдите модуль
я
c
На
р
од
на
линейной скорости движения «самолета», находящегося на расстоянии R = 5,0 м
от оси вращения карусели. С каким ускорением движется «самолет»? «Самолет»
считать материальной точкой.
2. Во сколько раз модуль линейной скорости конца минутной стрелки часов,
установленных на башне Привокзальной площади Минска, больше модуля линейной скорости часовой стрелки, если длина минутной стрелки R1 = 1,70 м, а
часовой — R2 = 1,30 м?
3. Мотоциклист совершает цирковой номер, двигаясь в горизонтальной плоскости по вертикальной стене (рис. 104, вид сверху) по окружности радиусом
Рис. 103
Правообладатель Народная асвета
Рис. 104
74
Кинематика
ас
ве
та
R = 9,0 м. Определите модуль линейной скорости движения мотоциклиста, если
модуль его центростремительного ускорения а = 16 м2 . Мотоциклиста считать
с
материальной точкой.
4. При равномерном вращении одно колесо за время t1 = 8 c совершает
N1 = 240 оборотов, а второе — за время t2 = 40 c совершает N2 = 600 оборотов.
Во сколько раз отличаются их угловые скорости?
5. Определите модули линейной скорости и центростремительного ускорения
точек на поверхности Земли: а) на экваторе; б) на широте ϕ = 60°. Радиус Земли принять равным R = 6400 км.
6. Вертолет равнозамедленно снижается вертикально с некоторой высоты.
Модуль ускорения вертолета a = 0,20 м2 . Лопасть винта, равномерно вращаясь
с
с частотой ν = 300 об , совершила за время снижения вертолета N = 120 обомин
ротов. С какой высоты снижался вертолет?
2
7. По формуле a = v центростремительное ускорение обратно пропорцио-
R
На
р
од
на
я
нально радиусу R, а по формуле a = ω2 R — прямо пропорционально ему.
Нет ли в этом противоречия?
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
я
од
на
На
р
Правообладатель Народная асвета
76
Динамика
§ 16. Основная задача динамики. Сила
2
ас
ве
та
Изучив кинематику, вы узнали, что такое перемещение, скорость,
ускорение, научились решать задачи о движении. Например, зная, что ускоG G
G
рение падающего
стального шарика постоянно, по формулам v = v0 + a t,
G 2
G G
at
вы легко найдете его скорость и перемещение. Но почему его
Δr = v0 t +
ускорение было постоянным? Чему оно равно? Каким было бы ускорение
падающего шарика на Луне?
Описывая, как движется тело, как по одним характеристикам движения
найти другие, кинематика не отвечает на вопрос: «Почему тело в данных условиях движется именно так, а не иначе?» Раздел механики, который выявляет
причины, определяющие характер движения, и объясняет, каким образом они
влияют на движение, называется динамикой.
я
Законы динамики и методы решения ее задач были установлены более трехсот лет тому назад. Ведущую роль в этом сыграли Галилео Галилей и Исаак Ньютон. Открыв законы динамики,
они заложили основы подлинно научных представлений об окружающем нас мире.
На
р
од
на
Динамика дает ответы на многие вопросы. Например, почему подброшенный
мяч упадет на землю, а движущийся по орбите спутник — нет? С каким ускорением падают тела на разных планетах? Динамика содержит законы, которым
подчиняется движение любого тела — от маленького шарика до космического
корабля, планеты, астероида.
Начнем изучение динамики с вопроса: «От чего зависит движение тела?»
Проведем опыт. Из пружинного пистолета (рис. 105, а) выстрелим железным
шариком. Отметим место его приземления. Повторим опыт при более сжатой
Рис. 105
Правообладатель Народная асвета
Основная задача динамики. Сила
77
На
р
од
на
я
ас
ве
та
пружине. Шарик вылетит с большей
начальной скоростью и приземлится дальше. Изменим угол наклона пистолета (рис. 105, б) и тем самым направление начальной скорости шарика.
Движение шарика снова станет другим.
Изменим начальное положение шариРис. 106
ка, например выпустим шарик с меньшей высоты (рис. 105, в). Это также
повлияет на дальность полета.
Продолжим опыт, изменив внешние условия. Недалеко от пистолета
расположим магнит (рис. 106). Траектория движения шарика стала иной,
так как на шарик (кроме притяжения
Земли и сопротивления воздуха) действовал еще и магнит.
Наконец, вместо железного шарика возьмем пластмассовый. Такая замена также приведет к существенному
изменению движения.
Итак, движение тела зависит:
а) от его начального положения и начальной скорости; б) от действия на
него окружающих тел; в) от характеристик самого тела.
Что означают в механике слова
«действие одного тела на другое»?
Такое действие может быть достаточно сложным. Нелегко разобраться,
Рис. 107
как действует на лодку несущий ее бурный поток (рис. 107, а), или проследить, как действуют друг на друга борцы во время поединка (рис. 107, б).
Однако в случае, когда тела можно
Рис. 108
считать материальными точками, ответ
очень прост: одно тело либо отталкивает от себя другое тело, либо притягивает его к себе. Шары при соударении отталкивают друг друга (рис. 108). Земля притягивает к себе Луну, а Луна — Зем-
Правообладатель Народная асвета
78
ас
ве
та
Динамика
Рис. 110
Рис. 109
На
р
од
на
я
лю. Электрически заряженные тела либо притягиваются, либо отталкиваются
(рис. 109). И силы притяжения, и силы отталкивания направлены по линии, соединяющей тела (см. рис. 109). А сложная картина действия друг на друга протяженных
тел складывается из притяжений и отталкиваний частиц, из которых они состоят.
Опыт показывает, что механическое действие может происходить как при соприкосновении тел, так и на расстоянии. Действие пружины на тело (рис. 110), отталкивание шаров при соударении (см. рис. 108) происходит при непосредственном
контакте. На расстоянии действуют друг на друга заряженные шарики (см. рис. 109),
Земля на тело (см. рис. 105), магнит на железный шарик (см. рис. 106). На огромных расстояниях проявляется действие Солнца на планеты, Земли на Луну и т. д.
Для количественного описания действия одного тела на другое в механике
вводится понятие «сила». Сила — одно из основных понятий динамики. Не случайно слово «динамика» происходит от греческого dynamis — сила.
Сила — это физическая векторная величина, являющаяся количественной
мерой действия одного тела на другое.
Направление силы совпадает с направлением действия одного тела на другое,
а модуль силы показывает, насколько это действие велико.
Рассматривая конкретную силу, мы должны ясно представлять себе:
• на какое тело действует эта сила, т. е. к какому телу она приложена;
• если тело протяженное, то в какой точке приложена сила;
• действие какого тела эта сила характеризует;
• по какой линии и как она направлена;
• каков модуль этой силы.
Единицей силы в СИ является 1 ньютон (1 Н ).
Сила зависит от расстояния между телами и от их характеристик (от способности намагничиваться, от электрического заряда, от деформации тел и т. д.). Выяснение природы сил и законов, по которым можно их найти, — одна из задач физики в целом.
Если известны все силы, действующие на тело, то для описания его движения из всех характеристик тела достаточно знать лишь его массу. Свойства массы мы рассмотрим в § 19.
Правообладатель Народная асвета
Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил
79
Сформулируем основную задачу динамики:
зная массу тела и действующие на него силы, а также начальные скорость и
положение тела, определить его положение и скорость в любой момент времени.
ас
ве
та
Главные выводы
1. Движение тела зависит от его массы, от его начальных положения и скорости и от действия на него других тел.
2. Сила — это количественная мера действия одного тела на другое.
3. Основная задача динамики: определить положение и скорость тела в
любой момент времени, считая известными массу тела, действующие на него
силы, а также начальные положение и скорость тела.
Контрольные вопросы
од
на
я
1. Что изучает кинематика? Динамика?
2. От чего зависит движение тела?
3. К чему сводится действие одной материальной точки на другую? Как направлено
это действие?
4. Почему сила — величина векторная? Что нужно знать о каждой конкретной силе?
5. Какие силы действуют на шарик на рисунках 105, 106 и 110? Действие каких тел
выражает каждая из них?
6. В чем состоит основная задача динамики?
§ 17. Условия равновесия. Момент силы.
Сложение и разложение сил
На
р
В предыдущем параграфе мы рассматривали влияние сил на движение тела. А может ли тело под действием сил находиться в состоянии покоя?
Если несмотря на действие приложенных к телу сил,
оно остается в состоянии покоя, то говорят, что эти силы
уравновешивают (или компенсируют) друг друга, а тело
находится в состоянии равновесия.
На рисунке 111 на шарик действуют два тела: Земля и
G
нить. Почему шарик покоится? Потому, что сила F1 , с коG
торой его притягивает Земля, уравновешивается силой F2 ,
Правообладатель Народная асвета
Рис. 111
80
ас
ве
та
Динамика
я
Рис. 112
На
р
од
на
приложенной к шарику со стороны нити.
G этих сил равны,
G При
G равновесии
G G модули
а направления — противоположны: F1 = − F2 , или F1 + F2 = 0.
А если на тело действуют три силы? Проведем опыт. Используем доску с
отверстиями и три динамометра. Каждый из динамометров одним концом присоединим к проволочному кольцу, а другим — к штырю, вставленному в доску
(рис. 112, а). Положение штырей выберем так, чтобы пружины динамометров
были растянуты.
G G
G
Обозначим через F1 , F2 и F3 силы, с которыми динамометры действуют на
кольцо. Модули
G G этих
G сил определим по показаниям динамометров. Построим векторы сил F1 , F2 , F3 с учетом их направлений и модулей
G
G (рис. 112, б).G По правилу
G G
и
параллелограмма Gнайдем векторную
сумму
сил
F
F
F12 = F1 + F2 ).
1
2 (т.
G
G е. вектор
G
Сравним вектор F12 с вектором F3 . Мы убедимся, что F12 = − F3 (см. рис. 112, б).
G
G G
G
G G
G
Значит, F1 + F2 = − F3 и, следовательно, F1 + F2 + F3 = 0 : векторная сумма сил,
действующих на кольцо, находящееся в равновесии, равна нулю.
Аналогичные опыты, проведенные при любом числе сил любых направлений
и модулей, показывают:
для равновесия тела необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, приложенных к нему, равнялась нулю:
G
G
G
G
(1)
F1 + F2 + ... + Fn = 0.
Правообладатель Народная асвета
Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил
81
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Но достаточно ли выполнения условия (1) для того,
чтобы тело находилось в состоянии равновесия?
Приложим к книге, лежащей на столе,
G G двеG силы,
векторная сумма которых равна нулю F1 + F2 = 0 . Мы
увидим (рис. 113), что под действием этих сил книга не
переместится поступательно
G ниGвправо, ни влево, но и не
останется в покое. Силы F1 и F2 повернут ее по часовой
Рис. 113
стрелке. Значит, условие (1) не гарантирует равновесия.
Какое условие необходимо, чтобы тело не только не перемещалось поступательно, но и не вращалось?
Приложим две силы к покоящемуся диску, способному вращаться вокруг неподвижной оси О′О′ (рис. 114).
Найдем моменты этих сил. Напомним, что моментом силы относительно
оси называют произведение модуля силы на ее плечо, взятое со знаком «+» или
«−» (M = ±F l). Плечо l силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до
линии действия силы (см. рис. 114). Знак «+» берут, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, аGзнак «−» —если по часовой. На каждом
из рисунков
114, а, б, в момент силы F1 отрицателен: M1 = −F1 l1 0, а момент
G
силы F2 положителен: M2 = F2 l2 0.
Рис. 114
Изменяя от опыта к опыту точки приложения сил, их модули и направления,
M2 (см. рис. 114, а) диск повернется по часоможно убедиться, что при M1
M2 — против нее (см. рис. 114, б). При M1 = M2
вой стрелке, а при M1
и противоположных знаках моментов, т. е. при M1 + M2 = 0, диск останется в покое (см. рис. 114, в).
При любом числе сил, приложенных к телу, имеющему неподвижную ось
вращения, условием равновесия будет равенство нулю алгебраической суммы
моментов всех этих сил относительно данной оси:
M1 + M2 + ... + Mn = 0.
Правообладатель Народная асвета
(2)
82
Рис. 115
ас
ве
та
Динамика
Рис. 116
Условие равновесия в виде F1 l1 = F2 l2 — «правило рычага» — связывают с именем
Архимеда. Правило показывает, что с помощью рычага, имеющего «точку опоры» (т. е. закрепленную ось вращения), большую силу можно уравновесить в k раз меньшей силой, если приложить ее в k раз дальше от оси (рис. 115).
На
р
од
на
я
Единица момента силы в СИ — 1 ньютон метр = (1 Н м).
Вращающий момент — важная в практическом отношении физическая величина. Значение момента следует контролировать при работе тормозных систем.
Устройства для сверления, закручивания болтов и гаек снабжаются датчиками и
ограничителями вращающих моментов (рис. 116).
Равенство нулю векторной суммы сил и алгебраической суммы вращающих моментов относительно любой оси есть условие равновесия тела в общем случае.
Для равновесия материальной точки (или для тела, находящегося в условиях, при которых оно не может вращаться), достаточно равенства нулю
векторной суммы всех приложенных сил.
Условия равновесия (1) и (2) служат основой расчетов любых механических устройств (рис. 117), строительных
объектов: зданий, мостов и т. д. Тем самым соотношения (1) и (2) проверены
и надежно подтверждены огромным количеством экспериментов.
Рассмотрим вопрос о сложении
сил. Вернемся к опыту с тремя динамометрами (см. рис. 112). Представим,
Рис. 117
Правообладатель Народная асвета
Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил
83
На
р
од
на
я
ас
ве
та
G
G
G
G
что вместо сил F1 и F2 к кольцу приложили силу F12 . Ясно, что сила F12 уравG
G
G
новесит силу F3 так же, как это делали силы F1 и F2 вместе.
Сила, оказывающая такое же действие, как несколько сил совместно, называется равнодействующей.
кольцо (см. рис. 112,
G Если
G рассматривать
G
G а) как
G материальную точку, то сила
F12 = F1 + F2 будет равнодействующей сил F1 и F2 .
Равнодействующую силу не следует путать с результирующей силой.
Результирующей двух или нескольких сил называется их векторная
сумма.
Опыт показывает, что результирующая сила не во всех случаях будет равнодействующей.
Во-первых, одна сила не может заменить две или несколько сил, приложенных к разным телам.
Во-вторых, две приложенные к одному телу силы, результирующая которых
равна нулю, могут вызвать вращение тела (см. опыт с книгой, рис. 113).
В-третьих, одна сила не способна вызвать такую же деформацию тела, как
две силы, приложенные к нему в разных точках. Так, в опыте с динамометрами
G
и кольцом (см. рис. 112) результирующая сила F12 не сможет вызвать такую же
G
G
деформацию кольца, как силы F1 и F2 вместе взятые.
Если же силы приложены в одной точке или к телу, рассматриваемому как материальная точка, то результирующая сила будет равнодействующей слагаемых сил.
А можно ли заменить одну силу двумя или несколькими силами?
Можно. Такая замена называется разложением силы на составляющие.
Она широко используется при решении задач. Разложение силы на две составляющие легко проделать, используя правило параллелограмма.
Рассмотрим пример. Тело находится на
плоскости
G гладкой наклонной
G
и
сила
упругости
На
него
действуют:
сила
тяжести
(рис. 118).
F
.
F
т
упр Разложив
G
вектор Fт на две составляющие, можно считать, что вместо силы тяжести на тело
G
G
G
действуют две силы: Fт1 и Fт2 . Видно, что силы Fупр и
G
Fт1 уравновешивают друг друга, а вторая составляющая
G
силы тяжести Fт2 не уравновешена. В результате тело
начнет ускоренно двигаться вниз по наклонной плоскости.
Отметим, что силы, действующие на тело, мы изобразили приложенными в одной точке (см. рис. 118).
Мы будем так поступать в тех случаях, когда тело расРис. 118
сматривается как материальная точка.
Правообладатель Народная асвета
84
Динамика
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, приложенных к нему, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой
оси равна нулю.
2. Сила, оказывающая такое же действие, как несколько сил вместе, называется равнодействующей.
3. Равнодействующая сил, приложенных к телу, которое можно считать материальной точкой, равна векторной сумме этих сил.
од
на
я
1. Что означают слова: «силы уравновешивают друг друга»; «тело находится в равновесии»?
2. Как находят векторную сумму (результирующую) нескольких сил?
3. Что такое плечо силы? Момент силы относительно оси? В каком случае момент
силы считается положительным? Отрицательным?
4. Каковы условия равновесия тела? Материальной точки?
5. Что такое равнодействующая нескольких сил?
6. Как разложить силу на составляющие?
7. В каких случаях векторная сумма сил (т. е. результирующая сила) является их равнодействующей, а в каких — нет?
Пример решения задачи
Фонарь массой m = 2,0 кг подвешен на двух тросах одинаковой длины, образующих между собой угол α = 120°. Тросы закреплены на одинаковой высоте.
Определите модули сил натяжения тросов. Примите g = 10 Н .
Д а н о:
кг
Решение
На
р
m = 2,0 кг
α = 120°
g = 10 H
Сделаем рисунок к задаче (рис. 119).
К точке А троса (см. рис. 119) приложены три силы: вес
фонаря, равный силе тяжести
кг
G
mg , действующей на него, а
F1 ?
также
G
G силы натяжения тросов
F1 и F2 . При равновесии точка
F2 — ?
А находится в состоянии покоя,
и равнодействующая этих сил равна нулю:
G G
G G
F1 + F2 + mg = 0. Рассмотрим векторную сумG G
G
му F1 + F2 = F12 (см. рис. 119). Так как тре- Рис. 119
Правообладатель Народная асвета
Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил
85
угольники ABC и ACD — равносторонние, то модули F1 = F2 = F12. Из условия равновесия F12 = mg, значит, F1 = F2 = mg. Тогда
F1 = F2 = 2,0 кг 10 Н = 20 Н.
кг
Упражнение 11
ас
ве
та
Этот же ответ можно получить, исходя из того, что при равновесии сумма
проекций сил на координатные оси равна нулю.
Приравняем к нулю сумму проекций всех сил на оси
Оу: F1 sin 30° + F2 sin 30° − mg = 0.
Ох: − F1 cos 30° + F2 cos 30° = 0;
Отсюда: F1 = F2 = mg = 20 H.
О т в е т: F1 = F2 = 20 H.
од
на
я
1. К телу приложены две силы, модули которых равны F1 = 60 Н, F2 = 80 Н.
Определите максимальное и минимальное значения модуля результирующей силы.
G
G
2. Какой будет результирующая сила, если силы F1 и F2 из условия предыдущей задачи будут направлены под углом α = 90° друг к другу? Сделайте рисунок.
3. Под действием алюминиевого цилиндра массой m = 100 г, подвешенного
к середине горизонтального резинового жгута, половины жгута образовали угол
α = 120° (рис. 120). Определите модули сил натяжения жгута. Как изменятся модули сил натяжения, если точки подвеса А и В приближать друг к другу так, что угол α станет равным: а) α = 90°; б) α = 60°; в) α = 0°? g = 10 H .
кг
На
р
4. Внутри гладкого желоба с углом между плоскостями α = 60° лежит однородный стальной шарик (рис. 121). Модули сил упругости плоскостей
желоба, действующих на шарик, F2 = F1 = 18 Н.
Определите объем шарика.
G
5. Разложите силу F на составляющие, направления которых заданы пунктирными линиями
(рис. 122, а, б, в).
Рис. 121
Правообладатель Народная асвета
Рис. 120
Рис. 122
86
Динамика
§ 18. Движение по инерции.
Первый закон Ньютона.
Инерциальные системы отсчета
ас
ве
та
Вы уже знаете, что тело сохраняет состояние покоя, если на него не действуют силы или приложенные
к нему силы уравновешивают (компенсируют) друг
друга. А при каких условиях тело сохраняет состояние
равномерного прямолинейного движения?
На
р
од
на
я
Ответ на этот вопрос кажется очевидным. Повседневный опыт говорит: чтобы тело двигалось равномерно, его Рис. 123
надо тянуть или толкать (рис. 123) с постоянной силой.
Прекратится действие силы — движущееся тело рано или поздно остановится.
Так считали и известные ученые древности, например Аристотель. Однако «очевидное» утверждение: «для движения с постоянной скоростью нужна постоянная
сила» оказалось неверным. Опровергнуть его удалось в первой половине XVII в.
итальянскому ученому Галилео Галилею. Он применил метод, ставший в физике
основным методом исследования: изучая явления природы, следует проверять
каждую догадку, предположение, идею на опыте.
Проведем опыт, подобный опытам Галилея. Пустим с некоторой высоты железный шарик по наклонному желобу (рис. 124). Шарик скатывается с желоба и продолжает движение по горизонтальной поверхности стола, покрытого: либо тканью
(см. рис. 124, а), либо картоном (см. рис. 124, б), либо стеклом (см. рис. 124, в).
Опыт показывает, что в последнем случае шарик прокатится дальше всего.
Почему? Потому что при движении по стеклу трение было наименьшим. А если
бы трения
G не было совсем? На
G шарик действовали бы только две силы: сила тяжести Fт и сила упругости Fупр (рис. 125), компенсирующие друг друга. Шарик
двигался бы неограниченно долго с постоянной скоростью.
Рис. 124
Рис. 125
Правообладатель Народная асвета
Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
87
Галилей сделал вывод: скорость движения тела остается постоянной, если
на тело не действуют силы или силы действуют, но они компенсируют друг
друга.
Такое движение называют движением по инерции.
ас
ве
та
В земных условиях на тело всегда действуют силы. Астрономические наблюдения над космическими аппаратами, запущенными для исследования отдаленных планет и покинувшими Солнечную систему, подтверждают: для движения по инерции никакие силы не нужны.
На
р
од
на
я
Идеи Галилея получили развитие в работах Ньютона. В 1687 г. он сформулировал важнейшее утверждение:
«всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не вынуждается приложенными к
нему силами изменить это состояние».
Это утверждение является первоначальной формулировкой первого закона
Ньютона, или закона инерции.
В нем заключена главная идея механики. Действовать на тело силой необходимо не для того, чтобы сохранить его скорость неизменной, а чтобы изменить
ее. Сила нужна не только для изменения модуля скорости, но и для изменения
ее направления.
Опыт показывает, что изменение скорости под действием сил не происходит
мгновенно. Свойство любого тела изменять скорость своего движения только под
действием сил, причем не мгновенно, а постепенно, называют инертностью тела.
Не претендуя на строгость, можно сказать — тела как бы «стремятся» сохранять
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Именно поэтому
автомобиль «заносит» на повороте, пассажиров «бросает» вперед, когда автобус
резко тормозит (рис. 126), поезд нельзя остановить мгновенно и т. д.
Мы знаем, что характеристики движения относительны — они зависят от системы отсчета. В любой ли системе отсчета движение тела, на которое не действуют силы (или силы компенсируют друг друга), будет равномерным?
Рис. 126
Правообладатель Народная асвета
88
Динамика
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Проведем опыт. Тележку с находящимся на ней игрушечным автомобилем будем двигать равномерно
и прямолинейно (рис. 127, а). Относительно тележки
автомобиль поG
G
коится ( vотн = 0 ), а относительно Земли — движется с постоянной скоросG
тью, равной скорости тележки vтел .
Резко ускорим движение тележки. Автомобиль покатится по тележке назад
(рис. 127, б). А если резко замедлить
движение тележки? Автомобиль покатится по тележке вперед (рис. 127, в).
Создается впечатление, что автомобиль двигала какая-то сила.
На самом деле такой силы нет.
Силы тяжести и упругости, действуюРис. 127
щие на автомобиль, компенсировали
друг друга. Сила трения пренебрежимо
мала. Поэтому автомобиль двигался, сохраняя неизменной свою скорость относительно Земли. Двигаясь относительно Земли равномерно, автомобиль отставал
от тележки во время ее разгона и опережал тележку при ее торможении.
Таким образом:
• относительно системы отсчета, связанной с Землей,
автомобиль все время двигался с постоянной скоростью;
• относительно системы отсчета, связанной с тележкой:
а) автомобиль покоился, пока тележка двигалась равномерно;
б) во время разгона и торможения тележки, несмотря на то, что силы, приложенные к автомобилю, компенсировали друг друга, его скорость относительно
тележки изменялась.
Тело, на которое не действуют силы (или действующие силы компенсируют
друг друга), называют свободным.
Системы отсчета, в которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно, называются инерциальными, а те, относительно которых свободные
тела движутся с ускорением, — неинерциальными.
Судя по результатам опыта (см. рис. 127), система отсчета, связанная с Землей, инерциальна. Система же, связанная с тележкой, инерциальна только тогда,
когда тележка движется относительно Земли равномерно, и неинерциальна, когда относительно Земли она движется с ускорением.
Правообладатель Народная асвета
89
ас
ве
та
Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
Рис. 128
од
на
я
А что говорят более точные опыты? Они показывают, что систему отсчета,
связанную с Землей, — геоцентрическую систему (рис. 128, а) — можно считать инерциальной только приближенно. С гораздо большей точностью инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему отсчета. Ее начало координат связано с Солнцем, а оси координат направлены на далекие звезды
(рис. 128, б).
Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной.
Если система отсчета движется ускоренно относительно инерциальных систем или вращается относительно них, то она будет неинерциальной. Очевидно, что неинерциальными являются системы отсчета, связанные с ракетой на
участке разгона, резко тормозящим поездом, быстро вращающейся каруселью
и т. п.
На
р
Мы не замечаем неинерциальности геоцентрической системы из-за того, что Земля вращается вокруг своей оси медленно (один оборот за 24 ч).
Пользоваться неинерциальными системами «не запрещено». При решении задач динамики
с использованием таких систем в уравнения вводят поправки на неинерциальность.
Существование реальных систем отсчета, свойства которых практически совпадают со свойствами инерциальных, является одним из важнейших фактов, установленных физикой. Поэтому в настоящее время первому закону Ньютона дают
следующую формулировку:
существуют системы отсчета, в которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно.
Первый закон Ньютона подтвержден всем развитием физики и применением ее законов
на практике на протяжении почти четырех столетий. Теперь для образованных людей очевидны
представления о движении Галилея и Ньютона, а не Аристотеля.
Правообладатель Народная асвета
90
Динамика
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Для того чтобы тело двигалось равномерно и прямолинейно, не требуется действия сил.
2. Любое тело обладает свойством сохранять свою скорость постоянной,
если на него не действуют силы (двигаться по инерции).
3. Первый закон в формулировке Ньютона: «Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку
оно не вынуждается приложенными к нему силами изменить это состояние».
4. Первый закон Ньютона в современной формулировке: «Существуют системы отсчета, в которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно».
од
на
я
1. Как в результате работ Галилея изменились взгляды на причины движения?
2. Что представляет собой движение по инерции?
3. В чем смысл первого закона Ньютона? Как его формулируют?
4. Как называются системы отсчета, в которых свободные тела движутся равномерно
и прямолинейно?
5. Какие системы отсчета близки к инерциальным, а какие — нет? Приведите примеры.
§ 19. Масса
На
р
Мы часто вместо слова «масса» говорим «вес», а слова «массивный» и
«тяжелый» считаем синонимами. Если это допустимо в обычной речи, то
с точки зрения физики — это грубая ошибка. Представим, что на космической станции, построенной на Луне, проходят соревнования по штанге. На них любой ученик смог бы поднять стокилограммовую штангу. Легче ли штанга на Луне, чем на Земле? Да. Меньше ли на Луне масса штанги? Нет!
В 7-м классе вы узнали, что:
• масса — мера инертности тела;
• сила, с которой Земля притягивает тело, пропорциональна его массе
(Fт = gm);
• массу можно найти путем взвешивания;
• масса тела зависит от количества вещества, содержащегося в нем;
• единицей массы в СИ служит 1 килограмм (1 кг).
Правообладатель Народная асвета
Масса
ас
ве
та
91
На
р
од
на
я
Что еще нужно знать о массе? Одинакова
ли масса тела на Земле, на Луне, на орбитальной станции? Как сравнить массы двух тел?
Сравнить массы двух тел можно различными способами.
1. Сравнение масс тел путем взвешивания на весах
Имеются два типа весов: рычажные
(рис. 129, а, б) и пружинные (рис. 129, в, г).
Рис. 129
Современные электронные весы (рис. 129, д)
по принципу действия относятся к одному из этих двух типов. Для всех весов
определение массы производится путем сравнения двух сил: силы F — притяжения к Земле взвешиваемого тела и силы Fэт — притяжения к Земле эталона
(гирь).
На рычажных весах (см. рис. 129, а, б) при равенстве плеч силы притяжения
к Земле взвешиваемого тела и набора гирь будут одинаковы и масса тела будет
равна массе гирь (m = mэт ).
При взвешивании на пружинных весах их показания пропорциональны силе
F, с которой Земля притягивает взвешиваемое тело. На Луне эти показания были
бы меньше, чем на Земле (примерно в 6 раз). Чтобы по силе притяжения найти массу тела, следует провести «контрольное взвешивание»: взвесить на тех же
весах эталон массы. Поскольку модуль силы притяжения эталона Fэт = gmэт , а
тела — F = gm, то:
m = F .
(1)
mэт
Fэт
Тогда и на рычажных, и на пружинных весах значение массы будет одним и
тем же и на Земле, и на Луне. Для рычажных весов это очевидно: тело будет
Правообладатель Народная асвета
92
Динамика
уравновешено таким же набором гирь. Для пружинных весов модуль силы F на
Луне будет меньше, чем на Земле, но во столько же раз меньше будет и модуль
силы Fэт. В результате получаемое из соотношения (1) значение массы
m = mэт F
Fэт
(2)
На
р
Рис. 130
од
на
я
ас
ве
та
не изменится.
А можно ли сравнить массы тел, не используя силы притяжения?
2. Сравнение масс по инертности тел
Любое тело обладает свойством двигаться по инерции, сохраняя свою скорость неизменной, пока на это тело не подействуют силы. При этом одни
тела легче разогнать (а разогнав, остановить), а другие — труднее. Для разгона или остановки груженой тележки на нее следует действовать гораздо
большей силой (или гораздо дольше), чем на порожнюю. Груженая тележка более
инертна.
Как определить, во сколько раз одно тело более инертно, чем
другое?
Проведем опыт. Поставим на горизонтальную поверхность две тележки разной массы (m1 m2), способные катиться
почти без трения. Сообщим тележкам одинаковые ускорения. Для этого на тележку
1 придется подействовать силой, большей, чем на тележку 2 (рис. 130). Первая тележка во столько раз инертнее второй, во сколько раз модуль силы F1 больше, чем F2. Для массы как меры инертности получится такая же пропорция, как
и при взвешивании:
m1
m2
=
F1
F2
.
(3)
Подобный опыт можно использовать для сравнения масс любых тел
в любых условиях: на Земле, на Луне, на орбитальной станции. При этом
F1 следует понимать как модуль результирующей всех сил, приложенных к первому телу, F2 — ко второму.
Массу как меру инертности называют инертной массой, а массу, определяемую по силе
притяжения тел друг к другу, — гравитационной массой. Равенство инертной и гравитационной масс неоднократно проверялось на опыте. Современные эксперименты гарантируют, что
различие инертной и гравитационной масс (если оно есть) для тела массой в одну тонну меньше
одной миллионной доли грамма.
Правообладатель Народная асвета
Масса
93
Напомним еще о двух практически важных свойствах массы:
• общая масса m нескольких тел равна сумме их масс:
m = m1 + m2 + m3 + …;
(4)
где ρ — плотность вещества.
ас
ве
та
• масса однородного вещества, заключенного в объеме V, пропорциональна
этому объему:
m = ρV,
(5)
од
на
я
У массы есть еще одно удивительное свойство. Она является мерой заключенной в теле
энергии. Такой вывод был сделан А. Эйнштейном в 1905 г. Оказывается, в 1 г любого вещества
запасено столько энергии (она называется энергией покоя), сколько энергии выделяется при
сгорании 200 тыс. т нефти! Правда, природа крайне скупо распоряжается этими запасами. При
химических реакциях высвобождается около одной миллионной доли процента, а при ядерных
процессах — порядка 1 %. Все 100 % этой энергии высвобождаются в процессе встречи частицы со своей античастицей: протона с антипротоном, электрона с позитроном и т. д.
Если часть энергии покоя высвобождается при объединении двух или нескольких частиц, то
масса получившейся частицы будет меньше, чем сумма масс исходных частиц. В таких случаях
«очевидное» равенство (4) выполняется лишь приближенно. Это весьма существенно для процессов, происходящих с ядрами атомов.
То, что одна скалярная физическая величина — масса — характеризует три отмеченных
выше важнейших свойства любого тела, является одним из самых фундаментальных законов
природы.
Главные выводы
На
р
1. Масса тела — мера его инертности.
2. Масса тела — мера его гравитационных свойств.
3. Масса данного тела на Земле, на Луне, на космической станции и т. д.
одинакова.
Контрольные вопросы
1. Мерой каких свойств тела является его масса?
2. Почему нагруженную тележку труднее разогнать или остановить, чем ненагруженную?
3. Какими способами можно сравнить массы двух тел? Какой из этих способов можно использовать на орбитальной станции?
4. Изменится ли масса тела при его переносе с Земли на орбитальную станцию? На
другую планету?
Правообладатель Народная асвета
94
Динамика
Упражнение 12
ас
ве
та
1. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли? Луны? Электрона?
2. Какова масса воды в аквариуме размером 1 1 1 м? Какова масса воздуха
в этом же объеме (при нормальных условиях)? Что больше: масса 1 м3 бетона
или 1 м3 алюминия? Какова масса 1 л воды; 1 л ртути; 1 л бензина?
3. Показания динамометра, к которому подвешен металлический цилиндр
объемом V = 100 см3 , равны P = 2,70 H. Изменятся ли показания динамометра, если опыт проводить на Луне? Чему равна масса цилиндра и его плотность
на Земле? На Луне? Принять g = 10 Н .
кг
4. Определите массу детали, если на неравноплечих весах ее уравновесила
гиря массой m = 250 г. Отношение плеч l1 l2 = 2. Рассмотрите два случая.
§ 20. Второй закон Ньютона — основной закон
динамики
од
на
я
Мы знаем, что скорость тела может измениться лишь в результате действия на него других тел. Следовательно, тело приобретает ускорение только в том случае, когда к нему приложены силы. Как найти это
ускорение? Куда оно направлено? Каков его модуль?
На
р
Проведем простой опыт. К тележке, движущейся
по гладкой горизонтальной
G
G
G
приложим
силу
Поскольку
сила тяжести Fт и
F.
v,
поверхности со скоростью
G
компенсируют друг друга, а сила сопротивления
сила упругости Fупр (рис. 131)
G
пренебрежимо мала,G сила F равна результирующей всех приложенных к тележке сил. Если силу F направить по скорости (см. рис. 131, а), то она будет разгонять тележку, если против скорости (см. рис. 131, б), — тормозить ее.
G
Куда направлено ускорение a тележки? При разгоне оно направлено по скорости (см. рис. 131, а), а при торможении — противоположно
ей (см. рис. 131, б).
G
G
Но в обоих случаях направления векторов a и F совпадают. Опыт показывает:
ускорение прямолинейно движущегося тела направлено по результирующей всех
сил, приложенных к нему.
Рис. 131
Правообладатель Народная асвета
Второй закон Ньютона — основной закон динамики
95
На
р
од
на
я
ас
ве
та
А как направлено ускорение тела, если
модуль его скорости не изменяется, а изменяется направление? Проведем опыт с телом, движущимся по окружности.
Подвесим на нити легкий динамометр,
а к нему — достаточно массивный шарик
(m = 0,2—0,4 кг) (рис. 132). Придадим шарику такую начальную скорость, чтобы он
двигался по окружности в горизонтальной
плоскости. На шарик действуют сила натяG
G
жения нити Fн , сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха. Сила сопротивления,
вызывающая постепенное замедление движения шарика, мала. Поэтому модуль скоРис. 132
рости шарика можно считать практически
постоянным, а результирующую сил, действующих на шарик, равной сумме сил
Fн и Fт. Модуль Fн измеряется динамометром. Модуль Fт = mg. Опыт показывает,
G G
G
что результирующая F = Fн + Fт направлена к точке О (см. рис. 132).
Из кинематики известно, что при движении по окружности со скоростью,
G
модуль которой постоянен, ускорение a направлено к центру окружности
(см. рис. 132). Следовательно, и в этом опыте ускорение и результирующая сила
имеют одинаковые направления.
Проведенные опыты, как и множество других опытов с движущимися телами,
показывают: ускорение тела направлено по результирующей всех сил, приложенных к нему, при любом движении тела по любой траектории.
А как зависит модуль ускорения от модуля силы, приложенной к телу, и от
его массы?
Рассмотрим опыты, в которых легкую тележку, находящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, разгоняют из состояния покоя (рис. 133).
В этих опытах модуль результирующей всех сил F, приложенных к тележке,
определяется по показаниям динамометра. Ускорение тележки a можно найти,
измерив путь s (см. рис. 133), пройденный тележкой за определяемое по секун2
домеру время t. Из формулы кинематики s = at следует: a = 22s .
2
t
Пусть в первом опыте модуль результирующей силы равен F1, а путь, пройденный тележкой за время t, равен s1 (см. рис. 133, а). Увеличим силу в два
раза (см. рис. 133, б). За то же время тележка пройдет в два раза больший путь
s2 = 2 s1 . Значит, в два раза большая сила сообщает телу в два раза большее
Правообладатель Народная асвета
96
ас
ве
та
Динамика
Рис. 133
од
на
я
ускорение: a2 = 2a1. Продолжив опыты (см. рис. 133, в), можно убедиться, что
при увеличении модуля силы F в 3, 4, 5, … раз модуль ускорения а увеличится
тоже в 3, 4, 5, … раз.
Модуль ускорения тела прямо пропорционален модулю результирующей
всех сил, приложенных к нему:
а∼F
(1)
На
р
(знак ∼ обозначает пропорциональность двух величин).
G
Изменим характер опытов. Будем теперь одну и ту же силу F прикладывать
к телам разных масс (рис. 134). Определять ускорение будем тем же способом,
что и раньше. Мы убедимся, что под действием одной и той же силы, тело в
2 раза большей массы приобретет в 2 раза меньшее ускорение. Увеличивая в последующих опытах массу ускоряемого тела в 3, 4, 5, … раз, мы убедимся, что модуль ускорения в 3, 4, 5, … раз уменьшится.
Модули ускорений, приобретаемых телами под действием одинаковых сил,
обратно пропорциональны массам этих тел:
a∼ 1.
m
(2)
Какой формулой можно выразить обе закономерности (1) и (2) одновременно? Формулой a = k F , где k — постоянный коэффициент. Он зависит от выm
Правообладатель Народная асвета
Второй закон Ньютона — основной закон динамики
ас
ве
та
97
я
Рис. 134
од
на
бора единицы силы. Единицей силы в СИ является 1 ньютон (1 Н) — сила,
под действием которой тело массой 1 кг движется с ускорением 1 м2
=1
кг м
с2
. Поэтому в СИ коэффициент k = 1, а модуль ускорения:
a= F.
m
с
1Н=
(3)
Убедиться в том, что соотношение (3) справедливо и для движения по окружности, можно, вернувшись к опытам с шариком (см. рис. 132). Модуль F можно определить из параллелограмма сил (см. рис. 132). Ускорение — по формуле
На
р
2
a = 4 π2 R , измеряя в каждом из опытов радиус окружности R и период обращения Т.
T
Из того, что мы знаем теперь о причине ускорения, о его направлении и модуле, можно сделать вывод.
Ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил,
направлено по результирующей этих сил. Модуль ускорения прямо пропорционален модулю результирующей силы и обратно пропорционален массе тела.
Это основной закон динамики — второй закон Ньютона. Его математическим выражением является векторное равенство:
G
G
a= F.
m
Правообладатель Народная асвета
(4)
98
Динамика
я
ас
ве
та
Формула (4) подчеркивает, что сила является причиной, а ускорение — следствием. Равенство (4), представленное в виде
G
G
(5)
F = ma,
G
показывает,
как по массе m и ускорению a (следствию) найти результирующую
G
силу F (причину ускорения).
G При использовании формул (4) и (5) следует иметь в виду, что
сумма всех сил, приложенных к рассматриваемому телу:
FG —G этоG векторная
G
F = F1 + F2 + ... + Fn .
Почему второй закон Ньютона является основным законом динамики? Потому, что он позволяет решить ее основную задачу: по начальным положению и
скорости и действующим на него силам определить положение и скорость движения тела в любой момент времени.
Покажем это на примере. Пусть хоккейная шайба массой m в момент вреG
времени Δt ремени t1 имела скорость v1 (рис. 135). В течение промежутка
G
зультирующая F всех сил, действующих
на шайбу, была постоянной. Какой станет
скорость шайбы и где она будет находиться в момент времени t2 = t1 + Δt ?
На
р
од
на
Под действием постоянной силы
G
постоянное ускоF шайба приобретет
G FG
рение a = . За время Δt ско-
Рис. 135
m
рость движения
шайбы изменится на
G
G G
F
Δv = a Δt = Δt. Ее перемещение Gза это
2
G mG
G 2
G
время Δr = v1Δt + a Δt = v1 Δt + F Δt .
m 2
2 G
По начальной скорости v1 и ее измеG
нению Δv находимG конечную скорость:
G
G
G G
v2 = v1 + Δv = v1 + F Δt. По начальному
m
положению и перемещению — положение
шайбы в момент времени t2 (см. рис. 135).
А если сила была не постоянной? Тогда промежутокG времени Δt следует разбить на такие
малые интервалы (шаги), чтобы на каждом из них сила F не успевала существенно измениться.
Используя решение для постоянной силы и повторяя расчеты шаг за шагом, можно найти положение тела и его скорость в любой момент времени, т. е. решить основную задачу динамики.
При большом числе шагов вычисления проводят на компьютере.
Правообладатель Народная асвета
Второй закон Ньютона — основной закон динамики
99
В каких системахG отсчета
выполняется второй закон Ньютона? В § 18 мы
G
G
выяснили, что при F = 0 ускорение тела a относительно неинерциальной системы нулю не равно. Значит, второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета.
ас
ве
та
При расчетах движения тел относительно неинерциальной системы в формулу (3) вводят
необходимые поправки — так называемые «силы инерции».
А как применять формулу G(3), если тело нельзя рассматривать как материальную точку? В
таких случаях под ускорением a следует понимать ускорение точки, называемой центром масс
этого тела. Определение центра масс будет дано в § 26.
m
я
Достаточно ли проделанных нами опытов, чтобы утверждать, что второй закон Ньютона выполняется всегда? Конечно, нет. Проверка этого закона продолжается уже более 300 лет. Расчеты движения механизмов и транспортных
средств, планет и их спутников, перемещений воздушных масс, течения воды в
реках и океанах и т. д. основаны на законах Ньютона. Совпадение результатов
таких расчетов с тем, что происходит реально, показывает, что законы Ньютона
выполняются с высокой точностью для всех окружающих нас макроскопических
объектов. В то же время, из экспериментов с микрочастицами следует, что к явлениям микромира второй закон,G как и вся механика Ньютона, неприменим. ВтоG
G
G
рой закон Ньютона в виде a = F (и F = ma ) нельзя применять и для объектов,
од
на
движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света.
Главные выводы
На
р
1. Ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему
сил, направлено так же, как результирующая этих сил.
2. Модуль ускорения прямо пропорционален модулю результирующей силы
и обратно пропорционален массе тела.
3. Единица силы в СИ — 1 ньютон — это сила, под действием которой
тело массой 1 кг движется с ускорением 1 м2 .
с
4. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
Контрольные вопросы
1. Как направлено ускорение по отношению к силам, действующим на тело?
2. Как найти модуль ускорения, если на тело действует несколько сил?
3. Куда направлена результирующая всех сил, приложенных к телу, движущемуся по
окружности со скоростью, модуль которой постоянен?
4. Какой физический смысл имеет единица силы СИ — 1 Н?
5. Можно ли применять второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета?
Покажите на примерах.
Правообладатель Народная асвета
100
Динамика
Примеры решения задач
1. Сани
G массой m = 120 кг тянут по горизонтальному участку пути, прикладывая силу F под углом α = 45° к горизонту. Модуль силы F = 400 Н. Модуль силы
трения скольжения Fтр = 100 Н. Определите модуль ускорения движения саней.
Принять g = 10 Н .
ас
ве
та
кг
Д а н о:
Решение
m = 120 кг
F = 400 Н
α = 45°
Fтр = 100 Н
Сделаем рисунок к задаче
(рис. 136).
Согласно второму закону
Ньютона:
G
G G
G G
ma = F + mg + Fтр + N .
а—?
Рис. 136
В проекции на ось Ох (см. рис. 136)
max = Fx + mg x + Fтр х + N x ;
я
Fx = F cos α; mg x = 0; Fтр х = − Fтр ; N x = 0;
max = F cos α − Fтр ;
=
400 H 0,71 − 100 Н
120 кг
од
на
ax = a =
F cos α − Fтр
О т в е т: a = 1,53 м2 .
m
= 1,53 м2 .
с
с
На
р
2. Два цилиндра — стальной и алюминиевый — одинакового объема
подвешены к концам нити, перекинутой через неподвижный
блок. Какой путь пройдет каждый цилиндр за промежуток
времени Δt = 0,50 с? Силами сопротивления пренебречь.
Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой. Принять g = 10 Н .
кг
Д а н о:
V1 = V2
Δt = 0,50 с
g = 10 Н
кг
ρст = 7,8 г 3
ρал =
s—?
см
2,7 г 3
см
Решение
Сделаем рисунок к задаче (рис. 137).
Изобразим все силы, действующие на
каждое тело. Согласно второму закону Ньютона:
G G
G
(1)
mст a1 = mст g + Fн ;
G G
G
mал a2 = mал g + Fн .
(2)
Правообладатель Народная асвета
Рис. 137
Второй закон Ньютона — основной закон динамики
101
G
G
Так как нить нерастяжима, a1 = a2 = a. Выберем ось Оу (см. рис. 137) и
запишем уравнения (1) и (2) в проекции на эту ось:
mст a = mст g − Fн ;
(3)
− mал a = mал g − Fн .
(4)
ас
ве
та
Вычтем из уравнения (3) уравнение (4):
(mст + mал ) a = (mст − mал ) g .
Отсюда:
(mст − mал ) g
.
mст + mал
a=
Массы цилиндров:
mст = ρст V ; mал = ρал V .
Тогда:
a=
Путь, пройденный цилиндрами:
(ρст − ρал ) g
.
ρст + ρал
я
2
s = aΔt ;
2
од
на
(ρст − ρал ) g Δt2
2 (ρст + ρал )
5,1 г 3 10 Н 0,25 с2
кг
см
10,5 г 3 2
см
s=
О т в е т: s = 0,61 м.
=
= 0,61 м.
Упражнение 13
На
р
1. На каком физическом явлении основано стряхивание снега с шапки?
2. Тело массой m = 6,0 кг перемещают по гладкой горизонтальной поверхности, действуя горизонтальной силой, модуль которой F = 4,2 Н. Определите модуль ускорения тела.
3. Ведро с песком массой m = 20 кг поднимают вверх, действуя вертикально вверх силой, модуль которой F = 0,25 кН. С
каким ускорением поднимается ведро? Коэффициент g здесь и в
последующих задачах принять равным 10 Н .
кг
4. Две гири массами m1 = 2,0 кг и m2 = 1,0 кг подвешены на
концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок (рис. 138). Каждая гиря прошла путь
s = 0,80 м. Определите модули ускорения и скорости движения
гирь в конце пути.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 138
102
Динамика
5. Два груза массами m1 = 400 г и
m2 = 200 г связаны невесомой нерастяжимой
нитью (рис. 139), рассчитанной на предельную нагрузку 8,20 Н. Определите модуль
максимальной силы F, с которой можно тянуть груз массой m1 по гладкой горизонтальной поверхности, чтобы нить не порвалась.
6. На гладкой наклонной плоскости с
углом наклона α = 30° (рис. 140) находится брусок массой m = 5,0 кг, на
который действует горизонтальная сила,
модуль которой F = 15 Н. Определите модули ускорения движения тела и силы давления тела на плоскость.
ас
ве
та
Рис. 139
Рис. 140
я
§ 21. Третий закон Ньютона.
Принцип относительности Галилея
На
р
од
на
Каждая сила выражает действие одного конкретного тела на другое.
С какой силой при этом второе тело действует на первое?
G
На рисунке 141, а вектор F1 → 2 изображает силу,G с которой заряженное тело
1 отталкивает такое же заряженное тело
G 2, вектор FЗ → ш (рис. 147, б) — силу, с
которой Земля притягивает шарик, а Fм → б (рис. 141, в) — силу, с которой магнит притягивает железный брусок. Действует ли при этом заряженное тело 2 на
заряженное тело 1? Шарик на Землю? Железный брусок на магнит? Если да, то
с какой силой?
Ответ очевиден лишь для случая, изображенного на рисунке 141, а. Заряженные тела 1 и 2 «равноправны». Тело 2 отталкивает тело 1 точно так же,
Рис. 141
Правообладатель Народная асвета
Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея
103
од
на
я
ас
ве
та
как
G телоG1 отталкивает тело 2. Модули сил
F1 → 2 и F2 → 1 равны, а их направления противоположны. А если тела отличаются друг
от друга (рис. 141, б, в)?
Проведем опыт. Поместим магнит на
тележку 1, а железный брусок — на тележку 2 (рис. 142).
Удерживая тележку 1 с магнитом, дадим тележке 2 возможность двигаться
(см. рис. 142, а). Она поедет в сторону магнита. Теперь будем удерживать тележку 2
Рис. 142
(см. рис. 142, б), а тележку 1 отпустим. Тележка с магнитом начнет движение в сторону бруска. Значит, и железный брусок притягивает к себе магнит. Одинаковы ли модули сил, с которыми магнит и
брусок притягивают друг друга? Это можно выяснить с помощью динамометров
(рис. 143). Равенство их показаний говорит о том, что модули этих сил равны:
Fм → б = Fб → м .
Рис. 143
На
р
Результат данного опыта не случаен. Механическое действие тел друг на друга всегда взаимно — это либо взаимное притяжение, либо взаимное отталкивание. Одностороннего действия не бывает. Существует лишь взаимодействие.
При этом силы, с которыми тела действуют друг на друга, лежат на одной прямой, имеют противоположные направления и равные модули:
G
G
F1 → 2 = − F2 → 1 .
(1)
Это утверждение справедливо для тел любых масс, размеров, формы и состава вещества. Оно носит название третьего закона Ньютона.
Что следует знать о силах взаимодействия?
G
G Силы взаимодействия приложены к разным телам ( F1 → 2 — к телу 2,
F2 → 1 — к телу 1) (см. рис. 141, а). Поэтому они не могут компенсировать (уравновесить) друг друга.
Силы взаимодействия всегда имеют одинаковое «происхождение» (например, обе являются электрическими силами или обе — гравитационными).
Правообладатель Народная асвета
104
Динамика
ас
ве
та
Если одновременно взаимодействует несколько тел, то равенство (1) выполняется для каждой
пары тел (рис. 144).
В связи с третьим законом Ньютона может возникнуть, например, такой вопрос: «Почему яблоко
падает на Землю, а не Земля на яблоко, хотя
модули сил, с которыми они притягивают друг
друга, равны?»
Равенство сил не означает равенства результатов
их
действия. Под действием взаимного притяжеРис. 144
ния падает и яблоко на Землю, и Земля на яблоко.
Но из-за огромного различия масс этих тел расстояние, которое проходит Земля
навстречу яблоку, крайне мало по сравнению с расстоянием, пройденным яблоком.
G
G
Докажем это. Для взаимодействующих тел по третьему закону Ньютона F1 → 2 = − F2 → 1 , а
G
G
G
G
по второму закону F1 → 2 = m2 a2 , F2 → 1 = m1a1 . Отсюда
=
m1
m2
.
(2)
я
a2
a1
од
на
Значит, ускорения взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам. Это справедливо при выполнении двух условий: ускорения определены относительно инерциальной системы отсчета; влияние других тел несущественно. Если в начальный момент оба тела покоились,
то по законам кинематики
a2
v
s
(3)
= 2 = 2.
a1
v1
s1
Здесь v1 и v2 — модули скоростей, приобретенных телами, а s1 и s2 — пройденные ими
пути. Выведите соотношение (3) самостоятельно, считая движение тел равноускоренным. Из
формул (2) и (3) следует:
s2
m
(4)
= 1.
s1
m2
На
р
Рассчитайте путь, который пройдет Земля навстречу яблоку, падающему с высоты h = 2 м.
Масса яблока m1 = 300 г, масса Земли m2 = 6 1024 кг.
Соотношения (2) и (4) можно использовать для сравнения масс. Предложите способ опреm
деления отношения масс 1 с помощью установки, изображенной на рисунке 145.
m2
Рис. 145
Правообладатель Народная асвета
Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея
105
я
ас
ве
та
Третий закон Ньютона объясняет
многие явления повседневной жизни.
Так, при прыжках в высоту
спортсмен
G
отталкивает опору силой Fс → о . GОтветная
(противодействующая) сила Fо → с придает прыгуну направленное вверх ускорение. Для прыжков на батуте (рис. 146)
это проявляется весьма наглядно.
Рис. 146
Человек при ходьбе, автомобиль при
движении отталкиваются от дорожного
покрытия. В ответ на это дорожное покрытие действует на них с силой, имеющей горизонтальную составляющую,
направленную вперед. Лодка (рис. 147),
корабль отталкиваются от воды, самолет — от воздуха.
Рис. 147
Опыт показывает, что третий закон
Ньютона выполняется с большой точностью для механических явлений в макромире при нерелятивистских (v
c) скоростях движения тел.
од
на
Отклонения от третьего закона Ньютона существенны при релятивистских скоростях, а также при больших расстояниях между движущимися телами. Это вызвано тем, что
• при движении с большими скоростями могут сыграть заметную роль силы, направление
которых не совпадает с линией, соединяющей тела (например, магнитные силы, возникающие
при движении электрически заряженных частиц);
• распространение действия одного тела на другое не происходит мгновенно.
На
р
Мы изучили законы Ньютона. Познакомимся еще с одним важным положением механики — принципом относительности Галилея.
Рассмотрим пример. На столике в купе вагона лежит теннисный мяч
(рис. 148). Пока вагон движется равномерно и прямолинейно, мяч остается в состоянии покоя. Если поезд ускорит движение или замедлит его, то мяч придет в движение
относительно вагона. Значит, в системах отсчета «покоящийся вагон» и «ускоренно
движущийся вагон» механические явления
происходят по-разному. Эти системы «неравноправны»: первая система отсчета
инерциальна, а вторая — неинерциальна. А
равноправны ли между собой инерциальные
системы? Одинаково ли, например, движение тел в покоящемся вагоне и в вагоне,
Рис. 148
движущемся равномерно и прямолинейно?
Правообладатель Народная асвета
106
Динамика
ас
ве
та
Опыт говорит о том, что и в вагоне поезда, и в салоне летящего с огромной скоростью самолета все тела будут двигаться точно так же, как в неподвижной относительно Земли системе отсчета. Необходимо лишь, чтобы поезд, самолет и т. д. двигались относительно Земли равномерно и прямолинейно. Сравнивать при этом следует
движения тел, имеющих одинаковые начальные условия, т. е. одинаковые начальные
скорости и одинаковые начальные положения относительно «своих» систем отсчета.
Накопленный в повседневных наблюдениях и физических экспериментах
опыт свидетельствует: во всех инерциальных системах все механические явления при одинаковых начальных условиях происходят одинаковым образом.
Это утверждение выражает равноправие всех инерциальных систем в механике. Оно носит название «принцип относительности Галилея».
Еще в 1632 г. Галилей утверждал: «Никакими механическими опытами, проведенными внутри системы, невозможно установить, покоится система или движется равномерно и прямолинейно». Для того времени взгляды Галилея казались противоречащими здравому смыслу. Считалось очевидным, что покоится только Земля. Утверждение о том, что Земля движется, рассматривалось как опасная ересь.
од
на
я
Законы Ньютона и принцип относительности — основа классической механики, ее наиболее общие положения. Но их недостаточно для того, чтобы решить
любую ее задачу. Необходимо еще знать закономерности, которые характерны
для каждого вида сил.
Главные выводы
На
р
1. Действие тел друг на друга всегда взаимно. Взаимодействие тел в механике — это либо взаимное притяжение, либо взаимное отталкивание.
2. Силы взаимодействия двух тел имеют одинаковую природу, направлены
по одной прямой в противоположные стороны и имеют равные модули (третий закон Ньютона).
3. Силы взаимодействия двух тел не компенсируют друг друга, так как они
приложены к разным телам.
4. Во всех инерциальных системах все механические явления при одинаковых начальных условиях происходят одинаковым образом (принцип относительности Галилея).
Контрольные вопросы
1. К чему сводится взаимодействие тел в механике?
2. Что общего у сил, с которыми два тела действуют друг на друга? Чем они отличаются?
3. Могут ли силы взаимодействия компенсировать друг друга? Почему?
4. В чем состоит принцип относительности Галилея?
Правообладатель Народная асвета
Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея
107
Упражнение 14
ас
ве
та
1. Гиря находится на куске поролона (рис. 149). Изобразите силы взаимодействия этих тел друг с другом. Как
направлены эти силы? Где находятся точки приложения
этих сил?
2. На нити, перекинутой через неподвижный блок, висят два груза (рис. 150). Определите и изобразите силы,
действующие на блок, на нити и на каждый из грузов.
Укажите, какие из этих сил связаны между собой третьим
законом Ньютона.
3. Почему на льду трудно разогнаться без коньков, но
легко — на коньках?
4. Назовите силы, которые действуют на мяч, плавающий в воде (рис. 151). Для каждой из этих сил укажите силу, связанную с ней третьим законом Ньютона.
5. Для смягчения ударов при контактах вагоны оборудованы специальными пружинами (рис. 152). У какого из двух одинаковых вагонов при столкновении
сильнее сожмутся пружины? Рассмотрите три случая:
а) вагоны двигались навстречу друг другу с одинаковыми
скоростями, но вагон А был загружен, а вагон Б — нет;
б) оба вагона были одинаково загружены, но вагон А до
столкновения покоился; в) один из вагонов до столкновения стоял вплотную к неподвижной стене.
Рис. 149
Рис. 151
На
р
од
на
я
Рис. 150
Рис. 152
Правообладатель Народная асвета
108
Динамика
§ 22. Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука
ас
ве
та
Мы знаем, как определить ускорение тела, вызванное приложенными к
нему силами. А как найти деформацию тела, возникающую в результате
действия сил?
Изменение размеров или (и) формы тела называют деформацией тела.
Деформация происходит в результате перемещения одних частей тела относительно других. Различают такие деформации, как сжатие-растяжение, сдвиг,
изгиб, кручение. На рисунке 153, а, б, в, г они показаны на модели тела, состоящей из пластин и пружинок.
Деформации можно продемонстрировать также, используя в качестве модели прямоугольный
параллелепипед из поролона, на грани которого нанесены параллельные прямые (рис. 153, д).
На
р
од
на
я
Основными видами деформаций являются сжатие (см. рис. 153, а), растяжение и сдвиг (см. рис. 153, б). При сжатии и растяжении изменяются расстояния
между слоями, а при сдвиге — слои смещаются друг относительно друга. Де-
Рис. 153
Правообладатель Народная асвета
Рис. 154
109
ас
ве
та
Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука
Рис. 155
На
р
од
на
я
формацию изгиба можно представить как комбинацию деформаций сжатия и растяжения, неодинаковых в разных частях тела (см. рис. 153, в). Деформация кручения сводится к комбинации деформаций сдвига (см. рис. 153, г).
Все виды деформаций возникают под действием приложенных к телу внешних сил (см. рис. 153). Если после прекращения действия силы размеры и форма
тела полностью восстанавливаются, то деформацию называют упругой. Если же
восстановление не будет полным, то деформацию называют неупругой или пластической.
Проведем опыт. Подействуем силой пальцев на кусок резины (рис. 154, а). Он
деформируется. Прекратим действие силы. Деформация исчезнет (рис. 154, б).
Это была упругая деформация. Подействуем теперь на кусок пластилина
(рис. 155, а). После прекращения действия силы форма пластилина не восстановилась (рис. 155, б). Значит, деформация была пластической (неупругой).
Характер деформации зависит не только
от материала образца, но и от того, насколько
велика внешняя сила, как долго она действует, а также от температуры тела. Например,
если железную пластину немного изогнуть и
отпустить, она восстановит свою форму. Однако если ее закрепить в изогнутом состоянии
на длительное время, то после снятия внешней силы восстановление будет неполным.
Большая внешняя сила может вызвать пластическую деформацию и за короткое время.
Если же тело нагрето до высокой температуры, то деформация будет пластической даже
при действии малой кратковременной силы.
Пластической деформации подвергают
металл при прокатке, ковке (рис. 156), штамРис. 156
повке и т. д.
Правообладатель Народная асвета
110
ас
ве
та
Динамика
Рис. 157
На
р
од
на
я
Рассмотрим подробнее наиболее простую деформацию: упругое растяжение.
Нас будут интересовать вопросы: какая сила возникает в ответ на действие деформирующей силы? Какова ее природа? Каким закономерностям она подчиняется?
Проведем опыт. Закрепим один конец резинового шнура, а к другому концу подвесим груз (рис. 157). Шнур растянется — его длина l станет больше начальной длины l0, а груз придет в состояние покоя.
G
G
Какая сила компенсирует действующую на груз силу тяжести mg ? Сила Fупр ,
приложенная к грузу со стороны растянутого шнура (см. рис. 157). Она называG
G
ется силой упругости. Для груза, находящегося в состоянии покоя, mg = − Fупр .
Будем увеличивать нагрузку и измерять удлинение шнура Δl = l − l0 . Опыт
показывает: при увеличении деформирующей
силы (mg, 2mg, 3mg, …) (см. рис. 157) удлинение шнура Δl возрастает во столько же раз
( Δl1 , 2 Δl1 , 3 Δl1 , ... ). При каждом измерении
модуль силы тяжести был равен модулю силы
упругости. Значит, модуль силы упругости прямо
пропорционален удлинению шнура: Fупр ∼ Δl .
Изучить деформацию сжатия можно, проведя аналогичные опыты с пружиной (рис. 158).
Мы убедимся, что модуль силы упругости пружины будет прямо пропорционален уменьшению ее длины (см. рис. 158).
Рис. 158
Правообладатель Народная асвета
Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука
111
Такие результаты получаются, если деформации являются упругими, т. е. если после снятия нагрузки размеры тела полностью восстанавливаются.
Опыты показывают: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:
Fупр = k Δl .
ас
ве
та
(1)
Это утверждение носит название закона Гука.
Коэффициент пропорциональности k =
Fупр
Δl
называется жесткостью тела.
я
Жесткость тела численно равна модулю силы упругости, возникающей при
удлинении (или сжатии) тела на единицу длины.
В СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр Н . Жесткость тела зам
висит от материала, из которого оно изготовлено, от формы и размеров тела, от
его температуры. Жесткость тела постоянного сечения (шнура, проволоки и т. д.)
прямо пропорциональна площади его сечения и обратно пропорциональна длине тела.
С помощью закона Гука можно найти изменение размеров тела под действием внешней силы:
F
(2)
Δl = внеш .
k
од
на
Формула (2) следует из формулы (1), так как при равновесии модули сил
упругости и внешней силы равны.
Из рисунков 157 и 158 видно, что и при растяжении, и при сжатии сила упругости направлена противоположно перемещению точки,
в которой к телу приложена деформирующая сила (точки А). Чтобы выразить это математически, закон Гука
записывают в виде:
(3)
На
р
Fxупр = − k x.
Здесь Fxупр — проекция силы упругости на ось Ох
(см. рис. 157 и 158), а х — координата точки А. Начало
координат на оси Ох выбрано так, чтобы при отсутствии
деформации координата точки А была равна нулю. Знак
«минус» в формуле (3) показывает: сила упругости и
перемещение точки, в которой к телу приложена деформирующая сила, имеют противоположные направления.
Графики зависимости модуля силы упругости Fупр от
модуля абсолютного удлинения Δl (рис. 159, а) и проекции Fxупр от координаты х (рис. 159, б) — прямые линии.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 159
112
Динамика
ас
ве
та
Какова природа сил упругости? Мы знаем, что все тела состоят из атомов (молекул). В центре атома находится положительно заряженное ядро. Его окружают
отрицательно заряженные электроны. Разноименно заряженные частицы притягивают друг
друга, а одноименно заряженные — отталкивают.
Следовательно, между атомами (молекулами) одновременно действуют и силы притяжения, и силы отталкивания. Их результирующая и есть сила взаимодействия между атомами (молекулами). График, характеризующий
зависимость силы взаимодействия двух атомов
от расстояния r между их центрами, представлен на рисунке 160.
При расстоянии r = r0 силы притяжения и
отталкивания компенсируют друг друга и сила
взаимодействия равна нулю (рис. 160, 161, б).
называют равновесным.
Расстояние r0
При r r0 преобладают силы отталкивания
(рис. 160, 161, а), а при r r0 — силы притяжения (рис. 160, 161, в).
При деформации сжатия расстояние r
между молекулами станет меньше, чем r0 ,
и силы отталкивания молекул будут препятствовать сжатию. При деформации растяжения, когда r r0 , силы притяжения
молекул препятствуют растяжению. Это
объясняет поведение тел при деформировании, а значит, и природу упругих сил.
Силы упругости имеют электромагнитную
природу.
И упругие, и пластические свойства определяются в конечном счете тем, из каких атомов и молекул состоит вещество и как они
расположены по отношению друг к другу (беспорядочно или образуют кристаллическую решетку, а если образуют, то какую, и т. д.). На
На
р
од
на
я
Рис. 160
Рис. 161
Правообладатель Народная асвета
113
ас
ве
та
Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука
Рис. 162
рисунке 162 изображены кристаллические решетки алмаза и графита. Различие
в расположении одних и тех же атомов (атомов углерода) приводит к резким отличиям свойств этих веществ.
Главные выводы
На
р
од
на
я
1. Изменение размеров или формы тела называется деформацией. Деформация происходит в результате действия на тело внешних сил.
2. Если после прекращения действия внешних сил размеры и форма тела
полностью восстанавливаются, то деформация называется упругой. Если восстановление неполное, то — пластической.
3. Силы упругости возникают при деформировании тела. Они препятствуют
силам, вызывающим деформацию. Силы упругости имеют электромагнитную
природу.
4. При упругих деформациях сжатия-растяжения модуль силы упругости
прямо пропорционален модулю изменения длины тела: Fупр = k Δl .
5. Жесткость тела измеряется в Н . Она зависит от материала, из которого
м
изготовлено тело, его размеров и формы, его температуры.
Контрольные вопросы
1. При каких условиях возникает деформация тела? Каковы виды деформаций?
2. Что такое упругая деформация? Пластическая деформация?
3. Когда возникают силы упругости? Как они направлены?
4. Какова природа сил упругости?
5. Что утверждает закон Гука? При каких условиях он выполняется?
6. Что такое жесткость тела? От чего она зависит?
7. Будет ли зависимость силы упругости от удлинения тела линейной при любых значениях Δl?
Правообладатель Народная асвета
114
Динамика
Пример решения задачи
Под действием пружинного динамометра железный кубик с длиной ребра
l = 20,0 см движется по гладкой горизонтальной поверхности с постоянным ускорением, модуль которого a = 10 см2 . Определите удлинение пружины динамометм
Д а н о:
ас
ве
та
с
ра жесткостью k = 100 Н .
Решение
l = 20,0 см = 0,200 м
Сделаем рисунок к задаче (рис. 163).
На брусок действуют: сила тяG
жестиG mg , сила реакции поверхноG
сти N и сила упругости пружины Fупр
(см. рис. 163).
Трение по условию задачи отсутствует.
a = 10 см2 = 0,10 м2
с
с
Н
k = 100
м
ρж = 7800 кг3
м
Δl — ?
По второму закону Ньютона:
(1)
од
на
В проекции на ось Ох:
я
G
G G
G
ma = N + mg + Fупр .
Рис. 163
ma = Fупр .
(2)
Масса кубика m = ρ жV , объем кубика V = l 3 . Тогда
m = ρж l 3 .
(3)
Модуль силы упругости по закону Гука:
На
р
Fупр = k Δl .
(4)
Подставив выражения (3) и (4) в выражение (2), получим:
ρ ж l 3 a = k Δl .
Отсюда:
Δl =
ρж l 3 a
k
=
7800 кг3 0,0080 м3 0,10 м2
м
с
100 Н
м
= 0,062 м.
О т в е т: Δl = 6,2 см.
Правообладатель Народная асвета
Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука
115
Упражнение 15
дачах g = 10 Н .
кг
ас
ве
та
1. Ведро с песком массой m = 15,0 кг равномерно поднимают с помощью веревки и неподвижного блока (рис. 164, а).
Определите модуль силы упругости веревки. Массой блока,
веревки и трением пренебречь. В этой и последующих за-
2. Каким будет модуль силы упругости веревки, если в
условии предыдущей задачи используется подвижный блок
(рис. 164, б)?
3. Определите модуль силы упругости веревки, если вед-
ро массой m = 15,0 кг (см. рис. 164, б) поднимают с ускорением, модуль которого a = 1,60 м2 .
с
рад
.
с
Н
.
м
Определите удлинение нити,
Рис. 164
од
на
постоянна и равна ω = 2,0
я
4. По гладкой горизонтальной поверхности по окружности радиусом R = 30 см движется шарик массой m = 200 г,
удерживаемый нитью (рис. 165). Угловая скорость движения
если ее жесткость k = 60
5. Трос имеет жесткость k = 4,0 105 Н . Предельное растяжение, при ком
На
р
тором он еще сохраняет упругие свойства, Δl = 12 мм. Сохранит ли трос упругие
свойства, если к нему подвесить груз массой: а) m1 = 240 кг; б) m2 = 600 кг?
6. На рисунке 166 представлены графики зависимости модулей силы упругости
от абсолютного удлинения для двух пружин. Во сколько раз отличаются жесткости
пружин?
7. Пружина имеет жесткость k = 150 Н . Какой будет жесткость системы из
м
двух таких пружин, соединенных: а) последовательно; б) параллельно?
Рис. 165
Рис. 166
Правообладатель Народная асвета
116
Динамика
§ 23. Cилы трения. Силы сопротивления среды
ас
ве
та
Согласно первому закону Ньютона для движения с постоянной скоростью силы не нужны. Почему же, если не тянуть или не подталкивать
санки, они замедлят свое движение и остановятся? Какая сила останавливает их?
Рис. 167
од
на
я
Представление о силах, которые препятствуют движению тел — силах
трения и силах сопротивления, — вы получили в 7-м классе. Рассмотрим их
более подробно.
Если одно тело скользит по поверхности другого, то движению препятствует
сила трения скольжения, если катится — сила трения качения.
От чего зависит сила трения скольжения? Куда она направлена?
Проведем опыт. С помощью динамометра будем перемещать деревянный
брусок по поверхности стола (рис. 167, а).
На
р
При равномерном движении бруска модуль силы трения Fтр будет равен модулю силы упругости пружины
G динамометра Fупр. Нагружая брусок гирями, будем
увеличивать силу давления Fд бруска на стол (рис. 167, б). Опыты показывают,
что при увеличении силы давления в 2, 3, 4, … раза сила трения увеличивается
также в 2, 3, 4, … раза. Значит, модуль силы трения скольжения прямо пропорционален модулю силы давления:
Fтр = μ Fд .
(1)
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения
скольжения. Коэффициент μ зависит от материалов трущихся тел и от состояния соприкасающихся поверхностей. На значение этого коэффициента
сильно влияет гладкость поверхностей, наличие примесей и загрязнений. Данные таблицы 1 дают представления о коэффициентах трения некоторых материалов.
Правообладатель Народная асвета
117
Cилы трения. Силы сопротивления среды
Та б л и ц а 1. Коэффициенты трения скольжения
Материалы
Коэффициент трения
Дерево по дереву
0,3—0,5
0,03
Сталь по льду
0,02
Резина по сухому асфальту
0,7
Резина по мокрому асфальту
Резина по льду
ас
ве
та
Лед по льду
0,4
0,15
од
на
я
G
G
G
Сила давления Fд вызывает ответную силу N. Сила N приложена к бруску
и является нормальной составляющей силы реакции опоры, так как направлена
по нормали
(т.
G
G е. перпендикулярно) к ее поверхности. По третьему закону Ньютона Fд = − N . Модули этих сил (Fд = N ) показывают, насколько сильно трущиеся поверхности прижаты друг к другу. Поэтому вместо равенства (1) часто
используют формулу
Fтр = μ N.
(2)
На
р
Зависит ли сила трения скольжения от площади контакта тел? Сравним силу
трения при двух положениях бруска (рис. 168).
Хотя площадь контакта бруска с доской изменилась в несколько раз, показания динамометра остались практически одинаковыми. Опыты показывают, что
сила трения не зависит от площади контакта трущихся тел.
Этот вывод неприменим к случаям, когда площадь контакта настолько мала, что одно тело
(лезвие ножа, острие стеклореза и т. д.) может нанести царапину, проделать бороздку и т. п. на
поверхности другого тела.
Рис. 168
Правообладатель Народная асвета
118
Динамика
ас
ве
та
Куда направлена сила трения скольжения? Рассмотрим рисунок 169.
Брусок движется с трением по поверхности стола.
G
Скорость бруска относительно
стола равна vотн . Сила
G
Рис. 169
трения скольжения F тр , с которой поверхность стола
действует на брусок, направлена противоположно этой скорости.
Сила трения скольжения направлена противоположно скорости тела относительно поверхности, по которой оно движется.
Мы говорили о силе трения, действующей на брусок. Но при своем движении и брусок
действует на поверхность стола. В соответствии с третьим законом Ньютона сила трения скольжения, с которой брусок действует на стол, противоположна силе трения, с которой стол действует на брусок.
На
р
од
на
я
Отметим, что модуль силы трения скольжения зависит от относительной
скорости движения тел (рис. 170). При решении задач этой зависимостью, как
правило, пренебрегают и считают коэффициент трения постоянным.
А действует ли сила трения на неподвижное тело?
Рассмотрим пример. Шкаф стоит на горизонтальном
полу (рис. 171). На
G
G
шкаф действуют сила тяжести mg и сила реакции N пола. Каким бы шероховатым ни был пол, сила трения будет равна нулю до Gтех пор, пока на шкаф не подействует внешняя сила (имеющая составляющую Fвнеш , параллельную полу).
Как только такая сила будет приложена, поG тр
явится не равная нулю сила трения покоя Fпок
(см. рис. 171). Пока внешняя силаG невелика,
G сила
тр
трения покоя компенсирует ее (Fпок = − Fвнеш ), и
шкаф остается в покое.
При увеличении внешней силы растет и сила трения покоя. При достаточно большой внешней силе
шкаф сдвинется с места. В этот момент модуль силы
Рис. 170
трения покоя достигнет своего максимального значетр
. Оно, как показывает опыт,
ния Fмакс
G прямо пропорционально модулю силы давления Fд . Таким образом,
Рис. 171
0
тр
Fпок
тр
Fмакс
;
тр
Fмакс
= μ п Fд .
(3)
Коэффициент трения покоя μп , как правило,
немного больше, чем коэффициент трения скольжения μ. В связи с этим тело труднее сдвинуть с
места, чем его перемещать.
Правообладатель Народная асвета
119
Cилы трения. Силы сопротивления среды
ас
ве
та
Рис. 172
На
р
од
на
я
G тр КудаG направлена сила трения покоя? Ответ следует из векторного равенства
= − Fвнеш (см. рис. 171).
Fпок
А какой будет сила трения при движении тела, если скольжение заменить качением (рис. 172, а, б)?
Опыт показывает, что от такой замены сила трения станет гораздо меньшей
(в десятки раз — для дерева по дереву и почти в 100 раз — для стали по стали).
Силы трения, как и упругие силы, определяются взаимодействием молекул и,
следовательно, имеют электромагнитную природу. Теория сил трения чрезвычайно сложна. Основные сведения о трении получены из опыта.
Трение играет очень важную роль в технике и в повседневной жизни. Так,
при отсутствии трения любой предмет упал бы с полки при малейшем ее наклоне. И автомобиль, и пешеход не смогли бы ни начать движение, ни остановиться.
Поэтому во многих случаях трение стремятся
увеличить. Обувь и автопокрышки снабжают
«шипами» (рис. 173, а), дорогу посыпают
песком и т. д.
В то же время трение деталей при работе механизмов (валов в подшипниках, шарнирных соединений и т. д.) является вредным. Оно приводит к износу и нагреванию
деталей, к потерям энергии.
В таких случаях трение стремятся уменьшить. Трущиеся поверхности делают более
гладкими, на них наносят специальные смазки,
скольжение заменяют качением (рис. 173, б).
Можно ли путем тщательной шлифовки
поверхности свести силу трения к нулю? Казалось бы, можно. Однако, чем лучше отшлифованы поверхности, тем большая часть
молекул поверхностных слоев соприкасающихся тел сближается до расстояний порядка
Рис. 173
размеров самих молекул. В результате силы
Правообладатель Народная асвета
120
Динамика
ас
ве
та
Рис. 174
межмолекулярного притяжения существенно
увеличиваются. Они препятствуют скольжению, и трение резко возрастает.
Рассмотрим теперь движение тела в жидкости или газе. Здесь тоже есть силы, препятствующие движению. Их называют силами сопротивления. Особенность сил сопротивления состоит в том, что они возникают
только при движении тела и среды друг относительно друга. Иначе говоря, сила трения покоя в жидкостях и газах равна нулю.
Отсутствие трения покоя в жидкости дает
возможность человеку своей мускульной силой
привести в движение, например, находящуюся
на плаву многотонную баржу. Но тот же человек не смог бы сдвинуть с места тело значительно меньшей массы, находящееся на суше.
От чего зависит сила сопротивления?
Выяснить это можно, удерживая с помощью динамометра тело, помещенное в движущийся поток (рис. 174).
Опыты показывают, что сила сопротивления зависит от следующих факторов.
а) От свойств среды.
Сила сопротивления движению одного и
того же шарика при одной и той же скорости
в воздухе будет намного меньше, чем в воде.
А сила сопротивления в воде — гораздо
меньше, чем в сахарном сиропе (рис. 175).
б) От поперечного сечения тела.
При одной и той же скорости движения жидкость (или газ) оказывает шарику
большего радиуса большее сопротивление
(рис. 176). Вообще, для тел, геометрически
подобных друг другу, при одинаковых условиях сила сопротивления тем больше, чем
больше площадь поперечного сечения тела.
в) От формы тела.
Для тел одного и того же поперечного
сечения, изображенных на рисунке 177, одна
На
р
Рис. 176
од
на
я
Рис. 175
Рис. 177
Правообладатель Народная асвета
Cилы трения. Силы сопротивления среды
121
од
на
я
ас
ве
та
и та же среда оказывает разное сопротивление. Наибольшее сопротивление испытывает
полусфера, повернутая вогнутостью навстречу потоку, меньшее — цилиндр, еще меньшее — шар, и наименьшее — тело каплевидной G(обтекаемой) формы. Сила сопротивлеG
ния F4 примерно в 25 раз меньше, чем сила F2
(см. рис. 177).
Птицы и рыбы имеют обтекаемую форму для того, чтобы сопротивление воздуха или
воды при их движении было минимально. С такой же целью обтекаемую форму придают самолетам (рис. 178, а), речным и морским судам,
подводным лодкам (рис. 178, б) и т. д.
В то же время раскрытый парашют имеет наименее обтекаемую форму (рис. 178, в).
Чем это обусловлено? Объясните самостоятельно.
г) От скорости движения.
Сила сопротивления растет с увеличением скорости движения тела относительно
среды.
При малых относительных скоростях сила сопротивления пропорциональна модулю скорости v, а при
больших — пропорциональна v2 (приближенно).
Рис. 178
На
р
Главные выводы
1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна модулю силы давления
тела на поверхность.
2. Сила трения скольжения зависит от материалов и качества обработки
соприкасающихся поверхностей, но практически не зависит от их площади.
3. Сила трения скольжения направлена противоположно относительной
скорости движения трущихся тел.
4. Сила трения качения существенно меньше силы трения скольжения.
5. Силы сопротивления движению тела в газе или жидкости зависят от
свойств среды, размеров и формы тела и от скорости его движения относительно среды.
Правообладатель Народная асвета
122
Динамика
Контрольные вопросы
Какие виды трения существуют?
От чего зависит сила трения скольжения? Сила трения покоя?
Какова природа сил трения?
От чего зависят силы сопротивления движению тела в жидкости или газе?
ас
ве
та
1.
2.
3.
4.
Пример решения задачи
Автомобиль, имея скорость, модуль которой v1 = 54 км , тормозит на гоч
ризонтальном участке дороги до полной остановки. Коэффициент трения скольжения μ = 0,30. Приняв g = 10 Н , определите время торможения и тормозной
кг
путь.
Д а н о:
Решение
км
ч
v1 = 54
= 15
v2 = 0
μ = 0,30
g = 10 Н
м
с
од
на
я
Изобразим силы, действующие
на автомобиль (рис. 179).
G
mg и сила реСила тяжести
G
акции опоры N компенсируют друг
кг
друга. Их модули равны: mg = N .
t—?
Результирующая сил, приложенных
Рис. 179
s—?
к автомобилю (см. рис. 179), равна
G
G
силе трения. По второму закону Ньютона ma = Fтр . В проекции на ось Ох
(см. рис. 179) ma = Fтр .
Поскольку Fтр = μ N = μmg , модуль ускорения a = μ g . Учитывая, что a =
получим:
v1
t
= μ g , откуда t =
v1
.
μg
На
р
t=
Тормозной путь:
s=
at2
2
=
v1 t2
2t
Подставив численные значения, находим:
15 м
с
0,30 10 м2
с
=
v1t
;
2
s=
v1
,
t
= 5,0 с.
15 м 5,0 с
с
2
≈ 38 м.
О т в е т: t = 5,0 с; s = 38 м.
Упражнение 16
1. Почему с наступлением зимы водители меняют «летние» автошины на
шины с более рельефным рисунком (протектором)?
2. Почему опасна езда с большой скоростью по мокрой или обледенелой дороге?
Правообладатель Народная асвета
123
Cилы трения. Силы сопротивления среды
На
р
од
на
я
ас
ве
та
3. Куда направлено ускорение, если равнодействующая всех сил, приложенных к движущемуся телу, равна силе трения?
4. График зависимости модуля силы трения от модуля постоянной по направлению
внешней силы представлен на рисунке 180.
При Fвнеш = 0 тело покоилось. Как двигалось
Рис. 180
тело по мере роста Fвнеш ? Как при этом изменялась сила трения? Какой точке графика соответствует модуль максимальной силы
трения покоя? Почему точка В графика лежит ниже точки А?
Рис. 181
5. По данным рисунка 181 найдите коэффициент трения скольжения деревянного бруска по деревянной доске. Движение
бруска считайте равномерным. Коэффициент g в данной и последующих задачах
принять равным 10 Н .
кг
6. На доске лежит книга массой т = 0,60 кг. Доску медленно наклоняют.
Книга начала скользить по доске, как только угол между доской и горизонтом
стал больше, чем α = 30о. Определите максимальную силу трения покоя и коэффициент трения покоя.
7. К вертикальной стене прижали кирпич. Модуль прижимающей горизонтальной силы F = 40 Н. Определите максимальную массу кирпича, при которой
он еще не будет скользить по стене вниз. Коэффициент трения кирпича о стену μ = 0,5.
8. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m = 3,0 т, имевший
скорость, модуль которой v1 = 72 км , тормозит до скорости, модуль которой
ч
v2 = 36 км . Определите время торможения, если коэффициент трения μ = 0,40.
ч
9. На краю диска радиусом R = 40 см, вращающегося равномерно с частотой
ν = 0,5 1 , лежит шайба. Определите минимальный коэффициент трения шайбы
с
о диск, при котором шайба еще не соскальзывает с диска.
10. Почему стальной шарик в воздухе падает ускоренно, а в концентрированном сахарном сиропе — практически равномерно?
11. Какая из дождевых капель достигает земли быстрее — крупная или мелкая? Считайте, что капли имеют одинаковую форму и падают с одинаковой
высоты.
Правообладатель Народная асвета
124
Динамика
§ 24. Движение тела под действием силы тяжести
Как будет двигаться тело, если на него действует только сила тяжести? Для чего нужно изучать такое движение? Каковы его закономерности?
ас
ве
та
Законы падения тел интересовали людей с древних времен. Казалось очевидным, что тяжелые тела падают быстрее легких. А что показывает опыт?
На дно стеклянной трубки поместим дробинку, кусочек пробки и птичье перышко. Перевернем трубку. Быстрее всех падает дробинка, медленнее всех — перышко (рис. 182, а). Означает ли это, что тяжелые тела всегда падают быстрее
легких? Не торопитесь с ответом. Откачаем из трубки воздух (рис. 182, б) и перевернем ее снова. Теперь дробинка, пробка и перышко достигают дна одновременно (рис. 182, в). Движение тел было различным (см. рис. 182, а) из-за сопротивления воздуха. Как только сопротивление стало пренебрежимо малым, тела
разных масс стали двигаться одинаково.
я
Вывод о том, что различие во времени падения тел вызвано сопротивлением воздуха, а не
различием масс, сделал Галилей в конце XVI в. Опыт с телами, падающими в трубке, из которой
откачан воздух, был проведен Ньютоном.
На
р
од
на
Движение тела, на которое действует только
сила тяжести, называется свободным падением.
Современные, имеющие высокую точность эксперименты подтверждают: ускорения всех свободно падающих тел в данном месте одинаковы.
Как объяснить такую удивительную закономерность?
Для этого достаточно применить второй закон
Ньютона и учесть, что сила тяжести прямо пропорциональна массе тела. В 7-м классе вы записывали
зависимость силы тяжести от массы в виде
Рис. 182
Fт = gm.
(1)
Определим модуль ускорения свободного падения с учетом зависимости (1):
aсв =
Fт
m
=
gm
m
= g.
(2)
Мы доказали, что модуль ускорения свободного падения для всех тел одинаков, и выяснили, что коэффициент g в формуле (1) равен мо-
Правообладатель Народная асвета
Движение тела под действием силы тяжести
125
дулю ускорения свободного падения. При этом ускорение свободного падения
G
G FG
G
aсв = g = тт направлено так же, как сила тяжести Fт , — вертикально вниз.
кг м
Значение g = 9,81 Н = 9,81 2
= 9,81 м2 характеризует ускорение свободнокг
с
кг
с
го падения на средних географических широтах. На экваторе — g = 9,78 м2 , на
с
с
ас
ве
та
полюсах — g = 9,83 м2 . Зависимость ускорения свободного падения от широты
На
р
од
на
я
связана с вращением Земли вокруг своей оси и «сплюснутостью» Земли у полюсов. При удалении от земной поверхности значение g постепенно уменьшается.
Движение тел под действием силы тяжести изучает баллистика (греч. ballo
~ — бросаю). Она рассматривает движение артиллерийских снарядов, пуль, авиационных бомб, баллистических ракет и т. д. В точных баллистических расчетах, кроме
влияния силы тяжести, учитывается сопротивление воздуха и ряд других факторов.
Пренебрежение сопротивлением воздуха для достаточно массивных тел малых размеров при небольшой скорости движения (брошенный камень, спортивное ядро и др.) не приведет к серьезной ошибке. В других случаях (волейбольный
мяч, артиллерийский снаряд, пуля) пренебрегать сопротивлением воздуха недопустимо. На рисунке 183 (в условном масштабе) изображены траектории реального движения (сплошные линии) и траектории без учета сопротивления воздуха
(штриховые линии) для спортивного ядра (см. рис. 183, а), для артиллерийского
снаряда (см. рис. 183, б) и для ружейной пули (см. рис. 183, в).
Рис. 183
Правообладатель Народная асвета
126
ас
ве
та
Динамика
Рис. 184
од
на
я
Траектория и другие характеристики движения свободно падающего тела зависят от положения начальной точки, от угла, под которым направлена начальная
скорость, и от ее модуля.
На рисунке 184 представлены различные случаи свободного падения тела,
брошенного: а) с высоты H вертикально вниз; б) с поверхности Земли вертикально вверх; в) горизонтально; г) под углом к горизонту.
Рассмотрим свободное падение тел Jвблизи
JJJJJG поверхности Земли. В этом слуG
чае можно считать, что ускорение g = const, а скорость и перемещение определяются по формулам движения с постоянным ускорением (см. § 12, 13). ЗаG
G
менив в этих формулах a на g, получим:
G
G G
v = v0 + gt;
(3)
G
G G
gt2
(4)
Δr = v0 t +
.
2
На
р
Выберем оси Ох и и Oy так, как показано на рисунке 185.
Из рисунка видно, что проекции перемещения тела Δrx = x, Δry = y − y0 . С
учетом этого из формул (3) и (4) следует:
Рис. 185
vx = v0 x ; vy = v0 y + gy t;
x = v0 x t; y = y0 + v0 y t +
gy t
2
(5)
2
.
(6)
Из рисунка 185 видно также,
что проекции начальной скорости
v0 x = v0 cos α, v0 y = v0 sin α.
Формулы (5) и (6) содержат ответы на любой вопрос о рассматриваемом движении тела.
Правообладатель Народная асвета
127
Движение тела под действием силы тяжести
А как движутся проекции тела на координатные оси (точки А1 и А2)?
Точка А1 (см. рис. 185) движется по горизонтальной оси Ох по закону x = v0 x t
с постоянной скоростью vx = v0 x . Точка А2 — по вертикальной оси Оy с постоянным ускорением, направленным вниз, по закону y = y0 + v0 y t +
2
. Скорость
ас
ве
та
точки А2 линейно зависит от времени: vy = v0 y + gy t.
gy t2
Таким образом, свободно падающее тело участвует одновременно в двух
движениях: в движении по вертикали с постоянным ускорением и в равномерном движении по горизонтали.
Найдем траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту. Из
формулы x = v0 x t выразим время: t = x . Подставив t = x
v0 x
координаты у (см. формулы (6)), находим: y = у0 +
v0 y
v0 x
= a,
g
2 v02 x
v0 y
v0 x
v0 x
x−
в выражение для
g
2 v02 x
x 2 . Обозначив
= b, получим: y = y0 + ax − bx 2 . Это уравнение параболы с на-
На
р
од
на
я
правленными вниз ветвями.
Проверим этот вывод на опыте. Хорошей моделью движения тела, брошенного под углом к горизонту, служит движение капель, образующих водяную
струю. Благодаря тому что капли движутся вплотную друг к другу, сопротивление
воздуха сводится к минимуму. Опыт проведем на установке, показанной на рисунке 186. В открытом сосуде находится подкрашенная вода. Струя образуется
с помощью гибкого шланга, снабженного наконечником. Убедиться в том, что
траектория движения капель близка к параболе, можно путем сравнения формы
струи с параболами, заранее нарисованными на листе картона.
Рис. 186
Правообладатель Народная асвета
128
Динамика
ас
ве
та
Установим на опыте зависимость максимальной высоты H и дальности l полета капель (см. рис. 186) от их начальной скорости.
Оставляя постоянным угол вылета капель α, будем изменять модуль их начальной скорости (за счет изменения высоты, на которой расположен сосуд
с водой). С ростом начальной скорости будут расти и высота H, и дальность
полета l.
Затем, не изменяя модуль начальной скорости, будем постепенно увеличивать угол α вылета капель от 0° до 90°. Опыт показывает, что при этом высота
H растет, а дальность полета l сначала растет, а затем (как только угол α превысит 45°) начнет уменьшаться. К таким же результатам приводят расчеты, которые мы выполним при разборе примера 3.
Главные выводы
1. Свободным падением называют движение тела, на которое действует
только сила тяжести.
2. Ускорение всех свободно падающих тел в данном месте одинаково. Вбли-
я
зи поверхности Земли модуль ускорения свободного падения g ≈ 9,8 м2 .
с
од
на
3. Свободно падающее тело участвует одновременно в двух движениях: в
движении с постоянным ускорением по вертикали и в равномерном — по горизонтали.
4. Траектория тела, брошенного под углом к горизонту, является параболой
(при отсутствии сопротивления воздуха). Если точки бросания и падения лежат на одной горизонтали, то максимальная дальность полета при заданной
начальной скорости достигается при угле бросания α = 45°.
На
р
Контрольные вопросы
1. При каких условиях падение тел в воздухе можно считать свободным?
2. Почему при обычном давлении воздуха перышко движется медленнее, чем кусочек
пробки и дробинка? Движение какого из тел ближе к свободному падению?
3. Почему все свободно падающие тела независимо от их массы движутся с одинаковым ускорением?
4. Зависит ли ускорение свободного падения от расстояния до земной поверхности?
5. Что общего у движений тел, брошенных вертикально, горизонтально и под углом
к горизонту?
6. При каком значении угла бросания достигается максимум дальности полета при заданной начальной скорости?
Правообладатель Народная асвета
129
Движение тела под действием силы тяжести
Примеры движений свободно падающего тела
1. Падение тела без начальной скорости с высоты H. Направим ось Оy вертикально вниз (рис. 187). Начало координат совместим с точкой бросания. Тогда gy = g
и при y0 = 0, v0 = 0 из формул (5), (6) следует: vy = gt,
gt2
ас
ве
та
y=
. Отсюда для момента падения тела на Землю по2
gt2
лучим: vH = gtп , H = п . В результате время падения:
2
tп =
2H
g
(7)
,
а модуль скорости тела в конце падения:
vΗ =
Рис. 187
2 gH .
я
Время tп и скорость vН при v0 ≠ 0 найдите самостоятельно.
2. Тело, брошенное вертикально вверх. Направим
ось Оy вертикально вверх (рис. 188). Тогда v0 y = v0 ,
gy = − g и при y0 = 0 из формул (5), (6) получим:
од
на
vy = v0 − gt;
y = v0 t −
(8)
2
gt
2
(9)
.
Время подъема tп′ тела на максимальную высоту найдем из уравнения (8), приравняв к нулю скорость тела:
vy = v0 y − gtп′ = 0.
На
р
Отсюда
v0 y
tп′ =
g
Рис. 188
(10)
.
Подставляя tп′ в формулу (9), находим максимальную высоту подъема:
H = v0 y tп′ −
gtп′ 2
2
= v0 y
v0 y
−
g
g
2
v0 y
g
2
=
v02 y
2g
.
(11)
С помощью формул (7) и (11) легко доказать, что время падения tп с высоты H равно времени подъема tп′ на эту высоту. Значит, полное время полета тела,
брошенного вертикально вверх:
t=
2 v0 y
g
.
Правообладатель Народная асвета
(12)
130
ас
ве
та
Динамика
Рис. 189
3. Тело, брошенное под углом α к горизонту (0o α 90o ). При выборе
осей Ох и Оу, показанном на рисунке 189, проекция gy = − g , y0 = 0 и из формул (5) и (6) следует:
(13)
vx = v0 x ; vy = v0 y − gt;
x = v0 x t; y = v0 y t −
gt2
2
.
(14)
од
на
я
Формулы (13), (14) и рисунок 189 показывают, что движение проекции
тела на ось Ох происходит с постоянной скоростью v0 x = v0 cos α. В то же время движение проекции тела на ось Оу совпадает с движением тела, брошенноG
G
го вертикально вверх с начальной скоростью v0 y , модуль которой v0 y = v0 sin α
(см. рис. 189). Поэтому время движения тела до точки максимального подъема
можно найти по формуле (10): tп′ =
(12): t =
2 v0 sin α
,
g
v0 sin α
,
g
полное время полета — по формуле
а максимальную высоту — по формуле (11): H =
v02 sin2 α
.
2g
При
этом горизонтальная дальность полета l = v0 x t :
На
р
l = v0 cos α
Рис. 190
2 v0 sin α
g
=
v02 sin 2 α
.
g
(15)
При выводе формулы (15) использовалось тригонометрическое соотношение 2 sin α cos α = sin 2α.
Формула (15) подтверждает, что максимальная дальность полета достигается при значении угла бросания
α = 45°. Из нее также следует, что дальность полета
пропорциональна квадрату начальной скорости.
4. Тело, брошенное горизонтально. В этом случае движение проекции тела на вертикальную ось совпадает с движением тела, падающего без начальной
скорости с высоты H (рис. 190). Поэтому время па-
Правообладатель Народная асвета
Движение тела под действием силы тяжести
дения равно tп =
2H
g
131
, а горизонтальная дальность полета — l = v0 2 H . Из
g
рисунков 189 и 190 видно, что движение тела, брошенного горизонтально, совпадает с движением тела, брошенного под углом к горизонту, на участке 2—4.
ас
ве
та
Пример решения задачи
Модуль начальной скорости снаряда v0 = 200 м , а угол бросания α = 60°.
с
Определите максимальную высоту подъема снаряда H, дальность его полета l и
высоту h, на которой скорость снаряда была направлена под углом β = 30° к горизонту. Сопротивлением движению пренебречь, g = 10 м2 .
с
Д а н о:
Решение
α = 60°
v0 = 200 м
с
β = 30°
g = 10 м2
Сделаем рисунок к задаче (рис. 191).
Рис. 191
од
на
H—?
l—?
h—?
я
с
Согласно рисунку 191 v0 x = v0 cos α, v0 y = v0 sin α. Найдем время подъема
снаряда до точки 2 из условия, что в этой точке vy = 0. Согласно формуле (13) для
vy получим: v0 y − gtn = 0.
Тогда время подъема:
На
р
v0 y
tn =
g
=
v0 sin α
;
g
tn =
200 м 3
с
2 10 м2
с
= 17 с.
Все время движения: t = 2tn .
Определим дальность полета. Учтем, что x = v0 x t.
l = v0 x t = v0 cos α 2tn = 200 м 0,5 2 17 с = 3400 м = 3, 4 км.
с
Максимальную высоту подъема H найдем с помощью формулы (14):
H = v0 y tn −
gtn2
2
= v0 sin α tn −
gtn2
2
;
Правообладатель Народная асвета
132
Динамика
H = 200
м
с
3
2
17 с −
10 м2 289 с2
с
2
= 1500 м = 1,5 км.
Найдем модуль вертикальной составляющей скорости движения снаряда в точке 1. Из рисунка 191 следует: vy = v0 x tg β = v0 cos α tg β. Для движения проекции
h=
h=
200 м
с
3
2
2
vy2 − v02 y
−2 g
− 200 м 0,5
с
20 м2
с
ас
ве
та
на ось Оy применима формула vy2 = v02 y + 2ay (y − y0 ) (см. § 13). Тогда:
=
1
3
(v0 sin α)2 − (v0 cos α tg β)2
2g
2
=
2
2
29 964 м2 − 3341 м2
с
с
20 м2
с
;
= 1300 м = 1,3 км.
О т в е т: H = 1,5 км; l = 3,4 км; h = 1,3 км.
Упражнение 17
од
на
я
1. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту со скоростью, модуль которой
v = 20 м . Определите проекции начальной скорости на горизонтальную и верс
тикальную оси координат. Через какой промежуток времени тело достигнет верхней точки траектории? Сопротивлением движению в этой и последующих задачах
м
пренебречь. Принять здесь и далее g = 10 2 .
с
2. Проекции начальной скорости камня, брошенного под углом к горизонту,
На
р
равны: v0х = 5,0 м , v0у = 5 3 м . Определите модуль начальной скорости брос
с
сания камня и угол бросания.
3. Шарик катится по направлению к краю стола со скоростью, модуль которой v = 10 cм . Высота стола h = 125 см. На каком расстоянии от стола упас
дет шарик?
4. Разогнавшись до скорости, модуль которой v = 3,0 м , человек прыгает
с
горизонтально с отвесной скалы в воду и достигает поверхности воды через время t = 2,0 с. Определите высоту скалы и расстояние от ее подножия до точки погружения пловца в воду.
5. При движении камня, брошенного под углом α = 60° к горизонту, его координата х изменялась со временем по закону: х = Аt, где А = 10 м . С какой
с
начальной скоростью брошен камень? На какой высоте он был через время
t = 0,5 с от начала движения?
6. Брандспойт выбрасывает воду со скоростью, модуль которой v = 15 м . Под
с
каким углом к горизонту надо направить наконечник брандспойта, чтобы вода до-
Правообладатель Народная асвета
133
Закон всемирного тяготения
ас
ве
та
стигла поверхности на расстоянии l = 18 м? Будет ли этот угол единственным?
Высоту, на которой находится брандспойт, считать равной нулю.
7. Докажите, что при значениях углов бросания α и 90° − α дальности полета тела будут одинаковы.
8. Чему равна горизонтальная дальность полета, если тело брошено под углом α
к горизонту с высоты h с начальной скоростью, модуль которой равен v0?
§ 25. Закон всемирного тяготения
Скорость движения Земли по орбите превышает сто тысяч километров в час. Почему же Земля не покинула Солнечную систему? Какая сила
удерживает ее на орбите?
од
на
я
В 7-м классе вы узнали о всемирном тяготении — о том, что все без исключения тела притягиваются друг к другу с определенной силой. Она называется силой тяготения или гравитационной силой. Гравитационное притяжение испытывают любые объекты: атомы, молекулы, тела обычных размеров, планеты,
звезды и т. д. — независимо от того, действуют ли между ними другие силы. Почему же мы не замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов?
Ответ на этот и другие вопросы дает закон всемирного тяготения, установленный И. Ньютоном.
Любые два тела притягивают друг друга силами, прямо пропорциональными произведению масс этих тел и обратно пропорциональными квадрату
расстояния между ними:
F =G
m1m2
r2
.
(1)
На
р
Формула (1) выражает зависимость модуля силы тяготения от масс m1 и m2
притягивающихся тел и от расстояния r между ними (рис. 192).
Формулу (1) можно применять непосредственно для материальных точек и,
как доказал Ньютон, для однородных тел, имеющих форму шара. В этом случае
r — это расстояние между центрами шаров. При определении силы притяжения
тел произвольной формы необходимо учитывать, что разные точки тел находятся
на различных расстояниях
друг
G
G от друга.
Силы тяготения F12 и F21 (см. рис. 192) направлены по линии, соединяющей тела.
G В соотG
ветствии с третьим законом Ньютона F12 = − F21 ,
а модули этих сил равны:
F12 = F21 = F .
Правообладатель Народная асвета
Рис. 192
134
Динамика
од
на
я
ас
ве
та
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она численно
равна силе притяжения двух тел
массами по 1 кг, находящихся на
расстоянии 1 м друг от друга.
Опыт, по результатам которого
можно найти значение гравитационной постоянной, был проведен Генри Кавендишем в 1798 г.
Схема установки представлена
на рисунке 193. На стержне АВ заРис. 193
креплены два одинаковых шарика
массой m. Стержень подвешен на тонкой упругой металлической нити OC и снабжен легким зеркальцем S. Такое устройство называется крутильными весами.
Притяжение шариков к тяжелым неподвижным свинцовым шарам массами M
вызывает поворот стержня АВ и закручивание нити OC. Угол закручивания чрезвычайно мал. Его определяют с помощью луча света, отраженного от зеркальца
S (см. рис. 193). По углу закручивания нити находят силу притяжения.
Зная массы m и M, расстояние r (см. рис. 193) и модуль силы притяжения
F, с помощью формулы (1) можно найти гравитационную постоянную G. Современные эксперименты дают значение G = 6,6743 10−11
Н м2
кг 2
.
На
р
Из-за малости G гравитационная сила становится заметной лишь тогда, когда хотя бы одно из двух притягивающихся тел имеет очень большую массу. Так,
силу тяжести, которую мы все ощущаем, создает Земля, масса которой огромна
(около 6 1024 кг).
Закон всемирного тяготения дает много важных сведений об окружающем
мире. Покажем, как с помощью этого закона можно определить ускорение, приобретаемое телами под действием силы тяготения (ускорение свободного падения), установить массу планет и Солнца, вычислить первую космическую скорость.
1. Ускорение свободного падения на планетах и на их спутниках. По второму закону Ньютона
ускорение, приобретаемое телом под действием силы тяG FG
= G M2 . Значит,
готения, g = . Согласно формуле (1) его модуль g = G mM
2
m
R m
R
ускорение свободного падения на планете прямо пропорционально ее массе M и
обратно пропорционально квадрату радиуса R планеты:
g = G M2 .
R
Правообладатель Народная асвета
(2)
Закон всемирного тяготения
135
В таблице 2 приведены массы планет, их радиусы и значения ускорения g для
пяти планет, а также для Луны и спутника Марса — Фобоса.
Та б л и ц а 2. Массы, радиусы и ускорения g для некоторых планет и спутников
Венера
Земля
Масса М, кг
3,4 1023
4,9 1024
6,0 1024
7,4 1022
6,5 1023
1,2 1016
1,9 1027
Радиус R, км
2430
6050
6380
1730
3390
12
70 890
g, м2
3,7
8,7
9,8
1,6
3,7
0,0054
23,01
с
Луна
Марс
Фобос
Юпитер
ас
ве
та
Меркурий
я
Сравните ускорение свободного падения на Юпитере, Луне, Фобосе с ускорением g на Земле.
2. «Взвешивание» Земли. Об опыте Кавендиша говорят как об опыте по
«взвешиванию» Земли, т. е. определении ее массы. Действительно, получив из
опыта значение гравитационной постоянной и зная ускорение свободного падения, а также радиус Земли, с помощью формулы (2) легко найти ее массу:
од
на
gRЗ2
G
MЗ =
= 5,97 1024 кг.
3. Ускорение свободного падения на высоте h. Расстояние r от центра планеты радиусом R до точки, находящейся на высоте h, равно R + h (рис. 194). Заменив в формуле (2) радиус планеты R на расстояние r = R + h, получим:
gr = G M2 = G
r
M
( R + h) 2
.
(3)
На
р
Из формул (2) и (3) находим отношение
ускорения свободного падения на высоте h к
ускорению на поверхности планеты:
gr
g
2
= R2 =
r
R
R+h
2
.
(4)
Мы видим, что с ростом высоты ускорение
свободного падения уменьшается. Это уменьшение незаметно на высотах, малых по сравнению
с радиусом планеты (т. е. при h << R), но очень
существенно на больших расстояниях от нее.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 194
136
Динамика
4. Скорость движения спутника по круговой
G
орбите. Центростремительное ускорение aцс спутника, движущегося по круговой орбите радиусом r,
G
G
создано силой тяготения. Следовательно, aцс = gr
2
vкр
, где vкр — модуль
ас
ве
та
(рис. 195). Так как модуль aцс =
r
скорости движения спутника, то
vкр =
2
vкр
r
= gr . Отсюда
gr r .
(5)
Скорость движения по круговой орбите, близкой к поверхности планеты (r ≈ R), называется первой космической скоростью. Подставив в
Рис. 195
формулу (5) ускорение gr = g = 9,8 м2 и r = RЗ = 6 370 000 м (радиус Земли), пос
лучим значение первой космической скорости движения спутника вокруг Земли:
gRЗ = 7,9 км ≈ 8 км .
с
я
v1 =
с
од
на
Второй космической скоростью v2 называют наименьшую начальную скорость, приобретя которую тело навсегда покинет планету. Можно доказать, что v2 = 2 v1 . Для Земли
км
v2 ≈ 11
.
с
Скорость движения по круговой орбите радиуса r можно выразить через массу планеты и радиус орбиты. Подставляя gr из формулы (3) в формулу (5), получим:
(6)
vкр = GM .
r
На
р
Видно, что скорость vкр уменьшается при увеличении радиуса орбиты.
«Взвешивание» Солнца. Чтобы «взвесить» Солнце, достаточно знать гравитационную постоянную G, расстояние от Земли до Солнца r = 1,5 1011 м и продолжительность года
T = 365,25 сут = 3,16 107 с. По значениям r и T легко определить скорость движения Земли по
2
r vкр
4 м
2 πr
орбите: vкр =
Выражая массу M из формулы (6), получим: M =
= 3, 0 10
.
. Подс
G
T
ставляя сюда vкр и r, находим массу Солнца: М = 2,0 1030 кг. Она в 330 000 раз больше массы
Земли.
Про массу планеты могут «рассказать» ее спутники. Покажите самостоятельно, как определить массу планеты, зная период обращения ее спутника и радиус его орбиты.
Правообладатель Народная асвета
Закон всемирного тяготения
137
Главные выводы
1. Любые два тела притягивают друг друга силами, прямо пропорциональными произведению масс этих тел и обратно пропорциональными квадрату
расстояния между ними.
Н м2
показывает, с какой
2. Гравитационная постоянная G = 6,67 10−11
2
ас
ве
та
кг
силой притягиваются материальные точки массами по 1 кг на расстоянии 1 м
друг от друга.
3. Ускорение свободного падения на поверхности планеты прямо пропорционально ее массе и обратно пропорционально квадрату радиуса
планеты.
4. Скорость движения спутника по круговой орбите, близкой к поверхности
планеты, называется первой космической скоростью. Для Земли v1 ≈ 8 км .
с
Контрольные вопросы
На
р
од
на
я
1. Какая сила действует между любыми телами? Почему мы не замечаем взаимного
притяжения окружающих нас предметов?
2. Как изменяется сила тяготения при увеличении расстояния между телами?
3. Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная G? Как найти ее на
опыте?
4. Что понимают под первой космической скоростью? Чему равна эта скорость для
Земли?
5. Как определить массу Земли?
6. Как, зная радиус орбиты Фобоса и период его обращения вокруг Марса, найти
массу Марса?
7. Почему Луна не падает на Землю? Почему Земля не падает на Солнце, но и не
покидает Солнечную систему?
Пример решения задачи
Геостационарным называют спутник, постоянно находящийся над определенной точкой поверхности Земли. Такие спутники широко используются как спутники связи. Определите радиус орбиты геостационарного спутника и его высоту
над поверхностью Земли.
Решение
Орбита геостационарного спутника — окружность, лежащая в экваториальной плоскости Земли (рис. 196). Период обращения такого спутника должен совпадать с периодом Т вращения Земли вокруг своей оси (24 ч).
Правообладатель Народная асвета
138
Рис. 196
ас
ве
та
Динамика
Хотя геостационарный спутник неподвижен относительно Земли, он движется ускоренно относительно инерциальной системы, связанной со звездами.
Его центростремительное ускорение создано силой тяготения Земли. Приравни2
2
вая ускорение aцс = 4 π2 r к ускорению свободного падения gr = g R2 , получим:
T
4π r
T2
2
r
= g R2 . Отсюда радиус орбиты r =
r
2 2
3
gR T
4π2
. Подставляя g = 9,8 м2 , радис
я
2
од
на
ус Земли R = 6,4 106 м, период обращения Т = 24 3600 с = 8,64 104 с, находим:
r = 4,23 107 м. При таком радиусе орбиты расстояние до поверхности Земли составит: h = r − R =3,6 104 км. Точные расчеты дают результат: h = 35 786 км.
Упражнение 18
На
р
1. Как изменится сила тяготения между двумя материальными точками, если
расстояние между ними уменьшится в k = 3 раза?
2. Изменится ли сила тяготения между двумя телами, если массу одного из
них увеличить в два раза, а расстояние между ними уменьшить в два раза?
3. В одном из опытов по проверке закона всемирного тяготения сила притяжения между свинцовым шаром массой m1 = 5,0 кг и шариком массой
m2 = 100 г была равна F = 6,8 нН (наноньютонов). Расстояние между центрами
шаров r = 7,0 см. На основании этих данных определите гравитационную постоянную.
4. Определите ускорение, вызванное силой тяготения, на высоте h = 2RЗ от
поверхности Земли, если на поверхности Земли оно равно g = 9,81 м2 .
с
5. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на
тело, уменьшится в k = 3 раза? Радиус Земли RЗ принять равным 6,4 106 м.
Правообладатель Народная асвета
Центр тяжести. Вес. Невесомость и перегрузки
139
§ 26. Центр тяжести. Вес.
Невесомость и перегрузки
ас
ве
та
Чем ниже расположен центр тяжести автомобиля, тем он более
устойчив. А что такое центр тяжести?
Всегда ли вес равен силе тяжести? При каких условиях наступает невесомость? Можно ли испытать
состояние невесомости, не отправляясь в космос?
Рис. 197
На
р
од
на
я
До сих пор мы рассматривали силу тяжести как одну
силу, действующую на тело в целом. На самом же деле сила
тяжести складывается из сил, приложенных к каждой части
G
G
тела (рис. 197). Как заменить множество сил m1 g , m2 g ,
G
G
m3 g , … одной силой mg ? В какой точке ее следует приложить?
Проведем опыт. Подвесим на нити динамометр, а
к нему — легкий жесткий стержень с двумя грузами
(рис. 198, а). Подберем точку С подвеса стержня так, чтобы грузы массами т1 и т2 уравновесили друг друга. Стержень с грузами будем рассматривать
G как одно тело. На него
G
действуют сила натяжения нити Fн и силы тяжести m1 g и
G
m2 g . В какой точке следует приложить силу тяжести всеG
G
G
го тела mg = (m1 + m2 ) g , чтобы она заменила силы m1 g
G
и m2 g ?
G
Опыт показывает: силу mg нужно приложить в точке, относительно которой грузы уравновешивают друг
друга, — в точке C (рис. 198, б). Только в этом случае
не изменятся ни показания динамометра, ни положение
стержня.
Точка приложения силы тяжести называется центром
тяжести тела.
Положение центра тяжести (точки C, см. рис. 198, а, б)
легко рассчитать из условия равновесия по правилу моментов: m1 g l1 = m2 g l2 . Отсюда
l1
l2
=
m2
m1
— расстояния
от грузов до центра тяжести обратно пропорциональны их
массам. Значит, центр тяжести находится ближе к более
массивному грузу.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 198
140
Рис. 199
ас
ве
та
Динамика
А если грузов больше двух (рис. 199)? Обозначим их координаты через x1, x2, x3, а координату центра тяжести всей системы — через xС.
В этом случае условие равновесия примет вид: m1 g l1 + m2 g l2 = m3 g l3 , или
m1 (xC
− x1 ) + m2 (xC − x2 ) = m3 (x3 − xC ).
Раскрывая скобки и перенося в левую часть слагаемые с координатой центра тяжести xС,
получим: (m1 + m2 + m3 ) xC = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 . Отсюда
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
.
я
xC =
од
на
Аналогично для тела, состоящего из n материальных точек, координата его центра
тяжести:
m x + m2 x2 + ... + mn xn
(1)
xC = 1 1
,
m
где m = m1 + m2 + ... + mn .
Если точки не находятся на одной прямой, то для определения центра тяжести необходимо
вычислить также координаты уС и zC:
yC =
m1y1 + m2 y2 + ... + mn yn
m
; zC =
m1z1 + m2 z2 + ... + mn zn
m
.
(2)
На
р
А как найти центр тяжести сплошного тела? Это можно сделать по формулам (1) и (2),
условно разбив тело на малые части (см. рис. 197) массами m1 , m2 , ..., mn .
Отметим, что о полной замене сил тяжести, приложенных к каждой части тела, одной сиG
лой mg можно говорить только для недеформируемых, абсолютно твердых тел.
Рис. 200
У однородных тел правильной формы центр
тяжести совпадает с его геометрическим центром (рис. 200).
Центр тяжести любого тела можно найти на опыте, подвешивая тело на нити в разных точках (например в точках О1 и О2) и отмечая положение проходящих через эти точки
Правообладатель Народная асвета
141
ас
ве
та
Центр тяжести. Вес. Невесомость и перегрузки
Рис. 201
На
р
од
на
я
вертикальных прямых AB и A′B ′ (рис. 201). Точка C их пересечения совпадает с
искомым центром тяжести.
Для чего нужно знать положение центра тяжести? Проведем опыт. На наклонную плоскость с невысокой ступенькой положим кубик (рис. 202). Ступенька
препятствует его соскальзыванию. Выясним, при каком значении угла наклона ϕ
произойдет опрокидывание кубика. Будем постепенно увеличивать угол наклона.
Однородный кубик опрокинется при значении угла ϕ1 = 45° (см. рис. 202, а).
Возьмем теперь кубик, склеенный из двух половинок — стальной и деревянной.
Если поставить его деревянной частью книзу, то кубик опрокинется при значительно меньшем значении угла (см. рис. 202, б). Если же внизу будет стальная
часть, то опрокидывание произойдет лишь при угле ϕ3 60° (см. рис. 202, в).
Рис. 202
Правообладатель Народная асвета
142
Динамика
ас
ве
та
Так происходит, потому что момент силы реакции опоры может уравновесить
«опрокидывающий» момент силы тяжести, только если линия действия силы тяжести не выходит за пределы опоры (см. рис. 202).
Чем ниже расположен центр тяжести тела, тем оно более устойчиво.
В связи с проблемой устойчивости необходимо следить за положением центра тяжести высотных сооружений, подъемных кранов, транспортных средств и
т. д. Недопустимое повышение центра тяжести корабля, вызванное неправильным размещением грузов, может привести к потере устойчивости и опрокидыванию судна.
Точка с координатами xC, yC, zC, которые определяются по формулам (1), (2), важна не
только как место приложения силы тяжести. Эту точку называют центром масс тела. Можно
доказать, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной
массе тела, под действием результирующей всех сил, приложенных к нему.
На
р
од
на
я
Силу тяжести, действующую на тело, не следует путать с его весом. Вес тела
определяется как сила, с которой тело действует на опору или на подвес. Сила
тяжести приложена к телу, а вес — к опоре (рис. 203, а) или подвесу (рис. 203, б).
Природа силы тяжести и веса также различна. Сила тяжести имеет гравитационное происхождение, а вес — частный случай силы упругости.
На Gрисунке 203,
G а изображены три
G
G
силы: P, mg и N. Сила тяжести mg
действует
со стороны Земли на тело, вес
G
P — со стороны
G тела на опору, а сила реакции опоры N — со стороны опоры на
Рис. 203
тело. Рисунок 203, б проанализируйте самостоятельно.
G
G
По третьему закону Ньютона P = − N .
Если тело вместе с опорой покоится (или
движется
равномерно и прямолинейно),
то
G
G
G G G
G
mg + N = 0. В результате P = − N = mg .
Значит, в этом случае вес равен силе тяжести. А если тело вместе с опорой движется с ускорением?
Рассмотрим тело, находящееся в кабине лифта, которая движется с ускореG
Рис. 204
нием a, направленным вниз (рис. 204, а).
Правообладатель Народная асвета
Центр тяжести. Вес. Невесомость и перегрузки
143
G
G
Здесь, как и в предыдущем случае, P = − N , но по второму закону Ньютона
G
G
G G
G G
G
mg + N = ma ≠ 0. Отсюда N = ma − mg , а вес тела
G
G G
(3)
P = m (g − a).
Если, например, модуль ускорения кабины лифта a = 4,9 м2 , то вес тела
с
я
ас
ве
та
будет в два раза меньше, чем в неподвижной кабине. При a = 9,8 м2 , т. е. при
с
G G
движении с ускорением свободного падения a = g , вес тела станет равным нулю.
Значит, свободно падающие тела находятся в состоянии невесомости.
Докажите самостоятельно, что формула (3) справедлива и при ускорении кабины лифта, направленном вверх (рис. 204, б). Найдите, во сколько раз в этом
случае увеличится вес тела при модуле ускорения a = 4,9 м2 и при a = 9,8 м2 .
с
с
G
G G
Формула P = m (g − a) дает правильное выражение для веса тела при любом
G
G
направлении вектора a. Необходимо только помнить, что вектор a — это ускорение движения тела относительно инерциальной системы Gотсчета.
Численное значение веса тела равно модулю вектора P:
G G
(4)
P = m g −a.
од
на
Относительное изменение веса тела, вызванное его ускоренным движением,
характеризуют перегрузкой Q. Она равна отношению веса тела при его движении с ускорением к его весу в обычных условиях. Согласно формуле (4) перегрузка
G G
g −a
Q= P =
.
mg
g
G G
При a = g , т. е. при невесомости, Q = 0. В ракете, взлетающей с Земли верG
тикально с ускорением a, перегрузка Q = 1 + a .
g
На
р
Рассмотрим еще один пример. Космический корабль находится далеко от планет и Солнца. Силы их гравитационного действия на корабль пренебрежимо малы. Двигатель корабля соG
будет вес находящегося на корабле космонавта?
общает ему ускорение a. Каким
G
G G
G G
В данных условиях g = 0, но согласно формуле (3) вес P = − ma ≠ 0. Значит, вес может
возникнуть и при отсутствии силы тяжести. Вес будет направлен противоположно ускорению ком
рабля. Если при этом модуль ускорения корабля a = 9, 8 2 , то вес и все связанные с ним ощус
щения у космонавта будут такими же, как на Земле.
Большие перегрузки испытывают космонавты на участке разгона космического корабля ракетой-носителем. По окончании работы двигателей перегрузки сменяются состоянием невесомости. Для того чтобы благополучно перенести перегрузки и длительную невесомость, требуется специальная под-
Правообладатель Народная асвета
144
ас
ве
та
Динамика
Рис. 205
На
р
од
на
я
готовка. Для создания перегрузок используется
центрифуга (рис. 205, а). Состояние невесомости, которое длится несколько минут, достигается в салоне самолета, летящего по параболической траектории (рис. 205, б). Для
подготовки к работе в невесомости проводятся
также и тренировки под водой (рис. 205, в).
Подчеркнем, что в этом случае вес человека имеет обычное значение: опорой служит
вода, а силой реакции опоры является сила
Рис. 206
Архимеда.
Состояние перегрузки и кратковременной невесомости можно испытать, не
отправляясь в космос. Как мы видели, невесомость достигается при свободном
падении. Перегрузки возникают при движении с разгоном, торможением, резкими поворотами (рис. 206).
Главные выводы
1. Точка приложения силы тяжести тела называется центром тяжести.
2. Чем ниже расположен центр тяжести тела, тем оно более устойчиво.
3. Сила тяжести приложена к телу, а вес тела — к опоре или подвесу.
4. Вес тела изменится, если тело приобретет ускорение относительно инерциальной системы отсчета.
5. Свободно падающие тела находятся в состоянии невесомости.
Правообладатель Народная асвета
145
Центр тяжести. Вес. Невесомость и перегрузки
Контрольные вопросы
Примеры решения задач
1
4
mg ; P
mg ?
ас
ве
та
1.Что такое центр тяжести?
2. Как определить центр тяжести?
3. Что такое вес? Чем онG отличается от силы тяжести?
G
4. В каких случаях вес P и сила тяжести mg равны? В каких — P
5. При каких условиях наступает состояние невесомости?
6. Что называется перегрузкой?
7. Может ли вес быть направлен вертикально вверх?
1. Из однородной квадратной пластинки со стороной а = 10 см вырезана
часть (рис. 207, а). Определите положение центра тяжести пластинки с вы-
резом.
Д а н о:
хС — ?
Для определения положения центра тяжести (точки С) вернем на
свое место вырезанную часть (рис. 207, б).
я
а = 10 см
Решение
од
на
Сила тяжести всей пластинки будет равнодействующей сил тяжести вырезанG
G
ной части m1 g и оставшейся части m2 g . Относительно
точки О алгебраическая сумма моментов сил равна нулю:
m2 g хС = m1 g l. Отсюда xС =
m1l
m2
.
Так как m1 = 1 m, а m2 = 3 m, то xС = 1 l .
4
4
2
a +a
4
4
2
На
р
Поскольку плечо l =
3
2
= a 2 , то
4
хС = a 2 = 1,2 см.
12
О т в е т: хС = 1,2 см.
2. Человек массой m = 60 кг, находящийся в движущейся вниз кабине лифта, давит на пол с силой
F = 690 Н. Определите ускорение кабины лифта. Примите g = 10 м2 .
Рис. 207
с
Правообладатель Народная асвета
146
Динамика
Д а н о:
Решение
m = 60 кг
F = 690 H
g = 10 м2
с
G
a —?
В проекции на ось Оу:
ас
ве
та
На человека в кабине лифта (рис. 208) дейG
ствуют сила тяжести mg и сила реакции пола
G
G
G
N. По третьему закону Ньютона N = − F . ТогG
G
G
да ma = − F + mg .
maу = F − mg.
Отсюда
ay =
F − mg
;
m
ay =
690 Н − 600 Н
60 кг
=1,5 м2 .
с
Рис. 208
Следовательно, ускорение направлено вверх, хотя кабина опускается. Это значит, что она опускается с торможением.
О т в е т: а = 1,5 м2 ; ускорение кабины лифта направлено вверх.
с
Упражнение 19
На
р
од
на
я
1. Два шара одинакового объема массами m1 = 2,0 кг и m2 = 4,0 кг укреплены на тонком стержне так, что их центры находятся на расстоянии l = 20 см
друг от друга. Определите положение центра тяжести системы. Вес стержня не
учитывать.
2. Брусок длиной l = 20 см состоит из двух равных половин: одна — из алюминия, другая — из меди. Определите положение центра тяжести бруска.
3. Из однородной пластинки в виде круга (рис. 209) радиусом R вырезано
круглое отверстие радиусом R . На каком расстоянии от точки О находится центр
2
тяжести пластинки?
4. В кабине подъемника лежит груз. Когда кабина неподвижна, вес груза P = 2,0 кН. В движущейся с
постоянным ускорением кабине вес груза больше на
ΔP = 200 H. Определите модуль и направление ускорения кабины подъемника.
5. Шарик, висящий на пружине в кабине неподвижного лифта, растягивает пружину на x1 = 3,0 см.
В движущейся с постоянным ускорением вверх кабине
лифта растяжение пружины стало равным x2 = 6,0 см.
Определите модуль ускорения движения кабины лифта.
Рис. 209
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
я
од
на
На
р
Правообладатель Народная асвета
148
Законы сохранения
§ 27. Импульс тела. Импульс системы тел
Результат действия силы на тело зависит не только от самой силы,
но и от продолжительности ее действия.
ас
ве
та
Рассмотрим пример. На тело (материальную точку) массой m в течение промежутка времени Δt = t2 − t1 действуют
G
G
сила тяжести mg , сила реакции опоры N и сила упругости
G
G
G G G
F (рис. 210). Поскольку mg + N = 0, сила F равна резульG
тирующей всех сил, действующих на тело. Пусть сила F поG
стоянна, а начальная скорость тела равна v1 . К какому реРис. 210
зультату приведет действие сил?
По второму закону Ньютона
G
G
(1)
a = F.
m
По определению ускорения
G
G
G
v −v
(2)
a = 2 1.
Δt
я
Из формул (1) и (2) следует:
(3)
од
на
G
G
G
mv2 − mv1 = F Δt.
Произведение массы тела на скорость его движения называется импульсом тела.
G
Импульс тела обозначается символом p:
G
G
p = mv.
(4)
На
р
Слово «импульс» происходит от латинского impulses — «толчок». Импульс
тела (его называют также количеством движения тела) — векторная величина.
Он направлен так же, как скорость движения тела. Единицей импульса в СИ является 1 килограмм-метр в секунду 1 кг м .
с
G
G
G
Так как mv2 − mv1 = Δp, соотношение (3) показывает, что действие сил на
тело приводит к изменению его импульса:
G
G
Δp = F Δt.
(5)
Равенство (5) выражает закон изменения импульса тела.
Изменение импульса тела равно произведению результирующей всех сил,
приложенных к телу, на время ее действия.
G
G
Изменение импульса Δp направлено так же, как результирующая сила F.
Правообладатель Народная асвета
Импульс тела. Импульс системы тел
149
G
Отметим, что произведение силы на время ее действия F Δt, называют импульсом силы.
Из закона изменения импульса тела следует:
G ΔpG
(6)
F =
.
ас
ве
та
Δt
Соотношение (6) выражает второй закон Ньютона
в той формулировке, которая была дана самим Ньютоном: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по прямой,
по которой эта сила действует».
Рис. 211
На
р
од
на
я
Из формулы (6) видно, что при заданном
изменении импульса тела сила обратно пропорциональна времени ее действия. С этим
приходится считаться в технике и в повседневной жизни.
Не рекомендуется делать резких рывков
при подъеме грузов и при буксировке транспортных средств. Если время действия силы
будет очень малым, то сила будет очень большой. Может произойти обрыв троса.
Чтобы избежать тяжелых последствий при
столкновениях, увеличивают время торможения. Для этого вагоны снабжают буферными
пружинными амортизаторами (рис. 211, а), автомобили — специальными бамперами, ремнями безопасности и автоматически срабатывающими воздушными подушками (рис. 211, б).
И наоборот, для получения больших сил,
используют процессы, при которых время изменения импульса крайне мало. Примерами
служит забивание свай падающим «молотом»
(рис. 212), столкновение пули с препятствием
и т. д. Разрушительное действие взрыва также
связано с тем, что он происходит крайне быстро.
Мы рассмотрели изменение импульса одного тела. А каковы закономерности изменения
импульса нескольких тел, взаимодействующих
друг с другом?
Правообладатель Народная асвета
Рис. 212
150
Законы сохранения
ас
ве
та
Совокупность нескольких тел образует механическую систему. Тела, не
входящие в систему, называются внешними телами. Силы взаимодействия тел
системы называют внутренними. Силы, которые действуют на тела системы со
стороны внешних тел, — внешними силами.
Импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов всех входящих в нее тел. Чем определяется изменение импульса системы?
Рассмотрим систему, которая состоит из Gдвух
тел
G 1 и 2 (рис. 213). Силы их взаимодействия F12 и
F21 — это внутренние силы. На Gтела системы дейG
ствуют также и внешние силы: F1 (на тело 1) и F2
(на тело 2). Пусть все силы постоянны в течение
промежутка времени Δt. Запишем изменение импульса каждого из тел системы. Для тела 1:
G
G
G
Рис. 213
Δp1 = (F21 + F1 ) Δt.
G
G
G
Для тела 2: Δp2 = (F12 + F2 ) Δt.
я
Для всей системы:
G
G G
G
G
G
G
Δpсист = Δp1 + Δp2 = (F21 + F1 + F12 + F2 ) Δt.
од
на
G
G
G
Согласно третьему закону Ньютона сумма сил взаимодействия F21 + F12 = 0.
С учетом этого
G G
G
G
(7)
Δpсист = (F1 + F2 ) Δt = Fвнеш Δt.
На
р
А если в систему входит более двух тел? Сумма внутренних сил, с которыми
тела действуют друг на друга, будет по-прежнему равна нулю, и результат (7) не
изменится:
r
r
Δpсист = Fвнеш Δt.
(8)
Соотношение (8) выражает закон изменения импульса системы тел.
Изменение импульса системы тел равно произведению результирующей
внешних сил, действующих на систему, на время ее действия.
Таким образом, изменить импульс системы тел можно только действием
внешних сил. Внутренние силы могут изменить импульс отдельного тела системы, но не импульс всей системы в целом.
Равенства
G (5) и (8) можно использовать и при непостоянных силах. В этом
случае под Fвнеш надо понимать среднюю (за промежуток времени Δt) внешнюю силу.
Правообладатель Народная асвета
151
Импульс тела. Импульс системы тел
Главные выводы
Контрольные вопросы
Что такое импульс тела? Как он направлен? В каких единицах измеряется?
Как можно изменить импульс тела? Чему равно это изменение?
Что такое механическая система? Чему равен ее импульс?
Чем можно вызвать изменение импульса системы тел?
Пример решения задачи
я
1.
2.
3.
4.
ас
ве
та
1. Векторная физическая величина, равная произведению массы тела на
скорость его движения, называется импульсом тела.
2. Направление импульса тела совпадает с направлением скорости его
движения.
3. Изменение импульса тела равно произведению результирующей всех
сил, приложенных к телу, на время ее действия.
4. Изменить импульс системы тел могут только внешние силы. Это изменение равно произведению результирующей внешних сил, действующих на
систему, на время ее действия.
Решение
G
m = 0,10 кг
Сила F (см. рис. 214), с которой
шаG
h = 0,20 м
рик действует на плиту, и сила Fпл , с которой плита действует на шарик, по третьему
Δt = 0,010 с
закону
v2 = v1
G
G Ньютона связаны соотношением
F = – Fпл .
м
g = 10 2
с
Изменение импульса шарика:
G G
F—?
Δp = Fш Δt,
G
G
G
где Fш — это результирующая силы тяжести mg и силы Fпл .
G
G
G
Изменение импульса шарика: Δp = mv2 − mv1 , где
G
G
а v2 — после
v1 — скорость шарика перед ударом,
G G
G
G
удара. Значит, mv2 − mv1 = (mg + Fпл ) Δt.
На
р
Д а н о:
од
на
Стальной шарик массой m = 0,10 кг падает с высоты h = 0,20 м на стальную платформу и отскакивает от нее с такой же по модулю скоростью: v2 = v1
(рис. 214). Время соударения Δt = 0,010 с. Определите модуль средней силы, с
которой шарик в процессе удара действовал на плиту. Начальная скорость шарика
равна нулю; g = 10 м2 .
с
Правообладатель Народная асвета
Рис. 214
152
Законы сохранения
В проекции на ось Оу:
mv2 − (− mv1 ) = (− mg + Fпл ) Δt;
mv2 + mv1 = (Fпл − mg) Δt.
Так как v2 = v1 (по условию), то Fпл =
Fпл =
2 m 2 gh
Δt
+ mg =
+ mg .
2 gh . Тогда:
ас
ве
та
Модуль скорости v1 =
2 mv1
Δt
2 0,10 кг
2 10 м2 0,20 м
с
0,010 с
+ 0,10 кг 10 м2 = 41 Н.
с
Следовательно, в процессе удара на плиту со стороны шарика по вертикали
вниз действовала сила, модуль которой F = 41 Н, что в 41 раз больше, чем вес
шарика P = mg = 1 Н.
О т в е т: F = 41 Н.
Упражнение 20
од
на
я
1. Пуля, массой m = 20,0 г вылетает из ствола пневматического пистолета со
скоростью, модуль которой v = 200 м . Определите модуль импульса пули.
с
2. Модуль скорости движения по прямолинейному участку шоссе автомобиля массой m = 1,0 т изменился от v 1 = 36 км до v 2 = 72 км . Определите
ч
ч
модуль изменения импульса автомобиля. Чему равен модуль результирующей
всех сил, приложенных к автомобилю, если он разгонялся в течение промежутка времени Δt = 3,0 мин? Как направлена результирующая?
3. Легкоатлет массой m бежит по круговой дорожке со скоростью, модуль которой v постоянен. Определите модуль изменения импульса легкоатлета
На
р
через промежутки времени: Δt1 = T , Δt2 = T , Δt3 = Т, где Т — время пробега
4
2
одного круга.
4. Молекула массой т = 2,0 10−26 кг летит со скоростью, направленной
под углом α = 60° к поверхности стенки сосуда. Модуль скорости v = 450 м .
с
После удара о стенку молекула под таким же углом и с такой же по модулю скоростью отскакивает от нее. Определите изменение импульса молекулы.
5. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» приведен рассказ
барона: «Однажды попробовал я перепрыгнуть через болото верхом на коне.
Но конь не допрыгнул до берега, и мы шлепнулись в жидкую грязь. Шлепнулись и стали тонуть... Что было делать? Мы непременно погибли бы, если бы
не удивительная сила моих рук... Схватив себя за волосы, я изо всех сил дернул
вверх и без большого труда вытащил из болота и себя, и своего коня, которого
сжал обеими ногами...». Докажите, что такой способ спасения невозможен.
Правообладатель Народная асвета
Закон сохранения импульса. Реактивное движение
153
§ 28. Закон сохранения импульса.
Реактивное движение
од
на
я
ас
ве
та
Еще до появления законов Ньютона знаменитый французский философ
и математик Рене Декарт (1596—1650) утверждал: «Во Вселенной есть
известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не
уменьшается и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает». А можно ли сформулированный Декартом закон сохранения количества движения
(импульса) вывести из законов Ньютона?
В предыдущем параграфе мы показали, что импульс системы тел может измениться только под действием внешних сил:
G
G
(1)
Δpсист = Fвнеш Δt.
G
А если внешних сил нет или их сумма Fвнеш равна нулю? Тогда
G
G
(2)
Δpсист = 0.
G
Обозначив начальный импульс системы через pсист , а импульс
в конце проG
G
G
G
′ , получим: pсист
′ − pсист = 0, или
межутка времени Δt — через pсист
G
G
′ .
(3)
pсист = pсист
На
р
Равенство (3) выражает закон сохранения импульса.
Импульс системы тел сохраняется, если сумма внешних сил, действующих на нее, равна нулю.
Система тел, на которую не действуют внешние тела, называется замкнутой (изолированной) системой. Таким образом, импульс любой замкнутой системы всегда сохраняется.
Закон сохранения импульса — один из наиболее точных и общих законов физики. Его применимость и для макроскопических явлений, и в микромире, и для релятивистских скоростей
проверена многочисленными экспериментами.
Реальные системы никогда не бывают полностью замкнутыми. Внешние
тела всегда в той или иной мере влияют на рассматриваемую систему. На все
окружающие тела действует Земля, на систему Земля — Луна действует Солнце и другие планеты, на Солнечную систему — звезды Галактики. Однако закон
сохранения импульса с успехом применяют и для незамкнутых систем.
В каких случаях это можно делать?
Правообладатель Народная асвета
154
Законы сохранения
од
на
я
ас
ве
та
Во-первых, если внешние силы
действуют, но их результирующая
равна нулю. Рассмотрим столкновение двух хоккейных шайб на гладком льду (рис. 215, вид сверху). Действовали ли на них внешние силы?
Да. Но сила тяжести и сила реакции
льда компенсировали друг друга. В
результате импульс системы, состоящей из двух шайб, не изменился, несмотря на столкновение.
Во-вторых, если внутренние
силы намного больше внешних. Это
относится к соударениям тел, выРис. 215
стрелам, взрывам и т. п. Например,
силы давления газов, вызвавшие разрыв снаряда, в тысячи раз больше, чем
действующая на снаряд внешняя сила тяжести. Значит, влиянием силы тяжести
на импульс системы в таких случаях можно пренебречь.
Кроме того, для незамкнутых систем можно применять закон сохранения
проекции импульса. Рассмотрим соударение шарика с гладкой горизонтальной
поверхностью (рис.G 216). Во время
удара результирующая внешних сил, действуG G
ющих на шарик (Fвнеш = mg + N ) перпендикулярна оси Ох. Ее проекция на ось
Ох Fвнеш x = 0 , и из равенства (1) следует Δpсист x = Fвнеш x Δt = 0. Значит, проекция импульса системы на ось, перпендикулярную внешней силе, не изменяется:
′ x.
(4)
pсист x = pсист
На
р
Подтвердим закон сохранения импульса экспериментально. Проведем опыт
с системой, состоящей из тележки с закрепленным на ней ящиком с песком,
и шара (рис. 217). Пустим по наклонному желобу шар так, чтобы он попал в
ящик с песком. Тележка придет в движение в ту сторону, куда двигался шар.
Рис. 216
Рис. 217
Правообладатель Народная асвета
Закон сохранения импульса. Реактивное движение
155
ас
ве
та
Рис. 219
В следующем опыте на покоящуюся тележку по двум одинаковым наклонным желобам
(рис. 218) с одинаковых высот скатываются два одинаковых шара. Шары одновременно падают в песок. Тележка остается в состоянии покоя.
Объясните самостоятельно результаты этих опытов. Были ли системы тел
замкнутыми? Как применить к этим системам закон сохранения импульса?
Рассмотрим еще один пример.
На горизонтальном рельсовом пути находится платформа с закрепленным
на ней артиллерийским орудием (рис. 219). Ствол орудия горизонтален. Орудие производит выстрел. В результате этого платформа покатится в сторону, противоположную направлению выстрела. Как объяснить это явление?
Сила тяжести, действующая на платформу с орудием, компенсирована сикачения можно пренебречь. Значит,
лой нормальной реакции рельсов.
G
G Трением
результирующая внешних сил Fвнеш = 0. Поэтому к системе (платформа с орудием и снаряд) можно применить закон сохранения импульса. До выстрела импульс системы был равен нулю. Приравнивая к нулю суммарный импульс тел системы после выстрела, получим:
G
G
G
(5)
m1v1′ + m2 v2′ = 0,
G
G
где m1 — масса платформы с орудием, m2 — масса снаряда, а v1′ и v2′ — скорости их движения относительно Земли после выстрела. Из равенства (5) легко
найти скорость платформы после выстрела:
На
р
од
на
я
Рис. 218
G
m G
v1′ = − 2 v2′ .
m1
Модуль этой скорости:
v1′ =
m2
m1
v2′ .
(6)
(7)
Платформа пришла в движение из-за «отдачи» при выстреле, т. е. из-за того,
что пороховые газы действовали как на снаряд, так и на орудие (см. рис. 219).
Хотя мы не знаем, чему равна эта сила, с помощью закона сохранения импульса
мы смогли найти скорость движения платформы.
Правообладатель Народная асвета
156
Законы сохранения
ас
ве
та
Рис. 221
За счет «отдачи» набирает скорость ракета (рис. 220).
Она выталкивает из сопла газообразные продукты сгорания
топлива с огромной скоростью
около 3 — 4 км .
с
од
на
я
Движение ракеты является примером реактивного движения.
Реактивным называется движение, возникающее при
отделении от системы какой-либо ее части с некоторой
скоростью.
Реактивное движение можно показать на простом опыте.
Рис. 220
К игрушечному автомобилю прикрепим надутый воздушный
шарик (рис. 221). Проткнем шарик в точке А иглой. Из шарика начнет струей
вырываться воздух, и автомобиль придет в движение.
Какую скорость приобретет покоящаяся ракета, выбросившая порцию газа
G
массой m со скоростью vг ? Ответ можно получить тем же способом, что и в приG
мере с выстрелом из пушки. Модуль скорости ракеты vр будет равен:
vр = m vг ,
M
(8)
На
р
где M — масса ракеты с оставшейся частью топлива. Следовательно, ракета набирает тем большую скорость, чем больше модуль скорости vг истечения газов из
ее сопла и чем меньше масса M.
Если ракета многоступенчатая, то по мере выгорания топлива в ступенях их
поочередно отделяют. Уменьшение массы ракеты облегчает ее разгон до необходимой скорости. Многоступенчатые ракеты используются для вывода на орбиту
искусственных спутников Земли. С их помощью исследуется околоземное и межпланетное космическое пространство.
Реактивные двигатели используются и в ракетах, предназначенных для военных целей, и в современных скоростных самолетах.
Идея использования ракет для космических полетов развивалась уже в начале ХХ в. Русский ученый К. Э. Циолковский (1857—1935) разработал схему
многоступенчатой ракеты, рассмотрел влияние атмосферы на полет ракеты, оценил необходимые запасы топлива для выхода ракеты в космическое пространство.
Циолковскому принадлежит также идея создания околоземных станций.
Правообладатель Народная асвета
Закон сохранения импульса. Реактивное движение
157
Главные выводы
ас
ве
та
Эти идеи были реализованы во второй половине ХХ в. Под руководством
выдающегося конструктора ракетно-космических систем С. П. Королева (1906—
1966) 4 октября 1957 г. в СССР был запущен первый в истории человечества искусственный спутник Земли. В 1961 г. был осуществлен первый полет человека
в космическом пространстве — 12 апреля Ю. А. Гагарин облетел земной шар на
корабле «Восток». В 1969 г. американские астронавты Н. Армстронг и Э. Олдрин впервые высадились на поверхность Луны. Ракетно-космические исследования стали неотъемлемой частью современной цивилизации.
Беларусь активно участвует в космических исследованиях, в их использовании для научных и практических целей.
Среди космонавтов есть уроженцы Беларуси: летчики-космонавты, дважды
герои Советского Союза П. И. Климук и В. В. Коваленок.
од
на
я
1. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется.
2. Закон сохранения импульса можно применить к незамкнутым системам,
если изменением импульса системы под действием внешних сил можно пренебречь.
3. Если проекция на некоторую ось суммы внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется.
4. Для создания реактивного движения не требуется действия внешних сил.
Импульс тела при реактивном движении создается в результате действия на
него отделяющихся от тела частей.
Контрольные вопросы
На
р
1. Что произойдет с импульсом системы, если на нее перестанут действовать внешние силы?
2. В каких случаях к незамкнутой системе можно применять закон сохранения импульса?
3. Какое движение называют реактивным? Приведите примеры.
4. За счет чего увеличивается скорость ракеты в процессе ее движения?
5. Почему для запуска космических кораблей используются многоступенчатые ракеты?
Примеры решения задач
1. Два вагона массами m1 = 10 т и m2 = 20 т двигались по горизонтальному
участку пути навстречу друг к другу. Модули скорости движения вагонов v1 = 0,5 мс
и v2 = 1,0 мс соответственно. Определите модуль скорости движения вагонов после срабатывания автосцепки.
Правообладатель Народная асвета
158
Законы сохранения
Д а н о:
Решение
m 1 = 10 т = 1,0 · 10 кг
m2 = 20 т = 2,0 · 104 кг
4
v1 = 0,5 мс
ас
ве
та
v2 = 1,0 мс
v—?
Рис. 222
я
G
G
На систему (рис. 222) действуют внешние
G
G силы: силы тяжести m1 g и m2 g и
компенсирующие их силы реакции N1 и N2 . Сила трения качения мала, ею можно пренебречь.
В итоге сумма внешних сил, действующих на вагоны, равна нулю. Значит,
к системе из двух вагонов можно применить закон сохранения импульса:
G
G
G
m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 ) v.
G
Здесь v — скорость вагонов после сцепки. В проекции на ось Ох
получим:
од
на
m1v1 − m2 v2 = (m1 + m2 ) vx .
Отсюда
vx =
vx =
m1v1 − m2 v2
m1 + m2
1,0 104 кг 0,5 м − 2,0 104 кг 1,0 м
с
с
(1,0 + 2,0) 104 кг
;
=
0,5 м − 2,0 м
с
с
3,0
= − 0,5 м .
с
На
р
Знак «−» указывает на то, что после автосцепки вагоны будут двигаться
противоположно направлению оси Ох.
О т в е т: v = 0,5 мс .
2. Снаряд, вылетевший из пушки под углом к горизонту, разорвался в верхней точке траектории, имея скорость, модуль которой v = 100 мс . Отношение
m
масс осколков 2 = 3. Меньший из осколков полетел горизонтально в обратm1
ном направлении со скоростью, модуль которой v1 = 200 мс . Определите модуль скорости и направление движения большего осколка сразу после разрыва
снаряда.
Правообладатель Народная асвета
159
Закон сохранения импульса. Реактивное движение
Д а н о:
m2
m1
=3
v1 = 200 мс
v2 — ?
Снаряд, содержащий два осколка, не является замкнутой системой, так как действует внешняя сила — сила тяжести. Однако
G
внутренняя сила F, разорвавшая снаряд на осколки, много больG
ше внешней силы mg . Поэтому к системе можно применить закон
сохранения импульса:
G
G
G
(1)
mv = m1v1 + m2 v2 .
ас
ве
та
v = 100
Решение
м
с
Так как по условию m1 + m2 = m; m2 = 3m1, то m = 4 m1.
G
G
G
G G
G
Подставим m в формулу (1): 4m1v = m1v1 + 3m1v2 . Отсюда: 4 v = v1 + 3 v2 .
В проекции на ось Ох: 4v = − v1 + 3v2x. В результате:
v2 х =
4 v + v1
3
=
4 100 м + 200 м
с
с
3
= 200 мс .
од
на
я
О т в е т: больший осколок движется в направлении снаряда со скоростью,
модуль которой v2 = 200 мс .
Проверим ответ.
G
G
G
G
G
Импульс снаряда p = 4m1v, импульс меньшего осколка p1 = m1v1 = 2m1v ,
так как v1 = 2v. Изобразим импульсы на рисунке 223.
Рис. 223
G
G
G
Из рисунка видно, что суммарный импульс осколков p1 + p2 = p.
Упражнение 21
На
р
G
1. На рисунке 224, а представлен импульс p замкнутой системы из
двух взаимодействующих тел в момент времени t1. В момент времени t2 имG
пульс первого тела стал равен p1 (рис. 224, б). Изобразите импульс второго тела системы. Каким будет импульс втоG
G
рого тела, если импульс p1 направить противоположно p?
2. Импульсы тел замкнутой системы в момент времени t
представлены на рисунке 225. Каков импульс системы в момент
времени t1 t ? В момент времени t2 t?
Рис. 224
Правообладатель Народная асвета
Рис. 225
160
Законы сохранения
3. Лодка массой т1 = 100 кг движется по озеру с постоянной скоростью, модуль которой v1 = 1,5 мс . С лодки прыгает мальчик массой т2 = 40 кг. Определите
модуль скорости и направление движения лодки после прыжка мальчика, если
мальчик прыгает: а) с носа лодки в направлении ее движения со скоростью, модуль которой v2 = 2,0 мс ; б) так же, как в предыдущем случае, но при v2 = 6,0 мс ;
од
на
я
ас
ве
та
в) с кормы в направлении, противоположном движению лодки, при v2 = 2,0 мс .
Определите направление и модуль скорости, с которой должен прыгнуть мальчик,
чтобы лодка остановилась. Все скорости рассматриваются в системе отсчета «берег». Силой сопротивления воды пренебречь.
4. На озере находится плот массой т1 = 300 кг. На одном краю плота стоит человек массой т2 = 60 кг. Определите расстояние, на которое относительно
берега переместится плот, если человек пройдет по плоту путь s = 6 м. В начальный момент скорость плота была равна нулю. Силой сопротивления воды
пренебречь.
5. Зенитный снаряд, выпущенный вертикально вверх, достиг максимальной
высоты и взорвался. При этом образовалось три осколка одинаковой массы. Два
осколка разлетелись симметрично под углом α = 60° к направлению полета снаряда со скоростями, модули которых v1 = v2 = 300 мс . Определите модуль и направление скорости третьего осколка.
§ 29. Работа силы. Мощность
На
р
В повседневной жизни мы говорим: умственная работа, работа над
ошибками, контрольная работа и т. д. В физике слово «работа» имеет строго определенный смысл. В 7-м классе вы узнали, как определить
работу силы, направление которой совпадает с направлением движения
тела. Для этого модуль силы следует умножить на модуль перемещения
( A = F Δr ). А если сила направлена под углом к перемещению?
Рассмотрим пример. Трактор с помощью троса
перемещает бетонный блок
G
G
F
сила
нормальной
(рис. 226). На блок действуют
сила
тяжести
,
т
G реакции N
G
G
поверхности, сила трения Fтр и сила натяжения троса F. Сила F постоянна и
G
работа
Δr блока. Как
направлена под углом α к перемещению
G
G определяется
G
и
(см.
рис.
226).
F
F
этой силы? Разложим силу F на две составляющие:
⊥
G
G r
Перемещение блока вызвано составляющей Fr . Сила F⊥ , G перпендикулярная перемещению, работы
не совершает. Значит, работа силы F равна работе ее соG
ставляющей Fr :
A = Fr Δr,
(1)
Правообладатель Народная асвета
Работа силы. Мощность
ас
ве
та
161
Рис. 226
G
G
где Fr — проекция силы F на направление перемещения Δr . Так как Fr = F cos α
(см. рис. 226), то работа
A = F Δr cos α.
(2)
Работа силы, действующей на тело, равна произведению модуля силы, модуля перемещения тела и косинуса угла между направлениями силы и перемещения.
од
на
я
На криволинейном участке движения и при непостоянной силе работу можно определить, суммируя работы на малых перемещениях. На каждом из них работу можно находить по формуле (2).
На
р
Работа — скалярная величина. Единицей работы в СИ является 1 джоуль
(1 Дж). 1 джоуль равен работе, совершаемой силой 1 ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении этой силы
(1 Дж = 1 Н м).
Работа силы может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от угла
между направлениями силы и перемещения. Согласно формуле (2):
• при 0 α 90о, cos α 0, А 0 — работа
положительна;
• при α = 90о, cos α = 0, А = 0 — силы, перпендикулярные перемещению, работы не совершают;
α
180о, cos α
0, А
0 — ра• при 90о
бота отрицательна.
Ответьте самостоятельно: положительна, отрицаG
G
тельна
или равна нулю работа каждой из сил Fт , N
G
и Fтр (см. рис. 226)?
Построим график зависимости проекции силы Fr
Рис. 227
от модуля перемещения Δr при Fr = const (рис. 227, а).
Правообладатель Народная асвета
162
Законы сохранения
ас
ве
та
Площадь закрашенного прямоугольника численно равна работе
этой силы, совершенной при перемещении Δr1 .
А если сила — переменная величина? И в этом случае работа силы определяется площадью фигуры под графиком зависимости Fr от модуля перемещения (рис. 227, б).
Рассмотрим два практически важных примера вычисления
работы.
1. Работа по подъему тела. Тело массой m равномерно
подG
нимают вверх. Для этого к нему прикладывают силу F, которая
G
G
компенсирует силу тяжести mg (рис. 228). Работа силы F при
подъеме груза с высоты h1 до высоты h2 равна
Рис. 228
од
на
я
A = mgΔh = mgh2 − mgh1.
(3)
Это минимальная работа внешней силы, необходимая для подъема тела на
высоту Δh.
2. Работа по деформации пружины. Пусть начальная деформация пружины равна
G x1 (рис. 229). Какую минимальную работу должна совершить внешняя
G
сила F для того, чтобы увеличить растяжение пружины от x1 до x2? Сила F, деформирующая (растягивающая) пружину, компенсирует силу упругости. По закону Гука проекция силы упругости Fупр x = − kx. Значит, проекция деформирующей
силы Fx = kx. Ее работа при изменении деформации пружины от x1 до x2 численно
равна площади ABCD (рис. 230) под графиком зависимости Fx (x). Ее легко найти как разность площадей треугольников ODC и OAB, где S
=
k x2 x2
2
=
k x22
2
, и аналогично: S
OAB
A=
=
k x12
kx22
2
2
−
ODC
= 1 DC OD =
2
. Таким образом, искомая работа
kx12
2
(4)
.
На
р
Формула (4) выполняется при любых начальных и конечных значениях упругих деформаций (при любых знаках x1 и x2). В частности, работа, необходимая
2
для сжатия или растяжения недеформированной пружины, А = kx .
Рис. 229
2
Рис. 230
Правообладатель Народная асвета
Работа силы. Мощность
163
ас
ве
та
Работа силы зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим пример. Вы
находитесь в кабине движущегося лифта. Совершает ли работу действующая на
вас сила тяжести? Да, если определять работу этой силы в системе отсчета, связанной с Землей. Нет, — если в системе отсчета, связанной с лифтом. Почему
это так? Ответьте самостоятельно.
Быстроту совершения работы характеризует известная вам из 7-го класса величина — мощность.
Мощностью называют физическую величину, численно равную работе, совершенной за единицу времени:
(5)
P = A.
Δt
F Δr
Δr, а мощность: P = A , то P = r
. Отношение Δr равно модулю
од
на
A = Fr
я
Единицей мощности в СИ является 1 ватт (1 Вт). 1 ватт — это мощность, при которой работа в 1 джоуль совершается за 1 секунду.
Используются кратные единицы мощности: киловатты (1 кВт = 1000 Вт),
мегаватты (1 МВт = 1 106 Вт). Мощность двигателя автомобилей до сих пор
указывают в лошадиных силах (л. с.). 1 л. с. ≈ 736 Вт.
Работу можно выразить через мощность и время: A = P Δt. В связи с этим
в качестве единицы работы широко используют 1 киловатт-час (1 кВт час).
1 кВт час = 3 600 000 Дж.
Мощность можно связать со скоростью движения тела. Поскольку работа
Δt
Δt
средней скорости. В результате:
P = Fr
Δt
v.
(6)
На
р
Формулы (5) и (6) определяют среднюю мощность за промежуток времени Δt.
По формуле (6) можно найти и мгновенную мощность. Для этого величину v следует понимать как модуль мгновенной скорости.
Соотношение (6) показывает, что при одной и той же мощности двигателя можно:
• либо достичь большой скорости, преодолевая сравнительно малое сопротивление движению (автомобиль при движении по шоссе) (рис. 231, а);
Рис. 231
Правообладатель Народная асвета
164
Законы сохранения
• либо преодолевать большое сопротивление, двигаясь с небольшой скоростью (трактор при вспашке поля) (рис. 231, б).
Главные выводы
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Работа силы равна произведению модуля силы, модуля перемещения и
косинуса угла между ними.
2. Если угол между силой и перемещением α
90о, то работа силы положительна, если 90° α 180о, то отрицательна.
3. Силы, перпендикулярные перемещению тела, работу не совершают.
4. Работа, совершенная за единицу времени, определяет мощность.
5. При заданной мощности можно либо преодолеть большое сопротивление
движению при малой скорости, либо развить большую скорость при малом сопротивлении.
од
на
я
1. Положительной или отрицательной будет работа силы тяжести, действующей на тело, движущееся вверх? Падающее вниз?
2. Чему равна суммарная работа, которую совершила сила тяжести, действующая на мяч, при его движении из точки А вверх в точку В (рис. 232) и обратно?
3. Положительной или отрицательной будет работа силы сопротивления
при движении мяча вверх и обратно (см. рис. 232)? Почему?
4. Совершает ли работу нормальная составляющая силы реакции поверхности, действующая на движущиеся по этой поверхности тела? Почему?
5. Можно ли при заданной мощности выиграть и в силе, и в скорости одновременно?
Рис. 232
Примеры решения задач
На
р
1. Из колодца глубиной l = 12 м равномерно поднимают ведро воды массой
m1 = 10 кг с помощью каната, каждый метр которого имеет массу m0 = 0,20 кг.
Определите совершенную при этом работу. Принять g = 10 м2 .
Д а н о:
m1 = 10 кг
l = 12 м
m0 = 0,20 кг
l0 = 1,0 м
g = 10 м2
с
А—?
с
Решение
При подъеме ведра совершается работа против сил тяжести,
действующих на ведро и канат. Величина силы тяжести, приложенной к поднимаемой части каната изменяется от максимального значения m0 l g до нуля (когда весь канат вытянут из колодl0
ца). Работу по подъему можно выразить через среднее значение
силы:
m
A = F l = (m1 g + 0 lg) l .
2 l0
Правообладатель Народная асвета
Работа силы. Мощность
165
0,20 кг 12 м 10 м 12 м
ас
ве
та
с2
А = 10 кг 10 м2 12 м +
= 1344 Дж = 1,3 кДж.
2
1,0
м
с
О т в е т: А = 1,3 кДж.
2. Автомобиль массой m = 2,0 т, развивающий мощность Р = 40 л. с., поднимается в гору с постоянной скоростью, модуль которой v = 3,0 мс . Определите
угол наклона горы к горизонту. Силами сопротивления движению пренебречь.
Принять g = 10 м2 .
с
Д а н о:
Решение
m = 2,0 т = 2,0 10 кг
P = 40 л. с. = 2,9 104 Вт
3
Сделаем рисунок к задаче (рис. 233).
v = 3,0 мс
g = 10 м2
с
α—?
я
Рис. 233
од
на
Мощность двигателя P = Fv. Модуль силы F (см. рис. 233), движущей автомобиль, равен модулю составляющей силы тяжести: F1 = mgsin α. Тогда мощность
P = mgv sin α.
Отсюда
4
2,9 10 Вт
sin α = P =
≈ 0,5.
м
м
3
mgv
О т в е т: α ≈ 30о.
2,0 10 кг 10
с2
3,0
с
Упражнение 22
На
р
1. Какую работу по подъему штанги массой m = 200 кг на высоту h = 2,00 м
совершила сила мускулов тяжелоатлета? Какова работа силы тяжести, действовавшей на штангу? Ускорение свободного падения в этой и последующих задачах
принять равным g = 10 м2 .
с
2. Определите силу, с которой мальчик переместил тележку на расстояние
l = 20,0 м. Сила постоянна и направлена под углом α = 30о к горизонту. Работа,
совершенная силой, равна А = 1,73 кДж.
3. Шарик массой m = 300 г скатывается по наклонному желобу длиной
l = 1,6 м с верхней точки желоба. При этом сила тяжести совершила работу
А = 2,4 Дж. Определите угол наклона желоба к горизонту.
4. Поезд, движущийся со скоростью, модуль которой v = 20,0 мс , начинает
тормозить. Сила торможения постоянна, ее модуль F = 500 кН. До полной оста-
Правообладатель Народная асвета
166
Законы сохранения
с
ас
ве
та
новки поезд проходит путь s = 400 м. Определите массу поезда и работу силы
торможения.
5. Шкаф массой m = 100 кг необходимо передвинуть на расстояние l = 3,0 м.
Коэффициент трения скольжения шкафа по полу μ = 0,20. Определите минимальную работу, которую при этом необходимо совершить.
6. Почему водители нагруженных автомобилей преодолевают крутые
подъемы на малой скорости?
7. Поддон с кирпичами массой m = 800 кг равномерно поднимают краном на
девятый этаж строящегося дома. Высота одного этажа h0 = 3,5 м. Модуль скорости подъема v = 0,20 мс . Определите работу, которую совершают силы натяжения
троса крана при подъеме этого поддона. Какая при этом развивается мощность?
8. Определите работу силы, которая поднимает груз массой m = 40 кг на высоту h = 15 м с ускорением, направленным вертикально вверх. Модуль ускорения а = 0,6 м2 . Какую мощность развивает эта сила в конце подъема?
я
§ 30. Потенциальная энергия
од
на
Вы уже знаете, что и для подъема тела на некоторую высоту, и для
деформации тела внешняя сила должна совершить работу. Можно ли «запасти» эту работу и использовать ее через какое-то время?
На
р
Проведем опыт. Переместим гирю массой m с поверхности стола на горизонтальную
опору, находящуюся на высоте h (рис. 234, а). Сила натяжения
G
нити Fн совершит работу над гирей. Эта работа не пропадет бесследно. Соединим гирю с помощью блока и нити с бруском массой m′ ≈ m (рис. 234, б). Гиря
вернется на исходный уровень, а брусок поднимется.
За счет чего совершается работа по подъему бруска? За счет работы, коG
торую совершает над гирей сила тяжести mg (см. рис. 234, б). Она является силой взаимодействия системы «Земля — гиря». Значит, способностью совершать
работу обладает не гиря сама по себе, а механическая система «Земля — гиря».
Эта способность тем больше, чем выше поднята гиря, чем большую работу могут совершить силы взаимодействия тел системы при возвращении гири на исходный уровень.
Чтобы охарактеризовать количественно способность сил взаимодействия
механической системы совершать работу, вводится физическая величина, называемая потенциальной энергией.
Потенциальная энергия измеряется в тех же единицах, что и работа (в
СИ — в джоулях).
Правообладатель Народная асвета
Потенциальная энергия
Рис. 234
од
на
я
ас
ве
та
167
На
р
Как определяют потенциальную энергию механических систем?
Прежде всего, следует выбрать состояние системы, в котором потенциальная
энергия равна нулю (нулевой уровень потенциальной энергии).
Так, потенциальную энергию системы «Земля — гиря» будем считать равной
нулю для состояния, в котором гиря находится на поверхности стола.
Далее следует найти работу сил взаимодействия тел системы, совершаемую
при ее переходе из рассматриваемого состояния на нулевой уровень. Эта работа
и определяет потенциальную энергию системы.
Для системы «Земля — гиря» потенциальная энергия будет равна работе
G
силы тяжести mg, совершенной при перемещении гири с уровня h на нулевой
уровень (на поверхность стола) (см. рис. 234, б). Из рисунка видно, что эта работа равна mgh.
Таким образом, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
тела массой m с Землей:
Eп = mgh.
(1)
Если тело нельзя считать материальной точкой, то под h следует понимать
высоту, на которой находится его центр тяжести.
Правообладатель Народная асвета
168
(h
Законы сохранения
Формула (1) применима только для высот, малых по сравнению с радиусом Земли
RЗ ) .
ас
ве
та
Определим теперь потенциальную энергию упруго деформированного тела.
Рассмотрим упругую деформацию пружины жесткостью k (см. рис. 229).
Примем, что при отсутствии деформации ее потенциальная энергия равна нулю.
Мы знаем (см. § 29), что работа внешней силы по растяжению или сжатию пру2
жины из недеформированного состояния A = kx , где x = l − l0 — деформация
2
пружины. Такую же работу совершат и силы упругости (т. е. силы взаимодействия частей пружины) при возвращении пружины в недеформированное состояние. Значит, потенциальная энергия деформированной пружины:
2
Eп = kx .
2
(2)
На
р
од
на
я
Формула (2) определяет потенциальную энергию любого упругого тела
при деформациях сжатия или растяжения.
Формулы (1) и (2) показывают, что потенциальная энергия зависит либо от
расстояния между взаимодействующими телами, либо от взаимного расположения частей одного тела. Эти формулы отличаются друг от друга, поскольку они
описывают потенциальные энергии разных сил взаимодействия. Однако в обоих
случаях потенциальная энергия равна работе сил взаимодействия, совершаемой при переходе системы из данного состояния в состояние с нулевым значением потенциальной энергии.
Изменение потенциальной энергии ΔEп связано с работой внешней силы Aвнеш
и с работой сил взаимодействия Aвз. Проследим за этой связью на примере системы «Земля — груз» (рис. 235).
Пусть внешняя сила поднимает груз массой m с уровня h1 на уровень h2
(см. рис. 235, а). Ее работа Aвнеш =
= Fвнеш (h2 − h1) положительна. Положительно и изменение потенциальной
энергии ΔEп = mg(h2 − h1). Значит,
если работа внешней силы положительна, то потенциальная энергия системы увеличивается.
Работа
силы
взаимодействия
(силы тяжести, действующей на груз)
при подъеме груза отрицательна
Aвз = −mg (h2 − h1). Она равна изменению потенциальной энергии, взятой со
Рис. 235
знаком минус Aвз = −ΔEп.
Правообладатель Народная асвета
169
Потенциальная энергия
При движении груза вниз (см. рис. 235, б) работа силы тяжести положительна, а потенциальная энергия убывает. Значит, если работа сил взаимодействия
положительна, то потенциальная энергия уменьшается.
Во всех случаях работа внешней силы Aвнеш, работа сил взаимодействия Aвз и
изменение потенциальной энергии связаны соотношениями
Aвз = −ΔEп.
(3)
ас
ве
та
Aвнеш = ΔEп;
Здесь Aвнеш означает минимальную работу внешних сил, необходимую для изменения ΔEп потенциальной энергии.
Потенциальной энергией обладает любая система из двух взаимно притягивающихся или отталкивающихся тел. Рассмотрим рисунок 236.
Рис. 236
На
р
од
на
я
Как следует изменить расстояние между взаимодействующими телами
(уменьшить или увеличить его), чтобы потенциальная энергия системы возросла? Ответьте на этот вопрос для каждой пары электрически заряженных тел (см.
рис. 236, а, б, в). Для ответа нет необходимости знать формулу для потенциальной энергии взаимодействия электрических зарядов. Достаточно применить соотношения (3).
Рассмотрим еще два вопроса.
1. Потенциальную энергию какого состояния системы можно считать
равной нулю?
От выбора нулевого уровня энергии зависит значение потенциальной энергии, но не зависит ее изменение ΔEп = Eп2 − Eп1. Значит, от выбора нулевого
уровня не зависит и совершаемая при этом работа. Поэтому считать равной
нулю можно потенциальную энергию любого состояния системы. В любой задаче за нулевой уровень можно выбирать тот, который наиболее удобен для ее
решения.
2. Каким свойством должны обладать силы взаимодействия тел системы,
чтобы система имела потенциальную энергию?
Мы определяли потенциальную энергию как величину, равную работе, совершаемой силами взаимодействия при переходе системы из начального состояния
на нулевой уровень. Но такой переход можно совершить различными способами.
Так, шарик массой m можно переместить с высоты h на нулевой уровень как по
Правообладатель Народная асвета
170
Законы сохранения
ас
ве
та
вертикали ac (рис. 237), так и по любой другой
траектории (например, по ломаной линии abc). В
обоих случаях совершаемая силой тяжести работа
должна равняться потенциальной энергии начального состояния mgh. Значит, эти работы должны
быть равны между собой: Aас = Аabc.
Для того чтобы механическая система обладала потенциальной энергией, работа сил взаимодействия тел системы должна не зависеть от
способа
перехода системы из начального состоРис. 237
яния в конечное.
Силы, работа которых не зависит от способа перехода, называются потенциальными или консервативными.
Подтвердим расчетом, что сила тяжести потенциальна. Покажем, что работы
Aас и Аabc равны между собой. Работа Аabc = Аab + Аbc = mgΔr1cosα1 + mgΔr2cosα2
(см. рис. 237). Из рисунка видно также, что Δr1cosα1 + Δr2cosα2 = h1 + h2 = h.
В результате Аabc = mgh. Так как работа Аac = mgΔr = mgh, то Аac = Аabc.
од
на
я
Докажите самостоятельно, что работа силы тяжести
не зависит от формы траектории для двух любых способов
перехода из одной точки в другую (рис. 238). Для доказательства разбейте траектории на множества маленьких прямолинейных участков и просуммируйте работы.
На
р
Можно доказать, что любые силы взаимного притяжения или отталкивания будут потенциальными, если модуль силы зависит только от расстояния между взаимодействующиРис. 238
ми телами (материальными точками). Сила тяготения и сила упругости являются важными частными случаями таких сил.
Примером силы, которая не является потенциальной, служит сила трения.
Убедимся в этом. Переместим тело по шероховатой горизонтальной поверхности
из одной точки в другую по двум разным траекториям. Абсолютное значение работы сил трения будет больше на более протяженном пути.
Различие между силой трения и потенциальными силами проявится еще ярче,
если сравнить работу силы трения и работу силы тяжести на замкнутом пути. Так, при
подъеме тела на высоту h и возвращении обратно суммарная работа силы тяжести
будет равна нулю: Ат = − mgh + mgh = 0. В то же время суммарная работа силы трения
при перемещении тела из одной точки в другую и возвращении обратно равна нулю не
будет. Она отрицательна на каждом из участков, а значит, и на всем замкнутом пути.
Правообладатель Народная асвета
171
Потенциальная энергия
Главные выводы
ас
ве
та
1. Потенциальная энергия характеризует способность сил взаимодействия
механической системы совершать работу.
2. Потенциальная энергия равна работе сил взаимодействия, совершаемой
при переходе системы из данного состояния в состояние с нулевым значением
потенциальной энергии.
3. Потенциальная энергия зависит либо от расстояния между телами, либо
от взаимного расположения частей одного тела.
4. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела и Земли
Eпграв = mgh,
2
а упруго деформированного тела Eпупр = kx .
2
Контрольные вопросы
од
на
я
1. В каких случаях система тел обладает потенциальной энергией?
2. Как определить потенциальную энергию любой системы? От чего она зависит?
3. Чему равна потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела и Земли?
4. Чему равна потенциальная энергия упругой деформации?
5. Что такое нулевой уровень потенциальной энергии? Зависит ли изменение потенциальной энергии от выбора этого уровня?
6. Как связано изменение потенциальной энергии с работой внешних сил? С работой
сил взаимодействия тел системы?
Пример решения задачи
Пружину жесткостью k = 200 Н растянули от начальной длины l0 = 16,0 см
м
до длины l = 20,0 см. Определите работу внешней силы по растяжению пружины
и изменение потенциальной энергии пружины.
Д а н о:
На
р
Решение
l0 = 16,0 см
l = 20,0 см
Сделаем рисунок к задаче (рис. 239).
k = 200 Н
м
Aвнеш — ?
ΔEп — ?
Рис. 239
Работа внешней силы: Aвнеш =
kx2
2
. Из рисунка следует: x = l − l0.
Правообладатель Народная асвета
172
Законы сохранения
Тогда работа:
Aвнеш =
k (l − l0 )2
2
=
200 Н 16 ,0 10−4 м2
м
2
= 0,16 Дж.
Работа силы упругости:
ас
ве
та
Aвз = −Aвнеш = −0,16 Дж.
Изменение потенциальной энергии:
ΔEп = Aвнеш = 0,16 Дж 0.
Работа внешней силы пошла на увеличение потенциальной энергии пружины.
О т в е т: Aвнеш = 0,16 Дж; ΔEп = 0,16 Дж.
Упражнение 23
1. Пружину динамометра сжали на Δl = 2 см. Жесткость пружины
k = 100 Н . Определите потенциальную энергию сжатой пружины.
м
од
на
я
2. Под действием внешней силы, модуль которой F = 60 Н, упругая пружина удлинилась на Δl1 = 3,0 см. Определите работу, которую должна совершить
внешняя сила, чтобы удлинить пружину еще на Δl2 = 2,0 см.
3. Определите массу камня, при медленном подъеме которого из ямы глубиной h = 2,0 м на поверхность совершена работа А = 100 Дж. В задачах 3 и 4
ускорение свободного падения g = 10 м2 .
с
4. Деревянная балка массой m = 60 кг и длиной L = 4,0 м лежит на горизонтальной поверхности. Найдите минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы поставить балку вертикально.
На
р
§ 31. Кинетическая энергия.
Полная энергия системы тел
Из 7-го класса вы знаете, что, кроме потенциальной энергии, существует и кинетическая. Что характеризует кинетическая энергия? Как
она связана со скоростью тела? С его массой?
Кинетическая энергия характеризует способность движущегося тела совершать работу.
Каждый из нас видел, как движущиеся тела совершают работу. Катящийся
шар сбивает кегли (рис. 240), пуля разрушает препятствия, движущийся вагон,
сталкиваясь с покоящимся, сжимает буферные пружины.
Правообладатель Народная асвета
Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел
ас
ве
та
173
Рис. 240
Рис. 241
од
на
я
Наблюдения показывают также,
что тело может приобрести кинетическую энергию только в результате работы, произведенной над ним. При толкании ядра, метании молота или копья
(рис. 241) работу совершает мускульная
сила спортсмена. Работу, необходимую
Рис. 242
для разгона пули, совершает сила давления пороховых газов (рис. 242) и т. д. Чем больше работа, тем сильнее разгонится тело и тем большую кинетическую энергию оно приобретет.
Кинетическую энергию определяют как величину, равную работе, которую
необходимо совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной
скорости:
Eк = Aразг.
На
р
Эту работу легко найти. Рассмотрим
тело массой m, ускоряемое
G из состояния
покоя постоянной силой F (рис. 243).
Работа Aразг = F Δr = maΔr , где
a — модуль ускорения, а Δr — модуль
перемещения тела. Чтобы связать работу с конечной скоростью тела, используем формулу кинематики (§ 13):
Рис. 243
vx2 = v02 x + 2ax Δrx .
При начальной скорости, равной нулю, v2 = 2a Δr и A разг = ma Δr =
(1)
mv2
2
.
Это означает, что кинетическая энергия тела равна половине произведения его
массы на квадрат модуля скорости его движения:
Eк =
mv2
.
2
Правообладатель Народная асвета
(2)
174
Законы сохранения
ас
ве
та
Кинетическая энергия — величина скалярная. Она зависит от модуля скорости, но не зависит от ее направления. Измеряется кинетическая энергия в тех же
единицах, что и работа (в СИ — в джоулях).
АG на что пойдет работа сил, приложенных к телу, если оно имеет скорость
G
v1 ≠ 0 ? Работа пойдет на изменение кинетической энергии тела:
A = Δ Eк =
mv22
2
−
mv12
2
.
(3)
Формула (3) выражает теорему об изменении кинетической энергии.
Изменение кинетической энергии тела за определенный промежуток времени равно работе результирующей всех сил, приложенных к нему, совершенной за это время.
Теорему легко доказать для тела, движущегося прямолинейно в направлении
G
действующей на него постоянной силы F. С помощью формулы (1) получаем:
m v22
m v2
v22 − v12 = 2a Δr = 2 F Δr . Отсюда
− 1 = F Δr = A.
m
2
2
На
р
од
на
я
Теорема об изменении кинетической энергии верна и при криволинейном движении, и при непостоянной результирующей силе. При использовании формулы (3) работу А можно понимать и как работу равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и как алгебраическую сумму работ, совершенных каждой из
приложенных сил.
Согласно теореме об изменении кинетической энергии:
1. Если результирующая сила совершает положительную работу A 0 (например, сила тяжести при падении тела), то Ек2 − Ек1 0 — кинетическая энергия тела увеличивается.
2. Если работа A 0 (например, работа силы трения скольжения, силы тяжести при подъеме тела), то Ек2 − Ек1 0 — кинетическая энергия тела уменьшается.
3. Если работа результирующей силы
нулю, то кинетическая
энергия
G
G
G равна
не изменяется. Это бывает либо при Fрез = 0, либо когда Fрез перпендикулярна
скорости движения тела.
Кинетическая энергия, как и скорость движения, зависит от выбора системы
отсчета. Например, кинетическая энергия пассажира, покоящегося относительно
вагона, равна нулю в системе отсчета «вагон» и отлична от нуля в системе отсчета «Земля».
Отметим, что формула (2) определяет кинетическую энергию поступательно движущегося
тела (материальной точки). Если тело вращается, то следует учесть также и кинетическую энергию вращательного движения. Она пропорциональна квадрату угловой скорости вращения тела.
Правообладатель Народная асвета
Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел
175
ас
ве
та
Мы рассмотрели потенциальную и кинетическую энергию. А как определить полную энергию системы тел?
Рассмотрим пример. Пусть падающий мяч массой m в
некоторый момент времени находится на высоте h и имеет скоG
рость v (рис. 244). Чему равна полная энергия системы «Земля — мяч»?
Сложим кинетическую энергию мяча с потенциальной
энергией взаимодействия мяча с Землей:
2
E = Eк + Eп = mv + mgh.
2
Рис. 244
Рис. 245
од
на
2
я
Найдена ли полная энергия системы «Земля — мяч»? Нет.
Как мы знаем, и мяч, и Земля состоят из микрочастиц — атомов, молекул. Эти частицы непрерывно движутся (участвуют в
хаотическом тепловом движении) (рис. 245) и взаимодействуют
между собой (притягивают и отталкивают друг друга). Сумма
кинетической энергии теплового движения микрочастиц и потенциальной энергии их взаимодействия называется внутренней энергией тела. Значит, полная энергия системы «Земля — мяч» равна
2
мяча
Земли
Eполн = mv + mgh + Eвнутр
+ Eвнутр
.
В этом выражении нет кинетической энергии движения Земли, потому что рассмотрение
проводится в системе отсчета, в которой Земля считается неподвижной.
На
р
Сумму кинетических энергий тел системы и потенциальной энергии их взаимодействия без учета внутренней энергии тел называют механической энергией
системы.
Таким образом, полная энергия системы складывается из ее механической
энергии и суммы внутренних энергий тел, входящих в систему.
Главные выводы
1. Кинетическая энергия тела пропорциональна его массе и квадрату скорости движения тела.
2. Значение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчета.
3. Изменение кинетической энергии равно работе результирующей всех
сил, приложенных к телу.
4. Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной
энергии входящих в нее тел и суммы внутренних энергий тел системы.
Правообладатель Народная асвета
176
Законы сохранения
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. В каком случае тело обладает кинетической энергией?
2. Скалярной или векторной величиной является кинетическая энергия?
3. Как связано изменение кинетической энергии тела с работой результирующей силы?
4. В каком случае кинетическая энергия тела увеличивается? Уменьшается? Не изменяется?
5. Как влияет на кинетическую энергию тела сила трения скольжения?
6. Можно ли определить кинетическую энергию тела, не указывая систему отсчета?
7. Что такое механическая энергия системы тел? Из чего складывается полная энергия системы?
Пример решения задачи
Камень массой m = 0,50 кг брошен вертикально вверх со скоростью, модуль
которой v0 = 20 мс . Какой кинетической энергией будет обладать камень через
время t1 = 1,0 с и t2 = 2,0 с от начала движения? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м2 .
с
Решение
Д а н о:
м
с
t1 = 1,0 с
t2 = 2,0 с
Ек1 — ?
Ек2 — ?
v1 = v0 − gt1; v1 = 20 мс − 10 м2 1,0 с = 10 мс .
с
v2 = v0 − gt2; v2 = 20 мс − 10 м2 2,0 с = 0.
од
на
v0 = 20
Найдем модули скорости камня v1 и v2 при t1 = 1,0 с и t2 =2,0 с:
я
m = 0,50 кг
с
Кинетическая энергия камня при t1 = 1,0 с:
2
На
р
0,50 кг 100 м2
mv12
с = 25 Дж.
Eк1 =
=
2
2
Кинетическая энергия камня при t2 = 2,0 с:
О т в е т: Ек1 = 25 Дж; Ек2 = 0.
Eк2 =
mv22
2
= 0.
Упражнение 24
1. Камень массой m = 1,5 кг упал в море. Какой кинетической энергией обладал камень в момент падения в воду, если модуль его скорости в этот момент
v = 30 мс ?
2. Как изменится кинетическая энергия трамвая, если его скорость увеличится в k = 2 раза? Уменьшится в n = 3 раза?
Правообладатель Народная асвета
177
Закон сохранения энергии
ас
ве
та
3. Пуля массой m = 5,0 г, вылетевшая из винтовки со скоростью, модуль которой v0 = 600 мс , пробивает деревянную плиту. На вылете из плиты модуль
скорости пули стал равен v = 200 мс . Определите работу, которая была совершена силами сопротивления дерева.
4. Брошенный вертикально вверх металлический шарик массой m = 200 г
вернулся в точку бросания через время t = 4,0 с. Определите кинетическую энергию шарика в момент бросания. Сопротивлением движению пренебречь.
5. Заводная детская игрушка движется по окружности радиусом R = 1,0 м с
частотой ν = 0,10 с−1. Определите массу игрушки, если ее кинетическая энергия
Е = 0,020 Дж.
§ 32. Закон сохранения энергии
Мы выяснили, что полная энергия системы складывается из ее механической энергии и суммы внутренних энергий тел, входящих в систему. А при
каких условиях механическая и полная энергии системы изменяются? При
каких условиях остаются постоянными?
од
на
я
Проследим за поведением механической и полной энергий на примере движения кубика по наклонной плоскости. Рассмотрим три случая.
1. Кубик массой m движется вниз по наклонной плоскости без трения. Ки2
нетическая энергия Eк = mv кубика растет, а потенциальная энергия Eп = mgh
2
взаимодействия кубика с Землей — убывает. Изменяется ли механическая энергия системы «кубик — наклонная плоскость — Земля»? G
G
На кубик действует сила тяжести mg и сила реакции N , перпендикулярная
наклонной плоскости (рис. 246, а). По теореме об изменении кинетической энергии
ΔEк = Aт + AN,
(1)
На
р
G
где Aт — работа силы тяжести, AN — работа силы реакции N.
Рис. 246
Правообладатель Народная асвета
178
Законы сохранения
G
Сила N перпендикулярна перемещению и работа AN = 0. Работа силы тяжести положительна. Она совершается за счет убыли потенциальной энергии взаимодействия кубика с Землей: Aт = −ΔEп. Тогда из равенства (1) следует:
2
ΔEк = −ΔEп, или ΔEк + ΔEп = 0. Значит, Eк + Eп = mv + mgh = const. Учтем так-
2
ас
ве
та
же, что энергия наклонной плоскости и Земли и внутренняя энергия кубика не
изменяются. Мы придем к выводу: и механическая, и полная энергия системы
«кубик — наклонная плоскость — Земля» остаются постоянными (сохраняются): Eмех = const, Eполн = const.
G
2. Пусть теперь на кубик действует еще и внешняя сила упругости Fупр сжатой пружины (рис. 246, б). Останется ли постоянной полная энергия системы
«кубик — наклонная плоскость — Земля»? Работа силы тяжести по-прежнему
равна убыли потенциальной энергии взаимодействия кубика с Землей: Aт = −ΔEп.
Но теперь изменение кинетической энергии:
ΔEк = Aт + AN + Aупр ,
(2)
На
р
од
на
я
где Aупр — работа силы упругости (внешней силы). Из равенства (2) следует:
ΔEк + ΔEп = Aупр 0. Значит, и механическая, и полная энергия рассматриваемой системы в этом примере изменяются. Причиной этого изменения является
работа внешней силы.
А могут ли внутренние силы изменить механическую энергию системы? Ее
полную энергию?
3. Рассмотрим движение кубика при наличии силы трения. Сообщим кубику
G
начальную скорость v0 (рис. 246, в). Через некоторое время из-за действия силы
трения кубик остановится. Уменьшатся и кинетическая энергия кубика, и потенциальная энергия взаимодействия кубика с Землей. Значит, внутренние силы
(силы трения между кубиком и наклонной плоскостью) изменили механическую
энергию системы «кубик — наклонная плоскость — Земля». А изменилась ли
полная энергия этой системы?
В результате действия сил трения и у кубика, и у наклонной плоскости стало интенсивнее хаотическое (тепловое) движение атомов (молекул). Внутренняя
энергия кубика и наклонной плоскости увеличилась ровно настолько, насколько
уменьшилась механическая энергия системы. Полная энергия системы при этом
не изменилась.
Из наших примеров можно сделать следующие выводы:
• изменение полной энергии системы равно работе внешних сил;
• изменение механической энергии происходит как из-за действия внешних
сил, так и из-за перехода части механической энергии во внутреннюю энергию
тел системы.
Правообладатель Народная асвета
Закон сохранения энергии
179
ас
ве
та
Эти выводы подтверждаются многочисленными очень точными экспериментами.
Так как для замкнутой системы работа внешних сил равна нулю, то полная
энергия замкнутой системы сохраняется. Данное утверждение является одним
из важнейших законов природы — законом сохранения энергии.
Закон сохранения энергии не знает исключений. Он выполняется для всех
физических, химических, биологических и других явлений. Он используется в самых различных областях науки и технологии. Он служит научной основой важнейшей области производства — энергетики.
Важен и закон сохранения механической энергии замкнутой системы. При его использовании следует помнить о том, что механическая энергия
замкнутой системы сохраняется лишь при отсутствии перехода этой энергии
во внутреннюю. Такой переход происходит, как мы видели, при действии сил трения. При этом изменение механической энергии отрицательно и равно работе,
од
на
я
совершаемой силой трения: ΔEмех = Атр 0. Переход механической энергии во
внутреннюю имеет место и при действии сил сопротивления среды, и при силах,
возникающих в процессе неупругих деформаций, и т. д. Общим свойством таких
сил является их непотенциальность (неконсервативность).
Использование закона сохранения механической энергии упрощает решение
многих задач. Пусть нам известен модуль начальной скорости v0 тела, брошенного под углом к горизонту, а требуется найти модуль скорости, которую тело будет
иметь на высоте h. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тогда по закону
сохранения механической энергии Eмех =
ходим ответ: v =
mv02
2
2
= mv + mgh. Отсюда сразу же на-
2
v02 − 2 gh . Решите эту задачу по формулам из § 25 и сравните
два способа решения и их результаты.
На
р
Главные выводы
1. Изменить полную энергию системы можно только за счет работы внешних сил.
2. Полная энергия замкнутой системы сохраняется всегда, а ее механическая
энергия — при отсутствии процессов перехода энергии во внутреннюю энергию тел.
Контрольные вопросы
1. При каких условиях полная энергия системы сохраняется?
2. При каких условиях механическая энергия системы сохраняется?
3. Действие каких сил вызывает переход механической энергии системы во внутреннюю?
Правообладатель Народная асвета
180
Законы сохранения
Примеры решения задач
1. Стальной шарик бросили вертикально вверх со скоростью, модуль которой v0 = 20 мс . Определите высоту, на которой его кинетическая и потенциаль-
ас
ве
та
ная энергии будут равны. Сопротивлением воздуха пренебречь, модуль ускорения
свободного падения принять g = 10 м2 , потенциальную энергию отсчитывать от
с
места бросания шарика.
Решение
Д а н о:
v0 = 20 мс .
Для шарика (рис. 247) выполняется закон
сохранения механической энергии:
h—?
По условию
Тогда
mv02
2
mv12
2
= mgh.
mv02
2
= 2mgh. Отсюда h =
mv12
2
+ mgh.
v02
.
4g
= 10 м.
я
h=
2
400 м2
с
40 м2
с
=
од
на
О т в е т: h = 10 м.
Рис. 247
2. Камень массой m = 10 кг поднимают вертикально вверх, прикладывая постоянную силу, модуль которой F = 0,12 кН. Определите кинетическую энергию
камня в момент, когда он окажется на высоте h = 2,0 м от исходного положения.
Начальная скорость камня равна нулю. Сопротивлением воздуха пренебречь, модуль ускорения свободного падения принять g = 10 м2 .
На
р
Д а н о:
m = 10 кг
F = 0,12 кН =
= 120 Н
h = 2,0 м
Ек2 — ?
с
Решение
Система «камень — Земля» не является замкнутой.
На камень действует внешняя
G
сила F. Работа этой силы равна изменению
механической энергии камня при его движении из точки 1 в точку 2 (рис. 248).
A = Fh;
Fh = ΔЕк + ΔЕп.
ΔЕк = Ек2, так как Ек1 = 0;
ΔЕп = mgh.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 248
181
Закон сохранения энергии
Тогда Fh = Ек2 + mgh, откуда Ек2 = (F − mg)h.
Ек2 = (120 Н − 100 Н) · 2,0 м = 40 Дж.
О т в е т: Ек2 = 40 Дж.
ас
ве
та
Упражнение 25
1. Легковой автомобиль массой m = 800 кг движется со скоростью, модуль
которой v = 20 мс . Определите кинетическую энергию автомобиля.
2. Кинетическая энергия брошенного вертикально вверх мяча массой
m = 0,50 кг в момент бросания Ек = 20 Дж. Определите модуль скорости движения мяча в этот момент. На какую максимальную высоту может подняться мяч,
если сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Модуль ускорения свободного
падения здесь и в последующих задачах g = 10 м2 .
с
3. Автобус массой m = 12 т трогается с места и движется с постоянным ускорением, модуль которого а = 1,2 м2 . Определите кинетическую энергию автобуса
с
На
р
од
на
я
через время Δt = 10 с от начала его движения.
4. На рисунке 249 представлен график
зависимости кинетической энергии тела от
модуля скорости его движения. Чему равна
масса тела? Определите работу, которую
совершила результирующая всех сил, приложенных к телу, для его разгона от скорости, модуль которой v1 = 4 мс , до скорости,
модуль которой v2 = 8 мс .
5. Камень массой m = 400 г бросают с
высоты h = 20,0 м со скоростью, модуль коРис. 249
торой v0 = 30 мс . Определите модуль скорости
движения камня и его кинетическую и потенциальную энергии на высоте h1 = 10,0 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.
6. Насколько изменится потенциальная
энергия бруска, если его перевести из гоРис. 250
ризонтального положения в вертикальное
(рис. 250)? Масса бруска m = 8,0 кг, а его размеры а b c = 40 25 10 см.
7. Гиря висит на легком резиновом шнуре жесткостью k = 40 Н . Определите
м
потенциальную энергию резинового шнура, который удлинился на Δl1 = 5,0 см
под действием гири. Какую работу надо совершить внешней силе, чтобы растянуть шнур еще на Δl2 = 3,0 см?
Правообладатель Народная асвета
182
Законы сохранения
На
р
Рис. 252
од
на
я
ас
ве
та
8. К нижнему концу легкой недеформированной пружины прикрепили груз массой m = 500 г и отпустили. Жесткость пружины k = 40 Н . Определите модуль максимальм
ной скорости движения груза. Сопротивлением движению груза
пренебречь.
9. На легкой нерастяжимой нити подвешен железный шарик. Нить с шариком отклоняют от вертикали на некоторый
угол (рис. 251) и отпускают. Определите угол отклонения нити
от вертикали, при котором сила натяжения нити в нижнем поРис. 251
ложении будет в k = 4 раза больше минимальной. Сопротивлением движению шарика пренебречь.
10. С вершины снежной горки высотой h = 4,0 м и длиной основания
с = 10,0 м (рис. 252) на санках съезжает ребенок. Съехав с горки, санки продолжают движение по горизонтальному участку и останавливаются. Коэффициент
трения полозьев санок о снег μ = 0,12. Определите длину горизонтального участка движения.
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
я
од
на
На
р
Правообладатель Народная асвета
184
Лабораторный эксперимент
Лабораторная работа 1. Определение абсолютной и относительной
погрешностей прямых измерений (выполняется вместе с учителем)
ас
ве
та
Ц е л ь: научиться определять абсолютную и относительную погрешности прямых
измерений и представлять результат измерений в интервальной форме.
О б о р у д о в а н и е: металлический шарик на нитке длиной l = 1 м, секундомер,
штатив со стержнем, треугольник (рис. 253).
од
на
я
Вывод расчетных формул
Прямым называется измерение, при
котором значение искомой величины находится непосредственно по шкале прибора.
Результат любого измерения содержит погрешность. Систематическая погрешРис. 253
ность связана в основном с несовершенством измерительного прибора и округлениями при отсчетах и вычислениях. При
повторении измерений систематическая погрешность остается неизменной.
Случайная погрешность — это погрешность, которая от одного измерения
к другому изменяется непредсказуемым образом. Для определения случайной погрешности необходимо провести серию повторных измерений.
Абсолютная погрешность Δt измерений промежутка времени равна:
Δt = Δtсист + Δtслуч.
(1)
На
р
Абсолютная систематическая погрешность Δt сист = Δtпр + Δtотсч определяется
суммой предельной абсолютной погрешности прибора (секундомера) Δtпр и абсолютной погрешности отсчета Δtотсч.
Значение Δtпр берется из таблицы 3. Абсолютная погрешность отсчета Δtотсч
равна половине цены деления шкалы секундомера. Если секундомер механический, то его стрелка от штриха к штриху движется скачками. Ее остановка между штрихами невозможна. Поэтому абсолютная погрешность отсчета Δtотсч для секундомера равна цене деления его шкалы.
Максимальное значение абсолютной случайной погрешности измерения промежутка времени
max
(2)
Δtслуч
= Δtслуч k,
где Δtслуч — среднее значение абсолютной случайной погрешности.
Правообладатель Народная асвета
Лабораторный эксперимент
185
Коэффициент k зависит от числа повторных измерений. Например, при пяти
повторных измерениях k = 3, при семи k = 2, при десяти и более — k = 1.
Относительная погрешность εt определяет, какую часть в процентах от среднего значения измеряемой величины (промежутка времени) составляет значение
абсолютной погрешности:
εt = Δt 100%.
(3)
ас
ве
та
t
Окончательный результат записывается в интервальной форме:
од
на
я
t = t ± Δt; εt = Δt 100%.
t
Например, t = (5,0 ± 0,1) с, тогда
0,1
εt =
100 % = 2 %.
5,0
Порядок выполнения работы
1. К стержню штатива прикрепите нить с шариком (см. рис. 253). Отведите шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила с вертикалью угол
α = 30° (определяется треугольником). Отпустите шарик и, одновременно нажав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток времени, через
который шарик снова окажется в точке А.
2. Повторите опыт не менее 5 раз.
3. Вычислите среднее значение промежутка времени:
t =
t1 + t2 + t3 + t4 + t5
5
.
4. Вычислите абсолютную случайную погрешность при каждом измерении и
среднее значение Δtслуч при пяти измерениях х:
На
р
Δtслуч1 = t1 − t ;
5.
6.
Δtслуч2 = t2 − t ;
...
Δtслуч5 = t5 − t ;
Δtслуч =
Δtслуч1 + Δtслуч 2 + ... + Δtслуч 5
5
.
Определите максимальное значение случайной погрешности:
Δtслуч = 3 Δtслуч .
Определите абсолютную систематическую погрешность:
Δtсист = Δtпр + Δtотсч.
Правообладатель Народная асвета
186
Лабораторный эксперимент
ас
ве
та
Предельную абсолютную погрешность Δtпр секундомера найдите в таблице 3. Абсолютную погрешность отсчета Δtотсч определите как цену деления механического секундомера.
7. Вычислите абсолютную Δt погрешность прямого измерения промежутка
времени:
Δt = Δtслуч + Δtсист.
8. Вычислите относительную εt погрешность измерения:
εt = Δt 100%.
t
9. Запишите окончательный результат в интервальной форме:
t = t ± Δt;
εt = … %.
Контрольные вопросы
од
на
я
1. Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?
2. Будет ли одинаковой относительная погрешность измерения промежутка времени, если
нить с шариком отклонить на угол 45°? Почему?
3. Если при трех и более повторных измерениях данным прибором получены одинаковые
значения физической величины, то чему равны абсолютные случайная и систематическая
погрешности? Относительная погрешность?
Та б л и ц а 3. Предельные абсолютные погрешности некоторых мер и приборов
Приборы и меры
На
р
Линейки:
деревянные
пластмассовые
Мерная лента
Гири для технических
анализов
Значение меры, диапазон
измерений
Предельная абсолютная
погрешность
400, 500, 750 мм
200, 250, 300 мм
150,0 см
0,5 см
1 мм
0,3 см
10—100 мг
200 мг
500 мг
1г
2г
5г
10 г
20 г
50 г
100 г
1 мг
2 мг
3 мг
4 мг
6 мг
8 мг
12 мг
20 мг
30 мг
40 мг
Правообладатель Народная асвета
Лабораторный эксперимент
187
Продолжение
Приборы и меры
Значение меры, диапазон
измерений
Предельная абсолютная
погрешность
30 — 60 с
(один оборот)
1,5 цены деления шкалы за
один оборот секундной стрелки
ас
ве
та
Секундомеры механические
Секундомеры электрические
Секундомеры электронные
30 с
0,5 цены деления шкалы за
один оборот секундной стрелки
30 с
0,5 цены деления
Лабораторная работа 2. Измерение ускорения при равноускоренном
движении тела
я
Ц е л ь: измерить модуль ускорения шарика, движущегося по наклонному желобу и определить абсолютную и относительную погрешности прямых измерений
пути движения шарика.
О б о р у д о в а н и е: металлический желоб, штатив, стальной шарик, цилиндрический упор, секундомер, мерная лента (линейка).
од
на
Вывод расчетных формул
Так как движение шарика по наклонному желобу является равноускоренным
с начальной скоростью v0 = 0, то пройденный за промежуток времени t путь будет определяться по формуле:
2
s = at .
2
(1)
Измерив пройденный шариком путь s и промежуток времени t, можно вычислить модуль ускорения a = 22s . Путь s равен длине желоба l. Тогда:
На
р
t
a = 22l .
t
Порядок выполнения работы
1. Укрепите желоб (рис. 254) в штативе под небольшим углом (5—10°) к горизонту. В конце желоба
положите цилиндрический упор.
2. Отпустите шарик из верхней точки желоба и по
часам с секундной стрелкой определите промежуток
времени от начала движения до момента соударения
шарика с упором.
3. Повторите опыт пять раз, измеряя каждый раз
промежуток времени движения шарика.
Правообладатель Народная асвета
(2)
Рис. 254
188
Лабораторный эксперимент
4. Измерьте мерной лентой длину l желоба от точки А начала движения до
цилиндрического упора В не менее трех раз.
5. Найдите среднее значение l , t .
6. Вычислите среднее значение ускорения шарика по формуле:
2l
t
2
.
ас
ве
та
a =
7. Рассчитайте абсолютную погрешность Δl прямых измерений пути l.
8. Найдите относительную погрешность прямых измерений пути l по формуле:
εl = Δl 100%.
l
9. Запишите результаты прямых измерений пути l в интервальной форме:
l = ( l ± Δl) см, εl = … %.
Контрольные вопросы
я
1. Что представляет собой модуль перемещения шарика? Как направлен вектор перемещения?
2. Будут ли равными средние скорости движения шарика на первой и второй половинах
пути? Почему?
од
на
Суперзадание. Во сколько раз отличаются промежутки времени движения
шарика на первом и последнем сантиметре пути?
Лабораторная работа 3. Изучение закономерностей равноускоренного
движения
На
р
Ц е л ь: используя стробоскопическую фотографию равноускоренного движения тела, определить модули ускорения и мгновенной скорости, соотношение путей, проходимых телом за равные последовательные промежутки времени.
О б о р у д о в а н и е: стробоскопическая фотография, линейка (рис. 255, а).
Вывод расчетных формул
Равноускоренно движущееся тело за промежуток времени t проходит путь,
равный
2
(1)
s = at .
2
Измерив путь s и зная промежуток времени движения t, можно вычислить
ускорение:
(2)
a = 22s .
t
Правообладатель Народная асвета
189
ас
ве
та
Лабораторный эксперимент
Рис. 255
Модуль мгновенной скорости равноускоренного движения тела без начальной скорости (v0 = 0) изменяется по
закону
v = at.
(3)
од
на
я
Если в уравнении (1) исключить параметр t, выразив
его из формулы (3), получим:
2
s= v .
2a
Тогда, измерив s, можно определить скорость в данной
точке траектории:
(4)
v = 2as .
На
р
Из графика скорости (рис. 255, б) равноускоренного
движения тела найдем отношение путей, проходимых телом за равные последовательные промежутки времени.
Из графика следует: s1 : s2 : s3 : s4 : ... : s n = 1 : 3 : 5 : 7 : ... : (2n − 1),
где n = 1 , 2 , 3, 4, ... .
Пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки
времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной
скорости, относятся как ряд нечетных чисел.
Порядок выполнения работы
1. Рассмотрите внимательно рисунок, на котором представлены последовательные положения равноускоренно движущегося шарика через 0,02 с.
Цифрой 0 обозначено начальное положение шарика (t0 = 0,00 с).
2. Рассчитайте промежутки времени, через которые шарик окажется в положениях 1, 2, 3, 4, ..., 10.
Правообладатель Народная асвета
190
Лабораторный эксперимент
Контрольные вопросы
ас
ве
та
3. По миллиметровой шкале линейки определите путь, проходимый шариком
(например, до положения 10) и промежуток времени t. По формуле (2) вычислите ускорение.
4. Выполните задание 3 еще для двух положений (5, 8) шарика и определите модуль ускорения а. Сравните результаты и сделайте выводы.
5. Определите модуль мгновенной скорости движения шарика в положениях
5, 8, 10, используя формулу (4).
6. По полученным значениям постройте график зависимости модуля скорости
от времени движения.
7. По шкале линейки найдите пути s4, s7, s10, проходимые шариком за 0,02 с
на участках 3—4, 6—7, 9—10, и их отношения: s4 : s7 : s10. Сравнив эти отношения с соответствующими отношениями нечетных чисел 7 : 13 : 19, сделайте
выводы.
од
на
я
1. Какие положения шарика (в верхней или нижней частях снимка) целесообразнее брать
для определения ускорения? Почему?
2. В каком соотношении будут модули перемещений шарика за равные последовательные
промежутки времени?
3. Что представляет собой график зависимости пути от времени движения шарика из состояния покоя? Начертите график.
Суперзадание. Выведите формулу: v22 − v12 = 2as для равноускоренного движения и проверьте ее выполнение для любых двух положений шарика.
Лабораторная работа 4. Изучение движения тела по окружности
На
р
Ц е л ь: определить период обращения, модули центростремительного ускорения, угловой и линейной скоростей при движении тел по окружности со скоростью,
модуль которой постоянен; рассчитать абсолютную и относительную погрешности
прямых измерений промежутка времени движения тела.
О б о р у д о в а н и е: штатив с лапкой или кольцом, нить, два двойных листа бумаги, приклеенных друг к другу (на листах начерчена окружность радиуса
10 см), металлический шарик, секундомер, линейка.
Вывод расчетных формул
Движение тела (материальной точки) по окружности радиуса R со скоростью,
модуль которой постоянен, характеризуется:
а) угловой скоростью, модуль которой определяется как
ω = 2π ,
T
Правообладатель Народная асвета
(1)
Лабораторный эксперимент
191
где Т — период обращения тела. Модули линейной v и угловой ω скоростей связаны соотношением:
v = ω R;
(2)
an =
v2
R
(нормальным)
.
С учетом формул (1) и (2):
ускорением,
модуль
которого
ас
ве
та
б) центростремительным
2
an = 4 π2 R .
T
(3)
Измерив период обращения Т шарика, можно определить ап, ω и v.
Порядок выполнения работы
На
р
од
на
я
1. Нить длиною 40—45 см привяжите одним концом к шарику, а другим — к лапке или
кольцу штатива. Лист бумаги положите так, чтобы центр начерченной на нем окружности находился под центром (рис. 256) шарика. Взявшись
за нить вблизи точки подвеса, приведите шарик в движение по окружности. Небольшой тренировкой добейтесь того, чтобы он двигался над
окружностью, начерченной на листе бумаги.
2. С помощью секундомера определите промежуток времени t, за который шарик совершит
N = 10 оборотов. Для чего один из учащихся фикРис. 256
сирует начало отсчета времени словом «нуль», а
второй с этого момента начинает вслух отсчет оборотов движения шарика. После совершения шариком 10 оборотов отсчет времени прекращается. Опыт повторите пять раз. Результаты измерений занесите в таблицу.
Рассчитайте среднее значение промежутка времени t .
Рассчитайте среднее значение периода обращения T шарика:
T =
t
N
.
3. Найдите среднее значение модуля ускорения по формуле:
2
a = 4 π 2R .
T
4. Определите, используя формулы ( 1 ) и (2), средние значения модулей
угловой и линейной скоростей.
Правообладатель Народная асвета
192
Лабораторный эксперимент
5. Аналогично, как в лабораторной работе 2, рассчитайте абсолютную Δt и
относительную εt погрешности прямых измерений промежутка времени движения
шарика. Результат прямых измерений промежутка времени t запишите в интервальной форме.
Контрольные вопросы
ас
ве
та
G
1. Как изменяется линейная скорость v при движении шарика по окружности, если модуль
скорости v = const?
2. Как доказать соотношение v = ωR?
3. Как зависит период обращения Т шарика от модуля его линейной скорости?
Суперзадание. Определите ускорение материальной точки при ее движении
по окружности, если за Δt = 1 с она прошла 1 длины окружности с линейной скоростью, модуль которой v = 10 мс = const.
6
Лабораторная работа 5. Изучение движения тела, брошенного горизонтально
од
на
я
Ц е л ь р а б о т ы: измерить начальную скорость, сообщенную телу в горизонтальном направлении при его движении под действием силы тяжести.
О б о р у д о в а н и е: штатив с лапкой, шарик, лоток, листы белой и копировальной бумаги, ученическая линейка.
На
р
Вывод расчетных формул
Тело, брошенное горизонтально, движется по ветви параболы (рис. 257), участвуя в двух движениях: равномерном по горизонтали и равноускоренном с ускоG
G
рением g по вертикали. Скорость равномерного движения равна v0 . Ее модуль
можно определить, зная дальность полета l и время движения t:
v0 = l .
t
Рис. 257
Правообладатель Народная асвета
(1)
Лабораторный эксперимент
193
При равноускоренном движении по вертикали h =
t=
2
gt
2
, откуда:
2h .
g
(2)
Тогда, подставив формулу (2) в формулу (1), получим:
g
.
2h
ас
ве
та
v0 = l
(3)
од
на
я
Порядок выполнения работы
1. Укрепите в штативе лоток так, чтобы загнутый конец лотка был расположен горизонтально (см. рис. 257).
2. Отметьте мелом положение на лотке, откуда будете пускать шарик. Сделайте пробный опыт и заметьте, в какую точку стола упал шарик. Положите лист
копировальной бумаги на лист белой бумаги в месте падения шарика. Лист белой
бумаги предварительно зафиксируйте.
3. Положите шарик на лоток там, где проведена метка, и отпустите его. Отметьте на белом листе цифрой 1 точку приземления шарика.
4. Повторите опыт не менее 5 раз, отмечая каждый раз точки приземления
шарика цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Лист бумаги при этом не должен сдвигаться.
5. Измерьте во всех пяти опытах высоту падения и дальность полета шарика.
Данные занесите в таблицу.
№ опыта
h, м
l, м
1
2
3
4
На
р
5
Среднее значение
6. Найдите среднее значение h и l .
7. Вычислите среднее значение скорости v0
v0 = l
g
2h
,
по формуле:
g = 9,81 м2 .
с
8. Рассчитайте абсолютную Δl и относительную εt погрешности прямых
измерений дальности полета шарика.
Результат прямых измерений l запишите в интервальной форме.
Правообладатель Народная асвета
194
Лабораторный эксперимент
Контрольные вопросы
ас
ве
та
1. Почему траектория движения тела, брошенного горизонтально, искривляется?
2. Как направлен вектор мгновенной скорости в различных точках траектории движения
тела, брошенного горизонтально?
3. Является ли криволинейное движение шарика движением с постоянным ускорением?
Почему?
Суперзадание. Используя результаты работы, определите конечную скорость шарика (в момент соприкосновения его с листом бумаги). Какой угол с
поверхностью листа образует эта скорость?
Лабораторная работа 6. Проверка закона Гука
Ц е л ь р а б о т ы: измерить жесткость пружины, проверить для нее выполнение закона Гука.
О б о р у д о в а н и е: штатив, динамометр со шкалой, закрытой миллиметровой бумагой, набор грузов массой по 100 г.
од
на
я
Вывод расчетных формул
Если к пружине с начальной длиной l0 (рис. 258)
подвесить груз массой т, то под действием веса груза пружина удлиняется. Еe длина будет равна l, а абсолютное удлинение х = l − l0.
На покоящийся груз действуют две компенсируюG
G
щие друг друга силы — тяжести mg и упругости Fупр:
G
G
Fупр = mg .
На
р
Так как по закону Гука Fупр = k|x|, то жесткость
пружины:
mg
k=
.
x
Рис. 258
Порядок выполнения работы
1. Соберите установку согласно рисунку 258, закрыв шкалу динамометра
миллиметровой бумагой.
2. Отметьте на бумаге положение стрелки-указателя ненагруженной пружины черточкой с цифрой 0.
3. Подвесьте к пружине один груз массой 100 г и отметьте положение стрелки-указателя черточкой с цифрой 1. Измерьте расстояние между цифрами 0—1.
Это и есть абсолютное удлинение х1 пружины под действием груза. Повторите измерения x1 три раза.
Правообладатель Народная асвета
Лабораторный эксперимент
195
g = 9,81 м2
с
ас
ве
та
4. Выполните задание 3, подвесив к пружине поочередно 2, 3, 4 груза. Определив соответствующие абсолютные удлинения пружины х2, х3, х4, занесите данные в таблицу.
5. Используя метод подсчета цифр (см. Приложение), рассчитайте силу упругости пружины Fупр = mg при подвешивании одного, двух, трех и четырех грузов
и занесите данные расчетов в таблицу.
Абсолютное удлинение x , м
Количество
грузов
Масса
груза m, кг
Сила
упругости
Fупр, Н
Повторные изменения
x1
1
4
<x>
од
на
3
x3
я
2
x2
6. Для нахождения k постройте график зависимости силы упругости Fупр от
На
р
абсолютного удлинения x при различном количестве грузов.
7. Выбрав точку С на графике так, чтобы сила Fупр С и удлинение хС были по
возможности большими, но не выходили за интервалы измерения силы, определите среднее значение k :
Fупр С
k =
.
xС
Контрольные вопросы
1. К чему приложены сила упругости пружины и вес груза?
2. Для любого ли количества грузов будет выполняться прямая пропорциональная зависимость силы упругости Fупр от абсолютного удлинения х? Почему?
Суперзадание. Как изменится жесткость пружины, если ее длину уменьшить
на одну треть?
Правообладатель Народная асвета
196
Лабораторный эксперимент
Лабораторная работа 7. Измерение коэффициента трения скольжения
ас
ве
та
Ц е л ь р а б о т ы: измерить коэффициент трения скольжения дерева по
дереву.
О б о р у д о в а н и е: деревянный брусок, доска, грузы массой по 100 г,
штатив, мерная лента (линейка).
Вывод расчетных формул
Если деревянный брусок движется равномерно по доске (рис. 259, а), то
векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. G
силы упругости
пружины динамометра Fупр , трения
G
G На брусок действуют
G
Fтр , тяжести mg и реакции опоры N (рис. 259, б):
G
G
G G G
(1)
mg + N + Fтр + Fупр = 0.
В проекции на ось Ох уравнение (1) примет вид:
−Fтр + Fупр = 0, или Fтр = Fупр.
(2)
од
на
я
Но модуль силы трения Fтp = μN.
Силу реакции N можно определить, найдя проекции всех сил в уравнении (1) на ось Оу:
−mg + N = 0;
mg = N.
Тогда сила трения Fтp = μmg. В итоге коэффициент трения скольжения:
Fтр
mg
=
Fупр
mg
.
На
р
μ=
Рис. 259
Правообладатель Народная асвета
(3)
Лабораторный эксперимент
197
Р, Н
Количество
грузов
ас
ве
та
Порядок выполнения работы
1. С помощью динамометра измерьте вес бруска. Измерения повторите не
менее трех раз. Результаты занесите в таблицу.
2. На брусок положите груз, прикрепите динамометр и равномерно перемещайте брусок по доске. Измерьте силу упругости Fупр пружины динамометра. Опыт повторите не менее 5 раз. Результаты измерений занесите в
таблицу.
3. Опыты 1—2 повторите с двумя, тремя грузами. Данные занесите в таблицу.
Повторные
измерения
Повторные измерения
1
Fтр , Н
я
2
Fтp, Н
P , Н
од
на
3
4. Найдите средние значения P и Fтр
в опытах с 1, 2 и 3 грузами.
от P бруска с грузами. По графику
5. Постройте график зависимости Fтр
определите среднее значение коэффициента трения μ (аналогично пункту 7) лабораторной работы 6:
На
р
μ =
FтрС
PС
.
6. По методу цены деления (см. Приложение) рассчитайте абсолютную ΔР
и относительную εР погрешности прямых измерений веса бруска с грузами. Запишите окончательный результат прямых измерений веса в интервальной форме.
Контрольные вопросы
1. Что показывает коэффициент трения скольжения?
2. Почему коэффициент трения скольжения является безразмерной величиной?
3. От чего зависит коэффициент трения скольжения?
Суперзадание. Как с помощью линейки, бруска с грузами и наклонной
доски определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву?
Правообладатель Народная асвета
198
Лабораторный эксперимент
Лабораторная работа 8. Проверка закона сохранения импульса
ас
ве
та
Ц е л ь р а б о т ы: измерить импульсы системы до и после взаимодействия
тел, входящих в нее; проверить выполнение закона сохранения импульса.
О б о р у д о в а н и е: штатив с лапкой, лоток, два шара одинакового объема и
разной массы, листы белой и копировальной бумаги, линейка, весы, разновес.
Вывод расчетных формул
Шар массой т1, скатываясь с лотка, конец которого расположен горизонтально (рис. 260), приобретает в конце движения по лотку горизонтальную скоG
G
G
рость v1 , а следовательно, и импульс p1 = m1v1 .
Проекцию скорости v1 x на ось Ох легко определить, измерив дальность полета l и высоту h:
v1 x = l1
g
.
2h
(1)
Тогда проекция импульса первого шара на ось Ох будет равна:
p1 x = m1l1
g
.
2h
На
р
од
на
я
(2)
G
G
Поместим
на
краю
лотка
второй
шар
массой
т
,
импульс
которого
=
0
p
2
2
G
G
( v2 = 0 ), а первому шару дадим возможность двигаться из того же положения 1
(положение 1 отмечено мелом).
Первый шар, имеющий в конце лотка горизонтально направленный импульс
p1 x , взаимодействует с лежащим неподвижно вторым шаром. После взаимодействия оба шара имеют скорости v1′x и v2′ x , направленные горизонтально, а следовательно, и импульсы p1′x = m1v1′x и p2′ x = m2 v2′ x . Так как внешние действующие
на шары силы (тяжести и реакции опоры) скомпенсированы, то для системы двух
шаров выполняется закон сохранения импульса:
Рис. 260
Правообладатель Народная асвета
Лабораторный эксперимент
199
p1 x = p1′x + p2′ x ,
(3)
m1v1 x = m1v1′ x + m2 v2′x .
(4)
или
Подставив в выражение (4) проекции скоростей (формула (1)), получим:
m1l1 = m1l1′ + m2 l2′ .
ас
ве
та
Порядок выполнения работы
(5)
№ опыта
1
2
т1, кг
т2, кг
l 1, м
l1′, м
На
р
3
од
на
я
1. Измерьте массы т1 и т2 шаров на весах, повторив измерения три раза.
2. Укрепите лоток в лапке штатива, чтобы конец лотка был расположен горизонтально на высоте h = 15 см от поверхности стола.
3. Сделав мелом метку на лотке, пустите с этого положения шар большей
массы т1 и понаблюдайте, в каком месте стола приземлится шар. Положите
здесь лист белой бумаги, зафиксировав его, а сверху — лист копировальной бумаги.
4. Поместите первый шар (массой т1) на метку и отпустите. По отметке на
белом листе определите дальность полета l1. Опыт повторите пять раз, данные
занесите в таблицу. Найдите среднее значение l1 .
5. Установите на краю лотка второй шар меньшей массы и пустите первый
шар с того же места, что и в задании 3. По отметкам на белом листе найдите
дальности полета шаров l1′ и l2′ . Опыт повторите пять раз и найдите среднее значение l1′ и l2′ . Все данные занесите в таблицу.
l2′ , м
4
5
Среднее значение
6. Проверьте выполнение закона сохранения импульса, подставив значения
m1 , m2 , l1 , l1′ , l2′ в формулу (5).
7. Определите абсолютную и относительную погрешности прямых измерений
дальности полета одного из шаров. Результаты прямых измерений дальности полета шара запишите в интервальной форме.
Правообладатель Народная асвета
200
Лабораторный эксперимент
Контрольные вопросы
1. Как направлен импульс тела?
2. При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?
3. Почему для системы двух шаров можно применять закон сохранения импульса?
ас
ве
та
Суперзадание. Можно ли утверждать, что суммарный импульс шаров не будет изменяться и при их дальнейшем полете по параболической траектории вплоть
до соударения с поверхностью стола? Аргументируйте ответ.
Лабораторная работа 9. Проверка закона сохранения механической
энергии
Ц е л ь р а б о т ы: проверить выполнение закона сохранения механической
энергии.
О б о р у д о в а н и е: два штатива, лоток, шар на нити, динамометр, листы белой и копировальной бумаги, линейка, весы, разновес.
Вывод расчетных формул
На
р
од
на
я
Если растянутая пружина (рис. 261), обладающая потенциальной энергией
Еп, взаимодействует с телом, то при переходе ее в недеформированное состояние
потенциальная энергия пружины при отсутствии сопротивления движению полностью превращается в кинетическую энергию Ек тела:
Е п = Е к;
(1)
2
Еп = kx ;
(2)
2
Ек = mv ;
(3)
kx2
2
2
2
2
= mv .
2
Рис. 261
Правообладатель Народная асвета
(4)
Лабораторный эксперимент
201
Так как k x = Fупр — сила упругости пружины, то
kx2
2
Fyпр x
=
2
(5)
.
Скорость тела можно определить по дальности его полета l и высоте падения
l2 g
2h
(вывод формулы см. в лабораторной работе 7).
Тогда
mv2
2
ас
ве
та
h: v2 =
=
ml 2 g
.
4h
(6)
С учетом выражений (5) и (6) формула (4) примет вид:
Fупр x
2
=
ml 2 g
,
4h
или Fупр x =
ml 2 g
.
2h
(7)
Формулу (7) можно проверить экспериментально.
Порядок выполнения работы
На
р
од
на
я
1. Измерьте на весах массу шара.
2. Укрепите на штативах лоток и динамометр на одинаковой высоте h ≈ 30 см
от поверхности стола. Нить длиной 40—45 см одним концом привяжите к крючку динамометра, а другим — к шару (см. рис. 261). Расстояние между штативами
должно быть таким, чтобы шар находился на самом краю горизонтальной части
лотка при недеформированной пружине динамометра и горизонтальном положении ненатянутой нити.
3. В предполагаемом месте 3 падения шара положите лист белой бумаги и
сверху лист копировальной бумаги. Отведите шар в положение 2 так, чтобы показания динамометра стали Fyпр = 2,0 H. Отпустите шар и отметьте место падения
его на столе по метке на листе белой бумаги (положение 3). Опыт проведите
пять раз. Измерьте дальность полета шара во всех пяти опытах.
4. Измерьте линейкой абсолютную деформацию пружины x при силе упругости Fyпр = 2,0 H. Все данные занесите в таблицу.
№ опыта
m, кг
h, м
l, м
1
2
3
4
5
Среднее значение
Правообладатель Народная асвета
x ,м
202
Лабораторный эксперимент
Контрольные вопросы
ас
ве
та
5. Определите средние значения h , l и x .
6. Подставьте h , l и x в формулу (7) и проверьте выполнение закона
сохранения энергии.
7. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешности прямых измерений
одной из величин (h, l, х) и запишите результат в интервальной форме.
1. Какую энергию называют механической?
2. При каких условиях выполняется закон сохранения механической энергии?
3. Чем можно объяснить только приближенное равенство потенциальной энергии пружины
и кинетической энергии шара?
На
р
од
на
я
Суперзадание. Какую пружину (с большей или меньшей жесткостью) лучше использовать в работе для более точного выполнения закона сохранения
механической энергии? Почему?
Правообладатель Народная асвета
Приложение
Обработка результатов измерений. Оценка погрешностей
На
р
од
на
я
ас
ве
та
Введение
Измерением называется определение значения физической величины с
помощью измерительных средств экспериментальным путем.
При выполнении лабораторных работ вы встретитесь с двумя видами измерений: прямыми и косвенными.
Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины
определяется непосредственно отсчетом по шкале прибора.
Косвенное измерение — это измерение, при котором значение определяемой величины находится по формуле как функция других величин.
Результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность. Причин погрешности много: несовершенство измерительных приборов, округления при отсчетах и вычислениях, влияние внешних факторов (толчки, изменение температуры, давления и т. п.) и др. Поэтому бессмысленно рассчитывать на получение точного (без погрешности)
результата.
1. Случайные и систематические погрешности. Промахи
Случайными называют такие погрешности, которые oт опыта к опыту изменяются непредсказуемым образом. Случайную погрешность при одном измерении обнаружить нельзя. Надо провести серию повторных измерений (при одинаковых начальных условиях опыта). Многократное повторение опыта позволяет
также уменьшить влияние случайных погрешностей на конечный результат измерений.
Если при повторных измерениях получается один и тот же результат, то это
не означает, что случайной погрешности нет. Просто чувствительность измерительного прибора так низка, что случайная погрешность не проявляется.
Систематические погрешности — это погрешности, которые при повторении измерения остаются постоянными. Эти погрешности связаны в основном с
несовершенством измерительной техники, приближенной методикой измерений и
обработки результатов.
Промахи — грубые ошибки, намного превосходящие ожидаемую при данных условиях погрешность. Они вызываются невнимательностью при снятии результата, неисправностью прибора или резким изменением условий опыта.
Во избежание промаха необходимо измерение одной и той же случайной
величины проводить несколько раз и результат, резко отличающийся от других
(промах), отбросить.
Правообладатель Народная асвета
204
Приложение
ас
ве
та
2. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть мы с помощью секундомера измеряем промежуток времени t движения шарика по желобу. Проведя пять повторных измерений, мы получили разные значения t1, t2, t3, t4, t5. Это приближенные значения. Допустим, что истинное значение промежутка времени движения tист (рис. 262),
т. е. измеренные значения отклоняются от истинного как в большую (t2, t3,
t5 tист), так и в меньшую сторону (t1, t4 tист). Модуль максимального отклонения полученного результата измерения от истинного значения величины называется максимальной абсолютной погрешностью или верхней границей погрешности. В данном примере она обозначается Δt:
Δt = ⎜t4 – tист⎜,
Рис. 262
(t1 + t2 + ... + tn )
,
n
то, чем большее число п измерений, тем ближе сред-
од
на
личины t =
я
так как именно значение t4 наиболее сильно отличается от tист.
В большинстве случаев истинное значение tист величины неизвестно. Но если
произвести многократные измерения и найти среднее значение измеренной ве-
нее значение величины к ее истинному.
Тогда окончательный результат измерений промежутка времени следует записать так:
t − Δt tист
t + Δt,
или
t = t ± Δt.
На
р
Относительная погрешность ε определяет, какую часть в процентах от измеряемой величины составляет абсолютная погрешность:
ε = Δt 100%.
t
Например, если среднее значение промежутка времени скатывания шарика
с наклонного желоба t = 16,12 с определено с точностью до Δt =0,08 с, то относительная погрешность:
ε=
0,08
16 ,12
100 % ≈ 0,5 %.
Окончательный ответ следует записывать так: t = (16,12 ± 0,08) с; ε = 0,5 %.
Правообладатель Народная асвета
Приложение
205
3. Точные и приближенные числа
При обработке результатов измерений надо различать точные и приближенные числа и знать правила точных и приближенных вычислений.
Точные числа — это числовые коэффициенты; показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения, и
точные числа. Или: 4 км = 4
1
3600
— точные числа.
gt2
2
коэффициент 1 и показатель степени 2 —
ас
ве
та
др. Например: в формуле h =
1000 м, 1 с =
2
1
3600
ч. Коэффициенты 1000,
На
р
од
на
я
Приближенными числами являются результаты измерения величин, табличные значения величин, а также округленные значения точных чисел. Значения
погрешностей — тоже приближенные числа.
Например: значение высоты h = 10,2 см, измеренное линейкой; ускорение
свободного падения g = 9,8 м2 , значение абсолютной погрешности Δt =0,08 с;
с
относительная погрешность ε = 0,5 %.
4. Значащие цифры
Все цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале числа, называются значащими. Например, в числах 9,8; 1005; 0,001 = 1 10–3 число значащих цифр
соответственно равно: 2, 4 и 1.
В точных числах число значащих цифр может быть бесконечно большим. Например, число 2 можно записать и как 2,0; 2,00; 2,000 и т. д. Все цифры в этих
записях значащие.
При записи числа в стандартной форме первую значащую цифру ставят в
разряд единиц, а остальные — в десятичные разряды после запятой. Например:
0,001 = 1 10–3; 0,000172 = 1,72 10–4; 1328 = 1,328 103.
Абсолютная погрешность в окончательном виде записывается с одной значащей цифрой.
Например: l = (112,48 ± 0,02) см; Δl = 0,02 см = 2 10–2 см.
5. Верные и сомнительные цифры
Результаты измерений и вычислений могут содержать разное количество значащих цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные.
Цифра приближенного числа считается верной, если его абсолютная погрешность не превышает одной единицы того разряда, в котором стоит данная цифра.
Например, для измеренной длины l = (93 ± 2) мм абсолютная погрешность
2 10, значит, цифра 9, стоящая в разряде десятков, верная. Цифра 3 стоит в
разряде единиц. Погрешность 2
1, значит, цифра 3, стоящая за верной цифрой, является сомнительной.
Правообладатель Народная асвета
206
Приложение
ас
ве
та
Еще один пример. Пусть измеренная величина массы записывается так:
m = (2,58 ± 0,04)·102 кг. Абсолютная погрешность 0,04 1 (2 — верная цифра),
0,04 0,1 (5— верная цифра), наконец, 0,04 0,01, значит, цифра 8 — сомнительная.
Цифры, стоящие за сомнительной, — неверные. Например, в приближенном
числе 17,45 ± 2 цифры 4, 5 — неверные.
Неверные цифры следует отбросить и записать: 17 ± 2.
У точных чисел все значащие цифры верные, а погрешность точного числа
всегда равна нулю.
6. Округление чисел
Точные и приближенные числа можно округлять, т. е. уменьшать количество
значащих цифр.
При округлении чисел руководствуются следующим правилом: если первая
отбрасываемая цифра равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.
Например, округлить до десятых, или до трех значащих цифр, числа:
я
13,273 ≈ 13,3 (отбрасываемая цифра 7
5);
од
на
13,253 ≈ 13,3 (отбрасываемая цифра 5);
13,233 ≈ 13,2 (отбрасываемая цифра 3
83 128 ≈ 83 100 = 8,31 10 (2
4
5);
5).
На
р
Абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например:
l = (62 ± 2,4) мм следует записать: l = (62 ± 2) мм.
7. Математические операции с приближенными числами
а) Сложение и вычитание
При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует оставить столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим их количеством.
Например:
4,87
+ 2,3
102,328
−
7,21
0,482
95,118 ≈ 95,1
7,652 ≈ 7,7
б) Умножение и деление
При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько значащих цифр в исходном данном с наименьшим их количеством.
Правообладатель Народная асвета
Приложение
207
ас
ве
та
Например:
35,2 0,24 = 8,448 ≈ 8,4.
87,6779 : 7,1 = 12,349 ≈ 12.
в) Возведение в степень и извлечение корня
При возведении в степень приближенного числа в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет возводимое
в степень число:
0,372 = 0,1369 = 0,14.
При извлечении корня из приближенного числа в результате сохраняется
столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет подкоренное число:
3,0 = 1,73205... ≈ 1,7;
81 = 9,0;
64 = 4,0.
г) Вычисление тригонометрической функции
При вычислении тригонометрической функции (sinα, cosα, tgα, ctgα), если
значение угла α задано с точностью до 1°, в значении тригонометрической функции следует сохранить две значащие цифры.
Например:
sin23° ≈ 0,39; tg30° ≈ 0,53.
од
на
я
3
На
р
8. Оценка погрешностей прямых измерений методом цены деления
Несовершенство школьных измерительных приборов приводит к тому, что
повторные измерения дают один и тот же результат. Например, мерной лентой
измеряют длину желоба, и во всех трех измерениях получается результат 62 см.
В таком случае:
1) достаточно трех повторных измерений;
2) приближенное значение измеряемой величины
lизм = l =
l1 + l2 + l3
3
равно любому из трех значений.
3) абсолютную погрешность определяют равной цене деления шкалы прибора Δl = 1 см. Ответ измерения следует представить в виде l = (62 ± 1) см.
9. Метод подсчета цифр (МПЦ)
Метод подсчета цифр (MПЦ) используется для обработки результатов
косвенных измерений, в то время как метод цены деления — для прямых измерений.
Правообладатель Народная асвета
208
Приложение
На
р
од
на
я
ас
ве
та
При обработке результатов измерений МПЦ необходимо придерживаться
следующих правил.
1. Результаты всех прямых измерений записывают в таблицу, оставляя только верные цифры (иногда для повышения точности окончательного ответа оставляют одну сомнительную цифру).
2. Все вычисления выполняют согласно правилам проведения математических операций над приближенными числами (пункт 7). Эти правила называют
правилами подсчета цифр.
3. Погрешность результата непосредственно не вычисляют. Результат измерения при МПЦ записывается без указания погрешности.
Правообладатель Народная асвета
Ответы к упражнениям
Упражнение 2
3. s = 2,0 км; Δr = 0,10 км. 4. Δr = 32 м. 5. Δr1 = 8,5 см; s1 = 9,4 см; Δr2 = 12 см; s2 = 19 см; Δr3 = 0;
s3 = 38 см; Δr4 = 0; s4 = 75 см.
Упражнение 3
ас
ве
та
4. s = 90 м; Δr = 36 м; t = 9,0 c. 5. l1 = 45 км; l2 = 36 км; l3 = 81 км. 6. l1 = 5,0 км; s1 = s2 = 3,5 км.
7. х0 = 5,0 км; х1 = 725 км; v = 720 км ; s = Δr = 240 км. 8. х0 = 5,0 км; х1 = –715 км; v = 720 км ;
ч
ч
s = Δr = 240 км. 9. v = 36 км .
ч
Упражнение 4
2. Δr = 0; s = 180 км. 3. s1 = 1,0 км; s2 = 0,25 км; s3 = 0,125 км; Δr1х = 1,0 км; Δr2х = –0,25 км;
я
Δr3х = 0,125 км. 4. х01 = 6,0 км; х02 = –6,0 км; v1x = 24 км ; v2 x = 60 км ; t = 20 мин.
ч
ч
5. x1 = A1 + B1 (t − t0 ), где A1 = −0,80 км; В1 = 3,6 км ; t0 = 3 ч 10 мин; x2 = A2 + B2 (t − t0 ),
ч
где A2 = 1,6 км; В2 = −12 км ; Δr1 = 1,2 км; Δr2 = 4,0 км. 6. v1x = 2,5 м ; v2 x = −20 м ;
ч
с
с
v3 x = 10 м ; l12 = 0; l13 = l23 = 30 м; l′12 = 113 м; l′13 = 7,5 м; l′23 = 120 м.
с
Упражнение 5
Упражнение 6
5,5 м . 5. v = 25 м ; Δr = 45 км. 6. а) v = 5 м ; Δr = 9 км; б) v = 18 м ; Δr = 32 км.
с
c
c
c
t1t2
м
7. Δrпл = 0; Δrб = 60 м; vб = 3,2 . 8. α = 30°; t = 1,9 мин. 10. t =
= 23 c.
t1 + t2
c
v
На
р
4. 2,5 м
с
од
на
v
1. v = 4 км ; v1 = 5 км ; v3 = 4 км . 2. v1 = 10 м ; v2 = 20 м ; v3 = 12 м . 3. 1x = 5 .
v2 x
ч
ч
ч
c
c
c
3
4. v s = 0,14 м ; v r = 0,10 м . 5. s = 0,94 км; Δr = 0,12 км; v r = 0,20 м ; v s = 1,6 м .
c
c
c
c
v1
2 v1v2
км
км
, где v2 = ; v = 48 ч .
6. v2 = 50
. 7. v =
ч
k
v1 + v2
Упражнение 7
5. v0 = 200 м ; a = 9,81 м2 ; vy = 102 м ; t1 = 20,4 с. 6. a1x = −0,1 км2 ; a2 x = 0,03 км2 ;
c
c
c
мин
мин
v1x = v2 x = 0,10 км ; t1 = 4 мин; v1x = A1 + B1t, где A1 = 0, 40 км ; B1 = −0,10 км2 ;
мин
мин
мин
км
v2 x = B2 t, где B2 = 0,03
.
мин2
Упражнение 8
3. s = Δr = 96 см; х = 100 см. 5. s1 : s2 : s3 : s4 = 1 : 3 : 5 : 7. 6. s1 = 20 м; s2 = 40 м; s3 = 100 м; Δr1 = 20 м;
Δr2 = 0; Δr3 = 60 м; у1 = 20 м; у2 = 0; у3 = –60 м.
Правообладатель Народная асвета
210
Ответы к упражнениям
Упражнение 9
3.
s
sAB
рад
.
= π = 1,6; AC = π = 1,1. 4. ω = 1,6
с
ΔrAB
2
ΔrAC
2 2
ас
ве
та
Упражнение 10
v
ω
2. м = 15,7. 4. 1 = 2. 5. v1 = 465 м ; v2 = 233 м ; а1 = 0,034 м2 ; а2 = 0,017 м2 . 6. h = 58 м.
vч
ω2
c
c
с
с
Упражнение 11
2. F = 100 Н. 3. F1 = F2 = 1,0 Н; а) F1 = F2 = 0,71 H; б) F1 = F2 = 0,58 H; в) F1 = F2 = 0,5 H.
4. V =
F1
= 0,23 дм3 .
gρ
Упражнение 12
3. Да; m1 = m2 = 270 г; ρ1 = ρ2 = 2,7
Упражнение 13
г . 4. m = 500 г; m = 125 г.
1
2
см3
(m1 − m2 ) g
= 3,3 м2 ; v = 2as = 2,3 м .
с
m1 + m2
с
m1
F cos α + mg sin α
5. Fmax = Fн 1 +
= 24,6 H. 6. a =
= 7,6 м2 ; Fд = mg cos α − F sin α = 36 Н.
m2
m
с
я
4. a =
од
на
Упражнение 15
2
3. F = 174 Н. 4. x = mω R = 4,0 мм. 7. kпосл = 75 Н ; kпар = 300 Н .
k
м
м
Упражнение 16
max
6. μп = tg α = 0,58; Fтр
= mg sin α = 3,0 H. 7. m =
8. t =
2 2
v1 − v2
= 2,5 с. 9. μ = 4 π ν R = 0, 4.
μg
g
Fμ
= 2,0 кг.
g
На
р
Упражнение 17
gt2
1. t = vsin α = 1,0 c. 3. l = v 2 h = 5 см. 4. h =
= 20 м; l = vt = 6 м. 5. v0 = А = 20 м ;
cos α
с
2
g
g
gt2
h = v0 sin α t −
= 7, 4 м. 6. α1 = 27°; α2 = 63°.
2
Упражнение 18
4. gh =
gR 2
(R + h)2
Упражнение 19
= 1,09 м2 . 5. h = R ( k − 1) = 4,7 103 км.
с
1. хС = 7 см (от центра шара 2). 2. хС = 2,3 см (от центра медной части). 3. хС = 0,17R. 4. a = 1,0 м2
с
(вверх). 5. a = 10 м2 .
с
Правообладатель Народная асвета
Ответы к упражнениям
211
Упражнение 20
кг м
; F = 56 Н. 3. Δp1 =
с
кг м
4. Δр = 1,6 10–23
.
с
Упражнение 21
2mv; Δp2 = 2mv; Δp3 = 0.
ас
ве
та
2. Δр = 1 104
3. vл1 = 1,3 м (в прежнем направлении); vл2 = 0,30 м (в обратном направлении); vл3 = 2,9 м
c
c
c
(в прежнем направлении); vм = 5,3 м (в направлении начального движения лодки).
c
m2 s
4. sпл =
= 1 м. 5. v3 = v1 = 300 м .
с
m1 + m2
Упражнение 22
1. А = 4 кДж; Ат = –4 кДж. 2. F = 100 Н. 3. α = 30°. 4. m = 2 Fs = 1 106 кг.
v2
5. A = μmgl = 0,6 кДж. 7. A = mgh0 N = 0,22 МДж; P = mgv = 1,6 кВт.
8. A = mh (g + a) = 6, 4 кДж; P = m (g + a) 2ah = 1,8 кВт.
Упражнение 24
од
на
я
Упражнение 23
2. A = F ((Δl1 + Δl2 )2 − Δl12 ) = 1,6 Дж. 3. m = 5 кг.
2 Δl1
mgL
4. A min =
= 1,2 кДж.
2
mg 2 t2
3. A = m (v2 − v02 ) = −80 Дж. 4. Eк =
= 40 Дж.
2
8
E
5. m =
= 0,10 кг.
2 π2 ν2 R 2
Упражнение 25
ma2 t2 = 0,86 МДж.
2 E = 8,9 м ; h
max = 4 м. 3. Eк =
2
m
с
2
4. m = 0,1 кг; А = 2,4 Дж. 5. v1 = 2 gh1 + v0 = 33 м ; Ек = 0,22 кДж; Еп = 40 Дж. 6. ΔЕп = 12 Дж.
с
7. Еп = 50 мДж; А = 18 мДж. 8. vmax = g m = 1,1 м . 9. α = 60°. 10. s = h − c = 23 м.
k
с
μ
На
р
2. v =
Правообладатель Народная асвета
СОДЕРЖАНИЕ
ас
ве
та
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
§ 1. Материя. Пространство и время. Механическое движение . . . . . . . . . . . —
§ 2. Скалярные и векторные величины. Действия над векторами . . . . . . . . .
8
§ 3. Проекция вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
17
§ 4. Виды механического движения. Задача кинематики . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Относительность движения. Система отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6. Путь и перемещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 7. Равномерное прямолинейное движение. Скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8. Графическое представление равномерного прямолинейного движения . .
§ 9. Неравномерное движение. Мгновенная скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10. Сложение скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11. Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 12. Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением . . .
§ 13. Путь, перемещение и координата тела при прямолинейном движении с
постоянным ускорением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14. Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости при движении
тела по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15. Ускорение точки при ее движении по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
22
26
29
35
42
47
51
54
Глава 2. Динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
§ 16. Основная задача динамики. Сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17. Условия равновесия. Момент силы. Сложение и разложение сил . . . .
§ 18. Движение по инерции. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы
отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19. Масса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20. Второй закон Ньютона — основной закон динамики . . . . . . . . . . . . . . .
§ 21. Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея . . . . . . . . .
§ 22. Деформация тел. Сила упругости. Закон Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 23. Cилы трения. Силы сопротивления среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 24. Движение тела под действием силы тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 25. Закон всемирного тяготения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 26. Центр тяжести. Вес. Невесомость и перегрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
79
На
р
од
на
я
Глава 1. Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Правообладатель Народная асвета
59
65
70
86
90
94
102
108
116
124
133
139
Содержание
213
Глава 3. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
148
153
160
166
172
177
ас
ве
та
§ 27. Импульс тела. Импульс системы тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 28. Закон сохранения импульса. Реактивное движение . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 29. Работа силы. Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 30. Потенциальная энергия
......................................
§ 31. Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел . . . . . . . . . . . . . . .
§ 32. Закон сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Лабораторный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
На
р
од
на
я
П р и л о ж е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Ответы к упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Правообладатель Народная асвета
ас
ве
та
я
Учебное издание
од
на
Исаченкова Лариса Артемовна
Пальчик Геннадий Владимирович
Сокольский Анатолий Алексеевич
ФИЗИКА
На
р
Учебное пособие для 9 класса
общеобразовательных учреждений
с русским языком обучения
Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. В. Гринкевич. Оформление Е. Г. Дашкевич.
Художественный редактор В. И. Козлов. Технический редактор Е. Ю. Гурченок. Корректоры
З. Н. Гришели, Т. Н. Ведерникова, Д. Р. Лосик, В. С. Бабеня, А. В. Алешко.
Подписано в печать 28.07.2010. Бумага офсетная. Формат 70 901/16. Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 15,8 + 0,29 форз. Уч.-изд. л. 13,71 + 0,29 форз.
Тираж 91 720 экз. Заказ
.
Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета»
Министерства информации Республики Беларусь.
ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск.
ОАО «Полиграфкомбинат имени Я. Коласа».
ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Красная, 23, 220600, Минск.
Правообладатель Народная асвета
Исаченкова, Л. А.
И85
Физика : учеб. пособие для 9-го кл. общеобразоват. учреждений с
рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под
ред. А. А. Сокольского. — Минск : Нар. асвета, 2010. — 213 с. : ил.
ISBN 978-985-03-1372-0.
УДК 53(075.3=161.1)
На
р
од
на
я
ас
ве
та
ББК 22.3я721
Правообладатель Народная асвета
____________________________________________________________________________________________________________________
(Название и номер школы)
/
20
/
20
/
20
/
20
/
На
р
од
на
я
20
Имя и фамилия ученика
Оценка
ученику за
пользование
учебным
пособием
ас
ве
та
Учебный год
Состояние
учебного
пособия при
получении
Правообладатель Народная асвета
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа