close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две

код для вставкиСкачать
1.
Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две
другие стороны являются дополняющими лучами, то
данные углы называются смежными.
Свойство: Сумма смежных углов – 180о.
∠МОL + ∠LON = 180o
2.
Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов
равен 90о.
3.
Определение: Если стороны одного угла являются
продолжением второго угла, то такие углы называются
вертикальными.
Свойство: Вертикальные углы равны.
4.
Определение: Биссектрисой угла называют луч, который
исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и
делит его пополам.
Свойство: Каждая точка биссектрисы угла находится на
одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
5.
Определение: Если пересекающиеся прямые образуют угол
90о, то они называются перпендикулярными.
Обозначение перпендикулярных прямых:
.
Свойство: Две прямые, перпендикулярные третьей, не
имеют общих точек между собой.
6.
Определение: Отрезок АН называют перпендикуляром,
проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a
перпендикулярны. При этом точка Н называется
основанием перпендикуляра.
Перпендикуляр к прямой – это отрезок.
Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
7.
Определение: Прямую, проходящую через середину
отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным
перпендикуляром к отрезку.
Свойства:
 Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от концов этого отрезка.
 Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Определение: Треугольник – это геометрическая фигура,
состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой,
соединенных отрезками.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°
Теорема: В треугольнике
1. Против большей стороны лежит больший угол
2. Против большего угла лежит большая сторона.
Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух
других сторон.
Определение: Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны.
8.
9.
10.
Определение: Внешним углом треугольника называется
угол смежный с углом треугольника ( ∠4 (смежный с ∠3) –
внешний угол ∆АВС.)
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
11.
Определение: Если в треугольнике все углы острые, то
такой треугольник называется остроугольным.
12.
Определение: Если в треугольнике есть угол, равный 90°,
то такой треугольник называется прямоугольным.
Определение: Сторона, лежащая против прямого угла,
называется гипотенузой, а другие стороны
называются катетами.
Свойство: Сумма острых углов треугольника равна 90о.
Свойство: Катет, лежащий против угла 30о, равен половине
гипотенузы.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике:
 В прямоугольном треугольнике высота, опущенная
из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов,
т.е.
∠С =90°.
13.
а и b — катеты; с — гипотенуза;
ас и bс—проекции катетов а и b на гипотенузу; h высота из вершины прямого угла
а
b
h
ac
.
bc
 В прямоугольном треугольнике каждый катет есть
среднее пропорциональное между гипотенузой и
проекцией катета на гипотенузу,
т.е.
,
.
 В прямоугольном треугольнике высота, опущенная
из вершины прямого угла на гипотенузу, делит
гипотенузу в таком отношении, в каком находятся
квадраты прилежащих катетов, т.е.
.
14.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов
15.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике —
это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета к прилежащему:
Тангенсом острого угла называется отношение синуса угла
к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном
треугольнике — отношение прилежащего катета
к противолежащему:
Таблица значений:
16.
Определение: Если в треугольнике один угол находится в
пределах (90о; 180°), то такой треугольник
называется тупоугольным.
17.
Первый признак равенства треугольников: если две
стороны и угол между ними одного треугольника и
соответствующие им две стороны и угол между ними
второго треугольника равны, то данные треугольники
равны.
18.
Второй признак равенства треугольников: Если сторона
и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, такие треугольники равны.
19.
Третий признак равенства треугольников: если три
стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
20.
Первый признак равенства прямоугольных
треугольников: если два катета одного прямоугольного
треугольника соответственно равны двум катетам другого
прямоугольного треугольника, то такие треугольники
равны.
21.
Второй признак равенства прямоугольных
треугольников: если катет и прилежащий к нему острый
угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и прилежащему острому углу другого
прямоугольного треугольника, то такие треугольники
равны.
22.
Третий признак равенства прямоугольных
треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол
одного прямоугольного треугольника соответственно равны
гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то
такие треугольники равны.
23. Рис. Медианы треугольника
Определение: Отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны,
называется медианой треугольника.
А, В, С – вершины треугольника.
– середины сторон треугольника.
– медианы треугольника.
У каждого треугольника есть три медианы.
Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1,
считая от вершины.
Теорема: Медиана разбивает треугольник на два
треугольника одинаковой площади.
24. Рис. Биссектрисы
треугольника
– биссектрисы треугольника.
Теорема: Три биссектрисы любого треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром
окружности вписанной в этот треугольник.
Свойство: Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам:
25.
26.
Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны, называется биссектрисой
треугольника.
Высоты остроугольного треугольника
Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную
сторону, называется высотой треугольника.
А, В, С – вершины треугольника.
– высоты треугольника.
Свойство: Все три высоты пересекаются в одной точке.
В тупоугольном треугольнике высоты
расположены следующим образом:
27.
Определение: Равнобедренным называется треугольник, у
которого равны две стороны.
АВ = АС – боковые стороны.
ВС – основание.
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Следствие: Если два угла треугольника равны, то
треугольник равнобедренный (признак равнобедренного
треугольника).
28.
Определение: Равносторонним называется треугольник, у
которого все три стороны равны.
АВ = ВС = СА.
Свойства: Каждый угол равностороннего треугольника
равен 60°.
29.
30.
Определение: Окружность – это геометрическая фигура,
состоящая из множества точек, которые равноудалены от
заданной точки.
Определение: Точка, от которой остальные точки являются
равноудаленными, называется центром окружности.
Определение: Отрезок, соединяющий центр и точку,
лежащую на окружности, называется радиусом.
Определение: Если соединить две точки, лежащие на
окружности, можно провести отрезок, который
называется хордой.
Определение: Хорда, проходящая через центр окружности,
называется диаметром.
Таким образом:
О – центр окружности;
OM = ON = r – радиусы окружности;
MN – хорда;
АМ – диаметр;
АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.
Свойство пересекающихся хорд:
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в
точке M, то произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD
31.
Свойство параллельных хорд:
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
32.
Определение: Касательная к окружности — прямая,
имеющая с окружностью единственную общую точку.
Свойства касательных к окружности:
 Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведенному в точку касания.
 Отрезки касательных к окружности, проведенных из
одной точки, равны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
33.
Определение: Центральным углом в окружности
называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Свойство:
 Центральный угол либо равен дуге, на которую
он опирается.
Определение: Угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту окружность,
называется вписанным углом
Свойства:
 Вписанный угол либо равен половине дуги, на
которую он опирается.
34.

Углы, вписанные в одну окружность и
опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
90°.
 Угол, образованный касательной к окружности
и секущей, проведенной через точку касания,
равен половине дуги, заключенной между его
сторонами.
Теорема: Около выпуклого четырехугольника можно
описать окружность тогда и только тогда, когда сумма
его внутренних противоположных углов равна 180°:
a.
+ =
+
= 180°
Теорема: В четырехугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда у него равны
суммы противоположных сторон.
35.
a + c = b + d;
36.
Дано: прямые а и b пересекаются прямой с.
с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углы называются:
- накрест лежащие углы:<3 и <6 ,<4 и <5 ;
- односторонние углы: <4 и <6, <5 и <3;
- соответственные углы: , <4 и <7, <6 и <2, <1 и <5, <3 и<8.
– смежные углы.
<1 и <4 – вертикальные углы.
37.
Определение: Две прямые на плоскости называются
параллельными, если они не пересекаются. Обозначается
это так:
.
Определение: Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных
прямых, называются параллельными.
Определение: Лучи, лежащие на параллельных прямых,
также называются параллельными.
38.
Первый признак параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест
лежащие углы равны, то прямые параллельны.
39.
Второй признак параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые параллельны.
<1=<2
40.
Третий признак параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
<1+<4=180°.
41.
Определение: Расстояние – это кратчайший путь от одной
точки к другой.
АН – расстояние между точкой и прямой
Определение: Расстоянием от точки А до прямой будет
длина перпендикуляра АН.
42.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника
равна 180°(n-2)
43.
Определение: параллелограммом называется
четырехугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны.
Свойства:





противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся
пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне,
равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).


Биссектрисы углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне, —
перпендикулярны.
Биссектрисы противоположных углов
параллелограмма — параллельны.
44.
45.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
 Две его противоположные стороны равны и
параллельны.
 Противоположные стороны попарно равны.
 Противоположные углы попарно равны.
 Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Определение: Трапецией называется четырехугольник, у
которого две противолежащие стороны параллельны, а две
другие непараллельны.
Определение: Параллельные стороны трапеции
называются ее основаниями, а непараллельные стороны —
боковыми сторонами.
Определение: Отрезок, соединяющий середины боковых
сторон, называется средней линией.
Свойства трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна
их полусумме.
Теорема: если сумма оснований равна сумме боковых
сторон, то в нее можно вписать окружность.
Признаки трапеции:
Четырехугольник является трапецией, если его
параллельные стороны не равны/
Определение: Трапеция называется равнобедренной (или
равнобокой), если ее боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
 если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и
углы при основании равны;
 если трапеция равнобокая, то около нее можно
описать окружность.
46.
Определение: Трапеция, один из углов которой прямой,
называется прямоугольной.
47.
Определение: ромб — это параллелограмм, все стороны
которого равны.
Свойства:
 Все свойства параллелограмма.
 Диагонали ромба перпендикулярны.
 Диагонали ромба делят его углы пополам.
Определение: Квадрат — это прямоугольник, у которого
все стороны равны.
Определение: Квадрат — это ромб, у которого все углы
прямые.
Свойства:
 Все свойства параллелограмма.
 Все углы квадрата — прямые, все стороны
48.
49.
50.
квадрата — равны.
 Диагонали квадрата равны и пересекаются под
прямым углом.
 Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Определение: Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства:
 Все свойства параллелограмма.
 Диагонали прямоугольника равны:
.
 Вокруг прямоугольника всегда можно описать
окружность.
Признак прямоугольника: Если в параллелограмме
диагонали равны, то этот параллелограмм —
прямоугольник.
Определение: Подобные треугольники — треугольники,
у которых углы соответственно равны, а стороны одного
пропорциональны сходственным сторонам другого
треугольника.
Теорема: Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия
Теорема: Отношение периметров и длин биссектрис,
медиан, высот и серединных перпендикуляров равно
коэффициенту подобия.
51.
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны
двум углам другого треугольника, то треугольники
подобны.
52.
Второй признак подобия треугольников
Если угол одного треугольника равен углу другого
треугольника, а стороны, образующие этот угол,
пропорциональны в равном отношении, то такие
треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны трем сторонам другого, то такие
треугольники подобны.
53.
Формулы площадей:
Треугольник
 Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины
стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне
высоты
 Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S - площадь треугольника,
a, b, c- длины сторон треугольника,
h- высота треугольника, проведенная к
стороне а
γ- угол между сторонами a и b
r- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
p- полупериметр треугольника
 Формула площади треугольника по двум сторонам и
углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон умноженного на синус угла между ними.
 Формула площади треугольника по трем сторонам и
радиусу описанной окружности
 Формула площади треугольника по трем сторонам и
радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра
треугольника на радиус вписанной окружности
Полезные ссылки
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа