close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

(PDF, 924KB)

код для вставкиСкачать
Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова.
Алгебра 9 класс. Контрольные работы»
Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями,
предлагаемыми на контрольных, особенно если некоторые из них видишь
впервые. Иногда они устрашающе выглядят, а решаются достаточно просто,
но, чтобы «увидеть» решение, нужен порой «толчок»: один раз понять, с
какой стороны подойти к решению. Решения этих контрольных работ есть в
сети, однако они даны без объяснений. Здесь же предложено подробное
решение с объяснением и обоснованием. Тем, кто хочет хорошо учится – это
поможет… нет, не списать, а подготовиться. Незнание тех, кто «плавает» в
математике и не хочет ничего менять, все равно обнаружится рано или
поздно, даже если контрольная будет списана «до буквы».
Контрольная работа 2.
Вариант 1.
1. Решите графически систему уравнений:
(
)
Запишем иначе оба уравнения, «перетащив»
вправо:
(
)
влево, а все остальное –
Первая функция – парабола, вторая – прямая.
Парабола: коэффициент
– форма кривой стандартная, смещена
вдоль оси на 2 единицы вправо. Вершина имеет координаты: (2,0) –
лежит на оси .
Прямая: имеет коэффициент наклона (-1) – значит, составляет тупой
угол с положительным направлением оси . Кроме того, наша прямая
поднята вверх по оси на 8 единиц.
Строим графики:
Решение системы (или решения) – точки пересечения графиков. У нас:
Ответ: {4;4}{-1;9}.
2. Решите систему уравнений:
а)
Решаем методом подстановки, для этого из второго уравнения
выразим
:
И подставим в первое:
(
)
Первое уравнение – квадратное, решаем его:
Теперь, подставляя найденные y, находим х:
(
(
)
)
Ответ: (4;-1/2)(1;-2).
б)
(
(
)
)
Введем замену:
Тогда система преобразуется:
Решим первое уравнение:
Тогда система превращается в две системы:
Каждую из систем решаем. Первую – методом подстановки:
(
)
Вторую систему решаем методом сложения, для этого первое
уравнение умножим на (-2):
(
)
Сложим теперь оба уравнения:
Откуда
. Тогда:
( )
Итак, ответ: (1.6;1.4)(0.1;0.4).
3. Две трубы, действуя совместно, заливают цистерну нефтью за 2 ч. За
сколько часов заполняет цистерну одна труба, действуя отдельно, если
ей для залива цистерны требуется на три часа меньше, чем другой?
Обозначим производительности труб за и .
Составим таблицу:
Производительность
Время
Объем работы
1-я труба
1
2-я труба
1
Обе
трубы
2
1
вместе
По таблице составим уравнения:
(
(
)
)
Выразим из первого уравнения х, из второго – y, и подставим это в третье
уравнение:
(
)
Осталось решить данное уравнение:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не теряет при
этом смысла:
(
)
Отрицательный корень – посторонний, ведь время не может быть
отрицательно, поэтому
.
Ответ: 3 часа.
4. Постройте график уравнения:
(
)(
)
Это выражение можно записать в виде двух уравнений:
В первом уравнении «спрятано» уравнение окружности:
(
)
Или
(
)
Эта окружность имеет радиус 4 и центр в точке (4,0).
Второе уравнение – прямая. Она проходит через точку (0;0) и является
биссектрисой 2 и 4 квадрантов.
5. При каком значении параметра p система уравнений имеет три
решения?
Первое уравнение – уравнение окружности с центром в начале координат и
радиуса 3. Второе уравнение – парабола. Коэффициент при старшем члене –
1, ветви вверх, сдвинута по оси y на p единиц.
Три решения система имеет, если графики пересекаются в трех точках.
Рассмотрим рисунки:
Здесь значение параметра равно -3, и парабола касается окружности
вершиной, и пересекает ее еще в двух точках – нас устраивает это решение.
Как видно из рисунков ниже, другие значения параметра не подходят:
имеем либо два пересечения, либо четыре, или их может не быть совсем.
Если значение параметра будет больше 3, то парабола будет лежать выше
окружности, и точек пересечения не будет. Если значение параметра будет
меньше (-9), то окружность будет лежать внутри параболы и пересечений
опять не будет.
Ответ:
.
Вариант 2.
1. Решите графически систему уравнений:
Запишем иначе оба уравнения, «перетащив»
вправо:
влево, а все остальное –
Первая функция – прямая, вторая –гипербола.
Гипербола: коэффициент
.
Прямая: имеет коэффициент наклона (2) – значит, составляет острый
угол с положительным направлением оси . Кроме того, наша прямая
поднята вверх по оси на 2 единицы.
Строим графики:
Решение системы (или решения) – точки пересечения графиков. У нас:
Ответ: (1;4)(-2;-2).
2. Решите систему уравнений:
а)
Решаем методом подстановки, для этого из второго уравнения
выразим :
И подставим в первое:
(
)
Первое уравнение – квадратное, решаем его:
Теперь, подставляя найденные y, находим х:
Ответ: (3;4)(4;3).
б)
Введем замену:
Тогда система преобразуется:
Решим первое уравнение:
(
Тогда система превращается в две системы:
)
Каждую из систем решаем. Первую – методом подстановки:
(
)
Решение – пустое множество.
Вторая система:
(
)
(
(
)
)
Итак, ответ: (-1;3)(-1;3).
3. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими совместно, за 4 ч.
За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, действуя
отдельно, если она наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем вторая?
Обозначим производительности труб за и .
Составим таблицу:
Производительность
1-я труба
2-я труба
Обе
трубы
вместе
По таблице составим уравнения:
(
(
Время
4
Объем работы
1
1
1
)
)
Выразим из первого уравнения y, из второго – x, и подставим это в третье
уравнение:
(
)
Осталось решить данное уравнение:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не теряет при
этом смысла:
(
)
Отрицательный корень – посторонний, ведь время не может быть
отрицательно, поэтому
. Но – это время, за которое наполняет бассейн
вторая труба, а нас спрашивали про первую. Тогда
Ответ: 12 часов.
4. Постройте график уравнения:
(
)(
)
Это выражение можно записать в виде двух уравнений:
В первом уравнении «спрятано» уравнение окружности:
(
)
(
Или
)
Эта окружность имеет радиус 3 и центр в точке (0,-3).
Второе уравнение – прямая. Она проходит через точку (0;0) и является
биссектрисой 1 и 3 квадрантов.
5. При каком значении параметра p система уравнений имеет одно
решение?
Первое уравнение – уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом 1. Второе уравнение – парабола. Коэффициент при старшем члене
–(- 1), ветви вниз, сдвинута по оси y на p единиц.
Одно решение система имеет, если графики пересекаются в одной точке.
Рассмотрим рисунки:
Здесь значение параметра равно 1, и парабола касается окружности
вершиной, и пересекает ее еще в двух точках – нас не устраивает это
решение. Как видно из рисунка рядом, значения параметра более 1 не
подходят: пересечений не будет. Только при p=-1 имеем касание вершины
параболы и окружности – то есть одно решение.
Если значение параметра будет меньше (-1), то парабола будет лежать ниже
окружности, и точек пересечения не будет. Ответ:
.
Вариант 3.
1. Решите графически систему уравнений:
(
)
Запишем иначе оба уравнения, «перетащив» влево, а все остальное –
вправо:
(
)
(
)
Первая функция – гипербола, вторая – прямая.
Гипербола: коэффициент
, смещена по оси x на 2 единицы
вправо.
Прямая: имеет коэффициент наклона (1/2) – значит, составляет острый
угол с положительным направлением оси . Кроме того, наша прямая
смещена вниз по оси на 3 единицы.
Строим графики:
Решение системы (или решения) – точки пересечения графиков. У нас:
Ответ: (8;1)(0;-3).
2. Решите систему уравнений:
а)
Решаем методом сложения, для этого из первого уравнения вычтем
второе:
Теперь, подставляя найденные y, находим х. При
При
:
Ответ: (5;61/5)(-5;-61/5).
б)
Введем замену:
Тогда система преобразуется:
Решим первое уравнение:
По теореме Виета
Тогда система превращается в две системы:
:
Каждую из систем решаем. Первую – методом подстановки:
(
)
(
)
Вторая система:
(
)
Решение – пустое множество.
Ответ: (6;8/3)(-8;-2).
3. Две снегоуборочные машины могли бы выполнить работу за 6 часов.
Сколько часов требуется для выполнения этой работы каждой
снегоуборочной машине в отдельности, если одна из них может
выполнить работу на 5 часов быстрее, чем другая?
Обозначим производительности машин за и .
Составим таблицу:
Производительность
Время
1-я машина
2-я машина
Обе машины
6
вместе
По таблице составим уравнения:
(
(
Объем работы
1
1
1
)
)
Выразим из первого уравнения y, из второго – x, и подставим это в третье
уравнение:
(
)
Осталось решить данное уравнение:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не теряет при
этом смысла:
(
)
Отрицательный корень – посторонний, ведь время не может быть
отрицательно, поэтому
. Это время, за которое выполняет работу
одна из машин, тогда вторая выполняет работу за
Ответ: 10 и 15 часов.
4. Постройте график уравнения:
(
)(√
)
Это выражение можно записать в виде двух уравнений:
√
В первом уравнении «спрятано» уравнение окружности:
(
)
(
)
Или
(
)
Эта окружность имеет радиус 5 и центр в точке (-3,4).
Второе уравнение –
√ .
5. При каком значении параметра p система уравнений имеет три
решения?
Первое уравнение – уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом √ . Второе уравнение – парабола. Коэффициент при старшем
члене –(- 1), ветви вниз, сдвинута по оси y на p единиц.
Три решения система имеет, если графики пересекаются в трех точках.
Рассмотрим рисунки:
Здесь значение параметра равно √ , и парабола касается окружности
вершиной, и пересекает ее еще в двух точках – нас устраивает это решение.
Как видно из рисунков рядом, ни значения параметра более √
не
подходят, ни менее √ : пересечений будет либо два или четыре, либо не
будет. Только при p=√
имеем касание вершины параболы и окружности, и
пересечение параболой окружности еще в двух местах – то есть три
решения.
Ответ:
√
.
Вариант 4.
1. Решите графически систему уравнений:
Запишем иначе оба уравнения, «перетащив»
вправо:
влево, а все остальное –
Первая функция – парабола, вторая – прямая.
Парабола: коэффициент
, ветви вниз.
Прямая: имеет коэффициент наклона (-3) – значит, составляет тупой
угол с положительным направлением оси . Кроме того, наша прямая
смещена вверх по оси на 8 единиц.
Строим графики:
Решение системы (или решения) – точки пересечения графиков. У нас:
Ответ: (1;5)(4;-4).
2. Решите систему уравнений:
а)
Решаем методом подстановки, для этого из второго уравнения
выразим :
И подставим в первое:
(
)
Первое уравнение – квадратное, решаем его:
Теперь, подставляя найденные y, находим х. При
При решение – пустое множество.
Ответ: (3;0)(-3;0).
б)
(
(
)
)
Введем замену:
Тогда система преобразуется:
Решим первое уравнение:
(
)
:
Тогда система превращается в две системы:
Каждую из систем решаем. Первую – методом подстановки:
(
)
(
Вторая система:
(
Решение – пустое множество.
Ответ: (6;4/3)(-4;-2).
)
)
3. Две
ремонтные
бригады,
работая
одновременно,
могут
отремонтировать мост за 10 дней. Сколько времени потребуется для
выполнения этой работы каждой бригаде в отдельности, если одна из
них может выполнить работу на 15 дней быстрее, чем другая?
Обозначим производительности бригад за и .
Составим таблицу:
Производительность
Время
Объем работы
1-я бригада
1
2-я бригада
1
Обе бригады
10
1
вместе
По таблице составим уравнения:
(
)
(
)
Выразим из первого уравнения y, из второго – x, и подставим это в третье
уравнение:
(
)
Осталось решить данное уравнение:
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не теряет при
этом смысла:
(
)
Отрицательный корень – посторонний, ведь время не может быть
отрицательно, поэтому
. Это время, за которое выполняет работу
одна из бригад, тогда вторая выполняет работу за
Ответ: 15 и 30 часов.
4. Постройте график уравнения:
(
)(
| |)
Это выражение можно записать в виде двух уравнений:
| |
В первом уравнении «спрятано» уравнение окружности:
(
)
(
)
Или
(
)
Эта окружность имеет радиус 5 и центр в точке (4,-3).
Второе уравнение –
| |.
5. При каком значении параметра p система уравнений имеет одно
решение?
Первое уравнение – уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом √ . Второе уравнение – парабола. Коэффициент при старшем
члене 1, ветви вверх, сдвинута по оси y на p единиц.
Одно решения система имеет, если графики пересекаются (или касаются) в
одной точке.
Рассмотрим рисунки:
Здесь
равно
значение параметра
1
- и имеем два
пересечения, и √ , и парабола
касается окружности вершиной,
и пересекает ее еще в двух
точках – нас
также не
устраивает это решение.
Как видно из рисунка рядом, ни
значения параметра менее
√
не подходят, ни более √ :
пересечений будет либо два
или четыре, либо не будет.
Только при p=√
имеем
касание вершины параболы и
окружности, и это и есть
решение. Ответ:
√
Ответ:
√ .
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа