close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
КОНВЕКЦИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ
В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
1
Мызникова Б.И., 2Смородин Б.Л.
1
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013
г. Пермь, ул. Академика Королева, 1
2
Пермский государственный ун-т, 614990, г. Пермь,
Букирева, 15
Изучено
влияние
стратификационного
распределения
магнитных коллоидных наночастиц бинарной смеси в тепловом и
магнитном внешнем поле на конвекцию феррожидкости в ячейке
Хеле-Шоу. Зависимости критических магнитных чисел Рэлея и
частот нейтральных колебаний от числа Прандтля и
геометрического параметра определены в двух случаях
предварительной стратификации: а) в неоднородном магнитном
поле; б) в поле тяжести. Проведен анализа бифуркаций в
магнитожидкостных конвективных системах, рассмотрены
стационарные и периодические режимы термомагнитной
конвекции.
Рассматривается ячейка Хеле-Шоу высотой h~10
мм и толщиной d<<h (например, 0.5 мм),
заполненная магнитной жидкостью и расположенная
в магнитном поле, создаваемом двумя кольцевыми
постоянными
магнитами.
Начало
отсчета
расположено
посередине
расстояния
между
кольцами, ось z системы координат направим вдоль
оси симметрии колец, ось x поперек ячейки. Тогда
вблизи начала координат величина магнитного поля
линейно зависит от расстояния z: H=Gz [1].
Z
2
1
X
2
а)
б)
Рис. 1. Геометрия задачи:
а) седиментация в магнитном поле; б) седиментация
в гравитационном поле
Равновесная неоднородная концентрация
магнитных частиц, формирующаяся за счет их
перераспределения в неоднородном магнитном поле
благодаря магнитофорезу, определяется выражением
[2]:
 ( z )  0 exp( 2 z 2 / 6h 2 ), 0   / N ,
1/ 2
N

2 2
2
exp( z / 6h ) dz ,
(1 а)
1/ 2
где   mGh / k BT , m магнитный момент одной
частицы, T температура магнитной жидкости, а h
высота ячейки и  начальная (однородная)
концентрация магнитных частиц (объемная доля).
Неоднородная концентрация магнитных частиц
может сформироваться за счет гравитационного
расслоения [3]
 ( z )  0 exp( z / l ), 0   / N , l 
k BT
Vg
(1 б)
Если после установления профиля концентрации
(1) к границам слоя приложить разность температур
 в случае (а), или магнитное поле и разность
температур в случае (б) то в системе может
возникнуть
колебательная
конвективная
неустойчивость [2,3].
Формулируя систему уравнений, описывающих
возникновение конвекции, учтем, что характерное
диффузионное время для ячейки размером h=10 мм
составляет десятки часов, а конвективные колебания
имеют период порядка от десятка секунд [3] до трех
минут [2] и для них можно пренебречь диффузией
частиц, полагая D=0.
СТРАТИФИКАЦИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Для
анализа
устойчивости
используем
безразмерные уравнения для возмущений:
v
 p   2v  z  (   )  e,
t
  RmW   2 ,
  Rc  z  W  0, W  v  e.
Pr 1
(2)
Здесь v возмущения скорости,  температуры, 
концентрации,
Pr   / 
число
Прандтля,
Rm   mG 2 h 4 / T 
магнитное
число
Рэлея,
Rc   2  mG 2 h 4 / 3 концентрационное число Рэлея
записаны для случая магнитофореза (  ,  m ,  , 
плотность,
магнитная
восприимчивость,
кинематическая вязкость и температуропроводность
жидкости).
Уравнения
(2)
записаны
в
безиндукционном приближении, когда можно
пренебречь возмущениями магнитного поля в
жидкости по сравнению с величиной приложенного
поля.
Рассмотрим типичное для ячейки Хеле-Шоу
двухмерное конвективное движение в плоскости
(y,z), считая, что скорость в направлении оси x равна
нулю. Запишем скорость жидкости в направлении
оси z в следующем виде:
2

W  w( z, t )   x 2  exp(iky ),
 4

(3)
где k характеризует периодичность, возникающих
конвективных движений в напрвлении оси y.
Исключив из (1) давление, используя (3) и
интегрируя, полученные уравнения по x от -/2 до /2
и сохраняя только низшие порядки по малому
параметру , получим:
D
2
1
 6
 k 2   W   D 2  k 2 W   2  2  D 2  k 2 W  k 2 z (   )   0,
P
 
   D 2  k 2   Rm W / 6,
  Rc  z  W / 6,
Rm   2 Rm,
Rс   2 Rс.
(4)
Будем предполагать, что узкие грани теплопроводны
и непроницаемы для вещества, что приводит к
следующим граничным условиям:
z  1/ 2 : w  0, w  0,   0,    0.
(5)
Поскольку
краевая задача (4)(5) содержит
переменную z в нулевой и первой степенях, ее
решения не обладают какой-либо четностью по
поперечной координате и представляют собой
линейные комбинации четных и нечетных функций.
Если использовать только по две базисные
функции на каждую переменную,
w  w1 cos( z )  w2 sin(2 z ),
w  w1 ( z 2  1 / 4)( z 2  1 / 4)  w2 z ( z 2  1 / 4)( z 2  1/ 4),
  1 cos( z )   2 sin(2 z );
  1  2 sin( z ).
(6)
то для постоянного поля в случае магнетофореза
получаем аналитический результат (0):
02 
Rc k 2  72 2 d1d 2 d3  Rc k 2 d 4 
16 2d1d3d 4  Rc k 2d2 
,
81Rc2 729 2 d 2 d 4 729 4 d12 d32 729 4 d1 d3 02 81Rc2
Rm 




,
2048
256k 2
16k 4
16k 4
204802
2

d1  k 2   2 , d 2  k 2  2 2 , d3  k 2  4 2 , d3  2k 2  5 2 .
7 
Критические параметры монотонной и
колебательной неустойчивости Rc =9609, Pr=7
Геометрический
kc
c
Rm
параметр
5917,60
4.44
0
7280
4.45
=0.05
7996
26,23
4,59
0
8725 19,074 4,65
=0.001
8727 18,938 4,63
=0.005
8730
18,75
4,59
=0.01
8827
18,24
4,56
=0.05
9127
18,08
4,56
=0.1
Рис. 2. Монотонная мода.
Поля функции тока и температуры.
ГРАВИТАЦИОННАЯ СТРАТИФИКАЦИЯ
Для гравитационной стратификации система
уравнений будет другой
v
 p   2v  (   )  e,
t
  RW   2 ,
  BW  0, W  v  e.
Pr 1
(8)
R  g T h 3 /   тепловое число Рэлея, B  g  C h 4 / l
 концентрационное число Рэлея в случае
гравитационной стратификации. После применения
приближения Хеле-Шоу получим систему
D
2
1
 6
 k 2   W   D 2  k 2 W   2  2  D 2  k 2 W  k 2 (   )   0,
P
 
   D 2  k 2   R  W / 6,
  B W / 6,
(9)
R   R 2 ,
B  B 2 .
которая, в отличие (4), содержит функции
одинаковой четности, т. е. наиболее опасными будут
одноэтажные возмущения (конвективные валы).
Гравитационная стратификация.
Критические параметры колебательной
неустойчивости. B =9609, =0.05
Геометрический
R
kc
c
параметр
Pr=7
6700
67.87
3,2
Pr=20
6700
67.87
3,2
Pr=100
6700
67.87
3,2
Выводы:
 Стратификация магнитного коллоида во
внешнем поле приводит к колебательной
неустойчивости.
Частота
нейтральных
колебаний выше в случае гравитационной
стратификации.
 Критические значения порогов конвекции в
случае стратификации в магнитном поле,
полученные с учетом условия прилипания на
границах, отличаются от приближенного
значения (проскальзывание на границах, 0)
не более чем на 10%.
 Критические
значения
термомагнитного
(теплового) числа Релея, волнового числа и
частоты слабо зависят от числа Прандтля в
широком диапазоне его изменения.
Результаты, представленные в данной работе,
получены при частичной поддержке гранта РФФИУрал (07 - 01 – 96037) и гранта РФФИ-MНКС (09 01 – 92472).
Литература
1. Пшеничников А.Ф. //Магнитная гидродинамика, 1993, N1,
С.37.
2. Shliomis M.I., Smorodin B. L., Kamiyama S., The onset of
thermomagnetic convection in stratified ferrofluids//
Philosophical Magazine, 2003, Vol. 83., N 17-18. P. 21392153.
3. Shliomis M.I., Smorodin B. L., Onset of convection in colloids
stratified by the gravity// Phys. Rev. E, 71, 036312 (6), 2005.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа