close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Типы связей.
1. Нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая)
Рассматривается светильник, который подвешен на нити, он отклонен от
своего вертикального положения равновесия на некоторый угол α силой F.
Положим необходимо найти силу натяжения нити. Для этого необходимо освободиться от связи (разрезать нить и ввести силу, равную еѐ натяжению).
Здесь и ниже реакция связи обозначается красным цветом. Кстати, значение
силы натяжения в рассматриваемом случае равно T = P/ cos α
Сила F, необходимая для отклонения светильника от вертикали будет равна
F =P
.
Эти результаты получены из уравнений равновесия светильника, освобожденного от связи (правый рисунок).
ΣХ
= − F + T sin α = 0 ;
ΣY =
− P + T cos α = 0
Используемая здесь система координат имеет стандартную ориентацию осей
(ось абсцисс – ось x , ось ординат – ось у )
2. а) Невесомый, ненагруженный стержень
Рассматривается светильник, который подвешен на изогнутом стержне.
Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, представляет собой связь реакция, которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы. На рисунке, справа она изображена красным
цветом. В рассматриваемом случае стержень “работает” на растяжение.
Кстати, форма стержня при этом никакого значения не имеет.
Предположим, что стержень отклонен силой F от вертикального положения на угол α .
Из уравнений равновесия для стержня, освобожденного от связи (правый рисунок).
ΣХ =
− F + R A sin α = 0 ;
ΣY
= − P + R A cos α = 0
Несложно получить значение силы реакции R A = P / cos α и F = P
.
2. б) Невесомый, ненагруженный стержень
Рассматривается светильник, который опирается на изогнутый стержень, удерживается в равновесии заданной силой F . Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, поэтому
представляет собой связь, реакция которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы (и снова она изображена красным цветом). В этом
случае стержень “работает” на сжатие. Как и в предыдущем случае, форма
стержня никакого значения не имеет. Уравнения равновесия имеют аналогичный вид, как в выше рассмотренном случае а).
3. Гладкая опора
«Карандаш в стакане».
Точки контакта карандаша: с вертикальной стенкой стакана – А; с дном – В;
с верхним краем – С. Предполагается, что стенки стакана и его дно абсолютно гладкие. Гладкой является также поверхность самого карандаша. Поэтому
ввиду отсутствия сил трения реакции связей будут направлены по нормали к
опорной поверхности. В точке А контакта карандаша с вертикальной стенкой реакция будет горизонтальной. В точке В контакта с дном – вертикальной. Наконец, в точке С контакта карандаша с верхним краем, реакция будет
направлена по нормали к поверхности самого карандаша.
В рассматриваемом случае, освобожденный от связей карандаш содержит
три неизвестные реакции и традиционных уравнений проекций сил на координатные оси уже недостаточно
ΣХ =
− R С sin α + R A = 0 ;
ΣY = RВ
+ R С cos α − P = 0
Необходимо ещѐ одно уравнение. Таким уравнением может быть уравнение
моментов всех сил, приложенных к рассматриваемому телу, относительно
любой точки. Но чтобы уравнение не оказалось слишком громоздким, возьмем точку А.
Σ MА
= − P l cos α + R С b = 0
Здесь через b обозначена длина части стержня BC и через l обозначена половина всей его длины (вес карандаша P приложен посредине). Из этого
уравнения получаем
R С = P l cos α
b
Из проекций сил на координатные оси можно получить значения реакций R A и R В.
4. Опора на катки
Горизонтальная балка АВ в точке А имеет катковую опору, а в точке В
свободно опирается на гладкую наклонную плоскость. Поскольку справа
балка опирается на абсолютно гладкую поверхность наклонной плоскости, то
реакция будет направлена по нормали к этой плоскости. Реакция катковой
опоры также направлена по нормали к поверхности, на которую опираются
катки, составляющая вдоль опорной поверхности отсутствует (так как в противном случае катки бы откатились).
Реакция R A образует угол ( 90  − α ) со стержнем, а реакция R В образует с горизонтом угол ( 90  − β). Уравнения равновесия в проекциях на
координатные оси имеют вид
Σ Х = R A sin α − R В sin β
= 0,
ΣY
= R A cos α + R В cos β − G = 0
Представленная система линейных алгебраических уравнений относительно R A и R В легко разрешима.
5. Цилиндрический шарнир
Наклонная балка АС имеет цилиндрический шарнир в точке А и свободно опирается в точке В на выступ. Поверхность балки считается абсолютно гладкой, весит она G, а ещѐ на неѐ действует пара сил с моментом М. Реакция в точке В будет направлена по нормали к поверхности балки (поскольку еѐ поверхность является абсолютно гладкой ). Для введения реакции в цилиндрическом шарнире следует отметить, что в общем случае она неопределена, т.е. неизвестна ориентация вектора реакции и еѐ модуль. В таких ситуациях реакцию представляют в виде двух составляющих заданной ориентации (как правило, взаимно ортогональных), но неизвестных по своему значению. При найденных значениях составляющих модуль реакции находится
как корень квадратный из суммы квадратов составляющих.
–
RA =
X A2 + Y A2
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид
Σ Х = Х A − R В sin α
Σ MА
= M−G
= 0,
AC
2
ΣY = YA
+ R В cos α − G = 0
cos α + R В AB
= 0
При заданных геометрических соотношениях, система линейных алгебраических уравнений относительно Х A , Y A и R В легко разрешима.

AC

2
R В =  G
Х A = R В sin α ,

cos α − M

/
AB
Y A = G − R В cos α .
6.”Заделка”
Консольная балка АС концом А заделана в вертикальную стенку. Реакция
в точке А (в общем случае) представляется тремя составляющими, две из
которых проекции силы реакции на координатные оси
–
--RA = X A i + Y A j
а третья – пара сил с моментом M z , называемым моментом заделки.
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид
ΣХ = ХA
Σ MА
− P = 0,
ΣY = YA
= M + Mz − G
AC
2
− G = 0
cos α + P AС sin α = 0
Из первых двух уравнений находятся
Х A = P и Y A = G.
Модуль силы реакции вычисляется по формуле
–
RA =
X A2 + Y A2 =
P2 + G2
Третья составляющая реакции заделки определяется из уравнения моментов
Mz = G
AC
2
cos α − M − P AС sin α
Типы связей (пространственная система сил).
Приведенные выше примеры связей с 1 по 5 (освобождение от
связи и введение соответствующих реакций) целиком и полностью
распространяется и на пространственный случай (предполагается, что пространственная декартовая система координат Oxyz
плоскость Oxy имеет такую же, как и в рассмотренном выше
случае), отличие будет, имеет место лишь в случае “Заделка”.
Рассмотрим ниже помимо “заделки” и ещѐ два примера –
“шаровой шарнир” и “подпятник”.
На рисунке изображен фонарный столб с его проводами, растяжками и
т.п. Не вдаваясь в подробности приложенных к нему сил, рассмотрим лишь
реакцию связи – “заделка”.
Реакция закопанного столба определяется шестью неизвестными, три
из них проекции силы реакции относительно координатных осей и три осевых момента.
-–
--RA = X A i + Y A j + Z A k ,
–
--
--
--
MA = Mx i + My j + Mz k
Модули силы реакции и момента находится как обычно
–
RA =
–
MA =
2
X A2 + Y A2 + Z A
M x2 + M у2 + M z2
7. Сферический шарнир
Это устройство, в отличие от цилиндрического шарнира, имеет подвижную часть сферическую и делает неподвижным центр этой сферы. Если
сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция такого шарнира направлена по нормали к поверхности. Поэтому единственное, что
достоверно известно об этой реакции, что она проходит через центр шарнира,
а ориентация реакции может быть любой.
Освобождая тело от такой связи необходимо ввести три неизвестных
составляющих ( X A , Y A , Z A ).
–
---RA = X A i + Y A j + Z A k
Модуль силы реакции находится по формуле
–
RA =
2
X A2 + Y A2 + Z A
8. Подпятник
Это устройство состоит из двух частей: цилиндрический стакан и собственно цилиндр, в него установленный и опирающийся на дно стакана, с
цилиндром связана какая-либо подвижная часть, например, тяжелая дверь.
В отличие от цилиндрического шарнира эта связь имеет неизвестную
ещѐ третью составляющую, от дна стакана. Поэтому освобождая тело от такой связи, необходимо ввести три составляющие. Модуль же реакции находится как обычно
–
RA =
2
X A2 + Y A2 + Z A
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа