close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

контрольные работы 3 и 4 - Северный (Арктический)

код для вставкиСкачать
2014-2015 уч. год
Министерство образования и науки РФ
Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова
Кафедра математики
Вопросы по курсу спецглавы математики
3 семестр
для студентов ИЭиТ 2 курса заочной формы обучения,
направления подготовки 140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника»,
профиль – Энергообеспечение предприятий
Кратные интегралы.
1. Двойной интеграл: определение, свойства. Геометрический смысл двойного
интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
2. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан и его геометрический
смысл. Переход в двойном интеграле от декартовых координат к полярным.
3. Приложения двойного интеграла: вычисление площади плоской фигуры,
объема тела, массы плоской фигуры, статических моментов и координат
центра тяжести плоской фигуры.
4. Тройной интеграл: определение, свойства. Вычисление тройного интеграла в
декартовых координатах. Замена переменных в тройном интеграле.
5. Переход в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим и
сферическим.
6. Приложения тройного интеграла: вычисление объемов тел, массы тел,
статических моменты и координат центра тяжести трехмерных тел, моментов
инерции.
Ряды.
7. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости числового ряда.
8. Достаточное условие расходимости числового ряда.
9. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов:
признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный
признаки Коши.
10. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
1
11. Знакопеременные
ряды.
Абсолютная
и
условная
сходимость
знакопеременных числовых рядов.
12. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости.
13. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного
ряда.
14. Ряды Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
Дифференцирование и
интегрирование степенного ряда.
Приложения
степенных рядов.
15. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.
Элементы теории функции комплексного переменного.
16. Комплексные числа. Три формы комплексного числа.
17. Действия с комплексными числами. Извлечение корня и возведение в
степень.
18. Элементарные функции комплексного переменного.
Дифференциальные уравнения.
19. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи, приводящие к ДУ. Общее и частное решения дифференциального
уравнения. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка.
20. Дифференциальные
уравнения
1-го
порядка:
с
разделяющимися
переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
21. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши для диф.
уравнения 2-го порядка. Диф. уравнения 2-го порядка приводящиеся к диф.
уравнению 1-го порядка.
22. Линейные диф. уравнения второго порядка. Однородное и неоднородное диф.
уравнения
2-го
порядка.
Свойства
их решений.
Характеристическое
уравнение однородного диф. уравнения. Структура общего решения
линейного неоднородного диф. уравнения второго порядка.
23. Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных диф.
уравнений 2-го порядка.
24. Системы дифференциальных уравнений. Линейные однородные системы ДУ с
постоянными коэффициентами. Приведение системы ДУ к обыкновенному ДУ.
2
Литература
1. Основные источники:
1. Берман
Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа : учеб.
пособие.– СПб.: Профессия, 2006. – 432 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.–
М.: Дрофа, 2004, – 512 с.
3. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях: Учебное пособие для
втузов, Ч.1-3. / Под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - 4-е изд.,
перераб. и доп. - М.: Физ-мат. литературы, 2003.
2. Дополнительные источники:
1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа.- М.:
Наука, 2005.- 736 с.
2. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах: в 2-х ч, Ч.1 - 6-е изд. - М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2003. - 304 с.
3. Кручкович Г.И., Гутарина Н.И., Дюбюк П.Е. Сборник задач по курсу высшей
математики.- М.: Высшая школа, 1973.- 576 с.
4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. - М.:
Айрис-пресс, 2006. - 608 с.
3. Дополнительные источники: методические указания кафедры математики.
1. Ряды: метод. указания к выполнению расчет.-графич. (контрол.) работы / сост.
О.А. Хотенова. – Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2010. – 54 с.
http://narfu.ru/imikt/depart/maths/education/books/Ryady%20Hotenova.pdf
4. Интернет ресурсы:
http://www.exponenta.ru/
3
Контрольная работа № 3
Кратные интегралы. Ряды
Задание
Изменить
1.
порядок
интегрирования
в
интеграле.
Область
интегрирования изобразить на чертеже.
2 x x2
1
1.
3.
5.
0
0
3
x2
 dx

0
 4 x
5
x 1
0
4
4 x
3

2.
f ( x, y )dy .
4.
0
2
5
6.
0
5
2
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy .
0
0
1
1
4x
4
8.
x 1
4
x
10.
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy .
0
0
1
4 y
 dy
 f ( x , y )dx .
2
9 x
y 2
9 2 y
 dy  f ( x, y)dx .
0
y 2 1
1
2 y
 dy  f ( x, y)dx .
0
1 y
1
1
 dy  f ( x, y)dx .
0
0
0
0
2
 4 x
9
 dx  f ( x, y)dy .
1
 dx  f ( x, y )dy   dx  f ( x, y)dy .
1
9.
1
f ( x, y )dy   dx
4
x
4
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y )dy .
1
7.
2 x
2
y 1
Задание 2. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного
указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на
чертежах.
1. z  0, z  2 x, x  y  3, х 
у
.
2
2. x  0, y  0, z  0, x  y  2, у  1  z .
3. z  0, z  1  x 2 , y  0, y  3  x .
4. z  0, z  1  y, y  x 2 .
5. z  0, z  2  x, x  1, x  y 2 .
6. x  0, y  0, z  0, x  y  1, z  x 2  3 y 2 .
1
2
7. x  0, y  0, z  0, x  1, x  y  2, z  x 2   y 2 .
8. x  0, y  0, z  0, y  z  1, x  y 2  1 .
9. z  0, z  1  y 2 , x  y 2 , x  2 y 2  1 .
10. z  0, z  1  y , y  x 2 .
4
Задание 3. Вычислить центр тяжести однородного тела, заданного неравенствами.
1.
0  z  9  x2  y2 .
2.
x2  y2  z  4
3.
 9  x2  y2  z  9  x2  y2 и 0  y  x .
4.
0  z  4  x2  y2 .
5.
0  z  4  y и x2  y2  4 .
6.
0  z  4  x2  y2 .
7.
0  z  4  x и x2  y2  4 .
8.
3  z  4  x2  y2 .
9.
3  z  25  x 2  y 2 .
10.
2  z  8  x2  y2 .
Задание 4. Исследовать сходимость рядов (а, б) и найти интервал сходимости (в).
1.
а)
 2n  1 

 ;

n 1  5n  1 

2.
а)

n 1

3.
а)

n 1
2n
;
n!
а)
б)
б)
а)
n 1
;
( 2 n  1) !
 n  3



n 1  n  5 
6.
а)

n 1
б)
а)
б)
а)
2 ln n  1
;
n2  n  1
 1 n 3

 ;

n 1  2  n 
9.
а)
2n
;

2
n 1 n  4
б)
в)
( x  1) 2 n
.

n9 n
n 1
1
;
(n  1) !
в)
2n  1
 (1) n1
3
n 1
n6  4

б)
 (1)

n 1
n2

в)
5
 (1) n1

;
в)

n 1

в)

n 1
.
( x  5) n
.
n3 n
( x  3) 2 n
.
n 5n
x  12 n1
4n n
в)
( x  2) 2 n
.

n!
n 1
в)


n
n 1
4  n2
n 1
n
 (1)
( x  3) 2 n

;
2
(1) 2 ; ;

n
n 1
n 1

n 1
n

б)
n3 n

(1) n
;
n(n  1)

б)
1
n 1
n 1

10.
2n  1
n(n  1)


б)
5
 ;
n
а)
(1)n

(n  1)!

7n
n 1

1 

n 1 
в)
( x  1) 2 n
.

n4 n
n 1
n 1
n1


в)
2n  1
4n 2  3

в)

;
(1) n
 (1)
(1) n ( x  1) n
.

n
n 1

(1) n1 ( x  5) n
.

n2  4
n 1
n 1
б)
1
;
n2 n
1


8.

n 0
n
7.
n
 (1)

n
1
;

n 1 n ln 3n

n 1
n 1

5.
 (1)


4.
n 1

n

 n 

 ;
 2n  1 
( x  1) 2 n
.
n9 n
n 1

Задание 5. Вычислить интеграл, разложив подинтегральную функцию в ряд
Тейлора, и оценить точность вычислений, взяв в разложении 3-4 ненулевых
слагаемых.
0 ,1

1.
0.5
dx
3
0
x2
0 cos 4 dx.
2.
1  8x3
1
3
1
 ln(1  x
3.
5.
2
)dx.
4.
2
0
 sin x dx.
1
2
1
4

0
6.
1  x 3 dx.
 xe
0

0 ,5
x sin 3 xdx.
8.
1
 cos
dx
 1  16 x
4
0
0
9.
dx.
0
1
7.
x
1
3
x dx.
10.
0

2
x e  x dx.
0
Контрольная работа № 4
Элементы теории функции комплексного переменного.
Дифференциальные уравнения.
Задание 1. Дано комплексное число z в алгебраической форме. Найти:
а) z 3 ;
б) все значения корня
3
z , изобразить их на комплексной плоскости.
1.
z  8  8 3  i;
2.
z  1  3  i;
3.
z  5  5  i;
4.
z  2  2 3  i;
5.
z  8  i;
6.
z  1  i;
7.
z  3 3  3  i;
8.
z  8  8  i;
9.
z  1  3  i;
10.
z  4  4  i ; .
6
Задание 2. Представить значение функции в алгебраической форме.
1.
ctg (1  3  i)
2.
tg ( 3  i  1)
3.
e 1i ;
4.
e1i
5.
ch( 2   i);
6.
cos(2   i );
7.
cth(1  3 i );
8.
sin( 2  3 i);
9.
Ln (1  3  i);
10.
Ln( 2  i ) .
1
Задание 3. Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка.
1.
а) x 2  4 xy dy  x 2  xy  3 y 2 dx ;
2.
а) xdy 
3.
а) x y   y  xe
4.
а) 2 x 2 dy  3 x 2  6 xy  y 2 dx ;
б) xdy  2e x  y dx .
5.
а) xy 2 dy  x 3  y 3 dx ;
б) 3 y   2 xy  2 x .
6.
а)  x  1dy  2 x  y dx ;
б) xydy  ( y 2  x)dx .
7.
а) ( x  4 y )dy  (2 x  y )dx ;
б) xy   y  x 2 sin x .
8.
а) ( x  2 y )dx  xdy  0 ;
б) 2 y   2 y cos x  sin 2 x .
9.
а) xy   y  4 x 2  y 2 ;
б) x 2 y   2 x  5 y  5 x 2 .
10.
а) xy   y  y ln y  y ln x ;
б) xy   2 y  arctgx .


x 2  y 2  y dx ;
y
x
;
б) (3 y  x 2 )dx  xdy .
б) y   y  2xy 2 .
б) xdy  x 4  2 y dx .
Задание 4. Найти решение задачи Коши.
2
, y (1)  0 , y (1)  2 .
x
1.
xy    y  
2.
1  x y   xy  ,
3.
xy   (1  2 x ) y  , y (1)  0 , y (1)  e 2 .
4.
y   2 yy   0 , y (1)  0 , y (1)  1 .
5.
y   2 y e 2 y  0 , y (0)  0 , y (0)  1 .
6.
y   sin 2 y  0 , y (0)  0 , y (0)  2 .
2
y (0)  1 , y (0)  1 .
7


7.
y   e x  1  y   0 , y (0)  0 , y ( 0)  2 .
8.
xy   y   2 , y (1)  0 , y (1)  1 .
9.
2 xy   y  , y (1)  0 , y (1)  2 .
10.
x 2 y   xy   1 , y (1)  2 , y (1)  1 .
Задание 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения двумя
способами:
а) с помощью метода неопределенных коэффициентов;
б) методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).
1.
y   2 y   3 y  xe x .
2.
y   16 y  3 cos 4 x .
3.
y   2 y   xe 2 x .
4.
y   6 y   9 y  xe 3 x .
5.
y   4 y  4 sin 3x .
6.
y   2 y   5 y  2e x cos 2 x .
7.
y   5 y   3 x 2  1 .
8.
y   5 y   6 y  xe 3 x
9.
y   4 y   4 y  xe 2 x .
10.
y   4 y   5 y  5e 2 x sin x
Составила : Л.А. Баданина
23 мая 2014 г.
Утверждаю:
Зав. кафедрой математики
________________________
8
В.Н. Попов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа